WO2013129084A1 - 情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム - Google Patents

情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム Download PDF

Info

Publication number
WO2013129084A1
WO2013129084A1 PCT/JP2013/053081 JP2013053081W WO2013129084A1 WO 2013129084 A1 WO2013129084 A1 WO 2013129084A1 JP 2013053081 W JP2013053081 W JP 2013053081W WO 2013129084 A1 WO2013129084 A1 WO 2013129084A1
Authority
WO
WIPO (PCT)
Prior art keywords
information
algorithm
polynomial
message
verifier
Prior art date
Application number
PCT/JP2013/053081
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
紘一 作本
白井　太三
一也 神尾
Original Assignee
ソニー株式会社
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by ソニー株式会社 filed Critical ソニー株式会社
Priority to EP13754371.6A priority Critical patent/EP2822217A4/en
Priority to US14/379,652 priority patent/US20150010144A1/en
Priority to CN201380010945.5A priority patent/CN104137471A/zh
Publication of WO2013129084A1 publication Critical patent/WO2013129084A1/ja

Links

Images

Classifications

    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L9/00—Cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communications; Network security protocols
    • H04L9/30—Public key, i.e. encryption algorithm being computationally infeasible to invert or user's encryption keys not requiring secrecy
    • H04L9/3093—Public key, i.e. encryption algorithm being computationally infeasible to invert or user's encryption keys not requiring secrecy involving Lattices or polynomial equations, e.g. NTRU scheme
    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L2209/00—Additional information or applications relating to cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communication H04L9/00
    • H04L2209/12—Details relating to cryptographic hardware or logic circuitry
    • H04L2209/125—Parallelization or pipelining, e.g. for accelerating processing of cryptographic operations
    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L2209/00—Additional information or applications relating to cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communication H04L9/00
    • H04L2209/24—Key scheduling, i.e. generating round keys or sub-keys for block encryption
    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L9/00—Cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communications; Network security protocols
    • H04L9/08—Key distribution or management, e.g. generation, sharing or updating, of cryptographic keys or passwords
    • H04L9/0861—Generation of secret information including derivation or calculation of cryptographic keys or passwords
    • H04L9/0869—Generation of secret information including derivation or calculation of cryptographic keys or passwords involving random numbers or seeds

