CN101566848A - 基于泡沫尺寸统计分布的浮选过程故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

一种基于泡沫尺寸统计分布的浮选过程故障诊断方法，本发明对获取的泡沫图像进行分水岭分割后，采用概率密度函数(PDF)准确描述泡沫尺寸统计特性，设计适于泡沫尺寸分布的估计算子来逼近概率密度分布，从而将泡沫尺寸PDF转化为非参数估计的动态权系数，进而建立带时滞的非线性权动态模型，基于线性矩阵不等式得到可行的优化故障检测方法和诊断方法。本发明可用于浮选流程的连续生产过程中药剂故障的检测和诊断，通过跟踪输出概率密度，分析估计曲线的权系数，设计滤波器检测出故障，并对故障进行准确的跟踪，有利于操作人员及时发现故障，稳定生产过程，实现浮选生产操作的优化。

Description

基于泡沫尺寸统计分布的浮选过程故障诊断方法

[技术领域]

本发明涉及选矿领域，图像处理技术，概率统计等领域，具体为浮选泡沫图像尺寸统计分布的表征方法，密度估计方法，带时滞的非线性随机动态系统的模型分析，药剂添加量故障的检测与诊断。

[背景技术]

浮选过程是矿物加工中广泛应用的选矿方法，涉及到极其复杂的物理化学过程，为一类典型复杂工业过程，表现出多变量、非线性、大时滞等特点。随着计算机应用技术、图像处理技术及智能控制等技术的飞速发展，研发了浮选泡沫图像视觉监控系统，对浮选过程进行在线实时监控，解决现场因人工操作主观判断造成的浮选生产过程不稳定、指标波动问题，为厂矿人员分析处理生产指标监控问题提供强有力工具。

浮选泡沫特征作为判断浮选效果好坏的一个重要的依据，它包含有大量与操作变量和产品质量有关的信息。通常在实际浮选过程中，有经验的操作工人主要通过观察浮选槽表面泡沫的视觉信息来完成浮选过程的操作，但由于对泡沫结构好坏的判断并没有一个统一的标准。近年来，基于机器视觉和图像处理技术的支撑，常规上对获取的泡沫图像进行分割后，采用简单的均值和方差特征来表征泡沫结构，从而较为粗糙的建立泡沫结构与浮选操作状态的关系。传统方法假设泡沫尺寸分布是基于正态高斯分布，而事实上，浮选泡沫尺寸分布有着很大的特殊性，典型的浮选泡沫尺寸分布呈现非高斯分布，其概率密度分布曲线存在较高的峰值和较大的偏斜度，具有左偏斜(粗选槽泡沫)或者右偏斜(扫选槽泡沫)、长拖尾等特点。所以简单的研究高斯分布的平均值和方差会造成对泡沫现状特征描述的较大误差，会严重影响浮选过程的故障检测和诊断的准确性。

[发明内容]

本发明的目的在于解决浮选泡沫尺寸统计分布的准确描述和浮选过程药剂添加故障诊断的问题，提供了一种全面表征泡沫结构特征的方法，设计的非参数估计算子逼近尺寸分布的概率密度曲线，将泡沫尺寸PDF转化为核函数的动态权系数，建立的带时滞的非线性权动态模型，基于该模型，运用线性矩阵不等式(LMI)得到合理的优化故障检测方法和诊断方法。综合利用传感技术、图像处理技术和数据分析技术，设计自适应滤波器，运用随机分布故障检测理论，提供保证检测性能的方法。

本发明采用摄像机、光源、图像采集卡、计算机及其附属部件构成系统硬件平台，由此获取浮选槽泡沫图像，并应用形态学和分水岭方法分割泡沫图像，系统泡沫图像分割软件采用C++编程语言开发，采用simulink建立带时滞的非线性不确定权动态模型。本发明主要内容如下：

