WO2020179624A1 - 問題求解装置、方法、及びプログラム - Google Patents

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友也 引間
浩之 戸田
倉島　健
康紀 赤木
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    • G06F2111/10—Numerical modelling

Definitions

  • the present invention relates to a problem-solving device, a method, and a program, and more particularly to a problem-solving device, a method, and a program for finding a solution to an optimization problem.
  • Non-Patent Document 1 As existing solutions to the 0-1 mixed integer quadratic programming problem with applications such as control optimization and scheduling optimization, there is a branch and bound method (Non-Patent Document 1) that is an exact solution, and an alternative method that is a heuristic solution.
  • Direction Method of Multipliers (ADMM) can be mentioned (Non-Patent Document 2).
  • the branch-and-bound method is a method for finding a global optimum solution for each discrete variable while classifying cases. ADMM transforms the problem and alternately optimizes each variable for its extended Lagrange function.
  • the branch-and-bound method which is an exact solution method, is a method that classifies each discrete variable into cases, so the amount of calculation increases exponentially.
  • ADMM which is a heuristic solution, may reach a solution with a bad objective function value or the final solution may not meet the constraints.
  • the present invention has been made in view of the above circumstances, and an object of the present invention is to provide a problem-solving device, a method, and a program capable of finding a solution of an optimization problem while suppressing the amount of calculation.
  • a problem solving device is a quadratic programming problem including discrete variables and continuous variables, and a constraint on the discrete variables and a constraint on the continuous variables.
  • a problem solving device that outputs a solution to an optimization problem that can be formulated into a quadratic programming problem, in which the optimization problem to be processed is a constraint for the discrete variable and the continuous variable.
  • the discrete variables in the reformulated optimization problem fixing the continuous variable to a certain point, and reformulating the optimization problem into a optimization problem that is separated from the constraint
  • the entanglement changing unit that changes the entanglement coefficient that represents the influence of the term in which the discrete variable and the continuous variable are multiplied, and the discrete variable optimizing unit until a predetermined stop condition is satisfied.
  • the problem solving method is a quadratic design problem including discrete variables and continuous variables, and the constraints on the discrete variables and the constraints on the continuous variables are separated. It is a problem solving method in a problem solving device that outputs a solution to an optimization problem that can be formulated into a problem, and the optimization problem reformulation unit sets the optimization problem to be processed for the discrete variable. It is reformulated into an optimization problem in which the constraint and the constraint on the continuous variable are separated, and the discrete variable optimization unit fixes the continuous variable at a certain point, and the above-mentioned in the reformulated optimization problem. The discrete variable is optimized, the continuous variable optimizer fixes the discrete variable at a certain point, and optimizes the continuous variable in the reformulated optimization problem.
  • the entanglement coefficient representing the influence of the term obtained by multiplying the discrete variable and the continuous variable is changed, and the discrete variable is changed until the management unit satisfies a predetermined stop condition.
  • the optimization by the optimization unit, the optimization by the continuous variable optimization unit, and the change by the entanglement change unit are repeated.
  • a program according to a third invention is a quadratic programming problem including a discrete variable and a continuous variable, wherein the constraint on the discrete variable and the constraint on the continuous variable are separated.
  • a program for performing a problem solving process for outputting a solution to an optimization problem that can be formulated wherein the optimization problem to be processed is processed by a computer, with respect to the constraints on the discrete variables and the continuous variables. Re-formulation is made into an optimization problem in which constraints are separated, the continuous variable is fixed to a certain point, the discrete variable in the reformulated optimization problem is optimized, and the discrete variable is set to a certain point.
  • the final problem is obtained by dividing the optimization problem into a part relating to continuous variables and a part relating to discrete variables, and solving them iteratively.
  • the problem is transformed appropriately by estimating the effective constraint.
  • the problem format can be used by the Ising machine, so that the problem can be solved at high speed.
  • the barrier function appropriately for the objective function, it is possible to work to satisfy the constraint on the solution.
  • the influence of that part is changed for each iteration. As a result, a final solution having a relatively good objective function value can be obtained.
  • the Ising machine is a general term for machines that express combinatorial optimization problems with an Ising model and solve combinatorial optimization problems (Reference 1).
  • Specific Ising machines include D-wave (reference document 2), Fujitsu Digital Annealer (reference document 2), CMOS annealing machine (reference document 4), LASOLV (reference document 5), and the like.
  • the problem that can be solved by the Ising machine is the unconstrained 0-1 integer quadratic programming problem as follows.
  • a problem solving apparatus 10 includes a CPU, a RAM, and a ROM that stores a program and various data for executing a problem solving processing routine described later. It can be configured with a computer.
  • the problem-solving device 10 functionally includes an operation unit 110, a calculation unit 20, and an output unit 250 as shown in FIG.
  • the operation unit 110 accepts, as a processing target, an optimization problem that can be formulated into a 0-1 mixed integer quadratic programming problem in which constraints for discrete variables and constraints for continuous variables are separated.
  • the 0-1 mixed integer quadratic programming problem is a quadratic programming problem that has both a discrete variable and a continuous variable as variables, and the discrete variable is 0 or 1.
  • the calculation unit 20 includes a problem parameter storage unit 120, an optimization problem reformulation unit 130, an optimization problem parameter storage unit 140, an optimization unit 100, and a coefficient of determination variable value storage unit 240.
  • the optimization unit 100 includes a management unit 150, a discrete variable optimization unit 160, a discrete variable value storage unit 170, a continuous variable optimization unit 180, a continuous variable value storage unit 190, a entanglement change unit 200, a parameter storage unit 210, an effective constraint. It includes an estimation unit 220 and a stop condition determination unit 230.
  • the optimization problem reformulation unit 130 reformulates the received optimization problem so as to transform it into another problem format.
  • the discrete variable optimization unit 160 transforms a problem obtained by cutting out only the discrete variable portion from the reformulated problem and solves it with an Ising machine.
  • the continuous variable optimization unit 180 solves a problem obtained by cutting out only the continuous variable portion from the reformulated problem with a classical computer.
  • the entanglement changing unit 200 prevents the final solution from becoming an extremely bad solution by changing the influence of the term in which the discrete variable and the continuous variable are multiplied.
  • the effective constraint estimation unit 220 can transform the original problem in the discrete variable optimization unit 160 into a problem that can be solved by an Ising machine by estimating inequalities in the solution for the discrete variables. It becomes.
