CN101398304A - 一种摆式陀螺寻北仪寻北测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，通过自动跟踪陀螺摆体方位摆动并运用滑模控制技术的寻北方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤一：通过过阻尼控制，建立陀螺摆体的寻北控制的起始状态，使摆体的摆动角速度快速衰减至零，使摆体的扭力零位与光电零位处于一致的状态；步骤二：解除过阻尼控制，使摆体以无阻尼方式摆动，在摆体运动接近四分之一周期时，再次接通过阻尼控制，使摆体快速趋近于真北；步骤三：多次重复步骤二后，使摆体靠近真北。采用本发明技术方案可以实现快速自动寻北，满足工程中快速自动寻北的需求。

Description

一种摆式陀螺寻北仪寻北测量方法

技术领域

本发明涉及一种寻北方法，尤其涉及一种通过自动跟踪陀螺摆体方位摆动并运用滑模控制技术的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法。

背景技术

陀螺罗盘又称寻北仪，是一种在静基座条件下，利用地球重力特性和陀螺定轴性敏感地球自转角速度，测得载体相对地理北向方位的仪器。

陀螺罗盘作为一种经典的惯性寻北装置，已广泛应用于工程装置的初始定向，如：机动车辆、火炮、雷达、地下设施、矿井开采、隧道建设和石油探井测量等需要独立快速获取方位信息的领域。随着应用领域的技术进步，对陀螺罗盘的测量精度和反应时间的要求也进一步提高。摆式陀螺罗盘在反应时间和测量精度上仍处于一定优势，是工程应用的主要装置。传统的寻北方法多采用时差法、积分法、阻尼法，力矩反馈多位置法。这几种方法在快速性和自动化测量上都具有较为突出的特点。时差法和积分法由于对摆动周期敏感，对使用环境的适应性存在附加条件，限制了其使用，特别是由于测量精度与摆动周期强相关，环境温度和测点纬度的变化引起的周期变化会造成寻北准备时间加长和测量精度不稳定。传统的阻尼跟踪测量法，也因测量周期的不可缩短性，无法缩短测量时间。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种通过自动跟踪陀螺摆体方位摆动并运用滑模控制技术的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，相对传统阻尼寻北法在测量时间上缩短到5～8min，满足快速自动寻北的需求。

为了实现上述目的，本发明提供一种摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，通过自动跟踪陀螺摆体方位摆动并运用滑模控制技术的寻北方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一：通过过阻尼控制，建立陀螺摆体的寻北控制的起始状态，使摆体的摆动角速度快速衰减至零，使摆体的扭力零位与光电零位处于一致的状态；

步骤二：解除过阻尼控制，使摆体以无阻尼方式摆动，在摆体运动接近四分之一周期时，再次接通过阻尼控制，使摆体快速趋近于真北；

步骤三：多次重复步骤二后，使摆体靠近真北。

上述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其中，所述过阻尼控制时间、无阻尼控制时间通过如下公式确定：

(1)所述过阻尼控制时间的确定：

$t_f=\frac{\ln \left(\frac{{\mathrm{\α}}_0}{2\mathrm{\ξ}}\right)-\ln \mathrm{\α}}{\mathrm{\ω}(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})}$

式中：t_f：过阻尼控制时间；

α₀：进入慢速开关线的起点，也即陀螺摆体相对子午面的起始偏北角；

α：寻北结束时，陀螺摆体光电零位与子午面的夹角；

ξ：系统阻尼比；

η： $\mathrm{\η}=\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1};$

ω：陀螺摆体的摆动角速度；

(2)所述无阻尼控制时间的确定：

$t_2=\frac{T}{2\mathrm{\π}}(\frac{\mathrm{\π}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\ξ}})$

式中：t₂：无阻尼控制时间；

ξ：系统阻尼比；

T：陀螺摆体自然摆动周期。

上述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其中，

当系统的初始角为15°，终值为1″时，α＝5×10^-5α₀，代入所述过阻尼控制时间的确定公式则：

$t_f=\frac{\ln (\frac{1}{2\mathrm{\ξ}}\·{\mathrm{\α}}_0)-\ln 5\×{10}^{-5}{\mathrm{\α}}_0}{\mathrm{\ω}(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})}=\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\ξ}}\right)}{2\mathrm{\π}(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})}$

式中：T：陀螺摆体自然摆动周期；

ξ：系统阻尼比；

η： $\mathrm{\η}=\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}.$

上述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其中，所述摆式陀螺寻北仪的单次寻北测量时间通过如下公式确定：

${\mathrm{\α}}_n={\mathrm{\α}}_0{\left(\frac{4}{T}\mathrm{\Δt}\right)}^n$

式中：α₀：陀螺摆体相对子午面的起始偏北角；

α_n：n次循环后陀螺摆体相对子午面的偏北角。

Δt：定时误差；

依据上式，由所需寻北精度求出循环次数n，则快速寻北的基本寻北时间为：

T_n＝n(t₂+t_f)+t_f

式中：

T_n：快速寻北的基本寻北时间；

t₂：无阻尼控制时间；

t_f：过阻尼控制时间；

n：陀螺摆体摆动循环次数。

上述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其中，所述系统阻尼比ξ的确立通过如下公式：

循环控制时间可用下式表述：

$t_g=t_f+t_2=\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\ξ}}\right)}{2\mathrm{\π}(\mathrm{\ξ}+\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1})}+\frac{T}{2\mathrm{\π}}(\frac{\mathrm{\π}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\ξ}})$

式中：t_f为过阻尼控制时间；

t₂为无阻尼控制时间；

ξ为系统阻尼比。

由于系统阻尼比ξ>>1，上式可化减为：

$t_g=t_f+t_2\≈\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\ξ}}\right)}{4\mathrm{\π\ξ}}+\frac{T}{2\mathrm{\π}}(\frac{\mathrm{\π}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\ξ}})$

