CN100549732C - 层状复合材料介电特性识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种层状复合材料介电特性识别方法。该技术从Maxwell方程着手，建立了反映路面材料特性的雷达电磁波在层状介质中的正演传播模型。以此模型和灵敏度分析理论为基础，创立了层状复合材料介电特性识别方法。本发明从根本上解决了探地雷达应用技术长期以来依赖经验的困难，将探地雷达检测精度提高到一个新的水平，也为进一步研究复合材料的压实度、含水量及沥青含量等指标的反演提出了全新的思路，这对探地雷达基础理论与应用技术的发展具有重大的推动作用。

Description

层状复合材料介电特性识别方法

技术领域

本发明属于路基路面无损检测评价技术，尤其涉及一种层状复合材料介电特性识别方法。

背景技术

20世纪80年代以来，特别是随着举世瞩目的美国战略性公路研究计划(SHRP)的实施，公路无损检测技术的研发与应用在国际上受到日益广泛的重视。但总体上应用理论研究和配套软件开发始终滞后于高科技检测设备的研制，其中路基路面材料特性反演问题一直阻碍着探地雷达(Ground PenetratingRadar，简称GPR)等无损检测技术的发展。

由于我国高速公路建设起步较晚，路基路面检测评价技术发展缓慢。路面结构层厚度、压实度、含水量等技术指标的检测还主要依赖于钻孔取样等破坏性方法。虽然不少单位先后引进了GPR等公路无损检测设备，但由于缺乏配套技术和软件，造成大量设备不能充分发挥作用。

探地雷达作为一种高效、快速、连续、无损的路面检测设备，其应用技术的研究自八十年代以来一直是国际上的热门课题。自70年代中期开始，国际上关于探地雷达应用技术的研究十分活跃，目前，探地雷达检测技术已成为路面无损检测技术的重要组成部分，并代表了路面结构层厚度、压实度、含水量等检测技术的发展方向。

路面材料为典型的层状复合材料。路面材料介电特性的差异是探地雷达应用的先决条件，雷达接收到的反射波是介质介电特性的函数，对路面雷达图像数据的解释、判读并进而获取结构层的厚度都依赖于对层状介质介电特性的分析。因此，层状复合材料介电特性的研究是探地雷达技术发展应用的基础，如何基于雷达信号获取介质的介电特性一直是探地雷达应用技术研究的核心问题之一。

目前基于GPR数据从而获得介质介电特性的途径主要有两条：

(1)基于简化公式直接对采集到的雷达波反射信号进行分析

该法是目前分析GPR数据最主要的方法。它通过测量雷达回波波形中波峰的幅值和波峰之间的时延，将其带入介电常数的简化公式中进行求解。由于该法所基于的简化假设中没有考虑介质介电特性的虚部，因此只有当介质为低耗材料，如沥青混凝土时才相对合理，而对于高耗材料，如水泥混凝土介质，该法难以给出令人满意的计算结果，使得该分析方法在实用中具有很大的局限性。

(2)基于雷达电磁波正演模型反演路面材料介电特性

通过雷达电磁波正演模型反演材料的介电特性是一种理论严谨的GPR数据分析方法，它通过建立雷达电磁波在地下介质中的正演传播模型来研究其在地下介质中的传播规律。该法的原理是通过雷达波正演模型模拟计算雷达反射信号，将其与实测雷达反射信号进行对比以检验正演模型参数设置的正确性以及两者的拟合是否满足精度要求。显然该法对结构层材料介质参数识别的准确性将同时取决于正演模型的合理性、反算方法的有效性和实测数据的准确性。

近几年，国内外不少学者围绕雷达波正演模型以及反算算法开展了相关研究。

1)雷达波正演模拟

正演模拟又称为回波模拟合成，它是利用地下介质模拟探地雷达响应，是基于雷达实测信号对材料介电特性进行反演计算的基础。

国内从90年代初开始雷达波正演模型的研究，但研究仅局限于在低耗或无耗介质中讨论电磁波的动力学特性，即不考虑介电特性虚部对电磁波传播的影响。虽有一些单位开展了有耗介质中雷达电磁波正演传播模型的研究，但工作基本上是针对地质雷达中深层探测目标而言的，有关层状结构的雷达回波模拟方面的文献还很少。

