CN101807290B - 二维卡通角色形变方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种二维卡通角色形变方法。包括如下步骤：1)首先输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，根据驱动点的目标坐标，通过缩放获取总差异最小的过渡面片集合；2)基于步骤1)的过渡面片集合，将原面片的三角形面片与之一一对应，并通过旋转和平移获得各个面片差异最小的适配面片集合；3)基于步骤2)的适配面片集合，通过对每个面片进行三边不等值缩放获取总差异最小的目标面片集合。本发明通过将面片变形过程分割为三阶段二次闭包的计算过程，提高了二维卡通角色变形的准确性和效率，避免了传统方法的低效率和不精确，实现了人体角色动画生成过程中对于二维卡通角色变形的精度和效率要求。

Description

二维卡通角色形变方法

技术领域

本发明涉及计算机动画和计算机图形学的综合领域，尤其涉及一种二维卡通角色形变方法。

背景技术

随着计算机动画和计算机图形学在工业和娱乐领域内的大量应用，基于三角形面片网格的二维卡通角色形变方法成为了一个重要的研究热点。尽管目前关于这个技术的研究还是处于初级的阶段，但是已经有很多比较有效的方法。

目前的二维形变方法主要分为了两类：一种是通过变形目标形状所嵌套的空间来获得；一种是将形状的结构加以考虑来进行变形。1996年在会议SIGGRAPH上发表的论文《Free-form Deformations with Lattices of ArbitraryTopology》和2000年在会议SIGGRAPH上发表的论文《Pose Space Deformations：A Unified Approach to Shape Interpolation and Skeleton-driven Deformation》属于第一类。这两篇论文利用了骨架、自由变形和其他的空间扭曲方法来完成变形的工作：在后一篇论文中，利用骨架的辅助使得在形状中的每一个点，都可以有一个由骨头所定义的参考系来与之关联；在前一篇论文中，对于形状中每一个点的处理方法是通过和自由变形网格中的闭包区域关联来获得的。但是这一类方法的缺点是这类方法更多的是针对于形状的环绕空间的刚性建模而不是形状本身，因为导致了变形效果的剧烈失真。

第二类方法包括了基于物理的各种方式。相对于第一类方法，第二类方法更容易实施，但是可能会收敛的很慢，并且需要手工针对应用来调整各种输入参数。1999年在会议SIGGRAPH上发表的论文《ArtDefo Accurate Real TimeDeformable Objects》，实现了一种更为物理上精确的有限元方法，但是这种方法仅仅只能处理如脸部微小形变的应用，而无法处理如肢体弯曲这样大的形变。2006年在期刊TOG上发表的论文《Image deformation using moving leastsquares》，公开了一种基于移动最小正方形的变形方法，利用仿射、相似和刚性变形模型来完成目标。2006年在期刊IJCG上发表的论文《2D shape deformationusing nonlinear least squares optimization》，公开了一种基于非线性最小正方形优化模型的二维形状变形方法。该方法定义了非二次型的能量函数，通过迭代的方式来保持形状边缘的特性。综上所述，这些方法依然存在着效率低、变形失真等各种问题。

发明内容

本发明的目的是克服目现有技术不足，提供一种二维卡通角色形变方法。

二维卡通角色形变方法包括如下步骤：

1)首先输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，根据驱动点的目标坐标，通过缩放获取总差异最小的过渡面片集合；

2)基于步骤1)的过渡面片集合，将原面片的三角形面片与之一一对应，并通过旋转和平移获得各个面片差异最小的适配面片集合；

3)基于步骤2)的适配面片集合，通过对每个面片进行三边不等值缩放获取总差异最小的目标面片集合。

所述的首先输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，根据驱动点的目标坐标，通过缩放获取总差异最小的过渡面片集合的方法步骤：

(a)输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，表示形式为{m₁，m₂，...，m_n}，其中变量m_i为面片集合中的第i个三角形面片，n为集合中面片的个数；每一个面片m_i由三点{v₀，v₁，v₂}构成其三角形的三个顶点，v_i表示对应i点的二维坐标；

