WO2024036516A1 - 一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法及系统 - Google Patents

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WO2024036516A1
WO2024036516A1 PCT/CN2022/113078 CN2022113078W WO2024036516A1 WO 2024036516 A1 WO2024036516 A1 WO 2024036516A1 CN 2022113078 W CN2022113078 W CN 2022113078W WO 2024036516 A1 WO2024036516 A1 WO 2024036516A1
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normal
transformation
precipitation
log
parameters
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PCT/CN2022/113078
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赵铜铁钢
黄泽青
陈晓宏
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中山大学
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions

Definitions

  • the present invention relates to the technical field of hydrological data processing, and more specifically, to a precipitation normalization analysis method and system based on gradient parameter optimization.
  • Precipitation data is important hydrological and meteorological observation data. Modeling and analysis based on precipitation data is an effective way to develop precipitation data products, analyze drought events in river basins, and carry out hydrological forecasting. Affected by the natural attributes of precipitation, precipitation data usually presents a non-normal distribution: on the one hand, precipitation usually presents a positively skewed distribution, with the characteristics of high skewness and kurtosis; on the other hand, precipitation has a natural lower boundary, that is, precipitation The minimum value of the quantity is zero, causing the precipitation data to present a discrete-continuous mixed distribution.
  • many current statistical analysis methods carry out theoretical derivation based on the premise of normal distribution. Therefore, the non-normal characteristics of precipitation data will make the modeling and analysis process more complicated and have a certain impact on the results of statistical analysis.
  • the currently commonly used method is to use normal transformation methods such as Log transformation, Box-Cox transformation and Log-sinh transformation to convert non-normally distributed precipitation data into data that obeys normal distribution, and then Carry out further modeling analysis.
  • normal transformation methods such as Log transformation, Box-Cox transformation and Log-sinh transformation
  • different transformation methods have different transformation parameters, and each parameter has different effects on normal transformation.
  • the commonly used method is to set transformation parameters based on experience, but empirical parameter settings are difficult to adapt to the precipitation distribution characteristics under different climate conditions. The accuracy of the precipitation data analysis results thus obtained needs to be improved.
  • the present invention provides a precipitation normalization method based on gradient parameter optimization. Analytical methods and systems.
  • a precipitation normalization analysis method based on gradient parameter optimization including the following steps:
  • the likelihood function is optimized by deriving the analytical gradient vector of the likelihood function, simplifying the parameter optimization process of the normal transformation, and at the same time completing the parameter estimation of different normal transformations, and obtaining the results that are suitable for different climate conditions.
  • Precipitation normalization analysis results of precipitation distribution characteristics.
  • the present invention also proposes a precipitation normalization analysis system based on gradient parameter optimization, which is applied to the above precipitation normalization analysis method.
  • the precipitation normalization analysis system includes:
  • Data acquisition module used to obtain precipitation data to be analyzed
  • a normal transformation module used to perform normal transformation on the precipitation data according to a preset normal transformation model to obtain a normal variable Z;
  • the normal distribution module is used to make the normal variable Z obey the normal distribution and construct the joint probability density function of the normal variable Z;
  • An optimization module configured to construct a likelihood function for parameter optimization based on the normal transformation model and the joint probability density function, and perform the optimization on the likelihood function by deriving the gradient vector analytical expression of the likelihood function. Search for optimization until the preset termination conditions are met, and after obtaining the optimal parameters that satisfy the maximum value of the likelihood function, update the normal transformation model in the normal transformation module;
  • the analysis module is used to conduct modeling analysis based on the normal variable Z output by the normal transformation module after optimization and update, and output the precipitation normalization analysis results.
  • the beneficial effects of the technical solution of the present invention are: by deriving the gradient vector analytical expression of the likelihood function and using the maximum likelihood estimation method for optimization, the present invention can adapt itself according to different distribution characteristics of precipitation. Parameter optimization is carried out to adapt to the precipitation distribution characteristics under different climate conditions, thereby reducing the difficulty for hydrometeorologists to carry out precipitation normalization work.
  • Figure 1 is a flow chart of the precipitation normalization analysis method based on gradient parameter optimization in Embodiment 1.
  • Figure 2 is a frequency distribution histogram of the standardized precipitation data before and after normal transformation in Embodiment 2.
  • Figure 3 is a normal distribution quantile diagram of standardized precipitation before and after normal transformation in Embodiment 2.
  • Figure 4 is a schematic diagram of the original precipitation and the precipitation skewness coefficient after normal transformation in Embodiment 2.
  • Figure 5 is a schematic diagram of the original precipitation and the precipitation kurtosis coefficient after normal transformation in Example 2.
  • Figure 6 is a schematic diagram of the Shapiro-Wilk test P value of original precipitation and normal transformation in Example 2.
  • Figure 7 is a schematic diagram of the original precipitation and the Filliben r statistic value after normal transformation in Example 2.
  • Figure 8 is an architecture diagram of the precipitation normalization analysis system in Embodiment 3.
  • This embodiment proposes a precipitation normalization analysis method based on gradient parameter optimization, as shown in Figure 1, which is a flow chart of the precipitation normalization analysis method of this embodiment.
  • the parameters to be optimized include normal distribution parameters and the normal transformation parameters.
