SU1141409A1 - Генератор случайных процессов - Google Patents

Abstract

ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ , содержащий источник шума, первый усилитель, первый сумматор, первьй интегратор, первый линейный преобразователь, коммутатор, отличающийс  тем, что, с целью расширени  функциональных возможностей генератора путем обеспечени  взаимной независимости одномерной плотности распределени  слунайного процесса и его коррел ционной функции, он содержит переключатель. три усилител , три нелинейных преобразовател , второй сумматор, второй интегратор и второй линейный преобразователь, выход которого соединен с входами первого, второго и третьего нелинейных преобразователей , выходы которых соединены соответственно с первым, вторым и третьим входами коммутатора, вькод которого соединен с входом первого линейного преобразовател , выход которого  вл етс  выходом генератора , выход источника шума соединен с входами первого и второго усилителей , выходы которых соединены соответственно с первыми входами пер- 5 вого и второго су 1маторов, выход (Л третьего усилител  соединен с вторым входом второго сумматора, выход первого сумматора соединен- с первым входом переключател ,выход которого через первый интегратор соединен с ; входами второго линейного преобразова , тел  и четвертого усилител , выход кото4; рого .соединен с третьим входом рого сумматора, выход которого через второй интегратор соединен с о ;о вторыми входами первого сумматора, и переключател  и с входом третьего усилител .

Description

Изобретение относитс  к вычислительной технике и может найти применение при статистическим моделировании на аналоговых вычислительных машинах, а также при создании аппаратуры дл  формировани  случайных процессов. Известно устройство дл  формировани  марковских процессов, содержардее источник нормального белого шума, блок суммировани , блок нелинейного преобразовател  и блок интег рировани  Cl J. Недостатком данного устройства  вл етс  невозможность формировани  случайных процессов, имеющих заданньш закон распределени  и коррел ционную функцию, отличную oт экспоненциальной . Наиболее близким к изобретению техническим решением  вл етс  генера тор случайных процессов, содержащий источник нормального белового шума, блок перемножени , Ьлок суммировани , блок интегрировани , блок нелинейности типа зона нечувствительности , блок нелинейности типа ограничение , блок вычитани , блок нелинейного преобразовани , два блока извлечени  квадратного корн , источник посто нного напр жени , коммута тор и масштабный усилитель, при этом выход источника нормального белого шума соединен с первых входом блока перемножени , выход которого подключен к первому входу блока суммировани , выход которого покдлючен к входу блока интегрировани , выход которого соединен с входом нелинейного блока типа зона нечувствительности и входом нелинейного блока типа ограничение, выходы которых подключены соответственно к первому и второму входам блока вычитани  выход которого,  вл ющийс  выходом устройства в целом, соединен с входом блока линейного преобразовани  и входами первого и второго нелинейных блоков извлечени  квадратного корн , выходы которых и выход источника посто нного напр жени  подключены соответственно к первому, второму и третьему входам коммутатора, выход которого соединен с входом масштабного усилител , выход которого соединен с вторым входом блока перемножени , второй вход блока суммировани  соединен с выходом блока линейного преобразовател  2 Недостатком известного устройства  вл етс  невозможность обеспечени  взаимной независимости одномерной плотности распределени  формируемого случайного процесса и его коррел ционной функции. Целью изобретени   вл етс  расширение функциональных возможностей путем обеспечени  взаимной независимости одномерной плотности распределени  случайного процесса и его коррел ционной функции. Дл  достижени  поставленной цели в генератор случайных процессов, содержащий источник шума, первый усилитель, первый сумматор, первый интегратор, первый линейный преобразователь , коммутатор, введены переключатель , три усилител , три нелинейных преобразовател , второй сумматор, второй интегратор и второй линейный преобразователь, выход которого соединен с входами первого второго и третьего нелинейных преобразователей , выходы которых соединены соответственно с первым, вторым и третьим входами коммутатора, выход которого соединен с входом первого линейного преобразовател , выход которого  вл етс  выходом генератора , выход источника шума соединен с входами первого и второго усилителей, выходы которых соединены соответственно с первыми входами первого и второго сумматоров, выход третьего усилител  соединен с вторым входом второго сумматора, выход первого сумматора соединен с первым входом переключател , выход которого через первый интегратор соединен с входами второго линейного преобразовател  и четвертого усилител , выход которого соединен с третьим входом второго сумматора, выход которого через второй интегратор соединен с вторыми входами первого , сумматора и переключател  и с входом третьего усилител . Дл  по снени  сущности изобретени  рассмотрим теоретические основы формировани  непрерывного стационарного случайного процесса Z(t) с заданными одномерной плотностью распределени  uJ(Z) и коррел ционной функцией ). Как известно, большинство распространенных непрерывных одномерных плотностей распределени  U)(Z)

