CN101510792B - 弱相关非高斯信道下的伪码捕获方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的是一种弱相关非高斯信道下的伪码捕获方法。针对弱相关非高斯噪声环境，将伪码捕获等价为假设检验问题，将弱相关非高斯噪声建模为一阶滑动平均SaS噪声模型，利用局部最佳检测算法推导出弱相关非高斯噪声环境下的伪码捕获检测统计量，得到弱相关噪声模型下伪码二维捕获结构及其简化形式，并与传统的伪码捕获结构进行了性能仿真对比，仿真结果表明该捕获结构在相关非高斯噪声环境下检测性能有较大幅度的提高。

Description

弱相关非高斯信道下的伪码捕获方法

(一)技术领域

本发明涉及的是一种信号处理方法，具体地说是一种伪码捕获方法。

(二)背景技术

扩频系统因其抗干扰能力强、保密性好、能抗多径衰落等优点被广泛的应用于军民通信与导航领域中。但这些优点只有当本地伪码与接收伪码同步时才能得到，伪码的同步问题是扩频技术的基本问题。同步分为粗同步和精同步，即信号的捕获与跟踪。捕获是指本地伪码序列与接收伪码对准在一定的范围内(通常在半个码片内)，捕获是跟踪的前提。实际上由于观测噪声独立高斯分布的假设往往是不成立的。首先，许多实际信道中存在的噪声，如大气噪声和其它各种射频系统引入的人为脉冲干扰，都致使观测噪声的概率密度函数为非高斯分布的。其次，在现代数字信号处理中，由于采样速率越来越高，包含于采样值中的噪声成分不再相互独立，而是存在一定的相关性，需要采用相关噪声对其进行建模。因此，在上述复杂相关非高斯噪声模型下，一般性的独立高斯噪声假设下得到的平方和检测器不能保证达到最佳捕获性能，从而有必要研究相关非高斯噪声下直扩系统的最佳捕获结构。

现有伪码捕获结构简析：

直接序列扩频系统(Direct-Sequence Spread-Spectrum，DS/SS)中最常用的伪码捕获结构为非相干同相/正交相关器的平方和检测器(Squared-SumDetector，SS检测器)，如图1所示。这是因为平方和检测器为独立高斯信道下直扩信号的最优检测方式。缺点：该检测器应用于非高斯信道下直扩信号时，性能会急剧下降。

(三)发明内容

本发明的目的在于提供一种能大幅度提高检测性能的弱相关非高斯信道下的伪码捕获方法。

本发明的目的是这样实现的：

通过局部最佳算法算出的统计量与捕获判决门限进行比较来验证是否捕获到直扩信号；如果小于门限，则滑动本地伪码相位重新进行判断比较直至捕获到信号；高斯加性噪声下常规平方和(SS)检测器结构为 $T_{\mathrm{SS}}(X^I,X^Q)={\left({\mathrm{\Σ}}_{i=1}^M{X}_i^I\right)}^2+{\left({\mathrm{\Σ}}_{i=1}^M{X}_i^Q\right)}^2;$ 其中统计量是把捕获结构中两支路的联合概率密度函数应用局部最佳检测算法得到，具体方法为：

在θ＝0处的一阶导数为：

$\frac{d{f}_{X^I,X^Q}(X^I,X^Q)}{\mathrm{d\θ}}{|}_{\mathrm{\θ}=0}=E_{\mathrm{\φ}}\left\{\underset{i=1}{\overset{N_b}{\mathrm{\Σ}}}{f}_{N^I,N^Q}^{\′}(N_i^I,N_i^Q)\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N_b}{\mathrm{\Π}}}{f}_{N^I,N^Q}(N_j^I,N_j^Q){|}_{\mathrm{\θ}=0}\right\}$

