CN102158167A - 一种电压空间矢量调制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电压空间矢量调制方法，包括以下步骤：S101：取参考电压矢量的标幺值 其中，为标幺化后的幅值，θ是角度；S102：根据参考电压矢量的标幺值 计算出参考电压矢量的d，q分量V_d、V_q；S103：根据 判定参考电压矢量所在的扇区k；S108：根据V_d、V_q由相应K值所选择的公式计算PWM比较值。该发明所描述的技术方案广泛应用于工业交流传动系统，所涉及的无理数计算次数少，只需通过简单的四则运算就可以计算出各相所需的PWM定时器周期值，而且算法形式极其简洁，非常便于计算机实现。

Description

一种电压空间矢量调制方法

技术领域

本发明涉及一种脉冲宽度调制(PWM，Pulse Width Modulation)方法，尤其是涉及一种通用的、便于计算机实现针对电压空间矢量脉冲宽度调制的方法。

背景技术

随着计算机控制技术和半导体电子技术的发展，基于微处理器和可控开关器件的电力电子技术在人类的生产和生活中得到了广泛的应用。特别地在工业领域中，传统的相控整流器正逐步让位于低谐波、高功率因数的PWM整流器，而数字化的高性能交流驱动系统已经完全取代直流传动系统成为当今轨道交通和冶金行业的主流。

脉宽调制技术是现代交流驱动和PWM整流器的基础和关键技术之一，在种类繁多的脉宽调制技术中，SVPWM技术由于具有电压利用率高、易于计算机实现等众多优点，成为了脉宽调制方案的首选。但是由于传统的SVPWM方法需要进行复杂的正弦函数，导致计算量大，其复杂的算法对高精度实时控制产生了不可忽视的影响，因此许多人们对SVPWM算法进行了深入的研究，以简化SVPWM的实现和计算，提高整个系统的响应速度和处理精度。

图1给出了SVPWM的电压空间矢量图形，其中

是基本矢量，

称为有效矢量，

则称为零矢量

根据伏秒平衡的原则，可以得到下面方程：

${\∫}_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}{V}_s{e}^{\mathrm{j\θ}}\mathrm{dt}={\stackrel{\→}{V}}_1{T}_1+{\stackrel{\→}{V}}_2{T}_2+{\stackrel{\→}{V}}_{\mathrm{null}}{T}_0---\left(1\right)$

其中T₁、T₂和T₀分别是基本矢量

和

的作用时间。求解方程可得

$\left\{\begin{array}{c}{T}_1=\sqrt{3}\mathrm{mT}\sin (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\θ})\\ T_2=\sqrt{3}\mathrm{mT}\sin \left(\mathrm{\θ}\right)\\ T_0=T-T_1-T_2\end{array}\right.---\left(2\right)$

在实际应用中为了算法的通用性，一般采用计算各基本矢量的作用时间占空比d_x＝T_x/T的方式，从而实现算法与T无关的目的(在最后需要基本矢量作用时间T_x时，再由T_x＝T*d_x计算得到)。由式(2)可得对应的占空比为：

$\left\{\begin{array}{c}{d}_1=\sqrt{3}m\sin (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\θ})\\ d_2=\sqrt{3}m\sin \left(\mathrm{\θ}\right)\\ d_0=1-d_1-d_2\end{array}\right.---\left(3\right)$

在现有技术中，由南京航空航天大学于2007年1月15日申请，2007年8月1日公布，公开号为CN101009477A的中国发明专利申请公开了一种基于电压空间矢量的调制方法，该方法公开了如下技术方案：

在电压矢量空间中，逆变器的三相桥有电压Ua，Ub，Uc恰好相隔空间120°，如图2所示可利用三相桥臂电压的组合直接合成参考电压矢量，合成关系满足

${\stackrel{\→}{V}}_{\mathrm{Ref}}*T_{\mathrm{PWM}}=\mathrm{Ua}*\mathrm{Ta}+\mathrm{Ub}*\mathrm{Tb}+\mathrm{Uc}*\mathrm{Tc}---\left(4\right)$

