WO2013065764A1 - 解析装置、解析方法及び解析プログラム - Google Patents

解析装置、解析方法及び解析プログラム Download PDF

Info

Publication number
WO2013065764A1
WO2013065764A1 PCT/JP2012/078262 JP2012078262W WO2013065764A1 WO 2013065764 A1 WO2013065764 A1 WO 2013065764A1 JP 2012078262 W JP2012078262 W JP 2012078262W WO 2013065764 A1 WO2013065764 A1 WO 2013065764A1
Authority
WO
WIPO (PCT)
Prior art keywords
equation
boundary condition
variable
equations
dual
Prior art date
Application number
PCT/JP2012/078262
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
林茂弘
Original Assignee
国立大学法人大阪大学
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by 国立大学法人大阪大学 filed Critical 国立大学法人大阪大学
Priority to US14/354,632 priority Critical patent/US20140379314A1/en
Priority to EP12846477.3A priority patent/EP2838040A4/en
Priority to JP2013541831A priority patent/JP5886309B2/ja
Publication of WO2013065764A1 publication Critical patent/WO2013065764A1/ja

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/11—Complex mathematical operations for solving equations, e.g. nonlinear equations, general mathematical optimization problems
    • G06F17/13—Differential equations
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2111/00—Details relating to CAD techniques
    • G06F2111/10—Numerical modelling

