WO2006106713A1 - 最悪値誤差尺度を最小化する信号近似システム - Google Patents

最悪値誤差尺度を最小化する信号近似システム Download PDF

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WO2006106713A1
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approximation
filter
discrete
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Takuro Kida
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Nihon University
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    • H03H17/0267—Filter banks comprising non-recursive filters

Definitions

  • the present invention relates to a signal approximation system, and in particular, minimizes any worst-case error measure simultaneously when a set of signals and a sample point for discretizing an output signal of an analysis filter and an analysis filter are specified.
  • the present invention relates to a discrete signal approximation system.
  • a waveform having a value continuously in time like music or voice is called a continuous signal.
  • the signal in this case has a value with the passage of time, but even a signal having a value according to a continuous change in distance or other quantity is similarly called a continuous signal.
  • Signal processing that is continuously performed on continuous signals is called continuous signal processing.
  • a signal that has a spatially continuous value like an image is also called a continuous signal.
  • signal processing performed on a continuous signal spatially continuously is also referred to as continuous signal processing.
  • a signal that has a value according to changes in one variable such as time or distance is called a one-dimensional continuous signal.
  • a signal that has a value continuously in a space, such as an image is called a multidimensional continuous signal.
  • a sequence of flying time such as a digital clock, or a sequence of flying spatial points, such as a grid
  • a discrete sampling point or simply a sampling point The number defined for each discrete sample point is called a sample value.
  • a series of sample values is called a discrete signal. Again, this is called a one-dimensional discrete signal when discrete sample points are placed on one axis.
  • sample values are placed spatially, it is called a multidimensional discrete signal.
  • the sample value may be a value at a sample point of some continuous signal, or it may simply be a numerical value defined by the sample point.
  • Discrete sample values may be irrational numbers, such as ⁇ , for example, so in general they are not always binary numbers with finite digits. Therefore, for convenience of calculation processing and data compression processing, the processing that rounds or truncates a sample value with a given finite digit binary number is called quantization.
  • quantization There are two signals f and h, and y and z are output signals obtained by inputting one of the signals f and h to the system S, respectively.
  • the system S is called a linear system.
  • a and b are complex constants
  • This system is a linear system.
  • a system that is not linear is called a nonlinear system.
  • doubling the input does not always double the output.
  • Ordinary communication filters, lenses or cameras can be thought of as linear systems.
  • a communication filter is also a nonlinear system if quantization processing is performed. Strictly speaking, lenses and cameras may be nonlinear systems depending on the material characteristics.
  • a signal can be divided into a collection of sine waves having different frequencies.
  • a collection of sine waves with different frequencies forming a signal is called the frequency spectrum or frequency characteristic of the signal.
  • the mathematical transformation that derives the frequency spectrum of the signal itself is called the Fourier transformation.
  • the transformation that performs the reverse operation is called Fourier inverse transformation.
  • the Fourier transform is the inverse of the Fourier transform, and is defined for signals with finite energy. When generalizing the concept of energy, it becomes a quantity called the square of the norm.
  • Hilbert space a signal collective power called Hilbert space that collects signals whose norm squared is finite.
  • There are many conversion formulas defined in the Hilbert space such as Hankel transform used in lens system analysis and wavelet transform used in radar.
  • the sample value of the signal is obtained by sampling at discrete sample points.
  • Discrete data is created by performing post-processing such as quantization on some or all of these sample values.
  • a system for a continuous signal such as a camera, an optical device, an analog filter, or a computer tomography or NMR device is used.
  • a system for a continuous signal such as a camera, an optical device, an analog filter, or a computer tomography or NMR device.
  • the preprocessed signal is sampled at discrete sample points to determine the sample value of the signal.
  • Discrete data is created by performing post-processing such as quantization on these sample values.
  • FIG. 5 shows a circuit called an FIR filter.
  • the input f (t) passes through a lead circuit that advances the signal by unit time ⁇ or a delay circuit that delays the signal by unit time.
  • the result is summed by the adder circuit and becomes the output f (t).
  • the above-described sum limit is determined depending on the number of advance circuits and the number of delay circuits.
  • the advance circuit cannot be realized, the output is delayed by the number of advance circuits. Therefore, in reality, f (t) is input to the leftmost terminal of the circuit of FIG. Therefore, if a signal is processed by the FIR filter, a certain delay must be prepared. This delay is naturally determined by the number of advanced circuits, and if this number becomes large, a larger delay will occur.
  • the delay described above is ignored, and the FIR filter shown in Fig. 5 consisting of a lead circuit and a delay circuit is considered.
  • ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ kn 'exp (— jn co ⁇ )
  • the transfer function of the FIR filter is a Fourier series
  • the transfer function of the FIR filter is a periodic function with a period of 2 ⁇ , where the fundamental period is a frequency range of ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ .
  • the fundamental frequency band is often used. Therefore, the input signal f (t) is also often a band-limited signal whose Fourier spectrum is limited to ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ , or a signal that is approximately band-limited to this band.
  • this condition may not be satisfied if the error associated with the approximation is prepared, but if this condition is significantly different, a large error may be caused accordingly.
  • the FIR filter bank will be described.
  • the FIR filter bank is a system configured as shown in Fig. 6 and made by arranging FIR low-pass filters, band-pass filters, and high-pass filters.
  • the analysis filter and synthesis filter are each FIR filters.
  • the analysis filter may function to divide the input f (t) into narrow frequency band bands called subbands. This may be used to compress the amount of data, such as when saving the amount of data when performing numerical processing on a digital computer. For example, the output signal of each subband is approximately expressed by a given finite decimal number such as a binary decimal, and if the output power of a subband is small over a certain time width, this is approximately The amount of data is compressed by processing such as zero. Since the FIR filter can realize many transfer functions, the transfer functions of observation devices and sensors can be modeled as the analysis filter in Fig. 6.
  • the output that has passed through the analysis filter is a sampling point t periodically arranged at intervals T on the time axis.
  • fm nT
  • m a pass number
  • These sample values are partial information of f (t), and in general, f (t) cannot be uniquely determined. Under certain conditions, these sample value forces 3 ⁇ 4 (t) may be uniquely determined.
  • Such a condition and the regeneration formula from g (t) to f (t) are called sampling theorems. Unless otherwise noted, here it is assumed that f (t) is not determined arbitrarily by the sample force.
  • the FIR filter which is a synthesis filter.
  • the resulting output power of the synthesis filter is finally summed by the adder circuit to obtain the final output g (t).
  • the output g (t) should be as close as possible to the input f (t).
  • the input f (t) is only If one is known, f (t) can be prepared in advance as g (t) until such a complicated approximation is performed. Of course, the approximation error is
  • N m N and N
  • Emax (t) a measure of the upper limit error.
  • the upper limit error scale Emax (t) is determined at each time point t. It is justified.
  • FIG. 7 is a diagram of candidates for the optimum approximate expression and other approximate expressions.
  • the upper side of Fig. 7 corresponds to the optimal approximate expression.
  • the lower side is another approximation for comparison.
  • the approximate equations are g (t) and y (t)
  • the sample values are all zero, so the other approximation may be zero.
  • the pre-processing circuit is a linear conversion circuit with a solid f.
  • A is an MXN matrix.
  • M elements of be the output of the sample circuit.
  • B is an NXM matrix.
  • the problem of “determining a practical signal set that satisfies the above-mentioned two conditions and the optimal approximate expression at that time” can be considered.
  • the source signal h (t) applied to a filter having a given positive transfer function (W (co) is defined as f (t)
  • its Fourier spectrum is defined as F (co).
  • F (co) satisfies the inequality shown in Fig. 10.
  • a set of signals f (t) having F (co) that satisfies these constraints is a signal set S.
  • the function W (co) is called a weight function, and an example thereof is shown in FIG.
  • W (co) is a rapid air flow in the lungs
  • the square root of W (co) is the vocal tract function of the throat
  • f (t) is the voice that actually locates, the voice itself
  • the signal approximation assumes a set as a set of signals f (t).
  • co c in FIG. 11 corresponds to an approximate audio cutoff frequency, for example, 4 kHz.
  • the approximate expression uses a composite filter ⁇ , ⁇ ( ⁇ ) with a different function form for each sampling point.
  • n is the sample point number. It differs from the circuit in Fig. 6 in that the filter is different for each sample point.
  • the optimal ⁇ , ⁇ ( ⁇ ) is band limited to the range of ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ . In many cases, it is the sampling period of the original signal, which is 1 / M of the sampling point period. If this is not met, the approximation may not break theoretically in some cases, but errors may increase.
  • the impulse response ⁇ m, n (t) of the synthesis filter ⁇ m, n (co) has an infinite length. Therefore, in practice, it is used after being cut off with a finite fixed time width. Therefore, this approximation is an approximation within the time width.
  • ⁇ ⁇ , ⁇ ) is time limited by the time width, so when performing discrete approximation, ⁇ , ⁇ can be realized as a FIR filter with a finite tap. At this time, a measure of approximation error
  • a specific method for obtaining the optimum ⁇ m, n (t) is as follows. First, the absolute value of the complex function included in the integral content of the above-mentioned upper limit error scale is rewritten and expanded as the product of the complex function and its conjugate complex function, and arranged for ⁇ ⁇ , ⁇ . The terms concerning are all unrelated to ⁇ , so they all go out of the integral with respect to ⁇ . Therefore, it can be easily differentiated with respect to m, n (t). If the above error measure is differentiated with respect to all m, n (t) in this way and set to 0, the result obtained is a simultaneous linear equation.
  • the terms other than ⁇ m, n (t) in the simultaneous linear equations are the product of W ( ⁇ ) Hm ( ⁇ ) ⁇ W ( ⁇ ) Hm ( ⁇ ) and the complex conjugate of Hm ( ⁇ ). It is proportional to the inverse transformation (or its value at a specific time). Therefore, a high-speed calculation method of inverse Fourier transform such as FFT can be used. Solving these simultaneous linear equations yields the optimal ⁇ ⁇ , ⁇ . Although the detailed explanation is omitted, the coefficient matrix of the simultaneous equations is a constant matrix at this time, and once it is calculated, it is only necessary to memorize the numerical value and to perform recalculation every time t. The point is not important. Also, once someone computes ⁇ ⁇ , n (t) itself, other people need only use that number.
  • the above first example is a result when a finite number of sample points are fixed.
  • the approximation for the normal filter bank shown in Fig. 6 using FIR filters will be described.
  • the signal set in this case must correspond to the case where the frequency band in FIGS. 10 and 11 is expanded to one (T + M) ⁇ ( ⁇ + ⁇ ) ⁇ .
  • FIG. 12 The case of discrete signal approximation corresponding to the second example above is shown in FIG. 12, taking a two-pass filter bank as an example.
  • the so-called aliasing phenomenon occurs as a result of the input signal being sampled at interval T after passing through the analysis filter, and as shown in FIG. 12, immediately after the sampling point ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ at the midpoint of the filter bank. Then, spectrum overlap occurs.
  • simultaneous linear equations with F (co) and F (co – ⁇ ) as variables are established. Obedience
  • F (co ⁇ F (co — ⁇ ) is obtained from the overlapped spectra obtained by the sample ⁇ at the midpoint of the filter bank.
  • the determinant of the coefficient matrix needs to be non-zero. This is called the condition of analysis filter independence. The same applies when the number of passes is 2 and the force is 3 passes or more.
  • the input of the digital multiplex communication apparatus is a sample value in the middle of the left filter bank, and is naturally a (functional) function with f (t). Further, the output of the digital multiplex communication apparatus is the rightmost sample value in FIG. 13, and is naturally the same (functional) g (t). Since the argument is of course linear, the input / output difference for each channel of the multiplex communication device is eventually a functional of f (t) g (t). Now, in the case of the second example above, this approximation is
  • the input / output time increment of the multiplex communication device is T.
  • the analysis filter can be set sufficiently wide as long as the independence assumption is satisfied, and its calculation software is of the order of FFT or linear calculation. Therefore, for example, even if the transmission characteristics of a line change at the time of a disaster, the changed line characteristics are considered as an analysis filter, and a simple calculation can be used to find an optimal synthesis filter and respond flexibly to the situation. it can.
  • the digital multiplex communication apparatus using this approximation is the circuit on the right side of FIG. 13, and therefore the circuit on the right end is a filter used as an analysis filter as a filter bank.
  • the middle circuit of FIG. 13 corresponds to an input circuit as the digital multiplex communication apparatus, and this corresponds to a synthesis filter in the filter bank.
  • the optimum design of the digital multiplex communication apparatus is to provide a large number of reception filters on the user side (filters corresponding to analysis filters in the filter bank) and transmit filters on the broadcast station side (filters). In this sense, even if the transmission characteristics of the line change during a disaster, etc., the changed line characteristics are considered as an analysis filter and can be simplified. It is suitable for the purpose of flexibly responding to the situation by finding an optimal synthesis filter by calculation.
  • Non-Patent Document 1 The inventor has proposed an approximation method for interpolating a multidimensional signal in Non-Patent Document 1.
  • the input signal passes through a linear preprocessing filter and then sampled at discrete sampling points.
  • the input signal is approximately estimated from the obtained sample value.
  • the error between the input signal and the reproduced approximation signal is minimal on various error measures.
  • non-patent documents 2 and 3 the present inventor proposed an optimum discrete approximation method for a band-limited signal.
  • Non-Patent Document 4 proposed an optimal interpolation method using a filter bank.
  • Non-Patent Documents 5, 6, 7, and 9 proposed an optimal approximate reproduction method for multidimensional signals.
  • Non-Patent Documents 8, 10, and 11 proposed an interpolation evaluation method for multidimensional orthogonal expansion functions.
  • Non-Patent Documents 12, 13, and 14 proposed an optimal linear interpolation approximation method.
  • Non-patent literature 1 Takuro Kida: fheory of Generalized Interpolation Approximation of Multi-Dimensional Signals ", Journal of Signal processing, Vol.6, No.l, pp.3- 8, January 2002, No.2, pp.71-77, March 2002, No.3, pp.137-141, May 2002.
