WO2024100708A1

WO2024100708A1 - グラフ信号処理装置、グラフ信号処理方法及びプログラム

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Publication number: WO2024100708A1
Application number: PCT/JP2022/041353
Authority: WO
Inventors: 崇元佐々木; 幸浩坂東; 正樹北原
Original assignee: 日本電信電話株式会社
Priority date: 2022-11-07
Filing date: 2022-11-07
Publication date: 2024-05-16

Abstract

本発明の一態様は、処理対象のグラフ信号に対してグラフ信号処理を実行する制御部、を備え、前記グラフ信号処理は、定数ベクトルｃと、前記処理対象が示すグラフのグラフラプラシアン行列に含まれるグラフラプラシアン行列Ｌと、スカラーの定数係数αと、単位行列Ｉと、で表される（Ｉ＋αＬ）ｘ＝ｃの形の線形方程式を解く求解処理、を含み、前記求解処理では、前記定数ベクトルｃに対するグラフフーリエ変換と、固有値分解によって前記グラフラプラシアン行列Ｌが対角化された結果である対角行列Λを用いた処理であって前記グラフフーリエ変換の結果に対する（Ｉ＋αΛ）による割り算の処理である割り算処理と、前記割り算処理の結果に対するグラフ逆フーリエ変換と、が実行される、グラフ信号処理装置である。

Description

グラフ信号処理装置、グラフ信号処理方法及びプログラム

　本発明は、グラフ信号処理装置、グラフ信号処理方法及びプログラムに関する。

　解析対象をグラフで表現し、そのグラフのグラフ信号に基づいて解析対象の解析を行う技術がある。このような技術においては、グラフ信号の雑音除去等の、グラフ信号に対する信号処理であるグラフ信号処理、が行われる。

Zhou and Schoelkopf, "A regularization framework for learning from graph data," ICML 2004 Workshop on Statistical Relational T. F. Chan, S. Osher, and J. Shen, "The digital TV filter and nonlinear denoising," IEEE Trans. Image Process., vol. 10, no. 2, pp. 231-241, 2001.

　グラフ信号処理においては、グラフラプラシアン行列を含む行列で表現された線形方程式の求解が必要になる場合があるものの、求解に時間を要する場合がある。そこで、こういった求解の処理をより短時間で実行する技術への要求が高まっている。

　上記事情に鑑み、本発明は、グラフ信号処理に要する時間を短くする技術を提供することを目的としている。

　本発明の一態様は、処理対象のグラフ信号に対してグラフ信号処理を実行する制御ステップ、を有し、前記グラフ信号処理は、定数ベクトルｃと、前記処理対象が示すグラフのグラフラプラシアン行列に含まれるグラフラプラシアン行列Ｌと、スカラーの定数係数αと、単位行列Ｉと、で表される（Ｉ＋αＬ）ｘ＝ｃの形の線形方程式を解く求解処理、を含み、前記求解処理では、前記定数ベクトルｃに対するグラフフーリエ変換と、固有値分解によって前記グラフラプラシアン行列Ｌが対角化された結果である対角行列Λを用いた処理であって前記グラフフーリエ変換の結果に対する（Ｉ＋αΛ）による割り算の処理である割り算処理と、前記割り算処理の結果に対するグラフ逆フーリエ変換と、が実行される、グラフ信号処理方法である。

　本発明の一態様は、上記のグラフ信号処理装置としてコンピュータを機能させるためのプログラムである。

　本発明により、グラフ信号処理に要する時間を短くすることが可能となる。

実施形態のグラフ信号処理装置１の構成の一例を示す図。実施形態におけるグラフ信号処理装置が実行する処理の流れの一例を示すフローチャート。変形例における合成グラフ、非摂動グラフ及び摂動グラフの一例を示す図。グラフ理論におけるグラフの一例を示す図。

　（実施形態）
　以下、グラフ理論におけるグラフに関する用語を用いて説明を行う。念のため変形例の説明の後に、グラフ理論におけるグラフについて説明を記載しておく。必要に応じて参照されたい。

　図１は、実施形態のグラフ信号処理装置（Graph Signal Processing Apparatus）１の構成の一例を示す図である。グラフ信号処理装置１は、バスで接続されたＣＰＵ（Central Processing Unit）等のプロセッサ９１とメモリ９２とを備える制御部１１を備え、プログラムを実行する。

　制御部１１は、処理対象のグラフ信号（以下「処理対象信号」という。）、に対するグラフ信号処理を行う。処理対象信号は、具体的には、グラフ条件を満たすグラフ（以下「解析対象グラフ」という。）を示すグラフ信号である。グラフ条件を満たすグラフは、グラフ条件を満たしていればどのようなグラフであってもよいが、例えば脳波の分布等のユーザの関心のある対象である解析対象を表現するグラフである。処理対象信号は、例えば、解析対象グラフを表現するテンソルである。グラフ条件は、第１条件と第２条件との少なくとも一方が満たされるという条件である。