Definitions

  • the present invention relates to a technique for analyzing a motion or a state of a continuum by representing a motion of an analysis target such as a continuum by a differential equation and calculating a solution according to a boundary condition.
  • an object of the present invention is to provide an analysis apparatus, an analysis method, and an analysis program that can calculate a solution of a non-self-adjoint problem represented by simultaneous differential equations.
  • the flowchart which shows the operation example of the analyzer in 4th Embodiment The figure which shows the example of the element of 16 node rectangle Diagram showing the analysis results with a circular condition under uniform gravity and with “zero displacement and zero surface force” as the boundary condition Figure showing the analysis result when the upper boundary condition is “zero displacement and zero surface force” for a square under uniform gravity
  • the problem you want to solve is called the “Primal Problem”.
  • the homogeneous boundary condition [Homogeneous Boundary Condition] is determined from the inhomogeneous boundary condition [Inhomogeneous Boundary Condition].
  • the solution function of the main problem is called the main solution [Primal Solution], and this variation is called the main variation [Primal Variation].
  • the adjoint differential operator [Adjoint Differential Operator] is determined from the original differential operator [Original Differential Operator], and the homogeneous adjoint boundary condition [Homogeneous Adjoint Boundary Condition] ] Is determined.
  • the homogeneous adjoint boundary condition [Homogeneous Adjoint Boundary Condition] ]
  • One of the elements is the inhomogeneous adjoint boundary condition [Inhomogeneous Adjoint Boundary
  • the problem that gives this is called the “Dual Problem”.
  • the solution function of a dual problem is called a dual solution [Dual Solution], and this variation is called a dual variation.
  • both groups are tied together.
  • the stress component is The components of the outward unit normal vector of the boundary surface are n x and n y , and the surface forces p x and p y are obtained from Cauchy's formula,
  • the function groups ⁇ j and ⁇ j * should be eigenfunctions. If attention is paid to the equation (68), the external force term f Hj is composed of the function group ⁇ j * and the external force term f Hj * is composed of the function group ⁇ j , so that the coefficients c k and c k are obtained through the inner product. * It can be seen that there is a relationship between them.
  • equation (70) is substituted into equations (45), (48), and (51) representing stress, It becomes. Therefore, if the stress generated by the function group ⁇ j * is expressed as ⁇ Ex * , ⁇ Ey * , ⁇ Exy * , It becomes. Surface forces caused by the function group ⁇ j * p Ex *, p Ey *, It becomes. This is, on the surface forces p Ei * by the set of functions ⁇ j *, is a preparation for to satisfy the boundary conditions.
  • Equation (98) is called the primary simultaneous eigenvalue problem [Primal Simultaneous Eigenvalue Problem]
  • equation (99) is called the dual simultaneous eigenvalue problem [Dual Simultaneous Eigenvalue Problem].
  • the function ⁇ i is called a main eigenfunction [Primal Eigenfunction]
  • ⁇ i * is called a dual eigenfunction [Dual Eigenfunction].
  • the operators on the left are called the main differential operator [Primal Differential Operator] and the dual differential operator [Dual Differential Operator], respectively. Both (main, dual) differential operators are self-adjoint differential operators.
  • a homogeneous boundary condition is imposed on the function ⁇ i
  • a homogeneous adjoint boundary condition is imposed on the function ⁇ i * . Since there is a function ⁇ i * on the right side of the main simultaneous differential equation (87), the function ⁇ i satisfies the homogeneous boundary condition and the sum ⁇ j L ij ⁇ j of the differential coefficients satisfies the homogeneous adjoint boundary condition There is a need. These are collectively referred to as “Primal Boundary Condition”.
  • ⁇ i in Eq. (98) and ⁇ i * in Eq. (99) imposed by these boundary conditions have orthogonality, and constitute basis functions of Hilbert space. For example, if m-th order eigenvalues and main eigenfunctions are set as ⁇ m and ⁇ im and n-th order eigenvalues and main eigenfunctions are set as ⁇ n and ⁇ in, Therefore, it is known that the main eigenfunction ⁇ i is orthogonal.
  • the main simultaneous differential equation (87) is obtained from the following equations (93) and (97): It becomes.
  • the dual simultaneous differential equation (88) has no deformation, It is.
  • the functions ⁇ i and ⁇ i * used in the eigenfunction method in the next chapter are combinations that satisfy the (main, dual) simultaneous differential equations (105) and (106). However, ⁇ i remains as it is, and a combination in which the signs of ⁇ and ⁇ i * are reversed satisfies the requirement, but this combination is excluded.
  • equation (111) is an eigenfunction method in the Hilbert space in which the displacement u Hj is expressed by the main eigenfunction ⁇ i and the external force term f Hi is expressed by the dual eigenfunction ⁇ i * .
  • equation (115) is an eigenfunction method in the Hilbert space in which the displacement u Hj * is expressed by a dual eigenfunction ⁇ i * and the external force term f Hi * is expressed by a main eigenfunction ⁇ i .
  • FIG. 1 shows the dual principle of simultaneous partial differential equations.
  • the basis for the name “dual” is the above-mentioned feature “front and back integration / reversal use”.
  • Clapeyron's theorem representing the law of conservation of energy If we take the variation in It becomes. From the above equation and (132) It becomes. This is the same form as the principle of complementary virtual work, but is obtained as a result of applying the energy conservation law to (123), and should be recognized as another form of the variational direct method. If the area obtained by removing the surface force specified area from the boundary surface is Cu, the displacement on Cu is the specified value. This is equivalent to the variation being zero. This is the principle of minimum work.
  • linear elastic finite elements are formulated by Eq. (132), but no variational calculation is performed for h-method elements. If the variation symbol ⁇ is removed from Eq. (132) and multiplied by 1 ⁇ 2, the energy conservation law of Eq. (134) is matched, but the h-method element follows this. If a variational operation is performed using equation (123), an element equivalent to the p method can be obtained, and a new finite element can be constructed from equations (122) and (127).
  • the inside of the boundary is expressed in the range of the inequality sign, and the boundary is expressed by the equal sign.
  • In-element displacement Displacement that is the main solution is divided into a term that expresses boundary displacement and a term that has zero displacement at the boundary. It expresses.
  • a subscript A represents a term representing boundary displacement
  • a subscript o represents a term where displacement is zero at the boundary.
  • the displacement u j as the main solution is represented by the sum of the term u Bj that satisfies the inhomogeneous boundary condition and the term u Hj that satisfies the homogeneous boundary condition. Expressed as a matrix, It becomes. The details are determined when the boundary conditions are given.
  • it may be a Legendre ⁇ function or a trigonometric function.
  • the function system is Becomes the trial function ⁇ ok .
  • the differential coefficient of displacement is It becomes.
  • the matrix on the right side is It becomes.
  • the strain component can be calculated from Eqs. (4) to (6). It expresses.
  • the stress component is calculated from equations (7) to (9). It becomes. This represents the stress component of equations (10) to (12).
  • [I] is a unit matrix.
  • the above equation represents nodal displacements U, nodal force F, the relationship must be established between the coefficient C o. In combination with the in-element displacement u of (173), It becomes.
  • the matrix [K b ] is obtained by extracting a corresponding column from the matrices [K U ], [ ⁇ I] according to the arrangement of the known parts U b , F b , and similarly, the unknown parts U v .
  • the matrix [K according to the order of F v v ], [-I] to extract the corresponding column, the matrix [K v ] is obtained.
  • the matrix [Y b ], [Y v ] is obtained as follows.
  • the operation of extracting a column from the matrix [Y v ] is performed by the matrix [ It can be expressed by extracting a column of c v ].
  • Extract the relevant column from [c v ] and compose [c ve ], [c vh ] is defined by extracting a column of c v ].
  • the matrix [ ⁇ 0 ] of the equation (263) is The operation of extracting a column from the matrix [ ⁇ 0 ] can be expressed by extracting the column of the matrix [I].
  • the corresponding column is extracted from the matrix [I] to form [I oe ] and [I oh ], Therefore, the matrices [Y e ] and [Y h ] are It becomes.
  • the function matrix And coefficient matrix If the matrix [Y e ] and [Y h ] are defined, It becomes.
  • the first term is a function with a known part s b , which is a displacement [u B ] that satisfies the inhomogeneous boundary condition.
  • the second term is a function having an unknown part s h, the displacement [u H] which satisfies the homogeneous boundary conditions. That is, Defined as And It becomes.
  • the above equation shows the details of equation (174), and the displacement [u] is expressed by the displacement [u B ] that satisfies the inhomogeneous boundary condition and the displacement [u H ] that satisfies the homogeneous boundary condition. I understand that it was done.
  • the matrix [K v * ] is obtained.
  • the matrix [ Y b * ] and [Y v * ] are obtained as follows.
  • the matrices [ ⁇ A ] and [0] of the equation (318) are The operation of extracting a column from the matrix [ ⁇ A ] is to extract the column of [I], and similarly, the operation of extracting a column from the matrix [0] is to extract the column of [0]. Can be expressed.
  • a corresponding column is extracted from [I] to form [I Ub * ] and [I Uv * ].
  • a corresponding column is extracted from “0” to form [0 Fb * ] and [0 Fv * ].
  • the unknown parts s v * and c o * are rearranged to be unknown parts s e * and s h *, and the columns of the matrices [K v * ] and [K 0 ] are changed accordingly, and [K e * ] , [K h * ].
  • the columns of the matrices [Yv * ] and [ ⁇ 0 ] are exchanged to be [Y e * ] and [Y h * ].
  • equation (324) becomes It becomes.
  • the purpose of this procedure is to erase the unknown part s e * so that [K e * ] has an inverse matrix. Therefore, [K e * ] is a square matrix.
  • the unknown parts s e * and s h * are constructed by the following procedure. (1) n ve * pieces to fall to an unknown part s v * unknown part s e of the *, collected in the first half of the unknown part s e *. (2) the n oe * pieces to fall to an unknown part s e * of the unknown part c o *, gather in the second half of the unknown part s e *. (3) the n vh * pieces to fall to an unknown part s h * of the unknown part s v *, collected in the first half of the unknown part s h *.
  • the operation of extracting a column from the matrix [Y v * ] can be expressed by extracting the column of the matrix [c v * ]. Extract the corresponding column from [c v * ] and [c ve * ], Configure [c vh * ] Define Using the unit matrix [I], the matrix [ ⁇ 0 ] of the equation (324) is The operation of extracting a column from the matrix [ ⁇ 0 ] can be expressed by extracting the column of the matrix [I].
  • the corresponding column is extracted from the matrix [I] to construct [I oe * ], [I oh * ], Therefore, the matrices [Y e * ] and [Y h * ] are It becomes. In addition, the coefficient matrix , The matrices [Y e * ] and [Y h * ] are It becomes.
  • the first term is a function with a known part s b * and a displacement that satisfies the inhomogeneous adjoint boundary condition [ u B * ].
  • the second term is a function having an unknown part s h * , which is a displacement [u H * ] that satisfies the homogeneous adjoint boundary condition. That is, Defined as And It becomes.
  • the above equation shows the details of the equation (191).
  • the displacement [u * ] is a displacement [u B * ] that satisfies the inhomogeneous adjoint boundary condition and a displacement [u H that satisfies the homogeneous adjoint boundary condition. It can be seen that it is expressed as * ].
  • equations (390) to (393) Since the main trial function [ ⁇ h ] satisfies the homogeneous boundary condition and the dual trial function [ ⁇ h * ] satisfies the homogeneous adjoint boundary condition, It becomes. That is, It is. Using equations (390) to (393), equations (388) and (389) are It becomes. In order for this to hold for any variation, It must be. By substituting equations (398) and (399) into each other, It becomes. By solving this, eigenvalues ⁇ and eigenvectors ⁇ e h ⁇ , ⁇ e h * ⁇ can be obtained. On the other hand, if the equations (398) and (399) are combined into one, It is. The equal sign in equation (403) is according to equation (395).
  • eigenvalues ⁇ and eigenvectors ⁇ e h ⁇ , ⁇ e h * ⁇ can be obtained. Since [A s ] and [B s ] are both symmetric matrices, the eigenvalue ⁇ is a real number, and the eigenvector ⁇ e s ⁇ is orthogonal with [A s ] and [B s ] interposed therebetween.
  • the eigenfunctions ⁇ and ⁇ * ⁇ are obtained by returning the components ⁇ e h ⁇ and ⁇ e h * ⁇ of the eigen vector ⁇ e s ⁇ belonging to the eigen value ⁇ to the expressions (315) and (375).
  • the unknown part s h is determined in this way, the unknown part s e is determined by the equation (300). Therefore, the displacement ⁇ u ⁇ is completely determined from the equation (299) or (301). If the displacement is determined, the stress distribution, strain energy distribution, etc. inside the element can be obtained.
  • the equation (432) is established. Since this means a homogeneous differential equation, the coefficient ⁇ a 0 ⁇ associated with the solution is arbitrary. In the previous section, we showed how to determine the arbitraryness by adding boundary conditions on the edges, but there is also a method in which the designer who performs the calculation decides himself. A system that displays in a diagram what deformation state or stress state is to be obtained according to the coefficient ⁇ a 0 ⁇ , and the designer himself / herself so that the boundary conditions can be realized while viewing this diagram. The coefficient ⁇ a 0 ⁇ is determined.
  • the known quantities are ⁇ U 1 ⁇ and ⁇ F 2 ⁇ , and the unknown quantities are ⁇ U 2 ⁇ and ⁇ F 1 ⁇ . Disassembling the above equation and, It expresses. (438) Thus, an unknown quantity ⁇ U 2 ⁇ is determined. Substituting this into equation (437) Thus, an unknown quantity ⁇ F 1 ⁇ is determined. That is, all unknown quantities were obtained. Such a procedure It is established as a conventional means of the finite element method.
  • equation (434) is obtained as an equivalent equation from the energy conservation law without including the calculation of variation, nothing needs to be bound by self-adjoint boundary conditions, and non-self-adjoint It should be good to solve the above equation for various boundary conditions.
  • the matrix [K b ] is determined according to the arrangement of the known parts U b and F b .
  • the matrix [K v ] is obtained.
  • the deformation of the whole system is governed by the mode coefficient ⁇ a 0 ⁇
  • the variational principle equivalent to the differential equation of the element that is, the least square method of the equations (122) to (128) is used. Use it to determine the appropriate ⁇ a 0 ⁇ . If the element is not bent at an appropriate value around ⁇ a 0 ⁇ , it can be considered that an accurate analysis result is obtained.
  • the mode coefficient ⁇ a 0 ⁇ can be determined by substituting ⁇ u A ⁇ for ⁇ u ⁇ in equation (421).
  • the functional of equation (128) is created for the entire system, and the equation (127) can be constructed by differentiating with the mode coefficient ⁇ a 0 ⁇ . As a result, the mode coefficient ⁇ a 0 ⁇ can be determined.
  • the configuration coefficient is displayed so that the mode coefficient ⁇ a 0 ⁇ is linked to the slider and the designer adjusts the mode coefficient by the slider so that the deformation diagram is displayed. This makes it possible to bring out the designer's image. By refining the boundary conditions by narrowing down the possible deformation states, it is possible to study to obtain a better structure.
  • FIG. 2 is a functional block diagram illustrating an example of the configuration of the analysis apparatus of the present embodiment.
  • the analysis device 10 analysis system 10) illustrated in FIG. 2 can be configured by a computer including the calculation unit 1.
  • the calculation unit 1 inputs design data of the analysis object, boundary condition data, and differential equation data including differential operators for the analysis object, calculates the solution of the differential equation to be analyzed, and outputs it as analysis result data.
  • the calculation unit 1 calculates a solution u j according to the following equation.
  • the following formula is the above formula (12 Same as 2).
  • the calculation unit 1 inputs data indicating the shape and material of the analysis object as design data, and reads the data of the original differential operator L ij used for calculation based on the design data.
  • the solution of the differential equation represented by the above equation is calculated using the primitive differential operator L ij . This makes it possible to calculate solutions for non-self-adjoint problems.
  • the force f i act to be analyzed, but u i can be a displacement of the analyzed, f i and u i is not limited thereto.
  • f i and u i may indicate other than force and displacement.
  • an appropriate value corresponding to the analysis target is f i and u i can be set.
  • the computing unit 1 may calculate the solution u j by the following equation.
  • the following formula is the above formula (123) It is the same. In this case, the solution of the self-adjoint problem can be calculated.
  • the calculation unit 1 can also calculate the solution u j to be analyzed in the following equation by the variational direct method.
  • the following formula is the same as the above (127).
  • the calculation of the solution u j by the variation direct method can calculate a solution in which the variation is zero in the functional function ⁇ in the following equation.
  • FIG. 3 is a functional block diagram illustrating an example of the configuration of the analysis apparatus according to the second embodiment. 3 includes a setting unit 11, an adjoining boundary condition calculation unit 12, and a non-self-adjoint calculation unit 13.
  • the setting unit 11 sets the primordial differential operator to be analyzed and the boundary condition of displacement.
  • the setting unit 11 can receive an input of data representing a configuration or material to be analyzed as design data from a user, and can determine an original differential operator based on the configuration or material to be analyzed.
  • the setting unit 11 can accept input of boundary condition data from the user.
  • the accompanying boundary condition calculation unit 12 calculates the accompanying boundary condition from the boundary condition received by the setting unit 11. For example, the adjoint boundary condition calculation unit 12 multiplies the differential equation including the primitive differential operator included in the differential equation data read by the setting unit 11 by the dual eigenfunction ⁇ i * or the dual displacement u i *, that is, the inner product. Can be calculated from the boundary term obtained by partial integration.
  • the accompanying boundary condition can be calculated using the above equation (91).
  • u Hi when the homogeneous boundary conditions imposed on the p Hi imposed phi i, p Ei, such that the boundary section becomes zero ⁇ i *, p Ei * Can be obtained as an adjoining boundary condition.
  • the non-self-adjoint calculation unit 13 calculates the main simultaneous differential equation and the dual simultaneous differential equation from the primitive differential operator, and uses the main simultaneous differential equation and the dual simultaneous differential equation, the boundary condition and the adjoining boundary condition, The solution of simultaneous differential equations is calculated by obtaining eigenfunctions and dual eigenfunctions.
  • the main simultaneous differential equation can be defined as the above equation (105), and the dual simultaneous differential equation can be defined as the above equation (106).
  • the adjoint differential operator L ij * can be calculated by the above equation (90).
  • the non-self-adjoint calculation unit 13 uses the main simultaneous eigenvalue problem (the above formula (105)), the dual simultaneous differential equation (the above formula (106)), the boundary condition, and the adjoint boundary condition. 98)) and the dual simultaneous eigenvalue problem (the above equation (99)) can be defined to calculate the main eigenfunction ⁇ and the dual eigenfunction ⁇ * .
  • the solution of the non-self-adjoint calculation unit 13 is not limited to the one using the main simultaneous eigenvalue problem (the above equation (98)) and the dual simultaneous eigenvalue problem (the above equation (99)).
  • the main eigenfunction ⁇ and the dual eigenfunction ⁇ * can be calculated using the above equations (122) and (123).
  • the main eigenfunction ⁇ and the dual eigenfunction ⁇ * can be calculated both analytically and approximately.
  • the approximate eigenfunction can be calculated by the above formulas (122) and (123).
  • the non-self-adjoint calculation unit 13 calculates a solution of the simultaneous equations of the main problem using the main eigenfunction ⁇ and the dual eigenfunction ⁇ * .
  • the non-self-adjoint calculation unit 13 can calculate the coefficient c k * of the dual problem by the above equation (115), and calculates the solution function u Hj * of the dual problem by substituting this into the above (70). Can do.
  • FIG. 4 is a flowchart showing an operation example of the analysis apparatus 10a shown in FIG.
  • the setting unit 11 receives an input of design data from the user (S1).
  • the design data is not limited to a specific object or format.
  • the analysis target is a solid
  • input of data representing the shape or material of the analysis target can be accepted.
  • the analysis target is a fluid
  • input of data representing the physical properties of the fluid can be accepted.
  • input of data indicating the configuration and physical properties of each element may be accepted.
  • the setting unit 11 can acquire design data not only by a user input but also by reading design data from an accessible recording medium or by downloading via a network.
  • the setting unit 11 determines the original differential operator based on the design data acquired in S1, and determines the differential equation of the main problem (S2). For example, the setting unit 11 extracts a differential operator corresponding to the shape of the analysis target indicated by the design data from pre-recorded data, and sets the differential equation including the extracted differential operator as the differential equation of the main problem. Can do. Thus, the differential equation of the main problem can be determined according to the design data.
  • the original differential operator is L ij will be described.
  • the setting unit 11 further acquires boundary condition data (S3).
  • the boundary condition data is data related to the boundary condition to be analyzed, and is not limited to a specific target or format. For example, data indicating at least one condition of displacement and force on the boundary surface of the analysis object can be input as the boundary condition. In the invention disclosed in the present application, it is possible to set both the displacement and the force on the boundary surface, which has been impossible in the past.
  • the adjoining boundary condition calculation unit 12 generates adjoining boundary condition data using the differential equation set in S2 and the boundary condition data acquired in S3.
  • the adjoining boundary condition can be calculated using the above equation (91).
  • the boundary terms represented by the above formula (60) are expressed by the above formulas (208) and (229) indicating the boundary displacement, dual displacement, surface force, and dual surface force, respectively. ), Expression (207), and expression (228).
  • the non-self-adjoint calculation unit 13 generates data indicating the main simultaneous differential equation (for example, the above equation (105)) and the dual simultaneous differential equation (the above equation (106)) from the primary differential operator L ij (S5).
  • the non-self-adjoint calculation unit 13 uses the main eigenfunction ⁇ , the main simultaneous differential equation and the dual simultaneous differential equation calculated in S5, the boundary condition acquired in S2, and the adjoint boundary condition calculated in S4. And the dual eigenfunction ⁇ * is calculated (S6).
  • the non-self-adjoint calculation unit 13 uses the main eigenfunction ⁇ and the dual eigenfunction ⁇ * calculated in S6 to calculate the solution function u Hj of the simultaneous equations of the main problem by, for example, the above equation (111) ) And equation (69) (S7). Further, the non-self-adjoint calculation unit 13 uses the main eigenfunction ⁇ and the dual eigenfunction ⁇ * to obtain the solution function u Hj * of the simultaneous equations of the dual problem, for example, the above formulas (115) and (70). Can be calculated. In this way, the calculated solution is output as an analysis result to a computer display (not shown) or the like (S8). A specific example of the analysis result will be described later.
  • the operation example of the analysis device 10a has been described above, but the processing of the analysis device 10a is not limited to the above example.
  • This embodiment can be said to be one specific example of the first embodiment.
  • FIG. 5 is a functional block diagram illustrating an example of the configuration of the analysis apparatus according to the third embodiment.
  • the analysis apparatus 10b illustrated in FIG. 5 includes a setting unit 11, an adjoint boundary condition calculation unit 12, a self-adjoint determination unit 15, a non-self-adjoint calculation unit 13, and a self-adjoint calculation unit 14.
  • the setting unit 11, the accompanying boundary condition calculating unit 12, and the non-self accompanying calculating unit 13 can be configured in the same manner as in the first embodiment.
  • the analysis apparatus 10b includes a self-adjoint determination unit 15 that determines whether or not the boundary condition matches the adjoint boundary condition calculated by the adjoint boundary condition calculation unit.
  • the self-adjoint determination unit 15 determines that the boundary condition matches the adjoint boundary condition
  • the self-adjoint calculation unit 14 solves the self-adjoint problem by obtaining a self-adjoint eigenfunction of the self-adjoint problem from the original differential operator.
  • the non-self-adjoint operation unit 13 uses the main simultaneous differential equation and the dual simultaneous differential equation, and the boundary condition and the adjoint boundary condition. Calculate the solution of simultaneous differential equations by finding the function and dual eigenfunction.
  • the adjoint differential operator L ij * can be calculated by partial integration of an integral sum or inner product obtained by multiplying a differential equation including a primitive differential operator by a dual eigenfunction ⁇ i * or a dual displacement u i * .
  • the adjoint differential operator L ij * can be calculated by the above formula (62) or formula (90).
  • the self-adjoint calculation unit 14 generates a simultaneous differential equation of the self-adjoint problem from the original differential operator and calculates a solution of the simultaneous differential equation.
  • the self-adjoint eigenfunction ⁇ i can be calculated using the above equation (107) or equation (123) as a simultaneous differential equation of the self-adjoint problem.
  • the self-adjoint calculation unit 14 calculates c k by, for example, an expression in which the self-adjoint eigenfunction ⁇ ik is replaced with ⁇ ik * in the above formula (111), and substitutes this c k into the above formula (69).
  • the solution function u Hj of the self-adjoint problem can be obtained.
  • FIG. 6 is a flowchart showing an operation example of the analysis apparatus 10b shown in FIG.
  • the analysis apparatus 10b can execute the processing of S1 to S4 in the same manner as the processing of S1 to 4 in the second embodiment.
  • the self-accompanying determination unit 15 compares the data indicating the boundary condition acquired in S1 with the accompanying boundary condition data generated in S4 to determine whether or not the boundary condition matches the accompanying boundary condition. Determine. If the self-accompaniment determination unit 15 determines in S21 that they do not match (that is, it is non-self-accompaniment), the non-self-accompanying operation unit 13 executes the processes of S5 to S7.
  • the processing of S5 to S7 may be the same as S4 to S7 in the second embodiment.
  • the self-adjoint calculation unit 14 If the self-adjoint determination unit 15 determines in S21 that the boundary condition and the non-boundary condition match (that is, is self-adjoint), the self-adjoint calculation unit 14 generates self-adjoint differential equation data from the primitive differential operator ( S22). For example, the self-adjoint calculation unit 14 can set the above formula (107) as a self-adjoint differential equation. In this case, the self-adjoint calculation unit 14 calculates the self-adjoint eigenfunction ⁇ i using the original differential operator L ij acquired in S3 as the self-adjoint differential operator and the boundary condition set in S2 as the self-adjoint boundary condition.
  • the self-adjoint calculation unit 14 calculates the solution function uj of the self-adjoint simultaneous differential equation using the self-adjoint eigenfunction ⁇ i (S24). .
  • the result output of S8 may be the same as S8 in the second embodiment.
  • This embodiment can be said to be one specific example of the first or second embodiment.
  • This embodiment is an example when the analysis apparatus is applied to an analysis using a finite element method (FEM).
  • FEM finite element method
  • the original differential operator and the boundary condition are set for a finite element.
  • the configuration and analysis processing of the analysis apparatus described in the first to third embodiments can be similarly applied to finite elements.
  • the present embodiment which uses the analysis processing shown in the first to third embodiments as a finite element, is different from the conventional finite element method will be described.
  • a solution is calculated by a variational direct method (for example, the first implementation described above).
  • Form a variational direct method
  • the p method is a technique for approximating intra-element displacement by a higher-order function, and a function that appropriately approximates intra-element displacement is found and used.
  • the main eigenfunction and the dual eigenfunction are calculated, and with these, the displacement in the element is intended to be explained appropriately.
  • FIG. 7 is a flowchart illustrating an operation example of the analysis apparatus according to the present embodiment.
  • the configuration of the analysis apparatus in the present embodiment can be the same as in FIG. 2 or FIG. Note that the flowchart shown in FIG. 7 is an example, and the present invention is not limited to this.
  • the setting unit 11 first receives input of data indicating the shape to be analyzed (S31). For example, data indicating the shape of a finite element is input.
  • the setting unit 11 creates a weight constant (S32).
  • the weight constant w is preferably used so that the eigenvalue ⁇ is determined as a dimensionless quantity.
  • the object to be analyzed is a ring
  • the rank of the differential operator is second
  • it is preferable that w 1 / r 2 if the representative length is r.
  • the length of some characteristic part of the object is adopted as the representative length.
  • the setting unit 11 inputs the nodal displacement and the nodal force (S33).
  • the nodal displacement u and the dual displacement u * can be represented by a boundary function u A representing the displacement of the element boundary and a correction function u 0
  • the correction function u 0 can be represented by the sum of the trial function ⁇ 0 (for example, The above formula (173) and formula (190)).
  • the setting unit 11 sets a trial function (S34).
  • the trial function can be set, for example, as in the above equation (179).
  • the displacement at the boundary surface is the above equation (208)
  • the dual displacement is the above equation (229)
  • the surface force is the above equation (207)
  • the dual surface force is It can be represented by the above formula (228).
  • the accompanying boundary condition calculation unit 12 calculates the accompanying boundary condition from the boundary condition. For example, an integral sum or inner product obtained by multiplying a differential equation including a primitive differential operator by a dual displacement u i * is substituted into a boundary term R obtained by partial integration, and an adjoint boundary condition Can be calculated.
  • the boundary term R can be expressed by the above formula (250).
  • the formula (250) by dividing the matrix elements of the nodal force F to a known portion F b and the unknown portion F v sorting sorts separately nodal displacements U in known portion U b and unknown portion U v.
  • the dual nodal force F * is also known part F b * and unknown part F v *. If the dual displacement U * is also divided into the known part U b * and the unknown part U v * , the following equation (251) is obtained.
  • U b * and F b * corresponding to the unknown parts F v and U v must be zero, so that the adjoint boundary condition of Expression (254) is obtained.
  • the coefficient vector ⁇ e h ⁇ is expressed by the above equation (122) and the equation (123).
  • ⁇ e h * ⁇ the approximate eigenfunctions ⁇ and ⁇ * ⁇ can be obtained (S39).
  • the main trial function [ ⁇ h ] can be expressed as the above equation (313).
  • the function matrix ⁇ is defined by the above equation (293)
  • the coefficient matrix [c e ] [c h ] is defined by the above equations (294) and (295).
  • the dual trial function [ ⁇ h * ] can be expressed as, for example, the above equation (373).
  • the coefficient matrix [c e * ] [c h * ] is defined by the above equations (354) and (355).
  • the non-self-adjoint calculation unit 13 calculates the solution function of the simultaneous equations of the main problem by the eigenfunction method using the main eigenfunction and dual eigenfunction calculated in S39 (S40).
  • the calculated solution outputs the analysis result to a computer display (not shown) or the like (S41).
  • a computer display not shown
  • S41 the like
  • Equation (1) approximate eigenfunctions variation of ⁇ ⁇ calculated in S37, the approximation dual eigenfunction ⁇ phi * ⁇ variation of calculated at S38 and ⁇ .delta..phi * ⁇ Eigenvalues and eigenvectors can be obtained by solving the equations (eg, the above equations (400) and (401) or the above equation (402)) obtained by multiplying and integrating the main simultaneous differential equation and the dual simultaneous differential equation. Using these, the displacement ⁇ u ⁇ of the main problem is obtained.
  • equations eg, the above equations (400) and (401) or the above equation (402)
  • [Fifth embodiment] 67 includes an initial equation determination unit 21, a boundary condition determination unit 22, and a calculation unit 23.
  • the initial equation determination unit 21 reads data indicating the structure of the system to be processed and the properties of the components, and determines an equation representing the system.
  • This equation can be, for example, n equations including a variable representing a physical quantity to be obtained.
  • the equation can be represented by, for example, matrix data or differential equation data, and the data representation format is not particularly limited.
  • the variable can be represented by data such as a vector or a function, for example, but is not particularly limited to an expression format.
  • the initial equation determination unit 21 can accept, for example, designation of a system to be processed from the user, and can select a system corresponding to the designated system from among the simultaneous differential equations recorded in advance. Or the structure which receives simultaneous simultaneous differential equations themselves from a user may be sufficient.
  • the boundary condition determination unit 22 reads a value representing a physical quantity as data indicating the boundary condition and determines the boundary condition.
  • the boundary condition determination unit 22 also receives a boundary condition that specifies an external force and a displacement for one direction of one point, that is, one degree of freedom. Even if a plurality of physical quantities are defined as boundary conditions for one degree of freedom by the function of the calculation unit 23 described later, it can be handled. Further, as a boundary condition, not only a known part but also an unknown part can be specified. For example, it is possible to accept a setting in which neither displacement nor external force is unknown for a certain node.
  • the computing unit 23 transforms the n initial equations into 2n variable equations or equations including 2n equations, and in the modified 2n variable equations or equations including 2n equations, A known part including a variable that becomes known according to a condition and an unknown part including an unknown variable are determined, and a solution of the equation is calculated for the unknown part.
  • the equation can be transformed into a format including twice as many equations as the initial equation, as shown in Equation (963).
  • an equation represented by a matrix and a variable vector is determined as an initial equation, for example, as shown in Expression (442), the matrix can be transformed into a matrix including a variable vector having twice the degree of freedom of the variable vector. it can.
  • the calculation unit 23 can output the calculated solution or information obtained from the solution. For example, when an object is displaced by receiving a force in a system to be processed, it is possible to output a deformation state, a stress distribution, an error distribution thereof, and the like as information obtained from the solution.
  • the initial equation determination unit 21 can determine, for example, a simultaneous differential equation that represents a relationship between a force acting on an object that is a component of the system and a variable that represents a physical quantity of the object.
  • the physical quantity of the object can be, for example, displacement or speed, but is not limited to a specific one.
  • the calculation unit 23 generates data indicating the 2n equations using the differential operators of the simultaneous differential equations determined by the initial equation determination unit 21 and the adjoint differential operators determined from the differential operators, and generates 2n equations. Calculate the solution.
  • the calculation unit 23 newly introduces dual simultaneous equations (including n equations) including dual variables to the differential operators and variables of the simultaneous differential equations of the main problem representing the target system. As a result, the solution of 2n equations is calculated. In this way, by using the adjoint differential operator determined from the differential operator, the 2n equations are generated and the solutions of the 2n equations are calculated, thereby setting a plurality of physical quantities as boundary conditions for one degree of freedom. If so, the solution can be calculated.
  • the inner product of a variable and a differential variable of a simultaneous differential equation and a dual variable causes the variable and the differential operator of the dual simultaneous differential equation to act on the dual variable. It is equal to the inner product with the thing.
  • examples of obtaining dual differential equations for various simultaneous differential equations are disclosed.
  • Information regarding the dual differential equation can be recorded in advance in association with the differential equation.
  • the calculation unit 23 can read out information on the dual differential equation corresponding to the differential equation determined by the initial equation determination unit 21 and use it for the calculation.
  • the calculation unit 23 can calculate the solution of the equation by transforming the initial equation into an equation including 2n variables without calculating the adjoint operator.
  • the initial equation determination unit 21 can determine an initial equation indicating a physical quantity at a node of a system component by determining two n-dimensional variable vectors and an n-row matrix.
  • an n-row matrix representing a relationship between an n-dimensional vector of a variable representing the displacement of the node and an n-dimensional vector of a variable representing the force of the node can be generated. This can be said to represent the differential equation to be satisfied by the system using an n-dimensional vector and an n-row matrix.
  • the initial equation can be determined in the form as shown in Expression (441), Expression (449), and the like.
  • n equations are represented by an n-by-n matrix K and n-dimensional vector variable vectors ⁇ U ⁇ , ⁇ F ⁇ .
  • the boundary condition determination unit 22 is configured to be able to determine boundary conditions in which the number of degrees of freedom of a variable whose value is known is different from the number of degrees of freedom of a variable whose value is unknown. For example, even when a user specifies that a plurality of physical quantities are unknown or known for one degree of freedom as a boundary condition, an error such as improper setting by the user is not generated. Can do.
  • the calculation unit 23 generates a 2n-dimensional vector based on the two variable vectors. Furthermore, after transforming the matrix into a 2n-column matrix based on the 2n-dimensional vector variable, among the 2n-dimensional vector variable, a known part including a variable that is known by a boundary condition, and an unknown variable And determine the unknown part. At this time, the degree of freedom of the unknown part and the degree of freedom of the known part may not be the same. For example, the calculation unit 23 can determine the unknown part and the known part without adding a restriction that the degrees of freedom of the unknown part and the known part are the same.
  • the calculation unit 23 modifies the 2n-column matrix and the 2n-dimensional vector so that the unknown part variable is represented by the known part variable, and uses the deformed matrix to change the unknown part variable. calculate. For example, the calculation unit 23 can rearrange the elements of the variable vector so that the known part and the unknown part of the variable are grouped, and can rearrange the elements of the matrix accordingly. This specific example is shown in equations (441) to (447) in section 9.2.
  • the computing unit 23 can calculate solutions for both self-associated problems and non-self-associated problems by executing the above processing.
  • the boundary condition that the displacement and force are zero for the x direction of a certain node or the boundary condition that the displacement and force are unknown for the y direction of a certain node. be able to. It is possible to calculate a solution even under a non-self-adjoint boundary condition by an operation that does not limit the number of degrees of freedom of the unknown part and the known part with the equation in which the variables are multiplied by n as described above.
  • the mode coefficient for the homogeneous solution is determined so that the variation is zero, and the solution is obtained using the determined mode coefficient. it can. Further, it is also possible to adopt a configuration in which an input of a value near the determined mode coefficient is received from the user, a solution is calculated using the mode coefficient of the input value, and the solution or information obtained from the solution is output. Note that these configurations are not necessarily provided in the information processing apparatus provided with the calculation unit 23. For a plurality of solutions calculated by the calculation unit 23, a process for obtaining a solution using the above-described mode coefficient is performed in other configurations. The information processing apparatus may execute. In addition, another information processing apparatus may execute a process of receiving an input of a value near the mode coefficient from the user and calculating and outputting a solution using the mode coefficient of the input value.
  • the solution is expressed by multiplying the special solution and the homogeneous solution by an arbitrary mode coefficient. be able to.
  • the differential equation can be approximated as a whole structure system by the mode coefficient obtained when the solution expressed using this mode coefficient is applied to the equation in which the variation is zero in the functional ⁇ of the equation (128). A satisfactory solution is obtained. Examples of processing when there are a plurality of such solutions are described in, for example, sections 9.4, 9.5, and 11.3.10.
  • the calculation unit 23 calculates the solution of the equation with the degree of freedom doubled in a situation where the degrees of freedom of the unknown part and the known part are not necessarily the same.
  • a plurality of solutions may be calculated. Even in such a case, an appropriate result can be output by calculating a representative solution from a plurality of solutions and outputting the solution within a predetermined range including this solution, as in the above example.
  • a user interface is provided that can convey the results of a plurality of solutions in a recognizable form by displaying the solutions varied by a user operation.
  • An information processing apparatus 10d illustrated in FIG. 68 includes an initial equation determination unit 21, a boundary condition determination unit 22, and a determination unit 33.
  • the initial equation determination unit 21 and the boundary condition determination unit 22 can be configured similarly to the initial equation determination unit 21 and the boundary condition determination unit 22 of FIG.
  • the determination unit 33 determines whether or not the boundary condition of the simultaneous differential equations determined by the initial equation determination unit 21 is a self-adjoint condition.
  • the determination unit 33 is obtained by partial integration of the integral sum, that is, the inner product, of the simultaneous differential equations and the dual variables.
  • the condition of the dual variable that makes the boundary term zero can be determined as the adjoining boundary condition.
  • the determining unit 33 can determine that the adjoining condition is a self-adjoining condition.
  • an expression for calculating the boundary term in association with the differential equation can be recorded in advance in a recording unit accessible by the information processing apparatus 10d.
  • the determination unit 33 can read the boundary term expression corresponding to the differential equation determined by the initial equation determination unit 21 from the recording unit and calculate the boundary term.
  • the boundary term R is changed to the transposed matrix of the nodal external force F and the displacement U, the dual nodal external force F *, and the dual displacement U *. It can be expressed by the product of the matrix.
  • the nodal external force F, the displacement U, the dual nodal external force F *, and the dual displacement U * are divided into the unknown part and the known part, respectively. , An adjoint boundary condition is obtained.
  • the adjoint boundary condition is obtained by sorting the unknown part and the known part of each variable separately in the boundary term expressed by the product of the transpose matrix of the variable of the differential equation and the matrix of the dual variable.
  • the expression (251) or the expression (1814) can be used, for example, when the operator and the boundary condition of the initial differential equation are set to finite elements and the analysis is executed.
  • the determination unit can output, for example, information based on the determination result to the user as to whether or not it is a self-accompanying condition. For example, when it is determined that the boundary condition does not coincide with the accompanying boundary condition and is a non-self accompanying condition, a message can be output indicating that the analysis target is non-self accompanying in the boundary condition.
  • the determination unit 33 needs to have a function capable of handling a non-self-adjoint problem for analysis, or a guide for analyzing a non-self-adjoint problem such as where to obtain or obtain software that can analyze a non-self-adjoint problem. Can be output.
  • the determination unit 33 can also control subsequent calculations based on information on whether the adjoining boundary condition and the boundary condition match. For example, when the adjoining boundary condition and the boundary condition match, the analysis process using the conventional finite element method is executed, and when the adjoining boundary condition and the boundary condition do not match, as described above, It is possible to cause the information processing apparatus to execute processing capable of handling non-self-association.
  • a process that can handle non-self-adjoint is, for example, transforming an initial equation into an equation including 2n equations, including a modified 2n equation, and a known part including a known variable and an unknown variable. The unknown part to be included is determined, and the solution of the equation is calculated for the unknown part.
  • the self-adjoint condition may be determined without calculating the adjoint boundary condition.
  • the number n1 of the known portions Ub of the nodal displacement U is set to the unknown portion Fv of the nodal external force.
  • the number n2 of known parts Fb of the nodal external force F is equal to the number of unknown parts Uv of the nodal displacement. Therefore, the determination unit 33 can determine whether or not it is a self-adjoining condition based on whether or not the degree of freedom of the unknown part of one variable is equal to the degree of freedom of the known part of another variable.
  • a configuration in which the determination unit 33 in FIG. 68 is added to the information processing apparatus in FIG. 68 is also possible. For example, based on the determination result of the determination unit 33, it is possible to control whether or not the calculation unit 23 performs a calculation using a 2n-dimensional equation. As a result, the calculation unit 23 can appropriately switch between a non-self-adjoint operation using a 2n-dimensional equation and a self-adjoint operation using an n-dimensional equation to improve processing efficiency.
  • the boundary condition determination unit 22 can accept designation of known and unknown variables from the user.
  • the determination unit 33 determines the unknown part and the known part of the variable based on the designation received from the user, and whether the degree of freedom of the unknown part of one variable is equal to the degree of freedom of the known part of the other variable. Outputs whether or not.
  • the calculation unit 23 uses the n-row matrix representing the differential operator. Calculating the unknown part of the variable.
  • the differential equation includes 2n variables and 2n equations.
  • the model is transformed into a form, and the solution of the equation is calculated for the unknown part among the transformed 2n equations.
  • FIG. 69 is a flowchart showing an example of processing for setting a nodal displacement vector and a nodal external force vector on the premise that the boundary condition satisfies the self-adjoint condition in the analysis using the conventional finite element.
  • the information processing apparatus first receives an input of nodal displacement (S101).
  • S101 nodal displacement
  • the degree of freedom in which the displacement is known and its numerical value are input from the user.
  • data indicating the degree of freedom and numerical value of the nodal displacement may be read.
  • the degree of freedom is specified by, for example, the position and direction of the node.
  • the degree of freedom of the known portion Ub of the nodal displacement and its numerical value are determined (S102).
  • the degree of freedom and the numerical value of the known part Ub of the nodal displacement are determined, the degree of freedom of the unknown part Fv of the nodal external force can be automatically determined (S103). This is because, when the self-adjoint condition is satisfied, the degree of freedom of the unknown part Fv is equal to the known part Ub.
  • the degree of freedom of the unknown part Uv of the nodal displacement is obtained by subtracting the degree of freedom of the known part Ub from the total degree of freedom (S104).
  • the degree of freedom of the known part Fb is equal to the degree of freedom of the unknown part Uv. Therefore, the degree of freedom of the known part Fb is determined, and the numerical value of the known part Fb is assumed to be zero (S105). .
  • the information processing apparatus corrects the value of the known part Fb after confirming that the known part Fb of the nodal external force does not contradict the degree of freedom.
  • the degree of freedom of the external force where no value is specified.
  • the degree of freedom satisfies the self-adjoint boundary condition, it can be analyzed by the conventional finite element method based on the set nodal displacement and nodal external force (S108).
  • FIG. 70 is a flowchart showing an example of processing for setting a nodal displacement vector and a nodal external force vector that can be handled even when the boundary condition is a non-self-adjoint condition in an analysis using a finite element.
  • the boundary condition determination unit 22 of the information processing apparatus accepts input of degrees of freedom of node displacement and numerical values (S201), and determines and records the degrees of freedom and numerical values of the known part Ub of node displacement ( S202).
  • the unknown part Fv (S203) of the nodal external force, the unknown part Uv (S204) of the nodal displacement, and the known part Fb (S205) are automatically calculated.
  • zero is set to the degree of freedom of the nodal external force for which no value is specified.
  • the boundary condition determination unit 22 receives the degree of freedom of the nodal external force and numerical values (S206), and corrects the degree of freedom and the numerical values of the nodal external force Fb to the input degrees of freedom and numerical values (S207). Further, the boundary condition determination unit 22 accepts an input of an unknown part of the nodal displacement (S208).
  • the degree of freedom of a node whose displacement is unknown is input. For example, a configuration in which the user can input by designating a node and a direction on the screen may be used, or a configuration in which data indicating the degree of freedom of the unknown part may be read.
  • the boundary condition determination unit 22 corrects the degree of freedom of the unknown part Uv based on the input information (S209).
  • the boundary condition determination unit 22 accepts an input of an unknown part of the nodal external force (S210), and corrects the degree of freedom of the unknown part Fv based on the input information (S211). In S208 to S211, it is also possible to accept the designation that both the displacement and the external force are unknown parts for the same degree of freedom. That is, the boundary condition determination unit 22 can set a condition in which different variables are unknown for the same degree of freedom.
  • the determination unit 33 determines whether or not the degree of freedom satisfies the self-adjoint boundary condition (S212), and displays the determination result (S213).
  • the determination unit 33 can determine, for example, whether or not the number of degrees of freedom of the known part Ub of the nodal displacement is equal to the number of unknown parts Fv of the nodal external force. If they are equal, the self-adjoining boundary condition is satisfied, and if they are not equal, it can be determined that the self-adjoining boundary condition is not satisfied.
  • Non-self-adjoint boundary conditions can be analyzed (S215).
  • the self-adjoint boundary condition can be analyzed by a conventional finite element method (S214).
  • the analysis processing of S214 or S215 may be executed by another device.
  • the determination unit 33 determines that the self-adjoint boundary condition is satisfied in S212
  • the determination unit 33 performs the analysis process using the conventional finite element method in S214 and determines that the self-adjoint boundary condition is not satisfied.
  • information can be output to enable the analysis processing in step S215.
  • it is possible to output information such as how to obtain software and information for executing the processing of S215.
  • FIG. 71 is a flowchart showing another example of processing for setting a nodal displacement vector and a nodal external force vector that can be handled even when the boundary condition is a non-self-adjoint condition.
  • input of degrees of freedom and numerical values of nodal displacement and nodal external force is accepted, and the degree of freedom without input is set as an unknown part.
  • the boundary condition determination unit 22 receives the input of the degree of freedom of the node displacement and the numerical value (S301), and based on the input, determines the degree of freedom and the numerical value of the known part Ub of the node displacement (S302), and the unknown The degree of freedom of the part Uv is also determined (S303). Similarly, the input of the external force of the nodal point and the input of a numerical value are accepted (S304), and based on the input, the degree of freedom and the numerical value of the known part Fb of the nodal external force are determined (S305). The degree is also determined (S306).
  • the determination process (S307), the display process (S308), and the analysis process (S309, 310) can be executed in the same manner as in FIG.
  • the nodal displacement and the degree of freedom of the nodal external force that are not particularly input are set as unknown parts.
  • the user does not need to explicitly specify the unknown part, but for example, it is necessary to input to explicitly set a value of zero for a node where the displacement is desired to be zero.
  • the variable of the degree of freedom in which the user did not designate the unknown part or the known part is set to some value as the known part. This eliminates the need for the user to set whether it is unknown or known for all degrees of freedom.
  • the information processing apparatus can be configured such that, for example, the user can select which of the processes in FIG. 70 or 71 is used for input.
  • the processing examples in FIGS. 70 and 71 correspond to the two processing methods (1) and (2) described in 11.7.1.
  • FIG. 72 is a flowchart illustrating an execution example of analysis of a non-self-adjoint problem using a finite element.
  • the information processing apparatus 10c inputs a calculation model (S401). For example, a finite element model, shape, material, element, node, etc. of the structure to be processed are input.
  • the initial equation determination unit 21 creates an element stiffness matrix using the data input in S401, and creates an overall stiffness matrix by superimposing the element stiffness matrices (S405).
  • the overall stiffness matrix created here is an example of an initial equation expressed by a matrix.
  • S401 for example, two n-dimensional variable vectors indicating physical quantities at nodes of a system having n degrees of freedom and n rows of element stiffness matrices are determined.
  • the matrix can be represented by the formula (441) or the formula (449).
  • the boundary condition determination unit 22 inputs gravity load data (S403) and creates a gravity load (S405).
  • S403 for example, data indicating the value of gravity or the value of displacement applied to each degree of freedom specified by the node and direction is input.
  • the boundary condition determination unit 22 also inputs data specifying an unknown part of the nodal displacement and an unknown part of the nodal external force (S404). Based on the data input in S403 and S404, a known part and an unknown part of the nodal displacement and a known part and an unknown part of the nodal external force are created (S405). Note that the processes of S403, S404, and S405 can be executed in the same manner as the process shown in FIG. 70, for example.
  • the calculation unit 23 deforms the rigid element matrix to create a matrix used for calculation (S406). For example, based on two variable vectors with n degrees of freedom, the calculation unit 23 generates a 2n-dimensional vector, and transforms the n-row matrix into a 2n-column matrix in accordance with the 2n-dimensional vector variable. . For example, it can be transformed into a form as shown in Formula (450).
  • the computing unit 23 determines a known part including a variable that is known by a boundary condition and an unknown part including an unknown variable among the 2n-dimensional vector variables.
  • the 2n-column matrix and the 2n-dimensional vector are transformed so that the unknown part variable is represented by the known part variable.
  • the variable of the unknown part can be calculated using a matrix transformed as in Expression (452).
  • the computing unit 23 calculates the solution of the matrix equation created in S406 (S407).
  • the calculation unit 23 creates a special solution portion for the nodal displacement and a special solution portion for the nodal external force (S408).
  • a vector representing the unknown part and the known part of the special solution can be created as in Expression (936).
  • the calculation unit 23 defines a homogeneous mode coefficient (S409). For example, if the number of homogeneous solutions is n o , an n-dimensional vector ⁇ a o ⁇ can be defined as a mode variable.
  • the calculation unit 23 creates a homogeneous solution portion of the nodal displacement and a homogeneous solution portion of the nodal external force (S410). For example, as shown in Expression (937), a vector representing the unknown part and the known part of the homogeneous solution is created.
  • the calculation unit 23 determines the unknown part of the nodal displacement solution using, for example, Expression (938), and determines the unknown part of the nodal external force solution, for example, using Expression (939). If the solution can be determined uniquely as a result of the process of S411, the result is output and the analysis process is terminated (S412).
  • the optimal value of ⁇ a o ⁇ is calculated by the method of least squares.
  • the calculation unit 23 creates a matrix such as Expression (960) and Expression (961) (S413).
  • the calculation unit 23 determines the mode coefficient by solving the equation (962) for the mode coefficient ⁇ a o ⁇ (S414).
  • the computing unit 23 outputs a solution corresponding to a predetermined range of mode coefficients centered on the determined mode coefficient (S415). For example, an input of a value near the determined mode coefficient is received from the user, a solution is calculated using the mode coefficient of the input value, and the calculated solution or information obtained from the solution is output.
  • a deformation state, a stress distribution, an error distribution, and the like are output.
  • a user interface can be provided so that the user can designate a value within a predetermined range including the mode coefficient determined in S414 by operating ⁇ a o ⁇ with a slider.
  • the program for executing the processing in S408 to S410 when there are a plurality of solutions and the program for executing the processing of S401 to S407 may be provided separately. That is, a program for executing at least one step of S408 to S410 or a recording medium on which the program is recorded is also included in the embodiment of the present invention.
  • FIG. 9 is a diagram showing a result of determining how to support the outer side in order to make the inner boundary condition “zero displacement and zero surface force” in a ring under uniform gravity. .
  • the left diagram shows the stress ⁇ r
  • the center diagram shows the stress ⁇
  • the right diagram shows the shear stress ⁇ r ⁇ .
  • the result shown in FIG. 9 is a result calculated analytically without making the ring a finite element.
  • An example of a specific main simultaneous differential equation used for the analysis is shown below.
  • FIG. 10 is a diagram showing an analysis result in a case of a square under uniform gravity and the boundary condition of the upper side is “displacement is zero and surface force is zero”. That is, it is the result of the problem of how to support the other side in order to make both the displacement of the upper side of the square and the surface force zero under uniform gravity.
  • the left figure shows the stress in the horizontal direction (x direction)
  • the middle figure shows the stress in the vertical direction (y direction)
  • the right figure shows the shear stress.
  • the displacement of the upper side is kept at zero by the large stresses ⁇ x and ⁇ y acting on the lower part of the square.
  • the square is formulated as a finite element, and there is only one element.
  • P method finite element As a method that can be analyzed with one element.
  • the analysis shown in FIG. 10 is an example of a non-self-associated boundary condition, and the P-method finite element method cannot be analyzed under such a boundary condition.
  • Whether a boundary condition is given to an edge or a node depends on the formulation, but here it is formulated to give a boundary condition to a node.
  • FIG. 11 is a diagram showing an analysis result of in-plane deformation of a square flat plate with a fixed periphery.
  • the left figure in FIG. 11 shows the stress in the horizontal direction (x direction), the middle figure shows the stress in the vertical direction (y direction), and the right figure shows the shear stress. This is a self-associated boundary condition.
  • the analysis result shown in FIG. 11 is obtained by performing an analysis equivalent to the P method finite element.
  • the analysis method of the present invention is considered to include the P method. That is, if the finite element method is coded based on the present invention, the P method can be used seamlessly.
  • FIG. 12 is a diagram showing a result of analyzing deformation due to its own weight when the periphery of a square out-of-plane deformed flat plate element is fixed.
  • the square is formulated as a finite element, and there is only one element.
  • FIG. 13A is a diagram of a model of a left-end free-fixed beam
  • FIG. 13B is a diagram illustrating main eigenfunctions ⁇ 1 , ⁇ 2 , ⁇ 3 and dual eigenfunctions ⁇ 1 * , ⁇ 2 * , The calculation result of ⁇ 3 * is shown.
  • FIG. 3C is a diagram showing a solution (1 mode, 2 mode and 3 mode) and an analytical solution obtained by the eigenfunction method. The three-mode solution almost overlaps with the analytical solution.
  • FIG. 14 and FIG. 15 are diagrams showing analysis results when a square virtual boundary is defined in an infinite region and a spring (FIG. 14) or vorticity (FIG. 15) is arranged at the center.
  • the analysis results shown in FIGS. 14 and 15 show the state of the potential flow calculated by the eigenfunction method with the Dirac ⁇ function given to the right side of the above equation (12) or (13). From these figures, it can be confirmed that the internal flow is close to the analytical solution.
  • FIG. 17 shows the respective eigenfunctions normalized so that the maximum value is 1.
  • FIG. 18 shows a comparison between the analytical solution of Eq. (525) and the result obtained by the eigenfunction method of Eq. (494).
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the solid line indicates the eigenfunction method.
  • 50M indicates that 50 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the accuracy of the eigenfunction method, and the displacement u ⁇ agrees well with about 10 modes.
  • FIG. 19 shows a comparison between the analytical solution of equation (528) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (494).
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 50M indicates that 50 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the eigenfunction method accuracy, and the displacement u ⁇ agrees well with about 10 modes.
  • FIG. 20 shows a comparison between the analytical solution of equation (531) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (494).
  • the red broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 50M indicates that 50 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the eigenfunction method accuracy, and the displacement u ⁇ agrees well in about 10 modes.
  • FIG. 24 shows a comparison between the analytical solution of equation (625) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (578).
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the solid line indicates the eigenfunction method.
  • 56M indicates that up to 56 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the eigenfunction method accuracy, and the displacement u ⁇ agrees well with about 10 modes.
  • FIG. 25 shows a comparison between the analytical solution of equation (632) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (584).
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 50M indicates that 50 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the eigenfunction method accuracy, and the displacement u ⁇ agrees well with about 10 modes.
  • FIG. 27 shows the respective eigenfunctions normalized so that the maximum value is 1.
  • FIG. 28 shows a comparison between the analytical solution of equation (706) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (702).
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 30M indicates that up to 30 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the accuracy of the eigenfunction method, and the displacement u ⁇ agrees well in about 3 modes.
  • FIG. 29 shows a comparison between the analytical solution of equation (709) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (702).
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 30M indicates that up to 30 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the eigenfunction method accuracy, and the displacement u ⁇ agrees well in about 3 modes.
  • FIG. 30 shows a comparison between the analytical solution of equation (713) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (704).
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 30M indicates that up to 30 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the eigenfunction method accuracy, and the displacement u ⁇ agrees well in about 3 modes.
  • FIG. 31 shows a comparison between the analytical solution of equation (715) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (704).
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 30M indicates that up to 30 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the accuracy of the eigenfunction method, and the displacement u ⁇ agrees well in about 3 modes.
  • FIG. 35 shows a comparison between the analytical solution of equation (784) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (780).
  • each function value is plotted by a negative sign. Only the coordinate value on the vertical axis was read with the sign reversed.
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 32M indicates that 32 modes have been calculated. The more modes, the more The accuracy of the eigenfunction method is improved, and the displacement u ⁇ agrees well in about 3 modes.
  • FIG. 36 shows a comparison between the analytical solution of equation (787) and the result obtained by the eigenfunction method of equation (780).
  • each function value is plotted by a negative sign. Only the coordinate value on the vertical axis is read in reverse.
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 32M indicates that 32 modes have been calculated. The more modes, the more The accuracy of the eigenfunction method is improved, and the displacement u ⁇ agrees well in about 3 modes.
  • FIG. 37 shows a comparison between the analytical solution of Equation (790) and the result obtained by the eigenfunction method of Equation (782).
  • each function value is plotted with a negative sign. Only the coordinate value on the vertical axis is read in reverse.
  • the red broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 32M indicates that 32 modes have been calculated. It can be seen that the greater the number of modes, the better the accuracy of the eigenfunction method, and the displacement u ⁇ agrees well in about 3 modes.
  • FIG. 38 shows a comparison between the analytical solution of Equation (793) and the result obtained by the eigenfunction method of Equation (782).
  • each function value is plotted by a negative sign. Only the coordinate value on the vertical axis is read in reverse.
  • the broken line indicates the analytical solution
  • the black solid line indicates the eigenfunction method.
  • 32M indicates that 32 modes have been calculated. The more modes, the more The accuracy of the eigenfunction method is improved, and the displacement u ⁇ agrees well in about 3 modes.
  • [Other analysis results] 39 is a diagram illustrating one of solutions other than the solution illustrated in FIG. 10 among the plurality of solutions when the plurality of solutions are generated due to the eigenvalue being zero in the analysis illustrated in FIG. 10. .
  • the designer can study a method that can be realized in design.
  • 40A and 40B are examples of a plurality of solutions calculated when the displacement of the upper surface of the square plate under uniform gravity and the displacement that makes the surface force zero are analyzed using a finite element.
  • a square is formed by 6 ⁇ 6 ⁇ finite elements in the vertical and horizontal directions.
  • a circle means a node.
  • a total of 10 modes are shown. Any combination of these is the solution.
  • a plurality of solutions can be obtained by the calculation shown in the section 9.2 above.
  • the mode coefficient is linked to the slider so that a deformation diagram is displayed as the designer adjusts the mode coefficient by the slider, the designer can have any support method. It will be possible to examine the designer's image. In addition, the designer can narrow down the feasible support methods and then calculate again.
  • the calculation unit 1, the setting unit 11, the adjoint boundary condition calculation unit 12, the non-self-adjoint calculation unit 13, the self-adjoint determination unit 15, and the self-adjoint calculation unit 14 are executed by the computer processor from the memory.
  • the program and data are read and data processing is executed according to the program.
  • the calculation unit 1 may acquire design data and boundary condition data by receiving input from a user via an input device and a user interface, or may be acquired by reading from a memory.
  • the differential equation data is preferably recorded in advance in a memory accessible by the calculation unit 1.
  • the function of the calculation unit 1 can be realized by a CPU of a single computer, or can be realized by a plurality of computers capable of data communication with each other.
  • a program that causes a computer to execute the processing of the computing unit 1 and a non-transitrory that records the program ) is also included in the embodiment of the present invention.
  • present invention is not limited to the first to fourth embodiments.
  • the present invention can be applied to all types of analysis using differential equations such as structural analysis, vibration analysis, electromagnetic field analysis, material analysis, fluid analysis, temperature analysis, sound field analysis, electromagnetic analysis, circuit simulator, and the like.
  • the differential equation of elasticity is expressed by equations (1) and (2). It becomes. Using these equations, the left side of (123) is It is. Using these stress components, if equation (819) is expressed, It becomes. From the partial integration formula (817), It becomes. The variational direct method of (123) means that this is zero. Get Both Eqs. (132) and (829) are none other than the variational direct method, but in the past they were called the virtual work principle.
  • Shape Function Figure 8 in Section 8.1 shows the node arrangement of a 16-node quadrilateral element. Although this can be used for the h method, the node arrangement of a 4-node quadrilateral element, which is a more typical element, is shown in FIG.
  • strain component is calculated from equations (4) to (6).
  • Strain energy Strain energy U is expressed by equation (130). It is. This is used on the left side of the energy conservation law (837) and doubles to represent the left side of (838).
  • the strain energy eng inside the element is Can be obtained at In the above equation, the energy U and the nodal displacement U are the same symbol, which is confusing, but the U on the left side represents the strain energy, and the two ⁇ U ⁇ appearing on the right side represent the nodal displacement.
  • the integral term in the above equation It can be calculated by.
  • Element stiffness matrix [K elm ] per unit thickness This represents the energy equivalence between the nodal displacement U and the equivalent nodal force F.
  • Equation (865) After dividing the object to be analyzed into an enormous number of elements, formula (865) is created for each element, and the overall system equation is constructed while paying attention to the shared nodes. It becomes.
  • N is the total number of degrees of freedom of the entire system. Equation (434) expresses the total degree of freedom N as n.
  • the method of recognizing this as a balance of forces is the linear elastic finite element method by the h method, that is, the conventional method.
  • Equation (865) If you take a close look at the procedure for obtaining Equation (865), you can see that the variational calculation is not used anywhere and no virtual displacement appears. Many textbooks explain that Eq. (829) is calculated and Eq. (865) is obtained, but in reality it is not, and the laws of energy conservation (837) and (838) are used. There is. Therefore, it makes more sense to understand that (866) and (434) represent energy equivalence rather than understanding force balance.
  • the equivalent nodal force F per unit thickness is given by It is. Each is obtained by integrating the surface force on the element boundary.
  • the equivalent nodal force F per unit thickness is given by equation (861). It is. This is obtained by placing the strain energy inside the element equal to the work by the equivalent nodal force.
  • the stiffness matrix for the new finite element consists of two [K U ] and [K O ], whereas the stiffness matrix for the h-method element consists of one [K eng ]. From the details, that is, the calculation methods of (212), (213) and (853), the two new and old stiffness matrices are completely different in nature, and the effect of the correction function, ie, [K O ] can be ignored. For example, you can see that they are not the same.
  • In-element displacement u j is expressed by equation (845). It is. As isoparametric element, it causes the interpolation function number chi Ai matches the shape functions N i. U ij is a nodal displacement, and the arrangement of various matrices is determined according to the nodal displacement. From equations (192) and (193), It is. Therefore, It becomes.
  • equation (870) can be calculated, It becomes. here, obviously, It is. Also, It is.
  • Equation (870) For the element stiffness matrix [K elm ] per unit thickness, substituting (876) into (864), It is common to define Using the above equation is a bit cumbersome because it is necessary to rewrite the matrix elements in the plane stress state and the plane strain state. However, it is necessary to show the formulas often seen in textbooks and to know the correspondence between them and formula (893), so the matrix elements of both are described below. As a result, you will find that (893), which does not need to distinguish between the two, is easier to handle.
  • the nodal displacement U is calculated from the equations (934) and (938). If we define and, It is. Here, n is the number of degrees of freedom of one element. Since it is confusing when the same symbol n is used, replace the symbol as follows. If the total number of degrees of freedom when the entire structure is divided into meshes and expressed in terms of h-method elements is n T , Eq. (943) is It becomes. The above equation represents the displacement distribution within the element, and it can be seen that it is a function of the mode coefficient ⁇ a O ⁇ .
  • formulation using conventional elements (442)
  • the solution is obtained as follows. It is a solution that can handle both unique and multiple solutions, which is a structural feature. These items are common features consistent with both solutions.
  • Figure 42 shows the deformation and stress distribution when a uniform gravity load fy is applied.
  • the load coefficients c x and cy are The displacement is made dimensionless with the outer diameter R.
  • Subscript B is added to a term that satisfies the inhomogeneous boundary condition, and u Bj is added, and a term that satisfies the homogeneous boundary condition is added to subscript H and u Hj is set.
  • the main displacement u j is the sum, Get The inner product of this and the function u Hi * that satisfies the homogeneous adjoint boundary condition is It becomes.
  • This consists of the functional system of (1110), and the combination of ⁇ x and ⁇ y that satisfies (1128) satisfies the above simultaneous differential equation.
  • (1163) and (1164) are as follows: It becomes. This consists of the functional system of (1112), and the combination of ⁇ x and ⁇ y that satisfies (1128) satisfies the simultaneous differential equation of the above equation.
  • the equations (1089) and (1090) of the dual simultaneous differential equations are Can be transformed.
  • ⁇ 2 in (1100) Get Substituting this into the dual simultaneous differential equations (1089) and (1090), It becomes.
  • This is composed of the functional system of (1110), and the combination of ⁇ x * and ⁇ y * that satisfies (1144) satisfies the above simultaneous differential equation.
  • the solution ⁇ x * , ⁇ y * is expressed by equation (1111) (1195) and (1196) are as follows: It becomes. This indicates that the combination of ⁇ x * and ⁇ y * , which is composed of the function system of the formula (1112) and satisfies the formula (1144), satisfies the simultaneous differential equation of the above formula.
  • the function ⁇ oe is a function that is vertically symmetric (symmetric with respect to the x axis) and antisymmetric with respect to the left and right (antisymmetric with respect to the y axis).
  • the odd function (odd) is in the x direction
  • the even function (even) is in the y direction.
  • the functions are antisymmetric vertically (antisymmetric to the x axis) and antisymmetric to the left and right (antisymmetric to the y axis). That is, the odd function (odd) is in the x direction and the odd function (odd) is in the y direction. Take the initial letter and add the subscript oo.
  • the function ⁇ eo is a function that is antisymmetric vertically (antisymmetric to the x axis) and symmetrical (symmetric to the y axis). That is, an even function (even) in the x direction and an odd function (odd) in the y direction. Take the initial letter and add the subscript eo.
  • [AS] asymmetric form of the function phi xoo the x-direction displacements (1214) equation, when the displacement in the y direction (1210) represented in the form of a function phi yee of formula, variations in x-axis as 44 in FIG. (asymmetry), symmetry about the y-axis. Taking the initial letter, such a transformation is called mode AS. A function combination AS representing this deformation is expressed as Define with subscript AS.
  • mode SS Taking the initial letter, such a transformation is called mode SS.
  • the function combination ⁇ ss representing this deformation is expressed as As shown, it is defined with a subscript SS.
  • Eigenvalues omega 1, represented as omega are collectively omega 2, (1108), a solution with a first kind modified Bessel function I m of (1112) equation, in accordance with (1209) equation, It expresses.
  • the main variables of these functions are r and ⁇ , and n and ⁇ are auxiliary variables. If all these variables are written, the formula becomes long, so only the variables of interest are written below. For example, if r changes on both sides of the equation but r, ⁇ , and ⁇ do not change, the argument is expressed as (n). Then the derivative is Is obtained.
  • the eigenvalues ⁇ 1 and ⁇ 2 are generically expressed as ⁇ , and a solution using the second type modified Bessel function K m of the equations (1108) and (1112) is expressed by the equation (1209), It expresses.
  • the main variables of these functions are r and ⁇ , and n and ⁇ are auxiliary variables. If all these variables are written, the formula becomes long, so only the variables of interest are written below. For example, if r changes on both sides of the equation but r, ⁇ , and ⁇ do not change, the argument is expressed as (n). Then the derivative is Is obtained. Furthermore, from equations (1358) to (1361), Is obtained.
  • the mode SA includes J 1SA in the expression (1250), J 2SA in the expression (1262), Y 1SA in the expression (1294), Y 2SA in the expression (1306), I 1SA in the expression (1338), and I 1SA in the expression (1350).
  • the mode SS includes J 1SS in the expression (1252), J 2SS in the expression (1264), Y 1SS in the expression (1296), Y 2SS in the expression (1308), I 1SS in the expression (1340), and I 1SS in the expression (1352).
  • a total of 8 sets belong to I 2SS , K 1SS of equation (1384), and K 2SS of equation (1396). Since it is a solution function for any integer n, the total number is 8n.
  • (1) For J 1SS It becomes. Convert (1462) by (969) and (970), Get (2) For J2SS , It becomes. (1466) is converted by (969) and (970), Get (3) For Y 1SS , It becomes.
  • the mode AA includes J 1AA in the formula (1253), J 2AA in the formula (1265), Y 1AA in the formula (1297), Y 2AA in the formula (1309), I 1AA in the formula (1341), I 1AA in the formula (1353) A total of 8 sets of I 2AA , K 1AA of the formula (1385), and K 2AA of the formula (1397) belong. Since it is a solution function for any integer n, the total number is 8n. (1) For J 1AA , It becomes. (1494) is transformed by (969) and (970), Get (2) For J2AA , It becomes. (1498) is transformed by (969) and (970), Get (3) For Y 1AA , Get (4) For Y 2AA , It becomes.
  • the main eigenfunction, dual eigenfunction, and stress function based on them are collectively denoted as F.
  • the coefficient c J1 is added to J 1AS in the formula (1251)
  • the coefficient c J2 is set to J 2AS in the formula (1263)
  • the coefficient c Y1 is set to the Y 1AS in the formula (1295)
  • the coefficient is set to Y 2AS in the formula (1307).
  • the c Y2 the coefficients c I1 to (1339) formula I 1AS, the coefficients c I1 to (1351) formula I 2AS, a coefficient c K1 to (1383) equation K 1AS, (1395) equation K 2AS Are multiplied by the coefficient c K2 and added together to make it equal to F.
  • J 1AS is expressed by (1432) and (1433)
  • J 2AS is expressed by (1436) and (1437)
  • Y 1AS (1440) and (1441) Y 2AS in (1444) and (1445)
  • I 1AS in (1448) and (1449) I 2AS in (1452) and (1453)
  • K 1AS is expressed by (1456) and (1457)
  • K 2AS is expressed by (1460) and (1461), respectively.
  • the first and second columns of A are obviously, It is.
  • the third and fourth columns of A are obviously, It is.
  • the fifth and sixth columns of A are obviously, It is.
  • the seventh and eighth columns of A are obviously, It is.
  • the determinant of A is a function of ⁇ 1 and ⁇ 2 , but from the equations (1533) and (1534), it is eventually a function of the eigenvalue ⁇ .
  • Eigenvalue ⁇ is obtained by solving the eigen equation with determinant zero.
  • an eigenvector c F corresponding to the eigenvalue ⁇ is obtained from the equation (1531).
  • the eigen equations and eigenvectors are very long and unfortunately cannot be described here. However, the solved results can be described numerically.
  • the four eigenvalues ⁇ from the lower order are: In the vicinity. If the eigenvector c F corresponding to each eigenvalue ⁇ is obtained and substituted into the equation (1530), F is determined. F includes a main eigenfunction, a dual eigenfunction, and a stress function based on them.
  • the upper row shows the main eigenfunction, and the surface force is zero and the displacement is zero on the inner side.
  • the bottom is a dual eigenfunction, with zero surface force and zero displacement at the outer edge.
  • the upper deformation is very similar to that of the analytical solution in Fig. 42, but the stress distribution is quite different. For example, while the distribution of the stresses sigma tau in the analysis solution has been seen, it is seen the distribution of similar stresses sigma theta is the main eigenfunction.
  • the upper row shows the main eigenfunction, and the surface force is zero and the displacement is zero on the inner side.
  • the bottom is a dual eigenfunction, with zero surface force and zero displacement at the outer edge. Paying attention to ⁇ ⁇ by the main eigenfunction, it can be seen that the distribution is very similar to the state of ⁇ ⁇ in the first mode. In addition, distribution of ⁇ ⁇ is it can also be seen, which is similar to the analytical solution. Therefore, it can be expected that the difference between the first mode and the second mode will be similar to the analytical solution.
  • the state of deformation is somewhat complicated.
  • the solution is obtained by the eigenfunction method in section 5.1. Like the analytical solution of 11.4.10 Section, weighting factors c x, a c y, The displacement is made dimensionless with the outer diameter R.
  • Figure 52 shows the calculation results up to the third mode. It can be seen that the distribution of stress ⁇ ⁇ is approaching the analytical solution.
  • Fig. 53 shows the calculation results using up to the 10th mode. It can be seen that the stress distribution is approaching the analytical solution.
  • Figure 54 shows the calculation results using up to the 30th mode. The results are almost the same as the results up to the 10th mode, and the stress distribution and deformation are generally close to the analytical solution.
  • Figure 55 shows the dimensionless velocity with the observation area as a square.
  • Fig. 56 shows the dimensionless speed of the observation area as a square.
  • FIGS. 57 to 64 show the first mode of the main eigenfunction and dual eigenfunction (1) to (8).
  • residual flow is expressed by u Bj of the homogeneous solution part.
  • the special solution part is expressed only by the eigenfunction F 1 11SS of the equation (1704), and the eigenvalue is

