WO2007107450A1 - Kryptographisches verfahren mit elliptischen kurven - Google Patents

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WO2007107450A1
WO2007107450A1 PCT/EP2007/052075 EP2007052075W WO2007107450A1 WO 2007107450 A1 WO2007107450 A1 WO 2007107450A1 EP 2007052075 W EP2007052075 W EP 2007052075W WO 2007107450 A1 WO2007107450 A1 WO 2007107450A1
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elliptic curve
coordinate
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twisted
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Jean Georgiades
Anton Kargl
Bernd Meyer
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Siemens Aktiengesellschaft
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    • G06F2207/7219—Countermeasures against side channel or fault attacks

Definitions

  • the present invention relates to a method for Ermit ⁇ stuffs of elliptic curves, which, in particular of elliptic curves are suitable for cryptographic data processing. Further, the present invention relates to a kryp ⁇ tographisches method and apparatus based on the to-elliptical front selected curves.
  • Cryptographic techniques are used to encrypt messages, sign documents, and authenticate people or objects, among other things.
  • asymmetric Locks ⁇ are particularly so selungsvon, as well as provide a public key for a user in both a private and secret keys.
  • the sender When encrypting a message, the sender obtains the public key of the desired addressee and thus encrypts the message. Only the addressee is there ⁇ able to decrypt the message again with the private key known only to him.
  • a Signing a document calculates a elekt ⁇ tronic signature with his private key. Other people can easily verify the signature using the undersigned's public key. However, only signatures can be verified with the public key, which are signed with the associated private key. This unambiguous assignment and the assumption that the private key is kept secret by the signer result in a clear assignment of the signature to the signer and the document.
  • authenticating using a challenge-response (request-response) protocol transmits a testing a request to a person and ask it to this on ⁇ ask with the private key of the person to calculate an answer and be returned. A positive authentication occurs in the event that the verifier can verify the returned response with the public key of the person under review.
  • the asymmetric cryptography methods are based on a private and a public key, as stated above.
  • the public key is generated from the private key by means of a predetermined algorithm.
  • Essential for the cryptographic methods is that a reversal, i. H. a determination of the private key from the public key in finite time with the available computing capacity is not manageable. The latter is granted if the key length of the private key reaches a minimum length. The minimum length of the key depends on the algorithms used for encryption and the determination of the public key.
  • An elliptic curve E is generally defined by a Weierstrass equation which written as following cubic sliding ⁇ chung:
  • the ai are a ⁇ a3 a selected elements of a
  • Body K and the pairs (x, y) are hot points of the elliptic curve E and satisfy the Weierstrass equation.
  • a finite field K is selected.
  • the number of points of the elliptic curve E is finite and is hereinafter referred to as the order ord (E) of the curve E.
  • a formal point is introduced at infinity.
  • An abelian group structure G can be defined on the set of points of the elliptic curve.
  • the operation of the abelian group structure is hereinafter referred to as addition and written additively.
  • the addition of two arbitrary points of the elliptic curve clearly gives a third point of this elliptic curve.
  • a scalar multiplication can be defined in DIE se, which is defined as multiple addition of a point to itself defi ⁇ .
  • P is a point on the elliptic curve E
  • s is an integer
  • Q sP the s-fold of the point P.
  • Q is flat ⁇ if a point of the elliptic curve.
  • the determination of the scalar s at given points P and Q is called a discrete logarithm problem for elliptic curves.
  • a suitable choice of the body K and the parameters of the elliptic curve E it is impossible with the computer equipment available today to solve the discrete logarithm problem within a reasonable time.
  • the security of cryptographic methods using elliptic curves is based on this difficulty.
  • a communication user selects a scalar s as his private key and keeps it secret. Furthermore, it generates the public key Q from a starting point P as the scalar multiple of the starting point. With respect to the start point P is agreement between the communication ⁇ participants.
  • S is a determination of the private key from the public key Q due to the high computational effort of the discrete logarithm problem does not mög ⁇ Lich and thus granted the security of cryptographic methods with elliptic curves.
  • Another requirement of the elliptic curves is that their order is a large prime or the product of a large prime with a small number.
  • the parameters ai, a 2, a 3, a 4, a 6, the parameters of the el ⁇ liptica curves.
  • the parameters v are all non-squares of the body K if the characteristic of the body K is odd or an element of the body K with trace 1.
  • Al ⁇ le these twisted elliptic curves should also have an order according to DE 10161138 Al, the one large prime or the product of a large prime number with a small number.
  • the object of the invention is to provide a method which selects elliptic curves which do not permit any conclusion on the private key in side channel attacks.
  • this object is achieved by the method having the features of patent claim 1.
  • a method for the cryptographic processing of data with the features of claim 4 and a device for Identticiansbes ⁇ actuation of a person or an object with the features of claim 6 also prevent a determination of the private key or a partial determination of the private key by side channel attacks.