对每一个面片m_i的顶点集合{v₀，v₁，v₂}，其对应的过渡面片中的顶点集合为{v₀’，v₁’，v₂’}。通过权值组合{w_x，w_y}来简化三角形的表示形式，获得原面片中v₂的表示形式：

$v_2=v_0+w_x\stackrel{\→}{v_0{v}_1}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{v_0{v}_1}---1$

其中矩阵R_quar表示逆时针旋转90度，

表示以v₀和v₁为端点的向量；在已有的v₀’和v₁’和{w_x，w_y}基础上，可以计算针对于v₂’的假定值v₂ ^desired：

$v_2^{\mathrm{desired}}={v_0}^{\′}+w_x\stackrel{\→}{{v_0}^{\′}{v_1}^{\′}}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{{v_0}^{\′}{v_1}^{\′}}---2$

可以通过公式1和2所定义的方式计算针对v₂的差异：

$E_{v_2}={\left|\right|v_2^{\mathrm{desired}}-{v_2}^{\′}\left|\right|}^2---3$

其中||·||表示欧氏距离；相应的，也可以获得v₀ ^desired和v₁ ^desired，由此可以获得针对于面片m_i的单个三角形差异：

$E_{\{v_0,v_1,v_2\}}={\mathrm{\Σ}}_{i=\mathrm{1,2,3}}{\left|\right|v_i^{\mathrm{desired}}-{v_i}^{\′}\left|\right|}^2---4$

由公式4可以获得总差异的矩阵表示：

E₁＝v′^TGv′                               5

其中矩阵G为中间矩阵；对于过渡面片集合的顶点集合矩阵v’，将其划分成两部分：矩阵v_u和矩阵v_q。v_u对应着不受驱动信息约束的非驱动点，v_q对应着受驱动点信息约束的驱动点；记v’^T＝(v_u ^T，v_q ^T)，对公式5计算v_u的一阶导数取极点得到：

$\frac{\∂E_1}{\∂v_u}=(G_{00}+{G_{00}}^T)v_u+(G_{01}+{G_{10}}^T)v_q=0---6$

将公式6简化为如下形式：

G′v_u+Bv_q＝0                                      7

根据公式7可以从已知量G’，B和驱动矩阵v_q获得非驱动点矩阵v_u：

v_u＝-G′^-1Bv_q                                     8

由公式8获得v_u，进而获得完整的过渡面片集合的顶点集合矩阵v’。

所述的基于步骤1)的过渡面片集合，将原面片的三角形面片与之一一对应，并通过旋转和平移获得各个面片差异最小的适配面片集合的方法步骤：

(b)经过步骤(a)获得的过渡面片集合中的每一个面片m_i的对应顶点集合{v₀’，v₁’，v₂’}，其对应的适配面片集合中的面片对应顶点集合为{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}；那么针对每一个面片的差异公式为：

$E_{f\{v_0^{\mathrm{fitted}},v_1^{\mathrm{fitted}},v_2^{\mathrm{fitted}}\}}={\mathrm{\Σ}}_{i=\mathrm{1,2,3}}{\left|\right|v_i^{\mathrm{fitted}}-{v_i}^{\′}\left|\right|}^2---9$

其中||·||表示欧氏距离；由步骤(a)中的权重组合{w_x，w_y}可以获得v₂ ^fitted由v₀ ^fitted和v₁ ^fitted表达的公式为：

$v_2^{\mathrm{fitted}}=v_0^{\mathrm{fitted}}+w_x\stackrel{\→}{v_0^{\mathrm{fitted}}{v}_1^{\mathrm{fitted}}}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{v_0^{\mathrm{fitted}}{v}_1^{\mathrm{fitted}}}---10$

