CN101329290A - 预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法 - Google Patents

Abstract

一种预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于该方法基于溶质扩散控制组织演变模型，利用局部的温度、曲率和不同组元的溶质浓度来确定凝固过程中单元固相份数的变化过程，结合扩散方程，进而计算出合金不同组元的溶质浓度的变化规律。本发明不仅可以预测三元以上合金凝固过程的不同组元的成分偏析情况，而且还能够预测组织形貌和晶粒度。本发明不需要商业化软件Thermal－Calc和Pandat等计算相图软件支持也可以实现对多组元合金的凝固偏析进行预测。

Description

预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法

技术领域

本发明涉及金属材料加工技术领域，特别涉及一种预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法。

背景技术

铸件的性能取决于其凝固组织形貌和合金组元的显微偏析分布。凝固组织形貌直接决定铸件的力学性能，显微偏析分布影响铸件性能的均一性、疲劳寿命和耐蚀性能，并影响显微组织形貌演变。此外，铸件凝固过程中一些杂质元素的显微偏析分布将直接影响到铸件的力学性能。因此预测凝固过程中显微偏析分布对优化凝固工艺，提高铸件性能都有很大帮助。目前实际应用铸造合金多属于多组元合金，因此预测此类合金在凝固过程中不同组元的成分分布规律对研究合金的最终性能以及改进铸造工艺均有帮助。

目前针对预测多组元合金凝固过程不同组元的成分分布情况报道很少，国外个别研究人员采用商业化软件Thermo-Calc软件米计算多组元合金凝固过程中不同组元的分布情况，但这种方法依赖商业化软件来实现不同组元成分预测，而且计算效率低。

发明内容：

针对现有多组元合金凝固过程预测问题，本发明提供一种预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法。

本发明基于溶质扩散控制组织演变模型，利用局部的温度、曲率和不同组元的溶质浓度来确定凝固过程中单元固相份数的变化过程，结合溶质扩散方程，进而计算出合金不同组元的溶质浓度的变化规律。

本专利发明适用于二元以上的合金平衡凝固或近平衡凝固过程中的成分分布预测。本发明的理论基础在于：在相图固液相区之间的任意一点，如果该点的温度、曲率和固相份数都为已知，那么该点的溶质浓度变可以根据该点的温度、曲率和固相份数求得，同理，如果任意一个单元的温度、曲率和溶质浓度已知，单元的固相份数也可以确定出来，既：这四个因素中如果三个已知(界面温度、溶质浓度和曲率都以确定)，那么第四个因素(界面单元的固相份数)也确定下来。

本发明方法的预测过程包括如下步骤：

a)首先设置边界条件，即传热边界条件，主要确定边界处的对流换热系数。初始条件需要设置一下初始温度和初始的溶质浓度，对于三元合金来讲，包括不同溶质组元的溶质浓度，初始温度和初始浓度设置为均一温度场和溶质浓度场；初始界面生长速度设为零；

b)根据材料的热物性参数和前一步计算的界面生长速度，利用时间步长的计算模型来确定当前计算时间步的时间步长；

c)根据方程界面曲率的计算模型，利用固相份数在x和y方向的偏导数来计算固液界面的曲率；

d)根据传热模型中的热扩散方程求出每一时刻各个单元与周围单元的热交换量，进而获得每个单元热交换之后的温度变化量；

e)利用溶质扩散模型中平均溶质浓度方程建立一个固相份数与平均溶质浓度之间的关系，为求下一计算步内的固相份数变化提供依据，由此方程可以推导出界面溶质浓度与固相份数之间的关系，即界面单元内的液相溶质浓度方程；

f)根据热扩散方程计算的温度场和前一时刻的曲率，以及界面单元内的液相溶质浓度方程，结合温度回升方程和界面温度与界面溶质浓度、曲率和平衡温度之间的关系，即界面溶质浓度和固相份数计算模型中界面单元温度方程，可以得到固相份数的表达式，采用牛顿迭代方法即可计算当前界面单元内固相份数；

g)根据计算界面溶质浓度和固相份数计算模型中方程得到的单元固相份数，根据温度回升方程可以计算出温度回升后的温度场；

h)将计算得到固相份数增量代入到单元内的液相溶质浓度方程中，求出固相份数变化后的不同溶质组元的界面溶质浓度，并根据浓度势的扩散方程计算由于界面溶质浓度的变化引起的溶质扩散，进而求出不同溶质组元的浓度场；