относитс  к S-распределени м Джонсона . При этом аналитически плотности S-распределений можно выразить:

р{-|- уп п

z + )

(Я

, , е)ср -llyng

-w :-)л I Н

fc

)П,

(2) где h , Л , Т и - параметры. Выражение (1) соответствует S-распределению Джонсона, выражение (2) - S -распределению Джонсона, выражение (3) - 8ц-распределеншо Джонсона. Выбор подход щего S-pacпределени  Джонсона зависит от вели чин квадрата коэффициента ассиметри /), М§ /Mi и коэффициента эксцесса ( 5) 2

желаемого стационарного случайного процесса Z(t), подчиненного одномерной плотности распределени  U)(Z) В выражени х (4) и (5) Mj ,- второй центральный момент (дисперси ) процесса Z(t), Mj и Мц. - соответственно третий и четвертый центральный моменты процесса Z(t).

Таким образом, дл  построени  Sраспределени  Джонсона, соответствующего заданной плотности распределени  u)(Z), необходимо рассчитать по формулам (4) и (5) квадрат коэффициента ассиметрии /ь и коэффициент эксцесса , характеризующие заданную плотность распределени  Uj(Z) , .При этом формула дл  вьгчислени  моментов Mj - М. имеет вид

М; (Z - т.) и; (Z)dZ, i S , 4, ..., га Г Z uj(Z)dZ.

Дп  некоторых плотностей распределени  коэффициенты р, и р указаны в справочной литературе.

Затем с помощью Лиг. 2 по рассчитанным р и fti определ ютвид подход щего дл  заданной и) (Z) S-pacnpeделени .

Далее рассчитывают параметры iv f f к Е выбранного S-распределени , использу  метод моментов или условие минимума функционала, характеризующего различие заданного и выбранного распределений, например функционала вида

.i()

или

если Z(t) имеет плотность распределени  , (2) ,

zct);iexp(2M:IL). , сэ)

если Z(t) имеет плотность распределени  (3) .

Из выражений (7) - (9) видно, что алгоритм формировани  каждого S-распределени  один и тот же.

Сначала нормированный гауссовский процесс y(t) линейно преобразуют с целью получени  процесса

(

Сю)

