WO2001067396A1 - Triangulation de delaunay - Google Patents
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- WO2001067396A1 WO2001067396A1 PCT/FR2001/000610 FR0100610W WO0167396A1 WO 2001067396 A1 WO2001067396 A1 WO 2001067396A1 FR 0100610 W FR0100610 W FR 0100610W WO 0167396 A1 WO0167396 A1 WO 0167396A1
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- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
- G06T17/00—Three dimensional [3D] modelling, e.g. data description of 3D objects
- G06T17/20—Finite element generation, e.g. wire-frame surface description, tesselation
Definitions
- the invention relates to data processing for the construction of multidimensional images.
- Geometric modeling consists in developing a processing of one or more three-dimensional objects measured by a rangefinder sensor, such as a probe, a laser rangefinder, or even three-dimensional imaging systems.
- a rangefinder sensor such as a probe, a laser rangefinder, or even three-dimensional imaging systems.
- the initial data is in the form of a set of points with no particular structure measured on the surface of the objects.
- Such a problem is encountered in particular in computer aided design (CAD), computer graphics, medical imaging, molecular chemistry or geology.
- CAD computer aided design
- the invention uses an interpolation of spatial data, of the "natural interpolation" type, applied to geometric modeling.
- a natural interpolation generally consists in defining any point as the barycenter of a subset of points in the cloud, these points then being defined as natural neighbors of this barycenter.
- the weighting coefficients of the barycenter, each associated with a natural neighbor, are called natural coordinates.
- the present invention provides a data processing method, in particular for the construction / reconstruction of multidimensional images. It can also be two-dimensional, or three-dimensional images. As will be seen in detail below, this method applies to any dimension, greater than or equal to two.
- the processing method therefore comprises the following steps: a) firstly obtain a cloud of points of known coordinates, and b) define, by natural interpolation of this point cloud, the natural neighbors of a current point of the cloud and evaluate the natural coordinates of the current point, each in correspondence with a natural neighbor.
- the method further comprises the following steps: c) calculating, from the natural neighbors of a current point and its natural coordinates, an implicit function representative of a distance between this point current and a surface element substantially comprising the natural neighbors of the current element, d) repeating steps b) and c) with at least part of the points of the cloud taken successively as current points, and e) constructing a surface comprising a plurality of points taken in step d) as current points and whose implicit function satisfies a chosen condition, such that, in one embodiment, the implicit function is zero.
- the method further comprises the following steps: cil) estimating an orientation of a first chosen surface element, preferably for the point of greatest abscissa as the current point, and cl2) deduce from each other and from the orientation of the first element, the respective orientations of all the surface elements, which makes it possible to obtain the orientation of the unit vectors perpendicular each to a surface element.
- step e) of the method comprises an operation consisting in ignoring the points of the cloud whose distance from the surface to be constructed is less than a threshold value, in order to perform a simplification of the point cloud, which makes it possible to construct a total surface from the point cloud and / or to smooth this surface, preferably as a function of a chosen tolerance, and / or to locally deform this surface.
- step b) of the method comprises the following preliminary operations: bl) applying a Delaunay triangulation to the point cloud, b2) construct Voronoi cells and deduce therefrom the centers of the cells, b3) add to each cell two poles corresponding substantially to points furthest from the center of the cell, preferably located on either side of the surface, and whose associated natural coordinates are preferably considered to be zero, and b4) evaluate the natural coordinates in each cell thus increased.
- the method according to the invention can be implemented by a device comprising in particular:
- a processor capable of cooperating with the memory to perform all or part of the operations of the method, a graphical interface arranged to cooperate with the processor, and
- FIG. 1 schematically represents a device for implementing the method according to the invention
- FIG. 2 illustrates the construction of a Voronoi cell in a two-dimensional space
- FIG. 3 illustrates the principle of inserting a point x into a two-dimensional Delaunay triangulation
- FIG. 4 is a schematic representation of a surface with its normals, in a plane comprising the abscissa axis,
- FIG. 5 represents the poles S and S 'of a Voronoi cell whose point A- is the center
- FIG. 6 is a flowchart showing the steps of a method for the orientation of perpendicular unit vectors (normal vectors).
- Annex I includes equations to which the description text below refers and Annex II transcribes in the form of a pseudo-code a computer processing for the insertion of a point in a three-dimensional Delaunay triangulation.
- the device is in the form of a computer comprising a central unit UC provided with a microprocessor ⁇ P which cooperates with a motherboard CM.
- This motherboard is connected to various equipment, such as as a COM communication interface (Modem type or other), ROM read only memory and RAM working memory (random access memory).
- the motherboard CM is also connected to a graphical interface IG, which controls the display of data on an ECR screen that the device includes.
- input means such as a CLA keyboard and / or an input device called "mouse" SOU, connected to the central unit UC and allowing a user interactivity with the device.
- a left part of the screen represents a cloud of points whose coordinates are known and previously recorded, for example in the ROM of the device.
- On the right side of the screen is shown a reconstructed surface, for example in a three-dimensional space, by a processing according to the method of the invention and carried out by the microprocessor in cooperation with the different memories of the central unit.
- the input means CLA, SOU allow a user to enter, for example, a smoothing tolerance of the reconstructed surface, or even to refine this surface.
- the device can gradually receive points from the cloud in a chosen order, via its COM communication interface, then build a raw surface, while the ROM memory includes a module with which the microprocessor can cooperate to refine the surface raw by inserting points of chosen coordinates, as we will see later.
- the method according to the invention applies to geometric modeling an interpolation of spatial data, the principle of which is described in [Sib ⁇ l] and called "natural interpolation".
- V (A-) the cell of the Voronoi diagram of the set A and which is associated with the point A-.
- V (X) the cell of a point X in the Voronoi diagram of the set A increased by the point X.
- V (A ⁇ ) and V (X) have a non-empty intersection V (A-, X).
- the natural coordinate ⁇ ⁇ (X) is the ratio of the volume of V (A-, X) to the volume of V (X).
- the proposed treatment is first based on an algorithm for inserting a point X into a three-dimensional Delaunay triangulation.
- Figure 3 illustrates in two-dimensional space the principle of insertion of a point X in a Delaunay triangulation. All triangles whose circumscribed circle surrounds point X must be deleted. These triangles are said to be in conflict with X.