其中：

$E_{\mathrm{\φ}}=\left\{\frac{{\mathrm{df}}_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{\mathrm{d\θ}}{|}_{\mathrm{\θ}=0}\right\}=E_{\mathrm{\φ}}\{-\cos \mathrm{\φ}\frac{{\∂f}_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{{\∂N}_i^I}-\sin \mathrm{\φ}\frac{\∂f_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{\∂N_i^Q}\}=0$

在θ＝0处的一阶导数为0，求

在θ＝0处的二阶导

$\frac{d^2{f}_{Y^I,Y^Q}(Y^I,Y^Q)}{d{\mathrm{\θ}}^2}{|}_{\mathrm{\θ}=0}=E_{\mathrm{\φ}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\right[f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}^{\′\′}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)\underset{j=1,j\≠i}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)$

$+f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}^{\′}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)\underset{j=1,j\≠i}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}^{\′}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)\underset{k=1,k\≠i,j}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_k^I,{\mathrm{\Λ}}_k^Q)\left]\right\}$

其中：

$\frac{d^2{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{d{\mathrm{\θ}}^2}={\cos }^2\mathrm{\φ}{C}_i^2\frac{{\∂}^2{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{{(\∂{\mathrm{\Λ}}_i^I)}^2}+{\sin }^2\mathrm{\φ}{C}_i^2\frac{{\∂}^2{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{{\left({\∂\mathrm{\Λ}}_i^Q\right)}^2}$

$+\cos \mathrm{\φ}\sin \mathrm{\φ}{C}_i^2\frac{{\∂}^2{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_i^I{\∂\mathrm{\Λ}}_i^Q}+\sin \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\φ}{C}_i^2\frac{{\∂}^2{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_i^Q{\∂\mathrm{\Λ}}_i^I}$

在θ＝0处的二阶导函数中，第一项表示为：

$E_{\mathrm{\φ}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}^{\′\′}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)\underset{j=1,j\≠i}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)\right\}{|}_{\mathrm{\θ}=0}=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{C}_i^2\{h\left(Y_i^I\right)+h\left(Y_i^Q\right)\}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}(Y_j^I,Y_j^Q)$

其中：

$h\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\×\frac{{\∂}^2{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{\∂{\left(Y_i^b\right)}^2}$

b＝{I，Q}对应同相正交支路；

同样

$f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}^{\′}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}^{\′}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)={\cos }^2\mathrm{\φ}{C}_i{C}_j\frac{\∂f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_i^I}\frac{\∂f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_j^I}$

$+{\sin }^2\mathrm{\φ}{C}_i{C}_j\frac{{\∂f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_i^Q}\frac{{\∂f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_j^Q}$

$+\cos \mathrm{\φ}\sin \mathrm{\φ}{C}_i{C}_j[\frac{{\∂f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_i^I}\frac{\∂f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_j^Q}+\frac{\∂f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_i^Q}\frac{\∂f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)}{\∂{\mathrm{\Λ}}_j^I}]$

在θ＝0处的二阶导函数中的第二项表示为：

$E_{\mathrm{\φ}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1,j\≠i}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}^{\′}({\mathrm{\Λ}}_i^I,{\mathrm{\Λ}}_i^Q)f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}^{\′}({\mathrm{\Λ}}_j^I,{\mathrm{\Λ}}_j^Q)\underset{k=1,k\≠i,j}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}({\mathrm{\Λ}}_k^I,{\mathrm{\Λ}}_k^Q)\right\}{|}_{\mathrm{\θ}=0}$

$=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1,j\≠i}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{C}_i{C}_j\{g\left(Y_i^I\right)g\left(Y_j^I\right)+g\left(Y_i^Q\right)g\left(Y_j^Q\right)\}\×\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}(Y_k^I,Y_k^Q)$

其中：

$g\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\×\frac{\∂f_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{\∂Y_i^b}$

b＝{I，Q}对应同相正交支路；把上述函数带入 $f_{Y^I,Y^Q}(Y^I,Y^Q){|}_{\mathrm{\θ}=0}=\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{f}_{{\mathrm{\Λ}}^I,{\mathrm{\Λ}}^Q}(Y_k^I,Y_k^Q)$ 得到局部最佳统计量T_LO。