其中

表示以v₀ ^fitted和v₁ ^fitted为端点的向量；由公式10的表示可以推出公式9的函数可以由v₀ ^fitted和v₁ ^fitted构成的参考坐标表示，可获得矩阵w表示为(v_0x ^fitted，v_0y ^fitted，v_1x ^fitted，v_1y ^fitted)^T，针对公式9所示的差异对于矩阵w求导，可以获得使得每个面片差异最小的适配面片的矩阵表示为：

$\frac{{\∂E}_f}{\∂w}=\mathrm{Fw}+C=0---11$

其中的矩阵F由原始面片的定义所确定，矩阵C由步骤(a)所确定；由公式11可以获得矩阵w的值由矩阵F和C表示为：

w＝-F^-1C                                12

在公式12的基础上，根据公式10，可以获得面片m_i对应的适配面片的顶点集合{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}。

所述的基于步骤2)的适配面片集合，通过对每个面片进行三边不等值缩放获取总差异最小的目标面片集合的方法步骤：

(c)经过步骤(b)获得的适配面片集合中的每一个面片m_i的对应顶点集合{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}，其对应的目标面片集合中的面片对应顶点集合为{v₀”，v₁”，v₂”}；那么针对面片m_i对应三角形的三条矢量边的差异公式为：

$E_{k\{{v_0}^{\′\′},{v_1}^{\′\′},{v_2}^{\′\′}\}}={\mathrm{\Σ}}_{(i,j)\∈\{\left(\mathrm{0,1}\right),\left(\mathrm{1,2}\right),\left(\mathrm{2,0}\right)\}}{\left|\right|\stackrel{\→}{{v_i}^{\′\′}{v_j}^{\′\′}}-\stackrel{\→}{v_i^{\mathrm{fitted}}{v}_j^{\mathrm{fitted}}}\left|\right|}^2---13$

公式13经过化简整理，所获得的结果经矩阵表示为：

E_k＝v″^T Hv″+fv″+c                                 14

其中矩阵H由原始面片的连通性决定与适配三角形无关，矩阵f和常量c由适配三角形决定。对于目标面片集合的顶点集合矩阵v”，将其划分成两部分：矩阵v_u”和矩阵v_q”。v_u”对应着不受驱动信息约束的非驱动点，v_q”对应着受驱动点信息约束的驱动点；记v”^T＝(v_u”^T，v_q”^T)，对公式11计算一阶导数取极点得到：

$\frac{{\∂E}_k}{{{\∂v}_u}^{\′\′}}=(H_{00}+H_{00}^T){v_u}^{\′\′}+(H_{01}+H_{10}^T){v_q}^{\′\′}+f_0=0---15$

公式15可以被简化成如下矩阵形式：

H′v_u″+Dv_q″+f₀＝0                                         16

其中矩阵H，D在卡通变形过程中都是固定的，而v_q”和矩阵f₀在卡通变形过程中是不断变化的；我们由公式16可以获得v_u”为：

v_u″＝-H′^-1(Dv_q″+f₀)                                      17

由公式17获得v_u”，进而获得完整的目标面片集合的顶点集合矩阵v”，从而获得卡通二维角色变形的结果。

本发明通过将面片变形过程分割为三阶段二次闭包的计算过程，提高了二维卡通角色变形的准确性和效率，避免了传统方法的低效率和不精确，实现了人体角色动画生成过程中对于二维卡通角色变形的精度和效率要求。

附图说明

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的说明。

图1为本发明所述的二维卡通角色及其网格图；

图2为本发明所述的二维卡通角色变形效果图之一。

图3为本发明所述的二维卡通角色变形效果图之二。

具体实施方式

二维卡通角色形变方法包括如下步骤：

1)首先输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，根据驱动点的目标坐标，通过缩放获取总差异最小的过渡面片集合；

2)基于步骤1)的过渡面片集合，将原面片的三角形面片与之一一对应，并通过旋转和平移获得各个面片差异最小的适配面片集合；

3)基于步骤2)的适配面片集合，通过对每个面片进行三边不等值缩放获取总差异最小的目标面片集合。

所述的首先输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，根据驱动点的目标坐标，通过缩放获取总差异最小的过渡面片集合的方法步骤：

