CN101281641B - 一种外插法改进的基于eno的图像插值方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法，它属于数字图像插值处理技术领域。本发明针对ENO插值方法没有解决的边缘处理问题，提出了改进方法。根据ENO方法的模板选择结果，可以检测出包含奇异点的边缘区间，使用外插法来对边缘区间进行插值，根据待插值边缘区间的左右相邻区间的插值多项式的交点位置，将包含奇异点的边缘区间分成两部分，在待插值边缘区间的左端点到奇异点之间，用左相邻区间的插值多项式来进行插值，在奇异点到待插值边缘区间的右端点之间，用右相邻区间的插值多项式来进行插值。对非边缘区间，使用ENO插值方法进行插值。本发明方法可以实现任意倍数的图像插值。

Description

一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法

技术领域

本发明涉及数字图像插值处理技术领域，特别是涉及一种基于ENO(Essentially Non-Oscillatory，基本无振荡)的数字图像插值方法。

背景技术

图像是自然界景物的客观反映，包含了大量丰富、直观的信息，是人类获取外界信息的重要媒体之一。据研究，人类获取的外部世界信息有70％以上来源于视觉，图像的出现和发展已有数千年历史。在当今信息时代，随着计算机技术、现代通讯技术和信息处理技术的高速发展，人们对图像信息的需求越来越迫切，图像信息的处理、存储和传输在社会生活中的作用将越来越突出。

在数字图像处理领域，图像插值是一类常见的重要问题。图像插值是高清数字电视、计算机视觉、图像视频处理、计算机动画、数字电影中的关键技术。在数字家庭和数字电视产业领域中，图像插值作为高清大尺寸平板电视显示的关键技术，能够用来实现基于高清媒体适配器的图像任意倍缩放，解决画面模糊、分辨率变化的显示问题，从而有利于充分发挥平板显示的优势。目前，用户市场对大屏幕数字电视的需求在不断增长。图像插值是数字电视大尺寸、高清化显示中的关键技术，已经受到人们日益广泛的关注。

传统插值方法(最近邻域插值、双线性插值、样条插值等)对高频信息具有抑制和平滑作用，在插值过程中不可避免地会丢失一些重要的高频信息和边缘纹理特征。然而，所有这些边缘纹理特征却包含了图像中主要的细节和信息，因此，传统插值方法获得的图像在视觉效果上会有一定的模糊和平滑效果。

ENO(Essentially Non-Oscillatory，基本无振荡)是由Ami Harten等人于1987年提出的，当时被用于计算流体力学的研究。ENO是一种利用节点模板的选择、扩展，来达到高分辨率的数值方法。ENO方法由于具有一致高阶精度和基本无振荡的性质而受到人们的重视，并逐步在图像插值领域得到应用。ENO图像插值方法采用自适应模板技术，根据原始图像的数据信息，从待插值点的邻近像素中提取出某些局部特征，在所有可能的插值模板(构造插值函数所需的节点的集合称为模板)中自适应地选取最光滑的模板，根据该模板相应的离散点来构造分段光滑的高阶多项式，获得高阶精度，同时保证在间断附近具有基本无振荡性质。

ENO方法的关键特征是自适应模板高阶插值，尽量避免震动点或高梯度区域。建立数据的近似多项式，使振荡最小化，一般要尽量避免穿过间断点。使用ENO插值方法进行离散一维或二维数据的分段光滑插值，根据局部光滑性来自适应地选择模板，构造分段光滑的高阶多项式，能产生非常好的数值结果：在震动点处不振荡，保持尖锐性，在数据光滑区域获得高阶精确度。用ENO插值方法进行离散一维或二维数据的分段光滑插值，间断点处不会模糊。

为了得到点x_j和x_j+1之间的近似多项式，开始时先用1阶多项式对点x_j和x_j+1进行插值；然后构造2阶多项式，要增加点x_j-1或者x_j+2，选择二者中能产生更平滑的曲线的点；如此类推，插值多项式每增加1阶(即获得更高1阶的插值)，就要新增1个点到模板点集中，这个新增点是从两个与模板最近的邻点中选择的，要选取能产生更平滑的曲线的点。给定分段光滑函数f(x)在离散点x_j处的点值f(x_j)，j＝0，±1，±2，...，可以求得与各段区间[x_j，x_j+1]相对应的n阶插值多项式P_j+1/2 ^f，n(x)。