Definitions

  • the present technology relates to an information processing apparatus, an information processing method, and a program.
  • the electronic signature is used to specify the creator of the electronic document. For this reason, the electronic signature should be generated only by the creator of the electronic document. If a malicious third party can generate the same electronic signature, the third party can impersonate the creator of the electronic document. That is, an electronic document is forged by a malicious third party. In order to prevent such forgery, various discussions have been made on the security of electronic signatures. As an electronic signature method that is currently widely used, for example, an RSA signature method and a DSA signature method are known.
  • the RSA signature method uses “difficulty of prime factorization for large composite numbers (hereinafter referred to as prime factorization problem)” as the basis of security.
  • prime factorization problem large composite numbers
  • DSA signature scheme uses “difficulty in derivation of a solution to the discrete logarithm problem” as the basis of security.
  • Examples of digital signature schemes that base security on multivariable polynomial problems include MI (Matsumoto-Imai cryptography), HFE (Hidden Field Equivalence cryptography), and OV (Oil-Vinegar signatureMetermetmTM). ) Based method is known.
  • MI Matsumoto-Imai cryptography
  • HFE Hidden Field Equivalence cryptography
  • OV Olet-Vinegar signatureMetermetmTM
  • non-patent documents 1 and 2 disclose a digital signature scheme based on HFE.
  • the multivariate polynomial problem is an example of a problem called an NP difficulty problem that is difficult to solve even using a quantum computer.
  • a public key authentication method using a multivariate polynomial problem typified by HFE or the like uses a multi-order multivariable simultaneous equation in which a special trap door is charged.
  • the multi-order multivariable simultaneous equations F and the linear transformations A and B serve as trapdoors.
  • a public key authentication scheme and a digital signature scheme based on the difficulty of solving multi-order multivariable simultaneous equations as the basis of security are realized.
  • the inventor of the present invention uses an efficient public key authentication method having high security using a multi-order multivariable simultaneous equation whose means for efficiently solving (trap door) is not known, and Invented an electronic signature method (Koi Sakumoto, Taizo Shirai and Harunaga Hiwatari, 'Public-Key Identification Schems 3, MultiPol.
  • the multivariable polynomial used in this public key authentication method and digital signature method has a large number of coefficients, and in order to use it as a public key, a method for efficiently assigning coefficients between the prover and the verifier is determined. It was necessary to keep.
  • the present technology has been devised with the intention of providing a new and improved information processing apparatus, information processing method, and program capable of calculating a multivariate polynomial more efficiently.
  • a number acquisition unit for acquiring a number to be used for a coefficient of each term constituting the set F of the multi-order multivariable polynomials generated from information shared among them using a predetermined function; and the number acquisition A polynomial calculation unit that assigns the number obtained by the unit to a multi-order multi-variable coefficient including the set of the multi-order multi-variable polynomial F as a constituent element and calculates the multi-order multi-variable polynomial for the input value of the variable;
  • the polynomial calculation unit is provided with an information processing apparatus that skips calculation processing for a term in which an input value of at least one variable is 0.
  • an algorithm of a public key authentication scheme or an electronic signature scheme using a public key including a multi-order multivariate polynomial set F (f 1 ,..., F m ) is executed.
  • An information processing method is provided in which calculation processing is skipped for a term in which an input value of at least one variable is zero.
  • a number acquisition function for acquiring a number used for a coefficient of each term constituting the set F of the multi-order multivariate polynomial, which is generated from information shared between entities using a predetermined function;
  • a polynomial calculation function for assigning the number acquired by the acquisition unit to a multi-order multi-variable coefficient including a set of the multi-order multi-variable polynomial F as a constituent element, and calculating the multi-order multi-variable polynomial with respect to an input value of the variable;
  • the polynomial calculation function provides a program that skips the calculation process for a term in which the input value of at least one variable is 0.
  • a computer-readable recording medium on which the above program is recorded is provided.
  • a multivariable polynomial can be calculated more efficiently.
  • FIG. 26 is an explanatory diagram for describing a hardware configuration example of an information processing apparatus capable of executing an algorithm according to each embodiment of the present technology.
  • the present embodiment relates to a public key authentication scheme and a digital signature scheme that base security on the difficulty of solving problems for multi-order multivariable simultaneous equations.
  • this embodiment relates to a public key authentication method and an electronic signature method that use a multi-order multivariable simultaneous equation that does not have means for efficiently solving (trap door), unlike conventional methods such as the HFE electronic signature method.
  • the outline of the algorithm of the public key authentication method, the algorithm of the electronic signature method, and the n-pass public key authentication method will be briefly described.
  • FIG. 1 is an explanatory diagram for explaining an outline of an algorithm of a public key authentication method.
  • Public key authentication is used for a certain person (certifier) to convince another person (verifier) that he / she is the person using the public key pk and the secret key sk.
  • the prover A's public key pk A is disclosed to the verifier B.
  • the prover A's private key sk A is secretly managed by the prover A.
  • a person who knows the secret key sk A corresponding to the public key pk A is regarded as the prover A himself.
  • the prover A uses the secret key sk corresponding to the public key pk A via the interactive protocol. Evidence that A is known may be presented to verifier B. Then, when the prover A knows the secret key sk A is presented to the verifier B and the verifier B has confirmed the evidence, the validity of the prover A (identity) It will be proved.
  • the first condition is “to minimize the probability that a perjury will be established by a fake person who does not have the secret key sk when the interactive protocol is executed”.
  • the fact that this first condition is satisfied is called “soundness”. In other words, soundness can be paraphrased as “a perjury who does not have a secret key sk does not have a falsification with a probability that cannot be ignored during the execution of the dialogue protocol”.
  • the second condition is that “the information of the secret key sk A possessed by the prover A is never leaked to the verifier B even if the interactive protocol is executed”. The fact that this second condition is satisfied is called “zero knowledge”.
  • model In the public key authentication model, there are two entities, a prover and a verifier, as shown in FIG.
  • the prover uses a key generation algorithm Gen to generate a pair of a secret key sk and a public key pk unique to the prover.
  • the prover executes an interactive protocol with the verifier using the set of the secret key sk and the public key pk generated using the key generation algorithm Gen.
  • the prover uses the prover algorithm P to execute the interactive protocol.
  • the prover uses the prover algorithm P to present evidence that the secret key sk is held in the interactive protocol to the verifier.
  • the verifier executes the interactive protocol by using the verifier algorithm V, and verifies whether or not the prover has a secret key corresponding to the public key published by the prover. That is, the verifier is an entity that verifies whether the prover has a secret key corresponding to the public key.
  • the public key authentication method model includes two entities, a prover and a verifier, and three algorithms, a key generation algorithm Gen, a prover algorithm P, and a verifier algorithm V.
  • the expressions “prover” and “verifier” are used, but these expressions only mean entities. Therefore, the subject that executes the key generation algorithm Gen and the prover algorithm P is an information processing apparatus corresponding to the entity of the “certifier”. Similarly, the subject that executes the verifier algorithm V is an information processing apparatus.
  • the hardware configuration of these information processing apparatuses is, for example, as shown in FIG. That is, the key generation algorithm Gen, the prover algorithm P, and the verifier algorithm V are executed by the CPU 902 or the like based on programs recorded in the ROM 904, the RAM 906, the storage unit 920, the removable recording medium 928, and the like.
  • the key generation algorithm Gen is used by the prover.
  • the key generation algorithm Gen is an algorithm for generating a set of a secret key sk and a public key pk unique to the prover.
  • the public key pk generated by the key generation algorithm Gen is made public.
  • the public key pk that is made public is used by the verifier.
  • the prover secretly manages the secret key sk generated by the key generation algorithm Gen.
  • the secret key sk managed secretly by the prover is used to prove to the verifier that the prover holds the secret key sk corresponding to the public key pk.
  • the key generation algorithm Gen is expressed as the following equation (1) as an algorithm that inputs a security parameter 1 ⁇ ( ⁇ is an integer of 0 or more) and outputs a secret key sk and a public key pk.
  • the prover algorithm P is used by the prover.
  • the prover algorithm P is an algorithm for proving to the verifier that the prover has the secret key sk corresponding to the public key pk. That is, the prover algorithm P is an algorithm that executes the interactive protocol with the secret key sk and the public key pk as inputs.
  • the verifier algorithm V is used by the verifier.
  • the verifier algorithm V is an algorithm for verifying whether or not the prover has a secret key sk corresponding to the public key pk in the interactive protocol.
  • the verifier algorithm V is an algorithm that takes the public key pk as an input and outputs 0 or 1 (1 bit) according to the execution result of the interactive protocol.
  • the verifier determines that the prover is illegal when the verifier algorithm V outputs 0, and determines that the prover is valid when 1 is output.
  • the verifier algorithm V is expressed as the following equation (2).
  • the dialogue protocol needs to satisfy the two conditions of soundness and zero knowledge.
  • the prover executes a procedure depending on the secret key sk, notifies the verifier of the result, and then includes the notification contents. It is necessary to make the verifier perform the verification based on it.
  • the execution of the procedure depending on the secret key sk is necessary to ensure soundness.
  • FIG. 2 is an explanatory diagram for explaining the outline of the algorithm of the electronic signature method.
  • the electronic signature refers to a mechanism in which signature data known only to the creator of the data is provided to the recipient in association with the data, and the signature data is verified on the recipient side.
  • the digital signature scheme model has two entities, a signer and a verifier.
  • the model of the electronic signature scheme is composed of three algorithms: a key generation algorithm Gen, a signature generation algorithm Sig, and a signature verification algorithm Ver.
  • the signer uses a key generation algorithm Gen to generate a pair of a signer-specific signature key sk and a verification key pk. Further, the signer generates an electronic signature ⁇ to be given to the document M using the signature generation algorithm Sig. That is, the signer is an entity that gives an electronic signature to the document M.
  • the verifier verifies the electronic signature ⁇ attached to the document M using the signature verification algorithm Ver. That is, the verifier is an entity that verifies the electronic signature ⁇ in order to confirm whether or not the creator of the document M is a signer.
  • the expressions “signer” and “verifier” are used, but these expressions only mean entities. Accordingly, the subject that executes the key generation algorithm Gen and the signature generation algorithm Sig is an information processing apparatus corresponding to the entity of the “signer”. Similarly, the subject that executes the signature verification algorithm Ver is an information processing apparatus.
  • the hardware configuration of these information processing apparatuses is, for example, as shown in FIG. That is, the key generation algorithm Gen, the signature generation algorithm Sig, and the signature verification algorithm Ver are executed by the CPU 902 or the like based on programs recorded in the ROM 904, the RAM 906, the storage unit 920, the removable recording medium 928, and the like.
  • the key generation algorithm Gen is used by the signer.
  • the key generation algorithm Gen is an algorithm for generating a set of a signer-specific signature key sk and a verification key pk.
  • the verification key pk generated by the key generation algorithm Gen is made public.
  • the signature key sk generated by the key generation algorithm Gen is secretly managed by the signer.
  • the signature key sk is used to generate an electronic signature ⁇ given to the document M.
  • the key generation algorithm Gen receives the security parameter 1 ⁇ ( ⁇ is an integer greater than or equal to 0), and outputs the signature key sk and the public key pk.
  • the key generation algorithm Gen can be formally expressed as the following equation (3).
  • the signature generation algorithm Sig is used by the signer.
  • the signature generation algorithm Sig is an algorithm for generating an electronic signature ⁇ given to the document M.
  • the signature generation algorithm Sig is an algorithm that receives the signature key sk and the document M and outputs an electronic signature ⁇ .
  • This signature generation algorithm Sig can be formally expressed as the following formula (4).
  • the signature verification algorithm Ver is used by a verifier.
  • the signature verification algorithm Ver is an algorithm for verifying whether or not the electronic signature ⁇ is a valid electronic signature for the document M.
  • the signature verification algorithm Ver is an algorithm that inputs the verification key pk of the signer, the document M, and the electronic signature ⁇ , and outputs 0 or 1 (1 bit).
  • This signature verification algorithm Ver can be formally expressed as the following formula (5).
  • the verifier determines that the electronic signature ⁇ is invalid when the signature verification algorithm Ver outputs 0 (when the public key pk rejects the document M and the electronic signature ⁇ ), and outputs 1 ( When the public key pk accepts the document M and the electronic signature ⁇ , it is determined that the electronic signature ⁇ is valid.
  • FIG. 3 is an explanatory diagram for explaining an n-pass public-key authentication scheme.
  • the public key authentication scheme is an authentication scheme that proves to the verifier that the prover has the secret key sk corresponding to the public key pk in the interactive protocol.
  • the dialogue protocol needs to satisfy two conditions of soundness and zero knowledge. Therefore, in the interactive protocol, as shown in FIG. 3, both the prover and the verifier exchange information n times while executing processes.
  • FIG. 4 is an explanatory diagram for describing a specific algorithm configuration related to the 3-pass scheme.
  • the second-order polynomial f i (x) is assumed to be expressed as the following equation (6).
  • a vector (x 1 ,..., X n ) is expressed as x
  • a set of quadratic polynomials f 1 (x),..., F m (x)
  • F (x) is expressed as a multivariable polynomial F (x).
  • a set of quadratic polynomials (f 1 (x),..., F m (x)) can be expressed as the following equation (7).
  • a 1 ,..., Am are n ⁇ n matrices.
  • b 1 ,..., B m are n ⁇ 1 vectors, respectively.
  • the multivariate polynomial F can be expressed as shown in the following expressions (8) and (9). It can be easily confirmed from the following formula (10) that this expression holds.
  • G (x, y) corresponding to is bilinear with respect to x and y.
  • G (x, y) may be referred to as a bilinear term. If this property is used, an efficient algorithm can be constructed.
  • the sum of the multivariate polynomial F (x + r 0 ) and G (x) is expressed as the following equation (11).
  • the three-pass algorithm described here includes a key generation algorithm Gen, a prover algorithm P, and a verifier algorithm V as follows.
  • the key generation algorithm Gen (f 1 (x 1, ..., x n), ..., f m (x 1, ..., x n), y) is set to public key pk, and the s in the secret key Set.
  • Process # 1 As shown in FIG. 4, first, the prover algorithm P generates vectors r 0 , t 0 ⁇ K n and e 0 ⁇ K m at random. Next, the prover algorithm P calculates r 1 ⁇ s ⁇ r 0 . This calculation corresponds to an operation to mask by the vector r 0 a secret key s. Further, the prover algorithm P calculates t 1 ⁇ r 0 -t 0 . Next, the prover algorithm P calculates e 1 ⁇ -F (r 0 ) ⁇ e 0 .
  • Step # 1 (continued): Next, the prover algorithm P calculates c 0 ⁇ -H (r 1 , G (t 0 , r 1 ) + e 0 ). Next, the prover algorithm P calculates c 1 ⁇ -H (t 0 , e 0 ). Next, the prover algorithm P calculates c 2 ⁇ -H (t 1 , e 1 ). The message (c 0 , c 1 , c 2 ) generated in step # 1 is sent to the verifier algorithm V.
  • Process # 2 The verifier algorithm V that has received the message (c 0 , c 1 , c 2 ) selects which verification pattern to use from among the three verification patterns. For example, the verifier algorithm V selects one numerical value from three numerical values ⁇ 0, 1, 2 ⁇ representing the type of verification pattern, and sets the selected numerical value in the request Ch. This request Ch is sent to the prover algorithm P.
  • Process # 3 The prover algorithm P that has received the request Ch generates a response Rsp to be sent to the verifier algorithm V in accordance with the received request Ch.
  • the response Rsp generated in step # 3 is sent to the verifier algorithm V.
  • Process # 4 The verifier algorithm V that has received the response Rsp executes the following verification processing using the received response Rsp.
  • a serial method that sequentially exchanges a message, a request, and a response a plurality of times, and a message, a request, and a response for a plurality of times in a single exchange
  • a parallel method is considered.
  • a hybrid method combining a serial method and a parallel method is also conceivable.
  • an algorithm hereinafter referred to as a parallelization algorithm for executing the above interactive protocol related to the 3-pass scheme in parallel will be described with reference to FIG.
  • Process (1) The prover algorithm P randomly generates vectors r 0i , t 0i ⁇ K n and e 0i ⁇ K m .
  • Process (3) The prover algorithm P calculates e 1i ⁇ -F (r 0i ) ⁇ e 0i .
  • the hash value Cmt generated in step # 1 is sent to the verifier algorithm V.
  • the message (c 01 , c 11 , c 21 ,..., C 0N , c 1N , c 2N ) is converted into a hash value and then sent to the verifier algorithm V, thereby reducing the amount of communication. It becomes possible.
  • Process # 3 Request Ch 1, ..., a prover algorithm P that received Ch N, requested Ch 1 received, ..., reply Rsp 1 to send to the verifier algorithm V in accordance respective Ch N, ..., to produce a Rsp N.
  • the responses Rsp 1 ,..., Rsp N generated in step # 3 are sent to the verifier algorithm V.
  • ⁇ 3 Algorithm structure for a 5-pass public-key authentication scheme> Next, an algorithm related to a 5-pass public key authentication scheme will be described. In the following description, a 5-pass public-key authentication scheme may be referred to as a “5-pass scheme”.
  • the false verification probability per interactive protocol was 2/3, but in the case of the 5-pass scheme, the false verification probability per interactive protocol is 1/2 + 1 / q. Where q is the order of the ring used. Therefore, when the order of the ring is sufficiently large, the 5-pass scheme can reduce the false perception probability per time, and the false authentication probability can be sufficiently reduced with a small number of interactive protocol executions. it can.
  • FIG. 6 is an explanatory diagram for explaining a specific algorithm configuration related to the 5-pass scheme.
  • the quadratic polynomial f i (x) is assumed to be expressed as in the above equation (6).
  • a vector (x 1 ,..., X n ) is expressed as x
  • a set of quadratic polynomials f 1 (x),..., F m (x)
  • F (x) is expressed as a multivariable polynomial F (x).
  • the multivariate polynomial F 1 (x) used to mask the multivariate polynomial F (x + r 0 ) using the two vectors t 0 ⁇ K n and e 0 ⁇ K m. Is expressed as F 1 (x) G (x, t 0 ) + e 0 .
  • F 1 (x) G (x, t 0 ) + e 0 .
  • the 5-pass algorithm described here includes a key generation algorithm Gen, a prover algorithm P, and a verifier algorithm V as follows.
  • the key generation algorithm Gen sets (f 1 ,..., F m , y) as the public key pk and sets s as the secret key.
  • the vector (x 1 ,..., X n ) is represented as x
  • the set of multivariable polynomials (f 1 (x),..., F m (x)) is represented as F (x).
  • Process # 1 As shown in FIG. 6, first, the prover algorithm P randomly generates vectors r 0 ⁇ K n , t 0 ⁇ K n , and e 0 ⁇ K m . Next, the prover algorithm P calculates r 1 ⁇ s ⁇ r 0 . This calculation corresponds to an operation to mask by the vector r 0 a secret key s. Next, the prover algorithm P generates a hash value c 0 of the vectors r 0 , t 0 , e 0 . That is, the prover algorithm P calculates c 0 ⁇ -H (r 0 , t 0 , e 0 ).
  • the prover algorithm P generates G (t 0 , r 1 ) + e 0 and a hash value c 1 of r 1 . That is, the prover algorithm P calculates c 0 ⁇ -H (r 1 , G (t 0 , r 1 ) + e 0 ). The message (c 0 , c 1 ) generated in step # 1 is sent to the verifier algorithm V.
  • Process # 2 The verifier algorithm V that has received the message (c 0 , c 1 ) selects one number Ch A at random from the elements of the ring K existing in q ways, and sends the selected number Ch A to the prover algorithm P.
  • Process # 3 The prover algorithm P that has received the number Ch A calculates t 1 ⁇ -Ch A ⁇ r 0 ⁇ t 0 . Further, the prover algorithm P calculates e 1 ⁇ -Ch A ⁇ F (r 0 ) ⁇ e 0 . Then, the prover algorithm P sends t 1 and e 1 to the verifier algorithm V.
  • Process # 4 The verifier algorithm V receiving t 1 and e 1 selects which verification pattern to use from the two verification patterns. For example, the verifier algorithm V selects one numerical value from two numerical values ⁇ 0, 1 ⁇ representing the type of verification pattern, and sets the selected numerical value in the request Ch B. This request Ch B is sent to the prover algorithm P.
  • Process # 5 Request Ch prover algorithm P that B has received the generates a response Rsp to send to the verifier algorithm V in response to the received challenge Ch B.
  • the response Rsp generated in step # 5 is sent to the verifier algorithm V.
  • Process # 6 The verifier algorithm V that has received the response Rsp executes the following verification processing using the received response Rsp.
  • Ch B 1
  • a serial method that sequentially exchanges a message, a request, and a response a plurality of times, and a message, a request, and a response for a plurality of times in a single exchange
  • a parallel method is considered.
  • a hybrid method combining a serial method and a parallel method is also conceivable.
  • an algorithm for executing the above interactive protocol related to the 5-pass scheme in parallel hereinafter referred to as a parallel algorithm
  • Process (1) The prover algorithm P randomly generates vectors r 0i , t 0i ⁇ K n and e 0i ⁇ K m .
  • an efficient algorithm (see, for example, FIG. 5) related to the 3-pass scheme is expressed by three dialogs and four steps # 1 to # 4.
  • the Cmt generated by the prover algorithm P in step # 1 is sent to the verifier algorithm V.
  • Step # 2 includes a process of selecting Ch 1 ,..., Ch N. Ch 1 ,..., Ch N selected by the verifier algorithm V in step # 2 are sent to the prover algorithm P.
  • Step # 3 Ch 1, ..., Ch N and a 1, ..., Rsp 1 with a N, ..., consisting of the process of generating Rsp N. This process is expressed as Rsp i ⁇ Select (Ch i , a i ). Rsp 1 ,..., Rsp N generated by the prover algorithm P in step # 3 are sent to the verifier algorithm V.
  • the algorithm of the public key authentication method expressed in the above steps # 1 to # 4 is transformed into a signature generation algorithm Sig and a signature verification algorithm Ver as shown in FIG.
  • the signature generation algorithm Sig includes the following processes (1) to (5).
  • Process (3): The signature generation algorithm Sig calculates (Ch 1 ,..., Ch N ) ⁇ H (M, Cmt). This M is a document to which a signature is attached.
  • the signature verification algorithm Ver includes the following processes (1) to (3).
  • Process (1): The signature verification algorithm Ver calculates (Ch 1 ,..., Ch N ) ⁇ H (M, Cmt). Processing (2): The signature verification algorithm Ver, Ch 1, ..., Ch N and Rsp 1, ..., c 01, c 11, c 21 using Rsp N, generate ..., c 0N, c 1N, c 2N To do. Process (3): The signature verification algorithm Ver uses the regenerated c 01 , c 11 , c 21 ,..., C 0N , c 1N , c 2N and Cmt H (c 01 , c 11 , c 21 ,. c 0N , c 1N , c 2N ).
  • the public key authentication method algorithm can be transformed into an electronic signature method algorithm.
  • an efficient algorithm (for example, see FIG. 7) according to the 5-pass scheme is expressed by 5 dialogs and 6 steps # 1 to # 6.
  • the Cmt generated by the prover algorithm P in step # 1 is sent to the verifier algorithm V.
  • Step # 2 includes processing for selecting Ch A1 ,..., Ch AN .
  • Ch A1 ,..., Ch AN selected by the verifier algorithm V in step # 2 is sent to the prover algorithm P.
  • Step # 4 includes processing for selecting Ch B1 ,..., Ch BN .
  • Ch B1 ,..., Ch BN selected by the verifier algorithm V in step # 4 is sent to the prover algorithm P.
  • Step # 5 Ch B1, ..., Ch BN , a 1, ..., a N, b 1, ..., Rsp 1 with b N, ..., consisting of the process of generating Rsp N. This process is expressed as Rsp i ⁇ Select (Ch Bi , a i , b i ). Rsp 1 ,..., Rsp N generated by the prover algorithm P in step # 5 are sent to the verifier algorithm V.
  • the algorithm of the public key authentication method expressed in the above steps # 1 to # 6 is transformed into a signature generation algorithm Sig and a signature verification algorithm Ver as shown in FIG.
  • the signature generation algorithm Sig includes the following processes (1) to (7).
  • Process (6) The signature generation algorithm Sig calculates Rsp i ⁇ -Select (Ch Bi , a i , b i ).
  • the signature verification algorithm Ver includes the following processes (1) to (4).
  • Process (1) The signature verification algorithm Ver calculates (Ch A1 ,..., Ch AN ) ⁇ H (M, Cmt).
  • Process (2) The signature verification algorithm Ver calculates (Ch B1 ,..., Ch BN ) ⁇ H (M, Cmt, Ch A1 ,..., Ch AN , d).
  • the signature verification algorithm Ver executes (Ch B1, ..., Ch BN ) ⁇ H (Ch A1, ..., Ch aN, d) is calculated.
  • Process (3) The signature verification algorithm Ver uses Ch A1 ,..., Ch AN , Ch B1 ,..., Ch BN , Rsp 1 , ..., Rsp N to t 11 , e 11 , ..., t 1N , e 1N. , C 01 , c 11 ,..., C 0N , c 1N are generated.
  • the public key authentication method algorithm can be transformed into an electronic signature method algorithm.
  • ⁇ 5 Method for efficiently substituting coefficients of a multivariate polynomial> So far, there has been no specific description of how to share a multivariate polynomial between a prover (or signer) and a verifier.
  • a method of sharing a multivariate polynomial a method of sharing a seed used when generating a coefficient (random number) of the multivariate polynomial can be considered.
  • the multivariate polynomial is not shared unless the order in which the random numbers generated using the shared seed are applied to the coefficients is shared.
  • the structuring method # 1 is a method in which the coefficients of the same type of terms constituting the multivariable polynomial F are collected as one data structure.
  • the coefficients a 1IJ to a MIJ are collected as a data structure A
  • the coefficients b 1I to b MI are collected as a data structure B.
  • the same method can be applied to the multivariable polynomial G. In this case, the coefficients (a 1IJ + a 1JI ) to (a MIJ + a MJI ) are collected as a data structure.
  • the coefficient substitution algorithm is as shown in (Example 2).
  • a (1 to M) IJ is generated at each loop timing.
  • an algorithm for calculating the multivariable polynomial G is expressed as follows (Example 1 ').
  • the inputs x and y are each assumed to be N bits.
  • an algorithm for calculating the multivariate polynomial G corresponds to the above (Example 3) (Example 3 ′) below. become that way.
  • Example 3 the only need to perform XOR operation of M bits ( ⁇ ) (N / k) 2 times. However, compared to the algorithm of (Example 2 ′), the required memory amount is 2 2k / k 2 times.
  • Example 2 (About the further efficiency improvement of the method according to (Example 2) and (Example 2 '))
  • the above algorithm (Example 2) is referred to again.
  • the algorithm of the above (Example 2) includes double loop processing for indexes I and J. Therefore, a technique for reducing the number of operations while obtaining the same result is proposed by devising the contents of the processing steps executed in this loop processing portion. A method of applying the same method to (Example 2 ′) is also introduced.
  • the first to third methods can be similarly applied to the algorithm of the above (Example 2 ′) relating to the multivariable polynomial G.
  • the algorithm is modified as described below (Example 2′A).
  • the input x includes a large number of 0s and the input x includes a small number of zeros. There will be a difference in processing time. Therefore, information regarding the input x can be obtained by measuring the processing time. That is, if an algorithm that skips processing is applied, there is a risk that information on random numbers used for signature generation or the like is leaked.
  • a range of “percentage of 0 in input x” (for example, 10% or less, 90% or more, etc.) allowed in advance is set.
  • a process for reacquiring random numbers is executed when 0 is larger or smaller than the set range.
  • the total calculation time of F (r 0 ) and G (t 0 , r 1 ) can be made uniform even when an algorithm that skips processing is applied.
  • the algorithms of the above (Example 2C) and (Example 2′C) are applied.
  • the calculation of the multivariable polynomial F is executed by the algorithm of (Example 2C)
  • the calculation of the multivariable polynomial G is executed by the algorithm of (Example 2′C). Both algorithms are listed below.
  • the input x r 0 .
  • the input x r 1 .
  • the number of bits that become 0 falls within the range of 0.5N to 1.5N. Therefore, processing is skipped in the conditional branch described in the third line of the algorithm of the following (Example 2C) and the conditional branch described in the third line of the algorithm of the following (Example 2′C).
  • the number of times is also in the range of 0.5N to 1.5N. Therefore, it is difficult to leak information related to the input from the total processing time of the multivariate polynomials F and G.
  • the calculation of the multivariable polynomials F and G is repeatedly executed N times while updating the argument in step # 1. Therefore, such a calculation part is configured to repeatedly perform calculations using the same coefficient.
  • FIG. 12 Hardware configuration example (FIG. 12)>
  • Each of the above algorithms can be executed using, for example, the hardware configuration of the information processing apparatus shown in FIG. That is, the processing of each algorithm is realized by controlling the hardware shown in FIG. 12 using a computer program.
  • the form of this hardware is arbitrary.
  • personal computers, mobile phones, PHS, PDA and other portable information terminals, game machines, contact type or non-contact type IC chips, contact type or non-contact type ICs This includes cards or various information appliances.
  • PHS is an abbreviation for Personal Handy-phone System.
  • the PDA is an abbreviation for Personal Digital Assistant.
  • this hardware mainly includes a CPU 902, a ROM 904, a RAM 906, a host bus 908, and a bridge 910. Further, this hardware includes an external bus 912, an interface 914, an input unit 916, an output unit 918, a storage unit 920, a drive 922, a connection port 924, and a communication unit 926.
  • the CPU is an abbreviation for Central Processing Unit.
  • the ROM is an abbreviation for Read Only Memory.
  • the RAM is an abbreviation for Random Access Memory.
  • the CPU 902 functions as, for example, an arithmetic processing unit or a control unit, and controls the overall operation or a part of each component based on various programs recorded in the ROM 904, the RAM 906, the storage unit 920, or the removable recording medium 928.
  • the ROM 904 is a means for storing a program read by the CPU 902, data used for calculation, and the like.
  • a program read by the CPU 902 various parameters that change as appropriate when the program is executed, and the like are temporarily or permanently stored.
  • a host bus 908 capable of high-speed data transmission.
  • the host bus 908 is connected to an external bus 912 having a relatively low data transmission speed via a bridge 910, for example.
  • a bridge 910 for example.
  • the input unit 916 for example, a mouse, a keyboard, a touch panel, a button, a switch, a lever, or the like is used.
  • a remote controller capable of transmitting a control signal using infrared rays or other radio waves may be used.
  • a display device such as a CRT, LCD, PDP, or ELD
  • an audio output device such as a speaker or a headphone, a printer, a mobile phone, or a facsimile, etc.
  • the CRT is an abbreviation for Cathode Ray Tube.
  • the LCD is an abbreviation for Liquid Crystal Display.
  • the PDP is an abbreviation for Plasma Display Panel.
  • the above ELD is an abbreviation for Electro-Luminescence Display.
  • the storage unit 920 is a device for storing various data.
  • a magnetic storage device such as a hard disk drive (HDD), a semiconductor storage device, an optical storage device, a magneto-optical storage device, or the like is used.
  • HDD hard disk drive
  • the above HDD is an abbreviation for Hard Disk Drive.
  • the drive 922 is a device that reads information recorded on a removable recording medium 928 such as a magnetic disk, an optical disk, a magneto-optical disk, or a semiconductor memory, or writes information to the removable recording medium 928.
  • the removable recording medium 928 is, for example, DVD media, Blu-ray media, HD DVD media, various semiconductor storage media, and the like.
  • the removable recording medium 928 may be, for example, an IC card on which a non-contact IC chip is mounted, an electronic device, or the like.
  • the above IC is an abbreviation for Integrated Circuit.
  • the connection port 924 is a port for connecting an external connection device 930 such as a USB port, an IEEE 1394 port, a SCSI, an RS-232C port, or an optical audio terminal.
  • the external connection device 930 is, for example, a printer, a portable music player, a digital camera, a digital video camera, or an IC recorder.
  • the USB is an abbreviation for Universal Serial Bus.
  • the SCSI is an abbreviation for Small Computer System Interface.
  • the communication unit 926 is a communication device for connecting to the network 932.
  • a wired or wireless LAN for example, a wired or wireless LAN, Bluetooth (registered trademark), or a WUSB communication card, an optical communication router, an ADSL router, or a contact Or a device for non-contact communication.
  • the network 932 connected to the communication unit 926 is configured by a wired or wireless network, such as the Internet, home LAN, infrared communication, visible light communication, broadcast, or satellite communication.
  • the above LAN is an abbreviation for Local Area Network.
  • the WUSB is an abbreviation for Wireless USB.
  • the above ADSL is an abbreviation for Asymmetric Digital Subscriber Line.
  • the functional configuration of the above information processing apparatus is expressed as follows.
  • the information processing apparatus described in the following (1) has a function of executing an efficient public key authentication scheme or electronic signature scheme algorithm based on the security of the difficulty of solving multi-order multivariable simultaneous equations. .
  • the input value of the variable is a value generated so that the ratio of the input value that is 0 among all the input values is within a predetermined range.
  • the input value of the variable is a value generated using a random number generator, and when the ratio of input values that are 0 among all input values is not within a predetermined range, the random number generator is Regenerated using The information processing apparatus according to (2) above.
  • the input value of the variable is expressed by different first or second bit values, and the number of input values taking the first bit value and the input taking the second bit value among all input values.
  • the number of values is approximately equal, The information processing apparatus according to (1) above.
  • the polynomial calculation unit groups coefficients of terms having the same variable combination type among coefficients of a multi-order multi-variable polynomial that includes the set F of the multi-order multi-variable polynomial as a constituent element, and calculates in units of groups. Run the The information processing apparatus according to any one of (1) to (4) above.
  • the polynomial calculation unit groups coefficient matrices when a multi-order multivariate polynomial including the multi-order multivariate polynomial set F as a constituent element is expressed in a quadratic form for each row or column. Perform calculations, The information processing apparatus according to any one of (1) to (4) above.
  • the number acquisition unit acquires the number generated by the number of coefficients belonging to the one group when the polynomial calculation unit executes an assignment process for one group.
  • the number acquisition unit rotates the one number generated when generating the number by the number of coefficients belonging to the one group bit by bit to acquire a required number.
  • a table holding unit that holds the value assigned to the term corresponding to each group as a table, and assigns an arbitrary number to the variable of the term;
  • the information is a seed of random numbers;
  • the predetermined function is a random number generator that generates a random number using the seed.
  • the information processing apparatus according to any one of (1) to (9) above.
  • a providing department an answer providing unit for providing the verifier with answer information corresponding to the verification pattern selected by the verifier from k verification patterns (k ⁇ 3);
  • the vector s is a secret key;
  • the multi-order multivariate polynomial set F and the vector y are public keys;
  • the answer information is information selected according to the verification pattern from the set of random numbers and the message,
  • the message is information obtained by executing a calculation prepared in advance for a verification pattern corresponding to the answer information, using the public key and the answer information
  • a message acquisition unit for acquiring a message generated based on the set F of the multi-order multivariate polynomial and the vector s ⁇ K n ;
  • a pattern information providing unit that provides information on one verification pattern randomly selected from k verification patterns (k ⁇ 3) to the prover who provided the message;
  • a response acquisition unit that acquires response information corresponding to the selected verification pattern from the prover;
  • a verification unit that verifies whether the prover holds the vector s based on the message, the set F of the multi-order multivariate polynomial, the vector y, and the answer information;
  • the vector s is a secret key;
  • the multi-order multivariate polynomial set F and the vector y are public keys;
  • a providing department An intermediate information generating unit that generates third information using first information randomly selected by the verifier and second information obtained when generating the message;
  • An intermediate information providing unit for providing the third information to the verifier; an answer providing unit for providing the verifier with answer information corresponding to the verification pattern selected by the verifier from k (k ⁇ 2) verification patterns;
  • the vector s is a secret key;
  • the multi-order multivariate polynomial set F and the vector y are public keys;
  • the answer information is information selected according to the verification
  • a message acquisition unit for acquiring a message generated based on the set F of the multi-order multivariate polynomial and the vector s ⁇ K n ;
  • An information providing unit for providing first information randomly selected to the prover who provided the message;
  • An intermediate information acquisition unit for acquiring third information generated by the prover using the first information and second information obtained when generating the message; a pattern information providing unit that provides information of one verification pattern randomly selected from k (k ⁇ 3) verification patterns to the prover;
  • a response acquisition unit that acquires response information corresponding to the selected verification pattern from the prover; Verification that verifies whether the prover holds the vector s based on the message, the first information, the third information, the multi-order multivariate polynomial set F
  • the number acquisition unit acquires the number generated only once, and the polynomial calculation unit performs the assignment process only once, The polynomial calculation unit repeatedly uses the assigned coefficient,
  • the information processing apparatus according to any one of (1) to (10) above.
  • the above prover algorithm P, verifier algorithm V, signature generation algorithm Sig, and signature verification algorithm Ver are examples of a number generation unit, a polynomial calculation unit, and a table holding unit.
  • the above prover algorithm P is an example of a message generating unit, a message providing unit, an answer providing unit, an intermediate information generating unit, and an intermediate information providing unit.
  • the verifier algorithm V is an example of an information holding unit, a message acquisition unit, a pattern information providing unit, an answer acquisition unit, a verification unit, and an intermediate information acquisition unit.
  • the commitment function COM is a function that takes a character string S and a random number ⁇ as arguments.
  • the commitment function there is a method announced at the international conference CRYPTO 1996 by Shai Halevi and Silvio Micali.

