WO2017144827A1 - Non-destructive method for inspecting parts in aeronautics - Google Patents

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WO2017144827A1
WO2017144827A1 PCT/FR2017/050410 FR2017050410W WO2017144827A1 WO 2017144827 A1 WO2017144827 A1 WO 2017144827A1 FR 2017050410 W FR2017050410 W FR 2017050410W WO 2017144827 A1 WO2017144827 A1 WO 2017144827A1
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WO
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transformation
similarity
criterion
opt
optimized
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PCT/FR2017/050410
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French (fr)
Inventor
Yann LE GUILLOUX
Benoît Vincent Pierre LASJAUNIAS
Vincent Jérôme MORARD
Original Assignee
Safran
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Safran filed Critical Safran
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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
    • G06T7/00—Image analysis
    • G06T7/30—Determination of transform parameters for the alignment of images, i.e. image registration

Definitions

  • the invention relates to the field of non-destructive testing (NDT) on industrial parts, particularly in the field of aeronautics, using three-dimensional images in the form of digital tomographic volumes, for example.
  • NDT non-destructive testing
  • the invention relates to the registration ("registration" in English) using transformations of these volumes on computer models.
  • the CND is essential for controlling the material health of materials.
  • fan blades which are made of three-dimensional woven carbon fiber composite, are critical parts that must be fully controlled. But the fan casing, the straightener, the blades, the blades, etc. may also be concerned.
  • the digital tomographic volumes are obtained by means of a tomograph whose X-ray generator emits a beam passing through the part to be explored, before being analyzed, after attenuation, by a detection system.
  • the intermediate image thus obtained is called a "projection".
  • a three-dimensional volume of the part is obtained with an X-ray absorption density value at each voxel.
  • CAD Computer Aided Design
  • the registration therefore seeks to best match the CAD model with the imaging representation to find the optimal transformation (see Figure 1).
  • the inverse transformation (from the image marker to the CAD reference) can then be deduced.
  • a transformation is used to change the reference point between the CAD model and the imagery representation, t belonging to the space of the transformations T.
  • the transformation model is generic and can equally well be the set of linear transformations (rigid, similarities, affine or projective) or non-linear (elastic).
  • a similarity criterion is used that one seeks to maximize (or to minimize a criterion of dissimilarity, but it is equivalent).
  • the similarity criterion is a continuous, differentiable function that theoretically comprises a single global maximum (in practice, a plurality of local maxima).
  • the criterion of similarity comprises as input the image representation Obj2 and the transform t (Objl) of the CAD model Objl by the transformation t.
  • the optimal transformation is known and the reference change between the imaging representation and the CAD model can be done to establish a match.
  • the imaging representation is not perfect and has a certain amount of noise N. This noise results in variations of the similarity criterion around the optimal transformation t op t obtained during the registration step El. It is thus possible that the actual transformation is slightly different, or even that a plurality of real transformations exist (if the representation of the values of the criterion of similarity as a function of the transformations has a bearing shape for example).
  • the value of the similarity criterion obtained for the optimal transformation may be only a local maximum, and not a global one.
  • the present method aims to overcome the shortcomings of the prior art.
  • the invention proposes a method of non-destructive testing of a part for aeronautics, comprising the following steps:
  • the invention may include the following features, taken alone or in combination:
  • step E3 of second-order analytical development comprises the following substeps:
  • the resolution can notably be carried out by minimizing the error in the least squares sense
  • Step E3 of analytical development comprises the following substeps:
  • the step E4 for determining the domain of confidence comprises the following substeps:
  • the step E4 for determining a base of eigenvectors comprises the following substeps:
  • the threshold takes into account the noise relating to the imaging modeling
  • the threshold of the similarity criterion takes into account the maximum value of the similarity criterion calculated by the analytical development
  • the method comprises a step Ev of calculating the neighborhood, said step Ev comprising the following sub-steps:
  • Evl calculates, on each axis of translations and rotations, values of the criterion of similarities on both sides of the optimized transformation at a given plurality of decreasing distances,
  • the analytical development step E3 comprises a step E37 for determining an improved transformation corresponding to the maximum value of the criterion of similarity developed analytically, - Process in which a new, smaller neighborhood is calculated from the analytical development and in which the improved transformation is considered the optimized transformation
  • the invention also proposes a calculation unit comprising data processing means and configured to implement the steps E1, E2, E3, E4, E5, or E2, E3, E4, E5 as previously described.
  • the invention also proposes a computer program product configured to be executed by the data processing means of the computing unit, said computer program product making it possible to implement the steps E1, E2, E3, E4, E5, or E2, E3, E4, E5 as previously described.
  • FIG. 1 already presented, schematizes the registration
  • FIGS. 2a and 2b already presented, represent the limitations of the precision tests carried out on the axes, in three dimensions and with a projection in the same plane,
  • FIG. 3 and 4 respectively represent objects obtained by imaging and computer simulated.
  • FIG. 5 shows the positioning of the invention in the known resetting process
  • FIG. 6 represents a criterion of similarity with several local maxima, as well as an illustration of value measurements.
  • the method described here allows the control of an Obj2 imaging modeling, for example a digital tomographic volume 10 obtained by X-ray tomography of a part (FIG. 3) and an Objl simulation modeling, for example a CAD model. 20 in the form of a surface (FIG. 4) obtained by computer simulation of this same part.
  • the method applies to any type of registration (volume / volume, volume / area, etc.). This method applies at the end of a registration step El between the two modelizations (see Figure 3).
  • the resetting step is performed using a similarity criterion S and makes it possible to obtain an optimized transformation t op t which maximizes at least locally the criterion of similarity.
  • a similarity criterion S makes it possible to obtain an optimized transformation t op t which maximizes at least locally the criterion of similarity.
  • FIG. 5 illustrates the arrangement of the different steps according to one embodiment of the invention.
  • the maximization of the similarity criterion S is done using possibly iterative optimization algorithms. As an example:
  • the space of the transformations T is that of the rigid transformations depending on six parameters (the three translations and the three rotations of the space).
  • the method is nevertheless applicable to any transformation belonging to a possibly larger or smaller dimension space.
  • a simulated modelization Obj l of the part to be analyzed and an imaging modeling Obj 2 of this same part are performed.
  • an acquisition device creates the imaging model Obj2 and in a step E0 a computer device creates the simulation using Obj l simulation.
  • the optimized transformation t op t and the similarity criterion S are used to be refined.
  • a step E2 the optimized transformation t op t and the criterion of similarity S are recovered by a calculation unit comprising data processing means.
  • a step E3 the criterion of similarity S is analytically developed in the second order in a neighborhood V of the optimized transformation t op t. This analytic development is performed around the optimized transformation t op t, as illustrated below.
  • H is the Hessian matrix of similarity, that is to say the matrix comprising the second derivatives of S depending on rotations and translations (space of rigid transformations). This is typically a Taylor development at order 2.
  • Step E3 of analytical development will be detailed later.
  • the analytic knowledge Sd of the similarity criterion S has been known in the neighborhood V, it is possible to determine for which transformations t the criterion of similarity Sd remains above a predetermined threshold SP. More details will be given on this SP threshold thereafter. It will be recalled that all these transformations are determined by means of the second-order analytic development Sd and not by real calculation of the criterion of similarity S. This is the mathematical resolution of an inequation.
  • the set of transformations t greater than the predetermined threshold SP is exactly contained in a so-called domain of confidence V c .
  • This domain V c lies in the space of the transformations T.
  • this confidence domain V c is determined. Due to the second-order analytical development Sd, the confidence domain V c is in the form of an ellipsoid.
  • this point of the simulated modeling Objl will traverse a three-dimensional physical volume Vpt of the physical space of the imaging modeling Obj2, three-dimensional (or conversely, using the inverse transformations).
  • a correspondence is established between a point of the CAD model Objl and its physical three-dimensional volume V P t of the image modeling Obj2 corresponds to said point.
  • the method makes it possible to determine the three-dimensional physical volume V P t in the Obj2 imaging modeling for which it is possible to ensure to a degree of certainty given that the point is there.
  • this degree of certainty depends on the predetermined threshold SP. Indeed, this threshold determines the size of the confidence domain V c , and ipso facto the physical three-dimensional volume V P t.
  • the output data which is the three-dimensional volume V P t associated with a point, is robust to noise from the imagery and provides an estimate of accuracy, what previous treatments (step of registration or test n-axes for example) did not allow.
  • the robust estimation of the quadratic form of the similarity criterion S developed in the second order requires approximately l + 2n 2 evaluations of the similarity (interpolation points), against l + 2n for a n-axis test by example.
  • the criterion of similarity is known analytically in the neighborhood V and a new estimate of the maximum So, robust, can be carried out.
  • Steps E3 and following apply at the end of any registration step, and can be integrated without complication in existing methods. Now, more details will be made on the different steps or object of the process.
  • the analytical development can be decomposed into a plurality of sub-steps.
  • a step E31 the functional Sd as indicated above is developed using coefficients.
  • the Hessian matrix is symmetrical.
  • Ne 1 + n + -
  • n corresponds to the gradient vector (vector to n coordinates) and n (n + 1) / 2 corresponds to the Hessian matrix (which is symmetric, of dimension n 2 ).
  • a number of values of S at least equal to the number of coefficients necessary to determine the second order Sd analytical form is calculated.
  • the number of values of S is greater in order to obtain data redundancy which makes it possible to refine the position of the optimized transformation t op t.
  • step E33 the linear system is solved.
  • least-squares minimization makes it possible to efficiently calculate the results.
  • a step E34 the residuals of the system are calculated, that is to say that the difference between the effective value of S and the value of the second-order development Sd is calculated for the interpolation points. .