利用Newton插值公式实现ENO插值方法的主要步骤如下：

1)先用1阶多项式P_j+1/2 ^f，1(x)对区间[x_j，x_j+1]进行插值，初始化模板中最左边的点的下标S_min ^(1，j)：

$P_{j+1/2}^{f,1}\left(x\right)=f\left[x_j\right]+f[x_j,x_{j+1}](x-x_j)---\left(1\right)$

$S_{\min }^{(1,j)}=j---\left(2\right)$

2)当S_min ^(n-1，j)和P_j+1/2 ^f，n-1(x)都被定义好后，则

$P_{j+1/2}^{f,n}\left(x\right)=P_{j+1/2}^{f,n-1}\left(x\right)+c^{\left(n\right)}\underset{t=S_{\min }^{(n-1,j)}}{\overset{S_{\min }^{(n-1,j)}+n-1}{\mathrm{\Π}}}(x-x_t)---\left(3\right)$

其中，

$a^{\left(n\right)}=f[x_{S_{\min }^{(n-1,j)}},...,x_{S_{\min }^{(n-1,j)}+n}]---\left(6\right)$

$b^{\left(n\right)}=f[x_{S_{\min }^{(n-1,j)}-1},...,x_{S_{\min }^{(n-1,j)}+n-1}]---\left(7\right)$

在上述步骤中，为了得到x_i和x_j+1之间的近似多项式，开始时先用1阶多项式对[x_j，x_j+1]进行插值；然后构造2阶多项式，要增加点x_j-1或者x_j+2，选择二者中能产生更平滑的曲线的点；如此类推，插值多项式每增加1阶(即获得更高1阶的插值)，就要新增1个点到模板点集中，这个新增点是从两个与模板最近的邻点中选择的，要选取能产生更平滑的曲线的点。给定分段光滑函数f(x)在x_j处的点值f(x_j)，j＝0，±1，±2，...，n阶多项式P_j+1/2 ^f，n(x)与各段区间[x_j，x_j+1]相对应，相应的模板中最左边的点的下标是S_min ^(n，j)。

公式(1)获得1阶插值多项式，公式(2)将最初的模板点集中最左边的点设置为x_j。得到n-1阶插值多项式和相应的模板点集后，通过公式(3)可以得到n阶插值多项式。公式(5)表示模板的选择方法。数据光滑性通过标准牛顿差商f[·]来体现，差商的绝对值越小表示越光滑。|a⁽ⁿ⁾|体现了向右扩展节点而得到的新模板的光滑性，|b⁽ⁿ⁾|体现了向左扩展节点而得到的新模板的光滑性，公式(5)通过比较|a⁽ⁿ⁾|和|b⁽ⁿ⁾|的大小，选择绝对值更小的差商对应的节点到模板点集中。

公式(6)和(7)中标准牛顿差商f[·]的定义如下：

$\left\{\begin{array}{c}f\left[x_j\right]=f\left(x_j\right)\\ f[x_j,...,x_{j+k}]=\frac{f[x_{j+1},...,x_{j+k}]-f[x_j,...,x_{j+k-1}]}{x_{j+k}-x_j}\end{array}\right.$

ENO方法具有一致高阶精度和基本无振荡的性质，将其应用于图像插值领域，可以有效地解决光滑数据区和奇异点(间断点)邻近区间的插值问题，插值后数据点之间不会出现多余的振荡和抖动现象。但是，在包含奇异点的图像边缘区间内，ENO无法有效地表达和插值奇异点。为了解决ENO插值没处理好的图像边缘区间的插值问题，本发明提出了一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，针对ENO方法没处理好的图像边缘区间的插值问题，提出一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法，根据奇异点的位置将边缘区间分成两部分，分别使用左右相邻区间的插值多项式来进行外插。该方法可有效克服传统插值方法(如双线性插值，样条插值)引起的平滑效应，从而更好地保持图像细节，改善图像边缘模糊现象，提高图像质量。

图像边缘是图像局部特性不连续性的反映，蕴含了最为丰富的内在信息。人眼对图像边缘处像素值的骤变特别敏感，进行图像插值时，如果能保护好图像的边缘细节信息，就能使图像的视觉效果更好。传统的插值方法(如双线性插值和双三次插值)侧重于保持图像的平滑，会退化图像的高频部分，处理复杂图像中剧烈跳变的局部细节特征不够理想，常常导致图像边缘的模糊。

