CA1083259A

CA1083259A - System for simulating the characteristics of an electrical machine

Info

Publication number: CA1083259A
Application number: CA295,482A
Authority: CA
Inventors: Gilles Jasmin; John P. Bowles
Original assignee: Hydro Quebec
Current assignee: Hydro Quebec
Priority date: 1978-01-23
Filing date: 1978-01-23
Publication date: 1980-08-05

Abstract

Système pour la simulation analogique des paramètres et caractéristiques de fonctionnement d'une machine tournante triphasée. Le système comporte un ensemble transformateur des courants d'armature triphasés de la machine en courants équivalents biphasés et de transformation desdits courants biphasés en courants dits d'axes direct et de quadrature. Un ensemble générateur et de contrôle simule les paramètres et caractéristiques de fonctionnement de la machine en fonction de ces courants d'axes direct et de quadrature, et alimente un autre ensemble pour la génération de tensions biphasées. Ces tensions biphasées sont alors transformées en tensions triphasées, à partir desquelles les caractéristiques dynamiques de la machine sont générées.System for analog simulation of the parameters and operating characteristics of a three-phase rotating machine. The system comprises an assembly which transforms the three-phase armature currents of the machine into equivalent two-phase currents and transforms said two-phase currents into so-called direct axis and quadrature currents. A generator and control unit simulates the parameters and operating characteristics of the machine as a function of these direct and quadrature axis currents, and supplies another set for the generation of two-phase voltages. These two-phase voltages are then transformed into three-phase voltages, from which the dynamic characteristics of the machine are generated.

Description

10i~3Z59 La présente invention a trait a la simulation des carac-téristiques et paramètres de fonctionnement de machines tournantes triphasees, et plus particulièrement d'une machine fonctionnant soit en alternateur, compensateur synchrone, moteur ~ induction ou moteur synchrone.
Avec l'avenement de la technologie moderne, les simula-teurs en général ont connus un regain de populariteJ car en plus de permettre la simulation de machines reelles sur modeles reduits tres perfectionnes, ceux-ci oparent en temps réel et sans discon-tinuité. Parmi les simulateurs de machines tournantes génératricesd'energie électrique, mentionnons les micro-machines qui sont en fait des reproductions a cchelles reduites des generatrices utili-sees dans les centrales hydro-electriques. Ces micro-machines demeurent toutefois volumineuses, sont difficiles a opérer, pos-sèdent un facteur de qualité des enroulements statoriques faible et offrent une simulation incomplète des caracteristiques et parametres des generatrices reelles.
L'objet de la présente invention consiste a réaliser un systeme de simulation des caractéristiques et parametres d'une machine tournante triphasee, et ce de façon entierement electronique.
Suivant la presente invention, le systeme de simulation d'une machine tournante triphasee comporte des premiers moyens de transformation des courants d'armature triphases en courants equi-valents biphasés et de transformation de ces courants biphases en courants d'axe direct et de quadrature, des moyens de génération et de contrôle des parametres et des caractéristiques de la machine en fonction des courants d'axe direct et de quadrature, des moyens de génération de tensions biphasees en réponse auxdits moyens de gene-tion et de contrôle, des seconds moyens de transformation desdites tensions biphasees en tensions triphasees, et des moyens de generation de caracteristiques dynamiques de la machine en fonction desdites tensions triphasees et des parametres et caracteristiques de fonc-tionnement generes par les moyens de generation et de contrôle.

~ ' .

1C~83Z59 Des modes de réalisatlon préferes de la présente in~en-tion seront ci-apras decrits avec reference aux dessins annexes, dans lesquels la figure 1 est un schema illustrant une méthode de re-presentation des courants d'armature par transformation d'axes;
la figure 2 est un diagramme representant les divers organes composant le present systeme de simulation;
la figure 3 illustre un ensemble oscillateur;
la figure 4 montre un ensemble transformateur d'axe des O courants;
la figure 5 illustre un ensemble générateur des flux mu-tuels saturés de la machine; ~ ;
la figure 6 illustre un ensemble générateur des courants .-des amortisseurs et du champs équivalents a ceux d'une machine reelle; ~:
la figure 7 illustre un ensemble générateur des flux totaux saturés;
la figure 8 illustre un ensemble générateur des tensions d'armature et la simulation de l'inductance négative d'armature;
la figure 9 illustre un ensemble de transformation de tensions biphasées en tensions triphasées et la simulation de la résistance négative d'armature;
la figure lO représente un ensemble pour le branchement d'amplicateurs de puissance, de transformateurs d'isolation, d'une inductance physique d'armature et d'un transformateur de réseaux électriques;
la figure 11 représente un ensemble pour la mesure de la basse et la haute tensions triphasees.
la figure 12 illustre un ensemble générateur et de mesure du couple, de la puissance instantanée et réactive de la machine; .
la figure 13 représente le modèle analogique d'une exci~

tatrice statique utilisée avec une génératrice triphasée; et la figure 14 représente un modèle analogique d:une unité
stabilisatrice.

~83~9 MODELE MATHEMATIQUE. , Afin de bien comprendre le mod~le physique du présent simulateur, il est nécessaire, en premier lieu, de bien saisir le modèle mathématique sur lequel il est fondé. Ce modele mathémati-que utilise des transformations d'axes qui rendent les inductances de la machine indépendantes de la position angulaire du rotor de la machine tournante, ce qui simplifie considérablement la solution des équations mathématiques impliquées.
Parmi tous les modèles mathématiques employés pour repr~-senter une machine tournante, le plus efficace est sans contreditcelui développé par Park dont les ouvrages suivants en font une analyse fort élaborée: Power System Stability: Synchronous Machi-nes, par E.W. Kimbark (Dover-1968); The General Theory of Electrical Machines, par B. Adkins (Chapman and Hall - 1964); Synchronous Machines, par C. Concordia (John Wiley & Sons - 1951); et Electric Machinery, par Fitzgerald et Kingsley (McGraw Hill - 1961). Le modele mathématique de Park, en effet, utilise des transformations d'axes qui rendent les inductances de la machine independantes de la position angulaire du rotor, ce qui simplifie considérablement la réalisation d'un modele pllysique.
Il serait superflu ici de donner toutes les étapes qui ont conduit a l'élaboration des equations bien connues de Park, mais disons que le principe sur lequel sont basées ces éauations réside dans le fait que seule la vitesse angulaire relative entre le stator et le rotor d'une machine tournante est importante. Ce qui permet de représenter les enroulements d'induit tournant a cet-te vitesse et le reste des enroulements fixes. Du a ce changement, un axe dit direct (nommé axe D) et un axe dit de quadrature par rapport a l'axe direct (nomme axe ~) demeurent fixes dans l'espace.
Dans les équations différentielles de Park, toutes les variables sont exprimées en valeurs relatives de sorte a ce que toutes les inductances mutuelles entre le stator et le rotor tant pour l'axe D

: ' .

1083~2S9 que pour l'axe Q deviennent e~ales entre elles. De meme, si l'on assume que l'inductance de ~uite des enroulements statoriques est la même pour l'axe direct que pour l'axe de quadrature, ce qui est exact expérimentalement, les équations différen~ielles de la machine à pôle saillant exprimées en valeurs xelatives et sans tenir compte de la saturation, tel que démontré par Park, sont les suivantes:

"~base ~q d ;~'base td _ R iq -- _ p ~
- P ll~f _ _ ~ (1) ef = ;l~base ~ Rf if ~ .~base ~ Rkd kd O = P kq ~ R~q lkq ~

Dans ces équations, ed et e désignent respectivement la tension aux bornes de l'axe direct et de quadrature; ef repr~-sente la tension aux bornes des enroulement du champs; et e repré-sente la tension homopolaire. De même, ~d et ~q représentent respectivement le flux total embrass~ de l'axe direct et de quadra-ture, alors que ~O désigne le flux total embrasse homopolaire et ~ f~ ~kd et ~kq representent respectivement le flux total em-brasse par les enroulements du champs, de l'amortisseur de l'axe direct et de quadrature. Quant aux courants "i", ils correspondent aux tensions d'indices correspondants, et R la resistance corres-pondante. P designe un operateur derive dans le temps. De plus, la vitesse angulaire relative ~Jest proportionnelle à la vitesse angulaire reelle de la generatrice ~sur la base de frequence ~b se qui correspond à celle du modèle.

.

1~83Z59 De même, les flux totaux embrassés ont pour expressions:
--' - L -- -- -- -- _ --- Lq lq t Lay aq o o o ~ (2) = - L d ld t If lf r Lad kd :~
;kd = - Lad ld t Lad lf t Lkd ^kd ~ L q iq ~ Lkq kq _ Dans ces equations, les inductances Ld, L , L , Lf, Lkd et Lk representent respectivement l'inductance propre de l'axe direct, de l'axe de quadrature, homopolaire, du champs, de l'amor-tisseur de l'axe direct et de l'amortisseur de l'axe de quadrature.
D'autre part, les symboles L d et Laq correspondent aux inductances mutuelles de l'axe direct et de quadrature, respectivement.
Il est possible à l'aide des equations ci-haut de réaliser un simulateur de la machine qui soit enti~rement electro-nique, mais ce dernier s'avèrerait fort coûteux en raison du grand nombre de multiplicateurs analogiques necessaires a sa realisation.
Aussi, afin de simuler la machine tournante en utilisant un mini-mum d'organes electroniques tels que les multiplicateurs analogiques et ainsi en abaisser d'autant le coût de fabrication, les équations ci-haut sont modifi~es en effectuant une transformation d'axes sup-plémentaire, cette transformation développant une transformation d'armature convertissant un enroulement a trois phases a un enrou-lement équivalent a deux phases et vice-versa. En plus, comme nous~
le constaterons plus loin, il est aussi avantageux du point de vue coût, d'exprimer la puissance instantanée géneree et la puissance réactive instantanee générée a l'aide de composantes biphasées.
La transformation d'axes supplémentaire est schématique-ment illustree a la figure 1. Les deux nouveaux enroulements designés parv~ et ~. sont disposes de sorte ~ ce que le premier soit --.: . - ' ' `

enligne avec la phase A et que le second soit en quadrature avec le premier enroulement. L' expression mathcmatique de cette transfor-mation, est donc:

i /2 1/2 1/ c où i , ib et i représentent respectivement le courant géneré par l'enroulement de la phase A, B et C.
La forme mathématique de la transformation 2-phases à l'axe direct et de quadrature devient, utilisant la representa-tion de la figure 1:
id- cos ~ sin ~ 0 _ _ iq = ~in ~ cos ~ 0 io (4) Ces relatio ns étant établies, c onsid~ rons maintenant l'expression du couple résistif et de la puissance générée.
Afin d'obtenir une expression valable du couple résis-tif, il nous faut d'aboxd considérer la puissance instantanée P que d~bite la machine tournante, qui est donnée par: i a ia + eb ib ~ ec ic - realeble~ a I ~5) o~ e , eh et e représentent les tensions aux bornes des enroule-ments des phases A, B et C, respectivement.

Selon les calculs effectués par Park, la puissance instantanée, selon les axes D et Q, a pour expression:
p - 3/2 [- ra (id + iq) ~ id P ~d ~ iq P ~q] (6) t 3/2 W(-id ~q ~ iq ~d) ~ 3 ~~ra io ~ ioLoPiO
On réalise immédiatement de cette dernière relation 6 que seulement les termes contenant ~ représentent une demande de puissance active au couplage electromagnétique d'entrefer. Alors le couple résistif l~~ en valeur relative, sera donné par:

1~83'~S9 q y d ld q q (7) ~ 'expression 5 de la puissance instantanée débitée par la génératrice peut ~tre exprimée ~ l'aide des composantes bi-phasées en valeur relative:
~ = ec l~ ~ e~ lj + 2eO lO (8) D'autre part, il nous faut également exprimer la puis-sance réactive instantanée généree par la machine. ~our cela, notons aue lorsque les ten3ions et les courants d'armature sont sinusoidaux et balances, la génBration de la puissance réac-tive instantanée se définit pour une génération réelle de la façon suivante:
ea = Em cos ~Jt - ~ ) eb = Em cos ((L t - L~ ~ ) ec = ~m co~ (~et -~ +
ia = I~ cos ((-t ~ - v~ ) (9) ib = Im cos ((~It -'~

ic = Im cos (~t _ ~ + 2~
Où Em représente la tension phase crête d'armature, Im le courant crete d'armature et G~ l'angle de ~hase entre la tension et le courant d'une phase (angle du facteur de puissance de la charge). Remarquons aussi que ~ représente l'angle de charge dé~init comme étant l'angle entre la tension de la pha.se A et l'a~e fixe ~ quadrature.
Alors si on consid~re les expressions sui~antes:
eb ~ ~c = ~r3 ~m cos (~L~t - ,S - ~/2) ec ~ ea = ~ ~m cos (~t _ ~ /2) ea ~ eb = ~ ~m cos (~t - ~ /2) ~ 8 3ZS9 On rc~arque que (cb ec) est déphasé de ~/2 par rapport à ea, que (CC ~ ea) l'est par rapport à eb et que ~ea ~ eb) l'est egalement par rapport ~ ec. Alors l'expression mathématique de P peut être représentee par:

r \l~ [ b c) a + ~ec ~ ea) ib + (ea ~ eh) ic~ (11) Pr = puissance réaotive instantance générée lorsque les tensions et les courants d'armature sont sinusoidaux et balancés.
Ainsi, utilisant les composantes biphasées définies ~lus haut, on obtient en valeur relative:
~r ~ ~ _ e~ (12) ~fin d'obtenir une bonne simulation de la machine on doit tenir compte de la saturation dans les équations diffé-rentielles ci-haut. On considère tout d'abord que les flux de fuite des enroulements d'inducteur et d'induit ne sont pas a~fec-tés par la saturation. ~n effet, ces flux de fuite circulent en majeure partie dans l'entrefer, cette hypothase s'avère conforme à la réalité.
Considérons le flux mutuel de l'a e direct et de quadra-ture représenté par:
~ md Iad ( ld ~ lf + lkd) ~ad lmA

~l~mq ~aq ( lq + lkq) I~aq 'mq (13) où imd - force magnét~-motrice selon l'axe direct imq = force ma~néto-motrice selon l'axe de quadrature ~md = flux mutuel de l'axe direct ~mq = flux mutuel de l'axe de quadrature ~ lors la force magnéto-motrice résultante et le flux mutuel résultant, servant de point de départ pour la détermina-tion du niveau de saturation, seront:

lm = \~ = force magnéto-motrice résultante (14) ~ m \~ md + ~I mq = force m~ltuel résultant d'entrefer 1083'~S9 Si 1'on consid~re maintenant que la machine fonc-tionne à la vitesse nominale ct en régime permanent équilibré, les équationr 1 et 2 de Park deviennent:

d ~q ~ ld eq = ~'d ~ 1~ i ef = ~f lf ~15) d ~ md ll ld (~ q ~Y mq 1 lq En négligeant la résistance R et l'inductance de ~uite d~armature IJ1~ on obtient ce que l'on appelle la tension précédant la réactance de fuite d'armature. Cette tension es est exprimée par:
es = - cos ~ mq ~ sin ~ md (16) ~a valeur R.M.S. résultante sera donc es (R.M.S.) ~ ~ es d~t ~ m (17) Alors si ].a machine débite à vide, on peut affirmer qu~:

~ m cC ~ __ a~ al (1~) :
al, base dans laquelle ~al représente la tension R.M S. de ligne générée.