2)反算算法

目前的研究有一个共同特点，就是对雷达波正演模型参数的调整都是采用手工试算的方法，使用逐步逼近的方式去拟合已测得的雷达波反射信号，找出在试算过程中最接近实测信号的正演结果以及其对应的介质参数，由此来确定模型参数。该方法过程繁琐，带有较强的人为主观性和随意性，要求分析计算人员具有较强的实际工程经验，能随时根据正演模型计算结果和实测信号之间的误差有针对性地调整有关参数。

目前，国际上尚无一种科学、有效、快速的反算算法来解决基于正演模型的雷达波模拟信号和实测信号的拟合问题，参数调整完全依靠手工试算。这种现状极大地制约了探地雷达技术的发展，使得基于理论模型的GPR数据分析技术一直徘徊不前。目前，国际上建立在严密的理论模型基础上的GPR实用化分析软件尚处于空白状态，国内外实用化的GPR数据软件都是采用假设和经验公式直接对回波信号波形进行分析。

可以看出，层状复合材料介电特性的研究是随着探地雷达发展起来的新课题，但由于理论模型及信号分析等方面的困难，探地雷达应用技术远未步入成熟阶段，其介电特性反演理论在国内外尚处于空白，造成路面雷达应用技术长期以来依赖于简化公式或根据经验人工调试参数。理论模型不完善，特别是缺乏快速严谨的介电特性反演方法，是造成探地雷达应用技术长期徘徊不前的根本原因。

发明内容

本发明针对探地雷达应用技术存在的问题，基于电磁波基本理论，从Maxwell方程着手，研究了探地雷达电磁波在层状介质中的传播特性，建立了反映路面材料特性的探地雷达电磁波在层状介质中的正演传播模型，对现行的简化模型做了重大改进。该模型理论上更严谨、并更接近于工程实际。以此模型和系统灵敏度分析理论为基础，创立了层状复合材料介电特性识别方法，为探地雷达应用技术提供了严密的理论基础。

本发明的解决方案是：

一种层状复合材料介电特性识别方法，首先，建立了反映路面材料特性的探地雷达电磁波在层状介质中的正演传播模型；

实现方法如下：

将探地雷达应用于层状介质检测时，其电磁场满足的Maxwell方程可表示为：

$\frac{{\∂}^{2}E}{\∂z^2}=-({\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}-\mathrm{j\ω\μ\σ})E---\left(1\right)$

其中：E为正弦时变电场矢量E₀e^jωt的实部；E₀为电场矢量幅值；ω为角频率；z为沿传播方向的距离；μ为路面介质的磁导率；σ为介质的电导率；ε为介质的复介电常数；

方程(1)的解为：

E＝E₀e^-jkz         (2)

其中k为传播常数，又称波数，且为一复数，其表达式为：

$k=\mathrm{\ω}\sqrt{\mathrm{\μ}(\mathrm{\ϵ}+j\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω}})}=\mathrm{\α}+\mathrm{j\β}---\left(3\right)$

k的实部α和虚部β分别为：

$\mathrm{\α}={\left(\frac{{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}}{2}\right)}^{1/2}{\{{[1+{\left(\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω\ϵ}}\right)}^2]}^{1/2}+1\}}^{1/2}---\left(4\right)$

$\mathrm{\β}={\left(\frac{{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}}{2}\right)}^{1/2}{\{{[1+{\left(\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω\ϵ}}\right)}^2]}^{1/2}-1\}}^{1/2}---\left(5\right)$

根据式(4)、(5)，可将式(2)表示为：

E＝E₀e^-βze^-jαz   (6)

当电磁波在有耗介质中传播时，就会有能量的损耗和衰减；能量的衰减用传播因数T来反映：

$T=e^{-j\frac{\mathrm{\ω}}{c}\frac{d}{\cos {\mathrm{\θ}}_t}\sqrt{\mathrm{\ϵ}}}---\left(7\right)$

