WO2011110755A2 - Procédé de modélisation déterministe des poudres et systèmes de particules - Google Patents

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WO2011110755A2 PCT/FR2011/000121 FR2011000121W WO2011110755A2 WO 2011110755 A2 WO2011110755 A2 WO 2011110755A2 FR 2011000121 W FR2011000121 W FR 2011000121W WO 2011110755 A2 WO2011110755 A2 WO 2011110755A2
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Ronald Tai
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Ronald Tai
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    • G—PHYSICS
    • G16—INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY [ICT] SPECIALLY ADAPTED FOR SPECIFIC APPLICATION FIELDS
    • G16C—COMPUTATIONAL CHEMISTRY; CHEMOINFORMATICS; COMPUTATIONAL MATERIALS SCIENCE
    • G16C20/00—Chemoinformatics, i.e. ICT specially adapted for the handling of physicochemical or structural data of chemical particles, elements, compounds or mixtures
    • G16C20/30—Prediction of properties of chemical compounds, compositions or mixtures

Definitions

  • the present invention relates to a deterministic method for modeling industrial powders and industrial particle systems. This involves quantitatively modeling the grain size distribution or the cumulative distribution of grain sizes for monitoring the production of a given powder or a mixture of several given powders, as well as any evolution, including the compaction and flow, such a system of powders subjected to external conditions. It is more generally to model the particle systems where the material appears finely divided and, for example, droplets, pigments, living cells, etc.
  • the equation very frequently used is the Heckel equation (RW Heckel, Density-pressure relationships in powder compaction, Trans Metall Soc. , 671-675 (1961a), An analysis of powder compaction Trans Metall Soc AIME, 221, 676-682 (1961b) and, for example, W. Xiong, X. Qin, L. Wang, Densification behavior of nanocrystalline Mg 2 Si compact, J. Mater Sci Technol., Vol 23 No. 5, 2007).
  • This equation relates the ratio of the global volume of grains to that of the total volume of the system, to the compaction pressure imposed, according to empirical parameters.
  • the Heckel equation is used to roughly distinguish the densification regimes, especially between the plastic deformation regime and the fracturing regime. brittle.
  • a pharmaceutical tablet is in the form of a mixture of several powders, one of which represents the active ingredient and the other of the excipients necessary in particular for improving the mechanical properties of the tablet.
  • the defended point of view leading to the invention in question here is different: the formalism of statistical mechanics is relevant in the study of granular media, not because this type of system would be likely during its evolution to traverse approximately all configurations - which is seriously questionable - justifying the introduction of an entropy function, but because the definition of an environment granularity in itself is based on a reasoning of statistical mechanics.
  • the geometry to which the system defined by a granular medium obeys is, according to the scientific framework of this invention, based on a reasoning of statistical mechanics. This reasoning is based on the impossibility of defining a contour with each grain or particle justifying the statistical framework and on a criterion of homogeneity.
  • This geometric reasoning leads to associating with any granular medium a representative elementary volume (VER) homogeneous characterized in particular by a radius.
  • This ray is the intensive parameter of a reasoning of statistical and analogous mechanics of temperature in thermodynamics.
  • the logical consequences of the definition of this VER are the following new elements: the determination of the representativity of each grain size from a few grain size or particle size measurements and the associated volume, the definition of a network and, lastly, the implementation of an invasion percolation approach within this network.
  • This technical solution is based on a partial scientific solution to the scientific problem of the development of a true geometry at all scales within the framework of a personal work of description of the material in general.
  • the approach is to define a Representative Elemental Volume (VER) of the powder or particle system.
  • VER Representative Elemental Volume
  • This VER is of statistical essence because it is impossible to define an outline with each grain or particle so that it is impossible to isolate a VER.
  • the volume appears as a relevant quantity to characterize a grain and a set of grains.
  • the optimization calculation leads to characterize the powder or particle system according to the distribution n j as a function of the volume v j , the number of volumes or grain sizes present as well as a parameter that is homogeneous to a length and which corresponds to a radius, noted R ma x or R seu ii- So we have knowing that
  • the complement can be expressed by introducing the total volume, ie the cumulative volume of the largest grain up to the size R.
  • Each VER of any powder or particle system is at least characterized by a radius R max .
  • the set ⁇ vj ⁇ can be more or less complex for the same process of generation of powder or particle system given according to the initial components.
  • Vj Vj (rj).
  • the representativeness of each of these sizes is then calculated for the powder or particle system in question.
  • the series of grain sizes or particles ⁇ vj (rj) ⁇ may be more or less complex for the same given powder or particle system generation process depending on the initial components.
  • Laplace-type pressure corresponding to the deformation of the solid interface of this grain or particle. If this grain or particle is characterized by a radius of curvature, then this pressure has the following expression: a is a constant specific to the grain studied.
  • V (R) in the following form:
  • V (R) in terms of cumulated mass which allows to introduce the practical notion of "mass undersize”.
  • mass undersize we have the obvious formulation (p is the density):
  • the set or series ⁇ v j ⁇ can be as sophisticated as necessary.
  • a mixture of powders or particle systems - different types of grain or particle - will introduce as many characteristic rays as there are types of grain or particle and the proportion of presence of each.
  • This average VER associated with the mixture is, therefore, always at least characterized by a maximum radius.
  • a powder (a particle system) or mixture of powders (particle systems) has been brought back to the average behavior of a VER.
  • Vj ar j V.
  • the technique of measuring some grain sizes (or particle) is sieving made fast since only a few measured sizes are necessary.
  • the limitation of this technique is related to the lower limit of the sieving, of the order of a few tens of microns, which nevertheless allows to remain operational for a number of industrial processes. It is necessary to consider in particular LASER diffraction to be able to go down much lower. It is then necessary to measure the volume of grains or particles for which the size has been measured. For this, the most common techniques include gas pycnometer, immersion and, finally, the pressure chamber.
  • a feed member that can be a trap or a bypass allowing a sample of powder or particle system to go to the device.
  • a feed member that can be a trap or a bypass allowing a sample of powder or particle system to go to the device.
  • main measure an organ performing the function of measuring grain or particle size, another organ performing the function of measuring the volume of grain or particle for grains or particles whose size has been measured by the organ measuring the size and finally an organ performing the function of calculating the particle size distribution particle, or the calculation of ⁇ through the expression of F (R).
  • the method also simplifies and complements current measurement techniques. Indeed, current techniques support their interpretation of the measurements made on the powder or the particle system from analytical expressions of distribution of grain sizes (particles) derived from statistical laws such as normal law, log-normal law, Weibull law etc. It is particularly advantageous to have a single law, moreover representative of the measurable reality.
  • the usual algorithm consists of measuring chord sizes, giving a grain size distribution (particle) according to an analytical expression and a choice of parameters.
  • a measurement technique that has a good resolution and that allows on-line measurements, such as the use of the FBRM probe or the LASER diffraction, but this time as part of the calculation of the pair of points Vj -r j in that it limits the number of measurements.
  • the existing measurement methods one can also cite the measurement technique based on the use of electric current (impedance particle counter) especially with regard to living cells (the person skilled in the art can refer to the description of the Coulter counter or CASY technology).
  • the distribution of particle sizes specific to red blood cells, white blood cells and so on for blood components is determined in particular during blood tests. This examination makes it possible in particular to detect the anomalies and thus the suspicions of pathologies characteristic of these anomalies.
  • any method of measuring grain size distributions or particle follows the algorithm: measurement of a few points - parametric analytical expression - comparison between the measured points and the analytical expression - modification of the parameters of the analytical expression according to the algorithm of the gap so that the difference is considered sufficiently low (the skilled person then resorts to mathematical techniques of minimization such as those exposed for example in "Numerical recipes").
  • F (R) from which one can deduce the particle size distribution, from the physics of powder or particle system physics and the associated VER, gives a important advantage over the speed of interpretation of the measurement and its quality while informing on the measurable volume of each grain or particle present (FIG.2).
  • each grain or particle of a powder or particle system belonging to a VER makes it possible to improve the monitoring of the production powder or particle system.
  • This also leads to the definition of a three-dimensional network, as a digital object, representative of any powder or particle system. Indeed to define such a network, it is necessary to know the representativity of each size of grain or particle and also the number of nearest neighbors of each grain or particle.
  • each grain or particle is characterized by a volume Vj and a radius ⁇ , all of which also leads to systematically consider an invasion percolation approach to model the behavior of the representative network of the studied system.
  • each grain or particle will be involved in the process as long as its radius is greater than the equilibrium radius to which the network is subjected.
  • a representative network has been defined, specific to the studied powder or the system of particles studied, whatever its complexity, one can model from this network the evolution of the powder or the system of particles in question and thus predict the properties of the final material (or of the final product) according to the composition of the powder or the system of particles characterized in particular in terms of grain size or particle. It is thus possible to define a method for modeling any powder or particle system. This process will be deterministic in that there is an unequivocal path between the composition of the powder or particle system and the final material or the final product resulting from the evolution of the system constituted by the powder (eg compacted powder) or the particle system.
  • E30 a computer-implemented network consisting of the mixture of grains or particles whose characteristics and representativity are deduced from the curve F (R) established in (b), of the relation Vj ( rj) and the number of nearest neighbors established in (a).
  • v max is the volume of the largest grain or particle defined by R max or R ni ;
  • n Rk is the number of types of grain or particle (type of grain or particle defined
  • N k is the number of grain or particle of type k (characterized by R k );
  • - n k is the number of grain size or particle of type k (characterized by R k ); takes characteristic values for each type of grain or particle;
  • C is a constant (determined by calibration according to a measurement of V (R) or F (R)).
  • ⁇ v j ⁇ either by the measure according to step (a), or from cross-checks, calculate F (R) and deduce from the curve F (R) the representativity of the rays to be assigned in the 3D network equivalent to the powder system (s) (system (s) of particles) considered.
  • F (R) the representativity of the rays to be assigned in the 3D network equivalent to the powder system (s) (system (s) of particles) considered.
  • the network must consist of grains or particles represented by individual volumes of varying sizes from the series of radii defining the average VER. These volumes, characterized by two parameters, Vj and ⁇ , are represented by a link.
  • the meeting of several links (1) constitutes a node (2).
  • Each node which does not belong to an edge, connects six grains (1) to each other in a node (2) (FIG.
  • the network determined by the curve V (R) makes it possible to calculate the maximum radius of the VER representing the powder (particle system) resulting from a powder or a simple particle system (a single type of particle or particle) or a mixture of several simple powders (particle system), but also to model deterministically any physical process imposed on this powder as its compaction.
  • the system defined by the network checks the coordination number of the powder system (particle system). For this, we convert as many grains or particles into pores as necessary. We can use the value of the initial porosity and the knowledge of the pore network knowing the ratio of the mean volume of the grains or particles to that of the pores (n) according to the following relationships:
  • the conversion lowers the number of coordination (number of nearest neighbors) of the network. We can start from the coordination number (measured) and directly delete the grains to verify this number.
  • To organize the resolution one has external conditions imposed on the system (the boundary conditions), a network that can follow grain (or particle) by grain (or particle) by writing the appropriate physical laws verified by each grain or particle and conservation laws at each node and macroscopic laws applied to the mean VER.
  • the network must respect the proportions (height, length, depth) and if necessary the geometry of the powder system to take into account the effects inducing anisotropy (eg cylindrical uniaxial compaction and radial stresses).
  • the analytical approach is to construct a "D (P)" law derived from our analysis of grain size distribution.
  • the profession identifies a certain number of common mechanisms: first the grains rearrange themselves, then they deform in order to fill the voids constituting the porosity and, finally, they fragment if the pressure is sufficiently high. At the end of this process, the porosity is close to zero and the density of the unit.
