TW200841232A - Finite field Montgomery multiplier - Google Patents

Description

200841232 九、發明說明： 【發明所屬之技術領域】 本發明是有關於一種蒙哥馬利乘法器，特別是指一種 有限場蒙哥馬利乘法器。 【先前技術】 - 隨著電腦網路、通訊技術及數位資訊的不斷成長與普 ^ 及’如何確保資料傳輸的安全性及正確性也愈來愈重要。 φ 一般是使用密碼學（Cryptography )及錯誤更正碼（Err〇r

Correcting Code)來達到所要的效果，且在加解密及編解碼 過耘中，需要非常大量的乘法計算。然而，由於手持式裝 置的计异資源有限，因此如何降低乘法計算的複雜度成為 一個重要的課題。 L有限場（Finite Field) 有限場具有容易計算及容易以硬體或軟體實現的特性 特別疋在有限場GF(2W)更為明顯，因此在有限場（^F(2W) • 中進行乘法計算可以降低複雜度。 有限场疋一群有限元素（Element)的集合，且該等元 素可以一多項式基底（Polynoniial Basis )來表示。例如： 在有限場GF(2巧中，該多項式基底是 一元素乂〇〇可以表示為： /、 mi 艺α〆或 y = k _2，···，α〇]， /=〇 其中’ ^是該元素乂(X)的向量，心是該元素j(x)的係數 且對於㈣，Ι.Ίΐ，AeGF(2)(即〜是〇及1中的一者 5 200841232 有#中元素間的計算是同餘（Congruence )某個 不τ刀解夕項式（irreducible )，以降低計算後的 多項式級數，例如：在有限場GF(2W)中，多項式的級數要 小於m。該不可分解多項式是由有限場決定。 • Π·有限場^(2W)加法計算 . 有限场GF(2 )的加法是將二元素相同權重的係數做互 斥或（XOR)運算（即模數為2 )，且有限場GF(2W)的減法 • 與加法的效果是相同的。 舉一個簡單的例子說明： (Χ6+Χ4+χ2+Χ + 1)+(^7+% + 1)=χ7+χ6+χ4+χ2，或者 [0，1，0，1，0，1，1，1]+ [1，0,0,0,0,051，1] = [1，1，〇，1，〇，1，〇,〇]。 III.有限場（?F(2W)乘法計算 舉一個簡單的例子說明： (x6 + x4 +x2 +x + l)x (x1 +X +1) _ = X13 + X11 + X9 + Xs + X1 + χ7 + χ5 + χ3 + χ2 + χ + χ6 + χ + χ2 + X + \ . =χ13 + χ11 + χ9 + + χ6 + χ5 + χ4 + χ3 +1 在有限場GF(28)中，先利用乘法乘開後，再利用上述 的有限場GF(28)加法相加，會得到一個級數比8大的多項 式。由於有限場GF(28)只包含級數小於8的多項式，因此 使用不可分解多項式；c8+x4+x3+x+l來降低計算後的多項式 級數，如以下所不· 200841232 G W + 〜6 +? +x4 +x3 + l)mod(x8 +x4 +? + m) =x7 +x6 +1 有限場GF(2W)的乘法必須要做降低級數的動作，不像 加法那麼直接。 IV·有限％ )蒙哥馬利（Montgomery)乘法計算 蒙哥馬利乘法具有容易計算及容易預估商數的特性， 因此可以降低有限場GF(y)乘法的複雜度。 在1985年，蒙哥馬利提出一種不需要除法計算的整數 扠數乘法。在1998年，學者Koc及Acar將蒙哥馬利乘法 擴展到有限場GF(2W)。有限場GF(2,蒙哥馬利乘法定義為 C(x) = (x)mod Ρ(χ) ^ 其中’户Ο)是一不可分解多項式，且產生有限場 ) ’处）、外）、及⑻、c⑷是有限場GF(2。中的元素 ，及Ιχ)是i?(x)的乘法反元素，且別χ)與ρ(χ)是相對質數。 在2002年，學者Wl^由選擇ρ(中γ+χΛ+1及及⑷¥ ’可以獲得低複雜度的有限場蒙哥馬利乘法器。 V·硬體設計 在超大型積體電路（VLSI )中，心臟收縮陣列（ Systolic Array)具有並行（c〇ncurrence)、輸入/輸出平衡 、簡單及有規則的特性，非常適合快速及規則性的電路設 計。 又 200841232 在目w的心臟收縮陣列式有限場GF(2M)蒙哥馬利乘法 器中，大多採用位元並歹(BitParallel)或數位串歹4㈤奶