当T＝246s，ξ＝5～100时，由上式得到t_g与ξ的关系图，并确定选择系统阻尼比ξ值。

上述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其中，根据t_g与ξ的关系图确定选择系统阻尼比ξ为10-20。

本发明的技术效果在于：采用本发明技术方案可以实现快速自动寻北，满足工程中快速自动寻北的需求。

以下结合附图和具体实施例对本发明进行详细描述，但不作为对本发明的限定。

附图说明

图1为阻尼跟踪法的摆式陀螺罗盘组成框图；

图2为相平面上无阻尼运动轨迹图；

图3为相平面上过阻尼运动轨迹图；

图4、图5为相平面上阻尼跟踪法运动轨迹图；

图6为阻尼比与循环控制时间的关系。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的结构原理和工作原理作具体的描述：

如图1所示为运用阻尼跟踪法的摆式快速陀螺罗盘组成框图。包括跟踪装置1、摆体2、力矩器3、平面反光镜4、光学传感器5、开关6、跟踪开关61、阻尼开关62，伺服电机7、测速电机8。

陀螺转子安装在摆体2内，摆体2采用吊带悬挂在跟踪装置1的下面。传递方位用的平面反光镜4与陀螺转子安装基面构成一个整体。摆体2内的转子相当于一个二自由度陀螺，摆体2可绕垂直轴摆动，并相对正交于转子自转轴的水平轴倾斜。跟踪装置1给悬带、光学传感器5和摆体2提供了上支承。固定到摆体2和跟踪装置1上的盘式输电装置把信号和电源从跟踪装置1传送到摆体2上。用于摆体2的阻尼和偏置调整力矩的转子和定子分别装于陀螺摆体2和随动房体，用于跟踪的伺服齿轮系和伺服电机安装于罗盘机座，跟踪装置1轴上的光学传感器5与摆体2上的平面反光镜4相耦合，敏感摆体相对于跟踪装置的方位移动，控制伺服电机，转动随动房体，完成对摆体2的跟踪。与伺服电机同轴的测速电机完成跟踪速度的测量，并利用该信号，经处理输入力矩器3，完成阻尼控制，图中，KSB为悬带；A为位置信号运算放大器；开关6由两个开关组成，分别是跟踪开关61和阻尼开关62，跟踪开关61实现跟踪装置1的控制，打开跟踪开关，给控制伺服电机供位置(摆体2与跟踪装置1之间的方位位移)电压，驱动电机，转动随动房体(即跟踪装置1)，跟踪摆体2；阻尼开关62实现过阻尼的控制，打开阻尼开关，将给力矩器3供位置(摆体与跟踪装置之间的方位位移)电压，对摆体2施加阻尼作用；KPOD为阻尼运算放大器，KSD为测速电机运算放大器。

工作原理

在摆式陀螺罗盘中，陀螺悬体挂在一个非常柔软的低扭矩金属带上，以尽量减少摆矩与转矩耦合对摆式陀螺响应特性和最后稳定的影响。悬带的悬挂能够有效地防止不希望的外界振动和三脚架下沉移动对陀螺仪的影响。用这种陀螺摆体悬挂技术可构成能敏感地球自转速率水平分量的具有重力约束的二自由度陀螺罗盘系统。如果不加阻尼限制，摆体就绕子午线摆动，陀螺自转矢量将在垂直于地球自转速率水平分量的平面上描绘出一个椭圆圆形。摆式快速陀螺罗盘利用这个无阻尼特性在精确定时的四分之一摆动周期内将仪器从初始位置(15°范围之内)快速粗略定位于北向。精确定位是通过给摆体施加阻尼力矩，使自转轴逐渐静止在子午面内来完成的。仪器测量过程的功能图如图1所示，图中摆体由悬带K_SB悬挂。摆体与跟踪装置之间的方位摆角由传感器测量，并由运算放大器A放大。此信号驱动伺服—测速电机，从而调整跟踪装置与摆体的相对位置，使传感器信号减到最小。由伺服机构的随动作用产生的测速电机输出信号用来给跟踪装置和摆体之间的力矩器施加阻尼电流i_D。当摆体和跟踪装置接近子午线时，测速电机信号的大小和频率就降低。一旦测速电机信号低于规定的限制，对准检测电路就接通。在信号不超过规定值并稳定一段时间之后，关闭伺服机构，发出对准信号。一旦检测到已经对准，锁定机构就将摆体锁定、归零，真北方位可以通过机座上的基准面或经纬仪传递出去。

陀螺罗盘测量过程

摆式快速陀螺罗盘的操作是属于半自动的，只要求操作者把仪器调平、预先定北、输入纬度和通过“状态选择”开关控制系统的状态逻辑。在完成摆体的机械锁定和开锁后，自动进行寻北。“状态选择”开关由数个纽子开关组成，在“跟踪”位置上，可用摆动控制开关打开伺服机构，按顺时针或逆时针方向调整跟踪装置轴的位置。在“偏置”位置上，摆体在开锁被阻尼。然后，手动调整偏压，使显示仪表上显示的跟踪误差归零。

当“状态选择”开关置于“寻北”位置时，陀螺马达加速到同步转速，摆体开锁并被阻尼到传感器零位。然后，解除阻尼，跟踪装置对摆体跟踪四分之一周期。摆体再次阻尼到零位，然后跟踪装置的伺服机构跟踪摆体到子午线。跟踪装置的伺服机构是积分式的，所以几乎消除了伺服误差。在最后对准时间，摆体的阻尼控制信号从伺服马达上的测速电机取出。对准检测结束时，对按规定速率减弱的测速电机输出进行积分。最终检测是百秒计时器达到满读数，测速电机积分器不超过规定值。此时，伺服机构停止工作，摆体被锁定到传感器零位，“陀螺定向完成”指示灯亮。当“寻北”开关关闭后，通过方位引出装置，将测量信息传递至有关设备，锁定陀螺摆体。