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Signal Processing (AREA)
  • Computer Networks & Wireless Communication (AREA)
  • Computer Security & Cryptography (AREA)
  • Pure & Applied Mathematics (AREA)
  • Mathematical Physics (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Mathematical Optimization (AREA)
  • Computing Systems (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Mathematical Analysis (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Algebra (AREA)
  • Storage Device Security (AREA)

Abstract

【課題】多次多変数多項式をより効率的に計算できるようにすること。 【解決手段】多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得する数取得部と、前記数取得部が取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算する多項式計算部と、を備え、前記多項式計算部は、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理をスキップする、情報処理装置が提供される。

Description

情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム
　本技術は、情報処理装置、情報処理方法、及びプログラムに関する。
　情報処理技術や通信技術の急速な発展に伴い、公文書、私文書を問わず、文書の電子化が急速に進んでいる。これに伴い、多くの個人や企業は、電子文書の安全管理に大きな関心を寄せている。こうした関心の高まりを受け、各方面で電子文書の盗聴や偽造等のタンパリング行為に対する対抗策が盛んに研究されるようになってきた。電子文書の盗聴に対しては、例えば、電子文書を暗号化することにより安全性が確保される。また、電子文書の偽造に対しては、例えば、電子署名を利用することにより安全性が確保される。但し、利用する暗号や電子署名が高いタンパリング耐性を有していなければ、十分な安全性が保証されない。
　電子署名は、電子文書の作成者を特定するために利用される。そのため、電子署名は、電子文書の作成者しか生成できないようにすべきである。仮に、悪意ある第三者が同じ電子署名を生成できてしまうと、その第三者が電子文書の作成者に成りすますことができてしまう。つまり、悪意ある第三者により電子文書が偽造されてしまう。こうした偽造を防止するため、電子署名の安全性については様々な議論が交わされてきた。現在広く利用されている電子署名方式としては、例えば、ＲＳＡ署名方式やＤＳＡ署名方式などが知られている。
　ＲＳＡ署名方式は、「大きな合成数に対する素因数分解の困難性（以下、素因数分解問題）」を安全性の根拠とする。また、ＤＳＡ署名方式は、「離散対数問題に対する解の導出の困難性」を安全性の根拠とする。これらの根拠は、古典的なコンピュータを利用して素因数分解問題や離散対数問題を効率的に解くアルゴリズムが存在しないことに起因する。つまり、上記の困難性は、古典的なコンピュータにおける計算量的な困難性を意味する。しかしながら、量子コンピュータを用いると、素因数分解問題や離散対数問題に対する解答が効率的に算出されてしまうと言われている。
　現在利用されている電子署名方式や公開鍵認証方式の多くは、ＲＳＡ署名方式やＤＳＡ署名方式と同様、素因数分解問題や離散対数問題の困難性に安全性の根拠をおいている。そのため、こうした電子署名方式や公開鍵認証方式は、量子コンピュータが実用化された場合に、その安全性が確保されないことになる。そこで、素因数分解問題や離散対数問題など、量子コンピュータにより容易に解かれてしまう問題とは異なる問題に安全性の根拠をおく新たな電子署名方式及び公開鍵認証方式の実現が求められている。量子コンピュータにより容易に解くことが難しい問題としては、例えば、多変数多項式問題がある。
　多変数多項式問題に安全性の根拠をおく電子署名方式としては、例えば、ＭＩ（Ｍａｔｓｕｍｏｔｏ－Ｉｍａｉ　ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ）、ＨＦＥ（Ｈｉｄｄｅｎ　Ｆｉｅｌｄ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ）、ＯＶ（Ｏｉｌ－Ｖｉｎｅｇａｒ　ｓｉｇｎａｔｕｒｅ　ｓｃｈｅｍｅ）、ＴＴＭ（Ｔａｍｅｄ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ）に基づく方式が知られている。例えば、下記の非特許文献１、２には、ＨＦＥに基づく電子署名方式が開示されている。
Ｊａｃｑｕｅｓ　Ｐａｔａｒｉｎ　Ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ　ｗｉｔｈ　ａ　Ｈｉｄｄｅｎ　Ｍｏｎｏｍｉａｌ．　ＣＲＹＰＴＯ　１９９６，　ｐｐ．４５－６０． Ｐａｔａｒｉｎ，　Ｊ．，　Ｃｏｕｒｔｏｉｓ，　Ｎ．，　ａｎｄ　Ｇｏｕｂｉｎ，　Ｌ．　ＱＵＡＲＴＺ，　１２８－Ｂｉｔ　Ｌｏｎｇ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｓｉｇｎａｔｕｒｅｓ．　Ｉｎ　Ｎａｃｃａｃｈｅ，Ｄ．，　Ｅｄ．　Ｔｏｐｉｃｓ　ｉｎ　Ｃｒｙｐｔｏｌｏｇｙ　－　ＣＴ－ＲＳＡ　２００１　（Ｓａｎ　Ｆｒａｎｃｉｓｃｏ，　ＣＡ，　ＵＳＡ，　Ａｐｒｉｌ　２００１），　ｖｏｌ．　２０２０　ｏｆ　Ｌｅｃｔｕｒｅ　Ｎｏｔｅｓ　ｉｎ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，　Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ．，　ｐｐ．２８２－２９７．
　上記の通り、多変数多項式問題は、量子コンピュータを用いても解くことが困難なＮＰ困難問題と呼ばれる問題の一例である。通常、ＨＦＥなどに代表される多変数多項式問題を利用した公開鍵認証方式は、特殊なトラップドアが仕込まれた多次多変数連立方程式を利用している。例えば、ｘ１，…，ｘｎに関する多次多変数連立方程式Ｆ（ｘ１，…，ｘｎ）＝ｙと線形変換Ａ及びＢが用意され、線形変換Ａ及びＢが秘密に管理される。この場合、多次多変数連立方程式Ｆ、線形変換Ａ及びＢがトラップドアとなる。
　トラップドアＦ，Ａ，Ｂを知っているエンティティは、ｘ１，…，ｘｎに関する方程式Ｂ（Ｆ（Ａ（ｘ１，…，ｘｎ）））＝ｙ’を解くことができる。一方、トラップドアＦ，Ａ，Ｂを知らないエンティティは、ｘ１，…，ｘｎに関する方程式Ｂ（Ｆ（Ａ（ｘ１，…，ｘｎ）））＝ｙ’を解くことができない。この仕組みを利用することにより、多次多変数連立方程式の解答困難性を安全性の根拠とする公開鍵認証方式や電子署名方式が実現される。
　上記の通り、こうした公開鍵認証方式や電子署名方式を実現するには、Ｂ（Ｆ（Ａ（ｘ１，…，ｘｎ）））＝ｙを満たすような特殊な多次多変数連立方程式を用意する必要がある。また、署名生成時に多次多変数連立方程式Ｆを解く必要がある。そのため、利用可能な多次多変数連立方程式Ｆは、比較的容易に解けるものに限られていた。すなわち、これまでの方式においては、比較的容易に解ける３つの関数（トラップドア）Ｂ、Ｆ、Ａを合成した形の多次多変数連立方程式Ｂ（Ｆ（Ａ（ｘ１，…，ｘｎ）））＝ｙしか用いることができず、十分な安全性を確保することが難しかった。
　そこで、本件発明者は、上記の事情に鑑みて、効率的に解く手段（トラップドア）が知られていない多次多変数連立方程式を用いて高い安全性を有する効率的な公開鍵認証方式及び電子署名方式を考案した（Ｋｏｉｃｈｉ　Ｓａｋｕｍｏｔｏ，Ｔａｉｚｏ　Ｓｈｉｒａｉ　ａｎｄ　Ｈａｒｕｎａｇａ　Ｈｉｗａｔａｒｉ，‘Ｐｕｂｌｉｃ－Ｋｅｙ　Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ　Ｓｃｈｅｍｅｓ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ　Ｑｕａｄｒａｔｉｃ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ’，ＣＲＹＰＴＯ　２０１１，ＬＮＣＳ　６８４１，ｐｐ．７０６－７２３，２０１１．）。
　しかし、この公開鍵認証方式及び電子署名方式で利用する多変数多項式は係数の数が多く、公開鍵として利用するには、証明者と検証者との間で効率的に係数を割り当てる方法を決めておく必要があった。本技術は、より効率的に多変数多項式を計算することが可能な、新規かつ改良された情報処理装置、情報処理方法、及びプログラムの提供を意図して考案されたものである。
　また、本技術のある観点によれば、多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得する数取得部と、前記数取得部が取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算する多項式計算部と、を備え、前記多項式計算部は、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理をスキップする、情報処理装置が提供される。
　また、本技術の別の観点によれば、多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得するステップと、取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算するステップと、を含み、前記計算するステップでは、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理がスキップされる、情報処理方法が提供される。
　また、本技術の別の観点によれば、多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得する数取得機能と、前記数取得部が取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算する多項式計算機能と、をコンピュータに実現させるためのプログラムであり、前記多項式計算機能は、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理をスキップする、プログラムが提供される。
　また、本技術の別の観点によれば、上記のプログラムが記録された、コンピュータにより読み取り可能な記録媒体が提供される。
　以上説明したように本技術によれば、より効率的に多変数多項式を計算することが可能になる。
公開鍵認証方式に係るアルゴリズムの構成について説明するための説明図である。 電子署名方式に係るアルゴリズムの構成について説明するための説明図である。 ｎパスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムの構成について説明するための説明図である。 ３パスの公開鍵認証方式に係る効率的なアルゴリズムについて説明するための説明図である。 ３パスの公開鍵認証方式に係る効率的なアルゴリズムの並列化について説明するための説明図である。 ５パスの公開鍵認証方式に係る効率的なアルゴリズムの構成例について説明するための説明図である。 ５パスの公開鍵認証方式に係る効率的なアルゴリズムの並列化について説明するための説明図である。 ３パスの公開鍵認証方式に係る効率的なアルゴリズムを電子署名方式のアルゴリズムに変形する方法について説明するための説明図である。 ５パスの公開鍵認証方式に係る効率的なアルゴリズムを電子署名方式のアルゴリズムに変形する方法について説明するための説明図である。 多変数多項式の係数を効率的に代入するためのデータ構造化手法（構造化手法＃１）について説明するための説明図である。 多変数多項式の係数を効率的に代入するためのデータ構造化手法（構造化手法＃１）について説明するための説明図である。 本技術の各実施形態に係るアルゴリズムを実行することが可能な情報処理装置のハードウェア構成例について説明するための説明図である。
　以下に添付図面を参照しながら、本技術の好適な実施の形態について詳細に説明する。なお、本明細書及び図面において、実質的に同一の機能構成を有する構成要素については、同一の符号を付することにより重複説明を省略する。
　［説明の流れについて］
　ここで、以下に記載する本技術の実施形態に関する説明の流れについて簡単に述べる。まず、図１を参照しながら、公開鍵認証方式のアルゴリズム構成について説明する。次いで、図２を参照しながら、電子署名方式のアルゴリズム構成について説明する。次いで、図３を参照しながら、ｎパスの公開鍵認証方式について説明する。
　次いで、図４及び図５を参照しながら、３パスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムの構成例について説明する。次いで、図６及び図７を参照しながら、５パスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムの構成例について説明する。次いで、図８及び図９を参照しながら、３パス及び５パスの公開鍵認証方式に係る効率的なアルゴリズムを電子署名方式のアルゴリズムに変形する方法について説明する。
　次いで、図１０及び図１１を参照しながら、多変数多項式の係数を効率的に代入する方法について説明する。次いで、図１２を参照しながら、本技術の実施形態に係る各アルゴリズムを実現することが可能な情報処理装置のハードウェア構成例について説明する。最後に、本実施形態の技術的思想について纏め、当該技術的思想から得られる作用効果について簡単に説明する。
　（説明項目）
　１：はじめに
　　　１－１：公開鍵認証方式のアルゴリズム
　　　１－２：電子署名方式のアルゴリズム
　　　１－３：ｎパスの公開鍵認証方式
　２：３パスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムの構成
　　　２－１：具体的なアルゴリズムの構成例
　　　２－２：並列化アルゴリズムの構成例
　３：５パスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムの構成
　　　３－１：具体的なアルゴリズムの構成例
　　　３－２：並列化アルゴリズムの構成例
　４：電子署名方式への変形
　　　４－１：３パスの公開鍵認証方式から電子署名方式への変形
　　　４－２：５パスの公開鍵認証方式から電子署名方式への変形
　５：多変数多項式の係数を効率的に代入する方法について
　　　５－１：基本的な取り決め
　　　５－２：データの構造化
　　　　　５－２－１：構造化手法＃１
　　　　　５－２－２：構造化手法＃２
　６：ハードウェア構成例
　７：まとめ
　＜１：はじめに＞
　本実施形態は、多次多変数連立方程式に対する求解問題の困難性に安全性の根拠をおく公開鍵認証方式及び電子署名方式に関する。但し、本実施形態は、ＨＦＥ電子署名方式などの従来手法とは異なり、効率的に解く手段（トラップドア）を持たない多次多変数連立方程式を利用する公開鍵認証方式及び電子署名方式に関する。まず、公開鍵認証方式のアルゴリズム、電子署名方式のアルゴリズム、及びｎパスの公開鍵認証方式について、その概要を簡単に説明する。
　［１－１：公開鍵認証方式のアルゴリズム］
　まず、図１を参照しながら、公開鍵認証方式のアルゴリズムについて概要を説明する。図１は、公開鍵認証方式のアルゴリズムについて概要を説明するための説明図である。
　公開鍵認証は、ある人（証明者）が、公開鍵ｐｋ及び秘密鍵ｓｋを利用して、他の人（検証者）に本人であることを納得させるために利用される。例えば、証明者Ａの公開鍵ｐｋＡは、検証者Ｂに公開される。一方、証明者Ａの秘密鍵ｓｋＡは、証明者Ａにより秘密に管理される。公開鍵認証の仕組みにおいては、公開鍵ｐｋＡに対応する秘密鍵ｓｋＡを知る者が証明者Ａ本人であるとみなされる。
　公開鍵認証の仕組みを利用して証明者Ａが証明者Ａ本人であることを検証者Ｂに証明するには、対話プロトコルを介して、証明者Ａが公開鍵ｐｋＡに対応する秘密鍵ｓｋＡを知っているという証拠を検証者Ｂに提示すればよい。そして、証明者Ａが秘密鍵ｓｋＡを知っているという証拠が検証者Ｂに提示され、その証拠を検証者Ｂが確認し終えた場合、証明者Ａの正当性（本人であること）が証明されたことになる。
　但し、公開鍵認証の仕組みには、安全性を担保するために以下の条件が求められる。
　１つ目の条件は、「対話プロトコルを実行した際に秘密鍵ｓｋを持たない偽証者により偽証が成立してしまう確率を限りなく小さくする」ことである。この１つ目の条件が成り立つことを「健全性」と呼ぶ。つまり、健全性とは、「秘密鍵ｓｋを持たない偽証者により、対話プロトコルの実行中に無視できない確率で偽証が成立することはないこと」と言い換えられる。２つ目の条件は、「対話プロトコルを実行したとしても、証明者Ａが有する秘密鍵ｓｋＡの情報が検証者Ｂに一切漏れることがない」ことである。この２つ目の条件が成り立つことを「零知識性」と呼ぶ。
　安全に公開鍵認証を行うには、健全性及び零知識性を有する対話プロトコルを利用する必要がある。仮に、健全性及び零知識性を有しない対話プロトコルを用いて認証処理を行った場合には、偽証された可能性及び秘密鍵の情報が漏れてしまった可能性が否定できないため、処理自体が成功裡に完了しても証明者の正当性を証明したことにはならない。従って、対話プロトコルの健全性及び零知識性を如何に保証するかが重要になる。
　（モデル）
　公開鍵認証方式のモデルには、図１に示すように、証明者と検証者という２つのエンティティが存在する。証明者は、鍵生成アルゴリズムＧｅｎを用いて、証明者固有の秘密鍵ｓｋと公開鍵ｐｋの組を生成する。次いで、証明者は、鍵生成アルゴリズムＧｅｎを用いて生成した秘密鍵ｓｋと公開鍵ｐｋの組を利用して検証者と対話プロトコルを実行する。このとき、証明者は、証明者アルゴリズムＰを利用して対話プロトコルを実行する。上記の通り、証明者は、証明者アルゴリズムＰを利用し、対話プロトコルの中で秘密鍵ｓｋを保有している証拠を検証者に提示する。
　一方、検証者は、検証者アルゴリズムＶを利用して対話プロトコルを実行し、証明者が公開している公開鍵に対応する秘密鍵を、その証明者が保有しているか否かを検証する。つまり、検証者は、証明者が公開鍵に対応する秘密鍵を保有しているか否かを検証するエンティティである。このように、公開鍵認証方式のモデルは、証明者と検証者という２つのエンティティ、及び、鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、証明者アルゴリズムＰ、検証者アルゴリズムＶという３つのアルゴリズムにより構成される。
　なお、以下の説明において、「証明者」「検証者」という表現を用いるが、これらの表現はあくまでもエンティティを意味するものである。従って、鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、証明者アルゴリズムＰを実行する主体は、「証明者」のエンティティに対応する情報処理装置である。同様に、検証者アルゴリズムＶを実行する主体は、情報処理装置である。これら情報処理装置のハードウェア構成は、例えば、図１２に示した通りである。つまり、鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、証明者アルゴリズムＰ、検証者アルゴリズムＶは、ＲＯＭ９０４、ＲＡＭ９０６、記憶部９２０、リムーバブル記録媒体９２８などに記録されたプログラムに基づいてＣＰＵ９０２などにより実行される。
　（鍵生成アルゴリズムＧｅｎ）
　鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、証明者により利用される。鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、証明者に固有の秘密鍵ｓｋと公開鍵ｐｋとの組を生成するアルゴリズムである。鍵生成アルゴリズムＧｅｎにより生成された公開鍵ｐｋは公開される。そして、公開された公開鍵ｐｋは、検証者により利用される。一方、鍵生成アルゴリズムＧｅｎにより生成された秘密鍵ｓｋは、証明者が秘密に管理する。そして、証明者により秘密に管理される秘密鍵ｓｋは、公開鍵ｐｋに対応する秘密鍵ｓｋを証明者が保有していることを検証者に対して証明するために利用される。形式的に、鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、セキュリティパラメータ１λ（λは０以上の整数）を入力とし、秘密鍵ｓｋと公開鍵ｐｋを出力するアルゴリズムとして、下記の式（１）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
　（証明者アルゴリズムＰ）
　証明者アルゴリズムＰは、証明者により利用される。証明者アルゴリズムＰは、公開鍵ｐｋに対応する秘密鍵ｓｋを証明者が保有していることを検証者に対して証明するためのアルゴリズムである。つまり、証明者アルゴリズムＰは、秘密鍵ｓｋと公開鍵ｐｋとを入力とし、対話プロトコルを実行するアルゴリズムである。
　（検証者アルゴリズムＶ）
　検証者アルゴリズムＶは、検証者により利用される。検証者アルゴリズムＶは、対話プロトコルの中で、公開鍵ｐｋに対応する秘密鍵ｓｋを証明者が保有しているか否かを検証するアルゴリズムである。検証者アルゴリズムＶは、公開鍵ｐｋを入力とし、対話プロトコルの実行結果に応じて０又は１（１ｂｉｔ）を出力するアルゴリズムである。なお、検証者は、検証者アルゴリズムＶが０を出力した場合には証明者が不正なものであると判断し、１を出力した場合には証明者が正当なものであると判断する。形式的に、検証者アルゴリズムＶは、下記の式（２）のように表現される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
　上記の通り、意味のある公開鍵認証を実現するには、対話プロトコルが健全性及び零知識性という２つの条件を満たしている必要がある。しかし、証明者が秘密鍵ｓｋを保有していることを証明するためには、証明者が秘密鍵ｓｋに依存した手続きを実行し、その結果を検証者に通知した上で、その通知内容に基づく検証を検証者に実行させる必要がある。秘密鍵ｓｋに依存した手続きを実行するのは、健全性を担保するために必要である。一方で、秘密鍵ｓｋの情報が一切検証者に漏れないようにする必要がある。そのため、これらの要件を満たすように、上記の鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、証明者アルゴリズムＰ、検証者アルゴリズムＶを巧妙に設計する必要がある。
　以上、公開鍵認証方式のアルゴリズムについて、その概要を説明した。
　［１－２：電子署名方式のアルゴリズム］
　次に、図２を参照しながら、電子署名方式のアルゴリズムについて概要を説明する。図２は、電子署名方式のアルゴリズムについて概要を説明するための説明図である。
　紙文書とは異なり、ある電子化されたデータに対して押印したり署名を記載したりすることはできない。そのため、電子化されたデータの作成者を証明するためには、紙文書に押印したり署名を記載したりするのと同等の効果が得られる電子的な仕組みを必要とする。この仕組みが電子署名である。電子署名とは、データの作成者しか知らない署名データをデータに関連付けて受領者に提供し、その署名データを受領者側で検証する仕組みのことを言う。
　（モデル）
　電子署名方式のモデルには、図２に示すように、署名者及び検証者という２つのエンティティが存在する。そして、電子署名方式のモデルは、鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、署名生成アルゴリズムＳｉｇ、署名検証アルゴリズムＶｅｒという３つのアルゴリズムにより構成される。
　署名者は、鍵生成アルゴリズムＧｅｎを利用して署名者固有の署名鍵ｓｋと検証鍵ｐｋとの組を生成する。また、署名者は、署名生成アルゴリズムＳｉｇを利用して文書Ｍに付与する電子署名σを生成する。つまり、署名者は、文書Ｍに電子署名を付与するエンティティである。一方、検証者は、署名検証アルゴリズムＶｅｒを利用して文書Ｍに付与された電子署名σを検証する。つまり、検証者は、文書Ｍの作成者が署名者であるか否かを確認するために、電子署名σを検証するエンティティである。
　なお、以下の説明において、「署名者」「検証者」という表現を用いるが、これらの表現はあくまでもエンティティを意味するものである。従って、鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、署名生成アルゴリズムＳｉｇを実行する主体は、「署名者」のエンティティに対応する情報処理装置である。同様に、署名検証アルゴリズムＶｅｒを実行する主体は、情報処理装置である。これら情報処理装置のハードウェア構成は、例えば、図１２に示した通りである。つまり、鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、署名生成アルゴリズムＳｉｇ、署名検証アルゴリズムＶｅｒは、ＲＯＭ９０４、ＲＡＭ９０６、記憶部９２０、リムーバブル記録媒体９２８などに記録されたプログラムに基づいてＣＰＵ９０２などにより実行される。
　（鍵生成アルゴリズムＧｅｎ）
　鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、署名者により利用される。鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、署名者固有の署名鍵ｓｋと検証鍵ｐｋとの組を生成するアルゴリズムである。鍵生成アルゴリズムＧｅｎにより生成された検証鍵ｐｋは公開される。一方、鍵生成アルゴリズムＧｅｎにより生成された署名鍵ｓｋは、署名者により秘密に管理される。そして、署名鍵ｓｋは、文書Ｍに付与される電子署名σの生成に利用される。例えば、鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、セキュリティパラメータ１λ（λは０以上の整数）を入力とし、署名鍵ｓｋ及び公開鍵ｐｋを出力する。この場合、鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、形式的に、下記の式（３）のように表現することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
　（署名生成アルゴリズムＳｉｇ）
　署名生成アルゴリズムＳｉｇは、署名者により利用される。署名生成アルゴリズムＳｉｇは、文書Ｍに付与される電子署名σを生成するアルゴリズムである。署名生成アルゴリズムＳｉｇは、署名鍵ｓｋと文書Ｍとを入力とし、電子署名σを出力するアルゴリズムである。この署名生成アルゴリズムＳｉｇは、形式的に、下記の式（４）のように表現することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
　（署名検証アルゴリズムＶｅｒ）
　署名検証アルゴリズムＶｅｒは、検証者により利用される。署名検証アルゴリズムＶｅｒは、電子署名σが文書Ｍに対する正当な電子署名であるか否かを検証するアルゴリズムである。署名検証アルゴリズムＶｅｒは、署名者の検証鍵ｐｋ、文書Ｍ、電子署名σを入力とし、０又は１（１ｂｉｔ）を出力するアルゴリズムである。この署名検証アルゴリズムＶｅｒは、形式的に、下記の式（５）のように表現することができる。なお、検証者は、署名検証アルゴリズムＶｅｒが０を出力した場合（公開鍵ｐｋが文書Ｍと電子署名σを拒否する場合）に電子署名σが不当であると判断し、１を出力した場合（公開鍵ｐｋが文書Ｍと電子署名σを受理する場合）に電子署名σが正当であると判断する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
　以上、電子署名方式のアルゴリズムについて、その概要を説明した。
　［１－３：ｎパスの公開鍵認証方式］
　次に、図３を参照しながら、ｎパスの公開鍵認証方式について説明する。図３は、ｎパスの公開鍵認証方式について説明するための説明図である。
　上記の通り、公開鍵認証方式は、対話プロトコルの中で、証明者が公開鍵ｐｋに対応する秘密鍵ｓｋを保有していることを検証者に証明する認証方式である。また、対話プロトコルは、健全性及び零知識性という２つの条件を満たす必要がある。そのため、対話プロトコルの中では、図３に示すように、証明者及び検証者の双方がそれぞれ処理を実行しながらｎ回の情報交換を行う。
　ｎパスの公開鍵認証方式の場合、証明者アルゴリズムＰを用いて証明者により処理（工程＃１）が実行され、情報Ｔ１が検証者に送信される。次いで、検証者アルゴリズムＶを用いて検証者により処理（工程＃２）が実行され、情報Ｔ２が証明者に送信される。さらに、ｋ＝３～ｎについて処理の実行及び情報Ｔｋの送信が順次行われ、最後に処理（工程＃ｎ＋１）が実行される。このように、情報がｎ回送受信される方式のことを「ｎパス」の公開鍵認証方式と呼ぶ。
