CN101944235B - 基于分数傅立叶变换的图像压缩方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的是一种基于分数傅立叶变换的图像压缩方法。第一步，计算图像的(0.5，0)、(0，0.5)、(1，0)、(0，1)阶分数傅立叶变换；第二步，根据Wigner分布与分数傅立叶变换的关系计算所有变换阶次的分数傅立叶二阶矩；第三步，根据各二阶矩的值找到最优的变换阶数，并将图像变换到最优的分数傅立叶域，从而使图像的能量集中在尽可能少的分数傅立叶系数上；第四步，忽略所有幅值小于某一阈值的系数，并采用熵编码方法对其余的分数傅立叶系数进行编码，实现图像压缩。本发明计算速度快，采用快速离散分数傅立叶变换算法，本方法的时间复杂度仅为O(N×NlogN)；对平稳信号和非平稳的二维信号都具有较好的压缩效果。

Description

基于分数傅立叶变换的图像压缩方法

(一)技术领域

本发明涉及的是一种数据压缩方法，特别是涉及一种数字图像压缩方法。

(二)背景技术

随着计算机与数字通信技术的迅速发展，图像压缩受到了人们越来越多的关注。从本质上讲，图像压缩就是用尽可能少的代码(符号)来表示尽可能多的数据信息。现有的数字图像压缩技术可分为两大类：有损压缩和无损压缩。其中有损压缩主要包括行程长度编码、熵编码以及LZW方法；而有损压缩方法则包括色度抽样法、变换编码方法以及分形编码方法等。变换编码方法是最常用的图像压缩方法，其主要思想是使用如离散余弦变换、傅立叶变换、或者小波变换来表达图像，然后再采用一种无损编码方法实现压缩。

分数傅立叶变换是傅立叶变换的推广形式，它将信号表示为chirp信号的组合，克服了傅立叶变换将时域信息完全摒弃的缺点，通过一种简单的方式实现了信号的从纯粹时间域到纯频率域的全过程的综合描述，能够展示出信号从纯时间域到纯频率域的所有变化特征。研究表明，通过分数傅立叶变换，可以将信号表示为紧致形式，即信号的大部分能量都集中在少数几个分数傅立叶系数上，例如chirp率为2β的chirp信号，其-π/2atan(0.5×1/β)阶分数傅立叶变换为脉冲信号。

与本发明相关的公开报道有：1、C.Vijaya，Bhat，J.S.Signal compressionusing discrete fractional Fourier transform and set partitioning inhierarchical tree.Signal Processing.2006，86：1976-1983；2、I.S.Yetik，Kutay，M.A.，Ozaktas，H.M.Image representation and compression with thefractional Fourier transform.Optics Communications，2001，197：275-278等。

(三)发明内容

本发明的目的在于提供一种可以将信号表示为紧致形式的特性，实现快速数字图像压缩的基于分数傅立叶变换的图像压缩方法。

本发明的目的是这样实现的：

第一步，计算图像的(0.5，0)、(0，0.5)、(1，0)、(0，1)阶分数傅立叶变换；第二步，根据Wigner分布与分数傅立叶变换的关系计算所有变换阶次的分数傅立叶二阶矩；第三步，根据各二阶矩的值找到最优的变换阶数，并将图像变换到最优的分数傅立叶域，从而使图像的能量集中在尽可能少的分数傅立叶系数上；第四步，忽略所有幅值小于某一阈值的系数，并采用熵编码方法对其余的分数傅立叶系数进行编码，实现图像压缩。

本发明的有益效果是，1)计算速度快，采用快速离散分数傅立叶变换算法，本方法的时间复杂度仅为O(N×NlogN)；2)对平稳信号和非平稳的二维信号都具有较好的压缩效果。

(四)具体实施方式

下面举例对本发明做更详细地描述：

设I(m，n)为N×N输入图像，a，b为行、列两个方向的分数傅立叶变换阶数，并且0≤a，b≤1，Δa、Δb分别为a、b的增量。I_a，b(m，n)为I(m，n)的(a，b)阶分数傅立叶变换，w^r _a，b和w^c _a，b为I_a，b(m，n)的行向和列向二阶矩。

本发明所提出的图像压缩算法具体实现步骤如下：

步骤1，利用快速离散分数傅立叶变换算法计算I_0.5，0(m，n)、I_0，0.5(m，n)、I_1，0(m，n)、I_0，1(m，n)。

步骤2，根据式(1)计算w^r _0，0，w^r _0.5，0和w^r _1，0，根据式(2)计算w^c _0，0，w^c _0，0.5和w^c _0，1

$w_{a,b}^r=\frac{1}{E}{\mathrm{\Σ}}_{m=0}^{N-1}{\mathrm{\Σ}}_{n=0}^{N-1}{\left|I_{a,b}(m,n)\right|}^2{m}^2---\left(1\right)$