- the hole thus created (polygon pi to p6 in FIG. 3) is then retriangulated by connecting X to the edges of the edge of the hole, as indicated in dotted lines in FIG. 3.
- the new tetrahedrons filling the cavity are created. They rest on the faces of the cavity and have point X as their common vertex.
- the creation and updating of the adjacency relationships between these tetrahedra are preferably carried out by turning around the external edges of the cavity.
- the algorithm for calculating natural coordinates consists in describing a triangulation of the border of the regions stolen by the point X from its neighbors.
- the volumes of V (A ⁇ , X) are calculated from triangulations, for example according to the principle described in:
- the conflicting tetrahedra are first found. Then, during the rotations around the internal and external edges, the dual faces of these edges are transferred. Each face of this type is common to two natural regions, and its vertices are the Voronoi centers of the tetrahedrons crossed. The sequence of these vertices is then the triangulation used to calculate the volume. Reference may be made to the processing transcribed in Annex II and preferred here, for inserting a point in a three-dimensional Delaunay triangulation.
- an implicit function is calculated from local information on a surface to be reconstructed. This implicit function interpolates this information as follows.
- a a point cloud A ⁇ A 1 , ... A n ⁇ of a space E (E is generally the usual plane or three-dimensional space but the process applies in all dimensions) measured on a orientable surface S.
- E is generally the usual plane or three-dimensional space but the process applies in all dimensions
- the function h is continuously differentiable.
- the set S, of points X for which the function h (X) is zero is a surface which passes through the A ⁇ and whose normal in A- is the vector n ⁇ . It is then proposed here an approximation of the surface S by the surface S ,.
- the use of the method according to the invention provides a smooth ⁇ A surface and gives good results even if the data are scarce, with little points in the cloud.
- a first approach consists in calculating the mean plane (in the sense of least squares) passing through the natural neighbors of A ⁇ weighted by the associated natural coordinates.
- Another approach, preferred here, is based on the insertion, among the natural neighbors A ⁇ , of the poles of the cell of Vorono ⁇ whose point A- is the center. These poles will be described in detail below.
- FIG. 6 Reference is made to FIG. 6 for the detail of the stages of the method of orientation of the normal vectors n ⁇ .
- step 12 for the point of greatest abscissa A ⁇ , the orientation of the vector n ⁇ such that this vector ⁇ i forms an acute angle (FIG. 4) with the unit vector carried by the first coordinate axis (axis of the abscissa).
- a first point A j _ ⁇ now has a normal vector n ⁇ .
- step 16 We first perform a test (step 16) to find out whether a point A- has a normal vector or not, with j going from 1 to N where N is the total number of normal vectors to orient (step 14). For each point A- which does not yet have a normal vector, its naked normal vector is estimated by the formula given by equation 3 in the appendix. In this equation 3, the vector ⁇ i j _ (A-) is considered to be zero if the point A- does not yet have a normal vector. With each point A- we associate (step 18) the value v- of the projection of the vector m. j on the direction ⁇ ⁇ .
- This normal orientation method is particularly advantageous compared to other known methods, for example the method based on the principle described in [HDD + 92] and which assumes a uniform distribution of the points on the surface S.
- Another determination of the vectors normal is based on a principle described in:
- Voronoi cell V (A-) For each Voronoi cell V (A-) one searches for its most distant vertex S and the most distant vertex S 'in the direction of the vector SA j _ (FIG. 5). These points are called the poles.
- a + the set formed by the points of A and added poles.
- the evaluation of the natural coordinates is done by considering the Voronoi diagram of A + but by posing that the associated natural coordinate has a point added is zero.
- the number of volumes to be calculated is then proportional to the number of natural neighbors of point X which are points of the sample neighbors of X on the surface (and no longer in all of space). This process allows the calculation times to be divided by a factor of around twenty.
- the data are redundant and it is desirable to extract from the cloud of points A a subset as small as possible which represents within a tolerance e near the surface S.
- This method differs from the usual methods which consist, for example, of constructing an initial mesh from the data points and then, in a second step, of simplifying this mesh.
- the simplification method described above is particularly advantageous in the case of very large data sets for which it is not possible to construct a mesh. This situation is often encountered in modeling applications based on measurements.
- This method also makes it possible to represent the surface at different levels of resolution. Typically, if the points of the set A are sorted according to the insertion order described above, it is possible to vary the resolution of reconstruction by retaining for example only a chosen number of first points.
- the method finds a particularly advantageous application to the transmission of data by a link of the type using a COM communication interface (FIG. 1). If the points are transferred in the aforementioned insertion order, the reconstructed model can be progressively refined as the points are transmitted.
- An application for online use (“internet” type) thus makes it possible to progressively display a complex three-dimensional object, without having to wait for the complete loading of the data.
- a known method consists in using an algorithm of the type called "marching cubes" resulting from the principle described for example in the reference [HDD + 92].
- this method has several drawbacks, in particular the fact that the resolution depends on the size of the grid and not on the local properties of the surface and, on the other hand, the fact that the points A- are not, in general , points of the mesh.
- the method used here begins with a rough triangulation of the surface S, possibly followed by a plurality of steps consisting generally in refining this triangulation.
- Each triangle of the current triangulation is associated with a point on the surface, equidistant from the vertices of the triangle. We call this point the center of the triangle. This point is possibly added as a new vertex of the mesh. However, in the case of point data, there is no known initial mesh. However, the Voronoi diagram and the Delaunay triangulation of the set A have been calculated to evaluate the natural coordinates, and are therefore available.
- the facets of the initial mesh are then the facets of the Delaunay triangulation whose dual edge is bipolar.
- This mesh can then be refined by inserting the centers of the facets of the mesh and by progressive updating of all the faces of the mesh.
- a center is inserted if its distance from the corresponding triangle is greater than a predetermined threshold ⁇ .
- the mesh obtained has as vertices the points A- and the added centers. This makes it possible to obtain smooth surfaces, even with very few data points. This process therefore finds a particularly interesting application to the transmission of data (for example online) and to the compression of geometric models. It suffices to transmit the points A ⁇ and, on reception, use the mesh method described above.
- Another interesting application is found in the interactive creation of objects from points. From a small sample, it is then possible to build a first surface which can then be modified.