i)根据计算得到的界面溶质浓度，利用晶粒生长控制模型中扩散守恒方程来计算各个单元的生长速度，为下一计算步的时间步长选取提供依据；

j)根据计算得到的温度场、溶质浓度场、生长速度和曲率等关于晶粒长大的参数进行保存，并为下一计算提供依据；

k)计算判断是否满足停止计算条件，如果满足，则停止计算，否则将计算结果赋值到初始条件中继续计算，直到满足计算停止条件。

所述材料的热物性参数如下：密度、热扩散系数、各种溶质在液相和固相中的扩散系数、固液界面两侧的各种原子分配系数、各种溶质的液相线斜率、比热容、潜热、Gibbs-Thomson自由能系数、熔点。参数的确定可以通过试验测定方法进行确定，或采用材料手册里的资料。

所述传热边界条件：

即模拟区域与外部环境之间的热交换方式，采用牛顿对流换热边界条件。

Q＝h·(T-T₀)                       (1)

其中Q为表面热流密度，h为对流传热系数，T₀为环境温度，T为试件表面温度。

所述时间步长的计算模型：

时间步长的设定是根据材料的热扩散、溶质扩散系数，以及晶粒的生长速度来确定的。

$\mathrm{dt}\≤\frac{1}{5}\min (\frac{a^2}{{\mathrm{\α}}^i},\frac{a^2}{D_l^i},\frac{a^2}{D_s^i},\frac{a}{V_{\max }})---\left(2\right)$

其中dt为时间步长，α为热扩散系数，a网格剖分单元尺寸，D_l和D_s分别为溶质在液相中和固相中的溶质扩散系数，l表示液相，s表示固相，上标i为不同组元，V_max为所有固液界面单元中速度最大值，min为选取最小值的函数。

时间步长计算模块的主要功能是保证计算传热和溶质扩散过程不发散，从而得到合理的温度和溶质浓度。

所述传热模型：

传热模型选用傅立叶热扩散方程，其中热源项为凝固过程中潜热的释放。

$\frac{\∂T}{\∂t}=\▿\·(\mathrm{\α}\▿T)+Q---\left(3\right)$

其中T为温度，t为时间，α为热扩散系数， $\mathrm{\α}=\frac{k}{\mathrm{\ρ}{C}_p},$ k为导热率，ρ位密度，C_p为比热容，Q为潜热相，其中：

$Q=\frac{{\∂f}_s}{\∂t}\frac{L_h}{C_p}---\left(4\right)$

f_s为固相份数，L_h为单位体积内的潜热。

方程(3)可以分成两部分应用，第一部分计算热扩散，第二部分计算潜热释放所造成的温度回升，具体步骤如下

$\frac{\∂T}{\∂t}=\mathrm{\α}{\▿}^{2}T---\left(5\right)$

$T^{\′}=T+Q=T+\frac{L_h}{c_p}{\mathrm{\δf}}_s---\left(6\right)$

其中T为仅考虑热扩散的温度，T′为考虑到潜热释放后的温度，δf_s为界面单元内的固相份数增量， $\mathrm{\δ}{f}_s=f_s^{n+1}-f_s^n.$ 因此方程(6)可以写成：

$T^{\′}=T+\frac{L_h}{c_p}(f_s^{n+1}-f_s^n)---\left(7\right)$

其中上标n+1和n代表第(n+1)和第n步。

传热模型可以计算出随着凝固份数的增加所造成的温度回升。

所述溶质扩散模型：

溶质扩散控制方程：

$\frac{{\∂C}_I^i}{\∂t}=\▿\·(D_I^i\▿C_I^i)---\left(8\right)$

D为溶质扩散系数，C为溶质浓度，下标I代表液相或固相，上标i代表不同组元。

当液相凝固时，会排除一定比例的溶质到固液界面前沿，以保持固液界面两侧两相的化学势平衡：

$C_s^{i*}=k_p^i\·C_l^{i*}---\left(9\right)$

其中^*表示处在界面的情况，为界面单元内第i组元的固相溶质浓度。k_p ^l为i组元溶质分配系数，

为i组元界面前沿液相溶质浓度，如果是三元合金，溶质1和溶质2的溶质分配系数分别为k_p ¹和k_p ²。

为了提高计算效率，采用浓度势的方法来计算溶质浓度场

$P^i=\left\{\begin{array}{cc}{C}_l^i& f_s=0\\ C_s^i/k_p^i& f_s=1\\ C_l^{i*}& 0<f_s<1\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中Pⁱ为溶质i的浓度势。

