TWI676747B

TWI676747B - 雙向平面不對稱結構之制振方法、調諧質量阻尼器之設計方法、以及其所設計之調諧質量阻尼器

Info

Publication number: TWI676747B
Application number: TW105114664A
Authority: TW
Inventors: 林瑞良; Jui Liang Lin
Original assignee: 財團法人國家實驗研究院; National Applied Research Laboratories
Priority date: 2016-05-12
Filing date: 2016-05-12
Publication date: 2019-11-11
Also published as: TW201740036A

Abstract

本發明所提供之雙向平面不對稱結構之制振方法，針對一N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態進行控制，且於該N層雙向平面不對稱結構上方設置一調諧質量阻尼器，該調諧質量阻尼器為利用原建築物的第一組三個振態的三自由度振態參數進行設計，具有質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*。

Description

雙向平面不對稱結構之制振方法、調諧質量阻尼器之設計方法、以及其所設計之調諧質量阻尼器

本發明係有關於一種雙向平面不對稱結構之制振方法，尤指一種針對N層雙向平面不對稱建築的第一組三個振態進行控制。所謂第一組三個振態是指在兩個平移與一個旋轉方向上各自的第一個主控振態。並且於該N層雙向平面不對稱結構上方設置一調諧質量阻尼器之制振方法。

由地震造成的重大災害時有所聞，故對於地震帶之居住者而言，確保建築結構的耐震度，為所有居住者之期盼。近年來由於科技的進步，地震工程以及材料科技不斷的進步，多種制振裝置及制振方法被提出。其中，調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper,TMD)是由質量塊、勁度、以及阻尼系統而組成的減振裝置，其原理係藉由將振動頻率調整至接近結構標的之主要頻率，以改變結構標的之共振特性以達到減振的功效。

調諧質量阻尼器已安裝於多個著名的建築物當中，如台北的台北101大樓、紐約的花旗集團中心(Citycorp Center)、以及波士頓的約翰漢考克中心(John Hancock Building)，然設置於其中之調諧質量阻尼器之質量相當大，且體積龐大，因此占據了建築物內部很大的空間，相對來說可以利用的營業使用空間減少，亦即大幅提高了建築物的營運成本。

為了解決以上問題，有Feng與Mitta於1995年在Journal of Engineering Mechanics期刊中發表的“Vibration control of Tall Buildings Using Mega SubConfiguraton”一文中提出了可利用建築物自身的重量作為阻尼器的質量塊，並利用橡膠支座提供其勁度，故不須另外設置額外的大質量塊，且不須提供設置該大質量塊的空間，可大幅降低成本。然而，此種解決方案幾乎都是針對平面對稱的建築結構，難以符合占多數的具有平面不對稱結構的建築物。

為了同時控制平面不對稱結構平移與旋轉的反應，以提供制振功能，Igusa與Xu於1994年在Journal of Sound Vibration期刊中所發表的“Vibration control using multiple tuned mass dampers”一文中提出多重調諧質量阻尼器的概念，然而阻尼器的數量、各個阻尼器之間的距離及頻率等參數，皆須經過最佳化的複雜程序方能定義，且兩組阻尼器彼此之間會有交互作用，故於設計上必須考慮更多變數，亦會增加施工安裝上的困難。

因此。目前亟需發展一種新穎的調諧質量阻尼器，利用單一個調諧質量阻尼器以控制平面不對稱結構之多個振態。

本發明之目的之一係在於提供一種利用雙向平面不對稱結構之最上層結構作為調諧質量阻尼器之質量塊，達成使用單一個調諧質量阻尼器對於該雙向平面不對稱結構的第一組三個振態進行控制的效果。所謂的第一組三個振態是指原建築物在兩個平移方向與一個旋轉方向上各自的第一個主控振態。

為達成上述之目的，本發明所提供之雙向平面不對稱結構之制振方法，針對一N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態進行控制，於該N層雙向平面不對稱結構上方設置一調諧質量阻尼器，該調諧質量阻尼器具有質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*。其中，該調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*係由以下步驟計算而得：

步驟(a)：利用該N層雙向平面不對稱結構本身性質相關之參數，計算該N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態的三自由度振態特性。該N層雙向平面不對稱結構的質量矩陣M、阻尼矩陣C、及勁度矩陣K值如下：

其無阻尼的振形如下：

其中，無阻尼的振形φ_n係利用質量矩陣M及勁度矩陣K進行特徵值分析(eigenvalue analysis)求得，即求解

,，其求解方法詳見於結構動力學教科書Chopra AK(2007).Dynamics of Structures：Theory and Applications to Earthquake Engineering,3^rd Edition.Prentice Hall：New Jersey。當質量矩陣M及勁度矩陣K表示如式(1a)時，特徵值分析所得到的特徵向量(即無阻尼的振形φ _n)的上、中、下三個N×1的子向量即分別為φ _xn、φ _zn與φ _θn。

其中，上述之N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態的三自由度振態系統如圖1所示。其中，x、z表示平移，θ表示旋轉。

步驟(b)：利用上述該N層平面不對稱結構的質量矩陣M、阻尼矩陣C、及勁度矩陣K值，計算其有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，該有效單層結構係保有該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態之動力學特性；其中，