  • Porouscompared porousinitial - V poresnoncom
  • ⁇ is the initial porosity (P-P
  • the proposed model thus leads to an organized compaction according to, first of all the deformation of the large grains thus filling the large pores, then to the deformation of increasingly fine grains, until the entry into the regime of fragmentation modifying the original distribution by the preponderance of fine grains leading to the shift between the analytical curve and the experimental curve.
  • a pore can be filled only if it has, on the one hand, a radius greater than the radius in relation to the pressure imposed and if, on the other hand, a The path reads it at the end opposite to that of the compacting pressure according to uncompleted pores.
  • These grains and trapped pores will be in marginal quantities for a system made of a simple powder (a type of grain) but in a much larger quantity important for a system made of a complex powder (several types of grain) leading to premature and greater fragmentation.
  • the pressure P is assigned to all the nodes in relation to a grain deformed by this pressure P;
  • step by step
  • a deformed grain means a filled homothetic pore (deleted) and therefore the increased relative density (a filled pore, whatever the value of ry corresponds to an additional volume for the solid phase of a value equal to this filled pore, or in relation to y for a given coefficient or constant value if we have adopted this point of view).
  • This "topological" algorithm does not take into account all aspects, such as those related, for example, to friction, particularly to walls.
  • V (R) or F (R) indicates the number of grains not yet deformed as well as their cumulative volume (according to this scenario deforms the large grains of the VER and then as ⁇ increases, and therefore R decreases, the grains are deformed smaller and smaller).
  • ⁇ ( ⁇ ) h (o) is the height of the tablet for a stress ⁇ and hjnitiai is the initial height of the tablet of section A; s final the final deformation with hf ma i is the final height of the
  • Vj the volume of the grain of radius ⁇
  • v " - ⁇ is the constraint imposed on the granular system
  • ⁇ -m is the threshold stress (in the sense of
  • step by step
  • a deformed grain means that it is assigned a deformation rate in the vertical direction corresponding to the final deformation rate
  • the skilled person can deduce the parameters of the phenomenological laws of the continuous approaches.
  • the person skilled in the art knows how to calculate the four parameters of the model (cohesion, angle of friction, eccentricity of the Cape surface, consolidation pressure). as well as the two elastic parameters (Young's modulus and Poisson's ratio).
  • the skilled person may also consider more complex situations of deformations according to tri-axial tests for example. It is then necessary to take into account the deformations according to each axis and to deduce each component of the tensor of the stresses according to that of the deformations.
  • F is the mass density of forces
  • MEFMP multi-particle finite element method
  • MEDM discrete mesh element method
  • MED discrete element method
  • step (c) makes it possible to considerably improve these methods by making it possible to define a VER from grain sizes and thus to study mixtures as sophisticated as necessary.
  • the grains are represented for example by spheres or polyhedra. Whatever the geometrical shape considered, the spheres or polyhedra, for example, must be characterized by a radius.
  • the defined network the algorithms of these methods known to those skilled in the art can be applied.
  • Step (eY) Once the computer simulation has made it possible to obtain the evolution of the grain or particle system according to the conditions imposed on the grain or particle system, it is possible to adjust the composition (step (a) ), for given boundary conditions, in order to tend towards a final system in relation to the desired properties.So in the case of compaction of a mixture of powders, it is interesting to be able to simulate several combinations in order to tend towards the one that seems the most suitable for the desired properties.
  • the method has been implemented in software for modeling any industrial powder or industrial particle system in terms of monitoring and predicting the consequences of a mixture on the properties, including mechanical properties, of the resulting powder or particle system.
  • FIG. 1 represents a flowchart illustrating the procedure for determining the grain size or particle size distribution from a few measurements of sizes (r j ) and volumes (v j ) as part of the method of monitoring and controlling this distribution;
  • FIG. 2 represents a flowchart illustrating the algorithm for determining the particle size distribution, for a given measurement device, from a parameterized distribution a priori;
  • Fig. 3 is a flowchart illustrating the deterministic modeling method of any system or particle system subjected to boundary conditions
  • FIG. 4 represents a cubic 3D network mesh where z is taken equal to 6.
  • the embodiment comprising the separate modeling of two powders, each characterized by a single type of grain, is explained in detail and then mixed according to a given weighting with a view to compaction for a pressure imposed on a single face.
  • the modeling includes on the one hand the characterization of each powder in terms of granulometry to ensure the monitoring and control of the quality of their production (crystallization for example) at the end of an optimization of the production process and, d on the other hand, compaction simulation makes it possible to adjust the composition in terms of powders at the end of a final material obeying the desired properties.
  • N j ⁇ n j . It is therefore possible having sampled grains during production and having deducted the
  • grain size distribution from a few measurements (typically three to five) of size and the associated volume to change the parameters of the production device to optimize the particle size quality of the powder.
  • This calculation D (P) can be implemented by the network according to the algorithm already exposed: P imposed, deformation of the grains and thus homothetic pore filled if rj j > R and if there is a path in grains or particles not deformed to the other end, for all P, until reaching the final trapping, that is when the last grain likely to be deformed and thus pore filled was; P max or Pn, will correspond to the lowest pressure for which a grain located at the opposite end (breakthrough) is deformed.
  • the stress-strain relationship with the network can be determined in order to model compaction according to, for example, a continuous approach such as the widely used "Drucker-Prager / Cap model".
  • the process according to the invention is particularly intended for the modeling of industrial powders and industrial particle systems for the purpose of monitoring and controlling the production of these powders and particle systems as well as the study of the development of new products in order to to ensure the best quality of the final products and to optimize production costs. It is thus possible from the relation defining V (R) to study the distribution grain size or particle of a powder or particle system, characterize the dispersion of grain size or particles, thus define criteria, to indicate the greater or less uniformity of grain size or particles. It is thus possible to monitor and control the quality of a powder or particle system during production in order to optimize, by adjusting the parameters of the production process, the quality of the powder or particle system. product.
  • the process according to the invention is particularly suitable for the modeling of pharmaceutical powders for the manufacture of tablets, for the modeling of metallurgical powders for the manufacture of sintered parts, for that of the powders used in the composition of composite materials, ceramics, the modeling of powders used in the process of manufacturing the toner of the printers, in that of the papermaking, the development of the geological model in the upstream petroleum industry, the management of impurities in the design integrated circuits, aerosols and spraying processes (particles are droplets), the development of paints or lipsticks (the particles are pigments), the haematological control of the distribution of particles in the blood (the particles are red blood cells, white blood cells s: lymphocytes, monocytes, granulocytes; blood platelets, etc.), more generally the control of particle size distributions in biology, the monitoring and control of nanoparticle manufacturing, the improvement of wastewater treatment and, according to a non-exhaustive list, modeling. for the manufacture, transport or storage of powders or particle systems in the food, chemical, cosmetic and other industries

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Abstract

Procédé de modélisation déterministe des poudres et des systèmes de particules. Le procédé est basé sur une avancée scientifique permettant de déduire la distribution de tailles de particule depuis la mesure sur quelques particules de leur taille et leur volume. On peut ainsi concevoir un procédé de suivi et de contrôle de la distribution de tailles de particule ainsi que le dispositif associé. On peut également concevoir un procédé d'interprétation des mesures de distribution de tailles de particule à partir d'un choix de paramètres appliqué à l'expression analytique afin d'optimiser la convergence entre la distribution de tailles de particules mesurée et celle paramétrée. On peut enfin concevoir un procédé de modélisation à proprement parler de tout système de particules soumis à des conditions extérieures en définissant un réseau de particules représentatif du système de particules. Le procédé selon l'invention est particulièrement destiné à la modélisation des poudres pharmaceutiques en vue de la fabrication des comprimés, à la modélisation des poudres métallurgiques en vue de la fabrication des pièces frittées, à celle des poudres entrant dans la fabrication des matériaux composites, à la mise au point du modèle géologique dans l'industrie pétrolière amont, etc.

Description

PROCÉDÉ DE MODÉLISATION DÉTERMINISTE DES POUDRES ET
SYSTÈMES DE PARTICULES
Domaine technique de l'invention
La présente invention concerne un procédé déterministe de modélisation des poudres industrielles et des systèmes de particules industriels. Il s'agit notamment de modéliser quantitativement la distribution de tailles de grains ou la distribution cumulée de tailles de grains pour le suivi de la production d'une poudre donnée ou d'un mélange de plusieurs poudres données, ainsi que toute évolution, incluant le compactage et l'écoulement, d'un tel système de poudres soumis à des conditions extérieures. Il s'agit plus généralement de modéliser les systèmes de particules où la matière apparaît finement divisée ainsi, par exemple, des gouttelettes, des pigments, des cellules vivantes etc.
État de la technique antérieure
Tant du point de vue de la recherche fondamentale que de la recherche appliquée, toutes les formules utilisées pour modéliser les poudres ou systèmes de particules industrielles reposent sur des approches empiriques ou phénoménologiques. Aucune relation directe n'a encore été établie, assortie d'aucune représentation, entre quelques entrées structurelles (ex : tailles de grain) et les distributions de caractérisation largement utilisées dans l'industrie conduisant à une modélisation de facture déterministe.
Il est très important dans le domaine des poudres et particules industrielles de pouvoir suivre la qualité des poudres et systèmes de particules produits, notamment en termes de distribution de tailles de grains ou de particules, afin de paramétrer le processus de production au mieux. On connaît, par exemple, comme processus de production de poudre et système de particules, la cristallisation, le broyage, l'atomisation, la nucléation, l'agglomération, la granulation etc. Chacun de ces processus conduit à une distribution de tailles de grain ou particule dont les caractéristiques vont dépendre des paramètres qui régissent les processus en question. Ainsi, par exemple, pour la cristallisation, la température, la concentration, la solubilité sont des paramètres dont le réglage de la valeur aura une incidence sur les caractéristiques de la distribution de tailles de grain ou de particule de la poudre (système de particules) ainsi produite. Or, la distribution de tailles de grain ou de particule a une très grande importance sur les propriétés des poudres ou systèmes de particules s'agissant de leurs usages. Les industriels cherchent à produire des poudres ou système de particules ayant des caractéristiques précises notamment concernant la distribution de tailles de grain ou de particule. Il est donc très important de pouvoir suivre et contrôler la distribution de tailles de grain ou particule, soit par des contrôles espacés mais réguliers au laboratoire (« off-line »), soit continûment (« on-line ») afin d'apporter les corrections nécessaires.
On connaît plusieurs méthodes de mesure de distribution de tailles de grain ou particule des poudres ou systèmes de particule. Ces méthodes sont caractérisées par la résolution de la mesure (ainsi pour les tailles les plus fines accessibles, par technique de mesure, cela va de quelques centièmes de microns pour la diffraction LASER, à quelques dizaines de microns pour le tamisage) et leur facilité de mise en œuvre. On peut citer quelques techniques principales, classées de la moins bonne à la meilleure résolution, le tamisage, l'analyse d'image, la sédimentométrie, la centrifugation, la diffraction LASER. Il est également nécessaire de citer plus précisément la sonde FBRM (Focus Beam Réflectance Measurement) très utilisée notamment dans le suivi de la cristallisation. Ces méthodes gagnent souvent à utiliser des expressions analytiques de distribution de tailles de grain ou particule afin d'interpréter les résultats des mesures. Ces expressions analytiques se révèlent souvent être indispensables.
Les expressions analytiques de distribution de tailles de grain ou particule fréquemment utilisées dans l'industrie sont issues de lois statistiques, on peut citer, à titre d'exemple, la loi normale, la loi log-normale, la loi de Weibull, la distribution gamma etc. Les paramètres compris dans ces lois ne renvoient pas à une représentation structurelle des grains ou des particules. Ainsi pour la distribution de taille de grain ou de particule inspirée de la loi de Weibull, on introduit un paramètre de forme dont le sens renvoie à l'allure de la distribution elle-même : selon la valeur de ce paramètre, la taille des grains ou particules est plus ou moins uniforme. Il n'y a pas, dès lors, d'information claire entre les caractéristiques de la poudre ou système de particules en termes de grains ou de particules et les propriétés recherchées par l'industriel s 'agissant du matériau final ou de l'effet final. Or, l'expérience montre que ces propriétés (ou cet effet) sont fortement influencées par les caractéristiques des poudres ou systèmes de particules en termes de grain ou de particule dont, par exemple, la granulométrie.
