WO2024042605A1 - イジングモデル生成装置、イジングモデル生成方法、プログラム - Google Patents

イジングモデル生成装置、イジングモデル生成方法、プログラム Download PDF

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WO2024042605A1
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coefficient
upper limit
maximum value
binary variable
limit parameter
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乾太郎 大野
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日本電信電話株式会社
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06N—COMPUTING ARRANGEMENTS BASED ON SPECIFIC COMPUTATIONAL MODELS
    • G06N99/00—Subject matter not provided for in other groups of this subclass

Definitions

  • the present disclosure relates to an Ising model generation device, an Ising model generation method, and a program for generating an Ising model used for combinatorial optimization.
  • a combinatorial optimization problem is a problem whose solution is to select the best possible option for a specific evaluation index from among a large number of combinations of options that satisfy specific conditions.
  • Combinatorial optimization problems appear in a wide range of fields, from business decisions such as personnel planning and route searching to academic research such as drug discovery.
  • Combinatorial optimization problems can be expressed by Ising models.
  • the hardware that optimizes the Ising model is called an Ising machine.
  • combinatorial optimization problems are often formulated as integer coefficient polynomial optimization problems with integer variables. Therefore, in the following, unless otherwise specified, combinatorial optimization refers to integer variable integer coefficient polynomial optimization.
  • the flow of combinatorial optimization using an Ising machine will be explained.
  • the user expresses the combinatorial optimization problem he/she wants to solve as an Ising model.
  • the Ising model is a second-order polynomial regarding multiple variables (spins) that take binary values of +1 or -1.
  • a method for converting a combinatorial optimization problem into an Ising model will be described later.
  • the value obtained by substituting each spin value (+1 or -1) into the Ising model is called the Ising model energy.
  • the Ising machine searches for a combination of spin values (+1,-1) that minimizes the energy (called the Ising model solution) for the input Ising model, and returns the found solution to the user. .
  • the user interprets the obtained combination of spin values as a solution to the original combinatorial optimization problem.
  • an Ising machine such as using a quantum processor (a calculation processor that uses the principles of quantum mechanics), a degenerate optical parametric oscillator, and a dedicated integrated circuit using conventional semiconductor technology.
  • quantum processor a calculation processor that uses the principles of quantum mechanics
  • degenerate optical parametric oscillator a dedicated integrated circuit using conventional semiconductor technology.
  • any machine there are two main types of constraints on the Ising model to be optimized.
  • One is the limitation that the number of spins of the Ising model that can be handled is limited to about tens of thousands.
  • the Ising machine (Advantage Quantum System), which uses a quantum processor developed by D-Wave, optimizes an Ising model with about 5,000 spin variables at most.
  • the range of the coefficients of each term (as a polynomial) in the Ising model must be small to some extent.
  • Non-patent Document 1 Non-patent Document 1
  • An integer variable integer coefficient polynomial optimization problem is an optimization problem with inequality constraints using an integer variable integer coefficient polynomial whose objective function is an integer variable integer coefficient polynomial. Expressed numerically, it is as follows.
  • n is the number of integer variables
  • Z is the set of all integers
  • z (z i ) i ⁇ Z
  • n is an n-dimensional integer vector with z i as a component
  • n, m, z, f, g, u, b, etc. should normally be expressed in italics, but due to limitations in the functionality of the document creation software, they cannot be expressed correctly, so they are expressed in bold. . The same applies below.
  • the constrained optimization problem is transformed into an equivalent unconstrained optimization problem by introducing a penalty term expressing each constraint 0 ⁇ g ⁇ i (z) ⁇ u i .
  • the penalty term expressing the constraint 0 ⁇ g ⁇ i (z) ⁇ u i is an integer variable polynomial g i p (z, ⁇ i ) expressed using an additional integer variable ⁇ i ⁇ Z. It satisfies the following. In many cases, A penalty term is adopted.
  • the original optimization problem is transformed into the following equivalent optimization problem using a penalty term g i p (z, ⁇ i ) and an appropriate coefficient p i >0.
  • conversion to binary variable polynomial optimization is performed by expressing each integer variable as a binary variable that takes a value of either 0 or 1.
  • ⁇ Step 3>> converts the binary variable polynomial optimization problem into an equivalent binary variable quadratic optimization (QUBO).
  • QUBO binary variable quadratic optimization
  • integer variable integer coefficient polynomial optimization can be converted into an Ising model.
  • the spin number of the Ising model after transformation is generally a larger number than the number of variables n in the original problem.
  • the coefficients of each term in the Ising model after conversion are generally larger than the coefficients of each term in the polynomial of the original problem.
  • the Ising model after conversion may not satisfy the hardware constraints of the Ising machine described above, and the Ising machine may not be applicable.
  • the present disclosure provides an Ising model generation device that can flexibly adjust the trade-off between the number of spins and coefficients of a converted Ising model and reduce the number of trials of conversion to an Ising model.
  • the Ising model generation device of the present disclosure includes a transformation parameter estimation section and a parameterized Ising model transformation section.
  • the first coefficient upper limit parameter is a parameter that determines the upper limit of the coefficient of the linear expression of a binary variable when replacing an integer variable with a linear expression of a binary variable during conversion to an unconstrained binary variable polynomial.
  • the second coefficient upper limit parameter is the coefficient of the linear equation of the binary variable when replacing an integer variable with the linear equation of the binary variable when converting to the unconstrained binary variable quadratic equation. It is assumed that this is a parameter that determines an upper limit.
  • the conversion parameter estimator calculates the maximum value of the first coefficient upper limit parameter and the maximum value of the second coefficient upper limit parameter whose converted expression satisfies the coefficient constraints of the Ising machine, and calculates the maximum value of the first coefficient upper limit parameter. and the spin number of the polynomial and quadratic expression after conversion using the maximum value of the second coefficient upper limit parameter.
  • the parameterized Ising model conversion part uses binary encoding when the number of spins satisfies the spin number constraint of the Ising machine and when the coefficient of the linear equation of the binary variable does not become larger than the maximum value of the coefficient upper limit parameter, and otherwise
  • the combinatorial optimization problem is converted into an Ising model by replacing the integer variables with the linear equation of the binary variable calculated so that the coefficient of the linear equation of the binary variable is equal to the maximum value of the coefficient upper limit parameter.
  • the Ising model generation device of the present disclosure it is possible to flexibly adjust the trade-off between the number of spins and coefficients of the converted Ising model, and it is possible to reduce the number of trials of conversion to the Ising model.
  • FIG. 1 is a block diagram showing a functional configuration of an Ising model generation device according to a first embodiment
  • FIG. FIG. 2 is a block diagram showing the functional configuration of a transformation parameter estimating section according to the first embodiment.
  • FIG. 2 is a block diagram showing the functional configuration of a parameterized Ising model conversion unit of Example 1.
  • FIG. 1 is a flowchart showing the operation of the Ising model generation device of the first embodiment.
  • FIG. 2 is a block diagram showing the functional configuration of an Ising model generation device according to a second embodiment.
  • FIG. 3 is a block diagram showing the functional configuration of a conversion parameter estimating section according to a second embodiment.
  • FIG. 3 is a block diagram showing the functional configuration of a parameterized Ising model converter according to a second embodiment.
  • FIG. 7 is a flowchart showing the operation of the Ising model generation device according to the second embodiment.
  • FIG. 3 is a block diagram showing the functional configuration of an Ising model generation device according to a third embodiment.
  • 12 is a flowchart showing the operation of the Ising model generation device according to the third embodiment.
  • FIG. 1 is a diagram showing an example of a functional configuration of a computer.
  • the Ising model generation device of this embodiment converts a combinatorial optimization problem into an Ising model that satisfies given spin number constraints and coefficient constraints with low calculation cost (if there is no transformation that satisfies the constraints, it is determined) It is a device.
  • the first idea realized by the Ising model generation device of this embodiment is (i) to increase the degree of freedom of the processing of ⁇ Step 1>> to ⁇ Step 4>> regarding conversion to an Ising model to the maximum of the coefficient upper limit parameter. It is characterized by values.
  • the maximum value of the coefficient upper limit parameter has the function of adjusting the trade-off between the spin number and coefficient of the Ising model.
