WO2014095418A1

WO2014095418A1 - Verfahren zur bestimmung und oder überwachung von zumindest einem parameter in der automatisierungstechnik

Info

Publication number: WO2014095418A1
Application number: PCT/EP2013/075767
Authority: WO
Inventors: Tobias Brengartner; Gerd BECHTEL; Michael Siegel
Original assignee: Endress+Hauser Gmbh+Co. Kg
Priority date: 2012-12-21
Filing date: 2013-12-06
Publication date: 2014-06-26
Also published as: US9971855B2; DE102012113045A1; US20160188766A1; DE102012113045B4

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung und oder Überwachung von zumindest einem prozess- und/oder systemspezifischen Parameter in der Automatisierungstechnik, wobei ein schwingfähiges System vorgesehen ist, das zumindest zeitweise mit einem in einem Behälter befindlichen Medium wechselwirkt, wobei das schwingfähige System über ein reales Eingangssignal zu Schwingungen angeregt wird, wobei das reale Ausgangssignal des schwingfähigen Systems ermittelt wird, wobei das reale Ausgangssignal digitalisiert und eine reale Ausgangsfolge yu(k) erzeugt wird, wobei das reale Eingangssignal digitalisiert und eine digitale Eingangsfolge (u(k)) erzeugt wird, wobei die digitale Eingangsfolge (u(k)) einem Funktionsblock (Modell) zugeführt wird, der zumindest ein durch mehrere prozess- und/oder systemspezifische Parameter definiertes mathematisches Modell des schwingfähigen Systems in Wechselwirkung mit dem Medium zur Verfügung stellt, wobei über das mathematische Modell eine virtuelle Ausgangsfolge (ym(k)) erzeugt wird, wobei die virtuelle Ausgangsfolge ym(k) mit der realen Ausgangsfolge yu(k) verglichen wird, wobei im Falle einer Abweichung zumindest einer der prozess- und/oder systemspezifischen Parameter des mathematischen Modells adaptiv geändert wird, bis die Abweichung zwischen dem virtuellen Ausgangssignal und dem realen Ausgangssignal der schwingfähigen Einheit innerhalb eines vorgegebenen Toleranzbereichs liegt und wobei zumindest einer der prozess- und/oder systemspezifischen Parameter bereitgestellt wird.

Description

Verfahren zur Bestimmung und oder Überwachung von zumindest einem Parameter in der Automatisierungstechnik

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung und oder Überwachung von zumindest einem Parameter bzw. einer Prozessgröße in der Automatisierungstechnik, wobei ein schwingfähiges System vorgesehen ist, das zumindest zeitweise mit einem in einem Behälter befindlichen Medium wechselwirkt. Bei dem Parameter bzw. bei der Prozessgröße handelt es sich um einen prozess- bzw. systemspezifischen Parameter und/oder um systemspezifischen Parameter. Insbesondere liefern die systemspezifischen Parameter Information über die Geometrie und/oder die Beschaffenheit des

schwingfähigen Systems.

Vibronische Sensoren finden verstärkt Verwendung in der Automatisierungs-technik - und hier insbesondere in der Prozessmesstechnik aber auch in der Fertigungstechnik. Das schwingfähige Element eines vibronischen Sensors ist stoffschlüssig mit einer Membran verbunden und kann als Schwinggabel oder als Einstab ausgestaltet sein. Die Membran und das mit der Membran verbundene schwingfähige Element werden über eine Sende- /Empfangseinheit zu Schwingungen angeregt. Bei der Sende-/Empfangs-einheit handelt es sich üblicherweise um zumindest ein piezoelektrisches bzw. elektromechanisches Element. Darüber hinaus sind auch sog. Membranschwinger bekannt geworden, bei denen das schwingfähige Element die Membran ist.

Üblicherweise wird ein vibronischer Sensor über eine analoge Elektronik zu

Schwingungen angeregt, wobei die analoge Elektronik zusammen mit dem Sensor den analogen Schwingkreis bilden. Entsprechende vibronische Sensoren bzw. vibronische Messgeräte werden von der Anmelderin unter den Bezeichnungen LIQUIPHANT und SOLIPHANT in vielfältigen Ausgestaltungen angeboten und vertrieben.

Vibronische Sensoren ermöglichen es, einen prozess- oder systemspezifischen

Parameter, wie den Grenzstand einer Flüssigkeit oder eines Feststoffes in einem Behälter zu detektieren. Üblicherweise wird zur Detektion eines vorgegebenen Füllstands

(Grenzstand) der Sensor mit der Resonanzfrequenz des schwingfähigen Systems betrieben. Durch die Detektion der Frequenzänderung bei der eingestellten Phase von 90° kann erkannt werden, ob die schwingfähige Einheit mit dem Medium in Kontakt ist oder ob sie frei schwingt.

Darüber hinaus ist es bekannt geworden, durch die Auswertung des Schwingverhaltens von vibronischen Sensoren in einem Medium prozess- und/oder systemspezifische Parameter zu ermitteln bzw. zu überwachen. Bei diesen prozessspezifischen Parametern handelt es sich insbesondere um die Dichte und die Viskosität, aber auch um die

Temperatur. Zwecks Bestimmung der Dichte eines flüssigen Mediums wird die

Phasendifferenz (oftmals auch einfach als Phase bezeichnet) zwischen dem

Eingangssignal und dem Ausgangssignal auf 45° oder 135° eingestellt. Bei Einstellung dieser Phasendifferenz ist eine Frequenzänderung eindeutig auf eine Änderung der Dichte des Mediums zurückzuführen, da eine Beeinflussung durch die Viskosität des Mediums ausgeschlossen werden kann. In der WO 02/031471 A2 ist eine Vorrichtung zur Viskositätsmessung beschrieben. Aus der EP 2 041 529 B1 ist eine Vorrichtung zur Bestimmung der Dichte eines flüssigen Mediums bekannt geworden.

