CN101982822B - 空间六自由度运动系统模态建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种空间六自由度运动系统模态建模方法。将复杂的空间六自由度并联运动系统离散为若干子结构，采用子结构传递矩阵法计算其前几阶模态，获得子结构低阶模态特性，构造模态矩阵，用模态坐标变换，将物理坐标转换为模态坐标，建立各子结构模态运动二阶微分方程，去掉冗余自由度，对各子结构进行模态综合，从而建立空间六自由度并联运动系统整体的模态运动方程，得到空间对接六自由度并联运动系统模态模型，最后通过坐标变换将其转换至物理坐标下，获得其物理空间动态方程。本发明是具有超大工作空间、超长支腿运动行程系统频宽和精度要求的运动系统的模态建模方法，解决空间对接超大型运动系统的多刚体建模的局限性。

Description

空间六自由度运动系统模态建模方法

(一)技术领域

本发明涉及机械、液压和空间技术，具体说就是一种空间六自由度运动系统模态建模方法。

(二)背景技术

空间六自由度并联运动系统因其具有精度高、刚度大、承载能力强和响应快等显著优点，已经引起了广泛的理论研究和工程实际应用，如多自由度空间运动模拟、空间对接、并联机床、机器人操作器等。目前，虽然有少数学者分析和讨论了具有弹性支腿的平面机构的动态建模。但空间6-DOF并联机构的动态建模思想仍然集中于多刚体动力学建模，如Kane、Lagrange、Newton-Euler和虚功原理等。随着工作空间和系统频宽要求的提高，多刚体描述的空间6-DOF并联运动系统已经无法准确的、有效地反映系统实际动态特性。空间对接液压超大型六自由度运动系统作为空间对接地面试验模拟的重要的测试系统，为对接的各种大型装备和仪器的研制提供试验环境，可有效地缩短研制周期，节省人力和财力消耗。空间对接6-DOF并联运动系统组成包括：运动平台，上、下连接铰链，驱动支腿，基础平台和相关液压管路系统等。在液压能源系统驱动作用下，按照预先规划的路径完成轨迹跟踪复现。由于对接的特殊环境要求，运动系统要具有超大工作空间(升沉可达2.5m)、超长支腿运动行程(1.850m)、高的系统频宽(10Hz)和高的动态跟踪精度(1mm/0.2deg)等特性，基于多刚体建模方法的系统建模将导致空间6-DOF并联运动系统结构模态泄露，无法为结构的优化设计和高性能基于结构特性控制器设计提供更有价值的理论依据和方法。因此，对空间对接液压六自由度运动系统进行模态建模具有十分重要的理论和工程实际价值。

(三)发明内容

本发明的目的在于提供一种空间六自由度运动系统模态建模方法。

本发明的目的是这样实现的：首先将复杂的空间六自由度并联运动系统离散为若干子结构，采用子结构Riccati传递矩阵法计算其前几阶模态，获得子结构低阶模态特性，并构造其模态矩阵，然后用模态坐标变换，将物理坐标转换为模态坐标，建立各子结构模态运动二阶微分方程，再利用子结构间力平衡条件及协调条件去掉冗余自由度，对各子结构进行模态综合，从而建立空间六自由度并联运动系统整体的模态运动方程，得到空间对接六自由度并联运动系统模态模型，最后通过坐标变换将其转换至物理坐标下，获得其物理空间动态方程；

当机械结构刚度小于液压弹簧刚度时，对大范围工作空间要求、超长行程支腿的空间并联运动系统，其结构的最小刚度通常出现在移动支腿部分，在此情形下，长活塞杆的横向刚度成为系统最低模态频率的决定因素，故做如下假设：1)上、下平台视为刚体；2)铰视为刚性连接铰；3)液压缸筒为刚性连接件；

第一步：系统离散

将空间对接6-DOF并联运动系统划分为13个子结构，由于每条支腿都相同，故分析活塞杆、缸筒时只需要分析其中一个即可。

第二步：模态函数集(模态矩阵函数)及坐标变换

利用子结构传递矩阵法求解弹性活塞杆的x、y方向的模态函数，应用模态截断方法选择各活塞杆前r阶模态函数构建模态集φ，将活塞杆横向运动物理坐标变换为模态坐标。

式中：

为横向位移向量，6r为模态阶数；

为模态函数集；

为模态坐标。

第三步：导出子结构动态方程

6个活塞杆的运动模态方程可以表示为：

$\left[M_{\mathrm{rod}}\right]\left[\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}\right]+\left[C_{\mathrm{rod}}\right]\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\right]+\left[K_{\mathrm{rod}}\right]\left[\mathrm{\η}\right]=\left[f\right]$