  • the second idea realized by the Ising model generation device of this example is (ii) determining the maximum value of the appropriate coefficient upper limit parameter to satisfy the coefficient constraints of the Ising model, and determining the actual conversion to the Ising model. Instead, it is calculated directly from the polynomial of the original problem.
  • the spin number of the Ising model when the conversion is performed using the maximum value of the coefficient upper limit parameter is also calculated. This makes it possible to search for the maximum value of the coefficient upper limit parameter that simultaneously satisfies two constraints (coefficient constraint and spin number constraint) with low calculation cost.
  • the Ising model generation device 1 of this embodiment includes a problem/constraint acquisition section 11, a transformation parameter estimation section 12, and a parameterized Ising model transformation section 13.
  • the problem/constraint acquisition unit 11 acquires a combinatorial optimization problem and Ising machine constraints (coefficient constraints, spin number constraints) (S11).
  • the first coefficient upper limit parameter is a parameter that determines the upper limit of the coefficient of the linear expression of a binary variable when replacing an integer variable with a linear expression of a binary variable during conversion to an unconstrained binary variable polynomial.
  • the second coefficient upper limit parameter is the coefficient of the linear equation of the binary variable when replacing an integer variable with the linear equation of the binary variable when converting to the unconstrained binary variable quadratic equation. It is assumed that this is a parameter that determines an upper limit.
  • the conversion parameter estimation unit 12 calculates the maximum value of the first coefficient upper limit parameter and the maximum value of the second coefficient upper limit parameter whose expression after conversion satisfies the coefficient constraints of the Ising machine, and calculates the maximum value of the first coefficient upper limit parameter.
  • the spin numbers of the polynomial and quadratic expression after conversion using the maximum value and the maximum value of the second coefficient upper limit parameter are calculated (S12).
  • the parameterized Ising model conversion unit 13 converts other values by binary encoding when the coefficient of the linear equation of the binary variable does not become larger than the maximum value of the coefficient upper limit parameter. Convert the combinatorial optimization problem into an Ising model by replacing the integer variables with the linear equation of the binary variable calculated such that the coefficient of the linear equation of the binary variable is equal to the maximum value of the coefficient upper limit parameter ( S13).
  • the conversion parameter estimation section 12 includes a preprocessing section 121, a parameter calculation section 122, and a spin number calculation section 123.
  • the parameterized Ising model conversion unit 13 includes a first conversion processing unit 131, a second conversion processing unit 132, a third conversion processing unit 133, and an Ising model conversion processing unit 134. The operation of each component will be described below with reference to FIG.
  • the preprocessing unit 121 executes preprocessing to calculate the maximum values of the first and second coefficient upper limit parameters described below (S121, see ⁇ Details of Step S121>).
  • the parameter calculation unit 122 calculates the maximum value of the first coefficient upper limit parameter and the maximum value of the second coefficient upper limit parameter that satisfy the coefficient constraints of the Ising machine (S122, see ⁇ Details of Step S122>).
  • the spin number calculation unit 123 calculates the spin numbers of the polynomial and quadratic expression after conversion using the maximum value of the first coefficient upper limit parameter and the maximum value of the second coefficient upper limit parameter (S123).
  • the Ising model generation device 1 determines whether the number of spins satisfies the spin number constraint of the Ising machine. If the above spin number does not satisfy the spin number constraint of the Ising machine, the Ising model generation device 1 outputs a result (conversion not possible) (S1A). When the above spin number satisfies the spin number constraint of the Ising machine, the parameterized Ising model conversion unit 13 executes the following process.
  • the first conversion processing unit 131 converts the combinatorial optimization problem into an unconstrained integer variable polynomial optimization problem (S131, similar to ⁇ Step 1>> above).
  • the second conversion processing unit 132 performs binary encoding when the coefficient of the linear equation of the binary variable does not become larger than the maximum value of the first coefficient upper limit parameter, and otherwise converts the coefficient of the linear equation of the binary variable to the maximum value of the first coefficient upper limit parameter.
  • An unconstrained integer variable polynomial optimization problem is converted to an unconstrained binary variable polynomial optimization problem by replacing the integer variable with a linear expression of the binary variable calculated to be equal to the maximum value of the first coefficient upper limit parameter. (S132, see ⁇ Details of Step S132>).
  • the third conversion processing unit 133 performs binary encoding when the coefficient of the linear equation of the binary variable does not become larger than the maximum value of the second coefficient upper limit parameter; otherwise, the coefficient of the linear equation of the binary variable
  • an unconstrained binary variable polynomial optimization problem can be converted to an unconstrained binary variable quadratic optimization problem.
  • the Ising model conversion processing unit 134 converts the unconstrained binary variable quadratic optimization problem into an Ising model (S134, similar to ⁇ Step 4>> above).
  • the Ising model generation device 1 outputs an Ising model (S1B).
  • step S121> For the sake of explanation, it is assumed that the coefficient constraints of the Ising machine are given as greater than or equal to M - ( ⁇ 0) and less than or equal to M + (>0). To be more precise, the coefficient constraints should be given not in the range of the coefficient values themselves but in the range of values that the ratio of the maximum and minimum absolute values of the coefficients of the Ising model can take. Since we only need to consider the Ising model with upper integer coefficients, we will assume that the minimum absolute value of the coefficient is given by 1, and express the coefficient constraints using the above notation. Also, since the calculation method depends on how to create the penalty term g i p (z, ⁇ i ), below we use it as the penalty term corresponding to the constraint 0 ⁇ g ⁇ i (z) ⁇ u i Adopt.
  • ⁇ Step 1 ⁇ converts the objective function f ⁇ (z) of polynomial optimization with constraints to the objective function of optimization without constraints. This is the process of converting it into It is assumed that the coefficient p i >0 of the penalty term is given.
  • step S122> Define the following quantities for arbitrary two variables z j ,z j' and a positive integer C.
  • the parameter calculation unit 122 and Calculate the maximum C that satisfies (i.e., the maximum value of the first coefficient upper limit parameter).
  • C z,j C is adopted as the coefficient upper limit parameter of z (independent of j). Note that if there is no integer C that satisfies the above conditions, it is impossible to perform conversion that satisfies the coefficient constraints of the Ising machine, and the parameter calculation unit 122 ends the process here.
  • the parameter calculation unit 122 then calculates C ⁇ ,i .
  • ⁇ Step 3>> is a process of converting a tertiary or higher order monomial into a quadratic equation, and having a conversion parameter if the coefficient a of the monomial is positive. If a value of C that satisfies C 2 ⁇ M + /a is adopted as the value of this parameter, the Ising model after conversion satisfies the given coefficient constraint (proof is omitted). Actually, since the conversion in ⁇ Step 2>> is not performed, the binary variable polynomial that will be the input to ⁇ Step 3>> cannot be obtained, but the polynomial after conversion in ⁇ Step 2>> has how many monomials of what order. It is easily calculable.
  • the trade-off between the size of the error in the number of variables and the processing time can be adjusted by partially calculating only the terms whose coefficients are known in advance to become smaller after the conversion in ⁇ Step 2>>.
  • ⁇ Step 2 ⁇ is a linear expression of integer variable z and z binary variables x z,1 ,...,x z,n_z
  • z takes a value in the range from 0 to b (b is a positive integer).
  • the number of binary variables n z and the coefficients a z,k of the linear equation are usually given by the following binary or unary encoding. Binary encoding can reduce the number of spins in the converted Ising model, but the coefficient increases exponentially with respect to b.
  • linear encoding can reduce the coefficients of the Ising model after conversion, it requires a linear spin number for b.
  • the second conversion processing unit 132 sets the maximum value C of the first coefficient upper limit parameter to a positive integer, and set.
  • b%C is the remainder when b is divided by C.
  • This conversion method has the following properties ( ⁇ ) ( ⁇ ).
  • the above conversion method is an efficient conversion that takes into account the spin number and coefficient constraints of the converted Ising model to the maximum extent possible, and the trade-off between the two constraints is determined by the maximum value C of the first coefficient upper limit parameter. It can be adjusted flexibly.
