WO2007147768A1

WO2007147768A1 - Procede de fabrication d'une antenne a diagramme de rayonnement optimise selon les contraintes

Info

Publication number: WO2007147768A1
Application number: PCT/EP2007/055853
Authority: WO
Inventors: Jean-Luc Zolesio; Florence Neyme; Daniel Muller; Claude Dedeban; Louis Blanchard; Jean-Paul Zolesio
Original assignee: Thales; France Telecom; Institut National De Recherche En Informatique Et En Automatique
Priority date: 2006-06-23
Filing date: 2007-06-13
Publication date: 2007-12-27
Also published as: FR2902935A1

Abstract

L'invention concerne un procédé de fabrication d'une antenne à diagramme de rayonnement optimisé selon les contraintes. Le procédé comporte au moins une étape de recherche de la géométrie optimale √* et de l'alimentation optimale associéeω *. L'étape de recherche comporte notamment une étape d'optimisation multicritères par recherche du minimum pour tout les pointage p d'une fonctionnelle produit J ( √,ω ), la fonctionnelle produit pour un pointage p donné J p ( √, ϖ p ) étant définie par le produit de r fonctionnelles. Ces fonctionnelles décrivent, pour chaque zone de l'antenne à optimiser et pour un pointage donné p, la variation d'un ou plusieurs paramètres de l'antenne, en fonction d'une géométrie donnée et d'une alimentation donnée ϖ p. La géométrie et l'alimentation permettant de réaliser le minimum de la fonctionnelle produit ( J (√,ω ) ) sont alors la géométrie optimale √* et l'alimentation optimaleω *. Le procédé comporte aussi une étape de réalisation d'une antenne à partir de la géométrie optimale √* et de l'alimentation optimaleω *. En particulier, l'invention s'applique à la fabrication d'antennes comportant des éléments rayonnants regroupés en réseaux et peut s'appliquer par exemple au domaine des radars ou des télécommunications.

Description

Procédé de fabrication d'une antenne à diagramme de rayonnement optimisé selon les contraintes.

L'invention concerne un procédé de fabrication d'une antenne à diagramme de rayonnement optimisé selon les contraintes. En particulier, l'invention s'applique à la fabrication d'antennes comportant des éléments rayonnants regroupés en réseaux. L'antenne obtenue par le procédé de fabrication selon l'invention a une configuration géométrique et une alimentation électrique auxquelles correspond un diagramme de rayonnement de l'antenne dont les lobes secondaires et les lobes réseaux sont au niveau le plus bas possible selon les contraintes, tout en conservant une puissance maximale dans le lobe principale. L'invention peut s'appliquer à diverses antennes utilisées dans différents dommaines comme par exemple le domaine des radars ou des télécommunications.

Les antennes actives, c'est-à-dire les antennes composées de multiples sources émettrices et réceptrices, sont utilisées dans de nombreux domaines d'application, comme par exemple, le domaine des radars ou encore des télécommunications. Les sources émettrices et réceptrices, aussi appelé modules d'émission et de réception (ou selon l'expression anglo- saxonne Transmitter-Receiver module) ou encore éléments rayonnants, permettent de réaliser un balayage électronique du faisceau d'antenne sans déplacement mécanique et sans perte de puissance. Les antennes actives présentent de nombreux avantages. Elles permettent de réaliser un balayage électronique sans perte de puissance, de maîtriser dynamiquement le diagramme d'antenne, de conformer l'antenne à une surface de forme donnée permettant une intégration de l'antenne avec le porteur...

Dans un système comportant une antenne active formée de modules actifs, une voie de réception correspond à l'ensemble des moyens nécessaires pour traiter les données issues d'un module d'émission et de réception ou d'un groupe de modules d'émission et de réception. A partir des différentes voies de réception comprise dans le système, il est alors possible de mettre en œuvre des techniques de formations de faisceau par le calcul, permettant en outre d'observer instantanément un large secteur angulaire.

Cependant, la mise en œuvre industrielle de système comportant une antenne active disposant d'autant de voies de réception que de module d'émission et de réception sont coûteuses et complexes, particulièrement pour les antennes comportant plusieurs milliers de ces modules. Pour contourner ce problème, il est connu de partitionner l'antenne active en sous- réseaux de modules d'émission et de réception. Les sous-réseaux de modules d'émission et de réception regroupent un nombre déterminé de modules d'émission et de réception, par exemple de l'ordre de quelques dizaines de modules d'émission et de réception. Le nombre de chaîne de voies de réception est donc alors égal au nombre de sous-réseaux de modules d'émission et de réception. Une antenne active dite optimale, notamment d'une antenne active comportant des sous-réseaux, est définit par des caractéristiques permettant notamment de minimiser les lobes secondaires et les lobes réseaux du diagramme de rayonnement de l'antenne. Parmi les caractéristiques optimisés de l'antenne optimisale, on peut notamment citer la position sur ladite antenne des éléments rayonnant (ou modules d'émission et de réception), la pondération de l'alimentation des éléments rayonnants ( ou modules d'émission et de réception ), ou encore la forme des regroupements en sous-réseaux des éléments rayonnants (ou modules d^'émissions et de réception ) de l'antenne active ainsi que leur alimentations. II existe des procédés de fabrication d'antennes dont les caractéristiques sont calculées en utilisant des gabarits pour la conformation du diagramme de rayonnement. Il existe aussi des antennes obtenues selon des procédés de fabrication utilisant des méthodes d'optimisation en alimentation et en géométrie, à portée non globale (tous les critères d'optimisation n'étant pas pris en compte simultannément). Les antennes ainsi obtenues n'ont donc pas une géométrie et une alimentation associée simultannément optimales. En outre, ces antennes sont obtenues par des méthodes d'optimisation non différentiables reposant sur une analyse des sensibilités des alimentations optimales. Ainsi un paramètre d'alimentation optimale est déterminé pour une configuration souhaitée, que ce soit une configuration de pointage, de grappe de pointages, de couverture ou d'isolation, et pour chaque valeur des paramètres de géométrie de l'antenne. L'analyse numérique des sensibilités de ce paramètre d'alimentation par rapport aux paramètres de géométrie est donc notablement coûteuse en calculs et de plus peu fiable. Au prix d'un tel développement, on peut alors envisager la problématique comme un problème de commande optimale : l'état du système correspond à l'alimentation optimale, tandis que le contrôle correspond aux paramètres géométriques de l'antenne.

