CN102055197B - 一种建立可控串补线性化模型的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了属于电力系统建模技术领域的一种建立可控串补线性化模型的方法。利用Poincare映射理论，根据TCSC当前时刻的线路电流、触发角、电容电压预测半个工频周期后的电容电压值，然后把这些数据作为采样值，用它来拟合出一条TCSC电容电压的波形曲线，从而得到描述TCSC动态特性的数学模型。由于数据采样周期很小，每个工频周期有两个采样点，因而该数学模型在0～50Hz范围内是有效的，适用于通过特征分析法分析带TCSC的系统次同步谐振问题。本发明所得到数学模型可与系统特征根方程接口。

Description

一种建立可控串补线性化模型的方法

技术领域

本发明属于电力系统动态稳定研究领域。特别涉及的一种建立可控串补线性化模型的方法，具体说该方法是基于Poincare映射建立的、可与系统特征根方程接口的可控串补线性化模型，用于含可控串补的电力系统小干扰稳定分析。

背景技术

我国资源和负荷分布的不均衡决定了能源资源跨区域流动的必然性，超高压、大规模、远距离输电，能够实现全国范围资源优化配置、保障国家能源安全。为提高输电线路的输送能力，缓解输电走廊的压力，可控串联补偿技术得到了越来越广泛的应用。作为柔性交流输电系统(FACTS)家族的一员，可控串补装置(TCSC)由于在改善电力系统性能方面具有诸多优点，近年来引起电力工业界研究人员和工程技术人员的关注，其研究得到了快速的发展。将TCSC用于电力系统，能够控制系统潮流、改善系统的稳定性、提高功率传输极限。一些研究结果还表明，TCSC具有抑制电力系统次同步振荡和阻尼电力系统振荡的作用。同时，以往发生在大电网中因机组轴系扭振引发的事故中，许多是与输电线路中使用的串联补偿电容有关，因此分析TCSC对电力系统次同步谐振的影响和研究如何利用它进行次同步振荡的控制，成为电力工作者关注的问题。

和传统电力系统装置不同，可控串补装置包含晶闸管器件，其工作原理在很大的程度上决定于晶闸管的开关动作特性。从本质上看，电力电子器件的开关动作特性在时域中是不连续的，这种特性给系统动态稳定分析的特征分析法的应用带来了一定的困难。对此，传统的方法是采用可控串补的准稳态数学模型，这种模型是简化了可控串补的慢动态特性，不能反映装置内部的复杂电磁暂态过程，其使用会影响到分析结果的准确性。

发明内容

本发明的目的提供了一种建立可控串补线性化模型的方法，其特征在于，所述建立可控串补数学模型的步骤包括：

1)列出TCSC在晶闸管导通和截止下的特性方程；

2)根据TCSC在半个周期内晶闸管导通和截止一次，列出每个阶段的TCSC电容电压方程；

3)将上述电容电压方程在运行点附近线性化，得到TCSC的a相离散方程，并推广到b、c相，得到TCSC的三相离散方程；

4)为方便与电力系统其他元件和网络方程接口，将上述三相离散方程从abc坐标系转换到dq0坐标系，得到TCSC在dq0坐标系下的离散方程；为了求得TCSC的连续时域方程，根据求解一阶微分方程组的相关理论，构造一个连续微分方程，使得该连续微分方程的解和上述离散方程一致，则可用该连续微分方程代替上述离散方程。此连续微分方程即为TCSC在dq0坐标系下的连续时域数学模型。

5)由于系统复频域方程以DQ坐标系为基准，所以将TCSC模型接入系统模型之前，通过转换矩阵将dq坐标系下的TCSC连续时域方程转化到DQ坐标系，得到TCSC在DQ坐标系下的连续时域方程，将其并入系统特征值方程，即可求出带TCSC的系统的特征根。

通过建立TCSC线性化模型，可以计算出含TCSC系统的特征值。从而可以进行以下研究：

1)通过计算含TCSC和不含TCSC的系统特征值，可以定量的分析TCSC对系统次同步谐振的影响，更好的评估TCSC在系统中的作用。

2)通过分析TCSC控制器不同策略实施前后的特征值变化情况，与线性控制理论相结合，可用于优化设计TCSC控制器以取得更好的抑制次同步谐振效果。

本发明的有益效果是所得到数学模型的有效频带为0～50Hz，可以满足电力系统次同步振荡分析的需要，可与系统特征根方程接口；

本方法根据TCSC当前时刻的线路电流、触发角、电容电压预测半个工频周期后的电容电压值，然后把这些数据作为采样值，用它来拟合出一条TCSC电容电压的波形曲线，从而得到描述TCSC动态特性的数学模型。由于数据采样周期很小，每个工频周期有两个采样点，因而该数学模型在0～50Hz范围内是有效的，从而适用于通过特征分析法分析带TCSC的系统次同步谐振问题。