其無阻尼的振形如下：

其中，無阻尼的振形Φ ^*係利用質量矩陣M ^*及勁度矩陣K ^*進行特徵值分析(eigenvalue analysis)求得，即求解

，其中n=1~3。其求解方法詳見於結構動力學教科書Chopra AK(2007).Dynamics of Structures：Theory and Applications to Earthquake Engineering,3^rd Edition.Prentice Hall：New Jersey。

步驟(c)：利用一質量調整參數α*、一阻尼調整參數β、以及一勁度調整參數f以最佳化該有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，從而計算該調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*，其中M _a*=α*M*；C _a*=βα*C*；以及K _a*=fα*K*。

步驟(d)：使符合該步驟(c)所求出的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*之該調諧質量阻尼器安裝於該N層雙向平面不對稱結構之上方，例如可作為該結構的第N+1層。

於上述之步驟(b)中，令

，以及

，由於該有效單層結構保留了該N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態之動力學特性，故μ*等於原建築結構第一組三個振態的z向振態參與質量之和與x向振態參與質量之和的比值的平方根，γ*等於原建築結構第一組三個振態的振態參與質量慣性矩之和與x向振態參與質量之和的比值的平方根；以及取m _x*等於1，並利用這些關係式求出該有效單層結構之質量矩陣M*。

接著，計算一有效單層結構之勁度矩陣K*時，係假設該有效單層結構之三個振態的振動頻率係相同於該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態的振動頻率；以及該有效單層結構每一個振態之x方向的質量比其z方向的質量的比值係等於該N層雙向平面不對稱結構對應之振態的x方向的質量比其z方向的質量的比值；及該有效單層結構每一個振態之x方向的質量比其y方向的質量慣性矩的比值係等於該N層雙向平面不對稱結構對應之振態的x方向的質量比其y方向的質量慣性矩的比值，藉此，成立以下方程式：

其中，m _xi=φ ^T _xi m _x φ _xi，m _zi=φ ^T _zi m _z φ _zi，I _i=φ ^T _θi I ₀ φ _θi，i=1,2,3 (3b)

接著，於不考慮C*的情況下，該有效單層結構之運動方程式係如下式所示：

其中，

於式(4a)中，u _x*、u _z*、及u _θ*係該有效單層結構之位移向量，ü _gx及ü _gz分別為x方向及z方向之地表加速度記錄；於式(4b)中，ω ₁、ω ₂、ω ₃係該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態之無阻尼圓頻率；m _xi、m _zi、I _i，i=1,2,3係由式(3b)而得；以及s ₁至s ₆係分別等於1或-1，以求得出該有效單層結構勁度矩陣K*。

再者，C*=a ₀ M*+a ₁ K*，以計算該有效單層結構之阻尼矩陣C*。其中a ₀、a ₁係設有效單層結構之前兩個振態的阻尼比與該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態中的前兩個振態的阻尼比相同的條件下，採用雷利阻尼所求得的係數。

於上述之步驟(c)中，M _a*=α*M*；C _a*=βα*C*；以及K _a*=fα*K*，其中，α=α*/sum(diag(m _x))，且α係該調諧質量阻尼器與該N層雙向平面不對稱結構於x方向上之質量比，sum(diag(m _x))係N層雙向平面不對稱結構於x方向上之總質量；其中，α係為一自訂參數，β及f係藉由一最小-最小-最大法(min-min-max approach)而得。

最小-最小-最大法是一種迭代數值法，首先，假設一個地震反應的峰值max(r)，其係透過解整體建築物一阻尼器系統的運動方程式而得；接著，透過固定α及f的值，以β為變數，即可由max(r)的最小值min(max(r))求得β的值；最後，固定β的值，以f為變數，即可由min(max(r))的最小值min(min(max(r)))求得f的值。從而，可獲得f及β的最佳值。

該地震反應的峰值r可能為平面不對稱結構之層間位移角的峰值、層間最大加速度、樓層平移位移峰值、或層間旋轉位移峰值等。由於結構之地震反應係取決於地面震動的輸入，而頻率響應函數的幅值與輸入的地表加速度無關，因此頻率響應函數的幅值較適合於做為最小-最小-最大法中的最佳化標的。此外，一般而言，於雙向平面不對稱結構中，係難以得知其哪一個方向更重要或更脆弱，因此，本案係於計算最佳化調整參數β及f的最小-最小-最大法中，選擇一控制目標CT，其算式如下：CT=CT _x+CT _z+CT _θ (5a)

於上式(5b)中，H _x,N、H _z,N、以及H _θ,n係不具有阻尼器之原始N層結構中，第N層於三個方向的位移頻率響應函數的振幅；H ^α _x,N、H ^α _z,N、以及H ^α _θ,n係於該N層結構上方設置有阻尼器之第N層於三個方向的位移頻率響應函數的振幅。其中，(˙)_max運算子係指對括弧中的物理量取最大值。藉由觀察方程式(5b)，當(H ^α _x,N)_max、(H ^α _z,N)_max、及(H ^α _θ,n)_max趨近於零時，CT _x、CT _z、及CT _θ皆等於1/3，換言之，當該N層結構於三個方向的位移頻率響應函數的振幅的峰值皆為零時，CT的最大值可等於1。

