CN101853483B - 一种基于数学建模的抗打印扫描水印方法 - Google Patents

Abstract

一种基于数学建模的抗打印扫描水印算法，包括对像素失真的数学建模与校正、水印嵌入和水印检测。像素失真的数学建模与校正是对图像在打印扫描过程中要经受数字半色调、点增益、伽马校正和量化等环节带来的像素失真进行数学建模，并在数学模型基础上进行像素失真校正，以提高水印检测准确率。水印嵌入是在数学建模的基础上进行分析，确定合适的嵌入域，进一步考察在嵌入域中不同位置的嵌入水印对于水印算法的鲁棒性、容量和图像的保真度的影响，确定水印合理的嵌入位置。水印检测是根据数学建模分析获得的图像打印扫描前后嵌入域变化的模型曲线，对待检测的图像进行校正后再提取水印。本发明通过建立数学模型对打印扫描过程给图像带来的像素失真进行校正，通过大量实验数据来拟合模型曲线，利用得到的模型曲线对打印扫描后的图像进行校正，对校正后的图像进行水印检测，可有效提高水印检测的准确率；结合像素失真建模校正提出基于DWT和DFT的抗打印扫描数字图像水印新算法，新算法在图像的小波逼近子图上进行像素失真建模校正，并在图像小波逼近子图的DFT变换域嵌入和检测水印，获得了对打印扫描过程的较好鲁棒性。

Description

一种基于数学建模的抗打印扫描水印方法

技术领域

本发明涉及一种多媒体数字水印嵌入和检测方法，特别涉及一种基于数学建模的抗打印扫描水印方法。

背景技术

现代数字多媒体技术的发展使人们可以轻易地实现多媒体数据的“无缝”修改；而互联网的发达又使得人们可以方便地传播和获取各类多媒体数据，使数字产品的侵权和内容篡改行为变得难以防范。因此，如何对信息进行有效认证和完整性保护是一个迫切需要解决的技术问题。为了确保多媒体数据的可信度，一种通过验证数据信息的完整性、数据来源的可靠性以及数据的真实性来保护多媒体数据的技术——多媒体认证技术应运而生。虽然多媒体认证技术根源于密码学领域的文本信息认证技术，但是近年来却发展成了一个独立的新领域。数字水印是用来进行多媒体内容认证的主要方法之一，抗打印扫描水印就是数字水印中的一种。其在纸质印刷品中嵌入人眼看不见的水印信息，将某些标识隐藏在印刷图像中，以解决印刷品的版权保护、来源认证和防止伪造。

图像在打印扫描过程中要经过的处理有D/A、A/D转换，伽马校正，同时一般还会有不同程度的几何失真，以上这些因素对图像的影响主要体现在两个方面，即像素失真和几何失真。现有的研究中也基本上都是从这两点出发进行算法设计和验证。

数字水印的抗打印扫描问题最早由Lin和Chang(参见C.Y.Lin andS.F.Chang，″Distortion modeling and invariant extraction for digital imageprint-and-scan process″，Int.Symp.Multimedia Information Processing Dec.1999.)提出，他们使用傅立叶—梅林变换的方法来嵌入水印。图像的傅立叶—梅林变换具有几何不变的性质，常被应用于抗几何变换的水印算法，但其缺点是由于存在对数变换，给嵌水印图像带来了较大的失真。随后，Lefebvre(参见Lefebvre F，Gueluy A，Delannay D，Macq B.″A printand scan optimized watermarking scheme.In：Dugelay″J-L，Rose K，ed.Proc IEEE FourthWorkshop on Multimedia Signal Processing.Piscataway：IEEE，pp.511-516，2001.)提出了在傅立叶傅立叶变换域的幅值谱嵌入环状的模板水印用来抵抗几何变换，水印采用冗余的方式嵌入到空域，可以抵抗一定程度的剪切变换，该算法缺点在于，在空域嵌入的水印对几何变换和像素失真鲁棒性较差，如果模板水印不能精确定位几何变换的参数，水印将没有办法检测出来。Solanki(参见Kaushal Solanki，Upamanyu Madhow，B.S.Manjunath，ShivChandrasekaran，and Ibrahim El-Khalil，″‘Print and Scan’Resilient Data Hiding inImages″，IEEE Transactions on Information Forensics andSecurity，vol.1，no.4，pp.464-478，Dec.2006.)分析了打印扫描过程对图像空域的影响以及对傅立叶变换域的影响，提出了在傅立叶变换的低频幅值谱和相位谱中嵌入水印的方法。图像的傅立叶变换具有平移不变的特性，但是由于傅立叶变换无法抵抗旋转和缩放，因此往往需要采取其他的方法来保证水印的同步，比如嵌入模板水印，或者如Solanki等利用图像打印过程中由于半色调处理而产生的频域峰值来定位旋转角度来保证水印同步。Rosa(参见F.Rosa，J.Borlab，F.Leclercb R.Harbab N.Launaya，″An Industrial Watermnarking Processfor Plastic Card Supports″，2006 IEEE International Conference on IndustrialTechnology，pp.2809-2814，2006.)针对应用在塑料卡片上的抗打印扫描水印，设计了一种基于DFT变换的水印算法，其通过严格的机械控制解决同步问题，这样大大简化了水印的嵌入和检测过程，算法时间复杂度低。但该算法要求严格的机械操作控制，这一点较难做到，算法只能够容忍较小的操作误差。