  • Method for determining an elliptic curve suitable for cryptographic methods comprising the following steps:
  • test elliptic curve as the elliptic curve net cryptographic procedures geeig ⁇ when the order of the twisted elliptic curve is a strong prime number.
  • the idea underlying the present invention is to provide an elliptic curve only for cryptographic
  • a strong prime P is described by the following equation:
  • r is a small number, typically in the range up to 255, and q is a large prime.
  • the strong prime is a so-called Sophie Germain prime, i. r is 2.
  • the elliptic curves and the associated twisted elliptic curves correspond to the definitions given above.
  • the present invention prevents page channel attacks based on improperly transmitted x coordinates or malformed incorrectly transmitted x coordinates, these x coordinates not corresponding to any point on the selected elliptic curve.
  • the method according to the invention is robust to the extent that even with such x-coordinates no spying or partial determination of the private key by an external device is possible.
  • the order of the twisted elliptic curve is calculated by counting a number of points. true, which lie on the twisted elliptic curve.
  • the order of the twisted elliptic curve may also be made based on a determination of the order of the elliptic curve and the characteristic of the body. For this purpose, clear mathematical relations between the different orders can be used. The counting of the dots is done by methods well known to those skilled in the art.
  • the elliptic curve to be tested is selected for cryptographic methods only if the order of the elliptic curve to be tested is a strong prime.
  • FIG. 1 shows a flow chart of an embodiment of the method according to the invention
  • Fig. 2 is a block diagram of an embodiment of the device according to the invention.
  • FIG. 3 is a flowchart of an embodiment of the method according to the invention, which is carried out by the devices of FIG. 2.
  • FIG. 1 shows a flow chart for illustrating an embodiment of the method according to the invention.
  • a pool with elliptic curves E is provided (S1).
  • the elliptic curves E are defined over a finite field K.
  • the curve E contains a finite number of points P.
  • the elliptic curve is defined by the Weierstrass equation and the parameters ai, a 2 , a 3 , a 4 , a 6 .
  • corre ⁇ sponding restrictions or changes in the parameterization individual parameters can be zero. The parameters are selected so that the elliptic curves are not singular.
  • the order of the elliptic curve is determined (S2).
  • the order of the elliptic curve is understood to mean the number of points over a body K that satisfy the Weerrstraß equation. In a geometric interpretation, these are all points P lying on the elliptic curve E.
  • the order of the elliptic curve should be a prime number. If a review that this is not a prime number, a different curve E is out of the pool on the ⁇ selected (S8). If the order of the elliptic curve E is confirmed to be prime, a check is made as to whether the order of the elliptic curve is a strong prime (S3). The definition of a strong prime is given above.
  • the elliptical curves E that are twisted into the elliptic curve E are checked (S4).
  • the definition for the twisted curves E ' is already given above.
  • the check is made for all twisted curves E ', i. for all possible parameters v, which are correspondingly not a square or an element with track 1.
  • the order of the twisted curve E ' is determined
  • the elliptic curve E is selected for a cryptographic method.
  • the order of an elliptic curve can be determined by a known counting method. Alternatively it is possible the order about the relationship
  • FIG. 2 shows a block diagram of a test object A and a test device B.
  • the test object may be, for example, a smart card or an RFID chip.
  • the testing device B is the corresponding reading device.
  • the test object A has ei ⁇ ne memory device 1, in which a private key KP is held. This private key KP is kept secret and is in no way readable by an external device.
  • the parameters required for the parameterization of an elliptic curve E are stored.
  • a data processing device 3 performs an encryption algorithm based on the private key and an elliptic curve, which is determined by the parameters which cher worn in the SpeI ⁇ stored second
  • the parameters or the elliptic curve are determined by means of the method according to the invention, for example by the exemplary embodiment shown in FIG.
  • the test object has a receiving device 4, which can receive an x-coordinate of a point.
  • This x coordinate is supplied to the data processing means 3 which carries out the predetermined process from ⁇ . What is special about this method is that it is only applied to the x-coordinate and only requires the x-coordinate of a point.
  • the processed or encrypted x-coordinate is output by a transmitting device 5.
  • the test object A does not check whether the transmitted x-coordinate can be a valid x-coordinate.
  • the test object A does not check whether this x-coordinate is assigned to a point P of the elliptic curve.
  • the selected rule ⁇ elliptic curves that are stored in the memory means 2 shall make sure that such an x- Coordinate no spying or partial spying of the private key is possible.
  • the tester B has a random number generator 10 which selects an arbitrary point PO from the elliptic curve. This is transmitted by means of a transmitting device 11 to the test object A. Furthermore, the checking device B has a receiving device for receiving the processed x-coordinate Q (x). A data processing device 13 checks the processed x-coordinate on the basis of a public key of the test object A. The public key can either be stored in the test device B or obtained from an external source. If the decrypted value corresponds to the previously randomly generated x-coordinate, it is output at an interface 14 that the identity of the test object A is confirmed.