En ce qui concerne l'évolution de la densité d'une poudre compactée, l'équation très fréquemment utilisée est l'équation de Heckel (R-W. Heckel, Density-pressure relationships in powder compaction, Trans Metall. Soc. AIME., 221, 671-675 (1961a) ; An analysis of powder compaction phenomena Trans Metall. Soc. AIME., 221, 676-682 (1961b) et, par exemple, W. Xiong, X. Qin, L. Wang, Densification behavior of nanocrystalline Mg2Si compact, J. Mater. Sci. Technol., Vol 23 N°5, 2007). Cette équation relie le rapport du volume global des grains sur celui du volume total du système, à la pression de compactage imposée, suivant des paramètres empiriques. On utilise l'équation de Heckel pour distinguer, grossièrement, les régimes de densification, notamment entre le régime de déformation plastique et celui de fracturation fragile. Il existe également des modèles dynamiques basés soit sur des approches continues phénoménologiques, soit sur des approches discrètes ou micromécaniques à vocation déterministes, mais actuellement très coûteuses en temps de calcul. Les plus utilisées sont les approches continues comme, à titre d'exemples, le « Drucker-Prager Cap model (DPC)» et le « Cam-Clay model ». Ces approches requièrent plusieurs mesures sur les systèmes étudiés pour déterminer les paramètres nécessaires à leur configuration. On utilise notamment ces modèles dans les domaines de la géologie, de la métallurgie et de la pharmacie. Ainsi, un comprimé pharmaceutique se présente selon le mélange de plusieurs poudres dont l'une représente le principe actif et les autres des excipients nécessaires notamment à l'amélioration des propriétés mécaniques du comprimé. La recherche de la bonne combinaison peut se révéler très fastidieuse en fonction des propriétés imposées de la poudre représentant le principe actif. Il serait très utile, à partir d'une approche théorique assortie d'une représentation structurelle des grains, de pouvoir prévoir l'évolution de la densité et des propriétés mécaniques notamment en cas de mélange de plusieurs types de poudres dont on connaîtrait individuellement les caractéristiques et les propriétés. Ceci en limitant le nombre de mesures qui, pour les modèles existants, est aujourd'hui trop grand.
Il y a d'importants travaux de recherche menés tant en physique fondamentale qu'en physique appliquée pour mieux comprendre les milieux granulaires et particulaires et leurs propriétés. Il existe une approche assez intéressante, introduite il y a une vingtaine d'années consistant à regarder les milieux granulaires selon le prisme des lois de la mécanique statistique. Cette approche est assez tentante car les grains évoquent les particules d'un système statistique tel que ceux de la mécanique statistique. Cette approche tend à introduire une entropie (S.F. Edwards, R.B.S. Oakeshott, Physica A 157, 1080 (1989) ; R.D. Cohen, Proc. R. Soc. Lond. A (1993) 440, 611-620). Néanmoins, les différentes configurations et les réarrangements possibles ne sont plus motivés par des considérations thermiques, mais par des effets mécaniques liés par exemple à un compactage. Ceci pose le problème de la pertinence d'une telle approche et de l'équivalent de la température dans cette mécanique statistique des milieux granulaires (A. Barrât, J. Kurchan, V. Loreto, M. Sellitto, Edwards measures for powders and glasses, Phys Rev Lett, 2000 Dec 11, 85(24) 5034-7). Ces questions sont toujours en débat.
Le point de vue défendu conduisant à l'invention dont il est question ici est différent : le formalisme de la mécanique statistique est pertinent dans l'étude des milieux granulaires, non parce que ce type de système serait susceptible au cours de son évolution de parcourir approximativement toutes les configurations - ce dont il est sérieusement permis de douter - justifiant l'introduction d'une fonction entropie, mais parce que la définition d'un milieu granulaire en elle-même relève d'un raisonnement de la mécanique statistique. La géométrie à laquelle obéit le système défini par un milieu granulaire est, selon le cadre scientifique de cette invention, basée sur un raisonnement de la mécanique statistique. Ce raisonnement est basé sur l'impossibilité de définir un contour à chaque grain ou particule justifiant le cadre statistique et sur un critère d'homogénéité. Ce raisonnement géométrique conduit à associer à tout milieu granulaire un volume élémentaire représentatif (VER) homogène caractérisé notamment par un rayon. Ce rayon est le paramètre intensif propre à un raisonnement de la mécanique statistique et analogue de la température en thermodynamique. La définition de ce VER a pour conséquences logiques les éléments nouveaux suivants : la détermination de la représentativité de chaque taille de grain à partir de quelques mesures de tailles de grain ou particule et du volume associé, la définition d'un réseau et, enfin, la mise en œuvre d'une approche de percolation d'invasion au sein de ce réseau.
Il y a un fort besoin pour une explication théorique de la définition des poudres industrielles et systèmes de particules industriels conduisant à un procédé de modélisation de ces poudres et systèmes de particules selon une voie simple et déterministe de nature à optimiser les investissements industriels. Ainsi, s'agissant du suivi de la qualité des distributions de tailles de grain ou de particules lors de la production des poudres ou systèmes de particules, il serait très utile de disposer d'un procédé de mesure fiable basée sur une loi physique plutôt que sur des lois statistiques et, en outre, de ne disposer que d'une seule expression analytique, de surcroît davantage signifiante, pour reproduire analytiquement les distributions de tailles de grain ou de particule au lieu de plusieurs lois statistiques sans savoir laquelle privilégier et si elle correspond bien à la réalité. Il serait également très utile de pouvoir prévoir plus facilement les meilleurs mélanges de poudres quand un tel mélange est soumis à des conditions extérieures (par exemple : compactage, écoulement) selon les propriétés recherchées en évitant d'avoir à tâtonner, tout en réduisant le nombre de mesures, certaines étant alors remplacées par la simulation par ordinateur.
Exposé de l'invention
Il s'agit d'une solution technique au problème technique de la modélisation des poudres industrielles et des systèmes de particules industriels et de leurs propriétés selon un procédé déterministe depuis des entrées structurelles en rapport direct avec les grains ou particules. Cette solution technique est basée sur une solution scientifique partielle apportée au problème scientifique de la mise au point d'une géométrie vraie à toutes les échelles dans le cadre d'un travail personnel de description de la matière en général. L'approche consiste à définir un Volume Élémentaire Représentatif (VER) du système de poudres ou particules. Ce VER est d'essence statistique car il est impossible de définir un contour à chaque grain ou particule de sorte qu'il est impossible d'isoler un VER. Par ailleurs, s'il est impossible de définir rigoureusement un contour, le volume apparaît comme une grandeur pertinente pour caractériser un grain et un ensemble de grains. On définit donc des volumes auxquels on associe un nombre η concernant leur représentativité pour définir le volume total des grains ou particules. Afin de caractériser statistiquement le VER, on impose alors un critère d'homogénéité de telle manière que pour des volumes de grains ou particules donnés le système soit le plus homogène possible. Ceci conduit à introduire une fonction entropie selon un formalisme inspiré de celui de la mécanique statistique bien qu'il n'y ait dans ce cas aucun un aspect dynamique et seulement des considérations géométriques ou topologiques. La fonction entropie s'écrit s=kLnQ où Ω=Ω( ) est le nombre de répartitions équivalentes et k=l/C est une constante homogène à une surface. Le calcul d'optimisation (s maximum) conduit à caractériser le système de poudres ou particules selon la distribution nj en fonction du volume vj, du nombre de volumes ou tailles de grain présent ainsi que d'un paramètre homogène à une longueur et qui correspond à un rayon, noté Rmax ou Rseuii- On a donc
Figure imgf000007_0001
sachant que
V =∑nJ.vJ εί Ν = ¾
j j
Selon le calcul conduisant à nj et sachant qu'on a exprimé la notion de seuil selon une différence, l'expression du volume cumulé s'écrit :
Figure imgf000007_0002
V j
Formule dans laquelle S : =—— . Le calcul des tailles de grain ou de particule définissant le v max
VER moyen se fait alors à travers le paramètre R ou, plus précisément, tout en calculant le volume cumulé V=V(R) où R varie de 0 à Rmax- V(R) est le volume cumulé des grains du plus petit jusqu'à une taille R. On peut évidemment exprimer le complémentaire en introduisant le volume total, soit le volume cumulé du plus gros grain jusqu'à la taille R. On associe donc à chaque grain un volume j et un rayon ou une taille η. Chaque VER de toute poudre ou de tout système de particules est au moins caractérisé par un rayon Rmax. L'ensemble {vj} peut être plus ou moins complexe pour un même processus de génération de poudre ou de système de particules donné en fonction des composants initiaux. Par ailleurs, à un type de grains ou de particules correspond une relation Vj=Vj(rj). On peut interpoler un certain nombre de points afin d'établir une expression analytique plus pratique à manipuler. Il est possible, par exemple, de travailler, à défaut d'une meilleure expression, avec Vj = a.rj V qui a l'avantage de se prêter aisément à un calcul de régression linéaire. Une des conclusions de cette approche est la possibilité de la détermination, pour une poudre donnée ou un système de particules donné, de la représentativité de chaque taille de grain ou de particule à partir de leur caractérisation sans plus donc à avoir à mesurer cette représentativité. Pour cela, pour une poudre donnée ou un système de particules donné on peut mesurer, par différents procédés techniques, quelques tailles de grains ou de particules et le volume associé afin d'établir un ensemble de points Vj=Vj(rj) qu'on cherchera à interpoler. On calcule ensuite la représentativité, -^- , de chacune de ces tailles j pour la poudre ou le système de particules en question. La série de tailles de grain ou particule {vj(rj)} peut être plus ou moins complexe pour un même processus de génération de poudre ou de système de particules donné en fonction des composants initiaux. La combinaison de plusieurs relations Vj=Vj(rj) comme, par exemple Vj = aj , peut alors s'avérer nécessaire pour reproduire tout le spectre de tailles de grain ou de particule faisant alors ressortir plusieurs types de grain ou de particule.
On peut exprimer une formulation plus pratique que V(R) en faisant ressortir le pourcentage en volume. On introduit F(R) = qui correspond à la fraction du volume
V(Rn,ax )
cumulé des grains ou des particules ayant une taille de grain ou de particule inférieure ou égale à R rapportée au volume cumulé de tous les grains ou de toutes les particules.
Figure imgf000008_0001
Ainsi, on peut mesurer ou se donner {vj} et obtenir F(R). La fraction, F'(R), portant sur le cumul des grains du plus gros jusqu'à la taille R s'écrit F'(R)=1 -F(R).
On peut, par ailleurs, associer à chaque grain ou particule une pression de type Laplace correspondant à la déformation de l'interface solide de ce grain ou de cette particule. Si ce grain ou cette particule est caractérisé par un rayon de courbure alors cette pression a pour expression type : a est une constante propre au grain étudié.
Figure imgf000009_0001
On peut donc également écrire V(R) sous la forme suivante :
Figure imgf000009_0002
Formule dans laquelle P est une pression supérieure à Pmax (R Rmax)-
Enfin, on peut également exprimer V(R) en termes de masse cumulée qui permet d'introduire la notion pratique de « mass undersize ». Pour ce qui concerne la masse cumulée (« mass undersize »), on a la formulation évidente (p est la masse volumique) :
Figure imgf000009_0003
L'ensemble ou la série {vj} peut être aussi sophistiqué(e) que nécessaire. Ainsi, un mélange de poudres ou de systèmes de particules - différents types de grain ou de particule - introduira autant de rayons caractéristiques qu'il y a de types de grain ou de particule ainsi que la proportion de présence de chacun. Ce VER moyen associé au mélange est, par conséquent, toujours au moins caractérisé par un rayon maximum. On peut détailler la somme pour faire apparaître chaque type de grain ou de particule.