Sedal)二種架構來實現。位元並列架構-次處理所有位元 ，因此處理速度較快，但面積較大，功率消耗也較大 位串列架構一次處理部分位元，分多次處理完所有位元， 因此處理速度較慢’但面積較小，功㈣耗也較小。 VI.習知的有限場蒙哥馬利乘法器 本申請案的-發明人於2005彳9月在咖 刪act_ on Computers第54卷第9期第ι〇6Η㈣頁揭 =一種有限場蒙哥馬利乘法器，採用位S並列及心臟收 縮陣列架構來實現。 職收 該有限場蒙哥馬利乘法器適用於在由一不 式/+/+1所產生的一有限 解二員 計算，且該有限場卿‘:二進行蒙哥馬利乘法 卜,〜，♦表示。（）中的疋素是以一“式基底 該有限場C?F(2W)中的--立 乘積叫如下所示： 疋素雄）、咖及其等的-般 其中 ’〇= ， h = α〇^ι + axb^ |=0 200841232 ’m-l = β〇\-1 + % 厶 m-2 + …+ 〜一6〇 ’ 〜=υαΑ-2+··· + ^—Α， 一2=Clm-'K-\ 〇 將^00重新整理成如下所示： +r3(x)xw+rt， … 其中， ^ W = i 卜〆一1 + …+ V +，〇， 該有限場GF(2W)中與該二元素Αχ)、呈蒙哥馬利 乘法關係的一元素C(x)如下所示： m-l cW=Zc/x/ /=1 =A{x)B{x)x^n mod(xm + jc" +l) ^Φ)+Τ2 {χ)χη + T3 {x)xm+n + Tx {xjxm + +1) 'xn =T2 (^)+ T3 {x)xm + Tx {x)xm^n + T} (x) = kM+T,{x)+Tl {x)xm-n ]+W + {x)x^ ] = K(x)+G(x) 式⑴ 其中，G〇)的係數可以從尺⑷的係數中獲得。 舉一個簡單的例子說明。假設所=5且，尺(X)及G〇) 分別如下所示： 200841232 ί=0 G(x)=(a4Z>3 +a3b4)x2 +a0b0 + a4b4x3 +{α0^ +d}b0)x y 其中， k2 = axb3 + a4b0 + a3bx + a2b2 + a0bA ^ k0 = a4b3 + axbx + a2b0 + a3b4 +a0b2 ^ k3 = a4b} + a2b3 + axb4 + a0bQ + a3b2 ^ kl = a2bl + a4b4 + a0b3 + a}b2 + a3b0 y k4 = a2b4 + a0bx + a4b2 + a3Z>3 + axb0， 且以雙底線標示的部分是尺(x)及（?〇)的係數中相同的 部分。 參閱圖1與圖2，當以硬體實現時，該乘法器1包含十 九個第一計算單元11、六個第二計算單元12、五個第三計 异單元U及八個延遲元件14。該第一計算單元u包括一 互斥或閘in、一及（AND)閘112及四延遲元件113。該 第二計算單元12包括二互斥或閘121、—及閘122及四延 遲元件⑵。該第三計算單元13包括_互斥或閘i3i及一 延遲元件132。該等互斥或間ηι、1?1 ^ 卜4閘111 121、131用於執行上述 計异中的相加，而該等及閘 闸112、122用於執行上述計算中 的相乘。 呑亥等第一及第二計算軍 , 开早兀11、12排列成一個5x5心臟 收細陣列，且該等第— ㈣ 1*开早το 11用於計算尺w 10 200841232 係數中相異的部分，而該 — .于罘一汁异早兀u用於計算[(X) 及啊的係數中相同的部分 … 、从〆如 ^寻弟二计异早兀13用於將 W (χ)的係數相加，以得到C⑴的係數。 雖然上述有限場蒙哥馬利乘法器可 馬利乘法計算的複雜度，但仍有精進的空間。劳豕哥 【發明内容】 因此’本發明之目的即 有限場蒙哥馬利乘法器。 ，、-種可以降低複雜度的 :是’本發明有限場蒙哥馬利乘法器適用於在由一不 可項式所產生的_有限場巾進行 ，且:亥有限場中的元素是以一多項式基底來表示。 该有限場蒙哥馬利乘本哭# 去态對由該有限場中一第一开去 轉換出的一第一漢克矩陣及一第- 弟一漢克矩陣進行加法計算 ，以產生一第三漢克矩陣，並對 場中㊣…去“曰並對該弟二漢克矩陣及該有限 琢中1 —力素的向量進行乘法計算，以在 生與該第一元素及該第二元辛 、w 三元素。 "、豕哥馬利乘法關係的—第 【實施方式】 有關本發明之前述及其他技術内容、特點 =配合參考圖式之二個較佳實施例的詳細說明中，將ΐ

