CN101508112A - 三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法 - Google Patents

Abstract

一种工业机器人多目标优化设计的方法。该方法由三个步骤组成：首先，通过建立机械臂运动学模型、强度分析模型、基于机电耦合系统动力学模型及逆动力学控制的系统闭环模型，获得表征机械臂工作空间、强度、控制能量、控制时间的四个性能指标及其计算方法；其次，对四个性能指标涉及到的机器人设计参数进行选择性优化，建立了多目标优化设计模型；最后，通过控制的方法，对机械臂的设计参数进行调整，对四个目标进行并行优化，最终获得同时满足四个性能要求的设计参数的设计值，从而为整体提高工业机器人性能提供了一种方法。

Description

三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法

技术领域

本发明涉及一种搬运工业机器人设计参数的获取方法，尤其涉及一种三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法。

背景技术

工业机器人是一种典型的复杂系统，对于一个复杂系统的设计优化而言，其主要特点为：由于复杂工程系统通常包含若干个具有特定功能的子系统，系统和子系统都有各自相应的设计目标、设计参数和约束条件，同时又由于子系统之间存在复杂的耦合关系，因此复杂工程系统的设计过程已经成为一个多学科交叉综合设计的多目标优化决策过程。由最优组件和子系统组成的大系统，并不一定是整体性能最优的系统。因此，复杂工程系统的设计过程需要能够兼顾不同因素之间复杂耦合关系的优化理论与方法的支持。

在工业机器人的设计中，机械系统设计影响传动系统、控制系统的设计，传动系统设计影响控制系统的设计，同时，控制系统设计又影响机械系统和传动系统设计。但是，在传统工业机器人设计流程中，机械系统、传动系统、控制系统的设计依次单独进行，因而上游子系统设计无法兼顾下游子系统设计的设计指标，下游子系统设计也无法兼顾上游子系统设计的设计指标，从而影响了系统整体性能的提高。

发明内容

本发明提供一种能够实现并行优化的三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法。

本发明采用如下技术方案：

步骤1建立机械臂运动学模型、强度分析模型、基于机电耦合系统动力学模型及逆动力学控制的系统闭环模型，并使用机械臂运动学模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的工作空间性能指标：

J₁＝λ₁R_min-λ₂R_max＝f₁(l₂，l₃)，

其中，R_min为工作空间最小半径，R_max为工作空间最大半径，λ₁、λ₂分别为最小半径与最大半径的权系数，l₂为第二机械臂的臂长，l₃为第三机械臂的臂长；

使用强度分析模型获得涉及第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的综合强度性能指标：

$J_2=(|{\mathrm{\σ}}_{2\max }-0.8\left[\mathrm{\σ}\right]|+|{\mathrm{\σ}}_{3\max }-0.8\left[\mathrm{\σ}\right]|)/(7\×{10}^7)$

$=f_2(l_2,b_2,h_2,b_{2e},h_{2e},l_3,b_3,h_3,b_{3e},h_{3e},{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{3\max }),$

其中，[σ]为第二机械臂(2)及第三机械臂(3)所用材料的许用弯曲应力；σ_2max、σ_3max分别表示在机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力；|σ_2max-0.8[σ]|、|σ_3max-0.8[σ]|分别表示机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力与材料许用弯曲应力的0.8倍的接近程度，l₁为第一机械臂的臂长，b₂、h₂为第二机械臂(2)外截面的宽度及高度，b_2e、h_2e为第二机械臂(2)内腔的宽度及高度，b₃、h₃为第三机械臂(3)外截面的宽度及高度，b_3e、h_3e为第三机械臂(3)内腔的宽度及高度，

分别为第二关节、第三关节的最大角加速度，分别为第一关节、第二关节、第三关节的最大角速度，7×10⁷为比例系数；

使用系统闭环模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的平均控制能量指标：

$J_3=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m_{\mathrm{Ln}}(\left|{\mathrm{\θ}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\θ}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\θ}}_{3n}\right|)}[{\∫}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\τ}}_1\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\∫}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\τ}}_2\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\∫}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\τ}}_3\left(t\right)\right|\mathrm{dt}],$

   $=f_3(l_1,R_1,r_1,l_2,b_2,h_2,b_{2e},h_{2e},l_3,b_3,h_3,b_{3e},h_{3e},{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{3\max },\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{3\max })$

及平均控制时间指标

$J_4=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\Σ}}}\frac{t_{\mathrm{fn}}}{(\left|{\mathrm{\θ}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\θ}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\θ}}_{3n}\right|)}=f_4(l_1,l_2,l_3,{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{3\max }),$

其中，200是指在给定设计要求的工作空间中随机选取400个点作为搬运任务的起止点，由此组成200组搬运任务工作点；n表示第n组搬运任务，m_Ln表示第n组搬运任务的负载质量，|θ_1n|、|θ_2n|、|θ_3n|分别表示表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节的转动角度，τ₁(t)、τ₂(t)、τ₃(t)分别表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节在t时刻输出的电磁转矩，t_fn表示完成第n组搬运任务的完成时间，R₁、r₁分别为圆筒形的第一机械臂(1)外半径及内半径，

为第一关节的最大角加速度；

步骤2对工作空间性能指标、综合强度性能指标、平均控制能量指标及平均控制时间指标涉及的参数进行选择性优化，并建立多目标并行优化模型

首先，选择参数l₂、l₃、b₂、h₂、b₃、h₃、 ${\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },$

作为设计变量，对

工作空间性能指标

J₁＝λ₁R_min-λ₂R_max，

综合强度性能指标

J₂＝|σ_2Zmax-0.8[σ]|+|σ_3Zmax-0.8[σ]|，

平均控制能量指标

$J_3=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m_{\mathrm{Ln}}(\left|{\mathrm{\θ}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\θ}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\θ}}_{3n}\right|)}[{\∫}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\τ}}_1\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\∫}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\τ}}_2\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\∫}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\τ}}_3\left(t\right)\right|\mathrm{dt}],$

及平均控制时间指标

$J_4=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\Σ}}}\frac{t_{\mathrm{fn}}}{(\left|{\mathrm{\θ}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\θ}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\θ}}_{3n}\right|)}$

进行同时优化，得到多目标优化设计任务：

$\left\{\begin{array}{c}\min J_1\left(x_1\right)\\ \min J_2(x_2;x_1,x_3)\\ \min J_3(x_3;x_1,x_2)\\ \min J_4(x_3;x_1)\\ s.t{\mathrm{\φ}}_1\≤0;{\mathrm{\φ}}_2\≤0;{\mathrm{\φ}}_3\≤0\end{array}\right.$

其中，x₁是由设计变量l₂、l₃组成的向量， $x_1={[x_1^1,x_1^2]}^T={[l_2,l_3]}^T,$ 称之为臂长设计向量，其中，

的下标1表示设计向量x₁，上标1表示设计向量x₁的第一分量，

的下标1表示设计向量x₁，上标2表示设计向量x₁的第二分量；x₂是由设计变量b₂、h₂、b₃、h₃组成的向量， $x_2={[x_2^1,x_2^2,x_2^3,x_2^4]}^T={[h_2,b_2,h_3,b_3]}^T,$ 称之为臂的厚度设计向量，其中，

的下标2表示设计向量x₂，上标1表示设计向量x₂的第一分量，

的下标2表示设计向量x₂，上标2表示设计向量x₂的第二分量，的下标2表示设计向量x₂，上标3表示设计向量x₂的第三分量，

的下标2表示设计向量x₂，上标4表示设计向量x₂的第四分量；x₃是由设计变量 ${\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{3\max }$ 组成的向量， $x_3={[x_3^1,x_3^2,x_3^3,x_3^4,x_3^5,x_3^6]}^T={[{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{3\max }]}^T$ 称之为关节的运动学能力设计向量，

的下标3表示设计向量x₃，上标1表示设计向量x₃的第一分量，的下标3表示设计向量x₃，上标2表示设计向量x₃的第二分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标3表示设计向量x₃的第三分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标4表示设计向量x₃的第四分量，的下标3表示设计向量x₃，上标5表示设计向量x₃的第五分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标6表示设计向量x₃的第六分量；φ₁为第一约束条件向量，φ₁＝[(l₂—l₃)—d_min，d_max—(l₂+l₃)，l₃—l₂，—l₂，—l₃]^T，这里，d_min＝0.2，d_max＝1.5，分别代表对所设计的机械臂工作空间最小半径与最大半径的设计要求，其值根据具体的设计需要进行调整；φ₂为第二约束条件向量，φ₂＝[h_2e-h₂，b_2e-b₂，h_3e-h₃，b_3e-b₃]^T；φ₃为第三约束条件向量 ${\mathrm{\φ}}_3={[-{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },-{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },-{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_{3\max },-{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{1\max },-{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{2\max },-{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{3\max }]}^T;$

其次，将约束条件与工作空间性能指标J₁、综合强度性能指标J₂、平均控制能量指标J₃及平均控制时间指标J₄进行合并转化，得到广义工作空间性能指标Z₁，广义综合强度性能指标Z₂，广义平均控制能量指标Z₃及广义平均控制时间指标Z₄：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_1=\max \{0,J_1-J_1^{*}\}+{\mathrm{\σ}}_1\underset{m=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\max {\{0,{\mathrm{\φ}}_1^m\}}^2\\ Z_2=\max \{0,J_2-J_2^{*}\}+{\mathrm{\σ}}_2\underset{m=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\max {\{0,{\mathrm{\φ}}_2^m\}}^2\\ Z_3=\max \{0,J_3-J_3^{*}\}+{\mathrm{\σ}}_3\underset{m=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\max {\{0,{\mathrm{\φ}}_3^m\}}^2\\ Z_4=\max \{0,J_4-J_4^{*}\}\end{array}\right.$

其中，

分别是工作空间性能指标J₁、综合强度性能指标J₂、平均控制能量指标J₃及平均控制时间指标J₄的期望值，

分别表示第一约束条件向量的第m个元素、第二约束条件向量的第m个元素、第三约束条件向量的第m个元素；σ₁为第一罚系数，σ₁＝1000；σ₂为第二罚系数，σ₂＝1000；σ₃为第三罚系数，σ₃＝1000；

步骤3用控制方法获得多目标优化设计参数

建立第一控制律： $v_{1,i}=k_1^1{e}_{1,i-1}{o}_{1,i-1}^1+k_1^2{e}_{2,i-1}{o}_{1,i-1}^2+k_1^3{e}_{3,i-1}{o}_{1,i-1}^3+k_1^4{e}_{4,i-1}{o}_{1,i-1}^4$

其中，v_1，i为第i次迭代时臂长设计向量x₁的调整量， $v_{1,i}={[v_{1,i}^1,v_{1,i}^2]}^T,$

的第一下标1和上标1表示该调整量是对设计向量x₁中的第一设计变量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标1和上标2表示该调整量是对设计向量x₁中的第二设计变量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第一控制律产生的调整量v_1，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{1,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,i-1}^1\right|,$ $v_{1,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{1,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,i-1}^2\right|,$ $v_{1,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,i-1}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,i-1}^1\right|,$ $v_{1,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{1,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,i-1}^2\right|,$ $v_{1,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,i-1}^2\right|;$

其中，

表示设计向量x₁的第一设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₁的第二设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整值v_1，i调整臂长设计向量x₁，得到第i次迭代后设计向量x₁的值x_1，i＝x_1，i-1+v_1，i；e_1，i-1为广义工作空间性能指标Z₁在第i—1次迭代后的值Z_1，i-1与目标值0的误差，e_1，i-1＝0—Z_1，i-1；

e_2，i-1为广义综合强度性能指标Z₂在第i—1次迭代后的值Z_2，i-1与目标值0的误差，e_2，i-1＝0—Z_2，i-1；

e_3，i-1为广义平均控制能量指标Z₃在第i—1次迭代后的值Z_3，i-1与目标值0的误差，e_3，i-1＝0—Z_3，i-1；

e_4，i-1为广义平均控制时间指标Z₄在第i—1次迭代后的值Z_4，i-1与目标值0的误差，e_4，i-1＝0—Z_4，i-1；

为误差值e_1，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{1,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,i-1}}{{\mathrm{dx}}_{1,i-1}}\},$

的上标1表示广义工作空间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义工作空间性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{1,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$ 的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义综合强度性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的偏导数的符号向量， $o_{1,i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$

的上标3表示广义平均控制能量指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制能量性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_4，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的偏导数的符号向量， $o_{1,i-1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$

的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制时间指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_1，i-1在控制律1中的比例系数，

上标1表示广义工作空间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^1=1;$

为误差值e_2，i-1在控制律1中的比例系数，

上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^2=1\&times;{10}^{-2};$

为误差值e_3，i-1在控制律1中的比例系数，

上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^3=5\&times;{10}^{-4};$

为误差值e_4，i-1在控制律1中的比例系数，

上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^4=1\&times;{10}^{-4};$

建立第二控制律： $v_{2,i}=k_2^2{e}_{2,i-1}{o}_{2,i-1}^2+k_2^3{e}_{3,i-1}{o}_{2,i-1}^3$

其中，v_2，i为第i次迭代时臂厚设计向量x₂的调整量， $v_{2,i}={[v_{2,i}^1,v_{2,i}^2,v_{2,i}^3,v_{2,i}^4]}^T,$

的第一下标2和上标1表示该调整量是对设计向量x₂中的第一设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标2和上标2表示该调整量是对设计向量x₂中的第二设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标2和上标3表示该调整量是对设计向量x₂中的第三设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，的第一下标2和上标4表示该调整量是对设计向量x₂中的第四设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第二控制律产生的调整量v_2，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{2,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^1\right|,$ $v_{2,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^2\right|,$ $v_{2,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^2\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^3\right|,$ $v_{2,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^3\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^4\right|,$ $v_{2,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^4\right|;$

如果 $\left|v_{2,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^1\right|,$ $v_{2,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{2,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^2\right|,$ $v_{2,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^2\right|,$

$\left|v_{2,i}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^3\right|,$ $v_{2,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^3\right|,$

$\left|v_{2,i}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^4\right|,$ $v_{2,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^4\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^4\right|,$

其中，表示设计向量x₂的第一设计分量第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第二设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第三设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第四设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整值v_2，i调整臂厚设计向量，得到第i次迭代后设计向量x₂的值x_2，i＝x_2，i-1+v_2，i；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_2，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{2,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{2,i-1}}\},$