(a)输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，表示形式为{m₁，m₂，...，m_n}，其中变量m_i为面片集合中的第i个三角形面片，n为集合中面片的个数；每一个面片m_i由三点{v₀，v₁，v₂}构成其三角形的三个顶点，v_i表示对应i点的二维坐标；

对每一个面片m_i的顶点集合{v₀，v₁，v₂}，其对应的过渡面片中的顶点集合为{v₀’，v₁’，v₂’}。通过权值组合{w_x，w_y}来简化三角形的表示形式，获得原面片中v₂的表示形式：

$v_2=v_0+w_x\stackrel{\→}{v_0{v}_1}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{v_0{v}_1}---1$

其中矩阵R_quar表示逆时针旋转90度，

表示以v₀和v₁为端点的向量；在已有的v₀’和v₁’和{w_x，w_y}基础上，可以计算针对于v₂’的假定值v₂ ^desired：

$v_2^{\mathrm{desired}}={v_0}^{\′}+w_x\stackrel{\→}{{v_0}^{\′}{v_1}^{\′}}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{{v_0}^{\′}{v_1}^{\′}}---2$

可以通过公式1和2所定义的方式计算针对v₂的差异：

$E_{v_2}={\left|\right|v_2^{\mathrm{desired}}-{v_2}^{\′}\left|\right|}^2---3$

其中||·||表示欧氏距离；相应的，也可以获得v₀ ^desired和v₁ ^desired，由此可以获得针对于面片m_i的单个三角形差异：

$E_{\{v_0,v_1,v_2\}}={\mathrm{\Σ}}_{i=\mathrm{1,2,3}}{\left|\right|v_i^{\mathrm{desired}}-{v_i}^{\′}\left|\right|}^2---4$

由公式4可以获得总差异的矩阵表示：

E₁＝v′^TGv′                                                     5

其中矩阵G为中间矩阵；对于过渡面片集合的顶点集合矩阵v’，将其划分成两部分：矩阵v_u和矩阵v_q。v_u对应着不受驱动信息约束的非驱动点，v_q对应着受驱动点信息约束的驱动点；记v’_T＝(v_u ^T，v_q ^T)，对公式5计算v_u的一阶导数取极点得到：

$\frac{\∂E_1}{\∂v_u}=(G_{00}+{G_{00}}^T)v_u+(G_{01}+{G_{10}}^T)v_q=0---6$

将公式6简化为如下形式：

G′v_u+Bv_q＝0                                      7

根据公式7可以从已知量G’，B和驱动矩阵v_q获得非驱动点矩阵v_u：

v_u＝-G′^-1Bv_q                                     8

由公式8获得v_u，进而获得完整的过渡面片集合的顶点集合矩阵v’。

所述的基于步骤1)的过渡面片集合，将原面片的三角形面片与之一一对应，并通过旋转和平移获得各个面片差异最小的适配面片集合的方法步骤：

(b)经过步骤(a)获得的过渡面片集合中的每一个面片m_i的对应顶点集合{v₀’，v₁’，v₂’}，其对应的适配面片集合中的面片对应顶点集合为{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}；那么针对每一个面片的差异公式为：

$E_{f\{v_0^{\mathrm{fitted}},v_1^{\mathrm{fitted}},v_2^{\mathrm{fitted}}\}}={\mathrm{\Σ}}_{i=\mathrm{1,2,3}}{\left|\right|v_i^{\mathrm{fitted}}-{v_i}^{\′}\left|\right|}^2---9$

其中||·||表示欧氏距离；由步骤(a)中的权重组合{w_x，w_y}可以获得v₂ ^fitted由v₀ ^fitted和v₁ ^fitted表达的公式为：

$v_2^{\mathrm{fitted}}=v_0^{\mathrm{fitted}}+w_x\stackrel{\→}{v_0^{\mathrm{fitted}}{v}_1^{\mathrm{fitted}}}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{v_0^{\mathrm{fitted}}{v}_1^{\mathrm{fitted}}}---10$

