CN101592919A - 一类不确定中立系统时滞依赖鲁棒镇定策略 - Google Patents

Abstract

本发明对于带有时变时滞、激励约束和范数有界参数不确定性的中立系统，通过线性无记忆状态反馈控制律，开发时滞及其导数依赖的控制方法，使得在初始状态处于预定吸引域中条件下，保证闭环系统局部稳定；提出一个LMI优化方法来设计状态反馈增益，使吸引域的估计值达到最大；并基于Lyapunov－Krasovskii函数方法，求得一个更少保守性的吸引域估计值，并以LMI形式给出这些设计的可解条件和求解策略。

Description

一类不确定中立系统时滞依赖鲁棒镇定策略

技术领域

本发明涉及一类时变时滞及饱和激励下的不确定中立系统鲁棒镇定问题，具体地说是一类状态含时变时滞，输入有饱和非线性的不确定中立系统的时滞及其导数依赖鲁棒镇定技术。

背景技术

时滞现象在许多实际系统中经常遇到，如电气、气动、液压网络、化学过程、长线传输等等。时滞是系统不稳定和振荡的根源，因此，时滞系统的研究一直是近些年控制研究的热点问题。带有时滞的不确定系统的鲁棒稳定性问题已备受关注。现有的时滞系统渐近稳定性判据可分时滞独立稳定性和时滞依赖稳定性。如相关学者所共知，时滞独立判据会导致保守性，特别是小时滞时。另外，当输入激励不可避免地具有饱和情况时，带有时滞的线性动态系统的控制更加困难。激励饱和不仅使系统的控制性能大打折扣，而且也导致稳定效果恶化。带有饱和激励的时滞系统的稳定性分析和镇定已有许多学者研究。许多学者已处理了类似问题并获得了饱和控制律，使得系统在估计域内的初始状态下达到稳定。许多学者应用Lyapunov方法，基于预测变换，研究了一类不确定状态时滞系统的时滞独立鲁棒镇定技术。有的学者将一些带有奇异模型变换的不等式结合起来，得到了带有多面体不确定性系统的充分性判据。近年，为克服涉及模型变换方法的保守性，出现了自由加权阵方法。于是，人们期望能应用自由加权阵方法，来为带调节参数的时滞系统在性能上带来进一步改善。就时滞独立和时滞依赖情况，已分别获得了一些能改善系统性能的充分条件。然而在兼顾改善控制性能和少保守性方面，效果并不尽如人意。特别是，不象慢变系统那样，中立系统可能由于时滞的微小变化而失稳；并且，在更一般的情形中，时滞不仅出现在状态中，而且还出现在状态的导数中，这就更加增加了控制设计的难度。相应地，要求寻求一种线性无记忆状态反馈控制律，开发时滞及其导数依赖的控制方法，来使状态含时变时滞，输入有饱和非线性的参数不确定中立系统，既大幅改善控制性能，又尽可能减少保守性。本发明的动机就是基于这一要求形成的。

发明内容

本发明对于带有时变时滞、激励约束和范数有界参数不确定性的中立系统，设计线性无记忆状态反馈控制律，开发时滞及其导数依赖的控制方法，使得在初始状态处于预定吸引域内条件下，闭环系统局部稳定；提出一个LMI优化方法来设计状态反馈增益，使吸引域的估计值达到最大；开基于Lyapunov-Krasovskii函数方法，求得一个更少保守性的吸引域估计值，并以LMI形式给出这些设计的可解条件和求解策略。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

考虑对象为含时滞状态和饱和输入的不确定中立系统

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)-C\stackrel{\·}{x}(t-\mathrm{\τ}\left(t\right))=(A_0+\mathrm{\Δ}{A}_0\left(t\right))x\left(t\right)$

$+(A_1+\mathrm{\Δ}{A}_1\left(t\right))x(t-h\left(t\right))$

$+(B+\mathrm{\ΔB}\left(t\right))\mathrm{sat}\left(u\left(t\right)\right).---\left(1\right)$

其中，

为状态，

为控制输入，C、A₀、A₁和B为已知实常阵；时滞τ和h为未知且连续可微时间函数，

0≤h(t)≤h_m，0≤τ(t)≤∞，

且

$0\&le;\stackrel{\&CenterDot;}{h}\left(t\right)\&le;d_1<\mathrm{1,0}\&le;\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&tau;}}\left(t\right)\&le;d_2<1,---\left(2\right)$

其中h_m、d₁和d₂为给定正常数。条件(2)意味系统(1)具有有物理意义解，满足因果关系原理。

系统(1)的初始条件为

x(t₀+θ)＝Φ(θ)，

，(3)

其中

， $\&ForAll;t\&GreaterEqual;0$ 且Φ(·)为可微初始值函数向量。矩阵C的所有特征值均在单位圆内；不确定性

[ΔA₀(t)ΔA₁(t)ΔB(t)]＝DF(t)[E₀ E₁ E₂]，(4)