Considérons maintenant la saturation à vide de la ma-chine. Comme il est connu, la tension générée est directement pro-portionnelle au flux mutuel résultant ~m lors de l'opération à

vide, alors ~ chaque force magnéto-motrice résultante im correspond une variation relative du flux mutuel résultant d~entrefer. Ce qui est donné par la relation suivante:

= ~ m ~ mr_ = f (Im) (19) ~ m ~ m k = constante de proportionnalité
ms = flux mutucl résultant saturé

_ 9 _ .. ; ~ ., . , ~ :
- . .
. ' ~ , ~ . , . ' -1083'~59 f(im) ~ fonction dc saturation.
Ccttc relntion 19 représente cn ~ait le taux de satura-tion relatif fonction de la force ma~ncto-motrice rc~sultante.
Il est donc possible d'affecter les flux mutuels selon l'axe direct et d~ quadrature, .oit ~ md et ~m~ par ce taux a~in d'obtenir les fl~Y ~'mds et (I!m~3 satures, c'est-à-dire:

~'mds ~ ~md ( 1 - D f(im)) ~mqs = ~'mq ( 1 ~ Q f(im)) (20) ~ns la relation ~0, les paramètres D et 0 tiennent comp-te des deux considérations suivantes:
1) la courbe de saturation ~ vide n'est valable que ~our l'axe direct, donc D ~ Q (exception faite pour les machines à pôle lisse o~ D = Q), 10i ~ 3Z59 The present invention relates to the simulation of the characteristics teristics and operating parameters of rotating machines three-phase, and more particularly of a machine operating either as an alternator, synchronous compensator, motor ~ induction or synchronous motor.
With the advent of modern technology, simula-teurs in general have experienced a resurgence in popularity because in addition to allow the simulation of real machines on reduced models very sophisticated, these operate in real time and without discord-continuity. Among the simulators of rotating machines generating electrical energy, let us mention the micro-machines which are in makes scaled-down reproductions of used generators seen in hydroelectric plants. These micro-machines however remain large, are difficult to operate, low quality factor of stator windings and offer an incomplete simulation of the characteristics and real generator settings.
The object of the present invention is to realize a system for simulating the characteristics and parameters of a three-phase rotating machine, fully electronic.
According to the present invention, the simulation system of a three-phase rotating machine comprises first means of transformation of three-phase armature currents into equi-two-phase valents and transforming these two-phase currents into direct axis and quadrature currents, generation means and to control the parameters and characteristics of the machine in function of direct axis and quadrature currents, means of generation of biphase voltages in response to said means of gene-tion and control, second means of transformation of said two-phase voltages in three-phase voltages, and means of generation dynamic characteristics of the machine as a function of said three-phase voltages and functional parameters and characteristics operation generated by the generation and control means.

~ ' .

1C ~ 83Z59 Preferred embodiments of the present in ~ en-tion will be described below with reference to the accompanying drawings, wherein Figure 1 is a diagram illustrating a method of re-presentation of armature currents by transformation of axes;
Figure 2 is a diagram representing the various components of this simulation system;
Figure 3 illustrates an oscillator assembly;
Figure 4 shows an axis transformer assembly of O currents;
FIG. 5 illustrates a generator assembly of the mu machine saturated tiles; ~;
FIG. 6 illustrates a generator assembly of the currents.
shock absorbers and fields equivalent to those of a real machine; ~:
Figure 7 illustrates a flow generator set saturated totals;
Figure 8 illustrates a voltage generator assembly of armature and the simulation of negative armature inductance;
FIG. 9 illustrates a set of transformation of two-phase voltages into three-phase voltages and the simulation of negative armature resistance;
Figure lO shows a set for connection power amplifiers, isolation transformers, a armature physical inductance and network transformer electric;
Figure 11 shows a set for the measurement of three-phase low and high voltages.
Figure 12 illustrates a generator and measurement system torque, instantaneous and reactive power of the machine; .
Figure 13 shows the analog model of an exci ~

static stage used with a three-phase generator; and Figure 14 shows an analog model of a unit stabilizer.

~ 83 ~ 9 MATHEMATICAL MODEL. , In order to fully understand the physical model of the present simulator, it is necessary, first, to understand the mathematical model on which it is based. This mathematical model that uses axis transformations that make inductances independent of the angular position of the rotor the rotating machine, which considerably simplifies the solution of the mathematical equations involved.
Among all the mathematical models used to represent ~ -feel a rotating machine, the most effective is undoubtedly the one developed by Park whose following works make it a strong analysis: Power System Stability: Synchronous Machi-nes, by EW Kimbark (Dover-1968); The General Theory of Electrical Machines, by B. Adkins (Chapman and Hall - 1964); Synchronous Machines, by C. Concordia (John Wiley & Sons - 1951); and Electric Machinery, by Fitzgerald and Kingsley (McGraw Hill - 1961). The Park's mathematical model, in fact, uses transformations of axes which make the inductances of the machine independent of the angular position of the rotor, which greatly simplifies the creation of a pllysic model.
It would be superfluous here to give all the steps which led to the elaboration of Park’s well-known equations, but let's say that the principle on which these eauations are based is that only the relative angular velocity between the stator and rotor of a rotating machine is important. This which allows to represent the armature windings rotating at this-speed and the rest of the fixed windings. Due to this change, a so-called direct axis (called a D axis) and a so-called quadrature axis by relative to the direct axis (names axis ~) remain fixed in space.
In Park's differential equations, all the variables are expressed in relative values so that all mutual inductances between the stator and the rotor for both the D axis : '.

1083 ~ 2S9 that for the axis Q become e ~ ales between them. Likewise, if we assume that the inductance of ~ uite stator windings is the same for the direct axis as for the quadrature axis, this which is experimentally exact, the different equations of the salient pole machine expressed in xelative values and regardless of saturation, as demonstrated by Park, are the following:

"~ base ~ qd ; ~ 'base td _ R iq - _ p ~
- P ll ~ f _ _ ~ (1) ef =; l ~ base ~ Rf if ~. ~ base ~ Rkd kd O = P kq ~ R ~ q lkq ~

In these equations, ed and e denote respectively the voltage across the direct axis and quadrature; and repr ~ -feel the voltage across the field windings; and e represents feel homopolar tension. Similarly, ~ d and ~ q represent respectively the total flow embrass ~ of the direct axis and of quadra-ture, while ~ O denotes the total flux embraces homopolar and ~ f ~ ~ kd and ~ kq respectively represent the total flux em-brews by the windings of the fields, of the damper of the axis direct and quadrature. As for the currents "i", they correspond at the corresponding index voltages, and R the corresponding resistance laying. P designates an operator drift over time. Furthermore, the relative angular speed ~ J is proportional to the speed real angular of the generator ~ based on frequency ~ b which corresponds to that of the model.

.

1 ~ 83Z59 Likewise, the total flows embraced have the expressions:
- '- L - - - - _ -- Lq lq t Lay aq ooo ~ (2) = - L d ld t If lf r Lad kd: ~
; kd = - Lad ld t Lad lf t Lkd ^ kd ~ L q iq ~ Lkq kq _ In these equations, the inductances Ld, L, L, Lf, Lkd and Lk respectively represent the proper inductance of the axis direct, of the quadrature axis, homopolar, of the fields, of the amor-weaver of the direct axis and the damper of the quadrature axis.
On the other hand, the symbols L d and Laq correspond to the inductances direct axis and quadrature mutuals, respectively.
It is possible using the above equations of make a machine simulator which is fully electro-but the latter would prove to be very expensive due to the large number of analog multipliers necessary for its realization.
Also, in order to simulate the rotating machine using a mini mum of electronic organs such as analog multipliers and thus lower the manufacturing cost by as much, the equations above are modified by performing a transformation of axes sup-complementary, this transformation developing a transformation of armature converting a three-phase winding to a winding only equivalent to two phases and vice versa. Besides, like us ~
we will see it later, it is also advantageous from the point of view cost, to express the instantaneous power generated and the power instant reactive generated using two-phase components.
The additional axis transformation is schematic-illustrated in Figure 1. The two new windings designated parv ~ and ~. are arranged so that the first one is - .:. - '' ``

line with phase A and the second is in quadrature with the first winding. The mathematical expression of this transformation mation, is therefore:

i / 2 1/2 1 / c where i, ib and i respectively represent the current generated by winding of phase A, B and C.
The mathematical form of the 2-phase transformation to the direct and quadrature axis becomes, using the representa-tion of Figure 1:
id- cos ~ sin ~ 0 _ _ iq = ~ in ~ cos ~ 0 io (4) These relations are established, let us now consider the expression of the resistive torque and the power generated.
In order to obtain a valid expression of the resisting couple tif, we need to aboxd consider the instantaneous power P that d ~ bite the rotating machine, which is given by: i a ia + eb ib ~ ec ic - realeble ~ a I ~ 5) o ~ e, eh and e represent the voltages across the windings-elements of phases A, B and C, respectively.

According to Park's calculations, the power instantaneous, along axes D and Q, has the expression:
p - 3/2 [- ra (id + iq) ~ id P ~ d ~ iq P ~ q] (6) t 3/2 W (-id ~ q ~ iq ~ d) ~ 3 ~~ ra io ~ ioLoPiO
We immediately realize from this last relation 6 that only terms containing ~ represent a request for active power at the electromagnetic air gap coupling. So the resistive torque l ~~ in relative value, will be given by:

1 ~ 83 '~ S9 qyd ld qq (7) ~ 'expression 5 of the instantaneous power delivered by the generator can be expressed using the bi-phased in relative value:
~ = ec l ~ ~ e ~ lj + 2eO lO (8) On the other hand, we also need to express the power-instant reactive power generated by the machine. ~ our this should be noted when the tensions and currents of armature are sinusoidal and balanced, the generation of the reactive power instant tive is defined for a real generation of the as follows:
ea = Em cos ~ Jt - ~) eb = Em cos ((L t - L ~ ~) ec = ~ m co ~ (~ and - ~ +
ia = I ~ cos ((-t ~ - v ~) (9) ib = Im cos ((~ It - '~

ic = Im cos (~ t _ ~ + 2 ~
Where Em represents the armature peak phase voltage, Im the armature peak current and G ~ the angle of hase between the voltage and current of a phase (angle of power factor of the load). Note also that ~ represents the angle of charge init ~ as the angle between the voltage of the pha.se A and a ~ e fixed ~ quadrature.
So if we consider the following expressions:
eb ~ ~ c = ~ r3 ~ m cos (~ L ~ t -, S - ~ / 2) ec ~ ea = ~ ~ m cos (~ t _ ~ / 2) ea ~ eb = ~ ~ m cos (~ t - ~ / 2) ~ 8 3ZS9 We rc ~ arque that (cb ec) is phase shifted by ~ / 2 by with respect to ea, that (CC ~ ea) is with respect to eb and that ~ ea ~ eb) is also relative to ~ ec. So the expression mathematics of P can be represented by:

r \ l ~ [bc) a + ~ ec ~ ea) ib + (ea ~ eh) ic ~ (11) Pr = instantaneous reactive power generated when the voltages and the armature currents are sinusoidal and balanced.
So, using the defined two-phase components ~ read high, we get in relative value:
~ r ~ ~ _ e ~ (12) ~ end to get a good simulation of the machine saturation must be taken into account in the different equations above. We first consider that the flows of leakage of inductor and armature windings are not a ~ fec-ted by saturation. ~ n effect, these leakage flows circulate mostly in the air gap, this hypothase proves to be consistent to reality.
Consider the mutual flow of direct ae and quadra-ture represented by:
~ md Iad (ld ~ lf + lkd) ~ ad lmA

~ l ~ mq ~ aq (lq + lkq) I ~ aq 'mq (13) where imd - magnet force ~ -motor along the direct axis imq = force ma ~ motomotor along the quadrature axis ~ md = mutual flow of the direct axis ~ mq = mutual flow of the quadrature axis ~ during the resulting magneto-motive force and the flux resulting mutual benefit, serving as a starting point for determining saturation level, will be:

lm = \ ~ = resulting magneto-motive force (14) ~ m \ md + ~ I mq = m ~ ltual force resulting from air gap 1083 '~ S9 If we now consider that the machine works operating at rated speed ct in balanced steady state, Park's equations 1 and 2 become:

d ~ q ~ ld eq = ~ 'd ~ 1 ~ i ef = ~ f lf ~ 15) d ~ md ll ld (~ q ~ Y mq 1 lq By neglecting the resistance R and the inductance of ~ uite d ~ armature IJ1 ~ we obtain what is called the preceding voltage reinforcement leakage reactance. This tension is expressed by:
es = - cos ~ mq ~ sin ~ md (16) ~ therefore the resulting RMS value will be es (RMS) ~ ~ es d ~ t ~ m (17) So if] .a machine delivers empty, we can say that ~:

~ m cC ~ __ a ~ al (1 ~):
al, base in which ~ al represents the line voltage RM S. generated.

Now consider the no-load saturation of the ma-China. As is known, the voltage generated is directly pro-portable to the resulting mutual flow ~ m during the operation at empty, then ~ each resulting magneto-motive force im corresponds a relative variation in mutual flow resulting from air gap. This which is given by the following relation:

= ~ m ~ mr_ = f (Im) (19) ~ m ~ m k = constant of proportionality ms = resulting mutucl flow saturated _ 9 _ ..; ~.,. , ~:
-. .
. '~, ~. ,. '-1083 '~ 59 f (im) ~ saturation function.
Ccttc relntion 19 represents cn ~ has the rate of satura-relative tion function of the force ma ~ ncto-mot rc ~ sultante.
It is therefore possible to affect mutual flows along the axis direct and squaring, .or ~ md and ~ m ~ by this rate a ~ in to obtain the fl ~ Y ~ 'mds and (I! m ~ 3 saturation, that is to say:

~ 'mds ~ ~ md (1 - D f (im)) ~ mqs = ~ 'mq (1 ~ Q f (im)) (20) ~ ns the relation ~ 0, the parameters D and 0 take account of-te of the following two considerations:
1) the ~ empty saturation curve is only valid for ~ our the direct axis, so D ~ Q (except for machines with smooth pole o ~ D = Q),

2) l'axe de quadrature est plus difficile ~ saturer que l'axe direct, donc Q < 1. Ceci est dû au fait que l'entrefer de l'axe de quadrature est plus ~rand que celui de l'axe direct d~1.s les machines à pôle saillant, ~ n raison des relations ci-haut, les équatians de Park deviennent alors~
e = P ~Jds ~ I (21a) d ~ qs d ~base _ e~ = P ~qs ~ 'ds ~ ~ lq (21b) (~1base p ~j~o ~ 1c) o -- o ~base fP ~ fs + ~f lf (21d) ~'base - t kds + Rkd lkd (21e) `
~'base :
o = P ~?kqs + ~kq ikq (21f) l~base - 10 - ~

1083~59 ~dS ~)md5 ~l ld (21~) ~) q3 - 1l mqs ~ L ~ (21h) O (21i) ~)fs ~ ~Imds + ~fd lf (21j) ~'kds ~¦ mds ~ lkd lkd (21k) k~s ~I'mqs + lkq ïkq (211) md ld + lf ~ lkd (21m) lmq = ~ la + l]~ (21n) lm ~ ~ lmd2 ~ imq2 (210) y!md ~ad lmd (2 p) mq ~aq lmq (21~) ~)mds ~Jmd (1 - D f(lm)) (21r) (~mqs ~ ~Imq (1 ~ Q f(lm)) (21s~
f(lm) = ~ ~m (21t) \~)m ~ lfd~ lkd et lkq sont les inductances de fuite du champs et de l'amortisseur de l'axe direct et de quadrature, respectivement.
Notons que le flux total embrassé homopolaire ne se sature pas, puisqu'il ne traverse pas l'entrefer.
Egalement, compte tenu de la saturation, le couple résistif, la puissance génér~e et la puissance réactice sont exprimés par: . :

q Yds d ~qs (21u) P = e~ e/~ 2e 1 (21v) Pr. - e~ e. i~ (21w) MODELE ANALOGIQUE DE LA MACHINE:
A l'aide des considérations mathématiques qui précèdent, nous allons maintenant entreprendre une description d'abord géne-.