附图说明

图1是TCSC单相电路接线图。

图2是TCSC的电流波形和触发时刻图。

图3是坐标系转换图。

图4是48％固定串补下的发电机转速差频谱分析图。

图5是30％固定串补+18％可控串补下的发电机转速差频谱分析图。

具体实施方式

下面结合附图和对实施例的描述对本发明的实施技术方案予以更清楚地说明。

图1给出了TCSC的单相电路结构，是由一对反向并联晶闸管连接电感后再和电容器并联而成。由于晶闸管的开关性能，整个电路的动态特性包括连续特性(电容电压)和离散事件(晶闸管触发)。为了建立TCSC的连续数学模型，必须考虑晶闸管触发对电容电压的影响。

当晶闸管完全导通时，TCSC相当于一个并联的LC回路，其特性可以用式(1)描述：

$\left\{\begin{array}{c}C\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=I_L-I_T=(I_d\cos \mathrm{\ωt}-I_q\sin \mathrm{\ωt}+I_0)-I_T\\ L\frac{{\mathrm{dI}}_T}{\mathrm{dt}}=V\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：C为TCSC中的电容；L为TCSC中的电感；V为TCSC电容电压；I_T为TCSC电感电流；I_L为TCSC线路电流；I_d、I_q、I₀分别为TCSC线路电流在d、q、0轴的分量。

由于前期编写的系统计算特征值程序使用的是标么值，需将上式转换成标么值公式：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2\mathrm{\πf}}{C}_{*}\frac{{\mathrm{dV}}_{*}}{\mathrm{dt}}=(I_{d*}\cos \mathrm{\ωt}-I_{q*}\sin \mathrm{\ωt}+I_{0*})-I_{T*}\\ \frac{1}{2\mathrm{\πf}}{L}_{*}\frac{{\mathrm{dI}}_{T*}}{\mathrm{dt}}=V_{*}\end{array}\right.---\left(2\right)$

下脚标*表示为标么值，式(2)～式(33)中的电流、电压都是标么值，后面将不再重复说明。

令

则上述公式转换为：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_0\frac{{\mathrm{dV}}_{*}}{\mathrm{dt}}=(I_{d*}\cos \mathrm{\ωt}-I_{q*}\sin \mathrm{\ωt}+I_{0*})-I_{T*}\\ L_0\frac{{\mathrm{dI}}_{T*}}{\mathrm{dt}}=V_{*}\end{array}\right.---\left(3\right)$

写成矩阵形式有：

$\stackrel{\·}{X}=\mathrm{AX}+{\mathrm{BI}}_{\mathrm{dq}0}---\left(4\right)$

其中：

$X=\left[\begin{array}{c}V\\ I_T\end{array}\right],$ $A=\left[\begin{array}{c}0,-\frac{1}{C_0}\\ \frac{1}{L_0},0\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}\frac{\cos \mathrm{\ωt}}{C_0},-\frac{\sin \mathrm{\ωt}}{C_0},\frac{1}{C_0}\\ \mathrm{0,0,0}\end{array}\right],$ $I_{\mathrm{dq}0}=\left[\begin{array}{c}{I}_d\\ I_q\\ I_0\end{array}\right]$

当晶闸管完全关断时，TCSC相当于一个串联的电容器，其特性由式(5)给出。

$C_0=\frac{{\mathrm{dV}}_{*}}{\mathrm{dt}}=I_{d*}\cos \mathrm{\ωt}-I_{q*}\sin \mathrm{\ωt}+I_{0*}---\left(5\right)$

写成矩阵形式有：

$\stackrel{\·}{y}={\mathrm{PBI}}_{\mathrm{dq}0}---\left(6\right)$

其中：

y＝V    P＝[1，0]

不失一般性，假设当前运行时刻为k，且位于晶闸管的截止时段内，晶闸管下一触发时刻为t_on，1/2，晶闸管相应的关断时刻为t_off，1/2，半个周期后运行时刻为k+1/2，随着运行时间的推移，相应时刻分别为t_on，1，t_off，1，k+1，…按照这个时序，可以得到线路电流和电感电流波形与晶闸管触发的时序关系，如图2所示。

假设在k时刻电容电压为V(k)，由于在每半个周期内晶闸管导通和关断一次，所以在时间间隔[k，t_on，1/2]内对方程(6)积分，在[t_on，1/2，t_off，1/2]内对方程(4)积分，在