其中，D、E₀、E₁和E₂为适当维已知常阵，F(t)表示时变参数不确定性，并假设F(t)＝diag{F₁(t)，...，F_r(t)}，

为未知时变实常阵，满足 $F_i^T\left(t\right)F_i\left(t\right)\&le;I,$ $\&ForAll;t\&GreaterEqual;0,$ i＝1，...，r。

对以上描述的中立系统(1)-(4)，首先推得一个LMI形式的渐近稳定性判据，即

定理1：如果存在P＝P^T＞0，Q＝Q^T＞0，R＝R^T＞0，W＝W^T＞0及适当维阵Y₁、Y₂、T₁和T₂，使得LMI

${\mathrm{\&Gamma;}}_j=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Gamma;}}_{11\left(j\right)}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{21\left(j\right)}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{31}& h_m{Y}_1& T_{1}C\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{21\left(j\right)}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{22}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{32}^T& h_m{Y}_2& T_{2}C\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{31}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{32}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{33}& 0& 0\\ h_m{Y}_1^T& h_m{Y}_2^T& 0& -h_{m}R& 0\\ C^T{T}_1^T& C^T{T}_2^T& 0& 0& -(1-d_2)W\end{array}\right]<0,$

j＝1，...，2^m。(5)

成立，则(1)-(4)描述的系统是渐近稳定的。其中，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Gamma;}}_{11\left(j\right)}=T_1{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j+{\hat{A}}_j^T{T}_1^T+Y_1+Y_1^{T+Q,}\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{21\left(j\right)}=P+T_2{\hat{A}}_j+Y_2-T_1^T,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{22}=h_{m}R+W-T_2-T_2^T,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{31}={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^T{T}_1^T-Y_1^T,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{32}={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^T{T}_2^T-Y_2^T,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{33}=-(1-d_1)Q.\end{array}\right.---\left(6\right)$

然后，推证一个确定控制律和吸引域，使得闭环中立系统稳定的可解条件，即

定理2：如果存在Q＝Q^T＞0，R＝R^T＞0，W＝W^T＞0， $X_1=X_1^T>0,$ X₂，

U，

ε₁，

Λ＝diag{μI，...，μ_rI}＞0及标量β＞0，δ＞0，满足LMI

$\left[\begin{array}{ccccccccc}{\mathrm{\&Sigma;}}_{11}& *& *& *& *& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{21\left(j\right)}& {\mathrm{\&Sigma;}}_{22}& *& *& *& *& *& *& *\\ -{\mathrm{\&epsiv;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{Q}{A}_1^T& (1-{\mathrm{\&epsiv;}}_2)\stackrel{\&OverBar;}{Q}{A}_0^T-(1-d_1)\stackrel{\&OverBar;}{Q}& -(1-d_1)\stackrel{\&OverBar;}{Q}& *& *& *& *& *& *\\ h_m{\mathrm{\&epsiv;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{R}{A}_1^T& h_m{\mathrm{\&epsiv;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{R}{A}_1^T& 0& -h_m\stackrel{\&OverBar;}{R}& *& *& *& *& *\\ 0& \stackrel{\&OverBar;}{W}{C}^T& 0& 0& -(1-d_2)\stackrel{\&OverBar;}{W}& *& *& *& *\\ h_m{X}_2& h_m{X}_3& 0& 0& 0& -h_m\stackrel{\&OverBar;}{R}& *& *& *\\ X_2& X_3& 0& 0& 0& 0& -\stackrel{\&OverBar;}{W}& *& *\\ X_1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -\stackrel{\&OverBar;}{Q}& *\\ E_0{Z}_1+E_2(D_{j}U+D_j^{-}G)& 0& E_1\stackrel{\&OverBar;}{Q}& 0& 0& 0& 0& 0& -\mathrm{\&Lambda;}\end{array}\right]<0,$

j＝1，...，2^m；(7)

$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&beta;}& *\\ g_i^T& {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_i^T{X}_1\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,i=1,...,m;---\left(8\right)$

${\mathrm{\&delta;}}^2\max \{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(X_1^{-1}\right)+2\frac{h_m}{1-d_1}{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}^{-1}\right),$

${2h}_m^2{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1^{-1}\right)+2\frac{h_m}{1-d_2}{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{W}}^{-1}\right)$

$+h_m{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{-1}\right)\}\&le;{\mathrm{\&beta;}}^{-1},---\left(9\right)$