清楚地呈現。 T J I·漢克矩陣（Hankel Matrix) 一個mxm漢克矩陣Η如下所示： 11 200841232 Η- Κ hx Κ h2 h Κ h 'm-\ h 其中’第户列第Θ行的實體元素與第/7- 1列第+ _ 實體土素_。該漢克輯Η具有2W]個實體-二+1行的 向量心[«···，v2]。 ％’、，且其 "亥’奠克矩陣H可被分解成複數個/x/子矩 ί=1，2，···，2ΐ2)，如以下所示： ’ 1 ( H〇 H卜】 H1 h2 • # H, * · ·.· H2々_2 Η 其中，每一子矩陣氏也是一漢克矩陣。 、II·本發明 本發明有限場蒙哥馬利乘法器適用於在由一不可分解 三項式仏"+1所產生的一有限場即⑺令進行蒙哥馬利 乘法計算，且該有限場GF(n中的元素是以_多項式 {^'^'••，入^來表示。 、土- 該有限場奶2Ί中的二元素咐、雄)及與其等呈蒙 哥馬利乘法關係的一元素c〇)如下所示： A{x)^Yjaixl f , 12 200841232 C〇c)= =mod(xw +/+1) /=1 不 · • c"— C，+1 * bx … bm-i~ am-l • Cm〜i C0 =: b2 … b〇 am-2 C1 Pm-X b〇… K-2_ _ ao _ -Cn-1 __ bn+2 · ·· K-x 〇 bn+2 ^n+3 ·· 0 0 根據式（1)，該元素c(x)的係數可被重新整理成如下所 ο ο ο ο k 0 ο ο ο ο ο ο

Κ0ΑΤ+ΚΧΑΤ HAT ο ο ο ο κ a m-l a m~2 〇 b〇 b /2—1 ao j..- 式（2) 5〇〇輟拖’錢該元素外）的向量，K〇及Kl是由該元 換出的二漢克矩陣，Η是κ。與&相加所產生的一 二:根據式⑺，可以計算出該元素C〇〇的係數。 U·第一較佳實施例 13 200841232 >閱圖3 ’本發明之第一較佳例包含 及一乘法模組3。該加1 凌杈組2 管的方★ 9 .以力法杈組2用於計算ιι=κ0+Κι，且計 开、工疋·將該二漢克矩陣κ0、Κι的向量$、7加 — 果兄矩陣H的向量孖=尺〇+&。該等向、 K及丹分別如下所示： D里心