Wie anhand der zuvor genannten Beispiele ersichtlich ist, hat eine analoge Elektronik den Nachteil, dass sie relativ unflexibel ist. Insbesondere muss die analoge Elektronik an jeden Sensor bzw. Sensortyp in Abhängigkeit von seinen Schwingungseigenschaften und weiterhin in Abhängigkeit von der jeweiligen Applikation - also ob der Sensor für die Füllstands-, Dichte- oder Viskositätsmessung eingesetzt werden soll - angepasst werden.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren vorzuschlagen, das es ermöglicht, einen schwingfähigen Sensor flexibel einzusetzen. Die Aufgabe wird gelöst durch ein Verfahren zur Bestimmung und oder Überwachung von zumindest einem prozess- und/oder systemspezifischen Parameter in der

Automatisierungstechnik, wobei ein schwingfähiges System vorgesehen ist, das zumindest zeitweise mit einem in einem Behälter befindlichen Medium wechselwirkt. Das erfindungsgemäße Verfahren weist die folgenden Verfahrensschritte auf:

das schwingfähige System wird über ein reales Eingangssignal zu Schwingungen angeregt;

das reale Ausgangssignal des schwingfähigen Systems wird ermittelt;

das reale Ausgangssignal wird digitalisiert und es wird eine reale Ausgangs-folge erzeugt; das reale Eingangssignal wird digitalisiert, und es wird eine digitale Eingangsfolge erzeugt wird;

die digitale Eingangsfolge wird einem Funktionsblock zugeführt, der zumindest ein durch mehrere prozess- und/oder systemspezifische Parameter definiertes mathematisches Modell des schwingfähigen Systems in Wechselwirkung mit dem Medium zur Verfügung stellt;

über das mathematische Modell wird eine virtuelle Ausgangsfolge erzeugt;

die virtuelle Ausgangsfolge wird mit der realen Ausgangsfolge verglichen;

im Falle einer Abweichung wird zumindest einer der prozess- und/oder

systemspezifischen Parameter des mathematischen Modells adaptiv geändert, bis die Abweichung zwischen dem virtuellen Ausgangssignal und dem realen Ausgangssignal der schwingfähigen Einheit innerhalb eines vorgegebenen Toleranzbereichs liegt;

zumindest einer der prozess- und/oder systemspezifischen Parameter bzw.

Prozessgrößen wird bereitgestellt.

Die erfindungsgemäße Lösung hat mehrere entscheidende Vorteile gegenüber den bislang bekannten Lösungen:

Über das erfindungsgemäße Verfahren wird erreicht, dass es nicht mehr nötig ist, für jeden Sensor bzw. Sensortyp zur Füllstandsmessung eine geeignete analoge Elektronik zu entwickeln.

Weiterhin ist es mit der Erfindung auch nicht mehr nötig, für jeden Sensor oder Sensortyp in den unterschiedlichen Applikationen - also insbesondere für die Dichtemessung und/oder die Viskositätsmessung, die beide von der Temperatur abhängig sind - eine geeignete analoge Elektronik zu entwickeln.

Alle prozess- und/oder systemspezifischen Parameter, die mit einem

schwingfähigen System erfassbar sind, können vielmehr mit einer digitalen Elektronik abgedeckt werden.

Darüber hinaus können alle prozess- und oder systemspezifischen Parameter, die mit einem schwingfähigen System erfassbar sind, simultan erfasst werden.

Das erfindungsgemäße Verfahren ist problemlos in eine herkömmliche Elektronik für ein schwingfähiges System, z.B. zur Grenzstand-detektion, integrierbar.

Die Algorithmen für die Bestimmung der zu überwachenden Parameter können weiterhin verwendet werden.

Kernpunkt des erfindungsgemäßen Verfahrens ist die Verwendung eines

mathematischen Modells, das das Schwingverhalten des schwingfähigen Elements eines vibronischen Sensors im Medium beschreibt. Bei der Modellbildung ist insbesondere die Interaktion zwischen dem schwingfähigen System, also insbesondere zwischen dem schwingfähigen Element, und dem fluiden Medium zu berücksichtigen. Diese Interaktion verursacht zusätzliche auf das schwingfähige System wirkende Kräfte, die das

Schwingverhalten des schwingfähigen Systems signifikant beeinflussen.

Die Kräfte, die das Schwingverhalten beeinflussen, werden in dem mathematischen Modell analytisch berechnet, wodurch es möglich ist, bekannte Algorithmen, wie z.B. Parameterschätzverfahren oder auch adaptive Regelungen, zu verwenden, um die gewünschte Information über zumindest eine zu bestimmende Prozessgröße zu erhalten. Nachfolgend wird die Herleitung eines mathematischen Modells beschrieben, wie es im Zusammenhang mit der Erfindung verwendet werden kann. Insbesondere wird vorausgesetzt, dass das Geschwindigkeitspotential φ eines idealen Fluids um einen vorgegebenen Körper bekannt ist.

Die Geschwindigkeit des Fluids um den Körper ergibt sich durch die Richtungsableitung von φ: v = Αφ.

Die Geschwindigkeit v des idealen Fluids setzt sich aus einer normalen Komponente und einer tangentialen Komponente t zusammen: v_iF = A^■ u^■ e_n + B^■ u^■ e_t

Dabei beschreiben e_n und e_t die Einheitsvektoren in die entsprechenden Richtungen, die Geschwindigkeit des Körpers, A und B beschreiben geometrische Größen des Körpers.

Die Gesamtkraft, die von einem zähen Fluid auf einen sich bewegenden Körper wirkt, lässt sich in zwei Kräfte unterteilen:

1. Druckkraft

2. Reibungskraft

1. Um die Druckkraft berechnen zu können, kann mit Hilfe der Eulerschen Gleichung der Druck pro Fläche berechnet werden. Da die Fluidgeschwindigkeit nicht von der Zähigkeit des Fluids beeinflusst wird, kann für die Berechnung des Drucks auf die Körperoberfläche (n=0) die Normalkomponente des Geschwindigkeitspotentials eines idealen Fluids herangezogen werden. Der Druck p auf die Körperoberfläche pro Flächeneinheit ergibt sich damit durch:

dcp du

Für die Berechnung der Druckkraft muss der Druck pro Flächeneinheit noch über die Körperoberfläche integriert werden:

f f ddccpp dduu

F_D = J p \_n=0 dA = j -Ρ - · _Έ dA

2. Um die Reibungskraft berechnen zu können, muss vorab die tangentiale

Geschwindigkeitskomponente für ein zähes Fluid berechnet werden. Hierfür wird ein infinitesimaler Teil des Körpers betrachtet. Dieser Teil wird als unendlich ausgedehnte ebene Fläche angenommen. Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente einer unendlich ausgedehnten Fläche, die in einem zähen Fluid translatorische Schwingungen in ihrer Ebene ausführt, beträgt:

