CN101251413A - 采用边界元法重建循环平稳声源的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及的是一种信号重建技术领域的采用边界元法重建循环平稳声源的方法。本发明通过设置待测声源、传声器阵列和参考源传声器，同步记录采集到的参考信号和全息测点声压，通过从参考信号中获取参考相位，利用参考信号与全息测点声压之间的相位关系，得到传声器阵列所采集到的全息测点声压的相对相位关系最终由边界元法重建计算获得待测声源信号的自谱相关密度向量。本发明通过对用传声器阵列采集得到的全息测量面上声源信号的重建，可以分析任意外形的声源，得到声源的三维谱相关密度分布，与传统的采用近场声全息技术辨识声源的方法相比较，本发明能够适用于循环平稳声源，同时突破了对声源外形的要求。

Description

采用边界元法重建循环平稳声源的方法

技术领域

本发明涉及的是一种信号重建技术领域的方法，特别是一种采用边界元法重建循环平稳声源的方法。

背景技术

为了有效地控制噪声，在降噪措施实施以前，必须首先进行噪声源诊断，确定各主要噪声源地位置及其特性。随着现代信号处理技术地发展，谱分析技术，相干和偏相干分析技术、声强分析技术以及声近场全息技术等得到了迅速地发展。

循环平稳信号是一类特殊的非平稳信号，由于自身独特的周期平稳性，使得单次采集到的记录具有周期遍历特性，增加了分析这类非平稳信号方法。循环平稳信号在工程应用中有着十分重要的现实意义，例如旋转机械设备由于对称或近似对称的物理结构和周期性的工作运动模式，其声源有明显的周期时变特征，声源信号具有循环平稳特性。

经对现有技术文献的检索发现，Veronesi W.，Maynard J.在《The Journalof the Acoustical Society of America》(85(1989)：588-598)上撰文“Digitalholographic reconstruction of sources with arbitrarily shaped surfaces”(《美国声学学会杂志》：适用于任意外形声源的数值全息重建)，该文提出利用常值边界元法实现对任意外形声源的近场声全息重建，该方法可以有效地分析噪声源的辐射特性，预测外部声辐射。后来，围绕着该项技术，展开了许多研究，包括应用环境，算法改进，精度提高，测量系统等。但是，所有工作都是基于平稳声场进行的，因此，有必要提出新的技术，用于非平稳声场的分析。然而，对于一般的非平稳声场，声信号的统计特性参量是时变的，因而也就无法再用时间平均来代替集合平均，使得数据采集十分困难，很难分析声场的特性。

现有技术文献中的中国专利公开号：1487500，名称为：“采用近场声全息技术辨识非平稳声源的方法”，该技术对于平面的循环平稳声源进行过分析，但是不能应用于任意外形。在进一步检索中，尚未发现与本发明主题相同或者相类似的文献报道。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种采用边界元法重建循环平稳声源的方法，本发明通过循环平稳声源的近场全息重建，由全息测量面上测量到的声压信号辨识出噪声源的特性和三维声源分布，适用于任意外形的循环平稳声源。

本发明通过以下技术方案实现，本发明在多个声源产生的复杂循环平稳声源的场合，采用循环平稳理论替代传统的傅立叶变换技术，选择谱相关密度函数作为声源重建的物理量，提出了用于分析循环平稳声源的近场全息技术，首先布置参考传声器，提取参考信号；再布置传声器阵列对全息测量面进行扫描测量，采集全息测量面数据；然后，利用基于边界元法的循环平稳近场全息技术，重建得到声源的三维分布。

本发明具体包括以下步骤：

第一步、设置待测声源表面为S_s，源面S_s可以是任意形状，全息测量面S_h与待测声源表面S_s共形，但为测量方便也可以是S_s附近的一个任意面。

第二步、布置传声器阵列，在全息测量面S_h上采用线形均布方式设置传声器阵列，以便采集待测声源的高频信息；另外在声源附近布置一个相对于声源位置固定不变的参考源传声器用以采集参考信号；传声器阵列所含传声器总数为Q。