  • ⁇ Step 3>> is a process of converting each monomial of degree 3 or higher included in the polynomial of the objective function to be optimized into an equivalent optimization problem by replacing it with an appropriate quadratic expression. It is known that when the coefficient of a monomial of degree 3 or higher is negative, this can be achieved by adding one binary variable (Non-Patent Document 3). On the other hand, when the coefficient is positive, a method has been proposed in which multiple binary variables are added and replaced. These methods cannot adjust the trade-off between the size of the coefficient of each term in the equation after monomial replacement and the number of additional variables, so the trade-off between the two constraints of the transformed Ising model can be adjusted flexibly. I can't.
  • the third conversion processing unit 133 introduces the maximum value of the second coefficient upper limit parameter as follows. First, the third conversion processing unit 133 converts the d-order monomial whose coefficient is positive. is replaced with the following formula using additional integer variables ⁇ J ,0 ⁇ J ⁇ d-2 (where J is the set of variable subscripts). The third conversion processing unit 133 replaces the integer variable ⁇ J with a linear expression of a binary variable in the same manner as in ⁇ Step 2>>. At this time, the third conversion processing unit 133 performs parameterized conversion using the maximum value of the second coefficient upper limit parameter, similar to the introduction of the maximum value of the first coefficient upper limit parameter to ⁇ Step 2>> above. I do.
  • the conversion of the binary variable obtained by this conversion into a quadratic expression includes a conventionally known conversion method.
  • ⁇ J when ⁇ J is binary encoded, it matches the conversion method of Non-Patent Document 4. Therefore, the parameterized transformation described above makes it possible to adjust the trade-off between spin number and coefficient of the transformed Ising model in a manner that includes conventional transformation methods.
  • the operation of the Ising machine generation device described above is an example of a method for realizing ideas (i) and (ii).
  • the flow of processing for converting a combinatorial optimization problem into an Ising model using the functions realized by ideas (i) and (ii) will be explained using two examples (Example 2 and Example 3).
  • Regarding the coefficient constraints of an Ising machine in addition to cases in which the coefficients are required to strictly fall within a certain range (hard constraints), there are also cases in which the coefficients are required to fall within the smallest possible range (soft constraints).
  • the second embodiment deals with conversion under hard constraints, and the third embodiment deals with conversion under soft constraints.
  • the functional configuration of the Ising model generation device 2 of the second embodiment which can determine whether the spin number constraint is satisfied more strictly than the first embodiment, will be described.
  • the Ising model generation device 2 of this embodiment includes a problem/constraint acquisition section 11, a transformation parameter estimation section 22, and a parameterized Ising model transformation section 23.
  • the conversion parameter estimation section 22 includes a preprocessing section 121, a parameter calculation section 222, and a spin number calculation section 123.
  • the parameterized Ising model conversion unit 23 includes a first conversion processing unit 131, a second conversion processing unit 232, a third conversion processing unit 133, and an Ising model conversion processing unit 134.
  • FIG. 8 the operation of each component will be described, focusing on processing that is different from the first embodiment.
  • the preprocessing unit 121 executes S121 similarly to the first embodiment.
  • the parameter calculation unit 222 calculates the maximum value of the first coefficient upper limit parameter that satisfies the coefficient constraints of the Ising machine (S222A).
  • the second conversion processing unit 232 executes the conversion process of ⁇ Step 2>> based on the maximum value of the first coefficient upper limit parameter (S232).
  • the parameter calculation unit 222 calculates the maximum value of the second coefficient upper limit parameter based on the unconstrained binary variable polynomial optimization problem actually obtained by the conversion process in ⁇ Step 2>> (S222B).
  • the spin number calculation unit 123 executes S123 similarly to the first embodiment.
  • steps S133, S134, and S1B are executed. If the spin number constraint is not satisfied, step S1A is executed.
  • the functional configuration of the Ising model generation device 3 of the third embodiment which can perform optimal operation when the coefficient constraints of the Ising model are soft constraints, will be described.
  • the Ising model generation device 3 of this embodiment includes a problem/constraint acquisition unit 11, a conversion parameter estimation unit 32, a parameterized Ising model conversion unit 13, and a relaxation coefficient constraint setting/updating unit 33. include.
  • Example 2 conversion is performed to minimize the number of spins under the given coefficient constraints, and if the number of spins violates the constraints, it is immediately determined that "conversion is not possible.”
  • the coefficient constraint is a soft constraint
  • the coefficient constraint is relaxed until a conversion method exists that satisfies the spin number constraint, and the second embodiment is applied. By redoing the process, it is possible to obtain a transformation that strictly satisfies the spin number constraints and minimizes the coefficient range.
  • Example 2 the method disclosed in Example 2 is used to calculate parameters to satisfy the coefficient constraints and to calculate the number of spins after conversion. That is, the problem/constraint acquisition unit 11 executes step S11, and the conversion parameter estimation unit 32 executes the conversion parameter/spin number estimation process similarly to the second embodiment (S32A).
  • the parameterized Ising model conversion unit 13 executes the conversion process (S13), and the Ising model generation device 3 outputs the Ising model and ends (S1B).
  • the relaxation coefficient constraint setting/updating unit 33 sets the initial value of the relaxation coefficient constraint (S33A). This initial value is set so that the range of coefficient constraints is sufficiently large.
  • the conversion parameter estimating unit 32 executes a conversion parameter/spin number estimation process based on the initial value of the relaxation coefficient constraint (S32B). If the range of coefficient constraints is relaxed enough, the number of spins calculated will minimize the number of spins among the possible conversion methods. Therefore, if the spin number constraint is not satisfied even after executing step S32B, the Ising model generation device 1 outputs the result (conversion not possible) (S1A).
  • step S32B If the spin number constraint is satisfied after step S32B is executed, there is a coefficient constraint between the original coefficient constraint and the relaxed coefficient constraint that reduces the coefficient range as much as possible while satisfying the spin number constraint.
  • the coefficient constraints are searched for by further repeating parameter/spin number calculations (for example, by binary search).
  • the relaxation coefficient constraint setting/updating unit 33 sets the upper and lower limits of the relaxation coefficient constraint (S33B).
  • the conversion parameter estimating unit 32 executes a conversion parameter/spin number estimation process based on the upper and lower limits of the relaxation coefficient constraint (S32C).
  • the relaxation coefficient constraint setting/updating unit 33 executes a spin number constraint determination (S33C), and updates the upper and lower limits of the relaxation coefficient constraints (S33D).
  • the parameterized Ising model conversion unit 13 executes the conversion process (S13), and the Ising model generation device 3 outputs the Ising model and ends the process (S1B).
  • the device of the present disclosure includes, as a single hardware entity, an input section to which a keyboard or the like can be connected, an output section to which a liquid crystal display or the like can be connected, and a communication device (for example, a communication cable) capable of communicating with the outside of the hardware entity.
  • a communication unit that can be connected to a CPU (Central Processing Unit, which may include cache memory, registers, etc.), RAM and ROM that are memories, external storage devices that are hard disks, and their input units, output units, and communication units. , CPU, RAM, ROM, and an external storage device.
  • the hardware entity may be provided with a device (drive) that can read and write a recording medium such as a CD-ROM.
  • a physical entity with such hardware resources includes a general-purpose computer.
  • the external storage device of the hardware entity stores the program required to realize the above-mentioned functions and the data required for processing this program (not limited to the external storage device, for example, when reading the program (It may be stored in a ROM, which is a dedicated storage device.) Further, data obtained through processing of these programs is appropriately stored in a RAM, an external storage device, or the like.
  • each program stored in an external storage device or ROM, etc.
  • the data necessary for processing each program are read into memory as necessary, and are interpreted and executed and processed by the CPU as appropriate.
  • the CPU realizes predetermined functions (each of the constituent elements expressed as . . . units, . . . means, etc.).
  • the processing functions of the hardware entity (device of the present disclosure) described in the above embodiments are realized by a computer, the processing contents of the functions that the hardware entity should have are described by a program. By executing this program on a computer, the processing functions of the hardware entity are realized on the computer.
  • a program that describes this processing content can be recorded on a computer-readable recording medium.
  • the computer-readable recording medium may be of any type, such as a magnetic recording device, an optical disk, a magneto-optical recording medium, or a semiconductor memory.
  • magnetic recording devices include hard disk drives, flexible disks, magnetic tapes, etc.