't.zF = u^■ es

Dabei beschreibt η die Viskosität, p die Dichte und δ die Eindringtiefe der transversalen Welle und errechnet sich zu:

.Die tangentiale Geschwindigkeit eines zähen Fluids nimmt somit gemäß der Formel:

Vt.zF = V_t,iF^■ (l - ^eS<1 °) ... zur Körperoberfläche hin ab, da zur Körperoberfläche hin die Zähigkeit des Fluids die tangentiale Geschwindigkeitskomponente beeinflusst.

Die Reibungskraft, die auf der Oberfläche des Körpers pro Längeneinheit wirkt, ergibt sich zu:

dv_{t ZF} \

F_R = η^■■

Mit £ =— folgt:

Die gesamte Reibungskraft ergibt sich durch die Integralbildung der oben aufgeführten Kraft über die Oberfläche des Körpers:

F₈ = -G₂ - u - J— - _Έ - ^)

Die durch das Fluid auf den Körper wirkende Gesamtkraft ergibt sich durch Summation der Druckkraft und der Reibungskraft. Dabei ist die Richtung der Einzelkräfte jeweils positiv zu nehmen: Dabei ist m_F als zusätzlich ankoppelnde Masse und d_F als zusätzlich wirkende Dämpfung zu interpretieren:

Die Differentialgleichung des vibronischen Sensors ergibt sich somit als Gleichung zweiter Ordnung zu: υ_ε * ω = φ + 2 * Ο * ω₀ * φ + ω * φ

Mit der Eigenkreisfrequenz ω₀ und dem Lehr'schen Dämpfungsmaß D ergeben sich folgende Formeln:

G und G₂ sind Faktoren, die ausschließlich von der Geometrie des schwingfähigen Körpers abhängen. Die Steifigkeit des Systems ist durch c(T) gegeben, m_s ist die Masse, d_s die Dämpfung des frei schwingenden Systems. Über die bekannten

Parameterschätzverfahren lassen sich die Größen Lehr'sches Dämpfungsmaß D und die Eigenfrequenz ω₀ ermitteln. Weiterhin können dann die Fluidparameter Dichte p, Viskosität η und Temperatur T geschätzt werden.

Die Parameterschätzverfahren haben teilweise recht alte Quellen. So wurde die Theorie für LS und RLS erstmals durch Carl Friedrich Gauß in seiner Veröffentlichung "Theoria Combinationis obervationum erroribus minimis obnoxiae I, II" von 1821-1823 hergeleitet. Heute ist die Methode der kleinsten Quadrate LS ein mathematisches Standard- Verfahren, das zur Datenapproximation oder zur Ausgleichsrechnung in sämtlichen Wissenschaften benutzt wird. Der Kaiman Filter wurde von Rudolf Emil Kaiman unter dem Titel "A new approach to linear filtering and prdiction problems" im Jahre 1960

veröffentlicht. Das größte Eisatzgebiet des Kaiman Standard-Filters ist die Glättung von Messsignalen, beispielsweise um das Rauschen auf den Messsignalen zu kompensieren. Ein guter Überblick über die Entwicklung der Parameterschätzverfahren findet sich in zahlreichen Artikeln und Büchern.

Eine vorteilhafte Ausgestaltung des erfindungsgemäßen Verfahrens sieht vor, dass ein Gütekriterium ermittelt wird, das die Güte des virtuellen Ausgangs-signals in Bezug auf das reale Ausgangssignal anhand der Ausgangsfolgen des schwingfähigen Systems beschreibt, und wobei zumindest einer der gewünschten prozess- oder

systemspezifischen Parameter bereitgestellt wird, sobald das Gütekriterium im

vorgegebenen Toleranzbereich eines vorgegebenen Werts für das Gütekriterium liegt. Bei dem Gütekriterium handelt es sich beispielsweise um die Summe der Fehlerquadrate. In diesem Fall ist das Gütekriterium bevorzugt Null.

Darüber hinaus wird vorgeschlagen, dass die Änderung der prozess- oder

systemspezifischen Parameter über einen Adaptionsalgorithmus vorgenommen wird, der die prozess- und/oder die systemspezifischen Parameter solange variiert, bis die

Abweichung zwischen dem virtuellen Ausgangssignal und dem realen Ausgangssignal bzw. dem ermittelten Gütekriterium und dem vorgegebenen Gütekritierium in dem vorgegebenen Toleranzbereich liegt und die Abweichung bevorzugt ein Minimum erreicht. Bevorzugt wird in Zusammenhang mit der Erfindung als mathematisches Modell, in dem das schwingfähige System als lineares oder nicht lineares System beschrieben wird, eine Beschreibung des schwingfähigen Systems in einem Zustandsraum verwendet. Für die Beschreibung des schwingfähigen Systems im Zustandsraum wird als Verfahren das Extended Kaiman Filter, der Unscented Kaiman Filter oder ein Subspace Verfahren verwendet.

Als mathematisches Modell, in dem das schwingfähige System als lineares System beschrieben wird, wird bevorzugt ein Parameterschätzverfahren eingesetzt. Dieses Parameterschätzverfahren beschreibt die Beziehung zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignal durch Übertragungsfunktionen oder Übertragungsmatrizen.

Darüber hinaus schlägt eine alternative Ausgestaltung des erfindungs-gemäßen

Verfahrens vor, dass als Parameterschätzverfahren bevorzugt die Methode der kleinsten Quadrate, das verallgemeinerte LS Verfahren, das RLS Verfahren, die Methode der Hilfsvariablen oder die Methode der Maximalen Wahrscheinlichkeit verwendet wird.