另外还有基于图像DCT变换的方法。牛少彰(参见牛少彰，伍宏涛，谢正程，刘歆，杨义先.抗打印扫描数字水印算法的鲁棒性.中山大学学报(自然科学版)，2004，(43)：1-4)等分析了打印扫描对图像DCT系数的影响，针对其特点，对DCT变换后的系数按照它们的位置进行了特殊的分类，通过每一类中正负号的数量来表达水印信息，增强了算法的鲁棒性。该方法的优点是对打印扫描过程中的像素失真较为鲁棒，但对几何变换鲁棒性较差。Cheng(参见Daofang Cheng，Xiaolong Li，Wenfa Qi，Bin Yang，″A Statistics-BasedWatermarking SchemeRobust to Print-and-Scan″，2008 International Symposium on Electronic Commerce andSecurity(ISECS)，pp.894-898，2008.)等分析认为一幅普通的图像DCT系数的均值(Mean ofDCT coefficients，MDC)接近于0，并且MDC对于打印和扫描是鲁棒的，由此提出了通过修改MDC的正负极性嵌入水印的算法。

图像的打印过程一般都要进行半色调处理，Yu(参见Longjiang Yu，Xiamu Niu，ShengheSun，″Print-and-scan model and the watermarking countermeasure″，Image and VisionComputing 23.(2005)807-814，2005.)等对其进行了建模，并提出了包含对图像半色调处理进行补偿的抗打印扫描水印算法，该算法在空间域嵌入水印，并使用边缘提取来抵抗几何失真，较好的校正打印扫描过程中引起的小角度旋转，有效地提高了水印信号的检测相关值。Xu(参见Hongping Xu，Xiaoxia Wan，″Watermarking Algorithm for Print-scan Based on HVSand Multiscale Error Diffusion″，2008 International Conference on Computer Scienceand Software Engineering，pp.245-248，2008.)提出一种基于人眼视觉系统(Human VisualSystem，HVS)和多分辨率误差扩散的抗打印扫描算法，该算法同样在半色调图像中嵌入水印信息，基于HVS使得算法获得了较高的图像保真度，同时，该算法容量也比较大，可以达到几百个比特，但与前面算法一样，基本没有考虑几何变换，因此，在存在较大几何变换的场合不适用。

此外，还有一些其他算法，如Anthony T.S.Ho(参见A.T.S.Ho，F.Shu，″A print-and-scanresilient digital watermark for card authentication，in：Proceedings of InternationalConference on Information″，Communications and SignalProcessing，vol.2，pp.1149-1152，2003.)等提出了一种基于Hadamard变换系数的极性嵌入水印的方法。Anja Keskinarkaus(参见Anja Keskinarkaus，Anu Pramila，Tapioand Jaakko Sauvola，″Wavelet Domain Print-Scan and JPEG Resilient DataHiding Method″，Proceedings of the 6th International Workshop on DigitalWatermarking，pp.82-95，2006.)提出的抗打印扫描数字水印算法使用了小波变换，在图像的小波变换细节系数中嵌入水印来抵抗打印扫描所造成的像素失真，使用基于傅立叶变换的同步水印来检测图像出现的旋转和缩放，并嵌入了两组相互垂直的平行直线组作为同步水印来检测图像的平移量，通过以上两组模板水印的组合来抵抗几何变换。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于数学建模的抗打印扫描水印方法，该方法使用数学建模对图像进行校正，减少像素失真对水印检测的影响；并对小强度的几何失真具有鲁棒性；另外，考虑嵌入域特征和嵌入容量选择合适的嵌入域和嵌入方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种基于数学建模的抗打印扫描水印算法，包括对像素失真的数学建模与校正、水印嵌入和水印检测三大部分。像素失真的数学建模与校正是对图像在打印扫描过程中要经受数字半色调、点增益、伽马校正和量化等环节带来的像素失真进行数学建模，并在数学模型基础上进行像素失真校正，以提高水印检测准确率。水印嵌入是在数学建模的基础上进行分析，确定合适的嵌入域，进一步考察在嵌入域中不同位置的嵌入水印对于水印算法的鲁棒性、容量和图像的保真度的影响，确定水印合理的嵌入位置。水印检测是根据数学建模分析获得的图像打印扫描前后嵌入域变化的模型曲线，对待检测的图像进行校正后再提取水印。