陀螺罗盘“精定向”状态，除了不进行四分之一周期摆动外，都与“陀螺定向—粗+精”状态相同。

把“状态选择”开关转到“陀螺制动”位置，用直流电动力制动一段时间，使陀螺转子停止转动。即完成整个测量过程。

基于变结构控制的变阻尼跟踪寻北法

传统的阻尼跟踪测量法在摆体接近子午面时，可获得较理想的测量结果，这种方法阻尼比通常取0.7—0.9，获得满意测量结果的时间约为2到2.5倍的系统无阻尼摆动周期，受初始状态(偏北角、初始摆动角速度)的影响，寻北时间会更长。本发明是一种通过自动跟踪陀螺房体方位摆动，运用滑模控制技术，通过过阻尼控制，建立寻北起始状态，使摆体的方位运动角速度接近零，再利用无阻尼运动周期相对短的特性，摆体对称于子午面摆动的特性，跟踪约四分之一周期，在适当时机加入过阻尼，迫使陀螺摆体的H轴快速停于子午面附近，再利用欠阻尼控制方式给出满意的寻北结果的最优控制方法，该方法可使测量时间控制在1.5倍的系统无阻尼周期内，且使系统具有明显的鲁棒性。该方法依据最优控制理论，结合工程对象的具体特征，给出了可实现的工程技术途经和特定参数的确定关系式。

阻尼控制的数学描述

陀螺罗盘快速寻北方法是使陀螺摆体H轴在最短时间内停于测点处子午面内的控制过程，这种控制过程可以转化为系统的转移时间最短的时间最优控制问题。在给定控制条件下，使系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)的控制时间最短。

如图1所示，陀螺摆动信息通过光电传感器(optical pickoff)变换为电信号，经放大处理，控制伺服电机M，实现跟踪，伺服电机(M)的转速通过测速电机(T)转换为电信号，并在处理后，加在摆体的力矩器上，实现系统的阻尼，为讨论方便，假设陀螺摆体在子午线附近以小角度绕子午线摆动，摆动轨迹为一椭圆，由此可知陀螺摆体的方位运动方程：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_x\stackrel{..}{\mathrm{\β}}-H_r({\mathrm{\ω}}_e\sin \mathrm{\φ}+\stackrel{.}{\mathrm{\α}}-\mathrm{\β}{\mathrm{\ω}}_e\cos \mathrm{\φ})=-\mathrm{mgl\β}-C_x\stackrel{.}{\mathrm{\β}}\\ J_z\stackrel{..}{\mathrm{\α}}+H_r(\mathrm{\α}{\mathrm{\ω}}_e\cos \mathrm{\φ}+\stackrel{.}{\mathrm{\β}})=-C_z\stackrel{.}{\mathrm{\α}}\end{array}\right.$

化简后得：

$(J_z\mathrm{mgl}+H_r^2)\stackrel{..}{\mathrm{\α}}+C_z\mathrm{mgl}\stackrel{.}{\mathrm{\α}}+\mathrm{mgl}(K_{\mathrm{SB}}+H_r{\mathrm{\ω}}_e\cos \mathrm{\φ})\mathrm{\α}=0$

$\stackrel{..}{\mathrm{\α}}+\frac{C_z\mathrm{mgl}}{(J_z\mathrm{mgl}+H_r^2)}\stackrel{.}{\mathrm{\α}}+\frac{\mathrm{mgl}(K_{\mathrm{SB}}+H_r{\mathrm{\ω}}_e\cos \mathrm{\φ})}{(J_z\mathrm{mgl}+H_r^2)}\mathrm{\α}=0---\left(1\right)$

当摆动角度很小，且跟踪误差信号(光电传感器输出信号)较小时，悬带的扭矩作用非常小，可以忽略不计，即认为K_SBα≈0，因此陀螺摆体的方位运动方程可表达为：

$\frac{(j_z\mathrm{mgl}+H_r^2)}{\mathrm{mgl}}\stackrel{..}{\mathrm{\α}}+C_z\stackrel{.}{\mathrm{\α}}+H_r{\mathrm{\ω}}_e\cos \mathrm{\φ\α}=0---\left(2\right)$

因： $\mathrm{\ω}=\sqrt{\frac{\mathrm{mgl}{H}_r{\mathrm{\ω}}_e\cos \mathrm{\φ}}{H_r^2+J_z\mathrm{mgl}}},$ 故上式可化简为：

$\stackrel{..}{\mathrm{\α}}+2\mathrm{\ζ\ω}\stackrel{.}{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\α}=0---\left(3\right)$

其中： $2\mathrm{\ξ\ω}=\frac{C_z\mathrm{mgl}}{(J_z\mathrm{mgl}+H_r^2)},$ $\mathrm{\ξ}\≈\frac{C_z\mathrm{\ω}}{2H_r{\mathrm{\ω}}_e\cos \mathrm{\φ}}.$ 在方位摆动角速度较低时，可忽略转动惯量J_Z的影响。

令τ＝ωt，则陀螺摆体绕方位轴的运动方程可转化为：

$\frac{d^2\mathrm{\α}}{{\mathrm{d\τ}}^2}+2\mathrm{\ξ}\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{d\τ}}+\mathrm{\α}=0---\left(4\right)$

设： $\mathrm{\α}\′=\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{d\τ}},$ 则式(4)可写作：

$\mathrm{\α}\′\frac{\mathrm{d\α}\′}{\mathrm{d\α}}+2\mathrm{\ξ\α}\′+\mathrm{\α}=0---\left(5\right)$