溶质浓度场的计算方程可以写成：

$\frac{\&PartialD;\stackrel{\&OverBar;}{C^i}}{\&PartialD;t}=D^i{\&dtri;}^2{P}^i---\left(11\right)$

其中Dⁱ为第i种组元是与单元及其近邻单元之间的固相份数相关的，当单元i和i+1全部为固相时 $D^i=D_s^i,$ 否则：

$D^i=(f_s^i{D}_s^i+(1-f_s^l)D_l^i+f_s^{i+1}{D}_s^l+(1-f_s^{i+1})D_l^i/2---\left(12\right)$

Cⁱ为单元内第组元的平均溶质浓度，其可以表示为：

$\stackrel{\&OverBar;}{C^i}=C_s^i{f}_s+(1-f_s)C_l^i;---\left(13\right)$

方程(10)-(12)实际上就是设一个等效溶质扩散系数和浓度势，使其能够在统一的方程中进行计算，这种算法可以显著提高溶质浓度场的计算效率。

将方程(10)和方程(12)代入到方程(11)中计算可以得到不同组元在每一时间步长内的溶质浓度的变化。

所述晶粒生长控制模型：

在界面迁移过程中，界面生长速度由固液界面两侧的溶质浓度扩散方程控制：

$(C_l^{i*}-C_s^{i*})v=D^i\&dtri;C^{i*}\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{n}---\left(14\right)$

其中v为界面法向速度，

为固液界面法向方向。

由此模型即可求得界面单元的生长速度，当所有的界面单元的生长速度都计算出来，便可以根据方程(2)确定合适的时间步长，保证方程计算连续稳定。

所述界面曲率的计算模型：

界面曲率的计算可以根据曲率的定义来进行推导：

$K=\frac{z^{\&Prime;}}{{(1+{z^{\&prime;}}^2)}^{3/2}}---\left(15\right)$

其中K为固液界面的曲率，z′和z″为一阶和二阶导数，

$z^{\&prime;}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{df}}_s/\mathrm{dx}}{{\mathrm{df}}_s/\mathrm{dy}}=\frac{{\left(f_s\right)}_x}{{\left(f_s\right)}_y}---\left(16\right)$

$z^{\&Prime;}=\frac{d\left(y^{\&prime;}\right)}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{df}}_s/\mathrm{dx}}{{\mathrm{df}}_s/\left({\mathrm{dy}}^{\&prime;}\right)}=\frac{{\left(f_s\right)}_x^2{\left(f_s\right)}_{\mathrm{yy}}+{\left(f_s\right)}_y^2{\left(f_s\right)}_{\mathrm{xx}}-2{\left(f_s\right)}_x{\left(f_s\right)}_y{\left(f_s\right)}_{\mathrm{xy}}}{{\left(f_s\right)}_y^3}---\left(17\right)$

$K=\frac{z^{\&Prime;}}{{(1+{z^{\&prime;}}^2)}^{3/2}}=\frac{2{\left(f_s\right)}_x{\left(f_s\right)}_y{\left(f_s\right)}_{\mathrm{xy}}-{\left(f_s\right)}_x^2{\left(f_s\right)}_{\mathrm{yy}}-{\left(f_s\right)}_y^2{\left(f_s\right)}_{\mathrm{xx}}}{{({\left(\mathrm{fs}\right)}_x^2+{\left(\mathrm{fs}\right)}_y^2)}^{3/2}}---\left(18\right)$

下标x和y为在x和y轴方向上的差分。

所述界面溶质浓度和固相分数的计算模型：

忽略了动力学过冷条件下，三元合金凝固过程中界面单元的溶质浓度与曲率、温度之间的关系可以表示为：

其中为T^*界面单元温度，T_eq为合金平衡状态下的温度，m₁和m₂分别为成分1和成分2的液相线斜率，

和

分别代表组元1和2的界面溶质浓度，C₀ ¹和C₀ ²分别组元1和组元2的初始浓度，Γ为Gibbs-Thomson自由能系数，K为曲率，可根据方程(18)计算得到，f(θ，