其中

表示以v₀ ^fitted和v₁ ^fitted为端点的向量；由公式10的表示可以推出公式9的函数可以由v₀ ^fitted和v₁ ^fitted构成的参考坐标表示，可获得矩阵w表示为(v_0x ^fitted，v_0y ^fitted，v_1x ^fitted，v_1y ^fitted)^T，针对公式9所示的差异对于矩阵w求导，可以获得使得每个面片差异最小的适配面片的矩阵表示为：

$\frac{\∂E_f}{\∂w}=\mathrm{Fw}+C=0---11$

其中的矩阵F由原始面片的定义所确定，矩阵C由步骤(a)所确定；由公式11可以获得矩阵w的值由矩阵F和C表示为：

w＝-F^-1C                                            12

在公式12的基础上，根据公式10，可以获得面片m_i对应的适配面片的顶点集合{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}。

所述的基于步骤2)的适配面片集合，通过对每个面片进行三边不等值缩放获取总差异最小的目标面片集合的方法步骤：

(c)经过步骤(b)获得的适配面片集合中的每一个面片m_i的对应顶点集合{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}，其对应的目标面片集合中的面片对应顶点集合为{v₀”，v₁”，v₂”}；那么针对面片m_i对应三角形的三条矢量边的差异公式为：

$E_{k\{{v_0}^{\′\′},{v_1}^{\′\′},{v_2}^{\′\′}\}}={\mathrm{\Σ}}_{(i,j)\∈\{\left(\mathrm{0,1}\right),\left(\mathrm{1,2}\right),\left(\mathrm{2,0}\right)\}}{\left|\right|\stackrel{\→}{{v_i}^{\′\′}{v_j}^{\′\′}}-\stackrel{\→}{v_i^{\mathrm{fitted}}{v}_j^{\mathrm{fitted}}}\left|\right|}^2---13$

公式13经过化简整理，所获得的结果经矩阵表示为：

E_k＝v″^THv″+fv″+c                                        14

其中矩阵H由原始面片的连通性决定与适配三角形无关，矩阵f和常量c由适配三角形决定。对于目标面片集合的顶点集合矩阵v”，将其划分成两部分：矩阵v_u”和矩阵v_q”。v_u”对应着不受驱动信息约束的非驱动点，v_q”对应着受驱动点信息约束的驱动点；记v”^T＝(v_u”^T，v_q”^T)，对公式11计算一阶导数取极点得到：

$\frac{{\∂E}_k}{{{\∂v}_u}^{\′\′}}=(H_{00}+H_{00}^T){v_u}^{\′\′}+(H_{01}+H_{10}^T){v_q}^{\′\′}+f_0=0---15$

公式15可以被简化成如下矩阵形式：

H′v_u″+Dv_q″+f₀＝0                                        16

其中矩阵H，D在卡通变形过程中都是固定的，而v_q”和矩阵f₀在卡通变形过程中是不断变化的；我们由公式16可以获得v_u”为：

v_u″＝-H′^-1(Dv_q″+f₀)                                     17

由公式17获得v_u”，进而获得完整的目标面片集合的顶点集合矩阵v”，从而获得卡通二维角色变形的结果。

实施例

(1)输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，本实施例中选取中国古典二维卡通人物孙悟空作为例子如图1所示，表示形式为{m₁，m₂，...，m_n}，其中变量m_i为面片集合中的第i个三角形面片，n为集合中面片的个数，在本实施例中n为106；每一个面片m_i由三点{v₀，v₁，v₂}构成其三角形的三个顶点，v_i表示对应i点的二维坐标；

对每一个面片m_i的顶点集合{v₀，v₁，v₂}，其对应的过渡面片中的顶点集合为{v₀’，v₁’，v₂’}。通过权值组合{w_x，w_y}来简化三角形的表示形式，获得原面片中v₂的表示形式：