虽然ENO插值方法有效地解决了光滑数据区和奇异点(间断点)邻近区间的插值问题，插值后数据点之间不会出现多余的振荡和抖动现象。但是，在包含奇异点的边缘区间内，ENO无法有效地表达和插值奇异点。为了更好地保持图像边缘特征，有必要对ENO插值方法进行改进。改进方法涉及两个问题：怎样检测出包含奇异点的边缘区间？怎样对包含奇异点的边缘区间进行插值？

本发明所述的外插法改进的基于ENO的图像插值方法的步骤描述如下：

1)检测当前待插值区间[x_j，x_j+1]是否为边缘区间，即是否包含奇异点。

根据ENO插值方法，可以检测出包含奇异点的图像边缘区间。首先明确两个假设：曲线是分段光滑的，相邻数据点之间的曲线不振荡，奇异点两边的曲线是光滑的；曲线上的奇异点数目是有限的，两个奇异点之间至少间隔一个区间，也就是说，包含了奇异点的边缘区间的左右相邻区间都是光滑的。

在满足以上两个假设的前提下，可以得到确定奇异点位置的方法。在光滑区间，数据的变化率很小；而在包含奇异点的边缘区间，数据的变化率很大。构造ENO插值多项式的时候，要在两个连续数据点集中选择具有较小变化率的那个点集作为最光滑模板。如果边缘区间的左相邻区间的某个模板中包含了边缘区间的最右端点，则该模板的数据变化率会很大，就不是最光滑模板，也就是说，边缘区间的左相邻区间对应的插值模板(最光滑模板)中不包含边缘区间的最右端点。同理，边缘区间的右相邻区间对应的插值模板(最光滑模板)中不包含边缘区间的最左端点。因此，边缘区间的左右相邻区间分别对应的两个最光滑模板的交集为空集。利用这个特征，可以判断某个区间内是否存在奇异点，即可以检测出当前待插值区间是否边缘区间。

2)若待插值区间[x_j，x_j+1]不是边缘区间，则使用ENO插值方法对该区间进行插值。

为了得到待插值区间[x_j，x_j+1]的ENO近似多项式，开始时先用1阶多项式对[x_j，x_j+1]进行插值；然后构造2阶多项式，要增加点x_j-1或者x_j+2，选择二者中能产生更平滑的曲线的点；如此类推，插值多项式每增加1阶(即获得更高1阶的插值)，就要新增1个点到模板点集中，这个新增点是从两个与模板最近的邻点中选择的，要选取能产生更平滑的曲线的点。数据光滑性通过标准牛顿差商f[·]来体现，差商的绝对值越小表示越光滑。假设|a⁽ⁿ⁾|体现了向右扩展节点而得到的新模板的光滑性，|b⁽ⁿ⁾|体现了向左扩展节点而得到的新模板的光滑性，通过比较|a⁽ⁿ⁾|和b|⁽ⁿ⁾|的大小，选择绝对值更小的差商对应的节点到模板点集中。

首先将最初的模板点集中最左边的点初始化为x_j，用1阶多项式对[x_j，x_j+1]进行插值。然后根据k-1阶插值多项式和相应的模板点集，通过ENO方法可以得到k阶插值多项式和相应的模板点集。如此递推，直到获得所需要的n阶插值多项式。

3)若待插值区间是边缘区间，则使用外插法对该边缘区间进行插值。

根据ENO方法的自适应模板选择结果，检测出图像边缘区间后，下一个需要解决的问题就是：怎样对包含奇异点的边缘区间进行插值？本发明针对ENO方法没能处理好的图像边缘区间的插值问题，提出了使用外插法来改进，根据奇异点的位置将边缘区间分成两部分，分别使用左右相邻区间的插值多项式来进行插值。