  • a step E35 the quality of the analytical development is evaluated.
  • the quality criteria will not be detailed here, but it may be a comparison to a given threshold or otherwise. From this analysis, it is possible, if necessary, in a step E36 to determine a new neighborhood V "for which the optimizing method for calculating the optimized transformation t op t applies. verification of the relevance of the second-order development, it is possible to ensure that the coefficients of the gradient vector are close to 0.
  • the transformation t op t is supposed to be close to a local extremum for which the gradient is
  • the analytic knowledge (and not by estimation through estimated values) of S in the neighborhood V allows to calculate a new extremum So if it were to be different from that calculated for the transformation t op t resulting from the step of registration.
  • a step E37 from the analytical development Sd, it is possible to determine the new maximum So of the analytical development Sd and thus to obtain a so-called "improved" transformation t a corresponding to this new maximum value So of the similarity criterion developed analytically Sd.
  • This improved processing t once determined can is considered the optimized processing t op t for the implementation of the steps described in the description.
  • the constant is So
  • the gradient is zero and the Hessian unchanged.
  • the second-order development comprises the constant So, which corresponds to the maximum value So of the criterion of similarity, in the neighborhood V, the gradient, which is zero (presence of a maximum), and a Hessian matrix, whose eigenvalues are supposed to be negative (presence of a maximum).
  • the criterion of similarity is supposed to be twice differentiable, so that the Hessian matrix is symmetrical. Therefore, the spectral decomposition assures us that the matrix has a base of orthogonal eigenvectors. Since this matrix is derived from a second-order analytic development over a maximum, the eigenvalues are negative.
  • a base of orthogonal eigenvectors is determined for the Hessian matrix.
  • a confidence interval in the direction of each eigenvector simply depends on the corresponding eigenvalue and the maximum noise level.
  • the set of confidence intervals form the confidence domain Vc.
  • these confidence intervals are calculated, that is to say that one looks for the values from which the similarity criterion becomes lower (or equal) to the threshold SP.
  • intervals define a domain in the form of an ellipsoid aligned with the proper axes in the space of the transformations.
  • This ellipsoid is thus the confidence domain Vs around t a , which is determined in a step E43.
  • step E41 can comprise substeps E411 for diagonalization of the Hessian matrix and E412 for obtaining said orthogonal base resulting from directly from the diagonalization, as well as their associated eigenvalue.
  • the neighborhood corresponds to a fixed volume of the space of transformations T in which the method described applies.
  • This volume can be known by learning, following an accumulation of implementation of the registration processes, or by rapid methods of estimating a relevant volume, such as the n-axis test.
  • a first method may consist in taking an arbitrary neighborhood, resulting from the experience of previous re-readings. If it is known that for a given room, a neighborhood V is appropriate, we can use it.
  • n-axis test corresponds to that presented in the introduction, which makes it possible to quickly highlight an uncertainty, but not an absence of uncertainty. On the other hand, it allows us here to establish a neighborhood value V within which second-order analytic development will be performed.
  • the test consists in calculating on each axis (in the case of rigid transformations: the axes of the translations and the rotations), values of similarities until finding one which is superior to the value S (t op t), c ' that is, So.
  • a "distance" ⁇ is arbitrarily chosen, which is for example 1 cm for translations or 5 ° for rotations.
  • t op t is a local maximum (and in theory in the neighborhood of the global maximum if it exists) for S and that consequently it is not necessary to have too much ⁇ , otherwise unnecessary iterations will be performed.
  • the value of S is calculated for S (t op t + ⁇ ) and S (t op t - ⁇ ). If S (topt) remains greater than these two values, we reduce ⁇ , for example by dividing it by two and reiterating the calculations.
  • the interval on this axis is considered as neighborhood V: [t op t- ⁇ ; t op t + ⁇ ], with ⁇ the last-used value used, ie the interval includes the bounds of the next ⁇ for which a higher value has been obtained (see V in Figure 6).
  • a neighborhood determination step Ev is defined, which may comprise the following steps, implemented after the resetting step E1 or at the very beginning of the analytical development step E3:
  • the neighborhood V is determined with the intervals obtained on each axis using this penultimate distance.
  • the predetermined threshold SP makes it possible to choose the level of uncertainty when establishing the confidence domain V c and thus the physical volume three-dimensional V P t. In particular, the lower the threshold, the larger the domains and volumes will be.
  • the predetermined threshold must make it possible to establish the disturbances of the transformations that become significant. It takes into account the maximum known value S0, either at t op t or at t a .
  • noise intensity N is necessarily introduced. This noise is in particular at the origin of the existence of a plurality of local extrema for the criterion of similarity S.
  • the predetermined threshold SP can thus take into account certain statistical characteristics of noise N.
  • the knowledge of the standard deviation ⁇ of a Gaussian noise makes it possible, by subtracting it a certain number of times from the maximum value So, to know the probability associated with the volume of confidence.
  • the predetermined threshold is SO-3 x ⁇ (the maximum value SO minus three times the Gaussian noise), then the certainty relating to the three-dimensional physical volume is greater than 97.0%.
  • the predetermined threshold is S0 - x ⁇ (the maximum value SO minus four times the Gaussian noise)
  • the certainty relating to the three-dimensional physical volume is greater than 99.9%.

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Computer Vision & Pattern Recognition (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Image Analysis (AREA)

Abstract

The invention relates to a non-destructive method for inspecting parts in aeronautics, for checking a correspondence between a model (Obj2) produced by imaging and a model (Obj1) obtained by computer simulation, for which an optimised transformation (topt) from the transformation space (T) locally maximises a similarity criterion (S) by a resetting method, said optimised transformation (topt), the method being characterised in that it comprises the following steps: - (E2) obtaining the optimised transformation and the associated similarity criterion (S); - (E3) analytical development (Sd) to the second order of the similarity criterion (S) in the proximity of the optimised transformation (topt), - (E4) determining a trust domain (Vc) in the transformation space (T) corresponding to the totality of the transformations (t) for which the value of the similarity criterion (S) calculated by the analytical development (Sd) is higher than a predetermined threshold (SP).

Description

Procédé de contrôle non destructif d'une pièce pour aéronautique DOMAINE TECHNIQUE GENERAL  Non destructive testing method for an aeronautical part GENERAL TECHNICAL AREA
L'invention concerne le domaine du contrôle non destructif (CND) sur des pièces industrielles, notamment dans le domaine de l'aéronautique, à l'aide d'images tridimensionnelles sous forme de volumes tomographiques numériques par exemple. The invention relates to the field of non-destructive testing (NDT) on industrial parts, particularly in the field of aeronautics, using three-dimensional images in the form of digital tomographic volumes, for example.
Plus précisément, l'invention concerne le recalage (« registration » en anglais) à l'aide de transformations de ces volumes sur des modèles réalisés sur ordinateur.  More specifically, the invention relates to the registration ("registration" in English) using transformations of these volumes on computer models.
Le CND est primordial pour contrôler la santé matière des matériaux. Par exemple, les aubes de soufflante, qui sont en composite de fibres de carbone tissées en trois dimensions, sont des pièces critiques qui doivent être contrôlées en intégralité. Mais le carter fan, le redresseur, les pales, les aubes, etc. peuvent aussi être concernés. The CND is essential for controlling the material health of materials. For example, fan blades, which are made of three-dimensional woven carbon fiber composite, are critical parts that must be fully controlled. But the fan casing, the straightener, the blades, the blades, etc. may also be concerned.
Les volumes tomographiques numériques sont obtenus à l'aide d'un tomographe dont le générateur de rayons X émet un faisceau traversant la pièce à explorer, avant d'être analysé, après atténuation, par un système de détection. L'image intermédiaire ainsi obtenue est appelée une « projection ». En acquérant une pluralité de projections dans différents plans de l'espace (avec un éventuel prétraitement) et en les recombinant, on obtient un volume tridimensionnel de la pièce avec une valeur de densité d'absorption des rayons X à chaque voxel . The digital tomographic volumes are obtained by means of a tomograph whose X-ray generator emits a beam passing through the part to be explored, before being analyzed, after attenuation, by a detection system. The intermediate image thus obtained is called a "projection". By acquiring a plurality of projections in different planes of space (with possible preprocessing) and recombining them, a three-dimensional volume of the part is obtained with an X-ray absorption density value at each voxel.
Ces images permettent un accès non destructif à l'intérieur de la pièce. These images allow non-destructive access inside the room.
D'autres technologies d'imagerie sont possibles pour obtenir de tels volumes. On parlera par la suite de modélisation par imagerie. Les modèles réalisés sur ordinateur sont obtenus par Conception Assistée par Ordinateur (CAO, ou CAD pour « Computer Aided Design » en anglais) : ce sont des ensembles de volumes, de surfaces ou courbes paramétré(e)s permettant de décrire d'une façon théorique une pièce. On parlera par la suite de modèle CAO. Other imaging technologies are possible to obtain such volumes. We will speak later of modeling by imagery. The computer-generated models are obtained by Computer Aided Design (CAD): these are sets of volumes, surfaces or curves parameterized to describe in a way theoretical a piece. We will speak later of CAD model.
Les bureaux d'études en charge des pièces citées précédemment définissent des zones de criticité et/ou des zones d'analyse qui sont définies dans le référentiel CAO. The consulting firms in charge of the parts mentioned above define critical areas and / or areas of analysis that are defined in the CAD repository.