On a ramené une poudre (un système de particules) ou le mélange de poudres (de systèmes de particules) au comportement moyen d'un VER. A partir de la courbe V(R), il est possible de déduire la représentativité des grains ou particules appartenant au VER, la courbe V(R) nécessitant l'ensemble {vj(rj)} qui peut être exprimé à partir de la mesure de quelques couples Vj-rj, par l'intermédiaire d'une expression analytique d'interpolation telle que, par exemple, Vj = a.rj V . Nous pouvons donc définir un procédé de contrôle de la distribution de tailles de grains (ou de particules) lors d'un processus de production de poudre ou de système de particules quel que soit le processus considéré (cristallisation, broyage, atomisation etc.).
Analytiquement, à partir de l'établissement à l'aide de quelques mesures d'une relation entre v, et η, respectivement le volume et le rayon d'une taille de grain ou particule j, il est possible de calculer η, représentativité de la taille de grain ou particule j, par l'intermédiaire de u . Cte n l'expression de V(R) ou F(R) selon la relation dV = nj.vi = — = .dF avec N = Vnf
N Vj j
(FIG.l). Pratiquement, cela nécessite de définir le procédé de mesure nécessaire à l'établissement de la relation Vj=Vj(rj). Quelques couples Vj-rj (par exemple trois à cinq couples selon la précision recherchée pour une poudre ou un système de particules simple) sont nécessaires à l'établissement d'une telle relation. Pour chaque couple, il faut mesurer la taille du grain (ou de la particule) et le volume du grain (ou de la particule).
La technique de mesure de quelques tailles de grain (ou de particule) la plus simple est le tamisage rendue rapide puisque seules quelques tailles mesurées sont nécessaires. La limitation de cette technique est liée à la limite inférieure du tamisage, de l'ordre de quelques dizaines de microns, ce qui permet toutefois de rester opérationnel pour nombre de processus industriels. Il faut envisager notamment la diffraction LASER pour pouvoir descendre beaucoup plus bas. Il faut ensuite mesurer le volume des grains ou particules pour lesquels on a mesuré la taille. Pour cela, les techniques les plus courantes sont notamment le pycnomètre à gaz, l'immersion et, enfin, la chambre de pression. L'homme du métier peut articuler ces techniques de mesure afin de constituer un appareil comprenant plusieurs organes dont un organe d'alimentation pouvant être une trappe ou une dérivation permettant à un échantillon de poudre ou de système de particules d'aller vers le dispositif de mesure principal, un organe remplissant la fonction de mesure de la taille de grain ou de particule, un autre organe remplissant la fonction de mesure du volume de grain ou de particule pour des grains ou des particules dont la taille a été mesurée par l'organe de mesure de la taille et enfin un organe remplissant la fonction de calcul de la distribution de tailles de grain ou particule, soit le calcul de η par l'intermédiaire de l'expression de F(R). Il s'agit alors, pour la fonction de ce dernier organe, d'enregistrer les valeurs des mesures (vj et η) et d'effectuer les calculs (F(R) puis nj), il s'agit donc d'un système électronique comprenant une mémoire contenant un programme comprenant des routines pour effectuer les calculs dont il est question.
Le procédé permet également de simplifier et compléter les techniques de mesures actuelles. En effet, les techniques actuelles appuient leur interprétation des mesures effectuées sur la poudre ou le système de particules à partir d'expressions analytiques de distribution de tailles de grains (particules) issues de lois statistiques comme la loi normale, la loi log-normale, la loi de Weibull etc. Il est particulièrement avantageux de disposer d'une seule loi, de surcroît représentative de la réalité mesurable. Ainsi dans le cas de l'interprétation des mesures par la sonde FBRM, l'algorithme usuel consiste à effectuer la mesure de tailles de corde, à se donner une distribution de tailles de grain (particule) selon une expression analytique et un choix de paramètres, à déduire, par le calcul à partir de la distribution de tailles de grains (particules), la distribution de tailles de corde, à comparer la distribution de tailles de corde calculée et celle mesurée et, enfin, à modifier le choix des paramètres de la distribution de tailles de grain (particule) initiale de manière à tendre vers une différence aussi faible que possible entre la distribution de tailles de corde mesurée et celle calculée. L'algorithme en question est nettement amélioré en recourant à la loi de distribution des tailles de grains (particules) issue de l'expression de F(R). Il est tout d'abord plus facile de déterminer le choix des paramètres initiaux dans la mesure où ils sont liés au volume et au rayon du grain (ou particule) moyen de la poudre étudiée ou du système de particules étudié. D'autre part, on obtient une meilleure superposition et une convergence plus rapide dans la mesure où la loi employée relève, cette fois, réellement de la physique depuis un raisonnement géométrique, là où la plupart des lois statistiques ne donnent qu'une superposition approchée dont certaines ne sont pas très bonnes (exemple de l'emploi d'une courbe gaussienne). Enfin, non seulement on obtient la distribution de tailles de grains ou de particules, mais également la distribution en termes de volume par l'intermédiaire de la relation Vj=Vj(rj), par exemple, vi = ajj" où, dans ce cas là, les paramètres a et v sont déduits lors de la convergence entre la distribution de corde calculée et celle mesurée.
Ce qui est vrai pour l'usage de la sonde FBRM, l'est également pour la technique de mesure basée sur la diffraction de la lumière où la source de lumière est un LASER et l'interprétation est basée sur la théorie de Mie. En prenant pour expression analytique initiale de la distribution de tailles de grain ou particule, la dérivation de η depuis V(R) ou F(R), on se donne les moyens de converger plus rapidement et d'obtenir une meilleure superposition entre la courbe mesurée et la courbe issue de l'expression analytique F(R). Le caractère théorique de l'expression analytique F(R) assure une meilleure superposition avec la courbe effectivement mesurée tout en introduisant en entrée des paramètres structurels plus signifiants.
On peut également considérer une technique de mesure qui a une bonne résolution et qui autorise des mesures « on-line », comme l'usage de la sonde FBRM ou la diffraction LASER, mais cette fois dans le cadre du calcul du couple de points Vj-rj en ce que cela permet de limiter le nombre de mesures. Parmi les procédés de mesure existants, on peut également citer la technique de mesure basée sur l'utilisation du courant électrique (compteur de particule à impédance) s'agissant notamment des cellules vivantes (l'homme du métier peut se référer à la description du compteur Coulter ou à la technologie CASY). On détermine notamment lors des examens sanguins la distribution de tailles de particule propre aux globules rouges, aux globules blancs et ainsi de suite pour les constituants du sang. Cet examen permet notamment de détecter les anomalies et donc les suspicions de pathologies caractéristiques de ces anomalies. L'homme du métier recourt souvent aux lois normale et log-normale alors que la loi présente dans l'invention dont il est question dans le présent exposé, à travers la courbe F(R), est beaucoup plus appropriée permettant des mesures de bien meilleure qualité.
Plus généralement, tout procédé de mesure des distributions de tailles de grain ou particule suit l'algorithme : mesure de quelques points - expression analytique paramétrée - comparaison entre les points mesurées et l'expression analytique - modification des paramètres de l'expression analytique en fonction de l'écart de manière à ce que l'écart soit jugé suffisamment faible (l'homme du métier recourt alors aux techniques mathématiques de minimisation telles que celles exposées par exemple dans « Numerical recipes »). Le fait de disposer de l'expression analytique générale F(R) à partir de laquelle on peut déduire la distribution de tailles de grain ou particule, issue du raisonnement portant sur la physique des poudres ou système de particules et le VER associé, apporte un avantage important sur la rapidité de l'interprétation de la mesure et sa qualité tout en renseignant sur le volume mesurable de chaque grain ou particule présente (FIG.2).
La possibilité de calculer la représentativité de chaque grain ou particule d'une poudre ou d'un système de particules appartenant à un VER à partir de quelques mesures de tailles de grain ou particule et du volume associé permet d'améliorer le suivi de la production de poudre ou du système de particules. Cela entraîne également la définition d'un réseau à trois dimensions, en tant qu'objet numérique, représentatif de toute poudre ou système de particules. En effet pour définir un tel réseau, il faut connaître la représentativité de chaque taille de grain ou particule et également le nombre de plus proches voisins de chaque grain ou particule. En outre, chaque grain ou particule est caractérisé par un volume Vj et un rayon η, toute chose qui conduit également à considérer systématiquement une approche de percolation d'invasion pour modéliser le comportement du réseau représentatif du système étudié. Selon une telle approche, chaque grain ou particule sera impliqué dans le processus pour peu que son rayon soit supérieur au rayon d'équilibre auquel est soumis le réseau. Une fois que l'on a défini un réseau représentatif, propre à la poudre étudiée ou au système de particules étudié, quelle que soit sa complexité, on peut modéliser à partir de ce réseau l'évolution de la poudre ou du système de particules en question et prévoir ainsi les propriétés du matériau final (ou du produit final) en fonction de la composition de la poudre ou du système de particules caractérisée notamment en termes de tailles de grain ou particule. On peut ainsi définir un procédé de modélisation de toute poudre ou système de particules. Ce procédé sera déterministe en ce qu'il y a un cheminement univoque entre la composition de la poudre ou du système de particules et le matériau final ou le produit final consécutif à l'évolution du système constitué par la poudre (ex : poudre compactée) ou le système de particules.
Le procédé de modélisation déterministe des poudres ou système de particules se présente selon cinq étapes principales (FIG.3 ) .
Étape (a) : mesure de caractérisation de quelques grains ou particules selon leur volume, leur taille (une dimension principale) et leur nombre de plus proches voisins afin d'établir notamment une relation Vj=Vj(rj) (E10), par exemple, vi = ajy , soit, dans ce cas là, à identifier, globalement, ies paramètres a, v et z, où z est le nombre de plus proches voisins, ceci pour chaque poudre ou système de particules présent. Plusieurs techniques de mesure existent, familières de l'homme du métier, comme le tamisage, les lames minces, le pycnomètre mais aussi lës rayons X, la microscopie électronique (SEM), etc.
Étape (b) : calcul de la courbe F(R) à partir de l'expression analytique reliant F(R) avec R et {vj} (E20). On peut également mesurer la courbe F(R) pour s'assurer d'un bon calibrage incluant la valeur de la constante (s' agissant notamment de quelques poudres ou systèmes de particules de référence) (E10 bis).
Étape (c) : définition d'un réseau (E30) implémenté par ordinateur consistant en le mélange de grains ou particules dont les caractéristiques et la représentativité sont déduites de la courbe F(R) établie en (b), de la relation Vj(rj) et du nombre de plus proches voisins établis en (a).
Étape (d) : calcul par ordinateur des paramètres nécessaires à la modélisation de l'évolution du système de poudres ou du système de particules pour un formalisme donné en appliquant les lois de la physique appropriées aux grains ou particules du réseau afin d'en déduire, par exemple, s'agissant des poudres compactées, la densité finale ainsi que les propriétés mécaniques du comprimé (E40).