第三步、同步记录参考源传声器和传声器列阵采集到的参考信号和全息测点声压，并用空间定位仪确定传声器列阵中每个传声器的空间位置，一并存储在存储设备中。

第四步、从参考信号中获取参考相位，利用参考信号与全息测点声压之间的相位关系，可以得到传声器阵列所采集到的全息测点声压的相对相位关系。具体如下：

首先分析全息测点声压和参考信号，参考信号的谱相关密度函数定义为：

                     S_rr ^α(f)，

其中f为声源特性的频率，上标α为循环频率，下标r代表参考信号，rr代表参考信号的谱相关密度函数，即自谱相关密度函数。

然后计算出参考信号和全息测点声压的互谱相关密度向量：

       (S_rp ^α(r_h，f))_Q×1及(S_pr ^α(r_h，f))_Q×1，

其中：r_h表示传声器阵列上各个传声器的空间位置，Q为传声器阵列所含传声器总数，下标r代表参考信号，下标p代表全息测量信号，rp代表参考信号谱分量(f+α/2)与全息测点声压谱分量(f-α/2)的互谱相关密度函数，pr代表全息测点声压谱分量(f+α/2)与参考信号谱分量(f-α/2)的互谱相关密度函数；

结合参考信号的谱相关密度函数S_rr ^α(f)，获得全息测点声压的自谱相关密度向量：

                    (S_pp ^α(r_h，f))_Q×1，

其中：下标pp代表全息测点声压的谱相关密度函数；

最后得到式(1)：

${\left(S_{\mathrm{pp}}^{\mathrm{\α}}\left(f\right)\right)}_{Q\×1}={\left(S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}\left(f\right)\right)}_{Q\×1}\·{\left(S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}\left(f\right)\right)}_{Q\×1}/S_{\mathrm{rr}}^{\mathrm{\α}}\left(f\right)---\left(1\right)$

其中“·”表示点乘，该公式反映了参考信号和全息测点声压的时域相位关系，用于进行相位同步。

第五步、由边界元法重建计算获得待测声源信号的自谱相关密度向量。

设定待测声源表面S_s上N个节点发出的待测声源信号的自谱相关密度向量为：

                     (S_pp ^α(r_s，f))_N×1，

其中：r_s表示待测声源表面S_s上N个节点各自的空间位置，N为自然常数；

设定参考信号和待测声源信号的互谱相关密度向量为：

                 (S_rp ^α(r_s，f))_N×1及(S_pr ^α(r_s，f))_N×1，

由于传声器列阵上各个全息测点声压的空间相位关系的损失，S_pp ^α(r_s，f)无法直接由S_pp ^α(r_h，f)重建。但是，S_rp ^α(r_h，f)和S_pr ^α(r_h，f)仍然保留着空间相位关系，可以直接用于重建。

设定r(f)是参考信号的频谱分量，p(f)为全息测点声压的频谱分量，v(f)为待测声源表面S_s上N个节点法向振速的频谱分量，则

S_rp ^α(r_h，f)为r(f+α/2)和p^*(f-α/2)的函数；

S_pr ^α(r_h，f)为p(f+α/2)和r^*(f-α/2)的函数；

其中：S_rp ^α(r_h，f)及S_pr ^α(r_h，f)为参考信号和全息测点声压的互谱相关密度向量；

V_rp ^α(r_s，f)为r(f+α/2)和v^*(f-α/2)的函数；

V_pr ^α(r_s，f)为v(f+α/2)和r^*(f-α/2)的函数；

其中：上标*为共轭转置，V_rp ^α(r_s，f)及V_pr ^α(r_s，f)为参考信号和表面节点法向速度的互谱相关密度向量，S_rp ^α(r_s，f)和V_rp ^α(r_s，f)应该由S_rp ^α(r_h，f)在频率(f-α/2)上重建得到，而S_pr ^α(r_s，f)和V_pr ^α(r_s，f)应该由S_pr ^α(r_h，f)在频率(f+α/2)上重建得到。

因此，可以得到如下以互谱相关密度作为变量的Helmholtz公式(2)-(3)：

${\mathrm{CS}}_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_h,f)={{\∫}_{S_s}S}_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\·\frac{\∂}{\∂n_s}G(r_h,r_s,f+\mathrm{\α}/2)$

$-V_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\·j2\mathrm{\π\ρ}(f+\mathrm{\α}/2)G(r_h,r_s,f+\mathrm{\α}/2)d{S}_s---\left(2\right)$

${{\mathrm{CS}}_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_h,f)={\∫}_{S_s}{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\·\left[\frac{\∂}{\∂n_s}G(r_h,r_s,f-\mathrm{\α}/2)\right]$

$-{V_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\·\left[j2\mathrm{\π\ρ}(f-\mathrm{\α}/2)G(r_h,r_s,f-\mathrm{\α}/2)\right]d{S}_s---\left(3\right)$