设已知某个函数关系y＝f(x)在一系列相异点x_i处的函数值为y_i＝f(x_i)，i＝0，1，...，n。插值的目的是寻求一个便于计算的函数

去近似f(x)，使得

i＝0，1，...，n。对于待插值点x≠x_i(i＝0，1，...，n)，可以将

看成y＝f(x)的近似值。当x在给定点x₀，x₁，...，x_n之间时，插值方法称为内插法。而当x在给定点x₀，x₁，...，x_n之外时，若仍以插值函数

在x处的值近似地代替f(x)，则称这种近似计算函数值的方法为外插法。本发明提出的改进方法是运用外插法来对边缘区间进行插值，而非边缘区间仍然采用ENO插值方法。

若曲线是分段光滑的，则边缘区间的奇异点的位置应该满足条件：使边缘区间的左右端点处的曲线方向或者曲率不出现间断情况。根据这个约束条件，利用待插值边缘区间的左右相邻区间的插值多项式进行外插，可以近似认为这两个插值多项式在边缘区间上的交点位置就是奇异点的位置。根据奇异点的位置，可以将待插值边缘区间分成两部分，在待插值边缘区间的左端点到奇异点之间，用左相邻区间的插值多项式来进行外插，在奇异点到待插值边缘区间的右端点之间，用右相邻区间的插值多项式来进行外插。

未改进的ENO方法插值边缘区间AB时，端点A和B处的曲线方向和曲率的左极限和右极限是不相等的，即A和B这两个端点都是间断点。用外插法改进ENO插值方法时，利用待插值边缘区间AB的左右相邻区间的插值多项式进行外插，引入这两个插值多项式在边缘区间上的交点C，使A和B两个端点处的曲线方向和曲率连续。可见，未改进的ENO方法插值得到的边缘区间比较平滑，而用外插法改进的ENO插值方法有利于保持边缘的尖锐细节信息。

外插改进法中，如果利用待插值边缘区间的左右相邻区间的两个插值多项式的方程来求解交点，那么计算复杂度会很高。其实边缘区间外插法并不是必须知道交点的准确位置，只要能判断待插值点在交点左边还是在交点右边就可以了，如果待插值点在交点左边，则用左相邻区间的插值多项式来插值，如果待插值点在交点右边，则用右相邻区间的插值多项式来插值。

假设[i，i+1]为包含奇异点的待插值边缘区间，其左相邻区间[i-1，i]的插值多项式曲线函数是P_i-1(x)，右相邻区间[i+1，i+2]的插值多项式曲线函数是P_i+1(x)，ξ是P_i-1(x)与P_i+1(x)在边缘区间上的交点，η是边缘区间(i，i+1)上的待插值点。设D_i＝P_i+1-P_i-1，通过对比D_i(η)和D_i(i+1)的符号，可以判断P_i+1(x)和P_i-1(x)在[η，i+1]上有没有交点，从而判断待插值点η在交点ξ的左边还是右边。若D_i(η)与D_i(i+1)异号，即D_i(η)×D_i(i+1)＝(P_i+1(η)-P_i-1(η)×(P_i+1(i+1)-P_i-1(i+1))＜0，则P_i+1(x)和P_i-1(x)在[η，i+1]上有交点，待插值点η在交点ξ的左边，应该用左相邻区间[i-1，i]的插值多项式来外插η点。若D_i(η)与D_i(i+1)同号，即D_i(η)×D_i(i+1)＝(P_i+1(η)-P_i-1(η))×(P_i+1(i+1)-P_i-1(i+1))＞0，则P_i+1(x)和P_i-1(x)在[η，i+1]上无交点，待插值点η在交点ξ的右边，应该用右相邻区间[i+1，i+2]的插值多项式来外插η点。若D_i(η)×D_i(i+1)＝(P_i+1(η)-P_i-1(η))×(P_i+1(i+1)-P_i-1(i+1))＝＝0，则P_i+1(x)和P_i-1(x)的交点是η或者i+1，可以用左相邻区间[i-1，i]的插值多项式来外插η点。

外插法无法保证插值后数据的数值范围与原始图像的数值范围相同，对于灰度图像来说，边缘区间的外插法插值结果有可能出现像素灰度值的大小不在[0，255]的范围内，对于这种情况，必须进行处理。如果插值后灰度值小于0，则取值为0；如果插值后灰度值大于255，则取值为255。在少数特殊情况下，左右相邻区间的插值多项式在待插值边缘区间上可能没有交点，此时，不适用外插法，仍然使用ENO方法来插值该边缘区间。

4)对每一个待插值区间[x_j，x_j+1]，按照步骤1)至步骤3)进行插值，可以得到一维数据的插值结果。分别对图像矩阵的行和列进行一维插值，就可以得到图像插值结果。