  • parameter optimization can be performed adaptively according to different distribution characteristics of precipitation to adapt to the distribution characteristics of precipitation under different climate conditions. , thereby reducing the difficulty for hydrometeorologists to carry out precipitation normalization work.
  • the constructed normal transformation model is based on one or more of Log transformation, Box-Cox transformation or Log-sinh transformation.
  • log( ⁇ ) represents the natural logarithm function
  • Z Box-Cox ( ⁇ ) represents the set of normal variables that have undergone Box-Cox transformation
  • ⁇ 1 and ⁇ 2 are the normal transformation parameters of Box-Cox transformation.
  • the value range of ⁇ 1 is [-2,2].
  • the Box-Cox transformation is equivalent to the Log transformation.
  • ⁇ 2 often takes a non-negative number, and ⁇ 2 can also be fixed to 0 or other positive numbers.
  • Z Log-sinh ( ⁇ ) represents the set of normal variables that have undergone Log-sinh transformation
  • ⁇ and ⁇ are the normal transformation parameters of Log-sinh transformation.
  • the Log-sinh transform has a similar effect to the Log transform.
  • coth( ⁇ ) represents the hyperbolic cotangent function. It can be seen that the parameters to be optimized in the normal transformation model based on Log-sinh transformation are ⁇ and ⁇ .
  • step S3 includes the following steps:
  • the censoring threshold x 0 is a real number equal to 0 or slightly greater than 0.
  • This embodiment takes into account that since the lower boundary of precipitation is zero, the precipitation data presents a discrete-continuous mixed distribution.
  • the zero value of precipitation is usually treated by adding an offset coefficient, but the impact of the mixed distribution of precipitation on parameter estimation is not considered.
  • This embodiment processes the precipitation data based on the censoring threshold and converts the precipitation data into a continuous distribution. Compared with the traditional processing method, the impact of the mixed distribution of precipitation on parameter estimation can be completely considered, and the estimation results are more reasonable.
  • z i ⁇ Z represents the ith normally transformed precipitation data sample in the normal variable Z
  • ⁇ Z and ⁇ Z represent the mean and standard deviation of the normal variable Z obeying the normal distribution
  • p N ( ⁇ ) represents the probability density function of the normal variable Z obeying the normal distribution
  • ⁇ N ( ⁇ ) represents the cumulative distribution function of the normal variable Z
  • ⁇ 1 represents the sample index set whose precipitation data is greater than the censoring threshold x 0 , and the number is recorded as n 1
  • ⁇ 0 represents the sample index set whose precipitation data is less than or equal to the censoring threshold x 0 , the number is recorded as n 0
  • n n 0 +n 1 .
  • ⁇ represents the parameter set in the likelihood function p(X
  • Z′( xi ) represents the first derivative of the corresponding normal transformation.
  • Equation (2), Equation (4) and Equation (6) are respectively used.
  • ;erf( ⁇ ) represents the error function.
  • this embodiment optimizes the likelihood function and its gradient information until the preset termination conditions are met, and the optimal parameters that satisfy the maximum value of the likelihood function are obtained.
  • the parameters to be optimized include normal distribution parameters ⁇ Z and ⁇ Z , and normal transformation parameters c, ⁇ 1 , ⁇ 2 , ⁇ and ⁇ .
  • This embodiment uses the maximum likelihood estimation method for optimization, that is, to find a set of parameters such that log p(X
  • step S5 the specific steps include:
  • ⁇ k+1 and ⁇ k represent the values of the parameters to be optimized in the k+1 and k iteration processes;
  • g k represents the gradient vector composed of the parameter set ⁇ in the likelihood function at the kth time. value in iteration;
  • the quasi-Newton method is used as the optimization algorithm.
  • ⁇ ) derives the analytical solution of the gradient of different parameters as the gradient information.
  • the purpose is to provide the direction for the search of the algorithm, improve the search efficiency of the algorithm, and thereby find faster to the optimal parameter values.
  • Commonly used methods include DFP algorithm (Davodpm-Fletcher-Powell) and BFGS algorithm (Broyden-Fletcher-Goldfard-Shano).
  • the gradient of the log-likelihood function is composed of the first-order partial derivative of the log-likelihood function log p(X
  • the mean ⁇ Z and standard deviation ⁇ Z of the normalized variable Z need to be estimated.
  • the gradient vector of the log-likelihood function can be obtained, specifically:
  • step S5.1 the step of setting the starting point ⁇ 0 of the parameter to be optimized includes:
  • B l and B u represent the lower boundary and upper boundary of parameter ⁇ respectively;
  • a number of random points are randomly selected from the uniform distribution of parameter ⁇ 0 as the initial points of the quasi-Newton method for solution.
  • the parameter optimization result ⁇ opt includes the optimized values of normal distribution parameters and normal transformation parameters.
  • the termination condition includes at least one of the following conditions:
  • condition (1) when the gradient vector
  • condition (2) it is expressed as: At this time, it is considered that the likelihood function has converged, and the current parameter set ⁇ k is the solution result, which is the optimal parameter.
  • This embodiment is suitable for parameter optimization of Log, Box-Cox and Log-sinh transformations.
  • the mathematical modeling process is implemented through the Python programming language, which is beneficial to realizing automated precipitation normal transformation.