)为各向异性函数，θ为固液界面生长的法向方向，为晶粒的择优取向角。

由于界面单元的固相份数是一个未知量，因此界面单元的温度以及界面单元的溶质浓度均为未知量。

在界面单元内取一个平均溶质浓度，其表达式为

$\stackrel{\&OverBar;}{C^i}=\left\{C_s^{i*}{f}_s^{n+1}\begin{array}{cc}{C}_l^i& f_s=0\\ +C_l^{i*}(1-f_s^{n+1})& 0<f_s<1\\ C_s^i& f_s=1\end{array}\right.----\left(20\right)$

其中Cⁱ为单元的第i种组元的平均溶质浓度，下标l和s分别代表固相和液相。

根据方程(20)，界面单元内的液相溶质浓度可以写为：

$C_l^{i*}=\frac{\stackrel{\&OverBar;}{C^i}}{(1-f_s^{n+1}+k_p^i\&CenterDot;f_s^{n+1})}=\frac{\stackrel{\&OverBar;}{C^i}}{(1-(1-k_p^i)\&CenterDot;f_s^{n+1})}---\left(21\right)$

结合方程(7)和方程(19)，可以得到如下方程：

将方程(21)代入到方程(22)，可以得到：

$T+\frac{L_h}{C_p}(f_s^{n+1}-f_s^n)=$

方程(23)两边同时乘以(1-f_s ⁿ⁺¹(1-k_p ¹))(1-f_s ⁿ⁺¹(1-k_p ²))可以得到方程(24)：

$\frac{L}{C_p}\&CenterDot;(1-k_p^1)\&CenterDot;(1-k_p^2)\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^3=0---\left(24\right)$

方程(24)可以简化为

$A\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^3+B\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^2+C\&CenterDot;\left(f_s^{n+1}\right)+D=0---\left(25\right)$

其中A，B和C为系数，可以表达为：

$A=\frac{L_h}{C_p}\&CenterDot;(1-k_p^1)\&CenterDot;(1-k_p^2)$

(26)

其中C₀ ¹为成份1的初始浓度C₀ ²为成份2的初始浓度。

方程(25)为关于固相分数的一元三次方程，求解过程采用牛顿迭代方程即可求出方程(25)的根。

即f′_s＝f_s-y/y′                (27)

其中 $y=A\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^3+B\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^2+C\&CenterDot;\left(f_s^{n+1}\right)+D,$ y′为f_s ⁿ⁺¹的导数， $y^{\&prime;}=3\&CenterDot;A\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^2+2\&CenterDot;B\&CenterDot;\left(f_s^{n+1}\right)+C.$

求出方程的根就是界面单元的固相份数，通过固相份数可以应用公式(21)推导出单元溶质浓度，进而根据扩散方程求解出单元的在每一时刻的变化。当完全凝固后的各个单元的溶质浓度就是溶质的显微偏析分布。从而就可以直接看到组织形貌(如例中所示)。在最后计算凝固完全后可以根据组织分布情况测量晶粒度。

以上方法是针对三元合金的凝固过程中各组元的溶质浓度分布。

当组元为3个或以上时候，方程(19)就变为：

其中i代表第i个组元，n代表溶质组元个数。

此时方程(22)就变为：

可根据前面叙述的方法即可求出不同组元的溶质浓度分布。

采用本发明的方法：

1.预测采用有限差分方法来实现，其预测方法的关键在于求解预测每一时刻的有限差分单元内的固相份数，而此固相份数为该单元溶质浓度、曲率和温度的一个函数。如果合金为三元合金，其固相份数就是一个关于该单元各组元溶质浓度、曲率和温度的一个一元三次方程，同理，当合金为4元合金的时候，该单元的固相份数就是该单元合金各组元的溶质浓度、曲率和温度的一个一元四次方程，该固相份数的方程求解采用了牛顿迭代方法。求解后的固相份数代入方程即可求出在该时刻的各组元溶质浓度，进而求解出各组元的溶质浓度分布。