式中为参考电压矢量，Ta，Tb，Tc分别为Ua，Ub，Uc的作用时间，Tpwm为载波周期。

在常规三相坐标系中，各轴线之间相差120°，选择常规三相坐标系中任意两相轴线与新型两相120°坐标系的轴线重合，而常规三相坐标系中的第三相轴线则根据几何关系投影到新型两相120°坐标系的坐标轴上。新型两相120°坐标系的轴线以轴m，n来表示，选取常规三相坐标系的轴线A，B与新型两相120坐标系的轴线m，n重合，如图4所示。

由于坐标系从三相变为两相，从而使参考电压矢量在新型两相120°坐标系的坐标轴下的分解具有确定性，如图3所示，则新型两相120°坐标系下的合成关系为：

${\stackrel{\→}{V}}_{\mathrm{Ref}}*T_{\mathrm{PWM}}=\mathrm{Um}*\mathrm{Tn}+\mathrm{Un}*\mathrm{Tn}---\left(5\right)$

根据正弦定理可得参考电压矢量在新型两相120°坐标系中的投影公式为：

由常规三相坐标系转化为新型两相120°坐标系的变换关系以及附加条件可得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Tm}=\mathrm{Ta}-\mathrm{Tc}\\ \mathrm{Tn}=\mathrm{Tb}-\mathrm{Tc}\\ \mathrm{Min}(\mathrm{Ta},\mathrm{Tb},\mathrm{Tc})=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

根据公式(6)和公式(7)计算得出Ta，Tb，Tc。

发明内容

本发明的目的是提供一种电压空间矢量调制方法，该方法是一种新的计算PWM定时器周期值占空比的方法，这种新的电压空间矢量调制方法所涉及的无理数计算次数少，只需通过简单的四则运算就可以计算出各相所需的PWM定时器周期值，而且算法形式极其简洁，非常便于计算机实现。

本发明具体提供了一种电压空间矢量调制方法的具体实施方式，一种电压空间矢量调制方法，包括以下步骤：

S101：取参考电压矢量的标幺值

其中，

为标幺化后的幅值，θ是角度；

S102：根据参考电压矢量的标幺值

计算出参考电压矢量

的d，q分量V_d、V_q；

S103：根据

判定参考电压矢量所在的扇区k；

S108：根据V_d、V_q由相应K值所选择的公式计算PWM比较值。

作为本发明一种电压空间矢量调制方法进一步的实施方式，判定参考电压矢量所在扇区k的过程包括以下步骤：

S104：计算p1＝V_q；p2＝V_d-V_q；p3＝-(V_d+V_q)；

S105：判断p1、p2、p3是否大于0，若p1大于0，则q1为1，否则为0；p2大于0，则q2为1，否则为0；p3大于0，则q3为1，否则为0；

S106：计算N＝q1+2·q2+4·q3；

S107：根据N值查找表得到相应的K值。

作为本发明一种电压空间矢量调制方法进一步的实施方式，参考电压矢量

的d分量V_d值为所述参考电压矢量

的q分量V_q值为

作为本发明一种电压空间矢量调制方法进一步的实施方式，根据如下规则判断参考电压矢量所在的扇区k：N为1时，k为1；N为2时，k为5；N为3时，k为0；N为4时，k为3；N为5时，k为2；N为6时，k为4。

作为本发明一种电压空间矢量调制方法进一步的实施方式，根据如下规则选择公式计算PWM比较值：

当k∈{0，3}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+V_d+V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1-V_d+3V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-V_d-V_q)\end{array}\right.;$

当k∈{1，4}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+{2V}_d)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1+2V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-2V_q)\end{array}\right.;$

当k∈{2，5}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+V_d-V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1-V_d+V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-V_d-{3V}_q)\end{array}\right..$

通过实施本发明一种电压空间矢量调制方法的具体实施方式，该电压空间矢量调制方法的新算法形式极为简洁，对于标幺化后的电压参考矢量，仅需一次无理数计算，就能通过简单的四则运算计算出各相所需的PWM定时器周期值的占空比，因此非常便于计算机实现。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是现有技术SVPWM的电压空间矢量图形示意图；

