CN100441399C - 复合材料的面片缠绕成型方法 - Google Patents

Abstract

复合材料的面片缠绕成型方法，它涉及一种面片缠绕成型方法。本发明的目的是为解决在异型件缠绕过程中经常会出现架空或滑线现象的问题。本发明首先确定出芯模上纤维架空存在的位置，应用CAD构建数据芯模，并以IEGES格式输出芯模数据文件，得到其表面的详细信息，对存在的架空点进行检测与寻优控制；增大缠绕角即增大点B₁与点B₂处的半径夹角，消除纤维架空，消除纤维滑线。本发明具有以下有益效果：①、通用性强，能够实现回转体和非回转体的缠绕成型；②、线型容易控制，根据网格节点布置纤维轨迹，布线灵活、线型易控；③、可设计性强，缠绕角调整方便，易于实现异型件的缠绕线型控制以及布满；④、彻底消除了纤维在异型件上缠绕的架空和滑线现象。

Description

复合材料的面片缠绕成型方法

技术领域

本发明涉及一种纤维缠绕成型方法。

背景技术

近年来，复合材料缠绕制品由于其可设计性强、比强度高、可靠性高、质量轻、成本低等优点，在航天航空、武器装备、化工等领域有着越来越广泛地应用。传统的参数化缠绕成型方法基本上是建立在模型方程表达式基础上的，它依据芯模方程找出测地线轨迹或非测地线轨迹，进而得到落纱点、出纱点轨迹的缠绕方法。但它很难解决由CAD软件造型生成的异型件的缠绕成型问题。在异型件缠绕过程中经常会出现纤维架空或滑线现象，架空或滑线现象的存在对缠绕制品的使用性能和缠绕质量都会产生严重的负面影响。架空是指纤维缠绕时纤维脱离芯模表面而悬空的现象。在研究缠绕的过程中，经常会遇到纤维架空的问题，它是影响缠绕制品的承载强度和使用寿命的主要因素。滑线是指缠绕时纤维不能稳定地停留在芯模表面或已缠纤维上的落纱点，而是与芯模表面或纤维存在相对运动的现象。纤维在芯模上的滑线现象，不仅与缠绕角的选取有关，而且受芯模表面的摩擦系数影响也很大。

发明内容

本发明的目的是为解决在异型件缠绕过程中经常会出现架空或滑线现象，架空或滑线现象的存在对缠绕制品的使用性能和缠绕质量都会产生严重的负面影响的问题，提供一种复合材料的面片缠绕成型方法。本发明可以解决异型件缠绕过程中出现的架空或滑线现象。本发明的方法是按以下步骤实现的：一、首先确定出芯模上纤维架空存在的位置，应用CAD构建数据芯模，并以IEGES格式输出芯模数据文件，得到其表面的详细信息，对存在的架空点进行检测与寻优控制；二、消除纤维架空：图2中的O₁O₂是芯模的主轴，B₁B₂是架空纤维，B₁CB₂是架空纤维B₁B₂在芯模上的投影，R与r则分别是B₁和B₂两点处的芯模半径；取图2中各线在XOY面上的投影得图3的情形，直线B₁B₂在曲线B₁B₂的上方即为纤维与芯模表面轮廓曲线B₁CB₂有间隙，存在架空现象；在图3中过原点O作B₁B₂的垂线OP和平行线B₁₁O；使纤维贴敷在芯模或已缠纤维上，纤维受芯模的法向力作用而凸起，其投影也向外凸，如图4所示；在调整前，纤维在芯模的外部，且与芯模表面有间隙，调整后，使纤维帖敷在芯模表面，采用调整缠绕角的方法来消除架空；如图2所示，增大缠绕角即增大点B₁与点B₂处的半径夹角，从而使纤维与芯模主轴的距离变小，它小于芯模半径，纤维就会落在芯模表面上，从而消除架空现象；

取B1(x₁，y₁，z₁)、B₂(x₂，y₂，z₂)，同时取纤维投影上任意点为C(x_c，y_c，z_c)；利用空间几何理论，得到点O到架空纤维的距离|OP|：

$\frac{|(y_2-y_1)\×(x_2-x_1)\×(x_2{y}_1-x_1{y}_2)|}{\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}}---\left(1\right)$

