WO2022034656A1 - 解析装置、解析方法及びプログラム - Google Patents

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    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/18—Complex mathematical operations for evaluating statistical data, e.g. average values, frequency distributions, probability functions, regression analysis

Definitions

  • the present invention relates to an analysis device, an analysis method and a program.
  • Time-series data including random noise
  • various analyzes for example, feature understanding, prediction, abnormality detection, etc.
  • the technology to do is being researched.
  • a technique for analyzing time-series data having non-linear behavior has been proposed by using a mathematical object called a Transfer operator. At this time, the Transfer operator is estimated from a finite number of samples (that is, a finite number of data constituting the time series data).
  • the Transfer operator has a high expressive power that can express an arbitrary relationship, and even if the original relationship is non-linear, the Transfer operator itself has a simple structure of linearity, so it does not become a blackbox. It is known that time series data can be analyzed (see, for example, Non-Patent Document 1).
  • One embodiment of the present invention has been made in view of the above points, and an object thereof is to realize high-speed time-series data analysis using a Transfer operator.
  • the analyzer includes an acquisition unit that acquires time-series data including random noise, a function g that satisfies a predetermined first condition, and a predetermined second condition.
  • the kernel function k the kernel component that constitutes the new kernel function l
  • the feature map of the kernel function l is ⁇
  • the analysis target data included in the time series data is z
  • the feature map ⁇ Using the kernel average embedding ⁇ of the kernel function l, it is characterized by having an action element approximation part that approximates K ⁇ (z) in which the Transfer action element K is applied to ⁇ (z).
  • an analysis device 10 capable of performing analysis of time-series data having randomness at high speed by using a Transfer operator will be described.
  • the analysis device 10 it is possible to perform various analyzes such as feature understanding, prediction, and abnormality detection.
  • ⁇ Preparation ⁇ Time series data shall be generated from the following mathematical model.
  • X t + 1 h (X t ) + ⁇ t
  • X t and ⁇ t are random variables from the state space X to the probability space ( ⁇ , F, P)
  • ⁇ is a set that is a sample space
  • F is a ⁇ -algebra on ⁇
  • P is a probability measure on ⁇ .
  • k be a two-variable function related to X, a measurable and bounded continuous function, and a function that satisfies the following two conditions.
  • Condition 2 For any x 1 , ..., x n ⁇ X and c 1 , ..., c n ⁇ C,
  • C represents a set of all complex numbers.
  • k is called the kernel.
  • the RKHS (Reproducing kernel Hilbert space) for k is an infinite dimensional function space consisting of all linear combinations of ⁇ (x) and their limits.
  • the RKHS related to k is referred to as Hk.
  • H k the concept of inner product can be applied to the elements of H k by defining the inner product of ⁇ (x) and ⁇ (y) by k (x, y).
  • This concept of inner product makes it possible to use the theory of linear algebra in Hk .
  • kernel k include the following Gaussian kernel and Laplacian kernel.
  • c is a positive constant.
  • the Perron-Frobenius operator K on H k is an operator defined by:
  • the Perron-Frobenius operator is one of the Transfer operators.
  • ⁇ is called kernel mean embedding, and it is for the signed measure ⁇ .
  • K does not depend on t and that K is linear.
  • the above definition of the Perron-Frobenius operator K represents information on time evolution by the function Ft .
  • ⁇ x 0 , x 1 , ..., X T-1 ⁇ be the observed data (that is, the observed time series data).
  • Kernel k can be freely selected, and ⁇ and ⁇ are composed of k, so if k is changed, ⁇ and ⁇ will change accordingly. Therefore, the approximation error is reduced by replacing the kernel k.
  • the approximation error can be evaluated by the following equation (2).
  • FIG. 1 is a diagram showing an example of a hardware configuration of the analysis device 10 according to the present embodiment.
  • the analysis device 10 is realized by a general computer or a computer system, and as hardware, an input device 11, a display device 12, an external I / F 13, and a communication I / It has an F14, a processor 15, and a memory device 16. Each of these hardware is connected so as to be communicable via the bus 17.
  • the input device 11 is, for example, a keyboard, a mouse, a touch panel, or the like.
  • the display device 12 is, for example, a display or the like.
  • the analysis device 10 does not have to have at least one of the input device 11 and the display device 12.
  • the external I / F13 is an interface with an external device.
