CN100557640C - 一种交互式多视点三维模型重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种引入了用户交互式操作的三维重建算法，属于计算机多媒体技术领域。该方法为：用户利用多个摄像机，获得对物体的多个视点的二维图像I_i，提取出其轮廓图；计算机根据各摄像机几何参数和轮廓图，获取实际场景的可视化外壳模型，并将其转化为点云形式；提取各图像中的二维特征，优化出这些特征所对应的实际表面之模型的部分；用户将图像I_i划分出平滑度区域，及凹陷度区域；依据以上选出的各区域建立出不均匀的带权图，并采用求出图的最小割，并从中得出优化后的场景表面模型。该方法根据输入的对实际物体所拍摄的多视点图像和各图像所对应的摄像机参数，结合用户的辅助操作，能够以较快的速度高质量地重建出物体的三维模型。

Description

一种交互式多视点三维模型重建方法

技术领域

本发明属于计算机多媒体技术领域，特别涉及多视点三维重建方法。

背景技术

三维重建，即采用合适的数据结构，对现实世界中场景的表面的三维几何形态进行建模和表述的过程。三维重建技术，在娱乐，CAD，文物保护等多方面都将有很大的应用。在很长一段时期中，三维重建的实现主要借助于三维扫描仪等能够直接获得深度信息的工具，称之为扫描型三维重建。而仿照人类的视觉机能，人们也可以从物体多个视角的二维视图中，获得三维几何信息，从而同样达到三维重建的目的。以上这种依据多个二维视图所实现的三维重建，称之为多视点三维重建。由于多视点三维重建主要依赖于二维视图，所以其实现仅仅需要常见而相对廉价的二维图像采集设备，如数码相机等，因此对于实际应用来说，多视点三维重建技术具有低成本和易推广的优势。虽然早期的多视点三维重建技术在重建质量上大大劣于扫描型三维重建技术，但随着计算机视觉技术的发展，两者在重建质量上的差距已经越来越小。但由于计算机数据处理和存储能力的限制，及网络传输带宽的限制，当前的多视点三维重建技术在重建速度上，仍然明显落后于扫描型三维重建。所以，在当前的发展趋势下，实际应用对多视点三维重建技术的迫切要求是：其应该在保证一定的重建质量的前提下，进一步提高速度。

一种比较重要的早期多视点重建技术为可视化外壳技术(Visual Hull)，其能够通过取自各视点的轮廓图，很快地得到重建结果(称此结果为可视化外壳)，但其结果的质量很差，完全无法真实反映物体表面的凹陷部位。但可视化外壳技术的思想很简单，并且易于实现，所以其仍然广泛地应用于很多场合。而且，使用当前计算机硬件，可视化外壳技术可以达到很高的重建速度。

最近提出的一些受关注较多的新的多视点三维重建技术，则都可以视为是一个对可视化外壳进行修正的过程，如英国萨里(Surrey)大学的Jonathan Starck，英国剑桥(Cambridge)大学的George Vogiatzis等各自所发明的多视点三维重建技术。在这些新的多视点三维重建技术中，主要包括(1)图像的获取，(2)轮廓图的获取，(3)可视化外壳的生成，(4)可视化外壳的点云化，(5)特征的提取，(6)特征的筛选，(7)特征的重建，(8)Graph Cut优化重建：这些新的技术在重建质量上有了很大的飞跃，甚至能够很接近那些扫描型三维重建技术的水平。但就重建速度来说，这些技术的表现都比较不尽如人意。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足之处，提出一种交互式多视点三维模型重建方法，本方法能够从采集自多个视点的图像中，结合每个视点的摄象机的几何参数，重建出场景的表面模型。并能够通过引入用户操作来提高重建的速度和质量。

本发明提出的一种交互式多视点三维模型重建方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)图像的获取：用户利用多个摄像机，获得对物体的多个视点的二维图像I_i，其中脚标i，表示各个对应视点的编号；并利用Zhang Zhengyou摄像机标定方法，获得各摄像机的几何参数P_i；

2)轮廓图的获取：用户利用Lazy Snapping算法在计算机屏上对各视点T_i处的二维图像I_i进行前景与背景的划分，从而提取出前景的轮廓，生成对应轮廓图S_i；

