WO2004079144A2 - Methode pour elaborer plus rapidement un modele stochastique representatif d’un reservoir heterogene souterrain, contraint par des donnees statiques et dynamiques incertaines - Google Patents
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Definitions
- the present invention relates to a method for more rapidly forming a stochastic digital model of the Gaussian or related type, representative of the spatial distribution of a physical quantity (such as permeability for example) in a porous heterogeneous medium (such as a deposit of hydrocarbons for example) calibrated with respect to so-called static and uncertain dynamic data.
- the so-called static data correspond to observations on the physical quantity studied itself. When it is certain, the static data is an exact value. Otherwise, it is defined by a probability law.
- the so-called dynamic data are characteristic of the movement of fluids in the environment: for example, they are production data (pressures obtained from well tests, flow rates, etc.).
- the method according to the invention finds applications in the modeling of underground zones where it is a question of generating representations showing how a certain physical quantity is distributed in a zone of the subsoil (permeability, porosity, facies in particular) , best compatible with observed or measured data, for example with the aim of promoting its exploitation.
- Optimization in a stochastic context consists in determining realizations of a stochastic model which satisfy a set of data observed in the field, called static or dynamic according to their natures.
- the realizations to be identified correspond to representations, in the reservoir field, of the distribution of transport properties such as permeability or porosity or even of the distribution of facies, each facies corresponding to a family of transport properties. .
- These achievements form digital reservoir models.
- Static data available are, for example, point observations of permeability, porosity or facies and a model of spatial variability determined according to point measurements. Point data can be defined by probability laws rather than exact values. For example, at a given point, a porosity value can be characterized by a normal probability law of. mean 0.20 and variance 0.03.
- Dynamic data is data directly linked to the flow of fluids in an underground reservoir, i.e. pressures, breakthrough times, flow rates, etc. The latter are often not linearly related to the physical properties to be modeled. An achievement drawn at random is generally not in line with all of the data collected.
- Consistency with static data is integrated into the model using kriging techniques
- the general approach consists in generating an unconditional realization and correcting it so that it honors the point observations and the spatial structure.
- point observations are assumed to be exact (for example, at a given point, the permeability is equal to 150mD).
- the corrected realization is obtained as follows:
- ya ey are obtained by kriging from point observations and simulated y values at the observation points respectively.
- the point observations do not correspond to exact values, but are defined by probability laws, one can use either a Bayesian approach which turns out to be extremely costly in computation time, or a kriging technique. In the latter case, a case on which we focus here, a preliminary step is necessary in order to transform the probability law into a point value. This transformation cannot be arbitrary: the resulting point values must verify the spatial structure and the probability laws from which they come.
- the relationship between probability laws and point values is not unique. Iterative transformation methods have been proposed for facies realizations, where the probability law is a uniform law, by:
- Consistency with dynamic data is integrated into the model through an inverse procedure: - Tarantola, A., "Inverse problem theory - Methods for data fitting and model parameter estimation", Elsevier Science Publishers, 1987.
- FFT-MA FFT moving average
- the answers f (f ⁇ , f 2 ⁇ M ) are obtained by solving the direct problem numerically.
- yo represents a permeability field
- the data / can be pressure measurements. In this case, they are simulated using a flow simulator.
- the objective of a stochastic optimization is to produce realizations of Y which reduce the differences between the observed data and the corresponding responses simulated numerically. These differences are measured by the following objective function:
- the coefficients ⁇ m are weights assigned to the data f ° bs .
- the f m are functions of the realization yo discretized on a large number of meshes. In this sense, the minimization of the objective function is a problem with several variables.
- N be the number of meshes forming the realization yo. N is often very large (10 4 ⁇ 10 7 ). It is therefore very difficult to optimize directly with respect to the components of yo. In addition, the realization yo, even modified, " must remain a realization of Y. Parameterization by gradual deformation overcomes these difficulties.
- the gradual deformation technique makes it possible to construct a continuous chain of realizations by combining an initial realization yo of Y with another realization u ⁇ , called complementary, of Y, u ⁇ being independent of y 0 .
- the combination coefficients are for example cos (t) and sin (t) and the combined realization checks the relation:
- y l (t) y ⁇ _ ⁇ cos t + sin t.
- yi.j is the optimal realization defined in the iteration Z-l and the u ⁇ are realizations independent of Y.
- the object of the method according to the invention is to form a stochastic numerical model of the Gaussian or related type, representative of the distribution of a physical quantity in a porous heterogeneous medium (petroleum reservoirs, aquifers, etc.), which is adjusted with respect to dynamic data, characteristic of the displacement of fluids in the medium, and local static data (for example, porosity values defined by normal probability laws or values specifying the nature of the observed facies defined by probability laws uniforms) measured (by logging for example) at a certain number of measurement points along wells through the medium (production, injection or observation wells for example), and presenting a certain margin of uncertainty.