Or, comme la représentation par imagerie et le modèle CAO possèdent chacune leur propre référentiel, il est nécessaire de connaître la transformation permettant de passer d'un référentiel à l'autre, notamment pour pouvoir connaître la position exacte dans le référentiel CAO d'une information repérée dans le volume tomographique. Ces méthodes sont appelés « recalage » (registration en anglais). Since the imaging representation and the CAD model each have their own repository, it is necessary to know the transformation that makes it possible to go from one repository to another, in particular to be able to know the exact position in the CAD repository of a repository. information found in the tomographic volume. These methods are called "registration".
Le recalage cherche donc à faire coïncider au mieux le modèle CAO avec la représentation par imagerie pour trouver la transformation optimale (voir figure 1). La transformation inverse (du repère d'imagerie vers le repère CAO) peut ensuite être déduite. The registration therefore seeks to best match the CAD model with the imaging representation to find the optimal transformation (see Figure 1). The inverse transformation (from the image marker to the CAD reference) can then be deduced.
On appelle t une transformation permettant de changer de repère entre le modèle CAO et la représentation par imagerie, t appartenant à l'espace des transformations T. Le modèle de transformation est générique et peut aussi bien être l'ensemble des transformations linéaires (rigides, similitudes, affines ou projectives) ou non linéaires (élastique). A transformation is used to change the reference point between the CAD model and the imagery representation, t belonging to the space of the transformations T. The transformation model is generic and can equally well be the set of linear transformations (rigid, similarities, affine or projective) or non-linear (elastic).
Lors du recalage (étape El sur la figure 1), on utilise un critère de similitude que l'on cherche à maximiser (ou bien minimiser un critère de dissimilarité, mais c'est équivalent). Le critère de similitude est une fonction continue, dérivable et comprenant théoriquement un unique maximum global (en pratique, une pluralité de maxima locaux). Le critère de similitude comprend en entrée la représentation par imagerie Obj2 et la transformée t(Objl) du modèle CAO Objl par la transformation t. During the registration (step E1 in FIG. 1), a similarity criterion is used that one seeks to maximize (or to minimize a criterion of dissimilarity, but it is equivalent). The similarity criterion is a continuous, differentiable function that theoretically comprises a single global maximum (in practice, a plurality of local maxima). The criterion of similarity comprises as input the image representation Obj2 and the transform t (Objl) of the CAD model Objl by the transformation t.
Le problème d'optimisation peut être décrit sous la forme suivante, avec topt la transformation optimale : The optimization problem can be described in the following form, with topt the optimal transformation:
(S(t(Objï , Obj2))  (S (t (Obji, Obj2))
ETAT DE L'ART STATE OF THE ART
Il existe différentes méthodes pour effectuer le recalage. Certaines permettent de recaler une surface sur une surface, d'autre un volume sur un volume, voire même en intermodalité (surface/volume). On se réfère par exemple à la demande FR1561301 au nom du Demandeur. There are different methods to perform the registration. Some of them make it possible to recalibrate a surface on a surface, other a volume on a volume, even in intermodality (surface / volume). For example, reference is made to application FR1561301 in the name of the Applicant.
A l'issue du recalage, la transformation optimale est connue et le changement de repère entre la représentation par imagerie et le modèle CAO peut être effectué pour établir une correspondance. Néanmoins, la représentation par imagerie n'est pas parfaite et présente une certaine quantité de bruit N. Ce bruit se traduit par des variations du critère de similitude autour de la transformation optimale topt obtenue lors de l'étape de recalage El . Il est ainsi possible que la transformation réelle soit légèrement différente, ou même qu'une pluralité de transformations réelles existe (si la représentation des valeurs du critère de similitude en fonction des transformations a une forme de palier par exemple). Ainsi, la valeur du critère de similitude obtenue pour la transformation optimale peut n'être qu'un maximum local, et non pas global. On parlera donc par la suite de transformation « optimisée » (on garde la dénomination de topt) pour désigner la transformation théoriquement « optimale » issue du recalage, mais qui pourrait ne pas être la meilleure ou l'unique transformation réelle. Afin de vérifier cela, il est fréquent d'analyser les variations du critère de similitudes le long des axes de la transformation t (au nombre de 6 pour les transformations rigides). Par exemple, une fois la transformation optimisée topt connue, on modifie la composante selon un axe (par exemple la translation selon un axe ou la rotation autour d'un axe) d'un delta et on étudie la variation de la valeur du critère de similitude au niveau du delta. On estime généralement alors que tant que le critère de similitude demeure supérieur à un seuil donné SP (max(similitude) - max(bruit)), alors la transformation reste dans l'intervalle de confiance. At the end of the registration, the optimal transformation is known and the reference change between the imaging representation and the CAD model can be done to establish a match. However, the imaging representation is not perfect and has a certain amount of noise N. This noise results in variations of the similarity criterion around the optimal transformation t op t obtained during the registration step El. It is thus possible that the actual transformation is slightly different, or even that a plurality of real transformations exist (if the representation of the values of the criterion of similarity as a function of the transformations has a bearing shape for example). Thus, the value of the similarity criterion obtained for the optimal transformation may be only a local maximum, and not a global one. We will therefore speak of "optimized" transformation (we keep the name of t op t) to designate the theoretically "optimal" transformation resulting from the registration, but which might not be the best or the only real transformation. In order to verify this, it is common to analyze the variations of the criterion of similarities along the axes of the transformation t (of which there are 6 for the rigid transformations). For example, once the optimized transformation t op t known, it modifies the component along an axis (e.g., translation along an axis or rotation about an axis) of a delta and studying the variation of the value of criterion of similarity at delta level. It is generally estimated that as long as the similarity criterion remains above a given threshold SP (max (similarity) - max (noise)), then the transformation remains in the confidence interval.
Dans certains cas, lorsque l'on se déplace uniquement selon un axe de la transformation (voir figure 2a qui représente le critère de similitude en fonction des transformations, avec un maximum atteint en topt, avec trois courbes Cl, C2, C3 de transformations t passant par l'optimum calculé et voir figure 2b, qui affichent dans un même plan des projections des trois courbes Cl, C2, C3 pour mieux comparer les variations : on voit que des variations selon l'une ou l'autre de ces courbes n'engendre pas les mêmes variations du critère de similitude, par rapport à un seuil SP), on ne reste dans l'intervalle de confiance que si les variations de la transformation optimisée topt sont faibles, d'où une interprétation selon laquelle l'incertitude est relativement faible. En revanche, cette analyse occulte complètement le fait que l'incertitude est supérieure lorsque l'on regarde sur une certaine oblique, c'est-à-dire que des variations importantes combinant deux ou plus composantes de mouvement permettent aussi de rester dans l'intervalle de confiance. La transformation estimée est donc potentiellement très mal estimée. Les incertitudes sont largement sous- estimées. Une telle méthode d'analyse selon les axes présente certes l'avantage d'être peu coûteuse en ressource et de mettre en évidence rapidement une absence de précision, mais elle ne permet pas de s'assurer que l'incertitude est faible. Or, les incertitudes peuvent être critiques puisqu'elles peuvent induire des mauvaises correspondances entre la modélisation simulée et la modélisation par imagerie, et/ou des mauvaises analyses de santé matière. II existe ainsi un besoin de pouvoir connaître la précision admissible pour établir une correspondance fiable entre les deux modélisations, afin de pouvoir améliorer le traitement du CND. In some cases, when one moves only along one axis of the transformation (see Figure 2a which represents the criterion of similarity as a function of the transformations, with a maximum reached in topt, with three curves C1, C2, C3 of transformations t passing through the calculated optimum and see Figure 2b, which display in the same plane projections of the three curves C1, C2, C3 to better compare the variations: we see that variations according to one or the other of these curves n does not produce the same variations of the similarity criterion, with respect to a threshold SP), one remains in the confidence interval only if the variations of the optimized transformation t op t are small, hence an interpretation according to which the uncertainty is relatively low. On the other hand, this analysis completely obscures the fact that the uncertainty is greater when one looks on a certain oblique angle, that is to say that important variations combining two or more components of movement also make it possible to remain in the confidence interval. The estimated transformation is therefore potentially very poorly estimated. Uncertainties are largely underestimated. Such an analysis method according to the axes certainly has the advantage of being inexpensive resource and quickly highlight a lack of precision, but it does not ensure that the uncertainty is low. But uncertainties can be critical since they can induce mismatches between simulated modeling and imaging modeling, and / or poor material health analyzes. There is thus a need to be able to know the accuracy allowable to establish a reliable correspondence between the two models, in order to improve the processing of CND.
PRESENTATION DE L'INVENTION PRESENTATION OF THE INVENTION
La présente méthode vise à pallier les insuffisances de l'art antérieur. The present method aims to overcome the shortcomings of the prior art.