其中θ_i为折射角，ω为入射波的角频率，d为结构层厚度，c为真空中的光速(3×10⁸m/s)；

当雷达电磁波垂直入射时，透射角θ_t为0，式(7)可简化为：

$T=e^{-j\frac{\mathrm{\ωd}}{c}\sqrt{\mathrm{\ϵ}}}---\left(8\right)$

雷达发射的高频电磁波在层状介质中传播时，每遇到介电特性不同的界面就会发生折射和反射；当雷达电磁波垂直入射时，反射系数和折射系数分别为：

$R\left(n\right)=\frac{k_n-k_{n+1}}{k_n+k_{n+1}}---\left(9\right)$

$Z\left(n\right)=\frac{2k_n}{k_n+k_{n+1}}---\left(10\right)$

其中，R(n)、Z(n)分别为电磁波在第n层与第n+1层界面上的反射系数和折射系数；k_n、k_n+1分别为电磁波在第n层与第n+1层介质中的传播常数；

应用高频雷达进行检测时，ω远大于σ，对于非磁性材料，其μ′≈1，于是，式(9)和式(10)可简化为：

$R\left(n\right)=\frac{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}-\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}+\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}---\left(11\right)$

$Z\left(n\right)=\frac{2\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}}{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}+\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}---\left(12\right)$

式中：ε_n、ε_n+1分别为第n层与第n+1层介质的介电常数；于是，反射电磁场E_r(n)和折射电磁场E_z(n+1)可表示为：

E_r(n)＝R(n)E_z(n)        (13)

E_z(n+1)＝Z(n)E_z(n)      (14)

由式(11)至式(14)可计算出各反射波和折射波的振幅；

依据探地雷达电磁波的波动方程及其传播特点，以及其在两种不同介质交界面上的特性，当考虑电磁波在结构层界面上的反射、折射以及同时考虑电磁波在介质中传播时的能量衰减，即同时考虑介质介电常数虚部的影响时，可建立雷达电磁波在多层介质中传播的总反射模型；

探地雷达所发射的电磁波是非周期脉冲，这种脉冲电磁波包含了各种频率成分，同时，一般层状介质都是色散媒质，其介电特性具有频率依赖性；因此，为了研究不同频率电磁波在色散媒质中的传播，就需要在频率域范围内研究波的振幅与相位随频率的变化；采用傅里叶变换将时域内的雷达入射波Y_i分解成频率域内的子波，由此得到入射波的频谱F_i：

F_i＝FFT(Y_i)             (15)

然后在频域内计算各离散频率点在各结构层中的传播特性；单位能量的单色入射子波经过在结构层n个界面上的反射和折射，以及传播过程中能量的损耗，最后到达结构表面的总反射能量为：

$E_r=[R_1+R_2(1-{R_1}^2){T_1}^2+R_3(1-{R_2}^2)(1-{R_1}^2){T_1}^2{T_2}^2+\mathrm{\Λ}+R_n\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2]---\left(16\right)$

结合式(17)，可得单色频率雷达入射子波的模拟合成反射信号的频谱F_r，syn为：

$F_{r,\mathrm{syn}}=[R_1+R_2(1-{R_1}^2)T_1^2+R_3(1-{R_2}^2)(1-{R_1}^2)T_1^2{T}_2^2+\mathrm{\Λ}+R_n\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2]F_i---\left(17\right)$

$=\left\{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[R_j\underset{i=1}{\overset{j-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2\left]\right\}{F}_i$

最后，对频域内的模拟反射波信号F_r，syn进行快速傅立叶逆变换，即得到时域内的雷达反射波模拟合成信号

Y_r，syn＝2real(IFFT(F_r，syn))             (18)

至此，便建立了探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型。

以探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型和灵敏度分析理论为基础，创立了层状复合材料介电特性系统识别技术，所述技术实现过程主要包括以下步骤：

(1)利用探地雷达检测系统对层状介质进行现场试验，采集雷达电磁波反射信号，即实测探地雷达电磁波反射信号；

(2)根据建立的探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型，计算雷达电磁波在层状介质中传播的模拟反射信号；

(3)将雷达电磁波模拟反射信号和实测反射信号进行对比，建立了以灵敏度分析理论为基础的层状复合材料介电特性反演方程，利用奇异值分解技术解决了反演方程的“病态”问题；

当层状介质结构层数为n时，需进行调整的参数为2n个，这时参数向量P可表示为：

P＝(ε′₁，ε″₁，ε′₂，ε″₂，Λ，ε′_n，ε″_n)^T       (19)

于是层状复合材料介电特性反演方程可表示为：

r＝Fα            (20)

