TWI765347B

TWI765347B - 評估投資組合風險指標方法及投資組合評估裝置

Info

Publication number: TWI765347B
Application number: TW109131338A
Authority: TW
Inventors: 鄧惠文
Original assignee: 國立陽明交通大學
Priority date: 2020-09-11
Filing date: 2020-09-11
Publication date: 2022-05-21
Also published as: TW202211134A; US20220084122A1

Abstract

如巴賽爾協議所描述，風險值及期望短缺量為用以評估銀行資本保留需求的財務風險指標。由於因應發展更複雜的金融合約及現實經濟模型，精確且有效計算這些財務風險指標是具有挑戰性的。由於這些財務風險指標與稀有事件相關，因此本案提出一種有效方法用以計算投資組合損失的尾部機率及尾部期望值。投資組合損失藉由德爾塔伽瑪方法近似，其方法假定基本收益於多維t分布中為重尾。最佳傾斜參數由極小化重點抽樣估計量所決定及由自動隨機定點牛頓演算法所尋找。實際數值實驗上驗證本案方法計算變異數及計算的時間均優於標準的蒙地卡羅模擬。

Description

評估投資組合風險指標方法及投資組合評估裝置

本案涉及一種電子方法及裝置。詳細而言，本案涉及一種評估投資組合方法及投資組合評估裝置。

隨著全球化的趨勢，各個國家間依存度提升，儼然成為一個大型的經濟體。由於金融市場的快速發展，以及衍生性金融商品的使用更為繁雜，使得風險程度更加難預測。

根據各國訂定巴賽爾協議後，風險值作為市場指標，使得計算風險值成為市場衡量的重要指標，然而近年來學者發現傳統風險值的缺失，故開始引進新計量方法，並發展出更具理論基礎的一致性風險衡量指標。

本案涉及一種評估投資組合方法。評估投資組合方法包含:將投資組合之損失量或收益量轉換為多維t分布的二次多項式；轉換該多維t分布轉換為兩獨立的多維常態分佈與伽瑪分布的組合；利用第一傾斜參數及第二傾斜參數，得到此投資組合損失量的重點抽樣估計量；計算此重點抽樣估計量之變異數；極小化此重點抽樣估計量之變異數，以得到第一傾斜參數與第二傾斜參數數值解；透過得到的第一與第二傾斜參數，利用重點抽樣的方式計算財務風險指標。

本案的另一面涉及於一種投資組合評估裝置。投資組合評估裝置包含記憶體及處理器。記憶體用以儲存一指令。處理器用以執行記憶體上的指令以完成以下操作:將一投資組合之一損失量轉換為一多維t分布的二次多項式；轉換該多維t分布為兩獨立的多維常態分佈與伽瑪分布的組合；利用第一傾斜參數與第二傾斜參數，得到此投資組合損失量的重點抽樣估計量；計算重點抽樣估計量之變異數；極小化此重點抽樣估計量之變異數，以得到第一傾斜參數與第二傾斜參數數值解；透過得到的第一與第二傾斜參數，利用重點抽樣的方式計算財務風險指標。

應注意的是，前述的發明內容以及後述的實施方式皆僅係舉例說明而已，其主要目的係為詳細地解釋本案申請專利範圍當中的內容。

以下將以圖式及詳細敘述清楚說明本案之精神，任何所屬技術領域中具有通常知識者在瞭解本案之實施例後，當可由本案所教示之技術，加以改變及修飾，其並不脫離本案之精神與範圍。

本文之用語只為描述特定實施例，而無意為本案之限制。單數形式如“一”、“這”、“此”、“本”以及“該”，如本文所用，同樣也包含複數形式。

關於本文中所使用之『包含』、『包括』、『具有』、『含有』等等，均為開放性的用語，即意指包含但不限於。

關於本文中所使用之用詞（terms），除有特別註明外，通常具有每個用詞使用在此領域中、在本案之內容中與特殊內容中的平常意義。某些用以描述本案之用詞將於下或在此說明書的別處討論，以提供本領域技術人員在有關本案之描述上額外的引導。