内对方程(6)积分，从而可预测在k+1/2时刻的电容电压V(k+1/2)，如式(7)～(11)所示。

$V\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)=V\left(k\right)+{\∫}_k^{t_{\mathrm{on},1/2}}\mathrm{PB}\left(t\right)I_{\mathrm{dq}0}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(7\right)$

X(t_on，1/2)＝P^TV(t_on，1/2)   (8)

$X\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)=e^{A(t_{\mathrm{off},1/2}-t_{\mathrm{on},1/2})}{X}_{\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}+{\∫}_{t_{\mathrm{on},1/2}}^{t_{\mathrm{off},1/2}}{e}^{A(t_{\mathrm{off},1/2}-t)}B\left(t\right)I_{\mathrm{dq}0}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(9\right)$

V(t_off，1/2)＝PX(t_off，1/2)  (10)

$V(k+\frac{1}{2})=V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)+{\∫}_{t_{\mathrm{off},1/2}}^{k+1/2}\mathrm{PB}\left(t\right)I_{\mathrm{dq}0}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(11\right)$

式(7)～(11)表明，某一时刻的电容电压V(k+1/2)是半个周期前的电容电压V(k)、此前半个周期内线路电流I_dq0(k)和触发时刻t_on，1/2，t_off，1/2的函数，将其在运行点附近线性化并整理得：

$\mathrm{\ΔV}(k+\frac{1}{2})=\mathrm{F\ΔV}\left(k\right)+\mathrm{G\Δ}{I}_{\mathrm{dq}0}\left(k\right)+\mathrm{H\Δ}{t}_{\mathrm{on},1/2}---\left(12\right)$

其中：

$F=\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{P}^T+[\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}\frac{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}+\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}]\frac{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}{\∂V\left(k\right)}$

$G=\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂I_{\mathrm{dq}0}}+\frac{\∂V(k+1/2)}{\∂I_{\mathrm{dq}0}}+\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}\frac{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\∂I_{\mathrm{dq}0}}+[\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}\frac{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}+\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}]\frac{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}{\∂I_{\mathrm{dq}0}}$

$H=[\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}\frac{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}+\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}]---\left(13\right)$

上述偏微分方程式可根据式(7)～(11)计算得出：

$\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}=-P{e}^{A(t_{\mathrm{off},1/2}-t_{\mathrm{on},1/2})}[\mathrm{AX}\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)+B\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)I_{\mathrm{dq}0}\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)]$

$\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}=P{e}^{A(t_{\mathrm{off},1/2}-t_{\mathrm{on},1/2})}$

$\frac{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}=P^T\mathrm{PB}\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)I_{\mathrm{dq}0}\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)$

$\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂I_{\mathrm{dq}0}}=P{\∫}_{t_{\mathrm{on},1/2}}^{t_{\mathrm{off},1/2}}{e}^{A(t_{\mathrm{off},1/2}-t)}B\left(t\right)\mathrm{dt}$

$\frac{\∂V(k+1/2)}{\∂I_{\mathrm{dq}0}}={\∫}_{t_{\mathrm{off},1/2}}^{k+1/2}\mathrm{PB}\left(t\right)\mathrm{dt}$

$\frac{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\∂I_{\mathrm{dq}0}}=P^T{\∫}_k^{t_{\mathrm{on},1/2}}\mathrm{PB}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(14\right)$

可以得出：

$\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}\frac{\∂X\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}+\frac{\∂V\left(t_{\mathrm{off},1/2}\right)}{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}=\sin \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right)\frac{V\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\sqrt{L_0{C}_0}}$

其中：

σ＝t_off，1/2-t_on，1/2为晶闸管导通时间，V(t_on，1/2)为晶闸管在刚导通时刻的电容电压。

由式(14)，可计算出线性化方程式(12)的系数矩阵：

$F=\cos \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right)+\sin \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right)\frac{V\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\sqrt{L_0{C}_0}}\frac{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}{\∂V\left(k\right)}$

$G=P{\∫}_{t_{\mathrm{on},1/2}}^{t_{\mathrm{off},1/2}}{e}^{A(t_{\mathrm{off},1/2}-t)}B\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{t_{\mathrm{off},1/2}}^{k+1/2}\mathrm{PB}\left(t\right)\mathrm{dt}+\cos \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right){\∫}_k^{t_{\mathrm{on},1/2}}\mathrm{PB}\left(t\right)\mathrm{dt}+\sin \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right)\frac{V\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\sqrt{L_0{C}_0}}\frac{\∂t_{\mathrm{on},1/2}}{\∂I_{\mathrm{dq}0}}$