  • Non-Patent Document 2 Y. Kida and T. Kida, 1'he Optimum Discrete Approximation of Band -Limited Signals without Necessity of Combining the Set of the Corresponding Appr oximation Errors, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E85, No.3, pp.610— 639, March 2002.
  • Non-Patent Document 3 Y. Kida and T. Kida, 1'he Optimum Discrete Approximation of Band -Limited Signals with an Application to Signal Processing on Internet, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E82— A, No.8, pp. 1592— 1607, Aug. 1999.
  • Non-Patent Document 4 T. Kida and Y. Kida, "Consideration on the Optimum Interpolation an d Design of Linear Phase Filterbanks with High Attenuation in Stop Bands," IEICE Trans. Fundamentals, V0I.E8I— A, No.2, pp .275— 287, Feb. 1998.
  • Non-Patent Document 5 T. Kida and Y. Zhou, "The Optimum Approximate Restoration of Mul ti— Dimensional signals Using the Prescribed Analysis or Synthesis Filter Bank," IEI CE Trans. Fundamentals, Vol.E79—A, No.6, pp.845—863, June 1996.
  • Non-Patent Document 6 T. Kida, "The Optimum Approximation of Multi-Dimensional Signals Based on the Quantized Sample Values of Transformed Signals," IEICE Trans. Fund amentals, Vol.E78—A, No.2, pp.208—234 , Feb. 1995.
  • Non-Patent Document 7 T. Kida, "On Restoration and Approximation of Multi-Dimensional Signals Using Sample Values of Transformed Signals," IEICb i rans. Fundamentals, Vo 1.E77-A, No.7, pp.1095- 1116 , July 1994.
  • Non-Patent Document 8 T. Kida, S. Sa- Nguankotchakorn, K. Jenkins, Interpolatory Estimatio n of Multi-Dimensional Orthogonal Expansions with Stochastic Coefficients, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E77— A, No.5, pp.900 — 916, May 1994.
  • Non-Patent Document 9 T. Kida, 1'he Optimum Approximation of Multi-Dimensional Signals Using Parallel Wavelet Filter Banks, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E76— A, No. l 0, pp. 1830— 1848, Oct. 1993 .
  • Non-Patent Document 10 T. Kida, S. Sa- Nguankotchakorn, "Generalized Optimum Interpolatery Estimation of Multi-Dimensional Orthogonal Expansions with Stochastic Coefficie nts," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E75—A, No.12, pp. 1793— 1804, Dec. 1992.
  • Non-Patent Document 11 T. Kida, H. Mochizuki, Generalized Interpolatory Approximation of Multi-Dimensional Signals Having the Minimum Measure of Errors, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E75— A, No.7 , pp.794—805, July 1992.
  • Non-Patent Document 12 Takuro Kida, Hiroshi Mochizuki: “Unified Consideration on Optimality of Linear Interpolation Approximation”, IEICE Transactions A, Vol.J75-A, ⁇ .10, pp.1556-1568. 1992 October.
  • Non-Patent Document 13 Takuro Kida, Somsak's Saguancott Chiakorn: “Study on generating function and optimal interpolation function that minimizes various scales in sampling theorem”, IEICE Transactions A, Vol.J74-A, No.8, pp.1332- 1345. August 1991.
  • Non-Patent Document 14 Takuro Kida, Hideaki Yoshioka Leopold, Sadayoshi Takahashi, Hajime Kaneda: “Extended Interpolation Theory of Multidimensional Waveforms”, IEICE Transactions A, Vol.J74-A, No.6, pp.829 -839. June 1991.
  • Non-Patent Document 15 Yuichi Kida and Takuro Kida: "Theory of the optimum approximatio n of vector-signals with some applications, "The 2004 IEEE International Midwest Symposium on Circuits and Systems (MWSCAS 2004). July 2004.
  • the conventional discrete signal approximation system has a problem that an approximate expression cannot be obtained when the analysis filter is nonlinear. At first glance, it may be necessary to simply perform the inverse transformation of the non-linear transformation before the synthesis filter and then execute the usual filter bank synthesis means. But,
  • v (mT) a. ⁇ y (mT) ⁇ 2 + b. y (mT)
  • the original signal is still unknown in the approximation problem targeted here. . If the original signal is known, the original signal itself can be used without approximation, which becomes a trivial problem. Since the original signal is unknown, it is not possible to decide which of these many approximations to use. In other words, a means that simply performs inverse transformation of nonlinear transformation before the synthesis filter and then executes normal filter bank synthesis means is meaningless in this sense.
  • An object of the present invention is to solve the above-described conventional problems so that an approximate expression can be obtained when an analysis filter of a discrete signal approximation system is nonlinear.
  • the discrete signal approximation system uses a signal equivalent to a signal derived by a spectral force inverse transformation whose norm is equal to or less than a predetermined value as an original signal, and converts the original signal to A plurality of analysis filters that output a signal expressed by a polynomial of the signal converted by the unit filter, and a sampling means that samples the output signal of the analysis filter at a sampling interval of a fixed interval to obtain a discrete signal;
  • An operation method for obtaining an interpolation function based on the characteristics of a multidimensional linear filter that outputs a signal expressed by a multidimensional function corresponding to a polynomial, and an interpolation function using a discrete signal as a coefficient at each sample timing By combining linearly, a plurality of synthesis filters that generate a first approximation function that is an approximation of the power function of the original signal, and a root of the first approximation function are obtained, and
  • the configuration as described above enables even when the analysis filter is nonlinear, An optimum approximate expression of the original signal can be obtained.
  • the embodiment of the present invention outputs a signal expressed by a polynomial of a signal obtained by converting an original signal having a norm equal to or less than a predetermined value by a unit filter by a plurality of analysis filters configured by FIR filters.
  • the output signal of the analysis filter is sampled at regular intervals to obtain a discrete signal, and an interpolation function is obtained based on the characteristics of the multidimensional linear filter that outputs the signal expressed by the multidimensional function corresponding to the polynomial.
  • Multiple synthesis filters composed of filters generate a first approximation function that is a power function of the original signal by linearly combining the interpolation functions using discrete signals as coefficients. This is a signal approximation system that obtains the approximate function of the original signal by obtaining the second approximation function for each sampling time and finding the second root function and combining it.
  • FIG. 1 is a conceptual diagram showing a configuration of a discrete signal approximation system in an embodiment of the present invention.
  • an original signal 1 is an unknown signal to be approximated, and is a signal equivalent to a signal derived by inverse spectral force conversion whose norm is a predetermined value or less.
  • Analysis FIR filter 2 is a filter constructed by combining a unit filter composed of FIR filters with a multiplier circuit and an adder circuit, and is represented by a polynomial of a signal obtained by converting the original signal with the unit filter.
  • Output a signal.
  • Sampling means 3 is a means for sampling the output of the analysis filter at regular intervals.
  • the interpolation function generating means 4 is an operation for obtaining an interpolation function based on the characteristics of a multidimensional linear filter that outputs a signal expressed by a multidimensional function corresponding to a polynomial expressing the characteristics of the analysis FIR filter 2.
  • the interpolation function storage means 5 is a memory for storing the generated interpolation function.
  • the approximate expression generating means 6 is an FIR filter that generates a first approximate function that is a power function of the original signal by linearly combining interpolation functions using discrete signals as coefficients.
  • the root calculation means 7 is a means for determining the root of the first approximation function and determining the second approximation function for each sampling time.
  • the synthesizing means 8 is a means for obtaining an approximate function of the original signal by synthesizing all the second approximate functions.
  • the approximate function 9 is an approximate function of the original signal.
  • FIG. 2 is a flowchart showing the operation procedure of the discrete signal approximation system.
  • Figure 3 is an equivalent circuit diagram of the analysis filter of the discrete signal approximation system.
  • Figure 4 is an equivalent circuit diagram of the multidimensional analysis filter of the discrete signal approximation system.
  • the signal equivalent to the signal derived from the inverse spectral force inverse whose norm is less than the predetermined value is defined as the original signal 1.
  • the original signal 1 is converted by the analysis filter 2 combined with the unit filter composed of the FIR filter.
  • a plurality of analysis filters 2 configured by combining a unit filter with a multiplication circuit and an addition circuit output a signal expressed by a polynomial of a signal obtained by converting the original signal with the unit filter.
  • the output signal of the analysis filter 2 is sampled by the sampling means 3 at a sampling interval of a constant interval (T) to obtain a discrete signal.
  • a multidimensional linear filter corresponding to the FIR filter 2 is assumed.
  • This virtual multidimensional linear filter outputs a signal expressed by a multidimensional function corresponding to a polynomial expressing the characteristics of the analytic FIR filter 2.
  • the interpolation function generation means 4 obtains the interpolation function.
  • the generated interpolation function is stored in the interpolation function storage means 5.
  • the interpolation function is linearly combined by the synthesis filter approximation formula 6 consisting of multiple FIR filters using the discrete signal as a coefficient, and the first approximation function of the power of the original signal is obtained.
  • the root calculation means 7 obtains the root of the first approximation function, and obtains the second approximation function for each sampling timing.
  • the approximate function for each sampling timing is synthesized by the synthesis means 8 to obtain the approximate function 9 of the original signal.
  • An unknown original signal whose norm is less than or equal to a predetermined value is input. It is composed of FIR filters and outputs a signal expressed by a polynomial of a signal obtained by converting the original signal with a unit filter by a plurality of analysis filters. The output signal of the analysis filter is sampled at regular intervals to obtain a discrete signal. Based on the characteristics of the multidimensional linear filter that outputs the signal expressed by the multidimensional function corresponding to the polynomial, a brute force interpolation function is obtained. Multiple synthesis filters composed of FIR filters generate a first approximation function that is a power function of the original signal by linearly combining the interpolation functions using discrete signals as coefficients. Find the root of the first approximation function, Find the second approximation function for each sample timing. This is combined with the second approximation function for all sampling timings to obtain the approximate function of the original signal.
  • f (t) is input simultaneously to an ideal low-pass filter and high-pass filter, and the output signal
  • the filter group that divides the frequency band of the signal into small bands that allow overlapping bands is called an analysis filter bank.
  • the characteristics are arbitrary if certain independence is satisfied, but the characteristics are assumed to be known.
  • m (t) and m (t) are called (extended) interpolation functions. In this example, it is included in f (t).
  • the interpolation function refers to collocation orthogonality.
  • the sample value is zero.
  • the error signal e (t) also belongs to the signal set S. If the set of approximation errors e (t) is S, then
  • ⁇ is an arbitrary positive operator or functional.
  • the signal set for selecting f (t) is S
  • ⁇ may be the upper limit of the absolute value such as square error or differentiation or integration! /.
  • the linear processing X excluding the disturbance can be mathematically defined for the signal force.
  • b ⁇ cos (t) ⁇ is a disturbance
  • the optimal interpolation function is obtained by subtracting the error measure for the absolute error, which is the simplest form of
  • This method can be extended to multidimensional signals and multidimensional vector signals. For example, instead of f (t), a similar optimal approximation can be constructed for a two-variable signal f (x, y). Naturally, this approximation is
  • the signal is expanded to a two-variable signal with variable separation, and the source signal
  • the frequency variable V is a frequency variable corresponding to the variable y.
  • the output signal of the linear filter H (u) H (V) obtained at this time is still a variable separation type.
  • the interpolation function has a collocation orthogonality.
  • H (u, v) H (u) H (v) + H (u) H (v) + H (u) H (v)
  • H (u, v) H (u) H (v) + 2H (u) H (v) — 3H (u) H (v)
  • U is an ideal low-pass filter and high-pass filter assumed in the above example. [0087] At this time, the signal is sent to such a two-dimensional filter bank.
  • f (x, y) f (x) [a ⁇ m (y) + m (y) ⁇ + bf (y)]
  • This two-dimensional filter bank is only given as an example, and any linear sum of variable separation type filters may be used, but the function form is assumed to be known.
  • the sample values f (0,0) and f (0,0) are used.
  • ⁇ g (x, x) / b ⁇ 1/2 is a complex mix of sample values at different sampling points, typically for output that f (x) has passed through different filters. It is an answer to a very complex problem that approximates the value of f (x) at equally spaced discrete points ( ⁇ / 2 + 2 ⁇ ⁇ ) using sample values that have undergone a form of nonlinear transformation. ing.
  • FIG. f (t) is an unknown signal to be approximated.
  • the equivalent circuit of the analysis filter has LPF, HPF, multiplication circuit, and addition circuit power.
  • the signal observed through the analysis filter is
  • f (t) is the LPF output signal of f (t)
  • f (t) is the HPF output signal of f (t).
  • Linear filters such as HPF and HPF are called unit filters.
  • An analysis filter that outputs a quadratic expression of an output signal obtained by passing an input signal through a unit filter is called a filter having a second-order polynomial characteristic or a second-order characteristic filter. Since approximation cannot be performed directly from a quadratic polynomial, an approximation function is calculated using an expression converted to a two-dimensional expression.
  • an unknown signal f (x) f (y) in the xy space is input to a linear analysis filter, and a two-dimensional output signal is obtained.
  • g (x, y) F (O) g (x, y) + F (O) g (x, y)
  • the interpolation function can be obtained as follows, for example. M (x) m (y), m (x) m (y), m (x) m (y) by combining m (t) and m (t), which are interpolation functions corresponding to LPF and HPF , M (x) m (y), m (x) m (y) by combining m (t) and m (t), which are interpolation functions corresponding to LPF and HPF , M (x) m (y), m (x) m (y) by combining m (t) and m (t), which are interpolation functions corresponding to LPF and HPF , M (
  • the interpolation function is as follows.
  • g (x, x) is an approximate expression of f (x).
  • the sign of g (x, x) can be determined by measuring the sign of f (0).
  • the interpolation function at each sample timing can be obtained.
  • the linear combination of the interpolation function is obtained, and the approximate expression of the cube of the original signal is obtained. If the cubic root of this approximate expression is obtained, an approximate expression of the original signal can be obtained.