Afin de contourner ces difficultés, une antenne comportant une alimentation et une répartition des modules d'émission et de réception optimisés, peut être obtenue par des procédés de fabrication mettant en œuvre d'autres méthodes d'optimisation. Ces méthodes d'optimisation peuvent être regroupées sous l'appellation de méthodes stochastiques. L'article « Sparse sampling in array processing » de S. HoIm, A. Austeng, K. Iranpour et J. F. Hopperstad présente une méthode de résolution dite de « Branch and Bound » selon l'expression anglo-saxonne. L'article « Linear antenna synthesis with a hybrid genetic algorithm » de M. Donelli, S. Caorsi, F. De Natale, M. Pastorino et A. Massa (Progress In Electromagnetics Research, PIER 49, 1-22,2004) expose une méthode basée sur un algorithme génétique. L'article « Synthesis of unequally spaced arrays by simulated annealing » de V. Murino, A. Trucci et CS. Regazzoni (IEEE Trans. Signal Processing, Vol. 44, 119-123, 1996) divulgue quant à lui une méthode du recuit simulé. Cependant, l'optimisation de la géométrie dans de telles méthodes d'optimisation repose sur une méthode combinatoire qui consiste à choisir un nombre entier n de positions des modules d'émission et de réception parmi le nombre entier M, supérieur à n, des positions possibles. Le problème est donc équivalent à un problème de programmation linéaire en nombre entier, extrêmement complexe à résoudre. Ainsi dans le cas d'une antenne comportant 2500 modules d'émission et de réception, l'optimisation du placement de 10% à 50% des modules d'émission et de réception donne un nombre de combinaisons possible comprises entre 10³⁵⁰ et 10⁷⁵⁰. Le calcul exhaustif de l'ensemble des combinaisons dépasse considérablement les capacités de calculs de n'importe quel moyen informatique connu. En considérant toutefois qu'il est possible de réduire le nombre effectif de combinaisons non redondantes en utilisant différentes propriétés, il apparaît alors clairement que le caractère optimal de la solution géométrique obtenue est alors relatif au nombre de combinaisons évaluées, et ne saurait alors être considéré comme optimale.

Les antennes obtenues par ces méthodes déterministes existantes intrinsèquement non globales, ne peuvent donc pas comporter un nombre important de paramètres à optimiser et en conséquence nécessitent pour leur mise en œuvre une capacité de calcul particulièrement importante.

L'invention a notamment pour but de pallier les inconvénients précités. A cet effet, l'invention a pour objet un procédé de fabrication d'une antenne comportant des éléments rayonnant décrivant une géométrie.

L'antenne réalise un ou plusieurs pointages p dans au moins une direction donnée u_p. Le procédé comporte au moins les étapes suivantes :

• une étape de recherche de la géométrie optimale ζ* et de l'alimentation optimale associée ω* , comportant les étapes suivantes : o une étape de choix d'une géométrie initiale de ladite antenne ; o une étape d'optimisation multicritères adaptée à la recherche d'une géométrie optimale ζ * de l'antenne, ladite étape comprenant une recherche du minimum pour tout les pointage p d'une fonctionnelle produit J (ζ,ω) , la fonctionnelle produit pour un pointage (p) donné J_p(ζ,ώ_p) étant définie par le produit de fonctionnelles (Ε^p _n\ζ ,ώ_p) , Ε₀ ^p _Ut\ζ ,ώ_p)), lesdites fonctionnelles

(Ε^p _n(ζ,ώ_p) , Ε_o ^p _ut(ζ,ώ_p)) décrivant, pour chaque zone de l'antenne à optimiser (v_λ(u_p) , S \ v_λ(u_p) ) et pour un pointage donné p, la variation d'un ou plusieurs paramètres de l'antenne, en fonction d'une géométrie donnée ζ et d'une alimentation donnée ώ_p , la géométrie et l'alimentation permettant de réaliser le minimum de la fonctionnelle produit ( J (ζ, ω) ) étant la géométrie optimale ζ* et l'alimentation optimale ω * ;

• une étape de réalisation d'une antenne dont la géométrie est sensiblement égale la géométrie optimale ζ* et l'alimentation est sensiblement égale l'alimentation optimale ω* .

La recherche à l'étape d'optimisation multicritères du minimum pour tout les pointages p d'une fonctionnelle produit J (ζ,ω) peut être obtenue par la résolution de l'expression mathématique suivante : Avantageusement, l'expression mathématique V_ωJ(ζ,ω(ζ)) = 0 est résolu numériquement par une méthode de type Newton-Raphson sous contrainte, en utilisant les hessiens tangentiels à la contrainte, précédée d'une approche assurée par une descente de type gradient conjugué.

En outre, la directivité de l'antenne D_p(ζ,ώ_p) étant représentée pour un pointage p, par une fonction de la géométrie et de l'alimentation de l'antenne, la directivité de l'antenne D_p(ζ,ώ_p) étant majorée par une norme supérieure approchée ( L^V(,_A(V)) ) pour une zone de l'antenne à optimiser {v_λ(u_p) ), une des fonctionnelles Ε^p _ιn\ζ,ώ_p) utilisées à l'étape de recherche de la géométrie optimale peut être définie par la relation mathématique suivante :

⁾)

La directivité de l'antenne (D_p(ζ,ώ_p) ) étant représentée pour un pointage p, par une fonction de la géométrie et de l'alimentation de l'antenne, la directivité de l'antenne (D_p(ζ,ώ_p) ) étant majorée par une norme supérieure approchée (/(,,<«,,)] ) pour une zone de l'antenne à optimiser {v_λ(u_p) ), une des fonctionnelles (β^p _m[ζ,ώ_p)) utilisées à l'étape de recherche de la géométrie optimale peut être définit par la relation mathématique suivante :

(« n ))

La directivité de l'antenne (D_p(ζ,ώ_p) ) étant représentée pour un pointage p, par une fonction de la géométrie et de l'alimentation de l'antenne, la directivité de l'antenne (D_p(ζ,ώ_p) ) étant majorée par une norme supérieure approchée (/(,,<«,,)] ) pour une zone de l'antenne à optimiser (S\ v_λ(u_p) ), une des fonctionnelles (E_o ^p _ut(ζ,ώ_p)) utilisées à l'étape de recherche de la géométrie optimale peut être définit par la relation mathématique suivante :

P '

U SW i U₀ ) Dans un mode de réalisation, le procédé comporte une étape de choix des données initiales du procédé décomposée en une étape de choix du nombre d'éléments que comporte l'antenne réseau Ω, et/ou une étape de choix des zones à optimiser, et/ou une étape de choix de l'encombrement maximal de l'antenne réseau Ω.