$H=\sin \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right)\frac{V\left(t_{\mathrm{on},1/2}\right)}{\sqrt{L_0{C}_0}}---\left(15\right)$

对于运行的电力系统，假设晶闸管的触发角保持不变。则线性化方程式(12)可简化为：

$\mathrm{\ΔV}(k+\frac{1}{2})=\mathrm{F\ΔV}\left(k\right)+\mathrm{G\Δ}{I}_{\mathrm{dq}0}\left(k\right)---\left(16\right)$

其系数矩阵为：

$F=\cos \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right)$

$G=P{\∫}_{t_{\mathrm{on},1/2}}^{t_{\mathrm{off},1/2}}{e}^{A(t_{\mathrm{off},1/2}-t)}B\left(t\right)\mathrm{dt}+{\∫}_{t_{\mathrm{off},1/2}}^{k+1/2}\mathrm{PB}\left(t\right)\mathrm{dt}+\cos \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right){\∫}_k^{t_{\mathrm{on},1/2}}\mathrm{PB}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(17\right)$

上述为a相线性化方程的推导过程，b相、c相相电流和触发角分别滞后于a相120°和240°，其相应的触发时间和截止时间如下表：

表1晶闸管三相触发时间和截止时间

将a、b、c三相线性化方程合写成如下矩阵形式：

$\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{abc}}(k+\frac{1}{2})=F_{\mathrm{abc}}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{abc}}\left(k\right)+G_{\mathrm{abc}}\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{dq}0}\left(k\right)---\left(18\right)$

其中：

$\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{abc}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_a\left(k\right)\\ \mathrm{\Δ}{V}_b\left(k\right)\\ \mathrm{\Δ}{V}_c\left(k\right)\end{array}\right],$ $\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{dq}0}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{I}_d\\ \mathrm{\Δ}{I}_q\\ \mathrm{\Δ}{I}_0\end{array}\right],$ $F_{\mathrm{abc}}=\left[\begin{array}{c}{F}_a,\mathrm{0,0}\\ 0,F_b,0\\ \mathrm{0,0},F_c\end{array}\right],$ $G_{\mathrm{abc}}=\left[\begin{array}{c}{G}_a\\ G_b\\ G_c\end{array}\right]$

ΔV_abc为TCSC电容电压在abc坐标系下的变化量；ΔI_dq0为TCSC线路电流在dq0坐标系下的变化量；F_abc和G_abc分别为对应ΔV_abc和ΔI_dq0的系数矩阵。

式(18)就是TCSC在采样周期为T/2(T是网络线电流的周期)时的离散系统方程。为了与电力系统其他元件和网络方程统一建模，应将上述公式中的电容电压从abc坐标系转换到dq0坐标系。经派克变换，得出在dq0坐标系下TCSC的离散系统模型为：

$\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dq}0}(k+\frac{1}{2}T)=F_{\mathrm{dq}0}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dq}0}\left(k\right)+G_{\mathrm{dq}0}\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{dq}0}\left(k\right)---\left(18\right)$

其中：

$F_{\mathrm{dq}0}=F*P_{1/2}*P_0^{-1},$ G_dq0＝P_1/2*G_abc  (19)

$P_0=P\left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\right)=\left[\begin{array}{c}0,\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\end{array}\right],$ $P_{1/2}=P\left(\frac{3\mathrm{\π}}{2}\right)=\left[\begin{array}{c}0,-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\end{array}\right]$

ΔV_dq0为TCSC电容电压在dq0坐标系下的变化量；ΔI_dq0为TCSC线路电流在dq0坐标系下的变化量；F_dq0和G_dq0分别为对应ΔV_dq0和ΔI_dq0的系数矩阵。

为了求得TCSC的连续时域模型，构造式(20)所示的连续微分方程，使其解为式(18)。

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{dq}0}=\mathrm{A\Δ}{V}_{\mathrm{dq}0}+\mathrm{B\Δ}{I}_{\mathrm{dq}0}---\left(20\right)$

其中：

e^AΔT＝F_dq0， $\left[\begin{array}{c}{S}_{11},S_{12}\\ S_{21},S_{22}\end{array}\right]=e^{\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{dq}0},I\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right]},$ $B=S_{12}^{-1}{G}_{\mathrm{dq}0},$ ΔT＝T/2(21)

T是网络线电流的周期。

式(20)给出了TCSC在dq0坐标系下的连续模型，考虑到一个对称运行的电力系统，其0轴分量为零，只须考虑dq轴分量，则得到TCSC在dq坐标系下的电压电流关系式为：