  • Each approximation formula obtained at each sample timing of a fixed interval is synthesized using a standard interpolation function. In this way, the optimum approximate expression can be obtained even with a nonlinear signal represented by a polynomial expression.
  • the three-variable Fourier transform of this function can be expressed as:
  • PT (U, V, W) and F ⁇ (u, v, w) are row vector and column vector respectively.
  • F ⁇ (u, v, w) (F (u) F (v) F (w), F (u) F (v), F (u), ⁇
  • the vector F ⁇ (u, v, w) defined above is called the spectrum vector of the input signal.
  • Vector ⁇ ( ⁇ , ⁇ , ⁇ ) (1 / 2 ⁇ ) ⁇ _ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ "F uvw) derived from the spectrum vector F ⁇ (u, v, w) of the input signal using inverse Fourier transform
  • ⁇ ⁇ [ ⁇ , ⁇ , 1, ⁇ ]
  • F ⁇ ⁇ (u, v, w) [F— (u) F— (v) F— (w), F— (u) F— (v), F— (u), 1]
  • the matrix W (u, v, w) is defined by the following equation.
  • Non-Patent Document 15 the calculation for deriving the optimum approximate expression g ( X , X , x) does not need to perform a nonlinear operation just by solving the linear simultaneous equations. Although shown here as an example, this method is sufficiently general that the sample value is
  • the signal approximation system is a plurality of analysis filters configured by FIR filters, and the original signal whose norm is a predetermined value or less is converted by the unit filter. Outputs the signal expressed by the polynomial of the signal, samples the output signal of the analysis filter at regular time intervals to make a discrete signal, and combines the discrete signal with multiple synthesis filters composed of FIR filters. Since the approximate function of the original signal is generated by linear combination of the interpolation function as follows, the optimal approximate expression of the original signal can be obtained even when the analysis filter is nonlinear.
  • the discrete signal approximation system of the present invention is optimal as a broadcasting / communication system in which it is important to efficiently transmit and communicate audio and image signals with as little distortion as possible.
  • Computer tomography that restores three-dimensional signals from observation signals with little error, such as medical electronics, remote sensing using SAR radar, ground penetrating radar, etc., and signal processing of protein forms in bioinformatics It can be applied to many fields such as prayer. By changing the parameters, it can be applied to many discrete signal processors that minimize the upper limit error measure in a wide range. It contributes to the development and performance improvement of many types of equipment such as radar, sonar, missile tracking, medical signal processing equipment, and DNA analysis equipment.
  • FIG. 1 is a conceptual diagram of a discrete signal approximation system in an embodiment of the present invention
  • FIG. 2 is a flowchart showing the operation procedure of the discrete signal approximation system in the embodiment of the present invention.
  • FIG. 3 is an equivalent circuit diagram of the analysis filter of the discrete signal approximation system in the embodiment of the present invention.
  • FIG. 4 Multidimensional analysis filter of the discrete signal approximation system in the embodiment of the present invention. Circuit diagram
  • FIG. 10 An explanatory diagram of the spectrum F ( ⁇ ) of the signal f (t),
  • FIG. 11 Diagram showing examples of weight functions.
  • FIG. 13 is an explanatory diagram of a digital multiplex communication apparatus.

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Abstract

　離散信号近似システムにおいて、解析フィルタの特性が非線形であっても、最適な近似式を求めることを目的とする。ノルムが所定値以下である信号を原信号１とする。FIRフィルタで構成されている複数の解析フィルタ２、原信号１を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力する。多項式を多次元関数に変換したフィルタ特性に基づいて、内挿関数を求める。解析フィルタ２の出力信号を一定時間ごとに標本化して離散信号とする。この離散信号を係数として、内挿関数を線形結合して、原信号の冪乗関数の近似関数を求める。この冪根を計算して、原信号の近似関数を求める。標本化タイミングごとの近似関数を合成して、全体の近似関数を求める。

Description

明 細 書
最悪値誤差尺度を最小化する信号近似システム
技術分野
[0001] 本発明は、信号近似システムに関し、特に、信号の集合と解析フィルタ及び解析フ ィルタの出力信号を離散化する標本点が指定されたとき、いかなる最悪値誤差尺度 をも同時に最小化する離散信号近似システムに関する。
背景技術
[0002] 音楽や音声のように、時間的に連続して値を有する波形を連続信号という。この場 合の信号は、時間の経過と共に値をもつが、距離やその他の量の連続的な変化に 応じて値をもつ信号であっても、同様に連続信号という。また、連続信号に対して連 続的に行われる信号処理を、連続信号処理という。同様に、画像のように、空間的に 連続して値をもつ信号も、連続信号という。また、連続信号に対して空間的に連続し て行われる信号処理も、同様に連続信号処理という。時間や距離などの一変数の変 化に応じて値をもつ信号を、一次元連続信号という。画像などのように、空間的に連 続して値をもつ信号を、多次元連続信号という。
[0003] 一方、ディジタル時計のように、飛び飛びの時間の系列や、碁盤の目のような、飛 び飛びの空間的な点の系列を、離散的な標本点または簡単に標本点という。離散的 な個々の標本点に対して一個ずつ定義された数を、標本値という。標本値の系列を 離散信号という。この場合も、離散的な標本点が一つの軸上に置かれているとき、一 次元離散信号という。標本値が空間的に置かれているとき、多次元離散信号という。 標本値は、何らかの連続信号の標本点における値である場合もあるし、単に、標本 点で定義された数値である場合もある。とくに、離散的な標本点における連続信号の 標本値を求める操作を、または離散信号における離散的な標本点における一部また は全部の標本値を求める操作を、標本化という。離散的な標本値は、例えば πなど のように、無理数となる場合もあるから、一般には、有限桁の 2進数となるとは限らな い。そこで、計算処理の便宜やデータの圧縮処理のため、与えられた有限桁の 2進 数で標本値を近似的に丸めたり打ち切ったりしてしまう処理を、量子化という。 [0004] 2個の信号 fと hがあり、信号 fと信号 hの一方を、それぞれシステム Sに入力して得ら れる出力信号を yと zとする。すなわち、 y=S(f)、 z = S(h)とする。このとき、信号 fと信 号 hの和 (f+h)を、そのシステムに入力して得られる出力信号が、常に個々の出力信 号 yと出力信号 zの和 (y+z)になるときに、すなわち、
S(f+h) = (y+z)
= S(1)+S(h)
となるとき、そのシステム Sを線形システムという。一般には、 aと bとを複素定数とする とき、
S(af+bh) = (ay+bz)
= aS(l) + bS(h)
となるシステムを線形なシステムと 、う。線形でな 、システムを非線形システムと 、う。 非線形システムでは、入力を 2倍しても出力は 2倍されるとは限らない。通常の通信 用フィルタやレンズあるいはカメラは、線形システムと考えて良い。しかし、例えば通 信用フィルタも、量子化処理を行えば非線形システムである。レンズやカメラも、材料 の特性によっては、厳密には非線形システムとなることがある。
[0005] 信号は、周波数の異なる正弦波の集まりに分割出来る場合が多い。信号を形成し ている、周波数の異なる正弦波の集まりを、信号の周波数スペクトルまたは周波数特 性という。このとき、信号自身力 信号の周波数スペクトルを導く数学的な変換を、フ 一リエ変換という。逆の操作をする変換を、フーリエ逆変換という。フーリエ変換ゃフ 一リエ逆変換は、エネルギーが有限な信号に対して定義される。エネルギーの概念 を一般化すると、ノルムの 2乗と呼ばれる量になる。ノルムの 2乗が有限であるような信 号を集めたヒルベルト空間という信号集合力 数学の世界で知られている。ヒルベルト 空間において定義される変換式としては、例えばレンズ系の解析で用いられるハンケ ル変換や、レーダなどに用いられるウェーブレット変換など、多数ある。ヒルベルト空 間においても信号とそのスペクトルを定義することは出来る力 その場合には信号を 変換してスペクトルを与える式とその逆とが同時に成り立つとは限らない。例えば、ス ベクトルがまず定義されて、スペクトルの逆変換により信号が定義されると!/、う場合も ある。 [0006] 現在の工業分野や医療分野における各種のシステムを良く観察すると、その内部 に、以下のような信号推定や処理を行う装置を含んで！/、る場合が多 ヽ。
(1)一つあるいは並列に分割された数個の与えられた線形システムまたは非線形シ ステムを通して、未知の外部信号を取得すると！ヽぅ前処理を行う。
(2)このような前処理を行った信号に関して、離散的な標本点において標本ィ匕して、 信号の標本値を求める。それらの標本値の一部または全部に量子化などの後処理 を行って、離散的なデータを作成する。
(3)この離散的なデータに対して、何らかの信号処理を行い、未知の外部信号を推 定する。
[0007] このとき、 (1)に述べた未知の信号を取得するシステムとしては、カメラや光学装置 、アナログフィルタ、コンピュータトモグラフィゃ NMR装置のように、連続信号を対象と するシステムが使われる場合もある。ディジタル信号処理システムや時分割通信シス テムなどで用いられる離散フィルタのように、信号を離散化して前処理するシステムも ある。
[0008] し力し、何れの場合においても、近年の LSI技術の急速な進歩に伴って、処理の大 部分は、離散的な信号処理であることが多い。このため、これらの装置は、上述したよ うな信号処理システムとなる場合が多い。すなわち、前処理を行って得られた信号が 、連続信号であるか離散信号である力を問わず、それらの信号に対して標本値を求 めて離散的なデータを作成する。それらの離散的なデータに基づいて、離散的な信 号処理を行って、未知信号を近似的に推定することが多い。そのとき、離散的なデー タのすべてを用いる装置も離散的なデータの一部を用いる装置もある。最終的な推 定信号そのものが離散信号であることもあるし、未知信号を近似的に推定して得られ た離散信号を内挿処理によって連続信号に直して最終的な推定信号とすることもあ る。
[0009] 離散的なデータの個数と標本点の間隔は、直ちに後処理に要する計算量に関係 する。実際、近年重要性が益々増大してきた自然画像や医用画像の処理、あるいは SARレーダやロボットの眼などのイメージ処理のように、多次元信号の処理を内部に 含むシステムでは、信号の推定精度を上げるため、標本点の間隔を狭くすると、たち まち処理に必要な標本点の個数が増大し、高価な高速 LSIを多数必要とすることに なる。このため、データ作成時に標本値の間引きを行い、間引かれた標本値の間の 入力信号の値を近似的に復元する内挿処理、あるいは標本点が存在する領域の外 側の入力信号の値を予測する外揷処理によって、入力信号を近似的に復元すること が行われている。ここに、信号の内挿近似ゃ外揷近似に伴う近似誤差の最小化とい う問題が生ずることになる。
[0010] 標本値を線形処理して原信号を近似する方法を説明する。ヒルベルト空間におけ る重み付きノルムカ 与えられた正数より小であるような関数またはベクトル関数を考 える。これらをスペクトルと呼ぶことにする。簡単に言えば、エネルギーがある値以下 のスペクトルを対象とするのであって、これは実用上妥当な設定である。このスぺタト ルから、積和や積分あるいはそれらの一般ィ匕である線形変換である逆変換により導 かれる連続または離散信号を、近似処理の対象信号とする。このような信号が外部の 未知信号として与えられ、以下の一連の処理を実行することを想定する。