  • a first step S generates a to ⁇ event generator a point PO on the elliptic curve E and transmits the x-coordinate as a request to the test ⁇ object A. This is calculated from the x-coordinate with its private key KP a response (Sil) , Subsequently, the test object transmits the answer Q (x) and possibly also its public key KO. The response is ge by the verifier B using the public key KO ⁇ checked (S12). Upon confirmation of the response, a signal is output that person A is authenticated or identified (S13, S14).
  • a suitable elliptic curve is given by way of example.
  • the corresponding parameters of the elliptic curve E are:
  • the base point P (x, y) is defined by the coordinates
  • each point of the elliptic curve E can be represented as a scalar multiple of the base point P.
  • the orders of the curves E and the twisted curves E ' have the following value:

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Abstract

Verfahren zum Ermitteln einer elliptischen Kurve, die für kryptographische Verfahren geeignet ist, mit den folgenden Schritten: (a) Bereitstellen einer zu testenden elliptischen Kurve; (b) Bestimmen der Ordnung einer getwisteten elliptischen Kurve, die der zu testenden elliptischen Kurve zugeordnet ist; (c) automatisches Prüfen, ob die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist; und (d) Auswählen der zu testenden elliptischen Kurve als eine elliptische Kurve, die für kryptographische Verfahren geeignet ist, wenn die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist.

Description

Beschreibung
Kryptographisches Verfahren mit elliptischen Kurven
Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zum Ermit¬ teln von elliptischen Kurven, insbesondere von elliptischen Kurven welche für kryptographische Datenverarbeitung geeignet sind. Ferner betrifft die vorliegende Erfindung ein kryp¬ tographisches Verfahren und eine Vorrichtung, die auf den zu- vor ausgewählten elliptischen Kurven basieren.
Kryptographische Verfahren werden unter anderem zum Verschlüsseln von Botschaften, Signieren von Dokumenten und Authentifizieren von Personen oder Objekten verwendet. Hierfür eignen sich insbesondere so genannte asymmetrische Verschlüs¬ selungsverfahren, die für einen Teilnehmer sowohl einen privaten und geheim gehaltenen Schlüssel als auch einen öffentlichen Schlüssel vorsehen.
Beim Verschlüsseln einer Botschaft besorgt sich der Absender den öffentlichen Schlüssel des gewünschten Adressaten und verschlüsselt damit die Botschaft. Nur der Adressat ist da¬ nach in der Lage, die Botschaft mit dem nur ihm bekannten privaten Schlüssel wieder zu entschlüsseln.
Beim Signieren eines Dokuments berechnet ein Unterzeichnender aus einem Dokument mit seinem privaten Schlüssel eine elekt¬ ronische Unterschrift. Andere Personen können ohne weiteres die Unterschrift mit Hilfe des öffentlichen Schlüssels des Unterzeichnenden verifizieren. Es lassen sich jedoch nur Unterschriften mit dem öffentlichen Schlüssel verifizieren, die mit dem zugehörigen privaten Schlüssel signiert werden. Durch diese eindeutige Zuordnung und die Annahme, dass der private Schlüssel von dem Unterzeichnenden geheim gehalten wird, er- gibt sich eine eindeutige Zuordnung der Signatur zu dem Unterzeichnenden und dem Dokument. Beim Authentisieren mittels eines Challenge-Response- (Anfrage-Antwort ) Protokolls übermittelt eine Prüfstelle eine Anfrage an eine Person und fordert diese auf, zu dieser An¬ frage mit dem privaten Schlüssel der Person eine Antwort zu berechnen und rückzusenden. Eine positive Authentifizierung erfolgt in dem Fall, dass die Prüfstelle die zurückgesandte Antwort mit dem öffentlichen Schlüssel der zu prüfenden Person verifizieren kann.
Die asymmetrischen Kryptographieverfahren basieren, wie oben ausgeführt, auf einem privaten und einem öffentlichen Schlüssel. Dabei wird der öffentliche Schlüssel aus dem privaten Schlüssel mittels eines vorbestimmten Algorithmus generiert. Wesentlich für die kryptographischen Verfahren ist, dass eine Umkehrung, d. h. eine Bestimmung des privaten Schlüssels aus dem öffentlichen Schlüssel in endlicher Zeit mit den zur Verfügung stehenden Rechenkapazitäten nicht bewältigbar ist. Letzteres ist gewährt, wenn die Schlüssellänge des privaten Schlüssels eine Mindestlänge erreicht. Die Mindestlänge des Schlüssels ist von den verwendeten Algorithmen für die Verschlüsselung und der Bestimmung des öffentlichen Schlüssels abhängig.