$v_2=v_0+w_x\stackrel{\→}{v_0{v}_1}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{v_0{v}_1}---1$

其中矩阵R_quar表示逆时针旋转90度，

表示以v₀和v₁为端点的向量；在已有的v₀’和v₁’和{w_x，w_y}基础上，可以计算针对于v₂’的假定值v₂ ^desired：

$v_2^{\mathrm{desired}}={v_0}^{\′}+w_x\stackrel{\→}{{v_0}^{\′}{v_1}^{\′}}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{{v_0}^{\′}{v_1}^{\′}}---2$

可以通过公式1和2所定义的方式计算针对v₂的差异：

$E_{v_2}={\left|\right|v_2^{\mathrm{desired}}-{v_2}^{\′}\left|\right|}^2---3$

其中||·||表示欧氏距离；相应的，也可以获得v₀ ^desired和v₁ ^desired，由此可以获得针对于面片m_i的单个三角形差异：

$E_{\{v_0,v_1,v_2\}}={\mathrm{\Σ}}_{i=\mathrm{1,2,3}}{\left|\right|v_i^{\mathrm{desired}}-{v_i}^{\′}\left|\right|}^2---4$

由公式4可以获得总差异的矩阵表示：

E₁＝v′^TGv′                                             5

其中矩阵G为中间矩阵；对于过渡面片集合的顶点集合矩阵v’，将其划分成两部分：矩阵v_u和矩阵v_q。v_u对应着不受驱动信息约束的非驱动点，v_q对应着受驱动点信息约束的驱动点；记v’^T＝(v_u ^T，v_q ^T)，对公式5计算v_u的一阶导数取极点得到：

$\frac{\∂E_1}{\∂v_u}=(G_{00}+{G_{00}}^T)v_u+(G_{01}+{G_{10}}^T)v_q=0---6$

将公式6简化为如下形式：

G′v_u+Bv_q＝0                                             7

根据公式7可以从已知量G’，B和驱动矩阵v_q获得非驱动点矩阵v_u：

v_u＝-G′^-1Bv_q                                            8

由公式8获得v_u，进而获得完整的过渡面片集合的顶点集合矩阵v’。这里的矩阵G’是2m*2m的稀疏对称矩阵，其中m为非驱动点的个数，在本实施例中m为89。

(2)经过步骤(a)获得的过渡面片集合中的每一个面片m_i的对应顶点集合{v₀’，v₁’，v₂’}，其对应的适配面片集合中的面片对应顶点集合为{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}；那么针对每一个面片的差异公式为：

$E_{f\{v_0^{\mathrm{fitted}},v_1^{\mathrm{fitted}},v_2^{\mathrm{fitted}}\}}={\mathrm{\Σ}}_{i=\mathrm{1,2,3}}{\left|\right|v_i^{\mathrm{fitted}}-{v_i}^{\′}\left|\right|}^2---9$

其中||·||表示欧氏距离；由步骤(a)中的权重组合{w_x，w_y}可以获得v₂ ^fitted由v₀ ^fitted和v₁ ^fitted表达的公式为：

$v_2^{\mathrm{fitted}}=v_0^{\mathrm{fitted}}+w_x\stackrel{\→}{v_0^{\mathrm{fitted}}{v}_1^{\mathrm{fitted}}}+w_y{R}_{\mathrm{quar}}\stackrel{\→}{v_0^{\mathrm{fitted}}{v}_1^{\mathrm{fitted}}}---10$

其中

表示以v₀ ^fitted和v₁ ^fitted为端点的向量；由公式10的表示可以推出公式9的函数可以由v₀ ^fitted和v₁ ^fitted构成的参考坐标表示，可获得矩阵w表示为(v_0x ^fitted，v_0y ^fitted，v_1x ^fitted，v_1y ^fitted)^T，针对公式9所示的差异对于矩阵w求导，可以获得使得每个面片差异最小的适配面片的矩阵表示为：