针对弱相关非高斯信道下的伪码捕获问题，本发明提出了一种基于局部最佳检测统计量的伪码捕获结构，并且该方法等价为假设检验问题。非高斯噪声通常被建模为对称α稳态分布，因为该噪声模型分布不仅服从广义中心极限定理，而且是更具有普遍意义。Nikas等人研究指出对称α稳态分布是描述大气噪声的非常好的模型可参见[G.Samorodnitsky and M.S.Taqqu，Stable Non-GaussianRandom Processes：Stochastic Models with Infinite Variance.New York：Chapman&Hall，1994.]

弱相关非高斯信道下DS/SS系统接收信号模型可表示为：

$r\left(t\right)=\sqrt{2E}d(t-\mathrm{\τ}{T}_c)c(t-\mathrm{\τ}{T}_c)\cos ({\mathrm{\ω}}_{c}t+\mathrm{\φ})+w\left(t\right)$

其中E是接收单个码片能量，d(t)为发射数据，不失一般性，假设调制数据始终为1，T_c为码元宽度，τ为相对T_c的归一化时延， $c\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{-\∞}^{\∞}{c}_i{p}_{T_c}(t-i{T}_c),$

是区间[0，T_c]上的单位矩形脉冲，ω_c为接收信号载波频率，φ为接收信号载波相位，φ在[0，2π]内服从均匀分布，w(t)为弱相关非高斯噪声。

综上所述，在弱相关非高斯噪声环境下，发明了一种基于局部最佳检测算法的伪码捕获结构。通过利用局部最佳检测算法给出了伪码二维捕获的检测统计量，得到了弱相关非高斯噪声下直扩信号的二维局部最佳捕获器(LOD)及其简化形式(S-LOD、N-LOD)，并且在α＝1的情况下，对这几种伪码捕获器进行仿真，通过仿真比较它们的性能。

采用蒙特-卡洛方法对SS检测器、3(M-1)个存储空间的LO检测器、简化的LO检测器及不需存储空间的LO检测器捕获性能进行了计算机仿真。仿真中伪码采用码周期为1023的m序列，其本原多项式为1+z³+z¹⁰，为缩短仿真时间，取M＝50。S-LOD、N-LOD、SS D和LOD分别代表简化的LO检测器、不需存储空间的LO检测器、SS检测器和3(M-1)个存储空间的LO检测器，经过比较分析本发明的伪码捕获器的优势如下：

①图4给出了检测器在相关非高斯噪声下捕获概率与信噪比的关系，从图中可以发现，在ρ和信噪比相同的情况下，本发明设计的LOD有着最高的捕获概率，其简化结构S-LOD的捕获概率也明显优于N-LOD和SS D，相比LOD，简化结构S-LOD捕获性能稍有下降，但却节省了3(M-2)个存储空间；随着信噪比的增加，S-LOD、N-LOD和LOD三者的捕获概率都相应增加，而传统的SS检测器捕获概率很低，且基本保持不变。

②在不同的信噪比条件下，分析四种检测器捕获概率与ρ之间的关系，由图5可知，常规SS检测器捕获概率比较低，且不随ρ值的变化而变化；S-LOD、N-LOD和LOD三种检测器捕获概率随着ρ值的增大而降低，在ρ值较小时，简化S-LOD检测器捕获概率与LOD相当，当ρ值逐渐增大时，简化S-LOD检测器捕获概率与LOD的误差越来越大，而不需存储空间的N-LOD检测器在这三种检测器中性能最低。

③由图6可知，在相同信噪比条件下，常规SS检测器随特征指数α的增大其捕获概率值保持不变，但和其他几种检测器相比，其捕获概率最低。而其它三种检测器的捕获概率都随着α值的增大而降低，而LOD检测器的捕获概率值最大且降低缓慢。因此，LOD检测器捕获概率高，信号检测性能最好。