对像素失真的数学建模过程如下：

a.分析打印扫描过程图像经受的主要失真；

b.分析像素失真在图像空域的统计特性；

c.分析打印扫描前后图像小波变换逼近子图的变化；

d.基于图像小波变换逼近子图的建模与校正；

水印的嵌入过程如下：

(1)水印嵌入域的选择

经过建模与校正，打印扫描前后图像的小波逼近子图的失真得到了较好的补偿，因此将水印信息嵌入在图像的小波逼近子图的DFT幅值谱中，则打印扫描给水印信息带来的失真也就能够得到较好的补偿。

(2)水印嵌入

a.将原始图像A做3级小波变换，得到其逼近子图A_L3，和高频子图A_H3，A_V3，A_D3，A_H2，A_V2，A_D2，A_H1，A_V1，A_D1；

b.将A_L3做DFT变换得到其幅值谱A_F＝|DFT(A_L3)|和相位谱A_φ；

c.将水印信号w使用单极性抖动调制方法嵌入到A_F中，得到含有水印信息的幅值谱A_F2；

d.由A_F2和A_φ做反向DFT变换得到含有水印信息的逼近子图A₂；

e.根据A₂和A_H3，A_V3，A_D3，A_H2，A_V2，A_D2，A_H1，A_V1，A_D1，做反向离散小波变换，得到含有水印信息的图像A₃。

水印的检测过程如下：

a.将扫描所得图像B做几何校正，得到图像C；

b.将图像C做3级小波变换，得到其逼近子图C_L3；

c.根据数学建模所得到的三次拟合曲线，对C_L3进行校正，得到C_L4；

d.将C_L4做DFT变换，得到其幅值谱C_F4；

e.在C_F4中检测水印信号；

本发明与现有技术相比所具有的优点是：

(1)本发明所述的基于数学建模的抗打印扫描水印方法，将打印扫描过程给图像带来的像素失真和几何失真分开处理，像素失真通过数学建模进行校正，而几何失真通过融合图像特征进行校正，减小它们对水印检测的影响。

(2)本发明所述的基于数学建模的抗打印扫描水印方法，通过建立数学模型对打印扫描过程给图像带来的像素失真进行校正。通过大量实验数据来拟合模型曲线，利用得到的模型曲线对打印扫描后的图像进行校正，对校正后的图像进行水印检测，可有效提高水印检测的准确率。

(3)本发明所述的基于数学建模的抗打印扫描水印方法，结合像素失真建模校正提出基于DWT和DFT的抗打印扫描数字图像水印新算法，新算法在图像的小波逼近子图上进行像素失真建模校正，并在图像小波逼近子图的DFT变换域嵌入和检测水印，获得了对打印扫描过程较好的鲁棒性。

(4)数学建模采用了三次曲线，根据曲线理论，三次曲线较好的拟合了打印扫描前后图像小波变换逼近子图变化呈现的良好“S”型分布，进而尽可能的纠正失真。

(5)在数学建模的基础上，参考数学模型，确定了小波逼近子图DFT变换的幅值谱为嵌入域，因而具有更好的鲁棒性；另外由于采用了单极性抖动调制的嵌入方法，本方法具有大容量和盲检测的特性。