- the process that can be used consists in choosing, for a current point, a set of parameters ai to add or subtract each to one of the scalar products of equation 3, in order to deform the surface constructed at this current point.
- void delaunay create (tetrahedron * n, Index i) ⁇ tetrahedron * son, * nn; // create the tetrahedron leaning on the i ⁇ th face of n // and update adjacencies
- Neighbor [n-> Neighbor [i] -> n-> findNeighourIndex (n)] sound;
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Abstract
L'invention concerne un traitement de données pour une construction d'images multidimensionnelles, à partir d'un nuage de points de coordonnées connues. Selon l'invention, on définit, par une interpolation naturelle, les voisins naturels d'un point courant du nuage et on évalue les coordonnées naturelles du point courant, chacune en correspondance avec un voisin naturel. Selon l'invention, on calcule en outre une fonction implicite représentative d'une distance entre ce point courant et un élément de surface comprenant des voisins naturels de l'élément courant, en vue de construire toute une surface comprenant une pluralité de points pris progressivement comme points courants et dont la fonction implicite vérifie une condition préablablement choisie.
Description
TRIANGULATION DE DELAUNAY
L'invention concerne un traitement de données pour une construction d'images multidimensionnelles.
La modélisation géométrique consiste à élaborer un traitement d'un ou plusieurs objets tridimensionnels mesurés par un capteur télémétrique, tel qu'un palpeur, un télémètre laser, ou encore des systèmes d'imagerie tridimensionnelle.
Les données initiales se présentent sous la forme d'un ensemble de points sans structure particulière mesurés sur la surface des objets. Un tel problème se rencontre notamment en conception assistée par ordinateur (CAO), en infographie, en imagerie médicale, en chimie moléculaire ou en géologie.
A partir du nuage de points qui constitue ces données initiales, on veut pouvoir effectuer tout ou partie des opérations suivantes, indépendamment ou en combinaison :
- construire une surface représentative de ce nuage, appelée surface sous-jacente,
- calculer des informations sur la surface sous-jacente, telles que les normales ou les courbures à la surface,
- calculer une approximation polyédrique (encore appelée maillage) de la surface,
- visualiser cette surface à différents niveaux de résolution, notamment agrandir l'image d'un échantillon de surface à observer ("zoomer" certaines parties de la surface),
- modifier la position relative des points de mesure par rapport à la surface sous-jacente pour lisser ou déformer la surface,
- simplifier le nuage de points en retirant du nuage des points qui ne satisfont pas une condition choisie.
Le traitement par modélisation géométrique, construction et/ou reconstruction de surface, nécessite l'élaboration préalable d'un modèle informatique. Ce modèle doit être optimisé pour limiter les temps de traitement à des durées acceptables.
En terme de gestion des flux de données, il est recherché en outre une transmission progressive du nuage de points. On veut pouvoir visualiser et mettre à jour, notamment affiner, une approximation de l'objet au fur et à mesure que les données sont transmises.
Avec le développement des techniques de construction/reconstruction de surfaces, différents procédés ont vu le jour. En particulier, un procédé connu, basé sur la considération des plus proches voisins (en nombres choisis) d'un point courant, a donné des résultats satisfaisants pour la construction/reconstruction de surfaces. Des détails sur le principe de ce procédé sont donnés notamment dans :
[HDD+92] H. Hoppe, T. DeRose , T. Duchamp, J. McDonald, and . Stuetzle. Surface reconstruction from unorgani- zed points. Comput . Graphics, 26(2): 71-78. Proc.
SIGGRAPH492.
Cependant, l'application de ce procédé suppose la vérification préalable d'une condition : la répartition des points échantillonnés doit être uniforme sur la surface.
De tels procédés, quoique prometteurs, ont montré leur limite, notamment à cause du caractère non structuré que présente généralement un nuage de points, ou encore à cause des temps de traitement souvent rédhibitoires qu'ils nécessitent.
La présente invention vient apporter des solutions permettant de résoudre les problèmes posés par la mise en oeuvre de tout ou partie des opérations ci-avant.
Selon une approche différente, l'invention utilise une interpolation de données spatiales, de type "interpolation naturelle", appliquée à la modélisation géométrique.
On connaît le principe d'une interpolation naturelle notamment par :
[Sib81] R. Sibson. A brief description of natural neighbour interpolation. In Vie Barnet, editor, Interpreting
Multivariate Data , pages 21-36. John iley & Sons, Chichester, 1981.
Sans entrer davantage dans les détails, une interpolation naturelle consiste globalement à définir tout point comme le barycentre d'un sous-ensemble de points du nuage, ces points étant alors définis comme voisins naturels de ce barycentre. Les coefficients de pondération du barycentre, associés chacun à un voisin naturel, sont appelés coordonnées naturelles.
La présente invention propose un procédé de traitement de données, notamment pour la construction/reconstruction d'images multidimensionnelles. Il peut s'agir aussi bien d'images bidimensionnelles , ou encore tridimensionnelles. Comme on le verra en détail plus loin, ce procédé s'applique à une dimension quelconque, supérieure ou égale à deux.
Le procédé de traitement comprend donc les étapes suivantes : a) obtenir tout d'abord un nuage de points de coordonnées connues, et b) définir, par une interpolation naturelle de ce nuage de point, les voisins naturels d'un point courant du nuage et évaluer les coordonnées naturelles du point courant, chacune en correspondance avec un voisin naturel.
Selon une première caractéristique importante de l'invention, le procédé comprend en outre les étapes suivantes : c) calculer, à partir des voisins naturels d'un point courant et de ses coordonnées naturelles, une fonction implicite représentative d'une distance entre ce point courant et un élément de surface comprenant sensiblement les voisins naturels de l'élément courant, d) répéter les étapes b) et c) avec au moins une partie des points du nuage pris successivement comme points courants, et e) construire une surface comprenant une pluralité de points pris à l'étape d) comme points courants et dont la fonction implicite vérifie une condition choisie, telle que, dans une forme de réalisation, la fonction implicite est nulle.
Selon une seconde caractéristique importante de l'invention, le procédé comprend en outre les étapes suivantes : cil) estimer une orientation d'un premier élément de surface choisi, préférentiellement pour le point de plus grande abscisse en tant que point courant, et cl2) déduire les uns des autres et à partir de l'orientation du premier élément, les orientations respectives de tous les éléments de surface, ce qui permet d'obtenir l'orientation des vecteurs unitaires perpendiculaires chacun à un élément de surface.