图2是现有技术常规三相坐标系合成方式的示意图；

图3是现有技术120°坐标系合成方式的示意图；

图4是现有技术常规三相坐标系变换到新型两相120°坐标系的示意图；

图5是本发明电压空间矢量调制方法一种具体实施方式所描述的扇区k中的基本有限矢量示意图；

图6是本发明电压空间矢量调制方法一种具体实施方式所描述的七段式PWM示意图；

图7是本发明电压空间矢量调制方法一种具体实施方式所描述的程序流程图一；

图8是本发明电压空间矢量调制方法一种具体实施方式所描述的程序流程图二；

图9是本发明电压空间矢量调制方法应用在交流电机调速系统当中的一种具体实施方式结构组成示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

作为本发明一种电压空间矢量调制方法的具体实施方式，设电压源型逆变器的直流电压为V_dc，控制系统中的参考电压矢量：

${\stackrel{\→}{V}}_{\mathrm{Ref}}=V_m{e}^{\mathrm{j\θ}}---\left(8\right)$

其中V_m为幅值，θ是角度。

以2/3*V_dc作为电压基准，将参考电压矢量作以下标幺化：

${\stackrel{\→}{V}}_{\mathrm{Ref}}^o=\frac{{\stackrel{\→}{V}}_{\mathrm{Ref}}}{2/3*\mathrm{Vdc}}=\frac{V_m}{2/3*\mathrm{Vdc}}{e}^{\mathrm{j\θ}}=V_m^o{e}^{\mathrm{j\θ}}==v_d^o+{\mathrm{jv}}_q^o---\left(9\right)$

其中：

$v_d^o=V_m^o\cos \mathrm{\θ}$

(10)

$v_q^o=V_m^o\sin \mathrm{\θ}$

分别称为参考电压矢量的d，q分量。其中，

为标幺化后的幅值，

设t时刻电压矢量所在的扇区为k，k∈{0，1，2，3，4，5}，记为：

${\stackrel{\→}{V}}_x=\frac{2}{3}{V}_{\mathrm{dc}}{e}^{j\frac{\mathrm{\π}}{3}k}---\left(11\right)$

和

${\stackrel{\→}{V}}_{x+1}=\frac{2}{3}{V}_{\mathrm{dc}}{e}^{j\frac{\mathrm{\π}}{3}(k+1)}---\left(12\right)$

为该扇区的两个有效基本电压矢量，如图5所示。

记d₁、d₂分别为此时

和

在PWM周期T_PWM中作用时间占空比，则根据伏秒平衡原理有：

${\stackrel{\→}{V}}_{\mathrm{Ref}}*T_{\mathrm{PWM}}={\stackrel{\→}{V}}_x{*T}_{\mathrm{pwm}}*d_1+{\stackrel{\→}{V}}_{x+1}*T_{\mathrm{pwm}}*d_2---\left(13\right)$

将式(13)中的电压矢量标幺化并在等式两边同除以T_PWM后得：

$V_{\mathrm{Ref}}^o{e}^{\mathrm{j\θ}}=d_1*e^{j\frac{\mathrm{\π}}{3}k}+d_2*e^{j\frac{\mathrm{\π}}{3}(k+1)}---\left(14\right)$

等式(14)两边同乘以

并用分量形式表示参考电压矢量

后可得：

$(v_d^o+{\mathrm{jv}}_q^o)e^{-j\frac{\mathrm{\π}}{3}k}=d_1+d_2*e^{j\frac{\mathrm{\π}}{3}}---\left(15\right)$

由式(15)求解d₁、d₂可得：

$\left(\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\end{array}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc}\sin \frac{k+1}{3}\mathrm{\π}& -\cos \frac{k+1}{3}\mathrm{\π}\\ -\sin \frac{k}{3}\mathrm{\π}& \cos \frac{k}{3}\mathrm{\π}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_d^o\\ v_q^o\end{array}\right)---\left(16\right)$

将k＝0，1，2，3，4，5分别代入式(16)，并记为：

$V_d=v_d^o$

$V_q=\frac{v_q^o}{\sqrt{3}}---\left(17\right)$

后可得：

$d_1=\left\{\begin{array}{cc}{V}_d-V_q& k=0\\ V_d+V_q& k=1\\ {2V}_q& k=2\\ -(V_d-V_q)& k=3\\ -(V_d+V_q)& k=4\\ -{2V}_q& k=5\end{array}\right.---\left(18\right)$