$w_{a,b}^c=\frac{1}{E}{\mathrm{\Σ}}_{m=0}^{N-1}{\mathrm{\Σ}}_{n=0}^{N-1}{\left|I_{a,b}(m,n)\right|}^2{n}^2---\left(2\right)$

其中，

为图像的总能量。

步骤3，分别令a＝0，Δa，2Δa，…，1，b＝0，Δb，2Δb，…，1，根据式(3)、(4)分别计算w^r _a，b和w^c _a，b。

$w_{a,b}^r=c_1{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{a\π}}{2}\right)+2c_2\cos \left(\frac{\mathrm{a\π}}{2}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{a\π}}{2}\right)+c_3{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{a\π}}{2}\right)---\left(3\right)$

$w_{a,b}^c=c_4{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{b\π}}{2}\right)+2c_5\cos \left(\frac{\mathrm{b\π}}{2}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{b\π}}{2}\right)+c_6{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{b\π}}{2}\right)---\left(4\right)$

其中，系数c₁＝w^r _0，0，c₂＝w^r _0.5，0-0.5(w^r _0，0+w^r _1，0)，c₃＝w^r _1，0，c₄＝w^c _0，0，c₅＝w^c _0，0.5-0.5(w^c _0，0+w^c _0，1)，c₆＝w^c _0，1

步骤4，令目标函数为

$J={w^r}_{a,b}\×{w^c}_{a,b}---\left(5\right)$

计算使J取最小值的变换阶数(a′，b′)。

步骤5，利用快速离散分数傅立叶变换算法计算I_a′，b′(m，n)。

步骤6，若|I_a′，b′(m，n)|＜0.2max(|I_a′，b′(m，n)|)则令I_a′，b′(m，n)＝0，其中max为取最大值函数。

步骤7，将步骤6计算得到的I_a′，b′(m，n)用最大熵方法编码，实现图像压缩。

Claims (1)

1.一种基于分数傅立叶变换的图像压缩方法，其特征是其具体步骤为：

第一步，计算图像的(0.5，0)、(0，0.5)、(1，0)、(0，1)阶分数傅立叶变换，具体为：利用快速离散分数傅立叶变换算法计算I_0.5，0(m，n)、I_0，0.5(m，n)、I_{1， 0}(m，n)、I_0，1(m，n)；

第二步，根据Wigner分布与分数傅立叶变换的关系计算变换阶次的分数傅立叶二阶矩，具体为：根据式 $w_{a,b}^r=\frac{1}{E}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|I_{a,b}(m,n)\right|}^2{m}^2$ 计算w^r _0，0，w^r _0.5，0和w^r _1，0，根据式 $w_{a,b}^c=\frac{1}{E}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|I_{a,b}(m,n)\right|}^2{n}^2$ 计算w^c _0，0，w^c _0，0.5和w^c _0，1，

其中， $E=\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|I_{a,b}(m,n)\right|}^2$ 为图像的总能量；

第三步，根据各二阶矩的值找到最优的变换阶数，并将图像变换到最优的分数傅立叶域，从而使图像的能量集中在尽可能少的分数傅立叶系数上，具体为：

分别令a＝0，Δa，2Δa，...，1，b＝0，Δb，2Δb，...，1，根据式

$w_{a,b}^r=c_1{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{a\π}}{2}\right)+{2c}_2\cos \left(\frac{\mathrm{a\π}}{2}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{a\π}}{2}\right)+c_3{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{a\π}}{2}\right)$

$w_{a,b}^c=c_4{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{b\π}}{2}\right)+{2c}_5\cos \left(\frac{\mathrm{b\π}}{2}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{b\π}}{2}\right)+c_6{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{b\π}}{2}\right)$ 分别计算w^r _a，b和w^c _{a， b}，

其中，系数c₁＝w^r _0，0，c₂＝w^r _0.5，0-0.5(w^r _0，0+w^r _1，0)，c₃＝w^r _1，0，c₄＝w^c _0，0，c₅＝w^c _0，0.5-0.5(w^c _0，0+w^c _0，1)，c₆＝w^c _0，1；

令目标函数为

J＝w^r _a，b×w^c _a，b

计算使J取最小值的变换阶数(a′，b′)；

利用快速离散分数傅立叶变换算法计算I_a′，b′(m，n)；

第四步，忽略所有幅值小于某一阈值的系数，并采用熵编码方法对其余的分数傅立叶系数进行编码，实现图像压缩，具体为：

令第三步计算得到的I_a′，b′(m，n)中所有幅值小于某一阈值的元素值为0；

将I_a′，b′(m，n)用最大熵方法编码，实现图像压缩；

上述步骤中，I(m，n)为N×N输入图像，a，b为行、列两个方向的分数傅立叶变换阶数，并且0≤a，b≤1，Δa、Δb分别为a、b的增量；I_a，b(m，n)为I(m，n)的(a，b)阶分数傅立叶变换，w^r _a，b和w^c _a，b为I_a，b(m，n)的行向和列向二阶矩。