目前，基于ENO的图像插值方法大多是采用一维插值方法的张量积形式，将一幅W×H图像的宽度和高度都放大s倍的步骤是：首先用一维插值方法对所有行进行插值，获得sW×H的图像矩阵，再对这个矩阵的所有列用一维插值方法进行插值，获得sW×sH的图像矩阵。

ENO插值方法无法有效地表达和插值边缘区间的奇异点，而用外插法改进后的ENO插值方法可以捕获和插值边缘区间的奇异点，更有利于保持边缘的尖锐细节信息。实验结果表明，在像素灰度值变化明显的区域，即梯度较陡的区域，外插法改进的ENO张量积插值方法可较好地保持原始图像的梯度，插值得到的图像细节比较清晰。相对于传统插值方法(最近邻域插值、双线性插值)和改进前的ENO张量积方法来说，用外插法改进的ENO张量积插值方法得到的图像细节比较清晰，视觉效果较好，能够改善边缘模糊现象，提高图像质量。

本发明的技术特点主要体现如下：

1、本发明针对ENO方法没处理好的图像边缘区间的插值问题，用外插法进行了改进，根据ENO方法的模板选择结果，可以检测出包含奇异点的边缘区间，使用外插法来对边缘区间进行插值，根据待插值边缘区间的左右相邻区间的插值多项式的交点位置，将包含奇异点的边缘区间分成两部分，在待插值边缘区间的左端点到奇异点之间，用左相邻区间的插值多项式来进行插值，在奇异点到待插值边缘区间的右端点之间，用右相邻区间的插值多项式来进行插值。对非边缘区间，使用ENO插值方法进行插值。改进后的方法有利于保持图像边缘的尖锐细节信息，改善图像边缘模糊现象，提高图像质量。

2、本发明方法可以实现任意倍数的图像插值，也能对彩色图像进行插值，从而能够较好地满足实际应用的需求。

附图说明

图1是用本发明方法进行一维插值的基本流程图；

图2是外插法对图像边缘区间进行插值的方法；

图3是用外插法对边缘区间进行插值时，待插值边缘区间的左右相邻区间的插值多项式的交点与待插值点的相对位置判断方法；

图4是外插法改进前和改进后的2阶ENO方法的一维插值结果对比；

图5是各插值方法对灰度图像alumgrns的插值结果，其中：(a)原始图像；(b)最近邻域插值结果；(c)双线性插值结果；(d)2阶ENO张量积插值结果；(e)用外插法改进的2阶ENO张量积插值结果。

图6是各插值方法对彩色图像(奥运福娃迎迎)的插值结果，其中：(a)原始图像；(b)最近邻域插值结果；(c)双线性插值结果；(d)2阶ENO张量积插值结果；(e)外插法改进的2阶ENO张量积插值结果。

具体实施方式

下面结合附图进一步阐述本发明的具体实施方式。本发明提出的一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法的基本流程如附图1所示，用外插法改进的2阶ENO张量积插值方法的实现步骤如下：

1)检测当前待插值区间[x_j，x_j+1]是否边缘区间，即是否包含奇异点。边缘区间的左右相邻区间分别对应的两个最光滑模板的交集为空集。利用这个特征，可以判断某个区间内是否存在奇异点，即可以检测出当前待插值区间是否边缘区间。

2)若待插值区间[x_j，x_j+1]不是边缘区间，则使用2阶ENO插值方法对该区间进行插值。

首先，用1阶多项式P_j+1/2 ^f，1(x)对区间[x_j，x_j+1]进行插值，初始化模板中最左边的点的下标S_min ^(1，j)：

$P_{j+1/2}^{f,1}\left(x\right)=f\left[x_j\right]+f[x_j,x_{j+1}](x-x_j)$

$S_{\min }^{(1,j)}=j$

然后，计算区间[x_j，x_j+1]的2阶插值多项式P_j+1/2 ^f，2(x)：

$P_{j+1/2}^{f,2}\left(x\right)=P_{j+1/2}^{f,1}\left(x\right)+c^{\left(n\right)}\underset{t=S_{\min }^{(1,j)}}{\overset{S_{\min }^{(1,j)}+1}{\mathrm{\Π}}}(x-x_t)$