[0011] (1)前処理システムを通して、未知の外部信号を取得する。
(2)前処理を行った信号に関して、離散的な標本点において標本ィ匕して、信号の標 本値を求める。それらの標本値に量子化などの後処理を行って、離散的なデータを 作成する。
(3)この離散的なデータに対して何らかの信号処理を行い、未知の外部信号を推定 する。
[0012] (3)の処理として、個々の標本値に係数に相当する関数を掛けてその全体または 一部を総和するという近似式を用いる。個々の標本値に掛けられる関数を内挿関数 と言う。近似結果と原信号との誤差に関する多くの種類の関数を考え、原信号全体 に亘るそれらの上限を、誤差の尺度として採用する。誤差の尺度は、絶対値の誤差 尺度、 2乗面積の誤差尺度など、多種類である。
[0013] 一次元信号を対象とし、線形システムによる前処理を行う場合について、概要を説 明する。先ず、 FIRフィルタについて説明する。図 5は、 FIRフィルタと呼ばれる回路で ある。図 5に示すように、入力 f(t)は、信号を単位時間 τずつ進ませる進み回路、ある いは信号を単位時間てずつ遅らせる遅延回路を通過する。その後、複素数の係数 k n (n=— N,— N + 1, · · · ,N)が乗算される。さらに、その結果は、加算回路によって総 和され、出力 f (t)となる。
[0014] ここで、進み回路の個数と遅延回路の個数に依存して、上述の総和の限界が決定 される。実際には、進み回路の実現は不可能なので、進み回路の個数だけ出力を遅 延させる。従って、現実には、 f(t)は、図 5の回路の一番左端の端子に入力される。こ のため、 FIRフィルタによって信号処理をすれば、ある遅れを覚悟しなければならない 。この遅れは、当然進み回路の個数で決まり、この個数が大となれば、それだけ大き な遅れが生じる。ここでは、上述した遅れのことは一応無視して、進み回路と遅延回 路からなる図 5に示す FIRフィルタを考える。
[0015] 信号を単位時間てだけ遅らせる単位遅延回路に着目する。この回路に信号
f(t) = exp(j ω t) (jは虚数単位）
を入力したとする。このとき当然、出力は単位時間てだけ遅れて、次のようになる。
f(t—て)
= expu o (t— τノ}
= exp、一 j o τ ) · exp(j ω t)
= exp(— j ω τ *f(t)
つまり、複素正弦波 f(t)は exp (— j co τ )倍されることになる。このことは、単位遅延回路 の（角）周波数領域での伝送関数が exp (— j co τ )に他ならないことを示している。よつ て、信号を t = n τだけ遅延させる回路の伝送関数は exp (— jn co τ )である。この事実 から直ちに、図 5の FIRフィルタの伝送関数は、
Η、ω )=∑ kn' exp (— jn co τ )
になることがわかる。
[0016] 従って、 FIRフィルタの伝送関数は、複素形式のフーリエ級数となる。複素形式のフ 一リエ級数は、実用的な範囲であれば、総和の限界 Nを増加させ、係数 kn (n=— N, — Ν+ 1, · · · ,Ν)をうまく選べば、 πぐ ω τ < πの周波数帯域のほとんど全ての関 数を、十分な精度で近似できる。従って、 FIRフィルタのタップ数と係数を選んで、 π < ω τ < πの周波数帯域で、それぞれ低域通過型の伝送特性をもたせたり、帯 域通過型の伝送特性をもたせたりすることが可能である。 [0017] FIRフィルタの伝送関数がフーリエ級数となるので、 FIRフィルタの伝送関数は、 πぐ ω τぐ πの周波数範囲を基本周期とする、周期 2 πの周期関数となる。ディジタ ル信号処理では、基本周期の周波数帯域を主として用いることが多い。そのため、入 力信号 f(t)も、 πぐ ω τぐ πにフーリエスペクトルが限定された帯域制限信号か、 あるいは近似的にこの帯域に帯域制限された信号とすることが多い。しかし、近似に 伴う誤差を覚悟すればこの条件は満たされなくてもよいが、この条件を大幅に違える とそれに応じて大きな誤差を生じることもある。
[0018] FIRフィルタバンクについて説明する。 FIRフィルタバンクは、 FIR低域通過フィルタ や帯域通過フィルタや高域通過フィルタを並べて作った、図 6のような構成のシステ ムのことである。解析フィルタと合成フィルタは、それぞれ FIRフィルタである。解析フィ ルタは、入力 f(t)を、サブバンドと呼ばれる狭い周波数領域の帯域に分割する働きを する場合がある。これは、ディジタル計算機で数値処理するときのデータの量を節約 する場合などのように、データ量を圧縮するためなどに使われることがある。例えば、 各サブバンドの出力信号を、 2進小数などの与えられた有限の桁の小数で近似的に 表現し、あるサブバンドの出力力 ある時間幅に亘つて小さければ、これを近似的に 0とするなどの処理でデータ量の圧縮をするのである。 FIRフィルタは、多くの伝送関 数を実現できるので、観測装置やセンサなどの伝送関数を、図 6の解析フィルタとし てモデル化することができる。
[0019] 解析フィルタを通過した出力は、時間軸上に間隔 Tで周期的に配置された標本点 t
=nT (nは整数）において標本ィ匕され、標本値 fm(nT)(nは整数、 mはパス番号)が得 られる。これらの標本値は f(t)の部分的な情報であり、一般には f(t)を一意的には決 定できない。ある条件の下では、これらの標本値力 ¾(t)を一意的に決めることがある。 このような条件と、 g(t)から f(t)への再生公式とを、標本化定理と言う。特に断らない限 り、ここでは、標本値力もでは f(t)がー意的に決まらないとする。
[0020] これらの標本値またはそれらの一部が対応する標本点において、合成フィルタであ る FIRフィルタに順番に入力される。その結果生じる合成フィルタの出力力 最後に加 算回路で総和されて、最終的な出力 g(t)となる。出力 g(t)を、入力 f(t)に、できるだけ 近づけることが求められる。次の事実は、自明ではあるが重要である。入力 f(t)が唯 一つで既知であれば、このような煩雑な近似を行うまでもなぐ g(t)として f(t)をあら力 じめ用意しておくことができる。当然、近似誤差は、
e(t) = f(t) g(t) = f(t) f(t) = 0
である。この場合については、ここでは対象としない。逆に、 f(t)がどのようにでも激し く変化できるときには、 f(t)の部分的な情報である標本値からは、 f(t)の復元は不可能 である。すなわち、標本値だけは与えられた値となるが、それ以外では極めて大きな 変動をする信号力 ^、くらでも存在し、事実上近似が不可能である。
[0021] よって、適当な信号 f(t)の集合を設定して、その集合に対して最適な近似を考える ことが必要である。従って、ある近似式の近似性能が良いという場合でも、ある既知の 特定の信号に対して近似がいいというのでは、前の議論に逆戻りしてしまう。信号集 合を設定し、それに属する信号 f(t)に対して、総体的に近似性能を良くすることを考 える。
[0022] そこで、対象とした上限誤差の尺度と問題を、もう少し正確に記述する。いま、信号 集合とそれに属する信号を対象にした、ある近似式が与えられたとする。その信号集 合を S、近似結果を g(t)、近似誤差を e(t)と書く。さらに、その近似式は、信号 f(t)を、 解析フィルタ Hm( co)(m=0, 1, 2, · · · , M— 1)に印加したときの出力 fm(t)の標本値 fm(nT)(m=0, 1, 2,…， M— l ;n=Nm , Nm + 1, Nm +2, · · · , Nm ;Nmと Nmは
1 1 1 2 1 2 解析フィルタ Hm( co)(m=0, 1, 2, · · · , M— 1)の番号 mに対応して定まる与えられ た整数)をデータとして用いて、信号 f(t)を近似するような近似式であるとする。このと き、上限誤差の尺度を次のように定義する。 Nm及び Nmは解析フィルタ Hm(co)(m=
1 2
0， 1， 2, · · ·， M—1)の番号 mに依存しない場合もある。そのときは Nm =N及び N
1 1 m =Nとする。
2 2
[0023] 上限誤差の尺度：与えられた信号集合を S、近似結果を g(t)、近似誤差を e(t)と書 く。さらに、誤差 e(t)のある正の関数 (一般には演算子や汎関数でも良い） MeW]が 定義されているとする。このとき、信号集合 Sに属する信号 f(t)全体に亘つて、信号 f( t)に対する近似誤差 e(t)を全て考え、これらの e(t)に関する β [e(t)]の上限を、
Emax(t) = sup{ β [e(t)]} (supの範囲は f (t)≡ a )
と書き、上限誤差の尺度 Emax(t)という。上限誤差の尺度 Emax(t)は各時点 t毎に定 義される。
[0024] ここで、「入力信号 f(t)の集合 S、標本点間隔 T、解析フィルタの伝送関数、合成フ ィルタのタップ数が与えられたとき、上述の上限誤差の尺度の全てを同時に一斉に 最小にする合成フィルタを求めよ。」という問題を考える。以下、このような近似式を最 適な近似式と呼ぶことにする。さらに、このような近似式は、全ての上限誤差の尺度を 同時に最小にするから、当然 |8を含まない場合の上限誤差の尺度
Emax(t) = sup{|e(t)|} (supの範囲は f(t)≡ a )
を最小とする。この上限誤差の尺度を最小とする近似式が、一意的に容易に求めら れる場合には、近似式の一意性から、その近似式とは、まさしく容易に求められた近 似式そのものに他ならないことになる。このようなことが実際にありうるであろうか。
[0025] いくつかの条件下における不敗の近似の存在を説明する。ここでは、先ず、ある 2 個の条件を満たす近似式が存在すれば、その近似式が上述した最適な近似式であ ることを示す。さて、ある信号集合 Sに対して、次の 2条件を満たす近似式が存在し たとする。
[0026] 条件 1：その近似式を用いたとき、信号集合 Sに属する f(t)に対する近似誤差 e(t)は 、信号集合 Sに属する。すなわち、その近似式に対する近似誤差 e(t)の集合 S eは、 Ξに含まれる。
[0027] 条件 2：近似誤差 e(t)は、信号集合 Sに属するから、 e(t)を信号と考えて、その最適な 近似式を、信号 e(t)に適用したとする。このとき、 e(t)を解析フィルタ Hm( co)(m=0, 1 , 2, · · · , M— 1)に印加したときの当該解析フィルタの出力 em(t)の標本値 em(nT) ( m=0, 1, 2, · · · , M- l ;n=Nm , Nm + 1, Nm + 2, · · · , Nm ;Nmと Nmは解析フィ
1 1 1 2 1 2 ルタ Hm(co)(m=0, 1, 2, · · · , M— 1)の番号 mに対応して定まる与えられた整数)は 全て 0である。
[0028] いま、与えられた近似式が上記の 2条件を満たすとき、それは上述した最適な近似 式であることを示す。図 7は、最適な近似式の候補と他の近似式の図である。図 7の 上側は、最適な近似式に対応する。下側は、比べるための他の近似である。図 7に 示すように、それぞれの近似式は、 g(t)及び y(t)であり、対応する近似誤差は e = e(t) 及び E = E(t)である。誤差 eも Eも、入力 f(t)で決まるのであるから、 e(f,t)及び E(f,t)と 書くことが出来る。
[0029] 簡単のため、最適な近似を自分の近似、他の近似を相手の近似という。このとき、 自分の近似の近似誤差
e = e(t) = e(f,t)
を信号として解析フィルタに入力すると、図 8に示す結果が得られる。図 8に示すよう に、条件 2から
f(t) = e(f,t)
すなわち
f=e
を信号として解析フィルタに入力したときの標本値は 0であるから、この場合には、デ ータは何もないことになる。そこで、妥当な仮定として、そのときの相手の近似の近似 式は
O(t) = E(f,t) = E(e,t)≡0
と仮定する。すると、図 8に示すように、相手の誤差について、
E(e,t) = e(f,t) O(t) = e(f,t) = e
が成立することになる。この結果、図 9に示すような不等式が成立する。
[0030] すなわち、信号 f=f(t)を、はじめの信号集合 Sの中で変えたときの、相手の近似誤 差 E = E(f,t)の最大値 (上限)は、 fを選ぶ範囲を S力も近似誤差 f=e(f,t)の集合 S e に縮小すれば、上限というものの宿命として当然増大しない。したがって、図 9の上か ら 2番目の式が成り立つ。ここで、文字 fを文字 eに単に取り替える。すると、 3番目の 式が得られる。然るに、図 8から、
E(e, t) = e(f ,t) - O(t) = e(f ,t) = e
であった。従って、 4番目の式が成り立つ。さて、信号 fと誤差信号 eとの対応関係から 、信号
e = e(t) = e(f,t)
を誤差信号 e(f,t)の集合の中で取り替えながら β [e(t)]の上限をとることは、信号 f =f( t)を、信号集合 Sの中で取り替えながら、 β [e(t)]の上限をとることと同じである。よつ て、最後の 5番目の式が得られる。一番目の式と 5番目の式に着目すると、自分の近 似は常に、相手の近似よりも大ではない近似誤差の尺度を持つことになる。よって、 証明された。
[0031] 具体的な例で説明する。 V、ま、各標本点では入力信号を単に標本化するだけの例 を考える。この例では、前処理回路の入出力特性グラフは原点を通る傾き 1の直線で あるとする。
[0032] 自分の近似回路は、標本点では、標本値が 0のとき 0を出力し、 0でないときは原信 号の近似信号を出力する。すなわち、標本点においては、信号の標本値をそのまま 出力する回路である。標本点以外では、ここで述べたような近似値を出力する。相手 の近似回路は、標本値力^のとき 0を出力し、 0でないときはその値とは異なる値を出 力する場合を許すとする。このとき、自分の近似信号は標本点では原信号に一致す るから、標本点における近似誤差 e(t)の標本値は全てゼロである。よって、条件 2が 満たされる。この近似誤差 e(t)に相手の近似を適用すると、標本値が全て 0なので相 手の近似式も 0であるとしてよいであろう。つまり、自分の近似誤差に相手の近似を適 用すると、そのときの相手の近似誤差は入力 e(t)引く相手の近似式 0であるから e(t) — 0 = e(t)である。すなわち、入力が e(t)であるときには、自分の近似と相手の近似は 同じ近似性能をもつ。しかし、入力が f(t)であるときには、相手の近似は e(t)より大なる 近似誤差をもつカゝもしれない。この場合は、自分の近似が良い近似値を出すことにな る。もしも、相手の近似式がある特定の入力 f(t)に関して e(t)より小なる近似誤差を出 したとしても、条件 1から f(t) = e(t)という信号が原信号の中に存在するから、それを原 信号として選ぶことにすれば、そのような入力に対しては、相手の近似は誤差近似 e( t)をもつので、上限誤差を採用している限りこの場合でも自分の近似と相手の近似は 同じ上限誤差の尺度
Emax(t) = sup{|e(t)|} (supの範囲は f(t)≡ a )
をもつことになる。つまり、自分の近似は上の上限誤差の尺度では相手の近似に勝さ るか同じ性能である。
[0033] 一般的に線形変換を行う前処理回路の例を示す。入力信号 f(t)を、 f( τ f(2 τ ·
• ·、 f(N τ )とする。 ては正定数である。これをベクトル する。前処理回路を、ベタト ル fの線形変換回路とする。例えば、 y=Afとする。ただし、 Aは M X N行列である。 y の M個の要素を標本ィ匕回路の出力とする。後処理回路を、 z = Byとする。ただし、 B は N X M行列である。このとき、 Aを通して Bで処理した出力を再び Aに通したものが 、単に Aを通すだけの結果と同じである、つまり、出力 BAfの標本値 A(BAf)と入力 f の標本値 Afが同じ、すなわち ABAf=Af、であれば、条件 2を満たす。何故ならば、 そのときの誤差は e = f— BAfであるから、誤差 eの標本値は A (f— BAf) = (A—AB A) fとなり、 ABA=Aであれば誤差 eの標本値は 0となるので、条件 2が満たされるの である。このとき、誤差 e = (A— ABA)fが fの集合 Sに含まれているという条件力 条 件 1である。このように出来るかが問題となるわけである。