1C~83'~S9 rale puis detail]ée du modèle analogique de la machine tournante.
La figure 2 illustre le modele analogique general decette machine. Ainsi., y sont represen~es tous les or~anes pouvant simuler et ce de fa~on réaliste les caracteristi~ues et les para-mètres de fonctionnement d'une machine tournante triphasée réelle.
Ainsi, un oscillateur sinusoidal l réalise les fonc-tions sin ~ et cos ~ de la relation 4 ci haut. Cet oscillateur possède un très raible niveau de distortion, ayant deux sorties déphasées entre elles de 90 exactement. En plus de posséder une grande stabilité de fréquence et d'amplitude, l'oscillateur 1 génère une frequence propre d'oscillation directement proportion-nelle a une tension de contrôle permettant ainsi d'incorporer à
une génératrice simulée sa turbine et son regulateur de vitesse.
Ces fonctions sin et cos alimentent un transfor~ateur d'axe 2 qui détermine également la valeur de ~a puissance de base.
Ce transformateur 2 réalise analogiquement la relation 3 ci-haut~
; en valeur relative, par une transformation des courants 3~phases en courants 2-phases, tout en utilisant le fait que la somme des trois courants d'armature s'annule, et finalement transforme les courants 2-phases en courants d'axe direct et de quadrature.
Alors, les courants d'armature Ia et Ib sont transformés en cou-rants relatifs Id et I .
Ces courants relatifs Id et Iq alimentent un bloc géné-rateur 3 qui réalise analogiquement les relations 21m à 21t en déterminant les flux mutuels de saturation de la machine. Ce générateur 3 est bouclé sur un autre générateur ~ qui lui simule les courants rotoriques If, Ikd et Ik de la machine. Pour ce faire, les flux mutuels saturés sont combinés à une tension Efd équivalente à la tension de champs produit par une excitatrice.
La sortie du générateur 3 alimente un générateur 5 qui combine les flux mutuels satures aux courants Id et I respective-ment pour déterminer les flux totaux saturés ~! d et ~'qs de la :- ', . , -., , ............ , ~, - ~ , . .......... .

.'' . ' .: . . . . .

1~83'~:5~

machine, ces flux totaux saturcs et les courants d'axe alimen-tent un genérateur 6 qui genere une tension, respectivement selon l'axe direct et de quadrature, précedant l'inductance physique d'armature du simulateur. Les symboles ed et e' sont utilises pour representer ces tensions. Le genérateur 6 simule également l'inductance negative d'armature de la machine.
Les tensions gén~rées par le génerateur 6 sont trans-formees en tensions triphasées par le genérateur 7 qui, de plus, simule la résistance négative d'armature. Le gcnerateur 7 pro-duit donc à sa sortie trois tensions e', eb et e' qui représententen fait les tensions précédant l'inductance physique d'armature d'une machine tournante reelle, en valeurs relatives.
La sortie triphasee du générateur 7 est appliquée a un circuit 8 qui permet le branchement d'amplificateurs de puis-sance, de transformateurs d'isolation, de l'inductance physique d'armature et d'un transformateur de réseaux. Du circuit 8 sont obtenues les valeurs triphasees haute tension E , Eb, E ainsi que les valeurs triphasees basse tension ea, eb, e d'une génératrice.
Ces diverses valeurs de tensions alimentent un circuit de mesure 9 qui en fournit les valeurs triphasées relatives.
La puissance réactive Pr ainsi que la puissance instan-tanée P de la machine sont determinées a l'aide d'un genérateur 10 qui, en outre, en détermine également le couple résistif r, ce dernier servant soit a alimenter une turbine, dans le cas ou la machine est une génératrice, soit à représenter le couple de sortie d'un moteur. Pour ce faire, le générateur 10 est alimenté par les sorties basse tension du circuit 8, par les flux totaux satures du génerateur 5 ainsi que des courants I~ , Id et I générés par le transformateur d'axe 2.
Chacun des organes mentionnés ci-haut et qui constituent le modèle analogique de la machine tournante seront décrits en détail ci-apres en se référant aux figures 3 a 12 des dessins.

~83Z~9 OSCILI.ATEUR SINUSOIDAL.
. . .
Un des organes importants dans la simulation de la ma-chine est l'oscillateur sinusoidal désigné sous le rep~re 1 à la figure 2. En effet, cet oscillateur doit réaliser les fonctions sin ~ et cos ~ de la relation 4 élaboree ci-haut. La figure 3 mon-tre un schema detaillé d'un oscillateur sinusoidal qui possede une très faible distortion et dont les deux sorties sont exactement déphasées entre elles de 90. Cet oscillateur en plus de poss~der une grande stabilite de frequence et d'amplitude génère une fré-quence propre d'oscillation qui est directement proportionnelle aune tension de contrôle, permettant ainsi d'incorporer,dans le cas d'une génératrice, sa turbine etson régulateur de vitesse.
Le principe de l'oscillateur illustre a la figure 3 est basé sur l'oscillation résultant de l'interconnection de deux inté-grateurs 11 et 12 et d'un inverseur 13. Le gain des deux intégra-teurs en détermine la fréquence propre d'oscillation ~ base. Afin de fixer l'amplitude "A" de l'oscillation produite a un niveau pré-déterminé, un multiplicateur 17 effectue la multiplication du signal de sortie de l'intégrateur 11 a un autre signal rendu directement proportionnel a l'amplitude de l'oscillation grace a deux multipli-cateurs 15 et 16 reliés respectivement a la sortie de l'intégrateur 12 et 11. Les sorties de ces deux multiplicateurs 15 et 16 alimen-tent un additionneur-amplificateur 19 dont le signal de sortie est ~ ; -directement proportionnel a l'amplitude de l'oscillation.
Afin de rendre la fréquence propre d'oscillation de l'oscillateur directement proportionnelle à une tension de controle, le gain des deux intégrateurs 11 et 12 est rendu directement pro-portionnel à cette tension à l'aide des multiplicateurs analogi-ques 14 et 18. En ce cas-ci, pour un oscillateur de fréquence normalisée de 25 ou 60 Hz, un contrôle de la fréquence de l'oscil-lateur est réalise en multipliant chacune des entrées des deux multiplicateurs par une tension de contrôle ~ . Ainsi, la fréquence :- . .:

~33259 de l'oscillation sortant de l'inte~rateur 11 est proportionnée à la tension de contrôle par le multiplicateur 18, tandis que celle de l'integrateur 12 l'est par le multiplicateur 14.
Un filtre passe-bas 20 est ins~re dans la chaîne de contrôle d'amplitude afin de filtrer le signal de ronflement produit par les deux multiplicateurs non~idéals 15 et 16 élévateurs au carré de cette chalne.
La frequence de base des integrateurs ll et 12 peut pren-dre la valeur de 25 Hz en plus de la valeur normalisée de 6n Hz.
Notons que l'on peut ~galement operer à la fréquence de base de 50 Hz.
Un couplage capacitif Cl et C2 est disposé a chaque sortie de l'oscillateur, ce qui permet de se débarasser de toutes fluctuations de faible tension continue que l'on pourrait trouver a la sortie respective des deux intégrateurs 11 et 12. Habituelle-ment, ces faibles fluctuations de tension naissent lors de varia-tions de frequences et lors du vieillissement du circuit et, si non isolees, elles peuvent occasionner un changement du point d'opération des multiplicateurs employés dans les transformations d'axes (figure 4). La frequence de coupure de ce couplage capaci-tif est de 0.22 Hz et ceci afin d'eviter toute erreur d'amplitude et de phase lors de grandes variations de frequence.
Les amplificateurs 21 et 22 utilises à chacune des sor-ties de l'oscillateur permettent d'ajuster à un niveau predetermine l'amplitude respective des oscillations.
CIRCUIT DE TRANSFORMATION D'AXE.
.
Les signaux sinusoidal et cosinusoidal issus de l'oscil-lateur illustré à la figure 3 servent a alimenter un circuit de transformation d'axe tel qu'appliqué aux courants d'armature de la ~ -machine (circuit 2 de la fiaure 2). Ce circuit de transforma-tion est détaillé à la figure 4 et réalise analogiquement la relation 3 ci-haut transformant les courants 3-phases en courants ~832~9 2-phases tout en utilisant le fait que la somme des trois courants d'armature s'annule. Ce circuit réalise egalement la relation 4 ci-haut qui concerne la transformation des courants 2-phases en courants d'axe D et Q. Ainsi, a partir des courants d'armature I et Ib, les courants Id et I de l'axe direct et de quadrature sont definis a l'aide de ce circuit, en plus des courants d'armature ::
en valeurs relatives Ia, Ib et Ic.
Vu l'inexistance de courants homopolaires aux bornes de la machine, lorsque utilisée o~e génératrice ou compensateur synchrone, dû au fait que le neutre de l'enroulement Y d'armature est mis à la terre à travers une impédance à toute fin pratique de valeur in~e-nie, la somme des trois courants d'armature étant alors nulle, il devient suffisant de ne mesurer que les courants de phases A et B, soit les courants Ia et Ib. Aussi, seuls ces deux courants sont utilises pour alimenter le circuit de transformation d'axes de la figure 4.
Chacun des courants I et Ib est d'abord amplifié a travers un amplificateur 23, 24 dont une partie de la tension de sortie est échantillonnée a l'aide des potentiometres 25 et 26 qui, de fait, déterminent la puissance de base P de la machine . En ampli-fiant la sortie du potentiomètre 25 par les amplificateurs d'isola~
tion 27 et 29 on détermine la valeur du courant I6C, tandis que le courant I~ est déterminé en additionnant la sortie de l'amplifica- ;
teur 27 et d'un amplificateur 28 relie au potentiomètre 26, à
l'aide de l'additionne~ 30.
Connaissant les courants IoC et I~ , il est possible de déterminer les courants de l'axe direct et de quadrature. Ainsi, le courant Id est déterminé en additionnant le courant I~c, ce dernier étant multiplié par la fonction cos~ générée par l'oscil-lateur de la figure 3, au courant I~ après multiplication par lafonction sin~l également généré par cet oscillateur. Les multi-plicateurs 31 et 32 reliés à l'additionneur 37 effectuent ces .:, ~ . . - : .
-::: :'..................... ': ': ' ~083ZS~

operations de mul~iplication et d'addition. On obtient de facon analo~ue le courant Iq de l'axe de quadrature, excepté qu'en ce cas le courant Iv~ est m~ltiplie au signal sin~ alors que le courant I~ est multiplie par le signal cos(~ , respectivement à travers les multiplicateurs 33 et 34. La sortie de ces multiplicateurs est addi-tionnee par l'additionneur differentiel 38 qui délivre le si~nal Iq desirc.
Les operations et l'emploi de ces multiplicateurs 31 a 34 et des additionneurs 30, 37 et 38 realisent bien la relation 4 sus-men-tionnee.
Le circuit de la figure 4 permet éga]ement d'obtenir les sorties I , Ib et Ic qui sont utilisées comme points de mesure.
I s'obtient directement de I~c , tandis que Ib est obtenu en ampli-fiant par l'amplificateur 35 la sortie de l'amplificateur 28. I
est évidemment détermlné par simple addition a travers l'addition-neur 36 des courants I et I . Selon le gain des amplificateurs a b utilisés, ces trois courants en valeurs relatives sont déterminés par les relations suivantes:
I - 8-54 ( 10) ( P ) Ib = 8-54 ( 10) ( P ~ f (22) Ic ( a ~ b) J
o~ P = puissance de base Comme mentionnc plus haut, cette puissance de base est déterminée a partir de la valeur de la tension sur chacun des potentiometres 25 et 26. Afin de permettre une grande flexibilité
dans le fonctionnement du simulateur électronique, chaque unité
génératrice peut fonctiGnner en utilisant une puissance de base en-tre 5 et 50 watts, la puissance la plus élevée étant choisie afin d'être en accord avec tout simulateur a courant continu imposant une tension de 100 volts R.M.S. ligne-a-ligne au secondaire du transformateur d'unegénératrice réelle.
En raison des limitations imposees par les amplificateurs de puissance, comme nous le constaterons plus loin, la tension ma-chine a ete fixee à 21.21 volts R.M.S. par phase. Ainsi, le cou-rant machine de base varie de 82.8 mA ~.M.S. a 828 mA R.M.S., ceci en choisissant un facteur de puissance de base de valeur 0.95.
GENERAT~UR DE FLUX MUTUELS.
Les flux mutuels et saturés ~mds et ~ mqs déte les relations 21r et 21s sont réalis~s par le générateur illustré
à la figure 5, lequel fut designe par le repere 3 a la figure 2.
Comme ces flux mutuels de saturation sont directement proportionnels aux flux mutuels lesquels sont fonctions des forces magn~to-motrices propres aux enroulements rotoriques, ce generateur doit être ali-mente en plus des courants de l'axe direct et de quadrature de ceux circulant dans les enroulements du champs et de l'amortisseur de l'axe direct et de quadrature (If, Ikd et Ikq, respectivement), de sorte a realiser les equations 21m et 21n. Ces courants roto-riques sont produits par le generateur 4 de la figure 2 qui sera decrit en détail ultérieurement. ~ -La force magnéto-motrice I est obtenue en additionnant md les courants Id~ If et Ikd a l'aide de l'additionneur-amplificateur-inverseur 39 alors que le courant I q est obtenu par l'addition des courants Iq et Ikq par l'additionneur-inverseur-amplificateur 40, réalisant ainsi les relations 21m et 21n. La valeur de ces deux forces magnéto-motrices est échantillonnee a l'aide des pottentio-metres variables Ll et L2 de valeur relative proportionnelle a l'inductance mutuelle L d et L q de l'axe direct et de quadrature, respectivement. Après amplification et inversion par les ampli-ficateurs respectifs 44 et 45, nous obtenons les flux mutuels ~I'md et l~mq' ce qui est conforme aux equations 21p et 21q ci-haut.

