CN101751376B - 利用cpu和gpu协同工作对三角线性方程组求解的加速方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种利用CPU和GPU协同工作对三角线性方程组求解的加速方法，目的是提供一种加速方法，使基于CPU平台的三角线性方程组求解方法在CPU+GPU的异构平台上获得加速。技术方案是先利用CPU进行矩阵求逆，获得三角矩阵A的逆矩阵A^-1；接着将矩阵B分割成两个矩阵B₁、B₂；接着在CPU与GPU上并行执行A^-1×B₁和A^-1×B₂两个计算，达到CPU、GPU的负载平衡，A^-1×B₁和A^-1×B₂的结果分别为X₁、X₂；将X₂返回CPU，将X₁、X₂合并成一个矩阵X输出。采用本发明实现了CPU和GPU的重叠计算，达到了良好的负载平衡效果，实现了对三角线性方程组求解的加速。

Description

利用CPU和GPU协同工作对三角线性方程组求解的加速方法

技术领域

本发明涉及对三角线性方程组求解进行加速的方法，尤指采用CPU和GPU协同工作对三角线性方程组求解进行加速的方法。

背景技术

三角线性方程组广泛应用于许多科学领域，形如op(A)×X＝α×B或者X×op(A)＝α×B。其中A是一个上三角或者下三角矩阵，op(A)或者为A，或者为A^T；X、B为矩阵，α为常量。三角线性方程组求解过程是已知矩阵A、B和系数α，求解矩阵X。现有基于CPU求解矩阵X的实现是一个三重循环，最外层循环次数为矩阵X的列数，中间层循环次数为矩阵X的行数，两重循环中计算了矩阵X的每一个元素。为了计算矩阵X的第i行，第j列元素，需要进行i-1次的乘加操作temp＝temp-A(i，k)×B(k，j)，这构成了最内层循环。由于在DNA生物计算、核物理科学计算、HPLinpack测试等领域大量存在三角线性方程组的求解，三角线性方程组求解的加速性能成为这些领域计算性能提高的瓶颈，如何对三角线性方程组求解进行加速成为这些领域技术人员极为关注的问题。

目前对三角线性方程组求解的加速方法主要有以下几类：采用硬件的加速方法、采用软件的加速方法。采用硬件的加速方法成本高，采用软件加速的方法在加速效果上不太理想。随着近年来GPU计算能力的飞速发展，单精度浮点性能已超过1Tflops，双精度浮点性能也已达到480Gflops，适合于进行计算密集型程序的运算。同时GPU的编程模型也日渐成熟，OpenCL，Brook+，CUDA等编程模型为开发人员提供了更加方便的编程接口。利用GPU加速关键代码段，协同CPU共同完成科学计算成为当前许多科学计算应用提升性能的主要手段。而目前采用CPU和GPU协同工作对三角线性方程组求解进行加速的方法还没有公开文献涉及。

目前三角线性方程组求解的加速方法都是针对单一平台的，或者是在CPU上实现的，不能利用GPU加速部件，达不到性能要求；或者是仅在NVIDIAGPU上实现的，无法利用CPU资源，不适合在CPU+GPU异构平台上进行加速。本发明基于CPU+GPU的异构计算平台，利用GPU超强的浮点计算能力和CPU/GPU任务划分方法对三角线性方程组求解进行加速。

发明内容

本发明要解决的技术问题在于：提供一种利用CPU和GPU协同工作对三角线性方程组求解的加速方法，使基于CPU平台的三角线性方程组求解方法在CPU+GPU的异构平台上获得加速。基于CPU求解矩阵X的方法的最外层循环可完全并行，但并行粒度大，不适合在GPU上的并行计算。如何变换计算次序以适合GPU并行计算是需要解决的问题之一。其次需要进行CPU和GPU的任务划分，如何计算数据分割比例以达到良好的负载平衡效果是影响加速效果的又一关键。