L'invention propose un procédé de contrôle non destructif d'une pièce pour aéronautique, comprenant les étapes suivantes : The invention proposes a method of non-destructive testing of a part for aeronautics, comprising the following steps:
- E0, E0' Acquisition d'une modélisation obtenue par imagerie à l'aide d'un dispositif d'acquisition et génération d'une modélisation simulée par informatique,  - E0, E0 'Acquisition of a modeling obtained by imaging using a device for acquiring and generating computer-simulated modeling,
- El, E2 application d'un procédé de recalage entre les deux modélisations à l'aide d'un critère de similitude entre les deux modélisations pour obtenir une transformation optimisée issue de l'espace des transformations, ladite transformation optimisée maximisant ledit critère de similitude,  - El, E2 application of a registration process between the two modelizations using a criterion of similarity between the two modelizations to obtain an optimized transformation resulting from the space of the transformations, said optimized transformation maximizing said criterion of similarity ,
le procédé étant caractérisé en ce qu'il comprend les étapes suivantes : the method being characterized in that it comprises the following steps:
- E3 développement analytique au second ordre du critère de similitude au voisinage de la transformation optimisée,  - E3 second-order analytical development of the criterion of similarity in the neighborhood of the optimized transformation,
- E4 détermination d'un domaine de confiance dans l'espace des transformations correspondant à l'ensemble des transformations pour lesquelles la valeur du critère de similitude calculée par le développement analytique est supérieure à un seuil prédéterminé, - E5 mise en correspondance d'un point d'une des modélisations avec un volume physique tridimensionnel de l'autre modélisation, ledit volume physique étant défini par les transformations appartenant au domaine de confiance appliquées audit point. L'invention peut comprendre les caractéristiques suivantes, prises seules ou en combinaison : Determining a domain of confidence in the space of the transformations corresponding to the set of transformations for which the value of the similarity criterion calculated by the analytical development is greater than a predetermined threshold, - E5 mapping of a point of one of the modelizations with a three-dimensional physical volume of the other modeling, said physical volume being defined by the transformations belonging to the confidence domain applied to said point. The invention may include the following features, taken alone or in combination:
- l'étape E3 de développement analytique au second ordre comprend les sous-étapes suivantes :  the step E3 of second-order analytical development comprises the following substeps:
E31 formulation du développement analytique à l'aide de coefficients,  E31 formulation of analytical development using coefficients,
E32 calcul d'un nombre de valeurs du critère de similitude à l'intérieur dudit voisinage supérieur ou égal au nombre de coefficients, E33 résolution du système d'équations linéaires,  E32 calculating a number of values of the criterion of similarity within said neighborhood greater than or equal to the number of coefficients, E33 solving the system of linear equations,
- la résolution peut notamment être effectuée par une minimisation de l'erreur au sens de moindres carrés, the resolution can notably be carried out by minimizing the error in the least squares sense,
- L'étape E3 de développement analytique comprend les sous-étapes suivantes : Step E3 of analytical development comprises the following substeps:
E34 détermination des résidus du système,  E34 determination of system residues,
E35 évaluation de la qualité du développement analytique, E35 evaluation of the quality of analytical development,
E36 détermination si nécessaire d'un nouveau voisinage et reprise de l'étape du développement analytique au sein du nouveau voisinage, E36 determination if necessary of a new neighborhood and resumption of the analytical development stage within the new neighborhood,
- l'étape E4 de détermination du domaine de confiance comprend les sous-étapes suivantes : the step E4 for determining the domain of confidence comprises the following substeps:
E41 détermination d'une base de vecteurs propres de la matrice correspondant au second ordre du développement analytique,  E41 determination of a base of eigenvectors of the matrix corresponding to the second order of the analytical development,
E42 évaluation sur chaque axe de la base de vecteurs propres, de l'intervalle de confiance à l'intérieur duquel le critère de similitude reste supérieur à un seuil SP,  E42 evaluation on each axis of the eigenvector base of the confidence interval within which the criterion of similarity remains greater than a threshold SP,
E43 détermination du domaine de confiance à partir des intervalles de confiance sur les axes des vecteurs propres. - l'étape E4 de détermination d'une base de vecteurs propres comprend les sous-étapes suivantes : E43 determination of the confidence domain from the confidence intervals on the axes of the eigenvectors. the step E4 for determining a base of eigenvectors comprises the following substeps:
E411 diagonalisation de la matrice associée au second ordre dudit développement analytique du critère de similitude,  E411 diagonalization of the matrix associated with the second order of said analytical development of the criterion of similarity,
E412 obtention d'une base orthogonale composée des vecteurs propres issus de la diagonalisation et des valeurs propres associées,  E412 obtaining an orthogonal base composed of eigenvectors derived from diagonalization and associated eigenvalues,
- le domaine de confiance est un ellipsoïde, - le seuil prend en compte le bruit relatif à la modélisation par imagerie, the confidence domain is an ellipsoid, the threshold takes into account the noise relating to the imaging modeling,
- le seuil du critère de similitude prend en compte la valeur maximale du critère de similitude calculée par le développement analytique, - the threshold of the similarity criterion takes into account the maximum value of the similarity criterion calculated by the analytical development,
- le procédé comprend une étape Ev de calcul du voisinage, ladite étape Ev comprenant les sous-étapes suivantes : the method comprises a step Ev of calculating the neighborhood, said step Ev comprising the following sub-steps:
Evl calcul, sur chaque axe des translations et des rotations, des valeurs du critère de similitudes de part et d'autre de la transformation optimisée à une pluralité de distances décroissantes donnée,  Evl calculates, on each axis of translations and rotations, values of the criterion of similarities on both sides of the optimized transformation at a given plurality of decreasing distances,
Ev2 comparaison desdites valeurs à la valeur du critère de similitude obtenue pour la transformée optimisée et stockage de l'avant dernière distance pour laquelle la valeur du critère de similitude est supérieure à la valeur du critère de similitude obtenue pour la transformée optimisée,  Ev2 comparing said values with the value of the similarity criterion obtained for the optimized transform and storage of the penultimate distance for which the value of the similarity criterion is greater than the value of the similarity criterion obtained for the optimized transform,
Ev3 détermination du voisinage à l'aide de la distance obtenue à l'étape précédente, - l'étape E3 de développement analytique comprend une étape E37 de détermination d'une transformation améliorée correspondant à la valeur maximale du critère de similitude développé analytiquement, - Procédé dans lequel un nouveau voisinage plus restreint est calculé à partir du développement analytique et dans lequel la transformation améliorée est considérée comme la transformation optimisée Ev3 determining the neighborhood using the distance obtained in the preceding step, the analytical development step E3 comprises a step E37 for determining an improved transformation corresponding to the maximum value of the criterion of similarity developed analytically, - Process in which a new, smaller neighborhood is calculated from the analytical development and in which the improved transformation is considered the optimized transformation
L'invention propose aussi une unité de calcul comprenant des moyens de traitement de données et configurée pour mettre en œuvre les étapes El, E2, E3, E4, E5, ou E2, E3, E4, E5 telles que précédemment décrites. The invention also proposes a calculation unit comprising data processing means and configured to implement the steps E1, E2, E3, E4, E5, or E2, E3, E4, E5 as previously described.
L'invention propose aussi un produit programme d'ordinateur configuré pour être exécuté par les moyens de traitements de données de l'unité de calcul, ledit produit programme d'ordinateur permettant la mise en œuvre les étapes El, E2, E3, E4, E5, ou E2, E3, E4, E5 telles que précédemment décrites. The invention also proposes a computer program product configured to be executed by the data processing means of the computing unit, said computer program product making it possible to implement the steps E1, E2, E3, E4, E5, or E2, E3, E4, E5 as previously described.
PRESENTATION DES FIGURES PRESENTATION OF FIGURES
D'autres caractéristiques, buts et avantages de l'invention ressortiront de la description qui suit, qui est purement illustrative et non limitative, et qui doit être lue en regard des dessins annexés, sur lesquels : Other characteristics, objects and advantages of the invention will emerge from the description which follows, which is purely illustrative and nonlimiting, and which should be read with reference to the appended drawings, in which:
- La figure 1, déjà présentée, schématise le recalage,  FIG. 1, already presented, schematizes the registration,
- Les figures 2a et 2b, déjà présentées, représentent les limitations des tests de précision effectués sur les axes, en trois dimensions et avec une projection dans un même plan,  FIGS. 2a and 2b, already presented, represent the limitations of the precision tests carried out on the axes, in three dimensions and with a projection in the same plane,
- Les figures 3 et 4 représentent respectivement des objets obtenus par imagerie et simulé informatiquement.  - Figures 3 and 4 respectively represent objects obtained by imaging and computer simulated.
- La figure 5 représente le positionnement de l'invention dans le processus connu de recalage,  FIG. 5 shows the positioning of the invention in the known resetting process,
- La figure 6 représente un critère de similitude avec plusieurs maxima locaux, ainsi qu'une illustration de mesures de valeurs.  - Figure 6 represents a criterion of similarity with several local maxima, as well as an illustration of value measurements.
DESCRIPTION DETAILLEE Le procédé décrit ici permet le contrôle d'une modélisation par imagerie Obj2, par exemple un volume tomographique numérique 10 obtenu par tomographie à rayons X d'une pièce (figure 3) et d'une modélisation par simulation Objl, par exemple un modèle CAO 20 sous forme d'une surface (figure 4) obtenue par simulation informatique de cette même pièce. Le procédé s'applique à tout type de recalage (volume/volume, volume/surface, etc.). Cette méthode s'applique à l'issue d'une étape de recalage El entre les deux modélisations (voir figure 3). L'étape de recalage est effectuée à l'aide d'un critère de similitude S et permet d'obtenir une transformation optimisée topt qui maximise au moins localement le critère de similitude. On se réfère à l'introduction. DETAILED DESCRIPTION The method described here allows the control of an Obj2 imaging modeling, for example a digital tomographic volume 10 obtained by X-ray tomography of a part (FIG. 3) and an Objl simulation modeling, for example a CAD model. 20 in the form of a surface (FIG. 4) obtained by computer simulation of this same part. The method applies to any type of registration (volume / volume, volume / area, etc.). This method applies at the end of a registration step El between the two modelizations (see Figure 3). The resetting step is performed using a similarity criterion S and makes it possible to obtain an optimized transformation t op t which maximizes at least locally the criterion of similarity. We refer to the introduction.
La figure 5 illustre l'agencement des différentes étapes selon un mode de réalisation de l'invention. Figure 5 illustrates the arrangement of the different steps according to one embodiment of the invention.