затем полученный процесс ) подвергают нелинейному преобразованию вида

V -N(tl--ll P illl- f-,i

.p(.(tl) . ,х|и)(г|-.(2д,Л,т.)| , je(V.3). (ь) Процесс Z(t), имеющий одно из S-распределений (1) - (3), может быть представлен как результат нелинейного преобразовани  Джонсона некоторого нормального (гауссовского) нормированного процесса v(t): rv(i|-J- 1 1.e. если Z(t) имеет плотность распреде- i,Z(t) лени  (1), z(t,4..«f(iui).E;(., или вида 2(И())s1,(:((t|)±exp(y(i|)Лexp{-/(4 или вида (W)exp(,(t)) в зависимости от вида S-распределени . Далее результат нелинейного преобразовани  подвергают линейному преобразованию с целью получени  процесса z(t). (3(t))fe , re(i,2,3) , (н) имеющего требуемое S-распределение Дл  того, чтобы процесс Z(t) имел заданную коррел ционную функци .. ), необходимо соответствующим образом выбрать нормированную корре л ционную функцию fy () вспомогательного процесса y(t). Указанньй выбор может быть осу1чествлен в два этапа. На первом этапе вспомогательный процесс y(t) выражаетс   вным образом через нелаемый процесс Z(t) с помощью выражений (7) - (10). Про делав необходимые преобразовани , получают: (Ке.(т4|)гг , («1 Z(t) имеет плотность распределени  (1), ,(.y) , (1Ы если Z(t) имеет плотность распреде лени  (2), :,(ti,e,-mii.y . П) если Z(t) имеет плотность распреде лени  (3). На втором этапе по известной кор рел ционной функции K2(t) и по виду преобразований (15) - (17) определ ют искомую нормированную коррел ционную функцию ,,() по формул .jecw) (19 /J () - права  часть вьфажений (15) - (17), причем при j 1 следует брать правую часть выражени  (15) и т.д., ( - среднеквадратическое отклонение процесса Z(t) Hj(Z) - полином Эрмита п-го пор дка, f(,Z) - нормированна  коррел ционна  функци  процесса Z(t). При практическом проведении расчетов в р ду (18) нужно оставл ть лишь несколько первых членов. Это число N может быть получено из услови  N I XcJ/n , которое получаетс  из формулы (18) при Т 0. В результате случайный процесс Z(t) . имеющий желаемые одномерную плотность распределени  ы.Х и коррел ционную функцию ) , может быть сформирован путем последовательных преобразований (10), (11) или (12), или (13) и (14) нормированного гауссовского случайного процесса y(t), имеющего (нормированную) коррел ционную функцию f,(T). Рассмотрим формирование нормированного гауссовского случайного процесса y(t) с коррел ционной функцией (). При этом ограничимс  рассмотрением лишь таких р (г), которые описываютс  выражением j)(()U|j , (2в) где а , U) и - параметры. В таблице приведено несколько наиболее часто встречающихс  функций семейства (20). Можно показать, что гауссовский случайный процесс y(t) с коррел ционной функцией вида (20) может быть сформирован как компонента у (t) вумерного марковского процесса , .1 порождаемого следующей сиса tV.. темой стохастических дифференциальных ЗФавнений: U) 2(t)tfe(i) ) ))2( . 7. где f(t) - ста1р онарный белый шум, т.е. гауссов белый шум с. нулевым математическим ожиданием и коррел  ционной функцией К с {т) ), дельта-функ1щ  Дирака, -(а + 10), (22) 22 . Ь, l2(a -Л (Ч))) ( ), bj I2(a )(а2 + u) - 2ab . Таким образом, y(t) у (t) .При этом нужно помнить, что случайный процесс у(t) (и, следовательно, случайный процесс y(t) будет иметь коррел ционную функцию (20) после установлени  его стационарности. Окончательно получаем, что дл  сформировани  случайного процесса Z(t) с заданной одномерной плотностью распределени  и}(2)и заданной коррел ционной функцией К2( ) необходимо сформировать двумерный гауссовский случайный процесс удовлетвор ющий системе дифференциальных сравнений (22), компоненту у этого процесса подвергнуть линейному преобразованию вида (10), результат которого подвергнуть одному из трех нелинейных преобразований вида (11) - (13), а результат последнего преобразовани  подвергнуть линейному преобразованию вида (14). При этом параметры i , Л , j и линейных (10) и (14) и одного из нелинейных (11) - (13) преобразований , параметры а , ц) и (S функции (20 и коэффшщенты ад, 2i i системы дифференциальных уравнений (21) рассчитываютс  заранее. В качестве примера использовани  предлагаемого подхода рассмотрим формирование случайного процесса Z(t) с плотностью распределени  вид u)(Z) exp(Z/0,165); fO,165 t + + exp(Z/0,165) (23) и коррел ционной функции вида K2(O 0,09 exp(-2 /r/)(1 + + 0,45 /r/).(24) Плотность (24) называетс  логисти кой. Известно, что математическое 9 ожидание т, дисперси  (jf , квадрат коэффициента, ассиметрии / и коэффициент эксцесса процесса Z(t), подчиненного плотности (23), имеют следуюпще значени : т О, Mj 62 0,09, р, О, ,ь, 4,2. Точка А с координатами (0,4.2), вид видно из фиг. 2, находитс  в области Sy-распределений Джонсона, следовательно, плотность распределени  (23) может быть представлена как плотность S -распределени  Джонсона, т.е. вида: (2). Выберем параметры плотности (2). Прежде всего заметим, что в силу центрированности (т 0) и симметричности ( Pi 0) плотности (23) необходцмо , чтобы параметры f и плотности (2) равн лись нулю. Оставшиес  параметры и Л плотности (2) выберем из услови  минимума функционала (6) с учетом равенства и(0) f, (О, г , Л ). Проделав необходимые вычисление, получим а 1,937, Л 0,510. Таким образом, преобразование, которому следует подвергнуть вспомогательный нормированный гауссовский процесс y(t) дл  получени  процесса Z(t) с веро тностными характеристиками (23) и (24), имеет вид (см. вьфажени  (14) и (12) F(y(t) 0,5/ V,(ii) следовательно Z(t) 0,5/S1.., (25) Нормированна  коррел ционна  функци  у,, (С) процесса y(v) рассчитываетс  по формулам (18) и (19). При этом ra(62Z) 1,937 arcsh (-|) , p (O exp(-2/r/)(1+0,45 /f/). При практических расчетах в выражение (18) подставл ют значени  f() функции р(), причем i О, 1, 2, ..., 60, 1Г О, t-g 15. Интегралы в вьфажении (19) вычисл ют численно. В результате получают таблицу значений р ( ) функции р ( Г ) , i 0, 1,2, ..., 60. Найденные зна чени  аппроксимировались выражени ем (20), Хороша  точность аппроксимации достигнута минимизацией функ ционала Ol«m«;jc° (cosa)f.+sinu)|t,.|)-5)(i)) i IJ - . ПО параметрам а , ш и /г , в резул тате которой получено 0 1.6,ш 0, /i - произвольно. При указанных значени х о ,и) и /6, во-первых, нормированна  коррел  ционна  функ1ш  f М имеет вид , .