附图说明

图1为本发明方法整体框架结构图；

图2为本发明中的打印扫描过程中图像经受的主要失真示意图；

图3为本发明中的打印扫描前后Couple图像像素值的匹配图示意图；

图4为本发明中的打印扫描前后Couple图像DFT幅值谱值的匹配图示意图；

图5为本发明中的打印扫描前后图像小波变换逼近子图的匹配示意图；

图6为本发明中的打印扫描过程中图像的小波逼近子图变化拟合曲线示意图；

图7为本发明中的图像旋转时像素的移动距离示意图；

图8为本发明中的原始图像小波逼近子图和校正后小波逼近子图的匹配示意图；

图9为本发明中的水印嵌入过程示意图；

图10为本发明中的水印检测过程示意图。

具体实施方式

本发明的基于数学建模的抗打印扫描水印方法的整体框架图如图1所示。整体流程包括对像素失真的数学建模与校正、水印嵌入和水印检测三大部分。

一、图像打印扫描过程像素失真的数学建模与校正

本部分的研究路线为：首先分析打印机和扫描仪的工作机制，在此基础上通过实验分析打印扫描过程图像像素失真在空域和变换域的统计特性，建立像素失真的数学模型，利用模型对像素失真进行校正，减小像素失真对水印检测的影响。

(1)打印扫描过程图像经受的主要失真

如图2所示，在打印扫描过程中，图像经受的主要失真包含了伽马校正、点增益、半色调处理、量化噪声、高斯低通滤波效应等带来的像素失真以及机械操作和人工操作带来的几何失真。我们通过实验分析打印扫描前后图像像素失真在空域和变换域的统计特性。在实验中，通过严格的操作控制，并对扫描之后的图像进行人工几何校正，尽可能消除几何失真对像素失真分析的影响。

(2)像素失真在图像空域的统计特性分析

以标准测试图像Couple(512×512)为例，实验使用包含打印和扫描功能的Hp psc 1218多功能机。实验通过对原始图像和打印扫描后的图像差值的绝对值的分析，可以知道，打印扫描过程带来的失真包含几何失真和像素失真。几何失真主要表现在图像中明亮的线条，这是由于图中几何失真带来的图像错位引起的，尽管错位很小。

为了更好的体现像素失真在空域的统计特性，我们给出了打印扫描前后Couple图像像素值的匹配图，如图3所示。用A(x，y)表示图3中的任一点，其中x表示原始图像中(m，n)，1≤m≤M，1≤n≤N的像素值，y表示打印扫描之后图像中对应点的像素值。如果不存在任何失真，图3中的点应落在直线y＝x上。因为图3不含像素位置信息，所以图3主要体现了打印前后像素的失真。可以看出，点的分布总体表现为一个“S”的形状，这说明图像的噪声除了无规则的随机噪声外，还有规则的系统噪声。如果能够去除随机噪声的影响，并且估计出系统噪声，对系统噪声进行校正，则有助于抗打印扫描图像水印算法性能的提高。

(3)打印扫描前后图像DFT幅值谱值的变化

图4是打印扫描前后Couple图像DFT幅值谱的匹配图，用M(x，y)表示图4中的任一点，其中x表示原始图像的幅值谱中(m，n)，1≤m≤M，1≤n≤N的值，y表示打印扫描之后图像的DFT幅值谱中对应点的值。当打印扫描过程中不存在任何失真时，图4中的点应落在直线y＝x上。而从图4可以看出，点的分布呈现“扫帚”形状。因此，图像DFT幅值谱不适合用来对像素失真进行建模与校正。

(4)打印扫描前后图像小波变换逼近子图的变化

打印扫描后的图像包含高频和低频噪声，其中高频噪声是随机的，而低频噪声通常是系统噪声。由于小波变换可以很好的把图像的高频部分和低频部分分离开来，因此我们使用图像的离散小波变换来研究图像在打印扫描过程中发生的变化。通过小波变换将图像分解为高频细节子图和低频逼近子图，那么高频噪声将存在于图像的高频细节子图中，而低频噪声将被保留在图像的低频逼近子图中，可以通过研究图像小波变换逼近子图的变化来分析打印扫描过程中图像低频分量的变化。为了能够更好的减小高频噪声的影响，共对图像做了3级小波变换，得到的子图像为原始图像1/64大小的低频逼近子图。

实验通过对原始图像的小波逼近子图与打印扫描图像的小波逼近子图的分析，得出小波逼近子图在打印扫描过程中的变化。实验表明，打印扫描过程中，总体上图像的小波逼近子图保存较好；另外图像小波逼近子图有整体上的变化，总体上，原始图像亮度大的点其变化的幅度也较大，原始图像的小波逼近子图与打印扫描图像的小波逼近子图差值的绝对值反映了打印扫描过程的低频噪声。

图5为打印扫描前后图像小波逼近子图的匹配图。从图5可以看出，图像逼近子图整体的变化呈现较规则的“S”型的曲线分布，与图3比较，图5中点的分布更加集中，说明相对于整个图像像素值所发生的变化而言，图像低频分量的变化更加有规律。