[0034] 以上の考察から、「上述の 2条件を満たす実用的な信号集合と、そのときの最適な 近似式を求めよ。」という課題が考えられる。そのような第 1の例として、次のような信 号集合を考える。すなわち、図 10に示すように、ソース信号 h(t)のフーリエスペクトル を Η(ω)とし、ソース信号 h(t)のエネルギーが与えられた正数 Α以下であると仮定する 。このとき、ソース信号 h(t)を所与の正なる伝送関数 (W(co》をもつフィルタに印加 した出力を f(t)とし、そのフーリエスペクトルを F(co)とする。図 10に示すように、 F(co) は、図 10に示す不等式を満たすことになる。このような制約を満たす F(co)をもつ信号 f(t)の集合を、信号集合 Sとする。
[0035] 関数 W( co)を重み関数と言い、その例を図 11に示す。例えば、 h(t)は肺の中での急 激な空気の流れ、 W( co)の平方根が喉の声道関数、 f(t)が実際にロカ 出る音声と 考えれば、その音声そのものの集合を信号 f(t)の集合として想定した信号近似となる 。このとき、図 11の co cは、近似的な音声のカットオフ周波数、例えば 4kHz、に相当す る。このとき、標本点が有限個に固定されている場合に、条件 1及び 2を満たす最適 な近似式を求めることができる。その近似式は、標本点毎に異なる関数形の合成フィ ルタ Ψπι,η(ω)を用いる。 mはパスの番号であり、 nは標本点の番号である。標本点毎 に異なるフィルタである点は、図 6の回路とは異なっている。最適な Ψπι,η(ω)は、 π < ω τ < πの範囲に帯域制限されている。 ては原信号の標本ィ匕周期であり、標 本点周期丁の 1/Mであるとする場合が多 、。これを満たさな 、場合に近似が理論的 に破綻するわけではな 、が、誤差が増大することがある。
[0036] この場合には、合成フィルタ ¥m,n(co)のインパルス応答 φ m,n(t)は無限の長さを持 つので、実際には、それを有限の固定した時間幅で打ち切って使用することになる。 よって、この近似は、その時間幅の中での近似となる。この場合には、 φ πι,η )は、そ の時間幅で時間制限されるので、離散近似を行うときには、 φ πι,ηωを、有限タップ の FIRフィルタとして実現することが出来る。このとき、近似誤差の尺度
Emax(t) = sup{|e(t)|} (supの範囲は f(t)≡ a )
は、
Emax(t) = Α)/(2 π ){ J ∞W( ω f
X |exp(j ω t)一∑ φ m,n(t)Hm( ω )exp(j ω ηΤ)|2ά ω}
m=0 n=Nl
と積分表現できる。ここに、 φ πι,ηωは、最適な合成フィルタのインパルス応答である
[0037] 最適な φ m,n(t)を具体的に求める方法は、次の通りである。先ず、上記の上限誤差 の尺度の積分の中身に含まれる複素関数の絶対値を、複素関数とその共役複素関 数の積と書き直して展開し、 φ πι,ηωに関して整理すると、 φ πι,ηωに関する項は、 ω とは無関係なので、全て、 ωに関する積分の外に出てしまう。従って、容易に m,n(t )に関して微分できる。上記の誤差の尺度を、このようにして全ての m,n(t)に関して 微分して 0とおくと、得られた結果は連立一次方程式となる。
[0038] その連立一次方程式の φ m,n(t)以外の項は、 W( ω )Hm( ω )^W( ω )Hm( ω )と Hm( ω)の複素共役との積のフーリエ逆変換 (または、特定の時間でのその値）に比例して いる。そこで、 FFTなどのフーリエ逆変換の高速計算法が利用できる。この連立一次 方程式を解くと、最適な φ πι,ηωが求められる。詳論は省略するが、このとき、当該連 立方程式の係数行列は定数行列となり、一度計算すれば、あとはその数値を記憶さ せておくだけで良ぐ再計算を時間 t毎に行う必要はない点が重要である。また、 φ πι, n(t)自身を、そもそも誰かが一度計算してしまえば、他の人はその数値だけを利用す ればいいのである。
[0039] また、 φ m,n(t)を導く式が、連立一次方程式となる点は、数値計算上極めて有利で ある。実際、 LU分解法などの高速計算法を利用できる点が、この近似の計算機ソフト ウェアの有利な点である。このような数々の利点を有する帯域制限された合成フィル タのインパルス応答 φ m,n(t)力 あらゆる上限誤差の尺度を同時に一斉に最小とする という事実は、極めて重要である。
[0040] 上記の第 1の例は、有限個の標本点が固定されている場合の結果である。次は、第 2の例として、 FIRフィルタを用いる、図 6に示す通常のフィルタバンクの場合の近似に ついて述べる。この場合の信号集合は、図 10と図 11の周波数帯域を、一（T+M) π ≤ ωΤ τ≤ (Τ+Μ) πまで拡大した場合に相当するものとする必要がある。このとき 、次の特徴をもつ合成フィルタ Ψπι(ω)のインパルス応答 m(t)(m=O, 1, 2, · · · , M— 1)を導く。 (^ m(t)(m=0, 1, 2, · · · , M— 1)は、上記の拡大された帯域で帯域 制限されている。離散時間 ΐ=η τ (ηは整数)で、 φ πι(η τ )(ιη=0, 1, 2, · · · , M—1) は、与えられた有限の時間幅以上では 0である。従って、 m(t)(m=O, 1, 2, · · · , M— 1)を、離散的な時間 t=n て (nは整数)だけで利用するときは、有限個のタップを もつ FIRフィルタとして実現できる。さらに、重要なことは、まず、 m(t)(m=O, 1, 2, · · , M—1)を用いるこの近似式は、条件 2を満足することが証明できることである。
[0041] 以上から、この場合には、離散的な時間 t=n て (nは整数)における近似を対象とす る、いわゆる離散近似に議論を限定する限り、焦点は、条件 1を満足する実用的な信 号集合があるか、に絞られる。実際、多次元信号まで拡張した形式で、十分実用的 な信号集合が得られている。
[0042] ディジタル多重通信装置への応用について説明する。上記の第 2の例に相当する 離散的な信号近似の場合を、 2パスのフィルタバンクを例にして示すと、図 12のように なる。図 12において、入力信号が解析フィルタを通過後、間隔 Tで標本化される結果 として、いわゆるエイリアジング現象が生じ、図 12の中に示すように、フィルタバンクの 中間点における標本ィ匕の直後では、スペクトルの重なりが生じる。その結果、図 12の 下部に示すように、 F(co)と F(co — ω)を変数とする連立一次方程式が成立する。従
0
つて、これが解ければ、フィルタバンクの中間点における標本ィ匕によって得られる、重 なり合ったスペクトルから、 F(co^F(co — ω)が求められる。このとき、この連立方程
0
式が解けるためには、係数行列の行列式が非零となる必要がある。これを、解析フィ ルタの独立性の条件と呼ぶ。パス数は 2とした力 3パス以上の場合もこれと同様であ る。
[0043] 解析フィルタが独立であれば、フィルタバンクの中間点における標本ィ匕の直後の標 本値から、入力 f(t)が復元できることになる。このようなフィルタバンクの解析フィルタ を、図 13に示すように接続したとする。すると、図 13に示すように、当該フィルタバンク が十分に優秀な近似性能をもっとすると、
f(t)=g(t)
が近似的に成立し、似た信号力 は似た出力が出るということを仮定すれば、図 13に 示すように、理解の便宜のため赤と緑で示した信号は分離よく出力に出現し、図 13の 左端の回路を排除すれば、近似の良いディジタル多重通信装置が得られる。
[0044] 当該ディジタル多重通信装置の入力は、図 13では、左側のフィルタバンクの中間の 標本値であり、当然 f(t)のある（汎）関数である。また、当該ディジタル多重通信装置 の出力は、図 13では右端の標本値であり、当然 g(t)の同じ (汎）関数である。議論は 勿論線形なので、当該多重通信装置のチャネル毎の入出力の差は、結局 f(t) g(t) の汎関数となる。さて、上記の第 2の例の場合には、この近似は、
e(t)=f(t)-g(t)
の如何なる汎関数の上限も最小とする。したがって、結局、この近似は、多重通信装 置のチャネル毎の入出力の差の任意の演算子や汎関数あるいは関数の上限を最小 とする。つまり、この近似は、ディジタル多重通信装置の設計においても極めて有利 である。なお、当該多重通信装置の入出力の時間刻みは Tであることに注意された い。
[0045] 解析フィルタは、独立性の仮定を満たせば、十分に広く設定可能であり、その計算 ソフトウェアは、 FFTや線形計算程度である。従って、例えば、災害時に回線の伝送 特性が変化してしまっても、その変化した回線特性を解析フィルタと考え、簡単な計 算で、とっさに最適な合成フィルタを求めて、柔軟に事態に対応できる。特に、この近 似を用いるディジタル多重通信装置は、図 13の右側の回路であり、従って、右端の 回路は、フィルタバンクとしては、解析フィルタに使われているフィルタである。そして 、図 13の真ん中の回路が、当該ディジタル多重通信装置としては、入力回路に当た り、これは、フィルタバンクにおいては、合成フィルタに相当する。すなわち、当該ディ ジタル多重通信装置の最適な設計は、多数のユーザ側の受信フィルタ (フィルタバン クでは解析フィルタに相当するフィルタ）を与えて、放送局側の送信フィルタ（フィルタ バンクでは合成フィルタに相当）を最適化するという問題であり、この意味でも、災害 時等に回線の伝送特性が変化してしまっても、その変化した回線特性を解析フィル タと考え、簡単な計算でとっさに最適な合成フィルタを求めて柔軟に事態に対応でき るという目的に適している。
[0046] 本発明者は、非特許文献 1にお ヽて、多次元信号を補間する近似方法を提案した 。この近似方法では、入力信号が線形な前処理フィルタを通過したのち、離散的な 標本点で標本化される。得られた標本値から、入力信号を近似的に推定する。入力 信号と再生近似信号の間の誤差は、種々の誤差尺度で最小である。
[0047] 本発明者は、非特許文献 2、 3において、帯域制限された信号の最適離散近似方 法を提案した。非特許文献 4において、フィルタバンクを用いる最適補間方法を提案 した。非特許文献 5、 6、 7、 9において、多次元信号の最適近似再生方法を提案した 。非特許文献 8、 10、 11において、多次元直交展開関数の補間評価方法を提案した 。非特許文献 12、 13、 14において、最適な線形内挿近似方法を提案した。
[0048] 非特千文献 1 : Takuro Kida: fheory of Generalized Interpolation Approximation of Multi-Dimensional Signals", Journal of Signal processing, Vol.6, No.l, pp.3- 8, Janua ry 2002, No.2, pp.71- 77, March 2002, No.3, pp.137- 141, May 2002.
非特許文献 2 : Y. Kida and T. Kida, 1'he Optimum Discrete Approximation of Band -Limited Signals without Necessity of Combining the Set of the Corresponding Appr oximation Errors, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E85, No.3, pp.610— 639, March 2002.
非特許文献 3 : Y. Kida and T. Kida, 1'he Optimum Discrete Approximation of Band -Limited Signals with an Application to Signal Processing on Internet, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E82— A, No.8, pp.1592— 1607, Aug. 1999.
非特許文献 4 : T. Kida and Y. Kida, "Consideration on the Optimum Interpolation an d Design of Linear Phase Filterbanks with High Attenuation in Stop Bands," IEICE Trans. Fundamentals, V0I.E8I— A, No.2, pp.275— 287, Feb. 1998.
非特許文献 5 : T. Kida and Y. Zhou, "The Optimum Approximate Restoration of Mul ti— Dimensional signals Using the Prescribed Analysis or Synthesis Filter Bank," IEI CE Trans. Fundamentals, Vol.E79— A, No.6, pp.845— 863, June 1996.
非特許文献 6 : T. Kida, "The Optimum Approximation of Multi-Dimensional Signals Based on the Quantized Sample Values of Transformed Signals," IEICE Trans. Fund amentals, Vol.E78— A, No.2, pp.208— 234, Feb. 1995.
非特許文献 7 : T. Kida, "On Restoration and Approximation of Multi-Dimensional Si gnals Using Sample Values of Transformed Signals," IEICb i rans. Fundamentals, Vo 1.E77-A, No.7, pp.1095- 1116, July 1994.
非特許文献 8 : T. Kida, S. Sa- Nguankotchakorn, K. Jenkins, Interpolatory Estimatio n of Multi-Dimensional Orthogonal Expansions with Stochastic Coefficients, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E77— A, No.5, pp.900— 916, May 1994.
非特許文献 9 : T. Kida, 1'he Optimum Approximation of Multi-Dimensional Signals Using Parallel Wavelet Filter Banks, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E76— A, No. l 0, pp.1830— 1848, Oct. 1993.
非特許文献 10 : T. Kida, S. Sa- Nguankotchakorn, "Generalized Optimum Interpolate ry Estimation of Multi-Dimensional Orthogonal Expansions with Stochastic Coefficie nts," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E75— A, No.12, pp.1793— 1804, Dec. 1992. 非特許文献 11 : T. Kida, H. Mochizuki, Generalized Interpolatory Approximation of Multi-Dimensional Signals Having the Minimum Measure of Errors, IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E75— A, No.7, pp.794— 805, July 1992.