Abstract

連立微分方程式で表された非自己随伴問題の解を算出することを可能にする。 解析装置１０は、解析対象の原初微分作用素及び変位の境界条件を設定する設定部１１と、境界条件から随伴境界条件を計算する随伴境界条件演算部１２と、原初微分作用素から主微分作用素及び双対微分作用素を計算し、主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、境界条件及び随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する非自己随伴演算部１３とを備える。

Description

解析装置、解析方法及び解析プログラム
　本発明は、連続体等の解析対象の運動を微分方程式で表し、境界条件に応じた解を計算することにより、連続体の運動又は状態を解析する技術に関する。
　連続体の運動は連立偏微分方程式で記述されるのが通例で，各種境界条件に応じた解を得る事が目的となる。工学的には自己随伴問題を取り扱う事が多く，それに適した様々な解法が研究されており，なかでもヒルベルトの展開定理に基づく固有関数法が有用で，応用例も豊富にある。これに比べて，非自己随伴問題についての研究例は極めて少ないが，シュミットの展開定理（例えば、非特許文献１、２参照）に基づく固有関数法が存在する。さらに，ミフリン（例えば、非特許文献３、４参照）は，この固有関数を用いれば最小２乗法が正解を与える事を示している。しかし，これらの定理は積分方程式論の範疇にあって境界条件が積分核に埋め込まれる為，汎用法としては利用しづらい面がある。また，複数の未知関数を解く連立方程式の形ではない事も一因となり，必然的に，応用例も限られている。
R．クーラン，D．ヒルベルト；齋藤利弥，丸山滋弥 共訳：数理物理学の方法１，東京図書，初版1959． Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen． I．, Math． Ann． Bd． 63, 1907, pp．433-476． B．A．フィンレイソン；鷲津久一郎,山本善之,川井忠彦 共訳：重みつき残差法と変分原理，培風館，1974． S．G．Mikhlin; translated by T．Boddington: Variational Methods in Mathematical Physics， Pergamon Press，1964．
　弾性学，振動学，材料力学，構造力学などの分野では，理論体系の根幹に仮想仕事の原理が据えられる為，内容が自己随伴問題に偏っているのが現状であり，非自己随伴問題の存在すら認識されていない感がある。しかし，実際には非自己随伴問題は数多く存在するので，仮想仕事の原理の持つ曖昧性を認識して，より高い視点から力学の体系を再構築し，その可能性を幅広く奥深く伸展させ，更なる発展を誘う事が必要である。
　そこで、本発明は、連立微分方程式で表された非自己随伴問題の解を算出することできる、解析装置、解析方法、及び解析プログラムを提供することを目的とする。
　本願開示の解析装置は、解析対象に対する原初微分作用素Ｌｉｊを表すデータを用いて，前記解析対象の微分方程式の解を求める解析装置であって，解析対象へ働く力をｆｉ、双対変位ｕｉ ＊の変分のことを双対変分δｕｉ ＊とするとき，下記式によって，解ｕｊを計算する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
固有関数と微分作用素や境界条件との関係を示す図 第１の実施形態の解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図 第２の実施形態における解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図 図３に示す解析装置の動作例を示すフローチャート 第３の実施形態における解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図 図５に示す解析装置１０ｂの動作例を示すフローチャート 第４の実施形態における解析装置の動作例を示すフローチャート １６節点四角形の要素の例を示す図 一様重力下の円環で「変位ゼロかつ表面力ゼロ」を境界条件とする解析結果を示す図 一様重力下の正方形で、上辺の境界条件を「変位ゼロかつ表面力ゼロ」とした場合の解析結果を示す図 周辺を固着した正方形の平板の面内変形の解析結果を示す図 正方形の面外変形平板要素の周辺を固着した場合の自重による変形を解析した結果を示す図 左端自由固着の梁のモデルを図 図１３Ａに示す梁の主固有関数φ１、φ２、φ３、及び双対固有関数φ１ ＊、φ２ ＊、φ３ ＊の計算結果を示す図 固有関数法により求めた解および解析解を示す図 無限領域に正方形の仮想境界を定義し，その中心に湧き出しを配置した場合の解析結果を示す図 無限領域に正方形の仮想境界を定義し，その中心に渦度を配置した場合の解析結果を示す図 ばね減衰系の例を示す図 固有関数の例を示す図 (525)式の解析解と，(494)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (528)式の解析解と，(494)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (531)式の解析解と，(494)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 質点ばね系の例を示す図 (610)式でのそれぞれの固有関数を示す図 (611)式でのそれぞれの固有関数を示す図 (625)式の解析解と，(578)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (632)式の解析解と，(584)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 弦の静たわみの例を示す図 固有関数の例を示す図 (706)式の解析解と、(702)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (709)式の解析解と、(702)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (713)式の解析解と、(704)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (715)式の解析解と、(704)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 梁の静たわみの例を示す図 固有関数の例を示す図 固有関数の例を示す図 (784)式の解析解と，(780)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (787)式の解析解と、(780)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (790)式の解析解と、(782)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 (793)式の解析解と、(782)式の固有関数法で得た結果の比較を示す図 複数の解のうちの一例を示す解以外の解の一つを示す図 有限要素を用いて解析した場合に計算される複数の解の例を示す図 有限要素を用いて解析した場合に計算される複数の解の例を示す図 ４節点形状関数のための２６節点を示す図 円環の変形と応力の解析解を示す図 モードＳＡの変形を示す図 モードＡＳの変形を示す図 モードＳＳの変形を示す図 モードＡＡの変形を示す図 円環の第１モードを示す図 円環の第２モードを示す図 円環の第３モードを示す図 円環の第４モードを示す図 ２モードを用いた場合の変形と応力分布を示す図 ３モードを用いた場合の変形と応力分布を示す図 １０モードを用いた場合の変形と応力分布を示す図 ３０モードを用いた場合の変形と応力分布を示す図 湧き出しの無次元速度の様子を示す図 渦度の無次元速度の様子を示す図 関数(1)の第１モード(m=1,N=1)を示す図 関数(2)の第１モード(m=1,N=1)を示す図 関数(3)の第１モード(m=1,N=1)を示す図 関数(4)の第１モード(m=1,N=1)を示す図 関数(5)の第１モード(m=1,N=1)を示す図 関数(6)の第１モード(m=1,N=1)を示す図 関数(7)の第１モード(m=1,N=1)を示す図 関数(8)の第１モード(m=1,N=1)を示す図 固有関数法を用いた湧き出しの速度分布を示す図 固有関数法と解析解の湧き出しの速度分布の差を示す図 情報処理装置の構成例を示す図 情報処理装置の構成例を示す図 境界条件設定処理の例を示すフローチャート 境界条件設定処理の例を示すフローチャート 境界条件設定処理の例を示すフローチャート 解析処理の例を示すフローチャート
１．緒言
　ここで，連立偏微分方程式で表された非自己随伴問題を解く為の，新しい固有関数法を示す。次に，本手法と最小２乗法，変分直接法，弾性学のエネルギ原理との関係について論じる。その後，仮想仕事の原理及び有限要素定式化の深部について論じる。さらに、２次元弾性体の有限要素の定式化について述べる。