的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i—1表示在计算时广义综合强度性能指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_2，i-1的偏导数的符号向量， $o_{2i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{2,i-1}}\},$ 的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制能量指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差e_2，i-1在控制律2中的比例系数，

上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令 $k_2^2=1;$

为误差e_3，i-1在控制律2中的比例系数，

上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标2表示控制律1，并且令 $k_2^3=1\&times;{10}^{-2};$

建立第三控制律： $v_{3,i-1}=k_3^2{e}_{2,i-1}{o}_{3,i-1}^2+k_3^3{e}_{3,i-1}{o}_{3,i-1}^3+k_3^4{e}_{4,i-1}{o}_{3,i-1}^4$

其中，v_3，i为第i次迭代时关节运动学能力设计向量x₃的调整量， $v_{3,i}={[v_{3,i}^1,v_{3,i}^2,v_{3,i}^3,v_{3,i}^4,v_{3,i}^5,v_{3,i}^6]}^T,$

的第一下标3和上标1表示该调整量是对设计向量x₃中的第一设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，的第一下标3和上标2表示该调整量是对设计向量x₃中的第二个设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标3和上标3表示该调整量是对设计向量x₃中的第三设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标3和上标4表示该调整量是对设计向量x₃中的第四设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

的第一下标3和上标5表示该调整量是对设计向量x₃中的第五设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

的第一下标3和上标6表示该调整量是对设计向量x₃中的第六设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第三控制律产生的调整量v_3，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{3,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^1\right|,$ $v_{3,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^2\right|,$ $v_{3,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^2\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^3\right|,$ $v_{3,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^3\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^4\right|,$ $v_{3,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^4\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^5\right|,$ $v_{3,i}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^5\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^6\right|,$ $v_{3,i}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^1\right|,$ $v_{3,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{3,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^2\right|,$ $v_{3,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^2\right|,$

$\left|v_{3,i}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^3\right|,$ $v_{3,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^3\right|,$

$\left|v_{3,i}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^4\right|,$ $v_{3,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^4\right|,$

$\left|v_{3,i}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^5\right|,$ $v_{3,i}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^5\right|,$

$\left|v_{3,i}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^6\right|,$ $v_{3,i}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^6\right|;$

其中，

表示设计向量x₃的第一设计分量

第i—1次迭代后的设计值，表示设计向量x₃的第二设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第三设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第四设计分量第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第五设计分量第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第六设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整量v_3，i调整关节的运动学能力设计向量x₃，计算第i次迭代后设计向量x₃的值x_3，i＝x_3，i-1+v_3，i；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{3,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$

的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义综合强度性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的偏导数的符号向量， $o_{3,i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$

的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标3表示运动学能力设计向量，第二下标i—1表示在计算时广义平均控制能量性能指标的误差值及运动学能力向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_4，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的偏导数的符号向量， $o_{3,i-1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$

的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i—1表示在计算时广义平均控制时间性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_2，i-1在控制律3中的比例系数，

上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令 $k_3^2=1\&times;{10}^{-2};$

为误差值e_3，i-1在控制律3中的比例系数，

上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令 $k_3^3=0.5;$

为误差值e_4，i-1在控制律4中的比例系数，

上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标4表示控制律4，并且令 $k_3^4=1;$

利用第一控制律、第二控制律、第三控制律对臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、关节运动学能力设计向量x₃进行第一次优化设计：

为臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、关节运动学能力设计向量x₃赋初始设计值，得到向量x_1，0、向量x_2，0、向量x_3，0；

为各性能指标期望值

赋第一次多目标优化设计的参考值

得到 $J_{\mathrm{1,1}}^{*}=-1.3,$ $J_{\mathrm{2,1}}^{*}=0.7,$ $J_{\mathrm{3,1}}^{*}=1.5,$ $J_{\mathrm{4,1}}^{*}=0.35,$ 对于

其第一下标1表示工作空间性能表，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于

其第一下标2表示综合强度性能指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于

其第一下标3表示平均控制能量指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于

其第一下标4表示平均控制时间指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计；

由第一次多目标优化设计的参考值

及x_1，0、x_2，0、x_3，0计算得到各广义性能指标的初始值Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0；如果Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0不全部为零，则进入步骤3.1；如果Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0全部为零，则设计向量x₁、x₂、x₃的初始值x_1，0、x_2，0、x_3，0即为多目标优化设计参数的值；

步骤3.1对设计变量组成的向量x₁、x₂、x₃进行第一次迭代，迭代次数i＝1：

首先，由第一控制律 $v_{\mathrm{1,1}}=k_1^1{e}_{\mathrm{1,0}}{o}_{\mathrm{1,0}}^1+k_1^2{e}_{\mathrm{2,0}}{o}_{\mathrm{1,0}}^2+k_1^3{e}_{\mathrm{3,0}}{o}_{\mathrm{1,0}}^3+k_1^4{e}_{\mathrm{4,0}}{o}_{\mathrm{1,0}}^4$ 及对第一控制律产生的调整量v_1，1幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{1,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,0}^1\right|,$ $v_{1,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^1\right)\&times;0.041\left|x_{1,0}^1\right|,$

$0<\left|v_{1,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,0}^2\right|,$ $v_{1,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,0}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,0}^1\right|,$ $v_{1,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,0}^1\right|,$

$\left|v_{1,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,0}^2\right|,$ $v_{1,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,0}^2\right|;$

生成对向量x₁的第一次迭代的调整值v_1，1，再用调整值v_1，1调整向量x₁，得到向量x₁第一次迭代后的值x_1，1＝x_1，0+v_1，1；这里，e_1，0为广义工作空间性能指标在初始时刻的值Z_1，0与目标值0的误差，e_1，0＝0—Z_1，0；e_2，0为广义综合强度性能指标在初始时刻的值Z_2，0与目标值0的误差，e_2，0＝0—Z_2，0；e_3，0为广义平均控制能量指标在初始时刻的值Z_3，0与目标值0的误差，e_3，0＝0—Z_2，0；e_4，0为广义平均控制时间指标在初始时刻的值Z_4，0与目标值0的误差，e_4，0＝0—Z_4，0；

为误差值e_1，0相对于设计向量值x_1，0的负导数对应的符号向量， $o_{1,0}^1=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,0}}{{\mathrm{dx}}_{1,0}}\};$

为误差值e_2，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$

为误差值e_3，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$ 为误差值e_4，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$

其次，由第二控制律 $v_{\mathrm{2,1}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,0}}{o}_{\mathrm{2,0}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,0}}{o}_{\mathrm{2,0}}^3$ 及对第二控制律产生的调整量v_2，1的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{2,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^1\right|,$ $v_{2,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^1\right|,$

$0<\left|v_{2,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^2\right|,$ $v_{2,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^2\right|,$

$0<\left|v_{2,1}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^3\right|,$ $v_{2,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^2\right|,$

$0<\left|v_{2,1}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^4\right|,$ $v_{2,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{\mathrm{2,0}}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^4\right|;$

如果 $\left|v_{2,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^1\right|,$ $v_{2,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^1\right|,$

$\left|v_{2,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^2\right|,$ $v_{2,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^2\right|,$

$\left|v_{2,1}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^3\right|,$ $v_{2,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^3\right|,$

$\left|v_{2,1}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^4\right|,$ $v_{2,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^4\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^4\right|;$

生成对臂厚设计向量x₂的第一次迭代的调整值v_2，1，用调整值v_2，1调整臂厚设计向量x₂，得到向量x₂的第一次迭代后的值x_2，1＝x_2，0+v_2，1；这里，为误差值e_2，0相对于设计向量值x_2，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{2,0}}\};$

为误差值e_3，0相对于设计向量值x_2，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{2,0}}\};$

再次，由第三控制律 $v_{\mathrm{3,1}}=k_3^2{e}_{\mathrm{2,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^2+k_3^3{e}_{\mathrm{3,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^3+k_3^4{e}_{\mathrm{4,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^4$ 及对第三控制律产生的调整量v_3，1的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{3,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^1\right|,$ $v_{3,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^1\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^2\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^3\right|,$ $v_{3,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^3\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^4\right|,$ $v_{3,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^4\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^5\right|,$ $v_{3,1}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^5\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^6\right|,$ $v_{3,1}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^6\right|,$

如果 $\left|v_{3,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^1\right|,$ $v_{3,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^1\right|,$

$\left|v_{3,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$

$\left|v_{3,1}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^3\right|,$ $v_{3,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^3\right|,$

$\left|v_{3,1}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^4\right|,$ $v_{3,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^4\right|,$

$\left|v_{3,1}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^5\right|,$ $v_{3,1}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^5\right|,$

$\left|v_{3,1}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^6\right|,$ $v_{3,1}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^6\right|,$

生成对关节运动学能力设计向量x₃的第一次调整值v_3，1，用调整值v_3，1调整关节运动学能力设计向量x₃，得到设计向量x₃的第一次迭代后的值x_3，1＝x_3，0+v_3，1；这里，为误差值e_2，0相对于x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$ 为误差值e_3，0相对于设计向量值x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$

为误差值e_4，0相对于设计向量值x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$

最后，在得到设计向量x₁、x₂、x₃的第一次迭代后的向量值x_1，1、x_2，1、x_3，1之后，计算第一次调整后各广义性能的值Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1，如果Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1不全部为零，则进入步骤3.2；如果Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1全部为零，则所得到的向量x₁、x₂、x₃的第一次迭代的值x_1，1、x_2，1、x_3，1为多目标优化设计参数；

步骤3.2对设计变量组成的向量x₁、x₂、x₃进行第二次迭代，迭代次数i＝2：首先，由第一控制律 $v_{\mathrm{1,2}}=k_1^1{e}_{\mathrm{1,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^1+k_1^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^2+k_1^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^3+k_1^4{e}_{\mathrm{4,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^4$ 及对第一控制律产生的调整量v_1，2幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{1,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,1}^1\right|,$ $v_{1,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,1}^1\right|,$

$0<\left|v_{1,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,1}^2\right|,$ $v_{1,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,1}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,1}^1\right|,$ $v_{1,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,1}^1\right|,$

$\left|v_{1,2}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,1}^2\right|,$ $v_{1,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,1}^2\right|;$

生成对向量x₁的第二次迭代的调整值v_1，2，再用调整值v_1，2调整向量x₂，得到第二次迭代后设计向量x₁的值x_1，2＝x_1，1+v_1，2；这里，e_1，1为广义工作空间性能指标在第一次迭代后的值Z_1，1与目标值0的误差，e_1，1＝0—Z_1，1；e_2，1为广义综合强度性能指标在第一次迭代后的值Z_2，1与目标值0的误差，e_2，1＝0—Z_2，1；e_3，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z_3，1与目标值0的误差，e_3，1＝0—Z_3，1；e_4，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z_4，1与目标值0的误差，e_4，1＝0—Z_4，1；

为误差值e_1，1相对于设计向量值x_1，1的负导数对应的符号向量， $o_{1,1}^1=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,1}}{{\mathrm{dx}}_{1,1}}\};$

为误差值e_2，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$

为误差值e_4，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$

其次，由第二控制律 $v_{\mathrm{2,2}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^3$ 及对第二控制律产生的调整量v_2，2的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{2,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^1\right|,$ $v_{2,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^1\right|,$

$0<\left|v_{2,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^2\right|,$ $v_{2,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^2\right|,$

$0<\left|v_{2,2}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^3\right|,$ $v_{2,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^3\right|,$

$0<\left|v_{2,2}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^4\right|,$ $v_{2,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^4\right|,$

如果 $\left|v_{2,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^1\right|,$ $v_{2,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^1\right|,$

$\left|v_{2,2}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^2\right|,$ $v_{2,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^2\right|,$

$\left|v_{2,2}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^3\right|,$ $v_{2,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^3\right|,$

$\left|v_{\mathrm{2,2}}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{\mathrm{2,1}}^4\right|,$ $v_{\mathrm{2,2}}^4=\mathrm{sign}\left(x_{\mathrm{2,1}}^4\right)\&times;0.02\left|x_{\mathrm{2,1}}^4\right|;$

生成设计向量x₂进行第二次迭代的调整值 $v_{\mathrm{2,2}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^3,$ 再用调整值v_2，2调整设计向量x₂的值，得到第二次迭代后设计向量x₂的值x_2，2＝x_2，1+v_2，2；这里，为误差值e_2，1相对于设计向量值x_2，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{2,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_2，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{\mathrm{2,1}}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{2,1}}\};$

再次，由第三控制律 $v_{\mathrm{3,2}}=k_3^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^2+k_3^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^3+k_3^4{e}_{\mathrm{4,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^4$ 及对第三控制律产生的调整量v_3，2的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{3,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^1\right|,$ $v_{3,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^1\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^2\right|,$ $v_{3,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^2\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^3\right|,$ $v_{3,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^3\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^4\right|,$ $v_{3,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^4\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^5\right|,$ $v_{3,2}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^5\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^6\right|,$ $v_{3,2}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^1\right|,$ $v_{3,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^1\right|,$

$\left|v_{3,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$

$\left|v_{3,2}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^3\right|,$ $v_{3,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^3\right|,$

$\left|v_{3,2}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^4\right|,$ $v_{3,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^4\right|,$

$\left|v_{3,2}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^5\right|,$ $v_{3,2}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^5\right|,$

$\left|v_{3,2}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^6\right|,$ $v_{3,2}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^6\right|;$

生成设计向量x₃的第二次迭代的调整值，再用调整值v_3，2调整设计向量x₃的值，得到第二次迭代后向量x₃的值x_3，2＝x_3，1+v_3，2；这里，为e_2，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

为误差值e_4，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

最后，用得到的设计向量x₁、x₂、x₃第二次迭代后的值x_1，2、x_2，2、x_3，2，计算第二次迭代后各广义性能的值Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2，如果Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2不全部为零，则进入步骤3.3；如果Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2全部为零，则所得到的向量x₁、x₂、x₃的第二次迭代的值x_1，2、x_2，2、x_3，2即为多目标优化设计参数的值；

