WO2000026786A1

WO2000026786A1 - Verfahren und anordnung zur auswertung einer ein technisches system modellierenden markovkette

Info

Publication number: WO2000026786A1
Application number: PCT/DE1999/003261
Authority: WO
Inventors: Manfred Lohner
Original assignee: Siemens Aktiengesellschaft
Priority date: 1998-11-04
Filing date: 1999-10-11
Publication date: 2000-05-11

Abstract

Zur Auswertung einer ein technisches System beschreibenden Markovkette wird ausgehend von einem ersten Warscheinlichkeitsvektor durch ein iteratives Verfahren ein nächster Wahrscheinlichkeitsvektor bestimmt, der Werte für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung entlang der Zustände der Markovkette enthält.

Description

Beschreibung

Verfahren und Anordnung zur Auswertung einer ein technisches System modellierenden Markovkette

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Anordnung zur Auswertung einer ein technisches System modellierenden Markovkette.

Eine Markovkette ist aus [1] bekannt. Dabei wird ausgegangen von einer endlichen Menge

Q = {s_l ... ,s_N} (0-1)

von Zuständen sowie einem diskreten stochastischen Prozeß über Q, also einer Folge von Zufallsvariablen, die Werte aus der Zustandsmenge Q annehmen. Der Prozeß heißt kausal, falls die Verteilung der Variablen q^ nur von vergangenen Zuständen abhängt, er heißt stationär, wenn dabei die absolute Zeit t keine Rolle spielt, und er heißt einfach, falls ausschließlich der vorangehende Zustand einen Einfluß ausübt. Für einen einfachen kausalen und stationären Prozeß haben die Übergangswahrscheinlichkeiten die Form

P(qtl<3l---qt-l) = ∑fatlqt-l) (0-2)

und können zu einer NxN-Parametermatrix

- ⁼ [^aij JNx_NN ^{mit a}ij ^{= P}(^qt = ^sjISt-l = ^si) ^(O-³⁾

zusammengefaßt werden, für deren Einträge aj_j die stochastischen Bedingungen

ai > 0 und ∑j _aij = 1

gelten. Die Wahrscheinlichkeiten N «i = P(qi = Si), ∑πi = 1 (0-4) i=l

für die Einnahme eines Anfangszustandes werden in dem N- dimensionalen Vektor π vereinigt. Diskrete Prozesse dieser

Art heißen Markovketten; ihr statistisches Verhalten ist vollständig durch die Parameter π und A charakterisiert.

Ferner heißt eine Markovkette genau dann irreduzibel, wenn mit n:=dim(A) gilt:

Vi, j e {l, .. , n} Ξk € N (0-5)

Anschaulich bedeutet dies, daß von jedem Zustand ausgehend jeder Zustand irgendwann wieder erreicht wird.

Die Aufgabe der Erfindung besteht darin, eine insbesondere irreduzible Markovkette eines technischen Systems auszuwerten.

Diese Aufgabe wird gemäß den Merkmalen der unabhängigen

Patentansprüche gelöst. Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich auch aus den abhängigen Ansprüchen.

Zur Lösung der Aufgabe wird ein Verfahren zur Auswertung einer ein technisches System modellierenden Markovkette durch einen Rechner angegeben. Die Markovkette umfaßt mehrere Zustände des technischen Systems, die Auswertung erfolgt gemäß Durchführung folgender Schritte:

a) ein erster Wahrscheinlichkeitsvektor enthält

Wahrscheinlichkeitswerte für vorgegebenen Bedingungen in den Zuständen der Markovkette;

b) ein zweiter Wahrscheinlichkeitsvektor wird bestimmt gemäß n

k = 0

wobei π-j_-)-]_ den zweiten Wahrscheinlichkeitsvektor, rii den ersten Wahrscheinlichkeitsvektor,

P die Markovkette in Matrizen-Notation, n eine vorgegebene natürliche Zahl größer 1 bezeichnen;

c) ein dritter Wahrscheinlichkeitsvektor wird bestimmt gemäß

wobei

Ylj_ ₊ ι den dritten Wahrscheinlichkeitsvektor, j eine vorgegebene natürliche Zahl größer 1, bezeichnen.

d) der dritte Wahrscheinlichkeitsvektor wird zur Auswertung der Markovkette eingesetzt.