  • the stop condition determination unit 230 determines whether or not the stop condition is satisfied, and if the stop condition is satisfied, ends the iteration.
  • the management unit 150 repeatedly calls and executes the discrete variable optimization unit 160, the continuous variable optimization unit 180, the entanglement change unit 200, the effective constraint estimation unit 220, and the stop condition determination unit 230.
  • the problem parameter storage unit 120 stores constant parameters in the optimization problem, reads the constant parameters according to a request from the problem solving apparatus 10, and sends the constant parameters to the optimization problem reformulation unit 130. Specifically, it is a constant parameter of the optimization problem (1). It is the information of. FIG. 2 shows an example of what is stored in the problem parameter storage unit 120.
  • the optimization problem reformulation unit 130 uses the problem parameters transmitted from the problem parameter storage unit 120 to separate the constraints for discrete variables and the constraints for continuous variables from 0 to 1 mixed integer quadratic programming. Formulate the problem. Hereinafter, an example of the formulation method will be described.
  • the optimization problem (1) can be formulated as follows so that the constraint on discrete variables and the constraint on continuous variables are separated.
  • This problem is a 0-1 mixed integer quadratic programming problem in which the constraints for discrete variables and the constraints for continuous variables are separated, and the decision variables x and s are redefined as decision variables x, and By making changes, you can convert to the following problem types.
  • the optimization problem (2) reformulated by the optimization problem reformulation unit 130 in this way is stored in the optimization problem parameter storage unit 140.
  • An example of what is stored in the optimization problem parameter storage unit 140 is shown in FIG.
  • the optimization problem parameter storage unit 140 reads the optimization problem parameter according to the request from the problem solving apparatus 10 and sends it to the management unit 150.
  • the discrete variable optimizing unit 160 In the management unit 150, the discrete variable optimizing unit 160, the continuous variable optimizing unit 180, the entanglement changing unit 200, the effective constraint estimating unit 220, in accordance with the procedure of the algorithm for alternately optimizing the discrete variable and the continuous variable described later,
  • the stop condition determination unit 230 is called, and when the stop condition determination unit 230 determines that the stop condition is satisfied, the determined variable value storage unit 240 stores the obtained solution.
  • the specific algorithm is given below.
  • the discrete variable optimization unit 160 optimizes the discrete variable in the optimization problem (2) when the continuous variable is fixed at a certain point. Continuous variables of optimization problem (2) And remove the constant term, When the coefficient ⁇ is added to, the following optimization problem occurs.
  • ⁇ changes the degree of influence of the term in which the continuous variable and the discrete variable are multiplied, and the larger the ⁇ , the more the continuous variable. It becomes a problem considering.
  • This coefficient ⁇ refers to what is stored in the parameter storage unit 210 by the entanglement change unit 200.
  • the discrete variable optimizing unit 160 changes the following optimization problem (2) in order to solve it with the Ising machine at each iteration.
  • the term is a barrier function for equality constraints, and the solution satisfies the equality constraint when the penalty parameter ⁇ 1 is large enough.
  • the term is a barrier function for inequality constraints, and the solution is when the penalty parameter ⁇ 2 is large enough.
  • Is a subscript set of constraints that are presumed to be valid among the inequality constraints, and refers to those stored in the parameter storage section 210 by the valid constraint estimation section 220. Since this problem is an unconstrained quadratic programming problem with only 0-1 variables, it can be solved using each Ising machine.
  • the continuous variable optimization unit 180 optimizes the continuous variable in the optimization problem when the discrete variable is fixed. Discrete variables of the original optimization problem (2) And remove the constant term, When the coefficient ⁇ is added to, the following optimization problem occurs.
  • This coefficient ⁇ refers to what is stored in the parameter storage unit 210 by the entanglement change unit 200.
  • the above optimization problem Is a semi-regular definite matrix, it is a convex quadratic programming problem and can be solved by using various interior point methods such as the main dual interior point method.
  • the entanglement changing unit 200 sequentially updates the entanglement coefficient ⁇ .
  • the effective constraint estimation unit 220 estimates, as effective constraints, a constraint that does not satisfy the current solution and a constraint that satisfies the equality, among the constraints including the inequality, which are constraints on the discrete variables. Specifically, the effective constraint estimation unit 220 sets a set of constraints estimated to be effective. Is a set consisting of constraints that are satisfied by the equation and constraints that are not satisfied at the current discrete variable value z k . When optimizing for discrete variables about Even when, the value of the barrier function corresponding to this constraint is 0. for that reason, about In some cases, unnecessary constraints will be excluded from the set of constraints that are presumed to be valid in the next iteration. By using this algorithm, the solution of the optimization problem (2), that is, the optimization problem (1) can be obtained.
  • the discrete variable value storage unit 170 is a discrete variable calculated by the discrete variable optimization unit 160 at each iteration.
  • the continuous variable value storage unit 190 is a continuous variable calculated by the continuous variable optimization unit 180 at each iteration.
  • the parameter storage unit 210 has a parameter ⁇ k + 1 calculated by the entanglement change unit 200 and a parameter calculated by the effective constraint estimation unit 220 in each iteration.
  • An example of data stored in the discrete variable value storage unit 170 is shown in FIG.
  • FIG. 5 shows an example of data accumulated in the continuous variable value accumulating unit 190.
  • FIG. 6 shows an example of data stored in the parameter storage unit 210.
  • the output unit 250 reads the solution stored in the coefficient of determination value storage unit 240 and outputs it.
  • FIG. 7 shows an example of data stored in the coefficient-determined value storage unit 240.
  • the problem solving device 10 is realized by a computer 84 shown in FIG. 8 as an example.
  • the computer 84 includes a CPU 86, a memory 88, a storage unit 92 storing the program 82, a display unit 94 including a monitor, and an input unit 96 including a keyboard and a mouse.
  • the CPU 86, the memory 88, the storage unit 92, the display unit 94, and the input unit 96 are connected to each other via a bus 98.
  • the storage unit 92 is realized by an HDD, SSD, flash memory, or the like.
  • the storage unit 92 stores a program 82 for making the computer 84 function as the problem solving device 10.
  • the CPU 86 reads the program 82 from the storage unit 92, expands the program 82 into the memory 88, and executes the program 82.
  • the program 82 may be stored in a computer-readable medium and provided.
  • the operation unit 110 targets an optimization problem that can be formulated into a 0-1 mixed integer quadratic programming problem in which constraints for discrete variables and constraints for continuous variables are separated.
  • the constant parameters in the optimization problem of the processing target are stored in the problem parameter storage unit 120.
  • the problem-solving device 10 executes the problem-solving processing routine shown in FIG.
  • step S100 the optimization problem reformulation unit 130 acquires constant parameters in the optimization problem to be processed.
  • step S102 the optimization problem reformulation unit 130 uses the problem parameters transmitted from the problem parameter storage unit 120 to separate the constraints for discrete variables from the constraints for continuous variables. Formulate into a quadratic programming problem.