  • the external device includes a recording medium 13a and the like.
  • the analysis device 10 can read or write the recording medium 13a via the external I / F 13.
  • the recording medium 13a includes, for example, a CD (Compact Disc), a DVD (Digital Versatile Disk), an SD memory card (Secure Digital memory card), a USB (Universal Serial Bus) memory card, and the like.
  • the communication I / F 14 is an interface for connecting the analysis device 10 to the communication network.
  • the processor 15 is, for example, various arithmetic units such as a CPU (Central Processing Unit) and a GPU (Graphics Processing Unit).
  • the memory device 16 is, for example, various storage devices such as an HDD (Hard Disk Drive), an SSD (Solid State Drive), a RAM (RandomAccessMemory), a ROM (ReadOnlyMemory), and a flash memory.
  • the analysis device 10 can realize the time-series data analysis process described later.
  • the hardware configuration shown in FIG. 1 is an example, and the analysis device 10 may have another hardware configuration.
  • the analysis device 10 may have a plurality of processors 15 or a plurality of memory devices 16.
  • FIG. 2 is a diagram showing an example of the functional configuration of the analysis device 10 according to the present embodiment.
  • the analysis device 10 has an acquisition unit 101, a kernel configuration unit 102, and an operator approximation unit 103 as functional units.
  • Each of these functional units is realized, for example, by a process in which one or more programs installed in the analysis device 10 are executed by the processor 15.
  • the acquisition unit 101 acquires time-series data to be analyzed.
  • the acquisition unit 101 may acquire, for example, time-series data stored in the memory device 16 or the like, or acquire time-series data stored in a database server or the like connected via a communication network. You may.
  • the kernel component 102 configures a new kernel l (x, y) using the function g from X to X.
  • the operator approximation unit 103 calculates the approximation QS to KS QS * ⁇ (z) of K ⁇ (z) using the kernel l (x, y) configured by the kernel configuration unit 102. This makes it possible to analyze the time-series data acquired by the acquisition unit 101 (for example, feature understanding, prediction, abnormality detection, etc.). Note that z is data (observation) at a certain time t in the time series data.
  • FIG. 3 is a flowchart showing an example of time-series data analysis processing according to the present embodiment.
  • the acquisition unit 101 acquires the time-series data to be analyzed (step S101).
  • the kernel component 102 configures a new kernel l (x, y) using the function g from X to X (step S102).
  • the operator approximation unit 103 uses the kernel l (x, y) configured in the above step S102 to K ⁇ (z) with respect to the data z at a certain time t in the time series data acquired in the above step S101.
  • Approximate QS to KS QS * ⁇ (z) is calculated (step S103). That is, the operator approximation unit 103 constructs ⁇ and ⁇ from the kernel l (x, y), and calculates the approximation QS to KS QS * ⁇ (z) of K ⁇ (z).
  • the analysis device 10 can accurately approximate the Perron-Frobenius operator with a relatively small number of samples (that is, a relatively small S), so that the analysis of time-series data having randomness can be performed at high speed. It can be carried out.
  • ⁇ t is a random variable that follows a normal distribution with a mean of 0 and a variance of 1.
  • the analyzer 10 can approximate the Perron-Frobenius operator more accurately with a smaller number of samples than the conventional method.

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Abstract

一実施形態に係る解析装置は、ランダムなノイズを含む時系列データを取得する取得部と、所定の第１の条件を満たす関数ｇと所定の第２の条件を満たすカーネル関数ｋとを用いて、新たなカーネル関数ｌを構成するカーネル構成部と、前記カーネル関数ｌの特徴写像をψ、前記時系列データに含まれる解析対象データをｚとして、前記特徴写像ψと前記カーネル関数ｌのカーネル平均埋め込みΨとを用いて、Transfer作用素Ｋをψ（ｚ）に作用させたＫψ（ｚ）を近似する作用素近似部と、を有することを特徴とする。

Description

解析装置、解析方法及びプログラム
　本発明は、解析装置、解析方法及びプログラムに関する。
　ランダムなノイズを含む時系列データとして通信トラヒックデータや株価データ、気象データ等が知られており、これらのデータの振る舞いを近似することで各種解析（例えば、特徴理解や予測、異常検知等）を行う技術が研究されている。また、近年では、Transfer作用素と呼ばれる数学的対象を用いることで、非線形な振る舞いをする時系列データを解析する技術が提案されている。この際、Transfer作用素は有限個のサンプル（つまり、時系列データを構成する有限個のデータ）から推定される。
　Transfer作用素は任意の関係性を表現できるという高い表現力を持ち、更に、元の関係性が非線形であってもTransfer作用素自身は線形という単純な構造を持っているため、ブラックボックス化することなく時系列データを解析できることが知られている（例えば、非特許文献１参照）。
Y. Hashimoto, I. Ishikawa, M. Ikeda, Y. Matsuo, and Y. Kawahara. Krylov subspace method for nonlinear dynamical systems with random noise. arXiv:1909.03634v3, 2019.