Insbesondere ist es ein Vorteil, daß anhand der Auswertung der Markovkette eine stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung des technischen Systems angegeben werden kann.

Eine Weiterbildung besteht darin, daß der dritte Wahrscheinlichkeitsvektor gleich dem ersten Wahrscheinlichkeitsvektor gesetzt wird und die Schritte b) und c) iterativ durchgeführt werden, bis sich der zuletzt ergebende Wahrscheinlichkeitsvektor von dem vorletzten Wahrscheinlichkeitsvektor um weniger als einen vorgegebenen Schwellwert unterscheiden. In diesem Fall ist der stationäre Wahrscheinlichkeitsvektor in durch den Schwellwert vorgebbarer Genauigkeit bestimmt.

Anhand der Auswertung der Markovkette kann das technische System entworfen werden. Der Entwurf bezieht sich insbesondere auf die Neuerschaffung, z.B. Neukonstruktion oder Neubildung, des technischen Systems oder an eine Anpassung des technischen Systems nach Maßgabe des Entwurfs

Auch ist es eine Weiterbildung, daß das Verfahren zu einer Leistungsmodellierung oder einer Zuverlässigkeitsmodellierung des technischen Systems eingesetzt wird. Dazu werden Bewertungsgrößen bestimmt, die aus der stationären Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Aussage über die Leistung bzw. Zuverlässigkeit des technischen Systems zulassen. Eine Anwendung ist die Bestimmung einer Trefferquote von Zugriffen auf einen Speicher (Cache-Hitrate) , der vornehmlich eine Zwischenspeicherung dient, des technischen Systems. Hier wird deutlich, daß die Ausnutzung des Zwischenspeichers (Cache) dann möglichst groß ist, wenn die entsprechende Trefferquote hoch ist, d.h. entsprechend viele Zugriffe darauf erfolgt sind.

Eine andere Weiterbildung besteht darin, daß die Markovkette eine geschlossene Markovkette ist.

Eine zusätzliche Ausgestaltung besteht darin, daß bei den Multiplikationen in Gleichung (1) bereits berechnete Komponenten wiederverwendet werden. Dazu werden diese

Komponenten vorzugsweise zwischengespeichert. Dadurch ergibt sich vorteilhaft eine schnellere Konvergenz des beschriebenen Verfahrens .

Auch wird zur Lösung der Aufgabe eine Anordnung zur Auswertung einer ein technisches System modellierenden Markovkette angegeben, bei der eine Prozessoreinheit vorgesehen ist, die derart eingerichtet ist, daß a) ein erster Wahrscheinlichkeitsvektor Wahrscheinlichkeitswerte für vorgegebenen Bedingungen in den Zuständen der Markovkette enthält,

b) ein zweiter Wahrscheinlichkeitsvektor bestimmbar ist gemäß

k=0

wobei l-_L-i-l den zweiten Wahrscheinlichkeitsvektor, Il_j_ den ersten Wahrscheinlichkeitsvektor, P die Markovkette in Matrizen-Notation, n eine vorgegebene natürliche Zahl größer 1 bezeichnen;

c) ein dritter Wahrscheinlichkeitsvektor bestimmbar ist gemäß

wobei ΠJ_₊]_ den dritten Wahrscheinlichkeitsvektor, j eine vorgegebene natürliche Zahl größer 1, bezeichnen.

d) der dritte Wahrscheinlichkeitsvektor zur Auswertung der Markovkette einsetzbar ist.

Diese Anordnung ist insbesondere geeignet zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens oder einer seiner vorstehend erläuterten Weiterbildungen. Ausführungsbeispiele der Erfindung werden nachfolgend anhand der Zeichnung dargestellt und erläutert.

Es zeigen

Fig.l ein Blockdiagramm, das Schritte eines Verfahrens zur Auswertung einer ein technisches System modellierenden Markovkette enthält;

Fig.2 eine Skizze einer geschlossenen Markovkette;

Fig.3 eine Prozessoreinheit.