２．　連立偏微分方程式
　２．１　用語と造語
　固有関数と微分作用素や境界条件との関係について，必要な用語や造語を図１に示す。
　解きたい問題を主問題[Primal Problem]と呼ぶ。これに与えられた非同次境界条件[Inhomogeneous Boundary Condition]から同次境界条件[Homogeneous Boundary Condition]が定まる。同じ同次境界条件を持つ問題は多数あり，境界条件の和を算法とする加群を成す。これを表の群[Heads Group]と呼ぶ。即ち，主問題の非同次境界条件が，要素のひとつ
として，表の群に含まれる。主問題の解関数を主解[Primal Solution]と呼び，この変分
を主変分[Primal Variation]と呼ぶ。
　内積[Inner Product]の部分積分により，原初微分作用素[Original Differential Operator]からは随伴微分作用素[Adjoint Differential Operator]が定まり,境界項をゼロと
する条件からは同次随伴境界条件[Homogeneous Adjoint Boundary Condition]が定まる。同じ同次随伴境界条件を持つ問題は多数あり，同様に加群を成す。これを裏の群[Tails Group]と呼ぶ。その要素のひとつを非同次随伴境界条件[Inhomogeneous Adjoint Boundary
 Condition]と呼び，これを与える問題を双対問題[Dual Problem]と呼ぶ。双対問題の解
関数を双対解[Dual Solution]と呼び，この変分を双対変分[Dual Variation]と呼ぶ。内
積を通じて，両群は表裏一体に結ばれる。
２．２　自己随伴作用素の例　（弾性体の静的釣合）
　２次元弾性体の静的釣合方程式は，直交座標系で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
 となる。ここで，ｕｘ，ｕｙはｘ，ｙ方向の変位で，求解により主解となる。ｂｘ，ｂｙはｘ，ｙ方向の単位体積あたりの物体力，Ｇは剛性率である。ポアソン比をνとして，定数μは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
 である。
　平面応力，平面ひずみ状態共に，変位ひずみ関係は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
 であり，応力ひずみ関係は， 
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
となる。よって，応力成分は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
 となり，境界面の外向き単位法線ベクトルの成分をｎｘ，ｎｙとして，表面力ｐｘ，ｐｙは，コーシーの公式から，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
である。(1)～(14)式のように定数μを用いた表式により，平面応力状態と平面ひずみ状
態を統一的に取り扱えるようになる。(1),(2)式の微分作用素を原初微分作用素Ｌｉｊと
呼び，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
 と定義すると，次章の部分積分により随伴微分作用素Ｌｉｊ ＊は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
 となる。この例のように，
　Ｌｉｊ ＊＝Ｌｉｊ　　　　
となる場合を自己随伴な微分作用素と呼ぶ。
　２．３　非自己随伴作用素の例　（ポテンシャル流れ）
　２次元ポテンシャル流れの問題を，速度ポテンシャルを用いずに，速度だけで解こうとすれば，直交座標系で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
 の連立偏微分方程式となる。ここで，ｕｘ，ｕｙはｘ，ｙ方向の速度で，求解により主解となる。(18),(19)式の微分作用素を原初微分作用素Ｌｉｊと呼び，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
 と定義すると，次章の部分積分により随伴微分作用素Ｌｉｊ ＊は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
 となる。この例のように，
　　Ｌｉｊ ＊ ≠Ｌｉｊ　　(22)
となる場合を非自己随伴な微分作用素と呼ぶ。
３．主問題と双対問題
　３．１　境界条件の同次化
　以降は，前章の弾性体の例に題材を絞って記す。主解となる変位ｕｘ，ｕｙを主変位と呼びｕ１，ｕ２と書く。方程式の右辺をｆ１，ｆ２と書けば，連立偏微分方程式(1),(2)
は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000016
 　となる。非同次境界条件を満たす項に添字Ｂを付けてｕＢｊとおき，同次境界条件を満たす項に添字Ｈを付けてｕＨｊとおく。主解ｕｊをその和で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
 と表す。(10)～(14)式および上式に従って，応力や表面力もｕＢｊあるいはｕＨｊから成る項に分かれて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
 となる。ｕＨｊ，ｐＨｊは同次境界条件を満たす未知関数であるが，ｐＨｊはｕＨｊで表現されるから，最終的な未知関数はｕＨｊのみである。同様に，ｕＢｊ，ｐＢｊは非同次境界条件を満たす既知関数であるが，ｐＢｊはｕＢｊで表現されるから，最終的な既知関数はｕＢｊのみである。ｕＢｊが(23)式を満たすとは限らず，(24)式の形で(23)式を満たす。(24)式を(23)式に代入して，同次境界条件で表された連立偏微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
 である。以上の手順は，微分方程式を解く為の常套手段で，既知関数ｕＢｊに応じた未知関数ｕＨｊを求める問題にすり替わる。
　３．２　双対変位
　双対解となる変位を双対変位ｕｊ ＊と呼ぶ。前節同様に，非同次随伴境界条件を満たす項ｕＢｊ ＊と同次随伴境界条件を満たす項ｕＨｊ ＊の和で，双対変位ｕｊ ＊を，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000020
 と表す。(10)～(14)式および上式に従って，応力や表面力もｕＢｊ ＊あるいはｕＨｊ ＊から成る項に分かれて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000021
 となる。ｕＨｊ ＊，ｐＨｊ ＊は同次随伴境界条件を満たす未知関数であるが，ｐＨｊ ＊は
ｕＨｊ ＊で表現されるから，最終的な未知関数はｕＨｊ ＊のみである。同様に，ｕＢｊ ＊，ｐＢｊ ＊は非同次随伴境界条件を満たす既知関数であるが，ｐＢｊ ＊はｕＢｊ ＊で表現されるから，最終的な既知関数はｕＢｊ ＊のみである。
　３．３　部分積分
　境界表面をｃ，内部領域をｓとする。方程式(23)に双対変位ｕｉ ＊を乗じた積分和，即ち，内積は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000022
 となる。左辺を部分積分して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000023
 となる。ここで，Rは境界項で，前章の弾性体の場合には，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000024
 である。同次化された連立偏微分方程式(40)と関数ｕＨｊ ＊との内積は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000025
 となる。左辺を部分積分して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000026
 となる。ここで，ＲＨは境界項で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000027
 である。非同次境界条件と非同次随伴境界条件が共にゼロの場合には，(60)式と(63)式は一致する。同次境界条件がｕＨｉ，ｐＨｉに課された下で，境界項ＲＨをゼロとする条件，即ち，同次随伴境界条件がｕＨｉ ＊，ｐＨｉ ＊に課される。その結果，(62)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000028
 となる。
３．４　主問題と双対問題の関係
　(59),(64)式右辺の作用素に着目して，双対問題の連立偏微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000029
 を定義する。上式右辺のｆｉ ＊は，双対問題の外力である。上式に(42)式を代入して，双対問題の，同次化された連立偏微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000030
である。(64)式に(40),(66)式を代入して，関係式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000031
 を得る。これは，(主,双対)問題の解関数ｕＨｉ，ｕＨｉ ＊と，外力項ｆＨｉ，ｆＨｉ ＊
との間に成り立つ関係を示している。
４．連立固有値問題
　４．１関数群
　同次境界条件を満足する関数群をφｊとおき，この群のｋ番目の関数をφｊｋと書いて，解関数ｕＨｊをその和で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000032
 と表す。同様に，同次随伴境界条件を満足する関数群をφｉ ＊とおき，ｋ番目の関数をφｉ ＊と書いて，解関数ｕＨｊ ＊をその和で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000033
 と表す。ここで，ｃｋ，ｃｋ ＊はｋ次の係数である。ルベーグの意味で「ほとんど至る所等しい」解関数を得る為には，関数群φｊ，φｊ ＊を固有関数とすべきである。また，(68)式に着目すれば，外力項ｆＨｊを関数群φｊ ＊から構成し，外力項ｆＨｊ ＊を関数群φｊから構成する事により，内積を通じて，係数ｃｋ，ｃｋ ＊間に関係が生じる事も判る。
４．２　関数群による応力と表面力
　応力を表す(27),(30),(33)式に(69)式を代入すれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000034
 となる。よって，関数群φｊにより生じる応力に添字Ｅを付けてσＥｘ，σＥｙ，τＥｘｙと表すと，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000035
 となる。関数群φにより生じる表面力ｐＥｘ，ｐＥｙは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000036
 となる。これは，関数群φｊによる表面力ｐＥxに，境界条件を満足させる為の準備であ
る。
　同様に，応力を表す(45),(48),(51)式に(70)式を代入すれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000037
 となる。よって，関数群φｊ ＊により生じる応力をσＥｘ ＊，σＥｙ ＊，τＥｘｙ ＊，と表すと，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000038
 となる。関数群φｊ ＊により生じる表面力ｐＥｘ ＊，ｐＥｙ ＊，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000039
 となる。これは，関数群φｊ ＊による表面力ｐＥｉ ＊に，境界条件を満足させる為の準備である。
４．３　(主,双対)連立微分方程式と(主,双対)連立固有値問題
　4.1節の知見により，同次化された微分方程式(40)に注目して，主連立微分方程式[Primal Simultaneous Differential Equations]
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000040
 を定義する。さらに，微分方程式(66)に注目して，双対連立微分方程式[Dual Simultaneous Differential Equations]
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000041
 を定義する。ここで，ｗｉ，ｗｉ ＊は定数で重み，λ，λ＊は定数でいずれ固有値となる。
　主連立微分方程式(87)とφｉ ＊との内積は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000042
 となる。左辺を部分積分して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000043
 となる。ここで，REは境界項で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000044
 である。4.1節により，同次境界条件がφｉ，ｐＥｉに課され，同次随伴境界条件がφｉ
＊，ｐＥｉ ＊に課される為，境界項ＲＥはゼロとなる。よって，(88)式により，(90)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000045
 となる。(89)式と(92)式の左辺は同じであるから，その右辺に注目して，
λ＊＝λ　　　(93)
となるようにλ,λ＊を定めれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000046
 を得る。即ち，(93)式の下で関数φｉ，φｉ ＊の重み付き内積は等しい。
　一方，主連立微分方程式(87)と双対連立微分方程式(88)を相互に代入すれば，２つの連立固有値問題
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000047
 が得られる。これらは，共に，固有値がλ２となる連立固有値問題である。(98)式を主連立固有値問題[Primal Simultaneous Eigenvalue Problem]，(99)式を双対連立固有値問題[Dual Simultaneous Eigenvalue Problem]と呼ぶ。関数φｉを主固有関数[Primal Eigenfunction]，φｉ＊を双対固有関数[Dual Eigenfunction]と呼ぶ。左辺の作用素をそれぞれ，主微分作用素[Primal Differential Operator]，双対微分作用素[Dual Differential Operator]と呼ぶ。(主,双対)微分作用素は共に自己随伴な微分作用素である。
　さて，関数φｉには同次境界条件が，関数φｉ ＊には同次随伴境界条件が課されている。主連立微分方程式(87)の右辺には関数φｉ ＊がある為，関数φｉは同次境界条件を満たすと共に，その微分係数の和ΣｊＬｉｊφｊが同次随伴境界条件を満たす必要がある。これらを合わせて主境界条件[Primal Boundary Condition]と呼ぶ。双対連立微分方程式(88)の右辺には関数φｉがある為，関数φｉ ＊は同次随伴境界条件を満たすと共に，その微
分係数の和ΣｊＬｉｊ ＊φｊ ＊が同次境界条件を満たす必要がある。これらを合わせて双対境界条件[Dual Boundary Condition]と呼ぶ。(主,双対)境界条件は共に自己随伴な境界条件である。
　これらの境界条件を課された(98)式のφｉおよび(99)式のφｉ ＊はそれぞれ直交性を有し，ヒルベルト空間の基底関数を構成する。例えば，ｍ次の固有値と主固有関数をλｍ、φｉｍとおき，ｎ次の固有値と主固有関数をλｎ，φｉｎとおくと，内積の演算から，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000048
 となるから，主固有関数φｉに直交性がある事を知る。同様にして，ｍ次の固有値と双対固有関数をλｍ，φｉｍ ＊とおき，ｎ次の固有値と双対固有関数をλｎ，φｉｎ ＊とおくと，内積の演算から，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000049
 となるから，双対固有関数φｉ ＊にも直交性がある事を知る。
　よって，(94),(97)式を考慮すれば，クロネッカーのデルタをδｍｎとして，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000050
 となるよう，関数φｉ，φｉ ＊を正規化しておける。
　４．４　固有関数法への準備
　主連立微分方程式 (87)は，(93),(97)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000051
 となる。双対連立微分方程式(88)は，変形なく，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000052
である。次章の固有関数法に用いる関数φｉ，φｉ ＊は，(主,双対)連立微分方程式(105),(106)を満たす組合せとする。ただし，φｉはそのままで，λとφｉ ＊の符号を反転させた組合せも要件を満たすが，この組合せは排除する。
　原初微分作用素Ｌｉｊと同次境界条件が共に自己随伴な場合には，(105)式と(106)式は一致して，自己随伴連立固有値問題[Self-Adjoint Simultaneous Eigenvalue Problem]
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000053
 となる。上式はチモシェンコ梁やミンドリン平板などの固有振動を表す形式で，固有関数法から直接，(123)式を導く鍵となる。
５．固有関数法と最小２乗法
　５．１固有関数法
　５．１．１　主問題
　同次化された微分方程式(40)に(69)式を代入して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000054
 となる。上式は，主連立微分方程式(105)により，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000055
 となる。ここで，λｋはｋ次の固有値である。関数φｉ＊と内積をとって直交性を利用すれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000056
 となる。これにより，係数ｃｋが定まる(104)式の正規化によって，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000057
 となり，外力項ｆＨｉと双対固有関数ｆＨｉ ＊の内積から係数ｃｋが定まる事を知る。これを(69)式に戻して変位ｕＨｊを得，ｕＨｊを(24)式に戻せば変位ｕｊを得る。一方，(109)式に戻せば外力項ｆＨｉが再構成され検証に役立つ。即ち，(111)式の解法は，変位ｕＨｊを主固有関数φｉで，外力項ｆＨｉを双対固有関数φｉ *で表現する，ヒルベルト空
間での固有関数法である。
　５．１．２　双対問題
　同次化された微分方程式(66)に(70)式を代入して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000058
となる。上式は，双対連立微分方程式(106)により，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000059
となる。関数φｉと内積をとって直交性を利用すれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000060
 となる。これにより，係数ｃｋ ＊が定まる。(104)式の正規化によって，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000061
となり，外力項ｆＨｉ ＊と主固有関数φｉの内積から係数ｃｋ ＊が定まる事を知る。これを(70)式に戻して変位ｕＨｊ ＊を得，ｕＨｊ ＊を (42)式に戻せば変位ｕｊ ＊を得る。一
方， (113)式に戻せば外力項ｆＨｉ ＊が再構成され検証に役立つ。即ち，(115)式の解法
は，変位ｕＨｊ ＊を双対固有関数φｉ ＊で，外力項ｆＨｉ ＊を主固有関数φｉで表現する，ヒルベルト空間での固有関数法である。
　５．１．３　双対原理
　ここで改めて図１を熟視すれば，あたかもコインの如く表裏一体の構造は，原初微分作用素がその材質に，同次境界条件が表裏紋様の礎に当り，これに内在する固有値と(主,双対)固有関数が解法の主役を演ずる事が判る。
　また，双対問題から出発すると逆向きに同様な関係が得られる為，その求解に，(主,双対)固有関数を反転利用できる事も判る。即ち，図１は連立偏微分方程式の双対原理を示
している。「双対」の名を冠した根拠は，上記の特徴「表裏一体・反転利用」にある。
　５．２　変分直接法と最小２乗法
　主変分[Primal Variation]δｕｉは(24)式，双対変分[Dual Variation]δｕｉ ＊は(42)式より，それぞれ，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000062
 となる。非同次の境界条件を満たす項は既知関数の為，上式では，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000063
 を用いた。結局，(69),(116)式及び，(70),(117)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000064
 を得る。これは，主変分δｕｉを主固有関数φｉ ＊で，双対変分δｕｉ ＊を双対固有関数φｉ ＊で表現した式に他ならない。よって，(110)式を得る過程で用いた，関数φｉ ＊と
内積をとる手順を複数組み合わせる事は，(121)式の双対変分δｕｉ ＊と内積をとる事と
等価である。即ち，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000065
 が成立する。逆に言えば，様々なδｕｉ ＊に対して上式を作成し，連立方程式を代数的に解く事で，係数ｃｋが定められる。
　また，自己随伴問題の場合には(107)式を通じて(主,双対)固有関数φｉ,φｉ ＊では一
致するから，(120),(121)式も同等になり，(122)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000066
 となる。
　一方，(105),(120)式により，主変分δｕｉの微分係数の和について，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000067
 を得る。成分ごとに同じ重みｗを用いた(主,双対)固有関数では，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000068
 と定義できるから，(121),(124),(125)式より，双対変分δｕｉ ＊を，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000069
 と認識できる。(122)式に上式を代入して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000070
 を得る。ｆｉを既知外力として扱う場合，上式は，汎関数Πを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000071
 とおいて，その変分がゼロになる事と等価である。即ち，最小２乗法が変分原理となる事を示している。なお，(122),(123),(127)式は共に，変分直接法を示しており，(127)式は，非自己随伴問題で(122)式に等価，自己随伴問題で(123)式に等価になる。
　６．弾性学のエネルギ原理について
　物体力が指定される問題を扱う。(128)式より，基本的には全ての問題に対して，最小
２乗法が変分原理となる。
　(91)式の境界項ＲＥに着目すれば，境界表面で，
ＰＥｉ＝０　ｏｒ　φｉ＝０　　　　　　(129)
となる条件は自己随伴な境界条件である事が判る。即ち，表面力および変位のｘ,ｙ方向
の成分について，各成分ごとにどちらか一方だけを与える問題は自己随伴問題となる。従って，この場合には，(123)式を用いても良い。単位厚さ当りの全ひずみエネルギＵは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000072
 で，その変分δＵは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000073
 である。(123)式を変形して，上式を用いれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000074
 を得る。これは，仮想仕事の原理と同じ形式であるが，(123)式そのものであるから，変
分直接法として認識すべきである。境界表面から変位指定領域を取り除いた領域をｃｐとすれば，ｃｐ上で表面力は指定値となるから，上式は，汎関数Πを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000075
 とおいて，その変分がゼロになる事と等価である。これは，最小ポテンシャルエネルギの原理である。
　エネルギ保存則を表す，クラペイロンの定理
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000076
 において変分をとれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000077
 となる。上式と(132)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000078
 となる。これは，補仮想仕事の原理と同じ形式であるが，(123)式にエネルギ保存則を適
用した結果得られたものであるから，変分直接法の別形式として認識すべきである。境界表面から表面力指定領域を取り除いた領域をＣｕとすれば，Ｃｕ上で変位は指定値となるから，上式は，汎関数Πを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000079
 とおいて，その変分がゼロになる事と等価である。これは，最小仕事の原理である。
７．まとめ
(1)　連立偏微分方程式(23)は，(111)式の固有関数法によって解ける。(128)式より，最
小２乗法は変分原理である。非自己随伴問題では(122),(127)式が変分直接法となり，自
己随伴問題では(123),(127)式が変分直接法になる。
(2)　(123)式の変分δｕｉは，自己随伴固有関数で構成されるから，幾何学的境界条件と力学的境界条件の両方を満足する変位に対する変分である。一方，偶然にも(123)式と同
一形式の仮想仕事の原理では，δｕｉは「幾何学的境界条件を満たす,すべての関数」で
仮想変位と称される。力学的境界条件を満たすとは限らない関数に対して変分記号δを使う事は不適切であるから，仮想変位をδ～ｕｉと書くと，仮想仕事の原理とは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000080
 である。これは，重み付き残差法に他ならない。一般に，上式においてδ～ｕｉとδｕｉを同一視した変分演算が行われ，力学的境界条件と微分方程式が得られるが，実は，(123
)式による恩恵である。
(3)　(123)式の恩恵を仮想仕事の原理による効果と捉えて，ひとたび，これを力学体系の根幹に据えてしまうと，自己随伴問題しか扱えなくなる。非自己随伴問題であっても，重み付き残差法としての機能で解けてしまう事がある為，問題点に気づかない。仮想仕事の原理の持つ曖昧な部分を再考し，本章(1)，特に(122)式を論拠とする事で，弾性学など各種力学は，より良い体系へと再構築され新たな発展へ向かう事が期待できる。
(4)　一般に，線形弾性有限要素は(132)式により定式化されるが，ｈ法要素では変分の演算は行われていない。(132)式から変分記号δを除去して１／２を乗じれば，(134)式のエネルギ保存則と一致するが，ｈ法要素はこれに従っている。(123)式にて変分の演算を行
えばｐ法と同等の要素が得られ，(122),(127)式からは新たな有限要素を構成できる。
８．新しい有限要素
　８．１　形状関数
　例えば，16節点四角形要素の節点番号を図８のように表すと，その形状関数Ｎｉ（ｉ＝１～１６）は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000081
 の不等号の範囲で境界内部を表し，等号にて境界を表す。
８．２　要素内座標
　形状関数Ｎｉ（ｉ＝１～ｎ～）を用いて要素内部の座標ｘｊを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000082
８．３　要素内変位
　主解となる変位を，境界変位を表現する項と，境界で変位がゼロとなる項とに分けて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000083
 と表す。添字Ａが境界変位を表現する項を，添字ｏが境界で変位がゼロとなる項を表す。まとめて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000084
となる。
　内挿関数χＡｉ（ｉ＝１～ｎ～）を用いて要素内部の変位ｕＡｊを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000085
 とかく。Ｕｉｊは節点変位である。ここでは，アイソパラメトリック要素と同様に，内挿関数χＡｉを形状関数Ｎｉと一致させる。変位の詳細は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000086
 と表す。ｕＡｊは要素境界のみならず要素内部の変位をも表現するが，これが微分方程式を満足する保証は無い。要素内部におけるｕＡｊの変位表現能力には限界があるため，要素境界での変位表現能力のみに期待する。その意味でｕＡｊのことを境界関数と呼ぶ。ｕＡｊでは表現しきれない要素内部の変位を，ｕｏｊが補正することを期待する。その意味でｕｏｊのことを補正関数と呼ぶ。
　補正関数ｕｏｊを，境界での変位がゼロとなる試行関数ψｏｋ（ｋ＝１～ｌ～）の和で表現して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000087
 である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000088
 となる。
　一方，(24)式では，非同次境界条件を満たす項ｕＢｊと，同次境界条件を満たす項ｕＨｊとの和で，主解となる変位ｕｊを表している。行列で表現して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000089
 となる。境界条件を与えた段階で，その詳細は定まる。
８．４　試行関数
　試行関数ψｏｋ（ｋ＝１～l～）は，境界での変位がゼロとなる関数系を用いる。例え
ば，ルジャンドル陪関数でも良いし，三角関数でも良い。三角関数の場合には，関数系を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000090
 が，試行関数ψｏｋとなる。
８．５　双対変位
　双対解となる双対変位ｕｊ ＊を，境界変位を表現する項と，境界で変位がゼロとなる項とに分けて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000091
 とかく。Ｕｉｊ ＊は節点変位である。ここでは，アイソパラメトリック要素と同様に，内挿関数χＡｉを形状関数Ｎｉと一致させる。変位の詳細は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000092
補正関数ｕｏｊ ＊を試行関数ψｏｋ（ｋ＝１～l～）の和で表現して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000093
 　一方，(42)式では，非同次随伴境界条件を満たす項ｕＢｊ ＊と，同次随伴境界条件を満たす項ｕＨｊ ＊の和で，双対変位ｕｊ ＊を表している。行列で表現して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000094
 となる。境界条件を与えた段階で，その詳細は定まる。
８．６　等価節点力
　ひずみ成分は，(4)～(6)式から，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000095
 となる。
　変位の微分係数は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000096
 となる。右辺の行列を，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000097
 となる。
応力は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000098
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000099
８．７　双対等価節点力
　ひずみ成分は，(4)～(6)式から，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000100
 と表す。応力成分は，(7)～(9)式から
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000101
 となる。これは，(10)～(12)式の応力成分を表している。
変位の微分係数は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000102
応力は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000103
 である。
　要素境界面の変位は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000104
８．８　境界上での積分
　各辺での積分を実行する具体的な手順は，以下の通り。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000105
８．９　ひずみエネルギ
　要素内部のひずみエネルギｅｎｇは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000106
８．１０　双対ひずみエネルギ
　要素内部のひずみエネルギｅｎｇ＊は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000107
８．１１　随伴境界条件
　境界表面での変位は(208)，双対変位は(229)式であり，表面力は(207)，双対表面力は(228)式である。これらを用いて，(60)式の境界項Ｒは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000108
 となる。等価節点力(216),(235)式を用いて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000109
となる。節点力Ｆを既知部Ｆｂと未知部Ｆｖに分け，節点変位Ｕを既知部Ｕｂと未知部Ｕｖに分ける。これに応じて，双対節点変位Ｕ＊が未知部Ｕｖ＊と既知部Ｕｂ＊に分かれ，双対節点力Ｆ＊が未知部Ｆｖ ＊と既知部Ｆｂ ＊に分かれて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000110
 となる。そして，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000111
 である。既知部Ｆｂ,Ｕｂをゼロに差し替えれば，同次境界条件を与えたことになる。こ
のとき，境界項Ｒをゼロとする条件より，同次随伴境界条件が得られ，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000112
 となる。既知部Ｆb,Ｕbと既知部Ｆb *, Ｕb *の組み合わせが一致する場合には自己随伴境
界条件であり，一致しない場合には非自己随伴境界条件である。
８．１２　主試行関数と主固有関数
等価節点力の定義式(216)を変形して，方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000113
 を得る．ここで，[I]は単位行列である。上式は，節点変位Ｕ、節点力Ｆ、係数Ｃoの間に成立せねばならない関係を表している。上式に、(173)式の要素内変位ｕを組み合わせて
、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000114
 となる．節点変位Ｕの既知部Ｕbと、節点力Ｆの既知部Ｆbを合わせて，節点既知部ｓbを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000115
 と定義する．その個数ｎbは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000116
 である。節点変位Ｕの未知部Ｕvと，節点力Ｆの未知部Ｆvを合わせて，節点未知部ｓvを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000117
 と定義する．その個数ｎvは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000118
 である．また，(253),(259),(261)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000119
 である．(257)式のＵ、Ｆの順番を、(258)、(260)式に従って並べ直すと、行列部の列も
入れ替わって、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000120
 となる．ここで，行列［Ｋb］は、既知部Ｕb、Ｆbの並びに従って行列［ＫU］、［－Ｉ］から該当列を抽出して得られるもので，同様に、未知部Ｕv，Ｆvの並びに従って行列［Ｋ
v］、［－Ｉ］から該当列を抽出すれば，行列［Ｋv］が得られる．また，行列［Ｙb］、
［Ｙv］は、次の様にして得られる．単位行列［Ｉ］とゼロ行列［０］を用いて，(257)式の行列［χA］、［０］を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000121
 と認識すれば，行列［χA］から列を抽出する操作は［Ｉ］の列を抜き出すことで，同様
に，行列［０］から列を抽出する操作は［０］の列を抜き出すことで表現できる．既知部Ｕbと未知部Ｕvの並びに従って、［Ｉ］から該当列を抽出して［ＩUb］、［ＩUv］を構成する。同様に、既知部Ｆbと未知部Ｆvの並びに従って,「０」から該当列を抽出して［０Fb］、［０Fv］を構成する。
(264)式に対して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000122
 を定義し，(265)式に対して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000123
 を定義する．さらに，係数行列
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000124
 を定義すれば、行列［Ｙb］、［Ｙv］は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000125
 となる．以上の操作によって，(263)式の行列は定まり，要素内変位ｕは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000126
 となる．上式で変位ｕは，節点既知部ｓb、節点未知部ｓv、未知係数ｃoで表される状態
である。そして、未知部ｓv、ｃoと既知部ｓbの間には、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000127
 が成立することを示している。従って、未知部ｓv、ｃoはもう少し整理できて、未知部の総数を減らせることが判る。
　そこで、未知部ｓv、ｃoを並べ直して未知部ｓe、ｓhとし，それに応じて行列［Ｋv］
、［Ｋ0］の列を入れ替えて［Ｋe］、［Ｋh］とする。同様に，行列［Ｙｖ］、［ψ0］の列を入れ替えて［Ｙe］、［Ｙh］とする．その結果，(263)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000128
 となる．この手続きは，［Ｋe］が逆行列を持つようにして、未知部ｓeを消去することが狙いである．よって，［Ｋe］は正方行列とする．未知部ｓhの個数ｎhは，(263),(276)式より、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000129
 である。(262)式により、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000130
 でもある。未知部ｓe、ｓhを次の手順で構成する。
(1)未知部ｓvのうち未知部ｓeに入るものｎve個を、未知部ｓeの前半に集める。
(2)未知部ｃoのうち未知部ｓeに入るものｎoe個を、未知部ｓeの後半に集める。
(3)未知部ｓvのうち未知部ｓhに入るものｎvh個を、未知部ｓhの前半に集める。
(4)未知部ｃoのうち未知部ｓhに入るものｎoh個を、未知部ｓhの後半に集める。
よって、未知部の個数は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000131
 となる。手順(1)、(3)からは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000132
 となり、手順(2)、(4)からは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000133
 となる。 (277),(279),(280),(281)式から、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000134
 となる。これは、未知部ｓeの個数がｎとなることを示している。
　自己随伴境界条件では、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000135
 であるから、上式を(277)式あるいは(278)式に代入して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000136
 となる。さらに、(279),(281),(284)式より、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000137
 となる。
　行列［Ｙu］は(273)式で表されるから，行列［Ｙv］から列を抽出する操作は，行列［
ｃv］の列を抜き出すことで表現できる。［ｃv］から該当列を抽出して［ｃve］、［ｃvh］を構成して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000138
 を定義する。単位行列［Ｉ］を用いて、(263)式の行列［ψ0］を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000139
 と認識すれば，行列［ψ0］から列を抽出する操作は，行列［Ｉ］の列を抜き出すことで
表現できる．行列［Ｉ］から該当列を抽出して［Ｉoe］、［Ｉoh］を構成して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000140
 を定義する、よって、行列［Ｙe］、［Ｙh］は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000141
 となる。さらに、関数行列
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000142
 および、係数行列
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000143
 を定義すれば、行列［Ｙe］、［Ｙh］は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000144
 となる。
　(276)式を分離して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000145
 となる。(298)式の未知部ｓeを解いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000146
 となり、上式を(299)式に代入して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000147
 となる．第１項は既知部ｓbを備えた関数であり，非同次境界条件を満足する変位[ｕB]となる．第２項は未知部ｓhを備えた関数であり，同次境界条件を満足する変位[ｕH]となる。即ち、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000148
 と定義すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000149
 であり、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000150
 となる。上式は(174)式の詳細を示すもので，変位[ｕ]が、非同次境界条件を満足する変
位[ｕB]と、同次境界条件を満足する変位[ｕH]とで表現された事が判る。
　(272),(296),(302)式より，行列［χB］は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000151
 となる。上式第１項は、(293)式より、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000152
 となることに注意すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000153
 とおいて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000154
 となる。
　(296),(297),(303)式より，行列［ψh］は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000155
 となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000156
 とおいて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000157
 となる。
　(310)、(313)式により、行列［χB］、［ψh］が関数部［Γ］と係数部［Ｈb］、［Ｈh］とに分離された事が判る。また、変位｛ｕ｝が、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000158
 と表現された事から，任意の節点既知部ｓbによって非同次境界条件を満たす関数が構成
され，任意の未知部ｓhによって同次境界条件を満たす関数が構成されることを知る。未
知部ｓhに対して変位[ｕH]が同次境界条件を満たすのは、行列［ψh］による効果である
から，係数ベクトルを｛ｅh｝として，主固有関数｛φ｝を、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000159
 とおくことができる。同時にその変分｛δφ｝を、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000160
 とおくことができる。重要な役割を演ずる行列［ψh］を、主試行関数と呼ぶ。
　８．１３　双対試行関数と双対固有関数
等価節点力の定義式(235)を変形して，方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000161
 を得る．上式は，双対節点変位Ｕ*、双対節点力Ｆ*、係数Ｃo *の間に成立せねばならない関係を表している。上式に、(190)式の要素内変位ｕ*を組み合わせて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000162
 となる。双対節点変位Ｕ*の既知部Ｕb *と、双対節点力Ｆ*の既知部Ｆb *を合わせて，節点既知部ｓb *を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000163
 と定義する．その個数ｎb ＊は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000164
 である。双対節点変位Ｕ*の未知部Ｕv *と，双対節点力Ｆ*の未知部Ｆv *を合わせて，節点未知部ｓv *を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000165
 と定義する．その個数ｎv *は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000166
 である．また，(253),(320),(322)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000167
 である．(318)式のＵ、Ｆの順番を、(319)、(321)式に従って並べ直すと，行列部の列も
入れ替わって、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000168
 となる．ここで，行列［Ｋb *］は、既知部Ｕb *、Ｆb *の並びに従って行列［ＫU］、［－
Ｉ］から該当列を抽出して得られるもので，同様に、未知部Ｕv *，Ｆv *の並びに従って行列［Ｋv］、［－Ｉ］から該当列を抽出すれば，行列［Ｋv *］が得られる．また，行列［
Ｙb *］、［Ｙv *］は、次の様にして得られる。単位行列［Ｉ］とゼロ行列［０］を用いて，(318)式の行列［χA］、［０］を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000169
 と認識すれば，行列［χA］から列を抽出する操作は［Ｉ］の列を抜き出すことで，同様
に，行列［０］から列を抽出する操作は［０］の列を抜き出すことで表現できる．既知部Ｕb *と未知部Ｕv *の並びに従って、［Ｉ］から該当列を抽出して［ＩUb*］、［ＩUv*］を構成する。同様に、既知部Ｆb*と未知部Ｆv*の並びに従って,「０」から該当列を抽出し
て［０Fb*］、［０Fv*］を構成する。
(325)式に対して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000170
 を定義し，(326)式に対して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000171
 を定義する．さらに，係数行列
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000172
 を定義すれば、行列［Ｙb *］、［Ｙv *］は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000173
 となる．以上の操作によって，(324)式の行列は定まり，要素内双対変位ｕ*は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000174
 となる．上式で双対変位ｕ*は，節点既知部ｓb *、節点未知部ｓv *、未知係数ｃo *で表さ
れる状態である。そして、未知部ｓv *、ｃo *と既知部ｓb *の間には、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000175
 が成立することを示している。従って、未知部ｓv *、ｃo *はもう少し整理できて、未知部の総数を減らせることが判る。
　そこで、未知部ｓv *、ｃo *を並べ直して未知部ｓe *、ｓh *とし，それに応じて行列［Ｋv *］、［Ｋ0］の列を入れ替えて［Ｋe *］、［Ｋh *］とする。同様に，行列［Ｙｖ*］、［ψ0］の列を入れ替えて［Ｙe *］、［Ｙh *］とする．その結果，(324)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000176
 となる．この手続きは，［Ｋe *］が逆行列を持つようにして、未知部ｓe *を消去することが狙いである．よって，［Ｋe *］は正方行列とする．未知部ｓh *の個数ｎh *は，(324),(337)式より、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000177
 である。(323)式により、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000178
 でもある。未知部ｓe *、ｓh *を次の手順で構成する。
(1)未知部ｓv *のうち未知部ｓe *に入るものｎve *個を、未知部ｓe *の前半に集める。
(2)未知部ｃo *のうち未知部ｓe *に入るものｎoe *個を、未知部ｓe *の後半に集める。
(3)未知部ｓv *のうち未知部ｓh *に入るものｎvh *個を、未知部ｓh *の前半に集める。
(4)未知部ｃo *のうち未知部ｓh *に入るものｎoh *個を、未知部ｓh *の後半に集める。
よって、未知部の個数は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000179
 となる。手順(1)、(3)からは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000180
 となり、手順(2)、(4)からは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000181
 となる。 (338),(340),(341),(342)式から、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000182
 となる。これは、未知部ｓe *の個数がｎとなることを示している。
　自己随伴境界条件では、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000183
 であるから、上式を(338)式あるいは(339)式に代入して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000184
 となる。さらに、(340),(342),(345)式より、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000185
 となる。
　行列［Ｙu *］は(334)式で表されるから，行列［Ｙv *］から列を抽出する操作は，行列
［ｃv *］の列を抜き出すことで表現できる。［ｃv *］から該当列を抽出して［ｃve *］、
［ｃvh *］を構成して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000186
 を定義する。単位行列［Ｉ］を用いて、(324)式の行列［ψ0］を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000187
 と認識すれば，行列［ψ0］から列を抽出する操作は，行列［Ｉ］の列を抜き出すことで
表現できる．行列［Ｉ］から該当列を抽出して［Ｉoe *］、［Ｉoh *］を構成して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000188
 を定義する、よって、行列［Ｙe *］、［Ｙh *］は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000189
 となる。さらに、係数行列
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000190
 を定義すれば、行列［Ｙe *］、［Ｙh *］は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000191
 となる。
　(337)式を分離して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000192
 となる。(358)式の未知部ｓe *を解いて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000193
 となり、上式を(359)式に代入して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000194
 となる．第１項は既知部ｓb *を備えた関数であり，非同次随伴境界条件を満足する変位[
ｕB *]となる．第２項は未知部ｓh *を備えた関数であり，同次随伴境界条件を満足する変
位[ｕH *]となる。即ち、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000195
 と定義すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000196
 であり、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000197
 となる。上式は(191)式の詳細を示すもので，変位[ｕ*]が、非同次随伴境界条件を満足する変位[ｕB *]と、同次随伴境界条件を満足する変位[ｕH *]とで表現された事が判る。
　(333),(356),(362)式より，行列［χB *］は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000198
 となる。上式第１項は、(293)式より、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000199
 となることに注意すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000200
 とおいて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000201
 となる。
　(356),(357),(363)式より，行列［ψh *］は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000202
 となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000203
 とおいて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000204
 となる。
　(370)、(373)式により、行列［χB *］、［ψh *］が関数部［Γ］と係数部［Ｈb *］、［Ｈh *］とに分離された事が判る。また、変位｛ｕ*｝が、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000205
 と表現された事から，任意の節点既知部ｓb *によって非同次随伴境界条件を満たす関数が構成され，任意の未知部ｓh *によって同次随伴境界条件を満たす関数が構成されることを知る。未知部ｓh *に対して変位[ｕH *]が同次随伴境界条件を満たすのは、行列［ψh *］による効果であるから，係数ベクトルを｛ｅh *｝として，双対固有関数｛φ*｝を、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000206
 とおくことができる。同時にその変分｛δφ*｝を、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000207
 とおくことができる。重要な役割を演ずる行列［ψh *］を、双対試行関数と呼ぶ。
　８．１４　個数の関係
　(259),(320),(252)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000208
 となる。(278)、(339)、(377)式より、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000209
 となる。
　８．１５　主固有関数と双対固有関数の決定
　主連立微分方程式(105)、双対連立微分方程式(106)を行列で表現して、それぞれ、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000210
 となる。そこで、微分作用素を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000211
 とおき、重みを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000212
 とおいて、（主、双対）連立微分方程式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000213
 となる。(122)式の変分直接法に従って、変分｛δφ*｝、｛δφ｝を乗じて積分すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000214
となる。(315),(375)式の固有関数｛φ｝、｛φ*｝及び(316)、(376)式の変分｛δφ｝、｛δφ*｝を代入して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000215
 となる。左辺の積分結果を、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000216
 とおき、右辺の積分結果を、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000217
 とおく。［Ｂh］、［Ｂh *］は、共に対称行列となる。また、主試行関数［ψh］は同次境界条件を満たし、双対試行関数［ψh *］は同次随伴境界条件を満たすから、部分積分により、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000218
 となる。即ち、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000219
 である。(390)～(393)式を用いて(388),(389)式は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000220
 となる。これが、任意の変分に対して成立するためには、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000221
 でなくてはならない。(398)、(399)式を相互に代入して連立をはずせば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000222
 となる．これを解くことにより，固有値λと固有ベクトル｛ｅh｝、｛ｅh *｝を得ること
ができる。逆に，(398),(399)式をひとつにまとめると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000223
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000224
 である．なお，(403)式の等号については，(395)式による。
　これを解くことにより，固有値λと固有ベクトル｛ｅh｝、｛ｅh *｝を得ることができ
る。［Ａs］、［Ｂs］は共に対称行列であるから、固有値λは実数となり，固有ベクトル｛ｅs｝は［Ａs］、［Ｂs］を挟んで直交する。
　(400),(401)式で計算すれば，固有値問題のサイズは小さくて済む．その反面，固有ベ
クトル｛ｅh｝、｛ｅh *｝の組み合わせについて，注意深く取り扱う必要が生じる．一方
，(402)式で計算すれば，固有値問題のサイズは大きくなるが，固有ベクトル｛ｅh｝、｛ｅh *｝の組み合わせも同時に得られるので、組み合わせの確認は不要となる。どちらの方法を用いるかは、メモリサイズや計算速度に応じて決めれば良いが、定式化の都合からは、(402)式の方が扱い易いので、以降は、これを考え方の基準にする。
　(402)式からは，２ｌ個の固有値λと固有ベクトル｛ｅs｝の組み合わせが得られる。正の固有値と負の固有値の個数は一致して、これをｍp個とする．これは，(398),(399)式で｛ｅh｝はそのままで、λと｛ｅh *｝の符号を反転させた組み合わせも連立方程式を満た
す事によるもので、4.4 節で述べた事でもある。［Ａs］がゼロ空間を持つ場合には，固
有値がゼロとなる。［Ａh］のゼロ空間をｍ0 個とする。
　固有値λに属する固有ベクトル｛ｅs｝の成分｛ｅh｝、｛ｅh *｝を、(315),(375)式に
戻すことにより，固有関数｛φ｝、｛φ*｝が得られる。
　正の固有値に属するｍp個の固有関数｛φ｝、｛φ*｝及び固有ベクトル｛ｅh｝、｛ｅh *｝を列方向に並べて、それぞれ、［φp］、［φp *］及び［ｅp］、［ｅp *］と表せば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000225
 となる。ｍp個の固有値を対角上に並べて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000226
 を定義すれば、（主、双対）連立微分方程式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000227
 となる。固有関数の直交性により、［ｅp］、［ｅp *］が、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000228
 を満たすように正規化しておけば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000229
 となる。
　ゼロ固有値に属するｍ0個の固有関数｛φ｝及び固有ベクトル｛ｅh｝を列方向に並べて、それぞれ、［φ0］［ｅ0］と表せば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000230
 となる。固有関数の直交性により、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000231
 となる。
　８．１６　行列の詳細
　(390)式の［Ａh］を、(293),(313),(373)式により変形すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000232
 となる．(391)式の［Ａh ＊］を，(293),(313),(373)式により変
形すれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000233
 となる。(392)式の［Ｂh］を、(293)、(313)式により変形すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000234
 となる。［Ｂh］が対称行列となる事を如実に示している。(393)式の［Ｂh *］を、(293)
、(373)式により変形すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000235
 となる。［Ｂh *］が対称行列となる事を如実に示している。
　８．１７　固有関数法
　主問題の連立偏微分方程式(23)を行列で表現して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000236
 である。変位｛ｕ｝は(314)式で表されるから、上式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000237
 となる。一方，変位｛ｕH｝を固有関数［φp］、［φ0］で表すと、その係数ベクトルを
｛ａp｝、｛ａ0｝と定義して、(406),(415)式を利用すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000238
 となる。上式と(305)式を比較して、未知部ｓhは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000239
 となる。即ち、係数ベクトル｛ａp｝、｛ａ0｝が定まれば、未知部ｓhが決まることを示
している。
　(422)、(423)式より、連立偏微分方程式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000240
 となる。両辺に［φp *］Tを乗じて内積をとれば、(416)式より、左辺第２項はゼロとなり、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000241
 となる。これは、(340)、(407)、(413)式により、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000242
 となる。整理して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000243
 となる。(293)、(310)、(373)式を用いて、右辺の積分結果を、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000244
 と計算しておけば
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000245
 である。既知部ｓbに応じて，係数ベクトル｛ａp｝が定まることがわかる。
上式を(424)式に戻せば，ゼロ固有値が存在しない場合には未知部ｓhが定まるので、問題が完全に解けたことになる。ゼロ固有値が存在する場合には、未知部ｓhは係数ベクトル
｛ａ0｝の関数となるので，節点情報の他に，辺上の境界条件を加えることで｛ａ0｝を定めることができる。
　このようにして，未知部ｓhが定まれば，(300)式により未知部ｓeが定まる。よって、(299)式あるいは(301)式より、変位｛ｕ｝が完全に定まる。変位が定まれば、要素内部の
応力分布、ひずみエネルギ分布なども得られる。
　８．１８　ゼロ固有値の取り扱い
　固有値がゼロになるのは、(384)、(385)式の（主、双対）連立微分方程式にて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000246
 か、あるいは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000247
 のどちらかが成立する場合である。
　(415)式や(423)式では、(432)式が成立するものとしている。これは、同次の微分方程
式を意味しているので，その解に付随の係数｛ａ0｝は任意である。前節では、その任意
性を辺上の境界条件を付加することで決定する方法を示したが，計算を行う設計者が自ら決る方法もある。係数｛ａ0｝に応じてどのような変形状態，あるいは応力状態となるか
を図で表示するシステムを具備して，この図を見ながら実現可能な境界条件となるように，設計者が自ら係数｛ａ0｝を決めるのである。
９．従来有限要素の利用
９．１　全体系の方程式
　7 章の(4)項にて，従来の線形弾性有限要素，特にｈ法要素では変分の演算は行われて
おらず，(134)式のエネルギ保存則と一致することを述べた。ｈ法要素を複数個組み合わ
せて，全体系の運動方程式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000248
 と表され，各節点の変位と外力のうち、どちらか一方のみを与えること、即ち自己随伴な境界条件を前提として解法が組み立てられている。例えば，全自由度ｎ個のうち、ｎ1個
が変位指定領域、ｎ2個が外力指定領域で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000249
 とするとき、剛性行列［Ｋ］、節点変位｛Ｕ｝、節点外力｛Ｆ｝の成分を入れ替えて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000250
 と表す。既知量は｛Ｕ1｝、｛Ｆ2｝であり、未知量は｛Ｕ2｝、｛Ｆ1｝である。上式を分解して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000251
 および、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000252
 と表す。(438)式を変形して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000253
 となり、未知量｛Ｕ2｝が定まる。これを(437)式に代入して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000254
 となり、未知量｛Ｆ1｝が定まる。即ち、全ての未知量が得られた。このような手順は、
有限要素法の常套手段として確立されている。
　しかし、変分の演算を含まず、エネルギ保存則から等価な方程式として(434)式が得ら
れていることに着目すれば、何も自己随伴な境界条件に縛られる必要はなく、非自己随伴な境界条件に対して上式を解いても、良いはずである。
　９．２　非自己随伴な境界条件での計算
　全体系の運動方程式(434)を，単位行列［Ｉ］を用いて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000255
 と認識すれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000256
 となる。節点変位Ｕの既知部Ｕbと，節点外力Ｆの既知部Ｆbを合わせて，節点既知部ｓb
を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000257
 と定義する．節点変位Ｕの未知部Ｕvと，節点外力Ｆの未知部Ｆvを合わせて、節点未知部ｓvを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000258
 と定義する。このとき、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000259
 である．(442)式のＵ、Ｆの順番を、(443),(444)式に従って並べ直すと，行列部の列も入れ替わって、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000260
 となる．ここで，行列［Ｋb］は，既知部Ｕb、Ｆbの並びに従って行列［Ｋ］、［－Ｉ］
から該当列を抽出して得られるもので、同様に、未知部Ｕv、Ｆvの並びに従って行列［Ｋ］、［－Ｉ］から該当列を抽出すれば，行列［Ｋv］が得られる。上式からは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000261
 が得られる。右辺は既知部のみから構成されるから、左辺の節点未知部ｓvを得ることが
できる。即ち、行列［Ｋv］が、解の複数存在する劣決定系になるのか、解が存在しない
可能性のある優決定系になるのかに応じて、線形代数学の知見に基づき、未知部ｓvを得
ることができる。解が複数存在する場合には、8.18節のゼロ固有値の場合に相当するので、設計者自身によって解を決定することができる。
９．３　重力荷重のある場合
　全体系の運動方程式(434)の節点外力Ｆを、重力荷重など物体力を表す項Ｆgと表面力を表す項Ｆsとに分けて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000262
 とおくと、(434)式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000263
 となる。表面力Ｆsを移項して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000264
 となる。(446)式と同じ手順により上式は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000265
 となる。左辺に未知部を残すよう変形すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000266
 となる。前節と同様に、線形代数学の知見に基づき、未知部ｓvを得ることができる。
　９．４　解が複数存在する場合
　解が複数存在する場合には，(452)式を満足する１つの特解｛ｓp｝と、(452)式の右辺
をゼロとおいた同次解｛ｓ0｝が得られる。同次解の個数ｎ0は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000267
 となる。同次解｛ｓ0｝を列方向に並べた行列を［ψ0］とする。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000268
 同次解に対するモード係数を｛ａ0｝とおいて、解｛ｓv｝は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000269
 となる。
　さて、これで全ての節点変位Ｕと節点外力Ｆが定まったので，非自己随伴な問題も解けたことになるが、いずれもモード係数｛ａ0｝を含んだ形式で、任意の｛ａ0｝に対して解となる。
　しかし，モード係数｛ａ0｝を適切に選ばないと、従来型の有限要素では要素が折れ曲
がった状態となって，不正な解析結果と見なされることが良くある。これは、全体系として，エネルギ保存則と等価な方程式(434)を満たすものの、要素内部で微分方程式を満足
しないことに起因する。
　そこで，全体系の変形がモード係数｛ａ0｝によって支配されることに注目して、要素
の微分方程式に等価な変分原理、即ち、(122)式～(128)式の最小自乗法を用いることで、適切な｛ａ0｝を決める．適切な｛ａ0｝の周辺の値で要素が折れ曲がった状態にならない場合には、まずまず正確な解析結果が得られていると考えることができる。
　９．５　最小自乗法の利用
　従来型の有限要素では，要素内部の変位は(166)式の｛ｕA｝で表現される。｛ｕA｝は
節点変位Ｕで表され，Ｕは(455)式のようにモード係数｛ａ0｝によって表される。
　要素内部は微分方程式で支配されるから，(421)式の｛ｕ｝に｛ｕA｝を代入することで，モード係数｛ａ0｝を決めることができれば望ましい。(128)式の汎関数を全体系について作成し，モード係数｛ａ0｝で微分することで(127)式を構成できる。その結果、モード係数｛ａ0｝を決定できる。
　モード係数｛ａ0｝をスライダーに連動させて、設計者がスライダーによってモード係
数を調節するのに合わせて、変形図が表示されるように構成すれば、どのような支持方法があり得るのか検討できて、設計者のイメージを湧き立たせることが可能となる。実現可能な変形状態を絞り込んで境界条件を再定義することで、より良い構造を得るための検討が可能となる。
　以下、図面を参照して、本発明の実施の一形態を詳細に説明する。
　［第１の実施形態］
　図２は、本実施形態の解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図である。図２に示す解析装置１０（解析システム１０）は、演算部１を備えるコンピュータにより構成することができる。演算部１は、解析対象物の設計データ、境界条件データ及び解析対象に対する微分作用素を含む微分方程式データを入力し、解析対象の微分方程式の解を計算して、解析結果データとして出力です。ここで、演算部１は、双対変位ｕi *の変分のことを双対変分δｕi *とするとき，下記式によって解ｕjを計算する。下記式は、上述した式（１２
２）と同じである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000270
　例えば、演算部１は、設計データとして、解析対象物の形状、材質を示すデータを入力し、設計データに基づいて、計算に用いる原初微分作用素Ｌijのデータを読み込む。原初微分作用素Ｌijを用いて、上記式で表される微分方程式の解を計算する。これにより非自己随伴問題の解を計算することが可能になる。
　上記式（数１）において、一例として、ｆiは解析対象へ働く力、ｕiは解析対象の変位
とすることができるが、ｆi及びｕiは、これに限られない。解析対象及び微分作用素に応じて、ｆi及びｕiは力及び変位以外のものを示す場合がありうる。例えば、構造解析、振動解析、電磁場解析、材料解析、流体解析、温度解析、音場解析、電磁気学解析、又は回路シミュレータ等の様々な解析において、解析対象に応じた適切な値がｆi及びｕiに設定することができる。
　（変形例１）
　演算部１は、下記式によって解ｕjを計算してもよい。下記式は上述した式（１２３）
と同様である。この場合、自己随伴問題の解を計算することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000271
　（変形例２）
　演算部１は、変分直接法により下記式において解析対象の解ｕjを計算することもでき
る。下記式は、上記（１２７）と同様である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000272
　前記変分直接法による解ｕjの計算は、下記式の汎関数Πにおいて、変分がゼロとなる
解を計算することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000273
　［第２の実施形態］
　図３は、第２の実施形態における解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図である。図３に示す解析装置１０ａは、設定部１１、随伴境界条件演算部１２、及び非自己随伴演算部１３を備える。
　設定部１１は、解析対象の原初微分作用素及び変位の境界条件を設定する。例えば、設定部１１は、ユーザから、設計データとして解析対象の構成または材料を表すデータの入力を受け付けて、解析対象の構成または材料に基づいて原初微分作用素を決定することができる。また、設定部１１は、境界条件データの入力をユーザから受け付けることができる。
　随伴境界条件演算部１２は、設定部１１で受け付けた境界条件から随伴境界条件を計算する。例えば、随伴境界条件演算部１２は、設定部１１が読み込んだ微分方程式データに含まれる原初微分作用素を含む微分方程式に、双対固有関数φi *または双対変位ｕi *を乗じた積分和すなわち内積を、部分積分して得られる境界項から随伴境界条件を計算することできる。
　例えば、解析対象が２次元弾性体の場合、上記式（９１）を用いて随伴境界条件を計算することができる。この場合、上記式（９１）において、ｕHi、ｐHiに課された同次境界条件をφi、ｐEiに課した場合に、境界項がゼロになるようなφi *、ｐEi *の条件を随伴境界条件として求めることができる。一例として、解析対象の境界表面に、力がゼロ（ｐEi＝０）の境界条件が課された場合、境界項ＲEがゼロになるには、φi *は任意でよく、ｐEi *及びφiのいずれかがゼロにならなければいけない。ここで、解析対象の境界表面に変
位もゼロ（φi＝０）の境界条件が課されていた場合、ｐEi *は任意となる。この場合、随伴境界条件は、境界表面の変位、力とも任意となる。このような場合、境界条件と随伴境界条件が一致しないため、非自己随伴問題となるただし、上記式（１０６）の作用により，Ｌji *φj *がφiに課された境界条件を満たさねばならない。これは前記双対境界条件に含まれる。非自己随伴問題の場合には、前記主境界条件と前記双対境界条件とを利用することにより、適切に問題が解ける。
　非自己随伴演算部１３は、原初微分作用素から主連立微分方程式及び双対連立微分方程式を計算し、主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、前記境界条件及び前記随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する。
　例えば、原初微分作用素をＬijとすると、主連立微分方程式は上記式（１０５）、双対連列微分方程式は上記式（１０６）と定義することができる。また、上記式（９０）により随伴微分作用素Ｌij *を計算することができる。非自己随伴演算部１３は、主連立微分
方程式（上記式（１０５））、双対連立微分方程式（上記式（１０６））、境界条件、随伴境界条件を用いて、主連立固有値問題（上記式（９８））と双対連立固有値問題（上記式（９９））を定義して、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を計算することができる
。
　なお、非自己随伴演算部１３の解法は、主連立固有値問題（上記式（９８））と双対連立固有値問題（上記式（９９））を用いたものに限定されない。例えば、上記式（１２２）及び式（１２３）を用いて主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を計算することもでき
る。その場合、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*は、解析的にも近似的にも計算する
ことができる。例えば、後述するように、上記式（１２２）及び式（１２３）によって近似固有関数を計算することができる。
　非自己随伴演算部１３は、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を用いて、主問題の連
立方程式の解を計算する。例えば、上記式（１１１）で示される係数ｃkを算出し、これ
を上記式（６９）に代入して、解関数ｕHjを計算することができる。また、非自己随伴演算部１３は、上記式（１１５）により双対問題の係数ｃk *を計算でき、これを上記（７０）に代入することで双対問題の解関数ｕHj *を計算することができる。
　（動作例）
　図４は、図３に示す解析装置１０ａの動作例を示すフローチャートである。図４に示す例では、まず、設定部１１は、ユーザからの設計データの入力を受け付ける（Ｓ１）。設計データは特定の対象や形式に限定されない。例えば、解析対象が固体の場合は、解析対象の形状や材料を表すデータの入力を受け付けることができる。解析対象が流体の場合は
、流体の物性を表すデータの入力を受け付けることができる。また、有限要素法による解析の場合は、要素ごとの構成や物性を示すデータの入力を受け付けてもよい。また、設定部１１は、ユーザからの入力のみならず、例えば、アクセス可能な記録媒体から設計データを読み込む、あるいはネットワークを介するダウンロード等により、設計データを取得することができる。
　設定部１１は、Ｓ１で取得した設計データに基づいて、原初微分作用素を決定し、主問題の微分方程式を決定する（Ｓ２）。例えば、設定部１１は、予め記録されたデータから、設計データで示される解析対象の形状に応じた微分作用素を抽出し、抽出した微分作用素を含む微分方程式を主問題の微分方程式として設定することができる。このように、設計データに応じて主問題の微分方程式を決定することができる。ここでは、一例として、原初微分作用素がＬijである場合について説明する。
　設定部１１は、さらに、境界条件データを取得する（Ｓ３）。境界条件データは、解析対象の境界条件に関するデータであり、特定の対象や形式に限定されない。例えば、解析対象物の境界表面における変位及び力の少なくとも一方の条件を示すデータを境界条件として入力することができる。本願開示の発明では、従来は不可能であった、境界表面における変位及び力の双方を設定することができる。
　随伴境界条件演算部１２は、Ｓ２で設定された微分方程式と、Ｓ３で取得された境界条件データを用いて、随伴境界条件データを生成する。随伴境界条件は、例えば、上述したように、上記式（９１）を用いて計算することもできる。また、例えば、有限要素法を用いた例では、上記式（６０）で表される境界項を、境界変位、双対変位、表面力、双対表面力をそれぞれ示す上記式（２０８）、式（２２９）、式（２０７）、式（２２８）を用いて表すことにより計算することができる。
　非自己随伴演算部１３は、原初微分作用素Ｌijから主連立微分方程式（例えば、上記式（１０５））及び双対連立微分方程式（上記式（１０６））を示すデータを生成する（Ｓ５）。そして、非自己随伴演算部１３は、Ｓ５で計算した主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、Ｓ２で取得した境界条件及び、Ｓ４で計算した随伴境界条件を用いて、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を計算する（Ｓ６）。
　非自己随伴演算部１３は、Ｓ６で計算した主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を用い
て、固有関数法により、主問題の連立方程式の解関数ｕHjを、例えば、上記式（１１１）及び式（６９）により、計算する（Ｓ７）。また、非自己随伴演算部１３は、主固有関数φ、及び双対固有関数φ*を用いて、双対問題の連立方程式の解関数ｕHj *を、例えば、上記式（１１５）及び式（７０）により、計算することができる。このようにして、計算された解は、解析結果をコンピュータのディプレイ（図示せず）などに出力される（Ｓ８）。解析結果の具体例については、後述する。
　上記処理によれば、境界条件に基づいて随伴境界条件を求め、さらに、原初微分作用素から主微分作用素及び双対微分作用素を計算して、これらの主固有関数及び双対固有関数を求めることが可能になる。これらの固有関数を用いて、主問題の連立方程式の解を算出することにより、非自己随伴問題の解の算出が可能になる。なお、自己随伴問題であっても、上記処理によって解を算出することは可能である。
　以上、解析装置１０ａの動作例について説明したが、解析装置１０ａの処理は上記例に限定されない。なお、本実施形態は、上記第１の実施形態の具体例と一つと言える。
　［第３の実施形態］
　図５は、第３の実施形態における解析装置の構成の一例を示す機能ブロック図である。図５に示す解析装置１０ｂは、設定部１１、随伴境界条件演算部１２、自己随伴判定部１５、非自己随伴演算部１３、及び、自己随伴演算部１４を備える。設定部１１、随伴境界条件演算部１２、及び非自己随伴演算部１３は、上記第１の実施形態の同様に構成することができる。
　解析装置１０ｂは、境界条件と、随伴境界条件演算部が計算した随伴境界条件とが一致するか否かを判定する自己随伴判定部１５を備える。自己随伴判定部１５が境界条件と前記随伴境界条件が一致すると判定した場合、自己随伴演算部１４は、原初微分作用素から自己随伴問題の自己随伴固有関数を求めることにより、前記自己随伴問題の解を計算する。境界条件と前記随伴境界条件が一致しないと判定された場合、非自己随伴演算部１３が、主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、前記境界条件及び前記随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する。
　自己随伴判定部１５は、境界条件と随伴境界条件が一致するか否かを判定することにより、境界条件及び随伴境界条件が自己随伴か非自己随伴かを判定することができる。すなわち、原初微分作用素が自己随伴であって、境界条件と随伴境界条件が一致する場合は自己随伴であり、一致しない場合は非自己随伴であると判断することができる。また、自己随伴判定部１５による、境界条件と随伴境界条件が一致するか否かを判定については、原初微分作用素Ｌijと、随伴微分作用素Ｌij *が一致するか否か（Ｌij＝Ｌij *か否か）の判定も含まれる。例えば、随伴微分作用素Ｌij *は、原初微分作用素を含む微分方程式に双
対固有関数φi *または双対変位ｕi *を乗じた積分和すなわち内積を、部分積分することにより計算することができる。例えば、上記式（６２）又は式（９０）により、随伴微分作用素Ｌij *を計算することができる。
　自己随伴演算部１４は、原初微分作用素から自己随伴問題の連立微分方程式を生成し、この連立微分方程式の解を計算する。例えば、上記式（１０７）又は式（１２３）を自己随伴問題の連立微分方程式として、自己随伴固有関数φiを計算することができる。自己
随伴演算部１４は、例えば、自己随伴固有関数φikを上記式（１１１）のφik *と置き換
えた式により、ｃkを計算し、このｃkを上記式（６９）に代入することにより、自己随伴問題の解関数ｕHjを求めることができる。
　（動作例）
　図６は、図５に示す解析装置１０ｂの動作例を示すフローチャートである。図６において、解析装置１０ｂは、Ｓ１～Ｓ４の処理を、上記第２の実施形態におけるＳ１～４の処理と同様に実行することができる。Ｓ２１において、自己随伴判定部１５は、Ｓ１で取得された境界条件を示すデータと、Ｓ４で生成された随伴境界条件データとを比較することにより、境界条件が随伴境界条件と一致するか否かを判定する。Ｓ２１で自己随伴判定部１５が、一致しないと（すなわち、非自己随伴である）と判定すると、非自己随伴演算部１３は、Ｓ５～Ｓ７の処理を実行する。Ｓ５～Ｓ７の処理は、上記第２の実施形態におけるＳ４～Ｓ７と同様にしてもよい。
　Ｓ２１で自己随伴判定部１５が、境界条件と非境界条件が一致する（すなわち、自己随伴である）と判定すると、自己随伴演算部１４は、原初微分作用素から自己随伴微分方程式データを生成する（Ｓ２２）。例えば、自己随伴演算部１４は、上記式（１０７）を自己随伴微分方程式とすることができる。この場合、自己随伴演算部１４は、Ｓ３で取得した原初微分作用素Ｌijを自己随伴微分作用素とし、Ｓ２で設定した境界条件を自己随伴境界条件として、自己随伴固有関数φiを計算する。そして、自己随伴演算部１４は、自己
随伴固有関数φiを用いて、自己随伴連立微分方程式の解関数ｕｊを計算する（Ｓ２４）
。Ｓ８の結果出力は、上記第２の実施形態におけるＳ８と同様にしてもよい。
　以上の処理により、解析対象の問題が自己随伴か非自己随伴を判断し、判断結果に応じて適切に処理を切り替えることができる。なお、本実施形態は、上記第１又は第２の実施形態の具体例と一つと言える。
　［第４の実施形態］
　本実施の形態は、解析装置を、有限要素法（ＦＥＭ）を用いた解析に適用した場合の例である。本実施形態では、原初微分作用素及び境界条件は、有限要素に対して設定される。例えば、上記の第１～第３の実施形態で説明した解析装置の構成及び解析処理を、有限要素に対しても、同様に、適用することができる。
　ここで、上記第１～第３の実施形態で示した解析処理を有限要素に用いた形態である本実施形態が、従来の有限要素法とどのように異なるかについて説明する。まず、従来のｈ法では、上述したように、変分演算を行っていないのに対して、本実施形態では、変分直接法により、解を計算している（例えば、上記第１の実施形態）。ｐ法は、高次の関数により、要素内変位を近似する技術であり、要素内変位を適切に近似する関数が手探りで見つけ出されて用いられる。これに対して、本実施形態では、主固有関数及び双対固有関数が計算され、これらをもって、要素内の変位が適切に説明しようとするものである。
　図７は、本実施形態における解析装置の動作例を示すフローチャートである。本実施形態における解析装置の構成は、図２または図５と同様とすることができる。なお、図７に示すフローチャートは一例であり、本願発明は、これに限られない。図７に示す例では、まず、設定部１１が、解析対象の形状を示すデータの入力を受け付ける（Ｓ３１）。例えば、有限要素の形状を示すデータが入力される。また、設定部１１は重み定数を作成する（Ｓ３２）。重み定数ｗは、固有値λが無次元量として定まるように使うのが好ましい。例えば、解析対象物が円環の場合、微分作用素の階数が２階なので、代表長さをrとすれ
ば、w=1/r2とするのが好ましい。ここで、代表長さには、物体のどこか特徴的な部分の長さが採用される。円環の場合には、半径を代表長さにとるのが好ましい。この場合、相似図形の固有値λが一致するので、相似図形の物体については、計算を節約することができる。
　また、設定部１１は、節点変位と節点力を入力する（Ｓ３３）。例えば、節点の変位ｕ及び双対変位ｕ*は、要素境界の変位を表す境界関数ｕAと補正関数ｕ0で表し、補正関数
ｕ0は、試行関数ψ0の和で表すことができる（例えば、上記式（１７３）及び式（１９０））。設定部１１は試行関数を設定する（Ｓ３４）。試行関数は、例えば、上記式（１７９）のように設定することができる。例えば、図８に示すような１６節点四角形の要素の場合、境界表面での変位は上記式（２０８）、双対変位は上記式（２２９）、表面力は上記式（２０７）、双対表面力は上記式（２２８）で表すことができる。
　随伴境界条件演算部１２は、境界条件から随伴境界条件を計算する。例えば、原初微分作用素を含む微分方程式に、双対変位ｕi *を乗じた積分和すなわち内積を、部分積分して得られる境界項Ｒに、要素の変位及び表面力を代入して、随伴境界条件を計算することできる。
　例えば、境界項Ｒを上記式（２５０）で表すことができる。この場合、式（２５０）において、節点力Ｆの行列要素を既知部Ｆbと未知部Ｆvに分けて並べかえ、節点変位Ｕを既知部分Ｕbと未知部Ｕvに分けて並べかえる。この並べかえた、節点力Ｆb、Ｆv及び節点変位Ｕb、Ｕvのベクトル要素に対応するように、双対節点力Ｆ*も既知部Ｆb *と未知部Ｆv *
に、双対変位Ｕ*も既知部Ｕb *と未知部Ｕv *に分けてならべかえると式（２５１）のよう
になる。Ｒをゼロとするには、未知部Ｆv、Ｕvに対応するＵb *、Ｆb *がゼロでなければならないので、式（２５４）の随伴境界条件が得られる。
　非自己随伴演算部１３は、例えば、主試行関数[ψh]及び双対試行関数[ψh *]を生成し
（Ｓ３７、Ｓ３８）、近似主固有関数を｛φ｝、近似双対固有関数を｛φ*｝、それぞれ
の係数ベクトルを｛ｅh｝、｛ｅh *｝とおいて、
｛φ｝＝[ψh]｛ｅh｝
｛φ*｝＝[ψh *]｛ｅh *｝
と表し、これらを主連立微分方程式（上記式（１０５））及び双対連立微分方程式（上記式（１０６））へ代入して、上記式（１２２）及び式（１２３）によって係数ベクトル｛ｅh｝および｛ｅh *｝を得た後、近似固有関数｛φ｝および｛φ*｝を得ることができる（Ｓ３９）。
　一例として、主試行関数[ψh]は、上記式（３１３）のように表すことができる。この
場合、関数行列Γを上記式（２９３）で定義し、係数行列［ｃe］［ｃh］を上記式（２９４）（２９５）で定義している。双対試行関数[ψh *]は、例えば、上記式（３７３）のように表すことができる。この場合、係数行列［ｃe *］［ｃh *］を上記式（３５４）（３５５）で定義している。
　非自己随伴演算部１３は、Ｓ３９で計算した主固有関数及び双対固有関数を用いて、固有関数法により、主問題の連立方程式の解関数を、計算する（Ｓ４０）。このようにして、計算された解は、解析結果をコンピュータのディスプレイ（図示せず）などに出力される（Ｓ４１）。解析結果の具体例については、後述する。
　Ｓ４０においては、例えば、（数１）に従って、Ｓ３７で計算した近似固有関数｛φ｝の変分｛δφ｝と、Ｓ３８で計算した近似双対固有関数｛φ*｝の変分｛δφ*｝とを主連立微分方程式及び双対連立微分方程式に乗じて積分して得られる式（例えば、上記式（４００）（４０１）又は、上記式（４０２）を解くことにより、固有値と固有ベクトルを得ることができる。これらを用いて、主問題の変位｛ｕ｝が求められる。
　以上のように、有限要素法を用いることで、形状が複雑で、固有関数を直接計算するのが困難な場合であっても、近似の固有関数を求めることができる。
　［第５の実施例］
　図６７に示す情報処理装置１０ｃは、初期方程式決定部２１、境界条件決定部２２、及び演算部２３を備える。初期方程式決定部２１は、処理対象となる系の構造及び構成要素の性質を示すデータを読み込んで、系を表す方程式を決定する。この方程式は、例えば、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の方程式とすることができる。方程式は、例えば、行列のデータ又は微分方程式のデータで表すことができ、データの表現形式は特に限定されない。変数は、例えば、ベクトル又は関数等のデータで表すことができるが、表現形式に特に限定されない。
　初期方程式決定部２１は、例えば、ユーザからの処理対象の系の指定を受け付けて、予め記録しておいた連立微分方程式のうちから指定された系に応じたものを選択することができる。あるいは、連立微分方程式自体をユーザから受け付ける構成であってもよい。
　境界条件決定部２２は、境界条件を示すデータとして、物理量を現す値を読み込んで境界条件を決定する。境界条件決定部２２は、例えば、１つの点の１方向、すなわち１自由度に対して外力と変位を指定するような境界条件も受け付ける。後述する演算部２３の機能により、１自由度に対して複数の物理量を境界条件として定義しても、対応可能となっている。また、境界条件として、既知部だけでなく、未知部の指定を受け付けることもできる。例えば、ある１つの節点に対して、変位も外力も未知とする設定を受け付けることができる。
　演算部２３は、前記ｎ個の初期方程式を、２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式に変形し、変形した２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式において、境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、未知部について方程式の解を計算する。例えば、初期方程式として連立微分方程式が決定された場合、式（９６３）で示すように、初期方程式の２倍の数の方程式が含まれる形式に変形することができる。初期方程式として行列と変数ベクトルで表される方程式が決定された場合、例えば、式（４４２）で示すように、変数ベクトルの２倍の自由度を持った変数ベクトルを含む行列に変形することができる。
　演算部２３は、計算した解又は解から得られる情報を出力することができる。例えば、処理対象の系において物体が力を受けて変位する場合、解から得られる情報として、変形状態、応力分布、それらの誤差分布等を出力することができる。
　(随伴微分作用素を用いた演算例)
　初期方程式決定部２１は、例えば、前記系の構成要素である物体に作用する力と、前記物体の物理量を表す変数との関係を表す連立微分方程式を決定することができる。物体の物理量は、例えば、変位又は速度等とすることができるが、特定のものに限定されない。
　演算部２３は、初期方程式決定部２１が決定した連立微分方程式の微分作用素と、当該微分作用素から決まる随伴微分作用素を用いて、前記２ｎ個の方程式を示すデータを生成し、２ｎ個の方程式の解を計算する。演算部２３は、対象となる系を表す主問題の連立微分方程式の微分作用素及び変数に対して、双対変数を含む双対連立方程式（ｎ個の方程式を含むもの）を新たに導入する。これにより、２ｎ個の方程式の解を計算することになる。このように、微分作用素から決まる随伴微分作用素を用いて、前記２ｎ個の方程式を生成し、２ｎ個の方程式の解を計算することで、１自由度に対して複数の物理量が境界条件として設定された場合にも解を計算することができる。
　なお、例えば、式（６４）に示すように、連立微分方程式の微分作用素を変数の作用させたものと双対変数との内積は、変数と双対連立微分方程式の微分作用素を双対変数に作用させたものとの内積に等しい関係にある。本願明細書では、様々な連立微分方程式について、双対微微分方程式を求める例を開示している。なお、予め、双対微分方程式に関する情報を、微分方程式と対応付けて記録しておくことができる。演算部２３は、初期方程式決定部２１で決定した微分方程式に対応する双対微分方程式に関する情報を読み出して演算に用いることができる。
　（有限要素を用いた演算例）
　また、演算部２３は、随伴作用素を計算せずに、初期方程式を２ｎ個の変数を含む方程式に変形し、方程式の解を計算することができる。例えば、初期方程式決定部２１が、２つのｎ次元の変数ベクトルとｎ行の行列を決定することで、系の構成要素の節点における物理量を示す初期方程式を決定することができる。例えば、節点の変位を表す変数のｎ次元ベクトルと、節点の力を表す変数のｎ次元ベクトルとの関係を表すｎ行の行列を生成することができる。これは、系が満たすべき微分方程式を、ｎ次元ベクトルとｎ行の行列を用いて表したものと言える。例えば、式（４４１）や式（４４９）等に示すような形で初期方程式を決定することができる。式（４４１）の例では、ｎ行ｎ列の行列Ｋと、ｎ次元ベクトルの変数ベクトル｛Ｕ｝，｛Ｆ｝でｎ個の方程式が表される。
　境界条件決定部２２は、方程式の変数において、値が既知となる変数の自由度の数と、値が未知となる変数の自由度の数が異なる境界条件も決定可能に構成される。例えば、ユーザから、境界条件として、１自由度に対して複数の物理量が未知または既知であると指定された場合も、ユーザの設定が不適切である旨等のエラーは出さないよう構成することができる。
　この場合、演算部２３は、２つの変数ベクトルに基づいて２ｎ次元のベクトルを生成する。さらに、この２ｎ次元のベクトルの変数に基づいて行列を２ｎ列の行列に変形した上で、当該２ｎ次元のベクトルの変数のうち、境界条件によって既知となる変数を含む既知部分と、未知の変数を含む未知部分とを決定する。この時、未知部分の自由度と、既知部分の自由度は同じでなくてもよい。例えば、演算部２３は、未知部分の自由度と、既知部分の自由度を同じにするという制限を加えずに、未知部分と既知部分を決定することができる。演算部２３は、未知部分の変数を、既知部分の変数で表す形式になるよう前記２ｎ列の行列及び前記２ｎ次元のベクトルを変形して、変形した行列を用いて、前記未知部分の変数を計算する。例えば、演算部２３は、変数の既知部と未知部をそれぞれまとめるように変数ベクトルの要素を並べ替え、これに応じて行列の要素も並べ替えることができる。なお、この具体例は、９．２節の式（４４１）～式（４４７）に示されている。
　上記演算部２３は、上記処理を実行することにより自己随伴な問題と、非自己随伴な問題の両方について解を計算することができる。例えば、１つの自由度、例えば、ある節点のｘ方向については変位も力もゼロであるという境界条件が設定された場合や、ある節点のｙ方向については変位も力も未知であるといった境界条件も受け入れることができる。上記のような、変数をｎ倍にした方程式で、未知部と既知部の自由度の数に制限をかけない演算により、非自己随伴境界条件の下でも解を計算することが可能になる。
　解が複数存在する場合、例えば、式（１２８）の汎関数Πにおいて、変分がゼロとなるように、同次解に対するモード係数を決定し、決定したモード係数を用いて解を求めることができる。また、決定したモード係数近傍の値の入力をユーザから受け付け、入力された値のモード係数を用いて解を計算し、前記解または前記解から得られる情報を出力する構成とすることもできる。なお、これらの構成は、演算部２３が設けられた情報処理装置に設ける必要は必ずしもなく、演算部２３で計算された複数の解について、上記モード係数を用いて解を求める処理を、他の情報処理装置が実行してもよい。また、ユーザからモード係数近傍の値の入力をユーザから受け付け、入力された値のモード係数を用いて解を計算して出力する処理を他の情報処理装置が実行してもよい。
　例えば、演算部２３が計算した方程式の解として、１つの特解と、複数の同次解が得られた場合、解は、特解と同次解に任意のモード係数をかけたもので表すことができる。このモード係数を用いて表される解を、式（１２８）の汎関数Πにおいて、変分がゼロとする式に当てはめたときに得られるモード係数により、構造全体系として近似的に微分方程式を満足する解が得られる。このような解が複数存在する場合の処理の例は、例えば、９．４節、９．５節及び１１．３．１０節に記載されている。
　本実施形態では、上記演算部２３では、自由度を２倍にした方程式を、未知部と既知部の自由度が必ずしも同じでない状況で方程式の解を計算する。この演算部２３では、複数の解が算出される場合がある。その場合にも、上記例のように、複数解のうち代表的な解を計算し、この解を含む所定の範囲で解を出力することで適切な結果を出力することができる。また、ユーザの操作により解を変動させて表示することで、複数解の結果を認識可能な形態で伝えることができるユーザインタフェースが提供される。
　［第６の実施形態］
　図６８に示す情報処理装置１０ｄは、初期方程式決定部２１、境界条件決定部２２、及び判定部３３を備える。初期方程式決定部２１及び境界条件決定部２２は、図６７の初期方程式決定部２１及び境界条件決定部２２と同様に構成することができる。判定部３３は、初期方程式決定部２１で決定された連立微分方程式の境界条件が、自己随伴条件か否かを判定する。
　（随伴境界条件を用いて判定する例）
　判定部３３は、例えば、連立微分方程式の変数と同じ数の双対変数と、双対連立微分方程式とを定義した場合に、連立微分方程式と双対変数との積分和すなわち内積を部分積分して得られる境界項を計算し、境界条件決定部２２で決定された境界条件の下で、当該境界項をゼロにする双対変数の条件を、随伴境界条件として決定することができる。判定部３３は、随伴境界条件が境界条件と一致する場合は、自己随伴条件であると判断できる。
　随伴境界条件を算出するため、例えば、予め、微分方程式に対応付けて境界項を計算するための式を情報処理装置１０ｄがアクセス可能な記録部に記録しておくことができる。判定部３３は、初期方程式決定部２１が決定した微分方程式に対応する境界項の式を記録部から読み出して、境界項を計算することができる。
　具体例として、四角形要素モデルにおいて、式（２５０）又は式（１８１４）に示したように、境界項Ｒを、節点外力Ｆ及び変位Ｕの転置行列と，双対節点外力Ｆ＊及び双対変位Ｕ＊の行列との積で表すことができる。このような場合に、式（２５１）又は式（１８１４）のように、節点外力Ｆ、変位Ｕ、双対節点外力Ｆ＊及び双対変位Ｕ＊それぞれを未知部と既知部に分けて並べ替えることで、随伴境界条件が得られる。このように、微分方程式の変数の転置行列と双対変数の行列との積で表される境界項において、それぞれの変数の未知部と既知部を分けて並べ替えることで、随伴境界条件を得ることができる。式（２５１）又は式（１８１４）は、例えば、初期微分方程式の作用素及び境界条件を、有限要素に設定して解析を実行する場合に用いることができる。
　判定部は、例えば、自己随伴条件であるか否かを判定結果に基づく情報をユーザに対して出力することができる。例えば、境界条件と随伴境界条件が一致せず、非自己随伴条件であると判定した場合、解析対象が境界条件化において非自己随伴である旨のメッセージを出力することができる。例えば、判定部３３は、解析には非自己随伴問題を扱える機能が必要であること、又は、非自己随伴問題を解析できるソフトウエアの入手先または入手方法など、非自己随伴問題の解析のガイドとなる情報を出力することができる。
　或いは、判定部３３は、随伴境界条件と境界条件が一致するか否かの情報に基づいて、その後の演算を制御することもできる。例えば、随伴境界条件と境界条件が一致する場合は、従来の有限要素法を用いた解析処理を実行させ、随伴境界条件と境界条件が一致しない場合は、上記のように、上記したような、非自己随伴を扱うことが可能な処理を情報処理装置に実行させることができる。非自己随伴を扱うことができる処理は、例えば、初期方程式を２ｎ個の方程式を含む方程式に変形し、変形した２ｎ個の方程式を含むにおいて、既知の変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算するといった処理である。
　（随伴境界条件を計算せずに自己随伴条件を判定する例）
　なお、上記例のように、随伴境界条件を計算しなくても、自己随伴条件の判定ができる場合がある。例えば、１１.７．１に記載されているように、上記の式（２５１）において、自己随伴境界条件となる場合、節点変位Ｕの既知部Ｕｂの個数ｎ１は、節点外力の未知部Ｆｖに等しく、節点外力Ｆの既知部Ｆｂの個数ｎ２は、節点変位の未知部Ｕｖの個数に等しくなる。したがって、判定部３３は、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しいか否かによって、自己随伴条件か否かを判定することができる。
　（判断部と演算部との組み合わせ例）
　なお、上記図６８の判定部３３を図６８の情報処理装置に追加した構成も可能である。例えば、判定部３３の判定結果に基づいて、演算部２３が、２ｎ次元の方程式を用いた演算を行うか否かを制御することができる。これにより、演算部２３は、２ｎ次元の方程式を用いた非自己随伴の演算と、ｎ次元の方程式を用いた自己随伴の演算とを適切に切り替えて、処理効率を向上させることができる。
　具体例として、境界条件決定部２２は、ユーザから前記変数のうち既知のものと未知のものの指定を受け付けることができる。判定部３３は、前記ユーザから受け付けた指定に基づいて前記変数の未知部と既知部を決定して、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しいか否かを出力する。判断部３３において、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しいと判断された場合、演算部２３は、前記微分作用素を表す前記ｎ行の行列を用いて、前記変数の未知部を計算する。判断部３３において、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しくないと判断された場合、前記微分方程式を、変数が２ｎ個で２ｎ個の方程式を含む形式に変形し、変形した２ｎ個の方程式のうち、前記未知部について方程式の解を計算する。
　［動作例］
　（自己随伴条件に対応する設定例）
　図６９は、従来の有限要素を用いた解析において、境界条件が自己随伴条件を満たすことを前提として、節点変位ベクトル、節点外力ベクトルを設定する処理例を示すフローチャートである。図６９に示す例では、情報処理装置は、まず、節点変位の入力を受け付ける（Ｓ１０１）。例えば、変位がわかっている自由度とその数値がユーザから入力される。あるいは、節点変位の自由度と数値を示すデータが読み込まれてもよい。自由度は、例えば、節点の位置と方向により特定される。節点変位が入力されると、節点変位の既知部Ｕｂの自由度と、その数値が確定する（Ｓ１０２）。節点変位の既知部Ｕｂの自由度及び数値が確定すると自動的に節点外力の未知部Ｆｖの自由度を確定することができる（Ｓ１０３）。自己随伴条件を満たす場合、未知部Ｆｖの自由度は、既知部Ｕｂに等しいからである。
　節点変位の既知部Ｕｂの自由度が決まると、全体自由度から既知部Ｕｂの自由度を引くことで、節点変位の未知部Ｕｖの自由度が求められる（Ｓ１０４）。自己随伴条件を満たす場合は、既知部Ｆｂの自由度は、未知部Ｕｖの自由度に等しいので、既知部Ｆｂの自由度が確定し、既知部Ｆｂの数値はゼロと仮定される（Ｓ１０５）。Ｓ１０７において、ユーザから節点外力の自由度と数値が入力されると、情報処理装置は、節点外力の既知部Ｆｂが自由度に反しないか確認した上で既知部Ｆｂの値を修正する。
　このように、図６９に示すフローでは、節点変位の既知部Ｕｂが決まると未知部Ｆｖ，未知部Ｕｖ、及び既知部Ｆｂが自動的に計算される。値が指定されていない節点外力の自由度にはゼロが設定される。このように、自由度が自己随伴境界条件を満たすので、設定された節点変位及び節点外力に基づいて、従来型有限要素法で解析可能である（Ｓ１０８）。
　（非自己随伴条件にも対応した境界条件の設定例１）
　図７０は、有限要素を用いた解析において、境界条件が非自己随伴条件である場合にも対応可能な節点変位ベクトル、節点外力ベクトルを設定する処理例を示すフローチャートである。図７０に示す例では、情報処理装置の境界条件決定部２２は、節点変位の自由度及び数値の入力を受け付け（Ｓ２０１）、節点変位の既知部Ｕｂの自由度と数値を決定し記録する（Ｓ２０２）。既知部Ｕｂが決まると節点外力の未知部Ｆｖ（Ｓ２０３）、節点変位の未知部Ｕｖ（Ｓ２０４）、及び既知部Ｆｂ（Ｓ２０５）が自動的に計算される。Ｓ２０５では、値が指定されていない節点外力の自由度にはゼロが設定される。
　境界条件決定部２２は、節点外力の自由度と数値の入力を受け付け（Ｓ２０６）、節点外力Ｆｂの自由度及び数値を入力された自由度及び数値に修正する（Ｓ２０７）。さらに、境界条件決定部２２は、節点変位の未知部の入力も受け付ける（Ｓ２０８）。本例では、変位が未知である節点の自由度が入力される。例えば、ユーザが画面上で節点及び方向を指定することで入力できる構成でもよいし、未知部の自由度を示すデータを読み込む構成でもよい。境界条件決定部２２は、未知部Ｕｖの自由度を、入力された情報を元に修正する（Ｓ２０９）。
　同様に、境界条件決定部２２は、節点外力の未知部の入力も受け付け（Ｓ２１０）、未知部Ｆｖの自由度を、入力された情報を元に修正する（Ｓ２１１）。Ｓ２０８～Ｓ２１１において、同じ自由度に対して変位と外力の両方を未知部にする指定も受け入れることができる。すなわち、境界条件決定部２２は、同じ自由度に対して異なる変数を未知とする条件を設定することができる。
　判定部３３は、自由度が自己随伴境界条件を満たすか否かを判定し（Ｓ２１２）、判定結果を表示する（Ｓ２１３）。判定部３３は、例えば、節点変位の既知部Ｕｂの自由度の数と節点外力の未知部Ｆｖの数が等しいか否かを判定することができる。等しい場合は、自己随伴境界条件を満たし、等しくない場合は、自己随伴境界条件を満たさないと判断できる。
　例えば、ある１つの節点の１つの方向、すなわち１つの自由度に対して、複数の変数（本例では、節点変位が節点外力）を既知とする境界条件や、１つの自由度に対して、複数の変数の未知とする境界条件は、自己随伴境界条件を満たさないと判断される。自己随伴境界条件を満たさない境界条件が設定された場合、従来は、解析を実行することができなかったが、本願明細書に開示の技術（例えば、新型有限要素法を用いた技術）により、非自己随伴境界条件の解析が可能になる（Ｓ２１５）。自己随伴境界条件の解析は、従来型有限要素法で解析可能である（Ｓ２１４））。
　なお、Ｓ２１４又はＳ２１５の解析処理は、別の装置で実行されてもよい。例えば、判定部３３は、Ｓ２１２で自己随伴境界条件を満たすと判断された場合は、Ｓ２１４の従来型有限要素法での解析処理を実行し、自己随伴境界条件を満たさないと判断された場合は、Ｓ２１２において、Ｓ２１５の解析処理を可能にするため情報を出力することができる。例えば、Ｓ２１５の処理を実行するためのソフトウエアの入手方法や案内等の情報を出力することができる。
　（非自己随伴条件にも対応した境界条件の設定例２）
　図７１は、境界条件が非自己随伴条件である場合にも対応可能な節点変位ベクトル、節点外力ベクトルを設定する処理の他の例を示すフローチャートである。図７１に示す例では、節点変位および節点外力の自由度と数値の入力を受け付け、入力がなかった自由度は未知部として設定する。境界条件決定部２２は、節点変位の自由度と数値の入力を受け付け（Ｓ３０１）、入力に基づいて、節点変位の既知部Ｕｂの自由度と数値を確定し（Ｓ３０２）、これに伴って未知部Ｕｖの自由度も確定する（Ｓ３０３）。同様にして、節点外力の自由と数値の入力を受け付け（Ｓ３０４）、入力に基づいて、節点外力の既知部Ｆｂの自由度と数値を確定し（Ｓ３０５）、これに伴って未知部Ｆｖの自由度も確定する（Ｓ３０６）。判定処理（Ｓ３０７）、表示処理（Ｓ３０８）、解析処理（Ｓ３０９、３１０）は、図７０の場合と同様に実行することができる。
　図７１に示す例では、特に入力がない節点変位及び節点外力の自由度は、未知部として設定される。ユーザは、未知部を明示的に指定しなくてもよいが、例えば、変位をゼロにしたい節点については、明示的にゼロの値を設定することを入力する必要がある。これに対して図７０に示す例では、ユーザが未知部の指定も既知部の指定もしなかった自由度の変数は、既知部としてなんらかの値が設定される。そのため、ユーザがすべての自由度に対して未知か既知かの設定をする必要がなくなる。なお、情報処理装置では、例えば、ユーザが図７０又は図７１のいずれの処理で入力するかを選択できる構成とすることができる。なお、上記の図７０、及び図７１の処理例は、１１．７．１に記載の２通りの処理方法（１）、（２）に相当する。
　（有限要素で非自己随伴問題の解析をする例）
　図７２は、有限要素を用いた、非自己随伴問題の解析の実行例を示すフローチャートである。図７２に示す例では、まず、情報処理装置１０ｃは、計算モデルを入力する（Ｓ４０１）。例えば、処理対象となる構造の有限要素モデル、形状、材料、要素、節点等が入力される。
　初期方程式決定部２１は、Ｓ４０１で入力されたデータを用いて、要素剛性行列を作成し、要素剛性行列を重ね合わせて全体剛性行列を作成する（Ｓ４０５）。ここで作成される全体剛性行列は、行列で表現される初期方程式の一例である。Ｓ４０１では、例えば、自由度の数がｎ個である系の節点における物理量を示すｎ次元の変数ベクトルを２つと、ｎ行の要素剛性行列が決定される。具体的には、式（４４１）や式（４４９）の行列ようにすることができる。
　境界条件決定部２２は、重力荷重のデータを入力し（Ｓ４０３）、重力荷重を作成する（Ｓ４０５）。Ｓ４０３では、例えば、節点と方向で特定される自由度それぞれに対して加わる重力の値又は変位の値を示すデータが入力される。また、境界条件決定部２２は、節点変位の未知の部分と、節点外力が未知の部分を指定するデータも入力する（Ｓ４０４）。Ｓ４０３及びＳ４０４で入力されたデータによって、節点変位の既知部と未知部、及び節点外力の既知部と未知部が作成される（Ｓ４０５）。なお、Ｓ４０３、Ｓ４０４及びＳ４０５の処理は、例えば、図７０で示した処理と同様に実行することができる。
　演算部２３は、剛性要素行列を変形して演算に用いる行列を作成する（Ｓ４０６）。例えば、自由度ｎの２つの変数ベクトルに基づいて、演算部２３は、２ｎ次元のベクトルを生成し、当該２ｎ次元のベクトルの変数に応じて前記ｎ行の行列を２ｎ列の行列に変形する。例えば、式（４５０）のような形に変形できる。演算部２３は、当該２ｎ次元のベクトルの変数のうち、境界条件によって既知となる変数を含む既知部分と、未知の変数を含む未知部分とを決定する。未知部分の変数を、前記既知部分の変数で表す形式になるよう前記２ｎ列の行列及び前記２ｎ次元のベクトルを変形する。例えば、式（４５２）のように変形した行列を用いて、未知部分の変数を計算することができる。
　演算部２３は、Ｓ４０６で作成した行列の方程式の解を計算する（Ｓ４０７）。計算の結果、解が１つだけ存在する場合、演算部２３は、節点変位の特解部分及び節点外力の特解部分を作成する（Ｓ４０８）。例えば、式（９３６）のように、特解の未知部と既知部を表すベクトルを作成することができる。複数解が存在する場合、演算部２３は、同次モード係数を定義する（Ｓ４０９）。例えば、同次解の個数をｎｏとすると、ｎ次元ベクトル{ａｏ}をモード変数として定義することができる。演算部２３は、節点変位の同次解部分と、節点外力の同次解部分を作成する（Ｓ４１０）。例えば、式（９３７）に示すように、同次解の未知部と既知部を表すベクトルが作成される。
　Ｓ４１１において、演算部２３は、節点変位の解の未知部を、例えば、式（９３８）を用いて決定し、節点外力の解の未知部を、例えば、式（９３９）を用いて決定する。Ｓ４１１の処理の結果、解が一意に決定できる場合は、その結果を出力して解析処理を終了する（Ｓ４１２）。
　解が一意に決定できない場合、最小二乗法により、{ａｏ}の最適値を計算する。例えば、演算部２３は、式（９６０）、式（９６１）のような行列を作成する（Ｓ４１３）。さらに、演算部２３は、例えば、式（９６２）を、モード係数{ａｏ}について解くことで、モード係数を決定する（Ｓ４１４）。演算部２３は、決定したモード係数を中心値とする所定の範囲のモード係数に対応する解を出力する（Ｓ４１５）。例えば、決定したモード係数近傍の値の入力をユーザから受け付け、入力された値のモード係数を用いて解を計算し、この計算した解またはこの解から得られる情報を出力する。解から得られる情報として、例えば、変形状態、応力分布、誤差分布等が出力される。また、ユーザが、スライダーにより｛ａｏ｝を操作して、Ｓ４１４で決定されたモード係数を含む所定範囲の値を指定できるようにユーザインタフェースを設けることができる。
　なお、Ｓ４０８～Ｓ４１０の、解が複数のある場合の処理を実行するためのプログラムと、Ｓ４０１～Ｓ４０７の処理を実行するためのプログラムは、それぞれ、別に提供されてよい。すなわち、Ｓ４０８～Ｓ４１０の少なくとも１つのステップを実行するプログラム又はプログラムを記録した記録媒体も、本願発明の実施形態に含まれる。
　［解析結果例］
　図９は、一様重力下の円環で，内辺の境界条件を「変位がゼロかつ表面力もゼロ」とするには，外辺を如何に支持すべきかを求めた結果を示す図である。従来は求解不能とされてきた問題であるが，新たに解析解を得て，これと固有関数法による計算結果とを比較し，解析解に近い事を確認した。円環の上部と下部に大きな垂直応力σrが作用し，左右部
には剪断応力τrθが作用する事で，重力荷重を受け持っている様子が判る。内辺は真円
に保たれ，表面力も作用していない事が確認できる。なお、図９において、左図は応力σr、中央図は応力σθ、右図は剪断応力τrθを示す。図９に示す結果は、円環を有限要素とせず、解析的に計算した結果である。以下に、解析に用いた具体的な主連立微分方程式の一例を示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000274
　図１０は、一様重力下の正方形で、上辺の境界条件を「変位がゼロかつ表面力もゼロ」とした場合の解析結果を示す図である。すなわち、一様重力下で、正方形の上辺の変位と表面力の両方をゼロとするためには、他辺をどのように支持すればよいかを求める問題の結果である。図１０において、左図は水平方向（ｘ方向）の応力、中央図は垂直方向（ｙ方向）の応力、右図は剪断応力を示す。図１０の左図は正方形の下部に大きな応力σxと
σyが作用することによって上辺の変位がゼロに保たれている。ここでは、正方形を有限
要素として定式化しており、要素はひとつだけである。ひとつの要素で解析できる方法としてＰ法有限要素がある。図１０に示す解析は、非自己随伴な境界条件の例であり、Ｐ法有限要素法ではこのような境界条件での解析はできない。また、境界条件を辺に与えるか、節点に与えるかは定式化の都合によるが、ここでは、節点に境界条件を与えるよう定式化している。
　図１１は、周辺を固着した正方形の平板の面内変形の解析結果を示す図である。図１１の左図は水平方向（ｘ方向）の応力、中央図は垂直方向（ｙ方向）の応力、右図は剪断応力を示す。これは、自己随伴な境界条件である。図１１に示す解析結果は、Ｐ法有限要素と同等の解析を行ったものとなる。上記発明の解析方法は、Ｐ法を包含するものと考えられる。すなわち、本願発明を基に有限要素法をコード化しておけば、シームレスにＰ法も使うことができる。
　図１２は、正方形の面外変形平板要素の周辺を固着した場合の自重による変形を解析した結果を示す図である。正方形を有限要素として定式化しており、要素はひとつだけである。
　図１３Ａは、左端自由固着の梁のモデルを図であり、図１３Ｂは、図１３Ａに示す梁の主固有関数φ1、φ2、φ3、及び双対固有関数φ1 *、φ2 *、φ3 *の計算結果を示す。図１
３Ｃは、固有関数法により求めた解（１モード、２モード及び３モード）および解析解(Analytical Solution)を示す図である。３モードの解は、解析解とほぼ重なっている。
　図１４及び図１５は、無限領域に正方形の仮想境界を定義し，その中心に湧き出し（図１４）或いは渦度（図１５）を配置した場合の解析結果を示す図である。図１４及び図１５に示す解析結果は、上記（１２）式或いは（１３）式の右辺にディラックのδ関数を与え，固有関数法で計算したポテンシャル流れの様子を示している。これらの図から、内部の流れの様子は解析解に近い事が確認できる。
　［解析例］
　１０．１　ばね減衰系
　１０．１．１　微分方程式
　図１６のばね減衰系にて、減衰係数をｃ、ばね定数をｋとする。変位をｕ（　ｔ）、外力をｆ（ｔ）とすると、作用素Ｌを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000275
１０．１．２　随伴境界条件と随伴微分作用素
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000276
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000277
　１０．１．３　境界条件の同次化
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000278
１０．１．４　連立固有値問題と固有関数法
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000279
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000280
　１０．１．５　固有関数のセット
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000281
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000282
　１０．１．６　固有関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000283
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000284
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000285
 となる。それぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図１７に示す。
　１０．１．７　解析例１
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000286
 として，(525)式の解析解と，(494)式の固有関数法で得た結果の比較を図１８に示す．図中，破線が解析解を，実線が固有関数法を示している．50M は50 モードまで計算したこ
とを示している．モード数が多いほど，固有関数法の精度は良くなり，10 モード程度で
変位 u＾は良く一致していることがわかる。
１０．１．８　解析例２
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000287
 として，(528)式の解析解と、(494)式の固有関数法で得た結果の比較を図１９に示す。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。50M は50 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、10 モード程
度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．１．９　解析例３
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000288
 として、(531)式の解析解と、(494)式の固有関数法で得た結果の比較を図２０に示す。図中、赤色破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。50M は50 モードまで計
算したことを示している。モード数が多いほど，固有関数法の精度は良くなり、10 モー
ド程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる．
　１０．２　質点ばね系
　１０．２．１　微分方程式
　図２１の質点ばね系にて、質点の質量をｍ、ばね定数をｋとする。変位をｕ（ｔ）、外力をｆ（ｔ）とすると、作用素Ｌを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000289
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000290
　１０．２．２　随伴境界条件と随伴微分作用素
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000291
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000292
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000293
　１０．２．３　境界条件の同次化
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000294
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000295
　１０．２．４　連立固有値問題と固有関数法１
　[非自己随伴境界条件の例１]の場合には、(554)式の境界関数ｕBを用いた、非自己随伴問題の解法となる。連立固有値問題
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000296
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000297
 となる。
１０．２．５　連立固有値問題と固有関数法２
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000298
　１０．２．６　固有関数のセット
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000299
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000300
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000301
　これらの組み合わせは、連立微分方程式(596)を満足するだけで、境界条件の制約は課
していない。
　１０．２．７　固有関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000302
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000303
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000304
 となる。(610)式でのそれぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図２２
に示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000305
 　同様に、(610)式最初の２つの固有値は、