La maximisation du critère de similitude S se fait en utilisant des algorithmes d'optimisation éventuellement itératifs. Citons à titre d'exemple : The maximization of the similarity criterion S is done using possibly iterative optimization algorithms. As an example:
une descente de gradient,  a gradient descent,
la méthode de Levenberg Marquardt,  the method of Levenberg Marquardt,
la méthode de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS),  the Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno method (BFGS),
- la méthode de Fletcher-Reeves, - the Fletcher-Reeves method,
la méthode de Polaak-Robiere.  the Polaak-Robiere method.
Dans la description qui sera donnée, l'espace des transformations T est celui des transformations rigides dépendant de six paramètres (les trois translations et les trois rotations de l'espace). In the description which will be given, the space of the transformations T is that of the rigid transformations depending on six parameters (the three translations and the three rotations of the space).
Le procédé est néanmoins applicable à toute transformation appartenant à un espace de dimension éventuellement supérieure ou inférieure. Prél iminairement au procédé q ui sera décrit par la suite, une modél isation simulée Obj l de la pièce à analyser et une modélisation par imagerie Obj 2 de cette même pièce sont effectuées. The method is nevertheless applicable to any transformation belonging to a possibly larger or smaller dimension space. Preliminarily to the process which will be described later, a simulated modelization Obj l of the part to be analyzed and an imaging modeling Obj 2 of this same part are performed.
Pour cela, dans une étape EO, un d ispositif d 'acq uisition crée la modél isation par imagerie Obj2 et dans une étape EO' un d ispositif informatiq ue crée la modélisation par simulation Obj l .  For this purpose, in a step EO, an acquisition device creates the imaging model Obj2 and in a step E0 a computer device creates the simulation using Obj l simulation.
A l'issue de l 'étape de recalage El , la transformation optimisée topt et le critère de simil itude S sont utilisées pour être affinés. At the end of the registration step E1, the optimized transformation t op t and the similarity criterion S are used to be refined.
Comme représenté notamment en figure 6, dans un voisinage V de la transformation, il se peut qu'il existe une autre transformation pour laquel le le critère de simil itude S a une valeur pl us élevée q ue sa valeur maximum théorique issue de l 'étape de recalage El . As represented in particular in FIG. 6, in a neighborhood V of the transformation, there may be another transformation for which the criterion of similarity S has a higher value than its theoretical maximum value derived from step of registration El.
On détail lera plus tard des procédés pour établir le voisinage V. Processes for establishing neighborhood V will be detailed later.
Dans une étape E2, la transformation optimisée topt et le critère de simil itude S sont récupérés par une unité de calcul comprenant des moyens de traitement de données. In a step E2, the optimized transformation t op t and the criterion of similarity S are recovered by a calculation unit comprising data processing means.
A présent, des étapes postérieures à l 'étape de recalage El proprement d ite et tel le q u'existant dans l'art antérieur vont être décrites. Now, steps subsequent to the registration step E1 properly described and such as the one existing in the prior art will be described.
Dans une étape E3, le critère de simil itude S est développé analytiq uement au second ordre dans un voisinage V de la transformation optimisée topt. Ce développement analytiq ue est effectué autour de la transformation optimisée topt, comme il lustré ci-dessous. In a step E3, the criterion of similarity S is analytically developed in the second order in a neighborhood V of the optimized transformation t op t. This analytic development is performed around the optimized transformation t op t, as illustrated below.
Le critère de similitude S s'exprime alors sous la fonctionnel le suivante pour toute transformation dans le voisinage V, avec une constante, un vecteur de g radient et une matrice Hessienne. On note Sd(t) ce développement analytique : 1 τ The criterion of similarity S is then expressed under the following function for any transformation in the neighborhood V, with a constant, a vector of g radient and a Hessian matrix. We denote Sd (t) this analytic development: 1 τ
¾ (t) = 5(topt) + VS(topt). (t— topt) + - (t— i0pt) H{topt) {t ~ fopt) ¾ (t) = 5 (t opt ) + VS (t opt ). (t-t opt ) + - (t- i 0 pt) H {topt) {t ~ f opt)
+ o(IKt-t°^)ll2) + o (IK t - t ° ^ ) ll 2 )
H est la matrice hessienne de la similitude, c'est-à-dire la matrice comprenant les dérivées secondes de S en fonction ici des rotations et des translations (espace des transformations rigides). Il s'agit typiquement d'un développement de Taylor à l'ordre 2.  H is the Hessian matrix of similarity, that is to say the matrix comprising the second derivatives of S depending on rotations and translations (space of rigid transformations). This is typically a Taylor development at order 2.
L'étape E3 de développement analytique sera détaillée par la suite. Une fois la connaissance analytique Sd du critère de similitude S dans le voisinage V connue, il est possible de déterminer pour quelles transformations t le critère de similitude Sd reste au-dessus d'un seuil prédéterminé SP. Plus de détails seront donnés sur ce seuil SP par la suite. On rappelle que l'ensemble de ces transformations est déterminé à l'aide du développement analytique Sd au second ordre et non pas par calcul réel du critère de similitude S. Il s'agit de la résolution mathématique d'une inéquation. L'ensemble des transformations t supérieures au seuil prédéterminé SP est exactement contenu dans un domaine dit domaine de confiance Vc. Ce domaine Vc se situe dans l'espace des transformations T. A l'issue d'une étape E4, ce domaine de confiance Vc est déterminé. Du fait du développement analytique au second ordre Sd, le domaine de confiance Vc a la forme d'un ellipsoïde. Step E3 of analytical development will be detailed later. Once the analytic knowledge Sd of the similarity criterion S has been known in the neighborhood V, it is possible to determine for which transformations t the criterion of similarity Sd remains above a predetermined threshold SP. More details will be given on this SP threshold thereafter. It will be recalled that all these transformations are determined by means of the second-order analytic development Sd and not by real calculation of the criterion of similarity S. This is the mathematical resolution of an inequation. The set of transformations t greater than the predetermined threshold SP is exactly contained in a so-called domain of confidence V c . This domain V c lies in the space of the transformations T. At the end of a step E4, this confidence domain V c is determined. Due to the second-order analytical development Sd, the confidence domain V c is in the form of an ellipsoid.
On est donc assuré que les transformations t non contenues dans cet ellipsoïde ne constituent pas des candidats possibles pour la maximisation puisqu'elles dégradent la similitude S d'une façon significative (choix du seuil prédéterminé SP) par rapport au maximum estimé. Par « significative », on peut par exemple entendre « correspondant à un niveau de bruit hautement improbable». It is therefore ensured that the transformations t not contained in this ellipsoid do not constitute possible candidates for the maximization since they degrade the similarity S in a significant way (choice of the predetermined threshold SP) with respect to the estimated maximum. By "Significant", we can for example hear "corresponding to a highly unlikely noise level".
Malgré la présence de bruit, on peut donc affirmer que la transformation optimale réelle est contenue dans l'ellipsoïde connu autour de la transformation optimale estimée.  Despite the presence of noise, we can therefore say that the real optimal transformation is contained in the known ellipsoid around the estimated optimal transformation.
En appliquant à un point quelconque du modèle CAO Objl l'ensemble des transformations t du domaine de confiance Vc, ce point de la modélisation simulée Objl va parcourir un volume tridimensionnel physique Vpt de l'espace physique de la modélisation par imagerie Obj2, tridimensionnel (ou inversement, en utilisant les transformations inverses). By applying at any point of the CAD model Objl the set of transformations t of the confidence domain V c , this point of the simulated modeling Objl will traverse a three-dimensional physical volume Vpt of the physical space of the imaging modeling Obj2, three-dimensional (or conversely, using the inverse transformations).
Il est possible de prouver qu'au premier ordre, si la transformation t est contenue dans l'ellipsoïde (de dimension n), alors un point recalé, c'est- à-dire un point qui a subi une transformation t issue du volume de confiance Vc, est logé dans un ellipsoïde physique de dimension 3. It is possible to prove that at the first order, if the transformation t is contained in the ellipsoid (of dimension n), then a fixed point, that is to say a point which has undergone a transformation t from the volume Vc, is housed in a physical ellipsoid dimension 3.
Ainsi, dans une étape E5, une correspondance est établie entre un point du modèle CAO Objl et son volume tridimensionnel physique VPt de la modélisation par imagerie Obj2 correspond audit point. Thus, in a step E5, a correspondence is established between a point of the CAD model Objl and its physical three-dimensional volume V P t of the image modeling Obj2 corresponds to said point.
A toute requête de l'utilisateur ou d'un logiciel demandant la correspondance d'un point du modèle simulé Objl, le procédé permet de déterminer le volume physique tridimensionnel VPt dans la modélisation par imagerie Obj2 pour lequel on peut assurer à un degré de certitude donné que le point s'y trouve. At any request of the user or of a software requesting the correspondence of a point of the simulated Objl model, the method makes it possible to determine the three-dimensional physical volume V P t in the Obj2 imaging modeling for which it is possible to ensure to a degree of certainty given that the point is there.
Ce degré de certitude dépend du seuil prédéterminé SP. En effet, ce seuil détermine la taille du domaine de confiance Vc, et ipso facto le volume tridimensionnel physique VPt. This degree of certainty depends on the predetermined threshold SP. Indeed, this threshold determines the size of the confidence domain V c , and ipso facto the physical three-dimensional volume V P t.
La donnée de sortie, qui est le volume tridimensionnel VPt associé à un point, est robuste au bruit issu de l'imagerie et offre une estimation de précision, ce que les traitements précédents (étape de recalage ou test n- axes par exemple) ne permettaient pas. The output data, which is the three-dimensional volume V P t associated with a point, is robust to noise from the imagery and provides an estimate of accuracy, what previous treatments (step of registration or test n-axes for example) did not allow.