　しかしながら、Transfer作用素を用いた時系列データの解析は計算コストが高いという課題が存在する。これは、ランダム性を表現するために全てのサンプルにわたって平均を取る操作が必要になることが主な要因である。したがって、できるだけ少ないサンプルでできるだけ精度の良い近似を得ることが必要となるが、Transfer作用素を用いた時系列データの解析手法は近年注目され始めた新しい手法であるため、その高速化手法は未だ知られていない。
　本発明の一実施形態は、上記の点に鑑みてなされたもので、Transfer作用素を用いた時系列データ解析の高速化を実現することを目的とする。
　上記目的を達成するため、一実施形態に係る解析装置は、ランダムなノイズを含む時系列データを取得する取得部と、所定の第１の条件を満たす関数ｇと所定の第２の条件を満たすカーネル関数ｋとを用いて、新たなカーネル関数ｌを構成するカーネル構成部と、前記カーネル関数ｌの特徴写像をψ、前記時系列データに含まれる解析対象データをｚとして、前記特徴写像ψと前記カーネル関数ｌのカーネル平均埋め込みΨとを用いて、Transfer作用素Ｋをψ（ｚ）に作用させたＫψ（ｚ）を近似する作用素近似部と、を有することを特徴とする。
　Transfer作用素を用いた時系列データ解析の高速化を実現することができる。
本実施形態に係る解析装置のハードウェア構成の一例を示す図である。 本実施形態に係る解析装置の機能構成の一例を示す図である。 本実施形態に係る時系列データ解析処理の一例を示すフローチャートである。 実験結果の一例を示す図である。
　以下、本発明の一実施形態について説明する。本実施形態では、Transfer作用素を用いて、ランダム性を持つ時系列データの解析を高速に行うことができる解析装置１０について説明する。本実施形態に係る解析装置１０を用いることで、例えば、特徴理解や予測、異常検知等の各種解析を行うことが可能となる。
　＜理論的構成＞
　まず、本実施形態の理論的構成について説明する。
　　≪準備≫
　時系列データは、以下のような数学モデルから生成されるものとする。
　Ｘｔ＋１＝ｈ（Ｘｔ）＋ξｔ
　ただし、Ｘｔ及びξｔは状態空間Ｘから確率空間（Ω，Ｆ，Ｐ）への確率変数とし、ｈはＸからＸへの非線形な写像とする。ξｔ（ｔ＝０，１，・・・）は時系列データのランダム性を表現するためのノイズを表す独立同分布な確率変数で、Ｘｔとξｔも独立であるとする。また、Ωは標本空間となる集合、ＦはΩ上のσ－加法族、ＰはΩ上の確率測度である。
　ｋを、Ｘに関する２変数関数かつ可測で有界連続な関数で以下の２つの条件を満たす関数であるものとする。
　条件１：任意のｘ，ｙ∈Ｘに対して、ｋ（ｘ，ｙ）＝ｋ（ｙ，ｘ）
　条件２：任意のｘ１，・・・，ｘｎ∈Ｘとｃ１，・・・，ｃｎ∈Ｃに対して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
 　ここで、Ｃは複素数全体の集合を表す。
　このとき、ｋはカーネルと呼ばれる。また、ｘ∈Ｘに対して、φ（ｘ）を、ｙに関する関数ｋ（ｙ，ｘ）、すなわちφ（ｘ）＝ｋ（・，ｘ）とする。このφは特徴写像（feature map）とも呼ばれる。
　ｋに関するRKHS（Reproducing kernel Hilbert space）とは、φ（ｘ）の全ての線形結合とその極限から成る、無限次元の関数空間である。以降、ｋに関するRKHSをＨｋと表す。
　Ｈｋにおいて、φ（ｘ）とφ（ｙ）の内積をｋ（ｘ，ｙ）で定めることで、Ｈｋの要素に内積という概念を適用することができる。この内積という概念により、Ｈｋにおいて線形代数の理論を用いることができるようになる。なお、カーネルｋの例としては以下のGaussian kernelやLaplacian kernel等がある。ただし、ｃは正の定数である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
 　これらのGaussian kernelやLaplacian kernelは多くの応用において用いられている。
　Ｈｋ上のPerron-Frobenius作用素Ｋとは、以下により定義される作用素である。なお、Perron-Frobenius作用素とはTransfer作用素のうちの１つである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