　第１条件は、グラフの対称性の高さが所定の基準よりも高い、という条件である。第２条件は、グラフが複数のグラフの直積である、という条件である。なお、第１条件はグラフの対称性の高さが所定の基準よりも高い、という条件であるので、第１条件は、例えばグラフがパスグラフ、サイクルグラフ又は対称グラフである、という条件であってもよい。したがってこのような第１条件を満たす解析対象グラフは、例えばパスグラフ、サイクルグラフ又は対称グラフである。

　このようにグラフ条件は、グラフの対称性の高さが所定の基準よりも高いことと、グラフが互いに独立なグラフに分解可能であることと、の少なくとも一方が満たされればよい、ことを要求する条件である。

　制御部１１が実行するグラフ信号処理は、求解処理を含む。なお、グラフ信号処理は求解処理を含んでいればよいので、グラフ信号処理が求解処理そのものであってもよい。求解処理は、下記式（１）で表される線形方程式の解ｘを、式（２）を実行することで得る処理である。

　Ｉは単位行列を表す。αはスカラーの定数係数を表す。Ｌは解析対象グラフのグラフラプラシアン行列を表す。ｃは、定数ベクトルである。定数ベクトルｃは、例えば、グラフ信号処理の内容に応じた定数の行列である。解ｘは、例えば、後述する原信号である。

　行列Ｕ^＊は、解析対象グラフのグラフラプラシアン行列Ｌの固有値分解であるＬ＝ＵΛＵ^＊のＵ^＊である。したがって行列Ｕ^＊は、解析対象グラフのグラフラプラシアン行列のＮ個（Ｎは２以上の整数）の固有ベクトルを縦に並べた行列である。行列Ｕは行列Ｕ^＊の共役行列である。したがって行列Λは、固有値分解によってグラフラプラシアン行列Ｌが対角化された結果である。そのため、行列Λは、対角成分がグラフラプラシアン行列Ｌの固有値である対角行列、である。

　なお、式（２）の変形には、グラフラプラシアン行列Ｌに対する固有値分解が用いられた。より具体的には、グラフラプラシアン行列Ｌに対する固有値分解を用いた以下の式（３）の関係が式（２）の変形には用いられた。

　ところで、作用先に対してＵ^＊を左から作用させる処理は、一般に、グラフフーリエ変換（Graph Fourier Transformation）と呼称される処理である。そして、作用先に対してＵを左から作用させる処理は、一般に、グラフ逆フーリエ変換(Inverse Graph Fourier Transformation)と呼称される処理である。

　このように求解処理は、定数ベクトルｃと、グラフラプラシアン行列Ｌと、スカラーの定数係数αと、単位行列Ｉとで表される（Ｉ＋αＬ）ｘ＝ｃの形の線形方程式を解く処理である。そして、この線形方程式の求解に際して求解処理では、定数ベクトルｃに対するグラフフーリエ変換と、割り算処理と、割り算処理の結果に対するグラフ逆フーリエ変換と、が実行される。割り算処理は、固有値分解によってグラフラプラシアン行列Ｌが対角化された結果である対角行列Λを用いた処理であって、グラフフーリエ変換の結果に対する（Ｉ＋αΛ）による割り算の処理である。

＜式（２）が表す物理的意味＞
　式（２）ではまず、定数行列ｃに対するフーリエ変換であるグラフフーリエ変換が実行されている。これは、定数行列ｃを、共役な物理量の空間における対応する値に変換することを意味する。定数行列ｃが時間信号だとすれば、共役な物理量の空間は周波数空間である。式（２）ではこのような共役な物理量の空間における値を（Ｉ＋αΛ）で割り算する。Λは固有値を表すので、共役な物理量の空間が周波数空間である場合、Λは周波数を表す。

　（Ｉ＋αΛ）による割り算はΛが大きいほど商が小さくなるので、Λが高周波を表すほど商は小さい。逆に言えば、Λが低周波であるほど商は大きい。したがって、共役な物理量の空間における（Ｉ＋αΛ）の割り算とは、高周波の影響を相対的に小さくし、低周波の影響を相対的に大きくする、高周波フィルターの処理である。

　式（２）では次に、グラフ逆フーリエ変換が実行される。グラフ逆フーリエ変換により、共役な物理量の空間の量が定数行列ｃの空間の量に変換される。（Ｉ＋αΛ）による割り算によって、高周波成分が除去されているので、式（２）の処理は、いわば、定数行列ｃの高周波成分を除去する処理である。そのため、高周波成分が雑音である場合、式（２）の処理は雑音の除去の処理である。