Étape (e) : ajustement de la composition en fonction des propriétés recherchées à l'issue de la simulation réalisée par ordinateur jusqu'à obtenir la bonne composition (E50 et E60). W
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Présentation détaillée de chaque étape
Étape (a) :
Il s'agit d'établir une relation analytique entre le volume et la taille de chaque grain ou particule. Pour quelques grains ou particules suffisamment espacés en taille (trois à cinq par exemple, davantage si on souhaite une meilleure précision), on mesure le volume et une taille caractéristique. Pour mesurer la taille, on peut procéder par tamisage mais également selon des techniques beaucoup plus fines pour les grains (ou particules) très fins, notamment au début, pour se familiariser avec le procédé et pour identifier la technique la plus appropriée à la qualité de la mesure ainsi qu'à sa durée. L'homme du métier connaît parmi les techniques les plus couramment utilisées la microscopie électronique (SEM), la diffraction LASER, l'analyse d'image par techniques optiques (« optical image analysis »), l'absorption ultrasonique, la diffraction par rayons X, la spectroscopie optique, la résonance magnétique nucléaire pour citer les plus connues. Pour mesurer le volume des grains (ou particules) concernés l'homme du métier peut notamment, mais non exclusivement, se référer aux techniques éprouvées comme celle du pycnomètre, en l'espèce le pycnomètre à gaz dont le principe de la mesure est basé sur la loi de Boyle-Mariotte, comme la méthode d'immersion basée sur la poussée d'Archimède ou, enfin, l'emploi d'une chambre de pression basée également sur la loi de Boyle-Mariotte. Pour une poudre donnée ou un système de particules, la structure peut être plus ou moins complexe pour un même processus de production et pour un mélange de poudres ou systèmes de particules, l'homme du métier s'attachera à établir une telle relation pour chaque poudre ou système de particules.
Étape (b) :
On calcule à partir de l'expression de (ν η } obtenue lors de l'étape (a), la courbe F(R). Dans le cas d'une poudre ou d'un système de particules complexe, on aura alors plusieurs types de grain ou particule. L'expression analytique doit alors être détaillée afin de prendre en compte tous les paramètres mesurés, par exemple pour une interpolation selon = ajv" , il s'agit des paramètres a et v déduits des mesures sur Vj-rj.
Le volume cumulé pour une poudre ou un système de particules complexe peut s'écrire selon l'équation V(R) précédente mais qu'on peut détailler en faisant apparaître les différents types de grain ou particule présents selon l'expression :
Figure imgf000015_0001
Formule dans laquelle :
vmax est le volume du plus grand grain ou particule défini par Rmax ou Rni ;
nRk est le nombre de types de grain ou particule (type de grain ou particule défini
Rk) ;
- Nk est le nombre de grain ou particule de type k (caractérisé par Rk) ;
- nk est le nombre de taille de grain ou particule de type k (caractérisé par Rk) ; prend des valeurs caractéristiques pour chaque type de grain ou particule ;
- Vj volume des grains j défini selon la représentation artificielle ;
C est une constante (déterminée par calibrage selon une mesure de V(R) ou F(R)).
et pour F(R) :
Figure imgf000015_0002
Étape (c) :
On calcule la représentativité de chaque taille de grain ou particule à partir de la fonction
F(R) selon la relation suivante :
o . Cte n ^
dV = n j .V j =>— = .dF avec N = Vn= pour déterminer la Cte. On peut introduire, afin de
N Vj j
simplifier tout en préservant le déterminisme, Vj=constante pour certaines tailles de grain ou particule dont la valeur est choisie de manière à rendre compatible la simplification avec la réalité, notamment pour les grains les plus fins et avoir ainsi nj=constante, pour les grains concernés, tout en conservant pour les propriétés physiques un rayon 15 pour chaque grain ou particule assigné au réseau. On peut ainsi reproduire selon un réseau artificiel à trois dimensions le système équivalent à la poudre (système de particules) ou au mélange de poudres (systèmes de particules) en mélangeant aléatoirement les grains ou particules appartenant au VER dont on connaît le rayon et la distribution associée par la courbe V(R) ou F(R) ainsi que le nombre de coordination (nombre de plus proches voisins) noté z. Ainsi, on peut se donner {vj}, soit par la mesure selon l'étape (a), soit à partir de recoupements, calculer F(R) et déduire de la courbe F(R) la représentativité des rayons à assigner dans le réseau 3D équivalent au système de poudre(s) (système(s) de particules) considéré. On peut considérer une structure de poudre selon {vj} aussi complexe qu'il est nécessaire, on peut également considérer le mélange de poudres selon une pondération donnée : pour chaque η de chaque poudre, on peut déduire la représentativité depuis la fonction F(R) propre à chaque poudre formant le mélange puis, ensuite, appliquer la pondération pour avoir dans le réseau le nombre de grains respectant et la représentativité propre à chaque poudre et la pondération du mélange entre les poudres.
Le réseau doit être constitué de grains ou particules représentés par des volumes individuels, de tailles variables issues de la série de rayons définissant le VER moyen. Ces volumes, caractérisés par deux paramètres, Vj et η, sont représentés par un lien. La rencontre de plusieurs liens (1) constitue un nœud (2). Chaque nœud, qui n'appartient pas à un bord, relie six grains (1) entre eux en un nœud (2) (FIG.4). Pour déterminer le nombre de coordination, z, ou confirmer sa mesure, on peut s'aider du réseau de pores que dessine également la poudre ou le système de particules. Il existe en effet une relation triviale entre le nombre de liens correspondant aux grains ou particules, la porosité et le rapport du volume moyen d'un grain ou particule sur celui d'un pore. Ainsi si on connaît le réseau poreux, on peut mieux cerner le réseau de grains ou particules. Or on peut, par exemple, compléter la caractérisation du réseau de pores avec la mesure de la perméabilité absolue (cf PCT/FR2010/000605). Il existe par ailleurs une relation bien connue de l'homme du métier (topologie et théorie de la percolation) reliant la valeur seuil (le seuil de percolation) et la dimension du système pour une géométrie donnée, comme par exemple celle du cube. Le nombre typique de grains à considérer pour une simulation de bonne qualité est de l'ordre de 10000 grains.
Afin de déterminer le rayon maximum correspondant au système reproduit par le réseau, quel que soit le VER moyen considéré, il faut partir d'un rayon donné puis à partir d'une face progresser vers la face opposée sachant qu'on ne peut atteindre un grain ou une particule que s'il a un rayon supérieur à celui du rayon donné. Il existe un rayon majorant tel qu'en observant cette règle, on accède effectivement à la face opposée (usuellement appelé seuil de percolation en référence à la théorie du même nom). Ce rayon maximum est une caractéristique du système de poudres considéré.
Le réseau déterminé par la courbe V(R) (ou évidemment M(R)), permet de calculer le rayon maximum du VER représentant la poudre (système de particules) issue d'une poudre ou d'un système de particules simple (un seul type de grain ou particule) ou d'un mélange de plusieurs poudres simples (système de particules), mais également de modéliser de manière déterministe tout processus physique imposé à cette poudre comme son compactage. Au préalable, il faut que le système défini par le réseau vérifie le nombre de coordination du système de poudre (système de particules). Pour cela, on convertit autant de grains ou particules en pores que cela est nécessaire. On peut s'aider de la valeur de la porosité initiale et de la connaissance du réseau de pores sachant le rapport du volume moyen des grains ou particules sur celui des pores (n) d'après les relations suivantes :
n < v > n . < v > φ n η.Φ
φ = E E , n = _J S_ — = , ntotal = n + n
nP. < vp > +ng. < vg > p < νρ > 1 - Φ 1 - Φ p g
La conversion abaisse le nombre de coordination (nombre de plus proches voisins) du réseau. On peut partir du nombre de coordination (mesuré) et supprimer directement les grains afin de vérifier ce nombre. Pour organiser la résolution, on dispose de conditions extérieures imposées au système (les conditions aux limites), d'un réseau qu'on peut suivre grain (ou particule) par grain (ou particule) en écrivant les lois physiques appropriées vérifiées par chaque grain ou particule et les lois de conservation en chaque noeud et de lois macroscopiques appliquées au VER moyen. Le réseau doit respecté les proportions (hauteur, longueur, profondeur) et si nécessaire la géométrie du système de poudres pour tenir compte des effets induisant une anisotropie (ex : compactage uniaxial cylindrique et contraintes radiales).
Étape (d) :
Pour aborder la modélisation du compactage d'une poudre simple ou faite d'un mélange de poudres, on peut considérer plusieurs niveaux d'approche : une approche analytique globale de calcul de D(P) type « loi de Heckel » où D(P) est la densité relative de la poudre en fonction de la pression P appliquée au système en vue de son compactage, la même approche de calcul de D(P) reprenant l'argument de la percolation d'invasion, mais cette fois en recourant au réseau, une approche selon un formalisme continu rendu déterministe par le calcul avec le réseau de relations « contrainte-déformation », une approche microscopique déterministe par le calcul avec le réseau.
L'approche analytique consiste à bâtir une loi « D(P) » dérivée de notre analyse de la distribution de tailles de grain. Quand on compacte une poudre, la profession cerne un certain nombre de mécanismes usuels : d'abord les grains se réarrangent, puis se déforment afin de combler les espaces vides constituant la porosité et, enfin, ils se fragmentent si la pression est suffisamment élevée. Au terme de ce processus, la porosité est proche de zéro et la densité de l'unité. Nous proposons de suivre ce processus selon un mécanisme de percolation d'invasion : ce sont d'abord les plus gros espaces vides - pores - qui sont comblés puis au fur et à mesure que la pression croît ce sont les plus petits, le tout à partir d'une pression seuil - P-n, - propre à la structure étudiée (le VER).
On a
y
D(P) = 1 - <P = 1 - poreuxinitial - V. porescomblés V,
= 1 - Φ porescomblés
initiale + - totaliniti al totaliniti al
or
V = V
porescomblés poreuxinitial - V poresnoncomblés
avec
^poresrioncomblés = coefficient.V„ondéfonnés = coefficient.5 nJ(P).vJ
j=i
la distribution de taille de pore initiale {vj} similaire à celle de taille de grain initiale à un « coefficient » homothétique près (de gros grains dessinent de gros pores, de petits grains de petits pores).
D'où
0(Ρ) = coefficient.
Figure imgf000018_0001
On propose, par conséquent, la loi suivante pour une poudre quelconque caractérisée notamment par Ri (ou Rmax) (pour mémoire la loi de Heckel correspond selon sa version la plus courante à D(P) = 1 - e_kP~A , k et A étant des constantes ) :
Figure imgf000018_0002
formule dans laquelle, on a notamment :
Φίηωβΐε est la porosité initiale (P- P|¾) : la poudre n'a subi aucun compactage P est la pression de compactage imposée ;
v- sj =
V max
- Pih est la pression de seuil fonction de Rmax et propre à la structure poudreuse concernée (a assure le lien entre ΡΊ¾ et Rmax : qui n'a pas connaissance de la valeur de a peut fïtter des courbes de systèmes connus afin de mieux comprendre comment a est déterminé et pouvoir ainsi extrapoler pour d'autres systèmes de poudre) ;
On peut détailler cette expression dans le cas d'une poudre comportant plusieurs types de grain :
Figure imgf000019_0001
L'intérêt de cette relation analytique est, à l'instar de la loi de Heckel, de pouvoir distinguer la différence entre le régime de déformation plastique et celui de fragmentation fragile : la loi ne sera plus valable quand des grains entreront dans le régime de fragmentation fragile, l'ensemble d'origine {vj} n'étant plus le même.
Le modèle proposé conduit donc à un compactage organisé selon, d'abord la déformation des gros grains comblant ainsi les gros pores, puis à la déformation de grains de plus en plus fins, jusqu'à l'entrée dans le régime de fragmentation modifiant la distribution d'origine par la prépondérance des grains fins entraînant le décalage entre la courbe analytique et la courbe expérimentale.