因为： $\mathrm{\α}\′=\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{d\τ}}=\frac{1}{\mathrm{\ω}}\·\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{dt}},$ 其中ω(陀螺摆体的无阻尼运动角频率)为一常值，所以α′的变化可以用来表示角速度的变化，故式(5)反映了陀螺摆体摆动时角位移和角速度之间的关系。以α′为纵轴，α为横轴，所得到的坐标平面为相平面，在相平面上分析α′和α的变化规律将非常直观方便。下面将分析陀螺摆体在无阻尼和过阻尼运动时的规律。

无阻尼运动：

此时，ξ＝0，则式(5)可变为：

$\mathrm{\α}\′\frac{\mathrm{d\α}\′}{\mathrm{d\α}}+\mathrm{\α}=0---\left(6\right)$

求解式(6)，得：

α′²+α²＝F₀                                       (7)

式(7)中的常数F₀由陀螺摆体初始运动状态决定。

设τ＝0，即t＝0时：

α′＝0，α＝α₀

则可得：

${\mathrm{\α}\′}^2+{\mathrm{\α}}^2={\mathrm{\α}}_0^2---\left(8\right)$

在相平面上，由式(8)所决定的轨迹为一圆，圆心位于原点，即摆动运动的平衡位置，半径为α₀，如图2所示。为了叙述的方便，假设一点P，以P点的运动来代表陀螺摆体的方位运动。陀螺摆体作无阻尼运动时，P点以顺时针方向沿着圆运动，P点沿圆运动的角速度为ω₀(ω₀为陀螺摆体自然摆动角频率)，P点的瞬时坐标可表示为：

α＝α₀cosτ

α′＝-α₀sinτ，(τ＝ω₀t)                           (9)

过阻尼运动

由过阻尼时的陀螺摆体过阻尼运动方程的解可知：

阻尼比：ξ>1(过阻尼)

$\mathrm{\α}\left(t\right)=A_1{e}^{(-\mathrm{\ξ}+\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1})\mathrm{\ωt}}+B_1{e}^{(-\mathrm{\ξ}-\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1})\mathrm{\ωt}}---\left(10\right)$

其中：

$A_1=\frac{\frac{{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_0}{\mathrm{\ω}}+{\mathrm{\α}}_0(\mathrm{\ξ}+\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1})}{2\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}}$

$B_1=\frac{\frac{{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_0}{\mathrm{\ω}}+{\mathrm{\α}}_0(\mathrm{\ξ}-\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1})}{-2\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}}$

若阻尼比ξ>>1，可取 $\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}\≈\mathrm{\ξ},$ 式(10)可变换为：

α(t)≈B₁e-^2ξωt                               (11)

由此可推导下式：

$\frac{\stackrel{..}{\mathrm{\α}}}{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}=\frac{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}{\mathrm{\α}}=-2\mathrm{\ξ\ω}---\left(12\right)$

由式(12)可知，摆动物体作过阻尼运动时有如下特性，即物体运动的加速度与速度之比等于速度与位移之比，且为一与系统阻尼比有关的恒值。因此，陀螺摆体作过阻尼运动时，其角加速度与角速度之比等于角速度与角位移之比，且近似为一恒值，即：

$\frac{\mathrm{d\α}\′}{\mathrm{d\α}}=\frac{\mathrm{\α}\′}{\mathrm{\α}}=b---\left(13\right)$

式中b为一常值，由系统的阻尼比决定。

将式(13)代入式(6)可解得：

$b=-\mathrm{\ξ}\±\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}---\left(14\right)$

因此，过阻尼运动时，陀螺摆体的角速度与角位移之间的关系为：

$\frac{\mathrm{\α}\′}{\mathrm{\α}}=-\mathrm{\ξ}\±\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}---\left(15\right)$

式(15)可分解为如下两个方程：

$\mathrm{\α}\′+(\mathrm{\ξ}-\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1})\mathrm{\α}=0---\left(16\right)$

$\mathrm{\α}\′+(\mathrm{\ξ}+\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1})\mathrm{\α}=0---\left(17\right)$

显然，上面两方程在相平面上分别对应于两条直线，如图3所示。

直线A1-A1的方程为式(16)，直线A2-A2的方程为式(17)。同样以P点的运动代表陀螺摆体的运动。设陀螺摆体从初始位置(α₀，α₀)处开始作过阻尼运动，从图中可以看出，代表陀螺摆体运动状态的P点首先沿着平行于直线A2-A2的直线向直线A1-A1快速运动，至接近A1-A1线时，运动缓慢下来，并以A1-A1线为渐近线向原点缓慢运动。常称A2-A2线以及平行于A2-A2线的所有直线为快速运动线，简称快线；直线A1-A1被称为慢速运动线，简称慢线。图3中，A1-A1线和α轴的夹角等于A2-A2线和α′轴的夹角，设该角为ψ，ψ角的大小由阻尼比决定。由(16)、(17)两式可知：

$\mathrm{tg\ψ}=\mathrm{\ξ}-\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}={(\mathrm{\ξ}+\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1})}^{-1}---\left(18\right)$

至此可知，过阻尼时P点的运动过程包括两个阶段：第一阶段，P点从初始位置开始沿快线迅速运动至慢线附近，进入慢爬行区。第二阶段，P点以慢线为渐近线向原点缓慢移动。

工程控制的具体实施过程

通过上面的相平面分析可知，可把A2-A2线和A1-A1线作为开关线，应用继电型非线性控制中的变结构控制可实现快速寻北。将A2-A2线作为阻尼接通线，也即无阻尼运动的结束线，A1-A1线为阻尼断开线，也即无阻尼运动的开始线，在两条开关线间，摆体的运动按无阻尼方式运动，通过该方法，陀螺罗盘的摆体可快速置于子午面。试验中，在陀螺马达转速同步后，打开锁放装置，将罗盘置于过阻尼跟踪状态，使摆体的摆动角速度快速衰减至零，即快速使摆体停于A1—A1线，此时摆体的扭力零位与光电零位处于一致的状态，且摆体由于解锁造成的初始干扰，已在该过程中衰减至小量，罗盘H轴偏北造成的指北位能成为摆体唯一机械能，在解除过阻尼控制时，摆体会以无阻尼方式摆动，摆动四分之一周期，摆体的H轴将到达子午面，但这时摆体的摆动角速度最大或者说动能最大，很难停止运动，由图4知，在摆体运动接近四分之一周期时，即摆体到达A2—A2时，再次接通过阻尼，使摆体沿A2—A2线快速停于真北，实现快速寻北测量。由于摆体在运动至A1—A1线时，将再次沿慢线运动，对于高精度寻北测量，将切换至欠阻尼测量状态，此时，摆体已在北向的较小的范围，只要完成一个周期的跟踪测量，即可实现精确寻北。