3)可视化外壳的生成：计算机根据各轮廓图S_i和各摄像机的几何参数P_i，利用EPVH算法，重建出物体表面的可视化外壳V，并以网格形式表达；

4)可视化外壳的点云化：计算机将可视化外壳V离散化形成点云V’(点的集合)；其具体方法是：用与x，y，z三坐标轴平行的多条直线，将空间均匀采样，得到一系列均匀排列的交点，称作网点；然后取这些直线与V的网面相交处的网点，作为点云V’中的点；在点云V’中的任意一点v_k所对应的数据结构中，包括坐标Coor(v_k)，平滑程度Smt(v_k)，凹陷程度Conc(v_k)，及其在可视化外壳V中的对应网面的编号N(v_k)四个数据；

5)特征的提取：计算机采用DOG或Harris算子，提取出所述二维图像I_i的二维特征集合F_i{p_i1，p_i2…p_iN}；

6)特征的筛选：计算机根据三个视点处的摄像机几何参数P_i，P_i+1与P_i-1，寻找与视点T_i最邻近的两个视点T_i+1与T_i-1的图像I_i+1与I_i-1中，与图像I_i的特征点p_ij对应的特征点p_(i+1)j与p_(i-1)j；

7)特征的重建：在两幅图像I_i+1与I_i-1中找到图像I_i上特征点p_ij的对应点p_(i+1)j、p_(i-1)j，p_ij与T_i处摄像机中心O_i所确定的直线p_ijO_i与可视化外壳V交于两点q₁ ^(ij)与q₂ ^(ij)，即实际物体表面上投影到p_ij的点q^(ij)在q₁ ^(ij)与q₂ ^(ij)间的线段上，计算机对线段q₁ ^(ij)q₂ ^(ij)按相同长度进行分段，以各等分点作为节点，将相邻节点连接形成带权(s-t)图，并采用最大流算法求得该带权图的最小割(minimum cut)，并从该最小割中得到特征点p_ij所对应的局部表面，以点云Vp这种形式来表示；

8)可视化外壳的区域划分：用户在图像I_i中划分出平滑度区域R_smt ^i，j，及凹陷度区域R_conc ^i，j，并依据摄像机几何参数P_i，对点云V’中的对应于所述区域的各点v_k的平滑程度值Smt(v_k)，凹陷程度值Conc(v_k)进行设定，计算机再对区域边界进行自动修正；

9)重建范围的确定：计算机按点云V’上各点v_k的平滑程度Smt(v_k)进行上采样，得到稠密化的新点云V”；然后根据各点v_k的凹陷程度Conc(v_k)，确定下一步优化操作所需要的点集S_between，其中步骤7)所得的点云Vp为该点集S_between的一个子集；

10)Graph Cut优化重建：计算机根据步骤7)中重建出的点云Vp、各摄像机的几何参数P_i和各图像I_i，利用步骤9)中所得到的点集S_beiween中的点作为节点建立带权(s-t)图，对于Vp中的点所对应的节点，由于其被确定属于物体的实际表面，其所连的边的权值也会得到相应的修正。最终采用push-relabel算法，得出该图的最小割(minimum cut)，从中获取出物体表面的精确的点云模型，作为重建的三维模型。

本发明的特点：

本发明针对已有新技术完全依赖于自动操作，而忽视了用户的主观能动性的不足之处。加入用户操作，利用人的先验知识，能够仅仅从一幅二维图像上，判断出前景不同部分所具有的不同光滑程度，并能够发现物体表面可能的凹陷。这些识别能力在准确程度和速度上，都远远强于当前计算机视觉的发展水平。

本发明根据当前的实际应用对多视点三维重建技术提出的提高速度之要求，根据Graph Cut优化模型的原理，结合对用户之实际操作能力的考虑，该方法根据输入的对实际物体所拍摄的多视点图像和各图像所对应的摄像机参数，结合用户的辅助操作，能够以较快的速度高质量地重建出物体的三维模型。