第1圖為根據本案一些實施例繪示的投資組合評估裝置的示意圖。投資組合評估裝置100包含記憶體110以及處理器120。

在一些實施例中，記憶體110可為快閃(Flash)記憶體、硬碟(Hard Disk Drive, HDD)、固態硬碟(Solid State drive, SSD)、動態隨機存取記憶體(Dynamic Random Access Memory, DRAM)或靜態隨機存取記憶體(Static Random Access Memory, SRAM)。在一些實施例中，記憶體110可儲存指令。

在一些實施例中，處理器120包含但不限於單一處理器以及多個微處理器之集成，例如，中央處理器(Central Processing Unit, CPU)或繪圖處理器(Graphic Processing Unit, GPU)等。處理器(或該些微處理器)耦接於記憶體110，藉此，處理器120可自記憶體110存取此指令，並依據此指令執行特定應用程序，藉以計算投資組合的期望短缺量及風險值。

風險值的定義為在特定期間及特定機率下，單一資產或資產的投資組合，在市場經濟的變動後，損失的機率分佈下最大且中間範圍的損失值。期望短缺量的定義為損失的機率分佈的某一給定的百分位，亦即預期短缺量是在給定損失大於給定值條件下的損失預期值，乃是損失的機率分佈右尾尾端的平均值。期望短缺量相當於計算未來特定期間下一定損失的期望值。

在一些實施例中，著重於X分布為

。使Z分布為

。當X分布為

，X可以表示如下:

...式1

式1中W等於

，Y

，及Y與Z互相獨立，因此，將X以Y及Z用以表示如下:

...式2

及以

重寫

代入式2，表示如下:

…式3

在一些實施例中，基本上重點抽樣的想法為決定一個不同的抽樣機率測度Q，其為以重點抽樣權重調整原估計量。由於上述Y與Z均為指數族，使用指數傾斜重點抽樣方法，其方法在數理上具有易處理性。於一般情況下，使

為在機率測度P下一個隨機向量。假定

的動差生成函數(moment generating function, 或稱為矩母函數或矩生成函數)存在並表示為

。

接著，讓

表示為多維傾斜參數。定義指數傾斜測度為

對應回原機率測度P，對應轉換式子表示如下:

…式4

式4中

為

的動差生成函數取自然對數。

接著，隨著測度的變更，以下等式成立:

…式5

重點抽樣估計量為:

…式6

…式7

式6中的

分布為

。式7被稱為重點抽樣權重或拉東-尼科迪姆微分(Radon-nikodym derivative)。式5表示的重點抽樣估計量為不偏估計(unbiased, 或稱為無偏估計)，上述Y及Z自身的機率測度下的機率分布將以後續段落驗證。

在一些實施例中，假設Y在機率測度P下分布為

。使

屬於集合

並表示為指數傾斜參數。因此，將具有Y在機率測度

。

在一些實施例中，假設Z在機率測度P下分布為

。使

屬於集合

並表示為指數傾斜參數。因此，將具有Z在機率測度

分布為

。

在一些實施例中，使

屬於集合

及

屬於集合

。指數傾斜重點抽樣估計量經過式3轉換如下:

…式8

於式3中，在機率測度

下，Y分布為

、Z分布為

及Y與Z互相獨立。更進一步說明，

為不偏估計(unbiased)，故得證

。在一些實施例中，

為重點抽樣權重。

在一些實施例中，為了尋找最佳傾斜參數，須將重點抽樣估計量的變異數極小化，其變異數的計算式表示如下:

…式9

由於重點抽樣估計量為不偏估計(unbiased)，極小化重點抽樣估計量的變異數等同於極小化重點抽樣估計量的二次多項式，將式9轉換如下:

…式10

標準代數簡化式10為一個於機率測度P下的期望值，將式10轉換如下:

…式11

於式11中，在機率測度P下，Y分布為

、Z 分布為

及Y與Z互相獨立。

在一些實施例中，

為凸(convex)函數及包含一個唯一的最小值。在一些實施例中，定義共軛機率測度

為

，並寫成如下:

…式12

在一些實施例中，最佳傾斜參數

及

以用來極小化重點抽樣估計量的變異數，以一個(d+1)維非線性系統的方程解。表示如下:

…式13

…式14

式13及式14中的共軛機率測度

定義於式12。

在一些實施例中，請參閱式13及式14，等式右邊是為了尋找最佳的複數個傾斜參數

及

，等式左邊亦為了計算複數個期望值，等式兩邊都是為了求解未知數，還未成為一個解析解，因此，本案提供一種隨機定點牛頓演算法來使解析解成立。

在一些實施例中，多維t分布在機率論和統計學中，學生t-分布（Student's t-distribution）可簡稱為t分布，用於根據小樣本來估計呈常態分布且變異數未知的總體的平均值。如果總體變異數已知（例如在樣本數量足夠多時），則應該用常態分布來估計總體均值。在一些實施例中，多維t分布包含多維常態分布及伽瑪分布。伽瑪分布為一維機率分布。在一些實施例中，卡方檢定(Chi-square distribution,或稱為卡方分布)為伽瑪分布的一個特殊情況。

在一些實施例中，首先，在伽瑪分布下的第一傾斜參數

藉由定點疊代法來尋找最佳解。此外，在多維常態分布下的第二傾斜參數

藉由牛頓法來尋找最佳解。在一些實施例中，代入第一傾斜參數

至第一傾斜函數及代入第二傾斜參數

至第二傾斜函數。在一些實施例中，第一傾斜函數即為上述Y為伽瑪分布，第二傾斜函數即為上述Z為多維常態分布。

在一些實施例中，為了尋找傾斜參數

，應用定點疊代法，定點疊代法可以用以更新傾斜參數

並滿足式13。或可將式13表達為如下:

…式15

在一些實施例中，為了將傾斜參數

運用至本案的疊代法，參閱式15，將定點疊代法進一步改寫成如下：

…式16

在一些實施例中，為了將傾斜參數ϑ運用至本案的疊代法，透過修改牛頓法代入函數，定義一個函數

將式14改寫成如下:

…式17

在一些實施例中，請參閱式17，為了將式17作滿足式14等同於尋找式17的根，將二次矩陣代入式17，在一些實施例中，二次矩陣包含多維度的方陣，多維度的方陣稱之為雅可比行列式。接者，將式17改寫成如下:

…式18

在一些實施例中，為了將傾斜參數

運用至本案的疊代法，進一步將式16改寫成如下:

…式19

在一些實施例中，由前述實施例可得知，計算複數個隨機樣本Y及Z的期望值，與式16及式19之中[Y]、[Z]及[ZZ’]密切相關。於此可知，本案目標求取的期望值為式16及式18之中

]、

]及

]。將期望值的數學形式詳細列出如下:

…式20

…式21

…式22

在一些實施例中，本案使用一種疊代法，此疊代法依前述實施例可知，運用傾斜參數方法至疊代法中。藉由疊代式16及式19的傾斜參數至期望值中，期望值如式20至式22所示。

在一些實施例中，為了終止疊代法，首先計算多維非線性方程式的平方誤差總和，接著將平方誤差總和運用至疊代法。平方誤差總和定義為檢驗原樣本與抽樣出的新樣本之間差異值，差異值越小，代表抽樣出的新樣本越精確。平方誤差總和計算式如下:

...式23

在一些實施例中，假定收益值在一段期間下受複數個風險因素影響，因此收益值表示為V(t, S)。V為收益值。t為時間。S為複數個潛在風險因素，因此S=(S1,…,Sd)，d為正整數。ΔS表示為從現在時間t經過一段時間Δt的潛在風險因素變化量。L為隨機變數並用以表示為投資組合之收益值及損失值。L為使用一種避險方法(如delta-gamma method)近似的指標，代入上述收益值V中，計算方式如下:

…式24

式24的

為一般常數，其為對收益值V的時間t進行一次偏微方。

為為一維向量

，其為對收益值V的複數個潛在風險因素S進行一次偏微方。

為二維d*d的矩陣，其為對收益值V的二次偏微方。於此，所有衍生性金融商品評估的價值均由初始點

所決定。於實作上，參數

、

及

通常為已知的數值。須說明的是，式24中L藉由ΔS中一二次函數建立數學模型。因此，L亦被悉知為一二次投資組合，並用以計算投資組合的風險方法。在一些實施例中，投資組合包含衍生性金融商品。