- a stochastic numerical model of the Gaussian or related type representative of the distribution of a physical quantity in a porous heterogeneous medium (petroleum reservoirs, aquifers, etc.)
- It includes an optimization of the model by means of an iterative deformation process where one forms at each iteration a combined realization obtained by linear combination of a part of an initial realization, representing at least a part of the medium, and at least a second independent realization of the same stochastic model, and a minimization of an objective function measuring the difference between real dynamic data and the dynamic data simulated by means of a flow simulator, for the combined realization, by adjusting the combination coefficients, the iterative adjustment process being continued until an optimal realization of the stochastic model is obtained.
- the method is essentially distinguished in that: a) we transform local static data into point pseudo-data in accordance with probability laws and a spatial variability model; and b) the pseudo-data are adjusted while respecting the probability laws of which they are.
- a first white Gaussian noise associated with the pseudo-data set is combined with a second white Gaussian noise.
- the probability laws are for example normal laws or uniform laws.
- the optimization can also be carried out by a method of pilot points.
- the method includes a new transformation technique which associates with the law of probability characterizing an uncertain local measure a punctual pseudodata in agreement with the law of probability from which it comes and the spatial variability model.
- the advantage of this approach is its speed and its complete coherence with respect to the method of gradual deformation.
- the method makes it possible to arrive more quickly at the formation of a digital model representative of the environment.
- FIG. 3 shows the optimization process developed to construct realizations constrained to static data (of the probability law type) and dynamic by gradual deformation
- - Figure 4 shows the facies distributions for the reference reservoir, the reservoir taken as the starting point of the optimization and the reservoirs obtained at the end of the optimization by having modified or not the pseudo-data deduced from the conversion of the observations facies to wells;
- the method according to the invention allows each iteration of the process of finding the minimum to gradually modify the realization itself, but also the pseudodata resulting from the process of transformation of the probability laws translating the uncertainty at the measurement points. This last property gives more flexibility to the optimization process and allows to reach the minimum more quickly. Transformation of the probability laws associated with measurement points into point data
- a preliminary stage in conditioning is based on the transformation of the information provided in the form of probability laws into point pseudo-data. This transformation must make it possible to respect the spatial structure and the laws of probability from which the data come.
- This case corresponds to the truncated Gaussian method.
- the method according to the invention then makes it possible to constrain the Gaussian realization underlying the truncated Gaussian realization to pseudo-data representative of the facies observations at certain points. In other words, the facies are thus constrained to the facies observed at the wells.
- a is a normalization constant, as well as the corresponding distribution function H, which can be done using numerical techniques (cf. Figure 1).
- Figure 2 illustrates the transformation process proposed in the case of uniform probability laws.
- the modeled attribute belongs to the interval 1, to the interval 2 or to the interval 3".
- the spatial structure is characterized by an exponential variogram with a correlation length of 20 m.
- a synthetic reservoir model is constructed on which the method according to the invention is tested.
- a facies reservoir for which the nature of the facies at the wells has been observed.
- This reservoir is simulated by the truncated Gaussian method: the facies are then closely linked to uniform probability laws, that is to say at intervals whose width depends on the proportion of said facies.
- the truncated Gaussian technique consists in applying thresholds according to the defined intervals to a continuous standard Gaussian realization to transform it into a discrete realization. At the observation points, the values of the continuous Gaussian realization are constrained by the intervals characterizing the facies observed.
- the synthetic reference tank is shown in Figure 4. It is a single-layer tank comprising 100x100 meshes 10 m thick and 10 m wide.
- the reservoir has three facies: 25% facies 1, 35% facies 2 and 40% facies 3. Their permeabilities are 300 mD, 200 D and 50 mD, respectively.
- h is the distance, l c the correlation length and ⁇ the standard deviation.
- the correlation length is 50 m along the main axis (1; 1; 0) and 20 m along the perpendicular axis (- 1; 1; 0).
- the porosity is constant and is worth 0.4.
- the object of the inverse problem is to determine a reservoir model coherent with the dynamic data and the observations of facies to wells by assuming unknown the distribution of facies.
- two optimization processes are launched, starting from the same initial embodiment (FIG. 4).
- a single optimization parameter is considered, namely the deformation parameter.
- the first process is based on a classical approach: the Gaussian values representative of the observations of facies at the wells are constant during optimization.
- the second process we test the proposed approach by varying these Gaussian values. We observe that by making possible the variations in the Gaussian values representative of the facies observations at the wells (uniform probability laws), we significantly accelerate the minimization of the objective function (Figure 6).