Die Operationen mit den öffentlichen oder den privaten Schlüsseln erfordern einen gewissen Rechenaufwand. Dieser ist abhängig von den verwendeten Algorithmen und auch von der Länge der verwendeten Schlüssel. Hierbei erweist es sich als vorteilhaft, Verschlüsselungsalgorithmen basierend auf ellip¬ tischen Kurven zu verwenden, da diese eine hohe Sicherheit bei kurzen Schlüssellängen gewähren. Bisher ist für Kryptographieverfahren basierend auf elliptischen Kurven im Gegensatz zu anderen Verfahren keine Bestimmung des privaten Schlüssels aus dem öffentlichen Schlüssel bekannt, deren Re¬ chenaufwand langsamer als mit exponentiellen Anstieg mit zu- nehmender Schlüssellänge ansteigt. In anderen Worten der Si¬ cherheitsgewinn pro zusätzliche Bitlänge des verwendeten Schlüssels ist höher als bei anderen Verfahren. Für prakti- sehe Anwendungen können daher deutlich kürzere Schlüssellängen verwendet werden.
Eine elliptische Kurve E ist allgemein durch eine Weierstraß- Gleichung definiert, welche sich als folgende kubische Glei¬ chung schreibt:
Figure imgf000005_0001
Dabei sind die ai a∑ a3
Figure imgf000005_0002
aβ fest ausgewählte Elemente eines
Körpers K und die Paare (x, y) heißen Punkte der elliptischen Kurve E und erfüllen die Weierstraß-Gleichung. Für die kryp- tographischen Verfahren wird ein endlicher Körper K ausgewählt. Entsprechend ist auch die Anzahl der Punkte der ellip- tischen Kurve E endlich und wird nachfolgend als Ordnung ord(E) der Kurve E bezeichnet. Zusätzlich wird ein formaler Punkt im Unendlichen eingeführt.
Auf der Menge der Punkte der elliptischen Kurve kann eine abelsche Gruppenstruktur G definiert werden. Die Operation der abelschen Gruppenstruktur wird nachfolgend als Addition bezeichnet und additiv geschrieben. Die Addition zweier beliebiger Punkte der elliptischen Kurve ergibt eindeutig einen dritten Punkt dieser elliptischen Kurve. Ferner kann auf die- se Weise eine Skalarmultiplikation definiert werden, welche als mehrfache Addition eines Punktes mit sich selbst defi¬ niert ist. P sei ein Punkt der elliptischen Kurve E, s eine ganze Zahl und Q=sP das s-fache des Punktes P. Q ist eben¬ falls ein Punkt der elliptischen Kurve. Die Bestimmung des Skalars s bei gegebenen Punkten P und Q wird als diskretes Logarithmus-Problem für elliptische Kurven bezeichnet. Bei einer geeigneten Wahl des Körpers K und der Parameter der elliptischen Kurve E ist es mit den heute zur Verfügung stehenden Rechnereinrichtungen unmöglich, das diskrete Logarithmus- Problem in vertretbarer Zeit zu lösen. Auf dieser Schwierigkeit beruht die Sicherheit von kryptographischen Verfahren mittels elliptischer Kurven. Ein Kommunikationsteilnehmer wählt einen Skalar s als seinen privaten Schlüssel und hält diesen geheim. Ferner generiert er aus einem Startpunkt P den öffentlichen Schlüssel Q als das skalare Vielfache des Startpunktes. Hinsichtlich des Startpunktes P besteht Einigkeit zwischen den Kommunikations¬ teilnehmern. Eine Bestimmung des privaten Schlüssels s aus dem öffentlichen Schlüssel Q ist aufgrund des hohen rechnerischen Aufwandes des diskreten Logarithmus-Problems nicht mög¬ lich und gewährt somit die Sicherheit von kryptographischen Verfahren mit elliptischen Kurven. Eine weitere Forderung an die elliptischen Kurven ist, dass ihre Ordnung eine große Primzahl oder das Produkt einer großen Primzahl mit einer kleinen Zahl ist.
Die kryptographischen Verfahren stellen einen Kompromiss zwischen einer zu erwartenden Sicherheit und dem rechnerischen Aufwand beim Verschlüsseln von Daten dar. In der DE 101 61 138 Al ist gezeigt, dass eine Bestimmung des skalaren Vielfa¬ chen eines Punktes allein anhand der x-Koordinaten ohne Hin- zuziehen der y-Koordinaten möglich ist. Entsprechende Rechenvorschriften sind für beliebige Körper in der DE 101 61 138 Al beschrieben. Hierdurch lassen sich wesentlich effizientere Implementierungen der Punktarithmetik, z. B. einer Montgomery Leiter für die Skalarmultiplikation, eine geringere Anzahl an Körpermultiplikationen pro Punktaddition und eine geringere Anzahl von Registern für die Punktdarstellung und der Zwischenergebnisse erreichen. Allerdings wird bei diesem Verfah¬ ren nicht geprüft, ob ein Punkt wirklich Element der ellipti¬ schen Kurve ist.