$d_2=\left\{\begin{array}{cc}{2V}_d& k=0\\ -(V_d-V_q)& k=1\\ -(V_d+V_q)& k=2\\ -{2V}_q& k=3\\ V_d-V_q& k=4\\ V_d+V_q& k=5\end{array}\right.---\left(19\right)$

零矢量作用时间占空比为：

d₀＝1-d₁-d₂                                    (20)

对于输出谐波最小的七段式PWM，记d_CMPR1、d_CMPR2和d_CMPR3分别为A、B、C三相在单个PWM周期T_PWM中的占空比，如图6所示。令辅助变量du、dv、dw在偶扇区k＝0，2，4时取为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{dw}=d_0/2\\ \mathrm{dv}=\mathrm{dw}+d_2\\ \mathrm{du}=\mathrm{dv}+d_1\end{array}\right.---\left(21\right)$

在奇数扇区k＝1，3，5时取为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{dw}=d_0/2\\ \mathrm{dv}=\mathrm{dw}+d_1\\ \mathrm{du}=\mathrm{dv}+d_2\end{array}\right.---\left(22\right)$

则有以下结果：

k＝0时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\mathrm{du}\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\mathrm{dv}\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\mathrm{dw}\end{array}\right.---\left(23\right)$

k＝1时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\mathrm{dv}\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\mathrm{du}\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\mathrm{dw}\end{array}\right.---\left(24\right)$

k＝2时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\mathrm{dw}\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\mathrm{du}\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\mathrm{dv}\end{array}\right.---\left(25\right)$

k＝3时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\mathrm{dw}\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\mathrm{dv}\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\mathrm{du}\end{array}\right.---\left(26\right)$

k＝4时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\mathrm{dv}\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\mathrm{dw}\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\mathrm{du}\end{array}\right.---\left(27\right)$

k＝5时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\mathrm{du}\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\mathrm{dw}\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\mathrm{dv}\end{array}\right.---\left(28\right)$

根据式(18)～(19)和式(23)～(28)，消除中间变量du、dv、dw后可得：

k∈{0，3}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+V_d+V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1-V_d+3V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-V_d-V_q)\end{array}\right.---\left(29\right)$

k∈{1，4}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+{2V}_d)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1+2V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-2V_q)\end{array}\right.---\left(30\right)$

k∈{2，5}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+V_d-V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1-V_d+V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-V_d-{3V}_q)\end{array}\right.---\left(31\right)$

由式(29)～(31)可知，根据V_d、V_q，通过非常简单的四则运算就能得出A、B、C三相定时比较器的占空比，而根据式(17)，由

计算V_d、V_q仅用一次无理数，因此本SVPWM算法简单、计算量少，非常便于计算机实现。

电压空间矢量调制方法的实现流程如下：

第1步(S101)：取参考电压矢量的标幺值

第2步(S102)：由

根据公式(17)计算V_d、V_q；

第3步(S103)：根据判定参考电压矢量所在的扇区k；

第4步(S104)：计算p1＝V_q；p2＝V_d-V_q；p3＝-(V_d+V_q)；

第5步(S105)：判断p1、p2、p3是否大于0，若p1大于0，则q1为1，否则为0；p2大于0，则q2为1，否则为0；p3大于0，则q3为1，否则为0；

第6步(S106)：计算N＝q1+2·q2+4·q3；

第7步(S107)：根据N值查表1得到k；

表1 N值和扇区值k的关系

N	1	2	3	4	5	6
							k	1	5	0	3	2	4

第8步(S108)：由V_d、V_q根据相应的K值所选择的公式计算PWM比较值；

其中，第8步又具体细化成第9步～第11步(S109～S111)：

第9步(S109)：如果k＝0，3，选择公式(29)计算PWM比较值；

第10步(S110)：如果k＝1，4，选择公式(30)计算PWM比较值；

第11步(S111)：如果k＝2，5，选择公式(31)计算PWM比较值。

如图9所示，是本发明电压空间矢量调制方法应用在交流电机调速系统当中的一种具体实施方式结构组成示意图。下面结合附图对基于电压空间矢量的同步调制系统各部分介绍如下：

基于电压空间矢量的同步调制系统包括频率给定单元1401、控制设备440、逆变器1405、交流电机1406，其中所述控制设备440包括微控制器1402、非门1403、驱动电路1404；而所述微控制器单元1402是整个系统的核心，用来实现同步调制算法。