  • step S104 the management unit 150 initializes the discrete variable and the continuous variable, the coefficient of entanglement, and the effective constraint.
  • step S106 the discrete variable optimizing unit 160 optimizes the formalization in step S102 when the continuous variable is fixed to a certain point based on the discrete variable and the continuous variable, the entanglement coefficient, and the effective constraint. Optimize the discrete variables in the problem.
  • step S108 the continuous variable optimizing unit 180 determines the continuity in the optimization problem formulated in step S102 when the discrete variable is fixed based on the discrete variable and the continuous variable, the entanglement coefficient, and the effective constraint. Optimize variables.
  • step S110 the entanglement changing unit 200 updates the entanglement coefficient ⁇ so as to gradually increase the influence of the term in which the discrete variable and the continuous variable are multiplied.
  • the effective constraint estimation unit 220 regards, as effective constraints, constraints that are not related to discrete variables and that are not satisfied at the current values of the discrete variables and that are satisfied by the equalities, among the constraints including inequalities. presume.
  • step S114 the stop condition determination unit 230 determines whether the stop condition is satisfied, and if the stop condition is satisfied, the management unit 150 shifts to step S116, and if the condition is not satisfied, the management unit 150 moves. , Steps S106 to S114 are repeated.
  • step S116 the output unit 250 reads the solutions that are the continuous variables and discrete variables finally obtained in steps S106 and S108, outputs them, and ends the problem-solving processing routine.
  • the problem solving device is an optimization problem in which the optimization problem of the processing target is separated into a constraint on discrete variables and a constraint on continuous variables.
  • the continuous variable is fixed to a certain point by Ising machine, and the discrete variable is optimized in the reformulated optimization problem. Fixed to and repeat optimization for continuous variables in the reformulated optimization problem. As a result, the solution of the optimization problem can be obtained while suppressing the calculation amount.
  • the reformulation optimization problem by changing the entanglement coefficient representing the influence of the term in which the discrete variable and the continuous variable are multiplied, it is possible to prevent a bad local solution from falling.
  • the final objective function value is also a good value.
  • the coefficient of determination is for each t These are variables that represent the remaining battery level at time t, the amount of power generated by the engine, the amount of power generated by electric power, and the ON-OFF of the power supply of the engine.
  • the constant is And the quadratic of the cost coefficient for the remaining power, the maximum amount of power held, the end time, the cost coefficient for starting the engine, the power demand for each time, the maximum power of the engine, and the cost function for the power of the engine.
  • the first is the dynamic system of the remaining electric power
  • the second is the restriction for the total power amount to exceed the power demand
  • the third is the restriction on the power amount by the engine.
  • the optimization problem reformulation unit 130 uses the problem parameters transmitted from the problem parameter storage unit 120 to formulate a 0-1 mixed integer quadratic programming problem in which constraints are separated for discrete variables and continuous variables. Perform conversion.
  • a 0-1 mixed integer quadratic programming problem in which constraints are separated for discrete variables and continuous variables. Perform conversion.
  • an example of the formulation method will be described.
  • the optimization problem (3) can be formulated as follows.
  • This problem is a 0-1 mixed integer quadratic programming problem in which the constraints for discrete variables and continuous variables are separated, and can be converted into the following problem form by performing correct conversion.
  • the optimization problem (4) reformulated in this way by the optimization problem reformulation unit 130 is stored in the optimization problem parameter storage unit 140.
  • An example of what is accumulated is shown in FIG.
  • the optimization problem parameter storage unit 140 reads out the optimization problem parameters and sends them to the management unit 150 in accordance with the request of the problem solving device 10.
  • the management unit 150 follows a procedure of an algorithm for alternately optimizing a discrete variable and a continuous variable, which will be described later, and the discrete variable optimizing unit 160, the continuous variable optimizing unit 180, the entanglement changing unit 200, the effective constraint estimating unit 220, When the stop condition determination unit 230 is called and the stop condition determination unit 230 determines that the number of iterations has reached the maximum number of iterations, the determinant variable value storage unit 240 stores the obtained solution.
  • the specific algorithm is given below.
  • the discrete variable optimization unit 160 optimizes the discrete variable in the optimization problem (4) when the continuous variable is fixed at a certain point. Specifically, the continuous variables of the optimization problem (4) And remove the constant term, When the coefficient ⁇ is added to, the following optimization problem occurs.
  • ⁇ changes the degree of influence of the term in which the continuous variable and the discrete variable are multiplied, and the larger the ⁇ , the more the continuous variable. It becomes a problem considering.
  • the term is a barrier function for inequality constraints, and the solution is when the penalty parameter ⁇ 2 is large enough. about Is decided to meet as much as possible. Also, Is a subscript set of constraints that are presumed to be valid within the inequality constraint and is updated at each iteration in the algorithm.
  • the continuous variable optimization unit 180 optimizes the continuous variable in the optimization problem (4) when the discrete variable is fixed. Discrete variables in the original problem (4) And remove the constant term, When the coefficient ⁇ is added to, the following optimization problem occurs.
  • the above optimization problem is a convex quadratic programming problem because P 1 is a semi-normal definite matrix. Therefore, it can be solved by using various interior point methods such as the main dual interior point method.
  • the discrete variable value storage unit 170 is a discrete variable calculated by the discrete variable optimization unit 160 at each iteration.
  • the continuous variable value storage unit 190 is a continuous variable calculated by the continuous variable optimization unit 180 at each iteration.
  • the problem parameter storage unit 120 has a parameter ⁇ k + 1 calculated by the entanglement change unit 200 and a parameter calculated by the effective constraint estimation unit 220 in each iteration.
  • FIG. 11 shows an example of data stored in the optimization problem parameter storage unit 140.
  • FIG. 12 shows an example of data stored in the discrete variable value storage unit 170.
  • FIG. 13 shows an example of data stored in the continuous variable value storage unit 190.
  • FIG. 14 shows an example of the data stored in the parameter storage unit 210.
  • the output unit 250 reads the solution stored in the coefficient of determination value storage unit 240 and outputs it.
  • FIG. 15 shows an example of data stored in the coefficient-determined value storage unit 240.
  • the problem solving apparatus is an optimization problem in which the constraint for discrete variables and the constraint for continuous variables are separated from the optimization problem to be processed.
  • the continuous variable is fixed to a certain point by Ising machine, and the discrete variable is optimized in the reformulated optimization problem. It is fixed to and the optimization is repeated for the continuous variables in the reformulated optimization problem. By this, the solution of the optimization problem can be obtained while suppressing the calculation amount.