Hieraus ergibt sich die Möglichkeit, einen Seitenkanalangriff durchzuführen. An eine Verschlüsselungseinrichtung kann dabei eine x-Koordinate eines Punktes übermittelt werden, wobei der Punkt nicht auf der elliptischen Kurve liegt. Hierzu wird in der DE 10161138 Al beschrieben, dass hierdurch eine teilweise Rekonstruktion des privaten Schlüssels der Verschlüsselungs¬ einrichtung möglich ist. Die DE 10161138 Al verwendet zum Verhindern eines solchen Seitenkanalangriffs speziell ausge- wählte elliptische Kurven. Als Kriterium dienen hierbei die zu den elliptischen Kurven zugehörigen getwisteten elliptischen Kurven. Die zugehörige getwistete elliptische Kurve ist wie folgt definiert:
y2 + vaixy + a3y = x3 + va2X2 + v2a4xv3aε,
wobei die Parameter ai, a2, a3, a4, a6 die Parameter der el¬ liptischen Kurven sind. Die Parameter v sind alle Nicht- Quadrate des Körpers K, falls die Charakteristik des Körpers K ungerade ist oder ein Element des Körpers K mit Spur 1. Al¬ le diese getwisteten elliptischen Kurven sollen nach der DE 10161138 Al ebenfalls eine Ordnung haben, die eine große Primzahl oder das Produkt einer großen Primzahl mit einer kleinen Zahl ist.
Die Autoren Daniel R. L. Brown und Robert P. Gallant be¬ schreiben in ihrem Artikel "The Static Diffie-Hellman Problem" eine weitere Möglichkeit für einen Seitenkanalangriff, um einen privaten Schlüssel vollständig oder teilweise auszu¬ spähen .
Vor diesem Hintergrund liegt der Erfindung die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren bereitzustellen, welches elliptische Kurven auswählt, die bei Seitenkanalangriffen keinen Rück- schluss auf den privaten Schlüssel ermöglichen.
Erfindungsgemäß wird diese Aufgabe durch das Verfahren mit den Merkmalen des Patentanspruchs 1 gelöst. Ein Verfahren zur kryptographischen Verarbeitung von Daten mit den Merkmalen des Patentanspruchs 4 und eine Vorrichtung zur Identitätsbes¬ tätigung einer Person oder eines Objekts mit den Merkmalen des Patentanspruchs 6 verhindern ebenfalls eine Bestimmung des privaten Schlüssels oder eine Teilbestimmung des privaten Schlüssels durch Seitenkanalangriffe .
Demgemäß ist vorgesehen: Verfahren zum Ermitteln einer elliptischen Kurve, die für kryptographische Verfahren geeignet ist, mit den folgenden Schritten :
(a) Bereitstellen einer zu testenden elliptischen Kurve;
(b) Bestimmen der Ordnung einer getwisteten elliptischen Kurve, die der zu testenden elliptischen Kurve zugeordnet ist;
(c) automatisches Prüfen, ob die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist; und
(d) Auswählen der zu testenden elliptischen Kurve als eine elliptische Kurve, die für kryptographische Verfahren geeig¬ net ist, wenn die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist.
Verfahren zum kryptographischen Verarbeiten von Daten mit den folgenden Schritten:
Bereitstellen einer elliptischen Kurve, die mit einem der Verfahren nach den Ansprüchen 1 bis 3 ermittelt wird; Bereitstellen nur einer x-Koordinate eines Punktes; Bereitstellen eines privaten Schlüssels; automatisches Anwenden eines kryptographischen Verschlüs¬ selungsverfahrens auf die x-Koordinate unter Verwendung der bereitgestellten elliptischen Kurve und des privaten Schlüssels zum Bestimmen einer verschlüsselten x-Koordinate; und Ausgeben eines Wertes basierend auf der verschlüsselten x- Koordinate.
Vorrichtung zur Identitätsbestätigung einer Person oder eines Objekts mit einer Empfangseinrichtung, die zum Empfangen einer Koor- dinate dient, einer Speichereinrichtung, die einen privaten Schlüssel der Person oder des Objekts vorhält, einer Verarbeitungseinrichtung, die zum Verarbeiten der empfangenen Koordinate mit dem privaten Schlüssel dient, wobei das Verarbeiten auf einer elliptischen Kurve basiert, welche nach einem der Verfahren 1 bis 3 ausge- wählt ist, und einer Ausgabeeinrichtung, die zum Ausgeben der verarbeiteten Koordinate eingerichtet ist.