Wie bereits zuvor erwähnt, werden als prozess- und/oder systemspezifische Parameter die Temperatur, die Viskosität und/oder die Dichte des Mediums und/oder der Füllstand des Mediums in einem Behälter bestimmt. Die Erfindung wird anhand der nachfolgenden Figuren näher erläutert. Es zeigt:

Fig. 1 : ein Blockdiagramm, das das erfindungsgemäße Verfahren visualisiert, Fig. 2: ein Flussdiagramm, das die Verfahrensschritte des erfindungsgemäßen

Verfahrens verdeutlicht und

Fig. 3: eine Darstellung eines elliptischen Zylinders im elliptischen Koordinatensystem.

Fig. 1 zeigt ein Blockdiagramm, das das erfindungsgemäße Verfahren zur Bestimmung und oder Überwachung von zumindest einem prozess- und/oder systemspezifischen Parameter visualisiert. Hierzu ist ein schwingfähiges System vorgesehen, das zumindest zeitweise mit einem in einem Behälter befindlichen Medium bzw. Fluid wechselwirkt. Das schwingfähige System in Kontakt mit dem Fluid ist in Fig. 1 mit dem Begriff

"Prozess" gekennzeichnet.

Das schwingfähige System wird über ein analoges Eingangssignal zu Schwingungen angeregt. Das reale Ausgangssignal wird als Ausgangssignal des schwingfähigen Systems ermittelt, anschließend digitalisiert, so dass eine reale Ausgangsfolge yu(k) erzeugt wird. Übliche Störgrößen n(k) werden berücksichtigt, so dass sich die reale Ausgangsfolge yp(k) ergibt.

Parallel dazu wird das reale Eingangssignal digitalisiert, und es wird eine digitale Eingangsfolge u(k) erzeugt. Die digitale Eingangsfolge u(k) wird einem Funktionsblock

Modell zugeführt, der zumindest ein durch mehrere prozess- und/oder systemspezifische Parameter definiertes mathematisches Modell des schwingfähigen Systems in

Wechselwirkung mit dem Medium zur Verfügung stellt. Über das mathematische Modell wird eine virtuelle Ausgangsfolge ym(k) erzeugt. Anschließend wird die virtuelle

Ausgangsfolge ym(k) mit der realen Ausgangsfolge yu(k) bzw. yp(k) verglichen. Im Falle einer Abweichung e(k) wird zumindest einer der prozess- und/oder systemspezifischen Parameter des mathematischen Modells adaptiv ... geändert, bis die Abweichung e(k) zwischen dem virtuellen Ausgangssignal ym(k) und dem realen Ausgangssignal yu(k) bzw. yp(k) der schwingfähigen Einheit innerhalb eines vorgegebenen Toleranzbereichs liegt. ... Anschließend wird zumindest einer der prozess- und/oder system-spezifischen Parameter bereitgestellt.

Nachfolgend wird eine Ausgestaltung der Modellbildung beschrieben. Für die Bildung des mathematischen Modells werden die Gleichungen der Hydrodynamik herangezogen. Insbesondere lässt sich der Bewegungszustand eines in einem Medium schwingenden schwingfähigen Elements mit fünf Gleichungen beschrieben:

- den Eulersche Gleichungen

- der Kontinuitätsgleichung

- der Adiabatengleichung

Hierbei beziehen sich alle Größen auf bestimmte Raumpunkte und nicht auf

bestimmte Flüssigkeitsteilchen. Ein Flüssigkeitsteilchen ist als ein infinitesimales Volumen einer Flüssigkeit definiert, dessen Volumen klein ist bezüglich des Gesamtvolumens. Weiterhin werden die zwischenmolekularen Abstände als groß bezüglich des

infinitesimalen Volumens ... (?) vorausgesetzt.

Für ein ideales ... gelten folgende Voraussetzungen:

Prozesse der Energiedissipation werden nicht berücksichtigt. Insbesondere wird dabei angenommen, dass das Fluid keine Zähigkeit aufweist und dass kein Wärmeaustausch zwischen den Flüssigkeitsteilchen auftritt. Die Bewegung der ds

Flüssigkeitsteilchen erfolgt adiabatisch und es gilt,— = 0 , wobei s der Weg und t die Zeit ist.

Kontinuitätsgleichung (Erhaltungssatz der Masse): ^ + div(pv = 0

Eulersche Gleichung:

(vV v =— ^grad(p)

Thermodynamische Beziehung: dp

dw = T ds + V dp > dw = V dp

Eulersche Gleichung:

^ + (vV)v =—grad(w)

Bei einem idealen Fluid, das durch die thermodynamische Beziehung: gradiv²) - , , __x

— = v x rot{v) + (yV)v Beschrieben wird, kann die Eulersche Gleichung:

— + (vV)v =—grad(w) in einer Variante dargestellt werden, welche ausschließlich Geschwindigkeiten enthält: ^rot(u) = rot(v x rot(v))

Bei dem Idealen wird weiterhin angenommen:

Dass die Strömung stationär ist,

- D.h. dass die Strömungsgeschwindigkeit in jedem Punkt des von der Flüssigkeit eingenommenen Raumes zeitlich konstant ist,

- und dass die Geschwindigkeit ist eine reine Ortsfunktion ist. Und dass es sich um eine Potentialströmung handelt,

- D.h. es handelt sich um eine wirbelfreie Strömung und

- dass die stationäre Strömung um einen beliebigen Körper eine Potentialströmung ist, wenn der aus dem unendlich einfließende Strom homogen ist (Thomsonscher Satz).

Im Hinblick auf die Annahme eines idealen Fluids müssen folgende Punkte berücksichtigt werden:

Die Erkenntnisse bei der Betrachtung eines idealen Fluids sind in der Realität nur begrenzt anwendbar;

Die Strömung kann sich an der Oberfläche eines umströmten Körpers ablösen. Das führt dazu, dass

- eine tangentiale Unstetigkeitsfläche entsteht, auf welcher die Strömungsgeschwindigkeit unstetig ist, und

- dass die Lösung der Gleichungen für ideale Flüssigkeiten nicht eindeutig ist.

Es gibt in der Realität keine idealen Flüssigkeiten. Vielmehr gilt:

- Jedes Fluid besitzt eine Zähigkeit. - Aufgrund der Zähigkeit eines Fluids wird die Lösung eindeutig.