Abstract
Méthode pour former plus rapidement un modèle stochastique de type gaussien ou apparenté, représentatif d'un milieu hétérogène poreux tel qu'un réservoir souterrain, contraint par des données caractéristiques du déplacement des fluides et des observations ponctuelles, ces observations étant incertaines et caractérisées par une loi de probabilité. Elle s'appuie sur une méthode de transformation de l'information statique, donnée sous forme de lois de probabilité, en pseudo-données ponctuelles gaussiennes. Cette technique de transformation présente l'avantage d'être intégralement compatible avec une méthode de déformation graduelle. De fait, elle rend possible la minimisation d'une fonction objectif J mesurant l'écart entre les données dynamiques (données de production par exemple) et les réponses correspondantes simulées pour le modèle de réservoir considéré. La minimisation est menée en combinant des réalisations d'un modèle stochastique d'une part pour le modèle de réservoir et d'autre part pour les pseudo-données gaussiennes représentatives de l'information statique. Au cours du processus de minimisation, on ajuste les coefficients de combinaison et on identifie les réalisations qui permettent de réduire la fonction objectif. Applications notamment à l'exploitation de gisements pétroliers par exemple.
Description
METHODE POUR ELABORER PLUS RAPIDEMENT UN MODELE STOCHASTIQUE REPRESENTATIF D'UN RESERVOIR HETEROGENE SOUTERRAIN, CONTRAINT PAR DES DONNEES STATIQUES ET DYNAMIQUES INCERTAINES
La présente invention concerne une méthode pour former plus rapidement un modèle numérique stochastique de type gaussien ou apparenté, représentatif de la distribution spatiale d'une grandeur physique (comme la perméabilité par exemple) dans un milieu hétérogène poreux (tel qu'un gisement d'hydrocarbures par exemple) calé par rapport à des données dites statiques et dynamiques incertaines. Les données dites statiques, correspondent à des observations sur la grandeur physique étudiée elle-même. Lorsqu'elle est certaine, la donnée statique est une valeur exacte. Dans le cas contraire, elle est définie par une loi de probabilité. Les données dites dynamiques, sont caractéristiques du déplacement des fluides dans le milieu : ce sont par exemple des données de production (pressions obtenues à partir d'essais de puits, débits, etc.). La méthode selon l'invention trouve des applications dans la modélisation de zones souterraines où il s'agit de générer des représentations montrant comment est distribuée une certaine grandeur physique dans une zone du sous-sol (la perméabilité, la porosité, les faciès notamment), compatibles au mieux avec des données observées ou mesurées, dans le but par exemple d'en favoriser l'exploitation. ETAT DE LA TECHNIQUE
L'optimisation dans un contexte stochastique consiste à déterminer des réalisations d'un modèle stochastique qui satisfont un ensemble de données observées sur le terrain, dites statiques ou dynamiques suivant leurs natures. En ingénierie de réservoir, les réalisations à identifier correspondent à des représentations, dans le champ réservoir, de la distribution de propriétés de transport telles que la perméabilité ou porosité ou encore de la distribution des faciès, chaque faciès correspondant à une famille de propriétés de transport. Ces réalisations forment des modèles numériques de réservoir. Les données statiques disponibles sont, par exemple, des observations ponctuelles de perméabilité,
porosité ou faciès et un modèle de variabilité spatiale déterminé selon des mesures ponctuelles. Les données ponctuelles peuvent être définies par des lois de probabilité plutôt que des valeurs exactes. Par exemple, en un point donné, une valeur de porosité peut être caractérisée par une loi de probabilité normale de. moyenne 0.20 et de variance 0.03. Les données dynamiques sont des données directement liées aux écoulements des fluides dans un réservoir souterrain, c'est à dire des pressions, des temps de percée, des débits, etc. Ces dernières sont souvent non linéairement reliées aux propriétés physiques à modéliser. Une réalisation tirée au hasard n'est pas en général en adéquation avec l'ensemble des données collectées.
Intégration des données statiques
La cohérence vis à vis des données statiques est intégrée dans le modèle à partir de techniques de krigeage
- Journel, A.G., and Huijbregts, C.J., "Mining geostatistics", Académie Press, San Diego, CA, 1978.
L'approche générale consiste à générer une réalisation non conditionnelle et à la corriger de sorte qu'elle honore les observations ponctuelles et la structure spatiale. Dans ce cadre, les observations ponctuelles sont supposées exactes (par exemple, en un point donné, la perméabilité vaut 150mD). Soit une réalisation y gaussienne et non conditionnelle du modèle stochastique Y. La réalisation corrigée s'obtient comme suit :
yc(χ) = ydK {χ)+ [y{χ)- yκ {χ)] yc est la réalisation gaussienne corrigée et donc conditionnelle. ya e y sont obtenues par krigeage à partir respectivement des observations ponctuelles et des valeurs de y simulées aux points d'observation. Lorsque que les observations ponctuelles ne correspondent pas à des valeurs exactes, mais sont définies par des lois de probabilité, on peut utiliser soit une approche bayésienne qui s'avère extrêmement coûteuse en temps calcul, soit une technique de krigeage. Dans ce dernier cas, cas sur lequel nous nous concentrons ici, une étape préliminaire s'impose afin de transformer la loi de probabilité en valeur ponctuelle. Cette transformation ne peut être quelconque : les valeurs ponctuelles en résultant doivent vérifier la structure spatiale et les lois de probabilité dont elles sont issues. Clairement, la relation entre lois de probabilité et
valeurs ponctuelles n'est pas unique. Des méthodes de transformation itératives ont été proposées pour les réalisations en faciès, où la loi de probabilité est une loi uniforme, par:
- Freulon, X., and Fouquet, C. de, "Conditioning a Gaussian model with inequalities", in Geostatistics Troia'92, A. Soares, éd., Kluwer Académie Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1993.