步骤3.3依此类推，通过第一控制律及对第一控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₁进行第j次迭代的调整值v_1，j；通过第二控制律及对第二控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₂进行第j次迭代的调整值v_2，j；通过第三控制律及对第三控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₃进行第j次迭代的调整值v_3，j；重复上述迭代，如果在100次迭代内通过调整臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的值可以使广义工作空间性能指标Z₁、广义综合强度性能指标Z₂、广义平均控制能量指标Z₃、广义平均控制时间指标Z₄的值同时为零，则获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的设计值；如果在100次迭代内无法使得广义工作空间性能指标Z₁、广义综合强度性能指标Z₂、广义平均控制能量指标Z₃、广义平均控制时间指标Z₄的值同时为零，则进入步骤3.4，直到各广义性能在100次迭代内使得广义性能指标Z₁、Z₂、Z₃、Z₄的值同时为零，获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的最终设计值；

步骤3.4对各性能指标期望值

的期望值进行第n—1次调整后进行第n次优化设计，令 $J_{1,n}^{*}=1.05\&times;J_{1,n-1}^{*},$ $J_{2,n}^{*}=1.05\&times;J_{2,n-1}^{*},$ $J_{3,n}^{*}=1.05\&times;J_{3,n-1}^{*},$ $J_{4,n}^{*}=1.05\&times;J_{4,n-1}^{*},$ n为优化设计的次数，对设计向量x₁、x₂、x₃进行第n次优化设计，重复步骤3.1～步骤3.3。

与现有技术相比，本发明具有如下优点：

1.本发明通过明确多目标优化设计任务： $\left\{\begin{array}{c}\min J_1\left(x_1\right)\\ \min J_2(x_2;x_1,x_3)\\ \min J_3(x_3;x_1,x_2)\\ \min J_4(x_3;x_1)\\ s.t{\mathrm{\&phi;}}_1\&le;0;{\mathrm{\&phi;}}_2\&le;0;{\mathrm{\&phi;}}_3\&le;0\end{array}\right.$ 将搬运机器人的机械系统设计、驱动系统设计由上下游设计关系转化为并行设计过程，从而兼顾了各子系统设计对机器人性能产生的影响，为全面优化机器人的工作空间性能、强度性能以及控制性能提供了方法。

2.通过将约束条件与优化目标进行合并转化，得到四个广义多目标优化指标：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_1=\max \{0,J_1-J_1^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_1\underset{m=1}{\overset{5}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_1^m\}}^2\\ Z_2=\max \{0,J_2-J_2^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_2\underset{m=1}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_2^m\}}^2\\ Z_3=\max \{0,J_3-J_3^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_3\underset{m=1}{\overset{6}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_3^m\}}^2\\ Z_4=\max \{0,J_4-J_4^{*}\}\end{array}\right.$ 从而将多目标多目标优化目标转化为使四个广义性能指标同时趋于零。

3.针对转化后的多目标优化设计问题，提出了一种通过控制方法解决多目标优化问题的新方法。通过

第一控制律： $v_{1,i}=k_1^1{e}_{1,i-1}{o}_{1,i-1}^1+k_1^2{e}_{2,i-1}{o}_{1,i-1}^2+k_1^3{e}_{3,i-1}{o}_{1,i-1}^3+k_1^4{e}_{4,i-1}{o}_{1,i-1}^4$

第二控制律： $v_{2,i}=k_2^2{e}_{2,i-1}{o}_{2,i-1}^2+k_2^3{e}_{3,i-1}{o}_{2,i-1}^3$

第三控制律： $v_{3,i}=k_3^2{e}_{2,i-1}{o}_{3,i-1}^2+k_3^3{e}_{3,i-1}{o}_{3,i-1}^3+k_3^4{e}_{4,i-1}{o}_{3,i-1}^4;$

分别建立臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃在第i次迭代的初始控制量。

4.通过建立控制律中误差系数的设置原则，实现控制律调整方向的协调。对于三个控制律，误差系数整定原则为：

在第一控制律中，通过系数

的整定，保证在第i次迭代调整x₁的设计值时，

对应的调整方向，即使Z₁收敛至零的方向作为优先级最高的调整方向；第二级，

对应的调整方向，即使Z₂收敛至零的方向作为优先级次高的调整方向；

对应的调整方向，即使Z₃、Z₄收敛至零的方向作为优先级最低的调整方向，对同处于最低优先级

对应的调整方向，规定

对应的调整方向优先级高于

对应的调整方向。

在第二控制律中，通过系数

的整定，保证在第i次迭代调整x₂的设计值时，对应的调整方向，即使Z₂收敛至零的方向，作为优先级高的调整方向；对应的调整方向，即使Z₃收敛至零的方向，作为优先级低的调整方向。

在第三控制律中，通过系数

的整定，保证在第i次迭代调整x₃的设计值时，

对应的调整方向，即使Z₃、Z₄收敛至零的方向作为高优先级的调整方向，对同处于高优先级

对应的调整方向，规定

对应的调整方向优先级高于

对应的调整方向；

对应的调整方向，即使Z₂收敛至零的方向作为优先级低的调整方向。

同时规定，在第一控制律、第二控制律、第三控制律中优先级高的广义性能指标不收敛到零之前，相应的设计变量一直按照该广义性能指标收敛到零的方向调整。当优先级高的广义性能指标收敛到零之后，相应的设计变量按照优先级相对较高的广义性能指标收敛到零的方向调整，依次进行，直到所有广义性能指标都收敛到零。

5.通过设计对三个控制律生成的控制量幅度的调整方法，解决了用控制方法进行多目标优化设计时各广义性能指标的值不收敛到目标值零的问题。

用控制方法进行多目标优化设计时各广义性能指标的值不收敛到目标值零主要由于三种情况引起：

原因一是对设计变量的调整量过大；原因二是对设计变量的调整量过小；原因三是由于对各性能指标的期望值设置不合理。针对原因一、原因二提出控制量幅度的调整方法。

为防止控制量幅度过大或过小提出：

对于第一控制律生成的第i次迭代的调整量的幅度进行修正的方法为：

如果 $0<\left|v_{1,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,i-1}^1\right|,$ $v_{1,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{1,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,i-1}^2\right|,$ $v_{1,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,i-1}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,i-1}^1\right|,$ $v_{1,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{1,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,i-1}^2\right|,$ $v_{1,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,i-1}^2\right|;$

对于第二控制律生成的第i次迭代的调整量的幅度进行修正的方法为：

如果 $0<\left|v_{2,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^1\right|,$ $v_{2,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^2\right|,$ $v_{2,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^2\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^3\right|,$ $v_{2,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^3\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^4\right|,$ $v_{2,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^4\right|;$

如果 $\left|v_{2,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^1\right|,$ $v_{2,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{2,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^2\right|,$ $v_{2,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^2\right|,$

$\left|v_{2,i}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^3\right|,$ $v_{2,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^3\right|,$

$\left|v_{2,i}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^4\right|,$ $v_{2,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^4\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^4\right|;$

对于第三控制律，生成的第i次迭代的调整量的幅度进行修正的方法为：

如果 $0<\left|v_{3,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^1\right|,$ $v_{3,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^2\right|,$ $v_{3,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^2\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^3\right|,$ $v_{3,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^3\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^4\right|,$ $v_{3,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^4\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^5\right|,$ $v_{3,i}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^5\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^6\right|,$ $v_{3,i}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^1\right|,$ $v_{3,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{3,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^2\right|,$ $v_{3,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^2\right|,$

$\left|v_{3,i}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^3\right|,$ $v_{3,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^3\right|,$

$\left|v_{3,i}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^4\right|,$ $v_{3,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^4\right|,$

$\left|v_{3,i}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^5\right|,$ $v_{3,i}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^5\right|,$

$\left|v_{3,i}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^6\right|,$ $v_{3,i}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^6\right|;$

6.对三自由度搬运机器人的基本设计要求为：该三自由度工业机器人的工作空间为以(0，0，1)为球心，最大半径R_max＝1.5，最小半径R_min＝0.2的两球之间的部分(单位：m)。要求搬运的最大负载质量为25kg。在此基础上，要求工作空间最大化，强度满足材料要求，机械臂控制过程能量、时间性能最优。对于本设计任务，提给定预先设计参数的值分别为：l₁＝1、R₁＝0.075、r₁＝0.05、h_2e＝0.08、b_2e＝0.08、h_3e＝0.08、b_3e＝0.08(单位：m)。下面开始臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的设计。

首先，初始化各设计变量。

x₁＝[0.8，0.6]^T，x₂＝[0.1，0.1，0.1，0.1]^T，x₃＝[5，5，5，3，3，3]^T。

计算初始化设计变量下机械臂各性能为：

J₁＝—1.2，J₂＝1.3879，J₃＝1.6411，J₄＝0.4393。

结合机械臂初始性能，给定各性能最终优化的次最优指标：

$J_1^{*}=-1.3,$ $J_2^{*}=0.7,$ $J_3^{*}=1.5,$ $J_4^{*}=0.35,$

经过24次叠代，各性能都达到各性能可接受的性能值。优化前后各设计变量的变化以及性能指标的变化可通过表1及表2所示。

 

设计变量	初始设计值	最终设计值
			臂2长度	0.8	0.845
臂3长度	0.6	0.673
			臂2外截面高	0.1	0.086
臂2外截面宽	0.1	0.086
			臂3外截面高	0.1	0.081
臂3外截面宽	0.1	0.107
			关节1最大角加速度	5	8.26
关节2最大角加速度	5	7.87
			关节3最大角加速度	5	8.48
关节1最大角速度	3	4.99
			关节2最大角速度	3	4.84
关节3最大角速度	3	4.28

表1  优化设计前后设计变量设计值的变化

 

性能指标Ji	初始性能值	最终性能值
			J1	-1.2	-1.346
J2	1.3879	0.642
			J3	1.6411	1.4736
J4	0.4393	0.3494

表2  优化设计前后各性能值的变化

附图说明

图1是本发明的三自由度机器人及其连杆坐标系图。

图2是本发明获得多目标优化设计参数的控制方法框图。

图3是本发明设计实例2中广义性能指标1在设计过程中的变化情况图。

图4是本发明设计实例2中广义性能指标2在设计过程中的变化情况图。

图5是本发明设计实例2中广义性能指标3在设计过程中的变化情况图。

图6是本发明设计实例2中广义性能指标4在设计过程中的变化情况图。

图7是本发明的多目标优化设计步骤框图。

图8多目标优化设计步骤3的框图。

具体实施方式

实施例1

1.一种三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法，所述的三自由度搬运工业机器人包括：第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)，第二机械臂(2)的两端分别与第一机械臂(1)的一端、第三机械臂(3)的一端转动连接，其特征在于多目标优化设计参数的获取方法含有以下步骤：

步骤1首先，建立该三自由度机械臂的连杆坐标系，如图1所示；由该机械臂运动学方程，可得末端工作点的轨迹为 $x^2+y^2+{(z-l_1)}^2=l_2^2+l_3^2+2l_2{l}_3\cos (2{\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3);$ 设各转角范围设计为-π≤θ₁≤π，-π≤θ₂≤π，-π≤θ₃≤π则机械臂的工作空间是一簇以(0，0，l₁)为球心，半径 $r=\sqrt{l_2^2+l_3^2+2l_2{l}_3\cos (2{\mathrm{\&theta;}}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3)}$ 的同心球；设其中半径最小的球半径为R_min，并规定l₂≥l₃，则R_min＝l₂-l₃；设半径最大球的半径为R_max，则R_max＝l₂+l₃；则J₁＝λ₁R_min-λ₂R_max＝(λ₁-λ₂)l₂-(λ₁+λ₂)l₃。

使用机械臂运动学模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的工作空间性能指标：

J₁＝λ₁R_min-λ₂R_max＝f₁(l₂，l₃)，

其中，R_min为工作空间最小半径，R_max为工作空间最大半径，λ₁、λ₂分别为最小半径与最大半径的权系数，l₂为第二机械臂的臂长，l₃为第三机械臂的臂长。

其次，通过以下五个步骤建立第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的强度分析模型：

第一，将第二机械臂(2)、第三机械臂(3)各自等分成K₂、K₃个单元，为了利用有限元模型分析第二机械臂(2)、第三机械臂(3)受力情况的精确性，K₂、K₃取值要求K₂≥5000、K₃≥5000；

第二，利用有限元模型，对第二机械臂(2)、第三机械臂(3)在机器人运动过程中由各单元所受惯性力组成的惯性力系分别在第三关节及第二关节处，即连杆坐标系中点o₂、o₁处进行简化。根据牵连运动为转动时点的加速度合成定理，可求得第二机械臂(2)、第三机械臂(3)各单元在机器人运动时的加速度 ${\stackrel{\&RightArrow;}{a}}_{\mathrm{ai}}={\stackrel{\&RightArrow;}{a}}_{\mathrm{ei}}+{\stackrel{\&RightArrow;}{a}}_{\mathrm{ri}}+{\stackrel{\&RightArrow;}{a}}_{\mathrm{ki}},$ 其中

为单元i的绝对加速度，

为单元i的牵连加速度，

为单元i的相对加速度，

为单元i的科氏加速度，则惯性力系即为各单元在运动过程中产生的惯性力 ${\stackrel{\&RightArrow;}{F}}_i=-m_i{\stackrel{\&RightArrow;}{a}}_{\mathrm{ai}}$ 的综合作用，m_i为单元i的质量，对于第二机械臂(2)各单元的惯性力系在第二关节处简化为主矢

${\stackrel{\&RightArrow;}{F}}_{2I}=\underset{i=1}{\overset{K_2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&RightArrow;}{F}}_{2i};$ 主矩为

${\stackrel{\&OverBar;}{M}}_{2\mathrm{IO}1}=\underset{i=1}{\overset{K_2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&RightArrow;}{o_{1}i}\&times;{\stackrel{\&RightArrow;}{F}}_{2i},$ 对于第三机械臂(3)各单元的惯性力系在第三关节处简化为主矢 ${\stackrel{\&RightArrow;}{F}}_{3I}=\underset{i=1}{\overset{K_3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&RightArrow;}{F}}_{3i},$ 主矩为

${\stackrel{\&OverBar;}{M}}_{3\mathrm{IO}2}=\underset{i=1}{\overset{K_3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&RightArrow;}{o_{2}i}\&times;{\stackrel{\&RightArrow;}{F}}_{3i};$

第三，根据对第二机械臂(2)、第三机械臂(3)在机器人运动过程中由各单元所受惯性力组成的惯性力系分别在第三关节及第二关节处简化得到的惯性力主矢与主矩以及质点系的达朗贝尔定理，分别求得关节3及关节2处产生的支反力及支反力偶；