En matière de ressource, l'estimation robuste de la forme quadratique du critère de similitude S développé au second ordre requiert environ l +2n2 évaluations de la similitude (points d'interpolation), contre l + 2n pour un test n-axes par exemple. En revanche, le critère de similitude est connu analytiquement dans le voisinage V et une nouvelle estimation du maximum So, robuste, peut être effectuée. In terms of resources, the robust estimation of the quadratic form of the similarity criterion S developed in the second order requires approximately l + 2n 2 evaluations of the similarity (interpolation points), against l + 2n for a n-axis test by example. On the other hand, the criterion of similarity is known analytically in the neighborhood V and a new estimate of the maximum So, robust, can be carried out.
Les étapes E3 et suivantes s'appliquent à l'issue de toute étape de recalage, et peuvent s'intégrer sans complication dans les méthodes déjà existantes. A présent, davantage de précisions vont être apportées sur les différentes étapes ou objet du procédé. Steps E3 and following apply at the end of any registration step, and can be integrated without complication in existing methods. Now, more details will be made on the different steps or object of the process.
Précision sur l'étape E3 de développement analytique Le développement analytique peut être décomposé en une pluralité de sous-étapes. Precision on step E3 of analytical development The analytical development can be decomposed into a plurality of sub-steps.
Dans une étape E31, la fonctionnelle Sd telle qu'indiquée précédemment est développée à l'aide de coefficients. En particulier, comme on suppose que le critère de similitude S est deux fois dérivable, la matrice Hessienne est symétrique. In a step E31, the functional Sd as indicated above is developed using coefficients. In particular, since it is supposed that the criterion of similarity S is twice differentiable, the Hessian matrix is symmetrical.
Pour calculer les valeurs de ces coefficients de Sd, une pluralité d'estimations effectives de S(t) est effectuée pour des points du voisinage V.  To calculate the values of these coefficients of Sd, a plurality of effective estimates of S (t) is made for points of the neighborhood V.
En dimension n, le nombre Ne de coefficient est de : In dimension n, the number Ne of coefficient is:
n(n + 1)  n (n + 1)
Ne = 1 + n +—  Ne = 1 + n + -
2 Le 1 correspond à la valeur So pour la transformation optimisée topt, n correspond au vecteur de gradient (vecteur à n coordonnées) et n(n + l)/2 correspond à la matrice Hessienne (qui est symétrique, de dimension n2). Dans l'espace des transformations T rigides, de dimension 6, il est nécessaire d'avoir au moins 1+6+ 15 = 22 points de S dans le voisinage V. 2 The 1 corresponds to the value So for the optimized transformation t op t, n corresponds to the gradient vector (vector to n coordinates) and n (n + 1) / 2 corresponds to the Hessian matrix (which is symmetric, of dimension n 2 ). In the space of the rigid transformations T, of dimension 6, it is necessary to have at least 1 + 6 + 15 = 22 points of S in the neighborhood V.
Préférablement, une partie de ces valeurs sont celles déjà calculées par le test n-axes (voir infra), qui donne deux mesures par axe. On ajoute aussi quatre valeurs par paire d'axes. Typiquement, cela signifie que dans une représentation en deux dimensions, on prend deux valeurs opposées sur chaque diagonale (y=x et y = -x). Preferably, some of these values are those already calculated by the n-axis test (see infra), which gives two measurements per axis. Four values per axis pair are also added. Typically, this means that in a two-dimensional representation, we take two opposite values on each diagonal (y = x and y = -x).
En dimension 6, on a 6 x 5 / 2 = 15 paires d'axes (on choisit 2 axes parmi 6 axes, soit 15 choix possibles), et on calcule donc 1 + 6 x 2 + 15 x 4 = 73 valeurs de la similitude.  In dimension 6, we have 6 x 5/2 = 15 pairs of axes (one chooses 2 axes among 6 axes, ie 15 possible choices), and one thus computes 1 + 6 x 2 + 15 x 4 = 73 values of the similarity.
Dans une étape E32, un nombre de valeurs de S au moins égal au nombre de coefficients nécessaires pour déterminer la forme analytique du second ordre Sd est calculé. In a step E32, a number of values of S at least equal to the number of coefficients necessary to determine the second order Sd analytical form is calculated.
Préférablement, le nombre de valeur de S est supérieur afin d'obtenir une redondance des données qui permet d'affiner la position de la transformation optimisée topt. Preferably, the number of values of S is greater in order to obtain data redundancy which makes it possible to refine the position of the optimized transformation t op t.
Dans une étape E33, le système linéaire est résolu. Pour des systèmes redondants, une minimisation au sens des moindres carrés permet de calculer efficacement les résultats.  In a step E33, the linear system is solved. For redundant systems, least-squares minimization makes it possible to efficiently calculate the results.
Avantageusement, dans une étape E34, les résidus du système sont calculés, c'est-à-dire que l'on calcule la différence entre la valeur effective de S et la valeur du développement au second ordre Sd, pour les points d'interpolation. Advantageously, in a step E34, the residuals of the system are calculated, that is to say that the difference between the effective value of S and the value of the second-order development Sd is calculated for the interpolation points. .
A partir de ces résidus, dans une étape E35, la qualité du développement analytique est évaluée. Les critères de qualité ne seront pas détaillés ici, mais il peut s'agir d'une comparaison à un seuil donné ou autre. A partir de cette analyse, il est possible, si nécessaire, dans une étape E36 de déterminer un nouveau voisinage V" pour lequel le procédé d'optimisation du calcul de la transformation optimisée topt s'applique. En outre, comme outil de vérification de la pertinence du développement au second ordre, il est possible de s'assurer que les coefficients du vecteur gradient sont proches de 0. En effet, la transformation topt est supposée être proche d'un extremum local pour lequel le gradient est donc nul. La connaissance analytique (et non plus par estimation à travers des valeurs estimées) de S dans le voisinage V permet de calculer un nouvel extremum So si celui-ci devait être différent de celui calculé pour la transformation topt issue de l'étape de recalage. From these residues, in a step E35, the quality of the analytical development is evaluated. The quality criteria will not be detailed here, but it may be a comparison to a given threshold or otherwise. From this analysis, it is possible, if necessary, in a step E36 to determine a new neighborhood V "for which the optimizing method for calculating the optimized transformation t op t applies. verification of the relevance of the second-order development, it is possible to ensure that the coefficients of the gradient vector are close to 0. Indeed, the transformation t op t is supposed to be close to a local extremum for which the gradient is The analytic knowledge (and not by estimation through estimated values) of S in the neighborhood V allows to calculate a new extremum So if it were to be different from that calculated for the transformation t op t resulting from the step of registration.
Dans une étape E37, à partir du développement analytique Sd, il est possible de déterminer le nouveau maximum So du développement analytique Sd et ainsi d'obtenir une transformation dite « améliorée » ta correspondant à cette nouvelle valeur maximale So du critère de similitude développé analytiquement Sd. Cette transformation améliorée ta une fois déterminée peut est considérée comme la transformation optimisée topt pour la mise en œuvre des étapes décrites dans la description. On réécrit alors simplement le développement à l'ordre 2 autour de ta. Dans ce développement, la constante est So, le gradient est nul et la Hessienne inchangée. In a step E37, from the analytical development Sd, it is possible to determine the new maximum So of the analytical development Sd and thus to obtain a so-called "improved" transformation t a corresponding to this new maximum value So of the similarity criterion developed analytically Sd. This improved processing t once determined can is considered the optimized processing t op t for the implementation of the steps described in the description. We then simply rewrite the development at order 2 around t a . In this development, the constant is So, the gradient is zero and the Hessian unchanged.
Détail de l'étape E4 de détermination du domaine de confiance Vc Detail of the step E4 for determining the confidence domain Vc
Une fois que le critère de similitude S est connu analytiquement Sd dans le voisinage V, il reste à déterminer le domaine de confiance Vc autour de ta. Once the criterion of similarity S is known analytically Sd in neighborhood V, it remains to determine the confidence domain Vc around ta.
Comme mentionné précédemment, le développement au second ordre comprend la constante So, qui correspond à la valeur maximale So du critère de similitude, dans le voisinage V, le gradient, qui est nul (présence d'un maximum), et une matrice Hessienne, dont les valeurs propres sont censées être négatives (présence d'un maximum). As mentioned previously, the second-order development comprises the constant So, which corresponds to the maximum value So of the criterion of similarity, in the neighborhood V, the gradient, which is zero (presence of a maximum), and a Hessian matrix, whose eigenvalues are supposed to be negative (presence of a maximum).
Le critère de similitude est supposé deux fois dérivable, de sorte que la matrice Hessienne soit symétrique. Par conséquent, la décomposition spectrale nous assure que la matrice dispose d'une base de vecteurs propres orthogonaux. Du fait que cette matrice soit issue d'un développement analytique au second ordre sur un maximum, les valeurs propres sont négatives. The criterion of similarity is supposed to be twice differentiable, so that the Hessian matrix is symmetrical. Therefore, the spectral decomposition assures us that the matrix has a base of orthogonal eigenvectors. Since this matrix is derived from a second-order analytic development over a maximum, the eigenvalues are negative.
Dans une étape E41, une base de vecteurs propres orthogonaux est déterminée pour la matrice Hessienne.  In a step E41, a base of orthogonal eigenvectors is determined for the Hessian matrix.