該乘法模組3用於計算h，w..，c“，Ci，···，。^ 且^算的方式是：對於㈣丄···，^，^^ • ，其中，Θ代表向量内積，而 <州>=:㈣)modm。 、 參閱圖3、圖4與圖5，當本實施例以硬體實現時，該 加法核組2包括w γ固互斥或閘2卜用於執行相加，而該 乘法杈組.3包括wxm個計算單元31及2w-2個延遲元件32 。茶閱圖5與圖6，每一計算單元31包括一及閘311、一互 斥或閘312及二延遲元件313。該及閘311及該互斥或閘 312分別用於執行内積中的相乘及相加。 值得注意的是，本實施例是採用位元並列及心臟收縮 陣列采構來實現硬體，但也可以採用數位串列架構來實現 硬體’以下將說明如何實現。另外，本實例除了以硬體實 現外’也可以軟體實現。 IV.弟二較佳實施例 該等漢克矩陣KG、K〗及Η分別可被分解成複數個^^ 14 200841232 子矩陣Κ〇,约·、1C〗，叫及JJ⑴，而該元素」⑺的向量2及 分別可被分解成複數個子向量不及

Ci，其中’尸0，1，·.·，々-!，而户=0，1，…>1。因此式（2)可被改 寫成.

ςΓ Κ〇,〇 ^0,1 Κ〇ϊ1 K〇,2 … κ λο,α：-ι • · · JC • ι Γλγ' X ^〇,k-l Κ〇, ...κ av0,2A:-2 J + 、u> Ku κ1>2 … ":Ku V Ατ Ku ·.· Κ12Λ_2_ Λ Η1 Η1 η2 .·· Η Ί ak~\ Η ak • · • · X Η, • * ··· Η η2Λ-2」 ~ΑΤ 」 ，閱圖7,本發明之第：較佳實施例包含—加法模組 乘法模、、且6及—總和模組7。對於... h，」 ςο’ι，···，仏該加法模組」用於計算Hi.+y=K^+K^，言 乘法模組6用於計算Ί而職和模組7用 ，且計算方式如下所示： … 1