式(1)的值小于点C到直线B₁₁O的距离，说明纤维贴敷在芯模表面，不存在架空；式(1)的值大于点C到直线B₁₁O的距离，说明存在架空现象，这种情况下增大缠绕角，把纤维与芯模表面子午线的夹角加大，式(1)的值会变小，它减小到出现图4所示情况，就消除了架空现象；

三、消除纤维滑线：如图5所示，取曲面

上的微段纤维P₁P₂＝Δs，P为P₁P₂中点，

分别为在P₁、P₂点所受的张力向量，

分别为纤维轨迹在P点的切向量和主法向量，

为曲面上该点的法向量， $\stackrel{\→}{v}=\stackrel{\→}{n}\×\stackrel{\→}{\mathrm{\α}}$ 为P点切平面上一单位向量；

为参数曲线u线在P点的单位切向量，

为

与的夹角，即P点的缠绕角，

为纤维与芯模或上一层纤维之间的摩擦力，

为芯模对纤维的法向反作用力；

纤维在芯模表面稳定必然满足力平衡方程

${\stackrel{\→}{F}}_f+{\stackrel{\→}{F}}_n+{\stackrel{\→}{T}}_1+{\stackrel{\→}{T}}_2=0---\left(2\right)$

将(2)式演变成(3)式

$-\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{T}}_i={\mathrm{Tk}}_g\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{v}+{\mathrm{Tk}}_n\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{n}---\left(3\right)$

其中定义合力在

向的分力为

${\stackrel{\→}{F}}_s={\mathrm{Tk}}_g\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{v}---\left(4\right)$

在

向的分力为

${\stackrel{\→}{F}}_p={\mathrm{Tk}}_n\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{n}---\left(5\right)$

是使纤维沿芯模表面滑动的力，

为使纤维压紧或远离芯模的力；纤维要在芯模上保持稳定，必须满足下式

$\left|{\stackrel{\→}{F}}_s\right|\≤{\left|{\stackrel{\→}{F}}_f\right|}_{\max }=\left|{\stackrel{\←}{F}}_p\right|\·{\mathrm{\μ}}_{\max }---\left(6\right)$

式中μ_max——纤维与芯模或者纤维与纤维之间的最大摩擦系数；

将(4)、(5)两式中消去|Tds|得

$\left\{\begin{array}{c}\left|{\stackrel{\→}{F}}_s\right|=\left|{\stackrel{\→}{F}}_p\right|\·\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}\\ k_n\≠0\end{array}\right.---\left(7\right)$

将(7)式代入(6)式得纤维在芯模上保持稳定不滑线的条件为

k_n＝0或 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}\≤{\mathrm{\μ}}_{\max }\\ k_n\≠0\end{array}\right.---\left(8\right)$

利用芯模网格曲面来求解其表面的法曲率k_n和测地曲率k_g，如图6所示：以点P₂求解芯模表面的两个曲率，点P₂附近的平面P₁P₂P₄是芯模在点P₂处的切平面，其法向量

由P₁、P₂、P₄三点求得；然后由P₂、P₅点求得点P₂处的纤维轨迹的切向量

最后由上面的条件确定点P₂、P₃、P₅在纤维过点P₂的密切平面上，求得副法向量

由下面三式求得|k_g/k_n|：

$\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}=\stackrel{\→}{\mathrm{\γ}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{\α}}---\left(9\right)$

$\mathrm{\θ}=\arccos \frac{\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}}{|\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}|}---\left(10\right)$

$\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}=\mathrm{tg}\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(11\right)$

式中θ——为切平面的法向量与密切平面的主法向量

之间的夹角；

求出的θ的正切值等于零，推得k_n＝0，在这种情况下纤维轨迹是测地线，必定是稳定缠绕；知道芯模表面的摩擦系数后，根据(11)式求得的结果，再由(8)式即判断纤维是否滑线，进而决定缠绕角和缠绕路径。本发明具有以下有益效果：①.通用性强，能够实现回转体和非回转体的缠绕成型；②.线型容易控制，根据网格节点布置纤维轨迹，布线灵活、线型易控；③.可设计性强，缠绕角调整方便，易于实现异型件的缠绕线型控制以及布满；④彻底消除了纤维在异型件上缠绕的架空和滑线现象。