Il y a également un mécanisme de piégeage qu'il faut prendre en considération, tout particulièrement dans le cas de mélange de poudres (poudre complexe), car il entraîne également un décalage entre la courbe analytique et la courbe expérimentale dû à l'existence d'une porosité résiduelle (ce qui est très important car cela permet de mieux prévoir le moment d'entrée dans le régime de fragmentation fragile). A partir du moment où il y a un critère selon cette approche topologique tel qu'on accède à un grain, de proche en proche, uniquement si le rayon du grain, selon la représentation artificielle, est supérieure au rayon correspondant à la pression de compactage imposée, un grain, quelle que soit sa taille, peut se retrouver cerné par des grains qui ont tous été mis sous tension en étant plus ou moins déformés et se retrouvé, ainsi, systématiquement court-circuité (piégé), à tout le moins, tant que le régime de fragmentation fragile n'est pas survenu. Autrement dit, vu du système de pore défini par les grains, un pore ne peut être comblé que s'il a, d'une part, un rayon supérieur au rayon en relation avec la pression imposée et si, d'autre part, un chemin le relit à l'extrémité opposée à celle de la pression de compactage selon des pores non comblés. Ces grains et pores piégés seront en quantité marginale pour un système fait d'une poudre simple (un type de grain) mais en quantité beaucoup plus importante pour un système fait d'une poudre complexe (plusieurs types de grain) entraînant une fragmentation prématurée et plus importante.
L'usage du réseau défini par la distribution de tailles de grain initiale peut permettre un suivi détaillé de l'approche « topologique » proposée. Ceci permet d'une part d'avoir la courbe D(P) entièrement, comportant la partie initiale avant Ρ-η,, tout en calculant ce P-n, et, d'autre part, de reproduire le mécanisme de piégeage.
L'algorithme à respecter est le suivant une fois le réseau défini (mélange aléatoire de grains interconnectés selon des nœuds tout en respectant la porosité initiale) :
ot
- on impose P à la limite comme pression de compactage et donc R via R =— ; on considère que tout grain r connecté à cette limite est déformé si R<rjj et que le grain en question est connecté à l'autre extrémité selon un chemin fait de grains non déformés ;
- on affecte la pression P à tous les nœuds en relation avec un grain déformé par cette pression P ;
ainsi de suite de proche en proche ;
- quand tous les grains susceptibles d'être déformés l'ont été par ce mécanisme alors on augmente P jusqu'à parcourir toute la gamme de pression souhaitée ;
- un grain déformé signifie un pore homothétique comblé (supprimé) et donc la densité relative augmentée (un pore comblé, quelle que soit la valeur de ry correspond à un volume supplémentaire pour la phase solide d'une valeur égale à ce pore comblé, soit en rapport avec y pour un coefficient donné ou d'une valeur constante si on a adopté ce point de vue).
- On obtient ainsi la courbe D(P) avec la pression de seuil Ρτ¾, le nombre et la localisation des grains piégés (non déformés avec les pores associés non comblés). Cette courbe se superposera avec la courbe expérimentale tant qu'il n'y aura pas de fragmentation.
Cet algorithme « topologique » ne prend pas en compte tous les aspects, comme ceux liés, par exemple, aux frictions, notamment aux parois. On peut ajouter des coefficients au modèle présenté selon l'algorithme pour tenir compte d'effets particuliers expliquant une source de décalage avec la courbe expérimentale autre que ceux déjà exposés. Des comparaisons avec des poudres bien connues permettent de mieux caler la détermination de tels coefficients.
Après l'approche basée sur la déformation de grains comblant des pores homothétiques selon une logique de percolation d'invasion, on aborde maintenant les approches basées sur un formalisme continu rendues davantage déterministes par la détermination de leurs paramètres à partir de la représentation statistique du VER de tout système de poudres ou de particules propre à l'invention dont il est question. Il est en effet possible selon l'invention de déterminer la relation contrainte-déformation du système granulaire à partir de la statistique granulaire du VER. Or, les paramètres des approches continues sont déterminés, directement ou indirectement, à partir de mesures de type contrainte-déformation.
La relation analytique générale dans le cas uniaxial isotrope (1D) de la relation contrainte-déformation est toujours basée sur un scénario de percoiation d'invasion à partir du moment où la structure est connue d'après V(R) ou F(R). On considère ainsi que chaque grain sera déformé, pour une contrainte donnée, si la contrainte est supérieure à un seuil dépendant de la taille η du grain et donc que cette déformation se propagera de grain en grain au fur et à mesure de l'augmenMion de la contrainte. Selon le scénario de percoiation d'invasion, pour un R donné auquel correspond une contrainte σ exercée en tant que condition à la limite, l'expression de V(R) ou F(R) indique le nombre de grains non encore déformés ainsi que leur volume cumulé (selon ce scénario on déforme les gros grains du VER puis au fur et à mesure que σ augmente, et donc R diminue, on déforme les grains de plus en plus petits). On a la relation contrainte-déformation suivante pour une compression uniaxiale isotrope avec une contrainte appliquée sur une face :
Figure imgf000021_0001
formule dans laquelle, on a
Figure imgf000021_0002
ε(σ) = h(o) est la hauteur du comprimé pour une contrainte σ et hjnitiai est la hauteur initiale du comprimé de section A ; sfinal
Figure imgf000021_0003
la déformation finale avec hfmai est la hauteur finale du
^ initial comprimé avec l'analyse en volume Vfinai correspond à la
Figure imgf000021_0004
mise sous contrainte de tous les grains du VER (invasion complète) ;
- n est le nombre de tailles de grain ;
Vj
s j =— où Vj est le volume du grain de rayon η ;
v„ - σ est la contrainte imposée au système granulaire, σ-m est la contrainte seuil (au sens du
(X
seuil de percolation correspondant à la percée avec le réseau) avec R =— et donc σ
On peut retrouver la courbe ε(σ) en utilisant maintenant le réseau à 3 dimensions déduit de F(R) selon l'étape (c). L'avantage de pouvoir procéder à partir du réseau, c'est de pouvoir prendre en compte le mécanisme du piégeage inhérent au processus de percolation d'invasion. Or ce piégeage correspond à l'entrée dans le régime plastique. La connaissance de cette entrée permet de caractériser entièrement le régime élastique. La prise en compte du piégeage permet de prévoir également l'entrée dans le régime de fracturation fragile, soit quand l'importance du piégeage est telle que la continuité du processus d'invasion est interrompue. Sachant qu'on ne comprimera dans le cas d'une contrainte uniaxiale verticale que les grains représentés (ayant une composante) dans le sens vertical, il est important de bien respecter les proportions du système de poudre étudié. Afin d'établir la relation contrainte-déformation uniaxiale, on procède selon l'algorithme suivant pour un comprimé fait d'une poudre ou d'une composition de poudres donnée s'agissant de la compression suivie d'une décompression :
(X
on impose une contrainte σ à la limite et donc R via R =— ;
σ
on considère que tout grain ry connecté à cette limite est déformé si R<rjj, que le grain en question est disposé verticalement et que ce grain est connecté à l'autre extrémité selon un chemin fait de grains non déformés ;
on affecte la contrainte σ à tous les nœuds en relation avec un grain déformé par cette contrainte σ ;
ainsi de suite de proche en proche ;
quand tous les grains susceptibles d'être déformés l'ont été par ce mécanisme alors on augmente σ et ainsi de suite jusqu'à parcourir toute la gamme de contrainte souhaitée ;
- un grain déformé signifie qu'on lui affecte un taux de déformation dans le sens vertical correspondant au taux de déformation final ;
- un grain non déformé qui n'est plus relié continûment à d'autres grains non déformés de manière à former un chemin jusqu'à la limite inférieure du système est piégé (les grains horizontaux contribuent au piégeage) ; l'entrée dans le régime plastique correspond à la percée ; la fissuration correspond à l'absence de chemin pour relier continûment un grain susceptible d'être déformé à la limite inférieure ; la phase de décompression correspond à la diminution de la contrainte et la reprise pour les grains déformés de leur forme initiale pour peu qu'il existe un chemin continu fait de grains déformés entre eux et la limite en entrée soit la face supérieure.
 partir de la courbe complète de chargement et déchargement uniaxial, l'homme du métier peut déduire les paramètres des lois phénoménologiques des approches continues. Par exemple s'agissant de l'approche DPC (« Drucker-Prager Cap model »), l'homme du métier sait calculer les quatre paramètres du modèle (cohésion, angle de frottement, excentricité de la surface du Cap, pression de consolidation) ainsi que les deux paramètres élastiques (module de Young et coefficient de Poisson). L'homme du métier peut également considérer des situations plus complexes de déformations selon des tests tri-axiaux par exemple. Il faut alors prendre en considération les déformations selon chaque axe et déduire chaque composante du tenseur des contraintes en fonction de celui des déformations.
On peut également effectuer un calcul direct à partir de la relation fondamentale de la dynamique et de la connaissance de la relation contrainte-déformation déduite selon l'algorithme précédent dans le cas le plus général. Ce calcul vaut pour l'étude du compactage d'une poudre mais également pour celle de son écoulement. Les équations à considérer sont :
ργ = pF + diva
formule dans laquelle :
- p est la masse volumique ;
yest l'accélération ;
F est la densité massique de forces ;
- σ est le tenseur des contraintes modélisant les efforts intérieurs ;
sachant qu'on établit selon l'algorithme de l'invention, avec le réseau, la relation entre σ et ε (loi de comportement), et que, par ailleurs, l'homme du métier connaît les relations suivantes ε = ε(ύ) et γ = u , le système d'équations comporte autant d'équations que d'inconnues en prenant en considération les conditions aux limites.
Dans le cadre de la modélisation du compactage des poudres, le réseau permet d'améliorer parmi les approches micromécaniques, celles connues de l'homme du métier intitulées MEFMP pour méthode des éléments finis multi-particules, qu'on retrouve aussi sous le nom de MEDM pour méthode des éléments discrets maillés, et MED pour méthode des éléments discrets. La MEFMP ou MEDM est caractérisée par l'intégration d'une loi élasto-plastique appliquée à chaque grain pour déduire le comportement global de la poudre compactée et la MED est caractérisée par une loi de contact entre chaque doublet de grains permettant également l'intégration jusqu'au comportement global de la poudre compactée. Ces deux approches connues de l'homme du métier sont très dépendantes de la qualité de la distribution de tailles de grain. Le réseau défini lors de l'étape (c) permet d'améliorer considérablement ces méthodes en permettant de définir un VER à partir de tailles de grain et donc d'étudier des mélanges aussi sophistiqués que nécessaires. Dans ces deux méthodes, les grains sont représentés par exemple par des sphères ou des polyèdres. Quelle que soit la forme géométrique considérée, les sphères ou les polyèdres, par exemple, doivent être caractérisés par un rayon Le réseau défini, les algorithmes de ces méthodes connus de l'homme du métier peuvent être appliqués.
Étape (eY: Une fois que la simulation par ordinateur a permis d'obtenir l'évolution du système de grains ou particules en fonction des conditions imposées au système de grains ou particules, il est possible d'ajuster la composition (étape (a)), pour des conditions aux limites données, afin de tendre vers un système final en rapport avec les propriétés recherchées. Ainsi dans le cas du compactage d'un mélange de poudres, il est intéressant de pouvoir simuler plusieurs combinaisons afin de tendre vers celle qui paraît la plus adaptée aux propriétés recherchées.
Le procédé a été implémenté dans un logiciel permettant de modéliser toute poudre industrielle ou tout système de particules industriel en termes de suivi et de prédiction des conséquences d'un mélange sur les propriétés, notamment mécaniques, de la poudre ou du système de particules résultant.
Brève présentation des dessins
Les dessins annexés illustrent l'invention.