＜式（２）の演算の実行が奏する効果について＞
　ところで、グラフ条件が満たされる場合、行列Ｕ^＊による線形変換を高速に行うことが可能である。まず第１条件に関してその理由を説明する。グラフの対称性が高いほど、グラフラプラシアン行列の対称性も高い。グラフラプラシアン行列の対称性が高いとは、グラフラプラシアン行列が行列であるので、グラフラプラシアン行列を表現する行列の対称性が高いことを意味する。そして、行列は対称性が高ければその固有ベクトルを並べた行列も高い対称性を有する。ところで、一般に対称性は高いほど演算量が削減される。したがって、第１条件が満たされれば演算量が削減される。

　ここで、第１条件におけるグラフの対称性の高さの所定の基準について補足する。上述したようにグラフの対称性が高いほど演算量は削減される。したがって、グラフの対称性の高さの所定の基準は、所望する演算量の少なさに応じて予め定められればよい。所定の基準を高くするほど、演算量が削減される確率が高まる。グラフの対称性の高さの所定の基準は、例えば上述したように、グラフがパスグラフ、サイクルグラフ又は対称グラフであればよい、という基準である。

　次に第２条件に関して理由を説明する。グラフが直積で表現されればグラフラプラシアン行列も直積で表現される。直積で表現されたものは直積で表現されていないものと比べて一般に演算量が削減される。

　例えば集合Ｃが集合Ａと集合Ｂとの直積で表現される場合、この表現は集合Ａと集合Ｂとの間の相互作用が無いことを意味する。したがって集合Ｃに関する演算では、集合Ａに対する演算と集合Ｂに対する演算とを独立に行えばよく、集合Ａと集合Ｂとの２変数で表される関数に対する演算を行う必要が無い。そのため、直積で表現された数学的対象に対する演算は、直積では表現できない数学的対象に比べて演算に要する負担が少ない。したがって第２条件が満たされれば演算量が削減される。

　このように、グラフ条件が満たされる場合には行列Ｕ^＊による線形変換を、グラフの対称性に応じた短い時間で行うことが可能である。なお、このことは、行列Ｕについても同様である、なぜなら、行列Ｕは、単に行列Ｕ^＊の共役行列であるからである。

　次に、式（２）における逆行列（Ｉ＋αΛ）^－１の項の演算の速さについて説明する。Ｉは単位行列であり、αはスカラーの定数係数であり、Λは対角行列であるので、実は逆行列（Ｉ＋αΛ）^－１は、対角行列である。対角行列であれば、値が０の要素が多いことや、固有ベクトルへの作用させる式において行列を固有値に置き換え可能である等の対角行列の特性により、演算に要する時間が短い。

　例えば、対角行列で表現された線形方程式の求解を行う場合、要素毎の除算で解を得ることが可能である。そのため、対角行列で表現された線形方程式の求解は、対角行列ではない行列で表現された線形方程式の求解に比べて、演算に要する時間が短い。

　したがって、式（２）を解く演算を行う求解処理は、式（１）の演算をそのまま行って解を得る処理に比べて短い演算時間で解を得ることができる。

　なお、式（１）が含む（Ｉ＋αＬ）もグラフ条件を満たす解析対象グラフのグラフラプラシアン行列を含む。しかしながら解析対象グラフのグラフラプラシアン行列は、例え対称性が良くても、一般に、対角行列ではない。なぜならグラフラプラシアン行列が対角行列で表現される解析対象グラフについては、わざわざ信号処理を実行するまでもなく、容易に特性を把握可能だからである。

　そして、（Ｉ＋αＬ）では非対角行列であるグラフラプラシアン行列の大きさがスカラー倍された上で、対角行列である単位行列が足し算されている。したがって（Ｉ＋αＬ）をそのまま用いて求解する場合には、解析対象グラフがグラフ条件を満たす場合に有する対称性が高いという性質や直積で表現可能という性質、に起因する演算量低減の効果を享受することができない。そのため、式（１）をそのまま用いる求解については、例え解析対象グラフがグラフ条件を満たしていても、式（２）の演算よりも演算量が多い。

　なお、（Ｉ＋αＬ）をそのまま用いて求解するとは、具体的には、（Ｉ＋αＬ）の逆行列を式（１）の右辺に乗算した結果を解として得ることを意味する。

　なお、式（２）の演算の実行には、グラフラプラシアン行列Ｌの固有値分解で得られる行列Ｕ及び行列Λが必要である。したがって、求解処理の実行において制御部１１は、グラフラプラシアン行列Ｌ、又は、行列Ｕ及び行列Λ、を取得している必要がある。そこで、制御部１１は、ユーザによる入力等により、求解処理の実行前に予め、グラフラプラシアン行列Ｌ、又は、行列Ｕ及び行列Λ、を取得済みである。行列Ｕ及び行列Ａは入力されずグラフラプラシアン行列Ｌが入力された場合、制御部１１は、求解処理の実行前に、グラフラプラシアン行列Ｌの固有値分解を行い、行列Ｕ及び行列Ａを得る。