Dans un mode de réalisation, les éléments rayonnant étant regroupés en sous-réseaux, l'étape d'optimisation multicritères détermine des centres de phase pour chaque sous-réseaux et le rayonnement du sous- réseaux, le rayonnent du sous-réseaux étant assimilé à une source élémentaire. Par exemple, l'étape (32) d'optimisation multicritères peut former pour chaque sous-réseaux des cellules de Voronoïs à partir des centres de phase issus du réseau optimal, chaque sous-réseaux étant formés comme étant l'ensemble des sources élémentaires du maillage appartenant respectivement aux cellules de Voronoïs.

L'invention a notamment pour avantages qu'elle permet d'obtenir une antenne dont la configuration est optimale en fonction du domaine dans lequel celle-ci va être mise en œuvre. Il est notamment possible d'aboutir à une antenne optimisée en terme de directivité pour une grappe de pointages donnés ou encore de maximiser la zone de couverture de l'antenne réseau.

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à l'aide de la description qui suit faite en regard des dessins annexés qui représentent :

• la figure 1 , une antenne réseau planaire Ω ;

• la figure 2a, par un synoptique, les étapes du procédé de fabrication de l'antenne selon l'invention ;

• la figure 2b, par un synoptique, un exemple de possibilités offertes au cours de l'étape 20 de choix des données initiales du procédé de fabrication selon l'invention ; • la figure 2c, par un synoptique, le détail de l'étape 30 d'optimisation de l'antenne réseau Ω du procédé de fabrication selon l'invention ;

« la figure 3a, le placement des éléments sous-échantilloné d'une antenne réseau Ω ;

• la figure 3b, le placement des éléments sous-échantilloné d'une antenne réseau Ω obtenue par le procédé de fabrication selon l'invention.

La figure 1 montre une représentation d'une antenne réseau planaire Ω. La figure 1 comporte un repère (θ,x,y,ï) . L'antenne réseau planaire Ω est notamment composée d'un nombre entier M de sous-réseaux, chaque sous-réseau étant fonctionnellement assimilable à au moins un élément rayonnant. L'ensemble des M sous-réseaux est situé dans le plan (χ, y) . Le centre de phase ζ_m du m^ιeme sous-réseaux, m étant un entier compris dans l'intervalle [1..M], a pour coordonnées dans le repère \O, x, y) le couple (χ_m, y_m). Ainsi, le centre de phase ζ_m du m^ιeme sous-réseaux peut s'écrire selon l'expression suivante : ζ_m = (x_m,y_m),Vm <Ξ [l..M]. Sur la figure 1 est représentée une sphère unité S de $1^"' avec comme paramètre uo=(xo,yo,zo), le paramètre Uo appartenant à la sphère S. Etant intéressé par le champ électromagnétique rayonné en champ lointain, par conséquent, le calcul du champ est restreint à la sphère unité S de *&^'* Les différentes directions de pointage de l'antenne réseau planaire Ω sont notées u_p, pour tout p appartenant à l'intervalle [1..N_P], N_p étant un entier. Les différentes directions de pointage u_p appartiennent de plus à la sphère S.

Pour les besoins de la description, l'antenne réseau planaire Ω telle que représentée et décrite à la figure 1 sera utilisée pour décrire l'antenne obtenue par le procédé de fabrication selon l'invention. Toutefois, le procédé selon l'invention n'impose pas de contraintes spécifiques quant à la forme de l'antenne obtenue. Par ailleurs l'antenne obtenue pourrait être une antenne d'un autre type, en particulier de topologies différentes comme par exemple des antennes non-planaires. L'antenne réseau planaire Ω est conçue pour rayonner des ondes électromagnétiques de longueur d'onde λ. La direction de pointage des sous- réseaux est notée u_a. La direction de pointage des sous-réseaux u_a est égale au triplet (x_a,y_a,z_a) et u_a appartenant à la sphère unité S. Le diagramme de rayonnement élémentaire du m^ιeme sous-réseau est noté g_u (a_m,β_m)(u_Q) . Le diagramme de rayonnement élémentaire du m^ιeme sous-réseau S_u (^a _m'β_m)(^u _o) ^{est S01}^ connu par mesures ou estimations, soit calculé par des expressions mathématiques modélisant un tel diagramme. A titre d'exemple, le diagramme de rayonnement élémentaire du m^ιeme sous-réseau

S_u (^a _m'β_m)(^u _o) P^eut être déterminé de manière numérique à partir d'une étude spécifique. Le diagramme de rayonnement élémentaire du rn^ιeme sous- réseau g_u («_m,/?_m )(M₀) peut aussi être déterminé de manière analytique, par exemple à partir de la relation mathématique suivante :

Cependant, tout autre méthode permettant d'obtenir le diagramme de rraayyoonnnneement élémentaire du m^ιeme sous-réseau g_u (a_m,β_m)(u₀) peut être utilisée.

Les paramètres ζ_m des sous-réseaux relatifs à la géométrie de l'antenne réseau planaire Ω, c'est-à-dire en particulier le placement des éléments rayonnants des sous-réseaux à la surface de ladite antenne, appartiennent à un domaine D. Le domaine D est décrit par la relation suivante : Z) - [O₅ Z₁] X [O₅ Z₂]

Les paramètres Z₁ et Z₂ sont des réels permettant de définir une boite de calcul, c'est-à-dire un domaine dans lequel seront réalisés les calculs d'optimisation, dans laquelle est sensiblement comprise l'antenne réseau planaire Ω. Le paramètre ζ de géométrie de l'antenne réseau planaire Ω appartient donc au domaine D . Les pondérations à apporter aux différents éléments compris dans l'antenne réseau planaire Ω, c'est-à-dire notamment les signaux d'alimentation des sous-réseaux, peuvent être représentées par des vecteurs à coefficients complexes co_p comportant un module et une phase. Les vecteurs à coefficients complexes O⁾ sont par ailleurs compris dans la sphère unité S dans C ^M , ce qui se traduit par la relation suivante :

Vp,ώ_p e S_p, S_p

= 1).