k-\ c，=ΣΗ Μ

人匕S 臀存模組4 I 控制模組8’該暫4心料料子矩陣κ ku+;及該等子向量而該控制模組8用於控制時: 15 200841232 外，該加法模組5及該乘法模組6 命 /土每“ 的员現方式與該第一較 4属細例類似，此處不再多加說明。 士值:注意的是，w可以不是/的倍數。當所不是厂的倍 數打’只要將原本的wxm漢克矩陣擴充成w，xw，漢克矩陣 (W’=Ax/)即可。 舉一個簡單的例子說明。假設所二5、”=2、/=2且， 式（2)可被表示為： C2 bQ bi h h b: \ K 0 0 0一 ^41 C3 b' b2 h b4 K a3 K 0 0 0 0 a3 C4 b2 K b〇 bi d2 + 0 0 0 0 0 C0 K 办0 b' b2 a\ 0 0 0 0 K ax -Ci 一 b〇 b' b2 b3· L〇 0 0 La〇 經擴充之後可得： 6 C3 C4 Co cl ζ ^ ^ ^ ^aoiOJ乂 A A “1 A0 一 ΙΑ Ί~.—--* τη^οοοοο ΟΟΑ^-ΟΟΟ 64 60 61 62 63 ο ο ο ο Too ,οι ο ^3 64 60 ,02 ο ο ο ο ο 60 ο 63 Α^4 άο τοι ο 0 0 0 0 0 ^0 δι 62 03 04 60 ο &4 ο ο ο ο ο 61 62、\ 6。、仏❹ ο 010 歸納述’本發明藉由將該元素轉換成二漢克矩 陣κ〇、’當以硬體時，與習知相比，所使用的互斥或閘 16 200841232 及延遲元件的數目可以減少，因此能降低複雜度，確實可 以達到本發明的目的。 惟以上所述者，僅為本發明之較佳實施例而已，當不 能以此限定本發明實施之範圍，即大凡依本發明申請專利 範圍及發明說明内容所作之簡單的等效變化與修飾，皆仍 屬本發明專利涵蓋之範圍内。 【圖式簡單說明】 圖1是一電路示意圖，說明習知的有限場蒙哥馬利乘 法器； 圖2是一電路示意圖，說明習知的有限場蒙哥馬利乘 去為之一第一計算單元、一第二計算單元及一第三計算單 元； 圖3是一方塊圖，說明本發明有限場蒙哥馬利乘法器 之第—較佳實施例； 圖4是一電路示意圖，說明該第一較佳實施例之一加 法模組； 、圖5是一電路示意圖，說明該第一較佳實施例之一乘 法模級； 圖6疋一電路示意圖，說明該乘法模組之一計算單元 ;及 "^ 圖7是一電路示意圖，說明本發明有限馬利 又弟二較佳實施例。 17 200841232 【主要元件符號說明】 2… * 加法模組 32* * * 延遲元件 21… •互斥或閘 * 暫存模組 3… • • 乘法模組 5 ·… 加法模組 31… •計算單元 6 * * 乘法模組 311 * • 及閘 7…· 總和模組 312 ^ • 互斥或閘 8 * * * 控制模組 313 * • 延遲元件 18

Claims (1)

1. 200841232 十、申請專利範園： 一種有限場蒙哥馬利乘法器， — 項式所產生的-有限場中進行蒙哥馬由^分解三 有限場t的元素是以—多項式基底來表示：计斤，且該 S亥有限場蒙哥馬利乘法器對由該有限場中_第一 _ 素轉換出的一第一漢昔矩康 一 弟一兀 計算，以產生-第漢克矩陣進行加法 中一/ 車’並對該第三漢克矩陣及 以有、琢中-弟二元素的向量進行乘法計算 限場中產生與該第一元素及該第二元 ；有 承主豕哥馬利乘法 關係的一第三元素。 2.依據申請專利範圍第丨項所述之有限場蒙哥馬利乘法器 ，該有限場是GF(2m) ’該不可分解三項式是 而該多項式基底是{Λ--1/-2,…，x，l}，其中，該第一漢克 矩陣K0、該第二漢克矩陣Kl、該第三漢克矩陣η的關 係是Η^Κο+Κ!，而該第一元素5〇)、該第二元素乂⑷及 該第三元素 C〇)的關係是 C(x)= 乂〇)5〇);^1110(1〇^+；^+1) 3·依據申請專利範圍第2項所述之有限場蒙哥馬利乘法器 ，其中： 讲一1 忍(x) = Σ ’ κ〇 = /=〇 bQ b、…bm—' 办2…K * · · • · · bm-\ U 一2 ，而 19 200841232