＜ハードウェア構成の一例の説明＞
　図１を用いて、グラフ信号処理装置１のハードウェア構成の一例を説明する。グラフ信号処理装置１は、上述したように制御部１１を備え、プログラムを実行する。グラフ信号処理装置１は、プログラムの実行によって制御部１１、インタフェース部１２及び記憶部１３を備える装置として機能する。

　より具体的には、プロセッサ９１が記憶部１３に記憶されているプログラムを読み出し、読み出したプログラムをメモリ９２に記憶させる。プロセッサ９１が、メモリ９２に記憶させたプログラムを実行することによって、グラフ信号処理装置１は、制御部１１、インタフェース部１２及び記憶部１３を備える装置として機能する。

　制御部１１は、例えばグラフ信号処理を行う。制御部１１は、例えばグラフ信号処理装置１が備える各機能部の動作を制御する。制御部１１は、例えばインタフェース部１２を介して、処理対象信号を取得する。制御部１１は、例えば記憶部１３の記憶する情報を取得する。記憶部１３の記憶する情報を取得する処理は、具体的には、読み出しである。

　インタフェース部１２は、グラフ信号処理装置１を外部装置に接続するための通信インタフェースを含んで構成される。インタフェース部１２は、有線又は無線を介して外部装置と通信する。外部装置は、例えば処理対象信号の送信元の装置である。このような場合、インタフェース部１２は、処理対象信号の送信元の装置との通信によってグラフ信号を取得する。外部装置は、例えばグラフ信号処理の結果の出力先であってもよい。このような場合、インタフェース部１２は、グラフ信号処理の結果の出力先にグラフ信号処理の結果の結果を出力する。

　インタフェース部１２は、マウスやキーボード、タッチパネル等の入力装置を含んで構成される。インタフェース部１２は、これらの入力装置をグラフ信号処理装置１に接続するインタフェースとして構成されてもよい。このように、インタフェース部１２は、入力装置、有線又は無線、を介してグラフ信号処理装置１に対する各種情報の入力を受け付ける。

　インタフェース部１２は、各種情報を出力する。インタフェース部１２は、例えばＣＲＴ（Cathode Ray Tube）ディスプレイや液晶ディスプレイ、有機ＥＬ（Electro-Luminescence）ディスプレイ等の表示装置を含んで構成される。インタフェース部１２は、これらの表示装置をグラフ信号処理装置１に接続するインタフェースとして構成されてもよい。インタフェース部１２は、例えばインタフェース部１２に入力された情報を出力する。

　記憶部１３は、磁気ハードディスク装置や半導体記憶装置などのコンピュータ読み出し可能な記憶媒体装置（non-transitory computer-readable recording medium）を用いて構成される。記憶部１３はグラフ信号処理装置１に関する各種情報を記憶する。記憶部１３は、例えば求解処理に必要な情報を記憶する。記憶部１３は、例えば制御部１１の動作により生じた各種情報を記憶する。記憶部１３は、例えばインタフェース部１２が取得した情報を記憶する。

　図２は、実施形態におけるグラフ信号処理装置１が実行する処理の流れの一例を示すフローチャートである。制御部１１が、処理対象信号を取得する（ステップＳ１０１）。制御部１１が、処理対象信号に対して、グラフ信号処理を行う（ステップＳ１０２）。グラフ信号処理には、求解処理が含まれるので、ステップＳ１０２では求解処理も実行される。

　このように構成されたグラフ信号処理装置１は、式（２）の演算を行う。したがって、上述の＜式（２）の演算の実行が奏する効果について＞において説明した理由により、グラフ信号処理装置１は、グラフ信号処理に要する時間を短くすることができる。

（適用例）
　これまで説明してきたようにグラフ信号処理装置１は、求解処理を含むグラフ信号処理を行う。グラフ信号処理装置１が実行するグラフ信号処理の一例は、例えば処理対象のグラフ信号の雑音を除去する雑音除去処理である。

　なお解析対象は、例えば上述した脳波の分布である。このような場合、脳波の分布を表現するグラフであってグラフ条件を満たすグラフ、のグラフ信号に対して、グラフ信号処理装置１はグラフ信号処理を実行する。解析対象は、例えば画像や音声であってもよい。

（より具体的な適用例）
　グラフ信号処理装置１の実行するグラフ信号処理が雑音除去処理である場合を例に、雑音除去処理において求解処理が用いられることで、演算時間がより短くなることを説明する。