在一些實施例中，為獲取一種厚尾分布的典型特徵(stylized feature)用以描述潛在風險因素的變化量，假定橢圓分布ΔS為一球形分布X的正轉換，計算方式如下:

…式25

式25中的X 分布為

，

為自由度或波動度。C為正定斜方差矩陣

(positive definite covariance matrix)之平方差，使得

及

藉由對角元素(diagonal element)

對角化(diagonalized)。

在一些實施例中，依據前述實施例推導後，將式24以式3代入後，將式24改寫如下:

...式26

在一些實施例中，使P(A)表示為事件A的機率，並使得

…式27

式27為L的累積分布。給定一個信賴區間

屬於(0,1)，投資組合損失L的風險值位於信賴區間

，並以

表示，其為最小數值使得投資組合損失L超過

至少為

。換言之，(1-

)×100%風險值為α-分位(α-quantile)滿足:

…式28

原則上，α設定為1%以計算適當資本需求，及α設定為0.1%用以壓力測試。

在一些實施例中，關鍵步驟給定一預設閥值q計算投資組合損失L的機率，其用以計算風險值為: P(L＞q)…式29

一旦準確計算一組閥值的這些機率，風險值可以用內插法來獲得，使I(A){.}表示為以支持集合A的指標函數。根據式28計算式29中的機率為:

…式30

(1-

)×100%定義為條件式投資組合損失L的期望值超過(1-

)%風險值為:

…式31

E[

|A]表示為於事件A中條件隨機變數

的期望值，根據條件期望值的定義改寫為:

…式32

為獲得

，計算以式26計算式32的分子改寫為如下:

…式33

在一些實施例中，風險值與期望短缺量的差別在於期望短缺量多了條件的概念，並藉此精確計算投資組合變化情況。在一些實施例中，計算出式20至式22的實際數值，進一步計算財務風險指標。在一些實施例中，財務風險指標包含風險值及期望短缺量。

在一些實施例中，與風險值相關的變量，P(L＞q)，定義為:

(L)=I{L＞q}(L)…式34

在一些實施例中，與期望短缺量相關的變量，

，定義為:

(L)=LI{L＞q}(L)…式35

因此，計算式26改寫如下:

…式36

第2圖為根據本案一些實施例繪示的評估投資組合方法的流程圖。為使本案之評估投資組合方法200易於理解，請一併參閱第1圖與第2圖。本案之評估投資組合方法200可由第1圖投資組合評估裝置100所執行。

於步驟S1中，將投資組合之損失量轉換為多維t分布的二次多項式。

於步驟S2中，轉換該多維t分布為兩獨立的多維常態分佈與伽瑪分布的組合。

於步驟S3中，利用第一傾斜參數與第二傾斜參數，得到此投資組合損失量的重點抽樣估計量。

於步驟S4中，計算此重點抽樣估計量之變異數。

於步驟S5中，極小化此重點抽樣估計量之變異數，以得到第一傾斜參數與第二傾斜參數數值解。

於步驟S6中，透過得到的第一與第二傾斜參數，利用重點抽樣的方式計算財務風險指標。

本領域的習知技藝人士當明白，上述實施例僅為解本案釋例，本案內容並不以此為限。上述方法亦可應用於估計金融商品的風險值或其他金融應用。

本案透過應用前述實施例，本案提供一種評估投資組合方法，使抽樣的樣本能更精確尋找到罕見事件，以及使得隨機抽樣的時間有相當程度的減少及提升計算風險值或期望短缺的效率，以利提供金融市場的交易能奪得先機。

雖然本案內容已以前述實施例所揭露，然其並非用以限定本案內容，任何熟習此技藝者，在不脫離本案內容之精神和範圍內，當可作各種更動與潤飾，因此本案內容之保護範圍當視後附之申請專利範圍所界定者為準。