Un intervalle de confiance dans la direction de chaque vecteur propre dépend simplement de la valeur propre correspondante et du niveau maximum de bruit. L'ensemble des intervalles de confiance forment le domaine de confiance Vc. Dans une étape E42, ces intervalles de confiance sont calculés, c'est-à-dire que l'on cherche les valeurs à partir desquelles le critère de similitude devient inférieur (ou égal) au seuil SP. En classant ces axes par valeurs propres décroissantes, on obtient un classement des axes par intervalle de confiance croissant (précision décroissante).  A confidence interval in the direction of each eigenvector simply depends on the corresponding eigenvalue and the maximum noise level. The set of confidence intervals form the confidence domain Vc. In a step E42, these confidence intervals are calculated, that is to say that one looks for the values from which the similarity criterion becomes lower (or equal) to the threshold SP. By classifying these axes by decreasing eigenvalues, we obtain a ranking of the axes by increasing confidence interval (decreasing accuracy).
Ces intervalles définissent un domaine sous forme d'ellipsoïde aligné avec les axes propres dans l'espace des transformations. Cet ellipsoïde est ainsi le domaine de confiance Vs autour de ta, qui est déterminé dans une étape E43. These intervals define a domain in the form of an ellipsoid aligned with the proper axes in the space of the transformations. This ellipsoid is thus the confidence domain Vs around t a , which is determined in a step E43.
A la différence du cas évoqué plus haut pour le test selon les axes originaux, l'intervalle de confiance selon une direction quelconque est maintenant parfaitement connu, et égal à l'intersection de cette direction avec l'ellipsoïde.  Unlike the case mentioned above for the test according to the original axes, the confidence interval in any direction is now perfectly known, and equal to the intersection of this direction with the ellipsoid.
Plus précisément, pour déterminer la base de vecteurs propres, l'étape E41 peut comprendre les sous-étapes E411 de diagonalisation de la matrice hessienne et E412 d'obtention de ladite base orthogonale issue directement de la diagonalisation, ainsi que de leur valeur propre associée. More precisely, in order to determine the eigenvector base, step E41 can comprise substeps E411 for diagonalization of the Hessian matrix and E412 for obtaining said orthogonal base resulting from directly from the diagonalization, as well as their associated eigenvalue.
On notera que ce volume de confiance peut être calculé d'autres façons et qu'il n'est pas nécessaire d'étudier axe par axe les variations, ni même d'obtenir une base de vecteurs propres. It should be noted that this volume of confidence can be calculated in other ways and that it is not necessary to study axis by axis the variations, nor even to obtain a base of eigenvectors.
Détail du calcul du voisinage V Detail of neighborhood V calculation
Le voisinage correspond à un volume fixé de l'espace des transformations T dans lequel la méthode décrite s'applique. Ce volume peut être connu par apprentissage, suite à une accumulation de mise en œuvre des procédés de recalage, ou bien par des méthodes rapides d'estimation d'un volume pertinent, comme le test n-axes. The neighborhood corresponds to a fixed volume of the space of transformations T in which the method described applies. This volume can be known by learning, following an accumulation of implementation of the registration processes, or by rapid methods of estimating a relevant volume, such as the n-axis test.
Une première méthode peut consister à prendre un voisinage arbitraire, issu de l'expérience des recalages précédents. S'il est connu que pour une pièce donnée, un voisinage V convient, on peut utiliser celui-ci. A first method may consist in taking an arbitrary neighborhood, resulting from the experience of previous re-readings. If it is known that for a given room, a neighborhood V is appropriate, we can use it.
D'autres méthodes existent. Le test n-axes va être détaillé ci-dessous, en lien avec la figure 6. Other methods exist. The n-axis test will be detailed below, in connection with FIG.
Le test n-axes correspond à celui présenté en introduction, qui permet de mettre en évidence rapidement une incertitude, mais pas une absence d'incertitude. En revanche, il nous permet ici d'établir une valeur de voisinage V à l'intérieur duquel le développement analytique au second ordre sera effectué.  The n-axis test corresponds to that presented in the introduction, which makes it possible to quickly highlight an uncertainty, but not an absence of uncertainty. On the other hand, it allows us here to establish a neighborhood value V within which second-order analytic development will be performed.
Le test consiste à calculer sur chaque axe (dans le cas des transformations rigides : les axes des translations et des rotations), des valeurs de similitudes jusqu'à en trouver une qui soit supérieure à la valeur S(topt), c'est-à-dire So. Par exemple, une « distance » δ est arbitrairement choisie, qui vaut par exemple 1 cm pour les translations ou 5° pour les rotations. On rappelle que topt est un maximum local (et en théorie dans le voisinage du maximum global s'il existe) pour S et que par conséquent il n'est pas nécessaire d'avoir un δ trop important sinon des itérations non nécessaires vont être effectuées. The test consists in calculating on each axis (in the case of rigid transformations: the axes of the translations and the rotations), values of similarities until finding one which is superior to the value S (t op t), c ' that is, So. For example, a "distance" δ is arbitrarily chosen, which is for example 1 cm for translations or 5 ° for rotations. Remember that t op t is a local maximum (and in theory in the neighborhood of the global maximum if it exists) for S and that consequently it is not necessary to have too much δ, otherwise unnecessary iterations will be performed.
On note par abus de langage topt + δ pour signifier la transformation qui applique une valeur δ en plus à une des translations ou des rotations de topt, sur un des axes donc. We note by abuse of language t op t + δ to signify the transformation which applies a value δ in addition to one of the translations or rotations of topt, on one of the axes therefore.
Pour chaque axe, la valeur de S est calculée pour S(topt + δ) et S(topt - δ). Si S(topt) reste supérieure à ces deux valeurs, on réduit δ, par exemple en le divisant par deux et on réitère les calculs. For each axis, the value of S is calculated for S (t op t + δ) and S (t op t - δ). If S (topt) remains greater than these two values, we reduce δ, for example by dividing it by two and reiterating the calculations.
Une fois qu'une valeur de S supérieure à S(topt) est trouvée, on considère comme voisinage V l'intervalle sur cet axe : [topt- δ ; topt+ δ], avec δ l'avant dernière valeur utilisée, c'est-à-dire que l'intervalle inclut les bornes du δ suivant pour lequel une valeur supérieure a été obtenue (voir V sur la figure 6). Once a value of S greater than S (t op t) is found, the interval on this axis is considered as neighborhood V: [t op t- δ; t op t + δ], with δ the last-used value used, ie the interval includes the bounds of the next δ for which a higher value has been obtained (see V in Figure 6).
On définit une étape de détermination du voisinage Ev, qui peut comprendre les étapes suivantes, mises en œuvre après l'étape El de recalage ou au tout début de l'étape E3 de développement analytique :A neighborhood determination step Ev is defined, which may comprise the following steps, implemented after the resetting step E1 or at the very beginning of the analytical development step E3:
- Evl : calcul, sur chaque axe des translations et des rotations, des valeurs du critère de similitudes S de part et d'autre de la transformation optimisée to t à une pluralité de distances δ décroissantes donnée,- Evl: calculation, on each axis of translations and rotations, values of the criterion of similarities S on either side of the optimized transformation t o t at a given plurality of distances δ decreasing,
- Ev2 : comparaison desdites valeurs à la valeur du critère de similitude S obtenu pour la transformée optimisée to t et stockage de l'avant dernière distance pour laquelle la valeur du critère de similitude S est supérieure à la valeur du critère de similitude obtenu pour la transformée optimisée to t. - Ev2: comparison of said values with the value of the similarity criterion S obtained for the optimized transform t o t and storage of the penultimate distance for which the value of the similarity criterion S is greater than the value of the criterion of similarity obtained for the optimized transform t o t.
Enfin, dans une étape Ev3, le voisinage V est déterminé avec les intervalles obtenus sur chaque axe à l'aide de cette avant-dernière distance.  Finally, in a step Ev3, the neighborhood V is determined with the intervals obtained on each axis using this penultimate distance.
Détail du seuil prédéterminé Detail of the predetermined threshold
Le seuil prédéterminé SP permet de choisir le niveau d'incertitude lors de l'établissement du domaine de confiance Vc et donc du volume physique tridimensionnel VPt. En particulier, plus le seuil est bas et plus les domaines et volumes seront importants. The predetermined threshold SP makes it possible to choose the level of uncertainty when establishing the confidence domain V c and thus the physical volume three-dimensional V P t. In particular, the lower the threshold, the larger the domains and volumes will be.
Le seuil prédéterminé doit permettre d'établir les perturbations des transformations qui deviennent significatives. Il prend en compte la valeur maximale connue So, soit en topt, soit en ta. The predetermined threshold must make it possible to establish the disturbances of the transformations that become significant. It takes into account the maximum known value S0, either at t op t or at t a .
Lors de l'étape E0 d'acquisition du modèle par imagerie Obj2, du bruit d'intensité N est nécessairement introduit. Ce bruit est notamment à l'origine de l'existence d'une pluralité d'extrema locaux pour le critère de similitude S. During step E0 acquisition of the model Obj2 imagery, noise intensity N is necessarily introduced. This noise is in particular at the origin of the existence of a plurality of local extrema for the criterion of similarity S.
Le seuil prédéterminé SP peut ainsi prendre en compte certaines caractéristiques statistiques du bruit N. The predetermined threshold SP can thus take into account certain statistical characteristics of noise N.
En effet, si on sait que la probabilité que le niveau de bruit soit supérieur à une valeur Nt est inférieure à une valeur pbl r alors la probabilité que la transformation optimale corresponde à une similitude inférieure à Indeed, if we know that the probability that the noise level is greater than a value N t is less than a value pb lr then the probability that the optimal transformation corresponds to a similarity lower than
SP = S0 - Nt SP = S 0 - N t
est également inférieure à pbt . is also less than pb t .