本发明能达到以下有益效果：

1.通过适当的用户操作而显著提高了准确率，并降低了处理时间；

2.各步所得的中间结果皆可输出，并可应用在其他方面；

3.结构清晰；

4.重建质量高。

附图说明

图1为本发明的方法总体流程框图；

图2为本发明的实施例中由10个视点的摄象机所得的二维图像；

图3为本实施例中3个视点的二维图像的轮廓图；

图4为本实施例由EPVH算法得到的可视化外壳；

图5为本实施例由点云形式表达的可视化外壳；

图6为本实施例最终重建出的模型。

具体实施方式

本发明提出的一种交互式多视点三维模型重建方法，结合附图及实施例详细说明如下：

本发明的方法流程，如图1所示，包括以下步骤：

(1)图像的获取：用户利用多个摄像机，获得对物体的多个视点的二维图像I_i，其中脚标i，表示各个对应视点的编号；本发明的实施例中由10个视点的摄象机所得的二维图像如图2所示。

并利用Zhang Zhengyou摄像机标定方法，获得各摄像机的几何参数P_i，表现为一个3*3的矩阵和一个3*4的矩阵；

(2)轮廓图的获取：用户利用Lazy Snapping算法在计算机屏上对各视点T_i处的二维图像I_i进行前景与背景的划分，从而提取出前景的轮廓，生成对应轮廓图S_i；为本实施例中3个视点的二维图像的轮廓图如图3所示；

(3)可视化外壳的生成：计算机根据各轮廓图S_i和各摄像机的几何参数P_i，利用EPVH算法，重建出物体表面的可视化外壳V，并以网格形式表达；本实施例由EPVH算法得到的可视化外壳如图4所示；

(4)可视化外壳的点云化：计算机将可视化外壳V离散化形成点云V’(点的集合)，本实施例由点云形式表达的可视化外壳如图5所示；其具体方法是：用与x，y，z三坐标轴平行的多条直线，将空间均匀采样，得到一系列均匀排列的交点，称作网点；然后取这些直线与V的网面相交处的网点，作为点云V’中的点；在点云V’中的任意一点v_k所对应的数据结构中，包括坐标Coor(v_k)，平滑程度Smt(v_k)，凹陷程度Conc(v_k)，及其在可视化外壳V中的对应网面的编号N(v_k)四个数据；

(5)特征的提取：采用DOG或Harris算子，提取出所述二维图像I_i的二维特征集合F_i{p_i1，p_i2…p_iN}；

(6)特征的筛选：计算机根据三个视点处的摄像机几何参数P_i，P_i+1与P_i-1，寻找与视点T_i最邻近的两个视点T_i+1与T_i-1的图像I_i+1与I_i-1中，与图像I_i的特征点p_ij对应的特征点p_(i+1)j与p_(i-1)j；

(7)特征的重建：在两幅图像I_i+1与I_i-1中找到图像I_i上特征点p_ij的对应点p_(i+1)j、p_(i-1)j，p_ij与T_i处摄像机中心O_i所确定的直线p_ijO_i与可视化外壳V交于两点q₁ ^(ij)与q₂ ^(ij)，即实际物体表面上投影到p_ij的点q^(ij)在q₁ ^(ij)与q₂ ^(ij)间的线段上，计算机对线段q₁ ^(ij)q₂ ^(ij)按相同长度进行分段，以各等分点作为节点，将相邻节点连接形成带权(s-t)图，并采用最大流算法求得该带权图的最小割(minimum cut)，并从该最小割中得到特征点p_ij所对应的局部表面，以点云Vp这种形式来表示；Vp中的任意点vp_k被确定为属于物体表面。

(8)可视化外壳的区域划分：用户在图像I_i中划分出平滑度区域R_smt ^i，j，及凹陷度区域R_conc ^i，j，并依据摄像机几何参数P_i，对点云V’中的对应于所述区域的各点v_k的平滑程度值Smt(v_k)，凹陷程度值Conc(v_k)进行设定，计算机再对区域边界进行自动修正；具体包括：

用户目测选出表面平整度Ra达到1cm-5cm以内的粗糙度区域R_smt ^i，j(如图中衣物的褶皱处)，并为计算机指定所选出的区域的平滑度值，该平滑度值的取值范围按平滑程度依次上升的顺序为0，1，2，...，8，9，10表示，所有没有选出的区域，其平滑度均设定为5；

用户目测选出陷入表面的深度达到5cm以上的凹陷区域R_conc ^i，j，并为计算机指定所选出的区域的凹陷度值，该凹陷度值的取值范围按凹陷程度依次上升的顺序为5，4，3...0；