(5)基于图像小波变换逼近子图的建模与校正

由于打印扫描前后图像小波变换逼近子图的变化呈现良好的“S”型分布，因此可以通过曲线拟合来确定图像小波变换逼近子图的变化模型。根据曲线拟合理论，三次曲线

Y＝AX³+BX²+CX+D                                    (1)

可以很好的对“S”型分布做拟合。公式(1)中，Y表示打印扫描之前图像小波低频逼近子图上某点的值，X表示打印扫描之后小波低频逼近子图上对应点的值，A、B、C、D分别表示曲线函数的三次项、二次项、一次项系数和常数项。我们使用8幅标准测试图像做了4组实验，得到四条拟合曲线Y₁、Y₂、Y₃、Y₄，如图6所示，它们吻合的很好，说明拟合曲线是稳定的，重复性很好。这样可以利用拟合得到的曲线对打印扫描后图像小波逼近子图进行校正。

需要指出的是，为了避免求反函数，拟合曲线时自变量X选择打印扫描之后图像的小波低频逼近子图系数，因变量Y是原始图像的小波变换逼近子图系数。

利用拟合曲线模型，用打印扫描之后图像的小波逼近子图作为输入，可以估计出原始图像的小波变换逼近子图，亦可对打印扫描后图像的小波逼近子图进行校正。图8为原始图像小波逼近子图和校正后小波逼近子图的匹配图，与图6比较，其更加接近沿直线y＝x的分布。

二、水印嵌入

在打印扫描图像的像素失真数学建模与校正研究基础上，我们首先选择水印合适的嵌入域，水印嵌入域的选择是根据模型进行分析，选择打印扫描前后图像的小波逼近子图失真得到比较好补偿的域，即小波逼近子图的DFT变换的幅值谱，然后提出一种基于图像DWT-DFT变换的抗打印扫描图像水印算法，进行水印的嵌入。

(1)水印嵌入域的选择

经过建模与校正，打印扫描前后图像的小波逼近子图的失真得到了较好的补偿。那么如果将水印信息嵌入在图像的小波逼近子图中，则打印扫描给水印信息带来的失真也就能够得到较好的补偿。实际上，我们将水印信息嵌入到图像小波变换逼近子图的DFT幅值谱中，这样做的好处有：首先，小波逼近子图与空域图像类似，图像的DFT变换域系数具有良好的几何变换性质，使得基于图像DFT变换的水印算法具有较好的几何变换鲁棒性；其次，在DFT幅值谱中嵌入水印信号，可以将水印的能量更均匀的分布在整个图像之上，可以获得更好的不可见性与图像保真度。我们对提出的基于DWT-DFT变换的抗打印扫描图像水印算法的几何变换鲁棒性分析如下。

首先，由于选择在图像小波逼近子图的DFT幅值谱中嵌入水印，DFT幅值谱具有平移无关性，因此算法可以抵抗平移变换。其次，当图像发生旋转时，像素A移动的距离D与该点距旋转中心的距离R成正比，即(如图7)

$D=2R\sin \left(\frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)---\left(2\right)$

其中θ表示旋转的角度，因此越靠近旋转中心的点，旋转的距离越小，越远离旋转中心的点，旋转的距离越大。图像的3级小波逼近子图的大小为原始图像的1/64，当图像旋转角度不大时，小波逼近子图的DFT幅值谱中的点移位的距离可以忽略不计，因此算法具有一定的抗旋转变换能力。

(2)水印嵌入

水印的嵌入过程是：首先读入原始图像，并进行小波变换，得到其低频子图与高频子图，保存高频子图，把低频子图再进行DFT变换，取其幅值谱，读入水印信号，选择量化索引调制嵌入方法进行水印嵌入，因为与其他水印嵌入方法比较，量化索引调制同时具有大容量与盲检测特性，另外，在图像小波逼近子图的DFT幅值谱中嵌入水印，由于待嵌入系数全为正实数，因此我们选择单极性抖动调制的嵌入方法，接着把含有水印的幅值谱进行反向的DFT变换得到含有水印信号的低频子图，再结合保存下来的高频子图合成含有水印信号的图像。如图9所示，水印的详细嵌入过程描述如下。

a.将原始图像A做3级小波变换，得到其逼近子图A_L3，和高频子图A_H3，A_V3，A_D3，A_H2，A_V2，A_D2，A_H1，A_V1，A_D1，并将高频部分保存；