 　ただし、確率変数Ｘに対してＸ＊Ｐとは、集合Ａ∈Ｆに対して、Ｘ＊Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｘ－１（Ａ））により定まる確率測度であり、Ｆｔ（ｘ，ω）＝ｈ（ｘ）＋ξｔ（ω）である（なお、ω∈Ωである。）。つまり、明細書のテキスト中では直積を「（×）」と表記することにすれば、Ｆｔ＊（Ｘ＊Ｐ（×）Ｐ）は関数Ｆｔと確率測度Ｘ＊Ｐ（×）Ｐに対する押し出し測度（Pushforward measure）を表している。
　また、Φはカーネル平均埋め込み（kernel mean embedding）と呼ばれ、符号付測度μに対して
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
 で定義される。Ｋはｔに依存しないこと、及びＫは線形であることが示せる。なお、上記のPerron-Frobenius作用素Ｋの定義は関数Ｆｔによる時間発展の情報を表している。
　　≪RKHS上のPerron-Frobenius作用素の推定≫
　｛ｘ０，ｘ１，・・・，ｘＴ－１｝を観測データ（つまり、観測された時系列データ）とする。この観測データを｛ｘ０，ｘＳ'，・・・，ｘ（Ｎ－１）Ｓ'｝，｛ｘ１，ｘ１＋Ｓ'，・・・，ｘ１＋（Ｎ－１）Ｓ'｝，・・・，｛ｘＳ－１，ｘＳ－１＋Ｓ'，・・・，ｘＳ－１＋（Ｎ－１）Ｓ'｝というＳ組のデータセットに分ける。ただし、Ｓ'≧Ｓである。また、Ｎは各データセットに含まれる観測数（データ数）である。
　このとき、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
 とする。ただし、Ｘの要素ｘに対してδｘとは、集合Ａ∈Ｆに対してｘ∈Ａである場合はδｘ（Ａ）＝１、そうでない場合（ｘがＡに含まれない場合）はδｘ（Ａ）＝０を返す確率測度である。なお、μｔ，Ｎは、観測データのみから計算することができる。
　ここで、以下のような、空間平均と時間平均が一致するという条件を仮定する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
 　ただし、ω０∈Ωは、観測データにおける潜在状態である。Ｋが有界という良い性質を持つ場合、以下が成立する。
　［Φ（μ１），・・・，Φ（μＳ）］＝Ｋ［Φ（μ０），・・・，Φ（μＳ－１）］
　ただし、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
 である。
　このとき、［Φ（μ０），・・・，Φ（μＳ－１）］＝ＱＳＲＳとＱＲ分解する。そして、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
 とおき（以降、明細書のテキスト中では、これを「～ＫＳ」と表記する。）、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
 によりＫを近似する。ここで、～ＫＳは以下の式（１）により計算できることが示せる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
 　また、実際には、十分に大きなＮを取り、Φ（μｔ）をΦ（μｔ，Ｎ）で近似して計算する。
　　≪カーネルｋの置き換えによる近似の高速化≫
　実際には、Ｋそのものの近似ではなく、或る時刻ｔにおける観測ｚに対してＫφ（ｚ）を近似することで、時刻ｔ＋１における観測を予測することができるようになる。そこで、Ｋφ（ｚ）とＱＳ ～ＫＳＱＳ ＊φ（ｚ）の誤差（近似誤差）を小さくすることを考える。
　カーネルｋは自由に選ぶことができ、φやΦはｋから構成されるため、ｋを変化させれば、それに応じてφやΦも変化する。そこで、カーネルｋを置き換えることにより近似誤差を小さくする。近似誤差は以下の式（２）のように評価できる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