上述之雙向平面不對稱結構之制振方法中，該調諧質量阻尼器的形式並無特別的限制，僅要設置於該雙向平面不對稱結構之上方，並符合上述步驟所求得之質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*即可使用。

然於本發明之一實施態樣中，該調諧質量阻尼器係由一設置於該雙向平面不對稱結構上方之一質量塊系統、一支承系統、以及一黏滯阻尼器系統所構成。於本發明一較佳實施態樣中，該質量塊系統係於該N層雙向平面不對稱結構之上方形成之第N+1層結構所構成；該支承系統以及該黏滯阻尼器系統可設置於該第N+1層與該第N層之間，在此情況下，該N層雙向平面不對稱結構於設置該調諧質量阻尼器後則成為一N+1層雙向平面不對稱之結構，而作為調諧質量阻尼器之第N+1層樓可被稱為頂樓質量阻尼器(Top-story mass damper)。

於另一實施態樣中，該調諧質量阻尼器亦包括一質量塊系統、一支承系統、以及一黏滯阻尼器系統，而其中，該質量塊系統係藉由修改該第N層結構使其具有所需之質量與質量慣性矩而構成；該支承系統以及該黏滯阻尼器系統係設置於該第N層與第N-1層之間，而作為調諧質量阻尼器之第N層樓可被稱為頂樓質量阻尼器，以對其下方N-1層建築結構的第一組三個振態進行控制。若該調諧質量阻尼器係由修改該雙向平面不對稱結構之第N層樓所構成，則於演算步驟中，應以N-1層雙向平面不對稱結構來計算調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*，使得該調諧質量阻尼器成為該結構之第N層樓。

本發明之另一目的係在於提供一種調諧質量阻尼器之設計方法係針對一N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態進行控制，於該N層雙向平面不對稱結構之上方設置該調諧質量阻尼器，該調諧質量阻尼器具有質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*；其中，該調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*係由以下步驟計算而得：

步驟(i)：利用該N層雙向平面不對稱結構本身性質相關之參數以計算該N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態的三自由度振態特性。該N層雙向平面不對稱結構的質量矩陣M、阻尼矩陣C、及勁度矩陣K值如下：

其無阻尼的振形如下：

步驟(ii)：利用上述該N層雙向平面不對稱結構的質量矩陣M、阻尼矩陣C、及勁度矩陣K值，計算一有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，該有效單層結構係保有該N層平面不對稱結構之第一組三個振態之動力學特性；其中，

其無阻尼的振形如下：

步驟(iii)：利用一質量調整參數α*、一阻尼調整參數β、以及一勁度調整參數f以最佳化有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，以計算該調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*。

於步驟(ii)中，令

，以及

，由於該有效單層結構保留了該N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態之動力學特性，故μ*等於原建築結構第一組三個振態的z向振態參與質量之和與x向振態參與質量之和的比值的平方根，γ*等於原建築結構第一組三個振態的振態參與質量慣性矩之和與x向振態參與質量之和的比值的平方根；以及取m _x* 等於1，並利用這些關係式求出該有效單層結構之質量矩陣M*。

再者，於步驟(ii)中，計算該有效單層結構之勁度矩陣K*時，係假設該有效單層結構之三個振態的振動頻率係相同於該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態的振動頻率；以及該有效單層結構每一個振態之x方向的質量比其z方向的質量的比值係等於該N層雙向平面不對稱結構對應之振態的x方向的質量比其z方向的質量的比值；及該有效單層結構每一個振態之x方向的質量比其y方向的質量慣性矩的比值係等於該N層雙向平面不對稱結構對應之振態的x方向的質量比其y方向的質量慣性矩的比值，藉此，成立以下方程式：

接著，該有效單層結構之運動方程式係如下式所示：

其中，

(4b)

其中，於式(4a)中，u _x*、u _z*、及u _θ*係該有效單層結構之位移向量，ü _gx及ü _gz分別為x方向及z方向之地表加速度記錄；於式(4b)中，ω ₁、ω ₂、ω ₃係該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態之無阻尼圓頻率，m _xi、m _zi、I _i，i=1,2,3係由式(3b)而得，以及s ₁至s ₆係分別等於1或-1，以求得出該有效單層結構勁度矩陣K*。

另外，步驟(ii)中，C*=a ₀ M*+a ₁ K*，以計算該有效單層結構之阻尼矩陣C*。其中a ₀、a ₁係設有效單層結構之前兩個振態的阻尼比與該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態中的前兩個振態的阻尼比相同的條件下，採用雷利阻尼所求得的係數。

再者，步驟(iii)中，M _a*=α*M*；C _a*=βα*C*；以及K _a*=fα*K*，其中，α=α*/sum(diag(m _x))，且α係該調諧質量阻尼器與該N層雙向平面不對稱結構於x方向上之質量比，sum(diag(m _x))係N層雙向平面不對稱結構於x方向上之總質量；其中，α係為一自訂參數，β及f係藉由一最小-最小-最大法(min-min-max approach)而得。

上述之步驟(i)、(ii)、及(iii)中，其各個參數的詳細運算方法係與上述之所記載之雙向平面不對稱結構之制振方法相同，故不於此重複描述。

本發明之又一目的係在於提供一種調諧質量阻尼器，該調諧質量阻尼器係由上文所述之設計方法所設計，其係針對一N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態進行控制。