　以上、ｎパスの公開鍵認証方式について説明した。
　＜２：３パスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムの構成＞
　以下、３パスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムについて説明する。なお、以下の説明において、３パスの公開鍵認証方式のことを「３パス方式」と呼ぶ場合がある。
　［２－１：具体的なアルゴリズムの構成例（図４）］
　まず、図４を参照しながら、３パス方式に係る具体的なアルゴリズムの構成例について紹介する。図４は、３パス方式に係る具体的なアルゴリズムの構成について説明するための説明図である。ここでは、公開鍵ｐｋの一部として２次多項式の組（ｆ１（ｘ），…，ｆｍ（ｘ））を利用する場合について考える。但し、２次多項式ｆｉ（ｘ）は、下記の式（６）のように表現されるものとする。また、ベクトル（ｘ１，…，ｘｎ）をｘと表記し、２次多項式の組（ｆ１（ｘ），…，ｆｍ（ｘ））を多変数多項式Ｆ（ｘ）と表記することにする。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
　また、２次多項式の組（ｆ１（ｘ），…，ｆｍ（ｘ））は、下記の式（７）のように表現することができる。また、Ａ１，…，Ａｍは、ｎ×ｎ行列である。さらに、ｂ１，…，ｂｍはそれぞれｎ×１ベクトルである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
　この表現を用いると、多変数多項式Ｆは、下記の式（８）及び式（９）のように表現することができる。この表現が成り立つことは、下記の式（１０）から容易に確認することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
　このようにＦ（ｘ＋ｙ）をｘに依存する第１の部分と、ｙに依存する第２の部分と、ｘ及びｙの両方に依存する第３の部分とに分けたとき、第３の部分に対応する項Ｇ（ｘ，ｙ）は、ｘ及びｙについて双線形になる。以下、項Ｇ（ｘ，ｙ）を双線形項と呼ぶ場合がある。この性質を利用すると、効率的なアルゴリズムを構築することが可能になる。
　例えば、ベクトルｔ０∈Ｋｎ、ｅ０∈Ｋｍを用いて、多変数多項式Ｆ（ｘ＋ｒ）のマスクに利用する多変数多項式Ｆ１（ｘ）をＦ１（ｘ）＝Ｇ（ｘ，ｔ０）＋ｅ０と表現する。この場合、多変数多項式Ｆ（ｘ＋ｒ０）とＧ（ｘ）との和は、下記の式（１１）のように表現される。ここで、ｔ１＝ｒ０＋ｔ０、ｅ１＝Ｆ（ｒ０）＋ｅ０とおけば、多変数多項式Ｆ２（ｘ）＝Ｆ（ｘ＋ｒ０）＋Ｆ１（ｘ）は、ベクトルｔ１∈Ｋｎ、ｅ１∈Ｋｍにより表現することができる。そのため、Ｆ１（ｘ）＝Ｇ（ｘ，ｔ０）＋ｅ０に設定すれば、Ｋｎ上のベクトル及びＫｍ上のベクトルを用いてＦ１及びＦ２を表現できるようになり、通信に必要なデータサイズの少ない効率的なアルゴリズムを実現することが可能になる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
　なお、Ｆ２（或いはＦ１）からｒ０に関する情報が一切漏れることはない。例えば、ｅ１及びｔ１（或いはｅ０及びｔ０）を与えられても、ｅ０及びｔ０（或いはｅ１及びｔ１）を知らない限り、ｒ０の情報を一切知ることはできない。従って、零知識性が担保される。以下、上記の論理に基づいて構築された３パス方式のアルゴリズムについて説明する。ここで説明する３パス方式のアルゴリズムは、以下のような鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、証明者アルゴリズムＰ、検証者アルゴリズムＶにより構成される。
　（鍵生成アルゴリズムＧｅｎ）
　鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、環Ｋ上で定義されるｍ本の多変数多項式ｆ１（ｘ１，…，ｘｎ），…，ｆｍ（ｘ１，…，ｘｎ）、及びベクトルｓ＝（ｓ１，…，ｓｎ）∈Ｋｎを生成する。次に、鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、ｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）←（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を計算する。そして、鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、（ｆ１（ｘ１，…，ｘｎ），…，ｆｍ（ｘ１，…，ｘｎ），ｙ）を公開鍵ｐｋに設定し、ｓを秘密鍵に設定する。
　（証明者アルゴリズムＰ、検証者アルゴリズムＶ）
　以下、図４を参照しながら、対話プロトコルの中で証明者アルゴリズムＰが実行する処理及び検証者アルゴリズムＶが実行する処理について説明する。この対話プロトコルの中で、証明者は、秘密鍵ｓの情報を検証者に一切漏らさずに、「自身がｙ＝Ｆ（ｓ）を満たすｓを知っていること」を検証者に示す。一方、検証者は、証明者がｙ＝Ｆ（ｓ）を満たすｓを知っているか否かを検証する。なお、公開鍵ｐｋは、検証者に公開されているものとする。また、秘密鍵ｓは、証明者により秘密に管理されているものとする。以下、図４に示したフローチャートに沿って説明を進める。
　工程＃１：
　図４に示すように、まず、証明者アルゴリズムＰは、ランダムにベクトルｒ０，ｔ０∈Ｋｎ及びｅ０∈Ｋｍを生成する。次いで、証明者アルゴリズムＰは、ｒ１←ｓ－ｒ０を計算する。この計算は、秘密鍵ｓをベクトルｒ０によりマスクする操作に相当する。さらに、証明者アルゴリズムＰは、ｔ１←ｒ０－ｔ０を計算する。次いで、証明者アルゴリズムＰは、ｅ１←Ｆ（ｒ０）－ｅ０を計算する。
　工程＃１（続き）：
　次いで、証明者アルゴリズムＰは、ｃ０←Ｈ（ｒ１，Ｇ（ｔ０，ｒ１）＋ｅ０）を計算する。次いで、証明者アルゴリズムＰは、ｃ１←Ｈ（ｔ０，ｅ０）を計算する。次いで、証明者アルゴリズムＰは、ｃ２←Ｈ（ｔ１，ｅ１）を計算する。工程＃１で生成されたメッセージ（ｃ０，ｃ１，ｃ２）は、検証者アルゴリズムＶに送られる。
　工程＃２：
　メッセージ（ｃ０，ｃ１，ｃ２）を受け取った検証者アルゴリズムＶは、３つの検証パターンのうち、どの検証パターンを利用するかを選択する。例えば、検証者アルゴリズムＶは、検証パターンの種類を表す３つの数値｛０，１，２｝の中から１つの数値を選択し、選択した数値を要求Ｃｈに設定する。この要求Ｃｈは証明者アルゴリズムＰに送られる。
　工程＃３：
　要求Ｃｈを受け取った証明者アルゴリズムＰは、受け取った要求Ｃｈに応じて検証者アルゴリズムＶに送る返答Ｒｓｐを生成する。Ｃｈ＝０の場合、証明者アルゴリズムＰは、返答Ｒｓｐ＝（ｒ０，ｔ１，ｅ１）を生成する。Ｃｈ＝１の場合、証明者アルゴリズムＰは、返答Ｒｓｐ＝（ｒ１，ｔ０，ｅ０）を生成する。Ｃｈ＝２の場合、証明者アルゴリズムＰは、返答Ｒｓｐ＝（ｒ１，ｔ１，ｅ１）を生成する。工程＃３で生成された返答Ｒｓｐは、検証者アルゴリズムＶに送られる。
　工程＃４：
　返答Ｒｓｐを受け取った検証者アルゴリズムＶは、受け取った返答Ｒｓｐを利用して以下の検証処理を実行する。
　Ｃｈ＝０の場合、検証者アルゴリズムＶは、ｃ１＝Ｈ（ｒ０－ｔ１，Ｆ（ｒ０）－ｅ１）の等号が成り立つか否かを検証する。さらに、検証者アルゴリズムＶは、ｃ２＝Ｈ（ｔ１，ｅ１）の等号が成り立つか否かを検証する。検証者アルゴリズムＶは、これらの検証が全て成功した場合に認証成功を示す値１を出力し、検証に失敗があった場合に認証失敗を示す値０を出力する。
　Ｃｈ＝１の場合、検証者アルゴリズムＶは、ｃ０＝Ｈ（ｒ１，Ｇ（ｔ０，ｒ１）＋ｅ０）の等号が成り立つか否かを検証する。さらに、検証者アルゴリズムＶは、ｃ１＝Ｈ（ｔ０，ｅ０）の等号が成り立つか否かを検証する。検証者アルゴリズムＶは、これらの検証が全て成功した場合に認証成功を示す値１を出力し、検証に失敗があった場合に認証失敗を示す値０を出力する。
　Ｃｈ＝２の場合、検証者アルゴリズムＶは、ｃ０＝Ｈ（ｒ１，ｙ－Ｆ（ｒ１）－Ｇ（ｔ１，ｒ１）－ｅ１）の等号が成り立つか否かを検証する。さらに、検証者アルゴリズムＶは、ｃ２＝Ｈ（ｔ１，ｅ１）の等号が成り立つか否かを検証する。検証者アルゴリズムＶは、これらの検証が全て成功した場合に認証成功を示す値１を出力し、検証に失敗があった場合に認証失敗を示す値０を出力する。
　以上、３パス方式に係る効率的なアルゴリズムの構成例について説明した。
　［２－２：並列化アルゴリズムの構成例（図５）］
　次に、図５を参照しながら、図４に示した３パス方式のアルゴリズムを並列化する方法について説明する。なお、鍵生成アルゴリズムＧｅｎの構成については説明を省略する。
　さて、上記の対話プロトコルを適用すれば、偽証が成功する確率を２／３以下に抑制することができる。従って、この対話プロトコルを２回実行すれば、偽証が成功する確率を（２／３）２以下に抑制することができる。さらに、この対話プロトコルをＮ回実行すると、偽証が成功する確率は（２／３）Ｎとなり、Ｎを十分に大きい数（例えば、Ｎ＝１４０）にすれば、偽証が成功する確率は無視できる程度に小さくなる。
　対話プロトコルを複数回実行する方法としては、例えば、メッセージ、要求、返答のやり取りを逐次的に複数回繰り返す直列的な方法と、１回分のやり取りで複数回分のメッセージ、要求、返答のやり取りを行う並列的な方法とが考えられる。さらに、直列的な方法と並列的な方法とを組み合わせたハイブリッド型の方法も考えられる。ここでは、図５を参照しながら、３パス方式に係る上記の対話プロトコルを並列的に実行するアルゴリズム（以下、並列化アルゴリズム）について説明する。
　工程＃１：
　図５に示すように、まず、証明者アルゴリズムＰは、ｉ＝１～Ｎについて以下の処理（１）～処理（６）を実行する。
　処理（１）：証明者アルゴリズムＰは、ランダムにベクトルｒ０ｉ，ｔ０ｉ∈Ｋｎ及びｅ０ｉ∈Ｋｍを生成する。
　処理（２）：証明者アルゴリズムＰは、ｒ１ｉ←ｓ－ｒ０ｉを計算する。この計算は、秘密鍵ｓをベクトルｒ０ｉによりマスクする操作に相当する。さらに、証明者アルゴリズムＰは、ｔ１ｉ←ｒ０ｉ＋ｔ０ｉを計算する。
　処理（３）：証明者アルゴリズムＰは、ｅ１ｉ←Ｆ（ｒ０ｉ）－ｅ０ｉを計算する。
　処理（４）：証明者アルゴリズムＰは、ｃ０ｉ←Ｈ（ｒ１ｉ，Ｇ（ｒ１ｉ，ｔ０ｉ）＋ｅ０ｉ）を計算する。
　処理（５）：証明者アルゴリズムＰは、ｃ１ｉ←Ｈ（ｔ０ｉ，ｅ０ｉ）を計算する。
　処理（６）：証明者アルゴリズムＰは、ｃ２ｉ←Ｈ（ｔ１ｉ，ｅ１ｉ）を計算する。
　工程＃１（続き）
　ｉ＝１～Ｎについて上記の処理（１）～処理（６）を実行した後、証明者アルゴリズムＰは、Ｃｍｔ←Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎ）を計算する。工程＃１で生成されたハッシュ値Ｃｍｔは、検証者アルゴリズムＶに送られる。このように、メッセージ（ｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎ）をハッシュ値に変換してから検証者アルゴリズムＶに送ることで、通信量を削減することが可能になる。
　工程＃２：
　ハッシュ値Ｃｍｔを受け取った検証者アルゴリズムＶは、ｉ＝１～Ｎのそれぞれについて、３つの検証パターンのうち、どの検証パターンを利用するかを選択する。例えば、検証者アルゴリズムＶは、ｉ＝１～Ｎのそれぞれについて、検証パターンの種類を表す３つの数値｛０，１，２｝の中から１つの数値を選択し、選択した数値を要求Ｃｈｉに設定する。要求Ｃｈ１，…，ＣｈＮは、証明者アルゴリズムＰに送られる。
　工程＃３：
　要求Ｃｈ１，…，ＣｈＮを受け取った証明者アルゴリズムＰは、受け取った要求Ｃｈ１，…，ＣｈＮのそれぞれ応じて検証者アルゴリズムＶに送る返答Ｒｓｐ１，…，ＲｓｐＮを生成する。Ｃｈｉ＝０の場合、証明者アルゴリズムＰは、Ｒｓｐｉ＝（ｒ０ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ０ｉ）を生成する。Ｃｈｉ＝１の場合、証明者アルゴリズムＰは、Ｒｓｐｉ＝（ｒ１ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ，ｃ２ｉ）を生成する。Ｃｈｉ＝２の場合、証明者アルゴリズムＰは、Ｒｓｐｉ＝（ｒ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ１ｉ）を生成する。
　工程＃３で生成された返答Ｒｓｐ１，…，ＲｓｐＮは、検証者アルゴリズムＶに送られる。
　工程＃４：
　返答Ｒｓｐ１，…，ＲｓｐＮを受け取った検証者アルゴリズムＶは、受け取った返答Ｒｓｐ１，…，ＲｓｐＮを利用して以下の処理（１）～処理（３）をｉ＝１～Ｎについて実行する。但し、検証者アルゴリズムＶは、Ｃｈｉ＝０の場合に処理（１）を実行し、Ｃｈｉ＝１の場合に処理（２）を実行し、Ｃｈｉ＝２の場合に処理（３）を実行する。
　処理（１）：Ｃｈｉ＝０の場合、検証者アルゴリズムＶは、Ｒｓｐｉから（ｒ０ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ０ｉ）を取り出す。次いで、検証者アルゴリズムＶは、ｃ１ｉ＝Ｈ（ｒ０ｉ－ｔ１ｉ，Ｆ（ｒ０ｉ）－ｅ１ｉ）を計算する。さらに、検証者アルゴリズムＶは、ｃ２ｉ＝Ｈ（ｔ１ｉ，ｅ１ｉ）を計算する。そして、検証者アルゴリズムＶは、（ｃ０ｉ，ｃ１ｉ，ｃ２ｉ）を保持する。
　処理（２）：Ｃｈｉ＝１の場合、検証者アルゴリズムＶは、Ｒｓｐｉから（ｒ１ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ，ｃ２ｉ）を取り出す。次いで、検証者アルゴリズムＶは、ｃ０ｉ＝Ｈ（ｒ１ｉ，Ｇ（ｔ０ｉ，ｒ１ｉ）＋ｅ０ｉ）を計算する。さらに、検証者アルゴリズムＶは、ｃ１ｉ＝Ｈ（ｔ０ｉ，ｅ０ｉ）を計算する。そして、検証者アルゴリズムＶは、（ｃ０ｉ，ｃ１ｉ，ｃ２ｉ）を保持する。
　処理（３）：Ｃｈｉ＝２の場合、検証者アルゴリズムＶは、Ｒｓｐｉから（ｒ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ１ｉ）を取り出す。次いで、検証者アルゴリズムＶは、ｃ０ｉ＝Ｈ（ｒ１ｉ，ｙ－Ｆ（ｒ１ｉ）－Ｇ（ｔ１ｉ，ｒ１ｉ）－ｅ１ｉ）を計算する。さらに、検証者アルゴリズムＶは、ｃ２ｉ＝Ｈ（ｔ１ｉ，ｅ１ｉ）を計算する。そして、検証者アルゴリズムＶは、（ｃ０ｉ，ｃ１ｉ，ｃ２ｉ）を保持する。
　処理（１）～処理（３）をｉ＝１～Ｎについて実行した後、検証者アルゴリズムＶは、Ｃｍｔ＝Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎ）の等号が成り立つか否かを検証する。検証者アルゴリズムＶは、この検証が成功した場合に認証成功を示す値１を出力し、検証に失敗した場合に認証失敗を示す値０を出力する。
　以上、３パス方式に係る効率的な並列化アルゴリズムの構成例について説明した。
　＜３：５パスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムの構成＞
　次に、５パスの公開鍵認証方式に係るアルゴリズムについて説明する。なお、以下の説明において、５パスの公開鍵認証方式のことを「５パス方式」と呼ぶ場合がある。
　３パス方式の場合には対話プロトコル１回当たりの偽証確率が２／３であったが、５パス方式の場合には対話プロトコル１回当たりの偽証確率が１／２＋１／ｑとなる。但し、ｑは、利用する環の位数である。従って、環の位数が十分に大きい場合、５パス方式の方が１回当たりの偽証確率を低減することが可能になり、少ない対話プロトコルの実行回数で、偽証確率を十分に小さくすることができる。
　例えば、偽証確率を１／２ｎ以下にしたい場合、３パス方式においては、ｎ／（ｌｏｇ３－１）＝１．７０１ｎ回以上、対話プロトコルを実行する必要がある。一方、偽証確率を１／２ｎ以下にしたい場合、５パス方式においては、ｎ／（１－ｌｏｇ（１＋１／ｑ））回以上、対話プロトコルを実行する必要がある。従って、ｑ＝２４にすれば、同じセキュリティレベルを実現するのに必要な通信量は、３パス方式に比べ、５パス方式の方が少なくなるのである。
　［３－１：具体的なアルゴリズムの構成例（図６）］
　まず、図６を参照しながら、５パス方式に係る具体的なアルゴリズムの構成例について紹介する。図６は、５パス方式に係る具体的なアルゴリズムの構成について説明するための説明図である。ここでは、公開鍵ｐｋの一部として２次多項式の組（ｆ１（ｘ），…，ｆｍ（ｘ））を利用する場合について考える。但し、２次多項式ｆｉ（ｘ）は、上記の式（６）のように表現されるものとする。また、ベクトル（ｘ１，…，ｘｎ）をｘと表記し、２次多項式の組（ｆ１（ｘ），…，ｆｍ（ｘ））を多変数多項式Ｆ（ｘ）と表記することにする。
　３パス方式に係るアルゴリズムと同様、２つのベクトルｔ０∈Ｋｎ、ｅ０∈Ｋｍを用いて、多変数多項式Ｆ（ｘ＋ｒ０）をマスクするために用いた多変数多項式Ｆ１（ｘ）をＦ１（ｘ）＝Ｇ（ｘ、ｔ０）＋ｅ０のように表現する。この表現を用いると、多変数多項式Ｆ（ｘ＋ｒ０）について、下記の式（１２）で表現される関係が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
　そのため、ｔ１＝ＣｈＡ・ｒ０＋ｔ０、ｅ１＝ＣｈＡ・Ｆ（ｒ０）＋ｅ０とすれば、マスク後の多変数多項式Ｆ２（ｘ）＝ＣｈＡ・Ｆ（ｘ＋ｒ０）＋Ｆ１（ｘ）も、２つのベクトルｔ１∈Ｋｎ、ｅ１∈Ｋｍにより表現することができる。これらの理由から、Ｆ１（ｘ）＝Ｇ（ｘ，ｔ０）＋ｅ０と設定すれば、Ｋｎ上のベクトル及びＫｍ上のベクトルを用いてＦ１及びＦ２を表現できるようになり、通信に必要なデータサイズが少ない効率的なアルゴリズムを実現することが可能になる。
　なお、Ｆ２（或いはＦ１）からｒ０に関する情報が一切漏れることはない。例えば、ｅ１及びｔ１（或いはｅ０及びｔ０）を与えられても、ｅ０及びｔ０（或いはｅ１及びｔ１）を知らない限り、ｒ０の情報を一切知ることはできない。従って、零知識性は担保される。以下、上記の論理に基づいて構築された５パス方式のアルゴリズムについて説明する。ここで説明する５パス方式のアルゴリズムは、以下のような鍵生成アルゴリズムＧｅｎ、証明者アルゴリズムＰ、検証者アルゴリズムＶにより構成される。
　（鍵生成アルゴリズムＧｅｎ）
　鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、環Ｋ上で定義される多変数多項式ｆ１（ｘ１，…，ｘｎ），…，ｆｍ（ｘ１，…，ｘｎ）、及びベクトルｓ＝（ｓ１，…，ｓｎ）∈Ｋｎを生成する。次に、鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、ｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）←（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を計算する。そして、鍵生成アルゴリズムＧｅｎは、（ｆ１，…，ｆｍ，ｙ）を公開鍵ｐｋに設定し、ｓを秘密鍵に設定する。なお、以下では、ベクトル（ｘ１，…，ｘｎ）をｘと表記し、多変数多項式の組（ｆ１（ｘ），…，ｆｍ（ｘ））をＦ（ｘ）と表記する。
　（証明者アルゴリズムＰ、検証者アルゴリズムＶ）
　以下、図６を参照しながら、対話プロトコルの中で証明者アルゴリズムＰ及び検証者アルゴリズムＶにより実行される処理について説明する。この対話プロトコルの中で、証明者は、秘密鍵ｓの情報を検証者に一切漏らさずに、「自身がｙ＝Ｆ（ｓ）を満たすｓを知っていること」を検証者に示す。一方、検証者は、証明者がｙ＝Ｆ（ｓ）を満たすｓを知っているか否かを検証する。なお、公開鍵ｐｋは、検証者に公開されているものとする。また、秘密鍵ｓは、証明者により秘密に管理されているものとする。以下、図６に示したフローチャートに沿って説明を進める。
　工程＃１：
　図６に示すように、まず、証明者アルゴリズムＰは、ランダムにベクトルｒ０∈Ｋｎ、ｔ０∈Ｋｎ、ｅ０∈Ｋｍを生成する。次いで、証明者アルゴリズムＰは、ｒ１←ｓ－ｒ０を計算する。この計算は、秘密鍵ｓをベクトルｒ０によりマスクする操作に相当する。次いで、証明者アルゴリズムＰは、ベクトルｒ０，ｔ０，ｅ０のハッシュ値ｃ０を生成する。つまり、証明者アルゴリズムＰは、ｃ０←Ｈ（ｒ０，ｔ０，ｅ０）を計算する。次いで、証明者アルゴリズムＰは、Ｇ（ｔ０，ｒ１）＋ｅ０及びｒ１のハッシュ値ｃ１を生成する。つまり、証明者アルゴリズムＰは、ｃ０←Ｈ（ｒ１，Ｇ（ｔ０，ｒ１）＋ｅ０）を計算する。工程＃１で生成されたメッセージ（ｃ０，ｃ１）は、検証者アルゴリズムＶに送られる。
　工程＃２：
　メッセージ（ｃ０，ｃ１）を受け取った検証者アルゴリズムＶは、ｑ通り存在する環Ｋの元からランダムに１つの数ＣｈＡを選択し、選択した数ＣｈＡを証明者アルゴリズムＰに送る。
　工程＃３：
　数ＣｈＡを受け取った証明者アルゴリズムＰは、ｔ１←ＣｈＡ・ｒ０－ｔ０を計算する。さらに、証明者アルゴリズムＰは、ｅ１←ＣｈＡ・Ｆ（ｒ０）－ｅ０を計算する。そして、証明者アルゴリズムＰは、ｔ１及びｅ１を検証者アルゴリズムＶに送る。
　工程＃４：
　ｔ１及びｅ１を受け取った検証者アルゴリズムＶは、２つの検証パターンのうち、どちらの検証パターンを利用するかを選択する。例えば、検証者アルゴリズムＶは、検証パターンの種類を表す２つの数値｛０，１｝の中から１つの数値を選択し、選択した数値を要求ＣｈＢに設定する。この要求ＣｈＢは証明者アルゴリズムＰに送られる。
　工程＃５：
　要求ＣｈＢを受け取った証明者アルゴリズムＰは、受け取った要求ＣｈＢに応じて検証者アルゴリズムＶに送り返す返答Ｒｓｐを生成する。ＣｈＢ＝０の場合、証明者アルゴリズムＰは、返答Ｒｓｐ＝ｒ０を生成する。ＣｈＢ＝１の場合、証明者アルゴリズムＰは、返答Ｒｓｐ＝ｒ１を生成する。工程＃５で生成された返答Ｒｓｐは、検証者アルゴリズムＶに送られる。
　工程＃６：
　返答Ｒｓｐを受け取った検証者アルゴリズムＶは、受け取った返答Ｒｓｐを利用して以下の検証処理を実行する。
　ＣｈＢ＝０の場合、検証者アルゴリズムＶは、ｒ０←Ｒｓｐを実行する。そして、検証者アルゴリズムＶは、ｃ０＝Ｈ（ｒ０，ＣｈＡ・ｒ０－ｔ１，ＣｈＡ・Ｆ（ｒ０）－ｅ１）の等号が成り立つか否かを検証する。検証者アルゴリズムＶは、この検証が成功した場合に認証成功を示す値１を出力し、検証に失敗があった場合に認証失敗を示す値０を出力する。
　ＣｈＢ＝１の場合、検証者アルゴリズムＶは、ｒ１←Ｒｓｐを実行する。そして、検証者アルゴリズムＶは、ｃ１＝Ｈ１（ｒ１，ＣｈＡ・（ｙ－Ｆ（ｒ１））－Ｇ（ｔ１，ｒ１）－ｅ１）の等号が成り立つか否かを検証する。検証者アルゴリズムＶは、この検証が成功した場合に認証成功を示す値１を出力し、検証に失敗があった場合に認証失敗を示す値０を出力する。
　以上、５パス方式に係る効率的なアルゴリズムの構成例について説明した。
　［３－２：並列化アルゴリズムの構成例（図７）］
　次に、図７を参照しながら、図６に示した５パス方式のアルゴリズムを並列化する方法について説明する。なお、鍵生成アルゴリズムＧｅｎの構成については説明を省略する。
　先に述べた通り、５パス方式に係る対話プロトコルを適用すれば、偽証が成功する確率を（１／２＋１／ｑ）以下に抑制することができる。従って、この対話プロトコルを２回実行すれば、偽証が成功する確率を（１／２＋１／ｑ）２以下に抑制することができる。さらに、この対話プロトコルをＮ回実行すると、偽証が成功する確率は（１／２＋１／ｑ）Ｎとなり、Ｎを十分に大きい数（例えば、Ｎ＝８０）にすれば、偽証が成功する確率は無視できる程度に小さくなる。
　対話プロトコルを複数回実行する方法としては、例えば、メッセージ、要求、返答のやり取りを逐次的に複数回繰り返す直列的な方法と、１回分のやり取りで複数回分のメッセージ、要求、返答のやり取りを行う並列的な方法とが考えられる。さらに、直列的な方法と並列的な方法とを組み合わせたハイブリッド型の方法も考えられる。ここでは、５パス方式に係る上記の対話プロトコルを並列的に実行するアルゴリズム（以下、並列化アルゴリズム）について説明する。
　工程＃１：
　図７に示すように、まず、証明者アルゴリズムＰは、ｉ＝１～Ｎについて処理（１）～処理（４）を実行する。
　処理（１）：証明者アルゴリズムＰは、ランダムにベクトルｒ０ｉ，ｔ０ｉ∈Ｋｎ及びｅ０ｉ∈Ｋｍを生成する。
　処理（２）：証明者アルゴリズムＰは、ｒ１ｉ←ｓ－ｒ０ｉを計算する。この計算は、秘密鍵ｓをベクトルｒ０ｉによりマスクする操作に相当する。
　処理（３）：証明者アルゴリズムＰは、ｃ０ｉ←Ｈ（ｒ０ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ）を計算する。
　処理（４）：証明者アルゴリズムＰは、ｃ１ｉ←Ｈ（ｒ１ｉ，Ｇ（ｔ０ｉ，ｒ１ｉ）＋ｅ０ｉ）を計算する。
　ｉ＝１～Ｎについて処理（１）～処理（４）を実行した後、証明者アルゴリズムＰは、ハッシュ値Ｃｍｔ←Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ）を実行する。そして、工程＃１で生成されたハッシュ値Ｃｍｔは、検証者アルゴリズムＶに送られる。
　工程＃２：
　ハッシュ値Ｃｍｔを受け取った検証者アルゴリズムＶは、ｉ＝１～Ｎのそれぞれについて、ｑ通り存在する環Ｋの元からランダムに１つの数ＣｈＡｉを選択し、選択した数ＣｈＡｉ（ｉ＝１～Ｎ）を証明者アルゴリズムＰに送る。
　工程＃３：
　数ＣｈＡｉ（ｉ＝１～Ｎ）を受け取った証明者アルゴリズムＰは、ｉ＝１～Ｎのそれぞれについて、ｔ１ｉ←ＣｈＡｉ・ｒ０ｉ－ｔ０ｉを計算する。さらに、証明者アルゴリズムＰは、ｉ＝１～Ｎのそれぞれについて、ｅ１ｉ←ＣｈＡｉ・Ｆ（ｒ０ｉ）－ｅ０ｉを計算する。次いで、証明者アルゴリズムＰは、ハッシュ値ｄ←Ｈ（ｔ１１，ｅ１１，…，ｔ１Ｎ，ｅ１Ｎ）を計算する。そして、証明者アルゴリズムＰは、ハッシュ値ｄを検証者アルゴリズムＶに送る。
　工程＃４：
　ハッシュ値ｄを受け取った検証者アルゴリズムＶは、ｉ＝１～Ｎのそれぞれについて、２つの検証パターンのうち、どちらの検証パターンを利用するかを選択する。例えば、検証者アルゴリズムＶは、検証パターンの種類を表す２つの数値｛０，１｝の中から１つの数値を選択し、選択した数値を要求ＣｈＢｉに設定する。要求ＣｈＢｉ（ｉ＝１～Ｎ）は証明者アルゴリズムＰに送られる。
　工程＃５：
　要求ＣｈＢｉ（ｉ＝１～Ｎ）を受け取った証明者アルゴリズムＰは、ｉ＝１～Ｎについて、受け取った要求ＣｈＢｉに応じて検証者アルゴリズムＶに送り返す返答Ｒｓｐｉを生成する。ＣｈＢｉ＝０の場合、証明者アルゴリズムＰは、返答Ｒｓｐｉ＝（ｒ０ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ，ｃ１ｉ）を生成する。ＣｈＢｉ＝１の場合、証明者アルゴリズムＰは、返答Ｒｓｐｉ＝（ｒ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ０ｉ）を生成する。工程＃５で生成された返答Ｒｓｐｉ（ｉ＝１～Ｎ）は、検証者アルゴリズムＶに送られる。
　工程＃６：
　返答Ｒｓｐｉ（ｉ＝１～Ｎ）を受け取った検証者アルゴリズムＶは、受け取った返答Ｒｓｐｉ（ｉ＝１～Ｎ）を利用して以下の処理（１）及び処理（２）を実行する。
　処理（１）：ＣｈＢｉ＝０の場合、検証者アルゴリズムＶは、（ｒ０ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ，ｃ１ｉ）←Ｒｓｐｉを実行する。そして、検証者アルゴリズムＶは、ｃ０ｉ＝Ｈ（ｒ０ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ）を計算する。さらに、検証者アルゴリズムＶは、ｔ１ｉ←ＣｈＡｉ・ｒ０ｉ＋ｔ０ｉ、及びｅ１ｉ←ＣｈＡｉ・Ｆ（ｒ０ｉ）－ｅ０ｉを計算する。そして、検証者アルゴリズムＶは、（ｃ０ｉ，ｃ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ）を保持する。
　処理（２）：ＣｈＢｉ＝１の場合、検証者アルゴリズムＶは、（ｒ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ０ｉ）←Ｒｓｐｉを実行する。そして、検証者アルゴリズムＶは、ｃ１ｉ＝Ｈ（ｒ１ｉ，ＣｈＡｉ・（ｙ－Ｆ（ｒ１ｉ））－Ｇ（ｔ１ｉ，ｒ１ｉ）－ｅ１ｉ）を計算する。そして、検証者アルゴリズムＶは、（ｃ０ｉ，ｃ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ）を保持する。
　ｉ＝１～Ｎについて処理（１）及び処理（２）を実行した後、検証者アルゴリズムＶは、Ｃｍｔ＝Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ）の等号が成り立つか否かを検証する。さらに、検証者アルゴリズムＶは、ｄ＝Ｈ（ｔ１１，ｅ１１，…，ｔ１Ｎ，ｅ１Ｎ）の等号が成り立つか否かを検証する。そして、検証者アルゴリズムＶは、これらの検証が全て成功した場合に認証成功を示す値１を出力し、検証に失敗があった場合に認証失敗を示す値０を出力する。
　以上、５パス方式に係る効率的な並列化アルゴリズムの構成例について説明した。
　＜４：電子署名方式への変形＞
　次に、上記の公開鍵認証方式を電子署名方式へと変形する方法を紹介する。