Le diagramme de rayonnement de l'antenne peut donc être défini par la relation suivante : C

De même, la directivité de l'antenne peut être représentée par l'application Dp, définie par la relation suivante :

2 d^Ua (u_p ,ζ,ώ_p ,u₀)

DΛζ,ώ.,u_o) =

-.S. d^u" (u ,ζ, ώ , U₀) ds(u)

4π

Ainsi, les caractéristiques de l'antenne, comme son diagramme de rayonnement ainsi que sa directivité, peuvent être décrit comme indiquées ci- dessus. Toutefois, d'autres modèles de description, fonction notamment de la géométrie de l'alimentation et de la direction de pointage de l'antenne, peuvent être utilisées indifféremment.

Une antenne réseau est qualifiée d'optimale selon la directivité de ladite antenne. Ainsi, il est possible, en fonction du domaine et du mode d'utilisation de l'antenne, de vouloir maximiser la directivité de l'antenne sur une ou plusieurs zones de pointage de l'antenne tout en voulant la limiter dans d'autres zones d'isolation de l'antenne. Une antenne réseau optimale est obtenue par la mise en œuvre d'une optimisation multicritères, et il n'est donc pas envisageable d'optimiser simultanément tous les critères. Pour illustrer le type d'optimisation mise en œuvre par le procédé de fabrication selon l'invention, nous prendrons comme exemple non limitatif la fabrication d'une antenne comportant une zone où l'on cherche à maximiser la directivité de l'antenne et une zone où l'on souhaite a contrario limiter la directivité de l'antenne. La taille de l'antenne, c'est-à-dire le diamètre de la sphère qui englobe ladite antenne, est notée |D| . On définit pour les besoins de la description un voisinage v_λ(u_p) par la relation mathématique suivante :

II est important de noter qu'il ne s'agit que d'une possibilité de définition adaptée au cas ici décrit. Cependant, le voisinage v_λ(u_p) ici sphérique est équivalent à la zone où l'on cherche à maximiser la directivité de l'antenne : en conséquence, toutes autres relations mathématiques ou données permettant de définir une telle zone peuvent être utilisées. La zone où l'on cherche à limiter la directivité de l'antenne correspond au complémentaire du voisinage sphérique v_λ{u_p) , notée S \v_λ{u_p) , mais peut être réduite à plusieurs zones plus fines. Notons ici que le choix de la zone à minimiser est lui aussi non exhaustif et qu'il ne s'agit là aussi que d'une possibilité de définition adaptée au cas ici décrit.

Pour calculer la directivité dans les zones v_λ(u_p) et S \v_λ(u_p) , il est idéale d'utiliser des normes supérieures L^∞ pour chaque zone. Une norme supérieure L^∞ pour une zone donnée correspond au maximum de la directivité pour ladite zone comme l'indique la formule mathématique suivante :

Une antenne réseau théoriquement optimale, aurai la géométrie optimale ζ*

(c'est-à-dire notamment le placement optimal de chaque élément rayonnant à la surface de ladite antenne) et son alimentation optimale associée ω*

(c'est-à-dire notamment l'alimentation optimalr de chaque élément rayonnant de ladite antenne ), pour chaque combinaison géométrie/alimentation possible la directivité /J^ dans les zones v_λ(u_p) et S \v_λ(u_p) ayant été calculée. L'alimentation optimale associée ω* correspond alors à l'alimentation pour laquelle la directivité D_p(ζ*,ω*) est maximale dans le voisinage associé aux directions données u_p , c'est-à-dire au voisinage sphérique v_λ(u_p) , et minimale ailleurs, c'est-à-dire au complémentaire du voisinage sphérique v_λ(u_p) , S \ v _λ ( u _p ) .

Plus précisément, deux cas notamment sont alors à envisager, correspondant à deux antennes utilisées dans des contextes différents.

Dans un premier cas, l'antenne réseau optimal obtenue par le procédé de fabrication selon l'invention a une configuration géométrique et une alimentation des éléments rayonnants permettant de maximiser la directivité dans une petite zone, quasi ponctuelle. Ce cas se rencontre en particulier lorsque l'on souhaite fabriquer une antenne réseaux d'un radar réalisant simultanément différents pointages, chacun dans une direction donnée (on parle alors de grappe de pointages). Ainsi, lorsque l'antenne comporte une grappe de pointages, pour chaque pointage p, l'antenne doit avoir la géométrie optimale ζ* et l'alimentation optimale associée ω_p * de telle sorte qu'elles satisfassent aux relations mathématiques suivantes :

. V_P e [l.Λ,l Vfe^{" ,}«_P)^,|D_P«-Vt_fc(v) ≥ h«ΛihM V_P e [l.Λ,l Vfe^" ,«_p),|θχvi_K(v) ≤ |O,«-,«_P t_(nwv)

En d'autres termes, l'antenne doit donc avoir une géométrie optimale ζ* tel que l'expression mathématique suivante soit vérifiée :

en posant les fonctionnelles suivantes :

. et E₀ ^p _Ut(ζ,ώ_p) = \\D_p (ζ,ώ_p

Dans un second cas, l'antenne réseau optimal obtenue par le procédé de fabrication selon l'invention a une configuration géométrique et une alimentation des éléments rayonnants permettant ainsi non seulement de maximiser la directivité dans une petite zone, mais aussi de contrôler la forme du gabarit des émissions sur toute la zone à maximiser v_λ{u_p) .