於本發明中，該調諧質量阻尼器的形式並無特別的限制，僅要設置於該雙向平面不對稱結構之上方，並符合上述設計方法所求得之質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*即可使用。

然於本發明之一實施態樣中，該調諧質量阻尼器係由一設置於該雙向平面不對稱結構上方之一質量塊系統、一支承系統、以及一黏滯阻尼器系統所構成。於本發明一較佳實施態樣中，該質量塊系統係於該N層雙向平面不對稱結構之上方形成之一第N+1層結構所構成；該支承系統以及該黏滯阻尼器系統可設置於該第N+1層以及該第N層之間，在此情況下，該N層雙向平面不對稱結構於設置該調諧質量阻尼器後則成為一N+1層雙向平面不對稱之結構，而作為調諧質量阻尼器之第N+1層樓可被稱為頂樓質量阻尼器(Top-story mass damper)。

於另一實施態樣中，該調諧質量阻尼器亦包括一質量塊系統、一支承系統、以及一黏滯阻尼器系統，而其中，該質量塊系統係藉由修改該第N層結構使其具有所需之質量與質量慣性矩而構成；該支承系統以及該黏滯阻尼器系統係設置於該第N層與第N-1層之間，而作為調諧質量阻尼器之第 N層樓可被稱為頂樓質量阻尼器，以對其下方N-1層建築結構的第一組三個振態進行控制。

本發明之再一目的係為了提供一種電腦程式產品，供電腦讀取當中程式碼而執行前述之調諧質量阻尼器之設計方法。其中，該電腦程式產品包括一儲存媒體，係載有電腦可讀取的程式碼、一中央處理單元，係讀取該些程式碼並執行上述之調諧質量阻尼器之設計方法。

圖1係一N層雙向平面不對稱結構之第一組三個三自由度振態系統示意圖。

圖2係本發明實施例1中ASY1之樓層平面與質量中心位置之示意圖。

圖3係本發明實施例1中，最佳化f值之示意圖。

圖4係本發明實施例1中，最佳化β值之示意圖。

圖5係本發明實施例1中，CT值之示意圖。

圖6係本發明實施例1中，CT_x、CT_z、以及CT_θ之示意圖。

圖7係本發明實施例1中，設置有最佳化之調諧質量阻尼器於ASY1上方之ASY1於x方向平移頻率響應函數的振幅。

圖8係本發明實施例1中，設置有最佳化之調諧質量阻尼器於ASY1上方之ASY1於z方向平移頻率響應函數的振幅。

圖9係本發明實施例1中，設置有最佳化之調諧質量阻尼器於ASY1上方之ASY1於y旋轉位移頻率響應函數的振幅。

圖10係本發明實施例1中，最佳化之調諧質量阻尼器於x方向平移頻率響應函數的振幅。

圖11係本發明實施例1中，最佳化之調諧質量阻尼器於z方向平移頻率響應函數的振幅。

圖12係本發明實施例1中，最佳化之調諧質量阻尼器於y旋轉位移頻率響應函數的振幅。

圖13係本發明實施例2中，ASY20的平面圖以及立面圖。

圖14係本發明實施例2中，ASY20的三個振態(vibration mode)之無阻尼振形示意圖。

圖15係本發明實施例2中，有設置或未設置調諧質量阻尼器於ASY20之第20層樓於x方向平移之頻率響應函數的振幅及最佳化之調諧質量阻尼器於x方向平移頻率響應函數的振幅示意圖。

圖16係本發明實施例2中，有設置或未設置調諧質量阻尼器於ASY20之第20層樓於z方向平移之頻率響應函數的振幅及最佳化之調諧質量阻尼器於z方向平移頻率響應函數的振幅示意圖。

圖17係本發明實施例2中，有設置或未設置調諧質量阻尼器於ASY20之第20層樓於y旋轉位移之頻率響應函數的振幅及最佳化之調諧質量阻尼器於y旋轉位移頻率響應函數的振幅示意圖。

圖18本發明比較例1中，有設置或未設置單自由度調諧質量阻尼器於ASY20之第20層樓於x方向平移之頻率響應函數的振幅及單自由度調諧質量阻尼器於x方向平移頻率響應函數的振幅示意圖。

圖19本發明比較例1中，有設置或未設置單自由度調諧質量阻尼器於ASY20之第20層樓於z方向平移之頻率響應函數的振幅及單自由度調諧質量阻尼器於z方向平移頻率響應函數的振幅示意圖。

圖20本發明比較例1中，有設置或未設置單自由度調諧質量阻尼器於ASY20之第20層樓於y旋轉位移之頻率響應函數的振幅。

[實施例1]-單層平面不對稱結構(ASY1)

ASY1之所有的柱、梁、以及斜撐的尺寸分別為H200×200×12×12mm、H200×150×6×9mm、以及L90×90×10mm，鋼材為A36並且被模擬為一種彈性材料，樓板係模擬為一剛性板，柱截面之強軸係沿X軸方向設置，該柱底為固定，梁與柱之間為抗彎矩式接合，斜撐的兩端為鉸接。ASY1於兩個水平方向之偏心率為25%，如圖2所示，而集中於質量中心CM的質量及質量慣性矩分別為9450kg以及23030kg-m²。