　公開鍵認証方式のモデルにおける証明者を電子署名方式における署名者に対応させると、証明者のみが検証者を納得させられるという点において、電子署名方式のモデルと近似していることが容易に理解されよう。こうした考えに基づき、上述した公開鍵認証方式を電子署名方式へと変形する方法について説明する。
　［４－１：３パスの公開鍵認証方式から電子署名方式への変形（図８）］
　まず、３パスの公開鍵認証方式から電子署名方式への変形について説明する。
　図８に示すように、３パス方式に係る効率的なアルゴリズム（例えば、図５を参照）は、３回の対話及び４つの工程＃１～工程＃４で表現される。
　工程＃１は、ｉ＝１～Ｎについて、ａｉ＝（ｒ０ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ，ｒ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ０ｉ，ｃ１ｉ，ｃ２ｉ）を生成する処理（１）と、Ｃｍｔ←Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎ）を計算する処理（２）とで構成される。工程＃１で証明者アルゴリズムＰにより生成されたＣｍｔは、検証者アルゴリズムＶへと送られる。
　工程＃２は、Ｃｈ１，…，ＣｈＮを選択する処理で構成される。工程＃２で検証者アルゴリズムＶにより選択されたＣｈ１，…，ＣｈＮは、証明者アルゴリズムＰへと送られる。
　工程＃３は、Ｃｈ１，…，ＣｈＮ及びａ１，…，ａＮを用いてＲｓｐ１，…，ＲｓｐＮを生成する処理で構成される。この処理をＲｓｐｉ←Ｓｅｌｅｃｔ（Ｃｈｉ，ａｉ）と表現する。工程＃３で証明者アルゴリズムＰにより生成されたＲｓｐ１，…，ＲｓｐＮは、検証者アルゴリズムＶへと送られる。
　工程＃４は、Ｃｈ１，…，ＣｈＮ及びＲｓｐ１，…，ＲｓｐＮを用いてｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎを再生する処理（１）と、再生したｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎを用いてＣｍｔ＝Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎ）を検証する処理（２）とで構成される。
　上記の工程＃１～工程＃４で表現される公開鍵認証方式のアルゴリズムは、図８に示すような署名生成アルゴリズムＳｉｇ及び署名検証アルゴリズムＶｅｒに変形される。
　（署名生成アルゴリズムＳｉｇ）
　まず、署名生成アルゴリズムＳｉｇの構成について述べる。署名生成アルゴリズムＳｉｇは、以下の処理（１）～処理（５）で構成される。
　処理（１）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、ａｉ＝（ｒ０ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ，ｒ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ０ｉ，ｃ１ｉ，ｃ２ｉ）を生成する。
　処理（２）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、Ｃｍｔ←Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎ）を計算する。
　処理（３）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、（Ｃｈ１，…，ＣｈＮ）←Ｈ（Ｍ，Ｃｍｔ）を計算する。このＭは、署名を付与する文書である。
　処理（４）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、Ｒｓｐｉ←Ｓｅｌｅｃｔ（Ｃｈｉ，ａｉ）を計算する。
　処理（５）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、（Ｃｍｔ，Ｒｓｐ１，…，ＲｓｐＮ）を署名に設定する。
　（署名検証アルゴリズムＶｅｒ）
　次に、署名検証アルゴリズムＶｅｒの構成について述べる。署名検証アルゴリズムＶｅｒは、以下の処理（１）～処理（３）で構成される。
　処理（１）：署名検証アルゴリズムＶｅｒは、（Ｃｈ１，…，ＣｈＮ）←Ｈ（Ｍ，Ｃｍｔ）を計算する。
　処理（２）：署名検証アルゴリズムＶｅｒは、Ｃｈ１，…，ＣｈＮ及びＲｓｐ１，…，ＲｓｐＮを用いてｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎを生成する。
　処理（３）：署名検証アルゴリズムＶｅｒは、再生したｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎを用いてＣｍｔ＝Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，ｃ２１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｃ２Ｎ）を検証する。
　以上説明したように、公開鍵認証方式のモデルにおける証明者を電子署名方式における署名者に対応させることで、公開鍵認証方式のアルゴリズムを電子署名方式のアルゴリズムへと変形することが可能になる。
　［４－２：５パスの公開鍵認証方式から電子署名方式への変形（図９）］
　次に、５パスの公開鍵認証方式から電子署名方式への変形について説明する。
　図９に示すように、５パス方式に係る効率的なアルゴリズム（例えば、図７を参照）は、５回の対話及び６つの工程＃１～工程＃６で表現される。
　工程＃１は、ｉ＝１～Ｎについて、ａｉ＝（ｒ０ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ，ｒ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ０ｉ，ｃ１ｉ）を生成する処理（１）と、Ｃｍｔ←Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ）を計算する処理（２）とで構成される。工程＃１で証明者アルゴリズムＰにより生成されたＣｍｔは、検証者アルゴリズムＶへと送られる。
　工程＃２は、ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮを選択する処理で構成される。工程＃２で検証者アルゴリズムＶにより選択されたＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮは、証明者アルゴリズムＰへと送られる。
　工程＃３は、ｉ＝１～Ｎについて、ｂｉ＝（ｔ１ｉ，ｅ１ｉ）を生成する処理、及びｄ＝Ｈ（ｔ１１，ｅ１１，…，ｔ１Ｎ，ｅ１Ｎ）を生成する処理で構成される。工程＃３で証明者アルゴリズムＰにより生成されたｄは、検証者アルゴリズムＶへと送られる。
　工程＃４は、ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮを選択する処理で構成される。工程＃４で検証者アルゴリズムＶにより選択されたＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮは、証明者アルゴリズムＰへと送られる。
　工程＃５は、ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮ，ａ１，…，ａＮ，ｂ１，…，ｂＮを用いてＲｓｐ１，…，ＲｓｐＮを生成する処理で構成される。この処理をＲｓｐｉ←Ｓｅｌｅｃｔ（ＣｈＢｉ，ａｉ，ｂｉ）と表現する。工程＃５で証明者アルゴリズムＰにより生成されたＲｓｐ１，…，ＲｓｐＮは、検証者アルゴリズムＶへと送られる。
　工程＃６は、ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ，ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮ，Ｒｓｐ１，…，ＲｓｐＮを用いてｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ，ｔ１１，ｅ１１，…，ｔ１Ｎ，ｅ１Ｎを再生する処理と、再生したｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎを用いてＣｍｔ＝Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ）を検証する処理と、ｄ＝Ｈ（ｔ１１，ｅ１１，…，ｔ１Ｎ，ｅ１Ｎ）を検証する処理とで構成される。
　上記の工程＃１～工程＃６で表現される公開鍵認証方式のアルゴリズムは、図９に示すような署名生成アルゴリズムＳｉｇ及び署名検証アルゴリズムＶｅｒに変形される。
　（署名生成アルゴリズムＳｉｇ）
　まず、署名生成アルゴリズムＳｉｇの構成について述べる。署名生成アルゴリズムＳｉｇは、以下の処理（１）～処理（７）で構成される。
　処理（１）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、ａｉ＝（ｒ０ｉ，ｔ０ｉ，ｅ０ｉ，ｒ１ｉ，ｔ１ｉ，ｅ１ｉ，ｃ０ｉ，ｃ１ｉ）を生成する。
　処理（２）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、Ｃｍｔ←Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ）を計算する。
　処理（３）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、（ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ）←Ｈ（Ｍ，Ｃｍｔ）を計算する。このＭは、署名を付与する文書である。
　処理（４）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、ｉ＝１～Ｎについて、ｂｉ＝（ｔ１ｉ，ｅ１ｉ）を生成する。さらに、署名生成アルゴリズムＳｉｇは、ｄ＝Ｈ（ｔ１１，ｅ１１，…，ｔ１Ｎ，ｅ１Ｎ）を算出する。
　処理（５）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、（ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮ）←Ｈ（Ｍ，Ｃｍｔ，ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ，ｄ）を計算する。なお、（ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮ）←Ｈ（ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ，ｄ）と変形してもよい。
　処理（６）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、Ｒｓｐｉ←Ｓｅｌｅｃｔ（ＣｈＢｉ，ａｉ，ｂｉ）を計算する。
　処理（７）：署名生成アルゴリズムＳｉｇは、（Ｃｍｔ，ｄ，Ｒｓｐ１，…，ＲｓｐＮ）を電子署名に設定する。
　（署名検証アルゴリズムＶｅｒ）
　次に、署名検証アルゴリズムＶｅｒの構成について述べる。署名検証アルゴリズムＶｅｒは、以下の処理（１）～処理（４）で構成される。
　処理（１）：署名検証アルゴリズムＶｅｒは、（ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ）←Ｈ（Ｍ，Ｃｍｔ）を計算する。
　処理（２）：署名検証アルゴリズムＶｅｒは、（ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮ）←Ｈ（Ｍ，Ｃｍｔ，ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ，ｄ）を計算する。なお、署名検証アルゴリズムＶｅｒが実行する処理（５）において、（ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮ）←Ｈ（ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ，ｄ）と変形した場合、署名検証アルゴリズムＶｅｒは、（ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮ）←Ｈ（ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ，ｄ）を計算する。
　処理（３）：署名検証アルゴリズムＶｅｒは、ＣｈＡ１，…，ＣｈＡＮ，ＣｈＢ１，…，ＣｈＢＮ，Ｒｓｐ１，…，ＲｓｐＮを用いてｔ１１，ｅ１１，…，ｔ１Ｎ，ｅ１Ｎ，ｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎを生成する。
　処理（４）：署名検証アルゴリズムＶｅｒは、再生したｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎを用いてＣｍｔ＝Ｈ（ｃ０１，ｃ１１，…，ｃ０Ｎ，ｃ１Ｎ）及びｄ＝Ｈ（ｔ１１，ｅ１１，…，ｔ１Ｎ，ｅ１Ｎ，）を検証する。
　以上説明したように、公開鍵認証方式のモデルにおける証明者を電子署名方式における署名者に対応させることで、公開鍵認証方式のアルゴリズムを電子署名方式のアルゴリズムへと変形することが可能になる。
　＜５：多変数多項式の係数を効率的に代入する方法について＞
　さて、これまでは多変数多項式を証明者（又は署名者）と検証者との間で共有する方法について具体的に明示してこなかった。多変数多項式を共有する方法としては、多変数多項式の係数（乱数）を生成する際に用いるシードを両者で共有する方法が考えられる。しかしながら、共有しているシードを利用して生成した乱数を係数に当てはめる順序を両者で共有しない限り、多変数多項式を共有したことにはならない。
　［５－１：基本的な取り決め］
　そこで、証明者（又は署名者）と検証者との間で、共有しているシードを用いて生成した乱数列を、どの順序で多変数多項式に当てはめるかについて基本的な取り決めを行う。そして、多変数多項式を利用する際に、この基本的な取り決めに従って乱数列を多変数多項式に当てはめる。このような方法を用いれば、証明者（又は署名者）と検証者との間で多変数多項式を共有したことになる。
　［５－２：データの構造化］
　但し、多変数多項式を構成する係数の数は膨大である。１つの係数が１ビット単位で表現されている場合、多変数多項式を表現するのに最低でも数万ビット以上のデータが必要になる。そのため、数を多変数多項式の係数に代入する処理の負荷は非常に高い。そこで、本件発明者は、多変数多項式の係数を所定の単位で構造化し、係数への代入処理を効率化する手法（構造化手法＃１）を考案した。さらに、本件発明者は、同じ多変数多項式の係数に対して複数回の代入処理を実行する場合に、その処理効率を向上させる手法（構造化手法＃２）を考案した。以下、これらの手法について詳細に説明する。
　（５－２－１：構造化手法＃１（図１０））
　まず、構造化手法＃１について説明する。構造化手法＃１は、図１０に示すように、多変数多項式Ｆを構成する同じ種類の項の係数を１つのデータ構造として纏める手法である。図１０の例では、係数ａ１ＩＪ～ａＭＩＪがデータ構造Ａとして纏められ、係数ｂ１Ｉ～ｂＭＩがデータ構造Ｂとして纏められている。また、図１１に示すように、多変数多項式Ｇについても同様の手法が適用可能である。この場合、係数（ａ１ＩＪ＋ａ１ＪＩ）～（ａＭＩＪ＋ａＭＪＩ）がデータ構造として纏められる。
　構造化手法＃１を適用しない場合、Ｍ本のＮ変数多項式で構成される多変数多項式Ｆの計算は、（例１）に示すようなアルゴリズムにより行われる。（例１）の場合、１ビットのＡＮＤ演算（＆）を２×Ｎ×（Ｎ＋１）×Ｍ／２回実行する必要がある。さらに、１ビットのＸＯＲ演算（＾）を１×Ｎ×（Ｎ＋１）×Ｍ／２回実行する必要がある。なお、入力ｘはＮビットであるとする。
　（例１）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ；
　ｆｏｒ　Ｌ＝１　ｔｏ　Ｍ
　　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ　ｔｏ　Ｎ
　　　　［ｙのＬビット目］＾＝［ａＬＩＪ］＆［ｘのＩビット目］＆［ｘのＪビット目］；
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｙ；
　一方、図１０に示すように係数を構造化し、生成した乱数を多変数多項式Ｆの係数として一部ずつ逐次適用していく場合、係数の代入アルゴリズムは（例２）のようになる。（例２）の場合、ＭビットのＡＮＤ演算（＆）を２×Ｎ×（Ｎ＋１）／２回、ＭビットのＸＯＲ演算（＾）をＮ×（Ｎ＋１）／２回実行するだけで済む。なお、ａ（１～Ｍ）ＩＪは、それぞれループのタイミングで生成される。また、係数を使い回してもよい。例えば、Ｎ（Ｎ－１）／２回のループを実行する際、［ａ（１～Ｍ）ＩＪ］を毎回生成せず、Ｍ回に１回だけ生成するようにしてもよい。また、Ｍ回のループ中、［ａ（１～Ｍ）ＩＪ］を１ビットずつローテーションしながら利用してもよい。
　（例２）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ　ｔｏ　Ｎ
　　　［ｙの１～Ｍビット目］＾＝［ａ（１～Ｍ）ＩＪ］＆［ｘのＩビット目］＆［ｘのＪビット目］；
　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｙ；
　また、図１０に示すように係数を構造化する場合、多変数多項式Ｆの係数を適用した中間の結果をテーブルに保持するようにしてもよい。この場合、上記のアルゴリズムは（例３）のようになる。なお、配列ａＩＪ［０］［０］～ａＩＪ［２ｋ－１］［２ｋ－１］には、それぞれ、ａＩＪ［ｘ１，…，ｘｋ］［ｚ１，…，ｚｋ］＝（ａ（ｋ（Ｉ－１）＋１）（ｋ（Ｊ－１）＋１）＆ｘ１＆ｚ１）＾…＾（ａ（ｋ（Ｉ－１）＋１）（ｋ（Ｊ－１）＋ｋ）＆ｘ１＆ｚｋ）＾…＾（ａ（ｋ（Ｉ－１）＋ｋ）（ｋ（Ｊ－１）＋１）＆ｘｋ＆ｚ１）＾…＾（ａ（ｋ（Ｉ－１）＋ｋ）（ｋ（Ｊ－１）＋ｋ）＆ｘｋ＆ｚｋ）が格納されている。（例３）の場合、ＭビットのＸＯＲ演算（＾）を（Ｎ／ｋ）（Ｎ／ｋ＋１）／２回実行するだけで済む。但し、（例２）のアルゴリズムに比べると、必要なメモリ量は、２２ｋ／ｋ２倍となる。
　例えば、ｋ＝１のとき、ＭビットＸＯＲ演算が１２０＊１２１／２＝７２６０回、必要なメモリ量が（例２）の２２＝４倍、ループ回数は変化なしとなる。また、ｋ＝２のとき、ＭビットＸＯＲ演算が６０＊６１／２＝１８３０回、必要なメモリ量が２４／４＝４倍、ループ回数が１／４となる。ｋ＝４のとき、ＭビットＸＯＲ演算が３０＊３１／２＝４６５回、必要なメモリ量が２８／４２＝１６倍、ループ回数が１／１５．６となる。ｋ＝６のとき、ＭビットＸＯＲ演算が２０＊２１／２＝２１０回、必要なメモリ量が２１２／６２＝１１４倍、ループ回数が１／３４．６となる。ｋ＝８のとき、ＭビットＸＯＲ演算が１５＊１６／２＝１２０回、必要なメモリが２１６／８２＝１０２４倍、ループ回数が１／６０．５となる。
　（例３）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ／ｋ
　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ　ｔｏ　Ｎ／ｋ
　　　［ｙの１～Ｍビット目］＾＝ａ（１～Ｍ）ＩＪ［ｘのｋ（Ｉ－１）＋１～ｋビット目］［ｘのｋ（Ｊ－１）＋１～ｋビット目］；
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｙ；
　なお、（例３）に示した手法は、ちょうど、下記の式（１３）で定義されるＦＩＪ（…）の値を予め計算し、配列として保持しておく手法と言える。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
　以上、構造化手法＃１を多変数多項式Ｆへ適用するケースを例に挙げて具体的なアルゴリズムについて説明した。かかる構成により、アルゴリズムを実行する際に処理の高速化が期待できる。
　（応用例：多変数多項式Ｇへの適用）
　ここまで、図１０を参照しながら、構造化手法＃１を適用して多変数多項式Ｆを計算するアルゴリズムについて説明してきた。一方で、多変数多項式Ｇの各要素も二次形式で表現されることから、図１１に示すように、同様にして上記の構造化手法＃１を多変数多項式Ｇの計算にそのまま適用することも可能である。
　例えば、上記の構造化手法＃１を適用しない場合、多変数多項式Ｇを計算するアルゴリズムは、下記の（例１’）のように表現される。なお、入力ｘ及びｙはそれぞれＮビットであるとする。
　（例１’）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ，ｙ；
　ｆｏｒ　Ｌ＝１　ｔｏ　Ｍ
　　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　　ｆｏｒ　Ｊ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　　　［ｚのＬビット目］＾＝［ａＬＩＪ＋ａＬＪＩ］＆［ｘのＩビット目］＆［ｙのＪビット目］；
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｚ；
　上記の（例１’）に対し、上述した構造化手法＃１を適用すると、多変数多項式Ｇを計算するアルゴリズムは、下記の（例２’）のように表現される。
　（例２’）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ，ｙ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　ｆｏｒ　Ｊ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　　［ｚの１～Ｍビット目］＾＝［ａ（１～Ｍ）ＩＪ＋ａ（１～Ｍ）ＪＩ］＆［ｘのＩビット目］＆［ｙのＪビット目］；
　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｚ；
　また、多変数多項式Ｇの係数を適用した中間の結果をテーブルに保持する手法の場合、多変数多項式Ｇを計算するアルゴリズムは、上記の（例３）に対応して下記の（例３’）のようになる。なお、配列ａＩＪ［０］［０］～ａＩＪ［２ｋ－１］［２ｋ－１］には、それぞれ、ａＩＪ［ｘ１，…，ｘｋ］［ｙ１，…，ｙｋ］＝（ａ（ｋ（Ｉ－１）＋１）（ｋ（Ｊ－１）＋１）＆ｘ１＆ｙ１）＾…＾（ａ（ｋ（Ｉ－１）＋１）（ｋ（Ｊ－１）＋ｋ）＆ｘ１＆ｙｋ）＾…＾（ａ（ｋ（Ｉ－１）＋ｋ）（ｋ（Ｊ－１）＋１）＆ｘｋ＆ｙ１）＾…＾（ａ（ｋ（Ｉ－１）＋ｋ）（ｋ（Ｊ－１）＋ｋ）＆ｘｋ＆ｙｋ）が格納されている。
　（例３’）の場合、ＭビットのＸＯＲ演算（＾）を（Ｎ／ｋ）２回実行するだけで済む。但し、（例２’）のアルゴリズムに比べると、必要なメモリ量は、２２ｋ／ｋ２倍となる。
　例えば、ｋ＝１のとき、ＭビットＸＯＲ演算が１２０２＝１４４００回、必要なメモリ量が（例２’）の２２＝４倍、ループ回数は変化なしとなる。また、ｋ＝２のとき、ＭビットＸＯＲ演算が６０２＝３６００回、必要なメモリ量が２４／４＝４倍、ループ回数が１／４となる。ｋ＝４のとき、ＭビットＸＯＲ演算が３０２＝９００回、必要なメモリ量が２８／４２＝１６倍、ループ回数が１／１６となる。ｋ＝６のとき、ＭビットＸＯＲ演算が２０２＝４００回、必要なメモリ量が２１２／６２＝１１４倍、ループ回数が１／３６となる。ｋ＝８のとき、ＭビットＸＯＲ演算が１５２＝２２５回、必要なメモリが２１６／８２＝１０２４倍、ループ回数が１／６４となる。
　（例３’）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ，ｙ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ／ｋ
　　ｆｏｒ　Ｊ＝１　ｔｏ　Ｎ／ｋ
　　　［ｚの１～Ｍビット目］＾＝ａ（１～Ｍ）ＩＪ［ｘのｋ（Ｉ－１）＋１～ｋビット目］［ｙのｋ（Ｊ－１）＋１～ｋビット目］；
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｚ；
　なお、（例３’）に示した手法は、ちょうど、下記の式（１４）で定義されるＧＩＪ（…）の値を予め計算し、配列として保持しておく手法と言える。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
　以上、多変数多項式Ｇを計算するケースを例に挙げ、構造化手法＃１に係る具体的なアルゴリズムの構成について説明した。かかる構成により、アルゴリズムを実行する際に処理の高速化が期待できる。
　（（例２）及び（例２’）に係る手法の更なる効率化について）
　ここで、上記（例２）のアルゴリズムを再び参照する。上記（例２）のアルゴリズムは、インデックスＩ及びＪについて二重のループ処理を含んでいる。そこで、このループ処理の部分で実行される処理ステップの内容に工夫を加え、同じ結果を得つつ、演算の回数を低減させる手法を提案する。また、同様の手法を（例２’）に適用する方法についても紹介する。
　（Ｆへの適用：第１の手法）
　第１の手法として、例えば、インデックスＪに依らない［ｘのＩビット目］の項を内側のループ（Ｊのループ）から取り出し、下記の（例２Ａ）のように変形する手法を提案する。なお、ｔｍｐは、一時的に値を格納するための変数である。このように変形すると、演算の内容は、ＭビットのＡＮＤ演算（＆）を１×Ｎ×（Ｎ＋１）／２回、ＭビットのＸＯＲ演算（＾）をＮ×（Ｎ＋１）／２回実行するだけで済むものとなる。
　（例２Ａ）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ　ｔｏ　Ｎ
　　　　ｔｍｐ＾＝［ａ（１～Ｍ）ＩＪ］＆［ｘのＪビット目］；
　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　［ｙの１～Ｍビット目］＾＝ｔｍｐ＆［ｘのＩビット目］；
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｙ；
　（Ｆへの適用：第２の手法）
　また、第２の手法として、［ｘのＩビット目］の項が０の場合に、出力に影響が及ばないことを考慮し、例えば、［ｘのＩビット目］＝１の場合にだけ内側のループ処理が実行されるように、条件分岐を用いて下記の（例２Ｂ）のように変形する手法を提案する。このように変形すると、演算の内容は、ＭビットのＡＮＤ演算（＆）を１×Ｎ×（Ｎ＋３）／２×ｐ回、ＭビットのＸＯＲ演算（＾）をＮ×（Ｎ＋１）／２×ｐ回実行するだけで済むものとなる。但し、ｐは、［ｘのＩビット目］＝０となる割合を表す。
　（例２Ｂ）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　ｉｆ　［ｘのＩビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ　ｔｏ　Ｎ
　　　　　ｔｍｐ＾＝［ａ（１～Ｍ）ＩＪ］＆［ｘのＪビット目］；
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　　［ｙの１～Ｍビット目］＾＝ｔｍｐ；
　　ｅｎｄ　ｉｆ
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｙ；
　（Ｆへの適用：第３の手法）
　また、第３の手法として、［ｘのＪビット目］の項が０の場合に、出力に影響が及ばないことを考慮し、例えば、［ｘのＪビット目］＝１の場合にだけ内側のループ処理が実行されるように、条件分岐を用いて下記の（例２Ｃ）のように変形する手法を提案する。このように変形すると、演算の回数をさらに低減させることが可能になる。
　（例２Ｃ）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　ｉｆ　［ｘのＩビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ　ｔｏ　Ｎ
　　　　ｉｆ　［ｘのＪビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　　　　　ｔｍｐ＾＝［ａ（１～Ｍ）ＩＪ］；
　　　　ｅｎｄ　ｉｆ
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　　［ｙの１～Ｍビット目］＾＝ｔｍｐ；
　　ｅｎｄ　ｉｆ
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｙ；
　（Ｇへの適用：第１の手法）
　上記第１～第３の手法は、多変数多項式Ｇに関する上記（例２’）のアルゴリズムに対しても同様に適用可能である。例えば、上記（例２’）のアルゴリズムに上述した第１の手法を適用すると、下記（例２’Ａ）のようにアルゴリズムが変形される。
　（例２’Ａ）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ，ｙ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　ｆｏｒ　Ｊ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　　ｔｍｐ＾＝［ａ（１～Ｍ）ＩＪ＋ａ（１～Ｍ）ＪＩ］＆［ｙのＪビット目］；