通过比较分析在相关非高斯噪声环境下，本发明所设计的局部最佳检测器较传统的平方和检测器和非相关非高斯噪声环境下局部最佳检测器检测性能有较大幅度的提高。

(四)附图说明

图1常规平方和(SS)检测器结构；

图2伪码捕获系统结构图；

图3局部最佳检测器结构；

图4相关非高斯噪声下四种检测器捕获性能对比；

图5不同信噪比条件下四种检测器捕获概率与ρ的关系；

图6相同信噪比条件下四种检测器捕获概率与特征指数α的关系。

(五)具体实施方式

下面结合附图举例对本发明做更详细地描述：

在弱相关非高斯信道环境下，局部最佳检测器能够使捕获性能达到最佳，本发明的伪码捕获结构看参见附图2，首先将接收信号经过同相/正交两只路，进行载波波离和伪码解扩处理，将伪码捕获对应于假设检验问题，给定观测量{X_i ^I}_i＝1 ^M和{X_i ^Q}_i＝1 ^M，在H₀和H₁两种状态下进行判决，其中， $H_0:|\mathrm{\&tau;}-\widehat{\mathrm{\&tau;}}|\&GreaterEqual;1$ 对应未捕获状态； $H_1:|\mathrm{\&tau;}-\widehat{\mathrm{\&tau;}}|<1$ 对应捕获状态，在H₁状态下，本地伪码与接收伪码每个采样点相关值为

假设系统捕获状态下不存在未对准部分，即δ＝0，则每个码相位采样点相关值为在H₀状态下，每个相位采样点相关值等概率取+1或-1，因此相位采样点相关值的均值为0。根据两正交支路的采样值得到两种假设状态下的表达式：

$H_0:(X_i^I=W_i^I,X_i^Q=W_i^Q),i=\mathrm{1,2},...M$

$H_1:(X_i^I=\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}+W_i^I,X_i^Q=\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}+W_i^Q),i=\mathrm{1,2},...,M$

其中 $\mathrm{\&theta;}=\sqrt{E}$ 为信号强度参数。

然后根据上面检验假设问题，本发明对接收的噪声进行分析，得到正交两支路的联合概率密度。{W_i ^I}_i＝0 ^M和{W_i ^Q}_i＝0 ^M分别为同相和正交两支路的一阶滑动平均噪声的采样值，可表示为：

$W_i^I={\mathrm{\&Lambda;}}_i^I+{\mathrm{\&rho;\&Lambda;}}_{i-1}^I$

$W_i^Q={\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q+{\mathrm{\&rho;\&Lambda;}}_{i-1}^Q$

其中，ρ定义为相邻两个采样时刻噪声序列之间的依赖参数，当ρ＝0时，噪声序列{W_i ^b}_i＝1 ^M相邻采样时刻相互独立；其对称α稳态分布的二维概率密度函数可以通过求解其特征函数的反傅立叶变换得到：

$f_{\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&gamma;},{\mathrm{\&beta;}}_1,{\mathrm{\&beta;}}_2}(x_1,x_2)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^2}\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\exp [i({\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&omega;}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_2)-\mathrm{\&gamma;}{({\mathrm{\&omega;}}_1^2+{\mathrm{\&omega;}}_2^2)}^{\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}}]e^{-i(x_1{\mathrm{\&omega;}}_1+x_2{\mathrm{\&omega;}}_2)}d{\mathrm{\&omega;}}_{1}d{\mathrm{\&omega;}}_2$

其中α为特征指数，γ为分散系数，β₁和β₂为对称参数。特征指数α的取值范围为0＜α≤2，当α＝1是柯西分布，α＝2是高斯分布，并且α值越小，所对应分布的拖尾越厚，因此脉冲特性越明显。对称参数β₁、β₂用于确定分布的对称特性，本结构中采用的是对称α稳态分布，所以β₁＝β₂＝0，则其二维概率密度的函数为：