表1係ASY1的質量矩陣、勁度矩陣、以及振形。採用雷利阻尼(Rayleigh damping)，設第一與第二振態之阻尼比皆為2%。藉由表1所示之振形而得s₁至s₆分別為-1、1、-1、1、1、及-1。ASY1之第一組三個三自由度振態系統的模態特性係由方程式(3b)計算而得，且如表2所示。

表3係ASY1之有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，其係由方程式(4)計算而得。其中C*係藉由雷利阻尼的假設，以及原始結構既有的兩個振態的阻尼比而得。比較表3所示之M*及K*與表1之M及K，可得知該有效單層結構之質量及勁度矩陣係與ASY1一致，除了前兩個矩陣係對應於[u _x* μ*u _z*r*u _θ*]^T而不是對應於[u _x*u _z*u _θ*]。也就是說，當原始結構為單層樓時，有效單層結構係確切的映射原始的結構於模態空間中(modal space)。由於ASY1於x方向的質量與於z方向的質量相同，故μ*等於1。此外，r*的值係等於ASY1之質量慣性矩與x方向的質量的比值的平方根，即r*=1.561m。

接著，利用最小-最小-最大法(min-min-max approach)而計算f及β值時，α係於0.01至0.1之間以0.01遞增變換，以及於0.2至0.5之間以0.1遞增變換，亦即，α係於0.01至0.5之間共計有14個數值。使用最小-最小-最大法時，f係於0.1至1.1之間以0.005遞增變換，β係於1至20之間以0.25遞增變換進行最佳化數值的搜尋。由圖3及圖4可知，f及β係隨著α的增加而分別減少及增加。接著，圖5及圖6係繪示當f及β係等於相對的最佳化數值時，CT，CT_x、CT_z、及CT_θ隨著α值的變化，由圖5可知，CT隨著α值增加而趨近於最大值且約為0.88，顯示使用質量比較大的調諧質量阻尼器有利於抑制ASY1對於地震的反應。圖6係繪示了CT_x、CT_z、及CT_θ大致上彼此相等，說明了設置於ASY1上方之調諧質量阻尼器於抑制三個方向的位移幾乎有同等的效果。

圖7、圖8、及圖9係分別為設置有最佳化之調諧質量阻尼器於ASY1上方之ASY1於x方向平移、z方向平移、以及y旋轉位移之頻率響應函數的振幅，其α值為0(表示無調諧質量阻尼器)、0.01、0.04、0.07、0.1、0.3、及0.5。圖7及圖8係指出無設置阻尼器時，ASY1於x方向以及z方向上的平移主要分別為第2及第1振態的作用。H_z,N(圖8)的峰值較H_x,N(圖7)的峰值大上一階，此外，無設置阻尼器時，ASY1於y旋轉位移大致上係第1及第2振態具有同等的作用(圖9)。圖7、圖8、及圖9繪示了三個模態頻率於每一方向上，因於ASY1上方設置了單一的質量調諧阻尼器而降低了的頻率響應函數的振幅。當α值增加時，頻率響應函數H^a _x,N、H^a _z,N、以及H^a _θ,N會降低。此外，對應於α=0.3之頻率響應函數的振幅係與對應於α=0.5之頻率響應函數的振幅非常接近，此種現象反應了圖5中所繪示的曲線的水平段。

圖10、圖11、圖12係分別繪示最佳化之調諧質量阻尼器於x方向平移、z方向平移、以及y旋轉位移之頻率響應函數的振幅，且分別以H_x,TSMD、H_z,TSMD、以及H_θ,TSMD表示。當α值非常小時(如α=0.01)，H_x,TSMD、H_z,TSMD、以及H_θ,TSMD的振幅大於對應之H^a _x,N、H^a _z,N、以及H^a _θ,N的振幅。當α由0.1增加至0.5時，H_x,TSMD、H_z,TSMD、以及H_θ,TSMD的振幅則明顯的下降，並且接近所對應之H^a _x,N、H^a _z,N、以及H^a _θ,N。這代表使用質量比較大的調諧質量阻尼器不僅可進一步抑制ASY1對於地震的反應，亦可減少調諧質量阻尼器本身的衝程需求(stroke demand)。

此外，須注意的是，α=0.04時，該調諧質量阻尼器之頻率響應函數的振幅大約等於無設置阻尼器之ASY1之頻率響應函數的振幅(如圖7、圖8、圖9所示)。因此，不同質量比(α)之調諧質量阻尼器對於ASY1會導致不同的地震控制效果，以及不同的需求空間以容納調諧質量阻尼器位移。故當調諧質量阻尼器的質量不小於ASY1總質量之4%時，不只ASY1可以有效率的被控制，用於容納該調諧質量阻尼器的空間亦可以顯著的減少。

[實施例2]-20層平面不對稱結構(ASY20)

圖13係繪示了ASY20的平面圖以及立面圖，ASY20係以SAC計畫(FEMA-355C,2000)位於洛杉磯之對稱20層大樓變化而來。其中所做的變化係將原始對稱結構的質量中心CM移至遠離勁度中心CR處，導致x方向及z方向上的偏心率皆等於20%。