 　このとき、上記の式（２）の右辺の第１項を小さくすることを考える。||φ（ｚ）－ＱＳＱＳ ＊φ（ｚ）||はＳが大きいほど小さくなるが、Ｓが大きいほど計算量は大きくなる。一方で、||φ（ｚ）－ＱＳＱＳ ＊φ（ｚ）||≦||Φ（μｔ）－φ（ｚ）||が成立するため、||Φ（μｔ）－φ（ｚ）||が小さくなるように新たなカーネルを作成することで、小さなＳに対しても||φ（ｚ）－ＱＳＱＳ ＊φ（ｚ）||が小さくなることが期待される。
　そこで、ＸからＸへの関数ｇを導入し、新たなカーネルｌ（ｘ，ｙ）＝ｋ（ｇ（ｘ），ｇ（ｙ））を作成する。ψ（ｘ）を、ｙに関するｌ（ｙ，ｘ）、すなわちfeature map ψ（ｘ）＝ｌ（・，ｘ）とし、ｌに対するkernel mean embeddingをΨとする。
　カーネルｋが、単調増加な関数ｆと距離を表す関数ｄとを用いてｋ（ｘ，ｙ）＝ｆ（－ｄ（ｘ，ｙ））と表され、任意のｘ∈Ｘに対してｋ（ｘ，ｘ）＝１を満たすとする。この条件はGaussian kernelやLaplacian kernel等のよく利用されるカーネルでは満たされる条件である。また、関数ｇが
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
 を満たすとする。このとき、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
 が成立することが示せる。これは、カーネルｋを用いてＫφ（ｚ）の近似ＱＳ ～ＫＳＱＳ ＊φ（ｚ）を作成する代わりに、新たなカーネルｌを用いてＫψ（ｚ）の近似ＱＳ ～ＫＳＱＳ ＊ψ（ｚ）を作成すれば、近似誤差が小さくなることを示している。なお、関数ｇの具体的な構成例としては、後述する実験にて述べる関数ｇ０等がある。
　＜解析装置１０のハードウェア構成＞
　次に、本実施形態に係る解析装置１０のハードウェア構成について、図１を参照しながら説明する。図１は、本実施形態に係る解析装置１０のハードウェア構成の一例を示す図である。
　図１に示すように、本実施形態に係る解析装置１０は一般的なコンピュータ又はコンピュータシステムで実現され、ハードウェアとして、入力装置１１と、表示装置１２と、外部Ｉ／Ｆ１３と、通信Ｉ／Ｆ１４と、プロセッサ１５と、メモリ装置１６とを有する。これらの各ハードウェアは、それぞれがバス１７を介して通信可能に接続されている。
　入力装置１１は、例えば、キーボードやマウス、タッチパネル等である。表示装置１２は、例えば、ディスプレイ等である。なお、解析装置１０は、入力装置１１及び表示装置１２のうちの少なくとも一方を有していなくてもよい。
　外部Ｉ／Ｆ１３は、外部装置とのインタフェースである。外部装置には、記録媒体１３ａ等がある。解析装置１０は、外部Ｉ／Ｆ１３を介して、記録媒体１３ａの読み取りや書き込み等を行うことができる。なお、記録媒体１３ａには、例えば、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等がある。
　通信Ｉ／Ｆ１４は、解析装置１０を通信ネットワークに接続するためのインタフェースである。プロセッサ１５は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）やＧＰＵ（Graphics Processing Unit）等の各種演算装置である。メモリ装置１６は、例えば、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）やＳＳＤ（Solid State Drive）、ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＲＯＭ（Read Only Memory）、フラッシュメモリ等の各種記憶装置である。
　本実施形態に係る解析装置１０は、図１に示すハードウェア構成を有することにより、後述する時系列データ解析処理を実現することができる。なお、図１に示すハードウェア構成は一例であって、解析装置１０は、他のハードウェア構成を有していてもよい。例えば、解析装置１０は、複数のプロセッサ１５を有していてもよいし、複数のメモリ装置１６を有していてもよい。
　＜解析装置１０の機能構成＞
　次に、本実施形態に係る解析装置１０の機能構成について、図２を参照しながら説明する。図２は、本実施形態に係る解析装置１０の機能構成の一例を示す図である。