首先通过浮选泡沫图像采集平台，用工业摄像机获得泡沫图像，并对图像进行形态学操作和分水岭分割，对分割后图像进行泡沫结构特征的概率密度统计。利用设计的非参数估计算子逼近出输出概率密度(PDF)曲线，将泡沫尺寸PDF转化为动态权系数，构造出基于PDF的非线性动态随机系统模型。当发生故障时，利用故障前后PDF曲线的动态变化来检测和诊断故障。

基于泡沫尺寸的浮选过程故障诊断策略的应用，能实时获得的泡沫形状密度，诊断出浮选泡沫的健康状况，对供矿断料、调整剂Na₂CO₃的加入量失常等故障能给出准确的预报警，能及时给出控制决策，指导加药量调节、优化生产。

[附图说明]

图1泡沫图像分割和气泡尺寸统计分布的软件界面

图2理想泡沫图像和故障泡沫图像

图3故障发生前后输出PDF的3D mesh图

图4带时滞非线性随机系统故障分析模型

图5逼近输出PDF的非参数估计方法比较

图6故障发生时残差信号范数的响应

下面结合附图对本发明作进一步的详细说明。

[具体实施方式]

为准确全面的描述泡沫形状分布，对由摄像机获取的泡沫图像进行形态学操作和分水岭分割，设计的非参数估计算子逼近尺寸分布的概率密度曲线，非参数估计算子包括核函数算子，直方图估计，小波估计算子，B样条估计算子。将泡沫尺寸PDF转化为动态权系数，建立的带时滞的非线性权动态模型，基于该模型，运用线性矩阵不等式得到合理的优化故障检测方法和诊断方法。

通过搭建的浮选泡沫图像采集平台获取泡沫图像，运用开发的系统泡沫图像分割软件，对获取泡沫图像进行形态学操作和分水岭分割，如图1的软件界面为采集的粗选槽泡沫图像分水岭分割后的结果，红色柱状图为泡沫尺寸统计的直方图显示。浮选流程中不同的浮选槽(如粗选槽、粗扫槽和精选槽)，其泡沫尺寸统计分布各有特点。目前存在的传统方法假设泡沫尺寸分布是基于正态高斯分布，只考虑均值和方差等特征。而事实上，典型的粗选槽泡沫尺寸分布呈现非高斯分布，其概率密度分布曲线存在较高的峰值和较大的偏斜度，通常为左偏斜、长拖尾等特点。图2所示为粗选槽采集的理想泡沫图像和药剂故障发生时的泡沫图像。这里的药剂故障指的是调整剂Na₂CO₃的加入量过高，导致pH值超过正常范围(9.4～9.8)。从分水岭分割后的图像结果来看，当pH值超过正常范围时，泡沫尺寸有增大的趋势，如图3。为准确地判断该故障，提出泡沫尺寸统计分布的浮选过程故障诊断方法具体如下：

1.采用核密度估计逼近泡沫尺寸概率密度函数(PDF)

设动态随机系统的输入为u(t)，输出为y(t)∈[a，b]，则输出y(t)在[a，ξ)范围的概率为：

$P(a\≤y\left(t\right)\≤\mathrm{\ξ})={\∫}_a^{\mathrm{\ξ}}{f}_{\ker }(x,u)\mathrm{dx}---\left(1\right)$

式中f_ker(x，u)为输出概率密度函数，其对应的物理含义为浮选泡沫图像分割后泡沫尺寸的概率密度函数(PDF)分布，u(t)是控制输入，即浮选系统中的调整剂Na₂CO₃的加入量。根据函数逼近原则，可用下述设计的核密度估计算子来逼近f_ker(x，u)：

${\hat{f}}_{\ker }\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)---\left(2\right)$

其中，

：逼近的概率密度函数PDF，

w_i：第i个核函数的权系数，

：第i个核函数，

X_i：第i个核函数的x轴中点，

h：核函数的窗宽。

根据泡沫的尺寸分布，在逼近曲线时选用了30个核函数，核函数以Epanechnikov函数为原型，构建符合浮选过程系统的核函数如式(3)：

$K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)=\frac{3}{4}(1-{\left(\frac{x-X_i}{h}\right)}^2)/h,$ x∈[X_i-h，X_i+h]    (3)