式中[M_rod]为6个活塞杆的模态质量阵；[C_rod]为活塞杆模态阻尼阵；[K_rod]为活塞杆模态刚度阵；[f]为模态外力列阵，包括液压驱动力、负载作用力、支承力和自身重力。

负载的运动微分方程为：

$\left[M_p\right]\left[\stackrel{\·\·}{x}\right]+\left[C_p\right]\left[\stackrel{\·}{x}\right]+\left[G_p\right]=\left[f_p\right]$

式中

为负载质量矩阵；

为负载哥式向心力矩阵；

为重力项；

为支腿作用于上铰作用力；

惯性物理坐标系下广义位姿。

缸筒运动微分方程：

$\left[M_c\right]\left[{\stackrel{\·\·}{x}}_c\right]+\left[C_c\right]\left[{\stackrel{\·}{x}}_c\right]+\left[G_c\right]=\left[f_c\right]$

第四步：子结构综合

定义广义坐标[q]＝[η x x_c]^T，利用力平衡和协调条件，可得到空间6-DOF并联运动系统综合运动方程：

$\left[M\right]\left[\stackrel{\·\·}{q}\right]+\left[C\right]\left[\stackrel{\·}{q}\right]+\left[K\right]\left[q\right]=\left[F_a\right]$

式中[M]为综合模态质量阵，[C]为综合模态阻尼阵，[K]为综合模态刚度阵，[F_a]为综合模态力列阵；

当结构刚度远大于液压弹簧刚度或仅考虑支腿轴向刚度影响时，此时系统低阶模态频率由液压刚度决定，因此，可假设机械系统为多刚体系统，此处视其为十三刚体系统的模型，建模过程中，将系统分解为机械连接刚体和具有弹性的油液驱动部分，

第一步：建立空间并联运动系统多刚体动力学模型

$M\left(l\right)\stackrel{\·\·}{l}+C(l,\stackrel{\·}{l})\stackrel{\·}{l}+G\left(l\right)=F-B\stackrel{\·}{l}$

式中M(l)为物理空间6×6质量矩阵，

为物理空间6×6哥式/向心力矩阵，G(l)为6×1重力项，F为支腿输出作用力，B为阻尼系数，l为支腿位移；

第二步：将液压缸等效为液压弹簧

F＝-K(l+Δl)+f(t)

式中K为液压弹簧刚度，Δl为重力引起的压缩量，f(t)为液压缸输出激励；

第三步：建立空间并联运动系统二阶振动微分方程

$M\stackrel{\·\·}{l}+C\stackrel{\·}{l}+\mathrm{Kl}=f\left(t\right)$

第四步：建立空间并联运动系统模态模型

在分析空间对接超大型并联运动系统时，其阻尼C假定为比例阻尼，

取：l＝Uq

式中U为模态矩阵，则有：

$M_p\stackrel{\·\·}{q}+({\mathrm{\αM}}_p+{\mathrm{\βK}}_p)\stackrel{\·}{q}+K_{p}q=P$

式中M_p＝U^TMU为6×6模态质量阵，K_p＝U^TKU为6×6模态刚度阵，P为6×1模态力列阵。

本发明空间六自由度运动系统模态建模方法，旨在提出一种在对接的特殊环境要求，具有超大工作空间、超长支腿运动行程、高的系统频宽和精度要求的运动系统的模态建模方法，解决空间对接超大型运动系统的多刚体建模的局限性。

(四)附图说明

图1为空间对接超大型并联运动系统组成图；

图2为坐标系的定义图。

(五)具体实施方式

下面结合附图举例对本发明作进一步说明。

实施例1：本发明一种空间六自由度运动系统模态建模方法，步骤如下：首先将复杂的空间六自由度并联运动系统离散为若干子结构，采用子结构Riccati传递矩阵法计算其前几阶模态，获得子结构低阶模态特性，并构造其模态矩阵，然后用模态坐标变换，将物理坐标转换为模态坐标，建立各子结构模态运动二阶微分方程，再利用子结构间力平衡条件及协调条件去掉冗余自由度，对各子结构进行模态综合，从而建立空间六自由度并联运动系统整体的模态运动方程，得到空间对接六自由度并联运动系统模态模型，最后通过坐标变换将其转换至物理坐标下，获得其物理空间动态方程；