非特許文献 12 :木田拓郎、望月浩史：「線形内挿近似の最適性に関する統一的考察 」、電子情報通信学会論文誌 A、 Vol.J75-A、 Νο.10、 pp.1556-1568. 1992年 10月。 非特許文献 13 :木田拓郎、ソムサック'サグアンコットチヤコーン：「標本化定理におけ る母関数と各種の尺度を最小とする最適内挿関数に関する研究」、電子情報通信学 会論文誌 A、 Vol.J74- A、 No.8、 pp.1332- 1345. 1991年 8月。
非特許文献 14 :木田拓郎、吉岡秀榭レオポルド、高橋貞良、金田一：「多次元波形の 拡張された内挿近似理論」、電子情報通信学会論文誌 A、 Vol.J74-A、 No.6, pp.829 -839. 1991年 6月。
非特許文献 15 :Yuichi Kida and Takuro Kida: "Theory of the optimum approximatio n of vector-signals with some applications," The 2004 IEEE International Midwest S ymposium on Circuits and Systems (MWSCAS 2004).平成 16年 7月。
発明の開示
発明が解決しょうとする課題
[0049] しかし、従来の離散信号近似システムでは、解析フィルタが非線形の場合には近似 式を求めることができないという問題がある。一見すると単に非線形変換の逆変換を 合成フィルタの前に行 、、その後で通常のフィルタバンクの合成手段を実行すれば よいではないかと思われる。しかし、
v(t) = a-{y(t)}2 + b -y(t)
の標本値
v(mT) = a . {y(mT)}2 + b . y(mT)
から y(mT)を求めようとすると、二次方程式は一般には 2個の解を持っため、一般に は y(mT)は 2個得られるから、その中でどちらの値を使うか不明である。
[0050] これを避けるため、
v(t) = a-{y(t)}2 + b -y(t)
において、 y(t)の正である部分のみを用いれば、当然のように y(t)が負の場合を表現 できない。 2個のいずれを選ぶかという事態は、一つの原信号ごとに各標本値毎に生 じるので、一つの信号ごとに用いる標本点が例えば 30点程度であれば 2の 30乗個の 場合と 、う巨大な個数の場合が生じることとなる。原信号が異なれば 2個の 、ずれを 選ぶ力も異なってしまう。原信号は無数なので到底現実的な近似方法となり得な 、。
[0051] 例えば、原信号と比べて近似が良いほうを採用すればよいと考えたとしても、そもそ もここで対象としている近似問題においては、原信号は不明であるという立場に立つ ている。原信号が既知ならば、近似を行わずにその原信号そのものを使えばよいとい うことになり自明な問題になってしまう。原信号が不明である以上、これらの多数の近 似の中でどれを使うかは決められない。すなわち、単に非線形変換の逆変換を合成 フィルタの前に行い、その後で通常のフィルタバンクの合成手段を実行すればよいと いう手段は、この意味では無意味である。
[0052] さらに、内挿関数の一部が同一であるという条件が課されたときには、その部分をま とめて式を表現することによって、異なる標本点において非線形変換されたものの和 に、その内挿関数が掛けられることになる。このとき、非線形変換の逆変換は、異なる 標本点にぉ 、て非線形変換されたものの和全体にわたって実行する必要が生じ、結 果として、連立非線形方程式を解き、その総ての解を求める必要が生じる。一般には この解法は極めて困難であり、解が複数であると、また標本点と原信号ごとの場合分 けが生じるなど、到底解くことができない。
[0053] それでは、一回の計算ごとに、近似信号を部分的に求め、そのスペクトルなどを調 ベて、複数の標本値の候補のなかである解を採用するのがよさそうだということを順 次に行っても、多数解の実行の後に、実ははるか前に採用した解と異なる解を採用 すべきであったという結論になってしまうかも知れず、またそれにしても前のどの時点 で選択を誤つたかはわ力もないという事体に陥る上に、このようなことを原信号と標本 値を取り替えるたびに無限に繰り返す必要が生じてしまう。
[0054] 本発明の目的は、上記従来の問題を解決して、離散信号近似システムの解析フィ ルタが非線形の場合に、近似式を求めることができるようにすることである。
課題を解決するための手段
[0055] 上記の課題を解決するために、本発明では、離散信号近似システムを、ノルムが所 定値以下であるスペクトル力 逆変換によって導かれる信号と等価な信号を原信号と し、原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力する複 数の解析フィルタと、解析フィルタの出力信号を一定間隔の標本ィ匕タイミングごと〖こ 標本化して離散信号とする標本化手段と、多項式に対応する多次元関数で表現され る信号を出力する多次元線形フィルタの特性に基づいて内挿関数を求める演算手 段と、標本ィヒタイミングごとに離散信号を係数として内挿関数を線形結合することによ り、原信号の冪乗関数の近似である第 1近似関数を生成する複数の合成フィルタと、 第 1近似関数の冪根を求めて標本ィ匕タイミングごとの第 2近似関数を求める手段と、 第 2近似関数をすベて合成して原信号の近似関数を求める手段とを具備する構成と した。
発明の効果
[0056] 本発明では、上記のように構成したことにより、解析フィルタが非線形の場合でも、 原信号の最適な近似式を求めることができる。
発明を実施するための最良の形態
[0057] 以下、本発明を実施するための最良の形態について、図 1〜図 4を参照しながら詳 細に説明する。
実施例
[0058] 本発明の実施例は、 FIRフィルタで構成されて ヽる複数の解析フィルタで、ノルムが 所定値以下である原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号 を出力し、解析フィルタの出力信号を一定時間ごとに標本化して離散信号とし、多項 式に対応する多次元関数で表現される信号を出力する多次元線形フィルタの特性 に基づいて内挿関数を求め、 FIRフィルタで構成されている複数の合成フィルタで、 離散信号を係数として内挿関数を線形結合して、原信号の冪乗関数である第 1の近 似関数を生成し、第 1の近似関数の冪根を求めて標本ィ匕タイミングごとの第 2の近似 関数を求めて合成して原信号の近似関数を求める信号近似システムである。
[0059] 図 1は、本発明の実施例における離散信号近似システムの構成を示す概念図であ る。図 1において、原信号 1は、近似対象の未知信号であり、ノルムが所定値以下で あるスペクトル力 逆変換によって導かれる信号と等価な信号である。解析 FIRフィル タ 2は、 FIRフィルタで構成されている単位フィルタを、乗算回路と加算回路で組み合 わせて構成したフィルタであり、原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表 現される信号を出力する。標本化手段 3は、解析フィルタの出力を一定のタイミングご とにサンプリングする手段である。
[0060] 内挿関数生成手段 4は、解析 FIRフィルタ 2の特性を表現した多項式に対応する多 次元関数で表現される信号を出力する多次元線形フィルタの特性に基づいて内挿 関数を求める演算手段である。内挿関数記憶手段 5は、生成した内挿関数を格納し ておくメモリである。近似式生成手段 6は、離散信号を係数として内挿関数を線形結 合して、原信号の冪乗関数である第 1の近似関数を生成する FIRフィルタである。冪 根演算手段 7は、第 1近似関数の冪根を求めて標本ィ匕タイミングごとの第 2近似関数 を求める手段である。合成手段 8は、第 2近似関数をすベて合成して原信号の近似 関数を求める手段である。近似関数 9は、原信号の近似関数である。 [0061] 図 2は、離散信号近似システムの動作手順を示す流れ図である。図 3は、離散信号 近似システムの解析フィルタの等価回路図である。図 4は、離散信号近似システムの 多次元化解析フィルタの等価回路図である。
[0062] 最初に、図 1を参照しながら、本発明の実施例における離散信号近似システムの動 作の概略を説明する。ノルムが所定値以下であるスペクトル力 逆変換によって導か れる信号と等価な信号を原信号 1とする。原信号 1を、 FIRフィルタで構成されている 単位フィルタを組み合わせた解析フィルタ 2で変換する。単位フィルタを乗算回路と 加算回路で組み合わせて構成された複数の解析フィルタ 2は、原信号を単位フィル タで変換した信号の多項式で表現される信号を出力する。解析フィルタ 2の出力信 号を、標本化手段 3で一定間隔 (T)の標本化タイミングごとに標本化して離散信号と する。
[0063] 解析 FIRフィルタ 2に対応する多次元線形フィルタを想定する。この仮想的多次元 線形フィルタは、解析 FIRフィルタ 2の特性を表現した多項式に対応する多次元関数 で表現される信号を出力するものである。この仮想的多次元線形フィルタの特性に 基づいて、内挿関数生成手段 4で内挿関数を求める。生成した内挿関数を、内挿関 数記憶手段 5に格納しておく。標本化タイミングごとに、離散信号を係数として、複数 の FIRフィルタで構成されている合成フィルタの近似式生成手段 6で内挿関数を線形 結合し、原信号の冪乗の第 1の近似関数を生成する。冪根演算手段 7で、第 1の近 似関数の冪根を求めて、標本ィ匕タイミングごとの第 2の近似関数を求める。標本化タ イミングごとの近似関数を、合成手段 8で合成して、原信号の近似関数 9を求める。
[0064] 次に、図 2を参照しながら、離散信号近似システムの動作手順の概略を説明する。
ノルムが所定値以下である未知の原信号を入力する。 FIRフィルタで構成されて 、る 複数の解析フィルタで、原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現され る信号を出力する。解析フィルタの出力信号を一定時間ごとに標本化して離散信号 とする。多項式に対応する多次元関数で表現される信号を出力する多次元線形フィ ルタの特性に基づいて、あら力じめ内挿関数を求めておく。 FIRフィルタで構成されて いる複数の合成フィルタで、離散信号を係数として内挿関数を線形結合して、原信 号の冪乗関数である第 1の近似関数を生成する。第 1の近似関数の冪根を求めて、 標本ィ匕タイミングごとの第 2の近似関数を求める。これを、すべての標本化タイミング につ 、て行 、、第 2の近似関数を合成して原信号の近似関数を求める。
[0065] 次に、非線形近似方法の原理を説明する。非線形近似について説明する前に、線 形近似の基本的な筋道を簡単な例で説明する。実数 a、 b、 cを係数とする信号
f(t) = a + b{cos(t)} + c{cos(2t)}
を考える。ここでは、簡単な例であるのでコサイン級数の 3項力 なる信号に限定して いる。実際には、同様な理論は極めて広い範囲で成立し、例えば各種の直交展開や フーリエ積分変換あるいは関数解析を用いた一般ィ匕が可能である。また、上式で、 a や b{cos(t)}ある!/、は c{cos(2t)}のどれかが擾乱であると考えてもよ!、。
[0066] さて、信号集合を限定する条件として、この例では、（a2/2+b2/2 + c2)が 1以下で あると仮定する。このような条件を満たす f(t)の集合を信号集合 Sとする。このとき、 a、 b、 cは 3次元の楕円体の中に制限される力 その軸は a、 b方向に長く c方向に短い。 実際は重みを変え、信号集合や擾乱に対する制約を既知のデータや知識に合わせ る工夫が必要である。
[0067] 既知の観測装置のモデルとして、 f(t)を理想的なローパスフィルタとハイパスフィル タに同時に入力し、出力信号
f (t) = a + b{cos(t)}
o
f (t) = b{cos(t)}+ c{cos(2t)}
1
を得たと仮定する。信号の周波数帯域を重複した帯域を許す小帯域に分割するフィ ルタ群を解析フィルタバンクと 、、ある種の独立性を満たせば特性は任意であるが 特性は既知と仮定する。
[0068] ここで、 f (t)、 f (t)の t=0における標本値
0 1
f (0) = a + b
o
f (0) = b + c
1
を用いる f(t)の近似信号として、
g(t)=f (0) -m (t)+f (O) -m (t)
0 0 1 1
を考える。便宜上、 m (t)と m (t)を (拡張された）内挿関数と呼ぶ。この例では f(t)に含
0 1
まれる未知数が a，b，cの 3個なので、これより個数の少ない 2個の標本値から f(t)を推 定する問題設定をした。より複雑な一般形では勿論標本値の個数も時間分点も多く してよい。
[0069] さらに、ここでは例題なので天下りだ力 次のように置いてみる。
m (t) ={3 + cos(t) - cos(2t)}/4
0
m (t) = {- 1 + cos(t) + cos(2t)}/2
1
これを g(t)に代入すると
g(t) = p + q{cos(t)} + r{cos(2t)}
となる。但し、
p = (3a+b - 2c)/4
q = (a + 3b + 2c)/4
r=(-a+b + 2c)/4
である。
[0070] 改めて、 g(t)をフィルタバンクに入力すると、
g (t) = p + q{cos(t)}
o
g (t) = q{cos(t)}+ r{cos(2t)}
を得る。従って、
g (0) = a + b = f (0)
0 0
g (0)=b + c=f (0)
1 1
が成り立ち、 f(t)に関する標本値と同じ標本値を g(t)はもつ。
[0071] また、
m (t) ={3 + cos(t) cos(2t)}/4
o
をフィルタバンクに入力すると、それぞれ、
m °(t)={3 + cos(t)}/4
0
m 1(t)={cos(t)— cos(2t)}/4
0
が得られるから、
m °(0)= l
0
m 1(0) = 0
o
が求まる。 [0072] また、
m (t) ={- 1 + cos(t) + cos(2t)}/2
1
をフィルタバンクに入力すると、それぞれ、
m °(t)={- l + cos(t)}/2
1
m J(t) ={cos(t) + cos(2t)}/2
1
が得られるから、
m °(0) = 0
1
m 1(0)= l
1
が求まる。この性質を、内挿関数が選点直交性をもっという。
[0073] 近似誤差を
e(t) = f(t)-g(t)
と定義すると
e(t) = u+ v{cos(t)} + w{cos(2t)}
となる。ただし、
u=— v=w={a— b + 2c}/4
である。今、 e(t)をフィルタバンクに入力すると、
e (t) = u+vicos(t)}
o
e (t) = v{cos(t)} + w{cos(2t)}
1
が得られる。従って、 e (0) = 0、 e (0) = 0が成り立つ。つまり、 e(t)に対応する出力の
0 1
標本値は零となる。
[0074] また、計算すると
u=— v=w={a— b + 2c}/4
から
(a2/2+ b2/2 + c2) - (u2/2+v /2+w2)
= (l/8){(a + b)2 + 2(a - c)2 + 2(b + c)2}