为了保证输出PDF的积分和为1，核函数应满足 $\underset{a}{\overset{b}{\∫}}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)=1,$ 考虑实际泡沫尺寸分布，需选取合适的h值，其中X_i＝100*i，i＝1，2，...，30，h＝200。各个核函数都固定不变，可获得各个核函数相对应的权系数w_i，用来表征输出PDF。图5对比了不同非参数估计算子对概率密度的逼近，包括设计的核方法估计，直方图估计法，B样条估计算子。

2.构造输出PDF模型

为避免由反馈控制所产生的权值出现负值，引入带逼近误差的输出PDF平方根模型：

$\sqrt{{\hat{f}}_{\ker }(x,u,F)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(u,F)K_i\left(z\right)+\mathrm{\ω}(z,u,F)---\left(4\right)$

式中，K_i(z)(i＝1，2，...n)是定义在[a，b]上的选定的基函数，ω(z，u，F)是逼近PDF曲线带来的误差。w_i(u)(i＝1，2，...n)是与u(t)有关的权函数。记

K₀(z)＝[k₁(z)，k₂(z)，...k_n-1(z)]^T

W(z)＝[w₁(u，F)，w₂(u，F)，...w_n-1(u，F)]^T    (5)

${\mathrm{\Λ}}_1={\∫}_a^b{K}_0^T\left(z\right)K_0\left(z\right)\mathrm{dz},{\mathrm{\Λ}}_2={\∫}_a^b{K}_0\left(z\right)k_n\left(z\right)\mathrm{dz},{\mathrm{\Λ}}_3={\∫}_a^b{k}_n^2\left(z\right)\mathrm{dz}\≠0.$

从 ${\∫}_a^b{\hat{f}}_{\ker }(x,u)\mathrm{dz}=1$ 可知，权函数向量只有n-1个是相对独立的，则式(4)可改写为

$\sqrt{{\hat{f}}_{\ker }(x,u,F)}=K^T\left(z\right)W\left(t\right)+h\left(W\left(t\right)\right)k_n\left(z\right)+\mathrm{\ω}(z,u,F)---\left(6\right)$

式中 $K\left(z\right)=K_0\left(z\right)-\frac{{\mathrm{\Λ}}_2}{{\mathrm{\Λ}}_3}{k}_n\left(z\right),$ $h\left(W\left(t\right)\right)=\frac{\sqrt{{\mathrm{\Λ}}_3-W^T\left(t\right){\mathrm{\Λ}}_{0}W\left(t\right)}}{{\mathrm{\Λ}}_3},$ ${\mathrm{\Λ}}_0={\mathrm{\Λ}}_1{\mathrm{\Λ}}_3-{\mathrm{\Λ}}_2^T{\mathrm{\Λ}}_2.$ h(W(t))为第n个核函数k_n(z)对应的权系数。对浮选泡沫尺寸的概率密度函数的描述，就转化成一组动态权系数模型。

3.基于输出PDFs的故障检测滤波

因量测信息为输出概率密度分布，为了检测故障，须设计如下故障检测滤波器：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}\left(t\right)=A\hat{x}\left(t\right)+A_d\hat{x}(t-d)+\mathrm{Hu}\left(t\right)+H_{d}u(t-d)+\mathrm{L\ϵ}\left(t\right);\\ \mathrm{\ϵ}\left(t\right)={\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)(\sqrt{f_{\ker }(z,u\left(t\right),F)}-\sqrt{{\hat{f}}_{\ker }(z,u\left(t\right))})\mathrm{dz};\\ W\left(t\right)=E\hat{x}\left(t\right);\end{array}\right.---\left(7\right)$

是估计状态向量，A，A_d，H，H_d，E为参数矩阵，d为时滞，L∈R^m×p是待定的滤波器增益，残差信号ε(t)由量测PDFs和估计PDFs之差的积分来确定，其中σ(z)∈R^n×1是一个定义在[a，b]上的给定的权向量。事实上，残差信号ε(t)可以认为是定义在故障前后两幅图像泡沫尺寸PDF之间的距离。