Pour obtenir la force magneto-motrice resultante I ne-m cessaire à la determination des flux mutuels satures, les forces I d et Imq sont respectivement mises au carre par les multiplica-teurs 41 et 42, puis additionnees dans l'additionneur 43 dont la sortie est reliee à l'extracteur de racine carree 46. Cette opera-.. ..
-: .
. .

1~83Z59 tion a pour resultat de realiser la relation 210. Cette force magnéto motrice rcsultante Im alimente soit un générateur de satu-ration 48 incorpore extrérieurement au present système de simula-tion, soit un générateur interne de saturation 47 dont la sortie represente la variation du flux relatif fonction de cette force magneto-motrice résultante, le commutateur 54 servant à sélection-ner l'un ou l'autre de ces deux générateurs de saturation.
Afin de simuler des machines tournantes a pôles lisses ou saillants, la sortie du genérateur 47 est multipliée par les coef-ficients D et Q dits coefficients de saturation de l'axe direct etde quadrature respectivement (voir equation 20). I,a valeur de Q
utilisée pour la plupart d~sétudes effectuées sur les machines géné-ratrices a pôles saillants est fixée a 0.2 alors que la valeur de D est de 1. Dans le cas des machines a pôles lisses, ces deux va-leurs sont égales et unitaires. Donc, suivant le type de machine que l'on veut simuler, le commutateur 55 est placé sur l'un ou l'autre des plots correspondants.
La valeur du taux de saturation ainsi determinee est ensuite inversee par les inverseurs 49 et 50 et multipliee au flux mutuel de l'axe direct et de quadrature par les multiplicateurs 51 et 52 resFectivement. Ainsi sont obtenus les flux mutules sa-tures en valeurs relatives suivant ces deux axes.
A l'aide des generateurs de la figure 5, il est egalement possible de simuler tout type d'alternateurs, de compensateurs synchrones et de moteurs a induction et synchrones, et d'eliminer soit toute saturation par l'intermediaire du commutateur 53, soit seulement la saturation de quadrature par le commutateur 5~.
GENERATEUR DE CO[JRANTS ROTORIQUES.
Comme mentionne dans le cours de la description de la figure 5, il est nécessaire afin de reproduire les flux mutuels saturés ~ mds et ~mqs' d'introduire les courants If, Ikd et Ik à l'entrée de ce générateur, ces courants circulant respectivement 1~83Z59 dans les enroulements du champ5, et de l'amortisseur de l'axe direct et de quadrature. Le circuit generateur illustre ~ la figure 6 sert a produire les courants rotoriques désires, ce circuit genera-teur etant boucle sur le gen~rateur de la figure 5 (voir la figure 2).
Le circuit generateur de la fl~ure 6 a pour but de simu-ler analogiquement les relations 21d, 21e, 21f, 21j, 21k et 211 ci-haut. Mais, plutôt que de simuler directement ces relations, ce qui requiererait ~'utilisation de dérivateurs analogiques, une manipu-lation de celles-ci a pour effet d'en simplifier l'arrangement electronique. Ainsi, - combinant 21d avec 21j, on obtient P~f (~ f~ ---) (~b Rf (1 r ~ (23) - combinant 21e avec 21k, on ohtient i Ikd= ~ ~ ~ - Plkd ~24) base kd ~base kd - et combinant 21f avec 211, on obtient ~ m~s _ (25) kq base Rkq (1 + P1kq ~base kq où if~ Ikd et lkq designent respectivement l'inductance de fuite du champs, et de l'amortisseur selon l'axe direct et de quadrature.
Ces trois nouvelles relations 23, 24 et 25 permettent donc de simuler les courants rotoriques et ce sans l'utilisation de derivateurs analogiques.
Alors, se referant à la figure 6, le circuit génerateur reçoit sur deux entrees distinctes les flux mutuels satures ~ d et ~ mqs qui sont respectivement inverses par les inverseurs 57 et 58. La sortie dç l'inverseur 57 est additionnee dans l'addi-tionneur 59 a un signal delivre par un circuit de retour constitu~
d'un amplificateur 60 dont la sortie est echantillonnee par une resis-~, . . , . ~
. :, , . ~

~3Z59 tance variable Rkd (resistance de l'amortisseur de l'axe direct) et ensuite integre à travers l'integrateur 61, réa]isant ainsi la relation ~4.
De fa~on similaire, le courant Ik est simule en addition-nant a la sortie de l'inverseur 58 un signal issu d'une boucle de retour constitue d'un amplificateur 63 dont la sortie est reliée a un integrateur 64 a travers une résistance variable Rkq, cette ré-sistance étant la résistance relative de l'amortisseur suivant l'axe de quadrature. Ainsi est r~alisée la relation 25 ci-haut.
La simulation du courant de champs If (relation 23) est réalisée en appliquant à l'entree d'un additionneur-inverseur 57A
le champs ~ d et un signal proportionnel à la tension de champs Efd équivalente à celle produite par une excitatrice, cette tension de champs étant amplifiée et inversée par 69 et ensuite échantillon-née par un potentiomètre variable de valeur proportionnelle à l'in-ductance de fuite du champs Ifd. La sortie de l'additionneur 57A
est ensuite additionnée à un signal provenant d'une boucle de retour constituée par l'amplificateur 67 dont la sortie est reli~e à
l'intégrateur 66 par l'intermédiaire d'une résistance variable Rf, cette dernière résistance étant la résistance du champs de la ma-chine. Un additionneur différentiel 68 additionne finalement la sortie de l'additionneur 65 à celle de l'amplificateur 69 pour produire le courant de champs If désiré. Il est a remarquer qu'à
la figure 6, 1a tension d'excitation Efd est utilisée plutôt que ef montrée dans la relation 23, ceci étant dû à la représentation employee, en général, pour les excitatrices, dans le cas d'une géne-ratrice.
Notons que la valeur illustrée à l'intérieur de chacun des circuits 65, 59, 62 et 69 représente leur fonction de transfert respective et correspond à l'inductance de fuite du champs, de l'amortisseur de l'axe direct, de l'amortisseur de l'axe de qua-drature et de l'inductance mutuelle de l'axe direct, chacune ~tant 1~83'~59 variable évidemment selon le type de machine simulee. Notons e~a-lement que la fr~quence de base des amplificateurs 60, 6~ et 67 p~ut être de 25 ou 60 ~Iz.

GENERATEURS DES FLUX TOTAUX SATURES:
.. . .. . , _ __ _ _ Le circuit g~nerateur illustré à la ~igure 7 produit les flux totaux saturés ~d et ~ , selon l'axe direct et de quadra-ture, respectivement. ~n fait, ces flux sont les flux de fuite ~
d'armature d'une machine réelle simulee selon les axes D et Q, -lesquels sont mathematiquement representés par les relations 21g et 21h ci-haut. Suivant ces relations, les flux mutuels satur~s ~mds et ~I~mqs produits par le circuit générateur de la figure 5 sont respectivement additionnés dans les additionneurs 70 et 71 aux courants Id et I tels qu'inverses par les inverseurs 72 et 73 et ensuite échantillonnées par des potentiomètres variables de valeur L1, cette valeur correspondant à l'inductance de fuite de l'armature en valeur relative. La sortie respective des additionneurs 70 et 71 représente les flux ~ds et ~qs désir~s.
GENERATION DES TENSIONS D ET Q:
Connaissant les flux totaux saturés ~ d et ~ , il est possible d'obtenir à l'aide du schéma de la figure 8 les tensions ed et eq qui correspondent aux tensions aux bornes de l'axe direct et de quadrature, respectivement. Ces valeurs de tensions étant théoriquement illustrées par les équations 21a et 21b.
Il est a noter que le circuit générateur de la figure 8 utilise une inductance negative Le-, dite inductance négative d'ar-mature, et à cause de ce fait, les flux totaux saturés ~ds et ~qs doivent être transformés avant de les utiliser pour satisfaire les équations 21a et 21b. La raison de l'utilisation d'une inductance Le- sera donnée plus loin dans le présent texte. Des flux totaux saturés modifiés ~'d et ~' sont alors produits d'une part en additionnant dans l'additionneur 76 le courant Id, qui circule à
travers l'isolateur 74 et l'inductance négative Le-, au flux ~ds;

- ~ . .

i~832S9 et d'autre part, le courant I qui circule 3 travers l'isolateur 75 et l'inductance negative d'armature Le- est additionne au flux ~ à l'aidc de lladditionncur 77. Ces flux ont alors pour expression:

ds= ~ds L d (26) ~ qs = ~q5 t Le- I (27) Le flux ~'d est alors amplifi~ dans l'amplificateur 78 et derive par le derivateur 80. D'autre part, le courant Id est invers~ dans l'inverseur 84 et échantillonn~ par la r~sistance d'a~
mature R, alors que le flux modifie ~' est multipli~ parVU qui est la vitesse angulaire de la turbine, à l'aide du multiplicateur 82.
Les sorties de la resistance R, du derivateur 80 et du multiplica-teur 82 sont alors reliees aux entrees de l'amplificateur différen-ciel 86 qui fournit à la sortie une tension e'd qui correspond bien à celle definie dans l'équation 21a, compte tenu de l'inductance ;~
négative Le-.
De façon similaire, la tension de quadrature e'q est ob-tenue par addition dans l'amplificateur différentiel 87 des sorties du multiplicateur 83, qui multiplie de plus ~'d par ~ , du dériva-teur 81, qui dérive le flux ~ ' préalablement amplifi~ par l'amplificatuer 79, ainsi que du courant Tq inservé par l'inverseur 85 et echantillonné par la resistance R, qui est la résistance d'armature. Encore ici, la valeur de tension de quadrature e'q obtenue correspond ~ celle d8finie dans la relation 21b, compte tenu de la présence de l'inductance négative Le-.
En ce qui concerne l'inductance négative d'armature Le-son utilisation s'avère nécessaire en raison de l'insertion d'une inductance Lm dite inductance physique diarmature, dans le schema de la figure 10. L'existence d'une telle inductance physique d'armature L presente en effet des avantages reelles dans le pre- :~
sent simulateur. Car il est à noter que la simulation de l'inductance de fui-te d'armature impose l'emploi, dans le simulateur de la machine de .

~ ...... . .

1~83ZS9 générateurS analogiques lesquels genèrent enormément de bruit lorsque leur bande passante n'est pas limitee. En outre, le gain du systè~ global en boucle ouverte, c'est-à-dire lorsque les géné-rateurs de courant sont débranchés, devient considerable avec un tel dérivateur à large bande passage et lorsque la puissance de base est d'environ 5 watts, car alors les divers courants mesurés sont amplifiés par 10 au lieu de l'unité. La stabilité du système s'avere en ce cas extrêmement difficile, surtout lorsque des ampli-ficateurs opérationnels peu coûteux sont utilisés. De plus, sans cette inductance L , il est très difficile d'effectuer les essais en court circuit,dans le cas d'uregenératrice/ car alors le gain en boucle fermée dû à l'impédance de charge devient extrêmement grand.
En conséquence, l'utilisation d'une inductance physique d'armature Lm (figure 10) permet de réduire la bande passage du dérivateur analogique, cette inductance physique possédant une fréquence limite supérieure extrêmement élevée, et partant d'en réduire le bruit généré ainsi que de diminuer considérablement le gain du système global en boucle fermé lorsque la charge est un court circuit, ce qui permet d'étudier tout court circuit aux bornes de l'armature d'Une génératrice sans que celle-ci oscille tout en utilisant des amplificateurs de faible coût. L'effet global est que l'impédance de la génératrice vu de ces bornes peut être cor-rectement repr~sentée jusqu'à la 25ième harmonique de la fréquence industrielle, d~oa une simulatlon adéquate lorsque la génératrice alimente un redresseur a courant continu sans filtre AC et aussi permet une bonne repréeentation des surtensions de manoeuvre.
La valeur de l'inductance négative Le- est donc choisie de telle façon qu'elle annule l'inductance physique d'armature Lm du simulateur. Notons ~galement que la fréquence de base, notamment celles des amplificateurs 78 et 79, peut être choisie égale a 25, 50 ou 60 Hz.

1(~83259 GENERATEUR DE TENSION TROIS-PHASES.
. ~
Les tensions de l'axe direct et de quadrature e'd et e' , respectivement, étant connues, nous pouvons maintenant déterminer a partir de celles-ci les tensions e' , e'b et e'c (ou ea, eb et _ ec, s'il est fait abstraction de l'inductance physique T. ) qui ~`
correspondent respectivement aux tensions aux bornes des enroule-ments de la machine. Pour ce faire, le circuit de la figure 9 effectue en fait une transformation d'axes de deux phases a trois phases en vertu des relations suivantes:
e~ _ cos ~ - sin 0 o l ed e~ _ sin ~ co ~ 0 eq ~ (28) = 1/2 ~2- 1 ~ ~29) 1/2 _ ~3 1 eO

Dans ces équations, les tensions e~ et e~ désignent les tensions d'armature de la phaseo~ et ~ respectivement dans le systeme équivalent a 2-phases.
Il est a noter que ces équations 28 et 29 ne tiennent pas compte de l'utilisation d'une résistance négative d'armature R- et dont nous expliquerons plus loin le pourquoi. Mais, en tout état de cause, le circuit de la figure 9 respecte bien les ~aleurs déterminées théoriquement dans les relations 28 et 29.
Ainsi, la tension e'd est additionnée a Id R- alors que la tension e'q l'est a IqR~ ~ l'aide des additionneurs respectifs 90 et 91. La sortie de l'additionneur 90 alimente deux multiplica- ~ -92 et 95 qui en multiplient le signal par cos~ et sin W T respec-tivement, ces deux fonctions étant générées par l'oscillateur il-lustré a la figure 3. D'autre part, le signal de sortie de l'addi-, : .: ., ::: : : . : :: ' :: : ~-- . j . .' tionneur 91 alimente deux multiplicateurs 93 et 94 pour en effectuer la multiplication par les fonctions sin ~ ~ et cos ~ respectivement.
La tension e~cest alors obtenue en additionnant par l'additionneur diff~rentiel 96 les sorties des multiplicateurs 92 et 93 alors que la tension e~ est obtenue par addition des sorties des multiplicateurs 94 et ;-95 par l'additionneur 97. Les valeurs ohtenues pour eO~ et e~S
correspondent donc à celles définies dans la matrice de l'équation 28, nonobstant l'insertion de la resistance négative d'armature R-.
Par la suite, la tension e'a s'obtient directement de e~C ; la tension e'b s'obtient en additionnant à l'aide de l'addi-tionneur différentiel 100 les tensions e9C et e'~ respectivement amplifiées au préalable par les amplificateurs 98 et 99; et finalement la tension e'c est obtenue par addition dans l'additionneur 101 des tensions ec~ et e ~ préalablement amplifiées par les amplifica-teurs 98 et 99, respectivement. Le gain des amplificateurs g8 et 99 correspond évidemment aux termes de la matrice de l'équation 29.
Nous obtenons donc à l'aide du circuit de transformation de la figure 9 les tensions e'a, e'b et e'c qui représentent en fait les tensions triphasées aux bornes de la machine , tensions qui précèdent immédiatement l'inductance physique Lm du simu- ,, ~.
lateur et qui tiennent compte de la présence de la résistance négative d'armature R-.
Il convient d'ajouter ici que cette résistance négative d'armature R- est ajoutée afin de compenser et d'annuler les diver-ses résistances insérées dans 1~ circui~ de simulation et qui sont celles de l'inductance physique Lm (figure 10), du transformateur, d'isolation (figure lOj, du fusible et une résistance traductrice du courant dans le circuit physique d'armature. En outre, la résistance équivalente du transformateur haute tension (figure 10), qui est un transformateur équivalent à celui utilisé à la sortie d'une génératrice dans un~eseau reel, peut dans certains cas être plus elevee que celle annoncee par le manufacturier. Ainsi, la '' ,- , 10~33'Z59 r~sistance né~ative R- sert à annuler electronlquement à l'int~rieur du simulateur toutes les resistances non desirables.
Il est a noter, dans la figure 9, que deux amplificateurs de gain unitaire 88 et 89 sont illustrés, ces amplificateurs étant utilisés comme isolateurs.