- Le Ravalec-Dupin, M., "Conditioning truncated Gaussian realizations to static data", 8th Ann. Conf. Int. Ass. Math. Geol., Berlin, Germany, 15-20 Sept, 2002.
Ces techniques convergent vers la fonction de densité de probabilité souhaitée, mais très lentement. En pratique, on ne cherche pas à échantillonner complètement cette fonction. On se contente de déterminer un jeu unique de valeurs ponctuelles respectant la structure spatiale et les lois de probabilités voulues et on l'utilise pour obtenir la réalisation corrigée yc. C'est à ce jeu unique, et donc invariable, que se réfère constamment le processus d'optimisation pour élaborer des réalisations contraintes simultanément par les données statiques et dynamiques. Ce point est fondamental dans le processus d'optimisation.
Intégration des données dynamiques
La cohérence vis à vis des données dynamiques est intégrée dans le modèle par le biais d'une procédure inverse: - Tarantola, A., "Inverse problem theory - Methods for data fitting and model parameter estimation", Elsevier Science Publishers, 1987.
Récemment, une technique de paramétrage géostatistique qui simplifie le problème inverse, a été introduite pour contraindre, par déformation graduelle, les réalisations stochastiques à des données dont elles dépendent de manière non linéaire. Elle a fait l'objet des brevets FR 2.780.798 et FR2.795.841 du demandeur, et des publications suivantes, notamment :
- Hu, L.Y., 2000, Graduai déformation and itérative calibration of Gaussian-related stochastic models: Math. Geology, Vol.32, No.l.
- Le Ravalée, M. et al. 2000, The FFT moving average (FFT-MA) generator: An efficient numèrical method for generating and conditioning Gaussian simulations:
Math. Geology, Vol.32, No.6.
- Hu, L.Y., Blanc, G. and Noetinger, B. (2001): Graduai déformation and itérative calibration of sequential stochastic simulations. Math. Geology, Vol. 33, No.4.
Cette méthode a été appliquée avec succès à divers cas notamment à partir de données provenant de champs d'exploitation pétrolière, comme décrit dans les documents suivants :
- Roggero, F. et al.1998, Graduai déformation of continuous geostatistical models for history matching, Paper SPE 49004: Proc. SPE Annual Technical Conférence and Exhibition, New Orléans.
- Hu, L.Y. et al. 1998, Constraining a réservoir faciès model to dynamic data using a graduai déformation method, Paper B-01: Proc. 6th European Conférence on
Mathematics of Oil Recovery (ECMOR VI), 8-11 September 1998, Peebles, Scotland.
Supposons que fobs = {ff ff j£* ) représente l'ensemble des données dynamiques recueillies sur le terrain et f = (f f2 /M ) ^es réponses correspondantes simulées pour une réalisation yc déjà contrainte par les données statiques comme explicité plus haut. En général, les réponses f = (fι,f2 ÏM ) sont obtenues en résolvant numériquement le problème direct. Ainsi, si yo représente un champ de perméabilité, les données / peuvent être des mesures de pression. Dans ce cas, elles sont simulées à partir d'un simulateur d'écoulement. L'objectif d'une optimisation stochastique est de produire des réalisations de Y qui réduisent les différences entre les données observées et les réponses correspondantes simulées numériquement. Ces différences sont mesurées par la fonction objectif suivante :
Les coefficients ωm sont des poids attribués aux données f°bs . Les fm sont des fonctions de la réalisation yo discrétisée sur un grand nombre de mailles. En ce sens, la minimisation de la fonction objectif est un problème à plusieurs variables.
Soit N le nombre de mailles formant la réalisation yo. N est souvent très grand (104 ~ 107) . H est donc très difficile de mener une optimisation directement par rapport aux composantes de yo. De plus, la réalisation yo, même modifiée," doit rester une
réalisation de Y. Le paramétrage par déformation graduelle permet de s'affranchir de ces difficultés.
La technique de déformation graduelle permet de construire une chaîne continue de réalisations en combinant une réalisation initiale yo de Y avec une autre réalisation u\, dite complémentaire, de Y, u\ étant indépendante de y0. Les coefficients de combinaison sont par exemple cos(t) et sin(t) et la réalisation combinée vérifie la relation :
y(t) = y0 cos t + sin t
où t est le paramètre de déformation.