记 $\tilde{x}\left(t\right)=x\left(t\right)-\hat{x}\left(t\right)$ 为误差状态向量， $\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}=\stackrel{\·}{x}\left(t\right)-\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}\left(t\right),$ 将式(6)代入式(7)，则可得到误差系统为

$\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}\left(t\right)=(A-L{\mathrm{\Γ}}_1)\tilde{x}\left(t\right)+A_d\tilde{x}(t-d)-L{\mathrm{\Γ}}_2[h\left(\mathrm{Ex}\left(t\right)\right)-h\left(E\hat{x}\left(t\right)\right)]-\mathrm{L\Δ}\left(t\right)---\left(8\right)$

其中， ${\mathrm{\Γ}}_1={\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)K^T\left(z\right)\mathrm{Edz},$ ${\mathrm{\Γ}}_2={\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)k_n\left(z\right)\mathrm{dz},$ $\mathrm{\Δ}\left(t\right)={\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)\mathrm{\ω}(z,u,F)\mathrm{dz}.$

残差的表达式为：

$\mathrm{\ϵ}\left(t\right)={\mathrm{\Γ}}_1\tilde{x}\left(t\right)+{\mathrm{\Γ}}_2(h\left(\mathrm{Ex}\left(t\right)\right)-h\left(E\hat{x}\left(t\right)\right))+\mathrm{\Δ}\left(t\right)---\left(9\right)$

因逼近误差有界，设|ω(z，u，F)|≤δ，那么可以得到

$\left|\right|\mathrm{\Δ}\left(t\right)\left|\right|=\left|\right|{\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)\mathrm{\ω}(z,u,F)\left|\right|\≤\widetilde{\mathrm{\δ}},\widetilde{\mathrm{\δ}}=\mathrm{\δ}{\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)\mathrm{dz}---\left(10\right)$

对误差系统进行Lyapunov稳定性分析，并建立线性矩阵不等式求解，可以得到系统的稳定性条件如式(11)：

$\left|\right|\tilde{x}\left(t\right)\left|\right|\≤\mathrm{\α}=\max \left\{\underset{-d\≤t\≤0}{\sup }\right|\left|x\left(t\right)\right||,{\mathrm{\η}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\δ}}|\left|R\right|\left|\right\}---\left(11\right)$

从而可得到残差的范数可以用下式(12)表示：

$\left|\right|\mathrm{\ϵ}\left(t\right)\left|\right|>\mathrm{\β}:=\mathrm{\α}\left(\right|\left|{\mathrm{\Γ}}_1\right||+|\left|{\mathrm{\Γ}}_2\right|\left|\right|\left|U_1\right|\left|\right|\left|E\right|\left|\right)+\widetilde{\mathrm{\δ}}---\left(12\right)$

在浮选过程中，根据式(11)求得判断故障的临界误差状态向量的范数值α，将α代入式(12)求得残差范数的阈值β来检测故障。如果残差范数大于这个阈值β就可以判断系统发生故障，如果小于β则可以判定系统只是发生较小的波动，借此系统就可以采取不同的调节方案来处理。如图6所示：虚线为求解得到的阈值，实线为残差范数的响应。沿时间轴方向，残差范数没有超过设定的阈值时，检测滤波器提示系统运行正常，约22s后，当残差范数超过设定的阈值时，则提示系统发生故障。检测滤波器能及时指导实际操作，采取有效的药剂调节。

4.基于输出PDFs的故障诊断滤波

为了量测故障，设计了如下故障诊断滤波器：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}\left(t\right)=A\hat{x}\left(t\right)+A_d\hat{x}(t-d)+\mathrm{Hu}\left(t\right)+H_{d}u(t-d)+\mathrm{L\ϵ}\left(t\right)+J\hat{F}\left(t\right)\\ \stackrel{\stackrel{\·}{^}}{F}\left(t\right)=-{\mathrm{\γ}}_1\hat{F}\left(t\right)+{\mathrm{\γ}}_2\mathrm{\ϵ}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(13\right)$