AMPLIFIC~TEURS DE PUISSANCE ET TR~NSFORMATEUR DE ~ES~AUX.
Se referant a la figure 10, les trois tensions generees e' , e'b et e' sont initialement amplifiees en tensions et en puissance respectivement par les amplificateurs de puissance 102.
Ces amplificateurs 102 permettent une surtension de 100% aux bornes de la machine utilisee en generatrice simulee lorsque celle-ci fonctionne à vide et une surtension de 50~ dans le cas où la char-ge est complètement inductive, lorsque la valeur de l'inductance physique L egale sa valeur maximum de 10~ et lorsque la valeur de la basse tension est de 1.12PU (à courant nominal). Le choix des amplificateurs permet de bienreprésenter les surtensions dynamiques dans tout type de problème a étudier relativement au comportement de tout type de génératrice. Egalement, les amplificateurs 102 sont choisis de sorte à permettre des courants de l'ordre de 12PU
lors de court circuits aux bornes de la genératrice.
De plus, l'imperfection des multiplicateurs utilisés dans la realisation des transformations d'axes appliquees aux tensions, produit à leurs sorties respectives une faible replique des tensions e'd et e'q qui, en regime permanent, sont des tensions à courant continu. Ces tensions continues amplifiees saturent le `
transformateur T2 du reseau si on n'y prend garde. Afin d'eviter ce probleme, chaque amplificateur de puissance 102 est raccorde au transformateur T2 de reseau par l'intermediaire d'untransfor~
mateur d'isolation Tl à rapport de tour unitaire et qui possède un niveau de saturation qu'on ne peut atteindre en pratique et dont l'inductance de fuite et la resistance sont extrêmement faibles.

L'utilisation du transformateur d'isolation Tl permet en outre la .
. ,, : . . ;: . -, : ~ ~ : : :: ., 1~83;~9 mesure facile du courant d'armature, il suffit en effet d'insérer une faible resistance ~0.1 ohm) dans le circuit secondaire des transformateurs T1 pour ce faire. Ces courants d'armature I et Ib sont également utilises pour alimenter le transformateur d'axes de courant de la figure ~.
Notons ~galement que, en raison de la faible valeur de l'inductance de fuite et de la ré~istance primaire des trans-formateurs Tl, le courant de magnetisation de ceux-ci n'introduit aucune distorsion de tension dans le circuit. Chacun des trans-formateurs d'isolation Tl est branché sur l'inductance physiqued'armature Lm dont nous avons di6cuté plus haut relativement à la description de la figure 8. Nous obtenons donc a la sortie des inductances physiques les valeurs basses tensions e , eb et ec produites par la génératrice.
D'autre part, le transformateur T2 simule un transfor-mateur de réseau réel et sert à transformer les basses tensions e , eb et ec en valeur haute tension Ea, Eb et Ec. Le transfor-mateur T2 possède donc un primaire en delta et un secondaire en étoile comme il est couramment utilisé dans les réseaux réels.
Les inductances Lp et Ls représentent respectivement les inductances de fuite des transformateurs de réseaux, la valeur maximum de cha-cune des inductances étant de 12%.
A titre informatif, mentionnons que les caractéristiques magnétiques du transformateur T2 sont celles des transformateurs de grande puissance utilisant comme matériel magnétique un acier au silicium à grains orientés dont les particularités principales sont de pourvoir un rapport de la densité du flux de r~manence sur la densité du flux de magnetisation d'environ 0.8 et un courant de magnetisation RMS de l'ordre de 0.6% à la tension nominale d'ali-mentation lorsque la densite de flux au genou de saturation setrouve a 1.15PU de la densite duflux nominal de magnetisation.

Une forme préférée de réalisation du transformateur T2 consiste a -- , , - .
~ ... . .

utiliser trois noyaux toroY~als dont le matériel magnétique est du "Square Permaloy 80" qui fournit une courbe "s~l" possedant un rapport de 0.9 entre la densité du flux de remanence et de magn~tisa~
tion. Ce transformateur possede un courant de magnétisation de 2.2~ (basé sur la valeur RMS) lorsque le genou de saturation est fixé à 1.15PUet que la puissance de base est de 50 watts.
Il est à noter que des noyaux à section et à circonference plus faible sont utilises lorsque la puissance de base est reduite, ce afin de conserver un courant de magnetisation assez faible.
Comme explicite plus haut, la résistance négative R-peut etre ajustée en sorte à éliminer toutes les résistances ajoutées au système par les amplificateurs de puissance 102, les fusibles de protection, les transformateurs d'isolation Tl, les résistances des traducteurs de courant et des inductances physiques d'armature Lm~ ceci afin de bien représenter la généra-trice jusqu'à ses bornes de sortie basse tension. En outre, si l'on veut représenter en plus de la génératrice le primaire du transformateur avec grande précision, ce qui permet par exemple d'étudier l'enclenchement des transformateurs, alors on ajoutera à la valeur de la resistance négative R-, la valeur supplémentaire de la résistance due a l'inductance de fuite Lp au primaire du transformateur T2. Une valeur typique de la résistance primaire du transformateur T2 est de 0.2~. Finalement, si l'on veut repré-senter avec precision jusqu'au niveau haute tension, la resistance négative R- comprendra alors les résistances de toutes les induc-tances de fuite du transformateur T2 ainsi que la resistance des disjoncteurs du reseau D. Une valeur typique de la résistance ?
totale du transformateur de réseau T2 est de 0.4%.
Notons également que l'impédance homopolaire du transformateur T2 peut être incorporée au neutre de ce transforma-teur et que le disjoncteur de réseau D peut être simulé a l'aide de thyristors afin de permettre l'ouverture de chaque phase au 1~8~25~
moment du passa~e du courant par O. Ce disjoncteur simulé peut de plus etre pourvu de contact au mercure afin d'éviter toute chute de tension à ses bornes lors de la fermeture suivant la mise en opération par les thyristors.
MESURE DES TENSIONS:

.. . . _ _ La figure 11 représente un montage propreà faciliter la mesure des basse et des haute tensions generees par le circuit de la figure 10. Comme indique, les basses tensions ea, eb et e alimentent respectivement des amplificateurs 103, 104 et 105 qui genèrent les basses tensions relatives ea, eb et e . 1e gain de de chacun des amplificateurs 103, 104 et 105 est identique et de l'ordre de 1/30.
De facon similaire, les hautes tensions ~ , Eb et E
alimentent les amplificateurs 106, 107 et 108, respectivement, lesquels génèrent les tensions Ea, Eb et Ec. Pour ce faire, le gain des amplificateurs 106, 107 et 108 est fixe à environ 100 ~ ' ~ESURE DU COUPLE ET DES PUISSANCES:
Afin de connaitre toutes les caracteristiques de la machine simulee, il est necessaire d'en mesurer la valeur du couple electrique ~ , tel qu'il apparaît à l'arbre de la ma-chine, ainsi que la valeur de la puissance instantanee P et de la puissance reactive Pr. Les relations 21u, 21v et 21w fournissent une représentation mathématique de chacune de ces valeurs et dont une forme d'implantation est illustrée sur la figure 12. Ainsi qu'illustré, le couple résistif ~ est obtenu en multipliant d'une part le flux total saturé ~ds par le courant Iq dans le multipli-cateur 109, et d'autre part, en multipliant le flux total saturé
~ par le courant Id dans le multiplicateur 110, les sorties des multiplicateurs 109 et 110 étant alors additionnées dans l'addi-tionneur différentiel 111. Ce qui correspond bien à l'expression 21u.

Pour obtenir la puissance instantanée P, il suffit d'additionner le produit e~ , effectué à l'aide du multipli-;. :
.,. - ~ ~ ' ' ~ , 1083'~S9 cateur 114, et le produit c~ apparaissant à la sortie du multiplicateur 115, l'addition étant cffectuce par l'additionneur 116. Il est à noter que la tension e~ peut être obtenue en addi-tionnant les tensions e , eb et ec, génerees par le circuit de la figure lO, à l'aide de l'additionneur 112, alors que la tension e ~ résulte de l'addition par l'additionneur 113 des tensions eb et ec.
De même, la puissance reactive Pr est obtenue en addi- -tionnant à l'aide de l'additionneur differentiel 119 les produits e~ Iv~ et e~ I~, ces produits etant effectues par l'intermediaire des multiplicateurs 117, 118, respectivement.
Il est a noter que pour faciliter la mesure du couple et des puissances intantanee ~t r~active, les valeurs finales ob-tenues a l'aide du circuit de mesure de la figure 12 sont exprimees en valeurs relatives, ceci provenant du fait que les composantes de ces valeurs sont prises au depart également en valeurs relati-ves.
EXCITATRICE ET STABILISATEUR:
Dans les centrales hydro-électriques modernes, les exci-tatrices utilisees pour alimenter les generatrices de grande puis-sance sont generalement du type statique ou electronique. Il existe plusieurs types d'excitatrices statiques presentement sur le marche, et parmi celles-ci le type fixe qui emploie des thyris- ~ ' tors est tres certainement celui le plus utilise. La figure 13 illustre un modele analogique de ce type d'excitatrice statique.
Afin d'obtenir une simulation aussi detaillee que pos-sible, une representation trois-phases,avec possibilite de gains et de plafonds variables, est consideree dans ce modele. De facon generale, la tension de regulation V peut être produite à partir des basses tensions ea, eb et ec (tensions machine), soit des hautes tensions Ea, Eb et E (tensions reseau) provenant du circuit de la figure 10, ou de tout autre tension appropriee. En outre, - , . . . . . . . . .

1(~83Z5~

il est à noter que la tension cle plafond de l'e~citatrice vp peut être obtenue soit de la tension machine qui est une tension variable, soit d'~ne tension fixe par l'intermédiaire du commuta-teur 130. Finalement, pour une simulation complète, un ~lément correcteur 125 simulant un pôle et un zéro peut être branché à
volonté dans le circuit.
Le fonctionnement du modèle analogiaue de l'excitatrice statique est le suivant. Les tensions de regulation trois-phases ea, eb et ec provenant soit de la basse tension, de la haute ten-sion ou autre sont redressces par un redresseur 120, à doublealternance trois phases qui comporte six diodes. I,a tension continue résultante est ensui~e filtrce dans le ~iltre passebas 122 dont la frequence de coupure est de 37Hz et le facteur d'amor-tissement ~ de 0.75. La tension de regulation continue V est ensuite compar~e à une tension de consigne V additionnée à une ten-sion de stabilisation Vs provenant de l'unité stabilisatrice de la ~igure 14, à l'intérieur du comparateur 123. Le résultat de cette comparaison est amplifie par l'amplificateur 124 de gain KA
et de constance de temps r cette constance de temps correspondant à celle de l'excitatrice statique. La sortie de l'amplificateur 124 alimente l'additionneur 126 soit directement, soit par l'inter-médiaire du correcteur de gain 125 selon la position de l'inter-rupteur 131. Ce correcteur de gain a pour but d'inclure un pôle et un zero donnes respectivement par les constantes de temps ~ 1 et ~2' au signal de sortie de l'amplificateur. La tension qui est le resultat de l'addition de la tension Efdo avec celle d~
sortié de l'amplificateur 124 ou du correcteur de gain 125, alimente un generateur de fonction 127 qui limite en grandeur la valeur de tension de champs Efd qui représente effectivement un champ de la generatrice.
Notons que la tension de champs Efd est limitee soit positivement soit negativement aux valeurs s+ V et -B V , respec-~ ''' . , , 1C~83Z~9 tivement, B+ et B- determinant le plafond positif et négatif relativement à la variation permise de ]a tension Efd. Dans le modele illustre, ce plafond peut être soit variable, soit fixe, selon que V represente la tension variable VBT ou la tension fixe de 1 P.U., selon le choix effectue a l'aide de l'interrupteur 130. La tension VBT est dite variable car elle est directement reliee à celle apparaissant aux bornes de la genératrice et elle est obtenue par rectification dans 128 et filtrage dans 129 des basses tensions e , eb et e générées par la génératrice. En ce cas-ci, le rectificateur 128 et le filtre 129 sont identiques au redresseur 120 et filtre 122, respectivement. Il est à noter que la tension VBT est égale a 1 P.~. lorsque la tension machine est nominale.
Notons enfin que le gain KA de l'amplificateur 124 est choisi de sorte à ce qu'une variation de 1 P.U. de la tension de champs Efd est produite lorsque la saturation n'est pas considérée et que la tension Efdo représente la tension de champs en charge ou à vide, selon le cas, de la génératrice. Quant a la tension de stabilisation Vs qui alimente le comparateur 123, elle peut être annulée à l'aide dll commutateur 130', pour enlever l'effet d'amor-tissement du stabilisateur.
La figure 14 illustre un modele d'une unité stabilisatri-ce, ce modele permettant d'étudier la stabilité des réseaux a courant alternatif au vu du développement et de l'évaluation de nouvelles techniques relatives à l'amortissement des g~nératrices.
Le stabilisateur de la figure 14 fournit a sa sortie une tension de régulation Vs qui sert à alimenter l'excitatrice de la figure 13 pour la détermination de la tension de champs Efd de la génératrice en fonction des variations de la puissance instantanée P de cette génératrice et de la position du vannage x de la turbine, lorsque consid~ré dans un ensemble h~dro-électrique. La puissance instan-tanée P est d'abord détectée a l'aide d'un wattmetre 131 de cons-,. ' '~' ~. :
;', ' ' ' ~ ' ' .' ' ' `

tante de temps i~w, qui ~enère un si~nal de position qui alimente l'entree n~gative du soustracteur 132, l'entree positive recevant le signal de position du vannage x. Ce signal x est tel que le stabilisateur ne repondra pas à une demande d'au~mentation ou de diminution de puissance de la generatrice par le reseau si la turbine a le temps necessaire pour fournir cette demande, c'est-à-dire si l'augmentation ou la diminution est suffisamment lente.
Ainsi, grâce au substracteur 132 dont le gain Kg represente le gain d'intégration du stabilisateur, on évite que le stabilisateur réponde à une hausse ou une baisse voulue de la puissance gén6ree provenant de la consigne de puissance du régulateur de vitesse rattacllé à la turbine. La sortie de 132 alimente deux filtres passebas 133 et 134 montés en dérivation et dont les constantes de temps Tl et T2 représentent respectivement le temps de relaxation et d'intégration du stabilisateur. Les sorties de ces filtres sont comparées dans le comparateur 135 et ensuite corrigées par le cir-cuit correcteur 136 qui consiste en deux fonctions de transfert avanceur et retardateur de phases et sert à rendre la courbe de r~ponses en fréquences tant pour l'amplitude que pour la phase moins dépendante de la fréquence d'oscillation. Le signal corrigé
alimente un limiteur de tension 137 dont le rôle est de limiter le signal stabilisateur Vs afin d'exclure les variations de tensions d'armature de trop grande amplitude sans toutefois amortir les grandes variations de l'angle de charge. En outre, le signal stabilisateur Vs peut être mis à la masse à l'aide du disjoncteur 138 lorsque la génératrice se désynchronise du réseau afin d'évit~r que le stabilisateur ne tende à corriger la brutale variation de puissance résultante. Mais, ce signal mis à la masse retrouve son etat normal après un temps correspondant à celui pris par la génératrice pour se resynchroniser au réseau, ce temps étant né-cessaire pour permettre au stabilisateur d'éviter de repondre aux perturbations produites par la resynchronisation.