となる。(611)式でのそれぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図２３
に示す。
　１０．２．８　解析例１
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000306
 として、 (625)式の解析解と、(578)式の固有関数法で得た結果の比較を図２４に示す。
図中、破線が解析解を、実線が固有関数法を示している。56M は56 モードまで計算した
ことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、10 モード程度
で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．２．９　自己随伴固有関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000307
　１０．２．１０　解析例２
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000308
 として、(632)式の解析解と、(584)式の固有関数法で得た結果の比較を図２５に示す。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。50M は50 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、10 モード程
度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．２．１１　ハミルトニアンの原理について
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000309
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000310
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000311
　１０．３　弦の静たわみ
　１０．３．１　微分方程式
　図２６の弦の静たわみにて、弦の長さをｌ、張力をＴとする。変位をｕ（ｘ）、分布荷重をｆ（ｘ）とすると、作用素Ｌを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000312
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000313
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000314
　１０．３．２　随伴境界条件と随伴微分作用素
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000315
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000316
　１０．３．３　境界条件の同次化
　非同次境界条件を満たす項に添字Ｂを付けてｕBとおき、同次境界条件を満たす項に添
字Ｈを付けてｕHとおく。変位ｕをその和で、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000317

Figure JPOXMLDOC01-appb-M000318
　１０．３．４　固有関数のセット
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000319
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000320
　１０．３．５　固有関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000321
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000322
 となる。それぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図２７に示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000323
　１０．３．６　固有関数法
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000324
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000325
　１０．３．７　非自己随伴解析例１
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000326
 として、(706)式の解析解と、(702)式の固有関数法で得た結果の比較を図２８に示す。図中、破線が解析解を，黒色実線が固有関数法を示している。30M は30 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．３．８　非自己随伴解析例２
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000327
 として、(709)式の解析解と、(702)式の固有関数法で得た結果の比較を図２９に示す。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。30M は30 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．３．９　自己随伴解析例１
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000328
 として、(713)式の解析解と、(704)式の固有関数法で得た結果の比較を図３０に示す。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。30M は30 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．３．１０　自己随伴解析例２
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000329
 として、(715)式の解析解と、(704)式の固有関数法で得た結果の比較を図３１に示す。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。30M は30 モードまで計算し
たことを示している。モード数が多いほど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．４　梁の静たわみ
　１０．４．１　微分方程式
　図３２の梁の静たわみにて，梁の長さをｌ、曲げ剛性をＥＩとする。剪断力Ｆ（ｘ）を、曲げモーメントをＭ（ｘ）とする。変位をｕ（ｘ）、分布荷重を ｆ（ｘ）とすると、
作用素Ｌを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000330
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000331
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000332
　１０．４．２　随伴境界条件と随伴微分作用素
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000333
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000334
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000335
　１０．４．３　境界条件の同次化
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000336
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000337
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000338
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000339
　１０．４．４　固有関数のセット
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000340
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000341
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000342
　１０．４．５　固有関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000343
 となる。ぞれぞれの固有関数を、最大値が１となるように正規化して図３３に示す。
　[自己随伴境界条件の例１]
　同次境界条件が(751)式となる場合には、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000344
となる。それぞれの固有関数を、最大値が１になるように正規化して図３４に示す。
　１０．４．６　固有関数法
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000345
 となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000346
　１０．４．７　非自己随伴解析例１
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000347
 として，(784)式の解析解と，(780)式の固有関数法で得た結果の比較を図３５に示す。曲線の向きを図３２の方向に合わせるため、各関数値には負号を乗じて作図している。縦軸の座標値のみ，正負反転して読まれたし。図中、破線が解析解を，黒色実線が固有関数法を示している。32M は32 モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、
固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾ は良く一致していることがわか
る。
　１０．４．８　非自己随伴解析例２
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000348
 として、(787)式の解析解と、(780)式の固有関数法で得た結果の比較を図３６に示す。曲線の向きを図３２の方向に合わせるため、各関数値には負号を乗じて作図している。縦軸の座標値のみ、正負反転して読まれたし。図中、破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。32M は32 モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、
固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．４．９　自己随伴解析例１
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000349
 として、(790)式の解析解と、(782)式の固有関数法で得た結果の比較を図３７に示す。曲
線の向きを図３２の方向に合わせるため，各関数値には負号を乗じて作図している。縦軸の座標値のみ、正負反転して読まれたし。図中、赤色破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。32M は32 モードまで計算したことを示している。モード数が多いほ
ど、固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　１０．４．１０　自己随伴解析例２
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000350
 として、(793)式の解析解と、(782)式の固有関数法で得た結果の比較を図３８に示す。曲線の向きを図３２の方向に合わせるため、各関数値には負号を乗じて作図している。縦軸の座標値のみ、正負反転して読まれたし。図中，破線が解析解を、黒色実線が固有関数法を示している。32M は32 モードまで計算したことを示している。モード数が多いほど、
固有関数法の精度は良くなり、3 モード程度で変位 u＾は良く一致していることがわかる。
　[他の解析結果例]
　図３９は、図１０に示した解析において、固有値がゼロになることにより複数の解が発生する場合の、複数の解のうちの図１０に示す解以外の解の一つを示す図である。このような複数の解を設計者に提示することにより、設計者は、設計的に実現可能な方法を検討することができる。
　図４０Ａ及び図４０Ｂは、一様重力下の正方形板の上面の変位及び表面力をゼロにする変位を、有限要素を用いて解析した場合に計算される複数の解の例である。図４０Ａ及び図４０Ｂに示す例では、縦横6x6 個の有限要素で正方形を構成している。丸は節点を意味している。合計１０個のモードが示されている。これらの任意の組み合わせが解となる。例えば、上記９．２章に示した計算により、複数解を求めることが可能になる。また、モード係数をスライダーに連動させて、設計者がスライダーによってモード係数を調節するのに合わせて、変形図が表示されるように構成すれば、設計者は、どのような支持方法があり得るのか検討でき、設計者のイメージを湧き立たせることが可能となる。また、設計者は、実現可能な支持方法を絞り込んだ後、再度計算させることも可能になる。
　［その他］
　上記第１～４の実施形態における演算部１、設定部１１、随伴境界条件演算部１２、非自己随伴演算部１３、自己随伴判定部１５、自己随伴演算部１４は、コンピュータのプロセッサがメモリから、プログラム及びデータを読み込んでプログラムに従ってデータの処理を実行する。演算部１は、設計データ、境界条件データを、入力デバイス及びユーザインターフェースを介して、ユーザからの入力を受け付けることにより取得してもよいし、メモリから読み込むことで取得してもよい。微分方程式データは、例えば、演算部１がアクセス可能なメモリに予め記録しておくことが好ましい。
　演算部１の機能は、１台のコンピュータのＣＰＵで実現することもできるし、互いにデータ通信が可能な複数のコンピュータで実現することもできる。また、上記演算部１の処理をコンピュータに実行させるプログラムやそれを記録した非一時的（non-transitrory
）な記録媒体も本願発明の実施形態に含まれる。
　なお、本願発明は、上記第１～４の実施形態に限定されない。本願発明は、例えば、構造解析、振動解析、電磁場解析、材料解析、流体解析、温度解析、音場解析、電磁気学解析、回路シミュレータなど、微分方程式を用いたあらゆる解析に適用することができる。
11.補足
11.1 節5.2の「変分直接法と最小２乗法」における式変形の詳細
11.1.1 主問題の変分直接法
　同次化された微分方程式(40)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000351
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000352
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000353
 となる．これは，(111)式を複数組み合わせたものに他ならない．様々なδｕｉ ＊に対して，即ち様々なδｃｋ ＊に対して上式を作成し，連立方程式を代数的に解く事で，係数ｃｋを定めることができる．
　以上のことから，(795)式を変形した式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000354
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000355
 となる．これが，主問題の変分直接法である．
　また，自己随伴問題の場合には(107)式を通じて(主,双対)固有関数φｉ、φｉ ＊ は一致するから，(120),(121)式も同等になり，(122)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000356
 となる。
11.1.2 主問題の最小２乗法
　主連立微分方程式(105)
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000357
 を得る．成分ごとに同じ重みｗを用いた(主,双対)固有関数では，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000358
 とおいて，その変分がゼロになる事と等価である．即ち，最小２乗法が変分原理となる事を示している．
11.1.3 双対問題の変分直接法
　同次化された微分方程式(66)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000359
 となる．これにより，係数ｃｋ ＊が定まる．(104)式の正規化によって，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000360
 となる．これは，(115)式を複数組み合わせたものに他ならない．様々なδｕｉに対して，即ち様々なδｃｋに対して上式を作成し，連立方程式を代数的に解く事で，係数ｃｋ ＊を定めることができる．
　以上のことから，(802)式を変形した式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000361
 となる．これが，双対問題の変分直接法である．
　また，自己随伴問題の場合には(107)式を通じて(主,双対)固有関数φｉ，φｉ ＊は一致するから，(120),(121)式も同等になり，(808)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000362
 となる．
11.1.4 双対問題の最小２乗法
　双対連立微分方程式(106)
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000363
 と定義できるから，上式と(120)式より，主変分δｕｉは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000364
 とおいて，その変分がゼロになる事と等価である．即ち，最小２乗法が変分原理となる事を示している．
11.2 章6の「弾性学のエネルギ原理について」における式変形の詳細
11.2.1 部分積分公式
　２次元領域に直交座標ｘ，ｙをとり，物体の境界表面をＣ，内部領域をＳとする．境界表面の外向き単位法線ベクトルの成分をｎｘ，ｎｙとする．任意の関数ｆ，ｆ＊をｘ，ｙの関数として部分積分すると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000365
 となる．
11.2.2 自己随伴問題の変分直接法
　自己随伴問題の変分直接法は，(123)式で表され，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000366
 を得る過程を補足説明する．
　弾性学の微分方程式は，(1),(2)式で表され，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000367
 となる．これらの式を用いて，(123)式の左辺は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000368
 である．これら応力成分を用いて，(819)式を表現すれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000369
 となる．部分積分公式(817)より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000370
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000371
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000372
 となる．(123)式の変分直接法は，これがゼロとなることを意味しているから，上式をゼロとおいて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000373
 を得る．(132)，(829)式は共に変分直接法に他ならないが，従来は，仮想仕事の原理と呼ばれていた形式である．
11.2.3 ひずみエネルギの変分
　ひずみエネルギＵは(130)式で表され，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000374
 となる．上式に含まれる応力の変分を計算するために，(7),(8),(9)式の応力ひずみ関係，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000375
 となる．整理して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000376
 を得る．
11.2.4 エネルギの保存則
　エネルギ保存則を表す(134)式のクラペイロンの定理は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000377
 となる．これは，7章(4)で述べたように，(829)式から変分記号 を除去したものに一致する．
11.2.5 h法要素の概略
　有限要素法の一般的教科書では，(829)式を仮想仕事の原理と認識して要素の剛性行列が構成されるように記されているが，7章(4)で述べたように，実際のところは，エネルギ保存則を表す(838)式が使われている．次章にて，詳しく述べる．
11.3 章9の「従来有限要素の利用」における式変形の詳細
11.3.1 形状関数
　8.1節の図８では，16節点四角形要素の節点配置を示した．h法にこれを用いることもできるが，より代表的な要素である4節点四角形要素の節点配置を図４１に示す．その形状関数Ｎｉ（ｉ＝１～４）は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000378
 の不等号の範囲で境界内部を表し，等号にて境界を表す．
11.3.2 要素内座標
　形状関数Ｎｉ（ｉ＝１～ｎ～）を用いて要素内部の座標ｘｊを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000379
 と表す．
11.3.3 要素内変位
　8.3節の(163)式では，変位ｕｊを行列で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000380
 と表した．ここで，ｕＡｊは境界関数，ｕＯｊは補正関数である．境界関数ｕＡｊは要素境界のみならず，要素内の変位をも表現するが，微分方程式を満足する保証はないので，補正関数ｕＯｊを付け加えていた．しかし，従来要素即ちh法の要素では，要素内変位を境界関数ｕＡｊのみで表すところに特徴がある．即ち，補正関数ｕＯｊを付け加えずに，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000381
 とかく． Ｕｉｊは節点変位である．ここでは，アイソパラメトリック要素として，内挿関数χＡｉを形状関数Ｎｉと一致させる．変位の詳細は， 
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000382
 と比較するとわかりやすい．
11.3.4 ひずみと応力
　ひずみ成分は，(4)～(6)式から
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000383
　変位の微分係数は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000384
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000385
 となる．
11.3.5 ひずみエネルギ
　ひずみエネルギＵは(130)式で表され，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000386
 である．これは，エネルギ保存則(837)式の左辺に使われており，２倍して(838)式の左辺を表す．
　要素内部のひずみエネルギｅｎｇは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000387
 にて得られる．上式では，エネルギのＵと節点変位のＵが同じ記号となってしまっているのでまぎらわしいが，左辺のＵがひずみエネルギを表し，右辺に２つ現れる｛Ｕ｝が節点変位を表している．上式の積分項を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000388
 にて計算できることを示している．
11.3.6 等価節点力
外力のなす仕事ｗｒｋは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000389
 であり，エネルギ保存則(837)式の右辺に使われており，２倍して(838)式の右辺を表す．表面力の項ｐｘ，ｐｙを境界上で積分して節点に振り分けたものをＦｐ，物体力の項ｂｘ，ｂｙを要素内で積分して節点に振り分けたものをＦｂ，として，単位厚さあたりの等価節点力 を，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000390
 となる．
11.3.7 h法の要素剛性行列
　エネルギ保存則(837)式に従い，(854)式と(859)式を等置して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000391
 と認識することも有用である．単位厚さあたりの要素剛性行列［Ｋｅｌｍ］を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000392
 となり，節点変位Ｕと等価節点力Ｆとのエネルギ的な等価性を表している． 
　解析対象となる物体を膨大な数の要素に分割した後，個々の要素に対して(865)式を作成し，共有節点に注意しながら全体系の方程式を構成すれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000393
 となる．ここで，Ｎは全体系の自由度の総数である．総自由度Ｎのことをｎと表したものが(434)式である．これを力の釣り合いと認識して解く方法がh法による線形弾性有限要素法，即ち従来法である．
　(865)式を得る手順を熟察すれば，変分演算はどこにも用いられておらず，仮想変位も現れないことがわかる．多くの教科書では(829)式を計算して(865)式が得られるかの如く説明されるが，実際のところはそうではなく，エネルギ保存則(837)，(838)式が使われているのである．故に，(866)，(434)式のことを，力の釣り合いと理解するよりは，エネルギ的な等価性を表していると理解する方が理にかなっている．
　従って，9.2節に示したように，自己随伴な境界条件に縛られる必要はなく，非自己随伴な境界条件に対して(866)，(434)式を解いても，良いのである．
11.3.8 有限要素の特徴
　新しい有限要素では，単位厚さあたりの等価節点力Ｆは，(214)式で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000394
 である．それぞれ，要素境界上で表面力を積分することで得られたものである．
　これに対して，従来の有限要素法即ちh法の要素では，
単位厚さあたりの等価節点力Ｆは，(861)式で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000395
 である．これは，要素内部のひずみエネルギと等価節点力による仕事とを等置して得られたものである．
　新しい有限要素での剛性行列は［ＫＵ］，［ＫＯ］の２つから成るのに対し，h法要素での剛性行列は［Ｋｅｎｇ］の１つから成る．その詳細，即ち(212),(213)式および(853)式の計算法からみて，新旧２つの剛性行列は，全く性質が異なるものであり，補正関数による効果即ち［ＫＯ］を無視すれば両者が一致するといったものではないことがわかる．
11.3.9 長方形要素の剛性行列
　図４１の節点配置で，節点1,2,3,4の座標をそれぞれ(-a,-b),(a,-b),(a,b),(-a,b)として，アスペクト比κが，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000396
 である．その結果，図４１の４節点要素での要素内座標ｘｊは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000397
 となる．
　要素内変位ｕｊは(845)式で表され，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000398
 である．アイソパラメトリック要素として，内挿関数χＡｉを形状関数Ｎｉと一致させる． Ｕｉｊは節点変位で，その並びに応じて各種行列の並びが定まり，(192)，(193)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000399
 である．よって，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000400
 となる．
　以上により，(870)式が計算できて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000401
 となる．ここで，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000402
 とおいて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000403
 である．また，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000404
 である．単位厚さあたりの要素剛性行列［Ｋｅｌｍ］は，(864)式に(876)式を代入して，平面応力状態，平面ひずみ状態，共に，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000405
 と定義するのが一般的である．上式を利用する場合には，平面応力状態と平面ひずみ状態とで，行列要素を書き換える必要があることから，少し面倒である．しかし，教科書で良く見る式を示しておいて，それと(893)式との対応を知る事も必要なので，以下に両者の行列要素を記しておく．結果として，両者を区別する必要のない(893)式の方が扱い易いことがわかるだろう．
　平面応力状態のとき，ヤング率をＥとして， (894)式の係数ｃ＊は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000406
 とおいて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000407
 である．また，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000408
 を代入した要素剛性行列［Ｋｅｌｍ］は平面応力状態の(894)式に一致する．
　同様に，平面ひずみ状態のとき，ヤング率をＥとして， (894)式の係数ｃ＊は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000409
 とおいて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000410
 である．また，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000411
 を代入した要素剛性行列［Ｋｅｌｍ］は平面ひずみ状態の(894)式に一致する．
11.3.10 解の複数存在する劣決定系に関する補足
　9.4節では，同次解の個数 は, 
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000412
 である．この場合には，(453)式を(933)式に読み替えれば良い．
11.3.11 最小自乗法に関する補足
　9.5節で示した変分原理の計算方法を補足説明する．まずは，(251)式と同様に，節点変位Ｕを既知部Ｕｂと未知部Ｕｖに分けて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000413
 と定義する．これは，8.11節で述べた内容と同一であるが，ここではｎを構造全体をメッシュに分割してh法要素で表したきの総自由度数と捉えているところが異なる．
　同次解に対するモード係数を｛ａＯ｝とおいて，解｛ｓｖ｝は(455)式で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000414
 および，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000415
 となる．未知部ＵｖとＦｖはいずれも，モード係数｛ａＯ｝によって表され，問題は完全に解かれたことになる．即ち，任意の｛ａＯ｝に対して解となる．
　しかし，この解は11.3.7節で述べたように，エネルギ的な等価性を表しているだけで，要素内部でも構造全体でも微分方程式を満足する保証は無い．そこで，(122)式式の変分原理および最小自乗法を用いることで，構造全体系としては近似的に微分方程式を満足する解が得られるよう，変分原理により｛ａＯ｝を求めた後，(938)式で未知変位，(939)式で未知外力を決定する．変分原理により定まった｛ａＯ｝の近傍では，近似的に微分方程式を満足する解が表現できていると考えることができるから，設計者は，スライダーにより を操作して，変形状態や応力分布さらには誤差分布を確認しながら，設計作業を進めることができる．
　節点変位Ｕは，(934)，(938)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000416
 と定義すれば，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000417
 および，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000418
 である．ここで， ｎはひとつの要素の自由度数である．同じ記号ｎが使われているとややこしいので，次のように記号を置き換える．構造全体をメッシュに分割してh法要素で表したきの総自由度数をｎＴとすると，(943)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000419
 となる．上式は，要素内の変位分布を表しており，モード係数｛ａＯ｝の関数となっていることがわかる．
　ある要素の連立偏微分方程式(23)は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000420
 となる．しかし，上式の等号が満たされる保証はなく，適切な｛ａＯ｝を与えることで，近似的に等号が成立することを期待することしかできない．そこで，ｋ番目の要素に対する誤差関数Ｅｋを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000421
  とおいて，その変分がゼロになるようにモード係数｛ａＯ｝を決めれば，変分原理を適用したことになる．ただし，この段階では，ひとつの要素について適用したことにしかならない．構造全体を表す要素の総数をｎＥ，構造全体での汎関数をΠＴとすると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000422
 となる．そして， ΠＴの変分がゼロになるようにモード係数｛ａＯ｝を決めれば，構造全体に対して変分原理を適用したことになり，変分直接法を表す(127)式，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000423
 である．よって，変分δΠＴは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000424
 となる．任意の変分｛δａＯ｝に対して(957)式が成立するためには，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000425
 が成立すれば良い．上式は，モード係数｛ａＯ｝について解ける．これにより，構造全体系として近似的に微分方程式を満足する解が得られたと考えることができ，求まった｛ａＯ｝を(938)式に戻して未知変位，(939)式に戻して未知外力が定まる．この値を起点として，設計者は，スライダーにより｛ａＯ｝を操作して，変形状態や応力分布さらには誤差分布を確認しながら，設計作業を進めることができる．
11.3.12 構造的特徴の共通点に関する補足
　連立偏微分方程式(23)は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000426
 を用いた．２次元弾性体の静的釣合方程式の場合にも当てはまるが，より一般の２次元問題に対して，(105)，(106)式をまとめて記すと，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000427
 となる．上式で，左辺の行列部分は自己随伴作用素となる．即ち，上式には，非自己随伴な問題を自己随伴化させ，完全系の固有関数を得るための工夫が織り込まれている．２次元問題ゆえに方程式(23)も２つ存在するが，未知関数（変数とも言う）はφ１，φ２，φ１ ＊，φ２ ＊ であって，方程式数の２倍の４つが定義されている．また，8.18節のように，固有値 がゼロとなる関数φ１，φ２，φ１ ＊，φ２ ＊ も用いて解析がなされる．一意の解にも複数の解にも対応できる解法となっており，これが構造的特徴である．
　一方，従来要素を用いた定式化，(442)式，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000428
 のように解が求まる．一意の解にも複数の解にも対応できる解法となっており，これが構造的特徴である．
　これらの事項は，両解法に一致した共通の特徴である．
11.4 円環の静たわみ
本節は，10章に含める方が良い．
11.4.1 微分方程式
　２次元弾性体の静的釣合方程式は，直交座標系で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000429
 となる．ここで，ｕｘ，ｕｙはｘ，ｙ方向の変位で，ｂｘ，ｂｙはｘ，ｙ方向の単位体積あたりの物体力，Ｇは剛性率である．ポアソン比をνとして，定数μは，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000430
 と定義し，定数と認識する．
11.4.2 座標変換
　直交座標系と極座標系との関係は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000431
 である。
11.4.3 変位変換
　変位の直交座標成分ｕｘ，ｕｙと極座標成分ｕｒ，ｕθとの関係は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000432
 となる．
11.4.4 表面力変換
　表面力の変換は変位と同様である．表面力の直交座標成分ｐｘ，ｐｙと極座標成分ｐｒ，ｐθとの関係は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000433
 となる．
11.4.5 応力変換
　応力の直交座標成分σｘ，σｙ，τｘｙと極座標成分σｒ，σθ，τｒθとの関係は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000434
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000435
 となる．
11.4.6 微分作用素の変換
　(967)式を微分して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000436
 となる．もう一度微分して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000437
 となる．(989)式と(990)式を加えて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000438
 となる．これは，ラプラス作用素▽２の変数変換を表している．
11.4.7 重調和方程式
　微分方程式(1),(2)の連立をはずして，重調和方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000439
 となる．作用素を展開すると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000440
 である．
　極座標系の微分方程式(996),(997)の一般解をψ（ｒ，θ）とおいて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000441
 とおく．
11.4.8 変数分離解
　(1000)式を(999)式に代入して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000442
 となる．上記の一般解は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000443
 が，変数分離解となる．
　なお，上式ではｍ＝０の場合に不都合が生じるので，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000444
 が，変数分離解となる．
　さらに，(1006)式ではｍ＝１の場合にも不都合が生じるので，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000445
 を得るので，これらを(1001)式に代入して，整理すると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000446
 が，変数分離解となる．
　以上のことから，(1006)，(1011)，(1016)式を微分方程式(1001)の解の形式とすれば良い． 
11.4.9 境界条件
　２次元円環の外径をＲ ，内径をγＲ とする．内径比率γの範囲は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000447
 である．一様重力下の円環で，内辺の境界条件を，表面力がゼロ，変位もゼロとするには，外辺をどのように支持すれば良いか求める．従来は求解不能とされた問題である．
　内辺の変位をゼロとする境界条件は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000448
 となる．
11.4.10 解析解
　微分方程式(1),(2)と境界条件式(1018),(1019)を満たす解では，(1016)式の形式は不要となるので，微分方程式(996),(997)の一般解ｕｘ，ｕｙ を，それぞれ(1006)，(1011)式で表す．
　計算の結果，関数を，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000449
 にある．ここで， ｂｘ，ｂｙはｘ，ｙ方向の単位体積あたりの物体力，Ｇは剛性率である． ｆｘ，ｆｙは長さの逆数の次元を持つから，代表長さを外径Ｒとして，無次元の荷重係数ｃｘ，ｃｙを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000450
 と定義すると，問題を扱いやすい．
　平面応力状態で，材料定数を，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000451
 として，一様重力荷重ｆｙを作用させた場合の，変形と応力分布の様子を図４２に示す．ここで，荷重係数ｃｘ，ｃｙを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000452
 とおいて，変位を外径Ｒで無次元化している．
11.4.11 部分積分公式
　11.2.1節で示したように，任意の関数ｆ，ｆ＊をｘ，ｙの関数として部分積分すると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000453
 が得られる．また，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000454
 が得られる．
11.4.12 随伴微分作用素と随伴境界条件
　微分方程式(1),(2)の右辺を(964)式で表して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000455
 となる．ここで，原初微分作用素Ｌｉｊは，(15)式で表され，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000456
 となる．
　双対変位ｕｉ ＊に関する準備として，(4)，(5)，(6)式に相当する変位ひずみ関係は，平面応力，平面ひずみ状態共に，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000457
 となる．(10)，(11)，(12)式に相当する応力成分は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000458
 となる．
　では，(58)式の左辺を部分積分しよう．
・｜ｉ＝１，ｊ＝１｜ のとき，(1029)，(1030)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000459
 となる．上式右辺の境界項をＲ１１，微分作用素をＬ１１ ＊と書き，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000460
 とする．Ｌ１１ ＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・｜ｉ＝１，ｊ＝２｜ のとき，(1031)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000461
 とする．Ｌ１２ ＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝２，ｊ＝１｜のとき，(1032)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000462
 とする．Ｌ２１ ＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝２，ｊ＝２｜のとき，(1029)式，(1030)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000463
 となる．上式右辺の境界項をＲ２２ ，微分作用素をＬ２２ ＊と書き，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000464
 となる場合を自己随伴な微分作用素と呼ぶ．
　境界項を加え合わせて， Ｒと表し，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000465
 となる．(10)，(11)，(12)式，及び，(1043)，(1044)，(1045)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000466
 となる．
　なお，(1059)式の境界項Ｒを極座標成分で表すために，(971)，(972)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000467
 となる．上式が，極座標成分で書いた境界項である．
　境界項Ｒをゼロとする条件から，随伴境界条件が定まる．
以下にその例を示すが，円環の外辺の半径をｒ＝Ｒ ，内辺の半径をｒ＝γＲとしており，境界項Ｒと同じ記号が現れるのでまぎらわしいが，両者の意味合いが大きく異なるので判別は可能である．
[非自己随伴境界条件の例１]
　円環にて，内辺（ｒ＝γＲ ）で表面力がゼロかつ変位もゼロとする境界条件は，(1018),(1019)式であり，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000468
 となる．これは，外辺（ｒ＝Ｒ）で双対表面力ｐｘ ＊，ｐｙ ＊がゼロかつ双対変位ｕｘ ＊，ｕｙ ＊もゼロとする条件であり，上式が随伴境界条件となる．(1069)式と(1070)式では条件が異なるので，非自己随伴境界条件である．
　なお，条件式(1018),(1019)は，(1069)式に一致する．即ち，11.4.9節で与えた条件は，非自己随伴境界条件である．
[自己随伴境界条件の例１]
　円環にて，内辺（ｒ＝γＲ）で変位がゼロ，外辺（ｒ＝Ｒ ）でも変位がゼロとする境界条件は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000469
 を得る．(1071)式と(1072)式では条件が一致するので，自己随伴境界条件である．
11.4.13 境界条件の同次化と境界項
　非同次境界条件を満たす項に添字Ｂを付けてｕＢｊとおき，同次境界条件を満たす項に添字Ｈを付けてｕＨｊとおく．主変位ｕｊをその和で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000470
 を得る．これと，同次随伴境界条件を満たす関数ｕＨｉ ＊との内積は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000471
 となる．
　では，(61)式の左辺を部分積分しよう．
・｜ｉ＝１，ｊ＝１｜のとき，(1029)，(1030)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000472
 とする．Ｌ１１ ＊ は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝１，ｊ＝２｜のとき，(1031)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000473
 とする． Ｌ１２ ＊ は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝２，ｊ＝１｜のとき，(1032)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000474
 とする． Ｌ２１ ＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
・ ｜ｉ＝２，ｊ＝２｜のとき，(1029)，(1030)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000475
 とする． Ｌ２２ ＊は(16)式に示した随伴微分作用素である．
　この例のように，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000476
 となる．上式を変形して，境界積分の関係式(1034)を利用すると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000477
 となる．(27)，(30)，(33)式，及び，(45)，(48)，(51)式を利用して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000478
 である．極座標成分で表すために，(1068)式を得たのと同様の変形をして，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000479
 となる．
11.4.14 連立固有値問題の連立解除
　代表長さを外径Ｒとして，重み定数を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000480
 となる．
　主連立固有値問題は，(98)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000481
 となる．上式の連立をはずして整理すると，φｘ，φｙは共に微分方程式，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000482
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000483
 を満たす関数φ＊となる．
11.4.15 固有関数のセット
　(1094)式と(1098)式は同じ微分方程式であるから，結局，φｘ，φｙとφｘ ＊，φｙ ＊は，同じ関数セットから構成されることがわかる．よって，(1094)式を解く事に照準を合わせて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000484
 となる．
　さて，θの関数には ２πの周期性を期待してｍを整数とおき，変数分離解を求めることにして，微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000485
 である．ここで，Ｉｍ，Ｋｍは第1,2種変形ベッセル関数である．
　同様にして，微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000486
 である．
11.4.16 主連立固有値問題を満たす解の組み合わせ
　主連立固有値問題の(1092),(1093)式を変形して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000487
 となる．解φｘ，φｙを，(1105)式あるいは(1107)式を満たす関数系から選んだ場合には，φｘ，φｙは共に，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000488
 を満たさねばならない．これは，括弧内の項が定数になることを要求している．しかし， φｘ，φｙの解形式が(1106)，(1108)であることから，ゼロ以外の定数になることはないので， φｘ，φｙの組み合わせが満たすべき方程式として，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000489
 となる．解φｘ，φｙを，(1109)式あるいは(1111)式を満たす関数系から選んだ場合には， φｘ，φｙは共に，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000490
 を満たさねばならない．これは，括弧内の項が定数になることを要求している．しかし， φｘ，φｙの解形式が(1110)， (1112)であることから，ゼロ以外の定数になることはないので， φｘ，φｙの組み合わせが満たすべき方程式として，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000491
 が得られる．
11.4.17 双対連立固有値問題を満たす解の組み合わせ
　双対連立固有値問題の(1096),(1097)式を変形して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000492
 となる．(1099)式のω１を用いて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000493
 を満たさねばならない．これは、括弧内の項が定数になることを要求している．しかし、φx *,φy *の解形式が(1106)，(1108)であることから，ゼロ以外の定数になることはないので，φx,φy *の組み合わせが満たすべき方程式として，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000494
 が得られる．
　一方，双対連立固有値問題の(1096),(1097)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000495
 となる．解 φｘ ＊，φｙ ＊を，(1109)式あるいは(1111)式を満たす関数系から選んだ場合には， φｘ ＊，φｙ ＊は共に，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000496
 を満たさねばならない．これは，括弧内の項が定数になることを要求している．しかし， φｘ ＊，φｙ ＊の解形式が(1110)， (1112)であることから，ゼロ以外の定数になることはないので， φｘ ＊，φｙ ＊の組み合わせが満たすべき方程式として，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000497
 が得られる．
11.4.18 主連立微分方程式を満たす解の組み合わせ
　主連立微分方程式の(1087),(1088)式を変形して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000498
 となる．
解 φｘ ＊，φｙ ＊を，(1105)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000499
 を得る．これを主連立微分方程式(1087),(1088)に代入して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000500
 となる．これは，(1106)式の関数系から成り，(1120)式を満足するφｘ，φｙの組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000501
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000502
 となる．これは，(1108)式の関数系から成り，(1120)式を満足するφｘ，φｙの組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
　一方，主連立微分方程式の(1087),(1088)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000503
 となる．
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000504
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000505
 となる．これは，(1110)式の関数系から成り，(1128)式を満足するφｘ，φｙの組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000506
 を満たさねばならないから，(1163)，(1164)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000507
 となる．これは，(1112)式の関数系から成り，(1128)式を満足するφｘ，φｙの組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
11.4.19 双対連立微分方程式を満たす解の組み合わせ
双対連立微分方程式の(1089),(1090)式を変形して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000508
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000509