与检测滤波的设计不同，诊断滤波是在根据式(12)判断出系统发生故障后设计，增加了故障项，其中就是对故障F的估计。γ₁和γ₂是诊断滤波的经验参数，可根据稳定性分析得到。设 $\tilde{F}\left(t\right)=F\left(t\right)-\hat{F}\left(t\right),$ 则估计的故障误差系统为：

$\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}\left(t\right)=(A-L{\mathrm{\Γ}}_1)\tilde{x}\left(t\right)+A_d\tilde{x}(t-d)+J\tilde{F}\left(t\right)-L{\mathrm{\Γ}}_2[h\left(\mathrm{Ex}\left(t\right)\right)-h\left(E\hat{x}\left(t\right)\right)]-\mathrm{L\Δ}\left(t\right)---\left(14\right)$

考虑实际中故障的特点，假设故障是有界的。对故障误差系统进行Lyapunov稳定性分析，建立线性矩阵不等式求解，就可以得到滤波器的增益和经验参数，使滤波器可以很好的跟踪发生故障的大小，从而可以对故障进行精确地诊断和调节以尽快消除故障。

Claims (1)

1.一种基于泡沫尺寸统计分布的浮选过程故障诊断方法，其特征在于：首先通过浮选泡沫图像采集平台，用工业摄像机获得泡沫图像，并对图像进行形态学操作和分水岭分割，对分割后图像进行泡沫结构特征的概率密度统计，利用设计的非参数估计算子逼近出输出概率密度PDF曲线，将泡沫尺寸PDF转化为动态权系数，构造出基于PDF的非线性动态随机系统模型，当发生故障时，利用故障前后PDF曲线的动态变化来检测和诊断故障，具体包括以下步骤：

①采用核密度估计逼近泡沫尺寸概率密度函数

设动态随机系统的输入为u(t)，输出为y(t)∈[a，b]，则输出y(t)在[a，ξ)范围的概率为：

$P(\text{a\≤y}\left(t\right)\≤\mathrm{\ξ})={\∫}_a^{\mathrm{\ξ}}{f}_{\ker }(x,u)\mathrm{dx}---\left(1\right)$

式中f_ker(x，u)为输出概率密度函数，其对应的物理含义为浮选泡沫图像分割后泡沫尺寸的概率密度函数分布，u(t)是控制输入，即浮选系统中的调整剂Na₂CO₃的加入量，根据函数逼近原则，用下述设计的核密度估计算子来逼近f_ker(x，u)：

${\hat{f}}_{\ker }\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)---\left(2\right)$

其中，

：逼近的概率密度函数PDF，

w_i：第i个核函数的权系数，

：第i个核函数，

X_i：第i个核函数的x轴中点，

h：核函数的窗宽；

根据泡沫的尺寸分布，在逼近曲线时选用了30个核函数，核函数以Epanechnikov函数为原型，构建符合浮选过程系统的核函数如式(3)：

$K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)=\frac{3}{4}(1-{\left(\frac{x-X_i}{h}\right)}^2)/h,$ x∈[X_i-h，X_i+h]    (3)

为了保证输出PDF的积分和为1，核函数应满足 $\underset{a}{\overset{b}{\∫}}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)=1,$ 考虑实际泡沫尺寸分布，需选取合适的h值，其中X_i＝100*i，i＝1，2，...，30，h＝200，各个核函数都固定不变，可获得各个核函数相对应的权系数w_i，用来表征输出PDF；

②构造输出PDF模型

为避免由反馈控制所产生的权值出现负值，引入带逼近误差的输出PDF平方根模型：

$\sqrt{{\hat{f}}_{\ker }(x,u,F)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(u,F)K_i\left(z\right)+\mathrm{\ω}(z,u,F)---\left(4\right)$