: :' . ~ - . : 2) the quadrature axis is more difficult ~ saturate than the direct axis, so Q <1. This is due to the fact that the air gap of the quadrature axis is more ~ rand than that of the direct axis d ~ 1.s protruding pole machines, ~ n because of the above relationships, Park's equatians then become ~
e = P ~ Jds ~ I (21a) d ~ qs d ~ base _ e ~ = P ~ qs ~ 'ds ~ ~ lq (21b) (~ 1base p ~ j ~ o ~ 1c) o - o ~ base fP ~ fs + ~ f lf (21d) ~ 'base - t kds + Rkd lkd (21st) `
~ 'base:
o = P ~? kqs + ~ kq ikq (21f) the base - 10 - ~

1083 ~ 59 ~ dS ~) md5 ~ l ld (21 ~) ~) q3 - 1l mqs ~ L ~ (9 p.m.) O (21i) ~) fs ~ ~ Imds + ~ fd lf (21d) ~ 'kds ~ ¦ mds ~ lkd lkd (21k) k ~ s ~ I'mqs + lkq ïkq (211) md ld + lf ~ lkd (21m) lmq = ~ la + l] ~ (21n) lm ~ ~ lmd2 ~ imq2 (210) y! md ~ ad lmd (2 p) mq ~ aq lmq (21 ~) ~) bds ~ Jmd (1 - D f (lm)) (21r) (~ mqs ~ ~ Imq (1 ~ Q f (lm)) (21s ~
f (lm) = ~ ~ m (21t) ) m ~ lfd ~ lkd and lkq are the field leakage inductances and the direct axis and quadrature damper, respectively.
Note that the total homopolar embraced flux does not not saturate, since it does not cross the air gap.
Also, given the saturation, the couple resistive, the power generated and the reactive power are expressed by:. :

q Yds d ~ qs (21u) P = e ~ e / ~ 2e 1 (21v) Pr. - e ~ e. i ~ (21w) ANALOG MACHINE MODEL:
Using the above mathematical considerations, we will now undertake a description first of all .

1C ~ 83 '~ S9 rale then detail] ée of the analog model of the rotating machine.
Figure 2 illustrates the general analog model of this machine. Thus, there are represen ~ es all gold ~ donkeys simulate and realistically the characteristics and para-operating meters of a real three-phase rotating machine.
Thus, a sinusoidal oscillator l performs the functions tions sin ~ and cos ~ of relation 4 above. This oscillator has a very low level of distortion, having two outputs phase-shifted between them by exactly 90. In addition to having a high frequency and amplitude stability, oscillator 1 generates a direct frequency of oscillation directly proportion-nelle has a control voltage allowing to incorporate into a simulated generator, its turbine and its speed regulator.
These sin and cos functions feed a transformer axis 2 which also determines the value of ~ a base power.
This transformer 2 analogically achieves the relationship 3 above ~
; in relative value, by transforming currents 3 ~ phases in 2-phase currents, while using the fact that the sum of three armature currents cancel each other out, and ultimately transforms 2-phase currents in direct axis and quadrature currents.
Then, the armature currents Ia and Ib are transformed into cou-relative rants Id and I.
These relative currents Id and Iq feed a general block rator 3 which analogically carries out the relationships 21m to 21t in determining the mutual saturation flows of the machine. This generator 3 is looped on another generator ~ which simulates it the rotor currents If, Ikd and Ik of the machine. For this do, the saturated mutual flows are combined with a voltage Efd equivalent to the field voltage produced by an exciter.
The output of generator 3 supplies a generator 5 which combines the saturated mutual flows with the currents Id and I respectively-to determine the total saturated flows ~! d and ~ 'qs of the : - ',. , -.,, ............, ~, - ~,. ...........

. ''. '.:. . . . .

1 ~ 83 '~: 5 ~

machine, these saturated total flows and the feed axis currents try a generator 6 which generates a voltage, respectively according to the direct and quadrature axis, preceding the physical inductance reinforcement of the simulator. The symbols ed and e 'are used to represent these tensions. The generator 6 also simulates the negative armature inductance of the machine.
The voltages generated by the generator 6 are trans-formed in three-phase voltages by the generator 7 which, moreover, simulates negative armature resistance. The generator 7 pro-therefore duits at its output three voltages e ', eb and e' which in fact represent the voltages preceding the physical armature inductance of a real rotary machine, in relative values.
The three-phase output of generator 7 is applied to a circuit 8 which allows the connection of power amplifiers sance, isolation transformers, physical inductance of armature and a transformer of networks. Of circuit 8 are obtained the three-phase high voltage values E, Eb, E as well as the low-voltage three-phase values ea, eb, e of a generator.
These various voltage values supply a measurement circuit 9 which provides the relative three-phase values.
The reactive power Pr as well as the instantaneous power machine P are determined using a generator 10 which also determines the resistive torque r, which the latter being used either to supply a turbine, in the case where the machine is a generator, either to represent the output torque of an engine. To do this, the generator 10 is supplied by the low voltage outputs of circuit 8, by total saturated fluxes of generator 5 and of the currents I ~, Id and I generated by the axis transformer 2.
Each of the organs mentioned above and which constitute the analog model of the rotating machine will be described in detail below with reference to Figures 3 to 12 of the drawings.

~ 83Z ~ 9 SINUSOIDAL OSCILIATOR.
. . .
One of the important organs in the simulation of the ma-china is the sinusoidal oscillator designated under the rep ~ re 1 at the figure 2. Indeed, this oscillator must realize the functions sin ~ and cos ~ of relation 4 elaborated above. Figure 3 my-be a detailed diagram of a sinusoidal oscillator which has very low distortion and whose two outputs are exactly 90 phase shifted between them. This oscillator in addition to poss ~ der a great stability of frequency and amplitude generates a proper frequency of oscillation which is directly proportional to a control voltage, thus making it possible to incorporate, in the case a generator, its turbine and its cruise control.
The principle of the oscillator illustrated in Figure 3 is based on the oscillation resulting from the interconnection of two inte-generators 11 and 12 and an inverter 13. The gain of the two integra-teurs determines the natural frequency of oscillation ~ base. To to set the amplitude "A" of the oscillation produced at a pre-determined, a multiplier 17 performs the signal multiplication output from integrator 11 has another signal rendered directly proportional to the amplitude of the oscillation thanks to two multipli-cateurs 15 and 16 respectively connected to the output of the integrator 12 and 11. The outputs of these two multipliers 15 and 16 feed try an adder-amplifier 19 whose output signal is ~; -directly proportional to the amplitude of the oscillation.
In order to make the natural oscillation frequency of the oscillator directly proportional to a control voltage, the gain of the two integrators 11 and 12 is made directly pro-portable at this voltage using analog multipliers ques 14 and 18. In this case, for a frequency oscillator normalized 25 or 60 Hz, control of the frequency of the eyebrow-reader is made by multiplying each of the entries of the two multipliers by a control voltage ~. So the frequency : -. .:

~ 33,259 of the oscillation coming out of the inter ~ rator 11 is proportional at the control voltage by the multiplier 18, while that of the integrator 12 is by the multiplier 14.
A low-pass filter 20 is inserted in the chain of amplitude control to filter out the snoring signal produced by the two non ~ ideal multipliers 15 and 16 elevators in the square of this chalne.
The basic frequency of integrators ll and 12 can take dre the value of 25 Hz in addition to the normalized value of 6n Hz.
Note that we can also operate at the base frequency of 50 Hz.
A capacitive coupling C1 and C2 is arranged at each output from the oscillator, which gets rid of all low DC voltage fluctuations that one might find at the respective output of the two integrators 11 and 12. Usual-These small voltage fluctuations arise when the frequency and during aging of the circuit and, if not isolated, they can cause a point change of operation of multipliers used in transformations axes (Figure 4). The cutoff frequency of this capacitive coupling tif is 0.22 Hz and this in order to avoid any amplitude error and phase during large frequency variations.
Amplifiers 21 and 22 used at each of the outputs oscillator links allow adjustment to a predetermined level the respective amplitude of the oscillations.
AXIS TRANSFORMATION CIRCUIT.
.
The sinusoidal and cosinusoidal signals from the oscillator-lator illustrated in Figure 3 are used to power a circuit axis transformation as applied to the frame currents of the ~ -machine (circuit 2 of string 2). This transformation circuit tion is detailed in Figure 4 and analogically performs the relation 3 above transforming 3-phase currents into currents ~ 832 ~ 9 2-phases while using the fact that the sum of the three currents reinforcement is canceled. This circuit also realizes relation 4 above which concerns the transformation of 2-phase currents into axis C and D currents. Thus, from the armature currents I and Ib, the currents Id and I of the direct axis and of quadrature are defined using this circuit, in addition to the armature currents ::
in relative values Ia, Ib and Ic.
Given the nonexistence of zero sequence currents at the terminals of the machine, when used o ~ e synchronous generator or compensator, due to the fact that the neutral of the armature winding Y is set to earth through an impedance for any practical purpose of value in ~ e-denies, the sum of the three armature currents then being zero, it it becomes sufficient to measure only the phase currents A and B, ie the currents Ia and Ib. Also, only these two currents are used to power the axis transformation circuit of the figure 4.
Each of the currents I and Ib is first amplified a through an amplifier 23, 24 including part of the output voltage is sampled using potentiometers 25 and 26 which, in fact, determine the basic power P of the machine. In ampli-relying on the output of potentiometer 25 by the amplifiers of isola ~
tion 27 and 29 the value of the current I6C is determined, while the current I ~ is determined by adding the output of the amplifier;
27 and an amplifier 28 connects to potentiometer 26, to using the addition ~ 30.
Knowing the currents IoC and I ~, it is possible to determine the direct axis and quadrature currents. So, the current Id is determined by adding the current I ~ c, this the latter being multiplied by the function cos ~ generated by the oscil-lator of Figure 3, current I ~ after multiplication by lafunction sin ~ l also generated by this oscillator. The multi-plicers 31 and 32 connected to the adder 37 perform these .:, ~. . -:.
- :::: '.....................': ':' ~ 083ZS ~

mul ~ iplication and addition operations. We get it analog ~ ue the current Iq of the quadrature axis, except that in this case the current Iv ~ is multiplied by the signal sin ~ while the current I ~ is multiplied by the signal cos (~, respectively through multipliers 33 and 34. The output of these multipliers is addi-tioned by the differential adder 38 which delivers the si ~ nal Iq desirc.
The operations and use of these multipliers 31 to 34 and adders 30, 37 and 38 realize well the relation 4 above-men-tioned.
The circuit of Figure 4 also allows to obtain outputs I, Ib and Ic which are used as measuring points.
I is obtained directly from I ~ c, while Ib is obtained in ampli using amplifier 35 to output amplifier 28. I
is obviously determined by simple addition through addition-neur 36 of currents I and I. According to the gain of the amplifiers ab used, these three currents in relative values are determined by the following relationships:
I - 8-54 (10) (P) Ib = 8-54 (10) (P ~ f (22) Ic (a ~ b) J
o ~ P = base power As mentioned above, this base power is determined from the value of the voltage on each of the potentiometers 25 and 26. In order to allow great flexibility in the operation of the electronic simulator, each unit generator can operate using basic power in-be 5 and 50 watts, the highest power being chosen so to be in agreement with any imposing direct current simulator a voltage of 100 volts RMS line-to-line at the secondary of transformer of a real generator.
Due to limitations imposed by amplifiers of power, as we will see later, the voltage China was set at 21.21 volts RMS per phase. Thus, the cou-This basic machine varies from 82.8 mA ~ .MS to 828 mA RMS, this by choosing a base power factor of 0.95.
GENERAT ~ UR OF MUTUAL FLOWS.
Mutual and saturated flows ~ bn and ~ mqs summer relations 21r and 21s are made by the illustrated generator in FIG. 5, which was designated by the reference 3 in FIG. 2.
As these mutual saturation flows are directly proportional to mutual flows which are functions of magn ~ to-driving forces suitable for rotor windings, this generator must be lies in addition to the direct axis and quadrature currents of those circulating in the windings of the field and the shock absorber direct and quadrature axis (If, Ikd and Ikq, respectively), so as to realize the equations 21m and 21n. These roto- currents risks are produced by the generator 4 of figure 2 which will be described in detail later. ~ -Magneto-motive force I is obtained by adding md the currents Id ~ If and Ikd using the adder-amplifier-inverter 39 while the current I q is obtained by adding the currents Iq and Ikq by the adder-inverter-amplifier 40, thus realizing the relationships 21m and 21n. The value of these two magneto-motive forces is sampled using pottentio-variable meters Ll and L2 of relative value proportional to the mutual inductance L d and L q of the direct and quadrature axis, respectively. After amplification and inversion by the ampli-respective ficers 44 and 45, we get the mutual flows ~ I'md and l ~ mq 'which conforms to equations 21p and 21q above high.

To obtain the resulting magneto-motive force I ne-m cease to determine the saturated mutual flows, the forces I d and Imq are respectively squared by the multiplicates teurs 41 and 42, then added in the adder 43 whose output is connected to the square root extractor 46. This opera-.. ..
-:.
. .