La figure 1 représente un organigramme illustrant la procédure de détermination de la distribution de tailles de grain ou particule à partir de quelques mesures de tailles (rj) et de volumes (vj) dans le cadre du procédé de suivi et de contrôle de cette distribution ;
La figure 2 représente un organigramme illustrant l'algorithme de détermination de la distribution de tailles de grain ou particule, pour un dispositif de mesure donné, à partir d'une distribution paramétrée a priori ;
La figure 3 représente un organigramme illustrant le procédé de modélisation déterministe de toute oudre ou système de particule soumis à des conditions aux limites ;
La figure 4 représente une maille de réseau 3D cubique où z est pris égal à 6. Exposé détaillé d'un mode de réalisation de l'invention
On expose de manière détaillée la forme de réalisation comprenant la modélisation séparée de deux poudres caractérisées chacune par un seul type de grain, puis, mélangées selon une pondération donnée en vue d'un compactage pour une pression imposée sur une seule face. La modélisation comprend d'une part la caractérisation de chaque poudre en termes de granulométrie permettant d'assurer le suivi et le contrôle de la qualité de leur production (cristallisation par exemple) à la fin d'une optimisation du processus de production et, d'autre part, la simulation du compactage permet d'ajuster la composition en termes de poudres à la fin d'un matériau final obéissant aux propriétés recherchées.
Pour chaque poudre, on mesure quelques tailles de grain ainsi que le volume associé afin d'établir une relation du type Vj = a.^" où rj et Vj sont respectivement la taille et le volume du grain j. Pour mesurer la taille en question, on peut utiliser une succession de tamis, puis mesurer le volume pour chaque taille de grain correspondant aux tamis appropriés par un pycnomètre à gaz. On peut aussi procéder par analyse d'image pour la taille et mesurer, à partir du moment où la sensibilité du pycnomètre à gaz le permet, le volume de chaque grain ainsi analysé. D'une manière générale, on peut utiliser tout procédé technique permettant de mesurer la taille des grains ou particules souhaités puis, utiliser tout procédé technique permettant de mesurer le volume des grains ou particules dont la taille a été mesurée. Trois à cinq mesures sont déjà intéressantes pour établir une courbe Vj = a.^ complète, même si, bien évidemment, plus il y a de points et plus la courbe v(r) sera représentative. La plus grande taille doit figurer dans la mesure (cette taille est propre à chaque poudre étudiée, elle en constitue une des caractéristiques fondamentales). Pour extrapoler simplement la courbe v(r) à partir de quelques couples vj-rj, on peut utiliser une régression linéaire à partir de Ln(Vj ) ~ Ln(a) + v.Ln(r.) .
Pour chaque poudre i considérée séparément, on a la relation suivante où Vj(R) est le volume cumulé pour le rayon R donné :
Figure imgf000025_0001
formule dans laquelle, on a notamment :
- Rj est le rayon seuil de la poudre i ;
- Nj est le nombre de tailles de grin pour la poudre i ; Vmax, = &ί &ί
Figure imgf000026_0001
On peut déduire de cette courbe la distribution de taille de grain de chaque poudre notamment en calculant la représentativité de chaque taille de grain. Pour cela, on utilise la n; Cte
relation : dV; = η:.ν; =>— = .dF
1 3 , Vj
V (R)
où Fj (R) = et nj est le nombre de grains ou particules de taille η et de volume Vj avec n
Nj = ^ nj . Il est donc possible ayant prélevé des grains lors de la production et ayant déduit la j
distribution de tailles de grain à partir de quelques mesures (typiquement trois à cinq) de taille et du volume associé de modifier les paramètres du dispositif de production afin d'optimiser la qualité granulométrique de la poudre.
Si désormais on mélange les deux poudres selon une pondération donnée, qu'on note %poudrei et %p0udre2, il faut répercuter cette pondération sur la représentativité de chaque taille de grain telle qu'elle est connue pour chaque poudre séparément afin d'avoir la représentativité de chaque taille de grain dans le mélange.
Quand on dispose de la représentativité de chaque taille de grain, on peut définir de manière univoque le réseau associé. En fonction du nombre de plus proches voisins pressenti, confirmé, le cas échéant par le mesure (exemple : analyse d'images), il faut procéder à la conversion d'un certain nombre de grains en pores. On peut étayer la détermination du nombre de grains ou particules à convertir en pore, afin que le nombre de coordination soit vérifié, à partir d'une analyse en termes de porosité. Il faut notamment que le nombre np de grain à convertir en pore vérifie la valeur np = — où Φ est la porosité et η le rapport du volume
—— + 1
η.Φ
moyen des grains ou particules sur celui des pores. A partir de là, on dispose d'un réseau où les grains sont interconnectés entre eux selon des nœuds et qui vérifie la porosité initiale. On a choisi un réseau de 10000 grains en tout.
L'expression analytique du compactage du mélange précédemment décrit selon D(P) est :
Figure imgf000027_0001
On peut effectuer un calcul de D(P) par le réseau correspondant au mélange des deux poudres et ainsi être en mesure de calculer la courbe D(P) entièrement et surtout de prendre en compte le piégeage, dont on a vu qu'il revêtait un rôle particulièrement important dans le déclenchement prématuré de la phase de fragmentation fragile.
On peut mettre en oeuvre ce calcul D(P) par le réseau selon l'algorithme déjà exposé : P imposée, déformation des grains et donc pore homothétique comblé si rjj>R et s'il existe un chemin selon des grains ou particules non déformés jusqu'à l'autre extrémité, pour tout P, jusqu'à atteindre le piégeage final, soit quand le dernier grain susceptible d'être déformé et donc pore comblé l'a été ; Pmax ou Pn, correspondra à la pression la plus faible pour laquelle un grain situé à l'extrémité opposée (percée) est déformé.
On peut déterminer la relation contrainte-déformation avec le réseau afin de modéliser le compactage selon, par exemple, une approche continue comme celle très usitée de « Drucker- Prager/ Cap model ». Pour déterminer la relation en question avec le réseau on suit l'algorithme précédemment énoncé (σ imposée, R déduit de o=a/R, déformation des grains verticaux si ry>R et s'il existe un chemin selon des grains ou particules non déformés jusqu'à l'autre extrémité, pour tout σ, jusqu'à atteindre le piégeage final, soit quand le dernier grain susceptible d'être déformé l'a été ; amax ou σχι, correspondra à la contrainte la plus faible pour laquelle un grain situé à l'extrémité opposée est déformé ; même algorithme, mais cette fois en faisant décroître σ depuis la situation précédemment obtenue en faisant croître σ, afin d'obtenir la courbe de déchargement). Â partir de la courbe ainsi déterminée, on peut calculer les 4 paramètres du modèle DPC (cohésion, angle de frottement, excentricité de la surface du Cap, pression de consolidation) ainsi que les paramètres élastiques (module de Young et coefficient de Poisson) pour le mélange de poudres considéré. La partie élastique correspond à la partie de la courbe jusqu'à la percée. Le régime plastique commence à partir de la percée et s'il y a du piégeage, et, enfin, quand le piégeage interrompt la continuité alors c'est l'entrée dans le régime de fissuration du comprimé. On voit ici tout l'intérêt de pouvoir prévoir le régime de fissuration à partir de la composition du mélange. Pour effectuer ces calculs, l'homme du métier traduira la courbe contrainte-déformation dans l'espace des contraintes classiquement noté (p,q) où il mettra en évidence les points remarquables à partir desquels il déduira les relations analytiques nécessaires à l'exécution des calculs. L'homme du métier peut notamment se référer aux documents suivants : C.-Y. Wu et al, Modelling the mechanical behaviour of pharmaceutical powders during compaction, Powder Technology 152 (2005) 107-117 ; O. Coube, H. Riedel, Numerical simulation of métal powder die compaction with spécial investigation of cracking, Powder Mettallurgy, 2000, Vol 43, N°2. Dans la première référence, l'homme du métier pourra voir la figure représentant l'évolution de la contrainte axiale en fonction de la déformation axiale où figurent les points remarquables et leur transposition sur la figure représentant la contrainte déviatorique (q) en fonction de la contrainte moyenne (p).
Il est possible évidemment de recourir à d'autres modèles continus comme le modèle Cam-Clay ou bien de procéder selon les méthodes micromécaniques toujours à partir du réseau, celles-ci incluant la méthode des éléments discrets caractérisée notamment par une loi de contact, la méthode des éléments finis multi-particules caractérisée par une loi d'élasto-plasticité pour chaque type de grain et, enfin, le calcul direct à partir de la mise en évidence de la détermination complète du tenseur des contraintes à partir du tenseur des déformations. Il est ensuite loisible de modifier la composition du mélange jusqu'à tendre vers les propriétés souhaitées pour le comprimé.
On reconnaît ainsi les cinq étapes du processus de modélisation déterministe de toute poudre industrielle, à savoir, une étape (a) de mesure visant à établir une relation Vj=Vj(rj), par exemple à défaut d'une meilleure expression analytique, du type Vj = a.rj V ; une étape (b) de calcul de la courbe de volume cumulé V(R) ou de fraction de volume cumulé F(R) à partir d'une expression analytique ayant pour entrée Vj=Vj(rj) ; une étape (c) de détermination d'un réseau implémenté par ordinateur représentatif du mélange de poudres étudié à partir de la courbe F(R) ; une étape (d) de calcul par ordinateur des paramètres nécessaires à la modélisation selon le formalisme macroscopique adopté ; une étape (e) d'ajustement du mélange initial en modifiant la nature des poudres et/ou les proportions du mélange.
Applications industrielles de l'invention
Le procédé selon l'invention est particulièrement destiné à la modélisation des poudres industrielles et des systèmes de particules industriels en vue du suivi et du contrôle de la production de ces poudres et systèmes de particules ainsi que de l'étude du développement de nouveaux produits afin d'assurer la meilleure qualité des produits finaux et d'optimiser les coûts de production. Il est ainsi possible à partir de la relation définissant V(R) d'étudier la distribution de tailles de grain ou particule d'une poudre ou d'un système de particules, de caractériser la dispersion de la taille des grains ou des particules, de définir ainsi des critères, pour indiquer la plus ou moins grande uniformité de la taille des grains ou particules. Il est ainsi possible de suivre et contrôler la qualité d'une poudre ou d'un système de particules en cours de production afin d'optimiser, en jouant sur les paramètres du processus de production, la qualité de la poudre ou du système de particules produit. Il est également possible de modéliser le mélange de poudres ou de systèmes de particules : pour un mélange donné, dont on ignore les caractéristiques, on peut mesurer la courbe V(R) ou M(R) qui sera ensuite reproduite via le procédé et ainsi le mélange sera caractérisé en termes de composition et de dispersion. Il est aussi possible connaissant les propriétés de plusieurs poudres ou systèmes de particules individuellement de prévoir les propriétés d'un scénario de mélange en utilisant le procédé. Le procédé selon l'invention est destiné à suivre l'évolution physique d'une poudre ou d'un mélange de poudres ou d'un système de particules auquel on impose des conditions aux limites, comme une pression lors d'un compactage. Le procédé selon l'invention est particulièrement approprié à la modélisation des poudres pharmaceutiques en vue de la fabrication des comprimés, à la modélisation des poudres métallurgiques en vue de la fabrication des pièces frittées, à celle des poudres entrant dans la composition des matériaux composites, des céramiques, à la modélisation des poudres entrant dans le processus de fabrication du toner des imprimantes, dans celui de la fabrication du papier, à la mise au point du modèle géologique dans l'industrie pétrolière amont, à la gestion des impuretés dans la conception des circuits intégrés mais également, à la mise au point des aérosols et des procédés de pulvérisation (les particules sont des gouttelettes), à la mise au point des peintures ou des rouges à lèvres (les particules sont des pigments), au contrôle hématologique de la distribution de particules contenues dans le sang (les particules sont des globules rouges ; des globules blancs : lymphocytes, monocytes, granulocytes ; des plaquettes sanguines etc.), plus généralement au contrôle des distributions de tailles de particules de la biologie, au suivi et contrôle de la fabrication des nanoparticules, à l'amélioration du traitement des eaux usées et selon une liste non exhaustive, à la modélisation en vue de la fabrication, du transport ou du stockage des poudres ou systèmes de particules de l'industrie agroalimentaire, chimique, cosmétique etc.