误差向量r由雷达电磁波模拟反射信号和实测反射信号完全确定，矩阵F为灵敏度矩阵，可根据探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型采用数值计算方法建立；

采用奇异值分解技术求解反演方程(20)，得到参数调整向量α，新的一组参数可接着由下式计算

Pⁱ⁺¹＝Pⁱ(1+α)    (22)

其中i表示迭代次数；Pⁱ⁺¹和Pⁱ分别表示第i+1次和第i次迭代后雷达电磁波正演传播模型参数，即层状介质各结构层材料介电特性的实部和虚部；

上述迭代运算直到达到控制精度要求为止。

本发明从根本上解决了探地雷达应用技术长期以来依赖经验的困难，将探地雷达检测精度提高到一个新的水平，也为进一步研究复合材料的压实度、含水量及沥青含量等指标的反演提出了全新的思路，这对探地雷达基础理论与应用技术的发展具有重大的推动作用。当前，我国高等级公路建设正处于迅速发展阶段，公路建设质量受到各级政府的高度重视和全社会的广泛关注。现行的路基路面检测与评价技术水平总体还比较落后，难以满足公路建设与养护管理的实际需要。因此，本发明对于提高我国公路检测与评价技术水平具有重要作用，在保障工程质量、制定养护决策等方面具有显著的经济社会效益。

附图说明

图1是层状复合材料介电特性识别方法过程流程图。

具体实施方式

实施例：本发明的层状复合材料介电特性识别方法，首先建立了反映路面材料特性的探地雷达电磁波在层状介质中的正演传播模型。其方法如下：

探地雷达应用于层状结构检测时，可作如下假设：

1)结构层材料是均质的，即各向同性的；

2)雷达发射波为平面波，且发射波的波前与路表垂直；

在上述两条假设成立的基础上，雷达天线发射的电磁波在结构层中的传播，可以看成是平面电磁波在多层均匀介质中的传播；那么，当雷达脉冲波垂直入射到结构表面以下深度方向传播时，电磁场满足的Maxwell方程可表示为：

$\frac{{\∂}^{2}E}{\∂z^2}=-({\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}-\mathrm{j\ω\μ\σ})E---\left(1\right)$

其中：E为正弦时变电场矢量E₀e^jωt的实部；E₀为电场矢量幅值；ω为角频率；z为沿传播方向的距离；μ为路面介质的磁导率；σ为介质的电导率；ε为介质的复介电常数；

方程(1)的解为：

E＝E₀e^-jkz           (2)

其中k为传播常数，又称波数，且为一复数，其表达式为：

$k=\mathrm{\ω}\sqrt{\mathrm{\μ}(\mathrm{\ϵ}+j\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω}})}=\mathrm{\α}+\mathrm{j\β}---\left(3\right)$

k的实部α和虚部β分别为：

$\mathrm{\α}={\left(\frac{{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}}{2}\right)}^{1/2}{\{{[1+{\left(\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω\ϵ}}\right)}^2]}^{1/2}+1\}}^{1/2}---\left(4\right)$

$\mathrm{\β}={\left(\frac{{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}}{2}\right)}^{1/2}{\{{[1+{\left(\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω\ϵ}}\right)}^2]}^{1/2}-1\}}^{1/2}---\left(5\right)$

根据式(4)、(5)，可将式(2)表示为：

E＝E₀e^-βze^-jαz     (6)

当电磁波在有耗介质中传播时，就会有能量的损耗和衰减；能量的衰减用传播因数T来反映：

$T=e^{-j\frac{\mathrm{\ω}}{c}\frac{d}{\cos {\mathrm{\θ}}_t}\sqrt{\mathrm{\ϵ}}}---\left(7\right)$

其中θ_t为折射角，ω为入射波的角频率，d为结构层厚度，c为真空中的光速(3×10⁸m/s)。

当雷达电磁波垂直入射时，透射角θ_t为0，式(7)可简化为：

$T=e^{-j\frac{\mathrm{\ωd}}{c}\sqrt{\mathrm{\ϵ}}}---\left(8\right)$

雷达发射的高频电磁波在层状介质中传播时，每遇到介电特性不同的界面就会发生折射和反射；当雷达电磁波垂直入射时，反射系数和折射系数分别为：

$R\left(n\right)=\frac{k_n-k_{n+1}}{k_n+k_{n+1}}---\left(9\right)$

$Z\left(n\right)=\frac{2k_n}{k_n+k_{n+1}}---\left(10\right)$

其中，R(n)、Z(n)分别为电磁波在第n层与第n+1层界面上的反射系数和折射系数；k_n、k_n+1分别为电磁波在第n层与第n+1层介质中的传播常数。

应用高频雷达进行检测时，ω远大于σ，对于非磁性材料，其μ′≈1，于是，式(9)和式(10)可简化为：

$R\left(n\right)=\frac{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}-\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}+\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}---\left(11\right)$