1 ~ 83Z59 tion results in building relationship 210. This strength Resulting magneto motor Im feeds either a saturation generator ration 48 incorporates externally to this simulation system tion, or an internal saturation generator 47 whose output represents the variation of the relative flux as a function of this force resulting magneto-motor, the switch 54 serving for selection-one or the other of these two generators of saturation.
In order to simulate rotating machines with smooth poles or the output of the generator 47 is multiplied by the coef-fients D and Q known as direct axis and quadrature saturation coefficients respectively (see equation 20). I, a value of Q
used for most studies on general purpose machines radiators with salient poles is fixed at 0.2 while the value of D is 1. In the case of smooth pole machines, these two values theirs are equal and unitary. So depending on the type of machine that we want to simulate, the switch 55 is placed on one or the other of the corresponding studs.
The value of the saturation rate thus determined is then inverted by inverters 49 and 50 and multiplied by flow mutual of the direct axis and quadrature by the multipliers 51 and 52 respectively. Thus are obtained the mutule flows sa-tures in relative values along these two axes.
Using the generators in Figure 5, it is also possible to simulate all types of alternators, compensators synchronous and induction and synchronous motors, and eliminate either any saturation via switch 53, or only the saturation of quadrature by the switch 5 ~.
CO GENERATOR.
As mentioned in the course of the description of the Figure 5, it is necessary in order to reproduce mutual flows saturated ~ mds and ~ mqs' to introduce the currents If, Ikd and Ik at the input of this generator, these currents flowing respectively 1 ~ 83Z59 in the windings of the field5, and of the damper of the direct axis and quadrature. The generator circuit illustrated in Figure 6 used to produce the desired rotor currents, this general circuit teur being loop on the gen ~ rator of Figure 5 (see figure 2).
The purpose of the generator circuit of fl ~ ure 6 is to simulate analogically read the relationships 21d, 21e, 21f, 21j, 21k and 211 above high. But rather than directly simulating these relationships, which would require the use of analog taps, a manipulation lation of these has the effect of simplifying the arrangement electronic. So, - combining 21d with 21j, we get P ~ f (~ f ~ ---) (~ b Rf (1 r ~ (23) - combining 21st with 21k, we get i Ikd = ~ ~ ~ - Plkd ~ 24) kd base ~ kd base - and combining 21f with 211, we obtain ~ m ~ s _ (25) kq base Rkq (1 + P1kq ~ base kq where if ~ Ikd and lkq respectively designate the leakage inductance of the field, and of the damper along the direct and quadrature axis.
These three new relationships 23, 24 and 25 allow therefore to simulate rotor currents and this without the use analog derivators.
Then, referring to FIG. 6, the generator circuit receives on two separate inputs the saturated mutual flows ~ d and ~ mqs which are respectively reversed by the inverters 57 and 58. The output of the inverter 57 is added in the addi-holder 59 has a signal delivered by a return circuit constituted ~
an amplifier 60 whose output is sampled by a resistor ~,. . ,. ~
. :,,. ~

~ 3Z59 variable voltage Rkd (resistance of the direct axis damper) and then integrated through the integrator 61, thus realizing the relationship ~ 4.
Similarly, the current Ik is simulated in addition-at the output of inverter 58 a signal from a loop of return constitutes an amplifier 63 whose output is connected to an integrator 64 through a variable resistor Rkq, this re-sistance being the relative resistance of the following shock absorber the quadrature axis. Thus is r ~ realized the relation 25 above.
The simulation of the field current If (relation 23) is realized by applying to the input of an adder-reverser 57A
the field ~ d and a signal proportional to the field voltage Efd equivalent to that produced by an exciter, this tension fields being amplified and inverted by 69 and then sample-born by a variable potentiometer of value proportional to the in-leakage ductance of the Ifd field. The output of adder 57A
is then added to a signal from a feedback loop constituted by the amplifier 67 whose output is connected to ~
the integrator 66 via a variable resistance Rf, this last resistance being the resistance of the fields of the ma-China. A differential adder 68 finally adds the output of adder 65 to that of amplifier 69 for generate the desired field current If. It should be noted that FIG. 6, the excitation voltage Efd is used rather than e shown in relation 23, this being due to the representation employee, in general, for exciters, in the case of a gene ratrice.
Note that the value illustrated inside each circuits 65, 59, 62 and 69 represent their transfer function respective and corresponds to the field leakage inductance, the shock absorber of the direct axle, the shock absorber of the axle drature and mutual inductance of the direct axis, each ~ as 1 ~ 83 '~ 59 variable obviously according to the type of simulated machine. Let us note e ~ a-less than the base frequency of amplifiers 60, 6 ~ and 67 p ~ ut be 25 or 60 ~ Iz.

GENERATORS OF TOTAL SATURATED FLOWS:
... ... , _ __ _ _ The generator circuit illustrated in ~ igure 7 produces the total saturated fluxes ~ d and ~, along the direct axis and from quadra-ture, respectively. ~ n done, these flows are the leakage flows ~
reinforcement of a real machine simulated along the D and Q axes, -which are mathematically represented by the relations 21g and 9 p.m. above. According to these relations, the saturated mutual flows ~ mds and ~ I ~ mqs produced by the generator circuit of figure 5 are respectively added in the adders 70 and 71 to the currents Id and I such as inverses by inverters 72 and 73 and then sampled by variable value potentiometers L1, this value corresponding to the armature leakage inductance in relative value. The respective output of adders 70 and 71 represents the flows ~ ds and ~ qs desire ~ s.
GENERATION OF VOLTAGES D AND Q:
Knowing the total saturated fluxes ~ d and ~, it is possible using the diagram in figure 8 to obtain the voltages ed and eq which correspond to the voltages across the direct axis and quadrature, respectively. These voltage values being theoretically illustrated by equations 21a and 21b.
Note that the generator circuit in Figure 8 uses a negative inductance Le-, called negative inductance of ar-mature, and because of this, the total saturated flows ~ ds and ~ qs must be processed before using them to meet equations 21a and 21b. The reason for using an inductor The- will be given later in this text. Total flows saturated modified ~ 'd and ~' are then produced on the one hand in adding in the adder 76 the current Id, which flows at through the insulator 74 and the negative inductance Le-, at the flow ~ ds;

- ~. .

i ~ 832S9 and on the other hand, the current I which flows 3 through the insulator 75 and the negative armature inductance Le- is added to the flux ~ using lladditionncur 77. These flows then have expression:

ds = ~ ds L d (26) ~ qs = ~ q5 t Le- I (27) The flow ~ 'd is then amplified in amplifier 78 and is derived by the derivative 80. On the other hand, the current Id is inverse ~ in the inverter 84 and sampled ~ by the resistance of a ~
mature R, while the flux modifies ~ 'is multiplied ~ byVU which is the angular speed of the turbine, using the multiplier 82.
The outputs of resistance R, derivator 80 and multiplica-82 are then connected to the inputs of the differential amplifier.
ciel 86 which provides an e'd voltage at the output which corresponds well to that defined in equation 21a, taking into account the inductance; ~
negative Le-.
Similarly, the quadrature voltage e'q is ob-held by addition in the differential amplifier 87 of the outputs multiplier 83, which also multiplies ~ 'd by ~, the derivative teur 81, which derives the flow ~ 'previously amplified ~ by amplify it 79, as well as the current Tq supplied by the inverter 85 and sampled by resistance R, which is the resistance of frame. Again here, the quadrature voltage value e'q obtained corresponds to that defined in relation 21b, account given the presence of the negative inductance Le-.
Regarding the negative armature inductance Le-its use is necessary due to the insertion of a inductance Lm called armature physical inductance, in the diagram in Figure 10. The existence of such a physical inductance reinforcement L indeed presents real advantages in the pre-: ~
feels simulator. Because it should be noted that the simulation of the leakage inductance reinforcement requires the use, in the machine simulator.

~ ....... .

1 ~ 83ZS9 analog generators which generate a lot of noise when their bandwidth is not limited. In addition, the gain of the system ~ global open loop, that is to say when the genera-current rators are disconnected, becomes considerable with a such broadband derivative passage and when the power of base is about 5 watts because then the various currents measured are amplified by 10 instead of unity. System stability in this case is extremely difficult, especially when amplifiers inexpensive operational formers are used. In addition, without this inductance L, it is very difficult to carry out the tests in short circuit, in the case of urgenerator / because then the gain closed loop due to the load impedance becomes extremely tall.
Consequently, the use of a physical inductor Lm reinforcement (Figure 10) reduces the passage band of the analog shunt, this physical inductance having a extremely high upper limit frequency, and hence reduce the noise generated as well as significantly decrease the gain of the overall closed-loop system when the load is a short circuit, which makes it possible to study any short circuit at the terminals the frame of a generator without it oscillating while using low cost amplifiers. The overall effect is that the generator impedance seen from these terminals can be cor-rectly represented until the 25th harmonic of the frequency industrial, d ~ oa adequate simulatlon when the generator supplies a DC rectifier without an AC filter and also allows a good representation of the operating overvoltages.
The value of the negative inductance Le- is therefore chosen in such a way that it cancels the physical armature inductance Lm of the simulator. Note also that the base frequency, in particular those of amplifiers 78 and 79, can be chosen equal to 25, 50 or 60 Hz.

1 (~ 83,259 THREE-PHASE VOLTAGE GENERATOR.
. ~
The direct axis and quadrature voltages e'd and e ', respectively, being known, we can now determine from these the voltages e ', e'b and e'c (or ea, eb and _ ec, if it is disregarded of the physical inductance T.) which ~ `
correspond respectively to the voltages across the windings machine. To do this, the circuit of figure 9 actually performs an axis transformation from two phases to three phases under the following relationships:
e ~ _ cos ~ - sin 0 ol ed e ~ _ sin ~ co ~ 0 eq ~ (28) = 1/2 ~ 2- 1 ~ ~ 29) 1/2 _ ~ 3 1 eO

In these equations, the voltages e ~ and e ~ denote the armature voltages of phaseo ~ and ~ respectively in the 2-phase equivalent system.
It should be noted that these equations 28 and 29 do not hold disregard the use of a negative armature resistor R- and whose why we will explain later. But in all event, the circuit of Figure 9 respects the ~ aleurs theoretically determined in relations 28 and 29.
Thus, the voltage e'd is added to Id R- while the voltage e'q is at IqR ~ ~ using the respective adders 90 and 91. The output of the adder 90 supplies two multiplicates - ~ -92 and 95 which multiply the signal by cos ~ and sin WT respec-tively, these two functions being generated by the oscillator il-glossy in FIG. 3. On the other hand, the output signal of the addi-, :.:., :::::. : :: ' ::: ~ -. j. . ' actuator 91 supplies two multipliers 93 and 94 to carry out multiplication by the functions sin ~ ~ and cos ~ respectively.
The voltage e ~ cest then obtained by adding by the differential adder ~ rentiel 96 the outputs of the multipliers 92 and 93 while the voltage e ~ is obtained by adding the outputs of multipliers 94 and; -95 by the adder 97. The values obtained for eO ~ and e ~ S
therefore correspond to those defined in the matrix of the equation 28, notwithstanding the insertion of the negative armature resistance R-.
Thereafter, the tension e'a is obtained directly from e ~ C; the voltage e'b is obtained by adding using the addi-differential actuator 100 the voltages e9C and e '~ respectively amplified beforehand by amplifiers 98 and 99; and finally the voltage e'c is obtained by addition in the adder 101 of the voltages ec ~ and e ~ previously amplified by the amplifica-98 and 99, respectively. The gain of the g8 and 99 obviously corresponds to the terms of the matrix of equation 29.
So we get using the transformation circuit of the figure 9 the voltages e'a, e'b and e'c which represent in fact three-phase voltages across the machine, voltages that immediately precede the physical inductance Lm of the simu- ,, ~.
which take into account the presence of resistance armature negative R-.
It should be added here that this negative resistance of reinforcement R- is added in order to compensate and cancel the various-its resistances inserted in 1 ~ circui ~ of simulation and which are those of the physical inductance Lm (FIG. 10), of the transformer, insulation (Figure 10O, fuse and a translational resistance of current in the physical armature circuit. In addition, the equivalent resistance of the high voltage transformer (figure 10), which is a transformer equivalent to the one used at the output of a generator in a real ~ eseau, can in some cases be higher than that announced by the manufacturer. So the '', -, 10 ~ 33'Z59 r ~ resistor born ~ ative R- used to cancel electronically inside ~ r of the simulator all the undesirable resistances.
Note in Figure 9 that two amplifiers of unit gain 88 and 89 are illustrated, these amplifiers being used as insulators.

POWER AMPLIFIERS AND AUXILIARY TRANSFORMER.
Referring to Figure 10, the three voltages generated e ', e'b and e' are initially amplified in tensions and in power respectively by power amplifiers 102.
These amplifiers 102 allow a 100% overvoltage to terminals of the machine used as a simulated generator when it this works with no load and an overvoltage of 50 ~ in the event that the char-ge is completely inductive, when the value of the inductance physical L equals its maximum value of 10 ~ and when the value of the low voltage is 1.12PU (at nominal current). The choice of amplifiers to properly represent dynamic overvoltages in any type of problem to study in relation to behavior of any type of generator. Also, the amplifiers 102 are chosen so as to allow currents of the order of 12PU
during short circuits at the terminals of the generator.
In addition, the imperfection of the multipliers used in carrying out the axis transformations applied to voltages, produces a weak aftershock at their respective outputs tensions e'd and eq which, in steady state, are tensions direct current. These amplified DC voltages saturate the `
T2 transformer of the network if one is not careful. To avoid this problem, each power amplifier 102 is connected to the network transformer T2 via untransfor ~
insulation mater Tl with unitary tower ratio and which has a level of saturation that cannot be achieved in practice and whose the leakage inductance and the resistance are extremely low.

The use of the Tl isolation transformer also allows the .
. ,,:. . ;:. -, : ~ ~:: ::., 1 ~ 83; ~ 9 easy measurement of armature current, just insert low resistance ~ 0.1 ohm) in the secondary circuit of T1 transformers to do this. These armature currents I and Ib are also used to power the axis transformer of current of figure ~.
Also note that due to the low value leakage inductance and primary resistance of trans-trainers Tl, the magnetization current of these does not introduce no voltage distortion in the circuit. Each of the trans-insulation trainers Tl is connected to the physical inductance of armature Lm which we discussed above relative to the Description of Figure 8. So we get at the output of physical inductances low voltage values e, eb and ec produced by the generator.
On the other hand, the transformer T2 simulates a transformer real network mater and is used to transform low voltages e, eb and ec in high voltage value Ea, Eb and Ec. The transform-mateur T2 therefore has a primary in delta and a secondary in star as it is commonly used in real networks.
The inductances Lp and Ls respectively represent the inductances leakage from network transformers, the maximum value of each one of the inductors being 12%.
For information, let us mention that the characteristics magnets of the transformer T2 are those of the transformers of high power using magnetic steel as grain oriented silicon whose main features are to provide a ratio of the density of the flow of remanence over the density of the magnetization flux of approximately 0.8 and a current of RMS magnetization of the order of 0.6% at nominal supply voltage mentation when the knee saturation flux density is found at 1.15PU of the nominal magnetization flux density.