$f_{\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&gamma;}}(x_1,x_2)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2\mathrm{\&pi;}{(x_1^2+x_2^2+{\mathrm{\&gamma;}}^2)}^{\frac{3}{2}}},& \mathrm{\&alpha;}=1\\ \frac{1}{4\mathrm{\&pi;\&gamma;}}\exp (-\frac{x_1^2+x_2^2}{4\mathrm{\&gamma;}}),& \mathrm{\&alpha;}=2\end{array}\right.$

本结构将注重分析α＝1时的情况，其拖尾较厚，脉冲特性比较明显，因此更能客观地反映其它对称α稳态分布的概率密度分布特性。假定对于给定的相位φ，噪声过程的采样序列形成了互相独立的随机向量。则在正交同相支路上2M个采样点{X_i ^I，X_i ^Q}_i＝1 ^M的观测量联合概率密度函数为：

$f_{X^I,X^Q}(X^I,X^Q)=E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{f_{W^I,W^Q}(X^I-\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;},X^Q-\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;})\right\}$

$=E_{\mathrm{\&phi;}}\{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(X_1^I-\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;},X_1^Q-\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;})$

$\&times;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(X_2^I-\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-\mathrm{\&rho;}(X_1^I-\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}),X_2^Q-\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}-\mathrm{\&rho;}(X_1^Q-\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}))$

$...\&times;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(X_M^I-\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}-\mathrm{\&rho;}(X_{M-1}^I-\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;})+...+{(-\mathrm{\&rho;})}^{M-1}(X_1^I-\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}),$

$X_M^Q-\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}-\mathrm{\&rho;}(X_{M-1}^Q-\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;})+...+{(-\mathrm{\&rho;})}^{M-1}(X_1^Q-\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;})\}$

$=E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I-\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}{C}_i,Y_i^Q-\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}{C}_i)\right\}$

其中：E_φ为对φ取数学期望； $C_i=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{\&rho;})}^j;$ $Y_i^b=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{\&rho;})}^j{X}_{i-j}^b,$ b＝{I，Q}对应同相正交两支路。令 $Y^I=(Y_1^I,Y_2^I,...Y_M^I),$ $Y^Q=(Y_1^Q,Y_2^Q,...Y_M^Q),$ 则上面的二元假设变成如下形式：

$H_0:(Y_i^I={\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,Y_i^Q={\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q),i=\mathrm{1,2},...M$

$H_1:(Y_i^I=\mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&phi;}{C}_i+{\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,Y_i^Q=\mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&phi;}{C}_i+{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q),i=\mathrm{1,2},...,M$

则同相、正交两支路上观测量{Y_i ^I，Y_i ^Q}_i＝1 ^M的2M个采样点的联合概率密度函数为：

$f_{Y^I,Y^Q}(Y^I,Y^Q)=E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)\right\}$

最后本发明应用局部最佳检测算法得到统计量为：

$T_{\mathrm{LO}}(Y^I,Y^Q)=\frac{1}{f_{X^I,X^Q}(Y^I,Y^Q){|}_{\mathrm{\&theta;}=0}}\&times;\frac{d^v{f}_{Y^I,Y^Q}(Y^I,Y^Q)}{d{\mathrm{\&theta;}}^v}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}$

其中v是

在θ＝0处的第一个非零导数的阶数。当

在θ＝0处的一阶导数为：

$\frac{{\mathrm{df}}_{X^I,X^Q}(X^I,X^Q)}{\mathrm{d\&theta;}}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}=E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{N_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{N^I,N^Q}^{\&prime;}(N_i^I,N_i^Q)\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{N_b}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{N^I,N^Q}(N_j^I,N_j^Q){|}_{\mathrm{\&theta;}=0}\right\}$