$Z\left(n\right)=\frac{2\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}}{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}+\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}---\left(12\right)$

式中：ε_n、ε_n+1分别为第n层与第n+1层介质的介电常数；于是，反射电磁场E_r(n)和折射电磁场E_z(n+1)可表示为：

E_r(n)＝R(n)E_z(n)         (13)

E_z(n+1)＝Z(n)E_z(n)       (14)

由式(11)至式(14)可计算出各反射波和折射波的振幅。

依据探地雷达电磁波的波动方程及其传播特点，以及其在两种不同介质交界面上的特性，当考虑电磁波在结构层界面上的反射、折射以及同时考虑电磁波在介质中传播时的能量衰减，即同时考虑介质介电常数虚部的影响时，可建立雷达电磁波在多层介质中传播的总反射模型。

探地雷达所发射的电磁波是非周期脉冲，这种脉冲电磁波包含了各种频率成分，同时，一般层状介质都是色散媒质，其介电特性具有频率依赖性；因此，为了研究不同频率电磁波在色散媒质中的传播，就需要在频率域范围内研究波的振幅与相位随频率的变化；采用傅里叶变换将时域内的雷达入射波Y_i分解成频率域内的子波，由此得到入射波的频谱F_i：

F_i＝FFT(Y_i)              (15)

然后在频域内计算各离散频率点在各结构层中的传播特性；单位能量的单色入射子波经过在结构层n个界面上的反射和折射，以及传播过程中能量的损耗，最后到达结构表面的总反射能量为：

$E_r=[R_1+R_2(1-{R_1}^2){T_1}^2+R_3(1-{R_2}^2)(1-{R_1}^2){T_1}^2{T_2}^2+\mathrm{\Λ}+R_n\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2]---\left(16\right)$

结合式(17)，可得单色频率雷达入射子波的模拟合成反射信号的频谱F_r，syn为：

$F_{r,\mathrm{syn}}=[R_1+R_2(1-{R_1}^2)T_1^2+R_3(1-{R_2}^2)(1-{R_1}^2)T_1^2{T}_2^2+\mathrm{\Λ}+R_n\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2]F_i---\left(17\right)$

$=\left\{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[R_j\underset{i=1}{\overset{j-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2\left]\right\}{F}_i$

最后，对频域内的模拟反射波信号F_r，syn进行快速傅立叶逆变换(IFFT)，即得到时域内的雷达反射波模拟合成信号

Y_r，syn＝2real(IFFT(F_r，syn))          (18)

至此，便建立了探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型。

以探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型和灵敏度分析理论为基础，本发明创立了层状复合材料介电特性识别方法。该技术的实现过程见图1，主要包括以下步骤：

(1)利用探地雷达检测系统对层状介质进行现场试验，采集雷达电磁波反射信号，即实测探地雷达电磁波反射信号。

(2)根据本发明建立的探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型，计算雷达电磁波在层状介质中传播的模拟反射信号。

(3)将雷达电磁波模拟反射信号和实测反射信号进行对比，建立了以灵敏度分析理论为基础的层状复合材料介电特性反演方程，利用奇异值分解技术解决了反演方程的“病态”问题。

当层状介质结构层数为n时，需进行调整的参数为2n个，这时参数向量P可表示为：

P＝(ε′₁，ε″₁，ε′₂，ε″₂，Λ，ε′_n，ε″_n)^T         (19)

于是层状复合材料介电特性反演方程可表示为：

r＝Fα         (20)

误差向量r由雷达电磁波模拟反射信号和实测反射信号完全确定，矩阵F为灵敏度矩阵，可根据探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型采用数值计算方法建立。