- Zähigkeit spielt in der Nähe der Oberfläche eine besondere Rolle.

Jedoch machen die Lösungen der Bewegungsgleichungen, die zu einer stetigen stationären Potentialströmung gehören, in einigen Fälle einen Sinn:

- Das Strömungsbild um einen beliebigen Körper hat nichts gemeinsam mit einer Potentialströmung um diesen Körper herum.

- Strömungen um stromlinienförmige Körper weichen kaum von der

Potentialströmung um einen solchen Körper ab.

- Ausschließlich in der Nähe der Oberfläche und in einem schmalen Bereich des Nachlaufs hinter dem Körper tritt keine Potentialströmung auf.

Im Folgenden werden kleine Schwingungen eines in ein ideales Fluid eingetauchten Körpers betrachtet.

Hierzu werden die einzelnen Terme der Eulerschen Gleichung betrachtet:

Unter der Annahme, dass die adiabatische Bewegung (Enthalpie (s) konstant ist, ergibt sich eine homentrope Bewegung, die durch die folgende Formel beschrieben wird:

^ + (vV)v =—grad(w)

Die Geschwindigkeit erfährt merkliche Änderung in Abständen von der Größenordnung der Abmessungen des Körpers (I) - vV ~ y

Die Geschwindigkeit selbst wird durch die Geschwindigkeit des Körpers

u²

bestimmt - (vV)v ~ y

Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist = ωυ. und mit ω ~ u/a folgt ^ = u²/a.

Ist die Schwingungsamplitude (a) viel kleiner als die Abmessung des Körpers (I), so folgt: y_t = ^~grad(w)

Durch Bildung der Rotation folgt: rot(v) = 0 -» rot(v) = const.

Da bei einer Schwingungsbewegung der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit Null ist, folgt: rot(v) = 0

Die Strömung einer Flüssigkeit, die kleine Schwingungen ausführt, ist in erster Näherung eine Potentialströmung.

Jedes wirbelfreie Vektorfeld kann als Gradient eines Skalars dargestellt werden. v = grad((p)

Durch Einsetzen in die Kontinuitätsgleichung folgt die Laplace Gleichung: Δφ = 0

Mit der Eulerschen Gleichung folgt das erste Integral der Bewegungsgleichung einer Potentialströmung:

Reale Fluide weisen eine gewisse Zähigkeit auf. Hier müssen folgende Punkte berücksichtigt werden:

Die Energiedissipation infolge von Reibungseffekten Die Navier-Stokes Gleichung:

^ + (vV v =— - grad(p + -Δν · Jede Strömung wird durch drei Parameter bestimmt:

- Kinematische Zähigkeit (v)

- Geschwindigkeit (u) - Geometrische Abmessung des Körpers (0

Die dimensionslose Kombination der drei Parameter führt auf die Definition der Reynoldszahl:

u-l _ p-u-l

v η

Abschätzung der Terme der Navier-Stokesschen Gleichung: + (vV)v =—- qrad(v) + -Δν

dt p p

- Die Geschwindigkeit erfährt merkliche Änderung in Abständen von der Größenordnung der Abmessungen des Körpers (I) - vV ~ y.

- Die Geschwindigkeit selbst wird durch die Geschwindigkeit des Körpers u²

bestimmt - (vV)v ~ y

- Des weiteren ist -Av ~ .

p p-1²

Das Verhältnis der beiden Größen ergibt die Reynoldszahl:

(vV)v u-p-l

Für kleine Reynoldszahlen kann daher der Term (yV)v gegenüber ^Δν vernachlässigt werden. Somit wird die Navier-Stokessche Gleichung einer stationären Strömung zu einer linearen Bewegungsgleichung:

1

— grad(p) + -Av = 0

Diese Gleichung bestimmt zusammen mit der Kontinuitätsgleichung die Strömung des Fluid vollständig

Im Folgenden werden kleine Schwingungen einer unbegrenzten ebenen Fläche in einem inkompressiblen zähen Fluid betrachtet:

Die Strömung, die bei Schwingungen fester Körper in einer zähen Flüssigkeit entsteht, weist eine ganze Reihe charakteristischer Besonderheiten auf.

Dies wird nach folgend an einem einfachen Beispiel erläutert: - Es wird angenommen, dass eine inkompressible Flüssigkeit mit einer unbegrenzten ebenen Fläche in Berührung kommt, die in ihrer Ebene eine einfache harmonische Schwingung mit der Frequenz ω ausführt. u = cos(a>t) = Re{u₀e ^;ωί:} Für x = 0 gelten die Randbedingungen : v_y = u; v_{x z} = 0

Kontinuitätsgleichung (inkompressibles Fluid):

- Aus Symmetriegründen ist klar, dass alle Größen nur von x (und von der Zeit) abhängen werden dv ^RB

div(v = 0 -» = 0 -» v_x = const— > v_x = 0

Navier-Stokes Gleichung:

+ (vV)v =—-grad(p) + -Δν - Alle Größen sind unabhängig von y und z. d ^RB

(vV) v = v_x— v— > (vV)v = 0

^ ^d = - grad(p) + v

Lineare Gleichung mit x-Komponente gleich Null. Navier-Stokessche Gleichung wird zu einer eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung

— = 0 -» v = const

dx

dv η . dv d²v

— =— Δν— »— = V— - dt p dt dx²

· Die Geschwindigkeit des Fluids ergibt sich damit zu v = u₀e-^iw el^(1";) mit δ = . .

In einer zähen Flüssigkeit können transversale Wellen auftreten.

Die Geschwindigkeit v_y = v steht senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung der Welle. Die Dämpfung der Welle erfolgt nach dem Exponentialgesetz mit der Eindringtiefe δ.

Die Eindringtiefe nimmt ab mit wachsender Frequenz der Welle und nimmt zu mit wachsender Zähigkeit der Flüssigkeit.

Navier-Stokessche Gleichung: + (vV)v =— - qradVp) + -Δν

dt p p · Abschätzung der Terme:

(vv)v ~— ~——

ÖV n

— x νω ~ αω

dt · Für a « l kann der Term (vV)v vernachlässigt werden. Die Reynoldszahl muss dabei keineswegs klein sein.