In Fig.l ist ein Blockdiagramm gezeigt, das Schritte eines Verfahrens zur Auswertung einer ein technisches System modellierenden Markovkette enthält. In einem Schritt 101 wird eine Iterationsvariable (Zählvariable) i=0 gesetzt. In einem Schritt 102 wird aus einem ersten Wahrscheinlichkeitsvektor II-_L ein zweiter Wahrscheinlichkeitsvektor E-i+i ermittelt gemäß Gleichung (1) . In einem Schritt 103 wird aus dem zweiten Wahrscheinlichkeitsvektor -i-t-i ein dritter Wahrscheinlichkeitsvektor ΠJ_ ₊ ]_ bestimmt. In einem Schritt

104 wird überprüft, ob der dritte Wahrscheinlichkeitsvektor rij_₊]_ sich von dem ersten Wahrscheinlichkeitsvektor l _j_ um weniger als einen vorgegebenen Schwellwert ε unterscheidet.

Ist dies der Fall, so ist das Ergebnis der zuletzt ermittelte Wahrscheinlichkeitsvektor Π_ _{+ ]}_ (vgl. Schritt 105) . Ist dies nicht der Fall, so wird die Iterationsvariable, die gleichzeitig die Wahrscheinlichkeitsvektoren indiziert inkrementiert (vgl. Schritt 106) und zu Schritt 102 verzweigt

Fig.2 zeigt eine Skizze einer geschlossenen Markovkette. Das vorliegende Beispiel umfaßt drei Zustände 201, 202 und 203, wobei ein Zustandsübergang von dem Zustand 201 in den Zustand 202 mit einer Wahrscheinlichkeit P_a, ein Übergang von dem Zustand 202 in den Zustand 201 mit einer Wahrscheinlichkeit P]-,, ein Übergang von dem Zustand 201 in den Zustand 203 mit einer Wahrscheinlichkeit P_c und ein Übergang von dem Zustand 203 in den Zustand 201 mit einer Wahrscheinlichkeit P^ stattfindet. Notiert man die Zustände 201, 202 und 203 sowohl als Zeilen als auch als Spalten einer Matrix, so kann die entsprechende Vermaschung der Markovkette in diese Matrix übertragen werden, indem von Zeile zu Spalte die entsprechende Übergangswahrscheinlichkeit notiert wird. Im vorliegenden Beispiel ergibt sich für die erste Zeile die Belegung

[ 0 P_a P_c 1 (3),

für die zweite Zeile die Belegung

[ P_b 0 0 ] (4)

und für die dritte Zeile die Belegung

[ P_d 0 0 ] (5) .

Zur Feststellung der Trefferquote bei Zwischenspeicherzugriffen werden die einzelnen Einheiten des Zwischenspeichers in Form von Zuständen der Markovkette modelliert. Wie oft nun ein einzelner Zustand des Zwischenspeichers von einem Rechnersystem abgefragt wird, ist entscheidend für die Effizienz und die Auslegung des Zwischenspeichers. Die Wahrscheinlichkeit für einen Zugriff auf eine Komponente des Speichers wird in den Wahrscheinlichkeitsvektor aufgenommen. Da sich die Wahrscheinlichkeit im dynamischen Ablauf des

Gesamtsystems ständig ändert, ist im Rahmen der vorliegenden Auswertung die stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen. Dies erfolgt mittels des oben beschriebenen Verfahrens .

In Fig.3 ist eine Prozessoreinheit PRZE dargestellt. Die Prozessoreinheit PRZE umfaßt einen Prozessor CPU, einen Speicher SPE und eine Input/Output-Schnittstelle IOS, die über ein Interface IFC auf unterschiedliche Art und Weise genutzt wird: Über eine Grafikschnittstelle wird eine Ausgabe auf einem Monitor MON sichtbar und/oder auf einem Drucker PRT ausgegeben. Eine Eingabe erfolgt über eine Maus MAS oder eine Tastatur TAST. Auch verfügt die Prozessoreinheit PRZE über einen Datenbus BUS, der die Verbindung von einem Speicher MEM, dem Prozessor CPU und der Input/Output-Schnittstelle IOS gewährleistet. Weiterhin sind an den Datenbus BUS zusätzliche Komponenten anschließbar, z.B. zusätzlicher Speicher, Datenspeicher (Festplatte) oder Scanner.