　簡単のため、Ｎ次元の実数ベクトルで表現される原信号ｘがＮ次元の実数ベクトルで表現される加法性雑音ｅにより劣化され、それが観測された場合の観測信号がＮ次元の実数ベクトルで表現される信号ｙである場合を例に、説明する。このような場合、信号ｙと、原信号ｘと雑音ｅとは以下の式（４）関係を満たす。原信号ｘも信号ｙも解析対象グラフのグラフ信号であるが、信号ｙは雑音により劣化したグラフ信号である。信号ｙは、処理対象信号の一例である。

　信号ｙは観測信号であるので、原信号ｘを推定するために用いられる先験情報である。信号ｙに基づいて原信号ｘを推定することは信号ｙから雑音ｅを除去した信号を推定すること、である。したがって信号ｙに基づいて原信号ｘを推定する処理は、雑音の除去する雑音除去処理である。以下、ラプラシアン二次形式正則化問題と、グラフ全変動正則化問題と、を例として取り上げて雑音除去処理の説明を行う。

（ラプラシアン二次形式正則化問題）
　ｘの値は、例えば、以下の式（５）で表される最適化問題を解くことで得られる。式（５）で表される最適化問題はラプラシアン二次形式正則化問題と呼称される。したがって、雑音除去処理の一例は、ラプラシアン二次形式正則化問題を解く処理である。μは定数係数である。

　ｗ_ｉ，ｊは、グラフラプラシアン行列のｉ行ｊ列の成分の値を表す。ｘ_ｉは、ベクトルｘのｉ番目の成分の値を表す。式（６）で表されるラプラシアン二次形式が小さいほど、信号ｘは解析対象グラフ上で滑らかである。式（５）で表される最適化問題は凸最適化であるため、勾配が０となるｘが最適解である。したがって、以下の式（７）を解けば解が得られる。

　式（７）は以下の式（８）に変形される。

　なお、係数行列（Ｉ＋２μＬ）は正則であるため、式（８）は、以下の式（９）に変形される。

　したがって、式（９）を解いても解が得られる。

　ところで、式（８）の形は、まさに上述した式（１）の形の線形方程式である。したがって、制御部１１は、式（８）に対する求解処理の実行により、観測されたグラフ信号ｙの雑音の除去を、より少ない演算時間で行うことができる。

（グラフ全変動正則化問題）
　ｘの値は、例えば、以下の式（１０）で表される最適化問題を解くことで得られる。式（１０）で表される最適化問題はグラフ全変動正則化問題と呼称される。したがって、雑音除去処理の一例は、グラフ全変動正則化問題を解く処理である。μは定数係数である。

　∇は解析対象グラフの勾配行列を表す。したがって∇^Ｔ∇＝Ｌである。式（１１）で表される量がグラフ全変動と呼称される量である。グラフ全変動が小さいほど、ｘは解析対象グラフ上で滑らかである。

　式（１０）で表される最適化問題は凸最適化であるが、目的関数が微分不可能である。そこで、例えば、交互方向乗数法（Alternating. Direction Method of Multipliers: ADMM）で解が得られる。ＡＤＭＭとは具体的には、以下の式（１２）～（１４）を逐次的に解く処理である。

　インデクッスｋは逐次処理における繰り返しの処理について、何回目の処理であるかを示す。ｖ_ｋは、繰り返しの処理のｋ回目における補助変数ｖの値を表す。ｕ_ｋは、繰り返しの処理のｋ回目における補助変数ｕの値を表す。ｘ_ｋは、繰り返しの処理のｋ回目における信号ｘを表す。γは、ＡＤＭＭのステップサイズを表す。

　ＡＤＭＭにおいて律速となる計算は式（１２）であることが知られている。ところで式（１２）の右辺と左辺とにＩ＋（１/γ）Ｌを乗算した式は、まさに上述した式（１）の形の線形方程式である。したがって、制御部１１は、式（１２）の右辺と左辺とにＩ＋（１/γ）Ｌを乗算した式、に対する求解処理の実行により、観測されたグラフ信号ｙの雑音の除去を、より少ない演算時間で行うことができる。

　このように求解処理は、ラプラシアン二次形式正則化問題又はグラフ全変動正則化問題において実行される。

　このように構成された実施形態のグラフ信号処理装置１は、式（２）で表される線形方程式を解く処理を含むグラフ信号処理を実行する。そのため、実施形態のグラフ信号処理装置１は、グラフ信号処理に要する時間を短くすることができる。