を満たさねばならないから，(1179)，(1180)は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000510
 となる．これは，(1106)式の関数系から成り，(1136)式を満足するφｘ ＊，φｙ ＊の組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
　解φｘ ＊，φｙ ＊を，(1107)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000511
 を得る．これを双対連立微分方程式(1089),(1090)に代入して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000512
 となる．これは，(1108)式の関数系から成り，(1136)式を満足するφｘ ＊，φｙ ＊の組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
　一方，双対連立微分方程式の(1089),(1090)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000513
 なる変形もできる．(1100)式のω２を用いて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000514
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000515
 を得る．これを双対連立微分方程式(1089),(1090)に代入して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000516
 となる．これは，(1110)式の関数系から成り，(1144)式を満足するφｘ ＊，φｙ ＊の組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している．
　解φｘ ＊，φｙ ＊を，(1111)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000517
 を満たさねばならないから，(1195)，(1196)式は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000518
 となる．これは，(1112)式の関数系から成り，(1144)式を満足するφｘ ＊，φｙ ＊の組み合わせは，上式の連立微分方程式を満足することを示している。
１１.４.２０ 解関数の様子
　(1106),(1108),(1110),(1112)式の解を用いるにあたって，整数ｍを偶数と奇数の場合に分けるのが便利で、ｎを整数として、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000519
 が成立することから，上下対称（ｘ軸に対称），左右対称（ｙ軸に対称）な関数となる．即ち、ｘ方向に偶関数(even)で、ｙ方向に偶関数(even)となる．頭文字をとって，添字eeを付ける。
(2) 関数φｏｅを、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000520
 が成立することから，上下対称（ｘ軸に対称），左右反対称（ｙ軸に反対称）な関数となる．即ち、ｘ方向に奇関数(odd)で，ｙ方向に偶関数(even)となる. 頭文字をとって，添字oeを付ける。
(3) 関数φｏｏを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000521
 が成立することから，上下反対称（ｘ軸に反対称），左右反対称（ｙ軸に反対称）な関数となる．即ち，ｘ方向に奇関数(odd)で，ｙ方向に奇関数(odd)となる．頭文字をとって，添字ｏｏを付ける。
(4) 関数φｅｏを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000522
 が成立することから，上下反対称（ｘ軸に反対称），左右対称（ｙ軸に対称）な関数となる．即ち， ｘ方向に偶関数(even)で、ｙ方向に奇関数(odd)となる．頭文字をとって，添字ｅｏを付ける。
　さて今度は，ｘ方向の変位をφｘ，ｙ方向の変位をφｙとする．上記関数の組み合わせによって，以下の代表的な４つの変形モードが生じる。
［ＳＡ］
　ｘ方向の変位が(1210)式の形の関数φｘｅｅで，ｙ方向の変位が(1214)式の形の関数φｙｏｏで表されるとき，変形は図４３の様にｘ軸に対称(symmetry)，ｙ軸に非対称(asymmetry)になる．頭文字をとって，このような変形をモードSAと呼ぶ．この変形を表す関数の組み合わせφSAを、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000523
 のように，添字SAを付けて定義する。
［ＡＳ]
　ｘ方向の変位が(1214)式の形の関数φｘｏｏで、ｙ方向の変位が(1210)式の形の関数φｙｅｅで表されるとき，変形は図の４４の様にｘ軸に非対称(asymmetry)，ｙ軸に対称(symmetry)になる．頭文字をとって，このような変形をモードASと呼ぶ．この変形を表す関数の組み合わせφＡＳを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000524
 のように，添字ASを付けて定義する。
［ＳＳ］
　ｘ方向の変位が(1212)式の形の関数φｘｏｅで，ｙ方向の変位が(1216)式の形の関数φｙｅｏで表されるとき，変形は図４５の様にｘ軸に対称(symmetry)，ｙ軸に対称(symmetry)になる．頭文字をとって，このような変形をモードＳＳと呼ぶ．この変形を表す関数の組み合わせφｓｓを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000525
 のように，添字ＳＳを付けて定義する。
［ＡＡ］
　ｘ方向の変位が(1216)式の形の関数φｘｅｏで，ｙ方向の変位が(1212)式の形の関数φｙｏｅで表されるとき，変形は図４６の様にｘ軸に非対称(asymmetry)，ｙ軸に非対称(asymmetry)になる．頭文字をとって，このような変形をモードＡＡと呼ぶ．この変形を表す関数の組み合わせφＡＡを，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000526
 のように，添字AAを付けて定義する．
１１．４．２１ 第１種ベッセル関数を用いた解関数
　固有値ω１、ω２を総称してωと表し，(1106)，(1110)式の第1種ベッセル関数Ｊｍを用いた解を，(1209)式に従い，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000527
 と表す．これらの関数の主変数はｒ、θであり，ｎ、ωは助変数である．これら変数を全て記すと式が長くなるので，以下では，注目する変数だけを記す．例えば，等式の両辺でｎは変化しても，ｒ、θ、ωは変化しない場合には，引数を（ｎ）と表現する．このとき，次のように導関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000528
 が得られる．さらに，(1226)～(1229)式からは，関係式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000529
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000530
 が得られる。
　ここで，(1234)と(1239)式，(1235)と(1238)式，(1237)と(1240)式，(1236)と(1241)式の組合せに注目して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000531
 の4組を定義すると，それぞれ，(1120)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000532
 が成立する．よって，(1242)～(1245)式でωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは，主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる．即ち、φｘ、φｙは主固有関数である．さらに，(1151),(1152)式から、φｘ、φｙの符号を反転させたものは双対固有関数φｘ *、φｙ *となる．以上により，主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ *、φｙ * が4組得られたことになる。
　また，(74)～(76)式を用いて，(1242)～(1245)式のそれぞれに応力が計算できて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000533
 となる．よって、ωを(1099)式のω1に差し替えた組合せは，主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお，(82)～(84)式及び，(1151),(1152)式から、σｘ、σｙ、τｘｙの符号を反転させれば，双対固有関数に基づく応力σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *を表す。以上により，応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *が4組得られたことになる。
　改めて定義すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000534
 の4組である。まだ境界条件は反映されていないが，任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。 
　同様に，(1238)と(1235)式，(1239)と(1234)式，(1241)と(1236)式，(1240)と(1237)式の組合せに注目して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000535
 が成立する。よって，(1254)～(1257)式でωを(1100)式のω2に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1167),(1168)式から、φｘ、φｙの符号を反転させたものは双対固有関数φｘ *、φｙ *となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ *、φｙ *が4組得られたことになる。
　また、(74)～(76)式を用いて、(1254)～(1257)式のそれぞれに応力が計算できて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000536
 となる。よって、ωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)～(84)式及び，(1167),(1168)式から、σｘ、σｙ、τｘｙの符号を反転させれば，双対固有関数に基づく応力σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *が4組得られたことになる。
　改めて定義すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000537
 の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
１１.４.２２ 第２種ベッセル関数を用いた解関数
　固有値ω１、ω２を総称してωと表し、(1106)，(1110)式の第２種ベッセル関数Ｙｍを用いた解を、(1209)式に従い、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000538
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000539
 と表す。これらの関数の主変数はｒ、θであり、ｎ、ωは助変数である。これら変数を全て記すと式が長くなるので、以下では、注目する変数だけを記す。例えば、等式の両辺でｎは変化しても、ｒ、θ、ωは変化しない場合には，引数を（ｎ）と表現する。このとき、次のように導関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000540
 が得られる．さらに，(1270)～(1273)式からは，関係式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000541
 が得られ，(1274)～(1277)式からは，関係式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000542
 が得られる。
　ここで，(1278)と(1283)式，(1279)と(1282)式，(1281)と(1284)式，(1280)と(1285)式の組合せに注目して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000543
 が成立する。よって，(1286)～(1289)式でωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1151),(1152)式から、φｘ、φｙの符号を反転させたものは双対固有関数φｘ *、φｙ *となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ *、φｙ *が4組得られたことになる。
　また，(74)～(76)式を用いて、(1286)～(1289)式のそれぞれに応力が計算できて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000544
 となる。よって、ωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)～(84)式及び、(1151),(1152)式から、σｘ、σｙ、τｘｙの符号を反転させれば、双対固有関数に基づく応力σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *が4組得られたことになる。
　改めて定義すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000545
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000546
 の4組である。まだ境界条件は反映されていないが，任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
　同様に、(1282)と(1279)式，(1283)と(1278)式， (1285)と(1280)式，(1284)と(1281)式の組合せに注目して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000547
 が成立する。よって、(1298)～(1301)式でωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1167),(1168)式から、φｘ、φｙの符号を反転させたものは双対固有関数φｘ *、φｙ *となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セット φｘ、φｙ、φｘ *、φｙ *が4組得られたことになる。
　また，(74)～(76)式を用いて，(1298)～(1301)式のそれぞれに応力が計算できて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000548
 となる。よって、ωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)～(84)式及び，(1167),(1168)式から、σｘ、σｙ、τｘｙの符号を反転させれば，双対固有関数に基づく応力σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *が4組得られたことになる。
　改めて定義すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000549
 の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
11.4.23 第1種変形ベッセル関数を用いた解関数
　固有値ω１、ω２を総称してωと表し，(1108)，(1112)式の第1種変形ベッセル関数Iｍを用いた解を、(1209)式に従い、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000550
 と表す。これらの関数の主変数はｒ、θであり、ｎ、ωは助変数である。これら変数を全て記すと式が長くなるので、以下では、注目する変数だけを記す。例えば、等式の両辺でｎは変化しても、ｒ、θ、ωは変化しない場合には、引数を（ｎ）と表現する。このとき、次のように導関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000551
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000552
 が得られる。
　ここで，(1322)と(1327)式，(1323)と(1326)式，(1325)と(1328)式，(1324)と(1329)式の組合せに注目して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000553
 が成立する。よって，(1330)～(1333)式でωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは，主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに，(1157),(1158)式から、φｘ、φｙと同じものが双対固有関数φｘ *、φｙ *となる。以上により，主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ *、φｙが4組得られたことになる。
　また，(74)～(76)式を用いて，(1330)式のそれぞれに応力が計算できて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000554
 となる。よって、ωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)～(84)式及び、(1157),(1158)式から、σｘ、σｙ、τｘｙと同じものが双対固有関数に基づく応力σｘ *、σｙ *、τｘｙ *を表す。以上により，応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ *、σｙ *、τｘｙ *が4組得られたことになる。
　改めて定義すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000555
 の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。 
　同様に、(1326)と(1323)式，(1327)と(1322)式，(1329)と(1324)式，(1328)と(1325)式の組合せに注目して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000556
 が成立する。よって，(1342)～(1345)式でωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに，(1173),(1174)式から、φｘ、φｙと同じものが双対固有関数φｘ *、φｙ *となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ *、φｙ *が4組得られたことになる。
　また，(74)～(76)式を用いて，(1342)～(1345)式のそれぞれに応力が計算できて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000557
 となる。よって、ωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)～(84)式及び、(1173),(1174)式から、σｘ、σｙ、τｘｙと同じものが双対固有関数に基づく応力σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *が4組得られたことになる。
　改めて定義すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000558
 の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
11.4.24 第2種変形ベッセル関数を用いた解関数
　固有値ω１、ω２を総称してωと表し、(1108)，(1112)式の第2種変形ベッセル関数Ｋｍを用いた解を、(1209)式に従い、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000559
 と表す。これらの関数の主変数はｒ、θであり、ｎ、ωは助変数である。これら変数を全て記すと式が長くなるので、以下では、注目する変数だけを記す。例えば、等式の両辺でｎは変化しても、ｒ、θ、ωは変化しない場合には、引数を（ｎ）と表現する。このとき、次のように導関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000560
 が得られる。さらに、(1358)～(1361)式からは、関係式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000561
 が得られる。
　ここで、(1366)と(1371)式，(1367)と(1370)式，(1369)と(1372)式，(1368)と(1373)式の組合せに注目して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000562
 の４組を定義すると、それぞれ、(1120)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000563
 が成立する。よって、(1374)～(1377)式でωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1157),(1158)式から、φｘ、φｙと同じものが双対固有関数φｘ *、φｙ *となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ *、φｙ *が4組得られたことになる。
　また，(74)～(76)式を用いて，(1374)～(1377)式のそれぞれに応力が計算できて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000564
 となる。よって、ωを(1099)式のω１に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)～(84)式及び、(1157),(1158)式から、σｘ、σｙ、τｘｙと同じものが双対固有関数に基づく応力σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *を表す．以上により，応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *が4組得られたことになる。
　改めて定義すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000565
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000566
 の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
　同様に，(1370)と(1367)式，(1371)と(1366)式，(1373)と(1368)式，(1372)と(1369)式の組合せに注目して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000567
 が成立する。よって、(1386)～(1389)式でωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主連立固有値問題(1092),(1093)式を満足することがわかる。即ち、φｘ、φｙは主固有関数である。さらに、(1173),(1174)式から、φｘ、φｙと同じものが双対固有関数φｘ *、φｙ *となる。以上により、主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす関数セットφｘ、φｙ、φｘ *、φｙ *が4組得られたことになる。
　また、(74)～(76)式を用いて、(1386)～(1389)式のそれぞれに応力が計算できて、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000568
 となる。よって、ωを(1100)式のω２に差し替えた組合せは、主固有関数に基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙを表す。なお、(82)～(84)式及び、(1173),(1174)式から、σｘ、σｙ、τｘｙと同じものが双対固有関数に基づく応力σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *を表す。以上により、応力を表す関数セットσｘ、σｙ、τｘｙ、σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *が4組得られたことになる。
　改めて定義すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000569
 の4組である。まだ境界条件は反映されていないが、任意のｎに対して主連立微分方程式(1087),(1088)を満たす。
11.4.25 主固有関数と双対固有関数の関数セット
　11.4.21節から11.4.24節に示した関数セットを組み合わせたものに境界条件を課すことで，固有値とそれに属する固有関数が定まる。モードSA,AS,SS,AAの4つの変形それぞれの、主固有関数φｘ、φｙ及びこれに基づく応力σｘ、σｙ、τｘｙ，そして，双対固有関数 φｘ *、φｙ *及びこれに基づく応力σｘ * 、σｙ * 、τｘｙ *の具体的な数式を示す。 
［SA］
　モードSAには，(1250)式のＪ１ＳＡ，(1262)式のＪ２ＳＡ，(1294)式のＹ１ＳＡ，(1306)式のＹ２ＳＡ，(1338)式のＩ１ＳＡ，(1350)式のＩ２ＳＡ，(1382)式のＫ１ＳＡ，(1394)式のＫ２ＳＡ，の合計8セットが属する。任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は８ｎとなる。
 　(1)Ｊ１ＳＡについては、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000570
 となる．(1398)式を(969),(970)式により変換して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000571
 を得る。
 　(2)Ｊ２ＳＡについては、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000572
 となる。(1402)式を(969),(970)式により変換して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000573
 を得る。
(3)Ｙ１ＳＡについては、
となる．(1406)式を(969),(970)式により変換して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000575
 を得る．
(4)Ｙ２ＳＡについては
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000576
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000577
 を得る．(1411)式を(977),(978),(979)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000578
 を得る．
(5)  Ｉ１ＳＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000579
 を得る．(1415)式を(977)，(978)，(979)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000580
 を得る．
(6)  Ｉ２ＳＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000581
 となる．(1418)式を(969),(970)式により変換して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000582
 を得る．
(7)  Ｉ１ＳＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000583
 となる．(1422)式を(969), (970)により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000584
 を得る．
(8)  Ｉ２ＳＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000585
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000586
 を得る．
［ＡＳ］
　モードASには，(1251)式のＪ１ＡＳ，(1263)式のＪ２ＡＳ ，(1295)式のＹ１ＡＳ ，(1307)式のＹ２ＡＳ ，(1339)式のＩ１ＡＳ，(1351)式のＩ２ＡＳ，(1383)式のＫ１ＡＳ，(1395)式のＫ２ＡＳ ，の合計8セットが属する．任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は ８ｎとなる．
(1)  Ｊ１ＡＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000587
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000588
 を得る．(1431)式を(977),(978),(979)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000589
 を得る．
(2) Ｊ２ＡＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000590
 となる．(1434)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000591
 を得る．
(3)  Ｙ１ＡＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000592
 となる．(1438)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000593
 を得る．
(4)  Ｙ２ＡＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000594
 となる．(1442)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000595
 を得る．
(5)  Ｉ１ＡＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000596
 となる．(1446)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000597
 を得る．
(6)  Ｉ２ＡＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000598
 となる．(1450)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000599
 を得る．(1451)式を(977),(978),(979)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000600
 を得る．
(7)  Ｋ１ＡＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000601
 となる．(1454)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000602
 を得る．
(8)  Ｋ２ＡＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000603
 となる．(1458)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000604
 を得る．
[SS]
　モードSSには，(1252)式のＪ１ＳＳ，(1264)式のＪ２ＳＳ ，(1296)式のＹ１ＳＳ，(1308)式のＹ２ＳＳ，(1340)式のＩ１ＳＳ，(1352)式のＩ２ＳＳ，(1384)式のＫ１ＳＳ，(1396)式の Ｋ２ＳＳ，の合計8セットが属する．任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は ８ｎとなる．
(1) Ｊ１ＳＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000605
 となる．(1462)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000606
 を得る．
(2)  Ｊ２ＳＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000607
 となる．(1466)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000608
 を得る．
(3)  Ｙ１ＳＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000609
 となる．(1470)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000610
 を得る．(1471)式を(977),(978),(979)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000611
 を得る．
(4)  Ｙ２ＳＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000612
 となる．(1474)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000613
 を得る．
(5)  Ｉ１ＳＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000614
 となる．(1478)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000615
 を得る．
(6)  Ｉ２ＳＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000616
 となる．(1482)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000617
 を得る．
(7) Ｋ１ＳＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000618
 となる．(1486)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000619
 を得る．
(8) Ｋ２ＳＳについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000620
 となる．(1490)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000621
 を得る．
[AA]
　モードAAには，(1253)式のＪ１ＡＡ，(1265)式のＪ２ＡＡ，(1297)式のＹ１ＡＡ，(1309)式のＹ２ＡＡ，(1341)式のＩ１ＡＡ，(1353)式のＩ２ＡＡ，(1385)式のＫ１ＡＡ，(1397)式のＫ２ＡＡ，の合計8セットが属する．任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は８ｎとなる．
(1) Ｊ１ＡＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000622
 となる．(1494)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000623
 を得る．
(2) Ｊ２ＡＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000624
 となる．(1498)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000625
 を得る．
(3) Ｙ１ＡＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000626
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000627
 を得る．
(4) Ｙ２ＡＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000628
 となる．(1506)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000629
 を得る．
(5) Ｉ１ＡＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000630
 となる．(1510)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000631
 を得る．
(6) Ｉ２ＡＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000632
 となる．(1514)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000633
 を得る．
(7) Ｋ１ＡＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000634
 となる．(1518)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000635
 を得る．
(8) Ｋ２ＡＡについては，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000636
 となる．(1522)式を(969),(970)式により変換して，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000637
 を得る．
11.4.26 境界条件と随伴境界条件および固有関数セット
　11.4.10節の解析解と比較するために，11.4.9節で与えた境界条件で問題を解く．即ち，ｙ方向の一様重力下の円環で，内辺の境界条件を，表面力がゼロ，変位もゼロとするには，外辺をどのように支持すれば良いか求める．従来は求解不能とされた問題である．
　固有関数に課される境界条件は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000638
 となる．添字Ｅは4.2節と同じで，固有関数によって生成される応力や表面力を表す．上式は，条件式(1018),(1019)や，(1069)式と同等である．(1085)式を得るのと同様にして，(91)式の境界項ＲＥ は，極座標成分で
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000639
 となる．これは，(1070)式と同等で，外辺（ｒ＝Ｒ）で表面力がゼロかつ変位もゼロとする条件である．(1526)式と(1528)式では条件が異なるので，非自己随伴境界条件である． 
　 ｙ方向の一様重力の解を表わせるのは，モードASの関数セットだけであり，他の３つのモード，SA,SS,AAは寄与しない．モードASには，(1251)式のＪ１ＡＳ，(1263)式のＪ２ＡＳ，(1295)式のＹ１ＡＳ，(1307)式のＹ２ＡＳ，(1339)式のＩ１ＡＳ，(1351)式のＩ２ＡＳ，(1383)式のＫ１ＡＳ，(1395)式のＫ２ＡＳ，の合計8セットが属し，任意の整数ｎに対しても解関数となるから，総数は８ｎとなる．しかし，一様重力の解を表し得るのはモードASの中でもｎ＝０の関数セットだけで，ｎ≠０の関数セットは寄与しない．
　主固有関数と双対固有関数および，これらに基づく応力関数をひとまとめにしてＦとおく．そして，(1251)式のＪ１ＡＳに係数ｃＪ１ を，(1263)式のＪ２ＡＳに係数ｃＪ２を，(1295)式のＹ１ＡＳに係数ｃＹ１を，(1307)式のＹ２ＡＳに係数ｃＹ２を，(1339)式のＩ１ＡＳに係数ｃＩ１を，(1351)式のＩ２ＡＳに係数ｃＩ１を，(1383)式のＫ１ＡＳに係数ｃＫ１を，(1395)式のＫ２ＡＳに係数ｃＫ２を，それぞれ乗じて加え合わせてＦと等置する．即ち，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000640
 を作成し，課された境界条件をＦが満足よう係数ｃＦを決定する．境界条件は(1526),(1528)式の如く極座標成分で与えるのが便利で，Ｊ１ＡＳを(1432)と(1433)式で，Ｊ２ＡＳを(1436)と(1437)式で，Ｙ１ＡＳを(1440)と(1441)式で，Ｙ２ＡＳを(1444)と(1445)式で， Ｉ１ＡＳを(1448)と(1449)式で，Ｉ２ＡＳを(1452)と(1453)式で，Ｋ１ＡＳを(1456)と(1457)式で，Ｋ２ＡＳを(1460)と(1461)式で，それぞれ表現する．境界条件は合計8個，係数ｃＦも合計8個であるから，連立方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000641
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000642
 とおき，方程式を整理すれば，行列Ａの成分が次のように簡約できる．ここで，ｎ＝０の関数セットのみならず，ｎ≠０の関数セットも境界条件を満たせることに注意する． ｙ方向の一様重力荷重では ｎ＝０の関数セットが解を表すが，その他の荷重状態ではｎ≠０の関数セットが解を表し得る．従って，Ａの成分はｎを用いて表しておく．Ａの第1,2列は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000643
 とおいて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000644
 である．Ａの第3,4列は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000645
 とおいて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000646
 である．Ａの第5,6列は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000647
 とおいて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000648
 である．Ａの第7,8列は，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000649
 とおいて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000650
 である。
　Ａの行列式はχ１、χ２の関数となるが，(1533),(1534)式から，結局は固有値λの関数となる。行列式をゼロとする固有方程式を解けば，固有値λを得る。さらに，(1531)式より固有値λに応じた固有ベクトルｃＦが得られる。固有方程式および固有ベクトルは非常に長大で，残念ながら，ここにその数式を記すことはできない．しかし，解いた結果を数値的に記すことはできる。
11.4.27 主固有関数と双対固有関数
　11.4.10節の解析解と同様に，平面応力状態で，材料定数を，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000651
 とする。
　ｎ＝０とした(1531)式から得られる固有方程式を解いて，低次から4つの固有値λは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000652
 付近にある。それぞれの固有値λに応じた固有ベクトルｃＦを求めて(1530)式に代入すればＦが定まる。Ｆには，主固有関数と双対固有関数および，これらに基づく応力関数が含まれている。
　第1モード(λ＝５．３１７×１００)での，変形状態と応力分布の様子を図４７に示す。上段は主固有関数による様子で，内辺にて表面力がゼロかつ変位もゼロとなっている．下段は双対固有関数による様子で，外辺にて表面力がゼロかつ変位もゼロとなっている．上段の変形の様子は，図４２の解析解の変形によく似ているが，応力分布は相当異なる．例えば，解析解ではστに応力の分布がみられたのに対し，主固有関数ではσθに同様の応力の分布がみられる。
　第2モード(λ＝１.８８２×１０１)での，変形状態と応力分布の様子を図４８に示す。上段は主固有関数による様子で，内辺にて表面力がゼロかつ変位もゼロとなっている．下段は双対固有関数による様子で，外辺にて表面力がゼロかつ変位もゼロとなっている．主固有関数によるσθに注目すると，第1モードでのσθの様子とよく似た分布であることがわかる．また、στの分布は解析解に似ていることもわかる。従って，第1モードと第2モードの差により，解析解によく似た様子が得られることが期待できる。
　第3モード(λ＝５.０８０×１０１)での，変形状態と応力分布の様子を図４９に示す。変形の様子は幾分複雑になっている。
　第4モード(λ＝１.１５７×１０２)での，変形状態と応力分布の様子を図５０に示す。変形の様子はさらに複雑になっている。
11.4.28 固有関数法
　5.1節の固有関数法により解が求められる．11.4.10節の解析解と同様に，荷重係数ｃｘ、ｃｙを、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000653
 とおいて，変位を外径Ｒで無次元化する。
　第2モードまで用いた計算結果を図５１に示す。応力σθはキャンセルされ、στの分布は解析解に似ていることがわかる。