考虑到A1-A1线为固定的开关线，A2-A2线为理想的开关线，由于控制误差，实际的阻尼接通线S3和理想开关线A2-A2有一夹角λ，λ的大小和无阻尼运动计时误差成正比，如图4和图5所示。

此时，实际的开关线S3的方程为：

α′-αtg(ψ+λ)＝0                                                      (19)

图中为了直观，将ψ角放大了，实际上ψ角是很小的。设陀螺摆体相对子午面的初始偏角为α₀，将陀螺摆体释放，同时加上大阻尼，陀螺摆体被迅速阻尼住，在相平面上，对应的慢线就存在了。由于此时P点和慢线十分接近，可近似认为P位于慢线上的A点。实际上P点是不会和慢线相交，只是以慢线为渐近线向原点缓慢运动，这时断开阻尼，无阻尼运动就从慢线上的A点开始了。P沿圆弧运动，当运动到B点时，即圆弧和实际开关线S3的交叉点处时，立刻接通大阻尼，P沿快线迅速运动到C点，此时断开阻尼，P又从C点开始沿圆弧运动，当P点运动到D点时，立刻接通大阻尼，P又沿快线迅速运动到E点。如此重复进行，随着循环次数的增加，P点就越来越接近原点了。实际应用中，只需循环数次，即能使陀螺摆体以一定的精度稳定在距离子午面很小的角度内。

由上述分析可知，A1—A1实际上是滑模，由于研究的罗盘可观测的信息只有相对于随动房体的摆动角和伺服电机的转速信号，在控制上只能利用阻尼信号，完成快速寻北控制。摆体控制处于滑模状态时，具有很好的抗干扰能力，这种控制由于过阻尼的作用，摆体的运动速度很慢，在不采取优化的状态下，寻北时间将会较长。从上分析还可知，沿A2—A2线运动的摆体会以最短的时间到达真北，当摆体接近真北时，摆体会进入滑模控制状态，并将快速稳定于北向。如果考虑摆体的运动周期是可利用的特征值，建立摆体的初始状态，使摆体快速到达A1—A1线，再利用摆体的运动周期及过阻尼特性，建立特定的控制定时，即可使摆体快速运动到A2—A2线，同时可再次接通滑模控制，经过数次循环后，可使摆体快速停于真北附近。根据精度、快速性的不同要求，可选定不同的循环次数。此方法可用于对快速性要求较高的中、低陀螺罗盘，也可用于寻北时间稍微偏长的高精度陀螺罗盘。

设计实现

沿过零的开关线控制能够使系统快速到达相平面原点，但控制开启点是实现快速性的关键。在工程中要精确获取摆动系统偏北角及角速度是比较困难的。一般可通过伺服电机跟踪测速可以测得角速度，但偏北角则难以获取。由前面分析可知，实现快速性，ξ足够大是关键，即系统有比较大的阻尼比，同时只要通过某种技术途径，确定系统初始状态，再利用系统固有特性，实现无阻尼和有阻尼定时控制，则可实现时间——最优控制。为此，本发明揭示了工程实现该最优控制的具体实施方法，由于变阻尼时陀螺摆体的运动过程有两个阶段，第一个阶段是摆体从初始位置开始沿快线迅速运动至慢线附近，进入慢速爬行区，第二个阶段以慢线为渐近线向圆点缓慢运动。即在接通过阻尼时，陀螺摆体的运动速度快速降至接近零状态，并继续以非常缓慢的速度向平衡位置运动，故本发明提出了变阻尼快速寻北方法。其过程为：(1)利用过阻尼建立摆动速度为零的初始状态，(2)用无阻尼快速摆动接近四分之一的摆动周期，快速接近子午面，即摆体的平衡位置或圆点，适时接通过阻尼，使摆体沿快线快速停于子午面，实现快速寻北。在实现过程中，以起始状态和控制时间作为本发明摆式陀螺寻北仪寻北测量方法的重点。

起始状态的确定

从上述的分析可知，当ξ较大时(一般大于5-10)，ψ为小量角，一般工程上当ψ≤3°，可认为ψ≈tgψ，通过过阻尼控制，可快速使摆体的运动速度减至接近零，并沿慢线低速向子午面运动。当摆体处于过阻尼运动状态时，摆体的运动速度快速衰减至零，这时可以将该状态作为摆体的寻北控制的起始状态。

过阻尼控制时间的确定

过阻尼控制是沿快线作用的，由上述分析可知，描述快线的方程为：

$\frac{\mathrm{d\α}\′}{\mathrm{d\α}}=\frac{\mathrm{\α}\′}{\mathrm{\α}}=b=\mathrm{tg\ψ}\≈\mathrm{\ψ}---\left(20\right)$

设： $\mathrm{\η}=\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}$

$\mathrm{tg\ψ}\≈\mathrm{\ψ}=-\mathrm{\ξ}-\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}=-\mathrm{\ξ}-\mathrm{\η}---\left(21\right)$

$\frac{\mathrm{d\α}\′}{\mathrm{d\α}}=\frac{\mathrm{\α}\′}{\mathrm{\α}}=-(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})---\left(22\right)$