　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　［ｚの１～Ｍビット目］＾＝ｔｍｐ＆［ｘのＩビット目］；
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｚ；
　（Ｇへの適用：第２の手法）
　また、上記（例２’）のアルゴリズムに上述した第２の手法を適用する。上記（例２’）のアルゴリズムも、［ｘのＩビット目］の項が０の場合に、出力に影響が及ばない。そこで、［ｘのＩビット目］＝１の場合にだけ内側のループ処理が実行されるように、条件分岐を用いて下記の（例２’Ｂ）のように変形すると、演算回数を低減することが可能になる。
　（例２’Ｂ）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ，ｙ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　ｉｆ　［ｘのＩビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　　　ｆｏｒ　Ｊ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　　　ｔｍｐ＾＝［ａ（１～Ｍ）ＩＪ＋ａ（１～Ｍ）ＪＩ］＆［ｙのＪビット目］；
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　　［ｚの１～Ｍビット目］＾＝ｔｍｐ；
　　ｅｎｄ　ｉｆ
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｚ；
　（Ｇへの適用：第３の手法）
　また、上記（例２’）のアルゴリズムに上述した第３の手法を適用する。上記（例２’）のアルゴリズムも、［ｙのＪビット目］の項が０の場合に、出力に影響が及ばない。そこで、［ｙのＪビット目］＝１の場合にだけ内側のループ処理が実行されるように、条件分岐を用いて下記の（例２’Ｃ）のように変形すると、演算回数を低減することが可能になる。
　（例２’Ｃ）
　ｉｎｐｕｔ　ｘ，ｙ；
　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　　ｉｆ　［ｘのＩビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ＋１　ｔｏ　Ｎ
　　　　ｉｆ　［ｙのＪビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　　　　　ｔｍｐ＾＝ａ（１～Ｍ）ＩＪ；
　　　　ｅｎｄ　ｉｆ
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　　ｆｏｒ　Ｊ＝１　ｔｏ　Ｉ－１
　　　　ｉｆ　［ｙのＪビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　　　　　ｔｍｐ＾＝ａ（１～Ｍ）ＪＩ；
　　　　ｅｎｄ　ｉｆ
　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　　　［ｚの１～Ｍビット目］＾＝ｔｍｐ；
　　ｅｎｄ　ｉｆ
　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　ｏｕｔｐｕｔ　ｚ；
　以上説明したように、第１～第３の手法を適用することにより、多変数多項式Ｇについても、係数を代入するアルゴリズムにおける演算回数を低減させることが可能になる。
　（安全性への配慮）
　ところで、上記の第２の手法や第３の手法のように、処理をスキップさせるアルゴリズムに変形すると、入力ｘに０が多く含まれる場合と、入力ｘに含まれる０の数が少ない場合とで処理時間に差が生じてしまう。そのため、処理時間を計測することにより、入力ｘに関する情報が得られる。つまり、処理をスキップさせるアルゴリズムを適用すると、署名生成などに利用する乱数の情報が漏洩してしまう危険性が生じる。
　そこで、上記の危険性を回避するために、予め許容する「入力ｘにおける０の割合」の範囲（例えば、１０％以下、９０％以上など）を設定し、その範囲に入らない場合には乱数を取り直す手法を提案する。この手法を適用すると、設定した範囲よりも０が多い場合や少ない場合に、乱数を取り直す処理が実行される。その結果、多項式Ｆにｘを代入する処理時間を計測されても、その処理時間から入力ｘに関する情報が漏洩しにくくなる。
　また、上記手法の他にも、秘密鍵に「０と１のビットの個数がほぼ等しい（完全に等しくてもよい。）」という制約を与える手法が考えられる。この手法を適用すると、上述した処理をスキップさせるアルゴリズムを用いても、ある程度は処理時間を均一化することが可能になり、その処理時間から入力ｘに関する情報が漏洩しにくくなる。
　ここで、具体的にＦ（ｒ０）及びＧ（ｒ１，ｔ０）の計算を実行する場合について考えてみよう。秘密鍵をｓ、ｒ０及びｔ０をランダムなベクトルとし、ｒ１＝ｓ＋ｒ０とする（「＋」はＸＯＲに対応）。この場合、秘密鍵ｓにおいて０と１のビットの個数を等しくしておくと、ｒ０がどのような値を取る場合も、ｒ１の半分のビットは、ｒ０を反転したものとなる。そして、ｒ０（Ｎビット）及びｒ１（Ｎビット）で構成される２Ｎビットのうち、０となるビットの個数は０．５Ｎ～１．５Ｎの範囲内になる。つまり、ｒ０とｒ１とが共に、全て０又は全て１となることはない。
　上記の性質を利用すると、処理をスキップするアルゴリズムを適用した場合でも、Ｆ（ｒ０）及びＧ（ｔ０，ｒ１）の総計算時間を均一化することが可能になる。一例として、上記（例２Ｃ）及び（例２’Ｃ）のアルゴリズムを適用する場合について考えてみたい。この場合、多変数多項式Ｆの計算は（例２Ｃ）のアルゴリズムにより実行され、多変数多項式Ｇの計算は（例２’Ｃ）のアルゴリズムにより実行される。両アルゴリズムを以下に再掲する。
　多変数多項式Ｆ（ｒ０）を計算する場合、入力ｘ＝ｒ０となる。また、多変数多項式Ｇ（ｒ１，ｔ０）を計算する場合、入力ｘ＝ｒ１となる。上記の通り、ｒ０とｒ１の合計２Ｎビットのうち、０となるビットの個数は０．５Ｎ～１．５Ｎの範囲内となる。そのため、下記（例２Ｃ）のアルゴリズムの第３行目に記載された条件分岐と、下記（例２’Ｃ）のアルゴリズムの第３行目に記載された条件分岐とにおいて、処理がスキップされる回数も０．５Ｎ～１．５Ｎの範囲内になる。従って、多変数多項式Ｆ及びＧの合計処理時間から、入力に関する情報が漏洩しにくくなる。
　（例２Ｃ：再掲、行番号を付加）
　１：　ｉｎｐｕｔ　ｘ；
　２：　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　３：　　ｉｆ　［ｘのＩビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　４：　　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ　ｔｏ　Ｎ
　５：　　　　ｉｆ　［ｘのＪビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　６：　　　　　ｔｍｐ＾＝［ａ（１～Ｍ）ＩＪ］；
　７：　　　　ｅｎｄ　ｉｆ
　８：　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　９：　　　［ｙの１～Ｍビット目］＾＝ｔｍｐ；
１０：　　ｅｎｄ　ｉｆ
１１：　ｅｎｄ　ｆｏｒ
１２：　ｏｕｔｐｕｔ　ｙ；
　（例２’Ｃ：再掲、行番号を付加）
　１：　ｉｎｐｕｔ　ｘ，ｙ；
　２：　ｆｏｒ　Ｉ＝１　ｔｏ　Ｎ
　３：　　ｉｆ　［ｘのＩビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　４：　　　ｆｏｒ　Ｊ＝Ｉ＋１　ｔｏ　Ｎ
　５：　　　　ｉｆ　［ｙのＪビット目］＝１　ｔｈｅｎ
　６：　　　　　ｔｍｐ＾＝ａ（１～Ｍ）ＩＪ；
　７：　　　　ｅｎｄ　ｉｆ
　８：　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
　９：　　　ｆｏｒ　Ｊ＝１　ｔｏ　Ｉ－１
１０：　　　　ｉｆ　［ｙのＪビット目］＝１　ｔｈｅｎ
１１：　　　　　ｔｍｐ＾＝ａ（１～Ｍ）ＪＩ；
１２：　　　　ｅｎｄ　ｉｆ
１３：　　　ｅｎｄ　ｆｏｒ
１４：　　　［ｚの１～Ｍビット目］＾＝ｔｍｐ；
１５：　　ｅｎｄ　ｉｆ
１６：　ｅｎｄ　ｆｏｒ
１７：　ｏｕｔｐｕｔ　ｚ；
　以上、構造化手法＃１について説明した。
　（５－２－２：構造化手法＃２）
　次に、構造化手法＃２について説明する。構造化手法＃２は、同じ多変数多項式にＮ回（Ｎ≧２）代入処理を行なう場合に、乱数から多項式をＮ回生成して代入処理を行うのではなく、「係数を一部生成し、その部分に関するＮ回分の処理を行なう」部分を単位とする逐次的な処理をＮ回分並列して行なうという手法である。この手法を適用すると、乱数生成のコストが無視できない場合にＮ回分の処理全体でのスループットが改善される。
　例えば、図５に示したアルゴリズムでは、工程＃１において引数を更新しながら多変数多項式Ｆ及びＧの計算をＮ回繰り返し実行している。そこで、このような計算部分について、同じ係数を利用して繰り返し演算を行うように構成する。上記（例２）のアルゴリズムを用いて多変数多項式Ｆ（ｒ０ｉ）（ｉ＝１～Ｎ）を計算する場合、一度生成した［ａＩＪＬ］について、Ｎ個のｒ０ｉを全て適用した後で、次の［ａＩＪＬ］に関する処理を実行するように構成する。このように構成すると、同じ係数［ａＩＪＬ］をＮ回生成せずに済むようになる。
　以上、構造化手法＃２に係る具体的な係数の代入アルゴリズムについて説明した。かかる構成により、Ｎ回分の処理におけるトータルでのスループットが改善される。
　＜６：ハードウェア構成例（図１２）＞
　上記の各アルゴリズムは、例えば、図１２に示す情報処理装置のハードウェア構成を用いて実行することが可能である。つまり、当該各アルゴリズムの処理は、コンピュータプログラムを用いて図１２に示すハードウェアを制御することにより実現される。なお、このハードウェアの形態は任意であり、例えば、パーソナルコンピュータ、携帯電話、ＰＨＳ、ＰＤＡ等の携帯情報端末、ゲーム機、接触式又は非接触式のＩＣチップ、接触式又は非接触式のＩＣカード、又は種々の情報家電がこれに含まれる。但し、上記のＰＨＳは、Ｐｅｒｓｏｎａｌ　Ｈａｎｄｙ－ｐｈｏｎｅ　Ｓｙｓｔｅｍの略である。また、上記のＰＤＡは、Ｐｅｒｓｏｎａｌ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ａｓｓｉｓｔａｎｔの略である。
　図１２に示すように、このハードウェアは、主に、ＣＰＵ９０２と、ＲＯＭ９０４と、ＲＡＭ９０６と、ホストバス９０８と、ブリッジ９１０と、を有する。さらに、このハードウェアは、外部バス９１２と、インターフェース９１４と、入力部９１６と、出力部９１８と、記憶部９２０と、ドライブ９２２と、接続ポート９２４と、通信部９２６と、を有する。但し、上記のＣＰＵは、Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｕｎｉｔの略である。また、上記のＲＯＭは、Ｒｅａｄ　Ｏｎｌｙ　Ｍｅｍｏｒｙの略である。そして、上記のＲＡＭは、Ｒａｎｄｏｍ　Ａｃｃｅｓｓ　Ｍｅｍｏｒｙの略である。
　ＣＰＵ９０２は、例えば、演算処理装置又は制御装置として機能し、ＲＯＭ９０４、ＲＡＭ９０６、記憶部９２０、又はリムーバブル記録媒体９２８に記録された各種プログラムに基づいて各構成要素の動作全般又はその一部を制御する。ＲＯＭ９０４は、ＣＰＵ９０２に読み込まれるプログラムや演算に用いるデータ等を格納する手段である。ＲＡＭ９０６には、例えば、ＣＰＵ９０２に読み込まれるプログラムや、そのプログラムを実行する際に適宜変化する各種パラメータ等が一時的又は永続的に格納される。
　これらの構成要素は、例えば、高速なデータ伝送が可能なホストバス９０８を介して相互に接続される。一方、ホストバス９０８は、例えば、ブリッジ９１０を介して比較的データ伝送速度が低速な外部バス９１２に接続される。また、入力部９１６としては、例えば、マウス、キーボード、タッチパネル、ボタン、スイッチ、及びレバー等が用いられる。さらに、入力部９１６としては、赤外線やその他の電波を利用して制御信号を送信することが可能なリモートコントローラ（以下、リモコン）が用いられることもある。
　出力部９１８としては、例えば、ＣＲＴ、ＬＣＤ、ＰＤＰ、又はＥＬＤ等のディスプレイ装置、スピーカ、ヘッドホン等のオーディオ出力装置、プリンタ、携帯電話、又はファクシミリ等、取得した情報を利用者に対して視覚的又は聴覚的に通知することが可能な装置である。但し、上記のＣＲＴは、Ｃａｔｈｏｄｅ　Ｒａｙ　Ｔｕｂｅの略である。また、上記のＬＣＤは、Ｌｉｑｕｉｄ　Ｃｒｙｓｔａｌ　Ｄｉｓｐｌａｙの略である。そして、上記のＰＤＰは、Ｐｌａｓｍａ　ＤｉｓｐｌａｙＰａｎｅｌの略である。さらに、上記のＥＬＤは、Ｅｌｅｃｔｒｏ－Ｌｕｍｉｎｅｓｃｅｎｃｅ　Ｄｉｓｐｌａｙの略である。
　記憶部９２０は、各種のデータを格納するための装置である。記憶部９２０としては、例えば、ハードディスクドライブ（ＨＤＤ）等の磁気記憶デバイス、半導体記憶デバイス、光記憶デバイス、又は光磁気記憶デバイス等が用いられる。但し、上記のＨＤＤは、Ｈａｒｄ　Ｄｉｓｋ　Ｄｒｉｖｅの略である。
　ドライブ９２２は、例えば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク、又は半導体メモリ等のリムーバブル記録媒体９２８に記録された情報を読み出し、又はリムーバブル記録媒体９２８に情報を書き込む装置である。リムーバブル記録媒体９２８は、例えば、ＤＶＤメディア、Ｂｌｕ－ｒａｙメディア、ＨＤ　ＤＶＤメディア、各種の半導体記憶メディア等である。もちろん、リムーバブル記録媒体９２８は、例えば、非接触型ＩＣチップを搭載したＩＣカード、又は電子機器等であってもよい。但し、上記のＩＣは、Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　Ｃｉｒｃｕｉｔの略である。
　接続ポート９２４は、例えば、ＵＳＢポート、ＩＥＥＥ１３９４ポート、ＳＣＳＩ、ＲＳ－２３２Ｃポート、又は光オーディオ端子等のような外部接続機器９３０を接続するためのポートである。外部接続機器９３０は、例えば、プリンタ、携帯音楽プレーヤ、デジタルカメラ、デジタルビデオカメラ、又はＩＣレコーダ等である。但し、上記のＵＳＢは、Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ　Ｓｅｒｉａｌ　Ｂｕｓの略である。また、上記のＳＣＳＩは、Ｓｍａｌｌ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｉｎｔｅｒｆａｃｅの略である。
　通信部９２６は、ネットワーク９３２に接続するための通信デバイスであり、例えば、有線又は無線ＬＡＮ、Ｂｌｕｅｔｏｏｔｈ（登録商標）、又はＷＵＳＢ用の通信カード、光通信用のルータ、ＡＤＳＬ用のルータ、又は接触又は非接触通信用のデバイス等である。また、通信部９２６に接続されるネットワーク９３２は、有線又は無線により接続されたネットワークにより構成され、例えば、インターネット、家庭内ＬＡＮ、赤外線通信、可視光通信、放送、又は衛星通信等である。但し、上記のＬＡＮは、Ｌｏｃａｌ　Ａｒｅａ　Ｎｅｔｗｏｒｋの略である。また、上記のＷＵＳＢは、Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　ＵＳＢの略である。そして、上記のＡＤＳＬは、Ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｓｕｂｓｃｒｉｂｅｒ　Ｌｉｎｅの略である。
　＜７：まとめ＞
　最後に、本技術の実施形態に係る技術内容について簡単に纏める。ここで述べる技術内容は、例えば、ＰＣ、携帯電話、ゲーム機、情報端末、情報家電、カーナビゲーションシステム等、種々の情報処理装置に対して適用することができる。なお、以下で述べる情報処理装置の機能は、１台の情報処理装置を利用して実現することも可能であるし、複数台の情報処理装置を利用して実現することも可能である。また、以下で述べる情報処理装置が処理を実行する際に用いるデータ記憶手段及び演算処理手段は、当該情報処理装置に設けられたものであってもよいし、ネットワークを介して接続された機器に設けられたものであってもよい。
　上記の情報処理装置の機能構成は以下のように表現される。例えば、下記（１）に記載の情報処理装置は、多次多変数連立方程式の求解困難性に安全性の根拠を置く効率的な公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行する機能を有する。
　（１）
　多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得する数取得部と、
　前記数取得部が取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算する多項式計算部と、
を備え、
　前記多項式計算部は、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理をスキップする、
　情報処理装置。
　（２）
　前記変数の入力値は、全ての入力値の中で０となる入力値の割合が所定の範囲内となるように生成された値である、
　請求項１に記載の情報処理装置。
　（３）
　前記変数の入力値は、乱数生成器を利用して生成される値であり、全ての入力値の中で０となる入力値の割合が所定の範囲内とならない場合に、当該乱数生成器を利用して生成しなおされる、
　上記（２）に記載の情報処理装置。
　（４）
　前記変数の入力値は、互いに異なる第１又は第２のビット値で表現され、全ての入力値の中で前記第１のビット値をとる入力値の数と前記第２のビット値をとる入力値の数とが略等しい、
　上記（１）に記載の情報処理装置。
　（５）
　前記多項式計算部は、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成要素に含む多次多変数多項式の係数のうち、変数の組み合わせの種類が同じ項の係数をグループ化しておき、グループ単位で計算を実行する、
　上記（１）～（４）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（６）
　前記多項式計算部は、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成要素に含む多次多変数多項式を２次形式で表現した場合の係数行列を行又は列毎にグループ化しておき、グループ単位で計算を実行する、
　上記（１）～（４）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（７）
　前記数取得部は、前記多項式計算部が１つのグループに対する割り当て処理を実行する際に、当該１つのグループに属する係数の分だけ生成された前記数を取得する、
　上記（１）に記載の情報処理装置。
　（８）
　前記数取得部は、前記１つのグループに属する係数の分だけ前記数を生成する際に生成された１つの数を１ビットずつローテーションして所要数の数を取得する、
　上記（７）に記載の情報処理装置。
　（９）
　前記各グループに対応する種類の項に前記係数を割り当て、当該項の変数に任意の数を代入した値をテーブルとして保持するテーブル保持部をさらに備える、
　上記（１）～（６）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（１０）
　前記情報は、乱数のシードであり、
　前記所定の関数は、前記シードを利用して乱数を生成する乱数生成器である、
　上記（１）～（９）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（１１）
　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）、及びベクトルｓ∈Ｋｎに基づいてメッセージを生成するメッセージ生成部と、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する検証者に前記メッセージを提供するメッセージ提供部と、
　ｋ通り（ｋ≧３）の検証パターンの中から前記検証者が選択した検証パターンに対応する回答情報を前記検証者に提供する回答提供部と、
を備え、
　前記ベクトルｓは秘密鍵であり、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及び前記ベクトルｙは公開鍵であり、
　前記回答情報は、前記乱数の組及び前記メッセージの中から前記検証パターンに応じて選択される情報であり、
　前記メッセージは、前記公開鍵及び前記回答情報を利用して、当該回答情報に対応する検証パターン用に予め用意された演算を実行することで得られる情報である、
　上記（１）～（１０）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（１２）
　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）及びベクトルｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する情報保持部と、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｓ∈Ｋｎに基づいて生成されたメッセージを取得するメッセージ取得部と、
　前記メッセージを提供した証明者に対し、ｋ通り（ｋ≧３）の検証パターンの中からランダムに選択した１つの検証パターンの情報を提供するパターン情報提供部と、
　前記選択した検証パターンに対応する回答情報を前記証明者から取得する回答取得部と、
　前記メッセージ、前記多次多変数多項式の組Ｆ、前記ベクトルｙ、及び前記回答情報に基づいて前記証明者が前記ベクトルｓを保持しているか否かを検証する検証部と、
を備え、
　前記ベクトルｓは秘密鍵であり、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及び前記ベクトルｙは公開鍵であり、
　前記メッセージは、前記公開鍵及び前記回答情報を利用して、当該回答情報に対応する検証パターン用に予め用意された演算を実行することで得られる情報である、
　上記（１）～（１０）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（１３）
　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）、及びベクトルｓ∈Ｋｎに基づいてメッセージを生成するメッセージ生成部と、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する検証者に前記メッセージを提供するメッセージ提供部と、
　前記検証者がランダムに選択した第１の情報及び前記メッセージを生成する際に得られる第２の情報を用いて第３の情報を生成する中間情報生成部と、
　前記検証者に前記第３の情報を提供する中間情報提供部と、
　ｋ通り（ｋ≧２）の検証パターンの中から前記検証者が選択した検証パターンに対応する回答情報を前記検証者に提供する回答提供部と、
を備え、
　前記ベクトルｓは秘密鍵であり、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及び前記ベクトルｙは公開鍵であり、
　前記回答情報は、前記メッセージの中から前記検証パターンに応じて選択される情報であり、
　前記メッセージは、前記公開鍵、前記第１の情報、前記第３の情報、前記回答情報を利用して、当該回答情報に対応する検証パターン用に予め用意された演算を実行することで得られる情報である、
　上記（１）～（１０）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（１４）
　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）及びベクトルｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する情報保持部と、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｓ∈Ｋｎに基づいて生成されたメッセージを取得するメッセージ取得部と、
　前記メッセージを提供した証明者に対し、ランダムに選択した第１の情報を提供する情報提供部と、
　前記第１の情報及び前記メッセージを生成する際に得られる第２の情報を用いて前記証明者が生成した第３の情報を取得する中間情報取得部と、
　ｋ通り（ｋ≧３）の検証パターンの中からランダムに選択した１つの検証パターンの情報を前記証明者に提供するパターン情報提供部と、
　前記選択した検証パターンに対応する回答情報を前記証明者から取得する回答取得部と、
　前記メッセージ、前記第１の情報、前記第３の情報、前記多次多変数多項式の組Ｆ、及び前記回答情報に基づいて前記証明者が前記ベクトルｓを保持しているか否かを検証する検証部と、
を備え、
　前記ベクトルｓは秘密鍵であり、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及び前記ベクトルｙは公開鍵であり、
　前記メッセージは、前記公開鍵、前記第１の情報、前記第３の情報、前記回答情報を利用して当該回答情報に対応する検証パターン用に予め用意された演算を実行することで得られる情報である、
　上記（１）～（１０）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（１５）
　アルゴリズムが複数回繰り返し実行される場合において、前記数取得部は１回だけ生成された前記数を取得し、前記多項式計算部は１回だけ前記割り当て処理を実行し、
　前記多項式計算部は、割り当てた係数を繰り返し利用する、
　上記（１）～（１０）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（１６）
　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）、及び署名鍵ｓ∈Ｋｎを用いて文書Ｍに対する電子署名を生成する署名生成部と、
　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｙ＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する検証者へと前記電子署名を提供する署名提供部と、
を備える、
　上記（１）～（１０）のいずれか１項に記載の情報処理装置。
　（１７）
　多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得するステップと、
　取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算するステップと、
を含み、
　前記計算するステップでは、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理がスキップされる、
　情報処理方法。
　（１８）
　多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得する数取得機能と、
　前記数取得部が取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算する多項式計算機能と、
をコンピュータに実現させるためのプログラムであり、
　前記多項式計算機能は、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理をスキップする、
　プログラム。
　（１９）
　上記の（１８）に記載のプログラムが記録された、コンピュータにより読み取り可能な記録媒体。
　（備考）
　上記の証明者アルゴリズムＰ、検証者アルゴリズムＶ、署名生成アルゴリズムＳｉｇ、署名検証アルゴリズムＶｅｒは、数生成部、多項式計算部、テーブル保持部の一例である。上記の証明者アルゴリズムＰは、メッセージ生成部、メッセージ提供部、回答提供部、中間情報生成部、中間情報提供部の一例である。また、上記の検証者アルゴリズムＶは、情報保持部、メッセージ取得部、パターン情報提供部、回答取得部、検証部、中間情報取得部の一例である。
　以上、添付図面を参照しながら本技術の好適な実施形態について説明したが、本技術は係る例に限定されないことは言うまでもない。当業者であれば、請求の範囲に記載された範疇内において、各種の変更例または修正例に想到し得ることは明らかであり、それらについても当然に本技術の技術的範囲に属するものと了解される。
　上記の説明において、ハッシュ関数Ｈを用いるアルゴリズムを紹介したが、ハッシュ関数Ｈの代わりにコミットメント関数ＣＯＭを用いてもよい。コミットメント関数ＣＯＭは、文字列Ｓ及び乱数ρを引数にとる関数である。コミットメント関数の例としては、Ｓｈａｉ　ＨａｌｅｖｉとＳｉｌｖｉｏ　Ｍｉｃａｌｉによって国際会議ＣＲＹＰＴＯ１９９６で発表された方式などがある。
　Ｇｅｎ　　鍵生成アルゴリズム
　Ｐ　　　　証明者アルゴリズム
　Ｖ　　　　検証者アルゴリズム
　Ｓｉｇ　　署名生成アルゴリズム
　Ｖｅｒ　　署名検証アルゴリズム
 