Literaturverzeichnis :

[1] E.G. Schukat-Talamazzini : "Automatische Spracherkennung Grundlagen, statistische Modelle und effiziente Algorithmen", Vieweg Verlag, Braunschweig 1995, ISBN 3-528-05492-1, Seiten 125-135.

Claims

Patentansprüche

1. Verfahren zur Auswertung einer ein technisches System modellierenden Markovkette, die mehrere Zustände umfaßt, durch einen Rechner,

a) bei dem ein erster Wahrscheinlichkeitsvektor

Wahrscheinlichkeitswerte für vorgegebenen Bedingungen in den Zuständen der Markovkette enthält,

b) bei dem ein zweiter Wahrscheinlichkeitsvektor bestimmt wird gemäß

k= 0

wobei r--i +ι den zweiten Wahrscheinlichkeitsvektor, ri_j den ersten Wahrscheinlichkeitsvektor, P die Markovkette in Matrizen-Notation, n eine vorgegebene natürliche Zahl größer 1 bezeichnen;

c) bei dem ein dritter Wahrscheinlichkeitsvektor bestimmt wird gemäß

wobei

ΠJ_ ₊ ]_ den dritten Wahrscheinlichkeitsvektor, j eine vorgegebene natürliche Zahl größer 1, bezeichnen.

d) bei dem der dritte Wahrscheinlichkeitsvektor zur Auswertung der Markovkette eingesetzt wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem der dritte Wahrscheinlichkeitsvektor gleich dem ersten Wahrscheinlichkeitsvektor gesetzt wird und die Schritte b) und c) iterativ durchgeführt werden, bis sich der zuletzt ergebende Wahrscheinlichkeitsvektor von dem vorletzten Wahrscheinlichkeitsvektor um weniger als einen vorgegebenen Schwellwert unterscheiden.

3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, bei dem die Auswertung der Markovkette einer stationären Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht .

4. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem gemäß der Auswertung der Markovkette das technisches System entworfen wird.

5. Verfahren nach Anspruch 4, bei dem das technische System entworfen wird, indem es entweder neu geschaffen oder an die Maßgabe des Entwurfs angepaßt wird.

6. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, zur Leistungsmodellierung oder Zuverlässigkeits- modellierung des technischen Systems.

7. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, zur Bestimmung einer Trefferquote bei Zwischenspeicherzugriffen (Cache-Hitrate) des technischen Systems.

Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem die Markovkette eine geschlossene Markovkette ist .

9. Anordnung zur Auswertung einer ein technisches System modellierenden Markovkette, die mehrere Zustände umfaßt, mit einer Prozessoreinheit, die derart eingerichtet ist, daß

a) ein erster Wahrscheinlichkeitsvektor Wahrscheinlichkeitswerte für vorgegebenen Bedingungen in den Zuständen der Markovkette enthält,

b) ein zweiter Wahrscheinlichkeitsvektor bestimmbar ist gemäß

k=0

wobei f-i+i den zweiten Wahrscheinlichkeitsvektor, π^ den ersten Wahrscheinlichkeitsvektor,

c) ein dritter Wahrscheinlichkeitsvektor bestimmbar ist gemäß

wobei

Hi-_fi den dritten Wahrscheinlichkeitsvektor, j eine vorgegebene natürliche Zahl größer 1, bezeichnen.

10. Anordnung nach Anspruch 8, bei der die Prozessoreinheit derart eingerichtet ist, daß der dritte Wahrscheinlichkeitsvektor gleich dem ersten Wahrscheinlichkeitsvektor gesetzt wird und die Schritte b) und c) iterativ durchgeführt werden, bis sich der zuletzt ergebende Wahrscheinlichkeitsvektor von dem vorletzten Wahrscheinlichkeitsvektor um weniger als einen vorgegebenen Schwellwert unterscheiden.