Par exemple, la connaissance de l'écart-type σ d'un bruit gaussien permet en le retranchant un certain nombre de fois à la valeur maximale So, de connaître la probabilité associée au volume de confiance. For example, the knowledge of the standard deviation σ of a Gaussian noise makes it possible, by subtracting it a certain number of times from the maximum value So, to know the probability associated with the volume of confidence.
On peut donc régler le seuil à appliquer pour obtenir une probabilité choisie. Des méthodes utilisant des cumuls de probabilités pour une distance de Mahalanobis peuvent être utilisées. Par exemple : We can therefore set the threshold to be applied to obtain a chosen probability. Methods using cumulative probabilities for a Mahalanobis distance can be used. For example :
- Si le seuil prédéterminé est SO— 3 x σ (la valeur maximale SO moins trois fois le bruit gaussien), alors la certitude relative au volume physique tridimensionnel est supérieure à 97,0%.  - If the predetermined threshold is SO-3 x σ (the maximum value SO minus three times the Gaussian noise), then the certainty relating to the three-dimensional physical volume is greater than 97.0%.
Si le seuil prédéterminé est S0 - x σ (la valeur maximale SO moins quatre fois le bruit gaussien), alors la certitude relative au volume physique tridimensionnel est supérieure à 99,9%. If the predetermined threshold is S0 - x σ (the maximum value SO minus four times the Gaussian noise), then the certainty relating to the three-dimensional physical volume is greater than 99.9%.

Claims

Revendications claims
1. Procédé de contrôle non destructif d'une pièce pour aéronautique, comprenant les étapes suivantes : A method of non-destructive testing of an aeronautical part, comprising the following steps:
- (E0, E0') acquisition d'une modélisation obtenue par imagerie à l'aide d'un dispositif d'acquisition (Obj2) et génération d'une modélisation simulée par informatique (Objl),  - (E0, E0 ') acquisition of a modeling obtained by imaging using an acquisition device (Obj2) and generation of a computer-simulated modeling (Objl),
- (El, E2) application d'un procédé de recalage entre les deux modélisations (Obj l, Obj2) à l'aide d'un critère de similitude (S) entre les deux modélisations (Obj l, Obj2) pour obtenir une transformation optimisée (topt) issue de l'espace des transformations (T), ladite transformation optimisée (topt) maximisant ledit critère de similitude (S), - (El, E2) application of a registration process between the two modelizations (Obj l, Obj2) using a similarity criterion (S) between the two modelizations (Obj l, Obj2) to obtain a transformation optimized (t op t) resulting from the transform space (T), said optimized transformation (t op t) maximizing said similarity criterion (S),
le procédé étant caractérisé en ce qu'il comprend les étapes suivantes : the method being characterized in that it comprises the following steps:
- (E3) développement analytique (Sd) au second ordre du critère de similitude (S) au voisinage (V) de la transformation optimisée (topt),- (E3) second-order analytic development (Sd) of the similarity criterion (S) in the vicinity (V) of the optimized transformation (t op t),
- (E4) détermination d'un domaine de confiance (Vc) dans l'espace des transformations (T) correspondant à l'ensemble des transformations (t) pour lesquelles la valeur du critère de similitude (S) calculée par le développement analytique (Sd) est supérieure à un seuil prédéterminé (SP), - (E4) determining a confidence domain (Vc) in the space of the transformations (T) corresponding to the set of transformations (t) for which the value of the similarity criterion (S) calculated by the analytical development ( Sd) is greater than a predetermined threshold (SP),
- (E5) mise en correspondance d'un point d'une des modélisations (Obj l, Obj2) avec un volume physique tridimensionnel (Vpt) de l'autre modélisation (Obj2, Obj l), ledit volume physique (Vpt) étant défini par les transformations (t) appartenant au domaine de confiance (Vc) appliquées audit point.  - (E5) mapping of a point of one of the modelizations (Obj l, Obj2) with a three-dimensional physical volume (Vpt) of the other modeling (Obj2, Obj l), said physical volume (Vpt) being defined by the transformations (t) belonging to the domain of confidence (Vc) applied to said point.
2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel l'étape (E3) de développement analytique au second ordre comprend les sous-étapes suivantes : The method of claim 1, wherein the step (E3) of second-order analytic development comprises the following substeps:
- (E31) formulation du développement analytique à l'aide de coefficients, - (E32) calcul d'un nombre de valeurs du critère de similitude (S) à l'intérieur dudit voisinage supérieur ou égal au nombre de coefficients,- (E31) formulation of analytical development using coefficients, - (E32) calculating a number of values of the criterion of similarity (S) within said neighborhood greater than or equal to the number of coefficients,
- (E33) résolution du système d'équations linéaires. - (E33) resolution of the system of linear equations.
3. Procédé selon la revendication 2, comprenant des sous-étapes : 3. Method according to claim 2, comprising sub-steps:
- (E34) détermination des résidus du système,  - (E34) determination of the residues of the system,
- (E35) évaluation de la qualité du développement analytique, par exemple par comparaison à seuil donné,  - (E35) evaluation of the quality of the analytical development, for example by comparison with a given threshold,
- (E36) détermination si nécessaire d'un nouveau voisinage (V) et reprise de l'étape du développement analytique au sein du nouveau voisinage.  - (E36) determination if necessary of a new neighborhood (V) and resumption of the analytical development stage within the new neighborhood.
4. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel l'étape (E4) de détermination du domaine de confiance (Vc) comprend les sous-étapes suivantes : 4. Method according to any one of the preceding claims, wherein the step (E4) for determining the confidence domain (Vc) comprises the following sub-steps:
- (E41) détermination d'une base de vecteurs propres de la matrice correspondant au second ordre du développement analytique, - (E41) determination of a base of eigenvectors of the matrix corresponding to the second order of the analytical development,
- (E42) évaluation sur chaque axe de la base de vecteurs propres, de l'intervalle de confiance à l'intérieur duquel le critère de similitude (S) reste supérieur à un seuil (SP),  - (E42) evaluation on each axis of the eigenvector base, of the confidence interval within which the similarity criterion (S) remains greater than a threshold (SP),
- (E43) détermination du domaine de confiance (Vc) à partir des intervalles de confiance sur les axes des vecteurs propres. - (E43) determination of the confidence domain (Vc) from the confidence intervals on the axes of the eigenvectors.
5. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le domaine de confiance (Vc) est un ellipsoïde. 5. Method according to any one of the preceding claims, wherein the confidence domain (Vc) is an ellipsoid.
6. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le seuil (SP, SO-N) prend en compte le bruit (N) relatif à la modélisation par imagerie. 6. Method according to any one of the preceding claims, wherein the threshold (SP, SO-N) takes into account the noise (N) relative to the imaging modeling.
7. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le seuil (SP, SO-N) prend en compte la valeur maximale (SO) du critère de similitude calculée par le développement analytique. 7. Method according to any one of the preceding claims, wherein the threshold (SP, SO-N) takes into account the maximum value (SO) of the similarity criterion calculated by the analytical development.
8. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, comprenant une étape (Ev) de détermination d'un voisinage (V), à l'aide des sous-étapes suivantes : The method of any one of the preceding claims, comprising a step (Ev) of determining a neighborhood (V), using the following substeps:
- (Evl) calcul, sur chaque axe des translations et des rotations, des valeurs du critère de similitude (S) de part et d'autre de la transformation optimisée (topt) à une pluralité de distances (δ) décroissantes donnée,- (Evl) calculating, on each axis of translations and rotations, values of the criterion of similarity (S) on either side of the optimized transformation (t op t) at a given plurality of distances (δ) decreasing,
- (Ev2) comparaison desdites valeurs à la valeur du critère de similitude (S) obtenu pour la transformée optimisée (topt) et stockage de l'avant dernière distance pour laquelle la valeur du critère de similitude est supérieur à la valeur du critère de similitude obtenu pour la transformée optimisée ( ) , - (Ev2) comparison of said values with the value of the similarity criterion (S) obtained for the optimized transform (t op t) and storage of the penultimate distance for which the value of the similarity criterion is greater than the value of the criterion of similarity obtained for the optimized transform (),
- (Ev3) détermination du voisinage V à l'aide de la distance obtenue à l'étape précédente.  - (Ev3) determining the neighborhood V using the distance obtained in the previous step.
9. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel l'étape de développement analytique (E3) comprend une étape (E37) de détermination d'une transformation améliorée (ta) correspondant à la valeur maximale (So) du critère de similitude développé analytiquement. The method according to any one of the preceding claims, wherein the analytical development step (E3) comprises a step (E37) of determining an improved transformation (ta) corresponding to the maximum value (So) of the criterion of similarity developed analytically.
10. Procédé selon la revendication précédente, dans lequel la transformation améliorée (ta) est considérée comme la transformation optimisée (topt). 10. Method according to the preceding claim, wherein the improved transformation (ta) is considered as the optimized transformation (topt).
11. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le développement analytique au second ordre Sd a la forme suivante : The method of any of the preceding claims, wherein the second-order analytical development Sd has the following form:
1 T  1 T
¾(t) = S(topt) + VS(topt). (t— topt) + - (t— topt) H{topt) {t— topt) + ( \\ (t - topt) \\2) où H est la matrice hessienne du critère de similitude, t une ¾ (t) = S (t opt ) + VS (t opt ). (t-t opt ) + - (t-t opt ) H {t opt ) {t -t opt ) + (\\ (t -t opt ) \\ 2 ) where H is the Hessian matrix of the similarity criterion, you do not
transformation et topt la transformation optimisée. transformation and t op t optimized transformation.
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