  • this embodiment constructs a likelihood function and uses the maximum likelihood estimation method for optimization, and derives analytical solutions for the gradients of different parameters to adapt to the precipitation distribution characteristics under different climate conditions, thereby effectively improving precipitation data analysis. accuracy of results.
  • This embodiment applies a precipitation normalization analysis method based on gradient parameter optimization proposed in Embodiment 1 to propose a specific implementation process.
  • This embodiment uses the monthly scale precipitation of the global precipitation data product Global Precipitation Climatology Center as input data, and performs normal transformation on the input precipitation data, including Log, Box-Cox and Log-sinh transformation.
  • the specific steps are as follows:
  • the Global Precipitation Climatology Center data set in NetCDF format is read through the open_dataset function in the Python third-party library xarray, and then the global precipitation observation data in July is extracted to obtain the precipitation data to be analyzed and stored in a file called xr_gpcc_precip in the variables.
  • the first row represents the results of the original precipitation data. It can be seen that the scatter plot deviates from the 1:1 line, indicating that the original data does not conform to the normal distribution.
  • the results of different transformations represented by rows 2 to 4 are overall along the 1:1 line distribution, indicating that the normalized variables obtained based on the present invention obey the normal distribution.
  • Figure 4 is a schematic diagram of the original precipitation and the precipitation skewness coefficient after normal transformation. The closer the skewness coefficient is to 0, the more the data conforms to the normal distribution.
  • Figure 5 is a schematic diagram of the original precipitation and the precipitation kurtosis coefficient after normal transformation. The closer the kurtosis coefficient is to 0, the more the data conforms to the normal distribution.
  • Figure 6 is a schematic diagram of the P value of the Shapiro-Wilk test between original precipitation and normal transformation. The higher the P value, the more consistent the data is with the normal distribution.
  • Figure 7 is a schematic diagram of the Filliben r statistic value of original precipitation and normal transformation. The higher the value of Filliben r statistic, the more consistent the data is with the normal distribution.
  • This embodiment proposes a precipitation normalization analysis system based on gradient parameter optimization, which is applied to the precipitation normalization analysis method based on gradient parameter optimization proposed in Embodiment 1. As shown in Figure 8, it is an architecture diagram of the precipitation normalization analysis system of this embodiment.
  • Data acquisition module used to obtain precipitation data to be analyzed.
  • a normal transformation module is used to perform normal transformation on the precipitation data according to a preset normal transformation model to obtain a normal variable Z.
  • the normal distribution module is used to make the normal variable Z obey the normal distribution and construct the joint probability density function of the normal variable Z.
  • An optimization module configured to construct a likelihood function for parameter optimization based on the normal transformation model and the joint probability density function, and perform the optimization on the likelihood function by deriving the gradient vector analytical expression of the likelihood function. After optimizing until the preset termination conditions are met and the optimal parameters that satisfy the maximum value of the likelihood function are obtained, the normal transformation model in the normal transformation module is updated.
  • the analysis module is used to conduct modeling analysis based on the normal variable Z output by the normal transformation module after optimization and update, and output the precipitation normalization analysis results.
  • the optimization module is used to optimize the parameters of Log, Box-Cox and Log-sinh transformations, and derive analytical solutions for the gradients of different parameters to adapt to the precipitation distribution characteristics under different climate conditions, thereby effectively improving Accuracy of precipitation data analysis results.
  • the normal transformation module includes at least one of a Log transformation unit, a Box-Cox transformation unit and a Log-sinh transformation unit.
  • the data collection module is also configured to treat the values in the precipitation data that are less than or equal to the censoring threshold x 0 as censored values according to the preset censoring threshold x 0 , and then sent to the normal transformation module to obtain the corresponding normal variable Z, and then input into the normal distribution module to make the censored normal variable Z obey the normal distribution, which is used to further construct the normal distribution probability density function.