Claims (18)

  1. 　多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得する数取得部と、
    　前記数取得部が取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算する多項式計算部と、
    を備え、
    　前記多項式計算部は、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理をスキップする、
    　情報処理装置。
  2. 　前記変数の入力値は、全ての入力値の中で０となる入力値の割合が所定の範囲内となるように生成された値である、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  3. 　前記変数の入力値は、乱数生成器を利用して生成される値であり、全ての入力値の中で０となる入力値の割合が所定の範囲内とならない場合に、当該乱数生成器を利用して生成しなおされる、
    　請求項２に記載の情報処理装置。
  4. 　前記変数の入力値は、互いに異なる第１又は第２のビット値で表現され、全ての入力値の中で前記第１のビット値をとる入力値の数と前記第２のビット値をとる入力値の数とが略等しい、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  5. 　前記多項式計算部は、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成要素に含む多次多変数多項式の係数のうち、変数の組み合わせの種類が同じ項の係数をグループ化しておき、グループ単位で計算を実行する、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  6. 　前記多項式計算部は、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成要素に含む多次多変数多項式を２次形式で表現した場合の係数行列を行又は列毎にグループ化しておき、グループ単位で計算を実行する、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  7. 　前記数取得部は、前記多項式計算部が１つのグループに対する割り当て処理を実行する際に、当該１つのグループに属する係数の分だけ生成された前記数を取得する、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  8. 　前記数取得部は、前記１つのグループに属する係数の分だけ前記数を生成する際に生成された１つの数を１ビットずつローテーションして所要数の数を取得する、
    　請求項７に記載の情報処理装置。
  9. 　前記各グループに対応する種類の項に前記係数を割り当て、当該項の変数に任意の数を代入した値をテーブルとして保持するテーブル保持部をさらに備える、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  10. 　前記情報は、乱数のシードであり、
    　前記所定の関数は、前記シードを利用して乱数を生成する乱数生成器である、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  11. 　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）、及びベクトルｓ∈Ｋｎに基づいてメッセージを生成するメッセージ生成部と、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する検証者に前記メッセージを提供するメッセージ提供部と、
    　ｋ通り（ｋ≧３）の検証パターンの中から前記検証者が選択した検証パターンに対応する回答情報を前記検証者に提供する回答提供部と、
    を備え、
    　前記ベクトルｓは秘密鍵であり、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及び前記ベクトルｙは公開鍵であり、
    　前記回答情報は、前記乱数の組及び前記メッセージの中から前記検証パターンに応じて選択される情報であり、
    　前記メッセージは、前記公開鍵及び前記回答情報を利用して、当該回答情報に対応する検証パターン用に予め用意された演算を実行することで得られる情報である、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  12. 　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）及びベクトルｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する情報保持部と、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｓ∈Ｋｎに基づいて生成されたメッセージを取得するメッセージ取得部と、
    　前記メッセージを提供した証明者に対し、ｋ通り（ｋ≧３）の検証パターンの中からランダムに選択した１つの検証パターンの情報を提供するパターン情報提供部と、
    　前記選択した検証パターンに対応する回答情報を前記証明者から取得する回答取得部と、
    　前記メッセージ、前記多次多変数多項式の組Ｆ、前記ベクトルｙ、及び前記回答情報に基づいて前記証明者が前記ベクトルｓを保持しているか否かを検証する検証部と、
    を備え、
    　前記ベクトルｓは秘密鍵であり、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及び前記ベクトルｙは公開鍵であり、
    　前記メッセージは、前記公開鍵及び前記回答情報を利用して、当該回答情報に対応する検証パターン用に予め用意された演算を実行することで得られる情報である、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  13. 　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）、及びベクトルｓ∈Ｋｎに基づいてメッセージを生成するメッセージ生成部と、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する検証者に前記メッセージを提供するメッセージ提供部と、
    　前記検証者がランダムに選択した第１の情報及び前記メッセージを生成する際に得られる第２の情報を用いて第３の情報を生成する中間情報生成部と、
    　前記検証者に前記第３の情報を提供する中間情報提供部と、
    　ｋ通り（ｋ≧２）の検証パターンの中から前記検証者が選択した検証パターンに対応する回答情報を前記検証者に提供する回答提供部と、
    を備え、
    　前記ベクトルｓは秘密鍵であり、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及び前記ベクトルｙは公開鍵であり、
    　前記回答情報は、前記メッセージの中から前記検証パターンに応じて選択される情報であり、
    　前記メッセージは、前記公開鍵、前記第１の情報、前記第３の情報、前記回答情報を利用して、当該回答情報に対応する検証パターン用に予め用意された演算を実行することで得られる情報である、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  14. 　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）及びベクトルｙ＝（ｙ１，…，ｙｍ）＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する情報保持部と、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｓ∈Ｋｎに基づいて生成されたメッセージを取得するメッセージ取得部と、
    　前記メッセージを提供した証明者に対し、ランダムに選択した第１の情報を提供する情報提供部と、
    　前記第１の情報及び前記メッセージを生成する際に得られる第２の情報を用いて前記証明者が生成した第３の情報を取得する中間情報取得部と、
    　ｋ通り（ｋ≧３）の検証パターンの中からランダムに選択した１つの検証パターンの情報を前記証明者に提供するパターン情報提供部と、
    　前記選択した検証パターンに対応する回答情報を前記証明者から取得する回答取得部と、
    　前記メッセージ、前記第１の情報、前記第３の情報、前記多次多変数多項式の組Ｆ、及び前記回答情報に基づいて前記証明者が前記ベクトルｓを保持しているか否かを検証する検証部と、
    を備え、
    　前記ベクトルｓは秘密鍵であり、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及び前記ベクトルｙは公開鍵であり、
    　前記メッセージは、前記公開鍵、前記第１の情報、前記第３の情報、前記回答情報を利用して当該回答情報に対応する検証パターン用に予め用意された演算を実行することで得られる情報である、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  15. 　アルゴリズムが複数回繰り返し実行される場合において、前記数取得部は１回だけ生成された前記数を取得し、前記多項式計算部は１回だけ前記割り当て処理を実行し、
    　前記多項式計算部は、割り当てた係数を繰り返し利用する、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  16. 　環Ｋ上で定義される多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）、及び署名鍵ｓ∈Ｋｎを用いて文書Ｍに対する電子署名を生成する署名生成部と、
    　前記多次多変数多項式の組Ｆ及びベクトルｙ＝（ｆ１（ｓ），…，ｆｍ（ｓ））を保持する検証者へと前記電子署名を提供する署名提供部と、
    を備える、
    　請求項１に記載の情報処理装置。
  17. 　多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得するステップと、
    　取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算するステップと、
    を含み、
    　前記計算するステップでは、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理がスキップされる、
    　情報処理方法。
  18. 　多次多変数多項式の組Ｆ＝（ｆ１，…，ｆｍ）を含む公開鍵を利用した公開鍵認証方式又は電子署名方式のアルゴリズムを実行するエンティティの間で共有されている情報から所定の関数を用いて生成された、前記多次多変数多項式の組Ｆを構成する各項の係数に利用する数を取得する数取得機能と、
    　前記数取得部が取得した数を、前記多次多変数多項式Ｆの組を構成要素に含む多次多変数の係数に割り当て、変数の入力値について当該多次多変数多項式を計算する多項式計算機能と、
    をコンピュータに実現させるためのプログラムであり、
    　前記多項式計算機能は、少なくとも１つの変数の入力値が０の項について計算処理をスキップする、
    　プログラム。
     