が成り立つ。従って、 a2/2+b2/2 + c2が 1以下という仮定から、 u /2+v2/2+w% l 以下となり、誤差信号 e(t)も信号集合 Sに属す。近似誤差 e(t)の集合を Sとすると、上
0 に述べたことから Sは Sを含む。 [0075] さて、標本値
f (0) = a + b
o
f (0) = b + c
1
を用いる f(t)の他の任意の近似信号を
y(t) =Y(f (0),f (0),t)
0 1
とする。ただし、
f (0)=f (0) = 0
0 1
であるときは、 y(t)は恒等的に零とする。この近似式の近似誤差を、
z(t)=f(t)-y(t)
とする。 f (0)、 f (0)は f(t)力 定まるので、 z(t)も f(t)に依存する。これを
0 1
z(t) = Z{f(t)}
と表す。
[0076] 近似を比較する尺度として、 tを固定して f(t)を信号集合 Sの中で取り替えたときの z( t)や e(t)の絶対値の上限尺度
Figure imgf000026_0001
を採用する。 βは任意の正の演算子や汎関数である。また、 f(t)を選ぶ信号集合を S
0 に制限したときは sup β [z(t);S ]などと書く。
0
[0077] 特に、 Sの信号
0
f(t) = e(t)
に限ると、
f (0) = e (0) = 0、
0 0
f (0) = e (0) = 0
1 1
であるから、
y(t) =Y(f (0),f (0),t)
0 1
=Y(e (0),e (0),t)
o 1
=Y(0,0,t) = 0
であり、 z(t) = Z{e(t)}
= e(t) y(t) = e(t)— 0 = e(t)
が成立する。 f(t)を選ぶ集合の範囲を狭めれば、当然誤差の上限 E(t)は減少 (正確 には非増大)する。 Sと Sでは、
0
E(t) = sup β [z(t);S]≥sup β [z(t);S ]
0
= sup β [e(t) -y(t);S ] = sup β [e(t);S ]
0 0
となり E(t)の下界が得られた。
[0078] さて、信号 f(t)を
f(t) = e(t)
の集合 Sの中で取り替えながら, e(t)に関する β [e(t);S ]の上限を取ることは、結局は
0 0
誤差が e(t)となる S中の信号 f(t)を Sの中で取り替えながら同じ誤差 e(t)に関する β [e( t);S]の上限を取ることと同じである。以上から、例に挙げた内挿関数を用いる線形近 似の誤差の尺度
Figure imgf000027_0001
は、非線形近似を含む全ての E(t)の下限を実現し、し力もどのような |8に関する上限 誤差の尺度も同時に一斉に最小にすることになる。例えば、 βは 2乗誤差や微分や 積分などの絶対値の上限でもよ!/、。
[0079] さらに、信号力も擾乱を除く線形処理 Xが数学的には定義できるとする。例えば、 b{ cos(t)}が擾乱であり、
f (t) = a + c{cos(2t)}
s
が目的の信号と仮定しょう。この例で設定した観測装置である解析フィルタではこの 擾乱は排除できないが、 cos(t)の周波数付近では 0、他の周波数では 1である線形フ ィルタ Xで排除できる。然るに、
f (t)-X(g(t))
=X(f(t))-X(g(t))
=X(f(t) -g(t))
=X(e(t))
であるから、この Xを j8の一種と考えると擾乱を含む標本値を用いる近似式 X(g(t》は 目的の信号 f (t)の最適な近似式である。
S
[0080] 最適内挿関数は、 |8の最簡形である絶対誤差の場合について誤差尺度を求め微 分処理で求まるが省略する。この方法は、多次元信号や多次元ベクトル信号にまで 拡張できる。例えば、 f(t)の代わりに f(x,y)なる 2変数の信号に対しても同様な最適近 似を構成することが出来る。当然、この近似は
f(x,y)=f(x)f(y)
なる変数分離型の信号に対しても良好な近似特性を発揮する。
[0081] 前に述べた 2条件を満たす実用的な信号集合と、そのときの最適な近似式を求め よという課題に再度着目する。このような例として、次のような信号集合を挙げた。す なわち、図 10に示すように、ソース信号 h(t)のフーリエスペクトルを Η( ω)とし、ソース 信号 h(t)のエネルギーが与えられた正数 Α以下であると仮定する。このとき、ソース信 号 h(t)を所与の正なる伝送関数 (W(co》をもつフィルタに印加した出力を f(t)とし、 そのフーリエスペクトルを F(co)とする。図 10に示すように、 F(co)は、図 10に示す不等 式を満たすことになる。このような制約を満たす F(co)をもつ信号 f(t)の集合を、信号 集合 Sとする。このとき、関数 W( co)を重み関数と名付けた。
[0082] いま、信号を変数分離型の 2変数の信号に拡張し、ソース信号
h(x,y) = h (x)h (y)
a b
が線形フィルタ H (u)H (v)を通過したとする。ただし、周波数変数 uは変数 Xに対応 a b
する周波数変数であり、周波数変数 Vは変数 yに対応する周波数変数である。このと き得られる線形フィルタ H (u)H (V)の出力信号はやはり変数分離型であり
a b
f(x,y)=f (x)f (y)
a b
という形をしている。
[0083] それでは、次に 2次の非線形操作を含む場合の例を示す。 Vヽま、例えば、上の例で f(x,y) = f(x)[a{m (y) + m (y)}+bf(y)]
0 1
という信号を考える。ただし、 aと bは与えられた定数である。 m (y)と m (y)は上の例の
0 1
内挿関数 m (t)と m (t)の変数 tを変数 yに取り替えた関数である。
0 1
[0084] この信号は、 f(x,y) =r(x)s(y)
という形の変数分離型の信号である。ただし、
r(x) =f(x)
であり、
s(y) = a{m (y) + m (y)}+bf(y)
0 1
である。
[0085] さらに、上の例における内挿関数に関して、
m (t) ={3 + cos(t) - cos(2t)}/4
o
をフィルタバンクに入力すると、それぞれ、
m °(t)={3 + cos(t)}/4
0
m J(t) ={cos(t) - cos(2t)}/4
o
が得られるから、
m °(0)= l
0
m 1(0) = 0
o
が求まる。また、
m (t) ={- 1 + cos(t) + cos(2t)}/2
1
をフィルタバンクに入力すると、それぞれ、
m °(t)={- l + cos(t)}/2
1
m J(t) ={cos(t) + cos(2t)}/2
1
が得られるから、
m °(0) = 0
1
m 1(0)= l
1
が求まる。この性質を、内挿関数が選点直交性をもっといつた。
[0086] いま、
H (u,v) = H (u)H (v) + H (u)H (v) + H (u)H (v)
0 0 0 0 1 1 1
H (u,v) = H (u)H (v) + 2H (u)H (v)— 3H (u)H (v)
1 0 0 0 1 1 1
なる 2次元のフィルタ力もなる 2次元フィルタバンクを考える。ただし、 H (u)および H (
0 1
U)は上の例題で想定した理想的なローパスフィルタおよびハイパスフィルタである。 [0087] このとき、このような 2次元のフィルタバンクに信号
f(x,y) = f(x)[a{m (y) + m (y)}+bf(y)]
o 1
=r(x)s(y)
を入力した出力は、それぞれ、
f、x,y)=r (x)s (y)+r (x)s、y)+r、x)s (y)
0 0 0 0 1 1 1
f (x,y)=r (x)s (y) + 2r (x)s (y)— 3r (x)s (y)
1 0 0 0 1 1 1
となる。ただし、 r (x)、 s (x)、 r (x)、 s (x)はそれぞれ r(x)と s(x)がフィルタ H (u)と H (u)
0 0 1 1 0 1 を通過したときの出力信号である。また、この 2次元フィルタバンクは例として挙げた だけであり、変数分離型のフィルタの任意の線形和でよいが、関数形は既知とする。
[0088] 従って、特に、 x=y=0なる標本点における f (x,y)および f (x,y)の標本値は、内挿
0 1
関数 m (X)および m (X)の選点直交性を考慮すると、それぞれ、
0 1
f (0,0) =r (O)s (0)+r (O)s (0)+r (O)s (0)
0 0 0 0 1 1 1
=f (0)[a + bf (0)] + f (0)[a + bf (0)]
0 0 0 1
+ f (0)[a + bf (0)]
1 1
f (0,0) =r (0)s (0) + 2r (0)s (0)— 3r (0)s (0)
1 0 0 0 1 1 1
=f (0)[a + bf (0)] + 2f (0)[a + bf (0)]
0 0 0 1
3f (0)[a + bf (0)]
1 1
という f(x)がフィルタ H (u)と H (u)を通過したときの出力信号の標本値が入り混じった
0 1
複雑な標本値となる。この例は簡単であるから、 x=y=0という標本点だけを考えて いるが、勿論前述したように、この理論は更に複雑な場合に拡張されており、その場 合にはフィルタの数も標本点の数も多いから、そのような場合の標本値は、 f(x)がー 般には異なる複数のフィルタを通過した出力に関する一般には異なる標本点におけ る標本値が、複雑に入り混じった形式の非線形変換を受けた標本値となる。
[0089] しかし、これを、単なる 2変数のフィルタバンクに、変数分離型の信号
f(x,y)=r(x)s(y)
が入力した時の出力の標本値を用 、て、最適近似式を 2次元信号の場合に適用し たと考えれば、標本値 f (0,0)および f (0,0)を用いて
0 1
f(x,y)=r(x)s(y) の近似式が求まることになる。そこで、その近似式を g(x,y)とする。
[0090] さて、信号 f(x,y)および近似式 g(x,y)において、 x=yとおいてみょう。すると、 1次元 信号
a (x)=f(x,x)=f(x)[a{m (x)+m (x)}+bf(x)]
o 1
= f(x)[a{{l + 3cos(x) + cos(2x)}/4}+ bf (x)]
z(x) = g(x,x)
が求まる。
[0091] この近似は、これまで説明したような意味で最適な近似性能をもつので、 g(x,x)は、 a (x) = f(x,x)の良好な近似となっている。さら〖こ、例えば、 χ= π /2 + 2η πという離 散的な分点では、
α ( π /2 + 2η π ) = 1)ί( π /2 + 2η π )2
である。従って、当然 {g(x,x)/b}1/2は、 f(x)が、一般には異なる複数のフィルタを通過 した出力に関する一般には異なる標本点における標本値が、複雑に入り混じった形 式の非線形変換を受けた標本値を用いて、等間隔の離散的な分点（ π /2 + 2η π ) における f(x)の値を近似するという、極めて複雑な問題に対する解答となっているの である。
[0092] 図 3を参照しながら、具体的な近似方法を説明する。 f(t)は、近似対象の未知の信 号である。解析フィルタの等価回路は、 LPFと HPFと乗算回路と加算回路力もなつて いる。解析フィルタを通って観測される信号は、
F (t) = f (t)2 + f (t)f (t) + f (t)2
0 0 O i l
F (t) = f (t)2 + 2f (t)f (t) 3f (t)2
1 0 0 1 1
である。 f (t)は、 f(t)の LPF出力信号であり、 f (t)は、 f(t)の HPF出力信号である。 LPF
0 1
や HPFなどの線形フィルタを、単位フィルタと呼ぶことにする。入力信号を単位フィル タに通した出力信号の 2次式を出力する解析フィルタを、 2次の多項式特性を有する フィルタあるいは 2次特性フィルタと呼ぶことにする。 2次の多項式からは直接に近似 を行うことができないので、 2次元の式に変換した式を使って近似関数を計算する。
[0093] 図 4に示すように、 xy空間の未知信号 f(x)f(y)を、線形の解析フィルタに入力して、 2次元の出力信号 f (x)f (y) + f (x)f (y) + f (x)f (y)
0 0 0 1 1 1
f (x)f (y) + 2f (x)f (y) - 3f (x)f (y)
0 0 0 1 1 1
を得るようにすることを考える。この系は線形であるので、 f(x)f(y)の近似式を求めるこ とができる。 t=0における出力信号の標本値は、 x=y=0における出力信号の標本 値と同じであるので、 t=0における出力信号の標本値で内挿関数を線形結合した近 似関数により、 f(x)f(y)の近似式を表すことができる。
[0094] f(x)f(y)の近似式を g(x,y)とすると、
g(x,y) = F (O)g (x,y) + F (O)g (x,y)
0 0 1 1
と表わされる。 g (x,y)は、 x=y=0における第 1フィルタの出力信号の標本値が 1に
0
なり、第 2フィルタの出力信号の標本値力^になる内挿関数である。 g (x,y)は、 x=y
1
=0における第 1フィルタの出力信号の標本値が 0になり、第 2フィルタの出力信号の 標本値が 1になる内挿関数である。
[0095] 内挿関数は、例えば次のようにして求めることができる。 LPFと HPFに対応する内挿 関数である m (t)と m (t)を組み合わせて、 m (x)m (y)、 m (x)m (y)、 m (x)m (y)、 m (
0 1 0 0 0 1 1 0 1
^m^y)の線形結合の関数を第 1フィルタと第 2フィルタに入力して、出力信号の条件 から係数を求めると、内挿関数は次のようになる。
g (x,y) = (3/5)m (x)m (y) + (2/5)m (x)m (y)
Figure imgf000032_0001
[0096] g(x,y)は、 f(x)f(y)の近似式であるので、 g(x,x)は、 f(x)f(x)=f(x)2の近似式となる。
したがって、 g(x,x)は、 f(x)の近似式となる。 g(x,x)の符号は、 f(0)の符号などを 測定して決めることができる。
[0097] 解析フィルタの特性が、 3次以上であっても、同様にして、 3次元以上の多次元の線 形フィルタを想定して、近似式を求めることができる。例えば、 3次式が、
F (t)=f (t)3+f (t)2f (t)+f (t)3+ · · ·
0 0 O i l
F (t)=f (t)3+ 2f (t)f (t)2- 3f (t)3+ · · ·
1 0 0 1 1
であれば、 3次元のフィルタの出力は、
f (x)f (y)f (z) + f (x)f (y)f (z)
0 0 0 0 0 1
+f (x)f (y)f (ζ)+ · · · および
f (x)f (y)f (z) + 2f (x)f (y)f (z)
0 0 0 O i l
-3f (x)f (y)f (ζ)+···
1 1 1
となる。当然、 2次以下の項があってもよい。各単位フィルタの伝送関数とこれらの式 に基づいて、各標本タイミングにおける内挿関数を求めることができる。各標本タイミ ングにおける標本値を係数として、内挿関数の線形結合を求めると、原信号の 3乗の 近似式となる。この近似式の立方根を求めれば、原信号の近似式が得られる。一定 間隔の各標本タイミングで求めた各近似式を、標準補間関数を使って合成する。この ようにして、多項式で表される非線形信号でも、最適近似式を求めることができる。