2.不仅可以模拟各种组元的浓度分布规律，而且可以模拟凝固过程的组织形貌变化，将各种组元的浓度分布与组织形貌演变规律结合起来，并将晶粒在长大过程中的相互影响和溶质相互扩散考虑到模型中。

3.不仅可以预测凝固组织形貌和显微偏析分布，而且可以定量描述凝固过程中凝固组织曲率的变化规律、凝固过程固液界面生长速度同时预测出来，为把握凝固规律，进而控制凝固工艺以获得优异的铸件性能提供理论指导。

4.不需要商业化软件Thermal-Calc和Pandat等计算相图软件支持也可以实现对多组元合金的凝固偏析进行预测。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是本发明实施例1C溶质浓度分布；

图3是本发明实施例1Si溶质浓度分布；

图4是本发明实施例20.00014s和0.00071s时的Si浓度分布；

图5是本发明实施例2凝固过程中0.00014s和0.00071s时的Cu的浓度分布。

具体实施方式

实施例1

1.Fe-0.6％C-0.15％Si模拟区域尺寸为0.2*0.2mm²。

合金材料为Fe-0.6％C-0.15％Si，模拟区域为0.2*0.2mm²。

模拟所选用的材料热物性参数如下：

表1模型中应用的热物性参数

材料热物性参数的确定可以通过试验测定方法获得，或采用材料手册里的资料。

初始温度为1480℃，边界条件采用对流换热边界条件(一般凝固过程的换热基本已对流换热为主)。依据附图1所示流程步骤进行计算。

首先根据材料的热物性参数设定第一步的时间步长，这里的第一步时间步长为3.89E-8s。

根据时间步长计算温度场，由于初始时刻温度为均一的，因而在没有潜热释放的前提下，温度没有发生变化。

根据计算的温度场结合初始时刻的溶质浓度和曲率计算出固相份数的变化量为0.027，根据这个变化量可以求出温度回升值为1489℃，C的界面溶质浓度0.611，Si的界面溶质浓度为0.152，界面生长速度为0.000153m/s，曲率为1767767m^-1。

由此根据热扩散方程和溶质扩散方程可以求出整个区间的温度场和不同组元溶质浓度分布。

图2为凝固时间为0.01秒时的C溶质分布图，其中右侧颜色条中不同颜色代表不同的C溶质浓度分布，由此图可以看出在凝固时间为0.01秒时的C溶质分布图。

图3为凝固时间为0.01秒时的Si溶质分布图，其中右侧颜色条中不同颜色代表不同的Si溶质浓度分布，由此图可以看出在凝固时间为0.01秒时的Si溶质分布图。

实施例2

Al-7％Si-5％Cu三元合金凝固溶质偏析分布预测。材料热物性参数见表2。

表2Al-7％Si-5％Cu三元合金的热物性参数

求解过程与例1相同，只不过与例1的热物性参数和边界条件不同。

图4是凝固过程中0.00014s和0.00071s时的Si浓度分布。

图5是凝固过程中0.00014s和0.00071s时的Cu的浓度分布。

Claims (10)

1.一种预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于该方法基于溶质扩散控制组织演变模型，利用局部的温度、曲率和不同组元的溶质浓度来确定凝固过程中单元固相份数的变化过程，结合扩散方程，进而计算出合金不同组元的溶质浓度的变化规律，预测过程包括如下步骤：

a)首先设置边界条件，即传热边界条件，主要确定边界处的对流换热系数，初始条件需要设置一下初始温度和初始的溶质浓度，对于三元合金来讲，包括不同溶质组元的溶质浓度，初始温度和初始浓度设置为均一温度场和溶质浓度场；初始界面生长速度设为零；

b)根据材料的热物性参数和前一步计算的界面生长速度，利用时间步长的计算模型来确定当前计算时间步的时间步长；

c)根据方程界面曲率的计算模型，利用固相份数在x和y方向的偏导数来计算固液界面的曲率；

d)根据传热模型中的热扩散方程求出每一时刻各个单元与周围单元的热交换量，进而获得每个单元热交换之后的温度变化量；

e)利用溶质扩散模型中平均溶质浓度方程建立一个固相份数与平均溶质浓度之间的关系，为求下一计算步内的固相份数变化提供依据，由此方程可以推导出界面溶质浓度与固相份数之间的关系，即界面单元内的液相溶质浓度方程；