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Abstract

計算量を抑えながら、最適化問題の解を求めることができる。　最適化問題再定式化部１３０が、処理対象の最適化問題を、離散変数についての制約と連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化する。離散変数最適化部１６０が、連続変数をある点に固定して、再定式化した最適化問題における離散変数について最適化を行う。連続変数最適化部１８０が、離散変数をある点に固定して、再定式化した最適化問題における連続変数について最適化を行う。絡み変更部２００が、再定式化した最適化問題における、離散変数と連続変数が掛け合わされている項の影響力を表す絡み係数を変更する。管理部１５０が、予め定められた停止条件を満たすまで、離散変数最適化部１６０、連続変数最適化部１８０、及び絡み変更部２００の各処理を繰り返させる。

Description

問題求解装置、方法、及びプログラム
　本発明は、問題求解装置、方法、及びプログラムに係り、特に、最適化問題の解を求める問題求解装置、方法、及びプログラムに関する。
　制御最適化やスケジューリング最適化等の応用をもつ、0-1混合整数二次計画問題に対する既存の解法としては、厳密解法である分枝限定法（非特許文献１）やヒューリスティック解法であるAlternating Direction Method of Multipliers (ADMM)が挙げられる（非特許文献２）。分枝限定法は各離散変数に対して、場合分けを行いながら大域的最適解を求める手法である。ADMMは、問題を変形させ、その拡張ラグランジュ関数に対して各変数を交互に最適化するものである。
Lawler, E. L., Wood, D. E. (1966). Branch-and-bound methods: A survey. Operations research, 14(4), 699-719. Takapoui, R., Moehle, N., Boyd, S., Bemporad, A. (2017). A simple effective heuristic for embedded mixed-integer quadratic programming. International Journal of Control, 1-11.
　しかし、上記の従来技術には以下の未解決の点がある。
　厳密解法である分枝限定法は離散変数一つ一つに関して場合分けを行う手法であるため、計算量が指数関数的に増大してしまう。ヒューリスティック解法であるADMMは最終的な解が制約を満たさない場合や悪い目的関数値をもつ解に到達する場合がある。
　本発明は、上記事情を鑑みて成されたものであり、計算量を抑えながら、最適化問題の解を求めることができる問題求解装置、方法、及びプログラムを提供することを目的とする。
　上記目的を達成するために、第１の態様に係る問題求解装置は、離散変数と連続変数を含む二次計画問題であって、かつ、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している二次計画問題に定式化可能な最適化問題に対して、解を出力する問題求解装置であって、処理対象の最適化問題を、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化する最適化問題再定式化部と、前記連続変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記離散変数について最適化を行う離散変数最適化部と、前記離散変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記連続変数について最適化を行う連続変数最適化部と、前記再定式化した最適化問題における、前記離散変数と前記連続変数が掛け合わされている項の影響力を表す絡み係数を変更する絡み変更部と、予め定められた停止条件を満たすまで、前記離散変数最適化部による最適化、前記連続変数最適化部による最適化、前記絡み変更部による変更を繰り返させる管理部と、を含んで構成されている。
　第２の態様に係る問題求解方法は、離散変数と連続変数を含む二次計画問題であって、かつ、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している二次計画問題に定式化可能な最適化問題に対して、解を出力する問題求解装置における問題求解方法であって、最適化問題再定式化部が、処理対象の最適化問題を、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化し、離散変数最適化部が、前記連続変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記離散変数について最適化を行い、連続変数最適化部が、前記離散変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記連続変数について最適化を行い、絡み変更部が、前記再定式化した最適化問題における、前記離散変数と前記連続変数が掛け合わされている項の影響力を表す絡み係数を変更し、管理部が、予め定められた停止条件を満たすまで、前記離散変数最適化部による最適化、前記連続変数最適化部による最適化、前記絡み変更部による変更を繰り返させる。
　第３の発明に係るプログラムは、離散変数と連続変数を含む二次計画問題であって、かつ、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している二次計画問題に定式化可能な最適化問題に対して、解を出力する問題求解処理を行うためのプログラムであって、コンピュータに、処理対象の最適化問題を、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化し、前記連続変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記離散変数について最適化を行い、前記離散変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記連続変数について最適化を行い、前記再定式化した最適化問題における、前記離散変数と前記連続変数が掛け合わされている項の影響力を表す絡み係数を変更し、予め定められた停止条件を満たすまで、前記離散変数についての最適化、前記連続変数についての最適化、及び前記絡み係数の変更を繰り返させることを実行させるためのプログラムである。
　本発明の一態様に係る問題求解装置、方法、及びプログラムによれば、計算量を抑えながら、最適化問題の解を求めることができる、という効果が得られる。
本発明の第１の実施の形態に係る問題求解装置の構成を示すブロック図である。 問題パラメータ蓄積部の一例を示す図である。 最適化問題パラメータ蓄積部の一例を示す図である。 離散変数値蓄積部の一例を示す図である。 連続変数値蓄積部の一例を示す図である。 パラメータ蓄積部の一例を示す図である。 決定変数値蓄積部の一例を示す図である。 問題求解装置として機能するコンピュータの一例の概略ブロック図である。 本発明の第１の実施の形態に係る問題求解装置における問題求解処理ルーチンを示すフローチャートである。 問題パラメータ蓄積部の一例を示す図である。 最適化問題パラメータ蓄積部の一例を示す図である。 離散変数値蓄積部の一例を示す図である。 連続変数値蓄積部の一例を示す図である。 パラメータ蓄積部の一例を示す図である。 決定変数値蓄積部の一例を示す図である。
　以下、図面を参照して本発明の実施の形態を詳細に説明する。
＜本発明の実施の形態に係る概要＞
　まず、本発明の実施の形態における概要を説明する。
　本発明の実施の形態では、最適化問題を連続変数に関わる部分と離散変数に関わる部分に分割し、反復的にそれらを解いていくことによって最終的な解を求める。離散変数部分に関する最適化問題については、有効な制約を推定することで問題を適切に変形させる。これにより、イジングマシンが使用できる問題形式になるため、高速に問題を解くことが可能になる。また、目的関数に対して適切に障壁関数を設定することで、解に制約を満たすように働きかけることが可能となる。さらに、目的関数において連続変数と離散変数が掛け合わされている部分に、係数パラメータを導入することで、その部分の影響力を反復ごとに変化させる。その結果、比較的良い目的関数値をもつ最終的な解を得ることができる。
　ここで、イジングマシンとは、組合せ最適化問題をイジングモデルで表現し、組合せ最適化問題を解決するマシンの総称（参考文献１）である。具体的なイジングマシンとしては、D-wave （参考文献２）、富士通デジタルアニーラ（参考文献２）、CMOS アニーリングマシン（参考文献４）、LASOLV （参考文献５）などが挙げられる。
［参考文献１］ 産総研：量子アニーリングマシンを使いこなす共通ソフトウェア基盤の研究開発に採択（最終閲覧日：2018 年1 月25 日）https://www.aist.go.jp/aist j/press release/pr2018/pr20181009/pr20181009.html#b
［参考文献２］D-wave The quantum computing Company（ 最終閲覧日：2018 年1 月25 日）https://www.dwavesys.com/home
［参考文献３］デジタルアニーラ- 富士通の新アーキテクチャコンピュータ: Fujitsu Japan（最終閲覧日：2018 年1 月25 日）http://www.fujitsu.com/jp/digitalannealer/
［参考文献４］ニュースリリース：2018 年9 月19 日：日立- 日立製作所（ 最終閲覧日：2018 年1 月25 日）http://www.hitachi.co.jp/New/cnews/month/2018/09/0919.html
［参考文献５］ 光を使った新しいコンピュータ「LASOLV」（ 最終閲覧日：2018 年1 月25 日）http://www.ntt.co.jp/event/2018/pdf/ceatec18/10 future-tech ntt.pdf
　イジングマシンで解くことが可能な問題は以下のような無制約0-1 整数二次計画問題である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
 
ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000002

 
はn×nの定行列、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000003

 
はn次元の定ベクトルである。
［第１の実施の形態］
＜本発明の第１の実施の形態に係る問題求解装置の構成＞
　次に、本発明の実施の形態に係る問題求解装置の構成について説明する。図１に示すように、本発明の実施の形態に係る問題求解装置１０は、ＣＰＵと、ＲＡＭと、後述する問題求解処理ルーチンを実行するためのプログラムや各種データを記憶したＲＯＭと、を含むコンピュータで構成することが出来る。この問題求解装置１０は、機能的には図１に示すように操作部１１０と、演算部２０と、出力部２５０とを備えている。
　操作部１１０は、離散変数についての制約と連続変数についての制約が分離している0-1混合整数二次計画問題に定式化可能な最適化問題を、処理対象として受け付ける。ここで、0-1混合整数二次計画問題とは、離散変数と連続変数の双方を変数として持ち、離散変数が０又は１である二次計画問題である。
　具体的には、以下のような問題を受け付ける。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
                                                               (1)
　但し、決定変数は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000005

 
であり、定数は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000006

 
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000007

 
である。また、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000008

 
であり、全てのi、j について、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000009

 
である。ここで、新たな離散変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000010

 
と等式制約
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000011

 
を導入すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000012

 
は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000013

 
と変更することができるため、上記の問題において、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000014

 
とおいても一般性を失わない。
　上記の問題形式に変更できる応用には、異なる動力をもつ車両の動力配分決定問題（参考文献８）、経済給電のための最適化問題（参考文献９）、発電所のスケジューリング問題（参考文献１０）や車両の最適経路問題（参考文献１１）など、多くの問題が存在する。
［参考文献８］Boyd, S.,Vandenberghe, L. (2004). Convex optimization. Cambridge university press.
［参考文献９］Papageorgiou, L. G., Fraga, E. S. (2007). A mixed integer quadratic programming formulation for the economic dispatch of generators with prohibited operating zones. Electric power systems research, 77(10), 1292-1296.
［参考文献１０］Catalao, J. P. D. S., Pousinho, H. M. I., Mendes, V. M. F. (2010). Scheduling of head-dependent cascaded hydro systems: Mixed-integer quadratic programming approach. Energy Conversion and Management, 51(3), 524-530.
［参考文献１１］Schouwenaars, T., De Moor, B., Feron, E., How, J. (2001). Mixed integer programming for multi-vehicle path planning. In Control Conference (ECC), 2001 European (pp. 2603-2608). IEEE.
　演算部２０は、問題パラメータ蓄積部１２０、最適化問題再定式化部１３０、最適化問題パラメータ蓄積部１４０、最適化部１００、及び決定変数値蓄積部２４０を含んで構成されている。
　最適化部１００は、管理部１５０、離散変数最適化部１６０、離散変数値蓄積部１７０、連続変数最適化部１８０、連続変数値蓄積部１９０、絡み変更部２００、パラメータ蓄積部２１０、有効制約推定部２２０、及び停止条件判定部２３０を備えている。
　最適化問題再定式化部１３０は、受け付けた最適化問題を別の問題形式へ変形するように再定式化する。離散変数最適化部１６０は、再定式化された問題から離散変数部分についてのみ切り出した問題を変形し、イジングマシンで解く。連続変数最適化部１８０は、再定式化された問題から連続変数部分についてのみ切り出した問題を、古典コンピュータで解く。絡み変更部２００は、離散変数と連続変数が掛け合わされている項の影響力を変化させることで、最終的な解が極端に悪い解となることを防ぐ。有効制約推定部２２０は、離散変数に関する不等式で解において等式が成り立つものを推定することで、離散変数最適化部１６０で元の問題をイジングマシンで解くことができる問題に変形することが可能となる。停止条件判定部２３０は停止条件を満たすか否かを判定し、停止条件が満たされる場合、反復を終了させる。管理部１５０は、離散変数最適化部１６０、連続変数最適化部１８０、絡み変更部２００、有効制約推定部２２０、及び停止条件判定部２３０を反復的に呼び出し、実行する。
　次に、問題求解装置１０の各部の詳細な説明を以下に記載する。
　問題パラメータ蓄積部１２０は、上記最適化問題における定数パラメータを格納しており、問題求解装置１０からの要求に従い定数パラメータを読み出し、最適化問題再定式化部１３０に送信する。具体的には、最適化問題(1) の定数パラメータである
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000015

 
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000016

 
の情報である。問題パラメータ蓄積部１２０に蓄積されるものの例を図２に示す。
　最適化問題再定式化部１３０は、問題パラメータ蓄積部１２０から送信された問題パラメータを用いて、離散変数についての制約と連続変数についての制約が分離している0-1 混合整数二次計画問題へと定式化を行う。以下、定式化の方法の一例について説明する。
　まず、十分大きな定数Mとスラック変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000017

 
を導入することで、離散変数についての制約と連続変数についての制約とが分離するように、最適化問題(1)を以下のように定式化することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
                                                               （２）
　この問題は、離散変数についての制約と連続変数についての制約とが分離している0-1 混合整数二次計画問題であり、決定変数ｘ、ｓを決定変数ｘと再定義し、定数に変更を行うことで以下のような問題形式に変換することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
 
　このとき、決定変数は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000020

 
であり、定数は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000021

 
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000022

 
である。
　このようにして最適化問題再定式化部１３０により再定式化された最適化問題(2)は最適化問題パラメータ蓄積部１４０へと格納される。最適化問題パラメータ蓄積部１４０に蓄積されるものの例を図３に示す。最適化問題パラメータ蓄積部１４０は問題求解装置１０の要求に従い、最適化問題パラメータを読み出し、管理部１５０に送信する。
　管理部１５０では、後述する離散変数と連続変数を交互に最適化するアルゴリズムの手順に沿って、離散変数最適化部１６０、連続変数最適化部１８０、絡み変更部２００、有効制約推定部２２０、停止条件判定部２３０を呼び出し、停止条件判定部２３０において停止条件が満たされたとみなされたとき、決定変数値蓄積部２４０に、得られた解を格納する。以下、具体的なアルゴリズムを与える。
　まず、離散変数最適化部１６０は、連続変数をある点に固定したときの、最適化問題(2)における離散変数を最適化する。最適化問題(2)の連続変数を
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000023

 
と固定し、定数項を取り除き、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000024

 
に係数η をつけると、以下のような最適化問題となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000025
 