  • the optimization module uses the quasi-Newton method to iteratively optimize the likelihood function based on the gradient vector. Among them, a number of random points are randomly selected from the uniform distribution of parameter ⁇ 0 as the initial points of the quasi-Newton method for solution. Finally, from multiple solution results, a selection is made so that -log p(X

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Abstract

一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法及系统，其中包括以下步骤：获取待分析的降水数据(S1)；构建正态变换模型，对降水数据进行正态变换，得到正态变量Z(S2)；令正态变量Z服从正态分布，构建正态变量Z的联合概率密度函数(S3)；基于正态变换模型和联合概率密度函数，构建用于参数寻优的似然函数(S4)；推导似然函数的解析梯度向量，从而对似然函数进行寻优，至满定预设的终止条件，得到满足使似然函数取最大值的最优参数(S5)；基于最优参数对正态变换模型进行更新，并对降水数据进行正态变换及建模分析，得到降水正态化分析结果(S6)。

Description

一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法及系统 技术领域
本发明涉及水文数据处理技术领域，更具体地，涉及一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法及系统。
背景技术
降水数据是重要的水文气象观测资料，围绕降水数据开展建模分析，是开发降水数据产品、分析流域干旱事件和开展水文预报的有效途径。受降水的自然属性影响，降水数据通常呈现非正态分布：一方面，降水通常呈现正偏分布，具有偏度与峰度较高的特点；另一方面，降水具有天然的下边界，即降水量的最小值为零，导致降水数据呈现离散-连续的混合分布。而目前许多统计分析方法是在正态分布的前提下开展理论推导，因此降水数据的非正态特征将导致其建模分析过程更加复杂，并对统计分析的结果产生一定的影响。
面向降水的非正态特征，目前常用的方法是采用如Log变换、Box-Cox变换与Log-sinh变换等正态变换方法将非正态分布的降水数据转化为服从正态分布的数据，再进一步进行建模分析。其中，不同的变换方法具有不同的变换参数，并且各个参数对于正态变换的影响不同，常用的方法是根据经验设置变换参数，但经验性的参数设置难以适应不同气候条件下的降水分布特征，由此得到的降水数据分析结果的准确性有待提高。
发明内容
本发明为克服上述现有技术所述的降水正态化分析方法难以适应不同气候条件下的降水分布特征，数据分析准确性有待提高的缺陷，提供一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法及系统。
为解决上述技术问题，本发明的技术方案如下：
一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法，包括以下步骤：
S1、获取待分析的降水数据；
S2、构建正态变换模型，对所述降水数据进行正态变换，得到正态变量Z；其中，所述正态变换模型中包括相应的正态变换参数；
S3、令所述正态变量Z服从正态分布，构建所述正态变量Z的联合概率密度函数；
S4、基于所述正态变换模型和所述联合概率密度函数，构建用于参数寻优的似然函数；其中，待寻优的参数包括正态分布参数和所述正态变换参数；
S5、通过推导所述似然函数的解析梯度向量对所述似然函数进行寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参数；
S6、基于所述最优参数对所述正态变换模型进行更新，并对所述降水数据进行正态变换及建模分析，得到降水正态化分析结果。
本技术方案中，通过推导似然函数的解析梯度向量对所述似然函数进行寻优，简化正态变换的参数寻优过程，同时完成不同正态变换的参数估计，得到适应不同气候条件下的降水分布特征的降水正态化分析结果。
进一步地，本发明还提出一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析系统，应用于上述降水正态化分析方法。其中，降水正态化分析系统包括：
数据采集模块，用于获取待分析的降水数据；
正态变换模块，用于根据预设的正态变换模型，对所述降水数据进行正态变换，得到正态变量Z；
正态分布模块，用于使正态变量Z服从正态分布，构建所述正态变量Z的联合概率密度函数；
寻优模块，用于基于所述正态变换模型和所述联合概率密度函数，构建用于参数寻优的似然函数，通过推导似然函数的梯度向量解析表达式对所述似然函数进行寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参数后，对所述正态变换模块中的正态变换模型进行更新；
分析模块，用于根据经过寻优更新后的正态变换模块输出的正态变量Z进行建模分析，输出降水正态化分析结果。
与现有技术相比，本发明技术方案的有益效果是：本发明通过推导似然函数的梯度向量解析表达式并采用极大似然估计方法进行寻优，可根据降水的不同分布特性自适应的进行参数寻优，以适应不同气候条件下的降水分布特征，进而降低了水文气象工作者开展降水正态化工作的难度。
附图说明
图1为实施例1的基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法的流程图。
图2为实施例2的正态变换前后标准化降水数据的频率分布直方图。
图3为实施例2的正态变换前后标准化降水的正态分布分位图。
图4为实施例2的原始降水与正态变换后的降水偏度系数示意图。
图5为实施例2的原始降水与正态变换后的降水峰态系数示意图。
图6为实施例2的原始降水与正态变换后的Shapiro-Wilk检验P值示意图。
图7为实施例2的原始降水与正态变换后的Filliben r statistic值示意图。
图8为实施例3的降水正态化分析系统的架构图。
具体实施方式