Dès lors que la chaîne est élaborée, on peut l'explorer en variant le paramètre de déformation t et tenter d'identifier parmi toutes les réahsations de cette chaîne celle qui, après intégration des données statiques par krigeage, minimise la fonction objectif. Cette minimisation se fait par rapport à t. Le paramétrage suivant la méthode de déformation graduelle permet de réduire le nombre de dimensions du problème de N à 1, où N est le nombre de valeurs constituant le champ à contraindre. De plus, la somme des coefficients de combinaison au carré étant 1, la réalisation optimisée est encore une réalisation de Y : elle suit le même modèle de variabilité spatiale que toutes les réalisations de Y.
Cependant, si l'on restreint l'exploration de l'espace des réahsations à une unique chaîne, on limite sévèrement nos possibilités de diminuer suffisamment la fonction objectif. Il faut donc répéter la procédure décrite ci-dessus, mais avec de nouvelles chaînes de réalisations. Ces chaînes de réalisations sont construites successivement en combinant une réalisation initiale qui est ici la réalisation optimale déterminée à l'itération précédente, avec une réalisation complémentaire de Y, à chaque fois tirée au hasard. Ainsi, à l'itération l, la chaîne continue de réalisation s'écrit :
yl (t) = yι_ι cos t + sin t .
yi.j est la réalisation optimale définie à l'itération Z-l et les uι sont des réalisations indépendantes de Y.
En minimisant la fonction objectif par rapport à t, on améliore, ou au moins préserve, le calage des données à chaque fois qu'une nouvelle chaîne de réalisations est explorée. Cette procédure de recherche de minimum itérative est poursuivie tant que le calage des données n'est pas satisfaisant. '"
A ce jour, les valeurs ponctuelles intégrées par krigeage dans le modèle pour rendre compte des données statiques restent constantes tout au long du processus d'optimisation, même lorsqu'elles correspondent à des valeurs incertaines. Dans ce dernier cas, une telle hypothèse peut freiner significativement le processus d'optimisation et empêcher -la minimisation de la fonction objectif.
La méthode selon l'invention
La méthode selon l'invention a pour objet de former un modèle numérique stochastique de type gaussien ou apparenté, représentatif de la distribution d'une grandeur physique dans un milieu hétérogène poreux (réservoirs pétroliers, aquiferes, etc.), qui soit ajusté par rapport à des données dynamiques, caractéristiques du déplacement des fluides dans le milieu, et des données statiques locales (par exemple, des valeurs de porosité définies par des lois de probabilité normales ou encore des valeurs précisant la nature des faciès observés définies par des lois de probabilité uniformes) mesurées (par diagraphies par exemple) en un certain nombre de points de mesure le long de puits au travers du milieu (puits de production, d'injection ou d'observation par exemple), et présentant une certaine marge d'incertitude. Elle comporte une optimisation du modèle par le biais d'un processus itératif de déformation où l'on forme à chaque itération une réalisation combinée obtenue par combinaison linéaire d'une part d'une réalisation initiale, représentant au moins une partie du milieu, et d'au moins une deuxième réalisation indépendante du même modèle stochastique, et une minimisation d'une fonction objectif mesurant l'écart entre des données dynamiques réelles et les données dynamiques simulées au moyen d'un simulateur d'écoulement, pour la réalisation combinée, par ajustement des coefficients de combinaison, le processus d' ajustement itératif étant poursuivi jusqu'à l'obtention d'une réalisation optimale du modèle stochastique. La méthode se distingue pour l'essentiel en ce que : a) on transforme les données statiques locales en pseudo-données ponctuelles en accord avec des lois de probabilité et un modèle de variabilité spatiale ; et b) on ajuste les pseudo-données en respectant les lois de probabilités dont elles sont. issues, ainsi que le modèle de variabilité spatiale, par le biais d'un processus itératif où l'on combine un premier bruit blanc gaussien associé au jeu de pseudo-données à un deuxième bruit blanc gaussien.
Suivant un mode préféré, on ajuste le modèle par un processus de déformation graduelle en imposant que la somme des carrés des coefficients de combinaison entre les réalisations soit égale à 1 et on ajuste alors les pseudo-données par un processus itératif où la somme des carrés des coefficients de la dite combinaison vaut également 1. Les lois de probabilités sont par exemple des lois normales ou des lois uniformes.
On peut conduire l'ajustement itératif à partir de deux paramètres de déformation par exemple, avec un premier paramètre qui contrôle la combinaison entre la réalisation initiale et la deuxième réalisation, et un deuxième paramètre qui contrôle la combinaison entre le bruit blanc gaussien initial et le deuxième brait blanc gaussien. II est possible également de conduire l'optimisation à partir d'un unique paramètre quand les coefficients de combinaison sont identiques pour la combinaison de réalisations et la combinaison de bruits blancs gaussiens.