其中，

$a^{\left(2\right)}=f[x_{S_{\min }^{(1,j)}},...,x_{S_{\min }^{(1,j)}+2}]$

$b^{\left(2\right)}=f[x_{S_{\min }^{(1,j)}-1},...,x_{S_{\min }^{(1,j)}+1}]$

3)若待插值区间[x_j，x_j+1]是边缘区间，则使用外插法对该边缘区间进行插值。根据奇异点的位置，可以将待插值边缘区间分成两部分，在待插值边缘区间的左端点到奇异点之间，用左相邻区间的插值多项式来进行外插，在奇异点到待插值边缘区间的右端点之间，用右相邻区间的插值多项式来进行外插。

图2中，左图是未改进的ENO方法的插值情况，右图是用外插法改进的ENO方法的插值情况，由图2可见，未改进的ENO方法插值得到的边缘区间比较平滑，而用外插法改进的ENO插值方法有利于保持边缘的尖锐细节信息。

外插改进法中，如果利用待插值边缘区间的左右相邻区间的两个插值多项式的方程来求解交点，那么计算复杂度会很高。其实边缘区间外插法并不是必须知道交点的准确位置，只要能判断待插值点在交点左边还是在交点右边就可以了。

如图3所示，[i，i+1]为包含奇异点的待插值边缘区间，其左相邻区间[i-1，i]的插值多项式曲线函数是P_i-1(x)，右相邻区间[i+1，i+2]的插值多项式曲线函数是P_i+1(x)，ξ是P_i-1(x)与P_i+1(x)在边缘区间上的交点，η是边缘区间(i，i+1)上的待插值点。设D_i＝P_i+1-P_i-1，通过对比D_i(η)和D_i(i+1)的符号，可以判断P_i+1(x)和P_i-1(x)在[η，i+1]上有没有交点，从而判断待插值点η在交点ξ的左边还是右边。若D_i(η)与D_i(i+1)异号，即D_i(η)×D_i(i+1)＝(P_i+1(η)-P_i-1(η))×(P_i+1(i+1)-P_i-1(i+1))＜0，则P_i+1(x)和P_i-1(x)在[η，i+1]上有交点，待插值点η在交点ξ的左边，应该用左相邻区间[i-1，i]的插值多项式来外插η点。若D_i(η)与D_i(i+1)同号，即D_i(η)×D_i(i+1)＝(P_i+1(η)-P_i-1(η))×(P_i+1(i+1)-P_i-1(i+1))＞0，则P_i+1(x)和P_i-1(x)在[η，i+1]上无交点，待插值点η在交点ξ的右边，应该用右相邻区间[i+1，i+2]的插值多项式来外插η点。若D_i(η)×D_i(i+1)＝(P_i+1(η)-P_i-1(η))×(P_i+1(i+1)-P_i-1(i+1))＝＝0，则P_i+1(x)和P_i-1(x)的交点是η或者i+1，可以用左相邻区间[i-1，i]的插值多项式来外插η点。

4)对每一个待插值区间[x_j，x_j+1]，按照步骤1)至步骤3)进行插值，可以得到一维数据的插值结果。分别对图像矩阵的行和列进行一维插值，就可以得到图像插值结果。

图4是2阶ENO插值方法和外插法改进的2阶ENO插值方法的一维插值实验结果对比情况。其中，第1列是原始数据点，第2列是2阶ENO插值结果，第3列是外插法改进的2阶ENO插值结果。第1行的原始数据是光滑的，没有奇异点，此时2阶ENO插值结果和外插法改进的2阶ENO插值结果是相同的。第2行和第3行的原始数据中存在边缘区间，由图4可见，2阶ENO插值方法无法有效地表达和插值边缘区间的奇异点，而用外插法改进后的2阶ENO插值方法可以捕获和插值边缘区间的奇异点。实验结果表明，与改进前相对比，用外插法改进的ENO插值方法更有利于保持边缘的尖锐细节信息。

为了验证图像插值方法的效果，需要进行图像插值实验。假设原始图像分辨率为2N×2M，首先进行重采样(隔行隔列抽取数据点)来获得N×M的低分辨率图像，然后用不同的插值方法对低分辨率图像进行插值，使插值后获得的图像分辨率为2N×2M，即与原始图像分辨率一样。用最近邻域插值、双线性插值、2阶ENO张量积插值、外插法改进的2阶ENO张量积插值方法对图像alumgrns进行插值实验，其实验结果如图5所示。