ASY20的詳細特性，例如各樓層質量、各樓層質量慣性矩等皆可見於相關的報告(FEMA-355C,2000)。此外，採用雷利阻尼(Rayleigh damping)，設第一與第二振態之阻尼比為5%。ASY20的三個振態(vibration mode)之無阻尼振形係如圖14所示。須注意的是，圖14所示之旋轉分量係乘上0.1a，其中a係該結構於x方向上的長度，等於5×6096mm。圖14係構成第一組三個振態之第一、第二、第三振態。而用於計算有效單層結構之該第一組三個振態之s₁至s₆的值分別為-1、1、-1、1、-1、及-1。

表4係構成ASY20之第一組三個振態之三自由度振態的特性，表4中第6至第8行係分別為x方向以及z方向之有效振態(effective modal)參與質量的比例、以及y旋轉方向之有效振態參與質量慣性矩的比例。如表4所示，該第一組三個振態係分別占x方向及z方向的總質量、以及y旋轉方向的總質量慣性矩的80%、80%、及82%。ASY20於x方向的總質量、z方向的總質量、以及y 旋轉方向的總質量慣性矩係分別為11072kN×s²/m、11072kN×s²/m、及2.089×10⁶kN×s²×m。因此，μ*等於1(=

)；及r*等於13.9m(

)。接著利用方程式4a及4b計算有效單層結構之質量矩陣(M*)、以及勁度矩陣(K*)，其計算結果如表5a所示，阻尼矩陣(C*)亦如表5a中所示。於表5a中所示之數值係對應於位移向量[u _x*μ*u _z*r*u _θ*]^T而不是對應於[u _x*u _z*u _θ*]^T。

不同質量比對於建築物受震反應的控制以及容納調諧質量阻尼器位移的空間的影響已於實施例1討論。因此，根據實施例1的結論，該調諧質量阻尼器之α值係設定為0.05，因此，α*=0.05×11072=553.6，其中11072係ASY20於x方向上的質量。由於ASY20的質量幾乎是平均的分配於各個樓層(FEMA-355C，2000)，代表頂樓調諧質量阻尼器之質量約為ASY20的一層樓的質量。藉由最小-最小-最大法搜尋對應於各個f及β之CT值，其中f值於0.1至1.1之範圍內變化；β值於1至15之範圍內變化。搜尋結果最佳化的f值以及β值，係分別為0.735及3.75，其對應之CT值為 0.671。因此，ASY20中作為頂樓調諧質量阻尼器之質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*係如表5b所示。

圖15、圖16、及圖17係分別為有設置(with TSMD)或未設置(w/o TSMD)調諧質量阻尼器時，ASY20之第20層樓於x方向平移、z方向平移、以及y旋轉位移之頻率響應函數的振幅。此外，調諧質量阻尼器自身(TSMD itself)之x方向平移、z方向平移、以及y旋轉位移之頻率響應函數的振幅亦繪示於該些圖中。值得注意的是，雖然圖17中對應於第三振動頻率有一個非常小的尖峰，然第三振態的頻率響應函數的振幅幾乎是不可見的。圖15、圖16、以及圖17清楚的顯示ASY20中，作為調諧質量阻尼器之頂樓可抑制三個方向之頻率響應函數的振幅，該調諧質量阻尼器自身之頻率響應函數的振幅大致上與未設置調諧質量阻尼器之ASY20相同。由於頻率響應函數係建築結構中固有的動力特性，圖15、圖16、及圖17確認了調諧質量阻尼器可有效地抑制ASY20的位移反應。

[比較例1]

兩個單自由度之調諧質量阻尼器係各自設置於兩個水平方向上，並設計用來控制ASY20結構。每一個單自由度之調諧質量阻尼器之質量比為0.05，最佳頻率比及阻尼比分別為0.9638及0.1410，其係根據Tsai and Lin在1993年於文獻Earthquake Engineering and Structural Dynamics 22：957-973中所發表的Optimum tuned mass dampers for minimizing steady-state response of support excited and damped system.之內容而求得。圖18、圖19、及圖20係分別繪示未設置單自由度調諧質量阻尼器(w/o SDOF TMD)以及設置單自由度調諧質量阻尼器(with SDOF TMD)之ASY20於頂樓x水平方向、z水平方向、及y旋轉方向之位移頻率響應函數之振幅。此外，圖18及圖19亦繪示了x方向以及z方向之單自由度調諧質量阻尼器自身(SDOF TMD itself)的位移頻率響應函數之振幅。

藉由比較圖18、圖19及圖15、圖16，其係顯示使用兩個單自由度調諧質量阻尼器對於兩個水平方向位移的頻率響應函數的振幅有減少的效果。然而，比較圖20及圖17，用兩個單自由度調諧質量阻尼器對於減少旋轉方向的位移的頻率響應函數的振幅的效果並不如實施例2中之頂樓調諧質量阻尼器來的顯著。此外，本比較例中，兩個單自由度調諧質量阻尼器自身的頻率響應函數的振幅則顯著地大於實施例2之頂樓調諧質量阻尼器自身的頻率響應函數的振幅，也就是說，安裝實施例2之調諧質量阻尼器所需要的空間必定遠小於兩個單自由度調諧質量阻尼器所需要的空間。