сам а , во-вторых,-, коэффициенты (22) сис темы стохастических дифференциальных уравнений (21) принимают следую щие 3 нач е ни : -2.56, а22 -3.2, Ь 1.789, bj -2.862. Следовательно, после установлени  стационарности компонента у двумерного гауссовского случайного процесса ( О, порождаемого систеМОЙ стохастических дифференциальных уравнений типа (21), т.е. У, (t) y2(t) + 1,789 It), j(t} -2,56 y(t) - 3,2 y2(t)- 2,862pt), , имеет коррел ционную функцию (26). Подвергнув сформированный таким спо собом случайный процесс- у (t) преобразованию (25) , получим случайный процесс Z(t) с желаемыми веро т- .костными характеристиками (23) и (24). При формировании случайного процесса предлагаемое устройство обеспечивает взаимную независимость его одномерной плотности распределени  и коррел ционной функции. На фиг. 1 представлена функциональна  схема генератора, на фиг.2плоскость и /bj и ее области, соответствующие S-распределени м Джонсона с Генератор содержит источник 1 шума, первьй усилитель 2, первый сумматор 3, переключатель 4, первый интегратор 5, второй 6, третий 7 и четвертьА 8 усилители, второй сумма тор 9, второй интегратор 10, второй линейньш преобразователь 11, первый 12, второй 13 и третий 14 нелинейные преобразователи, коммутатор 15 и первый линейный преобразователь 16. Источник 1 шума в ка дый момент времени t формирует нормальный белый шум единичной интенсивности (т.е. стандартный белый шум), который подаетс  на первый усилитель 2 с коэффициентом усилени , равным Ц (см. систему дифференциальных уравнений (21). Выходной сигнал с первого усилител  2 поступает на первый сумматор 3, где суммируетс  с сигналом, поступающим с выхода второго интегра. тора 10 и равным yj (см. систему дифференциальных уравнений (21)). Выходной сигнал с первого сумматора 3 поступает на первый вход переключател  4, который может находитьс  в одном из двух состо ний. В первом состо нии переключатель 4 соедин ет выход первого сумматора 3 с входом первого интегратора 5, во втором - выход второго интегратора 10 с входом первого интегратора 5. В первом случае на вход первого интегратора 5 поступает сигнал, равный у (t) + b(t) и представл ющий собой в соответствии с первым уравнением системы (21) производную сигнала y(t), т.е. у (t). В первом интеграторе 5 происходит интегрирование сигнала, равного у (t), в результате чего на выходе интегратора 5 формируетс  сигнал, равный у (t), т.е. нормированный нормальный процесс , имеюпщй после установлени  стационарного состо ни  коррел ционную функцию вида (20). Указанный сигнал поступает-на вход линейного преобразовател  11 и на вход четвертого усилител  8, который по техническому решению эквивалентен первому усилителю 2 и имеет коэффициент усилени , равный а (см. систему дифференциальных уравнений (21)). Выходной сигнал с четвертого усилител  8 поступает на первый вход второго сумматора 9, где суммируетс  с выходным сигналом с третьего усилител  7 и с выходным сигналом со второго усилител  6. При этом сигнал с выхода третьего усилител  7 представл ет собой усштенньй ъ & раз сигнал с выхода второго интегратора 10, а сигнал с выхода второго усил тел  6 представл ет собой усиленный в bj раз нормальный белый шум, сформированный источником 1 шума. Второй.6 и третий 7 усилители по техническому решению эквивалентны первому усилителю 2 и имеют коэффИциенты усилени  Ь и а j соответственно . В результате на выходе второго сумматора 9, который по тех ническому решению представл ет собо операционный усилитель, например, с рии К140, К153 и т.п., создаетс  сигнал, равный агУг + bjfCt) и  вл ющийс  в соответствии со вторым уравнением системы (21) производной сигнала y(t), т.е. yjCt). Во втором интеграторе 10, который по техническому решению эквивалентен первому интегратору 5, происходит интегрирование сигнала, равного yjCt), в результате чего на выходЛ интегратора 10 создаетс  сигнал, равный у(t) и необходимый дл  формировани  сигнала y(t). Таким образом, в блоках 1-10 формируетс  сигнал y,(t), который вместе с сигналом ) образует решение системы стохастических дифференциал ных уравнений (21). В том случае, когда переключател 4 находитс  во втором состо нии (т.е. соедин ет выход второго интегратора 10 с входом первого интегратора 5), .сигнал -у2 Р выхода второго интегратора 10 поступает непосредственно на вход первого интегратора 5, где происходит его интегрирование . Данньй случай позвол ет формировать такие случайные процессы у (t), которые  вл ютс  CO тавной частью решени  системы дифференциальных уравнений (21), когда в последней Ъ., 0. Это соответствует , например, ситуации, когда коррел ционна  функци  процесса р (т) должна иметь вид fs,t) ()(t|. Вне зависимости от состо ни  переключател  4 выходной процесс y(t) с первого интегратора 5 посту пает на вход второго линейного пре- образовател  11, в котором осуществл етс  преобразование (10), т.е. формируетс  сигнал y(t) y,(t) - ff / n, Линейный преобразователь 11 может быть выполнен в виде аналогового линейного функционального преобРазовател  Сигнал y(t) с выхода линейного преобразовател  11 поступает одновременно на входы первого 12, второго 13 и третьего 14 нелинейных преобразователей, в которых осуществл ютс  преобразовани  (11) - (13) соответственно. Нелинейные преобразов телк 12-14 могут быть выполнены в виде нелинейных функциональных преобразователей Аналоговые блоки таких преобразователей также хорошо известны СЗ. Выходные сигналы с нелинейных преобразователей поступают соответственно на первый, второй и третий входы коммутатора 15. Коммутатор 15 в зависимости от своего состо ни .соедин ет выход одного из трех нелинейных преобразователей 12-14 с входом линейного преобразо ел  16, в котором осуществл етс  преобразование (14), т.е. формируетс  сигнал ZCt)V. ()+E , je(l,2,3) , где V- (y(t) - сигнал с выход  одного из трех нелинейных преобразователей . Сигнал Z(t) на выходе линейного преобразовател  16  вл етс  искомым случайным процессом, так как имеет желаемые заранее заданные одномерную плотность распределени  ui(Z) и коррел ционную функцию K2(f). Возможность создани  устройства дл  формировани  процесса с произвольными одномерной плотностью распределени  и коррел хщонной функцией , задаваемыми независимо друг от друга, расшир ет функциональные возможности предлагаемого устройства и сферу его применени .