Selon une troisième caractéristique importante de l'invention, l'étape e) du procédé comprend une opération consistant à ignorer les points du nuage dont la distance à la surface à construire est inférieure à une valeur seuil, en vue d'effec- tuer une simplification du nuage de points, ce qui permet de construire une surface totale à partir du nuage de points et/ou de lisser cette surface, de préférence en fonction d'une tolérance choisie, et/ou de déformer localement cette surface.
Selon une autre caractéristique importante de l'invention, l'étape b) du procédé comprend les opérations préalables suivantes : bl) appliquer une triangulation de Delaunay au nuage de points,
b2) construire des cellules de Voronoï et en déduire les centres des cellules, b3) ajouter à chaque cellule deux pôles correspondant sensiblement à des points les plus éloignés du centre de la cellule, préférentiellement situés de part et d'autre de la surface, et dont les coordonnées naturelles associées sont préférentiellement considérées comme nulles, et b4 ) évaluer les coordonnées naturelles dans chaque cellule ainsi augmentée.
Ainsi, au lieu de calculer les coordonnées naturelles sur le diagramme de Voronoï du nuage de points initial, pour chaque point courant, on calcule ces coordonnées sur le diagramme de Voronoï du nuage augmenté des pôles.
Une interpolation ainsi exécutée présente les avantages suivants :
- les résultats obtenus par cette interpolation sont proches de ceux obtenus par une interpolation rigoureuse sur tout le nuage de points, et
- les temps de traitement associés sont considérablement diminués, au moins d'un facteur dix.
Le procédé selon l'invention peut être mis en oeuvre par un dispositif comprenant notamment :
- au moins une mémoire pour ranger les coordonnées de chaque point du nuage,
- un processeur apte à coopérer avec la mémoire pour effectuer tout ou partie des opérations du procédé, - une interface graphique agencée pour coopérer avec le processeur, et
- un écran relié à l'interface graphique pour afficher au moins la surface construite.
A ce titre, la présente invention vise aussi un tel dispositif.
D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à l'examen de la description détaillée ci-après, et des dessins annexés sur lesquels :
- la figure 1 représente schématiquement un dispositif pour la mise en ouvre du procédé selon l'invention,
- la figure 2 illustre la construction d'une cellule de Voronoï dans un espace bidimensionnel,
- la figure 3 illustre le principe d'une insertion d'un point x dans une triangulation de Delaunay bidimensionnelle,
- la figure 4 est une représentation schématique d'une surface avec ses normales, dans un plan comprenant l'axe des abscisses,
- figure 5 représente les pôles S et S ' d'une cellule de Voronoï dont le point A- est le centre, et
- la figure 6 est un organigramme représentant les étapes d'un procédé pour l'orientation des vecteurs unitaires perpendiculaires (vecteurs normaux).
L'annexe I comprend des équations auxquelles le texte de description ci-après se réfère et l'annexe II retranscrit sous la forme d'un pseudo-code un traitement informatique pour l'insertion d'un point dans une triangulation de Delaunay tridimensionnelle.
Les dessins contiennent, pour l'essentiel, des éléments de caractère certain. Ils pourront donc non seulement servir à mieux faire comprendre la description, mais aussi contribuer à la définition de l'invention, le cas échéant.
En se référant à la figure 1, le dispositif se présente sous la forme d ' un ordinateur comprenant une unité centrale UC munie d'un microprocesseur μP qui coopère avec une carte-mère CM. Cette carte-mère est reliée à divers équipements, tels
qu'une interface de communication COM (de type Modem ou autre), une mémoire morte ROM et une mémoire de travail RAM (mémoire vive). La carte-mère CM est reliée en outre à une interface graphique IG, laquelle pilote l'affichage de données sur un écran ECR que comporte le dispositif. Il est prévu en outre des moyens de saisie, tels qu'un clavier CLA et/ou un organe de saisie dit "souris" SOU, reliés à l'unité centrale UC et permettant à un utilisateur une interactivité avec le dispositif .
Dans l'exemple représenté sur la figure 1, une partie gauche de l'écran représente un nuage de points dont les coordonnées sont connues et préalablement enregistrées, par exemple en mémoire morte ROM du dispositif. Sur la partie droite de l'écran est représentée une surface reconstruite, par exemple dans un espace à trois dimensions, par un traitement selon le procédé de l'invention et effectué par le microprocesseur en coopération avec les différentes mémoires de l'unité centrale. Les moyens de saisie CLA, SOU permettent à un utilisateur d'entrer par exemple une tolérance de lissage de la surface reconstruite, ou encore d'affiner cette surface.
Dans une autre réalisation, le dispositif peut recevoir progressivement des points du nuage dans un ordre choisi, par son interface de communication COM, puis construire une surface brute, tandis que la mémoire ROM comporte un module avec lequel le microprocesseur peut coopérer pour affiner la surface brute en y insérant des points de coordonnées choisies, comme on le verra plus loin.
Le procédé selon 1 ' invention applique à la modélisation géométrique une interpolation de données spatiales dont le principe est décrit dans [Sibδl] et appelée "interpolation naturelle" .
En se référant à la figure 2, l'interpolation naturelle permet, étant donné un ensemble de points A ≈ {A-,,...An} d'un espace E, d'exprimer tout point X de E comme le barycentre d'un sous-ensemble de points de A qu'on appelle les voisins
naturels du point X. Dans l'équation 1 en annexe, les coefficients X - sont appelés les coordonnées naturelles de X et sont chacune en correspondance avec un voisin naturel A^.
Pour définir précisément les coefficients λ^, il faut considérer le diagramme de Voronoï de A ou la triangulation de Delaunay duale. Dans l'exemple représenté sur la figure 2, le polygone représenté en traits pointillés forme la cellule de Voronoï dont le point X est le centre. Dans l'espace tridimensionnel, cette cellule est délimitée par un polyèdre. Les définitions et les propriétés de ces structures géométriques sont décrites dans des livres de géométrie algorithmique, par exemple dans :
[BY98] Jean-Daniel Boissonnat and Mariette Yvinec . Algo- rithmlc Geometry . Cambridge University Press, UK, 1998. Traduit par Hervé Brônnimann.