1、频率给定单元1401

频率给定单元1401用于给定参考电压的频率f。频率给定信号由电位器设定，经过模数转换器转换为数字量送给微控制器。

2、微控制器单元1402

微控制器单元1402是系统的核心，用于实现同步调制算法。输入信号为频率给定信号f，将频率信号转换为角度信号θ，频率给定信号的角度信号θ通过本发明所描述的电压空间矢量调制方法计算，具体步骤详见图8实现的流程，得出A、B、C三相在单个PWM周期T_PWM中的占空比d_CMPR1、d_CMPR2和d_CMPR3，从而得到开关信号S_a、S_b、S_c，进而控制逆变器输出对应的电压矢量，控制交流电机旋转的频率与给定频率f一致。

3、非门1403

非门1403把微控制器1402输出的开关信号取反。

4、驱动电路1404

驱动电路1404把微控制器1402输出的开关信号放大。

5、逆变器1405

逆变器1405用于将直流电压V_dc变换为三相交流电压u_a、u_b、u_c。其包括一个滤波电容和6个电力电子器件。滤波电容用于保证直流电压的稳定。电力电子器件中连在一起的2个器件组成1个桥臂用于控制1相的电压，例如D₁和D₄组成1个桥臂控制a相的电压u_a。1个桥臂受2个互补的开关信号的控制，信号为1则导通，信号为0则关断。2个互补的开关信号通过对1个基本开关信号取反再加上自身产生的。3个桥臂由3个基本开关信号S_a、S_b、S_c控制。S_a、S_b、S_c信号不同，逆变器1405输出不同的电压矢量，控制交流电机1406，使交流电机1406旋转的频率同频率给定单元1401给定的频率f一致。

6、交流电机1406

交流电机1406是控制对象。最终目的就是使交流电机旋转的频率与给定频率f一致。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种电压空间矢量调制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S101：取参考电压矢量的标幺值

其中，

为标幺化后的幅值，θ是角度；

S102：根据参考电压矢量的标幺值

计算出参考电压矢量

的d，q分量V_d、V_q；

S103：根据

判定参考电压矢量所在的扇区k；

S108：根据V_d、V_q由相应K值所选择的公式计算PWM比较值。

2.根据权利要求1所述的一种电压空间矢量调制方法，其特征在于：所述判定参考电压矢量所在扇区k的过程包括以下步骤：

S104：计算p1＝V_q；p2＝V_d-V_q；p3＝-(V_d+V_q)；

S105：判断p1、p2、p3是否大于0，若p1大于0，则q1为1，否则为0；p2大于0，则q2为1，否则为0；p3大于0，则q3为1，否则为0；

S106：计算N＝q1+2·q2+4·q3；

S107：根据N值查找表得到相应的K值。

3.根据权利要求1或2所述的一种电压空间矢量调制方法，其特征在于：所述参考电压矢量

的d分量V_d值为

所述参考电压矢量

的q分量V_q值为

4.根据权利要求3所述的一种电压空间矢量调制方法，其特征在于：根据如下规则判断参考电压矢量所在的扇区k：N为1时，k为1；N为2时，k为5；N为3时，k为0；N为4时，k为3；N为5时，k为2；N为6时，k为4。

5.根据权利要求4所述的一种电压空间矢量调制方法，其特征在于：根据如下规则选择公式计算PWM比较值：

当k∈{0，3}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+V_d+V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1-V_d+3V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-V_d-V_q)\end{array}\right.;$

当k∈{1，4}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+{2V}_d)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1+2V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-2V_q)\end{array}\right.;$

当k∈{2，5}时， $\left\{\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{CMPR}1}=\frac{1}{2}(1+V_d-V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}2}=\frac{1}{2}(1-V_d+V_q)\\ d_{\mathrm{CMPR}3}=\frac{1}{2}(1-V_d-{3V}_q)\end{array}\right..$

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