A preferred embodiment of the transformer T2 consists in:

--,, -.
~ .... .

use three toroY ~ als cores whose magnetic material is "Square Permaloy 80" which provides a curve "s ~ l" with a 0.9 ratio between the density of the remanence flux and of magn ~ tisa ~
tion. This transformer has a magnetization current of 2.2 ~ (based on RMS value) when knee saturation is fixed at 1.15PUet and that the basic power is 50 watts.
It should be noted that cores with a larger cross-section and circumference low are used when the base power is reduced, this in order to keep a fairly low magnetization current.
As explained above, the negative resistance R-can be adjusted to eliminate all resistance added to the system by power amplifiers 102, the protection fuses, Tl isolation transformers, resistances of current translators and inductors reinforcement physics Lm ~ this in order to properly represent the genera-to its low voltage output terminals. Furthermore, if we want to represent in addition to the generator the primary of transformer with great precision, which allows for example to study the switching on of the transformers, then we will add at the value of the negative resistance R-, the additional value of the resistance due to the leakage inductance Lp at the primary of the transformer T2. A typical value of the primary resistance of transformer T2 is 0.2 ~. Finally, if we want to represent feel precisely up to the high voltage level, the resistance negative R- will then include the resistances of all induc-leakage tances of transformer T2 as well as the resistance of network circuit breakers D. A typical resistance value?
total of the T2 network transformer is 0.4%.
Note also that the zero sequence impedance of the T2 transformer can be incorporated into the neutral of this transformer network circuit breaker D can be simulated using thyristors to allow the opening of each phase at 1 ~ 8 ~ 25 ~
moment of current passing by O. This simulated circuit breaker can moreover be provided with mercury contact in order to avoid any voltage drop across its terminals when closing after switching on in operation by the thyristors.
MEASUREMENT OF VOLTAGES:

... . _ _ Figure 11 shows an assembly to facilitate measurement of low and high voltages generated by the circuit of figure 10. As indicated, the low voltages ea, eb and e supply amplifiers 103, 104 and 105 respectively which generate the low relative voltages ea, eb and e. 1st gain of of each of amplifiers 103, 104 and 105 is identical and of the order of 1/30.
Similarly, the high voltages ~, Eb and E
power amplifiers 106, 107 and 108, respectively, which generate the tensions Ea, Eb and Ec. To do this, the gain of amplifiers 106, 107 and 108 is fixed at around 100 ~ ' ~ TORQUE AND POWER MEASUREMENT:
In order to know all the characteristics of the simulated machine, it is necessary to measure its value of the electric couple ~, as it appears in the tree of the ma-china, as well as the value of the instantaneous power P and the reactive power Pr. The relations 21u, 21v and 21w provide a mathematical representation of each of these values and of which a form of layout is illustrated in FIG. 12. Thus as illustrated, the resistive torque ~ is obtained by multiplying by share the total saturated flux ~ ds by the current Iq in the multipli-cator 109, and on the other hand, by multiplying the total saturated flux ~ by the current Id in the multiplier 110, the outputs of multipliers 109 and 110 then being added in the addi-differential actuator 111. Which corresponds well to the expression 21u.

To obtain the instantaneous power P, it suffices to add the product e ~, carried out using the multipli-;. :
.,. - ~ ~ '' ~, 1083 '~ S9 cateur 114, and the product c ~ appearing at the outlet of the multiplier 115, the addition being cffectuce by the adder 116. It should be noted that the voltage e ~ can be obtained by addi-the voltages e, eb and ec, generated by the circuit of the FIG. 10, using the adder 112, while the voltage e ~ results from the addition by the adder 113 of the voltages eb and ec.
Similarly, the reactive power Pr is obtained by addi- -working with the differential adder 119 the products e ~ Iv ~ and e ~ I ~, these products being made through multipliers 117, 118, respectively.
It should be noted that to facilitate the measurement of the torque and intantane powers ~ very active, the final values ob-held using the measurement circuit of figure 12 are expressed in relative values, this coming from the fact that the components of these values are taken at the start also in relative values ves.
EXCITATOR AND STABILIZER:
In modern hydroelectric plants, the exci-generators used to power generators of large are generally of the static or electronic type. he There are several types of static exciters currently on the market, and among these the fixed type which employs thyris- ~ ' tors is most certainly the most used. Figure 13 illustrates an analog model of this type of static exciter.
In order to obtain a simulation as detailed as pos-sible, a three-phase representation, with possibility of gains and variable ceilings, is considered in this model. In a way general, the regulation voltage V can be produced from low voltages ea, eb and ec (machine voltages), i.e.

high voltages Ea, Eb and E (network voltages) from the circuit of Figure 10, or any other suitable voltage. In addition, -,. . . . . . . . .

1 (~ 83Z5 ~

it should be noted that the ceiling key voltage of the e ~ citator vp can be obtained either from the machine voltage which is a voltage variable, either of ~ no fixed voltage via the commuta-130. Finally, for a complete simulation, a ~ element corrector 125 simulating a pole and a zero can be connected to will in the circuit.
The operation of the analog exciter model static is as follows. Three-phase regulation voltages ea, eb and ec from either low voltage, high voltage Sion or other are rectified by a rectifier 120, three-phase double alternation which has six diodes. I, a tension the resulting continuous is then filtered through the low pass filter 122 with a cut-off frequency of 37Hz and the absorption factor weaving ~ 0.75. The continuous regulation voltage V is then compared to a setpoint voltage V added to a voltage stabilization sion Vs from the stabilization unit of the ~ igure 14, inside the comparator 123. The result of this comparison is amplified by the amplifier 124 of gain KA
and time constancy r this corresponding time constancy to that of the static exciter. Amplifier output 124 feeds the adder 126 either directly or via the of the gain corrector 125 according to the position of the inter-breaker 131. The purpose of this gain corrector is to include a pole and a zero given respectively by the time constants ~ 1 and ~ 2 'to the amplifier output signal. Voltage which is the result of the addition of the voltage Efdo with that of ~
output from amplifier 124 or gain corrector 125, feeds a function generator 127 which limits the value of field voltage Efd which effectively represents a field of the generator.
Note that the field voltage Efd is limited either positively or negatively at the values s + V and -BV, respec-~ '''. ,, 1C ~ 83Z ~ 9 tively, B + and B- determining the positive and negative ceiling relative to the allowed variation of] a tension Efd. In the illustrious model, this ceiling can be either variable or fixed, depending on whether V represents the variable voltage VBT or the voltage fixed by 1 PU, depending on the choice made using the switch 130. The voltage VBT is said to be variable because it is directly connected to that appearing at the terminals of the generator and it is obtained by rectification in 128 and filtering in 129 of low voltages e, eb and e generated by the generator. In this in this case, the rectifier 128 and the filter 129 are identical to the rectifier 120 and filter 122, respectively. It is to highlight that the voltage VBT is equal to 1 P. ~. when the machine voltage is nominal.
Finally, note that the gain KA of amplifier 124 is chosen so that a variation of 1 PU in the voltage of Efd fields is produced when saturation is not considered and that the voltage Efdo represents the field voltage under load or empty, as the case may be, of the generator. As for the tension of stabilization Vs which feeds the comparator 123, it can be canceled using dll switch 130 ', to remove the damping effect stabilizing.
Figure 14 illustrates a model of a stabilizing unit.
ce, this model for studying the stability of networks a alternating current in view of the development and evaluation of new techniques relating to the amortization of generators.
The stabilizer of figure 14 provides at its output a voltage regulator Vs which is used to power the exciter of figure 13 for determining the field voltage Efd of the generator as a function of variations in the instantaneous power P of this generator and the valve position x of the turbine, when consider ~ re in a set h ~ dro-electric. Instant power Tane P is first detected using a 131 watt meter ,. '' ~ '~. :
; ',''' ~ ''. ''' aunt of time i ~ w, which ~ generates a si nal of position which feeds the negative input of subtractor 132, the positive input receiving the winnowing position signal x. This signal x is such that the stabilizer will not respond to a request for boost or reduction of generator power by the network if the turbine at the time required to supply this request, i.e.
tell whether the increase or decrease is slow enough.
Thus, thanks to the subtractor 132 whose gain Kg represents the gain of integration of the stabilizer, it prevents the stabilizer responds to a desired increase or decrease in generator power from the speed controller power setpoint attached to the turbine. 132 output feeds two filters passepass 133 and 134 mounted in derivation and whose constants Tl and T2 respectively represent the relaxation time and integration of the stabilizer. The outputs of these filters are compared in comparator 135 and then corrected by the circuit cooked corrector 136 which consists of two transfer functions phase advance and retarder and is used to make the curve of frequency responses for both amplitude and phase less dependent on the oscillation frequency. The corrected signal supplies a voltage limiter 137 whose role is to limit the stabilizer signal Vs to exclude voltage variations of armature of too great amplitude without however damping the large variations in the load angle. In addition, the signal stabilizer Vs can be earthed using the circuit breaker 138 when the generator desynchronizes from the network in order to avoid ~ r that the stabilizer does not tend to correct the sudden variation in resulting power. But this grounded signal finds its normal state after a time corresponding to that taken by the generator to resynchronize to the network, this time being ne-stopped to allow the stabilizer to avoid responding to disturbances produced by resynchronization.

:: '. ~ -. :

Claims

The embodiments of the invention about which a exclusive right of property or lien is claimed, are defined as follows:

1. System for analog simulation of a machine three-phase rotating, comprising:
first means of transforming arcing currents mature three-phase machine in two-phase equivalent currents and for transforming said two-phase currents into so-called axis currents direct and quadrature;
means of generation and control of parameters and operating characteristics of the machine in function said direct axis and quadrature currents;
means for generating two-phase voltages in response to said means for generating and controlling parameters and machine characteristics;
second means for transforming said voltages two-phase in three-phase voltages; and means for generating dynamic characteristics of the machine according to said three-phase voltages and said operating parameters and characteristics generated by said means of generation and control.

2. Simulation system according to claim 1, ca-characterized in that said means for transforming currents three-phase two-phase currents include an oscillator assembly generating sinusoidal and cosine functions feeding a axis transformer assembly which transforms said dual currents phased in said direct axis currents and relative quadrature-the value of the general sinusoidal and cosine functions repair said oscillator assembly.

3. Simulation system according to claim 1, characterized in that said means for generating the parameters and machine features include a first set of ble generator of signals representative of rotor currents of the machine as a function of signals equivalent to mutual flows of saturation of the machine generated by a second general set tor fed by said direct axis and quadrature currents as well as by said rotor currents for the generation of so-called mutual flows, and a third signal generator set equivalent to the total saturated fluxes of the machine in response to-so-called saturated mutual flow signals and said axis currents direct and quadrature.

4. Simulation system according to claim 2, characterized in that said oscillator assembly comprises mo-yen to stabilize the frequency and amplitude of the functions sinusoidal and cosine waves generated, these stabilization means reading being controlled by a control voltage which corresponds at the angular speed of said machine.

5. Simulation system according to claim 2, characterized in that said axis transformer assembly comprises a first multiplier set allowing the multiplication of each of the two-phase currents by said sinusoidal functions of the oscillator assembly, a second multiplier assembly allows as the multiplication of each of the two-phase currents by the cosine functions of the oscillator assembly, and a set adder connected to said first and second multiplicative sets tor, for the generation of said direct axis currents and quadrature.

6. Simulation system according to claim 2, characterized in that said axis transformer assembly includes further means for determining the base power of said machine.

7. Simulation system according to claim 3, characterized in that said first generator assembly is looped on said second generator assembly, and includes means integration of each rotor current and addition means currents integrated with said signals equivalent to flows saturation mutuals.

8. Simulation system according to claim 3, characterized in that said second generator assembly comprises means for adding said rotor currents, means adding the direct axis and quadrature currents, means for sampling the output signals of each of said first and second addition means for generating flow signals means for determining a saturation rate of these mutual flows, the latter means being connected to each of said first and second means of addition, and means of multiplication of each of the mutual flow signals by said saturation rate.

9. Simulation system according to claim 8, characterized in that said means for determining the rate of saturation include lifting means squared outlets respective of said first and second addition means, these means risers being connected to an adder whose output feeds a square root extractor means, means for generating saturation connected to the output of the square root extractor and providing said multiplier means with a representative signal said saturation rate.

10. Simulation system according to claim 9, characterized in that said saturation generating means include means for generating signals representative of a saturation coefficient for simulating machines rotating smooth pole or salient pole.

11. Simulation system according to claim 3, characterized in that said third generator assembly comprises means for adding each of said signals equivalent to mutual flows saturated with a signal corresponding to the axis currents direct and quadrature sampled using a po-tentiometric value corresponding to the leakage inductance reinforcing said machine, each of said adding means providing at its output a signal representative of one of said flows saturated totals.

12. Simulation system according to claim 3, characterized in that said voltage generation means two-phase comprises means for adding each of said si-gnaux equivalent to the total flows saturated with the currents pectives of direct and quadrature axes crossing an inductance negative of armature, the output signal of each of said means addition supplying the inputs of a summation means through an integrator-multiplier set, for the summation of signals generated by the latter together with the axis currents direct and quadrature, respectively, sampled by an element representative of the armature resistance of said machine, each of said summing means providing at its output a signal corresponding to one of said two-phase voltages.

13. Simulation system according to claim 2, characterized in that said second means for transforming said two-phase voltages in three-phase voltages have means for adding said two-phase voltages with said currents of direct and quadrature axes crossing respectively a resistance negative resistance called negative armature resistance, this resistance negative tance used to cancel unwanted resistances present in the simulation system, a multiplicative set tor receiving the output signals from each of said additive means tion and allowing the multiplication of these signals by each of said sinusoidal and cosine functions of the set oscillator, and second addition means connected to said sets multipliers for the generation of said three-phase voltages sées.

14. Simulation system according to claim 13, characterized in that a step-up transformer each of said three-phase voltages on its primary windings phased through a connected power amplifier an insulation transformer whose secondary is connected to a inductance called physical armature inductance.

15. Simulation system according to claim 3, characterized in that said character generation means dynamic ticks of the machine include multiplic-teurs of the total fluxes saturated by said direct axis currents and quadrature, and a differential adder connected to said multiplier means, providing a representative signal of the torque appearing on the shaft of said machine.

16. Simulation system according to claim 15, characterized in that said character generation means dynamic ticks of the machine also have third means for transforming said three-phase voltages into voltages two-phase using add-on elements and a multi-set plifier selectively multiplying these latter tensions two-phase with said two-phase currents, the output signals multipliers of the set being added two by two by independent differential adders so as to define the instantaneous power and reactive power of the machine.

17. Simulation system according to claim 7, characterized in that said saturated mutual flows are determined based on an excitation signal from an excitation unit which includes means for generating a regulation voltage as a function of said three-phase voltages produced by the-so-called second processing means and capping means of said excitation signal as a function of said regulation voltage and an auxiliary voltage, the latter being either variable or fixed and used to define the ceiling value of said excitation voltage.

18. Simulation system according to claim 17, characterized in that said regulation signal supplies an element gain corrector linked to said means of capping.

19. Simulation system according to claim 17, characterized in that said regulation signal is stabilized by a stabilization signal which is a function of a signal represented tative of the instantaneous power of said machine and of a signal representative of a winnowing opening when said machine is used as a generator.

20. Simulation system according to claim 19, characterized in that said stabilization signal is produced by a stabilizing unit which comprises, connected in series, a subtractor receiving said signals representative of the instantaneous opening and valve opening, two pass-through filters low bypass mounts supplying a comparator connected to a limit voltage tester via a correction circuit phase and amplitude.