  • optical disks include DVDs (Digital Versatile Discs), DVD-RAMs (Random Access Memory), and CD-ROMs (Compact Discs Read Only). Memory), CD-R (Recordable)/RW (ReWritable), etc. as magneto-optical recording media, MO (Magneto-Optical disc), etc. as semiconductor memory, EEP-ROM (Electrically Erasable and Programmable-Read Only Memory), etc. can be used.
  • this program is performed, for example, by selling, transferring, lending, etc. portable recording media such as DVDs and CD-ROMs on which the program is recorded. Furthermore, this program may be distributed by storing the program in the storage device of the server computer and transferring the program from the server computer to another computer via a network.
  • a computer that executes such a program for example, first stores a program recorded on a portable recording medium or a program transferred from a server computer in its own storage device. When executing a process, this computer reads a program stored in its own recording medium and executes a process according to the read program. In addition, as another form of execution of this program, the computer may directly read the program from a portable recording medium and execute processing according to the program, and furthermore, the program may be transferred to this computer from the server computer. The process may be executed in accordance with the received program each time.
  • ASP Application Service Provider
  • the above-mentioned processing is executed by a so-called ASP (Application Service Provider) service, which does not transfer programs from the server computer to this computer, but only realizes processing functions by issuing execution instructions and obtaining results.
  • ASP Application Service Provider
  • the hardware entity is configured by executing a predetermined program on a computer, but at least a part of these processing contents may be implemented in hardware.

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Abstract

イジングモデル生成装置は、変換後の式がイジングマシンの係数制約を満たす第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値を算出し、第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値による変換後の多項式および二次式のスピン数を算出する変換パラメータ推定部と、スピン数がイジングマシンのスピン数制約を満たす場合、二値変数の一次式の係数が係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に二値変数の一次式の係数が係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、組合せ最適化問題をイジングモデルに変換するパラメータ付きイジングモデル変換部を含む。

Description

イジングモデル生成装置、イジングモデル生成方法、プログラム
　本開示は組み合わせ最適化に用いるイジングモデルを生成するイジングモデル生成装置、イジングモデル生成方法、プログラムに関する。
　組合せ最適化問題は、特定の条件を満たす多数の選択肢の組合せの中から特定の評価指標についてできるだけ良い選択肢を選択することを解とする問題である。組合せ最適化問題は、人員計画、経路探索といったビジネスでの意思決定から、創薬などの学術的な研究まで広い分野に渡り出現する問題である。一方、組合せ最適化問題を効率的に（問題サイズに対して多項式時間で）解くことは従来のコンピュータでは難しい。そのため、物理現象などを利用し最適解の探索を行う計算機ハードウェアを用いて高速に組合せ最適化を行う技術が重要とされている。組合せ最適化問題はイジングモデルによって表現できる。イジングモデルの最適化を行うハードウェアをイジングマシンと呼ぶ。また、組合せ最適化問題は多くの場合、整数変数の整数係数多項式最適化問題として定式化される。したがって、以下では断らない限り組合せ最適化は整数変数整数係数多項式最適化を指す。
　イジングマシンを用いた組合せ最適化の流れを説明する。ユーザは解きたい組合せ最適化問題をイジングモデルとして表現する。イジングモデルとは数学的には+1または-1の二値をとる複数の変数（スピン）に関する２次多項式である。組合せ最適化問題のイジングモデルへの変換方法は後述する。イジングモデルに各スピンの値（+1または-1）を代入した値をイジングモデルのエネルギーと呼ぶ。イジングマシンは入力されたイジングモデルに対して、エネルギーを最小にするようなスピンの値（+1,-1）の組合せ（イジングモデルの解と呼ぶ）を探索し、見つかった解をユーザに返す。ユーザは得られたスピンの値の組合せをもともとの組合せ最適化問題の解として解釈する。
　イジングマシンの実現方法には、量子プロセッサ（量子力学の原理を用いた計算プロセッサ）や縮退光パラメトリック発振器を用いたもの、従来の半導体技術を用いた専用集積回路を用いたものなどがある。いずれのマシンにおいても、最適化対象のイジングモデルに対する主要な２種類の制約がある。一つは、扱えるイジングモデルのスピン数が数万程度に限られるという制約である。例えばD-Wave社の開発する量子プロセッサによるイジングマシン（Advantage量子システム）では高々5000個程度のスピン変数を持つイジングモデルの最適化を行う。もう一つは、イジングモデルの（多項式としての）各項の係数のとる範囲がある程度小さい必要があることである。例えば、縮退光パラメトリック発振器を用いたイジングマシンではハードウェアの制約によりイジングモデルの係数のとれる値が有限個に限られる。また、量子プロセッサによるイジングマシンでは係数が相対的に小さな項は量子力学的なノイズの影響を受け実質的に無視された最適化が行われ、最適化の精度低下を引き起こす（非特許文献１）。後述するように、実用上現れる組合せ最適化問題をイジングモデルに変換する際にこれらの制約を満たすような変換を効率的に探索することは困難である。したがって、これらのイジングマシンのハードウェアとしての制約は、実用的な組合せ最適化にイジングマシンを使用するための課題となる。
　組合せ最適化問題（整数変数整数係数多項式最適化問題）のイジングモデルへの変換方法について説明する。整数変数整数係数多項式最適化問題は、整数変数整数係数多項式を目的関数にもつ整数変数整数係数多項式を用いた不等式制約つきの最適化問題である。数式で表現すると以下の通りである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
　ここで、mは制約不等式の数、nは整数変数の数、Zは整数全体の集合、z=(zi)i∈Znはziを成分に持つn次元整数ベクトル、ui∈Z, i=1,…,mは各不等式制約の上限を表し、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
はすべてzに関するn変数整数係数多項式である。
　なお、Zは本来黒板太字（Blackboard bold）で表現するのが正しいが、文書作成ソフトの機能に限界があり正しく表記できないため、通常のZで表現する。以下も同様である。
　また、n,m,z,f,g,u,bなどはいずれも本来はイタリック体で表現するのが正しいが、文書作成ソフトの機能に限界があり正しく表記できないため、ボールド体で表現する。以下も同様である。
　また、f~(z),g~(z)などは、本来先頭の文字の真上にチルダを付すのが正しいが、文書作成ソフトの機能に限界があり正しく表記できないため、該当の文字の後ろにチルダを付す。以下も同様である。