附图仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；
为了更好说明本实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；
对于本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。
下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的说明。
实施例1
本实施例提出一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法，如图1所示，为本实施例的降水正态化分析方法的流程图。
本实施例提出的基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法中，包括以下步骤：
S1、获取待分析的降水数据。
S2、构建正态变换模型，对所述降水数据进行正态变换，得到正态变量Z；其中，所述正态变换模型中包括相应的正态变换参数。
S3、令所述正态变量Z服从正态分布，构建所述正态变量Z的联合概率密度函数。
S4、基于所述正态变换模型和所述联合概率密度函数，构建用于参数寻优的似然函数。
其中，待寻优的参数包括正态分布参数和所述正态变换参数。
S5、通过推导所述似然函数的解析梯度向量对所述似然函数进行寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参数。
S6、基于所述最优参数对所述正态变换模型进行更新，并对所述降水数据进 行正态变换及建模分析，得到降水正态化分析结果。
本实施例中通过构建似然函数并通过推导所述似然函数的解析梯度向量进行寻优，可根据降水的不同分布特性自适应的进行参数寻优，以适应不同气候条件下的降水分布特征，进而降低了水文气象工作者开展降水正态化工作的难度。
在一可选实施例中，所构建的正态变换模型基于Log变换、Box-Cox变换或Log-sinh变换中的一种或多种。
其中，记X＝[x 1,x 2,..,x n]为降水数据的n个样本，而Z＝[z 1,z 2,..,z n]表示经过正态变换后相应的正态变量。
则基于Log变换的正态变换模型的表达式如下：
Z Log(X；c)＝log(X+c)       (1)
式中，log(·)表示自然对数函数，c为Log变换的参数，常取非负数，用于处理X＝0时Log变换无意义的情况。
Log变换对X的一阶导数为：
Z′ Log(X；c)＝(X+c) -1      (2)
由此可见，基于Log变换的正态变换模型中仅有1个待寻优参数，为参数c。
基于Box-Cox变换的正态变换模型的表达式如下：
Figure PCTCN2022113078-appb-000001
式中，Z Box-Cox(·)表示经过Box-Cox变换的正态变量集合，λ 1、λ 2为Box-Cox变换的正态变换参数。
其中，λ 1的取值范围为[-2,2]。且从式(3)可知，当λ 1＝0时，Box-Cox变换等同于Log变换，此时参数λ 2的作用与参数c相同，用于处理X＝0时Box-Cox变换无意义的情况。λ 2常取非负数，同时也可以固定λ 2为0或其他正数。
Box-Cox变换对X的一阶导数为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000002
由此可见，基于Box-Cox变换的正态变换模型中的待寻优参数为λ 1、λ 2。
基于Log-sinh变换的正态变换模型的表达式如下：
Figure PCTCN2022113078-appb-000003
式中，Z Log-sinh(·)表示经过Log-sinh变换的正态变量集合，α、β为Log-sinh变换的正态变换参数。其中，当β参数趋近于无穷大时，Log-sinh变换与Log变换的作用相似。
Log-sinh变换对X的一阶导数为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000004
coth(·)表示双曲余切函数。由此可见，基于Log-sinh变换的正态变换模型中的待寻优参数为α、β。
在一可选实施例中，所述S3步骤中，包括以下步骤：
S3.1、将所述降水数据中小于或等于删失阈值x 0的数值视为删失值；
S3.2、假设经过删失处理后的正态变量Z服从正态分布，用于构建所述联合概率密度函数。
进一步地，所述删失阈值x 0为等于0或略大于0的实数。
本实施例考虑到由于降水的下边界为零，因此降水数据呈现离散-连续混合分布。而在传统的降水正态化过程中，通常采用添加偏移系数的方式来处理降水的零值，但未考虑降水的混合分布对参数估计的影响。本实施例通过基于删失阈值对降水数据进行处理，将降水数据转为连续分布，相比传统的处理方式能够完整的考虑降水的混合分布对参数估计的影响，估计结果更合理。
进一步假设经过删失处理后的正态变量Z服从正态分布，构建联合概率密度函数：
Figure PCTCN2022113078-appb-000005
式中，z i∈Z表示正态变量Z中的第i个经过正态变换的降水数据样本；μ Z和σ Z表示正态变量Z服从正态分布的均值与标准差；p N(·)表示正态变量Z服从正态分布的概率密度函数，φ N(·)表示正态变量Z的累积分布函数；Ω 1表示降水数据大于删失阈值x 0的样本索引集合，数量记为n 1，Ω 0表示降水数据小于或等于删失阈值x 0的样本索引集合，数量记为n 0，且n＝n 0+n 1。
基于式(7)，得到用于参数寻优的似然函数的表达式如下：
Figure PCTCN2022113078-appb-000006
式中，θ表示似然函数p(X|θ)中的参数集合，包括正态分布参数μ Z和σ Z以及正态变换参数；J表示正态变换的雅可比矩阵。
对于似然函数p(X|θ)，常取其对数形式，即可得到：
Figure PCTCN2022113078-appb-000007
式中，Z′(x i)表示相应正态变换的一阶导数，对于Log、Box-Cox与Log-sinh变换，分别采用式(2)、式(4)与式(6)中的形式；erf(·)表示误差函数。
进一步地，本实施例对所述似然函数及其梯度信息进行寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参数。其中，待寻优的参数包括正态分布参数μ Z和σ Z，以及正态变换参数c，λ 1、λ 2，α和β。
本实施例采用极大似然估计方法进行寻优，即找到一组参数使得式(9)中的log p(X|θ)取得最大值。