则系统(1)-(4)为吸引域内

渐近稳定。其中，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Sigma;}}_{11}=X_2+X_2^T+{\mathrm{\&epsiv;}}_1(X_1{A}_1^T+A_1{X}_1),\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{21\left(j\right)}=X_3^T-X_2+(A_0+{\mathrm{\&epsiv;}}_0{A}_1)\\ +B(D_{j}U-D_j^{-}G),\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{22}=-X_3^T-X_3+{\mathrm{D\&Lambda;\&Lambda;}}^T,\end{array}\right.---\left(10\right)$

g_j为G的第i行。于是满足要求的反馈增益阵便给定为

$K={\mathrm{UX}}_1^{-1}.---\left(11\right)$

最后，通过将上述条件结合起来，建构给定h_m下的可行解问题，获得求解策略。在给定h_m下，如果该问题有一个解，即表明：存在一个控制器 $u\left(t\right)={\mathrm{UX}}_1^{-1}x\left(t\right),$ 使得饱和中立系统(1)-(4)稳定。同时计算两个调节参数ε₁和ε₂，即找到一个可行解的时滞上界。

本发明的自益效果是：可以使用内点算法及使用Matlab的LMI工具箱，来进行数值求解；可以同时设计状态反馈增益和估计最大吸引域；并基于Lyapunov-Krasovskii函数方法，求得一个更少保守性的吸引域估计值；由于开发的控制方法依赖时滞及其导数，因而控制效果更少保守性。

具体实施方式

1.在本发明中：表示实数集，

表示n维Euclidean空间，

表示所有m×n实矩阵集。X≥Y表示X-Y是半正定(X＞Y表示X-Y是正定，)，其中X和Y为对称阵；λ_max(P)和λ_min(P)分别表示矩阵P的最大和最小特征值。||·||表示Euclidean向量范数或诱导矩阵2-范数。符号表示将区间[-d，0]映射到

的连续向量函数Banach空间。I表示适当维单位阵。对任意向量

。一个集合

的凸包是含有

的最小凸集；对于一组点x₁，x₂，…，

这些点的凸包是： $\mathrm{Co}\{x_1,x_2,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,x_n\}=\{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{\mathrm{\&alpha;}}_i{x}_i,{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{\mathrm{\&alpha;}}_i=1,{\mathrm{\&alpha;}}_i\&GreaterEqual;0\}.$ 另外，矩阵中的“*”代表其对称块。

2.考虑含时滞状态和饱和输入的不确定中立系统

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)-C\stackrel{\&CenterDot;}{x}(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))=(A_0+\mathrm{\&Delta;}{A}_0\left(t\right))x\left(t\right)$

$+(A_1+\mathrm{\&Delta;}{A}_1\left(t\right))x(t-h\left(t\right))$

$+(B+\mathrm{\&Delta;B}\left(t\right))\mathrm{sat}\left(u\left(t\right)\right).---\left(1\right)$

其中，

为状态，为控制输入，C、A₀、A₁和B为已知实常阵；时滞τ和h为未知且连续可微时间函数，

0≤h(t)≤h_m，0≤τ(t)≤∞，

且

$0\&le;\stackrel{\&CenterDot;}{h}\left(t\right)\&le;d_1<\mathrm{1,0}\&le;\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&tau;}}\left(t\right)\&le;d_2<1.---\left(2\right)$

其中h_m、d₁和d₂为给定正常数。条件(2)是要保证系统(1)具有有物理意义解，满足因果关系原理。

系统(1)的初始条件为

x(t₀+θ)＝Φ(θ)，

(3)

其中

， $\&ForAll;t\&GreaterEqual;0$ 且Φ(·)为可微初始值函数向量。

假设1：矩阵C的所有特征值均在单位圆内；不确定性可描述为

[ΔA₀(t)ΔA₁(t)ΔB(t)]＝DF(t)[E₀ E₁ E₂]。(4)

其中，D、E₁、E₁和E₂为适当维已知常阵，F(t)表示时变参数不确定性，并假设F(t)＝diag{F₁(t)，...，F_r(t)}，

为未知时变实常阵，满足 $F_i^T\left(t\right)F_i\left(t\right)\&le;I,$ $\&ForAll;t\&GreaterEqual;0,$ I＝1，...，r。

定义算子

为Δ(x_t)＝x(t)-Cx(t-τ)。

引理1：设D、E和F(t)为适当维已知实阵，F＝diag{F₁，...，F_r}， $F_i^T{F}_i\&le;I,$ i＝1，...，r，则对任意实阵Λ＝diag{μ₁I，...，μ_rI}＞0，有

DF(t)E+E^TF^T(t)D^T≤DΛD^T+E^TΛ^-1E。(12)

饱和函数定义为

satu(t)＝[satu₁(t)，satu₂(t)，...，satu_m(t)]^T。

现对控制系统(1)，考虑线性状态反馈控制

u(t)＝Kx(t)，

探讨其稳定性分析与设计。对初始条件

，系统(1)的状态轨迹表示为x(t，Ф)。假设系统(1)对于所有满足(2)的解，x(t)＝0渐近稳定，则原点的吸引域为

$\mathrm{\&Psi;}=\{\mathrm{\&Phi;}\&Element;C^1[-\stackrel{\&OverBar;}{h},0]:\underset{t\&RightArrow;\&infin;}{\lim }x(t,\mathrm{\&Phi;})=0\}.$