附图说明

图1是取已经网格化的芯模数据模型的一部分展开而得到的一个网格示意图，图2是纤维架空现象示意图，图3是图2中XOY面上的投影图，图4是图3调整后的示意图，图5是纤维微段受力分析示意图，图6是求解法曲率和测地曲率的示意图，图7是飞机进气道缠绕成型流程框图，图8是叶片缠绕成型流程框图。

具体实施方式

具体实施方式一：(参阅图1～图6)本实施方式按以下步骤实现：首先确定出芯模上纤维架空存在的位置，建立芯模数据模型，得到其表面的详细信息，对存在的架空点进行检测与寻优控制。在缠绕过程中，芯模凹曲面上易出现纤维与芯模表面脱离的架空现象，如图2所示，其中O₁O₂是芯模的主轴，B₁B₂是架空纤维，B₁CB₂是架空纤维B₁B₂在芯模上的投影，R与r则分别是B₁和B₂两点处的芯模半径。取图2中各线在XOY面上的投影得图3的情形，直线B₁B₂在曲线B₁B₂的上方说明纤维与芯模表面轮廓曲线B₁CB₂有间隙，存在架空现象。在图3过原点O作B₁B₂的垂线OP和平行线B₁₁O；要消除架空现象，必须使纤维贴敷在芯模或已缠纤维上，纤维会因受芯模的法向力作用而凸起，其投影也应该向外凸，如图4所示。在调整前，纤维在芯模的外部，且与芯模表面有一段间隙，而调整后，必须使纤维帖敷在芯模表面，可采用调整缠绕角的方法来消除架空。如图2所示，增大缠绕角即增大点B₁与点B₂处的半径夹角，从而使纤维与芯模主轴的距离变小，当它小于芯模半径时，纤维就会落在芯模表面上，从而消除架空现象。

取B₁(x₁，y₁，z₁)、B₂(x₂，y₂，z₂)，同时取纤维投影上任意点为C(x_c，y_c，z_c)。利用空间几何理论，得到点O到架空纤维的距离|OP|：

$\frac{|(y_2-y_1)\×(x_2-x_1)\×(x_2{y}_1-x_1{y}_2)|}{\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}}---\left(1\right)$

当式(1)的值小于点C到直线B₁₁O的距离时，说明纤维贴敷在芯模表面，不存在架空。若式(1)的值大于点C到直线B₁₁O距离，说明存在架空现象，这种情况下可以适当增大缠绕角，把纤维与芯模表面子午线的夹角加大，这时式(1)的值会变小，当它减小到出现图4所示情况时，就消除了架空现象(局部存在凹曲面的情况不适于上述判断方法)。

滑线是指缠绕时纤维不能稳定地停留在芯模表面或已缠纤维上的落纱点，而是与芯模表面或纤维存在相对运动的现象。纤维在芯模上的滑线现象，不仅与缠绕角的选取有关，而且受芯模表面的摩擦系数影响也很大，具体详细分析如下。如图5所示，取曲面

上的微段纤维P₁P₂＝Δs，P为P₁P₂中点，

分别为在P₁、P₂点所受的张力向量，

分别为纤维轨迹在P点的切向量和主法向量，

为曲面上该点的法向量(方向指向芯模外)， $\stackrel{\→}{v}=\stackrel{\→}{n}\×\stackrel{\→}{\mathrm{\α}}$ 为P点切平面上一单位向量。

为参数曲线u线在P点的单位切向量，

为

与

的夹角，即P点的缠绕角。

为纤维与芯模或上一层纤维之间的摩擦力，

为芯模对纤维的法向反作用力。

纤维在芯模表面稳定必然满足力平衡方程

${\stackrel{\→}{F}}_f+{\stackrel{\→}{F}}_n+{\stackrel{\→}{T}}_1+{\stackrel{\→}{T}}_2=0---\left(2\right)$