进一步地，在一可选实施例中，S5步骤中，其具体步骤包括：
S5.1、设置待寻优的参数的起始点θ 0；
S5.2、采用拟牛顿法，基于梯度向量对所述似然函数进行迭代寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参数。
其迭代求解公式如下：
Figure PCTCN2022113078-appb-000008
式中，θ k+1与θ k表示在第k+1与k次迭代过程中待寻优的参数的取值；g k表示参数集合θ在似然函数中组成的梯度向量在第k次迭代中的取值；
Figure PCTCN2022113078-appb-000009
表示第k次迭代中海森矩阵的逆矩阵。
本实施例考虑到传统的全局寻优算法计算量较大，寻优所需时间较长，并且受到局部最优值的影响，采用拟牛顿法作为寻优算法，同时，基于式(9)的对数似然函数log p(X|θ)，推导出关于不同参数的梯度的解析解，以此作为梯度信息，目的在于为算法的搜索提供方向，提高算法的搜索效率，从而较快的寻找到最优参数值。常用的方法包括DFP算法(Davodpm-Fletcher-Powell)和BFGS算法(Broyden-Fletcher-Goldfard-Shano)等。
进一步地，对数似然函数的梯度由对数似然函数log p(X|θ)关于参数的一阶 偏导构成。对于Log、Box-Cox与Log-sinh变换，均需要估计正态化变量Z的均值μ Z和标准差σ Z。
其中，均值μ Z的一阶偏导表示为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000010
标准差σ Z的一阶偏导表示为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000011
而对于不同的正态变换方法具有不同的参数。对于Log变换，log p(X|θ)关于参数c的一阶偏导为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000012
对于Box-Cox变换，log p(X|θ)关于参数λ 1的一阶偏导为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000013
当λ 1＝0时，log p(X|θ)关于参数λ 1的一阶偏导为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000014
对于Box-Cox变换，log p(X|θ)关于参数λ 2的一阶偏导为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000015
对于Log-sinh变换，log p(X|θ)关于参数α的一阶偏导为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000016
对于Log-sinh变换，log p(X|θ)关于参数β的一阶偏导为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000017
基于各参数的一阶偏导数，可得到对数似然函数的梯度向量，具体为：
对于Log变换，对数似然函数的梯度向量为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000018
对于Box-Cox变换，对数似然函数的梯度向量为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000019
对于Log-sinh变换，对数似然函数的梯度向量为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000020
进一步地，在一可选实施例中，S5.1步骤中，设置待寻优的参数的起始点θ 0的步骤包括：
设置参数θ的初始估计值θ 0，并假设参数θ 0在其范围内服从均匀分布：
θ 0～U(B l,B u)
其中B l与B u分别表示参数θ的下边界与上边界；
从参数θ 0的均匀分布中随机抽取若干随机点作为拟牛顿法的初始点进行求解。
本实施例中，考虑似然函数可能存在多个局部最优解，从参数θ 0的均匀分布中随机抽取若干随机点作为拟牛顿法的初始点进行求解，最后从多个求解结果中，选择使得-log p(X|θ)取得最小值(即使得log p(X|θ)取得最大值)的参数组合，作为最终得到的参数优化结果θ opt：
Figure PCTCN2022113078-appb-000021
式中，参数优化结果θ opt包括正态分布参数和正态变换参数的优化取值。
进一步地，在一可选实施例中，S5.2步骤中，所述终止条件包括以下至少一种条件：
(1)当前迭代中梯度向量的取值g k小于预设阈值ε g；
(2)在两次迭代过程中似然函数取值变化小于预设阈值ε p。
条件(1)中，当梯度向量||g k||小于阈值ε g时，认为似然函数已经收敛，则当前的参数集合θ k为所求解结果，即为最优参数。
条件(2)中，表示为：
Figure PCTCN2022113078-appb-000022
此时认为似然函数已经收敛，当前的参数集合θ k为所求解结果，即为最优参数。
本实施例适用于Log、Box-Cox以及Log-sinh变换的参数寻优，通过Python编程语言实现其数学建模过程，有利于实现自动化降水正态变换。其中，本实施例通过构建似然函数并采用极大似然估计方法进行寻优，推导出关于不同参数的梯度的解析解，以适应不同气候条件下的降水分布特征，从而有效提高降水数据分析结果的准确性。
实施例2
本实施例应用实施例1提出的一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法，提出一具体实施过程。
本实施例以全球降水数据产品Global Precipitation Climatology Centre的月尺度降水为输入数据，对输入的降水数据进行正态变换，包括Log、Box-Cox与 Log-sinh变换。其具体步骤如下：
S1、采用NetCDF格式的Global Precipitation Climatology Centre数据集，通过Python第三方库xarray中的open_dataset函数读取，进而提取出7月份的全球降水观测数据，得到待分析的降水数据，并存储在名为xr_gpcc_precip的变量中。
S2、对S1中采集得到的降水数据进行数学建模分析。