　第3モードまで用いた計算結果を図５２に示す．応力στの分布が解析解に近づいていることがわかる．
　第10モードまで用いた計算結果を図５３に示す．応力分布が解析解に近づいていることがわかる．
　第30モードまで用いた計算結果を図５４に示す．第10モードまで用いた結果とほとんど変わらず，応力分布も変形の様子も，全般に解析解に近いことがわかる．
11.5 湧き出しと渦度
本節は，10章に含める方が良い．
11.5.1 微分方程式
　２次元渦なし流れの問題は，直交座標系で，連続の式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000654
 を満たすものと定義すれば，上式を(19)式に代入して，常に等号が成立する．従って，速度ポテンシャルを用いる事は，それだけで渦なし条件(19)式を満足する．また，(1544)式を(18)式に代入すれば，ラプラス方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000655
 を満たすものと定義すれば，上式を(18)式に代入して，常に等号が成立する．従って，流れ関数を用いる事は，それだけで連続の式(18)を満足する．また，(1546)式を(19)式に代入すれば，ラプラス方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000656
 が得られ，渦なし条件を表す．
　湧き出しをディラックの 関数で表現した場合，(18)式および(1545)式の右辺は 関数となる．また，渦度をディラックの 関数で表現した場合，(19)式および(1547)式の右辺は 関数となる．湧き出しや渦度の特性によって，方程式を切り替える必要を無くすためには，(18)式を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000657
 と捉えて， ｆｙを渦度分布と認識すれば良い．また，(1548),(1549)式の連立微分方程式で扱えば，境界関数を速度ｕｘ，ｕｙで指定できる利点もある．
　主解となる速度ｕｘ，ｕｙを主速度と呼び ｕ１，ｕ２と書く．方程式の右辺をｆ１，ｆ２と書けば，連立偏微分方程式(1548),(1549)式は，(23)式の形となり，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000658
 と表せる．上式は，流体力学の問題にも固有関数法を適用する基礎となる．
11.5.2 調和方程式の極座標解
　11.4.8節では重調和方程式の解を得たが，その幾つかは調和方程式（ラプラス方程式）を満足する．微分作用素の極座標形式は(992)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000659
 となる．ここで，νは任意の定数である．
　(1552)式から得られる微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000660
 である．同様に，(1552)式から得られる微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000661
 となる．速度ポテンシャルの導関数は速度を表すため，θ方向に周期性の解を得る必要から，νを整数ｎとして，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000662
 となる．
　特殊な場合として，(1552)式でν＝０とすれば，微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000663
 となる．速度ポテンシャルの導関数は速度を表すため，θ方向に周期性の解を得る必要から， θ・ｌｎｒは解として不適切である．また，ｌ・ｌは速度ゼロしか表し得ない．よって，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000664
 の２つが解となる．上式第１の解ｌｎｒは湧き出しを表し，第２の解θは渦度を表す．
11.5.3 調和方程式の直交座標解
　調和方程式（ラプラス方程式）
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000665
 となる．ここで，νは任意の定数である．
　(1566)式から得られる微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000666
 と理解すれば，(1572)式から得られる微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000667
 となる．
　特殊な場合として，(1572)式でν＝０とすれば，微分方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000668
 となる．
11.5.4 調和固有方程式の直交座標解
　調和固有方程式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000669
 とおくと，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000670
 となる．
11.5.5 湧き出しの解
　座標原点にある湧き出しの強さＱ［ｍ２／ｓ］を として，速度ポテンシャルφは，(1564)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000671
 からみた場合には，少し様子が異なる．即ち，左辺は(1596)式によりゼロとなるのに対し，右辺はＱとなる．左辺もＱとするためには，ｄｉｖ（ｖ）＝Ｑ・δ（ｘ，ｙ）であれば良い．従って，微分方程式を，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000672
 と認識する方が，座標原点にある湧き出しを表現できていることになる．この形式は，(1548),(1549)式に含まれる．なお，(1598)式で， ｎは境界Ｃでの外向き単位法線ベクトルで，領域を円にとると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000673
 である．
11.5.6 渦度の解
　座標原点にある渦度の強さ(循環)をΓ［ｍ２／ｓ］として，速度ポテンシャルφは，(1564)式より，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000674
 となり，確かに，(18),(19)式を満足する．しかし，平面内のストークスの定理
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000675
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000676
 と認識する方が，座標原点にある湧き出しを表現できていることになる．この形式は，(1548),(1549)式に含まれる．なお，(1606)式で，ｔは境界Ｃでの単位接線ベクトルで，領域を円にとると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000677
 である．
11.5.7 矩形領域での湧き出しと渦度の様子
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000678
 となる．
　湧き出しによる代表速度をＱ／（２πＲ）と定義して，(1595)式の速度ｕｘ，ｕｙを無次元化すると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000679
 となる．観測領域を正方形として，無次元速度の様子を図５５に示す．
　渦度による代表速度を Γ（２πＲ）と定義して，(1603)式の速度ｕｘ，ｕｙを無次元化すると，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000680
 となる．観測領域を正方形として，無次元速度の様子を図５６に示す．
11.5.8 随伴微分作用素と随伴境界条件
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000681
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000682
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000683
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000684
 　以上により，(59)式の境界項 は(1629)式と(1638)式の2通りで理解でき，使い易い方を利用すれば良いことがわかる．双対問題の変関数ｕ１ ＊，ｕ２ ＊をどのような物理量に関連づけるかは，(1634)式のように，本解法を利用する者が決定する事項であり，それがどのような物理量と関連づけられていようとも，主問題の解に影響することはない．
11.5.9 境界条件の同次化と境界項
　非同次境界条件を満たす項に添字Ｂを付けてｕＢｊとおき，同次境界条件を満たす項に添字Ｈを付けてｕＨｊとおく．主速度 をその和で，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000685
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000686
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000687
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000688
 と置き換えると，(1654)式は(1549)式の渦条件を表しており，(1655)式は(1548)式の連続条件を表している．そこで，双対問題の物理的な解釈として，ここでは，－ｕＨ２ ＊ を ｘ方向の速度，－ｕＨ１ ＊をｙ方向の速度と理解する．この視点を持てば，(1647)式を変形して
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000689
 　以上により，(62)式の境界項ＲＨは(1651)式と(1660)式の2通りで理解でき，使い易い方を利用すれば良いことがわかる．双対問題の変関数ｕＨ１ ＊，ｕＨ２ ＊をどのような物理量に関連づけるかは，(1656)式のように，本解法を利用する者が決定する事項であり，それがどのような物理量と関連づけられていようとも，主問題の解に影響することはない．
11.5.10 連立固有値問題の連立解除
　代表長さをＲとして，重み定数を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000690
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000691
11.5.11 解関数
　(1669)式と(1673)式は同じ微分方程式であるから，結局，φｘ，φｙと、φｘ ＊，φｙ ＊ は，同じ関数セットから構成されることがわかる．よって，(1669)式を解く事に照準を合わせて，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000692
となる．これら，主・双対連立微分方程式を同時に満たす解は，(1593)式の組み合せから，以下の８つ得られる．
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000693
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000694
 　主連立微分方程式(1675),(1676)の固有値ωがゼロとなる解は，同次解である．調和方程式の解
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000695
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000696
 　以上の解には，まだ境界条件は反映されていないが，主連立微分方程式(1675),(1676)を満たす． 
11.5.12 境界条件の同次化
　11.5.1節では，流体力学の問題も，連立偏微分方程式(1548),(1549)式は，(23)式の形となり，
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000697
[湧き出し]
　座標原点にある湧き出しによる流れ場を固有関数法で再現できるかどうか確認しようとするとき，連立偏微分方程式(23)として，(1599),(1600)式
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000698
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000699
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000700
11.5.13 固有関数名の規則
　次節に示す固有関数は、固有値α，βが
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000701
11.5.14 主固有関数と双対固有関数
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000702
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000703
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000704
  (1)から(8)の主固有関数と双対固有関数の第１モードの様子を、図５７～図６４に示す。
11.5.15 固有関数法
　5.1節の固有関数法により解が求められる．得られた解に，11.5.7節と同様の無次元化を施して，流れの様子を示す．
［湧き出し］
　観測領域を正方形として，固有関数のモード番号ｍ×ｎを最大30×30とした計算を行った．外力項ｆｉが(1698)式であることから，(1704)式の固有関数ｆｌ １１ＳＳのみで特解部分ｕＨｊを表現できる．無次元速度の様子を図６５に示す．この結果は，(1599),(1600)式の特解である．
　図６５は、解析解による様子（図５５）と良く似ており，原点から流体が湧き出す様子が表現できている．しかし、特解部分のみ表現しているため，解析解との差がどのようなものか調べておく必要がある．(1595)式の解析解から，固有関数解を差し引いた様子を図６６に示す．
　図６６より，境界周辺部での差が大きいことがわかる．これを残差流と呼ぶ．残差流を表現するのは，同次解部分のｕＢｊである．特解部は（1704）式の固有関数Ｆ１ １１ＳＳのみで表現されており、固有値は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000705
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000706
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000707
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000708
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000709
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000710
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000711
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000712
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000713
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000714
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000715
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000716
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000717
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000718
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000719
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000720
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000721
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000722
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000723
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000724
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000725
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000726
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000727
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000728
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000729
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000730
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000731
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000732
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000733
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000734
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000735
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000736
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000737
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000738
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000739
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000740
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000741
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000742
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000743
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000744
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000745
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000746
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000747
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000748
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000749
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000750
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000751
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000752
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000753
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000754
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000755

Claims (16)

  1. 処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の初期方程式を決定する初期方程式決定部と、
    　境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定部と、
    　前記ｎ個の初期方程式を、２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式に変形し、前記変形した２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式において、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算する演算部を備える、情報処理装置。
  2. 　初期方程式決定部は、前記物理量を表す変数を含むｎ個微分方程式を決定し、
    　前記演算部は、前記初期方程式決定部が決定した前記微分方程式の微分作用素と、当該微分作用素から決まる随伴微分作用素を用いて、前記２ｎ個の方程式を示すデータを生成し、２ｎ個の方程式の解を計算することにより、少なくとも１つの前記物理量を出力する、請求項１に記載の情報処理装置。
  3. 　前記初期方程式決定部は、前記系の構成要素の節点における物理量を示すｎ次元の変数ベクトルを２つと、ｎ行の行列を含むｎ個の方程式を前記初期方程式として決定し、
    　前記境界条件決定部は、前記変数ベクトルにおいて、値が既知となる変数の自由度の数と、値が未知となる変数の自由度の数が異なる境界条件も決定可能とし、
    　前記演算部は、前記２つの変数ベクトルに基づいて２ｎ次元のベクトルを生成し、当該２ｎ次元のベクトルの変数に基づいて前記ｎ行の行列を２ｎ列の行列に変形した上で、当該２ｎ次元のベクトルの変数のうち、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部分と、未知の変数を含む未知部分であって、必ずしも自由度が同じでない既知部分と未知部分を決定し、前記未知部分の変数を、前記既知部分の変数で表す形式になるよう前記２ｎ列の行列及び前記２ｎ次元のベクトルを変形して、変形した行列を用いて、前記未知部分の変数を計算する、請求項１に記載の情報処理装置。
  4. 　請求項１～３いずれか１項に記載の情報処理装置で計算された前記解が複数存在する場合、下記式の汎関数Πにおいて、変分がゼロとなるように、同次解に対するモード係数を決定し、決定したモード係数を用いて解を求める、情報処理装置。
    下記式において、Ｓは系の内部領域、Ｌｉｊは前記系が満たすべき微分方程式の微分作用素、ｆｉ、ｕｉは、物理量を表す変数を表す。
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
  5. 　前記決定したモード係数近傍の値の入力をユーザから受け付け、入力された値のモード係数を用いて解を計算し、前記解または前記解から得られる情報を出力する、請求項４に記載の情報処理装置。
  6. 　処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す微分方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含む微分方程式を初期方程式として決定する初期方程式決定部と、
    　境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定部と、
    　前記微分方程式の前記変数と同じ数の双対変数と、双対微分方程式を定義した場合に、前記微分方程式の微分作用素を前記変数へ作用させたものと前記双対変数との積分和すなわち内積を部分積分して得られる境界項を計算し、前記境界条件の下で、当該境界項をゼロにする双対変数の条件を、随伴境界条件として決定する随伴境界条件決定部と、
    　前記随伴境界条件と前記境界条件とを比較した結果を出力する判定部とを備え、
    　前記微分方程式の微分作用素を前記変数へ作用させたものと前記双対変数との内積は、前記変数と前記双対微分方程式の微分作用素を前記双対変数へ作用させたものとの内積に等しい関係にある、情報処理装置。
  7. 　前記境界条件と前記随伴境界条件とが一致するか否かは、下記式を用いて、節点力Ｆおよび節点変位Ｕそれぞれの既知部Ｆｂ、Ｕｂの組と、双対節点力Ｆ＊および節点変位Ｕ＊それぞれの既知部Ｆｂ＊、Ｕｂ＊の組が一致するか否かによって判定する、請求項６に記載の情報処理装置。
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
  8. 　処理対象となる系の複数の要素における物理量を表す２つのｎ次元の変数と、ｎ行の行列で表されるｎ個の初期方程式を決定する設定部と、
    　境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定部と、
    　前記２つのｎ次元の変数のうち、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部を決定し、１つの変数の未知部の自由度が、他の変数の既知部の自由度と等しくない場合に、前記境界条件が非自己随伴である旨の情報を出力する判定部を備える、情報処理装置。
  9. 解析対象の原初微分作用素及び変数の境界条件を設定する設定部と、　前記境界条件から随伴境界条件を計算する随伴境界条件演算部と、　原初微分作用素から主微分作用素及び双対微分作用素を計算し、主連立微分方程式及び双対連立微分方程式、並びに、前記境界条件及び前記随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する非自己随伴演算部と、を備える情報処理装置。
  10. 前記境界条件と前記随伴境界条件が一致するか否かを判定する自己随伴判定部と、　前記境界条件と前記随伴境界条件が一致すると判定された場合、原初微分作用素から自己随伴問題の自己随伴固有関数を求めることにより、前記自己随伴問題の解を計算する自己随伴演算部をさらに備え、　前記境界条件と前記随伴境界条件が一致しないと判定された場合、前記非自己随伴演算部が、前記主連立微分方程式及び前記双対連立微分方程式、並びに、前記境界条件及び前記随伴境界条件を用いて、主固有関数及び双対固有関数を求めることにより、連立微分方程式の解を計算する、請求項９に記載の情報処理装置。
  11. 前記解析対象の解ｕｊは、非同次境界条件を満たす項ｕＢｊと同次境界条件を満たす項ｕＨｊとの和（ｕＢｊ＋ｕＨｊ）で表し、　前記主固有関数をφｊ、前記双対固有関数をφｊ ＊とした場合に、　前記主変数、前記双対変数、前記自己随伴微分方程式、前記主連立微分方程式、前記双対連立微分方程式は、下記式で表される、請求項９又は１０に記載の情報処理装置。　　
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
  12. 　前記境界条件決定部又は前記設定部は、ユーザから前記物理量を表す変数で値が未知の部分を示す情報の入力を受け付け、当該情報を用いて前記境界条件を決定する、請求項１～３、６～１０のいずれか１項に記載の情報処理装置。
  13. 　コンピュータが、処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の初期方程式を決定する初期方程式決定工程と、
    　コンピュータが、境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定工程と、
    　コンピュータが、前記ｎ個の方程式を、２ｎ個の変数の又は２ｎ個の方程式を含む方程式に変形し、前記変形した２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式において、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算する演算工程とを有する、情報処理方法。
  14. 　処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の初期方程式を決定する初期方程式決定処理と、
    　境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定処理と、
    　前記ｎ個の方程式を、２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式に変形し、前記変形した２ｎ個の変数の方程式又は２ｎ個の方程式を含む方程式において、前記境界条件によって既知となる変数を含む既知部と、未知の変数を含む未知部とを決定し、当該未知部について方程式の解を計算する演算処理とをコンピュータに実行させる、情報処理プログラム。
  15. 　コンピュータが、処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す微分方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の微分方程式を初期方程式として決定する初期方程式決定工程と、
    　コンピュータが、境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定工程と、
    　コンピュータが、前記微分方程式の前記変数と同じ数の双対変数と、双対微分方程式を定義した場合に、前記微分方程式の微分作用素を前記変数に作用させたものと前記双対変数との積分和すなわち内積を部分積分して得られる境界項を計算し、前記境界条件の下で、当該境界項をゼロにする双対変数の条件を、随伴境界条件として決定する随伴境界条件決定工程と、
    　コンピュータが、前記随伴境界条件と前記境界条件とを比較した結果を出力する出力工程を有し、
    　前記微分方程式の微分作用素を前記変数に作用させたものと前記双対変数との内積は、前記変数と前記双対微分方程式の微分作用素を前記双対変数に作用させたものとの内積に等しい関係にある、情報処理方法。
  16. 　処理対象となる系の構造及び系の構成要素の性質を示すデータを読み込んで、読み込んだデータに基づいて、前記系を表す微分方程式であって、求めるべき物理量を表す変数を含むｎ個の微分方程式を初期方程式として決定する初期方程式決定処理と、
    　境界条件を示すデータとして、前記物理量を表す値を読み込んで、境界条件を決定する境界条件決定処理と、
    　前記微分方程式の前記変数と同じ数の双対変数と双対連立微分方程式を定義した場合に、前記微分方程式の微分作用素を前記変数に作用させたものと前記双対変数との積分和すなわち内積を部分積分して得られる境界項を計算し、前記境界条件の下で、当該境界項をゼロにする双対変数の条件を、随伴境界条件として決定する随伴境界条件決定処理と、
    　前記随伴境界条件と前記境界条件とを比較した結果を出力する出力処理をコンピュータに実行させ、
    　前記微分方程式の微分作用素を前記変数に作用させたものと前記双対変数との内積は、前記変数と前記双対微分方程式の微分作用素を前記双対変数に作用させたものとの内積に等しい関係にある、情報処理プログラム。
PCT/JP2012/078262 2011-10-31 2012-10-31 解析装置、解析方法及び解析プログラム WO2013065764A1 (ja)

Priority Applications (3)

Application Number Priority Date Filing Date Title
US14/354,632 US20140379314A1 (en) 2011-10-31 2012-10-31 Analyzer, analysis method, and analysis program
EP12846477.3A EP2838040A4 (en) 2011-10-31 2012-10-31 DEVICE, METHOD, AND ANALYSIS SOFTWARE
JP2013541831A JP5886309B2 (ja) 2011-10-31 2012-10-31 解析装置、解析方法及び解析プログラム

Applications Claiming Priority (4)

Application Number Priority Date Filing Date Title
JP2011-239812 2011-10-31
JP2011239812 2011-10-31
JP2012085968 2012-04-04
JP2012-085968 2014-04-04

Publications (1)

Publication Number Publication Date
WO2013065764A1 true WO2013065764A1 (ja) 2013-05-10

Family

ID=48192104

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
PCT/JP2012/078262 WO2013065764A1 (ja) 2011-10-31 2012-10-31 解析装置、解析方法及び解析プログラム

Country Status (4)

Country Link
US (1) US20140379314A1 (ja)
EP (1) EP2838040A4 (ja)
JP (1) JP5886309B2 (ja)
WO (1) WO2013065764A1 (ja)

Families Citing this family (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US10488553B2 (en) * 2016-04-01 2019-11-26 Baker Hughes, A Ge Company, Llc Stress tensor computation using Mindlin formulation
CN106777825B (zh) * 2017-01-24 2020-03-27 湖南科技大学 一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法
US11113436B1 (en) * 2019-11-21 2021-09-07 United States Of America As Represented By The Administrator Of Nasa Method for simulation of flow in fluid flow network having one-dimensional and multi-dimensional flow components
CN115081148B (zh) * 2022-07-20 2022-11-15 上海索辰信息科技股份有限公司 一种基于势能理论的加筋板等效参数确定方法

Family Cites Families (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US6718291B1 (en) * 1999-07-02 2004-04-06 Vadim Shapiro Mesh-free method and system for modeling and analysis
US7519518B2 (en) * 2000-08-02 2009-04-14 Comsol Ab Method for assembling the finite element discretization of arbitrary weak equations, involving local or non-local multiphysics couplings

Non-Patent Citations (8)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
CHEN, CHUN HSIUNG ET AL.: "The Variational Principle for Non-Self-Adjoint Electromagnetic Problems", IEEE TRANSACTIONS ON MICROWAVE THEORY AND TECHNIQUES, vol. MTT-28, no. 8, August 1980 (1980-08-01), pages 878 - 886, XP055067259 *
ERHARD SCHMIDT: "Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen", vol. 63, 1907, MATH. ANN., pages: 433 - 476
FUJIKAZU SAKAI: "Yugen Yosoho to Sabunho no Tokasei Oyobi Aru Risanka Shuho", JAPAN SOCIETY OF CIVIL ENGINEERS RONBUN HOKOKUSHU, December 1973 (1973-12-01), pages 39 - 52, XP055153927, Retrieved from the Internet <URL:http://library.jsce.or.jp/jsce/open/00037/220/220-126063.pdf> [retrieved on 20121116] *
KIYOSHIGE MATSUMURA ET AL.: "2 Jigen Mitei Shinsuicho Mondai no Jiko Zuihan Henbun Genri ni Tsuite", 2004 NENDO SHUKI ZOSEN SANGAKKAI RENGO TAIKAI, THE KANSAI SOCIETY OF NAVAL ARCHITECTS, November 2004 (2004-11-01), pages 95 - 98, XP008173810 *
KYUICHIRO WASHIZU; YOSHIYUKI YAMAMOTO; TADAHIKO KAWAI: "The Method of Weighted Residuals and Variational Principles", 1974, BAIFUKAN CO., LTD.
See also references of EP2838040A4
T. BODDINGTON: "Variational Methods in Mathematical Physics", 1964, PERGAMON PRESS
TOSHIYA SAITO; SHIGEYA MARUYAMA: "Methods of Mathematical Physics", vol. 1, 1959, TOKYOTOSHO CO., LTD.

Also Published As

Publication number Publication date
EP2838040A4 (en) 2015-06-03
JP5886309B2 (ja) 2016-03-16
JPWO2013065764A1 (ja) 2015-04-02
EP2838040A1 (en) 2015-02-18
US20140379314A1 (en) 2014-12-25

Similar Documents

Publication Publication Date Title
Bacciocchi et al. Vibration analysis of variable thickness plates and shells by the generalized differential quadrature method
Liu et al. Smoothed finite element methods
Ferreira et al. Analysis of laminated shells by a sinusoidal shear deformation theory and radial basis functions collocation, accounting for through-the-thickness deformations
Liu et al. The finite element method: a practical course
Ibrahimbegovic Nonlinear solid mechanics: theoretical formulations and finite element solution methods
Reddy Theory and analysis of elastic plates and shells
Kanno Nonsmooth mechanics and convex optimization
Zhao et al. Modal analysis of a rotating thin plate via absolute nodal coordinate formulation
Li et al. Hamiltonian system-based new analytic free vibration solutions of cylindrical shell panels
JP5886309B2 (ja) 解析装置、解析方法及び解析プログラム
Millithaler et al. Structural dynamics of electric machine stators: Modelling guidelines and identification of three-dimensional equivalent material properties for multi-layered orthotropic laminates
Avery et al. A computationally tractable framework for nonlinear dynamic multiscale modeling of membrane woven fabrics
Nguyen-Minh et al. Static analysis of corrugated panels using homogenization models and a cell-based smoothed mindlin plate element (CS-MIN3)
Yin et al. Degenerate grazing bifurcations in a three-degree-of-freedom impact oscillator
Cinefra Formulation of 3D finite elements using curvilinear coordinates
Shamloofard et al. Development of a shell superelement for large deformation and free vibration analysis of composite spherical shells
Mohazzab et al. A spectral collocation solution for in-plane eigenvalue analysis of skew plates
Reille et al. Learning data-driven reduced elastic and inelastic models of spot-welded patches
Pinho et al. Nonlinear static analysis of thin shallow and non-shallow shells using tensor formulation
Jekel et al. Obtaining a hyperelastic non-linear orthotropic material model via inverse bubble inflation analysis
Ansari et al. Nonlinear bending analysis of first-order shear deformable microscale plates using a strain gradient quadrilateral element
Wang et al. A physics-informed machine learning approach of improving RANS predicted reynolds stresses
Buljak et al. Proper orthogonal decomposition and radial basis functions for fast simulations
Kim et al. Nondimensional analysis of a two-dimensional shear deformable beam in absolute nodal coordinate formulation
Valle et al. An efficient general curvilinear coordinates finite element method for the linear dynamic study of thickness-independent shells

Legal Events

Date Code Title Description
121 Ep: the epo has been informed by wipo that ep was designated in this application

Ref document number: 12846477

Country of ref document: EP

Kind code of ref document: A1

DPE1 Request for preliminary examination filed after expiration of 19th month from priority date (pct application filed from 20040101)
ENP Entry into the national phase

Ref document number: 2013541831

Country of ref document: JP

Kind code of ref document: A

NENP Non-entry into the national phase

Ref country code: DE

WWE Wipo information: entry into national phase

Ref document number: 2012846477

Country of ref document: EP

WWE Wipo information: entry into national phase

Ref document number: 14354632

Country of ref document: US