　図２に示すように、本実施形態に係る解析装置１０は、機能部として、取得部１０１と、カーネル構成部１０２と、作用素近似部１０３とを有する。これらの各機能部は、例えば、解析装置１０にインストールされた１以上のプログラムがプロセッサ１５に実行させる処理により実現される。
　取得部１０１は、解析対象の時系列データを取得する。なお、取得部１０１は、例えば、メモリ装置１６等に格納されている時系列データを取得してもよいし、通信ネットワークを介して接続されるデータベースサーバ等に格納されている時系列データを取得してもよい。
　カーネル構成部１０２は、ＸからＸへの関数ｇを用いて新たなカーネルｌ（ｘ，ｙ）を構成する。
　作用素近似部１０３は、カーネル構成部１０２によって構成されたカーネルｌ（ｘ，ｙ）を用いてＫψ（ｚ）の近似ＱＳ ～ＫＳＱＳ ＊ψ（ｚ）を計算する。これにより、取得部１０１によって取得された時系列データの解析（例えば、特徴理解や予測、異常検知等）を行うことができる。なお、ｚは、当該時系列データ中の或る時刻ｔにおけるデータ（観測）である。
　＜時系列データ解析処理＞
　次に、本実施形態に係る解析装置１０が実行する時系列データ解析処理の流れについて、図３を参照しながら説明する。図３は、本実施形態に係る時系列データ解析処理の一例を示すフローチャートである。
　まず、取得部１０１は、解析対象の時系列データを取得する（ステップＳ１０１）。次に、カーネル構成部１０２は、ＸからＸへの関数ｇを用いて新たなカーネルｌ（ｘ，ｙ）を構成する（ステップＳ１０２）。そして、作用素近似部１０３は、上記のステップＳ１０２で構成したカーネルｌ（ｘ，ｙ）を用いて、上記のステップＳ１０１で取得した時系列データ中の或る時刻ｔにおけるデータｚに関してＫψ（ｚ）の近似ＱＳ ～ＫＳＱＳ ＊ψ（ｚ）を計算する（ステップＳ１０３）。すなわち、作用素近似部１０３は、カーネルｌ（ｘ，ｙ）からψ及びΨを構成し、Ｋψ（ｚ）の近似ＱＳ ～ＫＳＱＳ ＊ψ（ｚ）を計算する。
　以上により、本実施形態に係る解析装置１０は、比較的少ないサンプル数（つまり、比較的小さいＳ）でPerron-Frobenius作用素を精度良く近似できるため、ランダム性を持つ時系列データの解析を高速に行うことができる。
　＜実験＞
　本実施形態に係る解析装置１０と従来手法とでPerron-Frobenius作用素の近似精度及びその計算コストを比較するために実験を行った。本実験では、以下のような力学系から、人工的に時系列データ｛ｘ０，ｘ１．・・・｝を作成した。
　Ｘ０＝１，Ｘｔ＋１＝０．９９Ｘｔｃｏｓ（０．１Ｘｔ）＋０．０１ξｔ
　ただし、ξｔは平均０、分散１の正規分布に従う独立が確率変数である。
　このとき、ｚ＝ｘ２２０とし、Ｋψ（ｚ）を近似した。ｋをLaplacian kernel ｋ（ｘ，ｙ）＝ｅ－｜ｘ－ｙ｜とし、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
 とおいた。ただし、Ｙは観測データの一部又は全部からなる集合で、本実験ではＹ＝｛ｘ０，・・・，ｘ１９９｝とした。
　そして、ｇ（ｘ）＝ｘとした場合（これは従来手法に相当する。）と、本実施形態に係る解析装置１０でｇ（ｘ）＝ｇ０（ｘ）とした場合とでPerron-Frobenius作用素の近似誤差を比較した。１００回計算した平均の結果を図４に示す。図４では、横軸が近似空間の次元（つまり、観測データを複数のデータセットに分けた際のデータセット数Ｓ）を表し、縦軸が近似誤差を表す。一般に、近似空間の次元が大きくなるほど近似誤差は小さくなる。図４に示されるように、ｇ（ｘ）＝ｇ０（ｘ）とした場合の方が、小さい近似空間の次元でも近似誤差が小さくなっていることがわかる。
　したがって、本実施形態に係る解析装置１０では、従来手法よりも、より少ないサンプル数でより精度良くPerron-Frobenius作用素が近似できていることがわかる。
　本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、特許請求の範囲の記載から逸脱することなく、種々の変形や変更、既知の技術等との組み合わせが可能である。
　１０　　　　解析装置