　ここでは最小化問題として記述するが、最大化問題の場合はf~(z)の符号を反転して最小化問題に帰着できる。また等式制約はui=0とおくことで表現できること、任意の不等式は（非有界なものも含め）g~i(z)の定数項とuiを適切に定めることで一般性を失わず表現できることに注意する。そのため、上記の定式化はより一般の不等式・等式制約を持つ多項式最適化を含む。この問題のイジングモデルへの変換は以下の４つのステップにより行われる。
≪ステップ１≫制約なし整数変数多項式最適化問題への変換
≪ステップ２≫制約なし二値(0-1)変数多項式最適化問題への変換
≪ステップ３≫制約なし二値変数二次最適化問題(QUBO)への変換
≪ステップ４≫イジングモデルへの変換
　各ステップについて説明する。≪ステップ１≫では、各制約条件0≦g~i(z)≦uiを表現するペナルティ項の導入によって制約付き最適化問題を等価な制約なし最適化問題に変換する。ここで、制約0≦g~i(z)≦uiを表現するペナルティ項とは、追加の整数変数ξi∈Zを用いて表現される整数変数多項式gi p(z,ξi)で以下を満たすようなものである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
多くの場合、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
というペナルティ項が採用される。ペナルティ項gi p(z,ξi)と適当な係数pi>0を用いてもとの最適化問題は次の等価な最適化問題に変換される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
　≪ステップ２≫では、各整数変数を0,1のどちらかの値をとる二値変数で表現することで二値変数多項式最適化への変換を行う。0≦z≦bという範囲をもつ整数変数であれば通常
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
個の二値変数xz,1,…,xz,nz（nzは本来は「下付きのnz」で表現するのが正しいが、文書作成ソフトの機能に限界があり正しく表記できないため、「下付きのnz」をnzと表記する、以下も同様）を用いて
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
と表現される（二進エンコード、非特許文献２）。これを各整数変数zj,ξiに代入することで等価な二値変数上の多項式最適化問題に変換される。
　≪ステップ３≫では、二値変数多項式最適化問題を等価な二値変数２次式の最適化(QUBO)に変換する。これにはいくつかの方法が知られているが、実用上は単項式ごとの変換を行うことが多い。詳細は非特許文献３、４を参照。
　≪ステップ４≫では、0-1変数xiを持つQUBOを±1変数σiをもつイジングモデルに変換する。これは標準的にxi=(σi+1)/2という関係によって変換される。
　以上の手続きによって整数変数整数係数多項式最適化をイジングモデルに変換することができる。
Oku, Daisuke & Tawada, Masashi & Tanaka, Shu & Togawa, Nozomu. (2020). How to Reduce the Bit-width of an Ising Model by Adding Auxiliary Spins. IEEE Transactions on Computers. PP. 1-1. 10.1109/TC.2020.3045112. K. Tamura, T. Shirai, H. Katsura, S. Tanaka, N. Togawa, "Performance Comparison of Typical Binary-Integer Encodings in an Ising Machine,"in IEEE Access, vol. 9, pp. 81032-81039, 2021, doi: 10.1109/ACCESS.2021.3081685. H. Ishikawa, "Higher-order clique reduction in binary graph cut," 2009 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 2009, pp. 2993-3000, doi: 10.1109/CVPR.2009.5206689. Boros, E., Crama, Y. & Rodriguez-Heck, E. Compact quadratizations for pseudo-Boolean functions. J Comb Optim 39, 687-707 (2020). https://doi.org/10.1007/s10878-019-00511-0
　しかし、変換後のイジングモデルのスピン数は一般的に元問題の変数の数nよりも大きな数になる。また変換後のイジングモデルの各項の係数も一般的に元問題の多項式の各項の係数よりも大きな数になる。これにより、変換後のイジングモデルが先に述べたイジングマシンのハードウェアの制約を満たさず、イジングマシンを適用できない場合がある。≪ステップ２≫、≪ステップ３≫の具体的な処理方法には実際には選択の自由度があり、この選択の組合せによってイジングマシンの制約を満たすようなイジングモデルへの変換を見つけられる場合はあるが、そのような変換方法の探索には以下の課題Ａ）、Ｂ）がある。
　Ａ）一般に、変換後のイジングモデルのスピン数と係数の大きさにはトレードオフの関係があり、従来知られている各ステップの処理方法の候補は「スピン数は少ないが係数が大きい」、「係数は小さいがスピン数が大きい」といった二つの制約の片方だけを満たしやすくする性質を持つ。従来の変換方法ではこのトレードオフを柔軟に調整することはできず、したがって従来の変換方法のどの組み合わせでも二つの制約を両立する変換が得られない場合が多く存在する。
　Ｂ）二つの制約を両立する変換方法を探索するために上記≪ステップ２≫、≪ステップ３≫の処理方法の選択の各組合せについて変換後のイジングモデルが制約を満たすかどうかの判定を行う多数の試行を行う必要がある。この試行では実際にイジングモデルへの変換を行いスピン数と係数を算出する計算を必要とする。一般的に変換後のイジングモデルの（多項式としての）項数は元問題に表れる多項式の項数よりもきわめて多くなるため、この変換処理を都度行うことは大きな計算コスト（計算時間・メモリ）のオーバヘッドとなる。さらに、そもそも二つの制約を両立するイジングモデルへの変換方法が存在しない場合にはそれを判定することも同様に計算コストの課題を持つ。
　これらの問題は組合せ最適化にイジングマシンを適用する際の実用上の大きな課題となる。
　そこで本開示では、変換後のイジングモデルのスピン数と係数のトレードオフを柔軟に調整でき、イジングモデルへの変換の試行回数を削減することができるイジングモデル生成装置を提供する。
　本開示のイジングモデル生成装置は、変換パラメータ推定部と、パラメータ付きイジングモデル変換部を含む。
　第１の係数上限パラメータは、制約なし二値変数多項式への変換の際に、整数変数を二値変数の一次式に置換する際の二値変数の一次式の係数の上限を定めるパラメータであるものとし、第２の係数上限パラメータは、制約なし二値変数二次式への変換の際に、整数変数を二値変数の一次式に置換する際の二値変数の一次式の係数の上限を定めるパラメータであるものとする。
　変換パラメータ推定部は、変換後の式がイジングマシンの係数制約を満たす第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値を算出し、第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値による変換後の多項式および二次式のスピン数を算出する。
　パラメータ付きイジングモデル変換部は、スピン数がイジングマシンのスピン数制約を満たす場合、二値変数の一次式の係数が係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に二値変数の一次式の係数が係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、組合せ最適化問題をイジングモデルに変換する。
　本開示のイジングモデル生成装置によれば、変換後のイジングモデルのスピン数と係数のトレードオフを柔軟に調整でき、イジングモデルへの変換の試行回数を削減することができる。
実施例１のイジングモデル生成装置の機能構成を示すブロック図。 実施例１の変換パラメータ推定部の機能構成を示すブロック図。 実施例１のパラメータ付きイジングモデル変換部の機能構成を示すブロック図。 実施例１のイジングモデル生成装置の動作を示すフローチャート。 実施例２のイジングモデル生成装置の機能構成を示すブロック図。 実施例２の変換パラメータ推定部の機能構成を示すブロック図。 実施例２のパラメータ付きイジングモデル変換部の機能構成を示すブロック図。 実施例２のイジングモデル生成装置の動作を示すフローチャート。 実施例３のイジングモデル生成装置の機能構成を示すブロック図。 実施例３のイジングモデル生成装置の動作を示すフローチャート。 コンピュータの機能構成例を示す図。
　以下、本開示の実施の形態について、詳細に説明する。なお、同じ機能を有する構成部には同じ番号を付し、重複説明を省略する。
　本実施例のイジングモデル生成装置は、組合せ最適化問題を少ない計算コストで所与のスピン数制約及び係数制約を満たすイジングモデルに変換する（制約を満たす変換が存在しない場合はそれを判定する）装置である。
　本実施例のイジングモデル生成装置で実現されているアイデアの一つ目は、(i)イジングモデルへの変換に関する上記≪ステップ１≫～≪ステップ４≫の処理の自由度を係数上限パラメータの最大値によって特徴づけることである。係数上限パラメータの最大値はイジングモデルのスピン数と係数のトレードオフを調整する機能を持つ。この自由度の導入により、従来の変換方法よりも多くの変換方法を実現できるようになるため、どの変換方法をとっても制約を両立できないようなケースを減らすことができる。