进而，得到一个估计

${\mathrm{\&Xi;}}_{\mathrm{\&delta;}}=\{\mathrm{\&Phi;}\&Element;C^1[-\stackrel{\&OverBar;}{h},0]:\underset{[-\stackrel{\&OverBar;}{h},0]}{\max }|\mathrm{\&Phi;}|\&le;\mathrm{\&delta;}\},$

其中δ＞0为欲最大化标量。

用k_i表示K的第i行，定义多面体

定义

为对角元素为0或1的空间中所有对角阵的集合，则有

中2^m个元素D_i， $D_i^{-}=I-D_i$ 也是

中的元素，i＝1，...，2^m。

引理2：给定

空间中的K和H，则对于所有满足

，i＝1，…，m的

有

$\mathrm{sat}(\mathrm{Kx}\left(t\right),\stackrel{\&OverBar;}{u})\&Element;\mathrm{Co}\{D_i\mathrm{Kx}+D_i^{-}\mathrm{Hx},i=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,2^m\}.$

因此，若考虑任意紧集

且对于x∈S_c，假设存在

空间中的H，使得

，那么，系统(1)-(4)的运动可表述为

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)-C\stackrel{\&CenterDot;}{x}(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))=\underset{j=1}{\overset{2^m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_j{\hat{A}}_{j}x\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1\left(t\right))x(t-h\left(t\right)).---\left(13\right)$

其中， ${\hat{A}}_j=\stackrel{\&OverBar;}{B}(D_{j}K-D_i^{-}H)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0,$ ${\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{2^m}{\mathrm{\&lambda;}}_j=1,$ λ_j≥0，

，

，

。

选取Lyapunov函数

$V\left(t\right)=x^T\left(t\right)\mathrm{Px}\left(t\right)+{\&Integral;}_{t-h\left)t\right)}^t{x}^T\left(s\right)\mathrm{Qx}\left(s\right)\mathrm{ds}$

$+{\&Integral;}_{-h_m}^0{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)R\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}+{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right)}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds},$ (14)

其中P＝P^T＞0，Q＝Q^T＞0，R＝R^T＞0，W＝W^T＞0；对标量β＞0，集合S_c椭圆体一般地由正定阵P定义，即

3.在以上基础上，对(1)-(4)描述的中立系统，推导渐近稳定性判据如下：

沿系统(1)-(4)的运动轨迹对V(t)求导得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=2x^T\left(t\right)P\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)+x^T\left(t\right)\mathrm{Qx}\left(t\right)$

$-(1-h\left(t\right)x^T(t-\stackrel{\&CenterDot;}{h}\left(t\right))\mathrm{Qx}(t-h\left(t\right))$

$+h_m{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)R\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-h_m}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)R\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}$

$+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)W\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)$

$-(1-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&tau;}}\left(t\right)){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T(1-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))\mathrm{Wx}(1-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))$

$\&le;{2x}^T\left(t\right)P\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)+x^T\left(t\right)\mathrm{Qx}\left(t\right)$

$-(1-d_1\left(t\right)x^T(t-h\left(t\right))\mathrm{Qx}(t-h\left(t\right))$

$+h_m{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)R\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-h_m}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)R\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}$

$+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)W\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)$

$-(1-d_2\left(t\right){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T(1-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))\mathrm{Wx}(1-\mathrm{\&tau;}\left(t\right)).---\left(15\right)$

运用自由加权矩阵方法，有

$2[x^T\left(t\right)T_1+\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)T_2][-\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)+C\stackrel{\&CenterDot;}{x}(1-\mathrm{\&tau;}\left(t\right)+{\hat{A}}_{j}x\left(t\right)$

$+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1}x(t-h\left(t\right))]=0,j=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,2^m,$

$2[x^T\left(t\right)Y_1+\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)Y_2][x\left(t\right)-x(t-h\left(t\right))$

$-{\&Integral;}_{t-h\left(t\right)}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]=0.$

对于任意半正定阵

$Z=\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{11}& *& *\\ Z_{21}& Z_{22}& *\\ Z_{31}& Z_{32}& Z_{33}\end{array}\right]$

及向量

$\mathrm{\&eta;}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)\\ x(t-h\left(t\right))\end{array}\right],$

又有

$h_m{\mathrm{\&eta;}}^T\left(t\right)\mathrm{Z\&eta;}\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-h\left(t\right)}^t{\mathrm{\&eta;}}^T\left(s\right)\mathrm{Z\&eta;}\left(s\right)\mathrm{ds}\&GreaterEqual;0.$

将这些项代入(15)，可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)\&le;\underset{j=1}{\overset{2^m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_j{\mathrm{\&eta;}}^T\left(t\right){\mathrm{\&Xi;}}_j\mathrm{\&eta;}\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-h\left(t\right)}^t{\mathrm{\&xi;}}^T(t,s)\mathrm{\&Psi;\&xi;}(t,s)\mathrm{ds}$