Suivant un autre mode de mise en œuvre, l'optimisation peut également être conduite par une méthode de points pilotes. En d'autres termes, la méthode comprend une nouvelle technique de transformation qui associe à la loi de probabilité caractérisant une mesure locale incertaine une pseudodonnée ponctuelle en accord avec la loi de probabilité dont elle est issue et le modèle de variabilité spatiale. L'avantage de cette approche est sa rapidité et sa complète cohérence vis à vis de la méthode de déformation graduelle. De fait, il devient possible de mettre en œuvre des processus d'optimisation au cours desquels on déforme graduellement la réalisation et le jeu de pseudo-données ponctuelles. En variant ce ou ces deux paramètre(s), on explore une chaîne de réalisations respectant toutes la structure spatiale requise et une chaîne de jeux de données respectant tous la structure spatiale et les lois de probabilités requises. Il s'agit alors d'identifier la réalisation et le jeu de pseudo-données qui minimisent la fonction objectif.
La méthode permet d'arriver plus rapidement à la formation d'un modèle numérique représentatif du milieu.
Présentation des figures
D'autres caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention apparaîtront plus précisément à la lecture de la description ci-après d'un exemple non limitatif d'application, en se référant aux dessins annexés où : - la figure 1 montre à gauche h(x, y) °= N(FK , σκ ).N(m, σ) et à droite les fonctions densité et de répartition en résultant. La fonction densité est obtenue à partir de la diagonale de h(x,y) ;
- la figure 2 montre deux jeux (t = 0.0 et t = 0.5) de pseudo-données ponctuelles issues de la transformation de lois de probabilité uniformes (cas des gaussiennes tronquées) et les pseudo-données qui en sont déduites par déformation graduelle (t = 0.1, 0.2, 0.3,
0-4) ; la figure 3 montre le, processus d'optimisation développé pour construire des réalisations contraintes aux données statiques (de type lois de probabilité) et dynamiques par déformation graduelle ; - la figure 4 montre les distributions de faciès pour le réservoir de référence, le réservoir pris comme point de départ de l'optimisation et les réservoirs obtenus en fin d'optimisation en ayant modifié ou non les pseudo-données déduites de la conversion des observations de faciès aux puits ;
- la figure 5 montre les flux fractionnaires simulés aux puits producteurs et les pressions au puits injecteur ; et
- la figure 6 montre l'évolution de la fonction objectif pour des optimisations menées sans modifier les pseudo-données aux puits (Conventional Matching) et en les modifiant (New Matching).
Description détaillée de la méthode
La méthode selon l'invention permet à chaque itération du processus de recherche du minimum de modifier graduellement la réalisation elle-même, mais aussi les pseudodonnées issues du processus de transformation des lois de probabilités traduisant l'incertitude aux points de mesure. Cette dernière propriété donne plus de flexibilité au processus d'optimisation et permet de tendre vers le minimum plus rapidement.
Transformation des lois de probabilités associées aux points de mesure en données ponctuelles
Une étape préliminaire au conditionnement repose sur la transformation de l'information fournie sous forme de lois de probabilité en pseudo-données ponctuelles. Cette transformation doit permettre de respecter la structure spatiale et les lois de probabilité dont les données sont issues.
Elle doit en outre être compatible avec la méthode de déformation graduelle. Pour cette raison, on utilisera pour la fonction de répartition normale standard et son inverse, notées G et G-1 , les approximations analytiques rappelées par
- Deutsch et Journel, GSLIB - Geostatistical software library and user's guide, Oxford univ. Press, 1992.
Ces fonctions assurent une relation bijective entre un bruit blanc gaussien initial et un jeu de données transformées. Les résultats obtenus sont précis jusque 5 décimales. Considérons N points *(Vs[1>JV] pour lesquels on dispose de mesures. Ces N mesures sont incertaines et définies, de fait, à partir de lois de probabilité Pfe[i,Λrι- Le cadre général mis en place pour le processus de transformation proposé repose sur la technique de simulation séquentielle. L'algorithme de transformation procède comme suit:
1) On tire au hasard un bruit blanc gaussien Zi [l<N dont chaque composante est associée à un point xiJe[^N] •
2) On convertit ce bruit blanc gaussien en nombres uniformes indépendants
3) On définit un chemin aléatoire visitant chacun des points xitis[lιN].
4) A l'itération n+1, on suppose que les n lois de probabilités des n points visités précédemment ont été transformées en n valeurs normales standards E,ιfe[lιπ] . Au point xn+ι, on détermine alors à partir des n valeurs déjà définies l'estimateur de krigeage Fκ et l'écart type associé σκ .
5) On détermine la fonction de répartition H correspondant à la loi de probabilité suivante : h c N{Fκ , σκ ).PM
où N(FK , σκ ) est la loi de probabilité normale de moyenne Fκ et d'écart type σκ . On estime ensuite Fn+1 =H~l[unJrl] . On ajoute ensuite cette valeur au jeu de données transformées.
6) On se rend sur le point suivant défini à partir du chemin aléatoire, et on répète les étapes 4 et 5. On procède ainsi jusqu'à ce que les N lois de probabilités aient été transformées.