其中：G(r_h，r_s，f-α/2)和G(r_h，r_s，f+α/2)是Green函数，ρ表示介质密度，C是和测点所处位置相关的系数。

利用边界元法，将式(2)和(3)离散为矩阵形式：

$\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_h,f)\right\}=\left[D_{\mathrm{hs}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}-\left[M_{\mathrm{hs}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{V_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}---\left(4\right)$

$\left\{{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_h,f)\right\}=\left[D_{\mathrm{hs}}(f-\mathrm{\α}/2)\right]\left\{{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}-\left[M_{\mathrm{hs}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{{V_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}---\left(5\right)$

其中：D_hs和M_hs是系数C＝1时，全息测量面为S_h到待测声源表面S_s的传递矩阵。

利用待测声源表面S_s的互谱相关密度Helmholtz公式作为限制方程，也可以得到一对离散的矩阵方程：

$C\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}=\left[D_{\mathrm{ss}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}-\left[M_{\mathrm{ss}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{V_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}---\left(6\right)$

$C\left\{{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}=\left[D_{\mathrm{ss}}(f-\mathrm{\α}/2)\right]\left\{{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}-\left[M_{\mathrm{ss}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{{V_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}---\left(7\right)$

从方程(4)和(6)可以得到：

$\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_h,f)\right\}=[D_{\mathrm{hs}}^{+}-M_{\mathrm{hs}}^{+}{\left(M_{\mathrm{ss}}^{+}\right)}^{-1}{\stackrel{\‾}{D}}_{\mathrm{ss}}^{+}]\·\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}=\left[G_p^{+}\right]\·\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}---\left(8\right)$

其中 ${\stackrel{\‾}{D}}_{\mathrm{ss}}^{+}=(D_{\mathrm{ss}}^{+}-\mathrm{CI}),$ I是单位矩阵，“+”表示传递矩阵D_hs和M_hs的频率是(f+α/2)，[G_p ⁺]代表

从方程(5)和(7)可以得到：

${\left\{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}(r_h,f)\right\}}^{*}=[D_{\mathrm{hs}}^{-}-M_{\mathrm{hs}}^{-}{\left(M_{\mathrm{ss}}^{-}\right)}^{-1}{\stackrel{\‾}{D}}_{\mathrm{ss}}^{-}]\·\{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f){\}}^{*}=[G_p^{-}]\·{\left\{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}}^{*}---\left(9\right)$

其中： ${\stackrel{\‾}{D}}_{\mathrm{ss}}^{-}=(D_{\mathrm{ss}}^{-}-\mathrm{CI}),$ I是单位矩阵，“-”表示传递矩阵D_hs和M_hs的频率是(f-α/2)，[G_p ^-]代表

从式(8)、(9)求逆计算得到参考信号和全息测点声压的互谱相关密度向量S_rp ^α(r_s，f)及S_pr ^α(r_s，f)，之后利用式(1)就可以得到待测声源表面S_s上的谱相关密度分布。

本发明利用循环平稳声源的独特的周期性，在循环平稳理论和平稳声源的近场全息技术的基础上，提出了循环平稳近场声全息技术，通过对用传声器阵列采集得到的全息测量面上声源信号的重建，可以分析任意外形的声源，得到声源的三维谱相关密度分布。与传统的采用近场声全息技术辨识声源的方法相比较，本发明能够适用于循环平稳声源，同时突破了对声源外形的要求。

具体实施方式

以下对本发明的实施例作详细说明：本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例：

1、采用一个扬声器发声形成一个循环平稳声源，在扬声器附近布置一个传声器，用于提取参考信号，所述扬声器的激励源为：

             V＝Acos(2πf₁t)*noise(t)，

其中：A＝1，f₁＝300，noise为带通有色噪声。

2、首先将20个传声器布置成线形传声器列阵，依次在全息测量面上进行扫描采集全息测点声压，最终形成20×20的全息测量面阵列；同时利用参考源传声器采集参考信号；每次同步采集全部20个传声器通道的声源信号以及参考信号并记录传声器的空间位置，同时存储在计算机中。

3、通过回放采集到的全息测点声压和参考信号，选取能够反映声源特性的频率f＝120Hz和循环频率α＝600Hz。

4、计算出所选择的频率f与循环频率α上的参考信号自谱相关密度向量S_rr ^α(f)，参考信号和全息测点声压的互谱相关密度向量S_rp ^α(r_h，f)及S_pr ^α(r_h，f)，并利用公式(1)获得全息测点声压的自谱相关密度向量S_pp ^α(r_h，f)。