当机械结构刚度小于液压弹簧刚度时，对大范围工作空间要求、超长行程支腿的空间并联运动系统，其结构的最小刚度通常出现在移动支腿部分，在此情形下，长活塞杆的横向刚度成为系统最低模态频率的决定因素，故做如下假设：1)上、下平台视为刚体；2)铰视为刚性连接铰；3)缸筒为刚性连接件；

第一步：系统离散

将空间对接6-DOF并联运动系统划分为13个子结构，由于每条支腿都相同，故分析活塞杆、缸筒时只需要分析其中一个即可。

第二步：模态函数集(模态矩阵函数)及坐标变换

利用子结构传递矩阵法求解弹性活塞杆的x、y方向的模态函数，应用模态截断方法选择各活塞杆前r阶模态函数构建模态集φ，将活塞杆横向运动物理坐标变换为模态坐标。

式中：

为横向位移向量，6r为模态阶数；

为模态函数集；

为模态坐标。

第三步：导出子结构动态方程

6个活塞杆的运动模态方程可以表示为：

$\left[M_{\mathrm{rod}}\right]\left[\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}\right]+\left[C_{\mathrm{rod}}\right]\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\right]+\left[K_{\mathrm{rod}}\right]\left[\mathrm{\η}\right]=\left[f\right]$

式中[M_rod]为6个活塞杆的模态质量阵；[C_rod]为活塞杆模态阻尼阵；[K_rod]为活塞杆模态刚度阵；[f]为模态外力列阵，包括液压驱动力、负载作用力、支承力和自身重力。

负载的运动微分方程为：

$\left[M_p\right]\left[\stackrel{\·\·}{x}\right]+\left[C_p\right]\left[\stackrel{\·}{x}\right]+\left[G_p\right]=\left[f_p\right]$

式中

为负载质量矩阵；

为负载哥式向心力矩阵；

为重力项；

为支腿作用于上铰作用力；

惯性物理坐标系下广义位姿。

缸筒运动微分方程：

$\left[M_c\right]\left[{\stackrel{\·\·}{x}}_c\right]+\left[C_c\right]\left[{\stackrel{\·}{x}}_c\right]+\left[G_c\right]=\left[f_c\right]$

第四步：子结构综合

定义广义坐标[q]＝[η x x_c]^T，利用力平衡和协调条件，可得到空间6-DOF并联运动系统综合运动方程：

$\left[M\right]\left[\stackrel{\·\·}{q}\right]+\left[C\right]\left[\stackrel{\·}{q}\right]+\left[K\right]\left[q\right]=\left[F_a\right]$

式中[M]为综合模态质量阵，[C]为综合模态阻尼阵，[K]为综合模态刚度阵，[F_a]为综合模态力列阵；

当结构刚度远大于液压弹簧刚度或仅考虑支腿轴向刚度影响时，此时系统低阶模态频率由液压刚度决定，因此，可假设机械系统为多刚体系统，此处视其为十三刚体系统的模型，建模过程中，将系统分解为机械连接刚体和油液驱动部分，

第一步：建立空间并联运动系统多刚体动力学模型

$M\left(l\right)\stackrel{\·\·}{l}+C(l,\stackrel{\·}{l})\stackrel{\·}{l}+G\left(l\right)=F-B\stackrel{\·}{l}$

式中M(l)为物理空间6×6质量矩阵，

为物理空间6×6哥式/向心力矩阵，G(l)为6×1重力项，F为支腿输出作用力，B为阻尼系数，l为支腿位移；

第二步：将液压缸等效为液压弹簧

F＝-K(l+Δl)+f(t)

式中K为液压弹簧刚度，Δl为重力引起的压缩量，f(t)为液压缸输出激励；

第三步：建立空间并联运动系统二阶振动微分方程

$M\stackrel{\·\·}{l}+C\stackrel{\·}{l}+\mathrm{Kl}=f\left(t\right)$

第四步：建立空间并联运动系统模态模型

在分析空间对接超大型并联运动系统时，其阻尼C假定为比例阻尼，

取：l＝Uq

式中U为模态矩阵，则有：

$M_p\stackrel{\·\·}{q}+({\mathrm{\αM}}_p+{\mathrm{\βK}}_p)\stackrel{\·}{q}+K_{p}q=P$

式中M_p＝U^TMU为6×6模态质量阵，K_p＝U^TKU为6×6模态刚度阵，P为6×1模态力列阵。

实施例2：结合图1，图1为空间对接超大型并联运动系统组成图，图中：(1)：对接机构运动系统对接平台，(2)：驱动支腿。

空间对接机构超大型运动系统离散为带负载的运动平台和6条超长支腿。进行模态建模时，将空间对接机构运动系统的物理体坐标建立在平台和负载综合质心处，初始位置时体系与惯性系(大地坐标系)重合。根据几何学原理，可以解算出运动系统上铰点在体系下坐标阵A和下铰点在惯性系下坐标阵B，空间对接机构运动系统中位时支腿长为4m，运动行程为1.850m，升降最大位移量为2.5m。