f)根据热扩散方程计算的温度场和前一时刻的曲率，以及界面单元内的液相溶质浓度方程，结合温度回升方程和界面温度与界面溶质浓度、曲率和平衡温度之间的关系，即界面溶质浓度和固相份数计算模型中界面单元温度方程，可以得到固相份数的表达式，采用牛顿迭代方法即可计算当前界面单元内固相份数；

g)根据计算界面溶质浓度和固相份数计算模型中方程得到的单元固相份数，根据温度回升方程可以计算出温度回升后的温度场；

h)将计算得到固相份数增量代入到单元内的液相溶质浓度方程中，求出固相份数变化后的不同溶质组元的界面溶质浓度，并根据浓度势的扩散方程计算由于界面溶质浓度的变化引起的溶质扩散，进而求出不同溶质组元的浓度场；

i)根据计算得到的界面溶质浓度，利用晶粒生长控制模型中扩散守恒方程来计算各个单元的生长速度，为下一计算步的时间步长选取提供依据；

j)根据计算得到的温度场、溶质浓度场、生长速度和曲率等关于晶粒长大的参数进行保存，并为下一计算提供依据；

k)计算判断是否满足停止计算条件，如果满足，则停止计算，否则将计算结果赋值到初始条件中继续计算，直到满足计算停止条件。

2.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于所述材料的热物性参数如下：密度、热扩散系数、各种溶质在液相和固相中的扩散系数、固液界面两侧的各种原子分配系数、各种溶质的液相线斜率、比热容、潜热、Gibbs-Thomson自由能系数、熔点，参数的确定可以通过试验测定方法进行确定，或采用材料手册里的资料。

3.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于所述传热边界条件：

即模拟区域与外部环境之间的热交换方式，采用牛顿对流换热边界条件，

Q＝h·(T-T₀)    (1)

其中Q为表面热流密度，h为对流传热系数，T₀为环境温度，T为试件表面温度。

4.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于所述计算时间步长是根据材料的热扩散、溶质扩散系数，以及晶粒的生长速度来确定的，依下式步长计算模型计算：

$\mathrm{dt}\&le;\frac{1}{5}\min (\frac{a^2}{{\mathrm{\&alpha;}}^i},\frac{a^2}{D_l^i},\frac{a^2}{D_s^i},\frac{a}{V_{\max }})---\left(2\right)$

其中dt为时间步长，α为热扩散系数，α网格剖分单元尺寸，D_l和D_s分别为溶质在液相中和固相中的溶质扩散系数，l表示液相，s表示固相，上标i为不同组元，V_max为所有固液界面单元中速度最大值，min为选取最小值的函数；

5.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于所述传热模型选用傅立叶热扩散方程，其中热源项为凝固过程中潜热的释放，

$\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;t}=\&dtri;\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}\&dtri;T)+Q---\left(3\right)$

其中T为温度，t为时间，α为热扩散系数， $\mathrm{\&alpha;}=\frac{k}{\mathrm{\&rho;}{C}_p},$ k为导热率，ρ位密度，C_p为比热容，Q为潜热相，其中：

$Q=\frac{\&PartialD;f_s}{\&PartialD;t}\frac{L_h}{C_p}---\left(4\right)$

f_s为固相份数，L_h为单位体积内的潜热；

方程(3)可以分成两部分应用，第一部分计算热扩散，第二部分计算潜热释放所造成的温度回升，具体步骤如下

$\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;t}=\mathrm{\&alpha;}{\&dtri;}^{2}T---\left(5\right)$

$T^{\&prime;}=T+Q=T+\frac{L_h}{c_p}\mathrm{\&delta;}{f}_s---\left(6\right)$

其中T为仅考虑热扩散的温度，T′为考虑到潜热释放后的温度，δf_s为界面单元内的固相份数增量， $\mathrm{\&delta;}{f}_s=f_s^{n+1}-f_s^n,$ 因此方程(6)可以写成：

$T^{\&prime;}=T+\frac{L_h}{c_p}(f_s^{n+1}-f_s^n)---\left(7\right)$

其中上标n+1和n代表第(n+1)和第n步；

传热模型可以计算出随着凝固份数的增加所造成的温度回升。

6.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于所述溶质扩散模型依据下式溶质扩散控制方程：

$\frac{\&PartialD;C_I^i}{\&PartialD;t}=\&dtri;\&CenterDot;(D_I^i\&dtri;C_I^i)---\left(8\right)$