   3項所述之有限場蒙 4·依據申請專利範圍第 ，其中： 哥馬利乘法器 ί=0 乙 ctx 而 Cn Π wm-i n Um、2 Cm-\ =H C0 C\ Sn-\ _ -β〇 - .依據申請專利範圍第4項所述之有 限場蒙哥馬利乘法器 ，是以位元並列方式進行計算。 6·依射請專利範圍第5項所:之有限場蒙哥馬利乘法器 包含： -加法模組’將該第一漢克矩陣κ。及該第二漢克矩 陣Κ!相加，以產生該第三漢克矩陣Η = κ〇 + Κι ;及 一乘法模組，將該第三漢克矩陣Η及該第二元素 d(x)的向量相乘，以產生該第三元素C(;c)。 依據申請專利範圍第6項所述之有限場蒙哥馬利乘法器 20 200841232 ，其中，該加法模組產生該第三漢克矩陣H的方式是· 巴該第一漢克矩陣kg及該第二漢克矩陣Κι的向及 尤!相加’以產生該第三漢克矩陣jj的向量 8·依據申請專利範圍帛7制述之有限場蒙哥馬利乘法叫 ，其中： / m—2 · -2 . 9.依據中凊專利範圍帛8項所述之有限場蒙哥馬利乘法 ，其中，該加法模組包括至少一互斥或閘，該/ 用於執行相加。 ^或 10·依據申請專利_ 8項所述之有限場蒙哥馬利乘去 ，其中，該乘法模組產生該第三元素c(x)的方式是\ 於卜〇’1，.’.，讲-1’。—=[认'，...人，]〇[ 且<州>=(州）modw。 ㈣，，W η.依據申請專利範圍第10項所述之有限場蒙哥馬 ，其中’該乘法模組包括至少一計算單元，曾二 J括一及閘和一互斥或閘’該及閘用於執行内積中： 乘，而該互斥或閘用於執行内積中的相加。、勺: 12·依料請專利範圍第4項所述之有限場蒙哥 ，疋以數位串列方式進行計算。 去 13.依據申請專利範圍第12項所述之有限場 ，其中’該第一漢克矩陣Κ。、該第矩陳…去 宜m t 1 果t矩陣Κ：ι及 弟一漢克矩陣Η分別包括複數子矩陣 早 Κ〇,㈩、1，/+/ 21 200841232 Η〜·，該第二元素j(x)的向量】及該向量 、’^’···’.^/”…，^^分別包括複數子向量冗及^·， /=0，1，〜夕-1，户=0，1，".夕_1，且該有限場蒙哥馬利乘法器 是以一子矩陣及一子向量為單位進行串列計算： H, H 2k-2 Κ〇,〇 K0J ...κ K〇 = K〇,2 ··· K χν0,Λ 擊 》 • · K〇/ • * ··· K02a_2 X，。 Ku ...κ ~ 〜夕-1 κ1 = Ku K1>2 ... K * « • · Ku-1 • « ...κ AV1,2^2_ - H〇 Hj ... HhI Η Ηι H2 H£ 乂···，疋 ，而 i —· τ 灸一1 c，· =ίΧΆΓ。 j=\ 14.依據申請專利範圍第13項所述之有限尸故 ，包含： 每豕哥馬利乘法器 一加法模組，將該第一漢克矩陣 K〇，/+y及該第二漢克矩陣&的一子矩 〇的子矩陣 U+y相加，以產 22 200841232 生該第三漢克矩陣H的一子矩陣· 一乘，組，將該子矩陣_>及該第1元Γ雄）的 一子向量冷相乘，以產生;及 一總加模組，將H/+y：i；r相加以產生： —,7^ 灸一1 c，，=ΣΗ/+〆/。 Μ !5.依據申請專利範圍帛14項所述之有限場蒙哥馬利乘法器 ’其中’該加法模組產生該第三漢克矩陣Η的子矩陣 的方式是：將該第一漢克矩陣^的子矩陣〜〜及 該第二漢克矩陣Kl的子矩陣、之向量及g相 力二n第三漢克矩陣H的子矩陣〜之向量 只…’ -+ KiJ+j。 16·依據申請專利範㈣15項所述之有限場蒙哥馬利乘法琴 ’其 該加法模組包括至少一互斥或閉，該互斥或閑 用於執行相加。 ， 17. 依據巾請專利範圍第15項所述之有限場蒙哥馬利乘法器 ，其中，邊乘法模組利用向量内積來計算Η 。 18. 依據申請專利範圍第17項所述之有限場：馬利乘法器 ，該乘法模組包括至少—計算單S，該計算單元 及閘和—互斥或閘，該及閘用於執行内積中的相 乘，而該互斥或閘用於執行内積中的相加。 23