L'antenne doit donc de maximiser le minimum de la directivité sur toute la zone à maximiser v_λ{u_p) . Ce cas se rencontre en particulier lorsque l'on souhaite fabriquer une antenne dont la couverture d'une région géographique est optimale. L'antenne réalise dans ce cas de figure généralement un seul pointage : cependant rien n'interdit à l'antenne de réaliser plusieurs pointages. Pour chaque pointage p, l'antenne doit alors notamment être définie par le couple (ζ*,ω*) avec ζ* la géométrie optimale et ω* l'alimentation optimale tel que simultanément les expressions mathématiques suivantes soient vérifiées : . Vp G [l..N_plv(ζ,ώ_p),MIN_ra/iD_p(ζ*,of,r) ≥ MIN_r≡y D_p(ζ,ώ_p,r) ,

Or il est connu que pour toute fonction positive f, la relation suivante est vérifiée : / > 0,MIN_reEf(r) = (MAX^J-¹Cr))-¹

Ainsi par les arguments d'optimalités relatifs à l'inversion de la fonction développée précédemment, le problème précédent peut encore être formulé comme suit :

Vp G [l..NJ,34 G

= ∞gMitiE_m ^P {ζ,ώ_p) = argMirE_o ^p _ut(ζ,ώ_p) en posant les fonctionnelles suivantes :

. et Ε_o ^p _ut(ζ,ώ_p) = \\D_p

(u_p ))

Plus généralement, quelque soit l'utilisation ou le domaine de mise en œuvre de l'antenne, en particulier quelque soit les critères permettant de définir le caractère optimal de l'antenne, l'antenne doit être de géométrie optimale ζ* , ladite géométrie optimale vérifiant l'expression mathématique suivante :

Vp G [l..N_p],3ω_p e

= ∞gMirE_m ^P {ζ,ώ_p) = ∞gMirE_o ^p _ut{ζ ,ώ_p)

Selon le domaine et donc les critères choisis permettant de définir le caractère optimal de l'antenne, les fonctionnelles Ε^p _ιn[ζ,ώ_p) et Ε_o ^p _ut(ζ,ώ_p) adaptées au cas de figure sont utilisées par le procédé de fabrication selon l'invention.

Dans la formulation du problème l'utilisation des normes L^∞ agit comme un gabarit pour la directivité, cependant la norme L^∞ n'est pas différentiable. Ainsi pour contourner ce problème, la norme supérieure L^∞ peut être approchée par des normes différentiables L^v associées à l'entier v suffisamment grand. Il est possible pour la mise en œuvre de 'utiliser une méthode hiérarchique en v en partant d'une résolution du problème pour v = l puis on incrémente v en convectant la solution afin de tendre vers l'effet que produirait une norme L^∞ , tout en évitant les problèmes de la > formulation par gabarit (différentiabilité et minimum locaux). On peut ainsi redéfinir la norme ϋ de la directivité par l'expression mathématique suivante :

Les différents critères d'optimisation évoqués sont en général antagonistes. Or pour obtenir une antenne globalement optimale, ces critères doivent être simultanément vérifiés. Les caractéristiques de l'antenne, calculées par une méthode d'optimisation bi-critères, doivent pour chaque pointage p e

vérifier simultanément : • un premier critère de maximisation de la directivité du lobe principale dans la zone v_λ(u_p) \ o dans le cas où l'on souhaite obtenir une antenne réseaux comportant une grappe de pointages, en minimisant la fonctionnelle Ε^p _a(ζ,ώ_p) = ;

o dans le cas où l'on souhaite obtenir une couverture d'une zone optimal par une antenne réseaux, en minimisant la

fonctionnelle Ε^? _n(ζ,ώ_p) =

(Up ))

• un second critère de minimisation de la directivité des lobes secondaires et des lobes de réseau dans la zone S \ v_λ (u_p ) en minimisant la fonctionnelle :

Ε_o ^p _ut(ζ, ώ_p ) = \\D_p (ζ, ώ_p)\\ i^v (s\,_A (_Up ))

Les caractéristiques de l'antenne optimisée obtenue par le procédé de fabrication selon l'invention s'assimile donc à une solution qui, si on la perturbe, ne peut améliorer simultanément les deux critères. Une approche classique pour trouver une solution à ces optimalités simultanées généralement incompatibles est de chercher des points d'équilibre. Ces points d'équilibre, encore appelés compromis, sont choisis de telle sorte qu'il soit impossible d'améliorer l'une des fonctionnelles au détriment des autres. Ces notions ont été introduites notamment en économie par Monsieur Pareto.

A titre de rappel, nous allons présenter ici ce que l'on désigne par le terme de solution optimale de type Edgewoth-Pareto. Cependant, ces éléments sont largement documentés dans la littérature et ne sont donnés ici qu'à titre indicatif.

On considère la fonctionnelle à valeur vectorielle suivante :

J : W = G ^χ S, I = R

On cherche alors à résoudre le problème en trouvant la solution à la relation mathématique suivan '

Aussi, un élément \ζ^*,ώ_p je G x S_p est appelé solution optimale de type

Edworth-Pareto associée au problème d'optimisation bi-critère min j[ζ,ώ_p) s'il n'existe pas d'élément [ζ,ώ_p)e Gχ S_p tel que

J₁[C, ώ_p)≤

et J₂[ζ,ώ_p )< J₂[ζ^*,ω_p ) où au moins l'une des inégalités est stricte.

On peut en outre supposer que le problème d'optimisation bi-critères min j(ζ,ώ_D ) admet au moins une solution optimale de type Edgeworth-

\ζ,ω_p )μGxS_p Pareto.

Un exemple de modélisation de l'antenne ainsi que les critères d'optimisation de ladite antenne ont été présentée. Le procédé de fabrication de l'antenne selon l'invention va être détaillée. Les caractéristiques de l'antenne selon l'invention correspondent à des points d'équilibre dits de

Pareto. Ces points d'équilibres sont obtenues en recherchant le minimum d'une fonctionnelle produit. Ainsi pour chaque pointage p e [l..ivj, est définie la fonctionnelle produit J_p(ζ,ώ_p) par l'égalité suivante :

J_p(ζ,ώ_p) = E₀ ^p _Ut(ζ,ώ_p)E^_n(ζ,ώ_p) .

Ainsi, lorsque l'antenne obtenue doit permettre de maximiser la directivité du lobe principale dans la zone v_λ(u_p) , pour chaque pointage /? e [l.jvj, la fonctionnelle produit J_p(ζ,ώ_p) est définie par l'égalité suivante :

De même, lorsque l'antenne obtenue par le procédé selon l'invention est optimisée pour la couverture d'une zone, pour chaque pointage p e

la fonctionnelle produit J_p(ζ,ώ_p) est définie par l'égalité suivante :

(_u -_I1 DΛζ,ώ ) C v ⁽«„⁾

La fonctionnelle produit J_p(ζ,ώ_p) est envisagée ci-dessus pour un pointage p donné. Cependant, afin de prendre en considération simultanément l'ensemble des pointages p, il est possible notamment de définir une seule fonctionnelle produit j(ζ) prenant en compte tous les pointages p. A titre d'exemple, la fonctionnelle produit j(ζ) prenant en compte tous les pointages p peut être obtenue par l'expression mathématique suivante :

J (ζ) = t ê ≠_πeSn_πJ_p(ζ,ώ_p). p=l

Ainsi, afin d'optimiser tant la géométrie ζ des éléments compris dans l'antenne que leur alimentation ω , il faut rechercher un minimum de la fonctionnelle J (ζ) . Cela se traduit par la résolution du problème suivant :

Plus généralement, le problème (P) précédent peut être reformulé par le problème [P) équivalent en utilisant la fonctionnelle suivante, prenant en compte tous les pointages p : J (ζ,ω) = Υ_J J_p[ζ,ώ_pJ . Le problème (P) p=l est alors définit par : (P) min J (ζ,ω).