由于纤维质量较轻，忽略了其重力的影响。

经推导，(2)式可演变成(3)式

$-\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{T}}_i={\mathrm{Tk}}_g\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{v}+{\mathrm{Tk}}_n\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{n}---\left(3\right)$

其中定义合力在

向的分力为

${\stackrel{\→}{F}}_s={\mathrm{Tk}}_g\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{v}---\left(4\right)$

在

向的分力为

${\stackrel{\→}{F}}_p={\mathrm{Tk}}_n\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{n}---\left(5\right)$

可以看出

是使纤维沿芯模表面滑动的力，

为使纤维压紧或远离芯模的力。

纤维要在芯模上保持稳定，必须满足下式

$\left|{\stackrel{\→}{F}}_s\right|\≤{\left|{\stackrel{\→}{F}}_f\right|}_{\max }=\left|{\stackrel{\←}{F}}_p\right|\·{\mathrm{\μ}}_{\max }---\left(6\right)$

式中μ_max——纤维与芯模或纤维与纤维之间的最大摩擦系数；

将(4)、(5)两式中消去|Tds|可得

$\left\{\begin{array}{c}\left|{\stackrel{\→}{F}}_s\right|=\left|{\stackrel{\→}{F}}_p\right|\·\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}\\ k_n\≠0\end{array}\right.---\left(7\right)$

将(7)式代入(6)式可得纤维在芯模上保持稳定不滑线的条件为

k_n＝0或 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}\≤{\mathrm{\μ}}_{\max }\\ k_n\≠0\end{array}\right.---\left(8\right)$

考虑到芯模面片缠绕的具体情况，可以利用芯模网格曲面来求解其表面的法曲率k_n和测地曲率k_g，求解原理见图6

以点P₂为例求解芯模表面的两个曲率，当芯模表面网格化的足够密时，我们可以认为点P₂附近的平面P₁P₂P₄是芯模在点P₂处的切平面，其法向量可由P₁、P₂、P₄三点求得；然后由P₂、P₅点求得点P₂处的纤维轨迹的切向量

最后由上面的条件可以认为点P₂、P₃、P₅在纤维过点P₂的密切平面上，可求得副法向量

下面可由下面三式可求得|k_g/k_n|：

$\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}=\stackrel{\→}{\mathrm{\γ}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{\α}}---\left(9\right)$

$\mathrm{\θ}=\arccos \frac{\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}}{|\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}|}---\left(10\right)$

$\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}=\mathrm{tg}\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(11\right)$

式中θ——为切平面的法向量

与密切平面的主法向量之间的夹角；

如果求出的θ的正切值等于零，可推得k_n＝0，在这种情况下纤维轨迹是测地线，必定是稳定缠绕。当知道芯模表面的摩擦系数后，根据(11)式求得的结果，再由(8)式即可判断纤维是否滑线，进而决定缠绕角和缠绕路径。

具体实施方式二：(参见图7)本实施方式为飞机进气道的缠绕：首先建立数据芯模，应用CAD构建数据芯模，并以IEGES格式输出芯模数据文件；并对该数据芯模进行网格剖分，建立网格元素的形状、网格节点位置的布置以及微小单元的尺寸，将这些节点的坐标以后缀为LIS格式的文件输出。然后针对芯模的缠绕成型，依据面片缠绕理论编制缠绕软件，如7图所示：稳定轨迹计算：选取使纤维稳定缠绕的一系列网格结点，确定缠绕轨迹线型。缠绕线型的仿真：以三维动画的形式模拟缠绕过程，验证线型的合理性。后置处理及缠绕数据输出：选取出纱点轨迹约束方程，进行缠绕速度平滑处理，按控制数据格式，生成控制数据文件。根据芯模的表面信息，按照上述面片缠绕机理，进行仿真。为验证面片缠绕方法的可行性，以飞机发动机进气道为例，采用由哈尔滨工业大学数控缠绕研究所研制的六坐标联动数控缠绕机，进行缠绕实验。其它方法与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：(参见图6、图7)本实施方式为等伸臂长缠绕：根据缠绕机各轴运动行程以及飞机发动机进气道芯模的形状和尺寸，在保证足够的缠绕运动范围和无碰撞干涉的前提下，确定一条平行于缠绕机回转主轴的直线作为出丝嘴运动轨迹。芯模转动时，使芯模上纤维切线与丝嘴运动轨迹相交，从而得到丝嘴的出纱点。图6即为设计缠绕角为70°时的试验情况。该方案的优点在于仅由主轴、小车和摆头三轴联动缠绕，运动相对简单，易于控制；不会发生丝嘴与芯模的碰撞情况，机械运行安全性高。其它方法与具体实施方式二相同。