5、利用循环平稳声场的近场全息重建公式进行声场重建，进而得到待测声源表面S_s上待测声源信号的谱相关密度分布S_pp ^α(r_s，f)。

经过分析可以发现，利用本实施例所述步骤分析循环平稳声场，不仅可以如平稳近场声全息技术那样由全息面上声信号经过重建得到整个三维声场的平稳分量信息，而且，还可以由全息面上声信号经过重建得到整个三维声场的循环平稳分量信息，从而全面地分析整个循环平稳声场的特征。

Claims (4)

1、一种采用边界元法重建平稳声源的方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步、设置待测声源表面为S_s，全息测量面为S_h，全息测量面S_h是待测声源表面S_s附近的一个任意面；

第二步、布置传声器阵列，在声源附近布置一个相对于声源位置固定不变的参考源传声器用以采集参考信号；

第三步、同步记录参考源传声器和传声器列阵采集到的参考信号和全息测点声压，并用空间定位仪确定传声器列阵中每个传声器的空间位置，一并存储在存储设备中；

第四步、从参考信号中获取参考相位，利用参考信号与全息测点声压之间的相位关系，得到传声器阵列所采集到的全息测点声压的相对相位关系；

第五步、由边界元法重建计算获得待测声源信号的自谱相关密度向量。

2、根据权利要求1所述的采用边界元法重建平稳声源的方法，其特征是，第二步中所述的布置传声器阵列，是在全息测量面S_h上采用线形均布方式设置传声器阵列。

3、根据权利要求1所述的采用边界元法重建平稳声源的方法，其特征是，第四步中所述的全息测点声压的相对相位关系，具体包括：

首先分析全息测点声压和参考信号，通过参考信号的谱相关密度函数：

                      S_rr ^α(f)，

其中：f为声源特性的频率，α为循环频率，下标r代表参考信号，rr代表参考信号的谱相关密度函数，即自谱相关密度函数；

然后计算出参考信号和全息测点声压的互谱相关密度向量：

          (S_rp ^α(r_h，f))_Q×1及(S_pr ^α(r_h，f))_Q×1，

其中：r_h表示传声器阵列上各个传声器的空间位置，Q为传声器阵列所含传声器总数，下标r代表参考信号，下标p代表全息测量信号，rp代表参考信号谱分量(f+α/2)与全息测点声压谱分量(f-α/2)的互谱相关密度函数，pr代表全息测点声压谱分量(f+α/2)与参考信号谱分量(f-α/2)的互谱相关密度函数；

结合参考信号的谱相关密度函数S_rr ^α(f)，获得全息测点声压的自谱相关密度向量：

                 (S_pp ^α(r_h，f))_Q×1，

其中：下标pp代表全息测点声压的谱相关密度函数；

最后得到： ${\left(S_{\mathrm{pp}}^{\mathrm{\α}}\left(f\right)\right)}_{Q\×1}={\left(S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}\left(f\right)\right)}_{Q\×1}\·{\left(S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}\left(f\right)\right)}_{Q\×1}/S_{\mathrm{rr}}^{\mathrm{\α}}\left(f\right)---\left(1\right)$

其中“·”符号表示提取矩阵的对角元素。

4、根据权利要求1所述的采用边界元法重建平稳声源的方法，其特征是，第五步中所述的重建计算，具体包括：

①设定待测声源表面S_s上N个节点发出的待测声源信号的自谱相关密度向量为：(S_pp ^α(r_s，f))_N×1，

其中：f为声源特性的频率，α为循环频率，r_s表示待测声源表面S_s上N个节点各自的空间位置，N为自然常数；

②设定参考信号和待测声源信号的互谱相关密度向量为：

             (S_rp ^α(r_s，f))_N×1及(S_pr ^α(r_s，f))_N×1，

③设定r(f)是参考信号的频谱分量，p(f)为全息测点声压的频谱分量，v(f)为待测声源表面S_s上N个节点法向振速的频谱分量，则

S_rp ^α(r_h，f)为r(f+α/2)和p^*(f-α/2)的函数；

S_pr ^α(r_h，f)为p(f+α/2)和r^*(f-α/2)的函数；

其中：S_rp ^α(r_h，f)及S_pr ^α(r_h，f)为参考信号和全息测点声压的互谱相关密度向量；

V_rp ^α(r_s，f)为r(f+α/2)和v^*(f-α/2)的函数；

V_pr ^α(r_s，f)为v(f+α/2)和r^*(f-α/2)的函数；

其中：上标*为共轭转置，V_rp ^α(r_s，f)及V_pr ^α(r_s，f)为参考信号和表面法向速度的互谱相关密度向量，S_rp ^α(r_s，f)和V_rp ^α(r_s，f)应该由S_rp ^α(r_h，f)在频率(f-α/2)上重建得到，而S_pr ^α(r_s，f)和V_pr ^α(r_s，f)应该由S_pr ^α(r_h，f)在频率(f+α/2)上重建得到；