Une analyse du rôle de la sensibilité des alimentations optimales ω* par rapport aux paramètres de la géométrie ζ montre que, pour chaque géométrie ζ , le problème interne d'optimisation de l'alimentation est la détermination des alimentations optimales qui dépendent du paramètre ζ . A priori les dérivées ou les gradients des fonctionnelles par rapport à la ^d * géométrie ζ ont recours aux dérivées &* . Aussi, pour contourner

ce délicat problème, le procédé de fabrication selon l'invention repose sur une nouvelle formulation [P₁) du problème équivalent aux problèmes (P) et

[PJ. Ainsi le problème reformulé [P₁J s'exprime grâce à l'expression mathématique suivante : min E (ζ) avec E (ζ) = min j(ζ,ώ) . ζ≡G ω≡S

A partir du problème reformulé (P₁ ) une méthode de gradient est utilisée pour calculer l'expression mathématique suivante : v_ζE (ζ) = v_ζj(ζ, ω{ζ)) + vj(ζ, _ω(ς)).j-_ω(ς) .

Cependant, on voit apparaître dans cette formulation le calcul du terme

— ω(ζ) . Or, puisque l'alimentation ω est un paramètre ajustable, dζ l'alimentation optimale ω* vérifiant Vω ≡ S_p\j(ζ,ω*)≤ j(ζ,ω) est utilisée. Cela implique donc V_ωJ(ζ,ω(ζ)) ≈ 0. Il est donc possible de ne pas calculer le terme — ω(ζ) pour déterminer V_ζE (ζ) . Une desensibilisation par rapport aux alimentations optimales ζ * est donc obtenue dans le calcul V_ζE (ζ) .

Pour augmenter encore le degré de désensibilisation par rapport aux alimentations optimales ζ * dans le calcul V_ζE (ζ), l'équation V_ωJ(ζ,ω(ζ)) = 0 en calculant l'alimentation optimale ω* . Numériquement, ce calcul se fait par une méthode de type Newton-Raphson sous contrainte car l'alimentation ω <≡ S P , en utilisant les hessiens tangentiels à la contrainte, précédée d'une approche assurée par une descente de type gradient conjugué. La figure 2a illustre par un synoptique les étapes du procédé de fabrication de l'antenne selon l'invention. Les éléments identiques aux éléments déjà présentés sur les autres figures portent les mêmes références. Dans une première étape 20, un ensemble de données initiales est choisi.

Les données initiales sont des données décrivant les paramètres principaux de l'antenne réseau Ω à fabriquer. Une fois les principaux paramètres de l'antenne réseau Ω choisie, le procédé comporte une étape 30 d'optimisation de l'antenne réseau Ω. A l'issue de l'étape 30 d'optimisation de l'antenne réseau Ω, le procédé délivre notamment sur une sortie 40 une géométrie optimale ζ* des n éléments que comporte l'antenne réseau Ω. En outre, le procédé peut encore délivrer sur une sortie 41 l'alimentation optimale ω* associée à la géométrie optimale ζ * . A partir de la géométrie optimale ζ * et éventuellement de l'alimentation optimale ω* associée, dans une étape 42, une antenne est réalisée. L'antenne ainsi réalisée a une géométrie sensiblement égale la géométrie optimale ζ * calculée à l'étape 30, et/ou une alimentation sensiblement égale à l'alimentation optimale ω* calculée à l'étape 30.

La figure 2b montre par un synoptique un exemple de possibilités offertes au cours de l'étape 20 de choix des données initiales du procédé de fabrication selon l'invention. Les éléments identiques aux éléments déjà présentés sur les autres figures portent les mêmes références. L'étape 20 de choix des données initiales peut par exemple comporter une étape 21 de choix du nombre d'éléments que comporte l'antenne réseau Ω. Ainsi, il est possible de dimensionner l'antenne réseau Ω à optimiser en fonction des contraintes de celles-ci. L'étape 20 de choix des données initiales peut encore comporter une étape 22 de choix d'une zone à maximiser. Le choix d'une zone à maximiser correspond au choix d'une zone où l'on cherche par exemple à maximiser la directivité de l'antenne au voisinage sphérique v_λ(u_p) ou encore une zone correspondant à la largeur du lobe principal désiré v_λ{u_p) . Bien évidemment, l'étape 22 peut être répétée pour sélectionner plusieurs zones. L'étape 20 de choix des données initiales peut aussi comporter une étape 23 de choix de l'encombrement maximal de l'antenne réseau Ω. D'autres caractéristiques techniques liées à l'antenne réseau Ω pourraient encore être incluses dans l'étape 20.

La figure 2c montre par un synoptique le détail de l'étape 30 d'optimisation de l'antenne réseau Ω du procédé de fabrication selon l'invention. Les éléments identiques aux éléments déjà présentés sur les autres figures portent les mêmes références. L'étape 30 d'optimisation de l'antenne réseau Ω comporte une première étape 31 de choix d'une géométrie initiale de l'antenne réseau Ω. L'étape 31 a connaissance des informations recueillies à l'étape 20. Ainsi, un des objets de l'étape 31 est le choix d'une géométrie initiale de l'antenne réseau Ω vérifiant les contraintes imposées par les choix de l'étape 20, par exemple la contrainte de l'encombrement maximale de l'antenne réseau Ω. Par exemple, la géométrie initiale peut être obtenue en répartissant le nombre choisi à l'étape 20 d'éléments composant l'antenne réseau Ω sur l'ensemble de la surface, en espaçant les éléments d'une distance égale à la moitié de la longueur d'onde. Il est possible encore de placer les éléments en sous- échantillonnant, c'est-à-dire en les espaçant d'une distance supérieure à la moitié de la longueur d'onde. Une fois la géométrie initiale déterminée à l'étape 31 , le procédé selon l'invention comporte une étape 32 d'optimisation multicritères aboutissant notamment à la géométrie optimale ζ* des n éléments que comporte l'antenne réseau Ω. L'étape 31 réalise cette optimisation en modélisant tout d'abord l'antenne réseau Ω ou en utilisant une modélisation qui peut lui être fournie. Un exemple de modélisation de l'antenne réseau Ω a été précédemment abordé dans la description. Toutefois, cet exemple est indicatif et d'autre modèle d'antenne réseau Ω pourrait être utilisé. A partir de la modélisation, les critères d'optimisation sont choisis en fonction du problème à résoudre, ou plus précisément en fonction de l'objectif d'optimisation choisi pour ladite antenne réseau Ω. Par exemple, comme développé précédemment, un premier critère peut être de maximiser la directivité du lobe principale dans la zone v_λ(u_p) choisie à l'étape 22 et un second critère de minimiser la directivité des lobes secondaires et des lobes de réseau dans la zone S \v_λ(u_p) choisie à l'étape