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{dq}}=\stackrel{\‾}{A}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dq}}+\stackrel{\‾}{B}\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{dq}}---\left(22\right)$

式(22)和式(20)相比较，仅是将式(20)中相关0轴的方程除去，系数矩阵

和均为二阶矩阵。

由于系统复频域方程以DQ坐标系为基准，所以将TCSC模型接入系统模型之前，应该将dq坐标系下的方程转化到DQ坐标系，如图3所示。

设D轴滞后于d轴θ角，定义转换矩阵：

$R\left(\mathrm{\θ}\right)=\left[\begin{array}{c}\cos \mathrm{\θ},\sin \mathrm{\θ}\\ -\sin \mathrm{\θ},\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]---\left(23\right)$

则两坐标系间的转换方程为：

V_dq＝R(θ)V_DQ，I_dq＝R(θ)I_DQ  (24)

在稳态下，两坐标系间的夹角稳定，在暂态下，两坐标系间的夹角为：

θ＝θ₀+Δθ(25)

相应的式(23)可以写成：

R(θ)＝R(θ₀)+R′(θ₀)Δθ(26)

其中：

$R^{\′}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)=\frac{\mathrm{dR}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)}{\mathrm{dt}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)R\left({\mathrm{\θ}}_0\right)=R\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)---\left(27\right)$

对式(24)在运行点附近线性化得：

$\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dq}}=R\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{DQ}}+R^{\′}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)V_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ},\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{dq}}=R\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{DQ}}+R^{\′}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)I_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}---\left(28\right)$

其中：

为TCSC稳态电容电压在系统DQ坐标系下的分量，

为TCSC稳态线路电流在系统DQ坐标系下的分量。

将式(28)代入到式(22)中，可得：

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{DQ}}+\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)V_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\ω}=\mathrm{A\Δ}{V}_{\mathrm{DQ}}+\mathrm{B\Δ}{I}_{\mathrm{DQ}}+A\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)V_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}+B\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)I_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}---\left(29\right)$

其中：

$A=R^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\stackrel{\‾}{A}R\left({\mathrm{\θ}}_0\right)=\stackrel{\‾}{A},B=R^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\stackrel{\‾}{B}R\left({\mathrm{\θ}}_0\right)---\left(30\right)$

Δω为角速度变化量。

由于A阵是对角矩阵，而B阵不是对角矩阵。

$A\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)A,$ $B\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)\≠\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)B$

因此式(29)右侧后半部分可写成：

$A\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)V_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}+B\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)I_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)(A{V}_{\mathrm{DQ}}^{-}+B{I}_{\mathrm{DQ}}^{-})\mathrm{\Δ\θ}+C{I}_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}$

其中：

$A{V}_{\mathrm{DQ}}^{-}+B{I}_{\mathrm{DQ}}^{-}=\frac{d{V}_{\mathrm{DQ}}^{-}}{\mathrm{dt}}=0,$ $C=B\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)B$

将式(29)中的Δω相移到等式右边，可得TCSC在系统DQ坐标系下的方程为：

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{DQ}}=\mathrm{A\Δ}{V}_{\mathrm{DQ}}+\mathrm{B\Δ}{I}_{\mathrm{DQ}}+C{I}_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}+D{V}_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\ω}---\left(32\right)$

其中：

$C=B\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\\ -\mathrm{1,0}\end{array}\right)B,$ $D=\left(\begin{array}{c}0,-1\\ \mathrm{1,0}\end{array}\right)---\left(3\right)$

ΔV_DQ为TCSC电容电压在系统DQ坐标系下的变化量；ΔI_DQ为TCSC线路电流在系统DQ坐标系下的变化量；Δθ为DQ坐标系和dq坐标系的角度差变化量；Δω为角速度变化量；

为TCSC稳态线路电流在系统DQ坐标系下的分量；

为TCSC稳态电容电压在系统DQ坐标系下的分量。

式(32)为TCSC数学方程，将其并入系统特征值方程，即可求出带TCSC的系统的特征根。

下面将结合上述理论推导，在实施例中进行清楚、完整地计算，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

工况：伊敏电厂2大机1线30％FSC+15％TCSC(提升系数1.2p.u)。

其TCSC参数：L＝0.0106H，C＝191.1773μF。令S_B＝667MVA，U_B＝550kV。可计算出：C₀＝0.0867，L₀＝2.3373×10^-5。