（変形例）
　上述したように第１条件は、グラフの対称性の高さが所定の基準よりも高い、という条件である。このような条件を満たすグラフとして、対称性の高さが所定の基準よりも高い第１の高さであるグラフ（以下「非摂動グラフ」という。）に対して摂動を与えるグラフ（以下「摂動グラフ」という。）が加わったグラフ（以下「合成グラフ」という。）、があり得る。すなわち、解析対象グラフは、合成グラフであり得る。この場合、例えば第１の高さを満たす対称性のグラフは、例えば、パスグラフ、サイクルグラフ又は対称グラフである。合成グラフの対称性の高さは第１の高さよりも低い第２の高さである。

　つまり、非摂動グラフに摂動を与える摂動グラフが加えられたことで、対称性の高さが下がったグラフが合成グラフである。摂動グラフは、あくまで摂動であり、非摂動グラフよりもグラフの大きさは小さい。なお、グラフの大きさがより小さいとは、辺の数がより少ないことを意味する。

　合成グラフの対称性が所定の基準よりも高ければよいので、摂動グラフそのものの対称性は、所定の基準より低くてもよい。

　図３は、変形例における合成グラフ、非摂動グラフ及び摂動グラフの一例を示す図である。図３の例においてグラフＧ０は合成グラフの一例である。図３は、グラフＧ０がグラフＧ１とグラフＧ２との和で表されることを示す。グラフＧ１が非摂動グラフの一例であり、グラフＧ２が摂動グラフの一例である。図３において、摂動グラフＧ２の辺の数は、非摂動グラフＧ１よりも少ない。したがって、摂動グラフＧ２は非摂動グラフＧ１に対する摂動として機能するグラフである。

　このように、解析対象グラフが摂動グラフと非摂動グラフとの和で表される場合、解析対象グラフのグラフラプラシアン行列は、非摂動グラフのグラフラプラシアン行列Ｌ_１と摂動グラフのグラフラプラシアン行列Ｌ_２との和で表される。そこで、接続行列分解とＷｏｏｄｂｕｒｙ公式とを用いれば、式（２）は、以下の式（１５）に変形される。なお念のため後段で、接続行列分解について説明と、Ｗｏｏｄｂｕｒｙ公式と、を記載しておくので必要に応じて参照されたい。

　ここで、Ｂは摂動グラフの向き付け接続行列である。項ＢΩＢ^Ｔは摂動グラフのグラフラプラシアン行列Ｌの接続行列分解の結果である。

　ここで、ｄ及びＦは、式（１６）及び式（１５）に記載の定義より、求解処理により得ることができる。そして、Ｌ_１は、非摂動グラフのグラフラプラシアン行列なので、対角行列である。したがって、解析対象グラフを摂動グラフと非摂動グラフとに分解できる場合、式（１５）を解く処理は、式（２）を解くよりも短い演算時間で解を得ることができる。

　式（１５）を用いて解を得る場合、制御部１１は例えば、第１処理、第２処理、第３処理及び第４処理の実行により、解を得る。第１処理は、ｄ＝（Ｉ＋αＬ_１）^－１ｃの値を求解処理により得る処理である。第２処理は、摂動グラフの向き付け接続行列Ｂを用いてＦ＝（Ｉ＋αＬ_１）^－１Ｂの値を求解処理により得る処理である。第３処理は、グラフラプラシアン行列Ｌ_２の接続行列分解の結果であるＢΩＢ^Ｔにおける行列Ωを用いてＧ＝Ω^－１＋αＢ^ＴＦを得る処理である。第４処理は、第１処理～第３処理の結果に基づきｄ－αＦＧ^－１Ｆｃの値を取得する処理である。第４処理で得られた値が解である。

　このように、処理対象のグラフ信号が示すグラフのグラフラプラシアン行列Ｌに含まれるグラフラプラシアン行列で表された（Ｉ＋αＬ）ｘ＝ｃの形の線形方程式を解く求解処理が式（１５）を用いて解を得る場合には実行される。なお、グラフラプラシアン行列Ｌに含まれるグラフラプラシアン行列は、例えば、グラフラプラシアン行列Ｌ_１とグラフラプラシアン行列Ｌ_２と、である。

　このように、合成方程式を解く処理をグラフ信号処理が含む場合、合成方程式の解は、例えば第１処理と、第２処理と、第３処理と、第４処理と、により得られてもよい。合成方程式は、グラフラプラシアン行列Ｌが非摂動グラフのグラフラプラシアン行列Ｌ_１と摂動グラフのグラフラプラシアン行列Ｌ_２との和、で表される（Ｉ＋αＬ）ｘ＝ｃの形の線形方程式、である。

　なお、摂動グラフの向き付け接続行列Ｂ、行列Ω、グラフラプラシアンＬ_１は、ユーザによる入力により予め制御部１１は取得済みである。

　このように構成された変形例のグラフ信号処理装置１は、式（１５）で表される線形方程式を解く処理を含むグラフ信号処理を実行する。そのため、変形例のグラフ信号処理装置１は、解析対象グラフが非摂動グラフと摂動グラフとの和で表される場合であっても、グラフ信号処理に要する時間を短くすることができる。