　ここで、ηは連続変数と離散変数の掛け合わされている項の影響力の度合いを変化させるものであり、ηが大きければ大きいほど、連続変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000026

 
を考慮している問題となる。この係数ηは絡み変更部２００によってパラメータ蓄積部２１０に蓄積されているものを参照したものである。
　さらに、離散変数最適化部１６０は、上記の最適化問題（２）を、各反復でイジングマシンで解くために以下のように変更する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000027
 
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000028

 
の項は等式制約に関する障壁関数であり、ペナルティパラメータμ1が十分大きいとき解は等式制約を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000029

 
の項は不等式制約に関する障壁関数であり、ペナルティパラメータμ2 が十分大きいとき解は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000030

 
について
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000031

 
または
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000032

 
をなるべく満たすように決定される。ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000033

 
は不等式制約の中で有効と推定される制約の添え字集合であり、有効制約推定部２２０によってパラメータ蓄積部２１０に蓄積されたものを参照したものである。この問題は0-1変数のみの無制約二次計画問題であるため、各イジングマシンを用いて解くことができる。
　離散変数における不等式制約については、新たに変数を導入することで等式制約に変換する手法（参考文献１２）が既に考案されているが、上記の有効な制約を推定する手法は新たに変数を導入する必要が無く、変数の数に制限のあるイジングマシン上で実装を行いやすいという特徴をもつ。
　次に、連続変数最適化部１８０は、離散変数を固定したときの、最適化問題における連続変数を最適化する。元の最適化問題(2) の離散変数を
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000034

 
と固定し、定数項を取り除き、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000035

 
に係数ηをつけると、以下のような最適化問題となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000036
 
　このとき、η が大きければ大きいほど、離散変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000037

 
を考慮している問題となる。この係数ηは絡み変更部２００によって、パラメータ蓄積部２１０に蓄積されているものを参照したものである。
　上記の最適化問題は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000038

 
が半正定値対称行列であるとき、凸二次計画問題であり、主双対内点法などの各種内点法を用いて解くことができる。
　以上の離散変数部分の最適化と連続変数部分の最適化に加え、各パラメータの更新を行う、後述のアルゴリズム中では、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000039

 
の部分で、絡み変更部２００が絡みの係数ηを逐次更新している。このようにして離散変数と連続変数が掛け合わされている項の影響力を段々と大きくしていくことで極端に悪い解へと収束してしまうことを防ぐ。
　また、有効制約推定部２２０は、離散変数に関する制約であって、不等式を含む制約のうち、現時点での解において満たさない制約及び等式で満たされる制約を、有効な制約として推定する。具体的には、有効制約推定部２２０は、有効と推定される制約の集合
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000040

 
を、現時点の離散変数の値zkにおいて等式で満たされる制約と、満たしていない制約とからなる集合としている。離散変数に関して最適化を行う際には
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000041

 
について
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000042

 
であるときも、この制約に対応する障壁関数の値は0となる。そのため、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000043

 
について
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000044

 
となる場合が生じるので，不必要な制約は次の反復で有効と推定される制約集合から外れることになる。このアルゴリズムを用いることによって、最適化問題(2)、すなわち最適化問題(1) の解を求めることができる。
　具体的なアルゴリズムは以下のようなものとなる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000045
 
　離散変数値蓄積部１７０は、各反復において離散変数最適化部１６０によって計算された離散変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000046

 
を記憶する。連続変数値蓄積部１９０は、各反復において連続変数最適化部１８０によって計算された連続変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000047

 
を記憶する。パラメータ蓄積部２１０は各反復において絡み変更部２００によって計算されたパラメータηk+1と有効制約推定部２２０によって計算されたパラメータ
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000048

 
を記憶する。離散変数値蓄積部１７０に蓄積するデータの例を図４に示す。連続変数値蓄積部１９０に蓄積するデータの例を図５に示す。パラメータ蓄積部２１０に蓄積するデータの例を図６に示す。
　出力部２５０は、決定変数値蓄積部２４０に格納された解を読み込み、それを出力する。決定変数値蓄積部２４０に蓄積するデータの例を図７に示す。
　問題求解装置１０は、一例として、図８に示すコンピュータ８４によって実現される。コンピュータ８４は、ＣＰＵ８６、メモリ８８、プログラム８２を記憶した記憶部９２、モニタを含む表示部９４、及びキーボードやマウスを含む入力部９６を含んでいる。ＣＰＵ８６、メモリ８８、記憶部９２、表示部９４、及び入力部９６はバス９８を介して互いに接続されている。
　記憶部９２はＨＤＤ、ＳＳＤ、フラッシュメモリ等によって実現される。記憶部９２には、コンピュータ８４を問題求解装置１０として機能させるためのプログラム８２が記憶されている。ＣＰＵ８６は、プログラム８２を記憶部９２から読み出してメモリ８８に展開し、プログラム８２を実行する。なお、プログラム８２をコンピュータ可読媒体に格納して提供してもよい。
＜本発明の第１の実施の形態に係る問題求解装置１０の作用＞
　次に、本発明の実施の形態に係る問題求解装置１０の作用について説明する。問題求解装置１０において、操作部１１０は、離散変数についての制約と連続変数についての制約が分離している0-1混合整数二次計画問題に定式化可能な最適化問題を、処理対象として受け付けると、処理対象の最適化問題における定数パラメータを問題パラメータ蓄積部１２０に格納する。そして、問題求解装置１０は、図９に示す問題求解処理ルーチンを実行する。
　まず、ステップＳ１００では、最適化問題再定式化部１３０は、処理対象の最適化問題における定数パラメータを取得する。
　ステップＳ１０２では、最適化問題再定式化部１３０は、問題パラメータ蓄積部１２０から送信された問題パラメータを用いて、離散変数についての制約と連続変数についての制約が分離している0-1 混合整数二次計画問題へと定式化を行う。
　ステップＳ１０４では、管理部１５０は、離散変数と連続変数、絡みの係数、及び有効制約を初期化する。
　ステップＳ１０６では、離散変数最適化部１６０は、離散変数と連続変数、絡みの係数、及び有効制約に基づいて、連続変数をある点に固定したときの、上記ステップＳ１０２で定式化された最適化問題における離散変数を最適化する。
　ステップＳ１０８では、連続変数最適化部１８０は、離散変数と連続変数、絡みの係数、及び有効制約に基づいて、離散変数を固定したときの、上記ステップＳ１０２で定式化された最適化問題における連続変数を最適化する。
　ステップＳ１１０では、絡み変更部２００が、離散変数と連続変数が掛け合わされている項の影響力を段々と大きくするように絡みの係数ηを更新する。
　ステップＳ１１２では、有効制約推定部２２０は、離散変数に関する制約であって、不等式を含む制約のうち、現時点での離散変数の値において満たさない制約及び等式で満たされる制約を、有効な制約として推定する。
　ステップＳ１１４では、停止条件判定部２３０が、停止条件を満たすかを判定し、停止条件を満たしていれば、管理部１５０が、ステップＳ１１６へ移行し、条件を満たしていなければ、管理部１５０が、ステップＳ１０６～Ｓ１１４の処理を繰り返す。
　ステップＳ１１６では、出力部２５０は、上記ステップＳ１０６、Ｓ１０８で最終的に得られた連続変数及び離散変数である解を読み込み、それを出力し、問題求解処理ルーチンを終了する。
　以上説明したように、本発明の第１の実施の形態に係る問題求解装置は、処理対象の最適化問題を、離散変数についての制約と連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化し、イジングマシンを用いて、連続変数をある点に固定して、再定式化した最適化問題における離散変数について最適化を行うことと、古典コンピュータを用いて、離散変数をある点に固定して、再定式化した最適化問題における連続変数について最適化を行うことを繰り返す。これにより、計算量を抑えながら、最適化問題の解を求めることができる。
　また、イジングマシンを活用することによって計算量を抑えることができるため、高速な求解が可能となる。また、反復解法であることを利用して、有効な制約を推定していくことで障壁関数の導入が可能となり、解に制約を満たさせることができる。
　また、再定式化した最適化問題における、離散変数と連続変数が掛け合わされている項の影響力を表す絡み係数を変更することを反復毎に行うことにより、悪い局所解に陥ることを防ぎ、最終的な目的関数値も良い値となる。
［第２の実施の形態］
　第２の実施の形態では、処理対象となる最適化問題として、エンジンと電力の二つを動力として持つ車両の動力配分スケジューリング問題を考える。この最適化問題は既に既存の文献（参考文献１３）で定式化されている、以下のような最適化問題である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000049
                                                               (3)
　但し、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000050