Durch Bildung der Rotation auf beiden Seiten dieser Gleichung folgt: -^-rot(v) = -Ärot(v)

dt ' p '

Die Bewegungsgleichung eines Körpers, dessen Schwingungsamplitude klein gegenüber seinen geometrischen Abmessungen ist, ist vom Typ einer

Wärmeleitungsgleichung:

-^rot(v) = -^ Arotiy

Die Rotation der Geschwindigkeit klingt in das Innere der Flüssigkeit hinein ab.

Die von den Schwingungen des Körpers hervorgerufene Bewegung der

Flüssigkeit ist in einer gewissen Schicht um den Körper eine wirbelbehaftete Strömung. In größerer Entfernung geht diese schnell in eine Potentialströmung über. Die Eindringtiefe der Wirbelströmung ist δ. Die Bewegung des inkompressiblen Fluid außerhalb dieser dünnen Schicht kann somit mit folgenden Gleichungen beschrieben werden: rot(v) = 0; div(y~) = 0 · Daraus folgt, dass Av = 0.

Die Navier-Stokessche Gleichung geht deswegen in die Eulersche Gleichung über.

Die Flüssigkeit strömt also überall, außer in der Schicht an der Oberfläche des Körpers, wie eine ideale Flüssigkeit. · Da die Grenzschicht um den Körper dünn ist, müsste man bei der Lösung der

Gleichungen rot(v) = 0, div(v) = 0 zur Bestimmung der Strömung im

überwiegenden Teil der Flüssigkeit dieselben Randbedingungen nehmen, die an der Oberfläche des Körpers erfüllt sein müssen, d. h., die

Strömungsgeschwindigkeit müsste gleich der Geschwindigkeit des Körpers sein.

Die Lösungen der Bewegungsgleichungen für eine ideale Flüssigkeit können aber diese Bedingungen nicht befriedigen.

Man kann diese Bedingungen nur an die Normalkomponente der

Strömungsgeschwindigkeit auf der Oberfläche des Körpers stellen. · Die Gleichungen für ein ideales Fluid sind zwar in der Grenzschicht um den

Körper nicht anwendbar, da aber die bei ihrer Lösung gewonnene

Geschwindigkeitsverteilung bereits die notwendigen Randbedingungen für die Normalkomponente der Geschwindigkeit befriedigt, kann der wahre Verlauf dieser Komponente in der Nähe der Oberfläche des Körpers keinerlei wesentlichen Besonderheiten haben. Ausschließlich die resultierende tangentiale

Geschwindigkeitskomponente ist nicht korrekt.

Berechnung der Kräfte, die von einem idealen Fluid auf einen elliptischen Zylinder wirken.

Annahme: Inkompressibilität - Inkompressibilität liegt vor, wenn die Mach'sche Zahl (Ma = sehr viel kleiner Eins ist.

- Diese beträgt für den Sensor, in einem Silikonöl von SOOOmPa s, Ma ^χ 94 · 10^"6 « 1. Die Strömung einer inkompressiblen idealen Flüssigkeit, die kleine Schwingungen ausführt, ist in erster Näherung eine Potentialströmung. Es gelten folgende Gleichungen:

- Kontinuitätsgleichung: div(v) = 0

- Euler-Gleichung: rot(v) = 0

Im Folgenden werden die mit dem Medium in Kontakt kommenden Gabelzinken eines schwimmfähigen Grenzstanddetektors, z.B. des von der Anmelderin angebotenen und vertriebenen Liquiphant näher betrachtet. Näherungsweise lassen sich die Gabelzinken durch elliptische Zylinder beschreiben. Nachfolgend werden nunmehr die Kräfte berechnet, die von einem idealen Fluid auf einen elliptischen Zylinder wirken. In Fig. 3 ist ein elliptischer Zylinder im elliptischen Koordinatensystem dargestellt.

Das Geschwindigkeitspotential um den elliptischen Zylinder ergibt sich zu: φ = -u^■ a^■ e^io *

sin( )

Somit ergibt sich die Geschwindigkeit des Fluid v = A^■ βξ + B^■ ε_μ

A = - sin(ß) |c² (cos/i²(f)- s² (ß))

sin(ß) Je² {cosh² (ξ ) -cos² (μ))

Die Eulersche Gleichung wird durch Δφ = 0 zu: g_rad (^ ₊ l v ₊ _ P\ _{= 0} ^ äV ₊ _ _ P _{= m}

a dt 2 pj dt 2 p ' ^J Weiter muss berücksichtigt werden, dass der Koordinatensprung in das Zentrum der Ellipse gelegt worden ist und sich zeitlich mit der Geschwindigkeit (u) des Körpers mitbewegt. Aus diesem Grund ist das totale Differential zu bilden:

dm dm du _

— = uVcp

dt du dt

Der Druck auf der Oberfläche des Zylinders ergibt sich damit zu:

. ί ^v , ccooss²ⁱ(jui)) dduu \

Die geschwindigkeitsproportionalen Terme liefern keinen Beitrag zur Kraft (in einem idealen Fluid gibt es keine Energiedissipation - an einem gleichförmig bewegten Körper kann keine Kraft angreifen)

Die Kraft ergibt sich aus dem Integral des Drucks über die Zylinderoberfläche cos²(u) du ,

K = -

J \ Ρ ^f \ⁱ εi--είο dA = J Γ p r · a—- sin{a) — dt dx

Dabei ist dx in elliptischen Koordinaten:

Daraus folgt die Kraft auf den Zylinder zu:

K = ρ α² ^/₀ ^2π εοΞ² (μ)άμ

₂ au

K = p a π—

Die normale Geschwindigkeitskomponente wird von der Zähigkeit nicht beeinflusst im Gegensatz zu der tangentialen Komponente.

Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente muss sich in der dünnen Grenzschicht rasch ändern. Der Gang der Änderung kann leicht bestimmt werden. Betrachtet man ein Teilstück der Oberfläche des Körpers, dessen Abmessungen klein gegenüber den Abmessungen des Körpers sind, so kann man dieses Teilstück als angenähert eben ansehen.