　本実施例のイジングモデル生成装置で実現されているアイデアの二つ目は、(ii)イジングモデルの係数制約を満たすための適切な係数上限パラメータの最大値を、イジングモデルへの実際の変換を行わず元問題の多項式から直接算出することである。また係数上限パラメータの最大値を用いて変換を行った場合のイジングモデルのスピン数も算出する。これによって二つの制約（係数制約、スピン数制約）を同時に満たす係数上限パラメータの最大値の探索を少ない計算コストで行うことができる。
　以下、図１を参照して実施例１のイジングモデル生成装置の機能構成を説明する。同図に示すように本実施例のイジングモデル生成装置１は、問題・制約取得部１１と、変換パラメータ推定部１２と、パラメータ付きイジングモデル変換部１３を含む。
　問題・制約取得部１１は、組合せ最適化問題と、イジングマシン制約（係数制約、スピン数制約）を取得する（Ｓ１１）。
　第１の係数上限パラメータは、制約なし二値変数多項式への変換の際に、整数変数を二値変数の一次式に置換する際の二値変数の一次式の係数の上限を定めるパラメータであるものとし、第２の係数上限パラメータは、制約なし二値変数二次式への変換の際に、整数変数を二値変数の一次式に置換する際の二値変数の一次式の係数の上限を定めるパラメータであるものとする。
　変換パラメータ推定部１２は、変換後の式がイジングマシンの係数制約を満たす第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値を算出し、第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値による変換後の多項式および二次式のスピン数を算出する（Ｓ１２）。
　パラメータ付きイジングモデル変換部１３は、スピン数がイジングマシンのスピン数制約を満たす場合、二値変数の一次式の係数が係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に二値変数の一次式の係数が係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、組合せ最適化問題をイジングモデルに変換する（Ｓ１３）。
　図２に示すように、変換パラメータ推定部１２は、前処理部１２１と、パラメータ算出部１２２と、スピン数算出部１２３を含む。図３に示すように、パラメータ付きイジングモデル変換部１３は、第１変換処理部１３１と、第２変換処理部１３２と、第３変換処理部１３３と、イジングモデル変換処理部１３４を含む。以下、図４を参照して、各構成要件の動作を説明する。
　前処理部１２１は、下記の第１、第２の係数上限パラメータの最大値を算出するための前処理を実行する（Ｓ１２１、＜ステップＳ１２１の詳細＞を参照）。
　パラメータ算出部１２２は、イジングマシンの係数制約を満たす第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値を算出する（Ｓ１２２、＜ステップＳ１２２の詳細＞を参照）。
　スピン数算出部１２３は、第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値による変換後の多項式および二次式のスピン数を算出する（Ｓ１２３）。
　イジングモデル生成装置１は、スピン数がイジングマシンのスピン数制約を満たすか否かを判定する。上記のスピン数がイジングマシンのスピン数制約を満たさない場合、イジングモデル生成装置１は結果（変換不可）を出力する（Ｓ１Ａ）。上記のスピン数がイジングマシンのスピン数制約を満たす場合、パラメータ付きイジングモデル変換部１３は以下の処理を実行する。
　第１変換処理部１３１は、組合せ最適化問題を制約なし整数変数多項式最適化問題に変換する（Ｓ１３１、上記≪ステップ１≫と同様）。
　第２変換処理部１３２は、二値変数の一次式の係数が第１の係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に二値変数の一次式の係数が第１の係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、制約なし整数変数多項式最適化問題を制約なし二値変数多項式最適化問題に変換する（Ｓ１３２、＜ステップＳ１３２の詳細＞を参照）。
　第３変換処理部１３３は、二値変数の一次式の係数が第２の係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に二値変数の一次式の係数が第２の係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、制約なし二値変数多項式最適化問題を制約なし二値変数二次最適化問題に変換する（Ｓ１３３、＜ステップＳ１３３の詳細＞を参照）。
　イジングモデル変換処理部１３４は、制約なし二値変数二次最適化問題をイジングモデルに変換する（Ｓ１３４、上記≪ステップ４≫と同様）。イジングモデル生成装置１は、イジングモデルを出力する（Ｓ１Ｂ）。
＜ステップＳ１２１の詳細＞
　説明のため、イジングマシンの係数制約がM-(<0)以上M+(>0)以下として与えられているものとする。正確には、係数制約は係数の値自体の範囲ではなくイジングモデルの係数の絶対値の最大値と最小値の比がとりうる値の範囲で与えるべきであるが、本明細書では変換の構成上整数係数のイジングモデルのみを考慮すれば良いため係数の絶対値の最小値が1で与えられると仮定し、先の表記で係数制約を表すことにする。また算出方法はペナルティ項gi p(z,ξi)の作り方に依存するため、以下では制約条件 0≦g~i(z)≦uiに対応するペナルティ項として
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
を採用する。
　≪ステップ１≫は制約付きの多項式最適化の目的関数f~(z)を制約なし最適化の目的関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
に変換する処理である。ペナルティ項の係数pi>0は与えられているとする。
　≪ステップ２≫はF~(z,ξ)の各整数変数を二値変数の一次式に置換する処理であるが、変換後のイジングモデルのスピン数と係数の算出を行う時にはこの置換を行わない。代わりに、前処理部１２１は、与えられたイジングマシンの係数制約をもとに適切なz=(zj)j,ξ=(ξi)iのCz=(Cz,j)j,Cξ=(Cξ,i)iを直接算出する。これには複数の実現方法が考えられるが、例えば以下のような方法がある。前処理部１２１は、まずCz,jを算出する。前処理部１２１は、多項式F~(z,ξ)において各ξiの範囲の上限値ξi=ui-1を代入した多項式を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
と展開する。
＜ステップＳ１２２の詳細＞
　任意の二変数zj,zj'と正の整数Cについて次の量を定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
このときパラメータ算出部１２２は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
かつ
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
を満たす最大のC（すなわち、第１の係数上限パラメータの最大値）を計算する。zの係数上限パラメータとして(jに依らず)Cz,j=Cを採用する。なお、先の条件を満たす整数Cが存在しなければイジングマシンの係数制約を満たす変換は不可能であり、パラメータ算出部１２２は、処理をここで終了する。パラメータ算出部１２２は、次にCξ,iを算出する。g~i(z)の(定数項でない)単項式のうち係数が最小のものをa(≦0としてよい)とし、一次の単項式のうち係数が最大のものをb(≧0としてよい)とおき、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
を満たす最大の整数としてCξiを採用する（すなわち、第２の係数上限パラメータの最大値）。こうして各整数変数に対するパラメータが得られる。
　≪ステップ３≫は３次以上の単項式を二次式へ変換し、単項式の係数aが正の場合には変換のパラメータを持つ処理である。このパラメータの値にC2≦M+/aを満たすようなCを採用すれば、変換後のイジングモデルは所与の係数制約を満たす(証明は省略する)。実際には≪ステップ２≫の変換を行わないため≪ステップ３≫の入力となる二値変数多項式は得られないが、≪ステップ２≫の変換後の多項式が何次の単項式をいくつ持つかは容易に計算可能である。したがって、各項の二次式への変換のパラメータをC=1と設定した場合の変換後の多項式の変数の数は効率的に（すべての変換処理を行わずに）計算可能である。すべての単項式の変換のパラメータをC=1と設定するのは、場合によってはC2≦M+/aを満たす最大のCを採用した場合よりも多くの変数の数を見積もることにつながるが、≪ステップ２≫の変換後に係数が小さくなることが事前にわかる項のみを部分的に計算するなどの工夫によりこの変数の数の誤差の大きさと処理時間のトレードオフは調整可能である。
＜ステップＳ１３２の詳細＞
　第２変換処理部１３２は、上記≪ステップ２≫に第１の係数上限パラメータの最大値を導入する。≪ステップ２≫は、整数変数zをnz個の二値変数xz,1,…,xz,n_zの一次式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
に置換する変換であった。ここでzは0以上b以下(bは正の整数)という範囲の値をとる。二値変数の数nzと一次式の係数az,kは通常次の二進エンコードまたは一進エンコードにより与えられる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000016
　二進エンコードは変換後のイジングモデルのスピン数を少なくできるが係数がbについて指数的に大きくなる。一進エンコードは変換後のイジングモデルの係数を小さくできるがbについて線形のスピン数が必要となる。このトレードオフを調整するような変換方法(nz,az,kの決め方)として、第２変換処理部１３２は、第１の係数上限パラメータの最大値Cを正の整数とし、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