b.将A_L3做DFT变换得到其幅值谱A_F＝|DFT(A_L3)|和相位谱A_φ，读入水印信号，准备嵌入；

c.将水印信号w使用单极性抖动调制方法嵌入到A_F中，得到含有水印信息的幅值谱A_F2；

d.由A_F2和A_φ做反向DFT变换得到含有水印信息的逼近子图A₂；

e.根据A₂和A_H3，A_V3，A_D3，A_H2，A_V2，A_D2，A_H1，A_V1，A_D1，做反向离散小波变换，得到含有水印信息的图像A₃。

三、水印检测

水印检测是与水印的嵌入过程相对应的部分，水印检测的过程为：首先对含有水印信号的图像进行几何校正，得到待检测的图像，然后对其进行小波变换，取其低频子图，然后根据所建的模型进行校正，得到校正后的低频子图，最后对其进行DFT变换获得水印信号。如图10所示，水印的详细检测过程描述如下。

a.将扫描所得图像B做几何校正，得到图像C；

b.将图像C做3级小波变换，得到其逼近子图C_L3；

c.根据数学建模所得到的拟合曲线，对C_L3进行校正，得到C_L4；

d.将C_L4做DFT变换，得到其幅值谱C_F4；

e.在C_F4中检测水印信号。

综上所述，本发明结合像素失真建模校正提出基于DWT和DFT的抗打印扫描水印新算法，新算法在图像的小波逼近子图上进行像素失真建模校正，并在图像小波逼近子图的DFT变换域嵌入和检测水印，获得了对打印扫描过程较好的鲁棒性。

Claims (1)

1.一种基于数学建模的抗打印扫描水印方法，其特征在于：包括对像素失真的数学建模与校正、水印嵌入和水印检测三大部分；对像素失真的数学建模与校正是对图像在打印扫描过程中要经受数字半色调、点增益、伽马校正和量化环节带来的像素失真进行数学建模，并在数学模型基础上进行像素失真校正，以提高水印检测准确率；水印嵌入是在数学建模的基础上进行分析，确定合适的嵌入域，进一步考察在嵌入域中不同位置的嵌入水印对于水印算法的鲁棒性、容量和图像的保真度的影响，确定水印合理的嵌入位置；水印检测是根据数学建模分析获得的图像打印扫描前后嵌入域变化的模型曲线，对待检测的图像进行校正后再提取水印；

对像素失真的数学建模与校正过程如下：

i.分析打印扫描过程图像经受的主要失真；

ii.分析像素失真在图像空域的统计特性；

iii.分析打印扫描前后图像小波变换逼近子图的变化；

iv.基于图像小波变换逼近子图的建模与校正；

水印的嵌入过程如下：

i.将原始图像A做3级小波变换，得到其逼近子图A_L3，和高频子图A_H3，A_V3，A_D3，A_H2，A_V2，A_D2，A_H1，A_V1，A_D1；

ii.将A_L3做DFT变换得到其幅值谱A_F＝|DFT(A_L3)|和相位谱A_φ；

iii.将水印信号w使用单极性抖动调制方法嵌入到A_F中，得到含有水印信息的幅值谱A_F2；

iv.由A_F2和A_φ做反向DFT变换得到含有水印信息的逼近子图A₂；

v.根据A₂和A_H3，A_V3，A_D3，A_H2，A_V2，A_D2，A_H1，A_V1，A_D1，做反向离散小波变换，得到含有水印信息的图像A₃；

水印的检测过程如下：

i.将扫描所得图像B做几何校正，得到图像C；

ii.将图像C做3级小波变换，得到其逼近子图C_L3；

iii.根据数学建模所得到的拟合曲线，对C_L3进行校正，得到C_L4；

iv.将C_L4做DFT变换，得到其幅值谱C_F4；

v.在C_F4中检测水印信号；

其中，数学建模采用了三次曲线，较好的拟合了打印扫描前后图像小波变换逼近子图变化呈现的良好“S”型分布，进而较好的纠正失真；根据曲线拟合理论，三次曲线

Y＝aX³+bX²+cX+d    (1)

对“S”型分布做拟合；公式(1)中，Y表示打印扫描之前图像小波低频逼近子图上某点的值，X表示打印扫描之后小波低频逼近子图上对应点的值，a、b、c、d分别表示曲线函数的三次项、二次项、一次项系数和常数项；

在水印嵌入前，参考建立的数学模型，确定水印嵌入选择在小波变换逼近子图DFT变换的幅值谱。

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