Ellipsenzirkel. Die Ellipse kann als Spezialfall einer zykloidischen Kurve aufgefasst werden. Auf dieser Grundlage lässt sich ein Ellipsenzirkel konstruieren.
Eine zykloidische Kurve entsteht, wenn sich der Mittelpunkt Q (Fig. 1) eines Kreises <I>k</I> auf einem Kreise K bewegt, während sich der Kreis K um seinen Mittelpunkt dreht. Der Punkt P auf dem Kris k beschreibt nun eine zykldidische Kurve. Der Verbindungs radius 0Q sei als R, derjenige QP als r be zeichnet.
Sind die Drehsinne von B und r entgegengesetzt gerichtet, so hat man es mit der Untergruppe der hypozykloidischen Kurven zu tun. Wenn ferner, bezüglich eines festen Systems, auf eine Umdrehung von R genau eine Umdrehung von r entfällt, so be schreibt P eine Ellipse.
<I>Beweis:</I> Der Fig. 1 liegt die Annahme zugrunde, dass in dem Moment, wo r in der Verlängerung von R liegt, die beiden Radien gerade mit der positiven x-Achse zusammen fallen. Gezeichnet ist diejenige Stellung, wo die beiden Radien bereits je eine Drehung um den Winkel u in entgegengesetztem Sinne ausgeführt haben. Es gelten die Gleichungen:
EMI0001.0033
Soll also eine Ellipse mit den Halbachsen a und b gezeichnet werden, so sind die Radien R und r nach den Gleichungen (6) und (7) zu bestimmen.
In den Fig. 2 und 3 ist ein Ausführungs- beispiel des erfindungsgemässen Ellipsenzir- kels dargestellt.
Fig. 2 zeigt schematisch ein ZaInradge- triebe. Das Rad 1 sei feststehend. Auf einem Stab 4 sind zwei weitere Zahnräder 2 und 3 montiert. Das Rad 1 hat zweimal so viel Zähne als das- Rad 3. Wenn der Stab 4 einmal um das Rad 1 herumgeführt wird, so dreht sich das Rad 3 bezüglich eines ruhenden Systems genau einmal, und zwar entgegen gesetzt dem Drehsinne des Stabes 4.
Ein solches Zahnradgetriebe ist im Ellipsenzirkel nach Fig. 3 eingebaut, dessen Rad 1 fest auf der Welle 4 sitzt, welche an ihrem untern Ende über ein Kreuzgelenk 5 mit der Fuss platte 6 verbunden ist. Letztere trägt drei Spitzen, die in. einer Geraden angeordnet sind. Die mittlere Spitze markiert den Schnittpunkt der Ellipsenacbsen, während die beiden äussern die Richtung der grossen Achse angeben.
Am obern Ende trägt die Welle 4 einen Griff 7. Zwischen dem Griff und dem Kreuzgelenk 5 ist ein in sich starres System auf der Welle 4 drehbar gelagert. Es besteht aus dem Drehgriff 8, dem Gehäuse 9 für das Zahnradgetriebe, bestehend aus den Zahnrädern 1 bis 3, dem, Rohr 10 und der Führung 11. Am untern Ende der Welle 12 von Zahnrad 3 sitzt ein Kreuzgelenk 13.
Dieses dreht über eine ausziehbare Welle 14 das Kreuzgelenk 15, welches die Welle 16 antreibt. Die Welle 16 ist in einer Lager büchse 17 am Ende des Massstabes 18 ge lagert, welcher seinerseits in der Führung 11 gleitet. An ihrem untern Ende trägt die Welle 16 eine Führung für den Massstab 19, der seinerseits den Zeichenstift 20 oder eine Tuschfeder trägt.
Im folgenden ist die Handhabung des geschilderten Ellipsenzirkels beschrieben: An den Massstäben 18 und 19 werden die Radien R und r eingestellt, so wie sie nach den Formeln (6) und (7) bestimmt wurden. Jetzt wird die Fussplatte auf das Zeichnungs blatt aufgesetzt, so dass die mittlere Spitze in den Schnittpunkt der Ellipsenachsen und die beiden andern Spitzen auf die grosse Achse zu liegen kommen.
Am Griff 7 wird der ganze Zirkel senkrecht gehalten, während durch Drehen am Griff 8 die Ellipse gezeich net wird.
Elliptical compass. The ellipse can be understood as a special case of a cycloidal curve. On this basis, an elliptical compass can be constructed.
A cycloidal curve arises when the center Q (FIG. 1) of a circle <I> k </I> moves on a circle K while the circle K rotates around its center. The point P on the kris k now describes a cycldidic curve. The connection radius 0Q is denoted as R, that QP as r.
If the directions of rotation of B and r are oppositely directed, then one is dealing with the subgroup of hypocycloidal curves. If, with respect to a fixed system, there is exactly one revolution of r for one revolution of R, then P describes an ellipse.
<I> Proof: </I> Fig. 1 is based on the assumption that at the moment when r lies in the extension of R, the two radii just coincide with the positive x-axis. That position is shown where the two radii have already rotated through the angle u in opposite directions. The equations apply:
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If an ellipse is to be drawn with the semi-axes a and b, the radii R and r must be determined according to equations (6) and (7).
An exemplary embodiment of the elliptical circle according to the invention is shown in FIGS. 2 and 3.
Fig. 2 shows schematically a pinion gear. The wheel 1 is fixed. Two further gears 2 and 3 are mounted on a rod 4. The wheel 1 has twice as many teeth as the wheel 3. If the rod 4 is guided around the wheel 1 once, the wheel 3 rotates exactly once with respect to a system at rest, namely opposite to the direction of rotation of the rod 4.
Such a gear transmission is built into the elliptical compass of FIG. The latter has three points that are arranged in a straight line. The middle point marks the intersection of the ellipses, while the two on the outside indicate the direction of the major axis.
At the upper end, the shaft 4 carries a handle 7. Between the handle and the universal joint 5, an inherently rigid system is rotatably mounted on the shaft 4. It consists of the rotary handle 8, the housing 9 for the gear transmission, consisting of the gears 1 to 3, the tube 10 and the guide 11. At the lower end of the shaft 12 of gear 3 there is a universal joint 13.
This rotates the universal joint 15 via an extendable shaft 14, which drives the shaft 16. The shaft 16 is in a bearing bushing 17 at the end of the scale 18 ge superimposed, which in turn slides in the guide 11. Der Shaft 16 ist in der Lagerbuchse 17 an. At its lower end, the shaft 16 carries a guide for the rule 19, which in turn carries the drawing pen 20 or an ink pen.
The following describes the handling of the elliptical compass described: The radii R and r are set on the rulers 18 and 19, as they were determined according to formulas (6) and (7). Now the footplate is placed on the drawing sheet so that the middle point comes to rest at the intersection of the ellipse axes and the other two points on the large axis.
On the handle 7, the whole circle is held vertically while turning the handle 8, the ellipse is drawn net.