根据式(17)可算出：

F＝-0.2225，G_a＝[-0.0330202，0.0438252，0.0493841]。

推广到三相，可算出：

$F_{\mathrm{abc}}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{0.2225,0,0}\\ 0,-\mathrm{0.2225,0}\\ \mathrm{0,0},-0.2225\end{array}\right],$ $G_{\mathrm{abc}}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{0.0330202,0.0438252,0.0493841}\\ 0.0187486,-\mathrm{0.0685439,0.0963846}\\ 0.0187486,-\mathrm{0.0191063,0.0023836}\end{array}\right]$

根据式(19)可算出：

$F_{\mathrm{dq}0}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0.2225,0,0}\\ \mathrm{0,0.2225,0}\\ \mathrm{0,0,0.2225}\end{array}\right],$ $G_{\mathrm{dq}0}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0,0.028542812},-0.054271503\\ -\mathrm{0.034512533,0.058433533,0}\\ -\mathrm{0.0014923333,0.014608333},-0.049384100\end{array}\right]$

根据式(21)可算得：

$A=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{150.269,0,0}\\ 0,-\mathrm{150.269,0}\\ \mathrm{0,0},-150.269\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0,0.025484676},-0.048456742\\ -\mathrm{0.030814789,0.052172844,0}\\ -\mathrm{0.0013324416,0.013043166},-0.044092986\end{array}\right]$

根据式(22)可算得：

$\stackrel{\‾}{A}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{150.269,0}\\ 0,-150.269\end{array}\right],$ $\stackrel{\‾}{B}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0,0.025484676}\\ -\mathrm{0.030814789,0.052172844}\end{array}\right]$

TCSC的连续微分方程为：

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{dq}}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{150.269,0}\\ 0,-150.269\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{dq}}+\left[\begin{array}{c}\mathrm{0,0.025484676}\\ -\mathrm{0.030814789,0.052172844}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{dq}}$

通过伊敏电厂2大机1线30％FSC+15％TCSC(提升系数1.2p.u)工况下的仿真，得到冯屯侧母线电压U_S为525.76kY，伊敏侧母线电压U₂为528.53kV，伊冯线路电流0.827kA。化为标么值：U_S＝0.956，U₂＝0.961，I＝1.1814，伊冯线路阻抗标么值为X＝0.127。根据公式

可算出U_S、IX间的夹角δ＝87.419°。

可算出U₂和E_q间的阻抗标么值：

$X_2=\frac{(X_d+X_T)}{2}=\frac{2.26963+0.12168\×667/720}{2}=1.1912$

根据公式可算出E_q＝1.6116。根据公式

可算出E_q、I(X+X₂)间的夹角θ＝36.34°。

算出θ后，可算出：

$R\left({\mathrm{\θ}}_0\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0.8055,0.5926}\\ -\mathrm{0.5926,0.8055}\end{array}\right],$ $R^{-1}\left({\mathrm{\θ}}_0\right)=\left[\begin{array}{c}0.8055,-0.5926\\ \mathrm{0.5926,0.8055}\end{array}\right].$

根据式(30)，可算出：

$A=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{150.269,0}\\ 0,-150.269\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0.0209,0.025}\\ -\mathrm{0.0538,0.0313}\end{array}\right]$

根据式(33)，可算出：

$C=\left[\begin{array}{c}0.0513,-0.0104\\ -0.0104,-0.0513\end{array}\right],$ $D=\left[\begin{array}{c}0,-1\\ \mathrm{1,0}\end{array}\right]$

最终算出的TCSC线性化方程为：

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{DQ}}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{150.269,0}\\ 0,-150.269\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{DQ}}+\left[\begin{array}{c}\mathrm{0.0209,0.025}\\ -\mathrm{0.0538,0.0313}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{DQ}}+\left[\begin{array}{c}0.0513,-0.0104\\ -0.0104,-0.0513\end{array}\right]I_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}+\left[\begin{array}{c}0,-1\\ 1,0\end{array}\right]V_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\ω}$

为验证TCSC线性化数学模型的正确性，选取如下工况进行比较：

1：2大机1线48％FSC；

2：2大机1线30％FSC+15％TCSC(提升系数1.2p.u)。

上述工况2下推导的TCSC线性化模型公式为：

$\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{DQ}}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{150.269,0}\\ 0,-150.269\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{DQ}}+\left[\begin{array}{c}\mathrm{0.0209,0.025}\\ -\mathrm{0.0538,0.0313}\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{I}_{\mathrm{DQ}}+\left[\begin{array}{c}0.0513,-0.0104\\ -0.0104,-0.0513\end{array}\right]I_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\θ}+\left[\begin{array}{c}0,-1\\ 1,0\end{array}\right]V_{\mathrm{DQ}}^{-}\mathrm{\Δ\ω}$