其中，设置删失阈值x 0＝0.01，存储在名为threshold的变量中，降水数据中小于等于x 0的数值均替换为x 0，并将其位置索引记录在名为mask的变量中，同时将大于x 0与小于等于x 0的样本个数分别存储在名为n 1和n 0的变量中。
然后通过Numpy与Scipy中的log函数完成自然对数计算，sinh函数完成双曲正弦计算，power函数完成指数计算，erf函数完成误差函数计算，从而完成正态变换与似然函数的构建。
S3、在S2的基础上，对对数似然函数进行梯度分析，并将数学过程封装成函数。
S3.1、根据S2中的对数似然函数形式，推导出其关于不同参数的梯度，包括正态分布参数与正态变换参数，其中关于参数μ Z、σ Z、c，λ 1、λ 2，α和β的梯度计算分别定义为函数grad_mu、grad_sigma、grad_c、grad_l1、grad_l2、grad_alpha和grad_beta。
S3.2、将似然函数中联合概率密度计算、Log变换雅可比矩阵计算、Box-Cox变换雅可比矩阵计算和Log-sinh变换雅可比矩阵计算分别定义为函数norm、jac_log、jac_boxcox、jac_logsinh，并结合S3.1中函数封装为类Likelihood Function。
S3.3、分别定义Log、Box-Cox和Log-sinh变换为函数log、boxcox和logsinh函数，并封装成类PowerTrans。
S3.4、将以上定义的函数与类保存成为.py格式的文件。
S4.通过Python中import语句调用S3中封装的函数，对Global Precipitation Climatology Centre中逐个网格进行降水数据正态变换。
S4.1、设置多个初始点，即各个参数不同的初始估计值，基于S2与S3中对数似然函数及其梯度，通过Scipy中的optimize.minimize函数采用拟牛顿法进行参数寻优。
S4.2从不同初始点得到的结果中，选择对数似然函数取值最大的一组，其相 应的参数寻优结果作为降水正态变换的参数。
S4.3、依次对不同的网格与不同的正态变换(Log、Box-Cox和Log-sinh变换)进行应用，完成全部降水的正态变换。
S4.4、以其中三个网格为例，通过Matplotlib中的pyplot.hist函数绘制正态变换前后标准化降水数据的频率分布直方图，如图2所示。
图2中，第1行表示的原始降水数据整体呈现正偏的特点，而第2～4行的结果呈现出左右对称结果，表明本发明能够有效估计正态变换参数，较好的实现降水数据正态化。
S4.5、通过pyplot.scatter函数绘制变换前后标准化降水的正态分布分位图，如图3所示。
图3中，第一行表示降水原始数据的结果，可以看到散点图偏离于1：1线，表明原始数据不符合正态分布，而2～4行表示的不同变换的结果，整体沿1：1线分布，表明基于本发明得到的正态化变量服从正态分布。
S4.6、采用Scipy中的skew、kurtosis、shapiro和pearsonr函数以及Numpy对正态变换后的降水进行正态性检验，并通过Basemap绘制计算得到的偏度系数、峰态系数、Shapiro-Wilk检验P值和Filliben r statistic值，相应的示意图如图4～7所示。
图4为原始降水与正态变换后的降水偏度系数示意图，其中偏度系数越接近于0，表明数据越符合正态分布。图5为原始降水与正态变换后的降水峰态系数示意图，其中峰态系数越接近于0，表明数据越符合正态分布。图6为原始降水与正态变换后的Shapiro-Wilk检验P值示意图，其中P值越高，表明数据越符合正态分布。图7为原始降水与正态变换后的Filliben r statistic值示意图，其中Filliben r statistic的取值越高，表明数据越符合正态分布。由图可知，从不同的正态性检验指标可以看出，相比于原始降水数据，正态变换后的降水的正态性整体上有了显著的提高，表明本发明能够有效估计Log、Box-Cox和Log-sinh不同正态变换的参数，以适应全球不同的气候特点，具有良好的应用效果和稳定性。
实施例3
本实施例提出一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析系统，应用于实施例1提出的基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法。如图8所示，为本实施例的降水正态化分析系统的架构图。
本实施例提出的基于梯度参数寻优的降水正态化分析系统中，包括：
数据采集模块，用于获取待分析的降水数据。
正态变换模块，用于根据预设的正态变换模型，对所述降水数据进行正态变换，得到正态变量Z。
正态分布模块，用于使正态变量Z服从正态分布，构建所述正态变量Z的联合概率密度函数。
寻优模块，用于基于所述正态变换模型和所述联合概率密度函数，构建用于参数寻优的似然函数，通过推导似然函数的梯度向量解析表达式对所述似然函数进行寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参数后，对所述正态变换模块中的正态变换模型进行更新。
分析模块，用于根据经过寻优更新后的正态变换模块输出的正态变量Z进行建模分析，输出降水正态化分析结果。
本实施例中，通过寻优模块对Log、Box-Cox以及Log-sinh变换的参数寻优，推导出关于不同参数的梯度的解析解，以适应不同气候条件下的降水分布特征，从而有效提高降水数据分析结果的准确性。
进一步地，在一可选实施例中，所述正态变换模块包括Log变换单元、Box-Cox变换单元和Log-sinh变换单元中的至少一个。
进一步地，在一可选实施例中，所述数据采集模块还用于根据预设的删失阈值x 0，将所述降水数据中小于或等于删失阈值x 0的数值视为删失值，然后发送至正态变换模块中得到相应的正态变量Z，再输入正态分布模块使经过删失处理后的正态变量Z服从正态分布，用于进一步构建正态分布概率密度函数。
进一步地，在一可选实施例中，所述寻优模块采用拟牛顿法，基于梯度向量对所述似然函数进行迭代寻优。其中，从参数θ 0的均匀分布中随机抽取若干随机点作为拟牛顿法的初始点进行求解，最后从多个求解结果中，选择使得-log p(X|θ)取得最小值(即使得log p(X|θ)取得最大值)的参数组合，作为最终得到的参数优化结果θ opt。
相同或相似的标号对应相同或相似的部件；
附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；
显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非 是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (10)