Le calcul de la triangulation de Delaunay est possible en toutes dimensions. Un algorithme particulièrement efficace dans un espace à deux ou trois dimensions peut être issu du principe décrit dans :
[Dev98] Olivier Devillers. Improved incrémental randomized Delaunay triangulation. In Proc. 14 th Annu . ACM
Sympos . Comput . Geom. , pages 106-115, 1998.
Dans ce qui suit, on appelle V(A- ) la cellule du diagramme de Voronoï de l'ensemble A et qui est associée au point A-. On note V(X) la cellule d'un point X dans le diagramme de Voronoï de l'ensemble A augmenté du point X.
Si A^ est un voisin naturel de X, alors V(A^) et V(X) ont une intersection non vide V(A- ,X) . La coordonnée naturelle λ^(X) est le rapport du volume de V(A-,X) sur le volume de V(X).
Le calcul des coordonnées naturelles dans un espace bidimen- sionnel est décrit notamment dans :
[ at92] David F. atson. Contouring : A guide to the Analysiε and Display of Spatial Data . Pergamon, 1992.
Dans un espace tridimensionnel, une évaluation des coordonnées naturelles par le calcul explicite de l'intersection entre la cellule de Voronoï de X et celles de ses voisins est décrite dans la thèse de S.J.Owen :
[Owe92] S.J. Owen. An implementation of natural neighbor interpolation in three dimensions. Master ' s thesis ,
Brigham Young University, 1992.
Cependant, cette évaluation, quoique satisfaisante dans le principe, a montré sur un plan pratique quelques limites, dont notamment le fait que l'algorithme associé à cette évaluation n'est pas efficace.
Il est décrit ci-après un procédé d'évaluation efficace.
Le traitement proposé s'appuie d'abord sur un algorithme d'insertion d'un point X dans une triangulation de Delaunay tridimensionnelle.
A titre indicatif, la figure 3 illustre dans l'espace bidimensionnel le principe d'insertion d'un point X dans une triangulation de Delaunay. Tous les triangles dont le cercle circonscrit entoure le point X doivent être supprimés . Ces triangles sont dits en conflit avec X. Le trou ainsi créé (polygone pi à p6 sur la figure 3) est ensuite retriangulé en reliant X aux arêtes du bord du trou, comme indiqué en pointillé sur la figure 3.
On considère, dans l'exemple représenté, un ensemble de points p^ à pg. Chaque point est joint à son voisin par l'arrête d'un triangle. Un point x est inséré s'il est contenu dans tous les disques délimités par des cercles dans lesquels sont circonscrits les triangles, un à un.
Dans l'espace tridimensionnel, les tétraèdres en conflit avec le point X sont repérés dans un premier temps. Il est rappelé qu'on appelle "tétraèdre en conflit" un tétraèdre dont la sphère circonscrite contient le point X. L'union de ces tétraèdres forme un polyèdre appelé "cavité" dans ce qui suit. Les arêtes des tétraèdres en conflit sont situées soit sur la frontière de cette cavité, soit dans son intérieur. On les appelle respectivement arêtes externes et internes à la cavité.
Ensuite, les nouveaux tétraèdres remplissant la cavité sont créés. Ils s'appuient sur les faces de la cavité et ont pour sommet commun le point X. La création et la mise à jour des relations d'adjacence entre ces tétraèdres sont préférentiel- lement effectuées en tournant autour des arêtes externes de la cavité.
L'algorithme de calcul des coordonnées naturelles consiste à décrire une triangulation de la frontière des régions subtilisées par le point X à ses voisins. Les volumes des V(A^,X) sont calculés à partir des triangulations, par exemple selon le principe décrit dans :
[Ber87] M. Berger, Geometry II, section 12.2, Springer, 1987.
Les coordonnées naturelles λ- sont ensuite déduits de ces volumes par normalisation.
Ainsi, les tétraèdres en conflit sont d'abord trouvés. Ensuite, à l'occasion des rotations autour des arêtes internes et externes, les faces duales de ces arêtes sont reportées. Chaque face de ce type est commune à deux régions naturelles, et ses sommets sont les centres de Voronoï des tétraèdres traversés. La séquence de ces sommets est alors la triangulation utilisée pour calculer le volume. On pourra se référer au traitement retranscrit à l'annexe II et préféré ici, pour
l'insertion de point dans une triangulation de Delaunay tridimensionnelle .
Selon l'invention, une fonction implicite est calculée à partir d'informations locales sur une surface à reconstruire. Cette fonction implicite interpole ces informations de la manière suivante.
On appelle A un nuage de points A = {A1,...An} d'un espace E (E est en général le plan ou l'espace tridimensionnel usuels mais le procédé s'applique en toutes dimensions) mesurés sur une surface orientable S. Dans un premier temps, on considère qu'en chaque point A-, le vecteur normal ^ à la surface en ce point est connu.
On évalue une approximation de la distance signée d'un point X de E à la surface par la fonction implicite h(X) donnée par la formule correspondant à l'équation 2 en annexe.
Ainsi, l'évaluation de la fonction implicite h(X) peut s'effectuer en procédant aux étapes suivantes :
- déterminer, pour chaque voisin naturel A- du point courant X, un vecteur XAj_ entre le point courant et ce voisin naturel,
- calculer le produit scalaire entre le vecteur XA^ et le vecteur unitaire ri_ perpendiculaire à l'élément de surface comprenant ce voisin naturel A- ,
- pondérer le produit scalaire par la coordonnée naturelle λ- (préalablement calculée) du point courant et associée au voisin naturel A- , et - estimer la somme des produits scalaires ainsi pondérés sur tous les voisins naturels du point courant X.
L'utilisation de cette fonction implicite présente de nombreux avantages. En effet, la fonction h est continuement différen- tiable. De plus, l'ensemble S, des points X pour lesquels la fonction h(X) est nulle, est une surface qui passe par les A^ et dont la normale en A- est le vecteur n^.
Il est alors proposé ici une approximation de la surface S par la surface S,.
Le principe consistant à calculer une fonction implicite à partir des A^ et des vecteurs n^ a été décrit notamment dans :
[HDD+92] H. Hoppe, T. DeRose, T. Ducha p, J. McDonald, and . Stuetzle. Surface reconstruction from unorgani- zed points. Comput . Graphics , 26(2):71-78. Proc. SIGGRAPH492.