然后计算机对区域边界进行自动修正：

首先将按照二维图像特性，对用户所划分的区域R_smt ^i，j和R_conc ^i，j的边界进行优化；具体优化算法选择SNAKE或基于Graph Cut框架的方法；

一种比较简单的采用SNAKE算法的具体实现方式为：

假设用户给出的区域边界由像素集{Px₁，...，Px_L}组成，其中Px_i＝(x_i，y_i)，i＝{1，...，L}。对于每个位于Px_i邻域中的点Px_i′，计算如下的能量项：

E_i(Px_i′)＝E_int(Px_i′)+μ₁×E_ext(Px_i′)

然后将Px_i移动到使能量项最小的Px_i′的位置上。

E_int(Px_i′)表示内部能量，其计算公式为：

初 $E_{\mathrm{int}}\left({{\mathrm{Px}}_i}^{\′}\right)=\frac{1}{I}{\left|\right|{{\mathrm{Px}}_i}^{\′}-\frac{1}{2\cos (2\mathrm{\π}/L)}({\mathrm{Px}}_{i+1}-{\mathrm{Px}}_i)\left|\right|}^2+{\mathrm{\μ}}_2\×{n_i}^T({\mathrm{Px}}_i-{{\mathrm{Px}}_i}^{\′})$ 其中，n_i表示Px_i在始边界中向外的法向量，其通过将此处的切线向量t_i旋转90度而得，t_i的计算公式为：

$t_i=\frac{{\mathrm{Px}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1}}{\left|\right|{\mathrm{Px}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1}\left|\right|}+\frac{{\mathrm{Px}}_{i+1}-{\mathrm{Px}}_i}{\left|\right|{\mathrm{Px}}_{i+1}-{\mathrm{Px}}_i\left|\right|}$

E_ext(Px_i′)表示外部能量，其计算公式为：

$E_{\mathrm{int}}\left({{\mathrm{Px}}_i}^{\′}\right)=\mathrm{Gs}\left({{\mathrm{Px}}_i}^{\′}\right)-{n_i}^T\▿\mathrm{Gs}\left({{\mathrm{Px}}_i}^{\′}\right)$

其中，Gs(Px_i′)表示取该像素处的灰度值，

表示该像素点处的灰度的梯度向量。

式中的μ₁ μ₂ μ₃表示可调参数，一般可以均取为0.5。

当区域边界优化结束并确定后，将首先依据视点T_i处的相机几何参数P_i，判断点云形式的可视化外壳V’中，能够投影到上面划分出的区域R_ij中的点{v₁，...，v_N}；v₁，...，v_N中离T_i处的相机最近的点v_m被确定与区域R_smt ^i，j或R_conc ^i，j对应；然后对点v_m的平滑度值Smt(v_m)，及凹陷度值Conc(v_m)按其所对应区域的值进行修正。

(9)重建范围的确定：计算机按点云V’上各点v_k的平滑程度Smt(v_k)进行上采样，得到稠密化的新点云V”；然后根据各点v_k的凹陷程度Conc(v_k)，确定下一步优化操作所需要的点集S_between，其中步骤7)所得的点云Vp为该点集S_between的一个子集；

该步骤具体包括：

对于V’中的任意一点v_k，取在其所对应的网面N(v_k)内的8邻域点{v_k1，...，v_k8}的平滑度值的均值Smt_avg，确定将在该8邻域所限定区域内，使用双线性插值，增加出数量为f(Smt_avg)的点；新增点的凹陷度值Conc(v_k)由插值算出，得到上采样后的结果V”；

然后以V”中各点所对应的表面，作为外表面V_ex(即重建结果的上界)，其所包含的空间中的所有点记为集合S_ex；然后对外表面S_ex中任意一点v_k，以其为球心，作半径为r的球，r的大小为其凹陷度值Conc(v_k)的函数g(Conc(v_k))，若在该球内存在V_ex之外的点，则v_k被归入集合S_between。

在具体实施中，函数f可以选择为f(x)＝α×x这种简单的形式，其中参数α可以由用户选择。函数g可以选择为g(x)＝β×x这种简单的形式，其中参数β可以由用户选择；