将上述方程并入系统特征值方程，可求出上述工况下带TCSC的系统的特征根。

上述两种情况的特征根计算结果如下：

1：-0.023687+79.358i    0.084419+134.52i     -0.057040+157.58i

2：-0.0356528+79.1473i  0.0242005+134.2063i  -0.0605200+157.5641i

由以上特征根，可以推断出：

1：2大机1线48％FSC下，模态2发散，模态1和模态3收敛。

2：2大机1线30％FSC+15％TCSC下，模态2缓慢发散，模态1和模态3收敛。

上述两种工况的仿真图形如下：

(1)二期2机满载，冯大3回，伊冯1回，F48。5s在冯屯站母线发生单相接地故障，持续时间0.1s。其发电机转速差频谱分析见图4。

(2)二期2机满载，冯大3回，伊冯1回，F30+T15。5s在冯屯站母线发生单相接地故障，持续时间0.1s。其发电机转速差频谱分析见图5。

从上述频谱分析可以看出，工况1模态2发散，模态1和模态3收敛；工况2模态2缓慢发散，模态1和模态3收敛。仿真结果与数学计算得出的推论一致。

Claims (6)

1.一种建立可控串补线性化模型的方法，其特征在于，所述建立可控串补线性化模型的步骤包括：

1)列出TCSC在晶闸管导通和截止下的特性方程；

2)根据TCSC在半个周期内晶闸管导通和截止一次，列出每个阶段的TCSC电容电压方程；

3)将上述电容电压方程在运行点附近线性化，得到TCSC的a相离散方程，并推广到b、c相，得到TCSC的三相离散方程；

4)为方便与电力系统其他元件和网络方程接口，将上述三相离散方程从abc坐标系转换到dq0坐标系，得到TCSC在dq0坐标系下的离散方程；为了求得TCSC的连续时域方程，根据求解一阶微分方程组的相关理论，构造一个连续微分方程，使得该连续微分方程的解和上述离散方程一致，则用该连续微分方程代替上述离散方程，此连续微分方程即为TCSC在dq0坐标系下的连续时域数学模型；

5)由于系统复频域方程以DQ坐标系为基准，所以将TCSC模型接入系统模型之前，通过转换矩阵将dq坐标系下的TCSC连续时域方程转化到DQ坐标系，得到TCSC在DQ坐标系下的连续时域方程，将其并入系统特征值方程，即可求出带TCSC的系统的特征根。

2.根据权利要求1所述一种建立可控串补线性化模型的方法，其特征在于，所述晶闸管导通时的特性方程为：

$\stackrel{\·}{X}=\mathrm{AX}+{\mathrm{BI}}_{\mathrm{dq}0}$

其中：

$X=\left[\begin{array}{c}V\\ I_T\end{array}\right],$ $A=\left[\begin{array}{c}0,-\frac{1}{C_0}\\ \frac{1}{L_0},0\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}\frac{\cos \mathrm{\ωt}}{C_0},-\frac{\sin \mathrm{\ωt}}{C_0},\frac{1}{C_0}\\ \mathrm{0,0,0}\end{array}\right],$ $I_{\mathrm{dq}0}=\left[\begin{array}{c}{I}_d\\ I_q\\ I_0\end{array}\right]$

V为TCSC电容电压；I_T为TCSC电感电流；I_d、I_q、I₀分别为TCSC线路电流在d、q、0轴的分量；

其中，

L_*为TCSC中的电感标么值；C_*为TCSC中的电容标么值；

所述晶闸管截止时的特性方程为：

$\stackrel{\·}{y}={\mathrm{PBI}}_{\mathrm{dq}0}$

其中：

y＝V，P＝[1，0]。

3.根据权利要求2所述一种建立可控串补线性化模型的方法，其特征在于，将电容电压方程在运行点附近线性化，得到TCSC的三相离散方程为：

${\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{abc}}(k+\frac{1}{2})=F_{\mathrm{abc}}{\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{abc}}\left(k\right)+G_{\mathrm{abc}}{\mathrm{\ΔI}}_{\mathrm{dq}0}\left(k\right)$

其中：

${\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{abc}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔV}}_a\left(k\right)\\ {\mathrm{\ΔV}}_b\left(k\right)\\ {\mathrm{\ΔV}}_c\left(k\right)\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ΔI}}_{\mathrm{dq}0}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔI}}_d\\ {\mathrm{\ΔI}}_q\\ {\mathrm{\ΔI}}_0\end{array}\right],$ $F_{\mathrm{abc}}=\left[\begin{array}{c}{F}_a,\mathrm{0,0}\\ 0,F_b,0\\ \mathrm{0,0},F_c\end{array}\right],$ $G_{\mathrm{abc}}=\left[\begin{array}{c}{G}_a\\ G_b\\ G_c\end{array}\right]$