D为溶质扩散系数，C为溶质浓度，下标I代表液相或固相，上标i代表不同组元；

当液相凝固时，会排除一定比例的溶质到固液界面前沿，以保持固液界面两侧两相的化学势平衡：

$C_s^{i^{*}}=k_p^i\&CenterDot;C_l^{i^{*}}---\left(9\right)$

其中*表示处在界面的情况，

为界面单元内第i组元的固相溶质浓度；k_p ⁱ为i组元溶质分配系数，

为i组元界面前沿液相溶质浓度，如果是三元合金，溶质1和溶质2的溶质分配系数分别为k_p ¹和k_p ²；

为了提高计算效率，采用浓度势的方法来计算溶质浓度场

$P^i=\left\{\begin{array}{cc}{C}_l^i& f_s=0\\ C_s^i/k_p^i& f_s=1\\ C_l^{i^{*}}& 0<f_s<1\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中Pⁱ为溶质i的浓度势；

溶质浓度场的计算方程可以写成：

$\frac{\&PartialD;\stackrel{\&OverBar;}{C^i}}{\&PartialD;t}=D^i{\&dtri;}^2{P}^i---\left(11\right)$

其中Dⁱ为第i种组元是与单元及其近邻单元之间的固相份数相关的，当单元i和i+1全部为固相时 $D^i=D_s^i,$ 否则：

$D^i=(f_s^i{D}_s^i+(1-f_s^i)D_l^i+f_s^{i+1}{D}_s^i+(1-f_s^{i+1})D_l^i)/2---\left(12\right)$

Cⁱ为单元内第组元的平均溶质浓度，其可以表示为：

$\stackrel{\&OverBar;}{C^i}=C_s^i{f}_s+(1-f_s)C_l^i;---\left(13\right)$

方程(10)-(12)实际上就是设一个等效溶质扩散系数和浓度势，使其能够在统一的方程中进行计算，这种算法可以显著提高溶质浓度场的计算效率；

将方程(10)和方程(12)代入到方程(11)中计算可以得到不同组元在每一时间步长内的变化。

7.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于所述在界面迁移过程中，界面生长由固液界面两侧的溶质浓度扩散方程控制，依据下式晶粒生长控制模型：

$(C_l^{i^{*}}-C_s^{i^{*}})v=D^i\&dtri;C^{i^{*}}\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{n}---\left(14\right)$

其中v为界面法向速度，

为固液界面法向方向；

由此模型即可求得界面单元的生长速度，当所有的界面单元的生长速度都计算出来，便可以根据方程(2)确定合适的时间步长，保证方程计算连续稳定。

8.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于所述界面曲率的计算可以根据曲率的定义来进行推导：

$K=\frac{z^{\&prime;\&prime;}}{{(1+z^{\&prime;2})}^{3/2}}---\left(15\right)$

其中K为固液界面的曲率，z′和z″为一阶和二阶导数，

$z^{\&prime;}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{d{f}_s/\mathrm{dx}}{d{f}_s/\mathrm{dy}}=\frac{{\left(f_s\right)}_x}{{\left(f_s\right)}_y}---\left(16\right)$

$z^{\&prime;\&prime;}=\frac{d\left(y^{\&prime;}\right)}{\mathrm{dx}}=\frac{d{f}_s/\mathrm{dx}}{d{f}_s/\left(d{y}^{\&prime;}\right)}=\frac{{\left(f_s\right)}_x^2{\left(f_s\right)}_{\mathrm{yy}}+{\left(f_s\right)}_y^2{\left(f_s\right)}_{\mathrm{xx}}-2{\left(f_s\right)}_x{\left(f_s\right)}_y{\left(f_s\right)}_{\mathrm{xy}}}{{\left(f_s\right)}_y^3}---\left(17\right)$

$K=\frac{z^{\&prime;\&prime;}}{{(1+z^{\&prime;2})}^{3/2}}=\frac{2{\left(f_s\right)}_x{\left(f_s\right)}_y{\left(f_s\right)}_{\mathrm{xy}}-{\left(f_s\right)}_x^2{\left(f_s\right)}_{\mathrm{yy}}-{\left(f_s\right)}_y^2{\left(f_s\right)}_{\mathrm{xx}}}{{({\left(\mathrm{fs}\right)}_x^2+{\left(\mathrm{fs}\right)}_y^2)}^{3/2}}---\left(18\right)$