第四，根据其次通过截面法求得机械臂2及3上各单元处的弯矩；

第五，经过分析可知，各机械臂关节处的单元在机械臂运动时产生的弯矩最大，并且机械臂2上关节2处单元的弯矩矢量在Z₂轴分量最大，机械臂3上关节3处单元的弯矩矢量在Z3轴分量最大，分别设为M_2Zmax及M_3Zmax，并且经分析M_3Zmax＝τ_3max、M_2Zmax＝τ_2max；则机械臂运动时，第二机械臂(2)上最大应力 ${\mathrm{\&sigma;}}_{2Z\max }=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{2\max }}{W_{2Z}},$ 第三机械臂(3)上的最大应力 ${\mathrm{\&sigma;}}_{3Z\max }=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{3\max }}{W_{3Z}};$ 其中，τ_2max、τ_3max为运动时各关节驱动电机施加到机械臂上的最大转矩，W_2Z、W_3Z分别表示机械臂2与机械臂3的截面相对于连杆坐标系2的Z₂轴及连杆坐标系3的Z₃轴的抗弯截面系数；经计算可知 $W_{2Z}=\frac{b_2{h}_2^3-b_{2e}{h}_{2e}^3}{6h_2},$ $W_{3Z}=\frac{b_3{h}_3^3-b_{3e}{h}_{3e}^3}{6h_3};$ 对于τ_2max、τ_3ma，根据三自由度机器人机械部分的动力学方程可知：

${\mathrm{\&tau;}}_2={\mathrm{\&tau;}}_2({\mathrm{\&theta;}}_2,{\mathrm{\&theta;}}_3,{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1,{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2,{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_3,{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_2,{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_3,l_2,l_3,b_2,b_{2e},h_2,h_{2e},b_3,b_{3e},h_3,h_{3e}),$

${\mathrm{\&tau;}}_3={\mathrm{\&tau;}}_3({\mathrm{\&theta;}}_2,{\mathrm{\&theta;}}_3,{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1,{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2,{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_2,{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_3,l_2,l_3,b_3,b_{3e},h_3,h_{3e});$ 即关节施加到机械臂上的电磁转矩是关节位置、关节角速度、角加速度的值以及机器人的机械参数的非线性函数，而

的值，又取决于各关节电机能提供的最大角速度

及最大角加速度的值(i＝1，2，3)，因此τ₂、τ₃是一个非线性有约束的多元函数，其最大值τ_2max、τ_3max的求解可以通过非线性函数约束条件下求极值的方法获得。

使用由上述五个步骤获得的强度分析模型得到涉及第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的综合强度性能指标：

$J_2=(|{\mathrm{\&sigma;}}_{2\max }-0.8\left[\mathrm{\&sigma;}\right]|+|{\mathrm{\&sigma;}}_{3\max }-0.8\left[\mathrm{\&sigma;}\right]|)/(7\&times;{10}^7)$

   $=f_2(l_2,b_2,h_2,b_{2e},h_{2e},l_3,b_3,h_3,b_{3e},h_{3e},{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }),$

其中，[σ]为第二机械臂(2)及第三机械臂(3)所用材料的许用弯曲应力；σ_2max、σ_3max分别表示在机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力；|σ_2max-0.8[σ]|、|σ_3max-0.8[σ]|分别表示机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力与材料许用弯曲应力的0.8倍的接近程度，l₁为第一机械臂的臂长，b₂、h₂为第二机械臂(2)外截面的宽度及高度，b_2e、h_2e为第二机械臂(2)内腔的宽度及高度，b₃、h₃为第三机械臂(3)外截面的宽度及高度，b_3e、h_3e为第三机械臂(3)内腔的宽度及高度，

分别为第二关节、第三关节的最大角加速度，分别为第一关节、第二关节、第三关节的最大角速度，7×10⁷为比例系数。

最后，通过通过以下各步骤建立基于机电耦合系统动力学模型及逆动力学控制的系统闭环模型：

第一，通过拉格朗日-欧拉法建立该机器人机械负载部分的动力学方程，其形式为：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&tau;}}_1\\ {\mathrm{\&tau;}}_2\\ {\mathrm{\&tau;}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{D}_{11}+I_{a1}& 0& 0\\ 0& D_{22}+I_{a2}& D_{23}\\ 0& D_{32}& D_{33}+I_{a3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_1\\ {\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_2\\ {\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ D_{211}& 0& D_{233}\\ D_{311}& D_{322}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1^2\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2^2\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_3^2\end{array}\right];$

$+2\left[\begin{array}{ccc}{D}_{112}& 0& D_{113}\\ 0& D_{223}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_3\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ D_2\\ D_3\end{array}\right]$

其中，D_i、D_ij、D_ijk为机械部分动力学方程的系数，这些系数与机械设计参数及机械臂运动位置有关。τ_i为施加到机械臂i的机械部分的转矩，I_ai为机械臂i传动装置的转动惯量，

θ_i分别为机械臂i所对应关节的瞬时角加速度、角速度及角位移，其中(i＝1，2，3)。

在此基础上，设计该机器人机械系统与电机系统不经变速箱而直接连接，并将机械部分动力学模型折算到电机侧，建立起机电耦合系统的动力学模型：

$\left[\begin{array}{c}{u}_{m1}\\ u_{m2}\\ u_{m3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{K}_1{D}_{11}+I_{a1}^{\&prime;}& 0& 0\\ 0& {K_{2}D}_{22}+I_{a2}^{\&prime;}& K_2{D}_{23}\\ 0& {K_{3}D}_{32}& K_3{D}_{33}+I_{a3}^{\&prime;}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_1\\ {\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_2\\ {\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ {K_{2}D}_{211}& 0& {K_{2}D}_{233}\\ K_3{D}_{311}& {K_{3}D}_{322}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1^2\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2^2\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_3^2\end{array}\right]$

$+2\left[\begin{array}{ccc}{K}_1{D}_{112}& 0& {K_{1}D}_{113}\\ 0& K_2{D}_{223}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_3\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{k}_{e1}& 0& 0\\ 0& k_{e2}& 0\\ 0& 0& k_{e3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ {K_{2}D}_2\\ {K_{3}D}_3\end{array}\right]$

；其中，u_mi为机械臂i控制电机的电枢电路电压；K_i为机械臂i的机械部分向电机部分折算的系数，K_i＝R_mi/k_mi，

为机械臂i的系统传动装置总转动惯量， $I_{\mathrm{ai}}^{\&prime;}=K_i{I}_{\mathrm{ai}}+R_{\mathrm{mi}}{J}_{\mathrm{mi}}/k_{\mathrm{mi}},$ R_mi、k_mi、k_ei、J_mi分别为机械臂i对应控制电机的电枢电路电阻、转矩系数和电势系数和电机轴的转动惯量(i＝1，2，3)。

第二，在机电耦合系统的动力学模型的基础上，采用具有偏置的PD控制律及逆动力学控制的策略，最终构成机器人控制系统，最终构成机器人闭环控制系统框图如图2所示，其中，Θ_d＝[θ_d1，θ_d2，θ_d3]^T， ${\stackrel{.}{\mathrm{\&Theta;}}}_d={[{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{d1},{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{d2},{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{d3}]}^T,$ ${\stackrel{..}{\mathrm{\&Theta;}}}_d={[{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{d1},{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{d2},{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{d3}]}^T,$ 分别为参考轨迹向量、参考角速度及参考角加速度向量；K_D＝diag(k_d1，k_d2，k_d3)、K_P＝diag(k_p1，k_p2，k_p3)，分别为控制器微分系数矩阵与比例系数矩阵。

第三，该机器人运动控制的参考轨线采用关节空间中抛物线过渡的线性插值法产生，并且使用机器人各关节的最大运动能力进行规划，以保证任何控制任务在机器人设计的运动能力内以最短的时间完成；各关节的最大运动能力与各关节驱动电机有关，包括各关节的最大角加速度

(单位：rad/s²)以及各关节的最大角速度

(单位：rad/s)，在关节期望运动的匀加速运动阶段，各关节以

加速运动，至关节角速度达到

在关节期望运动的匀速运动阶段，各关节以

匀速运动；在关节期望运动的匀减速运动阶段，各关节以

减速运动，至关节角速度达到0；三段期望运动的结束时刻分别设为t_ai、t_bi、t_ci，对于某些控制任务的期望运动也可能仅由匀加速与匀减速两段组成，该两端期望运动结束时间分别设为t_ai、t_ci。

第四，由于给定参考输入运动轨线在t_ai、t_bi、t_ci时刻二阶导数不连续，实际控制轨线与参考轨线存在误差；由闭环控制系统模型可知误差函数为 ${\stackrel{..}{e}}_i+k_{\mathrm{di}}{\stackrel{.}{e}}_i+k_{\mathrm{pi}}{e}_i=0,$ 该误差函数是一个二阶微分方程，为使误差函数收敛，应通过控制器参数调整保证误差系统为过阻尼或临界阻尼状态，对于每个关节而言，即要求k² _di≥4k_pi，(i＝1，2，3)。通过上述控制器参数下对闭环控制系统进行仿真可知，该误差在控制过程中完全可忽略不计；

第五，对于一项搬运任务其控制结束时间及所需控制能量的计算方法为：设在基坐标系中搬运任务初始点坐标为(x₀，y₀，z₀)，终止点坐标为(x_f，y_f，z_f)，根据该机械臂逆运动学模型，计算完成该搬运任务各关节的初始关节角θ_i0终止关节角θ_if；根据上述参考轨迹的规划方案，生成各关节完成该搬运任务对应的参考角度轨线θ_di(t)、参考角速度轨线和参考角加速度轨线

并分别组成参考轨迹向量Θ_d(t)、参考角速度向量

及参考角加速度向量

根据具有偏置的PD控制律及逆动力学控制的策略的控制特点，可以认为控制结束时间即为三个关节参考轨迹结束时间，各关节控制过程中实际的角度、角速度、角加速度轨线即为参考角度、角速度、角加速度轨线；因此，该搬运任务的控制时间为t_f＝t_c＝max(t_c1，t_c2，t_c3)，该搬运任务的控制能量为 $W={\&Integral;}_0^{t_f}\left|{\mathrm{\&tau;}}_1\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_f}\left|{\mathrm{\&tau;}}_2\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_f}\left|{\mathrm{\&tau;}}_3\left(t\right)\right|\mathrm{dt},$ 其中τ_i(t)由机械臂机械部分动力学模型及控制任务对应的参考轨迹计算， ${\mathrm{\&tau;}}_i(\mathrm{\&Theta;}\left(t\right),\stackrel{.}{\mathrm{\&Theta;}}\left(t\right),\stackrel{..}{\mathrm{\&Theta;}}\left(t\right))={\mathrm{\&tau;}}_i({\mathrm{\&Theta;}}_d\left(t\right),{\stackrel{.}{\mathrm{\&Theta;}}}_d\left(t\right),{\stackrel{..}{\mathrm{\&Theta;}}}_d\left(t\right)).$

使用通过上述五个步骤获得的系统闭环模型得到第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的平均控制能量指标：

$J_3=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{m_{\mathrm{Ln}}(\left|{\mathrm{\&theta;}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{3n}\right|)}[{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_1\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_2\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_3\left(t\right)\right|\mathrm{dt}],$

   $=f_3(l_1,R_1,r_1,l_2,b_2,h_2,b_{2e},h_{2e},l_3,b_3,h_3,b_{3e},h_{3e},{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max })$

及平均控制时间指标

$J_4=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{t_{\mathrm{fn}}}{(\left|{\mathrm{\&theta;}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{3n}\right|)}=f_4(l_1,l_2,l_3,{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }),$

其中，200是指在给定设计要求的工作空间中随机选取400个点作为搬运任务的起止点，由此组成200组搬运任务工作点；n表示第n组搬运任务，m_Ln表示第n组搬运任务的负载质量，|θ_1n|、|θ_2n|、|θ_3n|分别表示表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节的转动角度，τ₁(t)、τ₂(t)、τ₃(t)分别表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节在t时刻输出的电磁转矩，t_fn表示完成第n组搬运任务的完成时间，R₁、r₁分别为圆筒形的第一机械臂(1)外半径及内半径，

为第一关节的最大角加速度；

步骤2对工作空间性能指标、综合强度性能指标、平均控制能量指标及平均控制时间指标涉及的参数进行选择性优化，并建立多目标并行优化模型

首先，选择参数l₂、l₃、b₂、h₂、b₃、h₃、 ${\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },$

作为设计变量，对

工作空间性能指标

J₁＝λ₁R_min-λ₂R_max，

综合强度性能指标

J₂＝|σ_2zmax-0.8[σ]|+|σ_3Zmax-0.8[σ]|，

平均控制能量指标

$J_3=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{m_{\mathrm{Ln}}(\left|{\mathrm{\&theta;}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{3n}\right|)}[{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_1\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_2\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_3\left(t\right)\right|\mathrm{dt}],$

及平均控制时间指标

$J_4=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{t_{\mathrm{fn}}}{(\left|{\mathrm{\&theta;}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{3n}\right|)}$

进行同时优化，得到多目标优化设计任务：

$\left\{\begin{array}{c}\min J_1\left(x_1\right)\\ \min J_2(x_2;x_1,x_3)\\ \min J_3(x_3;x_1,x_2)\\ \min J_4(x_3;x_1)\\ s.t{\mathrm{\&phi;}}_1\&le;0;{\mathrm{\&phi;}}_2\&le;0;{\mathrm{\&phi;}}_3\&le;0\end{array}\right.$

其中，x₁是由设计变量l₂、l₃组成的向量， $x_1={[x_1^1,x_1^2]}^T={[l_2,l_3]}^T,$ 称之为臂长设计向量，其中，的下标1表示设计向量x₁，上标1表示设计向量x₁的第一分量，

的下标1表示设计向量x₁，上标2表示设计向量x₁的第二分量；x₂是由设计变量b₂、h₂、b₃、h₃组成的向量， $x_2={[x_2^1,x_2^2,x_2^3,x_2^4]}^T={[h_2,b_2,h_3,b_3]}^T,$ 称之为臂的厚度设计向量，其中，