  1. 一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
    S1、获取待分析的降水数据；
    S2、构建正态变换模型，对所述降水数据进行正态变换，得到正态变量Z；其中，所述正态变换模型中包括相应的正态变换参数；
    S3、令所述正态变量Z服从正态分布，构建所述正态变量Z的联合概率密度函数；
    S4、基于所述正态变换模型和所述联合概率密度函数，构建用于参数寻优的似然函数；其中，待寻优的参数包括正态分布参数和所述正态变换参数；
    S5、通过推导所述似然函数的解析梯度向量对所述似然函数进行寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参数；
    S6、基于所述最优参数对所述正态变换模型进行更新，并对所述降水数据进行正态变换及建模分析，得到降水正态化分析结果。
  2. 根据权利要求1所述的降水正态化分析方法，其特征在于，所述S2步骤中，所构建的正态变换模型基于Log变换、Box-Cox变换或Log-sinh变换中的一种或多种；
    其中，基于Log变换的正态变换模型的表达式如下：
    Z Log(X；c)＝log(X+c)；
    基于Box-Cox变换的正态变换模型的表达式如下：
    Figure PCTCN2022113078-appb-100001
    基于Log-sinh变换的正态变换模型的表达式如下：
    Figure PCTCN2022113078-appb-100002
    式中，X表示降水数据的样本集合；Z Log(·)表示经过Log变换的正态变量集合，c为Log变换的正态变换参数；Z Box-Cox(·)表示经过Box-Cox变换的正态变量集合，λ 1、λ 2为Box-Cox变换的正态变换参数；Z Log-sinh(·)表示经过Log-sinh变换 的正态变量集合，α、β为Log-sinh变换的正态变换参数。
  3. 根据权利要求1所述的降水正态化分析方法，其特征在于，所述S3步骤中，还包括以下步骤：将所述降水数据中小于或等于删失阈值x 0的数值视为删失值，再假设经过删失处理后的正态变量Z服从正态分布，用于构建所述联合概率密度函数。
  4. 根据权利要求3所述的降水正态化分析方法，其特征在于，所述S3步骤中，基于经过删失处理后的正态变量Z所构建的联合概率密度函数的表达式如下：
    Figure PCTCN2022113078-appb-100003
    式中，z i∈Z表示正态变量Z中的第i个经过正态变换的降水数据样本；μ Z和σ Z表示正态变量Z服从正态分布的均值与标准差；p N(·)表示正态变量Z服从正态分布的概率密度函数，φ N(·)表示正态变量Z的累积分布函数；Ω 1表示降水数据大于删失阈值x 0的样本索引集合，数量记为n 1，Ω 0表示降水数据小于或等于删失阈值x 0的样本索引集合，数量记为n 0，且n＝n 0+n 1。
  5. 根据权利要求4所述的降水正态化分析方法，其特征在于，所述S4步骤中，基于所述正态变换模型和所述联合概率密度函数，构建用于参数寻优的似然函数的表达式如下：
    Figure PCTCN2022113078-appb-100004
    式中，θ表示似然函数p(X|θ)中的参数集合，包括正态分布参数μ Z和σ Z以及正态变换参数；J表示正态变换的雅可比矩阵；
    所述似然函数以对数形式的表达式如下：
    Figure PCTCN2022113078-appb-100005
    其中，所述梯度向量由对数似然函数logp(X|θ)关于参数θ的一阶偏导构成。
  6. 根据权利要求1～5任一项所述的降水正态化分析方法，其特征在于，所 述S5步骤中，其具体步骤包括：
    设置待寻优的参数的起始点θ 0；
    采用拟牛顿法，基于梯度向量对所述似然函数进行迭代寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参数；其迭代求解公式如下：
    Figure PCTCN2022113078-appb-100006
    式中，θ k+1与θ k表示在第k+1与k次迭代过程中待寻优的参数的取值；g k表示参数集合θ在似然函数中组成的梯度向量在第k次迭代中的取值，其中参数集合θ包括正态分布参数μ Z和σ Z以及正态变换参数；
    Figure PCTCN2022113078-appb-100007
    表示第k次迭代中海森矩阵的逆矩阵。
  7. 根据权利要求6所述的降水正态化分析方法，其特征在于，所述终止条件包括以下至少一种条件：
    (1)当前迭代中梯度向量的取值g k小于预设阈值ε g；
    (2)在两次迭代过程中似然函数取值变化小于预设阈值ε g。
  8. 根据权利要求6所述的降水正态化分析方法，其特征在于，设置待寻优的参数的起始点θ 0的步骤包括：
    设置参数θ的初始估计值θ 0，并假设参数θ 0在其范围内服从均匀分布：
    θ 0～U(B l,B u)
    其中B l与B u分别表示参数θ的下边界与上边界；
    从参数θ 0的均匀分布中随机抽取若干随机点作为拟牛顿法的初始点进行求解。
  9. 一种基于梯度参数寻优的降水正态化分析系统，应用于权利要求1～8任一项所述的降水正态化分析方法，其特征在于，包括：
    数据采集模块，用于获取待分析的降水数据；
    正态变换模块，用于根据预设的正态变换模型，对所述降水数据进行正态变换，得到正态变量Z；
    正态分布模块，用于使正态变量Z服从正态分布，构建所述正态变量Z的联合概率密度函数；
    寻优模块，用于基于所述正态变换模型和所述联合概率密度函数，构建用于参数寻优的似然函数，通过推导似然函数的梯度向量解析表达式对所述似然函数进行寻优，至满足预设的终止条件，得到满足使所述似然函数取最大值的最优参 数后，对所述正态变换模块中的正态变换模型进行更新；
    分析模块，用于根据经过寻优更新后的正态变换模块输出的正态变量Z进行建模分析，输出降水正态化分析结果。
  10. 根据权利要求9所述的降水正态化分析系统，其特征在于，所述正态变换模块包括Log变换单元、Box-Cox变换单元和Log-sinh变换单元中的至少一个。
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