(10)Graph Cut优化重建：计算机根据步骤7)中重建出的点云Vp、各摄像机的几何参数P_i和各图像I_i，利用步骤9)中所得到的点集S_between中的点作为普通节点n_k建立带权(s-t)图，除了这些普通节点n_k外，本图中还将包括两个特殊节点source和sink。每个普通节点都连向source，该边的权值取为0.239；S_between中最靠近可视化外壳表面的普通节点，同时也连向sink，该边的权值取为9999。

对于任意两相邻的普通节点n_k与n_l，连接彼此的边e_kl的权值w_kl被设定为节点n_k与n_l的中点n’的颜色一致性C(n’)(Photo Consistency)。

C(n’)的具体计算方法为：在n’未被遮挡的图像集合{Iv₁，...，Iv_M}(M≤10)中，任取两幅图像Iv_j与Iv_k，将n’点投影到这两幅图像中，投影点的二维坐标分别为prj_j与prj_k。然后分别以prj_j与prj_k为中心，得到11*11的范围内的所有像素点{Px_j1，...，Px_j121}与{Px_k1，...，Px_k121}，计算这两组像素点集合的NCC值(Normalized Cross Correlation)，其表达式如下所示：

$\mathrm{NCC}(j,k)=\frac{\underset{i=1}{\overset{121}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{Px}}_{\mathrm{ji}}^2\underset{i=1}{\overset{121}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{Px}}_{\mathrm{ki}}^2}{{(\underset{i=1}{\overset{121}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{Px}}_{\mathrm{ji}}\×{\mathrm{Px}}_{\mathrm{ki}})}^2}$

然后，对于由集合中各对图像所得的多个NCC值，将其求和取平均，得到C(n’)：

$C\left(n^{\′}\right)=\frac{\underset{j=1...M-1,k=j...M}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{NCC}(j,k)}{C_M^2}$

若上述的n_k、n_l所对应点都同时属于Vp，则连接彼此的边e_kl的权值w_kl需要修正为w_kl＝9999×C(n′)。而若n_k、n_l中有一者属于Vp，而另一者不属于Vp，则w_kl需要修正为w_kl＝0.001×C(n′)。

最终采用push-relabel算法，得出该图的最小割(minimum cut)，从中获取出物体表面的精确的点云模型，作为重建的三维模型。本实施例最终重建出的模型如图6所示。

(11)根据用户要求将所述点云模型转化为网格形式，并进行纹理贴图处理。

Claims (4)

1、一种交互式多视点三维模型重建方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)图像的获取：用户利用多个摄像机，获得对物体的多个视点的二维图像I_i，其中脚标i，表示各个对应视点的编号；并利用Zhang Zhengyou摄像机标定方法，获得各摄像机的几何参数P_i；

2)轮廓图的获取：用户利用Lazy Snapping算法在计算机屏上对各视点T_i处的二维图像I_i进行前景与背景的划分，从而提取出前景的轮廓，生成对应轮廓图S_i；

3)可视化外壳的生成：计算机根据各轮廓图S_i和各摄像机的几何参数P_i，利用EPVH算法，重建出物体表面的可视化外壳V，并以网格形式表达；

4)可视化外壳的点云化：计算机将可视化外壳V离散化形成点云V’；其具体方法是：用与x、y、z三坐标轴平行的多条直线，将空间均匀采样，得到一系列均匀排列的交点，称作网点；然后取这些直线与V的网面相交处的网点，作为点云V’中的点；在点云V’中的任意一点v_k所对应的数据结构中，包括坐标Coor(v_k)，平滑程度Smt(v_k)，凹陷程度Conc(v_k)，及其在可视化外壳V中的对应网面的编号N(v_k)四个数据；

5)特征的提取：计算机采用DOG或Harris算子，提取出所述二维图像I_i的二维特征集合F_i{p_i1，p_i2…p_iN}；

6)特征的筛选：计算机根据三个视点处的摄像机几何参数P_i，P_i+1与P_i-1，寻找与视点T_i最邻近的两个视点T_i+1与T_i-1的图像I_i+1与I_i-1中，与图像I_i的特征点p_ij对应的特征点p_(i+1)j与p_(i-1)j；