$\frac{\mathrm{d\α}\′}{\mathrm{d\τ}}=-(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\mathrm{\α}---\left(23\right)$

解得：

$-\mathrm{\τ}=\frac{1}{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}\ln \mathrm{\α}+C---\left(24\right)$

设在阻尼开始时，τ＝0且α＝α(0)，可得： $C=-\frac{\ln \mathrm{\α}\left(0\right)}{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}$

沿快速线作用时间为：

$\mathrm{\τ}=\frac{1}{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}(\ln \mathrm{\α}\left(0\right)-\ln \mathrm{\α})---\left(25\right)$

由于ψ为小量角，故取：

$\mathrm{tg\ψ}\≈\mathrm{\ψ}=-\mathrm{\ξ}-\sqrt{{\mathrm{\ξ}}^2-1}$

由于 $\frac{1}{\mathrm{\&xi;}}<<1,$ 故：

$\sqrt{1-\frac{1}{\mathrm{\&xi;}}}\&ap;1-\frac{1}{2\mathrm{\&xi;}}$

$\mathrm{\&psi;}\&ap;\mathrm{\&xi;}-\mathrm{\&xi;}[1-\frac{1}{2\mathrm{\&xi;}}]=\frac{1}{2\mathrm{\&xi;}}$

$\mathrm{tg\&psi;}\&ap;\mathrm{\&psi;}=\frac{1}{2\mathrm{\&xi;}}$ ∴ $\mathrm{\&alpha;}\left(0\right)={\mathrm{\&alpha;}}_0\mathrm{tg\&psi;}\&ap;{\mathrm{\&alpha;}}_0\mathrm{\&psi;}=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_0}{2\mathrm{\&xi;}}---\left(26\right)$

其中α(0)是进入快速开关线的起点，α₀是进入慢速开关线的起点，将(26)式代入(25)式，可得沿快速开关线运动的阻尼控制时间为：

$\mathrm{\&tau;}=\frac{\ln \left(\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_0}{2\mathrm{\&xi;}}\right)-\ln \mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&xi;}+\mathrm{\&eta;}}$

已知τ＝ωt，对应为：

$t_f=\frac{\ln \left(\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_0}{2\mathrm{\&xi;}}\right)-\ln \mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&xi;}+\mathrm{\&eta;})}$

∵ln(0)＝∞

因此，理论上要想到达原点需要无穷长的时间，但在工程上具体实施中当摆体运动至距离原点足够近时，则可满足要求。如初始角15°，在终值为1＂时，α＝5×10^-5α₀，代入上式有：

$t_f=\frac{\ln (\frac{1}{2\mathrm{\&xi;}}\&CenterDot;{\mathrm{\&alpha;}}_0)-\ln 5\&times;{10}^{-5}{\mathrm{\&alpha;}}_0}{\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&xi;}+\mathrm{\&eta;})}=\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\&xi;}}\right)}{2\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&xi;}+\mathrm{\&eta;})}---\left(27\right)$

如果取无阻尼周期T＝246s，ξ＝10，可得tf＝13.56s

上式表明过阻尼控制时间的长短，在小角度时，对于中等寻北精度的测量，只取决于系统阻尼性能和自然摆动周期，与系统初始状态无关。

对于沿快线运动的轨迹，由分析可知：

$\frac{\stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}}{\mathrm{\&alpha;}}=\mathrm{tg\&psi;}\&ap;\mathrm{\&psi;}=-\mathrm{\&xi;}-\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}^2-1}\&ap;-2\mathrm{\&xi;}$

$\frac{\mathrm{d\&alpha;}}{\mathrm{d\&tau;}}=\frac{1}{\mathrm{\&omega;}}\frac{\mathrm{d\&alpha;}}{\mathrm{dt}}$

$\frac{\mathrm{d\&alpha;}}{\mathrm{dt}}=-2\mathrm{\&xi;\&omega;\&alpha;}=-\frac{4\mathrm{\&pi;\&xi;}}{T}\mathrm{\&alpha;}$

即角速度相对于角位移的变化率是系统阻尼比除摆体的无阻尼周期的4π倍。即为固定值。

由上分析可知，沿快线的过阻尼运动，能在较短的运动时间内使摆体的运动速度降至接近零，若初始状态满足要求，只要速度和位置可测且可控，就能在阻尼控制时间内实现快速寻北，已知对于摆体的运动，其运动的摆动周期在测点处是一定值，摆体按周期摆动，摆动幅值最大处速度为零，摆动时过原点处摆动速度最大。按这一规律，在已知系统摆动周期时，通过建立系统初始零速状态，即能确立系统的起始状态，由分析可知，过阻尼可使摆的速度在短的运动时间内接近为零速。在起始状态确立后，按与自然摆动周期有固定关系的无阻尼定时摆动，在无阻尼控制时间接近完成时，系统转入过阻尼控制，这时摆体将按快线快速“停于”子午面，即H轴指向地理北向。到此，已完成寻北的起始状态和过阻尼状态的确立。在摆体解锁后，利用过阻尼控制，建立测量的初始状态，再采用无阻尼和过阻尼控制，即可使摆体快速向北向方位运动。

无阻尼控制时间的确定

从上述分析可知，无阻尼控制时间，是摆体由慢线、零初始速度向快线运动的时间。由于角位置轴与慢线A1-A1的夹角和角速度轴与快线A2-A2的夹角相等，慢线A1-A1与快线A2-A2之间的夹角为：

${\mathrm{\&tau;}}_2=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-2\mathrm{\&psi;}---\left(28\right)$

因摆体在无阻尼运动时，在相平面上是以恒定角速度ω沿圆轨迹运动，摆体的运动时间为：

$t_2=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_2}{\mathrm{\&omega;}}=\frac{T}{2\mathrm{\&pi;}}(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-2\mathrm{\&psi;})$