$-(1-d_2\left(t\right){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T(1-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))W\stackrel{\&CenterDot;}{x}(1-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))$

$+2[x^T\left(t\right)T_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)T_2]C\stackrel{\&CenterDot;}{x}(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right)).---\left(16\right)$

其中，

${\mathrm{\&Xi;}}_j=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&Gamma;}}_{11\left(j\right)}+h_m{Z}_{11}& *& *\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{21\left(j\right)}+h_m{Z}_{21}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{22}+h_m{Z}_{22}& *\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{31}+h_m{Z}_{31}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{32}+h_m{Z}_{32}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{33}+h_m{Z}_{33}\end{array}\right],$

j＝1，...，2^m，

$\mathrm{\&xi;}(t,s)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&eta;}\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)\end{array}\right],\mathrm{\&Psi;}=\left[\begin{array}{cccc}{Z}_{11}& *& *& *\\ Z_{21}& Z_{22}& *& *\\ Z_{31}& Z_{32}& Z_{33}& *\\ Y_1^T& Y_2^T& 0& R\end{array}\right].---\left(17\right)$

由(16)可知，通过令 $\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)\&le;{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{2^m}{\mathrm{\&lambda;}}_j{\mathrm{\&Omega;}}^T(t,s){\mathrm{\&Gamma;}}_j\mathrm{\&Omega;}(t,s),$ $\mathrm{\&Omega;}(t,s)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&xi;}(t,s)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{x}(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))\end{array}\right],$ ${\mathrm{\&Xi;}}_j<0$ 和Ψ≥0就能保

证多面体系统的渐近稳定性。于是，存在π，使得 $\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)\&le;-\mathrm{\&pi;}{\left|\right|x\left(t\right)\left|\right|}^2,$ 即保证系统(1)-(4)渐近稳定。特别是，若选择Z使得

$Z=\left[\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\\ 0\end{array}\right]R^{-1}{\left[\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\\ 0\end{array}\right]}^T,$

从而保证了Z≥0和Ψ≥0。由Schur补， ${\mathrm{\&Xi;}}_j<0$ 等价于如下条件：

${\mathrm{\&Gamma;}}_j=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Gamma;}}_{11\left(j\right)}& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{21\left(j\right)}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{22}& *& *& *\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{31}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{32}& {\mathrm{\&Gamma;}}_{33}& *& *\\ h_m{Y}_1^T& h_m{Y}_2^T& 0& -h_{m}R& *\\ C^T{T}_1^T& C^T{T}_2^T& 0& 0& -(1-d_2)W\end{array}\right]<0,$

j＝1，...，2^m。(5)

其中，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Gamma;}}_{11\left(j\right)}=T_1{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j+{\hat{A}}_j^T{T}_1^T+Y_1+Y_1^T+Q,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{21\left(j\right)}=P+T_2{\hat{A}}_j+Y_2-T_1^T,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{22}=h_{m}R+W-T_2-T_2^T,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{31}={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^T{T}_1^T-Y_1^T,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{32}={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^T{T}_2^T-Y_2^T,\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{33}=-(1-d_1)Q.\end{array}\right.---\left(6\right)$

由以上推导，即可得到中立系统(1)-(4)的渐近稳定性判据，即

定理1：在假设1下，(1)-(4)描述的系统是渐近稳定的，如果存在P＝P^T＞0，Q＝Q^T＞0，R＝R^T＞0，W＝W^T＞0及适当维阵Y₁、Y₂、T₁和T₂，使得LMI(5)成立。

4.基于上述结果，推证一个确定控制律和吸引域，使得闭环中立系统稳定的可解条件，即

定理2：系统(1)-(4)为吸引域内

渐近稳定的，如果存在Q＝Q^T＞0，R＝R^T＞0，W＝W^T＞0， $X_1=X_1^T>0,$ X₂，

U，

ε₁，Λ＝diag{μI，...，μ_rI}＞0及标量β＞0，δ＞0，满足下列LMI：

$\left[\begin{array}{ccccccccc}{\mathrm{\&Sigma;}}_{11}& *& *& *& *& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{21\left(j\right)}& {\mathrm{\&Sigma;}}_{22}& *& *& *& *& *& *& *\\ -{\mathrm{\&epsiv;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{Q}{A}_1^T& (1-{\mathrm{\&epsiv;}}_2)\stackrel{\&OverBar;}{Q}{A}_0^T-(1-d_1)\stackrel{\&OverBar;}{Q}& -(1-d_1)\stackrel{\&OverBar;}{Q}& *& *& *& *& *& *\\ h_m{\mathrm{\&epsiv;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{R}{A}_1^T& h_m{\mathrm{\&epsiv;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{R}{A}_1^T& 0& -h_m\stackrel{\&OverBar;}{R}& *& *& *& *& *\\ 0& \stackrel{\&OverBar;}{W}{C}^T& 0& 0& -(1-d_2)\stackrel{\&OverBar;}{W}& *& *& *& *\\ h_m{X}_2& h_m{X}_3& 0& 0& 0& -h_m\stackrel{\&OverBar;}{R}& *& *& *\\ X_2& X_3& 0& 0& 0& 0& -\stackrel{\&OverBar;}{W}& *& *\\ X_1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -\stackrel{\&OverBar;}{Q}& *\\ E_0{Z}_1+E_2(D_{j}U+D_j^{-}G)& 0& E_1\stackrel{\&OverBar;}{Q}& 0& 0& 0& 0& 0& -\mathrm{\&Lambda;}\end{array}\right]$