 
である。
［参考文献１３］Boyd, S., Vandenberghe, L. (2004). Convex optimization. Cambridge university press.
　決定変数は各t に対する
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000051

 
であり、それぞれ時刻t におけるバッテリーの残量、エンジンによる動力量、電力による動力量、エンジンの電源のON-OFF を表す変数である。定数は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000052

 
であり、それぞれ残存電力に関するコスト係数、電力の最大保有量、終端時刻、エンジンの起動にかかるコスト係数、各時刻に対する動力需要量、エンジンの最大動力量、エンジンの動力量に対するコスト関数の二次の係数、エンジンの動力量に対するコスト関数の一次の係数、エンジンの起動中にかかる固定コスト量を表している。目的関数については、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000053

 
が終端時刻の電力の残量が少ないと増大するコスト関数、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000054

 
がエンジンによる出力にかかるコスト関数、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000055

 
がエンジンの起動にかかるコスト関数となっている。制約については、一つ目が電力残量の動的システム、二つ目が動力需要を総動力量が上回るための制約、三つめがエンジンによる動力量に対する制約となっている。
＜本発明の第２の実施の形態に係る問題求解装置の構成＞
　次に、本発明の第２の実施の形態に係る問題求解装置の構成について説明する。なお、本発明の第２の実施の形態に係る問題求解装置の構成は、第１の実施の形態と同様であるため、同一符号を付して詳細な説明を省略する。
　問題パラメータ蓄積部１２０は上記最適化問題における定数パラメータを格納しており、問題求解装置１０からの要求に従い定数パラメータを読み出し、最適化問題再定式化部１３０に送信する。具体的には、最適化問題(3) の定数パラメータである
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000056

 
およびt = 0, 1,...,T-1 におけるPt desの情報である。問題パラメータ蓄積部１２０に蓄積されるものの例を図１０に示す。
　最適化問題再定式化部１３０は、問題パラメータ蓄積部１２０から送信された問題パラメータを用いて、離散変数と連続変数について制約が分離している0-1 混合整数二次計画問題へと定式化を行う。以下、定式化の方法の一例について説明する。
　十分大きな定数M を導入することで、最適化問題(3) は以下のように定式化することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000057
 
　この問題は離散変数と連続変数について制約が分離している0-1 混合整数二次計画問題であり、正しい変換を行うことで以下のような問題形式に変換することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000058
                                                               (4)
　このとき、決定変数は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000059

 
であり、定数は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000060

 
である。
　以下、離散変数に関する等式の項が無いことと、連続変数部分の最適化が内点法で解くことができることを除き、上記第１の実施の形態と同一である。
　このようにして最適化問題再定式化部１３０により再定式化された最適化問題(4) は最適化問題パラメータ蓄積部１４０へと格納される。蓄積されるものの例を図１１に示す。
　最適化問題パラメータ蓄積部１４０は問題求解装置１０の要求に従い、最適化問題パラメータを読み出し、管理部１５０に送信する。
　管理部１５０は、後述する離散変数と連続変数を交互に最適化するアルゴリズムの手順に沿って、離散変数最適化部１６０、連続変数最適化部１８０、絡み変更部２００、有効制約推定部２２０、停止条件判定部２３０を呼び出し、停止条件判定部２３０において反復の回数が最大反復回数に達したとみなされたとき、決定変数値蓄積部２４０に得られた解を格納する。以下、具体的なアルゴリズムを与える。
　まず、離散変数最適化部１６０は、連続変数をある点に固定したときの、最適化問題(4)における離散変数を最適化する。具体的には、最適化問題(4) の連続変数を
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000061

 
と固定し、定数項を取り除き、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000062

 
に係数ηをつけると、以下のような最適化問題となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000063
 
　ここで、ηは連続変数と離散変数の掛け合わされている項の影響力の度合いを変化させるものであり、ηが大きければ大きいほど、連続変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000064

 
を考慮している問題となる。
　さらに、上記の問題を各反復でイジングマシンで解くために以下のように変更する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000065
 
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000066

 
の項は不等式制約に関する障壁関数であり、ペナルティパラメータμ2が十分大きいとき解は
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000067

 
について
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000068

 
をなるべく満たすように決定される。また、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000069

 
は不等式制約の中で有効と推定される制約の添え字集合であり、アルゴリズム中の各反復において更新される。
　この問題は0-1 変数のみの無制約二次計画問題であるため、各イジングマシンを用いて解くことができる。
　離散変数における不等式制約については、新たに変数を導入することで等式制約に変換する手法（参考文献１２）が既に考案されているが、上記の有効な制約を推定する手法は新たに変数を導入する必要が無く、変数の数に制限のあるイジングマシン上で実装を行いやすいという特徴をもつ。
　次に、連続変数最適化部１８０は、離散変数を固定したときの、最適化問題（４）における連続変数を最適化する。元の問題(4) の離散変数を
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000070

 
と固定し、定数項を取り除き、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000071

 
に係数ηをつけると、以下のような最適化問題となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000072
 