其中：

$E_{\mathrm{\&phi;}}=\left\{\frac{{\mathrm{df}}_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{\mathrm{d\&theta;}}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}\right\}=E_{\mathrm{\&phi;}}\{-\cos \mathrm{\&phi;}\frac{{\&PartialD;f}_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{{\&PartialD;N}_i^I}-\sin \mathrm{\&phi;}\frac{\&PartialD;f_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{\&PartialD;N_i^Q}\}=0$

所以在θ＝0处的一阶导数为0。因此要求

在θ＝0处的二阶导数：

$\frac{d^2{f}_{Y^I,Y^Q}(Y^I,Y^Q)}{d{\mathrm{\&theta;}}^2}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}=E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right[f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)$

$+f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)\underset{k=1,k\&NotEqual;i,j}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_k^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_k^Q)\left]\right\}$

其中：

$\frac{d^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{d{\mathrm{\&theta;}}^2}={\cos }^2\mathrm{\&phi;}{C}_i^2\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{(\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^I)}^2}+{\sin }^2\mathrm{\&phi;}{C}_i^2\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{\left({\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q\right)}^2}$

$+\cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&phi;}{C}_i^2\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^I{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q}+\sin \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&phi;}{C}_i^2\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^I}$

则其二阶导数的第一项为：

$E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)\right\}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i^2\{h\left(Y_i^I\right)+h\left(Y_i^Q\right)\}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_j^I,Y_j^Q)$

其中：

$h\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\&times;\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{\&PartialD;{\left(Y_i^b\right)}^2}$

b＝{I，Q}对应同相正交支路。

同样

$f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)={\cos }^2\mathrm{\&phi;}{C}_i{C}_j\frac{\&PartialD;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^I}\frac{\&PartialD;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_j^I}$

$+{\sin }^2\mathrm{\&phi;}{C}_i{C}_j\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q}\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q}$

$+\cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&phi;}{C}_i{C}_j[\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^I}\frac{\&PartialD;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q}+\frac{\&PartialD;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q}\frac{\&PartialD;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_j^I}$

其二阶导数的第二项为：

$E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)\underset{k=1,k\&NotEqual;i,j}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_k^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_k^Q)\right\}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}$

$=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i{C}_j\{g\left(Y_i^I\right)g\left(Y_j^I\right)+g\left(Y_i^Q\right)g\left(Y_j^Q\right)\}\&times;\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_k^I,Y_k^Q)$

其中：

$g\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\&times;\frac{\&PartialD;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{\&PartialD;Y_i^b}$

最终得到相关非高斯噪声环境下的LO检测器检测统计量：

$T_{\mathrm{LO}}(X^I,X^Q)=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i^2\{h\left(Y_i^I\right)+h\left(Y_i^Q\right)\}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j\&NotEqual;i,j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i{C}_j\{g\left(Y_i^I\right)g\left(Y_j^I\right)+g\left(Y_i^Q\right)g\left(Y_j^Q\right)\}$

其中：

$h\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\&times;\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{\&PartialD;{\left(Y_i^b\right)}^2}$

$g\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\&times;\frac{\&PartialD;f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{\&PartialD;Y_i^b}$

式中： $C_i=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{\&rho;})}^j;$ $Y_i^b=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{\&rho;})}^j{X}_{i-j}^b,$ b＝{I，Q}对应同相、正交两支路。