Cependant, dans leurs travaux, les auteurs n'utilisent pas les voisins naturels mais les k plus proches voisins. Ainsi, le procédé décrit dans [HDD+92] est inutilisable si la surface n'est pas uniformément échantillonnée.
Outre le fait qu ' elle permette de traiter correctement le cas de surfaces échantillonnées de manière non uniforme, l'utilisation du procédé selon l'invention fournit une surface §A lisse et donne de bons résultats même si les données sont rares, avec peu de points dans le nuage.
L'estimation des vecteurs normaux n^ est décrite ci-après.
Dans ce qui suit, on appelle maintenant "voisins naturels" d'un point A- d'un ensemble A, les voisins naturels de A- que l'on obtiendrait si l'on retirait le point A- de l'ensemble A. On peut alors calculer les voisins et les coordonnées naturels de A^ dans le nouvel ensemble A\{Aj_}.
Pour estimer la direction δ^ du vecteur normal n^, une première approche consiste à calculer le plan moyen (au sens des moindres carrés) passant par les voisins naturels de A^ pondérés par les coordonnées naturelles associées.
Une autre approche, préférée ici, est basée sur l'insertion, parmi les voisins naturels A^ , des pôles de la cellule de
Voronoï dont le point A- est le centre. Ces pôles seront décrits en détail plus loin.
La direction du vecteur n^ étant connue, il reste à orienter le vecteur n^, c'est-à-dire à choisir une orientation parmi les deux orientations possibles. On cherche en particulier à effectuer ces orientations de manière cohérente pour tous les points Aj_.
On se réfère à la figure 6 pour le détail des étapes du procédé d'orientation des vecteurs normaux n^.
Après une instruction de début 10, on choisit tout d'abord
(étape 12), pour le point de plus grande abscisse Aχ, l'orientation du vecteur n^ telle que ce vecteur ^i forme un angle aigu (figure 4) avec le vecteur unitaire porté par le premier axe de coordonnées (axe des abscisses). Un premier point Aj_^ a maintenant un vecteur normal n^.
Considérons alors une étape générale du procédé d'attribution des orientations, où un certain nombre de points de A ont déjà un vecteur normal (mais pas tous).
On effectue d'abord un test (étape 16) pour savoir si un point A- a ou non un vecteur normal, avec j allant de 1 à N où N est le nombre total de vecteurs normaux à orienter (étape 14). Pour chaque point A- qui n'a pas encore de vecteur normal, on estime son vecteur normal nu par la formule donnée par l'équation 3 en annexe. Dans cette équation 3, le vecteur ιij_(A-) est considéré comme nul si le point A- n'a pas encore de vecteur normal. A chaque point A- on associe (étape 18) la valeur v- de la projection du vecteur m.j sur la direction δ^ .
Si la valeur absolue de v- est la plus grande parmi celles calculées précédemment (test 20), alors on lui attribue la direction δ^ (étapes 24 et 25). Son orientation est déterminée en fonction du signe de v- (test 22). Les valeurs des
projections vk associées aux voisins naturels de A- sont mises à jour (étape 26) et on maintient ensuite la liste des A- triée par valeurs décroissantes des v- (étape 28). Ces étapes sont réitérées par récurrence (étape 30) jusqu'à épuisement de la liste (test 32 et instruction de fin en 34).
Ainsi, on affecte un vecteur normal IÎ_I au premier élément de la liste (le point A-, ) et on met progressivement cette liste à jour, par exemple en utilisant en pratique une structure de données de type "queue de priorité". Toutes les normales ont alors été orientées.
Ce procédé d'orientation des normales est particulièrement avantageux par rapport aux autres procédés connus, par exemple le procédé basé sur le principe décrit dans [HDD+92] et qui suppose une répartition uniforme des points sur la surface S. Une autre détermination des vecteurs normaux est basée sur un principe décrit dans :
[ABK98] N. Amenta, M. Bern, and M. Kamvysselis. A ne voronoi-based surface reconstruction algorithm. In Proc. SIGGRAPH' 98, Computer Graphics Proceedings,
Annual Conférence Séries, pages 415-412, July 1998.
Cependant, seule la direction des normales est fournie ici, et non leur orientation.
Un procédé particulièrement avantageux pour évaluer les coordonnées naturelles avec une durée réduite des temps de traitement est décrit ci-après.
Pour chaque cellule de Voronoï V(A- ) on recherche son sommet le plus éloigné S et le sommet S' le plus éloigné dans la direction du vecteur SAj_ (figure 5). Ces points sont appelés les pôles. On note A+ l'ensemble formé des points de A et des pôles rajoutés. L'évaluation des coordonnées naturelles est faite en considérant le diagramme de Voronoï de A+ mais en posant que la coordonnée naturelle associée a un point rajouté
est nulle. Le nombre de volumes à calculer est alors proportionnel au nombre de voisins naturels du point X qui sont des points de l'échantillon voisins de X sur la surface (et non plus dans tout l'espace). Ce procédé permet de diviser les temps de calcul par un facteur d'environ vingt.
Il est décrit ci-après un procédé de simplification du nuage de points initial.
Souvent, les données sont redondantes et il est souhaitable d'extraire du nuage de points A un sous-ensemble aussi petit que possible qui représente à une tolérance e près la surface S.
Pour cela, on considère un petit sous-ensemble A' de A et on évalue pour tous les points de A\A' leur distance à §A, en utilisant la fonction implicite décrite ci-avant. Si la distance d'un point A- excède en valeur absolue e, on ajoute A^ à A' . On réévalue ensuite les distances des points de A\A' dont le point A^ est devenu un voisin naturel. On réitère le processus jusqu'à ce que tous les points de A\A' soit à une distance plus petite en valeur absolue que e de §A, .
Ce procédé diffère des procédés habituels qui consistent par exemple à construire un maillage initial à partir des points de données puis, dans un deuxième temps, à simplifier ce maillage.
Ainsi, le procédé de simplification décrit ci-avant est particulièrement avantageux dans le cas de très gros ensembles de données pour lesquels il n'est pas envisageable de construire un maillage. Cette situation est souvent rencontrée dans les applications de modélisation à partir de mesures.