ΔV_abc为TCSC电容电压在abc坐标系下的变化量；ΔI_dq0为TCSC线路电流在dq0坐标系下的变化量；F_abc和G_abc分别为对应ΔV_abc和ΔI_dq0的系数矩阵。

4.根据权利要求3所述一种建立可控串补线性化模型的方法，其特征在于，将得到TCSC的三相离散方程从abc坐标系转换到dq0坐标系，得到TCSC在dq0坐标系下的离散方程为：

${\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{dq}0}(k+\frac{1}{2})=F_{\mathrm{dq}0}{\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{dq}0}\left(k\right)+G_{\mathrm{dq}0}{\mathrm{\ΔI}}_{\mathrm{dq}0}\left(k\right)$

其中：

$F_{\mathrm{dq}0}=F*P_{1/2}*P_0^{-1},$ G_dq0＝P_1/2*G_abc

$P_0=P\left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\right)=\left[\begin{array}{c}0,\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\end{array}\right],$ $P_{1/2}=P\left(\frac{3\mathrm{\π}}{2}\right)=\left[\begin{array}{c}0,-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3},-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\end{array}\right]$

ΔV_dq0为TCSC电容电压在dq0坐标系下的变化量；ΔI_dq0为TCSC线路电流在dq0坐标系下的变化量；F_dq0和G_dq0分别为对应ΔV_dq0和ΔI_dq0的系数矩阵； $F=\cos \left(\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{L_0{C}_0}}\right),$

σ＝t_off,1/2-t_on,1/2为晶闸管导通时间，t_on,1/2为晶闸管触发时刻，t_off,1/2为晶闸管相应的关断时刻。

5.根据权利要求4所述一种建立可控串补线性化模型的方法，其特征在于，构造一个连续微分方程，使得该连续微分方程的解和上述离散方程一致，则用该连续微分方程代替上述离散方程；此连续微分方程即为TCSC在dq0坐标系下的连续时域数学模型：

${\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{dq}0}=A_{\mathrm{dq}0}{\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{dq}0}+B_{\mathrm{dq}0}{\mathrm{\ΔI}}_{\mathrm{dq}0}$

其中

$e^A{\mathrm{dq}0}^{\mathrm{\ΔT}}=F_{\mathrm{dq}0},$ $\left[\begin{array}{cc}{S}_{11}& S_{12}\\ S_{21}& S_{22}\end{array}\right]=e^{\left[\begin{array}{cc}{F}_{\mathrm{dq}0}& I\\ 0& 0\end{array}\right]},$ $B_{\mathrm{dq}0}=S_{12}^{-1}{G}_{\mathrm{dq}0},$ ΔT＝T/2

ΔV_dq0为TCSC电容电压在dq0坐标系下的变化量；ΔI_dq0为TCSC线路电流在dq0坐标系下的变化量；Adq0和Bdq0分别为对应ΔV_dq0和ΔI_dq0的系数矩阵。

6.根据权利要求1或3所述一种建立可控串补线性化模型的方法，其特征在于，通过转换矩阵将dq坐标系下的TCSC连续时域方程转化到系统DQ坐标系，最终得到TCSC在系统DQ坐标系下的连续时域方程：

${\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{DQ}}=A_{\mathrm{DQ}}{\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{DQ}}+B_{\mathrm{DQ}}{\mathrm{\ΔI}}_{\mathrm{DQ}}+C_{\mathrm{DQ}}{\stackrel{\‾}{I}}_{\mathrm{DQ}}\mathrm{\Δ\θ}+D_{\mathrm{DQ}}{\stackrel{\‾}{V}}_{\mathrm{DQ}}\mathrm{\Δ\ω}$

ΔV_DQ为TCSC电容电压在系统DQ坐标系下的变化量；ΔI_DQ为TCSC线路电流在系统DQ坐标系下的变化量；Δθ为DQ坐标系和dq坐标系的角度差变化量；Δω为角速度变化量；

为TCSC稳态线路电流在系统DQ坐标系下的分量；为TCSC稳态电容电压在系统DQ坐标系下的分量；

其中，A_DQ为对应ΔV_DQ的系数矩阵；B_DQ为对应ΔI_DQ的系数矩阵；C_DQ为对应

的系数矩阵；D_DQ为对应

的系数矩阵。

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