;пример функции )

Соответствующие значени  параметров выражени  (20)

(1Г)

(cos to Г + sinu)/f/) u

ie- созшТ

(1 + C/r/)

U)0,

P-. /5 0

r ±, w- 0

В

Область Sa - ро.спределен1

/

iO

фиг.2

Л. oSfiacmt,

Область -pacnpede/fenuu .

-Х It «

Claims (1)

1. ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, содержащий источник шума, первый усилитель, первый сумматор, первый интегратор, первый линейный преобразователь, коммутатор, отличающийся тем, что, с целью расширения функциональных возможностей генератора путем обеспечения взаимной независимости одномерной плотности распределения случайного процесса и его корреляционной функции, он содержит переключатель, три усилителя, три нелинейных преобразователя, второй сумматор, второй интегратор и второй линейный преобразователь, выход которого соединен с входами первого, второго и третьего нелинейных преобразователей, выходы которых соединены соответственно с первым, вторым и третьим входами коммутатора, выход которого соединен с входом первого линейного преобразователя, выход которого является выходом генератора, выход источника шума соединен с входами первого и второго усилителей, выходы которых соединены соответственно с первыми входами пер- 5 вого и второго сумматоров, выход третьего усилителя соединен с вторым входом второго сумматора, выход первого сумматора соединен с первым входом переключателя,выход которого через первый интегратор соединен с ; входами второго линейного преобразователя и четвертого усилителя, выход которого .соединен с третьим входом второго сумматора, выход которого через второй интегратор соединен с вторыми входами первого сумматора.

   и переключателя и с входом третьего усилителя.