＜0，j＝1，...，2^m；(7)

$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&beta;}& *\\ g_i^T& {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_i^T{X}_1\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,i=1,...,m;---\left(8\right)$

${\mathrm{\&delta;}}^2\max \{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(X_1^{-1}\right)+2\frac{h_m}{1-d_1}{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}^{-1}\right),$

${2h}_m^2{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1^{-1}\right)+2\frac{h_m}{1-d_2}{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{W}}^{-1}\right)$

$+h_m{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{-1}\right)\}\&le;{\mathrm{\&beta;}}^{-1}.---\left(9\right)$

其中，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Sigma;}}_{11}=X_2+X_2^T+{\mathrm{\&epsiv;}}_1(X_1{A}_1^T+A_1{X}_1),\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{21\left(j\right)}=X_3^T-X_2+(A_0+{\mathrm{\&epsiv;}}_0{A}_1)\\ +B(D_{j}U-D_j^{-}G),\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{22}=-X_3^T-X_3+{\mathrm{D\&Lambda;\&Lambda;}}^T,\end{array}\right.---\left(10\right)$

g_j为G的第i行满足系统的反馈增益阵便给定为

$K={\mathrm{UX}}_1^{-1}.---\left(11\right)$

证明：从P＝P^T＞0的要求及(5)中-T₂-T₂ ^T必负定的事实，定义

$X=\left[\begin{array}{cc}P& 0\\ T_1^T& T_2^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{X}_1& 0\\ X_2& X_3\end{array}\right],$

分别用diag{X^T，I，I，I}和diag{X，I，I，I}乘(5)的左端和右端，引入变量使得

X₁＝P^-1，

＝Q^-1，

＝R^-1，＝W^-1，U＝KX₁，G＝HX₁，

$\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_1{Y}_1+X_2^T{Y}_2\\ X_3^T{Y}_2\end{array}\right]X_1,$

应用Schur补，则LMI(5)等价于

$\left[\begin{array}{ccccccccc}{X}_2+X_2^T+N_1+N_1^T& *& *& *& *& *& *& *& \\ {\mathrm{\&Pi;}}_{21\left(j\right)}& -X_3-X_3^T& *& *& *& *& *& *& \\ -X_1^{-1}{N}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^T-X_1^{-1}{N}_2^T& -(1-d_1){\stackrel{\&OverBar;}{Q}}^{-1}& *& *& *& *& *& \\ h_m{X}_1^{-1}{N}_1^T& h_m{X_1^{-1}N}_2^T& & -h_m{\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{-1}& *& *& *& *& \\ 0& \stackrel{\&OverBar;}{W}{C}^T& & & -(1-d_2)\stackrel{\&OverBar;}{W}& *& *& *& \\ h_m{X}_2& h_m{X}_3& & & & -h_m\stackrel{\&OverBar;}{R}& *& *& \\ X_2& X_3& & & & & -\stackrel{\&OverBar;}{W}& *& \\ X_1& 0& & & & & & -\stackrel{\&OverBar;}{Q}& \end{array}\right]$

＜0，j＝1，...，2^m.(18)

其中 ${\mathrm{\&Pi;}}_{32\left(j\right)}=X_3^T-X_2+N_2+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0{X}_1+\stackrel{\&OverBar;}{B}(D_{j}U+{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{j}G).$ 为克服条件(18)中类似X₁ ^-1、N₁和N₂的非线性所造成的不可直接求解和需调整变量存在性的困难，现选择

N₁＝ε₁A₁X₁，N₂＝ε₂A₁X₁，(19)

其中ε₁和ε₂是决策变量，将在最后的计算方法中处理。由(19)得到下列不等式：

，

j＝1，...，2^m.