22. De manière plus générale, cela aboutit à déterminer en fonction du problème de définir une fonctionnelle produit J_p(ζ,ώ_p)^ Eζ_ut(ζ,ώ_p).Ε^(ζ,ώ_p). L'étape 32 recherche ensuite des points d'équilibre dits de Pareto en recherchant le minimum de la fonctionnelle produit J_p[ζ,ώ_p) pour chaque pointage /? e [l..ivj . Pour prendre en considération simultanément l'ensemble des pointages p, l'étape 32 peut définir une seule fonctionnelle produit j(ζ) prenant en compte tous les pointages p si nécessaire (l'antenne réseau Ω ne comportant pas nécessairement plusieurs pointages). L'étape 32 recherche alors le minimum la fonctionnelle produit J(ζ). Une fois déterminer, la géométrie optimale ζ* est celle qui permet de minimiser la fonctionnelle produit J(ζ). L'étape 32 peut aussi, afin d'optimiser tant la géométrie des éléments constitutifs de l'antenne que de leur alimentation, rechercher le minimum de la fonctionnelle produit J (ζ,ω) définie par l'expression

mathématique J (ζ,ω) = ∑ J_p\ζ,ώ_p). Cela se traduit par la recherche de p=l l'expression mathématique suivante : min J (ζ,ω) . Dans ce cas, à l'étape

{ζEG,ωES_p ) 32, le procédé selon l'invention repose dans un premier temps sur une nouvelle formulation [P₁J du problème. Ainsi le problème reformulé [P₁J s'exprime grâce à l'expression mathématique suivante : m ζeiGn E (ζ) avec E (ζ) = m ωemS_p j(ζ,ώ_p).

Le procédé selon l'invention utilise dans un second temps à partir du problème reformulé [P₁J une méthode de gradient en calculant l'expression mathématique suivante :

W_ζE {ζ) = W_ζJ{ζ,ω{ζ)) .

L'étape 32 calcule alors numériquement le terme ω(ζ) . La détermination du terme ω(ζ), et donc in fine de l'alimentation optimale ω* , peut se calculer numériquement, par exemple par une méthode de type Newton-Raphson sous contrainte utilisant les hessiens tangentiels à la contrainte, précédée d'une approche assurée par une descente de type gradient projeté.

La figure 3a montre le placement des éléments sous-échantilloné d'une antenne réseau Ω. Les éléments identiques aux éléments déjà présentés sur les autres figures portent les mêmes références. L'antenne réseau considérée comporte un réseau non optimisé comportant 100 éléments 41 répartie dans un carré de 10 éléments 41 par 10 éléments 41 de côté. Le réseau non optimisé est sous-échantillonné en 2λ. Le choix de la zone à maximiser correspond à la largeur du lobe principal désiré équivalent à un voisinage sphérique v_λ(u_p) donné. Le choix de la zone où l'on souhaite minimiser la directivité des lobes secondaires et des lobes de réseau correspond au voisinage S \v_λ(u_p) . L'encombrement maximal de l'antenne est défini sur la figure 3a par le cercle 45 de surface équivalente au carré de 10 éléments 41 par 10 éléments 41 de côté.

La figure 3b montre le placement des éléments sous-échantilloné d'une antenne réseau Ω obtenue par le procédé de fabrication selon l'invention. Les éléments identiques aux éléments déjà présentés sur les autres figures portent les mêmes références. On notera que la mise en œuvre de l'antenne selon l'invention est indépendante du choix du réseau initial si celui-ci reste dans l'encombrement maximal du réseau désiré. En effet, le choix du réseau initial peut être indifféremment sous-échantillonné en 2λ ou échantillonné en λ\2 par exemple.

Dans un mode de réalisation, l'étape 32 d'optimisation multicritères détermine des centres de phase pour chaque sous-réseaux et le rayonnement dudit sous-réseau. Rappelons que si on considère une antenne réseau formée de sous-réseaux identiques uniformément espacés, le théorème de Nyquist-Shannon peut être appliqué à l'échantillonnage spatial du réseau. Il en résulte que les lobes de réseaux apparaissent lorsque la distance entre les centres de phase des sous-réseaux est supérieure à λ\2 ( c'est-à-dire si le réseau est sous-échantillonné), ce qui est le cas lors de la formation de sous-réseaux.

Une manière d'annihiler les lobes de réseaux est de mettre en place un procédé d'optimisation de la géométrie des centres de phase des sous-réseaux sans prendre en compte le rayonnement de leur sous-réseaux respectif mais en leur imposant le rayonnement d'une source élémentaire et ainsi construire une géométrie des centres de phase des sous-réseaux optimale sans lobes de réseaux.

Dans un autre mode de réalisation, l'étape 32 d'optimisation multicritères forme pour chaque sous-réseaux des cellules de Voronoïs à partir des centres de phase issus du réseau optimal des sous-réseaux par cellules de Voronoïs sont formés par le procédé selon l'invention. Ainsi, le procédé selon l'invention ne conserve plus un réseau optimal dont les éléments sont équidistants, ce qui par ailleurs implique que la formation en sous-réseaux identiques ne garantie pas un recouvrement maximal de l'antenne.