と設定する。ここでb%CはbをCで割った余りである。まず第２変換処理部１３２は、b<2Cのときは二進エンコードを行う。それ以外の場合、第２変換処理部１３２は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
として変換を行う。C=1の場合は一進エンコードと等価であることに注意する。この変換方法は次の性質(α)(β)をもつ。
(α)置換後の二値変数一次式の係数はたかだかCであり、かつ
(β)性質(α)を持つ変換方法は常にnz個以上の二値変数を必要とする。性質(α)はCを調整することでイジングモデルの係数の制約を満足させるようにできることを意味し、性質(β)は性質(α)を持つ変換方法の中で上記の方法がスピン数の意味で最良であることを意味する。
　したがって上記の変換方法は変換後のイジングモデルのスピン数と係数の制約を最大限考慮に入れた効率的な変換であり、第１の係数上限パラメータの最大値Cによって二つの制約のトレードオフを柔軟に調整できるものである。
＜ステップＳ１３３の詳細＞
　第３変換処理部１３３は、上記≪ステップ３≫に第２の係数上限パラメータの最大値を導入する。≪ステップ３≫は最適化対象の目的関数の多項式に含まれる３次以上の各単項式を適当な２次式に置換することで等価な最適化問題に変換する処理である。３次以上の単項式の係数が負の場合は、１つの二値変数を追加することでこれを実現できることが知られている（非特許文献３）。一方係数が正の場合は複数の二値変数を追加して置換する方法が提案されている。これらの方法では単項式置換後の式の各項の係数の大きさと追加変数の数のトレードオフを調整することができないため、変換後のイジングモデルの二つの制約のトレードオフの調整を柔軟に行うことができない。
　そこで第３変換処理部１３３は、以下のように第２の係数上限パラメータの最大値を導入する。まず第３変換処理部１３３は、係数が正のd次単項式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
を、追加の整数変数ξJ,0≦ξJ≦d-2を用いて以下の式に置換する(ここでJは変数の添え字の集合である)。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000020
　第３変換処理部１３３は、整数変数ξJを≪ステップ２≫の要領で二値変数の一次式に置換する。その際、第３変換処理部１３３は、上記の≪ステップ２≫への第１の係数上限パラメータの最大値の導入と同様に、第２の係数上限パラメータの最大値を用いてパラメータ付きの変換を行う。なお、この変換によって得られる二値変数の二次式への変換は、従来知られていた変換方法を含む。例えばξJを二進エンコードした場合は非特許文献４の変換方法と一致する。したがって、上記のパラメータ付きの変換は従来の変換方法を含む形で変換後のイジングモデルのスピン数と係数のトレードオフを調整することを可能にする。
　上述のイジングマシン生成装置の動作は、アイデア(i)及び(ii)の実現方法の一例である。アイデア(i)及び(ii)で実現される機能を用いて組合せ最適化問題をイジングモデルに変換する処理の流れを二つの例（実施例２、実施例３）で説明する。イジングマシンの係数制約は、厳密にある範囲に係数を収めることが求められる場合(ハードな制約)以外に、できるだけ小さな範囲に係数を収めることが求められる場合(ソフトな制約)がある。実施例２ではハードな制約下での変換を扱い、実施例３ではソフトな制約下での変換を扱う。
　以下、図５を参照して、実施例１よりも厳密にスピン数制約の充足判定を行うことができる実施例２のイジングモデル生成装置２の機能構成を説明する。
　同図に示すように本実施例のイジングモデル生成装置２は、問題・制約取得部１１と、変換パラメータ推定部２２と、パラメータ付きイジングモデル変換部２３を含む。
　図６に示すように、変換パラメータ推定部２２は、前処理部１２１と、パラメータ算出部２２２と、スピン数算出部１２３を含む。図７に示すように、パラメータ付きイジングモデル変換部２３は、第１変換処理部１３１と、第２変換処理部２３２と、第３変換処理部１３３と、イジングモデル変換処理部１３４を含む。以下、図８を参照して、実施例１と異なる処理を中心に各構成要件の動作を説明する。
　前処理部１２１は、実施例１と同様にＳ１２１を実行する。
　パラメータ算出部２２２は、イジングマシンの係数制約を満たす第１の係数上限パラメータの最大値を算出する（Ｓ２２２Ａ）。
　第２変換処理部２３２は、第１の係数上限パラメータの最大値に基づいて、≪ステップ２≫の変換処理を実行する（Ｓ２３２）。
　パラメータ算出部２２２は、≪ステップ２≫の変換処理によって実際に得られた制約なし二値変数多項式最適化問題に基づいて第２の係数上限パラメータの最大値を算出する（Ｓ２２２Ｂ）。
　スピン数算出部１２３は、実施例１と同様にＳ１２３を実行する。
　スピン数制約が満たされる場合、ステップＳ１３３、Ｓ１３４、Ｓ１Ｂが実行される。スピン数制約が満たされない場合、ステップＳ１Ａが実行される。
　上述の処理により、スピン数制約の充足判定をより精密に行うことができる一方、制約を満たさない場合に変換不可の結果を出力するまでに実際に変換の処理時間を要する。なお、この場合≪ステップ３≫の適切なパラメータの算出に実際の変換処理を伴う場合でも実際の変換を伴う多数の試行を伴わずに≪ステップ２≫で用いる適切なパラメータの算出を行うことがポイントであることは変わらない。
　以下、図９を参照して、イジングモデルの係数制約がソフトな制約である場合に最適な動作を実行できる実施例３のイジングモデル生成装置３の機能構成を説明する。
　同図に示すように本実施例のイジングモデル生成装置３は、問題・制約取得部１１と、変換パラメータ推定部３２と、パラメータ付きイジングモデル変換部１３と、緩和係数制約設定・更新部３３を含む。
以下、図１０を参照して、実施例１、２と異なる処理を中心に各構成要件の動作を説明する。
　実施例２では、与えられた係数制約の下でできるだけスピン数の少ない変換を行い、そのスピン数が制約を違反していれば即座に「変換不可」と判断した。
　係数制約がソフトな制約である場合には、変換後のスピン数が制約を違反している場合にはスピン数制約を満たすような変換方法が存在するまで係数制約を緩和して実施例２の処理をやり直すことで「スピン数制約は厳密に満たし、係数範囲はできるだけ小さい」変換を得ることができる。
　まず実施例２に開示した方法で係数制約を満たすためのパラメータの算出と変換後のスピン数算出を行う。すなわち、問題・制約取得部１１はステップＳ１１を実行し、変換パラメータ推定部３２は、実施例２と同様に変換パラメータ・スピン数の推定処理を実行する（Ｓ３２Ａ）。
　スピン数制約を満たすならば、パラメータ付きイジングモデル変換部１３は変換処理を実行し（Ｓ１３）、イジングモデル生成装置３は、イジングモデルを出力して終了する（Ｓ１Ｂ）。
　スピン数制約を満たさないならば、緩和係数制約設定・更新部３３は、緩和係数制約の初期値を設定する（Ｓ３３Ａ）。この初期値は係数制約の範囲が十分大きくなるように設定される。
　変換パラメータ推定部３２は、緩和係数制約の初期値に基づいて、変換パラメータ・スピン数の推定処理を実行する（Ｓ３２Ｂ）。係数制約の範囲が十分大きくなるように緩和すれば算出されるスピン数は取りうる変換方法の中でスピン数を最小にするものである。従って、ステップＳ３２Ｂ実行後もスピン数制約を満たさないならば、イジングモデル生成装置１は結果（変換不可）を出力する（Ｓ１Ａ）。
　ステップＳ３２Ｂ実行後にスピン数制約を満たすならば、もともとの係数制約と緩和された係数制約の間にスピン数制約を満たしながらできるだけ係数範囲を小さくするような係数制約が存在するため、そのような緩和係数制約をさらにパラメータ・スピン数算出を繰り返すことで（例えば二分探索などにより）探索する。
　具体的には、ステップＳ３２Ｂ実行後にスピン数制約を満たすならば、緩和係数制約設定・更新部３３は、緩和係数制約の上限と下限を設定する（Ｓ３３Ｂ）。
　変換パラメータ推定部３２は、緩和係数制約の上限と下限に基づいて、変換パラメータ・スピン数の推定処理を実行する（Ｓ３２Ｃ）。
　緩和係数制約設定・更新部３３は、スピン数制約の判定を実行し（Ｓ３３Ｃ）、緩和係数制約の上限と下限を更新する（Ｓ３３Ｄ）。
　緩和係数の制約が収束しないうちは、上記ステップＳ３２Ｃ、Ｓ３３Ｃ、Ｓ３３Ｄの処理が繰り返し実行される。緩和係数制約が収束した場合、パラメータ付きイジングモデル変換部１３は変換処理を実行し（Ｓ１３）、イジングモデル生成装置３は、イジングモデルを出力して終了する（Ｓ１Ｂ）。
　上述の処理の中でパラメータ・スピン数算出を繰り返し行うが、これは実際のイジングモデルへの変換を伴わずに元問題の多項式から直接計算するため少ない計算コストで行えることがポイントである。
　なお上述の実施例１～３は一例であり、本発明の適用範囲を制限するものではない。
＜効果＞
　実施例１～３に開示したイジングモデル生成装置１～３は、以下の効果を持つ。
・組合せ最適化問題のイジングモデルへの変換について、変換後のイジングモデルのスピン数と係数のトレードオフを柔軟に調整可能とすることで、従来の方法ではスピン数と係数の制約を両立できなかった組合せ最適化問題であっても多くの場合において制約を両立するように変換できる。
・組合せ最適化問題に対しイジングモデルへの変換を伴う試行を繰り返し行うことなく適切な変換方法を探索することで、スピン数及び係数制約を両立するイジングモデルへの変換が存在するかの判定を少ない計算コスト(計算時間・メモリ)で行うことができる。また、スピン数及び係数制約を両立するイジングモデルへの変換が存在するならば、その変換方法の探索を少ない計算コストで行うことができる。
＜補記＞
　本開示の装置は、例えば単一のハードウェアエンティティとして、キーボードなどが接続可能な入力部、液晶ディスプレイなどが接続可能な出力部、ハードウェアエンティティの外部に通信可能な通信装置（例えば通信ケーブル）が接続可能な通信部、ＣＰＵ（Central Processing Unit、キャッシュメモリやレジスタなどを備えていてもよい）、メモリであるＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクである外部記憶装置並びにこれらの入力部、出力部、通信部、ＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭ、外部記憶装置の間のデータのやり取りが可能なように接続するバスを有している。また必要に応じて、ハードウェアエンティティに、ＣＤ－ＲＯＭなどの記録媒体を読み書きできる装置（ドライブ）などを設けることとしてもよい。このようなハードウェア資源を備えた物理的実体としては、汎用コンピュータなどがある。