綜上所述，本發明提供了一種新穎的雙向平面不對稱結構的制振方法，其主要係於該雙向平面不對稱結構之上方設置單一的調諧質量阻尼器，以達到制振效果。而該調諧質量阻尼器可做為該雙向平面不對稱結構之頂樓，且以其頂樓自身的質量作為調諧質量阻尼器之質量塊，並且不須於建築結構中特別留設阻尼器的裝設及運作空間，可降低建築物的建造及營運成本，同時提供雙向平面不對稱結構有效的制振效果。

Claims

一種雙向平面不對稱結構之制振方法，針對一N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態進行控制，於該N層雙向平面不對稱結構上方設置一調諧質量阻尼器，該調諧質量阻尼器係由一設置於該N層雙向平面不對稱結構上方之一質量塊系統、一支承系統、以及一黏滯阻尼器系統所構成，且具有質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*；其中，該第一組三個振態係指該N層雙向平面不對稱結構在兩個平移方向與一個旋轉方向上各自的第一個主控振態；其中，該調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*係由以下步驟計算而得：(a)利用該N層雙向平面不對稱結構本身性質相關之參數，計算該N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態的三自由度振態特性；該N層雙向平面不對稱結構的質量矩陣M、阻尼矩陣C、及勁度矩陣K值如下：其無阻尼的振形如下：其中，無阻尼的振形φ_n係利用質量矩陣M及勁度矩陣K進行特徵值分析求得，即求解；(b)利用上述該N層雙向平面不對稱結構的質量矩陣M、阻尼矩陣C、及勁度矩陣K值，計算其有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，該有效單層結構係保有該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態之動力學特性；其中，並且其無阻尼的振形如下：其中，無阻尼的振形Φ ^*係利用質量矩陣M ^*及勁度矩陣K ^*進行特徵值分析求得，即求解，其中n=1~3；(c)利用一質量調整參數α*、一阻尼調整參數β、以及一勁度調整參數f，以最佳化該有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，從而計算該調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*，其中M _a*=α*M*；C _a*=βα*C*；以及K _a*=fα*K*；以及(d)使符合該步驟(c)所求出的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*之該調諧質量阻尼器安裝於該N層雙向平面不對稱結構之上方。
如申請專利範圍第1項所述之制振方法，步驟(b)中：令，以及，由於該有效單層結構保留了該N層平面不對稱結構的第一組三個振態系統之動力學特性，故μ*等於原建築結構第一組三個振態的z向振態參與質量之和與x向振態參與質量之和的比值的平方根；γ*等於原建築結構第一組三個振態的振態參與質量慣性矩之和與x向振態參與質量之和的比值的平方根，以及令m _x*等於1，並利用這些關係式求出該有效單層結構之質量矩陣M*。
如申請專利範圍第1項所述之制振方法，步驟(b)中，計算一有效單層結構之勁度矩陣K*時，係假設該有效單層結構之三個振態的振動頻率係相同於該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態的振動頻率；以及該有效單層結構每一個振態之x方向的質量比其z方向的質量的比值係等於該N層雙向平面不對稱結構之對應振態的x方向的質量比其z方向的質量的比值；及該有效單層結構每一個振態之x方向的質量比其y方向的質量慣性矩的比值係等於該N層雙向平面不對稱結構之對應振態的x方向的質量比其y方向的質量慣性矩的比值，藉此，成立以下方程式：其中，m _xi=φ ^T _xi m _x φ _xi，m _zi=φ ^T _zi m _z φ _zi，I _i=φ ^T _θi I ₀ φ _θi，i=1,2,3 (3b)接著，該有效單層結構之運動方程式係如下式所示：其中，其中，於式(4a)中，u _x*、u _z*、及u _θ*係該有效單層結構之位移向量，ü _gx及ü _gz分別為x方向及z方向之地表加速度記錄；於式(4b)中，ω ₁、ω ₂、ω ₃係該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態之無阻尼圓頻率，m _xi、m _zi、I _i，i=1,2,3係由式(3b)而得，以及s ₁至s ₆係分別等於1或-1，以求得出該有效單層結構勁度矩陣K*。
如申請專利範圍第1項所述之制振方法，步驟(b)中，C*=a ₀ M*+a ₁ K*，其中a ₀、a ₁係設有效單層結構之前兩個振態的阻尼比與該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態中的前兩個振態的阻尼比相同的條件下，採用雷利阻尼所求得的係數。
如申請專利範圍第1項所述之制振方法，步驟(c)中，M _a*=α*M*；C _a*=βα*C*；以及K _a*=fα*K*，其中，α=α*/sum(diag(m _x))，且α係該調諧質量阻尼器與該N層雙向平面不對稱結構於x方向上之質量比，sum(diag(m _x))係N層雙向平面不對稱結構於x方向上之總質量；其中，α係為一自訂參數，β及f係藉由一最小-最小-最大法(min-min-max approach)而得。