PCT/JP2013/053081 2012-03-02 2013-02-08 情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム WO2013129084A1 (ja)

Priority Applications (3)

Application Number Priority Date Filing Date Title
EP13754371.6A EP2822217A4 (en) 2012-03-02 2013-02-08 INFORMATION PROCESSING DEVICE, INFORMATION PROCESSING METHOD, AND PROGRAM
US14/379,652 US20150010144A1 (en) 2012-03-02 2013-02-08 Information processing apparatus, image processing method, and program
CN201380010945.5A CN104137471A (zh) 2012-03-02 2013-02-08 信息处理设备、信息处理方法以及程序

Applications Claiming Priority (2)

Application Number Priority Date Filing Date Title
JP2012046685 2012-03-02
JP2012-046685 2012-03-02

Publications (1)

Publication Number Publication Date
WO2013129084A1 true WO2013129084A1 (ja) 2013-09-06

Family

ID=49082286

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
PCT/JP2013/053081 WO2013129084A1 (ja) 2012-03-02 2013-02-08 情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム

Country Status (5)

Country Link
US (1) US20150010144A1 (ja)
EP (1) EP2822217A4 (ja)
JP (1) JPWO2013129084A1 (ja)
CN (1) CN104137471A (ja)
WO (1) WO2013129084A1 (ja)

Families Citing this family (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JP5790288B2 (ja) * 2011-08-12 2015-10-07 ソニー株式会社 情報処理装置、及び情報処理方法
JP5790319B2 (ja) * 2011-08-29 2015-10-07 ソニー株式会社 署名検証装置、署名検証方法、プログラム、及び記録媒体
CN103490897B (zh) * 2013-09-17 2017-04-05 华南理工大学 一种多变量公钥签名/验证系统及签名/验证方法
CN110622232B (zh) * 2017-05-25 2023-01-13 日本电信电话株式会社 秘密篡改探测系统、秘密篡改探测装置、秘密篡改探测方法以及程序
CN114092242A (zh) * 2021-11-03 2022-02-25 支付宝(杭州)信息技术有限公司 基于范围证明实现隐私交易的方法和系统

Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
WO2005124537A1 (ja) * 2004-06-18 2005-12-29 Fujitsu Limited 乱数生成装置，生成方法，生成器評価方法、および乱数使用方法

Family Cites Families (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JP4141773B2 (ja) * 2002-09-12 2008-08-27 村田機械株式会社 復号処理装置
US8019079B2 (en) * 2007-07-08 2011-09-13 Georgia Tech Research Corporation Asymmetric cryptosystem employing paraunitary matrices

Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
WO2005124537A1 (ja) * 2004-06-18 2005-12-29 Fujitsu Limited 乱数生成装置，生成方法，生成器評価方法、および乱数使用方法

Non-Patent Citations (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
COME BERBAIN ET AL.XP019098542: "Efficient Implementations of Multivariate Quadratic Systems", SELECTED AREAS IN CRYPTOGRAPHY13TH INTERNATIONAL WORKSHOP, SAC 2006, vol. 4356, 17 August 2007 (2007-08-17), MONTREAL, CANADA, pages 174 - 187, XP019098542 *
JACQUES PATARIN: "Asymmetric Cryptography with a Hidden Monomial", CRYPTO, 1996, pages 45 - 60, XP019194414
KOICHI SAKUMOTO ET AL.: "Public-Key Identification Schemes Based on Multivariate Quadratic Polynomials", ADVANCES IN CRYPTOLOGY- CRYPTO 2011 31ST ANNUAL CRYPTOLOGY CONFERENCE, vol. 6841, 6 August 2011 (2011-08-06), SANTA BARBARA, CA, USA, pages 706 - 723, XP019161037 *
KOICHI SAKUMOTO; TAIZO SHIRAI; HARUNAGA HIWATARI: "Public-Key Identification Schemes Based on Multivariate Quadratic Polynomials", CRYPTO 2011, LNCS, vol. 6841, 2011, pages 706 - 723, XP019161037
PATARIN, J.; COURTOIS, N.; GOUBIN, L.: "Topics in Cryptology - CT-RSA 2001", vol. 2020, April 2001, SPRINGER-VERLAG., article "QUARTZ, 128-Bit Long Digital Signatures", pages: 282 - 297
TSUGIO NAKAMURA ET AL.: "Pasokon de Jisshu Shinagara Manaberu Ango no Shikumi to Jisso, first edition", KABUSHIKI KAISHA NIPPON RIKO SHUPPANKAI, 30 June 2009 (2009-06-30), pages 208 - 212, XP008174533 *

Also Published As

Publication number Publication date
EP2822217A4 (en) 2015-11-11
EP2822217A1 (en) 2015-01-07
JPWO2013129084A1 (ja) 2015-07-30
CN104137471A (zh) 2014-11-05
US20150010144A1 (en) 2015-01-08

Similar Documents

Publication Publication Date Title
JP5790319B2 (ja) 署名検証装置、署名検証方法、プログラム、及び記録媒体
JP6069852B2 (ja) 情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム
JP5736816B2 (ja) 認証装置、認証方法、プログラム、及び署名生成装置
JP5593850B2 (ja) 認証装置、認証方法、プログラム、及び署名生成装置
JP5790318B2 (ja) 情報処理装置、署名生成装置、情報処理方法、署名生成方法、及びプログラム
WO2013129084A1 (ja) 情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム
JP5790289B2 (ja) 情報処理装置、情報処理方法、プログラム、及び記録媒体
JP5594034B2 (ja) 認証装置、認証方法、及びプログラム
TWI511517B (zh) Information processing apparatus, information processing method, program and recording medium
WO2013129119A1 (ja) 情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム
WO2013024697A1 (ja) 情報処理装置、署名提供方法、署名検証方法、プログラム、及び記録媒体
WO2013031420A1 (ja) 情報処理装置、署名生成装置、署名検証装置、情報処理方法、署名生成方法、及び署名検証方法
JP5790286B2 (ja) 情報処理装置、署名生成装置、情報処理方法、署名生成方法、及びプログラム
WO2013024633A1 (ja) 情報処理装置、及び情報処理方法
WO2013031413A1 (ja) 情報処理装置、情報処理方法、プログラム、及び記録媒体
EP2743902B1 (en) Information processing device and information processing method

Legal Events

Date Code Title Description
121 Ep: the epo has been informed by wipo that ep was designated in this application

Ref document number: 13754371

Country of ref document: EP

Kind code of ref document: A1

REEP Request for entry into the european phase

Ref document number: 2013754371

Country of ref document: EP

WWE Wipo information: entry into national phase

Ref document number: 2013754371

Country of ref document: EP

ENP Entry into the national phase

Ref document number: 2014502108

Country of ref document: JP

Kind code of ref document: A

NENP Non-entry into the national phase

Ref country code: DE