$A=\left[\begin{array}{cccccc}1.3947& -0.5917& -0.8030& -0.8030& -0.5919& 1.3947\\ -0.1220& -1.2688& -1.1468& 1.1468& 1.2688& 0.1220\\ 0.2758& 0.2758& 0.2758& 0.2758& 0.2758& 0.2758\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cccccc}2.0493& 1.6068& -3.6561& -3.6561& 1.6068& 2.0493\\ -3.0385& -3.2940& -0.2250& 0.2250& 3.2940& 3.0385\\ 3.3670& 3.3670& 3.3670& 3.3670& 3.3670& 3.3670\end{array}\right]$

视离散后分系统为刚性连接和力传递，驱动为油液压缩传递，则结构Racci传递矩阵为单位阵。由A和B矩阵，以及3-2-1方向方向余弦矩阵计算出体现结构的雅可比矩阵；然后依据运动系统各组成部分的质量、中心惯性张量、超长运动支腿(移动部分和固定部分)惯性力及力矩到惯性系下变换矩阵求解出运动系统中位时6×6质量阵。

$M\left(l\right)=\left[\begin{array}{cccccc}789.9& 45.21& -136.2& 261& -136.2& -304.4\\ 45.21& 789.9& -304.4& -136.2& 261& -136.2\\ -136.2& -304.4& 789.9& 45.21& -136.2& 261\\ 361& -136.2& 45.21& 789.9& -304.4& -136.2\\ -136.2& 261& -136.2& -304.4& 789.9& 45.21\\ -304.4& -136.2& 261& -136.2& 45.21& 789.9\end{array}\right]$

该空间对接超大型运动系统支腿采用同一型号且具有很好一致性的液压支腿，通过油液体积弹性模量、支腿结构参数，解算出超长支腿6×6液压弹簧刚度阵K。

$K=2.994764\×{10}^7\left[\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & 1& & & & \\ & & 1& & & \\ & & & 1& & \\ & & & & 1& \\ & & & & & 1\end{array}\right]$

有了质量阵和刚度阵，采用矩阵奇异值分解计算该空间对接超大型运动系统工作中位时模态矩阵(振型矩阵)U。

$U=\left[\begin{array}{cccccc}0.5725& 0.0745& -0.4082& -0.4082& 0.5667& -0.1104\\ -0.003683& -0.5773& 0.4082& -0.4082& 0.1860& 0.5466\\ -0.2217& -0.5331& -0.4802& -0.4082& -0.3789& -0.4356\\ -0.4981& 0.2919& 0.4802& -0.4082& 0.3803& -0.4344\\ -0.3508& 0.4586& -0.4802& -0.4082& -0.1878& 0.5460\\ 0.5018& 0.2855& 0.4802& -0.4082& -0.5664& -0.1122\end{array}\right]$

由模态矩阵U可将物理坐标l转换为模态坐标

进而建立空间对接机构超大型运动系统的模态模型，为最优结构设计提供有力分析设计依据，也可用来复核和考核系统固有性能指标。最终，空间对接机构超大型运动系统工作中位模态模型的系数模态矩阵可表示为。

$\hat{M}=\left[\begin{array}{cccccc}440.8& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 440.8& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 524.8& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 524.8& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1429& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1429\end{array}\right]$

$\hat{K}=2.994764\×{10}^7\left[\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & 1& & & & \\ & & 1& & & \\ & & & 1& & \\ & & & & 1& \\ & & & & & 1\end{array}\right]$

由上述发明的空间对接机构超大型并联运动系统的模态建模方法设计计算的运动系统由支腿轴向刚度引起的最低模态频率为23.04Hz，对接机构验收试验频率辨识结果为22.9Hz。验证了该发明的可用性。

Claims (1)

1.一种空间六自由度运动系统模态建模方法，其特征在于：首先将复杂的空间六自由度并联运动系统离散为若干子结构，采用子结构Riccati传递矩阵法计算其前r阶模态，获得子结构低阶模态特性，并构造其模态矩阵，然后用模态坐标变换，将物理坐标转换为模态坐标，建立各子结构模态运动二阶微分方程，再利用子结构间力平衡条件及协调条件去掉冗余自由度，对各子结构进行模态综合，从而建立空间六自由度并联运动系统整体的模态运动方程，得到空间对接六自由度并联运动系统模态模型，最后通过坐标变换将其转换至物理坐标下，获得其物理空间动态方程；