的下标2表示设计向量x₂，上标1表示设计向量x₂的第一分量，

的下标2表示设计向量x₂，上标2表示设计向量x₂的第二分量，

的下标2表示设计向量x₂，上标3表示设计向量x₂的第三分量，

的下标2表示设计向量x₂，上标4表示设计向量x₂的第四分量；x₃是由设计变量 ${\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }$ 组成的向量， $x_3={[x_3^1,x_3^2,x_3^3,x_3^4,x_3^5,x_3^6]}^T={[{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }]}^T$ 称之为关节的运动学能力设计向量，的下标3表示设计向量x₃，上标1表示设计向量x₃的第一分量，的下标3表示设计向量x₃，上标2表示设计向量x₃的第二分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标3表示设计向量x₃的第三分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标4表示设计向量x₃的第四分量，的下标3表示设计向量x₃，上标5表示设计向量x₃的第五分量，的下标3表示设计向量x₃，上标6表示设计向量x₃的第六分量；φ₁为第一约束条件向量，φ₁＝[(l₂—l₃)—d_min，d_max—(l₂+l₃)，l₃—l₂，—l₂，—l₃]^T，这里，d_min＝0.2，d_max＝1.5，分别代表对所设计的机械臂工作空间最小半径与最大半径的设计要求，其值根据具体的设计需要进行调整；φ₂为第二约束条件向量，φ₂＝[h_2e-h₂，b_2e-b₂，h_3e-h₃，b_3e-b₃]^T；φ₃为第三约束条件向量 ${\mathrm{\&phi;}}_3={[-{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },-{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },-{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },-{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },-{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },-{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }]}^T;$

其次，将约束条件与工作空间性能指标J₁、综合强度性能指标J₂、平均控制能量指标J₃及平均控制时间指标J₄进行合并转化，得到广义工作空间性能指标Z₁，广义综合强度性能指标Z₂，广义平均控制能量指标Z₃及广义平均控制时间指标Z₄：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_1=\max \{0,J_1-J_1^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_1\underset{m=1}{\overset{5}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_1^m\}}^2\\ Z_2=\max \{0,J_2-J_2^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_2\underset{m=1}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_2^m\}}^2\\ Z_3=\max \{0,J_3-J_3^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_3\underset{m=1}{\overset{6}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_3^m\}}^2\\ Z_4=\max \{0,J_4-J_4^{*}\}\end{array}\right.$

其中，

分别是工作空间性能指标J₁、综合强度性能指标J₂、平均控制能量指标J₃及平均控制时间指标J₄的期望值，分别表示第一约束条件向量的第m个元素、第二约束条件向量的第m个元素、第三约束条件向量的第m个元素；σ₁为第一罚系数，σ₁＝1000；σ₂为第二罚系数，σ₂＝1000；σ₃为第三罚系数，σ₃＝1000；

步骤3用控制方法获得多目标优化设计参数

建立第一控制律： $v_{1,i}=k_1^1{e}_{1,i-1}{o}_{1,i-1}^1+k_1^2{e}_{2,i-1}{o}_{1,i-1}^2+k_1^3{e}_{3,i-1}{o}_{1,i-1}^3+k_1^4{e}_{4,i-1}{o}_{1,i-1}^4$

其中，v_1，i为第i次迭代时臂长设计向量x₁的调整量， $v_{1,i}={[v_{1,i}^1,v_{1,i}^2]}^T,$

的第一下标1和上标1表示该调整量是对设计向量x₁中的第一设计变量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标1和上标2表示该调整量是对设计向量x₁中的第二设计变量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第一控制律产生的调整量v_1，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{1,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,i-1}^1\right|,$ $v_{1,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{1,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,i-1}^2\right|,$ $v_{1,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,i-1}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,i-1}^1\right|,$ $v_{1,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{1,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,i-1}^2\right|,$ $v_{1,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,i-1}^2\right|,$

其中，

表示设计向量x₁的第一设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₁的第二设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整值v_1，i调整臂长设计向量x₁，得到第i次迭代后设计向量x₁的值x_1，i＝x_1，i-1+v_1，i；e_1，i-1为广义工作空间性能指标Z1在第i—1次迭代后的值Z_1，i-1与目标值0的误差，e_1，i-1＝0—Z_1，i-1；

e_2，i-1为广义综合强度性能指标Z₂在第i—1次迭代后的值Z_2，i-1与目标值0的误差，e_2，i-1＝0—Z_2，i-1；

e_3，i-1为广义平均控制能量指标Z3在第i—1次迭代后的值Z_3，i-1与目标值0的误差，e_3，i-1＝0—Z_3，i-1；

e_4，i-1为广义平均控制时间指标Z₄在第i—1次迭代后的值Z_4，i-1与目标值0的误差，e_4，i-1＝0—Z_4，i-1；

为误差值e_1，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{1,i-1}^1=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,i-1}}{{\mathrm{dx}}_{1,i-1}}\},$ 的上标1表示广义工作空间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义工作空间性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{1,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$

的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义综合强度性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的偏导数的符号向量， $o_{1,i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$

的上标3表示广义平均控制能量指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算时广义平均控制能量性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_4，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的偏导数的符号向量， $o_{1,i-1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$

的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制时间指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_1，i-1在控制律1中的比例系数，

上标1表示广义工作空间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^1=1;$

为误差值e_2，i-1在控制律1中的比例系数，

上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^2=1\&times;{10}^{-2};$

为误差值e_3，i-1在控制律1中的比例系数，

上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^3=5\&times;{10}^{-4};$

为误差值e_4，i-1在控制律1中的比例系数，

上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^4=1\&times;{10}^{-4};$

建立第二控制律： $v_{2,i}=k_2^2{e}_{2,i-1}{o}_{2,i-1}^2+k_2^4{e}_{3,i-1}{o}_{2,i-1}^3$

其中，v_2，i为第i次迭代时臂厚设计向量x₂的调整量， $v_{2,i}={[v_{2,i}^1,v_{2,i}^2,v_{2,i}^3,v_{2,i}^4]}^T,$

的第一下标2和上标1表示该调整量是对设计向量x₂中的第一设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，的第一下标2和上标2表示该调整量是对设计向量x₂中的第二设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标2和上标3表示该调整量是对设计向量x₂中的第三设计分量的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标2和上标4表示该调整量是对设计向量x₂中的第四设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第二控制律产生的调整量v_2，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{2,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^1\right|,$ $v_{2,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^2\right|,$ $v_{2,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^2\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^3\right|,$ $v_{2,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^3\right|,$

$0<\left|v_{2,i}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^4\right|,$ $v_{2,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^4\right|;$

如果 $\left|v_{2,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^1\right|,$ $v_{2,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{2,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^2\right|,$ $v_{2,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^2\right|,$

$\left|v_{2,i}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^3\right|,$ $v_{2,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^3\right|,$

$\left|v_{2,i}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^4\right|,$ $v_{2,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^4\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^4\right|;$

其中，

表示设计向量x₂的第一设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第二设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第三设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第四设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整值v_2，i调整臂厚设计向量，得到第i次迭代后设计向量x₂的值x_3，i＝x_2，i-1+v_2，i；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_2，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{2,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{2,i-1}}\},$

的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义综合强度性能指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_2，i-1的偏导数的符号向量， $o_{2,i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{2,i-1}}\},$

的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制能量指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差e_2，i-1在控制律2中的比例系数，上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令 $k_2^2=1;$

为误差e_3，i-1在控制律2中的比例系数，

上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标2表示控制律1，并且令 $k_2^3=1\&times;{10}^{-2};$

建立第三控制律： $v_{3,i}=k_3^2{e}_{2,i-1}{o}_{3,i-1}^2+k_3^3{e}_{3,i-1}{o}_{3,i-1}^3+k_3^4{e}_{4,i-1}{o}_{3,i-1}^4$

其中，v_3，i为第i次迭代时关节运动学能力设计向量x3的调整量， $v_{3,i}={[v_{3,i}^1,v_{3,i}^2,v_{3,i}^3,v_{3,i}^4,v_{3,i}^5,v_{3,i}^6]}^T,$

的第一下标3和上标1表示该调整量是对设计向量x₃中的第一设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标3和上标2表示该调整量是对设计向量x₃中的第二个设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标3和上标3表示该调整量是对设计向量x₃中的第三设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标3和上标4表示该调整量是对设计向量x₃中的第四设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

的第一下标3和上标5表示该调整量是对设计向量x₃中的第五设计分量的调整量，第二下标i表示迭代次数；

的第一下标3和上标6表示该调整量是对设计向量x₃中的第六设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第三控制律产生的调整量v_3，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{3,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^1\right|,$ $v_{3,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^1\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^2\right|,$ $v_{3,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^2\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^3\right|,$ $v_{3,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^3\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^4\right|,$ $v_{3,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^4\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^5\right|,$ $v_{3,i}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^5\right|,$

$0<\left|v_{3,i}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^6\right|,$ $v_{3,i}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^1\right|,$ $v_{3,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^1\right|,$

$\left|v_{3,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^2\right|,$ $v_{3,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^2\right|,$

$\left|v_{3,i}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^3\right|,$ $v_{3,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^3\right|,$

$\left|v_{3,i}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^4\right|,$ $v_{3,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^4\right|,$

$\left|v_{3,i}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^5\right|,$ $v_{3,i}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^5\right|,$

$\left|v_{3,i}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^6\right|,$ $v_{3,i}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^6\right|;$

其中，

表示设计向量x₃的第一设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第二设计分量第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第三设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第四设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第五设计分量第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第六设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整量v_3，i调整关节的运动学能力设计向量x₃，计算第i次迭代后设计向量x₃的值x_3，i＝x_3，i-1+v_3，i；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{3,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$

的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义综合强度性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的偏导数的符号向量， $o_{3,i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$

的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标3表示运动学能力设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制能量性能指标的误差值及运动学能力向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_4，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的偏导数的符号向量， $o_{3,i-1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$ 的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制时间性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_2，i-1在控制律3中的比例系数，

上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令 $k_3^2=1\&times;{10}^{-2};$

为误差值e_3，i-1在控制律3中的比例系数，

上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令 $k_3^3=0.5;$

为误差值e_4，i-1在控制律4中的比例系数，

上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标4表示控制律4，并且令 $k_3^4=1;$

利用第一控制律、第二控制律、第三控制律对臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、关节运动学能力设计向量x₃进行第一次优化设计：

为臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、关节运动学能力设计向量x₃赋初始设计值，得到向量x_1，0、向量x_2，0、向量x_3，0；

为各性能指标期望值

赋第一次多目标优化设计的参考值

得到 $J_{1,1}^{*}=-1.3,$ $J_{\mathrm{2,1}}^{*}=0.7,$ $J_{\mathrm{3,1}}^{*}=1.5,$ $J_{\mathrm{4,1}}^{*}=0.35,$ 对于

其第一下标1表示工作空间性能表，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于

其第一下标2表示综合强度性能指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于其第一下标3表示平均控制能量指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于

其第一下标4表示平均控制时间指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计；

由第一次多目标优化设计的参考值

及x_1，0、x_2，0、x_3，0计算得到各广义性能指标的初始值Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0；如果Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0不全部为零，则进入步骤3.1；如果Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0全部为零，则设计向量x₁、x₂、x₃的初始值x_1，0、x_2，0、x_3，0即为多目标优化设计参数的值；

步骤3.1对设计变量组成的向量x₁、x₂、x₃进行第一次迭代，迭代次数i＝1：

首先，由第一控制律 $v_{1,1}=k_1^1{e}_{1,0}{o}_{1,0}^1+k_1^2{e}_{2,0}{o}_{1,0}^2+k_1^3{e}_{3,0}{o}_{1,0}^3+k_1^4{e}_{4,0}{o}_{1,0}^4$ 及对第一控制律产生的调整量v_1，1幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{1,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,0}^1\right|,$ $v_{1,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,0}^1\right|,$

$0<\left|v_{1,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,0}^2\right|,$ $v_{1,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,0}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,0}^1\right|,$ $v_{1,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,0}^1\right|,$

$\left|v_{1,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,0}^2\right|,$ $v_{1,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,0}^2\right|;$

生成对向量x₁的第一次迭代的调整值v_1，1，再用调整值v_1，1调整向量x₁，得到向量x₁第一次迭代后的值x_1，1＝x_1，0+v_1，1；这里，e_1，0为广义工作空间性能指标在初始时刻的值Z_1，0与目标值0的误差，e_1，0＝0—Z_1，0；e_2，0为广义综合强度性能指标在初始时刻的值Z_2，0与目标值0的误差，e_2，0＝0—Z_2，0；e_3，0为广义平均控制能量指标在初始时刻的值Z_3，0与目标值0的误差，e_3，0＝0—Z_3，0；e_4，0为广义平均控制时间指标在初始时刻的值Z_4，0与目标值0的误差，e_4，0＝0—Z_4，0；

为误差值e_1，0相对于设计向量值x_1，0的负导数对应的符号向量， $o_{1,0}^1=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,0}}{{\mathrm{dx}}_{1,0}}\},$

为误差值e_2，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$

为误差值e_3，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$

为误差值e_4，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$

其次，由第二控制律 $v_{\mathrm{2,1}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,0}}{o}_{\mathrm{2,0}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,0}}{o}_{\mathrm{2,0}}^3$ 及对第二控制律产生的调整量v_2，1的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{2,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^1\right|,$ $v_{2,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^1\right|,$

$0<\left|v_{2,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^2\right|,$ $v_{2,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^2\right|,$

$0<\left|v_{2,1}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^3\right|,$ $v_{2,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^3\right|,$

$0<\left|v_{2,1}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^4\right|,$ $v_{2,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^4\right|;$

如果 $\left|v_{2,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^1\right|,$ $v_{2,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^1\right|,$

$\left|v_{2,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^2\right|,$ $v_{2,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^2\right|,$

$\left|v_{2,1}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^3\right|,$ $v_{2,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^3\right|,$

$\left|v_{2,1}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^4\right|,$ $v_{2,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^4\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^4\right|;$

生成对臂厚设计向量x₂的第一次迭代的调整值v_2，1，用调整值v_2，1调整臂厚设计向量x₂，得到向量x₂的第一次迭代后的值x_2，1＝x_2，0+v_2，1；这里，

为误差值e_2，0相对于设计向量值x_2，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{2,0}}\};$

为误差值e_3，0相对于设计向量值x_2，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{2,0}}\};$