Aufgrund dessen können die Ergebnisse, die oben für eine ebene Fläche berechnet wurden, angewandt werden.

Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente in einem idealen Fluid beträgt:

Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente wurde für einen elliptischen Zylinder berechnet, der sich in einer ruhenden Flüssigkeit bewegt.

Für weitere Berechnungen muss diese für einen ruhenden elliptischen Zylinder, der einer Potentialströmung ausgesetzt ist, umgerechnet werden.

Das Problem des in der Flüssigkeit bewegten Körpers ist völlig äquivalent dem Problem der Umstromung eines festen Körpers in einem Flüssigkeitsstrom, der im Unendlichen die gegebene Geschwindigkeit u hat. Die

Geschwindigkeitsverteilung für das erste Problem (bewegter Körper in einer Flüssigkeit) ergibt sich aus der Lösung des zweiten Problems (ruhender Körper in einem Flüssigkeitsstrom) einfach durch Subtraktion der Geschwindigkeit u.

Es folgt somit die tangentiale Geschwindigkeitskomponente eines sich in einer Potentialströmung befindenden ruhenden elliptischen Zylinders zu:

= ^vt, bewegt .^{1 + A})

Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente muss nun hin zur Oberfläche der Geschwindigkeit des Körpers entsprechen. Da dieser ruht, muss die tangentiale Geschwindigkeitskomponente in der dünnen Randzone hin zur Oberfläche des Körpers zu Null werden.

Wie vorher beschrieben, nimmt die tangentiale Geschwindigkeitskomponente einer in einem zähen Fluid schwingenden Ebene exponentiell mit der Eindringtiefe δ in Normalenrichtung ab. Die Geschwindigkeit einer zähen Flüssigkeit, die entsteht wenn eine ebene Fläche translatorische Schwingungen in ihrer Ebene ausführt, beträgt:

Daraus folgt, dass die für ein ideales Fluid berechnete tangentiale

Geschwindigkeitskomponente für ein zähes Fluid mit folgender Beziehung abnehmen muss:

Die Reibungskraft, die auf eine in einem zähen Fluid schwingende ebene Fläche pro Flächeneinheit wirkt, beträgt:

Diese Gleichung kann auch für die Berechnung der Kraft verwendet werden, die aufgrund der Reibung durch das Fluid auf den elliptischen Zylinder wirkt. Dabei ist n der Einheitsvektor in Normalenrichtung des Zylinders. In elliptischen

Zylinderkoordinaten ergibt sich damit:

Somit ergibt sich die Kraft pro Flächeneinheit zu:

K = + B [ J^ u - J^ i u

cos(ß)

B =

7 l+(m² -l)cos² (μ) ( V^{1 +} ^ χιη π(μ))/

Trennt man den Real- und Imaginärteil der Kraft K, so ergibt sich diese in einer Form:

K = (k_i — ik₂) u

f_e - li^ d + ß) B =

l+(m² -l)cos² (μ) V (^{1 +} ^ sin²π (μ))

Zur Berechnung der Kraft, die auf den gesamten elliptischen Zylinder wirkt, muss die berechnete Kraft pro Längeneinheit über die gesamte Oberfläche integriert werden.

Die Schwingungsrichtung zeigt in kartesischen Koordinaten in die y-Richtung. Somit berechnet sich die wirkende Reibungskraft zu:

K = / K dy y = c sinh(^) sin(/ )

Dies resultiert in einer Gesamtkraft von:

2 b X \ 12 ω ρ η u +

2 dt

E 1— ₇ \-K 1— ₇

X = l

m(m² -l) — K = vollständiges elliptisches Integral 1. Gattung

- E= vollständiges elliptisches Integral 2. Gattung

Als Ergebnis ergibt sich ein der Geschwindigkeit proportionaler Term und ein der Beschleunigung proportionaler Term. Der geschwindigkeitsproportionale Term kann als eine zusätzlich wirkende

Dämpfung interpretiert werden: d_F = 2 ^■ l^■ b^■ X^■ ^2ωρη der beschleunigungsproportionale Term kann als eine ankoppelnde Masse interpretiert werden. m_p = 2 - l - b - X - + l - p - a² · π

Fig. 2 zeigt ein Flussdiagramm, das die Verfahrensschritte des erfindungsgemäßen Verfahrens verdeutlicht. Nach dem Start des Verfahrens wird bei Programmpunkt 10 entschieden, ob die Mediumseigenschaften bzw. die prozessspezifischen Parameter p, η, T direkt oder indirekt über ein Parameterschätzverfahren ermittelt werden. Wird der direkte Weg gewählt, so erfolgt die Parameterschätzung der prozessspezifischen

Parameter p, η, T unter dem Programmpunkt 20. Wird der indirekte Weg gewählt, so wird unter dem Programmpunkt 30 eine

Parameterschätzung des Lehr'schen Dämpfungsmaßes D und der Eigenkreisfrequenz ω₀ vorgenommen. Anschließend wird bei dem Programmpunkt 40 die Berechnung der Mediumseigenschaften bzw. der prozessspezifischen Parameter p, η, T vorgenommen. Die benötigten prozessspezifischen Parameter p, η, T werden bei Programmpunkt 50 ausgegeben.