Die der vorliegenden Erfindung zugrunde liegende Idee besteht darin, eine elliptische Kurve nur dann für kryptographische
Verfahren zu verwenden, wenn die zu dieser elliptischen Kurve getwisteten elliptischen Kurven eine Ordnung aufweisen, die eine starke Primzahl ist. Eine starke Primzahl P ist durch nachfolgende Gleichung beschrieben:
P = I + r-q,
wobei r eine kleine Zahl, typischerweise im Bereich bis zu 255, und q eine große Primzahl ist. Idealerweise ist die starke Primzahl eine so genannte Sophie-Germain-Primzahl, d.h. r ist 2. Die elliptischen Kurven und die zugehörigen getwisteten elliptischen Kurven entsprechen den zuvor angegebenen Definitionen. Die vorliegende Erfindung verhindert Sei- tenkanalangriffe, die auf fehlerhaft übermittelten x- Koordinaten oder böswillig falsch übermittelten x-Koordinaten basieren, wobei diese x-Koordinaten keinem Punkt der ausgewählten elliptischen Kurve entsprechen. Das erfindungsgemäße Verfahren ist dahingehend robust, dass auch bei solchen x- Koordinaten keine Ausspähung oder teilweise Bestimmung des privaten Schlüssels durch eine externe Einrichtung möglich ist.
Vorteilhafte Weiterbildungen und Ausgestaltungen sind Gegenstand der weiteren Unteransprüche oder ergeben sich aus der Beschreibung in Zusammenschau mit der Zeichnung.
Gemäß einer Ausgestaltung wird die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve durch Zählen einer Anzahl von Punkten be- stimmt, die auf der getwisteten elliptischen Kurve liegen. Alternativ kann die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve auch basierend auf einer Bestimmung der Ordnung der elliptischen Kurve und der Charakteristik des Körpers erfolgen. Hierzu können eindeutige mathematische Relationen zwischen den unterschiedlichen Ordnungen herangezogen werden. Das Zählen der Punkte erfolgt mit dem Fachmann allgemein bekannten Verfahren .
In einer Ausgestaltung wird automatisch geprüft, ob die Ordnung der zu testenden elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist, und die zu testende elliptische Kurve wird nur dann für kryptographische Verfahren ausgewählt, wenn die Ordnung der zu testenden elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist.
Die vorliegende Erfindung wird nachfolgend anhand der in den schematischen Figuren der Zeichnung angegebenen Ausführungsbeispiele erläutert. Dabei zeigen
Fig. 1 ein Flussdiagramm einer Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens;
Fig. 2 ein Blockdiagramm einer Ausführungsform der erfindungsgemäßen Vorrichtung; und
Fig. 3 ein Flussdiagramm einer Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens, das durch die Vorrichtungen aus Fig. 2 ausgeführt wird.
In Fig. 1 ist ein Flussdiagramm zur Illustration einer Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens dargestellt. In einem ersten Schritt wird ein Pool mit elliptischen Kurven E bereitgestellt (Sl) . Die elliptischen Kurven E werden über einem endlichen Körper K definiert. Somit enthält die Kurve E eine endliche Anzahl an Punkten P. Die elliptische Kurve ist, wie bereits beschrieben, durch die Weierstraß-Gleichung und die Parameter ai, a2, a3, a4, a6 festgelegt. Durch entspre¬ chende Einschränkungen oder Änderungen der Parametrisierung können einzelne Parameter null sein. Die Parameter sind so ausgewählt, dass die elliptischen Kurven nicht singulär sind.
Nachfolgend wird die Ordnung der elliptischen Kurve bestimmt (S2) . Unter der Ordnung der elliptischen Kurve wird die Anzahl der Punkte über einem Körper K verstanden, die die Wei- erstraß-Gleichung erfüllen. In einer geometrischen Deutung sind dies alle Punkte P, die auf der elliptischen Kurve E liegen .
Die Ordnung der elliptischen Kurve, abgekürzt ord(E), soll eine Primzahl sein. Ergibt eine Überprüfung, dass diese keine Primzahl ist, wird eine andere Kurve E aus dem Pool ausge¬ wählt (S8) . Wird die Ordnung der elliptischen Kurve E als Primzahl bestätigt, erfolgt eine Prüfung, ob die Ordnung der elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist (S3) . Die Definition einer starken Primzahl ist oben angegeben.
In einem nächsten Schritt werden die zu der elliptischen Kur- ve E getwisteten elliptischen Kurven E übergeprüft (S4) . Die Definition für die getwisteten Kurven E' ist bereits oben angegeben. Die Überprüfung erfolgt für sämtliche getwistete Kurven E', d.h. für alle möglichen Parameter v, die entsprechend kein Quadrat oder ein Element mit Spur 1 sind. Im Ein- zelnen wird die Ordnung der getwisteten Kurve E' bestimmt
(S5) . Die Ordnung der getwisteten Kurve E' soll ebenfalls wie die elliptische Kurve eine Primzahl sein. Falls dies nicht erfüllt ist, wird eine andere elliptische Kurve E ausgewählt.
Zusätzlich wird geprüft, ob die Ordnung der elliptischen Kurve E' eine starke Primzahl ist (E6) .