当机械结构刚度小于液压弹簧刚度时，对大范围工作空间要求、超长行程支腿的空间并联运动系统，其结构的最小刚度通常出现在移动支腿部分，在此情形下，长活塞杆的横向刚度成为系统最低模态频率的决定因素，故做如下假设：1)上、下平台视为刚体；2)铰视为刚性连接铰；3)缸筒为刚性连接件；

第一步：系统离散

将空间对接6-DOF并联运动系统划分为13个子结构，由于每条支腿都相同，故分析活塞杆、缸筒时只需要分析其中一个即可；

第二步：模态矩阵函数及坐标变换

利用子结构Riccati传递矩阵法求解弹性活塞杆的x、y方向的模态函数，应用模态截断方法选择各活塞杆前r阶模态函数构建模态集φ，将活塞杆横向运动物理坐标变换为模态坐标；

式中：为横向位移向量，6r为模态阶数；

为模态函数集；

为模态坐标；

第三步：导出子结构动态方程

6个活塞杆的运动模态方程表示为：

$\left[M_{\mathrm{rod}}\right]\left[\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}\right]+\left[C_{\mathrm{rod}}\right]\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\right]+\left[K_{\mathrm{rod}}\right]\left[\mathrm{\η}\right]=\left[f\right]$

式中[M_rod]为6个活塞杆的模态质量阵；[C_rod]为活塞杆模态阻尼阵；[K_rod]为活塞杆模态刚度阵；[f]为模态外力列阵，包括液压驱动力、负载作用力、支承力和自身重力；

负载的运动微分方程为：

$\left[M_p\right]\left[\stackrel{\·\·}{x}\right]+\left[C_p\right]\left[\stackrel{\·}{x}\right]+\left[G_p\right]=\left[f_p\right]$

式中为负载质量矩阵；

为负载哥式向心力矩阵；

为重力项；

为支腿作用于上铰作用力；

惯性物理坐标系下广义位姿；

缸筒运动微分方程：

$\left[M_c\right]\left[{\stackrel{\·\·}{x}}_c\right]+\left[C_c\right]\left[{\stackrel{\·}{x}}_c\right]+\left[G_c\right]=\left[f_c\right]$

第四步：子结构综合

定义广义坐标[q]＝[η x x_c]^T，利用力平衡和协调条件，得到空间6-DOF并联运动系统综合运动方程：

$\left[M\right]\left[\stackrel{\·\·}{q}\right]+\left[C\right]\left[\stackrel{\·}{q}\right]+\left[K\right]\left[q\right]=\left[F_a\right]$

式中[M]为综合模态质量阵，[C]为综合模态阻尼阵，[K]为综合模态刚度阵，[F_a]为综合模态力列阵；

当结构刚度远大于液压弹簧刚度或仅考虑支腿轴向刚度影响时，此时系统低阶模态频率由液压刚度决定，因此，假设机械系统为多刚体系统，此处视其为十三刚体系统的模型，建模过程中，将系统分解为机械连接刚体和油液驱动部分，

第一步：建立空间并联运动系统多刚体动力学模型

$M\left(l\right)\stackrel{\·\·}{l}+C(l,\stackrel{\·}{l})\stackrel{\·}{l}+G\left(l\right)=F-B\stackrel{\·}{l}$

式中M(l)为物理空间6×6质量矩阵，

为物理空间6×6哥式/向心力矩阵，G(l)为6×1重力项，F为支腿输出作用力，B为阻尼系数，l为支腿位移；

第二步：将液压缸等效为液压弹簧

F＝-K(l+Δl)+f(t)

式中K为液压弹簧刚度，Δl为重力引起的压缩量，f(t)为液压缸输出激励；

第三步：建立空间并联运动系统二阶振动微分方程

$M\stackrel{\·\·}{l}+C\stackrel{\·}{l}+\mathrm{Kl}=f\left(t\right)$

第四步：建立空间并联运动系统模态模型

在分析空间对接超大型并联运动系统时，其阻尼C假定为比例阻尼，

取：l＝Uq

式中U为模态矩阵，则有：

$M_p\stackrel{\·\·}{q}+({\mathrm{\αM}}_p+{\mathrm{\βK}}_p)\stackrel{\·}{q}+K_{p}q=P$

式中M_p＝U^TMU为6×6模态质量阵，K_p＝U^TKU为6×6模态刚度阵，P为6×1模态力列阵。

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