Claims

REVENDICATIONS
1) Procédé de suivi et de contrôle de la distribution de tailles de grain ou particule des poudres ou systèmes de particules caractérisé en ce qu'il comporte les éléments suivants :
- la mesure de quelques tailles de grain ou particule rj (tamisage, diffraction de la lumière, etc.) et le volume correspondant Vj (pycnomètre à gaz etc.) afin d'établir une relation Vj=Vj(rj) ; le calcul du volume cumulé V(R) ou F(R) = selon l'équation suivante :
V(Rmax )
Figure imgf000030_0001
formule dans laquelle :
- n est le nombre de tailles de grain ou particule ;
- vmax est le volume du plus grand grain ou particule ;
- Rmax est la taille du plus grand grain ou particule ;
V raax
- Vj volume des grains ou particules j de taille η d'après la relation Vj=Vj(rj) ;
- C est une constante déterminée avec une courbe F(R) mesurée. la détermination de la distribution de tailles de grain ou particule,— ni , d'après la relation :
N dV = n;.V i =>— = ^^.dF avec N = n( .
J J N v. ^ J
2) Dispositif de suivi et de contrôle de la distribution des tailles de grain ou particule des poudres industrielles ou systèmes de particules industriels caractérisé en ce qu'il comporte un organe d'alimentation, un organe de mesure de la taille de grain ou particule un organe de mesure du volume de grain ou particule Vj, ces deux derniers organes peuvent être conçus en combinaison et ils ont pour but ultime l'établissement d'une relation Vj=Vj(rj) et, enfin, un organe de calcul ayant pour fonction le calcul de la distribution de tailles de grain ou particule à partir de la fonction F(R) et de la relation dV = η;.ν: =>— = ^^.dF , la fonction F(R) (rapport du
N Vj
volume cumulé à R sur le volume cumulé quand R=Rmax) étant déterminée selon la relation :
Figure imgf000031_0001
F» = -
formule dans laquelle :
- n est le nombre de tailles de grain ou particule ;
- vmax est le volume du plus grand grain ou particule ;
- Rmax est la taille du plus grand grain ou particule ;
V max
- Vj volume des grains ou particules j de taille η d'après la relation Vj= j(rj) ;
- C est une constante qu'on peut préciser avec une courbe F(R) connue.
3) Procédé d'interprétation des mesures de distribution de tailles de grain ou particule caractérisé en ce qu'il comporte les éléments suivants :
- choix de paramètres de l'expression analytique du volume cumulé de la taille de grain ou particule V(R) depuis laquelle on peut déduire la distribution de tailles de grain ou particule, nj[vj(rj)], à partir de l'expression dV = nj.vj => ^- = ^^.dF , où F(R) =— , l'expression analytique
Figure imgf000031_0002
formule dans laquelle :
- n est le nombre de tailles de grain ou particule ;
- vmax est le volume du plus grand grain ou particule ;
- Rmax est la taille du plus grand grain ou particule ;
- s
V max
- Vj volume des grains ou particules j de taille η d'après la relation Vj= j(rj) ;
- C est une constante;
mesure avec le dispositif retenu de quelques points de nj[Vj(rj)] ; - calcul de l'écart entre les points mesurés de nj[vj(rj)] et les points calculés selon le choix de paramètres ;
- modification des paramètres de l'expression analytique en fonction de la valeur de l'écart de manière à ce que l'écart converge vers une limite recherchée par l'utilisateur ;
- détermination ainsi de la distribution de tailles de grain ou particule, et également de la distribution volumique de grain ou particule.
4) Procédé selon la revendication 3 caractérisé en ce que le dispositif de mesure est l'utilisation de la sonde FBRM et la mesure porte sur les cordes, l'algorithme devenant alors :
- choix de paramètres de l'expression de V(R) conduisant à nj ;
- calcul de CLD depuis nj ;
- mesure (sonde FBRM) de quelques points de la CLD (Chord length Distribution) ;
calcul de l'écart entre les points mesurés de la CLD et les points calculés de la CLD ;
- modification des paramètres de V(R) ;
détermination de la distribution nj.
5) Procédé selon la revendication 3 caractérisé en ce que le dispositif de mesure de nj est l'utilisation de la diffraction LASER associée à l'interprétation selon la théorie de Mie afin de déduire de cette mesure nj.
6) Procédé selon la revendication 3 caractérisé en ce que le dispositif de mesure de nj est l'utilisation d'un compteur de particule à impédance pour déterminer la distribution de tailles de particule s' agissant, par exemple, des globules rouges, des globules blancs (lymphocytes, monocytes, granulocytes), des plaquettes sanguines etc.
7) Procédé de modélisation déterministe des poudres industrielles ou systèmes de particules industriels à partir d'une composition initiale et en vue d'optimiser les investissements industriels caractérisé en ce qu'il comprend les étapes suivantes :
(a) : mesure de caractérisation (E10) de quelques grains ou particules selon leur volume, leur taille (une dimension principale) et leur nombre de plus proches voisins afin d'établir notamment une relation Vj=Vj(rj), par exemple et à défaut d'une meilleure expression analytique Vj = a.r^ , soit à identifier, globalement, dans le cas de cette dernière expression analytique les paramètres a, v et z, où z est le nombre de plus proches voisins, ceci pour chaque poudre présente ou système de particules présent. Plusieurs techniques de mesure existent, familières de l'homme du métier, comme le tamisage, les lames minces, le pycnomètre mais aussi les rayons X, l'analyse d'image, etc. (b) : calcul de la courbe F(R) (E20) à partir de l'expression analytique reliant F(R) avec R et {vj}. On peut également mesurer la courbe F(R) pour s'assurer d'un bon calibrage (El Obis) (s'agissant notamment de quelques poudres ou systèmes de particules de référence). L'expression analytique de F(R) est :
Figure imgf000033_0001
qui peut être détaillée, pour une poudre ou un système de particules composé de plusieurs types de grain ou particule, selon la relation suivante :
, formule dans laquelle
Figure imgf000033_0002
max est le volume du plus grand grain ou particule ;
Rmax est le rayon du plus grand grain ou particule ;
nRk est le nombre de types de grain ou particule ;
¾ est le nombre de tailles de grain ou particule de type k ; s = ^- -
V max
vj volume des grains ou particules j défini selon la représentation artificielle ;
- C est une constante déterminée si nécessaire par la mesure d'une courbe F(R).
(c) : définition d'un réseau (E30) implémenté par ordinateur consistant en le mélange de grains ou particules dont les caractéristiques et la représentativité sont déduites de la courbe F(R) établie en (b), de la relation Vj(rj) et du nombre de plus proches voisins établis en (a).
(d) : calcul par ordinateur des paramètres nécessaires à la modélisation de l'évolution du système de poudres ou du système de particules pour un formalisme donné en appliquant les lois de la physique appropriées aux grains ou particules du réseau afin d'en déduire, par exemple, s'agissant des poudres compactées, la densité finale ainsi que les propriétés mécaniques du comprimé (étape E40).
(e) : ajustement (E50) de la composition en fonction des propriétés recherchées à l'issue de la simulation réalisée par ordinateur jusqu'à obtenir la bonne composition (E60). 8) Procédé selon la revendication 7) caractérisé en ce que le réseau permet le calcul de la densité relative D(P) d'une poudre ou d'un système de particules, quelle que soit sa composition, selon un algorithme de percolation d'invasion : P imposée à la limite comme pression de
oc
compactage et donc R, rayon de courbure, via R =— , a constante propre au type de grain déterminée par l'expérience ; tout grain ou particule connecté à la limite est déformé (un pore homothétique comblé et la densité augmentée d'autant) si R<ry, où ry est le rayon du grain situé entre le nœud i et le nœud j, et que le grain ou particule en question est connecté à l'autre extrémité selon un chemin fait de grains ou particules non déformés; ainsi de suite de proche en proche ; quand tous les grains ou particules susceptibles d'être déformés l'ont été par ce mécanisme alors on augmente P jusqu'à parcourir toute la gamme de pression souhaitée ; obtention ainsi de la courbe D(P) avec la pression de seuil Pth, le nombre et la localisation des grains ou particules piégés (non déformés).
9) Procédé de modélisation de compactage d'une poudre implémenté par ordinateur caractérisé en ce qu'il comporte une expression analytique de l'évolution de la densité relative de la poudre compactée marquée par une composition constituant la poudre caractérisée par une relation Vj=Vj(rj) où Vj et η sont mesurés selon les techniques les plus appropriées (respectivement pycnomètre à gaz etc. et tamisage, analyse d'image etc.) et donnant la densité relative de la poudre compactée afin d'en déterminer les propriétés, tout en permettant de distinguer les régimes de déformation plastique et de rupture fragile selon la relation suivante :
-■(Ρ-ΡΤ1, ).¾
Sj.e
D(P) = 1 - Φ initiale '
(p_Plli ) . formule dans laquelle :
- Φίηωβΐβ est la porosité initiale (P-Pmax) : la poudre n'a subi aucun compactage ;
- P est la pression de compactage imposée ;
— , Vj est le volume du grain de taille j selon la représentation artificielle, sachant que v
{vj} constitue un ensemble aussi sophistiqué que le requiert la composition de la poudre étudiée dont l'expression analytique pour une poudre simple (un seul type de rain) peut être, par exemple et à défaut d'une meilleure expression, Vj = a.r et alors Sj =
Figure imgf000034_0001
- Pu, est la pression de seuil fonction de Rmax et propre à la structure poudreuse concernée (a est une constante propre au type de grain qui assure le lien entre P-n, et R^ax : qui n'a pas connaissance de la valeur de a peut fitter des courbes de systèmes connus afin de mieux comprendre comment a est déterminée et pouvoir ainsi extrapoler pour d'autres systèmes) ; - C est une constante déterminée, le cas échéant, par une mesure de D(P).
10) Procédé selon la revendication 7) caractérisé en ce que le réseau permet le calcul de la relation contrainte-déformation afin de déterminer les paramètres des modèles continus comme le « Drucker-Prager Cap model », la relation contrainte-déformation étant obtenue en suivant l'algorithme suivant : σ imposée à la limite comme contrainte et donc R, rayon de courbure, via R= a/a, a constante propre au type de grain déterminée par l'expérience ; tout grain ou particule connecté à la limite est déformé si R<ry selon un taux de déformation donné et selon la direction concernée, où r,j est le rayon du grain situé entre les nœud i et j, et que le grain ou particule en question est connecté à l'autre extrémité selon un chemin fait de grains ou particules non déformés; ainsi de suite de proche en proche ; quand tous les grains ou particules susceptibles d'être déformés l'ont été par ce mécanisme alors on augmente σ jusqu'à parcourir toute la gamme de contrainte souhaitée ; obtention ainsi de la relation contrainte-déformation avec la contrainte seuil σ-rh, le nombre et la localisation des grains ou particules piégés (non déformés).
11) procédé selon la revendication 10) caractérisé en ce que la relation établie entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations permet le calcul de l'évolution du système de poudre ou de particule en appliquant la physique des milieux continus selon l'équation :
py = pF + diva, formule dans laquelle : p est la masse volumique, yest l'accélération, F est la densité massique de forces, σ est le tenseur des contraintes modélisant les efforts intérieurs ; sachant que l'homme du métier connaît les relations suivantes ε = ε(ύ) et γ = u , le système d'équations comporte autant d'équations que d'inconnues sachant les conditions aux limites.
12) Procédé selon la revendication 7) caractérisé en ce que le réseau permet le calcul par ordinateur de la modélisation du compactage de poudres selon les approches micro-mécaniques telles que la méthode des éléments discrets et la méthode des éléments finis multi-particulaires ou la méthode des éléments discrets maillés.
13) Programme d'ordinateur comprenant des instructions de code de programme pour l'exécution des étapes de chaque procédé selon l'une quelconque des revendications 1) à 12) lorsque ledit programme est exécuté sur un ordinateur.
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