本发明的技术方案为：改变三角线性方程组求解过程，先利用CPU进行矩阵求逆运算，获得三角矩阵A的逆矩阵A^-1；接着将矩阵B根据数据分割比例分割成两个矩阵B₁、B₂，数据分割比例根据CPU和GPU可达到的最高性能指标，以及两部分并行数据量进行计算；接着在CPU与GPU上并行执行A^-1×B₁和A^-1×B₂两个计算过程，达到CPU、GPU的负载平衡，其中A^-1×B₂的计算使用专门针对GPU优化的数学库函数实现，A^-1×B₁和A^-1×B₂两个计算过程的计算结果分别为X₁、X₂；并行计算过程结束时将GPU的计算结果X₂返回CPU，将X₁、X₂合并成一个矩阵X，作为三角线性方程组的结果输出。

设待求解的三角线性方程组为A×X＝α×B，其中A为m×m的矩阵，X、B为m×n的矩阵，α为常量，X为三角线性方程组的解，m和n均为正整数。

具体技术方案为：

第一步、对三角线性方程组中涉及的矩阵A在CPU上执行求逆操作，得到A^-1。

第二步、将矩阵B按列分割成两部分B₁、B₂，即B＝[B₁，B₂]，B₁为m×(n-k)的矩阵，分到CPU上，参与CPU上的计算，B₂为m×k的矩阵，分到GPU上，参与GPU上的计算。数据分割比例k为矩阵B分配到GPU上的数据量占矩阵B整个数据量的百分比。k的获取方法如下：

2.1统计CPU和GPU上A^-1×B₁和A^-1×B₂求解过程在未进行任务分割之前的计算量，

分别为D₁和D₂，单位为flop。由于A^-1×B₁求解中A^-1为三角矩阵，求解的数据量为

每个数据的计算需执行n次乘法操作和n次加法操作，总计算量D₁＝m²n。A^-1×B₂的求解取决于调用的GPU数学库函数，或者为三角矩阵乘法函数，或者为矩阵乘法函数，前者满足D₂＝m²n，后者满足D₂＝2m²n。

2.2统计A^-1×B₁和A^-1×B₂求解在数据分割比例k下的计算量，分别为D₁×(1-k)，D₂×k。

2.2统计CPU和GPU上A^-1×B₁和A^-1×B₂求解操作可达到的最高性能，分别为C₁，G₂，单位为Gflops。最高性能的获取方法可以是实际测试，也可以是通过官方网站公布的数据。

2.3设A^-1×B₁和A^-1×B₂的计算执行时间分别为T₁、T₂，单位为纳秒(ns)。计算方法为： $T_1=\frac{D_1}{C_1}\×(1-k),$ $T_2=\frac{D_2}{G_2}\×k.$

2.4根据CPU和GPU上负载平衡需求，需满足T₁＝T₂，有 $\frac{D_1}{C_1}\×(1-k)=\frac{D_2}{G_2}\×k$ 成立，

数据分割比例 $k=\frac{\frac{D_1}{C_1}}{\frac{D_1}{C_1}+\frac{D_2}{G_2}}.$

第三步、将A^-1和B₂从CPU传输至GPU。

第四步、同时启动CPU和GPU，由CPU计算X₁＝A^-1×B₁，由GPU计算X₂＝A^-1×B₂。其中A^-1×B₂计算调用GPU上的数学库函数，实现GPU高效计算。

第五步、将GPU上计算结果X₂传回CPU。

第六步、在CPU上通过按列合并的方式将X₁、X₂合并成一个矩阵X，即X＝[X₁，X₂]，输出三角线性方程组的解X。

与现有技术相比，采用本发明可达到以下技术效果：

1.本发明通过对原始三角线性方程组求解方法进行矩阵变换、CPU/GPU的任务分割、将一部分三角矩阵乘法计算利用GPU进行加速，同时利用CPU的计算能力执行另一部分三角矩阵乘法，实现CPU和GPU的重叠计算，达到了良好的负载平衡效果，实现了对三角线性方程组求解的加速。通过与运行在Intel Xeon四核CPU上原始求解方法进行比较，采用本发明在m＝1712，n＝24473的规模下，可以获得1.5倍的加速效果，在m＝1712，n＝17625的规模下，可以获得1.6倍的加速效果；