7)特征的重建：在两幅图像I_i+1与I_i-1中找到图像I_i上特征点p_ij的对应点p_(i+1)j、p_(i-1)j，p_ij与T_i处摄像机中心O_i所确定的直线p_ijO_i与可视化外壳V交于两点q₁ ^(ij)与q₂ ^(ij)，即实际物体表面上投影到p_ij的点q^(ij)在q₁ ^(ij)与q₂ ^(ij)间的线段上，计算机对线段q₁ ^(ij)q₂ ^(ij)按相同长度进行分段，以各等分点作为节点，将相邻节点连接形成带权(s-t)图，并采用最大流算法求得该带权图的最小割(minimum cut)，并从该最小割中得到特征点p_ij所对应的局部表面，以点云Vp这种形式来表示；

8)可视化外壳的区域划分：用户在图像I_i中划分出平滑度区域R_smt ^i，j，及凹陷度区域R_conc ^i，j，并依据摄像机几何参数P_i，对点云V’中的对应于所述区域的各点v_k的平滑程度值Smt(v_k)，凹陷程度值Conc(v_k)进行设定，计算机再对区域边界进行自动修正；

9)重建范围的确定：计算机按点云V’上各点v_k的平滑程度Smt(v_k)进行上采样，得到稠密化的新点云V”；然后根据各点v_k的凹陷程度Conc(v_k)，确定下一步优化操作所需要的点集S_between，其中步骤7)所得的点云Vp为该点集S_between的一个子集；

10)Graph Cut优化重建：计算机根据步骤7)中重建出的点云Vp、各摄像机的几何参数P_i和各图像I_i，利用步骤9)中所得到的点集S_between中的点作为节点建立带权(s-t)图，对于Vp中的点所对应的节点，由于其被确定属于物体的实际表面，其所连的边的权值也会得到相应的修正。最终采用push-relabel算法，得出该图的最小割(minimum cut)，从中获取出物体表面的精确的点云模型，作为重建的三维模型。

2、如权利要求1所述的方法，其特征在于，该方法还包括：

11)根据用户要求计算机将所述点云模型转化为网格形式，并进行纹理贴图处理，作为最后的重建的三维模型。

3、如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤8)中平滑程度值Smt(v_k)和凹陷程度值Conc(v_k)设定的方法为：

用户目测选出表面平整度Ra达到1cm-5cm以内的粗糙度区域R_smt ^i，j，并为计算机指定所选出的区域的平滑度值，该平滑度值的取值范围按平滑程度依次上升的顺序为0，1，2，...，8，9，10表示，所有没有选出的区域，其平滑度均设定为5；

用户目测选出陷入表面的深度达到5cm以上的凹陷区域R_conc ^i，j，并为计算机指定所选出的区域的凹陷度值，该凹陷度值的取值范围按凹陷程度依次上升的顺序为5，4，3...0；

所述计算机对区域边界进行自动修正为：

(1)将按照二维的图像特征，对用户所划分的区域R_smt ^i，j和R_conc ^i，j的边界进行优化；具体优化算法选择SNAKE或基于Graph Cut框架的方法；

(2)当区域边界优化结束并确定后，将首先依据视点T_i处的摄像机几何参数P_i，判断点云形式的可视化外壳V’中，能够投影到所述区域R_smt ^i，j和R_conc ^i，j的点{v₁，...，v_N}；v₁，...，v_N中离T_i处的摄像机最近的点v_m被确定与区域R_smt ^i，j或R_conc ^i，j对应；然后对点v_m的平滑度值Smt(v_m)，及凹陷度值Conc(v_m)按其所对应区域的值进行修正。

4、如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤9)中的上采样操作为：

对于点云V’中的任意一点v_k，取在其所对应的网面N(v_k)内的8邻域点{v_k1，...，v_k8}的平滑度值的均值Smt_avg，确定将在该8邻域所限定区域内，使用双线性插值，增加出数量为f(Smt_avg)的点；新增点的凹陷度值Conc(v_k)由插值算出，得到上采样后的新点云V”；

所述点集S_between的确定为：

以新点云V”中各点所对应的表面，作为外表面V_ex，即重建结果的上界，其所包含的空间中的所有点记为集合S_ex；然后对外表面S_ex中任意一点v_k，以其为球心，作半径为r的球，r的大小为其凹陷度值Conc(v_k)的函数g(Conc(v_k))，若在该球内存在V_ex之外的点，则v_k被归入集合S_between。

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