其中，

D＝[0 D^T 0 0 0 0 0 0]^T，

，

其中 $\stackrel{\&OverBar;}{Z}=E_2(D_{j}U+D_j^{-}G).$ 根据引理1中的(12)式，如果存在Λ＝diag{μI，...，μ_rI}＞0使得

，       (20)

则不等式(28)成立。这样，应用Schur补，(20)就等价于定理1的假设(7)。进而，LMI(8)的满足保证了

， $\&ForAll;x\&Element;D_e,$ i＝1，...，m。进一步，(14)定义的Lyapunov函数表明满足

${\mathrm{\&pi;}}_1{\left|\right|\mathrm{D\&Phi;}\left|\right|}^2\&le;V\left(\mathrm{\&Phi;}\right)\&le;{\mathrm{\&pi;}}_2\underset{[-\stackrel{\&OverBar;}{h},0]}{\max }{\left|\mathrm{\&Phi;}\right|}^2,$

其中，

${\mathrm{\&pi;}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(X_1^{-1}\right),$

${\mathrm{\&pi;}}_2=\max \{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(X_1^{-1}\right)+2\frac{h_m}{1-d_1}{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}^{-1}\right),$

${2h}_m^2{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1^{-1}\right)+2\frac{h_m}{1-d_2}{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{W}}^{-1}\right)$

$+h_m{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{-1}\right)\}.$

由 $\stackrel{\&CenterDot;}{V}<0$ 意味V(t)＜V(0)，且因此

$x^T\left(t\right)X_1^{-1}x\left(t\right)\&le;V\left(t\right)<V\left(0\right)\&le;\underset{\mathrm{\&theta;}\&Element;[-\stackrel{\&OverBar;}{h},0}{\max }{\left|\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2{\mathrm{\&pi;}}_2\&le;{\mathrm{\&beta;}}^{-1},$

于是不等式(9)保证了对于所有初始函数 $\mathrm{\&Phi;}\&Element;{\mathrm{\&Xi;}}_{\mathrm{\&delta;}},$ x(t)的轨迹保持在D_e内，且沿(13)的轨迹， $\stackrel{\&CenterDot;}{V}<0.$ 这意味着1im_t→∞x(t)＝0。

5.推出上述结论的特例如下：

当C＝0，ΔA₀＝0，ΔA₁＝0，ΔB＝0，且(17)中矩阵Z₃₁、Z₃₂、Z₃₃为零阵时，矩阵Z便退化为

$Z=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{11}& *\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right].$

因此，按照上述证明相同的方式，再引入新的变量 $\tilde{Z}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_{11}& *\\ {\tilde{Z}}_{21}& {\tilde{Z}}_{22}\end{array}\right]=X^T\mathrm{ZX},$

可得到下列推论：

推论1：考虑系统(1)-(4)，对于给定

$X_1=X_1^T>0,$ X₂，U，ε₁，

及标量β，δ＞0，x(t)的轨迹保持在椭圆体D_e内，满足(8)及下列不等式集：

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Omega;}}_{11}& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{21\left(j\right)}& \mathrm{\&Omega;}22& *& *& *\\ -{\mathrm{\&epsiv;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{Q}{A}_1^T& (1-{\mathrm{\&epsiv;}}_2)\stackrel{\&OverBar;}{Q}{A}_1^T& -(1-d_1)\stackrel{\&OverBar;}{Q}& *& *\\ h_m{X}_2& h_m{X}_3& 0& -h_m\stackrel{\&OverBar;}{R}& *\\ X_1& 0& 0& 0& -\stackrel{\&OverBar;}{Q}\end{array}\right]$

＜0，j＝1，...，2^m，

$\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{Z}}_{11}& *& *\\ {\tilde{Z}}_{21}& {\tilde{Z}}_{22}& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{R}{A}_1^T& {\mathrm{\&epsiv;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{R}{A}_1^T& \stackrel{\&OverBar;}{R}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,$

${\mathrm{\&delta;}}^2\max \{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(X_1^{-1}\right)+2\frac{h_m}{1-d_1}{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}^{-1}\right),$

${2h}_m^2{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1^{-1}\right)+h_m{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left({\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{-1}\right)\}\&le;{\mathrm{\&beta;}}^{-1}.$

其中，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Omega;}}_{11}=X_2+X_2^T+{\mathrm{\&epsiv;}}_1(X_1{A}_1^T+A_1{X}_1)+h_m{\tilde{Z}}_{11},\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{21\left(j\right)}=X_3^T-X_2+(A_0+{\mathrm{\&epsiv;}}_0{A}_1)X_1\\ +B(D_{j}U-D_j^{-}G)+h_m{X}_1,\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{22}=-X_3^T+X_3+h_m{\tilde{Z}}_{22}.\end{array}\right.$

这样，满足系统设计要求的反馈增益阵由(11)给定。

由推论1，若取ε₁＝0，则本发明的结果比现有研究更少保守性。

6.给出关于时滞上界及其调节参数的确定策略如下：

应用定理2可判断计算控制律和吸引域，使得闭环中立系统鲁棒稳定的可解性。具体地需要利用X₁ ^-1、和

的最大特征值条件，提出一个使得初始条件域最大的解。即，利用

$X_1^{-1}\&le;{\mathrm{\&sigma;}}_{1}I,$

，

再由Schur补获得以下LMI：

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}_{1}I& I\\ I& X_1\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}_{2}I& I\\ I& \stackrel{\&OverBar;}{Q}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,---\left(21\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}_{3}I& I\\ I& \stackrel{\&OverBar;}{R}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0,\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}_{4}I& I\\ I& \stackrel{\&OverBar;}{W}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0.---\left(22\right)$