因ψ为小角量，故可得：

$\mathrm{\&psi;}\&ap;\mathrm{tg\&psi;}\&ap;\frac{1}{2\mathrm{\&xi;}}$

$t_2=\frac{T}{2\mathrm{\&pi;}}(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\&xi;}})---\left(29\right)$

式(29)为快速寻北方法的无阻尼运动计算公式。显然当ξ增大时，无阻尼运动时间将增大，当增至无限大时，无阻尼运动时间趋近于四分之一个自然无阻尼摆动周期。

阻尼比ξ的确立

在工程设计和具体实施中，利用已知系统的过阻尼运动特性，结合相平面的概念，通过控制过阻尼运动，完成最优控制起始条件的建立，即，在相平面上使摆体的运动轨迹逐渐靠近慢线A1-A1，使摆体的运动速度降至接近零，实现系统测量起始状态的确立。

具体实施中，一般先加过阻尼，使摆体基本停于慢线，这一工作时间为t_f，然后将阻尼关闭，工作 $t_2=\frac{T}{4}-2t_f,$ 再接通过阻尼，使摆体沿快速开关线停于原点附近，即北向，这段工作时间为t_f。由于系统参数会由于定时误差、测点纬度及环境等因素不同而发生变化，因此，为简化控制过程，一般在不改变控制方式及控制参数的情况下，增加1～2次循环控制以达到希望的精度。

作为过阻尼和无阻尼的控制，可假设为一个独立过程，这一过程由过阻尼控制时间tf和无阻尼控制时间t2组成，该时间是ξ的函数，ξ的变化决定循环控制时间的长短，即通过ξ的合理选择，可使循环控制时间最短，即可获得控制时间最短的最优控制。循环控制时间可用下式表述：

$t_g=t_f+t_2=\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\&xi;}}\right)}{2\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&xi;}+\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}^2-1})}+\frac{T}{2\mathrm{\&pi;}}(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\&xi;}})$

(30)

由于ξ>>1，上式可化减为：

$t_g=t_f+t_2\&ap;\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\&xi;}}\right)}{4\mathrm{\&pi;\&xi;}}+\frac{T}{2\mathrm{\&pi;}}(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\&xi;}})---\left(31\right)$

当T＝246s，ξ＝5～100时，由式(31)得到t_g与ξ的关系如图6所示。

从图6可看出阻尼比从10—30，循环控制时间变化数率开始变缓，利用该曲线可优化设计系统的阻尼比。

对上式求导并令 $t_g^{\&prime;}=0$

可得： $\frac{-2\mathrm{\&xi;}\frac{1}{\mathrm{\&xi;}}-2\ln \frac{{10}^4}{\mathrm{\&xi;}}}{4{\mathrm{\&xi;}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{\&xi;}}^2}=0$

由上式可求出，在不考虑实际设计的边界条件时，取假设的系统参数，单次循环控制时间最短值为61.49s，对应的过阻尼控制时间为0.053s，无阻尼控制时间为61.489s，此种状态的阻尼比为3678.9。该结果表明：过阻尼控制时间可以短至几十毫秒，且无阻尼控制时间接近四分之一个无阻尼摆动周期。进一步分析：对于单次循环控制时间值为62.79s，对应的过阻尼控制时间为2.076s，无阻尼控制时间为60.716s，此种状态的阻尼比为50。而对于阻尼比ξ＝10的状态，循环定时为57.58+13.56＝71.14s，相对ξ＝3678.9循环定时减少15.7％，相对ξ＝50循环定时减少13.3％。若系统保持一致，阻尼力矩控制线包的阻值不变，产生阻尼力矩的电流将增加，力矩器内阻上消耗的功率在ξ＝50时，相对于ξ＝10，将增加25倍，产生的热量将造成陀螺摆体的质心变化，产生难以控制的热漂移误差，而减小力矩器线包阻值只能通过增加绕线的线径，这样又会使摆体的体积和重量过分增加，造成设备体积和重量增加。通常在精密仪器设计中，设备的重量会随几何尺寸按立方关系增加，因此应考虑工程设计的实际特点，选择合适的次优的阻尼比ξ，在确保控制时间最短的同时，要考虑设备的功耗、体积也处于最佳值。从分析可知，阻尼比为10—20时，已可满足系统要求。

测量系统的控制时间设计

利用上述特性，在合理选择阻尼和无阻尼控制时间的条件成立时，就可以在1个过阻尼加1个循环控制时间(约57.56+15.51+15.51＝88.58s)快速地完成令人满意的中等精确度(20＂-40＂)的寻北工作。循环控制时间是摆无阻尼摆动周期的函数，从分析可以得出：过阻尼定时在大于设计值时，对运动的状态影响不大。无阻尼定时控制时间间隔的变化对摆的运动状态影响较大，而定时间隔与测量处的纬度强相关，摆体的摆动周期是在标定点完成测量的，测点的纬度与标定点的纬度一般有可能不同，在纬度40°变化±1°时，无阻尼定时周期246s会有变化+1.83s和-1.75s，即在2s的周期变化时间内，测量点与标定点将相距110km，对于武器发射平台来说，测量处的纬度误差小于0.5°的成果可在军用地图上查到。但对于-40～+45℃的使用环境，摆体的运动周期也会发生变化，从而造成无阻尼定时间隔变化，测量结果达不到快速寻北的满意精度，为此有必要讨论消除这种因素的影响的技术途经。

当摆体的起始状态确定后，摆体的角速度接近为零，停于慢线附近，这时假设偏离原点的角位置为α0，在摆体完成τ2±λ的无阻尼时间间隔的运动后，切换到过阻尼，摆体将沿着平行于快线的轨迹运动到慢线附近，摆体的角速度接近为零，这时角位置为α1。由相平面地关系可知，α1＝λω，α0＝ωτ2-ψ≈ωτ2，可得：α1/α0＝λ/τ2。在重复上述无阻尼和过阻尼控制多次后，可得到α2α3...αn。并使摆体逼近子午面，这一过程满足下关系式：