Une manière de conserver un recouvrement maximal de l'antenne est de créer des cellules de Voronoïs à partir des centres de phase issus du réseau optimal. Un maillage régulier constitué de sources élémentaires échantillonnées en λ\2 est créé par le procédé selon l'invention. Les sous- réseaux sont ensuite formés comme étant l'ensemble des sources élémentaires du maillage appartenant respectivement aux cellules de Voronoïs. Chaque sous-réseaux est donc formés comme étant l'ensemble des sources élémentaires du maillage appartenant respectivement aux cellules de Voronoïs.

Le procédé de fabrication selon l'invention pourrait être adapté à à la fabrication d'autres dispositif dans d'autres domaines, comme par exemple celui des ondes accoustiques, ou encore dans le domaine des ultrasons en médecine pour la reconstitution d'image. A titre d'exemple, on citera l'article de B. Elgetun intitulé « Optimization of response from 2D arrays for médical ultrasound ».

Les antennes produites par le procédé selon l'invention pourront par exemple aussi être utilisées en sismologie.

Claims

REVENDICATIONS

1. Procédé de fabrication d'une antenne comportant des éléments rayonnant décrivant une géométrie ( ζ ), l'antenne réalisant un ou plusieurs pointages

(p) dans au moins une direction donnée (u_p), caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes : • une étape (30) de recherche de la géométrie optimale (ζ*) et de l'alimentation optimale associée (ω* ), comportant les étapes suivantes : o une étape (31 ) de choix d'une géométrie initiale de ladite antenne ; o une étape (32) d'optimisation multicritères adaptée à la recherche d'une géométrie optimale ( ζ*) de l'antenne, ladite étape (32) comprenant une recherche du minimum pour tout les pointage (p) d'une fonctionnelle produit ( J (ζ,ω) ), la fonctionnelle produit pour un pointage (p) donné (J_p(ζ,ώ_p)) étant définie par le produit de fonctionnelles

{E^p _m(ζ,ώ_p), E₀ ^p _Ut(ζ,ώ_p)), lesdites fonctionnelles

(Ε^p _ιn{ζ ,ώ_p) , Ε_o ^p _ut{ζ ,ώ_p)) décrivant, pour chaque zone de l'antenne à optimiser (v_λ(u_p) , S\ v_λ(u_p) ) et pour un pointage donné (p), la variation d'un ou plusieurs paramètres de l'antenne, en fonction d'une géométrie donnée (ζ ) et d'une alimentation donnée

(ώ_p ), la géométrie et l'alimentation permettant de réaliser le minimum de la fonctionnelle produit ( J (ζ,ω) ) étant la géométrie optimale ( ζ*) et l'alimentation optimale (ω* );

• une étape (42) de réalisation d'une antenne dont la géométrie est sensiblement égale la géométrie optimale (ζ*) et l'alimentation est sensiblement égale l'alimentation optimale (ω* ).

2. Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que la recherche à l'étape (32) d'optimisation multicritères du minimum pour tout les pointage (p) d'une fonctionnelle produit ( J (ζ,ω) ) est obtenue par la résolution de l'expression mathématique suivante :

3. Procédé selon la revendication 2 caractérisé en ce que l'expression mathématique V_ωJ(ζ,ω(ζ)) = 0 est résolu numériquement par une méthode de type Newton-Raphson sous contrainte, en utilisant les hessiens tangentiels à la contrainte, précédée d'une approche assurée par une descente de type gradient conjugué.

4. Procédé selon l'une des quelconques revendications précédentes caractérisé en ce que, la directivité de l'antenne (D_p(ζ,ώ_p) ) étant représentée pour un pointage p, par une fonction de la géométrie et de l'alimentation de l'antenne, la directivité de l'antenne (D_p(ζ,ώ_p) ) étant majorée par une norme supérieure approchée ( L {^U_P)) ) pour une zone de l'antenne à optimiser {v_λ(u_p) ), une des fonctionnelles (Ef_n \ζ, ώ_p)) utilisées à l'étape (32) est définie par la relation mathématique suivante :

5. Procédé selon l'une des quelconques revendications 1 à 4 caractérisé en ce que, la directivité de l'antenne ( D_p(ζ,ώ_p) ) étant représentée pour un pointage p, par une fonction de la géométrie et de l'alimentation de l'antenne, la directivité de l'antenne (D_p(ζ,ώ_p) ) étant majorée par une norme supérieure approchée (/(,,<«,,)] ) pour une zone de l'antenne à optimiser {v_λ(u_p) ), une des fonctionnelles (β^p _ιn{ζ,ώ_p)) utilisées à l'étape (32) est définit par la relation mathématique suivante :

6. Procédé selon l'une des quelconques revendications 1 à 5 caractérisé en ce que, la directivité de l'antenne ( D_p(ζ,ώ_p) ) étant représentée pour un pointage p, par une fonction de la géométrie et de l'alimentation de l'antenne, la directivité de l'antenne (D_p(ζ,ώ_p) ) étant majorée par une norme supérieure approchée (/(,,<«,,)] ) pour une zone de l'antenne à optimiser (S\ v_λ(u_p) ), une des fonctionnelles (Ε_o ^p _ut(ζ,ώ_p)) utilisées à l'étape (32) est définit par la relation mathématique suivante :

E₀ ^p _Ut(ζ, ώ_p ) = \\D_p (ζ, ώ ^ωp P ' i^v (s\,_A(« ))

7. Procédé selon l'une des quelconques revendications 1 à 6 caractérisé en ce qu'il comporte une étape (20) de choix des données initiales du procédé décomposée en une étape (21 ) de choix du nombre d'éléments que comporte l'antenne réseau Ω, et/ou une étape (22) de choix des zones à optimiser, et/ou une étape (23) de choix de l'encombrement maximal de l'antenne réseau Ω.

8. Procédé selon l'une des quelconques revendications 1 à 7, caractérisé en ce que les éléments rayonnant étant regroupés en sous-réseaux, l'étape (32) d'optimisation multicritères détermine des centres de phase pour chaque sous-réseaux et le rayonnement du sous-réseaux, le rayonnent du sous- réseaux étant assimilé à une source élémentaire.

9. Procédé selon la revendication 8 caractérisé en ce que l'étape (32) d'optimisation multicritères forme pour chaque sous-réseaux des cellules de Voronoïs à partir des centres de phase issus du réseau optimal, chaque sous-réseaux étant formés comme étant l'ensemble des sources élémentaires du maillage appartenant respectivement aux cellules de Voronoïs.