Quelques cas particuliers a) Loi de probabilité uniforme
On suppose que les lois de probabilité Pîe[i,w] correspondent à des distributions uniformes sur des intervalles [An+1, Bn+ . A l'étape 5, on procède alors comme suit:
Ce cas correspond à la méthode des gaussiennes tronquées. La méthode selon l'invention permet alors de contraindre la réalisation gaussienne sous-jacente à la réalisation gaussiennes tronquée à des pseudo-données représentatives des observations de faciès en certains points. En d'autres termes, on contraint ainsi la réalisation en faciès aux faciès observés aux puits.
b) Loi de probabilité normale
On suppose que la loi de probabilité décrivant l'incertitude sur la mesure est une loi normale de moyenne m et de déviation standard σ. Il faut alors déterminer la loi de probabilité suivante :
Ce cas convient à la description de tout champ dans la mesure où il est ramené par anamorphose à un champ gaussien.
Applications
La Figure 2 illustre le processus de transformation proposé dans le cas de lois de probabilité uniformes. On suppose qu'en 100 points séparés de 1 m, on dispose de l'information "en ce point, l'attribut modélisé appartient à l'intervalle 1, à l'intervalle 2 ou à l'intervalle 3". En outre, la structure spatiale est caractérisée par un variogramme exponentiel avec une longueur de corrélation de 20 m. En appliquant l'algorithme exposé plus haut, on transforme ces observations en données ponctuelles (courbe t = 0.0). Toutes respectent les intervalles dont elles sont extraites ainsi que le modèle de variabilité spatiale. En prenant comme point de départ un nouveau bruit blanc gaussien, on obtient un nouveau jeu de données ponctuelles (courbe t = 0.5).
L'avantage de l'algorithme de transformation décrit est sa compatibilité avec la méthode de déformation graduelle. On peut en effet appliquer le formalisme de la déformation graduelle pour combiner deux bruits blancs gaussiens z/ιfe[lιW] qui fournissent chacun un jeu de pseudo-données en accord avec le modèle de variabilité spatiale et les lois de probabilité liées aux points de mesure. Un exemple est présenté sur la Figure 2 dans le cadre d'une loi de probabilité uniforme. On combine les bruits blancs gaussiens ayant conduit aux courbes t = 0.0 et t = 0.5. En variant le paramètre de déformation t, on obtient d'autres jeux de données ponctuelles respectant la structure spatiale et les lois uniformes requises.
Conditionnement par les données statiques et dynamiques
L'avantage de l'algorithme de transformation présenté dans la section précédente est son entière compatibilité avec la méthode de déformation graduelle. Or, cette méthode est une technique de paramétrage très pratique dans le cadre de l'optimisation stochastique : elle permet de déformer la distribution d'un attribut à l'aide d'un petit nombre de paramètres tout en préservant la structure spatiale. Nous intégrons la technique de
transformation exposée plus haut dans le processus d'optimisation, selon le schéma décrit sur la Figure 3.
On considère au départ un bruit blanc gaussien initial et un bruit blanc gaussien complémentaire pour la réalisation ; de même pour les observations statiques. Dans les deux cas, on combine suivant les principes de déformation graduelle le bruit initial au bruit complémentaire, cette combinaison étant contrôlée par un paramètre de déformation t. En réalité, on pourrait prendre deux paramètres de déformation différents, un pour la réalisation et un pour les observations statiques. On suppose ici ces deux paramètres identiques pour se retrouver dans le cadre d'un problème à une dimension. Ensuite, pour la réalisation, le bruit blanc gaussien issu de la combinaison graduelle est transformé en réalisation gaussienne structurée (composant FFTMA). En parallèle, pour les observations statiques, le bruit blanc gaussien issu de la combinaison graduelle est transformé en pseudo-données ponctuelles en accord avec les lois de probabilité observées. Ces pseudodonnées sont alors utilisées pour contraindre la réalisation fournie par le composant FFTMA. Une simulation d'écoulement est exécutée pour la réalisation contrainte qui fournit des données de production (par exemple, des pressions, des temps de percée, des débits, etc.). Ces données simulées sont ensuite comparées aux données dynamiques observées sur le terrain par le biais de la fonction objectif. Durant le processus d'optimisation, on modifie le paramètre t afin de réduire la fonction objectif. Puis, cet technique de recherche est poursuivie plus avant avec de nouveaux bruits blancs gaussiens complémentaires .
Exemple numérique
On construit un modèle synthétique de réservoir sur lequel on teste la méthode selon l'invention. On considère un réservoir en faciès pour lequel on a observé la nature des faciès aux puits. Ce réservoir est simulé par la méthode des gaussiennes tronquées : les faciès sont alors intimement liés à lois de probabilités uniformes, c'est à dire à des intervalles dont la largeur dépend de la proportion des dits faciès. La technique des gaussiennes tronquées consiste à appliquer des seuillages suivant les intervalles définis à une réalisation gaussienne standard continue pour la transformer en réalisation discrète. Aux points d'observation, les valeurs de la réalisation gaussienne continue sont contraintes par les intervalles caractérisant les faciès observés.