Sind alle vier Bedingungen der Schritte S2, S3, S5 und S6 er¬ füllt, wird die elliptische Kurve E für ein kryptographisches Verfahren ausgewählt. Die Ordnung einer elliptischen Kurve kann anhand eines bekannten Abzählverfahrens bestimmt werden. Alternativ ist es möglich, die Ordnung über die Beziehung
ord(E) + ord(E') = 2-|κ| + 2
zu bestimmen, wobei κ| die Charakteristik des Körpers K ist.
In Fig. 2 ist ein Blockdiagramm eines Testobjekts A und einer Prüfeinrichtung B dargestellt. Das Testobjekt kann z.B. eine Smart-Card oder ein RFID-Chip sein. Die Prüfeinrichtung B ist die entsprechende Leseeinrichtung. Das Testobjekt A weist ei¬ ne Speichereinrichtung 1 auf, in der ein privater Schlüssel KP vorgehalten wird. Dieser private Schlüssel KP wird geheim gehalten und ist in keiner Weise durch eine externe Einrichtung auslesbar. In einer weiteren Speichereinrichtung 2 werden die zur Parametrisierung einer elliptischen Kurve E benötigten Parameter gespeichert . Eine Datenverarbeitungseinrichtung 3 führt einen Verschlüsselungsalgorithmus basierend auf dem privaten Schlüssel und einer elliptischen Kurve aus, die durch die Parameter festgelegt wird, welche in der Spei¬ chereinrichtung 2 abgelegt sind. Die Parameter bzw. die elliptische Kurve sind anhand des erfindungsgemäßen Verfahrens, z.B. durch das in Fig. 1 gezeigte Ausführungsbeispiel be- stimmt. Ferner weist das Testobjekt eine Empfangseinrichtung 4 auf, welche eine x-Koordinate eines Punktes empfangen kann. Diese x-Koordinate wird der Datenverarbeitungseinrichtung 3 zugeführt, welche darauf das zuvor festgelegte Verfahren aus¬ führt. Besonders an diesem Verfahren ist, dass dieses nur auf die x-Koordinate angewandt wird und auch nur die x-Koordinate eines Punktes benötigt. Die verarbeitete oder verschlüsselte x-Koordinate wird durch eine Sendeeinrichtung 5 ausgegeben. Das Testobjekt A prüft nicht, ob die übermittelte x- Koordinate eine gültige x-Koordinate sein kann. Das Testob- jekt A prüft nicht, ob diese x-Koordinate einem Punkt P der elliptischen Kurve zugeordnet ist. Die ausgewählten ellipti¬ schen Kurven, welche in der Speichereinrichtung 2 hinterlegt sind, stellen jedoch sicher, dass durch eine solche x- Koordinate kein Ausspähen oder teilweises Ausspähen des privaten Schlüssels möglich ist.
Die Prüfeinrichtung B weist einen Zufallsgenerator 10 auf, der einen beliebigen Punkt PO aus der elliptischen Kurve auswählt. Dieser wird mittels einer Sendeeinrichtung 11 an das Testobjekt A übermittelt. Ferner weist die Prüfeinrichtung B eine Empfangseinrichtung zum Empfangen der verarbeiteten x- Koordinate Q(x) auf. Eine Datenverarbeitungseinrichtung 13 prüft die verarbeitete x-Koordinate anhand eines öffentlichen Schlüssels des Testobjekts A. Der öffentliche Schlüssel kann entweder in der Prüfeinrichtung B hinterlegt sein oder von einer externen Quelle bezogen werden. Entspricht der entschlüsselte Wert der zuvor zufällig generierten x-Koordinate, wird an einer Schnittstelle 14 ausgegeben, dass die Identität des Testobjekts A bestätigt ist.
In Fig. 3 ist hierzu in einem Flussdiagramm noch einmal schematisch der Ablauf einer Identifikation eines Testobjektes A dargestellt. In einem ersten Schritt SlO generiert ein Zu¬ fallsgenerator einen Punkt PO auf der elliptischen Kurve E und übermittelt dessen x-Koordinate als Anfrage an das Test¬ objekt A. Dieses berechnet aus der x-Koordinate mit seinem privaten Schlüssel KP eine Antwort (Sil) . Nachfolgend über- mittelt das Testobjekt die Antwort Q (x) und gegebenenfalls auch seinen öffentlichen Schlüssel KO. Die Antwort wird durch die Prüfstelle B mittels des öffentlichen Schlüssels KO ge¬ prüft (S12) . Bei einer Bestätigung der Antwort wird ein Signal ausgegeben, dass die Person A authentifiziert oder iden- tifiziert ist (S13, S14) .