再次，由第三控制律 $v_{\mathrm{3,1}}=k_3^2{e}_{\mathrm{2,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^2+k_3^3{e}_{\mathrm{3,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^3+k_3^4{e}_{\mathrm{4,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^4$ 及对第三控制律产生的调整量v_3，1的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{3,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^1\right|,$ $v_{3,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^1\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^2\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^3\right|,$ $v_{3,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^3\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^4\right|,$ $v_{3,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^4\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^5\right|,$ $v_{3,1}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^5\right|,$

$0<\left|v_{3,1}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^6\right|,$ $v_{3,1}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^1\right|,$ $v_{3,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^1\right|,$

$\left|v_{3,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$

$\left|v_{3,1}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^3\right|,$ $v_{3,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^3\right|,$

$\left|v_{3,1}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^4\right|,$ $v_{3,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^4\right|,$

$\left|v_{3,1}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^5\right|,$ $v_{3,1}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^5\right|,$

$\left|v_{3,1}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^6\right|,$ $v_{3,1}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^6\right|;$

生成对关节运动学能力设计向量x₃的第一次调整值v_3，1，用调整值v_3，1调整关节运动学能力设计向量x₃，得到设计向量x₃的第一次迭代后的值x_3，1＝x_3，0+v_3，1；这里，

为误差值e_2，0相对于x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$ 为误差值e_3，0相对于设计向量值x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$ 为误差值e_4，0相对于设计向量值x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$

最后，在得到设计向量x₁、x₂、x₃的第一次迭代后的向量值x_1，1、x_2，1、x_3，1之后，计算第一次调整后各广义性能的值Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1，如果Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1不全部为零，则进入步骤3.2；如果Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1全部为零，则所得到的向量x₁、x₂、x₃的第一次迭代的值x_1，1、x_2，1、x_3，1为多目标优化设计参数；

步骤3.2对设计变量组成的向量x₁、x₂、x₃进行第二次迭代，迭代次数i＝2：

首先，由第一控制律 $v_{\mathrm{1,2}}=k_1^1{e}_{\mathrm{1,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^1+k_1^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^2+k_1^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^3+k_1^4{e}_{\mathrm{4,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^4$ 及对第一控制律产生的调整量v_1，2幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{1,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,1}^1\right|,$ $v_{1,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,1}^1\right|,$

$0<\left|v_{1,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,1}^2\right|,$ $v_{1,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,1}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,1}^1\right|,$ $v_{1,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,1}^1\right|,$

$\left|v_{1,2}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,1}^2\right|,$ $v_{1,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,1}^2\right|;$

生成对向量x₁的第二次迭代的调整值v_1，2，再用调整值v_1，2调整向量x₂，得到第二次迭代后设计向量x₁的值x_1，2＝x_1，1+v_1，2；这里，e_1，1为广义工作空间性能指标在第一次迭代后的值Z_1，1与目标值0的误差，e_1，1＝0—Z_1，1；e_2，1为广义综合强度性能指标在第一次迭代后的值Z_2，1与目标值0的误差，e_2，1＝0—Z_2，1；e_3，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z_3，1与目标值0的误差，e_3，1＝0—Z_3，1；e_4，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z_4，1与目标值0的误差，e_4，1＝0—Z_4，1；

为误差值e_1，1相对于设计向量值x_1，1的负导数对应的符号向量， $o_{1,1}^1=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,1}}{{\mathrm{dx}}_{1,1}}\};$

为误差值e_2，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$ 为误差值e_4，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$

其次，由第二控制律 $v_{\mathrm{2,2}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^3$ 及对第二控制律产生的调整量v_2，2的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{2,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^1\right|,$ $v_{2,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^1\right|,$

$0<\left|v_{2,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^2\right|,$ $v_{2,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^2\right|,$

$0<\left|v_{2,2}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^3\right|,$ $v_{2,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^3\right|,$

$0<\left|v_{2,2}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^4\right|,$ $v_{2,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^4\right|,$

如果 $\left|v_{2,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^1\right|,$ $v_{2,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^1\right|,$

$\left|v_{2,2}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^2\right|,$ $v_{2,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^2\right|,$

$\left|v_{2,2}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^3\right|,$ $v_{2,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^3\right|,$

$\left|v_{2,2}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^4\right|,$ $v_{2,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^4\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^4\right|;$

生成设计向量x₂进行第二次迭代的调整值 $v_{\mathrm{2,2}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^3,$ 再用调整值v_2，2调整设计向量x₂的值，得到第二次迭代后设计向量x₂的值x_2，2＝x_2，1+v_2，2；这里，

为误差值e_2，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{2,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_2，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{2,1}}\};$

再次，由第三控制律 $v_{\mathrm{3,2}}=k_3^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^2+k_3^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^3+k_3^4{e}_{\mathrm{4,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^4$ 及对第三控制律产生的调整量v_3，2的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{3,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^1\right|,$ $v_{3,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^1\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^2\right|,$ $v_{3,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^2\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^3\right|,$ $v_{3,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^3\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^4\right|,$ $v_{3,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^4\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^5\right|,$ $v_{3,2}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^5\right|,$

$0<\left|v_{3,2}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^6\right|,$ $v_{3,2}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^1\right|,$ $v_{3,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^1\right|,$

$\left|v_{3,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$

$\left|v_{3,2}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^3\right|,$ $v_{3,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^3\right|,$

$\left|v_{3,2}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^4\right|,$ $v_{3,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^4\right|,$

$\left|v_{3,2}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^5\right|,$ $v_{3,2}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^5\right|,$

$\left|v_{3,2}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^6\right|,$ $v_{3,2}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^6\right|;$

生成设计向量x₃的第二次迭代的调整值，再用调整值v_3，2调整设计向量x₃的值，得到第二次迭代后向量x₃的值x_3，2＝x_3，1+v_3，2；这里，

为e_2，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

为误差值e_4，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

最后，用得到的设计向量x₁、x₂、x₃第二次迭代后的值x_1，2、x_2，2、x_3，2，计算第二次迭代后各广义性能的值Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2，如果Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2不全部为零，则进入步骤3.3；如果Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2全部为零，则所得到的向量x₁、x₂、x₃的第二次迭代的值x_1，2、x_2，2、x_3，2即为多目标优化设计参数的值；

步骤3.3依此类推，通过第一控制律及对第一控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₁进行第j次迭代的调整值v_1，j；通过第二控制律及对第二控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₂进行第j次迭代的调整值v_2，j；通过第三控制律及对第三控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₃进行第j次迭代的调整值v_3，j；重复上述迭代，如果在100次迭代内通过调整臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的值可以使广义工作空间性能指标Z₁、广义综合强度性能指标Z₂、广义平均控制能量指标Z₃、广义平均控制时间指标Z₄的值同时为零，则获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的设计值；如果在100次迭代内无法使得广义工作空间性能指标Z₁、广义综合强度性能指标Z₂、广义平均控制能量指标Z₃、广义平均控制时间指标Z₄的值同时为零，则进入步骤3.4，直到各广义性能在100次迭代内使得广义性能指标Z₁、Z₂、Z₃、Z₄的值同时为零，获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的最终设计值；

步骤3.4对各性能指标期望值

的期望值进行第n—1次调整后进行第n次优化设计，令 $J_{1,n}^{*}=1.05\&times;J_{1,n-1}^{*},$ $J_{2,n}^{*}=1.05\&times;J_{2,n-1}^{*},$ $J_{3,n}^{*}=1.05\&times;J_{3,n-1}^{*},$ $J_{4,n}^{*}=1.05\&times;J_{4,n-1}^{*},$ n为优化设计的次数，对设计向量x₁、x₂、x₃进行第n次优化设计，重复步骤3.1～步骤3.3。

实施例2

对三自由度搬运机器人的基本设计要求为：该三自由度工业机器人的工作空间为以(0，0，1)为球心，最大半径R_max＝1.5，最小半径R_min＝0.2的两球之间的部分(单位：m)。要求搬运的最大负载质量为25kg。在此基础上，要求工作空间最大化，强度满足材料要求，机械臂控制过程能量、时间性能最优。

对于本设计中的三自由度搬运机器人而言，通过第三章的分析，确定了表征机械设计参数及反应电机性能参数的12个参数作为整个设计过程的设计变量。同时，对于机械臂1的机械参数l₁、R₁、r₁，以及机械臂2、3的内腔参数h_2e、b_2e、h_3e、b_3e由于其对性能影响不大，或者由于可以作为预先设计的参数在设计前确定所以这些参数没有作为整个设计的设计参数，作为预先设计值给定。

对于本设计任务，提给定预先设计参数的值分别为：l₁＝1、R₁＝0.075、r₁＝0.05、h_2e＝0.08、b_2e＝0.08、h_3e＝0.08、b_3e＝0.08(单位：m)。

下面开始具体的设计。

首先，初始化各设计变量。

x₁＝[0.8，0.6]^T，x₂＝[0.1，0.1，0.1，0.1]^T，x₃＝[5，5，5，3，3，3]^T。

计算初始化设计变量下机械臂各性能为：

J₁＝—1.2，J₂＝1.3879，J₃＝1.6411，J₄＝0.4393。

结合机械臂初始性能，给定各性能最终优化的次最优指标：

$J_1^{*}=-1.3,$ $J_2^{*}=0.7,$ $J_3^{*}=1.5,$ $J_4^{*}=0.35.$

经过24次叠代，各性能都达到各性能可接受的性能值。在迭代过程中，广义性能指标Z₁、Z₂、Z3、Z₄的值随迭代次数变化的变化图分别由图4、图5、图6、图7所示。

x₁＝[0.854，0.673]^T，x₂＝[0.086，0.086，0.081，0.107]^T，x₃＝[8.26，7.87，8.48，4.99，4.84，4.28]^T

最终性能值为：

J₁＝—1.346，J₂＝0.642，J₃＝1.4736，J₄＝0.3494。

实施例2，各设计变量的变化以及性能指标的变化可通过表1及表2所示。

 

设计变量	初始设计值	最终设计值
			臂2长度	0.8	0.845
臂3长度	0.6	0.673
			臂2外截面高	0.1	0.086
臂2外截面宽	0.1	0.086
			臂3外截面高	0.1	0.081
臂3外截面宽	0.1	0.107
			关节1最大角加速度	5	8.26
关节2最大角加速度	5	7.87
			关节3最大角加速度	5	8.48
关节1最大角速度	3	4.99
			关节2最大角速度	3	4.84
关节3最大角速度	3	4.28

表1  实施例2中设计变量初始值及最终设计值

 

性能指标Ji	初始性能值	性能参考值	最终性能值
				J1	-1.2	-1.3	-1.346
J2	1.3879	0.7	0.642
				J3	1.6411	1.5	1.4736
J4	0.4393	0.35	0.3494

表2  实施例2中可接受性能值及性能变化

Claims (1)

1.一种三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法，所述的三自由度搬运工业机器人包括：第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)，第二机械臂(2)的两端分别与第一机械臂(1)的一端、第三机械臂(3)的一端转动连接，其特征在于多目标优化设计参数的获取方法含有以下步骤：

步骤1 建立机械臂运动学模型、强度分析模型、基于机电耦合系统动力学模型及逆动力学控制的系统闭环模型，并使用机械臂运动学模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的工作空间性能指标：

J₁＝λ₁R_min-λ₂R_max＝f₁(l₂，l₃)，

其中，R_min为工作空间最小半径，R_max为工作空间最大半径，λ₁、λ₂分别为最小半径与最大半径的权系数，l₂为第二机械臂的臂长，l₃为第三机械臂的臂长；

使用强度分析模型获得涉及第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的综合强度性能指标：

$J_2=(|{\mathrm{\&sigma;}}_{2\max }-0.8\left[\mathrm{\&sigma;}\right]|+|{\mathrm{\&sigma;}}_{3\max }-0.8\left[\mathrm{\&sigma;}\right]|)/(7\&times;{10}^7)$

   $=f_2(l_2,b_2,h_2,b_{2e},h_{2e},l_3,b_3,h_3,b_{3e},h_{3e},{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }),$

其中，[σ]为第二机械臂(2)及第三机械臂(3)所用材料的许用弯曲应力；σ_2max、σ_3max分别表示在机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力；|σ_2max-0.8[σ]|、|σ_3max-0.8[σ]|分别表示机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力与材料许用弯曲应力的0.8倍的接近程度，l₁为第一机械臂的臂长，b₂、h₂为第二机械臂(2)外截面的宽度及高度，b_2e、h_2e为第二机械臂(2)内腔的宽度及高度，b₃、h₃为第三机械臂(3)外截面的宽度及高度，b_3e、h_3e为第三机械臂(3)内腔的宽度及高度，

、

分别为第二关节、第三关节的最大角加速度，

、

、

分别为第一关节、第二关节、第三关节的最大角速度，7×10⁷为比例系数；

使用系统闭环模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的平均控制能量指标：

$J_3=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{m_{\mathrm{Ln}}(\left|{\mathrm{\&theta;}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{3n}\right|)}[{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_1\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_2\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_3\left(t\right)\right|\mathrm{dt}],$

   $=f_3(l_1,R_1,r_1,l_2,b_2,h_2,b_{2e},h_{2e},l_3,b_3,h_3,b_{3e},h_{3e},{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max })$

及平均控制时间指标

$J_4=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{t_{\mathrm{fn}}}{(\left|{\mathrm{\&theta;}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{3n}\right|)}=f_4(l_1,l_2,l_3,{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }),$

其中，200是指在给定设计要求的工作空间中随机选取400个点作为搬运任务的起止点，由此组成200组搬运任务工作点；n表示第n组搬运任务，m_Ln表示第n组搬运任务的负载质量，|θ_1n|、|θ_2n|、|θ_3n|分别表示表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节的转动角度，τ₁(t)、τ₂(t)、τ₃(t)分别表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节在t时刻输出的电磁转矩，t_fn表示完成第n组搬运任务的完成时间，R₁、r₁分别为圆筒形的第一机械臂(1)外半径及内半径，

为第一关节的最大角加速度；

步骤2 对工作空间性能指标、综合强度性能指标、平均控制能量指标及平均控制时间指标涉及的参数进行选择性优化，并建立多目标并行优化模型首先，选择参数l₂、l₃、b₂、h₂、b₃、h₃、