式中，K_i(z)(i＝1，2，...n)是定义在[a，b]上的选定的基函数，ω(z，u，F)是逼近PDF曲线带来的误差，w_i(u)(i＝1，2，...n)是与u(t)有关的权函数，记

K₀(z)＝[k₁(z)，k₂(z)，...k_n-1(z)]^T

W(z)＝[w₁(u，F)，w₂(u，F)，...w_n-1(u，F)]^T    (5)

${\mathrm{\Λ}}_1={\∫}_a^b{K}_0^T\left(z\right)K_0\left(z\right)\mathrm{dz},{\mathrm{\Λ}}_2={\∫}_a^b{K}_0\left(z\right)k_n\left(z\right)\mathrm{dz},{\mathrm{\Λ}}_3={{\∫}_a^{b}k}_n^2\left(z\right)\mathrm{dz}\≠0.$

从 ${\∫}_a^b{\hat{f}}_{\ker }(x,u)\mathrm{dz}=1$ 可知，权函数向量只有n-1个是相对独立的，则式(4)可改写为

$\sqrt{{\hat{f}}_{\ker }(x,u,F)}=K^T\left(z\right)W\left(t\right)+h\left(W\left(t\right)\right)k_n\left(z\right)+\mathrm{\ω}(z,u,F)---\left(6\right)$

式中 $K\left(z\right)=K_0\left(z\right)-\frac{{\mathrm{\Λ}}_2}{{\mathrm{\Λ}}_3}{k}_n\left(z\right),$ $h\left(W\left(t\right)\right)=\frac{\sqrt{{\mathrm{\Λ}}_3-W^T\left(t\right){\mathrm{\Λ}}_{0}W\left(t\right)}}{{\mathrm{\Λ}}_3},$ ${\mathrm{\Λ}}_0={\mathrm{\Λ}}_1{\mathrm{\Λ}}_3-{\mathrm{\Λ}}_2^T{\mathrm{\Λ}}_2,$ h(W(t))为第n个核函数k_n(z)对应的权系数，对浮选泡沫尺寸的概率密度函数的描述，就转化成一组动态权系数模型；

③基于输出PDFs的故障检测滤波

因量测信息为输出概率密度分布，为了检测故障，设计如下故障检测滤波器：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\hat{x}}\left(t\right)=A\hat{x}\left(t\right)+A_d\hat{x}(t-d)+\mathrm{Hu}\left(t\right)+H_{d}u(t-d)+\mathrm{L\ϵ}\left(t\right);\\ \mathrm{\ϵ}\left(t\right)={\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)(\sqrt{f_{\ker }(z,u\left(t\right),F)}-\sqrt{{\hat{f}}_{\ker }(z,u\left(t\right))})\mathrm{dz};\\ W\left(t\right)=E\hat{x}\left(t\right);\end{array}\right.---\left(7\right)$

是估计状态向量，A，A_d，H，H_d，E为参数矩阵，d为时滞，L∈R^m×p是待定的滤波器增益，残差信号ε(t)由量测PDFs和估计PDFs之差的积分来确定，其中σ(z)∈R^n×1是一个定义在[a，b]上的给定的权向量；

记 $\tilde{x}\left(t\right)=x\left(t\right)-\hat{x}\left(t\right)$ 为误差状态向量， $\stackrel{\·}{\tilde{x}}\left(t\right)=\stackrel{\·}{x}\left(t\right)-\stackrel{\·}{\hat{x}}\left(t\right),$ 将式(6)代入式(7)，则可得到误差系统为

$\stackrel{\·}{\tilde{x}}\left(t\right)=(A-L{\mathrm{\Γ}}_1)\tilde{x}\left(t\right)+A_d\tilde{x}(t-d)-L{\mathrm{\Γ}}_2[h\left(\mathrm{Ex}\left(t\right)\right)-h\left(E\hat{x}\left(t\right)\right)-\mathrm{L\Δ}\left(t\right)]---\left(8\right)$