　ハードウェアエンティティの外部記憶装置には、上述の機能を実現するために必要となるプログラムおよびこのプログラムの処理において必要となるデータなどが記憶されている（外部記憶装置に限らず、例えばプログラムを読み出し専用記憶装置であるＲＯＭに記憶させておくこととしてもよい）。また、これらのプログラムの処理によって得られるデータなどは、ＲＡＭや外部記憶装置などに適宜に記憶される。
　ハードウェアエンティティでは、外部記憶装置（あるいはＲＯＭなど）に記憶された各プログラムとこの各プログラムの処理に必要なデータが必要に応じてメモリに読み込まれて、適宜にＣＰＵで解釈実行・処理される。その結果、ＣＰＵが所定の機能（上記、…部、…手段などと表した各構成要件）を実現する。
　本開示は上述の実施形態に限定されるものではなく、本開示の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能である。また、上記実施形態において説明した処理は、記載の順に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されるとしてもよい。
　既述のように、上記実施形態において説明したハードウェアエンティティ（本開示の装置）における処理機能をコンピュータによって実現する場合、ハードウェアエンティティが有すべき機能の処理内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムをコンピュータで実行することにより、上記ハードウェアエンティティにおける処理機能がコンピュータ上で実現される。
　上述の各種の処理は、図１１に示すコンピュータ１００００の記録部１００２０に、上記方法の各ステップを実行させるプログラムを読み込ませ、制御部１００１０、入力部１００３０、出力部１００４０などに動作させることで実施できる。
　この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよい。具体的には、例えば、磁気記録装置として、ハードディスク装置、フレキシブルディスク、磁気テープ等を、光ディスクとして、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）、ＤＶＤ－ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disc Read Only Memory）、ＣＤ－Ｒ（Recordable）／ＲＷ（ReWritable）等を、光磁気記録媒体として、ＭＯ（Magneto-Optical disc）等を、半導体メモリとしてＥＥＰ－ＲＯＭ（Electrically Erasable and Programmable-Read Only Memory）等を用いることができる。
　また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。
　このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記録媒体に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
　また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、ハードウェアエンティティを構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。

Claims (5)

  1. 　第１の係数上限パラメータは、制約なし二値変数多項式への変換の際に、整数変数を二値変数の一次式に置換する際の二値変数の一次式の係数の上限を定めるパラメータであるものとし、
    　第２の係数上限パラメータは、制約なし二値変数二次式への変換の際に、整数変数を二値変数の一次式に置換する際の二値変数の一次式の係数の上限を定めるパラメータであるものとし、
    　変換後の式がイジングマシンの係数制約を満たす前記第１の係数上限パラメータの最大値、および前記第２の係数上限パラメータの最大値を算出し、前記第１の係数上限パラメータの最大値、および前記第２の係数上限パラメータの最大値による変換後の多項式および二次式のスピン数を算出する変換パラメータ推定部と、
    　前記スピン数が前記イジングマシンのスピン数制約を満たす場合、二値変数の一次式の係数が前記係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に二値変数の一次式の係数が前記係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、組合せ最適化問題をイジングモデルに変換するパラメータ付きイジングモデル変換部を含む
    　イジングモデル生成装置。
  2. 　請求項１に記載のイジングモデル生成装置であって、
    　前記変換パラメータ推定部は、
    　イジングマシンの係数制約を満たす前記第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値を算出するパラメータ算出部と、
    　前記第１の係数上限パラメータの最大値、および前記第２の係数上限パラメータの最大値による変換後の多項式および二次式のスピン数を算出するスピン数算出部を含み、
    　前記パラメータ付きイジングモデル変換部は、
    　前記スピン数が前記イジングマシンのスピン数制約を満たす場合、組合せ最適化問題を制約なし整数変数多項式最適化問題に変換する第１変換処理部と、
    　前記二値変数の一次式の係数が前記第１の係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に前記二値変数の一次式の係数が前記第１の係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、前記制約なし整数変数多項式最適化問題を制約なし二値変数多項式最適化問題に変換する第２変換処理部と、
    　前記二値変数の一次式の係数が前記第２の係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に前記二値変数の一次式の係数が前記第２の係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、前記制約なし二値変数多項式最適化問題を制約なし二値変数二次最適化問題に変換する第３変換処理部と、
    　前記制約なし二値変数二次最適化問題をイジングモデルに変換するイジングモデル変換処理部を含む
    　イジングモデル生成装置。
  3. 　イジングモデル生成装置が実行するイジングモデル生成方法であって、
    　第１の係数上限パラメータは、制約なし二値変数多項式への変換の際に、整数変数を二値変数の一次式に置換する際の二値変数の一次式の係数の上限を定めるパラメータであるものとし、
    　第２の係数上限パラメータは、制約なし二値変数二次式への変換の際に、整数変数を二値変数の一次式に置換する際の二値変数の一次式の係数の上限を定めるパラメータであるものとし、
    　変換後の式がイジングマシンの係数制約を満たす前記第１の係数上限パラメータの最大値、および前記第２の係数上限パラメータの最大値を算出し、前記第１の係数上限パラメータの最大値、および前記第２の係数上限パラメータの最大値による変換後の多項式および二次式のスピン数を算出するステップと、
    　前記スピン数が前記イジングマシンのスピン数制約を満たす場合、二値変数の一次式の係数が前記係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に二値変数の一次式の係数が前記係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、組合せ最適化問題をイジングモデルに変換するステップを含む
    　イジングモデル生成方法。
  4. 　請求項３に記載のイジングモデル生成方法であって、
    　イジングマシンの係数制約を満たす前記第１の係数上限パラメータの最大値、および第２の係数上限パラメータの最大値を算出するステップと、
    　前記第１の係数上限パラメータの最大値、および前記第２の係数上限パラメータの最大値による変換後の多項式および二次式のスピン数を算出するステップと、
    　前記スピン数が前記イジングマシンのスピン数制約を満たす場合、組合せ最適化問題を制約なし整数変数多項式最適化問題に変換するステップと、
    　前記二値変数の一次式の係数が前記第１の係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に前記二値変数の一次式の係数が前記第１の係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、前記制約なし整数変数多項式最適化問題を制約なし二値変数多項式最適化問題に変換するステップと、
    　前記二値変数の一次式の係数が前記第２の係数上限パラメータの最大値より大きくならない場合に二進エンコードにより、それ以外の場合に前記二値変数の一次式の係数が前記第２の係数上限パラメータの最大値と等しくなるように算出した二値変数の一次式により整数変数を置換することにより、前記制約なし二値変数多項式最適化問題を制約なし二値変数二次最適化問題に変換するステップと、
    　前記制約なし二値変数二次最適化問題をイジングモデルに変換するステップを含む
    　イジングモデル生成方法。
  5. 　コンピュータを請求項１または２に記載のイジングモデル生成装置として機能させるプログラム。
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