　このとき、ηが大きければ大きいほど、離散変数zを考慮している問題となる。
　上記の最適化問題は問題(3) の特性より、P1 が半正定値対称行列であるため、凸二次計画問題である。そのため、主双対内点法などの各種内点法を用いて解くことができる。
　以上の離散変数部分の最適化と連続変数部分の最適化に加え、各パラメータの更新を行う具体的なアルゴリズムは以下のようなものとなる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000073
 
　上記のアルゴリズム中では、有効と推定される制約の集合
を、現在の離散変数の値zkにおいて有効である制約と満たしていない制約の集合としている。離散変数に関して最適化を行う際には
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000074

 
について
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000075

 
であるときも、この制約に対応する障壁関数の値は0となる。そのため、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000076

 
について
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000077

 
となる場合が生じるので，不必要な制約は次の反復で有効と推定される制約集合から外れることになる。このアルゴリズムを用いることによって、最適化問題(4)、すなわち最適化問題(3) の解を求めることができる。
　離散変数値蓄積部１７０は各反復において、離散変数最適化部１６０によって計算された離散変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000078

 
を記憶する。連続変数値蓄積部１９０は各反復において連続変数最適化部１８０によって計算された連続変数
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000079

 
を記憶する。問題パラメータ蓄積部１２０は各反復において絡み変更部２００によって計算されたパラメータηk+1と有効制約推定部２２０によって計算されたパラメータ
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000080

 
を記憶する。最適化問題パラメータ蓄積部１４０に蓄積するデータの例を図１１に示す。離散変数値蓄積部１７０に蓄積するデータの例を図１２に示す。連続変数値蓄積部１９０に蓄積するデータの例を図１３に示す。パラメータ蓄積部２１０に蓄積するデータの例を図１４に示す。
　出力部２５０は、決定変数値蓄積部２４０に格納された解を読み込み、それを出力する。決定変数値蓄積部２４０に蓄積するデータの例を図１５に示す。
　なお、第２の実施の形態に係る問題求解装置１０の他の構成及び作用については、第１の実施の形態と同様の構成となるため、説明を省略する。
　以上説明したように、本発明の第２の実施の形態に係る問題求解装置は、処理対象の最適化問題を、離散変数についての制約と連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化し、イジングマシンを用いて、連続変数をある点に固定して、再定式化した最適化問題における離散変数について最適化を行うことと、古典コンピュータを用いて、離散変数をある点に固定して、再定式化した最適化問題における連続変数について最適化を行うことを繰り返す、これにより、計算量を抑えながら、最適化問題の解を求めることができる。
　なお、本発明は、上述した実施の形態に限定されるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。
１０ 問題求解装置
２０ 演算部
８２ プログラム
８４ コンピュータ
１００ 最適化部
１１０ 操作部
１２０ 問題パラメータ蓄積部
１３０ 最適化問題再定式化部
１４０ 最適化問題パラメータ蓄積部
１５０ 管理部
１６０ 離散変数最適化部
１７０ 離散変数値蓄積部
１８０ 連続変数最適化部
１９０ 連続変数値蓄積部
２００ 絡み変更部
２１０ パラメータ蓄積部
２２０ 有効制約推定部
２３０ 停止条件判定部
２４０ 決定変数値蓄積部
２５０ 出力部

Claims (7)

  1. 　離散変数と連続変数を含む二次計画問題であって、かつ、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している二次計画問題に定式化可能な最適化問題に対して、解を出力する問題求解装置であって、
    　処理対象の最適化問題を、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化する最適化問題再定式化部と、
    　前記連続変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記離散変数について最適化を行う離散変数最適化部と、
    　前記離散変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記連続変数について最適化を行う連続変数最適化部と、
    　前記再定式化した最適化問題における、前記離散変数と前記連続変数が掛け合わされている項の影響力を表す絡み係数を変更する絡み変更部と、
    　予め定められた停止条件を満たすまで、前記離散変数最適化部による最適化、前記連続変数最適化部による最適化、前記絡み変更部による変更を繰り返させる管理部と、
    　を含む問題求解装置。
  2. 　前記離散変数についての制約であって、不等式を含む制約のうち、現時点での解において満たさない制約及び等式で満される制約を、有効な制約として推定する有効制約推定部を更に含み、
    　前記管理部は、予め定められた停止条件を満たすまで、前記離散変数最適化部による最適化、前記連続変数最適化部による最適化、前記絡み変更部による変更、及び前記有効制約推定部による推定を繰り返させる請求項１記載の問題求解装置。
  3. 　前記離散変数最適化部は、イジングマシンを用いて、前記再定式化した最適化問題における離散変数について最適化を行う請求項１又は２記載の問題求解装置。
  4. 　離散変数と連続変数を含む二次計画問題であって、かつ、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している二次計画問題に定式化可能な最適化問題に対して、解を出力する問題求解装置における問題求解方法であって、
    　最適化問題再定式化部が、処理対象の最適化問題を、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化し、
    　離散変数最適化部が、前記連続変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記離散変数について最適化を行い、
    　連続変数最適化部が、前記離散変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記連続変数について最適化を行い、
    　絡み変更部が、前記再定式化した最適化問題における、前記離散変数と前記連続変数が掛け合わされている項の影響力を表す絡み係数を変更し、
    　管理部が、予め定められた停止条件を満たすまで、前記離散変数最適化部による最適化、前記連続変数最適化部による最適化、前記絡み変更部による変更を繰り返させる
    　問題求解方法。
  5. 　有効制約推定部が、前記離散変数についての制約であって、不等式を含む制約のうち、解において等式を満たす制約を、有効な制約として推定することを更に含み、
    　前記管理部が繰り返させることでは、予め定められた停止条件を満たすまで、前記離散変数最適化部による最適化、前記連続変数最適化部による最適化、前記絡み変更部による変更、及び前記有効制約推定部による推定を繰り返させる請求項４記載の問題求解方法。
  6. 　前記離散変数最適化部が最適化を行うことでは、イジングマシンを用いて、前記再定式化した最適化問題における離散変数について最適化を行う請求項４又は５記載の問題求解方法。
  7. 　離散変数と連続変数を含む二次計画問題であって、かつ、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している二次計画問題に定式化可能な最適化問題に対して、解を出力する問題求解処理を行うためのプログラムであって、
    　コンピュータに、
    　処理対象の最適化問題を、前記離散変数についての制約と前記連続変数についての制約とが分離している最適化問題に再定式化し、
    　前記連続変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記離散変数について最適化を行い、
    　前記離散変数をある点に固定して、前記再定式化した最適化問題における前記連続変数について最適化を行い、
    　前記再定式化した最適化問題における、前記離散変数と前記連続変数が掛け合わされている項の影響力を表す絡み係数を変更し、
    　予め定められた停止条件を満たすまで、前記離散変数についての最適化、前記連続変数についての最適化、及び前記絡み係数の変更を繰り返させる
    　ことを実行させるためのプログラム。
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