其中， ${\mathrm{\Γ}}_1={\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)K^T\left(z\right)\mathrm{Edz},{\mathrm{\Γ}}_2={\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)k_n\left(z\right)\mathrm{dz},\mathrm{\Δ}\left(t\right)={\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)\mathrm{\ω}(z,u,F)\mathrm{dz}.$ 残差的表达式为：

$\mathrm{\ϵ}\left(t\right)={\mathrm{\Γ}}_1\tilde{x}\left(t\right)+{\mathrm{\Γ}}_2(h\left(\mathrm{Ex}\left(t\right)\right)-h\left(E\hat{x}\left(t\right)\right))+\mathrm{\Δ}\left(t\right)---\left(9\right)$

因逼近误差有界，设|ω(z，u，F)|≤δ，那么可以得到

$\left|\right|\mathrm{\Δ}\left(t\right)\left|\right|=\left|\right|{\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)\mathrm{\ω}(z,u,F)\left|\right|\≤\widetilde{\mathrm{\δ}},$ $\widetilde{\mathrm{\δ}}=\mathrm{\δ}{\∫}_a^b\mathrm{\σ}\left(z\right)\mathrm{dz}---\left(10\right)$

对误差系统进行Lyapunov稳定性分析，并建立线性矩阵不等式求解，得到系统的稳定性条件如式(11)：

$\left|\right|\tilde{x}\left(t\right)\left|\right|\≤\mathrm{\α}=\max \{\underset{-d\≤t\≤0}{\sup }|\left|x\left(t\right)\right||,{\mathrm{\η}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\δ}}|\left|R\right|\left|\right\}---\left(11\right)$

从而可得到残差的范数可以用下式(12)表示：

$\left|\right|\mathrm{\ϵ}\left(t\right)\left|\right|>\mathrm{\β}:=\mathrm{\α}\left(\right|\left|{\mathrm{\Γ}}_1\right||+|\left|{\mathrm{\Γ}}_2\right|\left|\right|\left|U_1\right|\left|\right|\left|E\right|\left|\right)+\widetilde{\mathrm{\δ}}---\left(12\right)$

在浮选过程中，根据式(11)求得判断故障的临界误差状态向量的范数值α，将α代入式(12)求得残差范数的阈值β来检测故障，如果残差范数大于这个阈值β就可以判断系统发生故障，如果小于β则可以判定系统只是发生较小的波动，借此系统就可以采取不同的调节方案来处理，当残差范数超过设定的阈值时，则提示系统发生故障，检测滤波器能及时指导实际操作，采取有效的药剂调节；

④基于输出PDFs的故障诊断滤波

为了量测故障，设计了如下故障诊断滤波器：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\hat{x}}\left(t\right)=A\hat{x}\left(t\right)+A_d\hat{x}(t-d)+\mathrm{Hu}\left(t\right)+H_{d}u(t-d)+\mathrm{L\ϵ}\left(t\right)+J\hat{F}\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{\hat{F}}\left(t\right)=-{\mathrm{\γ}}_1\hat{F}\left(t\right)+{\mathrm{\γ}}_2\mathrm{\ϵ}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(13\right)$

与检测滤波的设计不同，诊断滤波是在根据式(12)判断出系统发生故障后设计，增加了故障项，其中

就是对故障F的估计，则估计的故障误差系统为：

$\stackrel{\·}{\tilde{x}}\left(t\right)=(A-{\mathrm{L\Γ}}_1)\tilde{x}\left(t\right)+A_d\tilde{x}(t-d)+J\tilde{F}\left(t\right)-L{\mathrm{\Γ}}_2[h\left(\mathrm{Ex}\left(t\right)\right)-h\left(E\hat{x}\left(t\right)\right)]-\mathrm{L\Δ}\left(t\right)---\left(14\right)$

考虑实际中故障的特点，假设故障是有界的，对故障误差系统进行Lyapunov稳定性分析，建立线性矩阵不等式求解，得到滤波器的增益和经验参数，使滤波器可以很好的跟踪发生故障的大小，从而对故障进行精确地诊断和调节以尽快消除故障。

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