④得到如下以互谱相关密度作为变量的Helmholtz公式(2)和(3)：

${\mathrm{CS}}_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_h,f)={\∫}_{S_S}{S}_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\·\frac{\∂}{\∂n_s}G(r_h,r_s,f+\mathrm{\α}/2)$

$-V_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\·j2\mathrm{\π\ρ}(f+\mathrm{\α}/2)G(r_h,r_s,f+\mathrm{\α}/2)d{S}_s---\left(2\right)$

${{\mathrm{CS}}_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_h,f)={\∫}_{S_s}{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\·\left[\frac{\∂}{\∂n_s}G(r_h,r_s,f-\mathrm{\α}/2)\right]$

$-{V_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\·\left[j2\mathrm{\π\ρ}(f-\mathrm{\α}/2)G(r_h,r_s,f-\mathrm{\α}/2)\right]d{S}_s---\left(3\right)$

其中：G(r_h，r_s，f-α/2)和G(r_h，r_s，f+α/2)是Green函数，ρ表示介质密度，C是和测点所处位置相关的系数；

⑤利用边界元法，将式(2)和(3)离散为矩阵形式：

$\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_h,f)\right\}=\left[D_{\mathrm{hs}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}-\left[M_{\mathrm{hs}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{V_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}---\left(4\right)$

$\left\{{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_h,f)\right\}=\left[D_{\mathrm{hs}}(f-\mathrm{\α}/2)\right]\left\{{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}-\left[M_{\mathrm{hs}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{{V_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}---\left(5\right)$

其中：D_hs和M_hs是当系数C＝1时，全息测量面为S_h到待测声源表面S_s的传递矩阵；

⑥利用待测声源表面S_s的互谱相关密度Helmholtz公式作为限制方程，也可以得到一对离散的矩阵方程：

$C\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}=\left[D_{\mathrm{ss}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}-\left[M_{\mathrm{ss}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{V_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}---\left(6\right)$

$C\left\{{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}=\left[D_{\mathrm{ss}}(f-\mathrm{\α}/2)\right]\left\{{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}-\left[M_{\mathrm{ss}}(f+\mathrm{\α}/2)\right]\left\{{V_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}}^{*}(r_s,f)\right\}---\left(7\right)$

从方程(4)和(6)可以得到：

$\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_h,f)\right\}=[D_{\mathrm{hs}}^{+}-M_{\mathrm{hs}}^{+}{\left(M_{\mathrm{ss}}^{+}\right)}^{-1}{\stackrel{\‾}{D}}_{\mathrm{ss}}^{+}]\·\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}=\left[G_p^{+}\right]\·\left\{S_{\mathrm{pr}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}---\left(8\right)$

其中 ${\stackrel{\‾}{D}}_{\mathrm{ss}}^{+}=(D_{\mathrm{ss}}^{+}-\mathrm{CI}),$ I是单位矩阵，“+”表示传递矩阵D_hs和M_hs的频率是f+α/2，[G_p ⁺]表示

从方程(5)和(7)可以得到：

${\left\{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}(r_h,f)\right\}}^{*}=[D_{\mathrm{hs}}^{-}-M_{\mathrm{hs}}^{-}{\left(M_{\mathrm{ss}}^{-}\right)}^{-1}{\stackrel{\‾}{D}}_{\mathrm{ss}}^{-}]\·\{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f){\}}^{*}=[G_p^{-}]\·{\left\{S_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{\α}}(r_s,f)\right\}}^{*}---\left(9\right)$

其中： ${\stackrel{\‾}{D}}_{\mathrm{ss}}^{-}=(D_{\mathrm{ss}}^{-}-\mathrm{CI}),$ I是单位矩阵，“-”表示传递矩阵D_hs和M_hs的频率是f-α/2，[G_p ^-]表示

从式(8)、(9)求逆计算得到参考信号和全息测点声压的互谱相关密度向量S_rp ^α(r_s，f)及S_pr ^α(r_s，f)，之后利用全息测点声压的相对相位关系就可以得到待测声源表面S_s上的谱相关密度分布。