如申請專利範圍第1項所述之制振方法，其中，該質量塊係於該N層雙向平面不對稱結構之上方形成之一第N+1層結構所構成；該支承系統以及該黏滯阻尼器系統係設置於該第N+1層以及該第N層之間。
一種調諧質量阻尼器之設計方法，係針對一N層雙向平面不對稱結構的第一組三個振態進行控制，於該N層雙向平面不對稱結構之上方設置該調諧質量阻尼器，該調諧質量阻尼器係由一設置於該N層雙向平面不對稱結構上方之一質量塊系統、一支承系統、以及一黏滯阻尼器系統所構成，且具有質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*；其中，該第一組三個振態係指該N層雙向平面不對稱結構在兩個平移方向與一個旋轉方向上各自的第一個主控振態；其中，該調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*係由以下步驟計算而得：(i)利用該N層平面不對稱結構本身性質相關之參數以計算該N層平面不對稱結構的第一組三個振態的三自由度振態特性：其中，該N層雙向平面不對稱結構的質量矩陣M、阻尼矩陣C、及勁度矩陣K值如下：其無阻尼的振形如下：其中，無阻尼的振形φ_n係利用質量矩陣M及勁度矩陣K進行特徵值分析求得，即求解；；(ii)利用上述該N層平面不對稱結構的質量矩陣M、阻尼矩陣C、及勁度矩陣K值，計算一有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，該有效單層結構係保有該N層平面不對稱結構之第一組三個振態的動力學特性；其中，其無阻尼的振形如下：其中，無阻尼的振形Φ ^*係利用質量矩陣M ^*及勁度矩陣K ^*進行特徵值分析求得，即求解，其中n=1~3；(iii)利用一質量調整參數α*、一阻尼調整參數β、以及一勁度調整參數f以最佳化有效單層結構之質量矩陣M*、阻尼矩陣C*、及勁度矩陣K*，以計算該調諧質量阻尼器的質量矩陣M _a*、阻尼矩陣C _a*、以及勁度矩陣K _a*。
如申請專利範圍第7項所述之設計方法，步驟(ii)中：令，以及，由於該有效單層結構保留了該N層平面不對稱結構的第一組三個振態系統之動力學特性，故μ*等於原建築結構第一組三個振態的z向振態參與質量之和與x向振態參與質量之和的比值的平方根，γ*等於原建築結構第一組三個振態的振態參與質量慣性矩之和與x向振態參與質量之和的比值的平方根，以及取m _x*等於1，並利用這些關係式求出該有效單層結構質量矩陣M*。
如申請專利範圍第7項所述之設計方法，步驟(ii)中，計算一有效單層結構之勁度矩陣K*時，係假設該有效單層結構之三個振態的振動頻率係相同於該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態之振動頻率；以及該有效單層結構每一個振態之x方向的質量比其z方向的質量的比值係等於該N層雙向平面不對稱結構對應之振態的x方向的質量比其z方向的質量的比值；及該有效單層結構每一個振態之x方向的質量比其y方向的質量慣性矩的比值係等於該N層雙向平面不對稱結構對應之振態的x方向的質量比其y方向的質量慣性矩的比值，藉此，成立以下方程式：其中，m _xi=φ ^T _xi m _x φ _xi，m _zi=φ ^T _zi m _z φ _zi，I _i=φ ^T _θi I ₀ φ _θi，i=1,2,3 (3b)接著，該有效單層結構之運動方程式係如下式所示：其中，其中，於式(4a)中，u _x*、u _z*、及u _θ*係該有效單層結構之位移向量，ü _gx及ü _gz分別為x方向及z方向之地表加速度記錄；於式(4b)中，ω ₁、ω ₂、ω ₃係該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態系統之無阻尼圓頻率，m _xi、m _zi、I _i，i=1,2,3係由式(3b)而得，以及s ₁至s ₆係等於1或-1，以求得出該有效單層結構勁度矩陣K*。
如申請專利範圍第7項所述之設計方法，步驟(ii)中，C*=a ₀ M*+a ₁ K*，以計算該有效單層結構之阻尼矩陣C*。其中a ₀、a ₁係設有效單層結構之前兩個振態的阻尼比與該N層雙向平面不對稱結構之第一組三個振態中的前兩個振態的阻尼比相同的條件下，採用雷利阻尼所求得的係數。
如申請專利範圍第7項所述之設計方法，步驟(iii)中，M _a*=α*M*；C _a*=βα*C*；以及K _a*=fα*K*，其中，α=α*/sum(diag(m _x))，且α係該調諧質量阻尼器與該N層雙向平面不對稱結構於x方向上之質量比，sum(diag(m _x))係N層雙向平面不對稱結構於x方向上之總質量；其中，α係為一自訂參數，β及f係藉由一最小-最小-最大法(min-min-max approach)而得。
一種調諧質量阻尼器，利用申請專利範圍第8至12項中任一項所述之設計方法所設計，該調諧質量阻尼器係由一設置於一雙向平面不對稱結構上方之一質量塊系統、一支承系統、以及一黏滯阻尼器系統所構成，且其係針對一雙向平面不對稱結構的第一組三個振態進行控制。
如申請專利範圍第12項所述之調諧質量阻尼器，其中，當該N層雙向平面不對稱結構為一N層雙向平面不對稱結構時，該質量塊系統係該N層雙向平面不對稱結構上方之第N+1層結構所構成；該支承系統以及該黏滯阻尼器系統係設置於該第N+1層與該第N層之間。
如申請專利範圍第12項所述之調諧質量阻尼器，其中，當該N層雙向平面不對稱結構為一N層雙向平面不對稱結構時，該質量塊系統係藉由修改該第N層結構使其具有所需之質量與質量慣性矩而構成；該支承系統以及該黏滯阻尼器系統係設置於該第N層與第N-1層之間。