$\frac{\∂E_f}{\∂w}=\mathrm{Fw}+C=0---11$

其中的矩阵F由原始面片的定义所确定，矩阵C由步骤(a)所确定；由公式11可以获得矩阵w的值由矩阵F和C表示为：

w＝-F^-1C                                                12

在公式12的基础上，根据公式10，可以获得面片m_i对应的适配面片的顶点集合{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}。

(3)经过步骤(b)获得的适配面片集合中的每一个面片m_i的对应顶点集合{v₀ ^fitted，v₁ ^fitted，v₂ ^fitted}，其对应的目标面片集合中的面片对应顶点集合为{v₀”，v₁”，v₂”}；那么针对面片m_i对应三角形的三条矢量边的差异公式为：

$E_{k\{{v_0}^{\′\′},{v_1}^{\′\′},{v_2}^{\′\′}\}}={\mathrm{\Σ}}_{(i,j)\∈\{\left(\mathrm{0,1}\right),\left(\mathrm{1,2}\right),\left(\mathrm{2,0}\right)\}}{\left|\right|\stackrel{\→}{{v_i}^{\′\′}{v_j}^{\′\′}}-\stackrel{\→}{v_i^{\mathrm{fitted}}{v}_j^{\mathrm{fitted}}}\left|\right|}^2---13$

公式13经过化简整理，所获得的结果经矩阵表示为：

E_k＝v″^THv″+fv″+c                                     14

其中矩阵H由原始面片的连通性决定与适配三角形无关，矩阵f和常量c由适配三角形决定。对于目标面片集合的顶点集合矩阵v”，将其划分成两部分：矩阵v_u”和矩阵v_q”。v_u”对应着不受驱动信息约束的非驱动点，v_q”对应着受驱动点信息约束的驱动点；记v”^T＝(v_u”^T，v_q”^T)，对公式11计算一阶导数取极点得到：

$\frac{{\∂E}_k}{{{\∂v}_u}^{\′\′}}=(H_{00}+H_{00}^T){v_u}^{\′\′}+(H_{01}+H_{10}^T){v_q}^{\′\′}+f_0=0---15$

公式15可以被简化成如下矩阵形式：

H′v_u″+Dv_q″+f₀＝0                                16

其中矩阵H’，D在卡通变形过程中都是固定的，而v_q”和矩阵f₀在卡通变形过程中是不断变化的，这里的矩阵H’是m*m的矩阵，其中m为89；我们由公式16可以获得vu”为：

v_u″＝-H′^-1(Dv_q″+f₀)                                  17

由公式17获得v_u”，进而获得完整的目标面片集合的顶点集合矩阵v”，通过和每一个面片对应的纹理信息进行匹配映射，从而获得卡通二维角色变形的结果如图2，3所示。

Claims (1)

1.一种二维卡通角色形变方法，其特征在于包括如下步骤：

1)首先输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，根据驱动点的目标坐标，通过缩放获取总差异最小的过渡面片集合；

2)基于步骤1)的过渡面片集合，将原面片的三角形面片与之一一对应，并通过旋转和平移获得各个面片差异最小的适配面片集合；

3)基于步骤2)的适配面片集合，通过对每个面片进行三边不等值缩放获取总差异最小的目标面片集合；

所述的首先输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，根据驱动点的目标坐标，通过缩放获取总差异最小的过渡面片集合的方法步骤：

(a)输入已经完成网格化的二维卡通角色三角形面片集合，表示形式为{m₁，m₂，...，m_n}，其中变量m_i为面片集合中的第i个三角形面片，n为集合中面片的个数；每一个面片m_i由三点{v₁，v₁，v₂}构成其三角形的三个顶点，v_i表示对应i点的二维坐标；