这样，如果

${\mathrm{\&delta;}}^2\max \{{\mathrm{\&sigma;}}_1+2\frac{h_m}{1-d_1}{\mathrm{\&sigma;}}_2,2h_m^2{\mathrm{\&sigma;}}_2+h_m{\mathrm{\&sigma;}}_3+\frac{1}{1-d_2}{\mathrm{\&sigma;}}_4\}\&le;{\mathrm{\&beta;}}^{-1}.---\left(23\right)$

成立，则条件(9)得到满足。

将上述条件结合起来，即可建构一个给定h_m下的可行解问题：

求

，

，，X₁，X₂，X₃，U，G，Λ，β，ε₁，ε₂，δ，σ_i，i＝1，...，4；

s.t.X₁＞0，

＞0，

＞0，＞0，Λ＞0，β＞0，

δ＞0，σ_i＞0，i＝1，...，4，及式(7)、(8)、(21)和(22)。

给定h_m，如果上述问题有一个解，即表明：存在一个控制器 $u\left(t\right)={\mathrm{UX}}_1^{-1}x\left(t\right),$ 使得饱和中立系统(1)-(4)稳定。

在定理2的推证过程中，引入了两个调节参数ε₁和ε₂，其理想值相应于可行解的时滞上界。计算调节参数ε₁和ε₂的算法如下：

第一步.令β＝1并固定h_m0、h_mstep、ε₁₀、ε₂₀、δ₀到足够小，使得(23)有一个可行解

，

，，X₁，X₂，X₃，U，G，Λ，σ_i，i＝1，...，4。

第二步.令h_m＝h_m0+h_mstep，ε₁＝ε₁₀，ε₂＝ε₂₀，解(23)。

第三步.若(23)可行，令h_m0＝h_m，ε₁₀＝ε₁，ε₂₀＝ε₂，转到第二步；否则，h_m＝h_m0-h_mstep。

第四步.若ε₁和ε₂充分大，ε₁＝ε₁₀，ε₂＝ε₂₀，停止；否则，改变ε₁和ε₂，转到第三步。

Claims (4)

1.一种对于一类不确定中立系统的时滞依赖鲁棒镇定策略，其特征是：通过推导，得到中立系统(1)-(4)的渐近稳定性判据为：在假设1下，如果存在P＝P^T＞0，Q＝Q^T＞0，R＝R^T＞0，W＝W^T＞0及适当维阵Y₁、Y₂、T₁和T₂，使得LMI(5)成立，则该系统是渐近稳定的。

2.一种对于一类不确定中立系统的时滞依赖鲁棒镇定策略，其特征是：基于Lyapunov-Krasovskii方法，推证了LMI形式的控制设计可解条件：如果存在Q＝Q^T＞0，R＝R^T＞0，W＝W^T＞0， $X_1=X_1^T>0,$ X₂，

Λ＝diag{μI，...，μ_rI}＞0及标量β＞0，δ＞0，满足LMI(7)、(8)、(9)，则系统(1)-(4)为吸引域内Ξ_δ渐近稳定的；这样，满足系统设计要求的的反馈增益阵便给定为式(11)。

3.根据权利要求1和权利要求2所述的不确定中立系统时滞依赖鲁棒镇定策略，其特征是：关于时滞上界及其调节参数的确定策略为：建构一个给定h_m下的可行解问题

求

，

，，X₁，X₂，X₃，U，G，Λ，β，ε₁，ε₂，δ，σ_i，i＝1，...，4；

s.t.X₁＞0，

＞0，

＞0，＞0，Λ＞0，β＞0，

δ＞0，σ_i＞0，i＝1，...，4，及式(7)、(8)、(21)和(22)；

给定h_m，如果该问题有一个解，则存在一个控制器 $u\left(t\right)={\mathrm{UX}}_1^{-1}x\left(t\right),$ 使得饱和中立系统(1)-(4)稳定。

4.根据权利要求1和权利要求2所述的不确定中立系统时滞依赖鲁棒镇定策略，其特征是：计算调节参数ε₁和ε₂的算法为：

第一步.令β＝1并固定h_m0、h_mstep、ε₁₀、ε₂₀、δ₀到足够小，使得式(23)有一个可行解

，

，，X₁，X₂，X₃，U，G，Λ，σ_i，i＝1，...，4；

第二步.令h_m＝h_m0+h_msep，ε₁＝ε₁₀，ε₂＝ε₂₀，解式(23)；

第三步.若式(23)可行，令h_m0＝h_m，ε₁₀＝ε₁，ε₂₀＝ε₂，转到第二步；否则，h_m＝h_m0-h_mstep；

第四步.若ε₁和ε₂充分大，ε₁＝ε₁₀，ε₂＝ε₂₀，停止；否则，改变ε₁和ε₂，转到第三步。