、

、

、

、、作为设计变量，对

工作空间性能指标

J₁＝λ₁R_min-λ₂R_max，

综合强度性能指标

J₂＝|σ_2Zmax-0.8[σ]|+|σ_3zmax-0.8[σ]|，

平均控制能量指标

$J_3=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{m_{\mathrm{Ln}}(\left|{\mathrm{\&theta;}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{3n}\right|)}[{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_1\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_2\left(t\right)\right|\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{t_{\mathrm{fn}}}\left|{\mathrm{\&tau;}}_3\left(t\right)\right|\mathrm{dt}],$

及平均控制时间指标

$J_4=\frac{1}{200}\underset{n=1}{\overset{200}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{t_{\mathrm{fn}}}{(\left|{\mathrm{\&theta;}}_{1n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{2n}\right|+\left|{\mathrm{\&theta;}}_{3n}\right|)}$

进行同时优化，得到多目标优化设计任务：

$\left\{\begin{array}{c}\min J_1\left(x_1\right)\\ \min J_2(x_2;x_1,x_3)\\ \min J_3(x_3;x_1,x_2)\\ \min J_4(x_3;x_1)\\ s.t{\mathrm{\&phi;}}_1\&le;0;{\mathrm{\&phi;}}_2\&le;0;{\mathrm{\&phi;}}_3\&le;0\end{array}\right.$

其中，x₁是由设计变量l₂、l₃组成的向量， $x_1={[x_1^1,x_1^2]}^T={[l_2,l_3]}^T,$ 称之为臂长设计向量，其中，

的下标1表示设计向量x₁，上标1表示设计向量x₁的第一分量，

的下标1表示设计向量x₁，上标2表示设计向量x₁的第二分量；x₂是由设计变量b₂、h₂、b₃、h₃组成的向量， $x_2={[x_2^1,x_2^2,x_2^3,x_2^4]}^T={[h_2,b_2,h_3,b_3]}^T,$ 称之为臂的厚度设计向量，其中，

的下标2表示设计向量x₂，上标1表示设计向量x₂的第一分量，

的下标2表示设计向量x₂，上标2表示设计向量x₂的第二分量，

的下标2表示设计向量x₂，上标3表示设计向量x₂的第三分量，的下标2表示设计向量x₂，上标4表示设计向量x₂的第四分量；x₃是由设计变量

、

、

、

、、

组成的向量， $x_3={[x_3^1,x_3^2,x_3^3,x_3^4,x_3^5,x_3^6]}^T={[{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }]}^T,$ 称之为关节的运动学能力设计向量，

的下标3表示设计向量x₃，上标1表示设计向量x₃的第一分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标2表示设计向量x₃的第二分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标3表示设计向量x₃的第三分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标4表示设计向量x₃的第四分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标5表示设计向量x₃的第五分量，

的下标3表示设计向量x₃，上标6表示设计向量x₃的第六分量；φ₁为第一约束条件向量，φ₁＝[(l₂—l₃)—d_min，d_max—(l₂+l₃)，l₃—l₂，—l₂，—l₃]^T，这里，d_min＝0.2，d_max＝1.5，分别代表对所设计的机械臂工作空间最小半径与最大半径的设计要求，其值根据具体的设计需要进行调整；φ₂为第二约束条件向量，φ₂＝[h_2e-h₂，b_2e-b₂，h_3e-h₃，b_3e-b₃]^T；φ₃为第三约束条件向量 ${\mathrm{\&phi;}}_3={[{-\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{..}{-\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{-\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_{3\max },{-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_{1\max },{\stackrel{.}{-\mathrm{\&theta;}}}_{2\max },{\stackrel{.}{-\mathrm{\&theta;}}}_{3\max }]}^T;$

其次，将约束条件与工作空间性能指标J₁、综合强度性能指标J₂、平均控制能量指标J₃及平均控制时间指标J₄进行合并转化，得到广义工作空间性能指标Z₁，广义综合强度性能指标Z₂，广义平均控制能量指标Z₃及广义平均控制时间指标Z₄：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_1=\max \{0,J_1-J_1^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_1\underset{m=1}{\overset{5}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_1^m\}}^2\\ Z_2=\max \{0,J_2-J_2^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_2\underset{m=1}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_2^m\}}^2\\ Z_3=\max \{0,J_3-J_3^{*}\}+{\mathrm{\&sigma;}}_3\underset{m=1}{\overset{6}{\mathrm{\&Sigma;}}}\max {\{0,{\mathrm{\&phi;}}_3^m\}}^2\\ Z_4=\max \{0,J_4-J_4^{*}\}\end{array}\right.$

其中，

分别是工作空间性能指标J₁、综合强度性能指标J₂、平均控制能量指标J₃及平均控制时间指标J₄的期望值，分别表示第一约束条件向量的第m个元素、第二约束条件向量的第m个元素、第三约束条件向量的第m个元素；σ₁为第一罚系数，σ₁＝1000；σ₂为第二罚系数，σ₂＝1000；σ₃为第三罚系数，σ₃＝1000；

步骤3 用控制方法获得多目标优化设计参数

建立第一控制律： $v_{1,i}=k_1^1{e}_{1,i-1}{o}_{1,i-1}^1+k_1^2{e}_{2,i-1}{o}_{1,i-1}^2+k_1^3{e}_{3,i-1}{o}_{1,i-1}^3+k_1^4{e}_{4,i-1}{o}_{1,i-1}^4$

其中，v_1，i为第i次迭代时臂长设计向量x₁的调整量， $v_{1,i}={[v_{1,i}^1,v_{1,i}^2]}^T,$

的第一下标1和上标1表示该调整量是对设计向量x₁中的第一设计变量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标1和上标2表示该调整量是对设计向量x₁中的第二设计变量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第一控制律产生的调整量v_1，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{1,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,i-1}^1\right|,$ $v_{1,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,i-1}^1\right|,$

     $0<\left|v_{1,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,i-1}^2\right|,$ $v_{1,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,i-1}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,i-1}^1\right|,$ $v_{1,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,i-1}^1\right|,$

     $\left|v_{1,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,i-1}^2\right|,$ $v_{1,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,i-1}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,i-1}^2\right|;$

其中，

表示设计向量x₁的第一设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₁的第二设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整值v_1，i调整臂长设计向量x₁，得到第i次迭代后设计向量x₁的值x_1，i＝x_1，i-1+v_1，i；e_1，i-1为广义工作空间性能指标Z₁在第i—1次迭代后的值Z_1，i-1与目标值0的误差，e_1，i-1＝0—Z_1，i-1；

e_2，i-1为广义综合强度性能指标Z₂在第i—1次迭代后的值Z_2，i-1与目标值0的误差，e_2，i-1＝0—Z_2，i-1；

e_3，i-1为广义平均控制能量指标Z₃在第i—1次迭代后的值Z_3，i-1与目标值0的误差，e_3，i-1＝0—Z_3，i-1；

e_4，i-1为广义平均控制时间指标Z₄在第i—1次迭代后的值Z_4，i-1与目标值0的误差，e_4，i-1＝0—Z_4，i-1；

为误差值e_1，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{1,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,i-1}}{{\mathrm{dx}}_{1,i-1}}\},$ 的上标1表示广义工作空间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义工作空间性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{1,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$

的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算时广义综合强度性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的偏导数的符号向量， $o_{1,i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$

的上标3表示广义平均控制能量指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制能量性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_4，i-1相对于设计向量值x_1，i-1的偏导数的符号向量， $o_{1,i-1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,i-1}}{{\&PartialD;x}_{1,i-1}}\},$

的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制时间指标的误差值及臂长设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_1，i-1在控制律1中的比例系数，

上标1表示广义工作空间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^1=1;$

为误差值e_2，i-1在控制律1中的比例系数，

上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^2=1\&times;{10}^{-2};$

为误差值e_3，i-1在控制律1中的比例系数，上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^3=5\&times;{10}^{-4};$

为误差值e_4，i-1在控制律1中的比例系数，

上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令 $k_1^4=1\&times;{10}^{-4};$

建立第二控制律： $v_{2,i}=k_2^2{e}_{2,i-1}{o}_{2,i-1}^2+k_2^3{e}_{3,i-1}{o}_{2,i-1}^3$

其中，v_2，i为第i次迭代时臂厚设计向量x₂的调整量， $v_{2,i}={[v_{2,i}^1,v_{2,i}^2,v_{2,i}^3,v_{2,i}^4]}^T,$

的第一下标2和上标1表示该调整量是对设计向量x₂中的第一设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标2和上标2表示该调整量是对设计向量x₂中的第二设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，的第一下标2和上标3表示该调整量是对设计向量x₂中的第三设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标2和上标4表示该调整量是对设计向量x₂中的第四设计分量的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第二控制律产生的调整量v_2，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{2,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^1\right|,$ $v_{2,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^1\right|,$

     $0<\left|v_{2,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^2\right|,$ $v_{2,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^2\right|,$

     $0<\left|v_{2,i}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^3\right|,$ $v_{2,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^3\right|,$

     $0<\left|v_{2,i}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,i-1}^4\right|,$ $v_{2,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,i-1}^4\right|;$

如果 $\left|v_{2,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^1\right|,$ $v_{2,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^1\right|,$

     $\left|v_{2,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^2\right|,$ $v_{2,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^2\right|,$

     $\left|v_{2,i}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^3\right|,$ $v_{2,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^3\right|,$

     $\left|v_{2,i}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,i-1}^4\right|,$ $v_{2,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,i-1}^4\right)\&times;0.02\left|x_{2,i-1}^4\right|;$

其中，表示设计向量x₂的第一设计分量第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第二设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第三设计分量第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₂的第四设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整值v_2，i调整臂厚设计向量，得到第i次迭代后设计向量x₂的值x_2，i＝x_2，i-1+v_2，i；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_2，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{2,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{2,i-1}}\},$ 的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义综合强度性能指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_2，i-1的偏导数的符号向量， $o_{2,i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{2,i-1}}\},$

的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i—1表示在计算时广义平均控制能量指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差e_2，i-1在控制律2中的比例系数，

上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令 $k_2^2=1;$

为误差e_3，i-1在控制律2中的比例系数，

上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标2表示控制律1，并且令 $k_2^3=1\&times;{10}^{-2};$

建立第三控制律： $v_{3,i}=k_3^2{e}_{2,i-1}{o}_{3,i-1}^2+k_3^3{e}_{3,i-1}{o}_{3,i-1}^3+k_3^4{e}_{4,i-1}{o}_{3,i-1}^4$

其中，v_3，i为第i次迭代时关节运动学能力设计向量x₃的调整量， $v_{3,i}={[v_{3,i}^1,v_{3,i}^2,v_{3,i}^3,v_{3,i}^4,v_{3,i}^5,v_{3,i}^6]}^T,$ 的第一下标3和上标1表示该调整量是对设计向量x₃中的第一设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标3和上标2表示该调整量是对设计向量x₃中的第二个设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，的第一下标3和上标3表示该调整量是对设计向量x₃中的第三设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数，

的第一下标3和上标4表示该调整量是对设计向量x₃中的第四设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

的第一下标3和上标5表示该调整量是对设计向量x₃中的第五设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

的第一下标3和上标6表示该调整量是对设计向量x₃中的第六设计分量

的调整量，第二下标i表示迭代次数；

对第三控制律产生的调整量v_3，i的调整幅度进行修正：

如果 $0<\left|v_{3,i}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^1\right|,$ $v_{3,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^1\right|,$

     $0<\left|v_{3,i}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^2\right|,$ $v_{3,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^2\right|,$

     $0<\left|v_{3,i}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^3\right|,$ $v_{3,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^3\right|,$

     $0<\left|v_{3,i}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^4\right|,$ $v_{3,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^4\right|,$

     $0<\left|v_{3,i}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^5\right|,$ $v_{3,i}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^5\right|,$

     $0<\left|v_{3,i}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,i-1}^6\right|,$ $v_{3,i}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,i-1}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,i}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^1\right|,$ $v_{3,i}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^1\right|,$

     $\left|v_{3,i}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^2\right|,$ $v_{3,i}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^2\right|,$

     $\left|v_{3,i}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^3\right|,$ $v_{3,i}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^3\right|,$

     $\left|v_{3,i}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^4\right|,$ $v_{3,i}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^4\right|,$

     $\left|v_{3,i}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^5\right|,$ $v_{3,i}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^5\right|,$

     $\left|v_{3,i}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,i-1}^6\right|,$ $v_{3,i}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,i-1}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,i-1}^6\right|;$

其中，

表示设计向量x₃的第一设计分量

第i—1次迭代后的设计值，表示设计向量x₃的第二设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第三设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第四设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第五设计分量

第i—1次迭代后的设计值，

表示设计向量x₃的第六设计分量

第i—1次迭代后的设计值；

用修正后的调整量v_3，i调整关节的运动学能力设计向量x₃，计算第i次迭代后设计向量x₃的值x_3，i＝x_3，i-1+v_3，i；

为误差值e_2，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的负导数对应的符号向量， $o_{3,i-1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$

的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义综合强度性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_3，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的偏导数的符号向量， $o_{3,i-1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$

的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标3表示运动学能力设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制能量性能指标的误差值及运动学能力向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_4，i-1相对于设计向量值x_3，i-1的偏导数的符号向量， $o_{3,i-1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,i-1}}{{\&PartialD;x}_{3,i-1}}\},$

的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i—1表示在计算

时广义平均控制时间性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i—1次迭代后的值；

为误差值e_2，i-1在控制律3中的比例系数，

上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令 $k_3^2=1\&times;{10}^{-2};$

为误差值e_3，i-1在控制律3中的比例系数，

上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令 $k_3^3=0.5;$

为误差值e_4，i-1在控制律4中的比例系数，

上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标4表示控制律4，并且令 $k_3^4=1;$

利用第一控制律、第二控制律、第三控制律对臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、关节运动学能力设计向量x₃进行第一次优化设计：

为臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、关节运动学能力设计向量x₃赋初始设计值，得到向量x_1，0、向量x_2，0、向量x_3，0；

为各性能指标期望值

赋第一次多目标优化设计的参考值

得到 $J_{1,1}^{*}=-1.3,$ $J_{\mathrm{2,1}}^{*}=0.7,$ $J_{\mathrm{3,1}}^{*}=1.5,$ $J_{\mathrm{4,1}}^{*}=0.35,$ 对于

其第一下标1表示工作空间性能表，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于

其第一下标2表示综合强度性能指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于

，其第一下标3表示平均控制能量指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于，其第一下标4表示平均控制时间指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计；