[0098] さらに、詳しく述べる。いま、 X軸上に離散的な標本点 X ,χ ,· · ·,χが定義されている
0 1 ρ
とする。更に、下記のフーリエ逆変換で定義される信号
f(x) = (l/2 π ) J "F(u)expGxu)du
を定義する。このとき、 f(x)のフーリエ変換 F(u)は
Figure imgf000033_0001
を満たしているとする。このような、条件を満たす f(x)の集合を Sとする。
[0099] さて、 Sに属す f(x)及び標本点 X ,χ ,· · ·,χにつ 、て、例えば、
0 1 ρ
f (X )=∑ L∑ L∑ L f(x k)f(x -m)f(x n)
0 P P
Figure imgf000033_0002
+∑ Ll f(x -k) + σ (ρ = 0，1，2，·，Ρ)
k=0 k p
という f(x)に関して 3次の非線形関数値に相当する標本値が与えられたとする。この、 f(x)に関して 3次の非線形関数値に相当する（P+1)個の標本値 f (X ), (ρ = 0,1,2,·,
0 ρ
Ρ)から、 f(x)を近似的に推定する問題を考える。明らかに、 f(x)に関して 3次の非線形 関数値に相当する（P+1)個の標本値 f (X), (ρ = 0,1,2,·,Ρ)力ゝら、 f(x)の標本値を算
0 p
出するためには、 3次の非線形特性を示す (P+ 1)個の式を連立させて得られる非線 形連立方程式を解く必要が生じ、その解法は極めて困難である。
[0100] そこで、次のような 3変数の関数を考える。
f (x,y,z)=∑ L∑ L∑ La f(x-k)f(y-m)f(z-n)
0 k=0 m=0 n=0 k,m,n
+∑ L∑ Lj8 f(x-k)f(y-m) +∑ λ f(x-k) + σ (ρ = 0,1,2,·,Ρ)
k=0 k
この関数の 3変数のフーリエ変換は次式のように表すことができる。
F (u,v,w) = [∑ L∑ L∑ La exp(-jku)exp(-jmv)exp(-jnw)]
0 k=0 m=0 n=0 k,m,n
XF(u)F(v)F(w)
+ [∑ L∑ Lj8 exp(-jku)exp(-jmv)]F(u)F(v)
k=0 m=0 k，m
+ [∑ LX exp(-jku)]F(u) + σ
k=0 k
= H(u,v,w)F(u)F(v)F(w)
+ H(u, v)F(u)F(v) + H(u)F(u) + σ
= [H(u,v,w),H(u,v),H(u), σ ]
X [F(u)F(v)F(w),F(u)F(v),F(u), I]'
= H'v(u,v,w)F→(u,v,w)
[0101] ここに、 PT(U,V,W)及び F→(u,v,w)はそれぞれ行ベクトル及び列ベクトルで
H¾,v, w) = [H(u, v,w),H(u, v),H(u), σ ]
F→(u,v,w) = [F(u)F(v)F(w),F(u)F(v),F(u), ΐί
で定義される。 [ίは、転置行列である。
[0102] 上で定義した、ベクトル F→(u,v,w)を入力信号のスペクトルベクトルと呼ぶ。入力信 号のスペクトルベクトル F→(u,v,w)から、フーリエ逆変換を用いて導かれるベクトル Γ(χ,γ,ζ) = (1/2π) ί_ π ί π ί "F u.v.w)
X exp 、xu +yv+ zw))dudvdw
= [f(x)賴 Z),f(X)f(y),f(X),l]t
を入力信号ベクトルと呼ぶ。明らかに、 ζを小なる実数とするとき、ベクトル
ζ→=[ζ , ζ ,1, ζ]
を定義すると、
f(x)^f(x,y,z)
= ζ→f→(x,y,z)
=[ ζ , ζ ,1, ζ ][ί(χ)ί(γ)ί(ζ),ί(χ)ί(γ),ί(χ),1]1
が成立する。
[0103] さらに、ベクトル F~→(u,v,w)を次式で定義する。 F→(u,v,w) = [F— (u)F— (v)F— (w),F— (u)F— (v),F— (u), 1]
また、行列 W(u,v,w)を次式で定義する。
[数 1]
1
0, 0. 0
W(u)W{v)W{w)
1 3
0, 0, 0
2π W(u)W(v)
W(u,v, w)
_J 3_
0, 0. 0
(2π)2 W{u)
1 0. 0, 0,
(2π)
[0104] これらの、ベクトルと行列とを用いて、
J" π J" π J" π F→(u,v,w)W(u,v,w)F→(u,v,w)dudvdw
≤(A+1)3
なる制約条件が入力信号のスペクトルベクトル F→(u,v,w)に課されていると仮定する。 この制約条件は具体的に書き下すと、
J π J π J 't|(F(u)F(v)F(w))/(W(u)W(v)W(w))rdudvdw
+ (3/(2 π》 .『 π .『 π .『 π |(F(u)F(v))/(W(u)W(v))|2dudvdw
(3/(2π)2)ί π J π J |F(u)ZW(u)|2dudvdW
+ (1/(2π)3)ί_π — π J— π π dudvdw
≤(Α+1)3
となる。
[0105] 上式から、直ちに
J π J π J "|(F(u)F(v)F(w))/(W(u)W(v)W(w))|2dudvdw
+ 3ί_π π ί_π π |(F(u)F(v))/(W(u)W(v))|2dudv
+ 3J "|F(u)/W(u)|2du+l
≤(Α+1)3
が導かれる。
[0106] 従って、 |F(u)/W(u)|2du]3 + 3[ ί _π π |F(u)/W(u)|2du]2
Figure imgf000036_0001
= [ί— |F(U)ZW(u)|2du+l]3
≤(Α+1)3
力 S成立し、結局
Figure imgf000036_0002
が求まり、上記の制約条件は実は F(u)に関する制約条件になる。
[0107] 一方、
f (x ,x ,x) = f(x)
0 p p p p
である。従って、
Figure imgf000036_0003
XexpQx (u + ν + w))dudvdw
P
が成立する。
[0108] 以上示した定式ィ匕の下に、非特許文献 15に示されている多次元ベクトル信号に対 する最適近似式を入力ベクトル; T(x,y,z)に対して適用して、
f(x,y,z)=C→f→(x,y,z) = f(x)
の最適近似式 g(x,y,z)を得たとする。このとき、これまで述べた、近似の最適性から、 ζを小とすれば、 g(x,x,x)は f(x)の良い近似を与える。
[0109] 非特許文献 15に示されているように、最適近似式 g(X,X,x)を導く計算は線形連立 方程式を解くだけでよぐ非線形な演算を行う必要はない。ここでは、例で示したが、 この方法は十分に一般性を有しており、標本値が
f(x)=∑ L∑ L∑ L f(x— k)f(x— m)f(x— n)
1 p k=0 m=0 n=0 k,m,n P P P
+∑ L∑ し f(x -k)f(x -m)
k=0 m=0 k，m p p
+∑ しえ 4(χ -k)+ σ' (ί = 0,1,2,·,Ι;ρ = 0,1,2,·,Ρ)
k=0 k p
のように表される場合にも、拡張できる。
[0110] すなわち、
F (u,v,w) = [∑ ∑ ∑ a exp(— jku)exp、― jmv)exp(— jnw)]
l k=0 m=0 n=0 k,m,n
XF(u)F(v)F(w)
Figure imgf000037_0001
= (1/2 π ) ί π J π J π Ω u,v,w)F→(u,v,w)
X expQx (u + ν + w)) dudvdw
P
が成り立ち、非特許文献 15の最適近似法が同様に適用できる。
[0113] 結局、線形連立方程式を解くことにより、一般には信号 f(x)の多項式の離散的な標 本値を用いて、 f(x)を近似的に復元する有効な方法が示された。
[0114] 上記のように、本発明の実施例では、信号近似システムを、 FIRフィルタで構成され て ヽる複数の解析フィルタで、ノルムが所定値以下である原信号を単位フィルタで変 換した信号の多項式で表現される信号を出力し、解析フィルタの出力信号を一定時 間ごとに標本ィ匕して離散信号とし、 FIRフィルタで構成されて ヽる複数の合成フィルタ で、離散信号を係数とする内挿関数の線形結合により原信号の近似関数を生成する 構成としたので、解析フィルタが非線形の場合でも、原信号の最適な近似式を求める ことができる。
産業上の利用可能性
[0115] 本発明の離散信号近似システムは、音声や画像信号をできるだけ歪を少なく効率 的に伝送したり通信したりすることが重要である放送 ·通信システムとして最適である 。観測信号から 3次元的な信号を少な 、誤差で復元するコンピュータトモグラフィなど 医用電子の分野、あるいは SARレーダや地中レーダなどを用いるリモートセンシング の分野や、バイオインフォマティクスにおけるタンパク質の形態の信号処理による解 祈などのような、多くの分野に応用可能である。パラメータの変更により、広い範囲の 上限誤差尺度を最小とする多くの離散信号処理装置に応用可能である。レーダ、ソ ナー、ミサイル追尾、医療用信号処理装置、 DNA解析装置など、多種類の装置の開 発と性能向上に資する。
図面の簡単な説明
[0116] [図 1]本発明の実施例における離散信号近似システムの概念図、
[図 2]本発明の実施例における離散信号近似システムの動作手順を示す流れ図、 [図 3]本発明の実施例における離散信号近似システムの解析フィルタの等価回路図
[図 4]本発明の実施例における離散信号近似システムの多次元化解析フィルタの等 価回路図、
[図 5]FIRフィルタの説明図、
[図 6]FIRフィルタバンクシステムの説明図、
[図 7]最適な近似式の候補と他の近似式の回路説明図、
[図 8]近似式に近似誤差信号を入力した場合の説明図、
[図 9]近似の最適性を示す不等式の説明図、
[図 10]信号 f(t)のスペクトル F( ω )の説明図、
[図 11]重み関数の例を示す図、
[図 12]パス数が 2のフィルタバンクの説明図、
[図 13]ディジタル多重通信装置の説明図である。
符号の説明
1 原信号
2 解析 FIRフィルタ
3 標本化手段
4 内挿関数生成手段
5 内挿関数記憶手段
6 近似式生成手段
7 冪根演算手段
8 合成手段
9 近似関数

Claims

請求の範囲
[1] 原信号を変換する複数の非線形解析フィルタと、前記非線形解析フィルタの出力信 号を一定間隔の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とする標本化手段と、内 挿関数を前記離散信号で線形結合して第 1近似関数を生成する複数の合成フィル タと、前記第 1近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第 2近似関数とする 手段と、前記第 2近似関数を合成して原信号の近似関数を求める手段とを具備する 信号近似システムであって、前記原信号は、ノルムが所定値以下であるスペクトルか ら逆変換によって導かれる信号と等価な信号であり、前記非線形解析フィルタは、原 信号を複数の線形フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力するフ ィルタであり、前記内挿関数は、前記多項式に対応して定まる関数であり、前記合成 フィルタは、標本ィ匕タイミングごとに前記離散信号を係数として前記内挿関数を線形 結合することにより、原信号または原信号の冪乗関数の近似である第 1近似関数を 生成するフィルタであることを特徴とする信号近似システム。
[2] 原信号を変換する複数の非線形解析フィルタと、前記非線形解析フィルタの出力信 号を一定間隔の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とする標本化手段と、内 挿関数を前記離散信号で線形結合して第 3近似関数を生成する複数の合成フィル タと、前記第 3近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第 4近似関数とする 手段と、前記第 3近似関数と前記第 4近似関数を合成して原信号の近似関数を求め る手段とを具備する信号近似システムであって、前記原信号は、ノルムが所定値以 下であるスペクトル力 逆変換によって導かれる信号に基づいて作られる多次元信 号と等価な信号であり、前記非線形解析フィルタは、原信号を複数の線形フィルタで 変換した信号の多項式で表現される信号を出力するフィルタであり、前記内挿関数 は、前記多項式に対応して定まる関数であり、前記合成フィルタは、標本ィ匕タイミング ごとに前記離散信号を係数として前記内挿関数を線形結合することにより、原信号ま たは原信号の冪乗関数の近似である第 3近似関数を生成するフィルタであることを特 徴とする信号近似システム。
[3] 前記合成フィルタは、 FIRフィルタで構成されていることを特徴とする請求項 1または
2記載の信号近似システム。
[4] ノルムが所定値以下であるスペクトル力 逆変換によって導かれる信号と等価な原信 号を、複数の非線形解析フィルタで変換し、前記非線形解析フィルタの出力信号を 一定間隔の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とし、複数の合成フィルタに より内挿関数を前記離散信号で線形結合して第 1近似関数を生成し、前記第 1近似 関数の冪根を求めて標本ィ匕タイミングごとの第 2近似関数とし、前記第 2近似関数を 合成して原信号の近似関数を求める信号近似方法であって、前記非線形解析フィ ルタは、原信号を複数の線形フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を 出力するフィルタであり、前記内挿関数は、前記多項式に対応して定まる関数であり 、前記合成フィルタは、標本ィ匕タイミングごとに前記離散信号を係数として前記内挿 関数を線形結合することにより、原信号または原信号の冪乗関数の近似である第 1 近似関数を生成するフィルタであることを特徴とする信号近似方法。
[5] ノルムが所定値以下であるスペクトル力 逆変換によって導かれる信号に基づ！/、て 作られる多次元信号と等価な原信号を、複数の非線形解析フィルタで変換し、前記 非線形解析フィルタの出力信号を一定間隔の標本ィ匕タイミングごとに標本ィ匕して離 散信号とし、複数の合成フィルタにより内挿関数を前記離散信号で線形結合して第 3 近似関数を生成し、前記第 3近似関数の冪根を求めて標本ィ匕タイミングごとの第 4近 似関数とし、前記第 3近似関数と前記第 4近似関数を合成して原信号の近似関数を 求める信号近似方法であって、前記非線形解析フィルタは、原信号を複数の線形フ ィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力するフィルタであり、前記内 挿関数は、前記多項式に対応して定まる関数であり、前記合成フィルタは、標本化タ イミングごとに前記離散信号を係数として前記内挿関数を線形結合することにより、 原信号または原信号の冪乗関数の近似である第 3近似関数を生成するフィルタであ ることを特徴とする信号近似方法。
[6] 前記合成フィルタは、 FIRフィルタで構成されていることを特徴とする請求項 4または
5記載の信号近似方法。
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