下标x和y为在x和y轴方向上的差分。

9.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于所述界面溶质浓度和固相分数的计算忽略了动力学过冷条件下，三元合金凝固过程中界面单元的溶质浓度与曲率、温度之间的关系可以表示为：

其中为T^*界面单元温度，T_cq为合金平衡状态下的温度，m₁和m₂分别为成分1和成分2的液相线斜率，

和

分别代表组元1和2的界面溶质浓度，C₀ ¹和C₀ ²分别组元1和组元2的初始浓度，Γ为Gibbs-Thomson自由能系数，K为曲率，可根据方程(18)计算得到，

为各向异性函数，θ为固液界面生长的法向方向，

为晶粒的择优取向角；

由于界面单元的固相份数是一个未知量，因此界面单元的温度以及界面单元的溶质浓度均为未知量；

在界面单元内取一个平均溶质浓度，其表达式为

$\stackrel{\&OverBar;}{C^i}=\left\{\begin{array}{cc}{C}_l^i& f_s=0\\ C_s^{i^{*}}{f}_s^{n+1}+C_l^{i^{*}}(1-f_s^{n+1})& 0<f_s<1\\ C_s^i& f_s=1\end{array}\right.---\left(20\right)$

其中Cⁱ为单元的第i种组元的平均溶质浓度，下标l和s分别代表固相和液相；

根据方程(20)，界面单元内的液相溶质浓度可以写为：

$C_l^{i^{*}}=\frac{\stackrel{\&OverBar;}{C^i}}{(1-f_s^{n+1}+k_p^i\&CenterDot;f_s^{n+1})}=\frac{\stackrel{\&OverBar;}{C^i}}{(1-(1-k_p^i)\&CenterDot;f_s^{n+1})}---\left(21\right)$

结合方程(7)和方程(19)，可以得到如下方程：

将方程(21)代入到方程(22)，可以得到：

$T+\frac{L_h}{C_p}(f_s^{n+1}-f_s^n)=---\left(23\right)$

方程(23)两边同时乘以(1-f_s ⁿ⁺¹(1-k_p ¹))(1-f_s ⁿ⁺¹(1-k_p ²))可以得到方程(24)：

$\frac{L}{C_p}\&CenterDot;(1-k_p^1)\&CenterDot;(1-k_p^2)\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^3=0---\left(24\right)$

方程(24)可以简化为

$A\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^3+B\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^2+C\&CenterDot;\left(f_s^{n+1}\right)+D=0---\left(25\right)$

其中A，B和C为系数，可以表达为：

$A=\frac{L_h}{C_p}\&CenterDot;(1-k_p^1)\&CenterDot;(1-k_p^2)$

其中C₀ ¹为成分1的初始浓度C₀ ²为成分2的初始浓度；

方程(25)为关于固相分数的一元三次方程，求解过程采用牛顿迭代方程即可求出方程(25)的根；

即f′_s＝f_s-y/y′(27)

其中 $y=A\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^3+B\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^2+C\&CenterDot;\left(f_s^{n+1}\right)+D,$ y′为f_s ⁿ⁺¹的导数，

$y^{\&prime;}=3\&CenterDot;A\&CenterDot;{\left(f_s^{n+1}\right)}^2+2\&CenterDot;B\&CenterDot;\left(f_s^{n+1}\right)+C;$

求出方程的根就是界面单元的固相份数，通过固相份数可以应用公式(21)推导出单元溶质浓度，进而根据扩散方程求解出单元的在每一时刻的变化；当完全凝固后的各个单元的溶质浓度就是溶质的显微偏析分布；从而就可以直接看到组织形貌；在最后计算凝固完全后可以根据组织分布情况测量晶粒度。

10.根据权利要求1所述预测多组元合金凝固过程不同组元偏析分布的方法，其特征在于当组元为3个或以上时候，方程(19)就变为：

其中i代表第i个组元，n代表溶质组元个数；

此时方程(22)就变为：

可根据前面叙述的方法即可求出不同组元的溶质浓度分布。

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