对每一个面片m_i的顶点集合{v₀，v₁，v₂}，其对应的过渡面片中的顶点集合为{v₀’，v₁’，v₂’}，通过权值组合{w_x，w_y}来简化三角形的表示形式，获得原面片中v₂的表示形式：

其中矩阵R_quar表示逆时针旋转90度， 

表示以v₀和v₁为端点的向量；在已有的v₀’和v₁’和{w_x，w_y}基础上，计算针对于v₂’的假定值 

通过公式1和2所定义的方式计算针对v₂的差异：

其中||.||表示欧氏距离；相应的，也获得 

和 

由此获得针对于面片m_i的单个三角形差异：

由公式4获得总差异的矩阵表示：

E₁＝v′^T Gv′                                        5

其中矩阵G为中间矩阵；对于过渡面片集合的顶点集合矩阵v’将其划分成两部分：矩阵v_u和矩阵v_q，v_u对应着不受驱动信息约束的非驱动点，v_q对应 着受驱动点信息约束的驱动点；记v’^T＝(v_u ^T，v_q ^T)，对公式5计算v_u的一阶导数取极点得到：

将公式6简化为如下形式：

G′v_u+Bv_q＝0                                        7

根据公式7从已知量G’，B和驱动矩阵v_q获得非驱动点矩阵v_u：

v_u＝-G′^-1Bv_q                                       8

由公式8获得v_u，进而获得完整的过渡面片集合的顶点集合矩阵v’；

所述的基于步骤1)的过渡面片集合，将原面片的三角形面片与之一一对应，并通过旋转和平移获得各个面片差异最小的适配面片集合的方法步骤：

(b)经过步骤(a)获得的过渡面片集合中的每一个面片m_i的对应顶点集合{v₀’，v₁’，v₂’}，其对应的适配面片集合中的面片对应顶点集合为 

那么针对每一个面片的差异公式为：

其中||.||表示欧氏距离；由步骤(a)中的权重组合{w_x，w_y}获得 

由 

和 

表达的公式为：

其中 

表示以 和 

为端点的向量；由公式10的表示推出公式9的函数由 

和 

构成的参考坐标表示，可获得矩阵w表示为 针对公式9所示的差异对于矩阵w求导，获得使得每个面片差异最小的适配面片的矩阵表示为：

其中的矩阵F由原始面片的定义所确定，矩阵C由步骤(a)所确定；由公式11获得矩阵w的值由矩阵F和C表示为：

w＝-F^-1C                                            12

在公式12的基础上，根据公式10，获得面片m_i对应的适配面片的顶点集合

所述的基于步骤2)的适配面片集合，通过对每个面片进行三边不等值缩放获 取总差异最小的目标面片集合的方法步骤：

(c)经过步骤(b)获得的适配面片集合中的每一个面片m_i的对应顶点集合 

其对应的目标面片集合中的面片对应顶点集合为{v₀”，v₁”，v₂”}；那么针对面片m_i对应三角形的三条矢量边的差异公式为：

公式13经过化简整理，所获得的结果经矩阵表示为：

E_k＝v″^THv″+fv″+c                                    14

其中矩阵H由原始面片的连通性决定与适配三角形无关，矩阵f和常量c由适配三角形决定，对于目标面片集合的顶点集合矩阵v”，将其划分成两部分：矩阵v_u”和矩阵v_q”，v_u”对应着不受驱动信息约束的非驱动点，v_q”对应着受驱动点信息约束的驱动点；记v”^T＝(v_u”^T，v_q”^T)，对公式11计算一阶导数取极点得到：

公式15被简化成如下矩阵形式：

H′v_u″+Dv_q″+f₀＝0                                    16

其中矩阵H，D在卡通变形过程中都是固定的，而v_q”和矩阵f₀在卡通变形过程中是不断变化的；我们由公式16获得v_u”为：

v_u″＝-H′^-1(Dv_q″+f₀)                                 17

由公式17获得v_u”，进而获得完整的目标面片集合的顶点集合矩阵v”，从而获得卡通二维角色变形的结果。 

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