2.本发明通过精确计算数据分割比例k使CPU和GPU的负载平衡达到理想的效果。

附图说明

图1为本发明的总流程图。

具体实施方式

图1是本发明的总流程图。

步骤1)、对矩阵A在CPU上执行求逆操作，得到A^-1；

步骤2)、按照数据分割比例k将矩阵B按列分割成CPU和GPU上执行的两部分B₁、B₂，即B＝[B₁，B₂]；

步骤3)、将A^-1和B₂从CPU传输至GPU；

步骤4)、同时启动CPU和GPU上的计算任务，分别为X₁＝A^-1×B₁和X₂＝A^-1×B₂；

步骤5)、将GPU上计算结果X₂传回CPU；

步骤6)、在CPU上通过按列合并的方式将X₁、X₂合并成一个矩阵X，即X＝[X₁，X₂]，输出三角线性方程组的解X。

Claims (2)

1.一种利用CPU和GPU协同工作对三角线性方程组求解的加速方法，其特征在于包括以下步骤：

第一步、对三角线性方程组A×X＝α×B中涉及的矩阵A在CPU上执行求逆操作，得到A^-1，A为m×m的矩阵，X、B为m×n的矩阵，α为常量，X为三角线性方程组的解，m和n均为正整数；

第二步、将矩阵B按列分割成两部分B₁、B₂，即B＝[B₁，B₂]，B₁为m×(n-k)的矩阵，分到CPU上，参与CPU上的计算，B₂为m×k的矩阵，分到GPU上，参与GPU上的计算；数据分割比例k为矩阵B分配到GPU上的数据量占矩阵B整个数据量的百分比，k的获取方法如下：

2.1统计CPU和GPU上A^-1×B₁和A^-1×B₂求解过程在未进行任务分割之前的计算量，分别为D₁和D₂，单位为flop，D₁＝m²n，当GPU数学库函数为三角矩阵乘法函数时D₂＝m²n，当GPU数学库函数为矩阵乘法函数时D₂＝2m²n；

2.2统计A^-1×B₁和A^-1×B₂求解在数据分割比例k下的计算量，分别为D₁×(1-k)，D₂×k；

2.2统计CPU和GPU上A^-1×B₁和A^-1×B₂求解操作可达到的最高性能，分别为C₁，G₂，单位为Gflops；最高性能的获取方法是实际测试或通过官方网站公布的数据；

2.3计算A^-1×B₁的计算执行时间 $T_1=\frac{D_1}{C_1}\×(1-k),$ A^-1×B₂的计算执行时间 $T_2=\frac{D_2}{G_2}\×k,$ T₁、T₂的单位为纳秒ns；

2.4根据CPU和GPU上负载平衡需求，需满足T₁＝T₂，有 $\frac{D_1}{C_1}\×(1-k)=\frac{D_2}{G_2}\×k$ 成立，数据分割比例 $k=\frac{\frac{D_1}{C_1}}{\frac{D_1}{C_1}+\frac{D_2}{G_2}};$

第三步、将A^-1和B₂从CPU传输至GPU；

第四步、同时启动CPU和GPU，由CPU计算X₁＝A^-1×B₁，由GPU计算X₂＝A^-1×B₂，其中A^-1×B₂计算调用GPU上的数学库函数；

第五步、将GPU上计算结果X₂传回CPU；

第六步、在CPU上将X₁、X₂合并成一个矩阵X，即X＝[X₁，X₂]，输出三角线性方程组的解X。

2.如权利要求1所述的利用CPU和GPU协同工作对三角线性方程组求解的加速方法，其特征在于将X₁、X₂合并成一个矩阵X的方法是按列合并。

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