Nachfolgend sei beispielhaft eine geeignete elliptische Kurve angegeben. Der verwendete endliche Körper K habe die Form Z/pZ, und die Gleichung der elliptischen Kurve E sei durch y2 = x3 + ax + b gegeben. Die entsprechenden Parameter der elliptischen Kurve E sind:
p = 517847993827160675843549642866661055787617496734405781471 a = 38341706974568098172697905376562415410863420236739650958 b = 395393382584534989047698356330422317897630021672687214876
Die Ordnung der elliptischen Kurve ord(E) = 517847993827160675843549642866661055787617496734522943517 und die zur elliptischen Kurve E getwistete elliptische Kurve E' hat ebenfalls eine prime Ordnung ord(E') =
517847993827160675843549642866661055787617496734288619427. Der Basispunkt P = (x,y) ist durch die Koordinaten
x = 81094469663915015430255024705469171085831504304496796756 y = 482060190644397986573077501327725919378173632606557848976
gegeben, liegt auf der elliptischen Kurve E und erzeugt in diesem Fall sogar eine vollständige Punktgruppe. D.h., jeder Punkt der elliptischen Kurve E lässt sich als ein skalares Vielfaches des Basispunktes P darstellen. Ferner haben die Ordnungen der Kurven E und der getwisteten Kurven E' folgenden Wert :
Ord(E) = 1 + 4 • 129461998456790168960887410716665263946904
374183630735879 Ord(E') = 1 + 2 • 258923996913580337921774821433330527893808
748367144309713
Damit sind alle geforderten Eigenschaften für die elliptische Kurve für ein kryptographisches Verfahren erfüllt.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zum Ermitteln einer elliptischen Kurve, für kryptographische Verfahren mit den Schritten:
(a) Bereitstellen einer zu testenden elliptischen Kurve;
(b) Bestimmen der Ordnung einer getwisteten elliptischen Kur- ve, die der zu testenden elliptischen Kurve zugeordnet ist ;
(c) automatisches Prüfen, ob die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist; und
(d) Auswählen der zu testenden elliptischen Kurve als eine elliptische Kurve, die für kryptographische Verfahren ge¬ eignet ist, wenn die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist.
2. Verfahren nach Anspruch 1 dadurch gekennzeichnet, dass die Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve durch Zählen einer Anzahl von Punkten, die auf der getwisteten el- liptischen Kurve liegen, bestimmt wird.
3. Verfahren nach Anspruch 1 dadurch gekennzeichnet, dass die zu testende elliptische Kurve über einem Körper mit einer bekannten Charakteristik definiert wird und das Bestimmen der Ordnung der getwisteten elliptischen Kurve basierend auf einer Bestimmung der Ordnung der elliptischen Kurve und der Charakteristik des Körpers erfolgt.
4. Verfahren nach einem der vorherigen Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass automatisch geprüft wird, ob die Ordnung der zu testenden elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist und dass die zu testende elliptische Kurve für das kryptographische Ver¬ fahren ausgewählt wird, wenn die Ordnung der zu testenden elliptischen Kurve eine starke Primzahl ist.
5. Verfahren zum kryptographischen Verarbeiten von Daten mit den Schritten:
(a) Ermitteln und Bereitstellen einer elliptischen Kurve mittels eines Verfahrens nach einem der vorherigen Ansprü¬ che; (b) Bereitstellen lediglich einer x-Koordinate eines Punktes;
(c) Bereitstellen eines privaten Schlüssels;
(d) automatisches Anwenden eines kryptographischen Verfahrens auf die x-Koordinate unter Verwendung der bereitgestell¬ ten elliptischen Kurve und des privaten Schlüssels zum Bestimmen einer verarbeiteten x-Koordinate;
(e) Ausgeben eines Wertes basierend auf der verarbeiteten x- Koordinate .
6. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass die x-Koordinate von einer Prüfstelle an ein Testobjekt gesendet wird; das Testobjekt den privaten Schlüssel bereitstellt; das Testobjekt die verarbeitete x-Koordinate bestimmt; das Testobjekt die verarbeitete x-Koordinate an die Prüfstelle übermittelt; die Prüfstelle einen öffentlichen Schlüssel des Testobjekts bereitstellt; die Prüfstelle die verarbeitete x-Koordinate mit dem öffent- liehen Schlüssel prüft; und die Prüfstelle eine Bestätigung einer Identität des Testob¬ jekts ausgibt, wenn die Prüfung die Gültigkeit der verarbei¬ teten x-Koordinate ergibt .
7. Vorrichtung zur Identitätsbestätigung einer Person oder eines Objekts, mit einer Empfangseinrichtung, die zum Empfangen einer Koordinate vorgesehen ist, mit einer Speichereinrichtung, die einen privaten Schlüssel der Person oder des Objekts vorhält, mit einer Verarbeitungseinrichtung, die die empfangenen Koordinaten unter Verwendung eines Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 4 mit dem privatem Schlüssel auf der Basis der elliptischen Kurve verarbeitet, und mit einer Ausgabeeinrichtung, die zum Ausgeben der verarbeiteten Koordinate eingerichtet ist.
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