Ce procédé permet en outre de représenter la surface à différents niveaux de résolution. Typiquement, si l'on trie les points de l'ensemble A suivant l'ordre d'insertion décrit plus haut, il est possible de faire varier la résolution de
la reconstruction en ne retenant par exemple qu'un nombre choisi de premiers points.
Le procédé trouve une application particulièrement avantageuse à la transmission des données par une liaison du type utilisant une interface de communication COM (figure 1). Si les points sont transférés dans l'ordre d'insertion précité, le modèle reconstruit peut être progressivement raffiné au fur et à mesure que les points sont transmis. Une application à une utilisation en ligne (type "internet") permet ainsi de voir s'afficher progressivement un objet tridimensionnel complexe, sans avoir à attendre le chargement complet des données .
II est décrit ci-après un procédé pour l'affichage à l'écran ECR de la surface construite S.
Pour visualiser la surface S avec les cartes graphiques (ou interfaces graphiques IG) habituelles, il faut mailler la surface S, c'est-à-dire construire un polyèdre qui approche S à une certaine tolérance η prédéterminée.
Un procédé connu consiste à utiliser un algorithme de type dit "marching cubes" issu du principe décrit par exemple dans la référence [HDD+92]. Cependant, ce procédé présente plusieurs inconvénients, notamment le fait que la résolution dépende de la taille de la grille et non des propriétés locales de la surface et, d'autre part, le fait que les points A- ne sont pas, de manière générale, des points du maillage.
Le procédé utilisé ici débute par une triangulation grossière de la surface S, suivie éventuellement d'une pluralité d'étapes consistant globalement à raffiner cette triangulation.
A chaque triangle de la triangulation courante, on associe un point sur la surface, équidistant des sommets du triangle. On appelle ce point le centre du triangle. Ce point est éventuellement ajouté comme nouveau sommet du maillage.
Cependant, dans le cas de données ponctuelles, on ne connaît pas de maillage initial. Néanmoins, le diagramme de Voronoï et la triangulation de Delaunay de 1 ' ensemble A ont été calculés pour évaluer les coordonnées naturelles, et sont donc disponibles.
On détermine les facettes d'un maillage "initial" comme suit.
Dans un premier temps, on recherche des arêtes dites "bipolai- res" et qui correspondent à des arêtes de Voronoï dont la fonction distance (évaluée selon l'équation 2 de l'annexe I) est positive à une de leurs extrémités et négative à l'autre (en d'autres termes, ces arêtes coupent S).
Les facettes du maillage initial sont alors les facettes de la triangulation de Delaunay dont l'arête duale est bipolaire.
Ce maillage peut être ensuite raffiné par insertion des centres des facettes du maillage et par mise à jour progres- sive de l'ensemble des faces du maillage.
Ainsi, un centre est inséré si sa distance au triangle correspondant est supérieure à un seuil η prédéterminé.
Pour plus de détails sur le principe mathématique dont ce procédé est avantageusement adapté, on pourra se référer à :
[Che97] L.Chew. Guaranteed quality Delaunay meshing in 3d. In Proc . 13th Annu . ACM Sympos . Comput . Geom . , pages 391-393, 1997.
Le maillage obtenu a comme sommets les points A- et les centres rajoutés. On peut obtenir ainsi des surfaces lisses, même avec très peu de points de données. Ce procédé trouve donc une application particulièrement intéressante à la transmission de données (par exemple en ligne) et à la compression de modèles géométriques. Il suffit en effet de
transmettre les points A^ et, à la réception, d'utiliser le procédé de maillage décrit ci-avant.
Une autre application intéressante se trouve dans la création interactive d'objets à partir de points. A partir d'un petit échantillon, il est alors possible de construire une première surface qui peut ensuite être modifiée.
De telles modifications peuvent s'effectuer en déformant la surface construite.
Le procédé pouvant être utilisé consiste à choisir, pour un point courant, un jeu de paramètres ai à ajouter ou soustraire chacun à l'un des produits scalaires de l'équation 3, en vue de déformer la surface construite en ce point courant.
Ainsi, en remplaçant, pour un jeu de paramètres choisis α^, l'équation 3 par l'équation 4 dans l'annexe I, ou encore en modifiant un ou plusieurs vecteurs normaux xij_, on peut de manière simple déformer localement la surface §A. Il est alors possible d'éditer par exemple un modèle à partir de points, comme décrit ci-avant.
Bien entendu, l'invention n'est pas limitée à la forme de réalisation décrite précédemment à titre d'exemple ; elle peut s'étendre à d'autres variantes néanmoins définies dans le cadre des revendications ci-après.
ANNEXE I
Equation 1 : X = ^ λ±A± i
Equation 2 : h{x ) = ∑ λ^X ) XA± . ή± i
Equation 3 : 17^ = (A 7 ) ^-(-^j) i
Equation 4 : h( ) = λ±(x) [(xÂi . ή±) - a± ]
ANNEXE I I
void delaunay :: create (tetrahedron *n, Index i) {tetrahedron *son, *nn; //create the tetrahedron leaning on the i~th face of n //and update adjacencies
(1) son = n->son[i] = new tetrahedron ( insertedPoint, n, i);
(2) son->Neighbor[0] = n->Neighbor [i] ;
(3) n->Neighbor[i]->
Neighbor[n->Neighbor[i]->n->findNeighborIndex(n) ] = son;
//recursively create the son' s neighbors
(4) for(j = 1 ; j < 4 ; j++ )
{
(5) rotate around the edge opposite to [i,j] until the next cavity face, let nn be the corresponding tetra and k be this face //create the son' s neighbor and link it
(6) if ( ! nn->son[k] ) create(nn,k) ;
(7) son->Neighbor[ j ] = nn->son[k] ; }
Claims
1. Procédé de traitement de données pour une construction d'images multidimensionnelles, comprenant les étapes suivantes : a) obtenir un nuage de points (E) de coordonnées connues, b) définir, par une interpolation naturelle de ce nuage de point, les voisins naturels (A\{A-}) d'un point courant (A^) du nuage (E) et évaluer les coordonnées naturelles (λ-) du point courant (A-), chacune en correspondance avec un voisin naturel (A • ) , caractérisé en ce qu'il comprend en outre les étapes suivantes : c) calculer, à partir des voisins naturels d'un point courant (Aj_) et des coordonnées naturelles, une fonction implicite représentative d'une distance (h(A^)) entre ce point courant et un élément de surface (§A-) comprenant sensiblement les voisins naturels (A-) de l'élément courant (A-), d) répéter les étapes b) et c) avec au moins une partie des points du nuage pris successivement comme points courants, et e) construire une surface (SA) comprenant une pluralité de points pris à l'étape d) comme points courants et dont la fonction implicite vérifie une condition choisie.