100:電子裝置 110:記憶體 120:處理器 200:方法 S1~S6:步驟

參照後續段落中的實施方式以及下列圖式，當可更佳地理解本案的內容：第1圖為根據本案一些實施例繪示的投資組合評估裝置的示意圖；以及第2圖為根據本案一些實施例繪示的評估投資組合方法的流程圖。

國內寄存資訊(請依寄存機構、日期、號碼順序註記) 無國外寄存資訊(請依寄存國家、機構、日期、號碼順序註記) 無

200:方法 S1~S6:步驟

Claims

一種評估投資組合風險指標方法，包含：藉由一處理器將一投資組合之一損失量轉換為一多維t分布的二次多項式；藉由該處理器轉換該多維t分布為兩獨立的多維常態分佈與伽瑪分布的組合；藉由該處理器利用一第一傾斜參數與一第二傾斜參數，得到該投資組合之該損失量的一重點抽樣估計量；藉由該處理器計算該重點抽樣估計量之一變異數；藉由該處理器極小化該重點抽樣估計量之該變異數，以得到該第一傾斜參數與該第二傾斜參數數值解；以及藉由該處理器透過得到的該第一傾斜參數與該第二傾斜參數，利用重點抽樣的方式計算一財務風險指標。
如請求項1所述之評估投資組合風險指標方法，其中該財務風險指標包含風險值及期望短缺量。
如請求項2所述之評估投資組合風險指標方法，其中該二次多項式包含該第一傾斜參數及該第二傾斜參數，其中該第一傾斜參數位於該伽瑪分布中及該第二傾斜參數位於該多維常態分布中。
如請求項3所述之評估投資組合風險指標方法，其中藉由該處理器利用該第一傾斜參數與該第二傾斜參數，得到此該投資組合損失量的該重點抽樣估計量之步驟包含：藉由該處理器代入該第一傾斜參數至對應於伽瑪分布及代入該第二傾斜參數至多維常態分配。
如請求項4所述之評估投資組合風險指標方法，其中藉由該處理器極小化該重點抽樣估計量之該變異數，以得到該第一傾斜參數與該第二傾斜參數數值解之步驟包含：藉由該處理器執行一隨機定點牛頓演算法尋找該第一目標傾斜參數及該第二目標傾斜參數。
如請求項5所述之評估投資組合風險指標方法，其中該第一傾斜參數包含複數個第一傾斜參數，其中該第二傾斜參數包含複數個第二傾斜參數，其中藉由該處理器執行該隨機定點牛頓演算法尋找該第一目標傾斜參數及該第二目標傾斜參數之步驟包含：藉由該處理器根據該些第一傾斜參數及該些第二傾斜參數計算複數個期望值，其中該些期望值對應於該些第一傾斜參數中的一第一特定傾斜參數及該些第二傾斜參數中的一第二特定傾斜參數；藉由該處理器根據該些期望值及該第一傾斜參數及該第二傾斜參數計算一平方誤差總和；藉由該處理器根據該平方誤差總和比對一給定誤差值，以獲得該第一目標傾斜參數及該第二目標傾斜參數；以及藉由該處理器根據該第一目標傾斜參數及該第二目標傾斜參數計算該些目標期望值。
如請求項6所述之評估投資組合風險指標方法，其中藉由該處理器根據該些第一傾斜參數及該些第二傾斜參數計算該些期望值之步驟包含：藉由該處理器根據該些第一傾斜參數之一第一共軛參數及該些第二傾斜參數之一第二共軛參數計算該些期望值。
一種投資組合評估裝置，包含：一記憶體，用以儲存一指令；以及一處理器，用以執行該記憶體上的該指令以完成以下操作：將一投資組合之一損失量轉換為一多維t分布的二次多項式；轉換該多維t分布為兩獨立的多維常態分佈與伽瑪分布的組合；利用一第一傾斜參數與一第二傾斜參數，得到該投資組合之該損失量的一重點抽樣估計量；計算該重點抽樣估計量之一變異數；極小化該重點抽樣估計量之該變異數，以得到該第一傾斜參數與該第二傾斜參數數值解；以及透過得到的該第一傾斜參數與該第二傾斜參數，利用重點抽樣的方式計算一財務風險指標。