采用奇异值分解技术求解反演方程(20)，其中任何一个m×n阶矩阵A(m≥n)都可以分解为m×n阶正交矩阵U，n×n阶对角矩阵W和n×n阶正交矩阵v的转置V^T的乘积，即：

A＝U·W·V^T           (21)

其中

U^TU＝V^TV＝E

$W=\left[\begin{array}{cccc}{w}_1& & & \\ & w_2& & \\ & & O& \\ & & & w_n\end{array}\right]$ w_i≥0   (i＝1，2，Λ，n)

矩阵F的条件数r＝w_max/w_min反映了矩阵的奇异性。当r无穷大，即w_min＝0时，矩阵是奇异的，当r较大但非无穷时，矩阵是病态矩阵；因此，奇异值分解理论不仅可以诊断方程是否病态，而且可以通过消去最小奇异值给出方程的稳定解答。

通过以上过程得到参数调整向量α后，新的一组参数可接着由下式计算

Pⁱ⁺¹＝Pⁱ(1+α)       (22)

其中i表示迭代次数；Pⁱ⁺¹和Pⁱ分别表示第i+1次和第i次迭代后雷达电磁波正演传播模型参数，即层状介质各结构层材料介电特性的实部和虚部。

上述迭代运算直到达到控制精度要求为止。

Claims (1)

1、一种层状复合材料介电特性识别方法，其特征是：首先，建立了反映路面材料特性的探地雷达电磁波在层状介质中的正演传播模型；

实现方法如下：

将探地雷达应用于层状介质检测时，其电磁场满足的Maxwell方程可表示为：

$\frac{{\∂}^{2}E}{\∂z^2}=-({\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}-\mathrm{j\ω\μ\σ})E---\left(1\right)$

其中：E为正弦时变电场矢量E₀e^jωt的实部；E₀为电场矢量幅值；ω为角频率；z为沿传播方向的距离；μ为路面介质的磁导率；σ为介质的电导率；ε为介质的复介电常数；

方程(1)的解为：

E＝E₀e^-jkz          (2)

其中k为传播常数，又称波数，且为一复数，其表达式为：

$k=\mathrm{\ω}\sqrt{\mathrm{\μ}(\mathrm{\ϵ}+j\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω}})}=\mathrm{\α}+\mathrm{j\β}---\left(3\right)$

k的实部α和虚部β分别为：

$\mathrm{\α}={\left(\frac{{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}}{2}\right)}^{1/2}{\{{[1+{\left(\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω\ϵ}}\right)}^2]}^{1/2}+1\}}^{1/2}---\left(4\right)$

$\mathrm{\β}={\left(\frac{{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\μ\ϵ}}{2}\right)}^{1/2}{\{{[1+{\left(\frac{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ω\ϵ}}\right)}^2]}^{1/2}-1\}}^{1/2}---\left(5\right)$

根据式(4)、(5)，可将式(2)表示为：

E＝E₀e^-βze^-jαz    (6)

当电磁波在有耗介质中传播时，就会有能量的损耗和衰减；能量的衰减用传播因数T来反映：

$T=e^{-j\frac{\mathrm{\ω}}{c}\frac{d}{\cos {\mathrm{\θ}}_t}\sqrt{\mathrm{\ϵ}}}---\left(7\right)$

其中θ_t为折射角，ω为入射波的角频率，d为结构层厚度，c为真空中的光速(3×10⁸m/s)；

当雷达电磁波垂直入射时，透射角θ_t为0，式(7)可简化为：

$T=e^{-j\frac{\mathrm{\ωd}}{c}\sqrt{\mathrm{\ϵ}}}---\left(8\right)$

雷达发射的高频电磁波在层状介质中传播时，每遇到介电特性不同的界面就会发生折射和反射；当雷达电磁波垂直入射时，反射系数和折射系数分别为：

$R\left(n\right)=\frac{k_n-k_{n+1}}{k_n+k_{n+1}}---\left(9\right)$

$Z\left(n\right)=\frac{2k_n}{k_n+k_{n+1}}---\left(10\right)$

其中，R(n)、Z(n)分别为电磁波在第n层与第n+1层界面上的反射系数和折射系数；k_n、k_n+1分别为电磁波在第n层与第n+1层介质中的传播常数；

应用高频雷达进行检测时，ω远大于σ，对于非磁性材料，其μ′≈1，于是，式(9)和式(10)可简化为：

$R\left(n\right)=\frac{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}-\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}+\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}---\left(11\right)$