2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'étape e) comprend les opérations suivantes : el) déterminer les points courants dont la fonction implicite est nulle, et e2 ) insérer ces points courants dans la surface à construire.
3. Procédé selon l'une des revendications 1 et 2 , caractérisé en ce que l'étape c) comprend les opérations suivantes : cl) déterminer, pour chaque voisin naturel (A-) du point courant (X), un vecteur (XAj_) entre le point courant et ce voisin naturel, c2) calculer un produit scalaire entre le vecteur (XA déterminé à l'étape cl) et un vecteur unitaire (nj perpendiculaire à l'élément de surface comprenant ce voisin naturel, c3 ) pondérer le produit scalaire par la coordonnée naturelle du point courant ( λ - ) qui est en correspondance avec ce voisin naturel (A- ) , et c4) estimer la somme des produits scalaires ainsi pondérés sur tous les voisins naturels du point courant.
4. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend en outre les étapes suivantes : cil) estimer une orientation (n^) d'un premier élément de surface choisi, et cl2) déduire les uns des autres et à partir de l'orientation du premier élément, les orientations respectives (n^) de tous les éléments de surface, ce qui permet d'obtenir l'orientation des vecteurs unitaires perpendiculaires chacun à un élément de surface.
5. Procédé selon la revendication 4 , caractérisé en ce que l'orientation (n^) du premier élément de surface est estimée pour le point de plus grande abscisse (A--, ) en tant que point courant .
6. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'étape e) comprend une opération consistant à ignorer les points du nuage dont la distance à la surface à construire est inférieure à une valeur seuil (ε), en vue d'effectuer une simplification du nuage de points.
7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce que la valeur seuil (ε) est choisie en fonction d'une tolérance de lissage de la surface à construire.
8. Procédé selon l'une des revendications 3 à 7, caractérisé en ce qu'il comporte une opération consistant à choisir un jeu de paramètres (ai) à ajouter ou soustraire chacun à l'un des produits scalaires, en vue de déformer la surface construite en ce point courant.
9. Procédé selon l'une des revendications 4 à 8, caractérisé en ce qu'il comporte une opération consistant à modifier les coordonnées d'au moins un vecteur (n^) normal à un élément de surface, en vue de déformer la surface construite en cet élément de surface.
10. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'étape b) comprend les opérations préalables suivantes : bl) appliquer une triangulation de Delaunay au nuage de points, b2 ) construire des cellules de Voronoï et en déduire les centres (X) des cellules, b3) ajouter à chaque cellule deux pôles (S, S') correspondant sensiblement à des points les plus éloignés du centre de la cellule, et b4 ) évaluer lesdites coordonnées naturelles dans chaque cellule ainsi augmentée.
11. Procédé selon la revendication 10, caractérisé en ce que, à l'étape b4 ) , les coordonnées naturelles associées aux pôles ajoutés (S, S') sont considérées comme nulles.
12. Procédé selon l'une des revendications 10 et 11, caracté- risé en ce qu'il comprend en outre les étapes suivantes : hl) déterminer, à partir de la triangulation de Delaunay à l'étape bl), au moins une facette, ainsi qu'un centre de cette facette, h2 ) estimer, en calculant la fonction implicite du centre de la facette, la distance entre la facette et son centre, et h3 ) insérer ce centre dans la surface construite si la distance estimée est supérieure à un seuil prédéterminé (η), ce qui permet d'affiner la surface construite.
13. Dispositif pour la mise en oeuvre du procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend : - au moins une mémoire (ROM) pour ranger les coordonnées de chaque point du nuage,
- un processeur (μP) apte à coopérer avec la mémoire pour effectuer tout ou partie des opérations du procédé, - une interface graphique (IG) agencée pour coopérer avec le processeur, et
- un écran (ECR) relié à l'interface graphique pour afficher au moins la surface construite.
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Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US20210373173A1 (en) * | 2020-06-02 | 2021-12-02 | Motional Ad Llc | Identifying background features using lidar |
Citations (4)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| EP0668572A2 (fr) * | 1994-02-16 | 1995-08-23 | International Business Machines Corporation | Méthode et système de génération de grilles automatique |
| US5465323A (en) * | 1989-09-20 | 1995-11-07 | Association Scientifique Pour La Geologie Et De Ses Applications | Method for modelling a surface and device for implementing same |
| US5945996A (en) * | 1996-10-16 | 1999-08-31 | Real-Time Geometry Corporation | System and method for rapidly generating an optimal mesh model of a 3D object or surface |
| EP0981108A2 (fr) * | 1998-08-14 | 2000-02-23 | Xerox Corporation | Méthode, appareil et moyen informatique pour la reconstruction de surface par filtrage de voronoi |
-
2000
- 2000-03-07 FR FR0002914A patent/FR2806194A1/fr active Pending
-
2001
- 2001-03-01 WO PCT/FR2001/000610 patent/WO2001067396A1/fr active Application Filing
Patent Citations (4)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US5465323A (en) * | 1989-09-20 | 1995-11-07 | Association Scientifique Pour La Geologie Et De Ses Applications | Method for modelling a surface and device for implementing same |
| EP0668572A2 (fr) * | 1994-02-16 | 1995-08-23 | International Business Machines Corporation | Méthode et système de génération de grilles automatique |
| US5945996A (en) * | 1996-10-16 | 1999-08-31 | Real-Time Geometry Corporation | System and method for rapidly generating an optimal mesh model of a 3D object or surface |
| EP0981108A2 (fr) * | 1998-08-14 | 2000-02-23 | Xerox Corporation | Méthode, appareil et moyen informatique pour la reconstruction de surface par filtrage de voronoi |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US20210373173A1 (en) * | 2020-06-02 | 2021-12-02 | Motional Ad Llc | Identifying background features using lidar |
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| Publication number | Publication date |
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