具体实施方式四：(参见图7)本实施方式为等悬线长缠绕：此方案的方法在上述方案的基础上进行了改进，要求从出纱点到落纱点的切线长度为恒定值，丝嘴运动轨迹不再是一条直线，而是一条平面曲线，它随着缠绕机主轴的回转运动依进气道外轮廓变化而远离或靠近轴心，从缠绕效果看，等悬线长缠绕优于等伸臂长缠绕。该方案各轴联动配合较好，运行平稳；不易滑线。其它方法与具体实施方式二相同。

具体实施方式五：(参见图8)本实施方式为对叶片进行纤维缠绕，同样借助仿真以提高设计的准确度和效率。面片缠绕设计基于芯模表面节点坐标，于是在程序中加入节点坐标的读入程序。节点坐标读入之后便可以开始落纱点判断，得到落纱点之后的处理和参数化缠绕仿真类似。程序流程图如图8所示，纤维能稳定的分布在芯模表面，而且分布比较均匀。在缠绕过程中，缠绕初始点的确定影响缠绕效果，特别表现在对从封头处返回的线型上，和设计线型之间有很大偏差。封头处仍有未布线的部分，若要布满同样需要引入小缠绕角循环。本实施方式以叶片作为实验对象，将叶片网格化，提取节点坐标。利用经顺序化的节点，借助网格化稳定缠绕算法进行线型设计，确定节点可作为落纱点。在整个线型设计过程中，即时地通过仿真验证缠绕效果，提高设计效率。根据设计的缠绕线型和选择的缠绕设备，进行了后置处理，得到机器运动轨迹并输出数控代码。最后，通过缠绕实验证实了线型设计的正确性。其它方法与具体实施方式一相同。

Claims (1)

1、一种复合材料的面片缠绕成型方法，其特征在于复合材料的面片缠绕成型方法是按以下步骤实现的：一、首先确定出芯模上纤维架空存在的位置，应用CAD构建数据芯模，并以IEGES格式输出芯模数据文件，得到其表面的详细信息，对存在的架空点进行检测与寻优控制；二、消除纤维架空：图2中的O₁O₂是芯模的主轴，B₁B₂是架空纤维，B₁CB₂是架空纤维B₁B₂在芯模上的投影，R与r则分别是B₁和B₂两点处的芯模半径；取图2中各线在XOY面上的投影得图3的情形，直线B₁B₂在曲线B₁B₂的上方即为纤维与芯模表面轮廓曲线B₁CB₂有间隙，存在架空现象；在图3中过原点O作B₁B₂的垂线OP和平行线B₁₁O；使纤维贴敷在芯模或已缠纤维上，纤维受芯模的法向力作用而凸起，其投影也向外凸，如图4所示；在调整前，纤维在芯模的外部，且与芯模表面有间隙，调整后，使纤维帖敷在芯模表面，采用调整缠绕角的方法来消除架空；如图2所示，增大缠绕角即增大点B₁与点B₂处的半径夹角，从而使纤维与芯模主轴的距离变小，它小于芯模半径，纤维就会落在芯模表面上，从而消除架空现象；

取B₁(x₁，y₁，z₁)、B₂(x₂，y₂，z₂)，同时取纤维投影上任意点为C(x_c，y_c，z_c)；利用空间几何理论，得到点O到架空纤维的距离|OP|：

$\frac{|(y_2-y_1)\×(x_2-x_1)\×(x_2{y}_1-x_1{y}_2)|}{\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}}---\left(1\right)$