　なお、式（１５）の信号処理は、実施形態における適用例に記載の適用対象に対して実行されてもよい。

　なお、グラフ信号処理装置１は、ネットワークを介して通信可能に接続された複数台の情報処理装置を用いて実装されてもよい。この場合、制御部１１の実行する各処理は、複数の情報処理装置が分散して実行してもよい。

　なお、グラフ信号処理装置１の各機能の全て又は一部は、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）やＰＬＤ（Programmable Logic Device）やＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）等のハードウェアを用いて実現されてもよい。プログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録されてもよい。コンピュータ読み取り可能な記録媒体とは、例えばフレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬媒体、コンピュータシステムに内蔵されるハードディスク等の記憶装置である。プログラムは、電気通信回線を介して送信されてもよい。

　なお、グラフラプラシアン行列Ｌに含まれるグラフラプラシアン行列は、グラフラプラシアン行列Ｌそのものであってもよい。したがって、実施形態のグラフラプラシアン行列Ｌは、処理対象のグラフ信号が示すグラフのグラフラプラシアン行列に含まれるグラフラプラシアン行列の一例である。

　＜グラフ理論におけるグラフに関する説明＞
　グラフラプラシアン行列等のグラフ理論おけるグラフについて、具体例を用いて説明を行う。

　図４は、グラフ理論におけるグラフの一例を示す図である。図４に示すグラフは１～４の４つの頂点を有する重み付き無向グラフである。図４に示すグラフの頂点１の次数は３であり、頂点２の次数は２であり、頂点３の次数は３であり、頂点４の次数は２である。

　図４に示すグラフは、頂点１と頂点２とを結ぶ辺の重みが１．０であり、頂点１と頂点３とを結ぶ辺の重みが１．５であり、頂点１と頂点４とを結ぶ辺の重みが０．８である。したがって、グラフラプラシアン行列の１行１列の成分は１．０＋１．５＋０．８＝３．３であり、グラフラプラシアン行列の１行２列の成分は－１．０であり、グラフラプラシアン行列の１行３列の成分は－１．５であり、グラフラプラシアン行列の１行３列の成分は－０．８である。

　このように、グラフラプラシアン行列のｉ行ｊ列の成分は、ｉとｊとが異なる場合、頂点ｉと頂点ｊとを結ぶ辺の重みに負号を付けた値である。なお、頂点ｉと頂点ｊとが結ばれていない場合、グラフラプラシアン行列のｉ行ｊ列の成分は０である。一方、ｉとｊとが同じ場合（すなわちｉ＝ｊの場合）、グラフラプラシアン行列のｉ行ｊ列の成分は、頂点ｉの辺の重みの和である。すなわち、グラフラプラシアン行列は、次数行列から隣接行列を引き算した結果である。

　図４に示すグラフでは、頂点２と頂点３とを結ぶ辺の重みが２．２であり、頂点２と頂点１とを結ぶ辺の重みが上述したように１．０であり、頂点２と頂点４とは結ばれていない。したがってグラフラプラシアン行列の対角成分のうち２行２列の成分は２．２＋１．０＝３．２であり、グラフラプラシアン行列の２行１列の成分は－１．０であり、グラフラプラシアン行列の２行３列の成分は－２．２であり、グラフラプラシアン行列の２行４列の成分は０である。

　図４に示すグラフでは、頂点３と頂点２とを結ぶ辺の重みが上述したように２．２であり、頂点３と頂点１とを結ぶ辺の重みが上述したように１．５であり、頂点３と頂点４とを結ぶ辺の重みが１．２である。したがってグラフラプラシアン行列の対角成分のうち３行３列の成分は、２．２＋１．５＋１．２＝４．９であり、グラフラプラシアン行列の３行１列の成分は－１．５であり、グラフラプラシアン行列の３行２列の成分は－２．２であり、グラフラプラシアン行列の３行４列の成分は－１．２である。

　図４に示すグラフでは、頂点４と頂点１とを結ぶ辺の重みが上述したように０．８であり、頂点４と頂点３とを結ぶ辺の重みが上述したように１．２であり、頂点４と頂点２とは結ばれていない。したがってグラフラプラシアン行列の対角成分のうち４行４列の成分は０．８＋１．２＝２．０であり、グラフラプラシアン行列の４行１列の成分は－０．８であり、グラフラプラシアン行列の４行２列の成分は０であり、グラフラプラシアン行列の４行３列の成分は－１．２である。