由第一次多目标优化设计的参考值

及x_1，0、x_2，0、x_3，0计算得到各广义性能指标的初始值Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0；如果Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0不全部为零，则进入步骤3，1；如果Z_1，0、Z_2，0、Z_3，0、Z_4，0全部为零，则设计向量x₁、x₂、x₃的初始值x_1，0、x_2，0、x_3，0即为多目标优化设计参数的值；

步骤3.1 对设计变量组成的向量x₁、x₂、x₃进行第一次迭代，迭代次数i＝1：

首先，由第一控制律 $v_{1,1}=k_1^1{e}_{1,0}{o}_{1,0}^1+k_1^2{e}_{2,0}{o}_{1,0}^2+k_1^3{e}_{3,0}{o}_{1,0}^3+k_1^4{e}_{4,0}{o}_{1,0}^4$ 及对第一控制律产生的调整量v_1，1幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{1,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,0}^1\right|,$ $v_{1,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,0}^1\right|,$

     $0<\left|v_{1,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,0}^2\right|,$ $v_{1,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,0}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,0}^1\right|,$ $v_{1,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,0}^1\right|,$

     $\left|v_{1,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,0}^2\right|,$ $v_{1,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,0}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,0}^2\right|;$

生成对向量x₁的第一次迭代的调整值v_1，1，再用调整值v_1，1调整向量x₁，得到向量x₁第一次迭代后的值x_1，1＝x_1，0+v_1，1；这里，e_1，0为广义工作空间性能指标在初始时刻的值Z_1，0与目标值0的误差，e_1，0＝0—Z_1，0；e_2，0为广义综合强度性能指标在初始时刻的值Z_2，0与目标值0的误差，e_2，0＝0—Z_2，0；e_3，0为广义平均控制能量指标在初始时刻的值Z_3，0与目标值0的误差，e_3，0＝0—Z_3，0；e_4，0为广义平均控制时间指标在初始时刻的值Z_4，0与目标值0的误差，e_4，0＝0—Z_4，0；为误差值e_1，0相对于设计向量值x_1，0的负导数对应的符号向量， $o_{1,0}^1=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,0}}{{\mathrm{dx}}_{1,0}}\},$ 为误差值e_2，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$

为误差值e_3，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$

为误差值e_4，0相对于设计向量值x_1，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,0}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,0}}{{\&PartialD;x}_{1,0}}\};$

其次，由第二控制律 $v_{\mathrm{2,1}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,0}}{o}_{\mathrm{2,0}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,0}}{o}_{\mathrm{2,0}}^3$ 及对第二控制律产生的调整量v_2，1的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{2,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^1\right|,$ $v_{2,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^1\right|,$

     $0<\left|v_{2,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^2\right|,$ $v_{2,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^2\right|,$

     $0<\left|v_{2,1}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^3\right|,$ $v_{2,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^3\right|,$

     $0<\left|v_{2,1}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,0}^4\right|,$ $v_{2,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,0}^4\right|;$

如果 $\left|v_{2,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^1\right|,$ $v_{2,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^1\right|,$

     $\left|v_{2,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^2\right|,$ $v_{2,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^2\right|,$

     $\left|v_{2,1}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^3\right|,$ $v_{2,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^3\right|,$

     $\left|v_{2,1}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,0}^4\right|,$ $v_{2,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,0}^4\right)\&times;0.02\left|x_{2,0}^4\right|;$

生成对臂厚设计向量x₂的第一次迭代的调整值v_2，1’用调整值v_2，1调整臂厚设计向量x₂，得到向量x₂的第一次迭代后的值x_2，1＝x_2，0+v_2，1；这里，

为误差值e_2，0相对于设计向量值x_2，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{2,0}}\};$ 为误差值e_3，0相对于设计向量值x_2，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{2,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{2,0}}\};$

再次，由第三控制律 $v_{\mathrm{3,1}}=k_3^2{e}_{\mathrm{2,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^2+k_3^3{e}_{\mathrm{3,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^3+k_3^4{e}_{\mathrm{4,0}}{o}_{\mathrm{3,0}}^4$ 及对第三控制律产生的调整量v_3，1的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{3,1}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^1\right|,$ $v_{3,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^1\right|,$

     $0<\left|v_{3,1}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^2\right|,$

     $0<\left|v_{3,1}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^3\right|,$ $v_{3,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^3\right|,$

     $0<\left|v_{3,1}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^4\right|,$ $v_{3,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^4\right|,$

     $0<\left|v_{3,1}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^5\right|,$ $v_{3,1}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^5\right|,$

     $0<\left|v_{3,1}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,0}^6\right|,$ $v_{3,1}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,0}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,1}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^1\right|,$ $v_{3,1}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^1\right|,$

     $\left|v_{3,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$

     $\left|v_{3,1}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^3\right|,$ $v_{3,1}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^3\right|,$

     $\left|v_{3,1}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^4\right|,$ $v_{3,1}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^4\right|,$

     $\left|v_{3,1}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^5\right|,$ $v_{3,1}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^5\right|,$

     $\left|v_{3,1}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^6\right|,$ $v_{3,1}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^6\right|;$

生成对关节运动学能力设计向量x₃的第一次调整值v_3，1’用调整值v_3，1调整关节运动学能力设计向量x₃，得到设计向量x₃的第一次迭代后的值x_3，1＝x_3，0+v_3，1；这里，

为误差值e_2，0相对于x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$ 为误差值e_3，0相对于设计向量值x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$

为误差值e_4，0相对于设计向量值x_3，0的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,0}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,0}}{{\&PartialD;x}_{3,0}}\};$

最后，在得到设计向量x₁、x₂、x₃的第一次迭代后的向量值x_1，1、x_2，1、x_3，1之后，计算第一次调整后各广义性能的值Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1，如果Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1不全部为零，则进入步骤3.2；如果Z_1，1、Z_2，1、Z_3，1、Z_4，1全部为零，则所得到的向量x₁、x₂、x₃的第一次迭代的值x_1，1、x_2，1、x_3，1为多目标优化设计参数；

步骤3.2 对设计变量组成的向量x₁、x₂、x₃进行第二次迭代，迭代次数i＝2：首先，由第一控制律 $v_{\mathrm{1,2}}=k_1^1{e}_{\mathrm{1,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^1+k_1^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^2+k_1^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^3+k_1^4{e}_{\mathrm{4,1}}{o}_{\mathrm{1,1}}^4$ 及对第一控制律产生的调整量v_1，2幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{1,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{1,1}^1\right|,$ $v_{1,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{1,1}^1\right|,$

     $0<\left|v_{1,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{1,1}^2\right|,$ $v_{1,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{1,1}^2\right|,$

如果 $\left|v_{1,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,1}^1\right|,$ $v_{1,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^1\right)\&times;0.04\left|x_{1,1}^1\right|,$

     $\left|v_{1,2}^2\right|\&GreaterEqual;0.04\left|x_{1,1}^2\right|,$ $v_{1,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{1,1}^2\right)\&times;0.04\left|x_{1,1}^2\right|;$

生成对向量x₁的第二次迭代的调整值v_1，2，再用调整值v_1，2调整向量x₂，得到第二次迭代后设计向量x₁的值x_1，2＝x_1，1+v_1，2；这里，e_1，1为广义工作空间性能指标在第一次迭代后的值Z_1，1与目标值0的误差，e_1，1＝0—Z_1，1；e_2，1为广义综合强度性能指标在第一次迭代后的值Z_2，1与目标值0的误差，e_2，1＝0—Z_2，1；e_3，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z_3，1与目标值0的误差，e_3，1＝0—Z_3，1；e_4，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z_4，1与目标值0的误差，e_4，1＝0—Z_4，1；为误差值e_1，1相对于设计向量值x_1，1的负导数对应的符号向量， $o_{1,1}^1=\mathrm{sign}\{-\frac{{\mathrm{de}}_{1,1}}{{\mathrm{dx}}_{1,1}}\};$

为误差值e_2，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$

为误差值e_4，1相对于设计向量值x_1，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{1,1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,1}}{{\&PartialD;x}_{1,1}}\};$

其次，由第二控制律 $v_{\mathrm{2,2}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^3$ 及对第二控制律产生的调整量v_2，2的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{2,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^1\right|,$ $v_{2,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^1\right|,$

     $0<\left|v_{2,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^2\right|,$ $v_{2,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^2\right|,$

     $0<\left|v_{2,2}^3\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^3\right|,$ $v_{2,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^3\right|,$

     $0<\left|v_{2,2}^4\right|\&le;0.01\left|x_{2,1}^4\right|,$ $v_{2,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{2,1}^4\right|,$

如果 $\left|v_{2,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^1\right|,$ $v_{2,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^1\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^1\right|,$

     $\left|v_{2,2}^2\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^2\right|,$ $v_{2,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^2\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^2\right|,$

     $\left|v_{2,2}^3\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{2,1}^3\right|,$ $v_{2,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{2,1}^3\right)\&times;0.02\left|x_{2,1}^3\right|,$

     $\left|v_{\mathrm{2,2}}^4\right|\&GreaterEqual;0.02\left|x_{\mathrm{2,1}}^4\right|,v_{\mathrm{2,2}}^4=\mathrm{sign}\left(x_{\mathrm{2,1}}^4\right)\&times;0.02\left|x_{\mathrm{2,1}}^4\right|;$

生成设计向量x₂进行第二次迭代的调整值 $v_{\mathrm{2,2}}=k_2^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^2+k_2^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{2,1}}^3,$ 再用调整值v_2，2调整设计向量x₂的值，得到第二次迭代后设计向量x₂的值x_2，2＝x_2，1+v_2，2；这里，

为误差值e_2，1相对于设计向量值x_2，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{2,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_2，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{2,1}}\};$

再次，由第三控制律 $v_{\mathrm{3,2}}=k_3^2{e}_{\mathrm{2,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^2+k_3^3{e}_{\mathrm{3,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^3+k_3^4{e}_{\mathrm{4,1}}{o}_{\mathrm{3,1}}^4$ 及对第三控制律产生的调整量v_3，2的幅度修正方法：

如果 $0<\left|v_{3,2}^1\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^1\right|,$ $v_{3,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^1\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^1\right|,$

     $0<\left|v_{3,2}^2\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^2\right|,$ $v_{3,2}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^2\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^2\right|,$

     $0<\left|v_{3,2}^3\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^3\right|,$ $v_{3,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^3\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^3\right|,$

     $0<\left|v_{3,2}^4\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^4\right|,$ $v_{3,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^4\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^4\right|,$

     $0<\left|v_{3,2}^5\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^5\right|,$ $v_{3,2}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^5\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^5\right|,$

     $0<\left|v_{3,2}^6\right|\&le;0.01\left|x_{3,1}^6\right|,$ $v_{3,2}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^6\right)\&times;0.01\left|x_{3,1}^6\right|;$

如果 $\left|v_{3,2}^1\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^1\right|,$ $v_{3,2}^1=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^1\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^1\right|,$

     $\left|v_{3,1}^2\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$ $v_{3,1}^2=\mathrm{sign}\left(x_{3,0}^2\right)\&times;0.1\left|x_{3,0}^2\right|,$

     $\left|v_{3,2}^3\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^3\right|,$ $v_{3,2}^3=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^3\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^3\right|,$

     $\left|v_{3,2}^4\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^4\right|,$ $v_{3,2}^4=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^4\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^4\right|,$

     $\left|v_{3,2}^5\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^5\right|,$ $v_{3,2}^5=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^5\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^5\right|,$

     $\left|v_{3,2}^6\right|\&GreaterEqual;0.1\left|x_{3,1}^6\right|,$ $v_{3,2}^6=\mathrm{sign}\left(x_{3,1}^6\right)\&times;0.1\left|x_{3,1}^6\right|;$

生成设计向量x₃的第二次迭代的调整值，再用调整值v_3，2调整设计向量x₃的值，得到第二次迭代后向量x₃的值x_3，2＝x_3，1+v_3，2；这里，

为e_2，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^2=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{2,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

为误差值e_3，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^3=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{3,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

为误差值e_4，1相对于设计向量值x_3，1的负偏导数对应的符号向量， $o_{3,1}^4=\mathrm{sign}\{-\frac{{\&PartialD;e}_{4,1}}{{\&PartialD;x}_{3,1}}\};$

最后，用得到的设计向量x₁、x₂、x₃第二次迭代后的值x_1，2、x_2，2、x_3，2，计算第二次迭代后各广义性能的值Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2，如果Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2不全部为零，则进入步骤3.3；如果Z_1，2、Z_2，2、Z_3，2、Z_4，2全部为零，则所得到的向量x₁、x₂、x₃的第二次迭代的值x_1，2、x_2，2、x_3，2即为多目标优化设计参数的值；

步骤3.3 依此类推，通过第一控制律及对第一控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₁进行第j次迭代的调整值v_1，j；通过第二控制律及对第二控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₂进行第j次迭代的调整值v_2，j；通过第三控制律及对第三控制律产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x₃进行第j次迭代的调整值v_3，j；重复上述迭代，如果在100次迭代内通过调整臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的值可以使广义工作空间性能指标Z₁、广义综合强度性能指标Z₂、广义平均控制能量指标Z₃、广义平均控制时间指标Z₄的值同时为零，则获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的设计值；如果在100次迭代内无法使得广义工作空间性能指标Z₁、广义综合强度性能指标Z₂、广义平均控制能量指标Z₃、广义平均控制时间指标Z₄的值同时为零，则进入步骤3.4，直到各广义性能在100次迭代内使得广义性能指标Z₁、Z₂、Z₃、Z₄的值同时为零，获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x₁、臂厚设计向量x₂、运动学能力设计向量x₃的最终设计值；

步骤3.4 对各性能指标期望值

的期望值进行第n—1次调整后进行第n次优化设计，令 $J_{1,n}^{*}=1.05\&times;J_{1,n-1}^{*},$ $J_{2,n}^{*}=1.05\&times;J_{2,n-1}^{*},$ $J_{3,n}^{*}=1.05\&times;J_{3,n-1}^{*},$ $J_{4,n}^{*}=1.05\&times;J_{4,n-1}^{*},$ n为优化设计的次数，对设计向量x₁、x₂、x₃进行第n次优化设计，重复步骤3.1～步骤3.3。

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