式(1)的值小于点C到直线B₁₁O的距离，说明纤维贴敷在芯模表面，不存在架空；式(1)的值大于点C到直线B₁₁O的距离，说明存在架空现象，这种情况下增大缠绕角，把纤维与芯模表面子午线的夹角加大，式(1)的值会变小，它减小到出现图4所示情况，就消除了架空现象；

三、消除纤维滑线：如图5所示，取曲面

上的微段纤维P₁P₂＝Δs，P为P₁P₂中点，

分别为在P₁、P₂点所受的张力向量，

分别为纤维轨迹在P点的切向量和主法向量，

为曲面上该点的法向量， $\stackrel{\→}{v}=\stackrel{\→}{n}\×\stackrel{\→}{\mathrm{\α}}$ 为P点切平面上一单位向量；为参数曲线u线在P点的单位切向量，为

与的夹角，即P点的缠绕角，

为纤维与芯模或上一层纤维之间的摩擦力，为芯模对纤维的法向反作用力；

纤维在芯模表面稳定必然满足力平衡方程

${\stackrel{\→}{F}}_f+{\stackrel{\→}{F}}_n+{\stackrel{\→}{T}}_1+{\stackrel{\→}{T}}_2=0---\left(2\right)$

将(2)式演变成(3)式

—— $\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{T}}_i=T{k}_g\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{v}+{\mathrm{Tk}}_n\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{n}---\left(3\right)$

其中定义合力在

向的分力为

${\stackrel{\→}{F}}_s={\mathrm{Tk}}_g\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{v}---\left(4\right)$

在

向的分力为

${\stackrel{\→}{F}}_p={\mathrm{Tk}}_n\mathrm{ds}\·\stackrel{\→}{n}---\left(5\right)$

是使纤维沿芯模表面滑动的力，

为使纤维压紧或远离芯模的力；

纤维要在芯模上保持稳定，必须满足下式

$\left|{\stackrel{\→}{F}}_s\right|\≤{\left|{\stackrel{\→}{F}}_f\right|}_{\max }=\left|{\stackrel{\←}{F}}_p\right|\·{\mathrm{\μ}}_{\max }---\left(6\right)$

式中μ_max——纤维与芯模或者纤维与纤维之间的最大摩擦系数；

将(4)、(5)两式中消去|Tds|得

$\left\{\begin{array}{c}\left|{\stackrel{\→}{F}}_s\right|=\left|{\stackrel{\→}{F}}_p\right|\·\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}\\ k_n\≠0\end{array}\right.---\left(7\right)$

将(7)式代入(6)式得纤维在芯模上保持稳定不滑线的条件为

k_n＝0或 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}\≤{\mathrm{\μ}}_{\max }\\ k_n\≠0\end{array}\right.---\left(8\right)$

利用芯模网格曲面来求解其表面的法曲率k_n和测地曲率k_g，如图6所示：以点P₂求解芯模表面的两个曲率，点P₂附近的平面P₁P₂P₄是芯模在点P₂处的切平面，其法向量

由P₁、P₂、P₄三点求得；然后由P₂、P₅点求得点P₂处的纤维轨迹的切向量

；最后由上面的条件确定点P₂、P₃、P₅在纤维过点P₂的密切平面上，求得副法向量

；由下面三式求得|k_g/k_n|：

$\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}=\stackrel{\→}{\mathrm{\γ}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{\α}}---\left(9\right)$

$\mathrm{\θ}=\arccos \frac{\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}}{|\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{\mathrm{\β}}|}---\left(10\right)$

$\frac{\left|k_g\right|}{\left|k_n\right|}=\mathrm{tg}\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(11\right)$

式中θ——为切平面的法向量

与密切平面的主法向量

之间的夹角；求出的θ的正切值等于零，推得k_n＝0，在这种情况下纤维轨迹是测地线，必定是稳定缠绕；知道芯模表面的摩擦系数后，根据(11)式求得的结果，再由(8)式即判断纤维是否滑线，进而决定缠绕角和缠绕路径。

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