将原始图像视为无失真的图像，将插值获得的图像视为有失真的图像，则可计算得到各种方法插值后的均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)。均方差MSE(Mean Squared Error)和峰值信噪比PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)的计算方法如下：

$\mathrm{MSE}=\frac{\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{[X(j,k)-Y(j,k)]}^2}{M\×N}$

其中，X(j，k)是原始图像在位置(j，k)处的像素灰度值，Y(j，k)是插值后图像在位置(j，k)处的像素灰度值，M×N为原始图像大小。

$\mathrm{PSNR}=10\×{\log }_{10}\left(\frac{{255}^2}{\mathrm{MSE}}\right)\mathrm{dB}$

利用各种插值方法对图像alumgrns进行插值后，计算得到的均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)如表1所示：

表1各方法插值结果的MSE和PSNR对比(图像alumgrns)

从图5可以看出，在像素灰度值变化明显的区域，即梯度较陡的区域，外插法改进的ENO张量积插值方法可较好地保持原始图像的梯度，插值得到的图像细节比较清晰。相对于传统插值方法(最近邻域插值、双线性插值)和改进前的ENO张量积方法来说，用外插法改进的ENO张量积插值方法更有利于保持图像边缘的尖锐细节信息，能够改善边缘模糊现象。

从表1可以看出，相对于传统插值方法(最近邻域插值、双线性插值)来说，用外插法改进的ENO张量积方法插值后图像的均方差有所降低，峰值信噪比有所提高。峰值信噪比PSNR反映了插值得到的图像与原始图像相符合的程度，它是一种比较接近人眼视觉效果的客观评价标准。一般情况下，MSE越小，PSNR越大，说明图像质量越高。

本发明方法可以实现任意倍数的图像插值，也能对彩色图像进行插值，从而能够较好地满足实际应用的需求。彩色图像可以分成R、G、B三个分量上的灰度图像，常用的对彩色图像的插值方法首先对其三个分量上的灰度图像分别进行插值，然后合成为彩色图像。

图6是各种插值方法对彩色图像(奥运福娃迎迎)的插值结果，原始图像分辨率为80×120，插值得到的图像分辨率为176×204，放大倍数为2.2×1.7。

从图6可以看出，相对于传统插值方法(最近邻域插值、双线性插值)和改进前的ENO张量积方法来说，用本发明方法进行任意倍数插值，得到的图像细节比较清晰，视觉效果较好。

Claims (4)

1.一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法，其特征在于它的主要步骤包括：

(1)检测当前待插值区间是否为边缘区间，即是否包含奇异点；

(2)若待插值区间不是边缘区间，则使用ENO插值方法对该区间进行插值；

(3)若待插值区间是边缘区间，则使用外插法对该边缘区间进行插值，所述外插法包括：根据待插值边缘区间的左右相邻区间的插值多项式的交点位置，将包含奇异点的边缘区间分成两部分，在待插值边缘区间的左端点到上述交点之间，用左相邻区间的插值多项式来进行插值，在上述交点到待插值边缘区间的右端点之间，用右相邻区间的插值多项式来进行插值；

(4)对每一个待插值区间，按照步骤(1)至步骤(3)进行插值，得到一维数据的插值结果，分别对图像矩阵的行和列进行一维插值，得到图像插值结果。

2.根据权利要求1所述的一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法，其特征在于所述的步骤(1)中根据ENO方法的模板选择结果，检测某个区间内是否存在奇异点；边缘区间的左右相邻区间分别对应的两个最光滑模板的交集为空集，利用这个特征检测当前待插值区间是否为包含奇异点的边缘区间。

3.根据权利要求1所述的一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法，其特征在于所述的步骤(2)中利用Newton插值公式实现ENO插值方法，为了得到待插值区间[x_j，x_j+1]的ENO近似多项式，开始时先用1阶多项式对[x_j，x_j+1]进行插值；然后构造2阶多项式，要增加点x_j-1或者x_j+2，选择二者中能产生更平滑的曲线的点；如此类推，插值多项式每增加1阶，就要新增1个点到模板点集中，这个新增点是从两个与模板最近的邻点中选择的，要选取能产生更平滑的曲线的点；数据光滑性通过标准牛顿差商f[·]来体现，差商的绝对值越小表示越光滑。

4.根据权利要求1所述的一种外插法改进的基于ENO的图像插值方法，其特征在于通过边缘区间的外插法判断待插值点在交点左边还是在交点右边。

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