　１１　　　　入力装置
　１２　　　　表示装置
　１３　　　　外部Ｉ／Ｆ
　１３ａ　　　記録媒体
　１４　　　　通信Ｉ／Ｆ
　１５　　　　プロセッサ
　１６　　　　メモリ装置
　１７　　　　バス
　１０１　　　取得部
　１０２　　　カーネル構成部
　１０３　　　作用素近似部

Claims (7)

  1. 　ランダムなノイズを含む時系列データを取得する取得部と、
    　所定の第１の条件を満たす関数ｇと所定の第２の条件を満たすカーネル関数ｋとを用いて、新たなカーネル関数ｌを構成するカーネル構成部と、
    　前記カーネル関数ｌの特徴写像をψ、前記時系列データに含まれる解析対象データをｚとして、前記特徴写像ψと前記カーネル関数ｌのカーネル平均埋め込みΨとを用いて、Transfer作用素Ｋをψ（ｚ）に作用させたＫψ（ｚ）を近似する作用素近似部と、
    　を有することを特徴とする解析装置。
  2. 　前記時系列データに含まれる各データは、前記ノイズを表す確率変数を含む数学モデルから生成されたものとみなすことができるデータであり、
    　前記カーネル構成部は、
    　前記カーネル関数ｋの特徴写像をφ、カーネル平均埋め込みをΦ、前記時系列データから計算される確率測度をμｔ（ただし、ｔは前記時系列データの時刻を表す）として、Φ（μｔ）とφ（ｚ）の差が小さくなるように前記カーネル関数ｌを構成する、ことを特徴とする請求項１に記載の解析装置。
  3. 　前記第２の条件は、前記カーネル関数ｋの定義域に含まれる元をｘ，ｙとして、単調増加な関数ｆと距離関数ｄとを用いてｋ（ｘ，ｙ）＝ｆ（－ｄ（ｘ，ｙ））と表され、かつ、ｋ（ｘ，ｘ）＝１を満たすという条件であり、
    　前記第１の条件は、前記時系列データに含まれる時刻ｔのデータをｘｔとして、ｄ（ｘｔ，ｚ）≧ｄ（ｇ（ｘｔ），ｇ（ｚ））、かつ、Ψ（μｔ）はΦ（μｔ）で近似されるという条件である、ことを特徴とする請求項２に記載の解析装置。
  4. 　前記カーネル構成部は、
    　ｌ（ｘ，ｙ）＝ｋ（ｇ（ｘ），ｇ（ｙ））により前記カーネル関数ｌを構成する、ことを特徴とする請求項１乃至３の何れか一項に記載の解析装置。
  5. 　前記カーネル構成部は、
    　前記時系列データの全部又は一部のデータで構成される集合Ｙ、前記カーネル関数ｋをラプラスカーネル、前記関数ｇをｇ（ｘ）＝｜ｘ－１／２（１／｜Ｙ｜Σｙ∈Ｙｙ＋ｚ）｜として、前記カーネル関数ｌを構成する、ことを特徴とする請求項４に記載の解析装置。
  6. 　ランダムなノイズを含む時系列データを取得する取得手順と、
    　所定の第１の条件を満たす関数ｇと所定の第２の条件を満たすカーネル関数ｋとを用いて、新たなカーネル関数ｌを構成するカーネル構成手順と、
    　前記カーネル関数ｌの特徴写像をψ、前記時系列データに含まれる解析対象データをｚとして、前記特徴写像ψと前記カーネル関数ｌのカーネル平均埋め込みΨとを用いて、Transfer作用素Ｋをψ（ｚ）に作用させたＫψ（ｚ）を近似する作用素近似手順と、
    　をコンピュータが実行することを特徴とする解析方法。
  7. 　コンピュータを、請求項１乃至５の何れか一項に記載の解析装置として機能させるプログラム。
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HASHIMOTO YUKA, ISHIKAWA ISAO, IKEDA MASAHIRO, MATSUO YOICHI, KAWAHARA YOSHINOBU: "Krylov Subspace Method for Nonlinear Dynamical Systems with Random Noise, arXiv:1909.03634v3", ARXIV, 2 December 2019 (2019-12-02), Cornell University, pages 1 - 27, XP055908995, Retrieved from the Internet <URL:https://arxiv.org/pdf/1909.03634v3.pdf> *

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