$Z\left(n\right)=\frac{2\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}}{\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_n}+\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{n+1}}}---\left(12\right)$

式中：ε_n、ε_n+1分别为第n层与第n+1层介质的介电常数；于是，反射电磁场E_r(n)和折射电磁场E_z(n+1)可表示为：

E_r(n)＝R(n)E_z(n)      (13)

E_z(n+1)＝Z(n)E_z(n)    (14)

由式(11)至式(14)可计算出各反射波和折射波的振幅；

依据探地雷达电磁波的波动方程及其传播特点，以及其在两种不同介质交界面上的特性，当考虑电磁波在结构层界面上的反射、折射以及同时考虑电磁波在介质中传播时的能量衰减，即同时考虑介质介电常数虚部的影响时，可建立雷达电磁波在多层介质中传播的总反射模型；

探地雷达所发射的电磁波是非周期脉冲，这种脉冲电磁波包含了各种频率成分，同时，一般层状介质都是色散媒质，其介电特性具有频率依赖性；因此，为了研究不同频率电磁波在色散媒质中的传播，就需要在频率域范围内研究波的振幅与相位随频率的变化；采用傅里叶变换将时域内的雷达入射波Y_i分解成频率域内的子波，由此得到入射波的频谱F_i：

F_i＝FFT(Y_i)       (15)

然后在频域内计算各离散频率点在各结构层中的传播特性；单位能量的单色入射子波经过在结构层n个界面上的反射和折射，以及传播过程中能量的损耗，最后到达结构表面的总反射能量为：

$E_r=[R_1+R_2(1-{R_1}^2)T_1^2+R_3(1-{R_2}^2)(1-{R_1}^2)T_1^2{T}_2^2+\mathrm{\Λ}+R_n\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2]---\left(16\right)$

结合式(17)，可得单色频率雷达入射子波的模拟合成反射信号的频谱F_r，syn为：

$F_{r,\mathrm{syn}}=[R_1+R_2(1-{R_1}^2)T_1^2+R_3(1-{R_2}^2)(1-{R_1}^2)T_1^2{T}_2^2+\mathrm{\Λ}+R_n\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2]F_i$

$=\left\{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right[R_j\underset{i=1}{\overset{j-1}{\mathrm{\Π}}}(1-R_i^2)T_i^2\left]\right\}{F}_i---\left(17\right)$

最后，对频域内的模拟反射波信号F_r，syn进行快速傅立叶逆变换，即得到时域内的雷达反射波模拟合成信号

Y_r，syn＝2real(IFFT(F_r，syn))    (18)

至此，便建立了探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型；

以探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型和灵敏度分析理论为基础，创立了层状复合材料介电特性系统识别技术，所述技术实现过程主要包括以下步骤：

(1)利用探地雷达检测系统对层状介质进行现场试验，采集雷达电磁波反射信号，即实测探地雷达电磁波反射信号；

(2)根据建立的探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型，计算雷达电磁波在层状介质中传播的模拟反射信号；

(3)将雷达电磁波模拟反射信号和实测反射信号进行对比，建立了以灵敏度分析理论为基础的层状复合材料介电特性反演方程，利用奇异值分解技术解决了反演方程的“病态”问题；

当层状介质结构层数为n时，需进行调整的参数为2n个，这时参数向量P可表示为：

P＝(ε′₁，ε″₁，ε′₂，ε″₂，Λ，ε′_n，ε″_n)^T    (19)

于是层状复合材料介电特性反演方程可表示为：

r＝Fα                                               (20)

误差向量r由雷达电磁波模拟反射信号和实测反射信号完全确定，矩阵F为灵敏度矩阵，可根据探地雷达电磁波在层状介质中的传播模型采用数值计算方法建立；

采用奇异值分解技术求解反演方程(20)，得到参数调整向量α，新的一组参数可接着由下式计算

Pⁱ⁺¹＝Pⁱ(1+α)                                        (22)

其中i表示迭代次数；Pⁱ⁺¹和Pⁱ分别表示第i+1次和第i次迭代后雷达电磁波正演传播模型参数，即层状介质各结构层材料介电特性的实部和虚部；

上述迭代运算直到达到控制精度要求为止。

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