下面针对二维相关对称α稳态平稳噪声分布中α＝1的情况进行分析，得到该噪声模型下直扩系统的二维局部最佳捕获结构及其简化形式。当α＝1的时候，将 $h\left(Y_i^{I\left(Q\right)}\right)=\frac{12{\left(Y_i^{I\left(Q\right)}\right)}^2-3{\left(Y_i^{Q\left(I\right)}\right)}^2-3{\mathrm{\&gamma;}}^2}{{\left(Y_i^I\right)}^2+{\left(Y_i^Q\right)}^2+{\mathrm{\&gamma;}}^2}$ 和 $g\left(Y_i^{I\left(Q\right)}\right)=\frac{3Y_i^{I\left(Q\right)}}{{\left(Y_i^I\right)}^2+{\left(Y_i^Q\right)}^2+{\mathrm{\&gamma;}}^2}$ 带入到相关非高斯噪声环境下的LO检测器检测统计量中，得到在α＝1情况下的统计量：

$T_{\mathrm{LO}}(X^I,X^Q)=\frac{9}{2}[{\left(\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i\frac{Y_i^I}{{\left(Y_i^I\right)}^2+{\left(Y_i^Q\right)}^2+{\mathrm{\&gamma;}}^2}\right)}^2+{\left(\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i\frac{Y_i^Q}{{\left(Y_i^I\right)}^2+{\left(Y_i^Q\right)}^2+{\mathrm{\&gamma;}}^2}\right)}^2]$

$-3\left(\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i^2\frac{{\mathrm{\&gamma;}}^2}{{\{{\left(Y_i^I\right)}^2+{\left(Y_i^Q\right)}^2+{\mathrm{\&gamma;}}^2\}}^2}\right)$

以上给出的LO检测器需要3(M-1)个存储空间，占用过多系统资源，难以实际应用。由于实际直扩系统中噪声采样值之间的相关性比较小，在不考虑{ρ^k|k＝2，…}等高阶项的情况下，可以得到只需3个存储空间的简化LO检测器结构T_SLO：

$T_{\mathrm{SLO}}(X^I,X^Q)=T_{\mathrm{LO}}(X^I,X^Q){|}_{Y_i^b=X_i^b-\mathrm{\&rho;}{X}_{i-1}^b,C_i=1-\mathrm{\&rho;u}(i-2)}$

式中， $X_0^b=0,$ u(i)为单位阶跃响应函数，当i＜0时u(i)＝0；当i≥0时u(i)＝1。图3给出了简化LO检测器结构示意图。该简化LO检测器大大降低了检测器的实现复杂度，若不考虑所有ρ({ρⁱ|i＝1，2，3…M})项，则可得到不需存储空间的LO检测器，经过分析不难发现经过简化后的检测器与非相关非高斯噪声环境下检测器结构一致。

本发明提出的伪码捕获结构与传统的伪码捕获结构进行了性能对比如图4，结果表明在相关非高斯噪声环境下，局部最佳检测器较传统的平方和检测器和非相关非高斯噪声环境下局部最佳检测器检测性能有较大幅度的提高。

Claims (1)

1.一种弱相关非高斯信道下的伪码捕获方法，其特征是：通过局部最佳算法算出的统计量与捕获判决门限进行比较来验证是否捕获到直扩信号；如果小于门限，则滑动本地伪码相位重新进行判断比较直至捕获到信号；其中统计量是把捕获结构中两支路的联合概率密度函数

应用局部最佳检测算法得到，具体方法为：

正交同相两支路观测量联合概率密度函数

在θ＝0处的一阶导数为：

$\frac{{\mathrm{df}}_{X^I,X^Q}(X^I,X^Q)}{\mathrm{d\&theta;}}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}{=E}_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{N_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{N^I,N^Q}^{\&prime;}(N_i^I,N_i^Q)\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{N_b}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{N^I,N^Q}(N_j^I,N_j^Q){|}_{\mathrm{\&theta;}=0}\right\}$

其中：θ为信号强度参数；

$E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\frac{d{f}_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{\mathrm{d\&theta;}}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}\right\}=E_{\mathrm{\&phi;}}\{-\cos \mathrm{\&phi;}\frac{\&PartialD;f_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{\&PartialD;N_i^I}-\sin \mathrm{\&phi;}\frac{\&PartialD;f_{N^I,N^Q}(N_i^I,N_i^Q)}{\&PartialD;N_i^Q}\}=0$