　＜接続分解行列の説明＞
　接続行列分解とは、グラフラプラシアン行列Ｌを、接続行列Ｂを用いて２次形式ＢΩ^ＴＢに分解することを意味する。Ωは、グラフラプラシアン行列Ｌと接続行列Ｂとに基づき、Ｌ＝ＢΩ^ＴＢの関係から導出される。

　＜Ｗｏｏｄｂｕｒｙ公式の説明＞
　Ｗｏｏｄｂｕｒｙ公式とは、以下の式（１７）の式である。式（１７）において、Ｐ、Ｑ、Ｒ及びＳはいずれも任意の正方行列である。

　以上、この発明の実施形態について図面を参照して詳述してきたが、具体的な構成はこの実施形態に限られるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲の設計等も含まれる。

　１…グラフ信号処理装置、　１１…制御部、　１２…インタフェース部、　１３…記憶部、　９１…プロセッサ、　９２…メモリ

Claims

　処理対象のグラフ信号に対してグラフ信号処理を実行する制御部、
　を備え、
　前記グラフ信号処理は、定数ベクトルｃと、前記処理対象が示すグラフのグラフラプラシアン行列に含まれるグラフラプラシアン行列Ｌと、スカラーの定数係数αと、単位行列Ｉと、で表される（Ｉ＋αＬ）ｘ＝ｃの形の線形方程式を解く求解処理、を含み、
　前記求解処理では、前記定数ベクトルｃに対するグラフフーリエ変換と、固有値分解によって前記グラフラプラシアン行列Ｌが対角化された結果である対角行列Λを用いた処理であって前記グラフフーリエ変換の結果に対する（Ｉ＋αΛ）による割り算の処理である割り算処理と、前記割り算処理の結果に対するグラフ逆フーリエ変換と、が実行される、
　グラフ信号処理装置。
　前記処理対象のグラフ信号は、グラフの対称性の高さが所定の基準よりも高いという第１条件と、グラフが複数のグラフの直積であるという第２条件と、の少なくとも一方が満たされるというグラフ条件、を満たすグラフである解析対象グラフを示すグラフ信号である、
　請求項１に記載のグラフ信号処理装置。
　前記第１条件を満たすグラフは、パスグラフ、サイクルグラフ又は対称グラフである、
　請求項２に記載のグラフ信号処理装置。
　前記求解処理は、前記グラフ信号の雑音を除去する雑音除去処理、に用いられる、
　請求項１に記載のグラフ信号処理装置。
　前記雑音除去処理は、ラプラシアン二次形式正則化問題を解く処理、又は、グラフ全変動正則化問題を解く処理、である、
　請求項４に記載のグラフ信号処理装置。
　前記グラフ信号処理は、前記グラフラプラシアン行列Ｌが、対称性の高さが所定の基準よりも高い第１の高さである非摂動グラフのグラフラプラシアン行列Ｌ_１と、前記非摂動グラフに対して摂動を与える摂動グラフのグラフラプラシアン行列Ｌ_２との和で表される（Ｉ＋αＬ）ｘ＝ｃの形の線形方程式を解く処理を含み、
　前記線形方程式の解は、ｄ＝（Ｉ＋αＬ_１）^－１ｃの値を求解処理により得る第１処理と、前記摂動グラフの向き付け接続行列Ｂを用いてＦ＝（Ｉ＋αＬ_１）^－１Ｂの値を求解処理により得る第２処理と、前記グラフラプラシアン行列Ｌ_２の接続行列分解の結果であるＢΩＢ^Ｔにおける行列Ωを用いてＧ＝Ω^－１＋αＢ^ＴＦを得る第３処理と、前記第１処理、前記第２処理及び前記第３処理の結果に基づきｄ－αＦＧ^－１Ｆｃの値を取得する第４処理と、により得られる、
　請求項１に記載のグラフ信号処理装置。
　処理対象のグラフ信号に対してグラフ信号処理を実行する制御ステップ、
　を有し、
　前記グラフ信号処理は、定数ベクトルｃと、前記処理対象が示すグラフのグラフラプラシアン行列に含まれるグラフラプラシアン行列Ｌと、スカラーの定数係数αと、単位行列Ｉと、で表される（Ｉ＋αＬ）ｘ＝ｃの形の線形方程式を解く求解処理、を含み、
　前記求解処理では、前記定数ベクトルｃに対するグラフフーリエ変換と、固有値分解によって前記グラフラプラシアン行列Ｌが対角化された結果である対角行列Λを用いた処理であって前記グラフフーリエ変換の結果に対する（Ｉ＋αΛ）による割り算の処理である割り算処理と、前記割り算処理の結果に対するグラフ逆フーリエ変換と、が実行される、
　グラフ信号処理方法。
　請求項１から６のいずれか一項に記載のグラフ信号処理装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。