Bezugszeichenliste v. Geschwindigkeit Fluid

Δ: Laplace Operator

φ: Geschwindigkeitspotential Fluid

v_iF: Geschwindigkeit ideales Fluid

A: Geometrischer Faktor

B: Geometrischer Faktor

u: Geschwindigkeit Körper

e_n: Einheitsvektor in Normalenrichtung

e_t Einheitsvektor in Tangentialrichtung v_{n iF}: Normale Geschwindigkeit ideales Fluid v_{t iF}: Tangentiale Geschwindigkeit ideales Fluid

F_D : Druckkraft

p: Druck

f. Zeit

dA: Körperoberflächenintegral

v_{t zF}: Tangentiale Geschwindigkeit zähes Fluid v_{n zF}: Normale Geschwindigkeit zähes Fluid δ: Eindringtiefe

η: Kinematische Viskosität

p: Dichte

ω: Kreisfrequenz

n: Normalenrichtung

F_R: Reibungskraft

m_F: Ankoppelnde Masse durch Fluid

d_F Zusätzlich wirkende Dämpfung durch Fluid

Κ Geometrischer Faktor

K₂ : Geometrischer Faktor

ω₀: Eigenkreisfrequenz

D: Lehrsches Dämpfungsmaß

c(T): Temperaturabhängige Steifigkeit

m_s: Masse des Schwingsystems im Vakuum d_s: Dämpfung des Schwingsystems im Vakuum

U_e: Anregungsauslenkung

φ: Beschleunigung des Schwingers

φ: Geschwindigkeit des Schwingers φ: Auslenkung des Schwingers

s: Entropie

V: Nabla-Operator

w: Enthalpie pro Masseneinheit der Flüssigkeit

V: Spezifisches Volumen

T: Temperatur

a: Halbachse Ellipse

b: Halbachse Ellipse

l: Abmessung des Körpers

Re: Realteil

v_x Geschwindigkeit Fluid in x-Richtung

v_y: Geschwindigkeit Fluid in y-Richtung

v_z Geschwindigkeit Fluid in z-Richtung

RB Randbedingung

u₀: Schwingungsamplitude

Ma: Masch'sche Zahl

c_s Schallgeschwindigkeit

Koordinate Oberfläche Ellipse

ξ: Elliptische Koordinate (Ellipsen)

μ: Elliptische Koordinate (Hyperbeln)

βξ : Einheitsvektor in ^-Richtung

ε_μ: Einheitsvektor in μ-Richtung

c: Brennpunkt

vt,bewegt^'- Tangetiale Geschindigkeitskomponente ideales Fluid für elliptischen Zylinder der sich in einer ruhenden Flüssigkeit bewegt

vt, en Tangetiale Geschindigkeitskomponente ideales Fluid für elliptischen Zylinder der einer Potentialströmung ausgesetzt ist

Claims

Patentansprüche

1. Verfahren zur Bestimmung und oder Überwachung von zumindest einem prozess- und/oder systemspezifischen Parameter in der Automatisierungs-technik, wobei ein schwingfähiges System vorgesehen ist, das zumindest zeitweise mit einem in einem Behälter befindlichen Medium wechselwirkt,

wobei das schwingfähige System über ein reales Eingangssignal zu Schwingungen angeregt wird;

wobei das reale Ausgangssignal des schwingfähigen Systems ermittelt wird;

wobei das reale Ausgangssignal digitalisiert und eine reale Ausgangsfolge (yu(k)) erzeugt wird;

wobei das reale Eingangssignal digitalisiert und eine digitale Eingangsfolge (u(k)) erzeugt wird;

wobei die digitale Eingangsfolge (u(k)) einem Funktionsblock (Modell) zugeführt wird, der zumindest ein durch mehrere prozess- und/oder systemspezifische Parameter definiertes mathematisches Modell des schwingfähigen Systems in Wechselwirkung mit dem Medium zur Verfügung stellt;

wobei über das mathematische Modell eine virtuelle Ausgangsfolge (ym(k)) erzeugt wird; wobei die virtuelle Ausgangsfolge (ym(k)) mit der realen Ausgangsfolge (yu(k)) verglichen wird;

wobei im Falle einer Abweichung (e(k)) zumindest einer der prozess- und/oder systemspezifischen Parameter des mathematischen Modells adaptiv geändert wird, bis die Abweichung zwischen der virtuellen Ausgangsfolge (ym(k)) und dem realen

Ausgangsfolge (yu(k)) der schwingfähigen Einheit innerhalb eines vorgegebenen

Toleranzbereichs liegt;

wobei zumindest einer der prozess- und/oder systemspezifischen Parameter

bereitgestellt wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1 ,

wobei ein Gütekriterium (V) ermittelt wird, das die Güte des virtuellen Ausgangssignals in Bezug auf das reale Ausgangssignal anhand der Ausgangsfolgen (yu(k), ym(k)) des schwingfähigen Systems beschreibt, und wobei zumindest einer der prozess- oder systemspezifischen Parameter bereitgestellt wird, sobald das Gütekriterium (V) im vorgegebenen Toleranzbereich eines vorgegebenen Sollwerts für das Gütekriterium (V) liegt.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2,

wobei die Änderung der prozess- und/oder systemspezifischen Parameter über einen Adaptionsalgorithmus vorgenommen wird, der die prozess- und/oder die systemspezifischen Parameter solange variiert, bis die Abweichung zwischen dem virtuellen Ausgangssignal und dem realen Ausgangssignal bzw. dem ermittelten

Gütekriterium (V) und dem vorgegebenen Gütekritierium (V) in dem vorgegebenen Toleranzbereich liegt und die Abweichung bevorzugt ein Minimum erreicht.

4. Verfahren nach Anspruch 1 , 2 oder 3,

wobei als mathematisches Modell, in dem das schwingfähige System als lineares oder nicht lineares System beschrieben wird, eine Beschreibung des schwingfähigen Systems in einem Zustandsraum verwendet wird.

5. Verfahren nach Anspruch 4,

wobei für die Beschreibung des schwingfähigen Systems im Zustandsraum als Verfahren das Extended Kaiman Filter, der Unscented Kaiman Filter oder ein Subspace Verfahren verwendet wird.

6. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2,

wobei als mathematisches Modell, in dem das schwingfähige System als lineares System beschrieben wird, bevorzugt ein Parameterschätzverfahren eingesetzt wird, das die Beziehung zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignal durch

Übertragungsfunktionen oder Übertragungsmatrizen beschreibt.

7. Verfahren nach Anspruch 6,

wobei als Parameterschätzverfahren bevorzugt die Methode der kleinsten Quadrate, das verallgemeinerte LS Verfahren, das RLS Verfahren, die Methode der Hilfsvariablen oder die Methode der Maximalen Wahrscheinlichkeit verwendet wird.

8. Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche,

wobei als prozess- und/oder systemspezifischer Parameter die Temperatur, die Viskosität und/oder die Dichte des Mediums und/oder der Füllstand des Mediums in dem Behälter bestimmt werden/wird.