为观测量 $Y^I=(Y_1^I,Y_2^I,...Y_M^I),$ $Y^Q=(Y_1^Q,Y_2^Q,...Y_M^Q)$ 的联合概率密度，其中， $Y_i^b=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{\&rho;})}^j{X}_{i-j}^b,$ b＝{I，Q}对应同相正交两支路，ρ为相邻两个采样时刻噪声序列之间的依赖参数；

在θ＝0处的一阶导数为0，求

在θ＝0处的二阶导

$\frac{d^2{f}_{Y^I,Y^Q}(Y^I,Y^Q)}{{\mathrm{d\&theta;}}^2}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}=E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right[f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)\underset{j=1,j\&NotEqual;1}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)$

$+f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)\underset{k=1,k\&NotEqual;i,j}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_k^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_k^Q)\left]\right\}$

其中：

$\frac{d^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{\mathrm{d\&theta;}}^2}={\cos }^2{\mathrm{\&phi;C}}_i^2\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{\left({\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^I\right)}^2}+{\sin }^2{\mathrm{\&phi;C}}_i^2\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{(\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}^2}$

$+\cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&phi;}{C}_i^2\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^I{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q}+\sin \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&phi;}{C}_i^2\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{\&PartialD;{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^I}$

在θ＝0处的二阶导函数中，第一项表示为：

$E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)\right\}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i^2\{h\left(Y_i^I\right)+h\left(Y_i^Q\right)\}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_j^I,Y_j^Q)$

其中：

$h\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\&times;\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{\&PartialD;{\left(Y_i^b\right)}^2}$

b＝{I，Q}对应同相正交两支路；

同样

$f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)={\cos }^2{\mathrm{\&phi;C}}_i{C}_j\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^I}-\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_j^I}$

$+{\sin }^2{\mathrm{\&phi;C}}_i{C}_j\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q}-\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q}$

$+\cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&phi;}{C}_i{C}_j[\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^I}\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q}+\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q}\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Lambda;}}_j^I}]$

在θ＝0处的二阶导函数中的第二项表示为：

$E_{\mathrm{\&phi;}}\left\{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_i^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_i^Q)f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}^{\&prime;}({\mathrm{\&Lambda;}}_j^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_j^Q)\underset{k=1,k\&NotEqual;i,j}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}({\mathrm{\&Lambda;}}_k^I,{\mathrm{\&Lambda;}}_k^Q)\right\}{|}_{\mathrm{\&theta;}=0}$

$\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i{C}_j\{g\left(Y_i^I\right)g\left(Y_i^I\right)+g\left(Y_i^Q\right)g\left(Y_j^Q\right)$

其中：

$g\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\&times;\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{{\&PartialD;Y}_i^b}$

最终得到相关非高斯噪声环境下的检测统计量：

$T_{\mathrm{LO}}(X^I,X^Q)=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i^2\{h\left(Y_i^I\right)+h\left(Y_i^Q\right)\}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j\&NotEqual;i,j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_i{C}_j\{g\left(Y_i^I\right)g\left(Y_j^I\right)+g\left(Y_i^Q\right)g\left(Y_j^Q\right)\}$

其中：

$h\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\&times;\frac{{\&PartialD;}^2{f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{\&PartialD;{\left(Y_i^b\right)}^2}$

$g\left(Y_i^b\right)=\frac{1}{f_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}\&times;\frac{{\&PartialD;f}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^I,{\mathrm{\&Lambda;}}^Q}(Y_i^I,Y_i^Q)}{{\&PartialD;Y}_i^b}$

式中： $C_i=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{\&rho;})}^j;$ $Y_i^b=\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-\mathrm{\&rho;})}^j{X}_{i-j}^b,$ ρ为相邻两个采样时刻噪声序列之间的依赖参数，b＝{I，Q}对应同相正交两支路。

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