$\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1}{{\mathrm{\&alpha;}}_0}=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_2}{{\mathrm{\&alpha;}}_1}=\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_n}{{\mathrm{\&alpha;}}_{n-1}}=\frac{\mathrm{\&lambda;}}{{\mathrm{\&tau;}}_2}=\mathrm{\&Delta;\&tau;}---\left(32\right)$

α_n＝α₀(Δτ)ⁿ(n＝1，2，3…)

α0：陀螺摆体相对子午面的起始偏北角；

αn：n次循环后陀螺摆体相对子午面的偏北角。

由于在阻尼比较大时， ${\mathrm{\&omega;\&tau;}}_2=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},$ 可得 $\mathrm{\&Delta;\&tau;}=\frac{4}{T}\mathrm{\&Delta;t}$

当Δt＝2s，T＝246s时，有下式成立：

α_n＝α₀(0.0325)ⁿ                          (33)

对于初始偏北角为α₀＝15°，如果要实现α_n＝10″的寻北结果，在定时误差为2s的工作状态时，循环阻尼次数n约为3次。

该式表明在起始偏北角固定时，随着循环阻尼次数n的增加，n次后的偏北角快速收敛，并满足工程实际要求。因此，对于过阻尼控制系统，在起始位置给定时，要求的最后偏差位置决定循环阻尼次数n，即快速寻北的基本寻北时间n(t2+tf)+tf。

当然，本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，熟悉本领域的技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (6)

1、一种摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，通过自动跟踪陀螺摆体方位摆动并运用滑模控制技术的寻北方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一：通过过阻尼控制，建立陀螺摆体的寻北控制的起始状态，使摆体的摆动角速度快速衰减至零，使摆体的扭力零位与光电零位处于一致的状态；

步骤二：解除过阻尼控制，使摆体以无阻尼方式摆动，在摆体运动接近四分之一周期时，再次接通过阻尼控制，使摆体快速趋近于真北；

步骤三：多次重复步骤二后，使摆体靠近真北。

2、根据权利要求1所述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其特征在于，所述过阻尼控制时间、无阻尼控制时间通过如下公式确定：

(1)所述过阻尼控制时间的确定：

$t_f=\frac{\ln \left(\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_0}{2\mathrm{\&xi;}}\right)-\ln \mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&xi;}+\mathrm{\&eta;})}$

式中：t_f：过阻尼控制时间；

      α₀：进入慢速开关线的起点，也即陀螺摆体相对子午面的起始偏北角；

      α：寻北结束时，陀螺摆体光电零位与子午面的夹角；

      ξ：系统阻尼比；

      η： $\mathrm{\&eta;}=\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}^2-1};$

      ω：陀螺摆体的摆动角速度；

(2)所述无阻尼控制时间的确定：

$t_2=\frac{T}{2\mathrm{\&pi;}}(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\&xi;}})$

式中：t₂：无阻尼控制时间；

      ξ：系统阻尼比；

      T：陀螺摆体自然摆动周期。

3、根据权利要求2所述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其特征在于，

当系统的初始角为15°，终值为1″时，α＝5×10^-5α₀，代入所述过阻尼控制时间的确定公式则：

$t_f=\frac{\ln (\frac{1}{2\mathrm{\&xi;}}\&CenterDot;{\mathrm{\&alpha;}}_0)-\ln 5\&times;{10}^{-5}{\mathrm{\&alpha;}}_0}{\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&xi;}+\mathrm{\&eta;})}=\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\&xi;}}\right)}{2\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&xi;}+\mathrm{\&eta;})}$

式中：T：陀螺摆体自然摆动周期；

      ξ：系统阻尼比；

      η： $\mathrm{\&eta;}=\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}^2-1}.$

4、根据权利要求2所述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其特征在于，所述摆式陀螺寻北仪的单次寻北测量时间通过如下公式确定：

${\mathrm{\&alpha;}}_n={\mathrm{\&alpha;}}_0{\left(\frac{4}{T}\mathrm{\&Delta;t}\right)}^n$

式中：α₀：陀螺摆体相对子午面的起始偏北角；

      α_n：n次循环后陀螺摆体相对子午面的偏北角。

      Δt：定时误差；

依据上式，由所需寻北精度求出循环次数n，则快速寻北的基本寻北时间为：

T_n＝n(t₂+t_f)+t_f

式中：

T_n：快速寻北的基本寻北时间；

t₂：无阻尼控制时间；

t_f：过阻尼控制时间；

n：陀螺摆体摆动循环次数。

5、根据权利要求2所述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其特征在于，所述系统阻尼比ξ的确立通过如下公式：

循环控制时间可用下式表述：

$t_g=t_f+t_2=\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\&xi;}}\right)}{2\mathrm{\&pi;}(\mathrm{\&xi;}+\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}^2-1})}+\frac{T}{2\mathrm{\&pi;}}(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\&xi;}})$

式中：t_f为过阻尼控制时间；

      t₂为无阻尼控制时间；

      ξ为系统阻尼比。

由于系统阻尼比ξ>>1，上式可化减为：

$t_g=t_f+t_2\&ap;\frac{T\ln \left(\frac{{10}^4}{\mathrm{\&xi;}}\right)}{2\mathrm{\&pi;\&xi;}}+\frac{T}{2\mathrm{\&pi;}}(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\frac{1}{\mathrm{\&xi;}})$

当T＝246s，ξ＝5～100时，由上式得到t_g与ξ的关系图，并确定选择系统阻尼比ξ值。

6、根据权利要求5所述的摆式陀螺寻北仪寻北测量方法，其特征在于，根据t_g与ξ的关系图确定选择系统阻尼比ξ为10-20。

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