Le réservoir synthétique de référence est représenté sur la Figure 4. Il s'agit d'un réservoir mono-couche comprenant 100x100 mailles de 10 m d'épaisseur et de 10 m de côté. Le réservoir comprend trois faciès : 25 % de faciès 1, 35 % de faciès 2 et 40 % de faciès 3. Leurs perméabilités sont 300 mD, 200 D et 50 mD, respectivement. La réalisation gaussienne utilisée pour obtenir la réalisation tronquée est caractérisée par un variogramme anisotrope, stable, d'exposant = 1.5:
Table 1. Faciès observés aux puits.
L'objet du problème inverse est de déterminer un modèle de réservoir cohérent avec les données dynamiques et les observations de faciès aux puits en supposant inconnue la distribution des faciès. Dans ce but, on lance deux processus d'optimisation en partant de la même réalisation de départ (figure 4). Pour chacun de ces processus, on considère un unique paramètre d'optimisation, à savoir le paramètre de déformation. Le premier processus est basé sur une approche classique : les valeurs gaussiennes représentatives des observations de faciès aux puits sont constantes pendant roptimisation. Pour le deuxième processus, on teste l'approche proposée en variant ces valeurs gaussiennes.
On observe qu'en rendant possible les variations au niveau des valeurs gaussiennes représentatives des observations de faciès aux puits (lois de probabilité uniformes), on accélère significativement la minimisation de la fonction objectif (Figure 6).
On a décrit jusqu'ici une mise en œuvre de la méthode dans le cadre préféré d'un processus de déformation graduelle des réalisations du modèle qui impose que les coefficients des combinaisons de réalisations qui sont effectuées, soient tels que la somme des carrés des coefficients de combinaison soit égale à 1.
On ne sortirait pas du cadre général de l'invention toutefois en appliquant la technique de transformation qui vient d'être décrite, associant à une loi de probabilité caractérisant une mesure locale incertaine, une pseudo-donnée ponctuelle en accord avec la loi de probabilité dont elle est issue et un modèle de variabilité spatiale, à une autre approche d'optimisation du modèle stochastique connue en soi, telle que la méthode dite des points pilotes.
Claims
REVENDICATIONS
1) Méthode pour former un modèle numérique stochastique de type gaussien ou apparenté, représentatif de la distribution d'une grandeur physique dans un milieu hétérogène poreux, qui soit ajusté par rapport à des données dynamiques, caractéristiques du déplacement des fluides dans le milieu, et des données statiques locales mesurées en un certain nombre de points de mesure le long de puits au travers du milieu, et présentant une certaine marge d'incertitude, dans laquelle on optimise le modèle par le biais d'un processus itératif de déformation où l'on forme à chaque itération une réalisation combinée obtenue par combinaison linéaire d'une part d'une réalisation initiale, représentant au moins une partie du milieu, et d'au moins une deuxième réalisation indépendante du même modèle stochastique, et on minimise une fonction objectif mesurant l'écart entre des données dynamiques réelles et les données dynamiques simulées au moyen d'un simulateur d'écoulement, pour la réalisation combinée, par ajustement des coefficients de combinaison, le processus d' ajustement itératif étant poursuivi jusqu'à l'obtention d'une réalisation optimale du modèle stochastique, caractérisée en ce que : a) on transforme les données statiques locales en pseudo-données ponctuelles en accord avec des lois de probabilité et un modèle de variabilité spatiale ; et b) on ajuste les pseudo-données en respectant les lois de probabilités dont elles sont issues, ainsi que le modèle de variabilité spatiale, par le biais d'un processus itératif où l'on combine un premier bruit blanc gaussien associé au jeu de pseudo-données à un deuxième bruit blanc gaussien.
2) Méthode selon la revendication 1, caractérisée en ce que l'on ajuste le modèle par un processus de déformation graduelle en imposant que la somme des carrés des coefficients de combinaison entre les réalisations soit égale à 1 et on ajuste les pseudodonnées par un processus itératif où la somme des carrés des coefficients de la dite combinaison vaut également 1.
3) Méthode selon la revendication 2, caractérisée en ce que les lois de probabilités sont des lois normales ou des lois uniformes. 4) Méthode selon la revendication 2 ou 3, caractérisée en ce que l'on conduit l'ajustement itératif à partir de deux paramètres de déformation, un premier paramètre qui contrôle la combinaison entre la réalisation initiale et la deuxième réalisation, et un
deuxième paramètre qui contrôle la combinaison entre le bruit blanc gaussien initial et le deuxième bruit blanc gaussien.
5) Méthode selon la revendication 2 ou 3, caractérisée en que l'optimisation est conduite à partir d'un unique paramètre quand les coefficients de combinaison sont identiques pour la combinaison de réalisations et la combinaison de bruits blancs gaussiens.
6) Méthode selon la revendication 1, dans laquelle l' optimisation est conduite par une méthode de points pilotes.
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