RU2665499C1 - Experimental method for parametrisation of complex geometry three-dimensional bodies - Google Patents

Experimental method for parametrisation of complex geometry three-dimensional bodies Download PDF

Info

Publication number
RU2665499C1
RU2665499C1 RU2017112247A RU2017112247A RU2665499C1 RU 2665499 C1 RU2665499 C1 RU 2665499C1 RU 2017112247 A RU2017112247 A RU 2017112247A RU 2017112247 A RU2017112247 A RU 2017112247A RU 2665499 C1 RU2665499 C1 RU 2665499C1
Authority
RU
Russia
Prior art keywords
network
dimensional
frame
coordinates
complex geometry
Prior art date
Application number
RU2017112247A
Other languages
Russian (ru)
Inventor
Самат Нухович Якупов
Риннат Галеевич Нуруллин
Рашида Нуховна Якупова
Нух Махмудович Якупов
Original Assignee
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Федеральный исследовательский центр "Казанский научный центр Российской академии наук"
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Федеральный исследовательский центр "Казанский научный центр Российской академии наук" filed Critical Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Федеральный исследовательский центр "Казанский научный центр Российской академии наук"
Priority to RU2017112247A priority Critical patent/RU2665499C1/en
Application granted granted Critical
Publication of RU2665499C1 publication Critical patent/RU2665499C1/en

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G09—EDUCATION; CRYPTOGRAPHY; DISPLAY; ADVERTISING; SEALS
    • G09B—EDUCATIONAL OR DEMONSTRATION APPLIANCES; APPLIANCES FOR TEACHING, OR COMMUNICATING WITH, THE BLIND, DEAF OR MUTE; MODELS; PLANETARIA; GLOBES; MAPS; DIAGRAMS
    • G09B23/00—Models for scientific, medical, or mathematical purposes, e.g. full-sized devices for demonstration purposes
    • G09B23/02—Models for scientific, medical, or mathematical purposes, e.g. full-sized devices for demonstration purposes for mathematics
    • G09B23/04—Models for scientific, medical, or mathematical purposes, e.g. full-sized devices for demonstration purposes for mathematics for geometry, trigonometry, projection or perspective

Landscapes

  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Computational Mathematics (AREA)
  • Mathematical Analysis (AREA)
  • Mathematical Optimization (AREA)
  • Pure & Applied Mathematics (AREA)
  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Mathematical Physics (AREA)
  • Geometry (AREA)
  • Business, Economics & Management (AREA)
  • Algebra (AREA)
  • Educational Administration (AREA)
  • Educational Technology (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Length Measuring Devices With Unspecified Measuring Means (AREA)

Abstract

FIELD: manufacturing technology.
SUBSTANCE: experimental method of parametrization of three-dimensional bodies of complex geometry refers to the branches connected with modeling of three-dimensional bodies with faces of complex geometry. Method includes the steps of manufacturing a network of elastic material and a spatial framework of flexible curvilinear elements forming a predetermined contour, fixing the frame to the base, pulling on the network skeleton from the elastic material, measuring the coordinates of the network nodes relative to the base. At the same time, a spatial framework is formed of twelve ribs representing the contour edges of a three-dimensional body with complex geometry. Three-dimensional net of elastic material is stretched onto the ribs of the frame in the form of a parametric cube with the assigned type of breakdown into cells in the form of parallelepipeds. Breakdown type is assigned either uniformly, or with a given pattern, each nodal contour point of the network being fixed to the corresponding points of the framework distributed along the length of the curved edges of the frame in accordance with the selected type of stakeout. Contour skeleton is fixed relative to the reference planes of the three bases and fixed to it by the network, the coordinates of the node points of the deformed network are measured in a three-dimensional coordinate system relative to the reference planes of the bases. Next, the radius vectors at the grid nodes are determined and the coordinate vectors and metric of node points of the deformed network of the simulated three-dimensional body are determined.
EFFECT: increased efficiency of modeling a three-dimensional body of complex geometry, improved accuracy of describing bodies with curvilinear faces, and reduced complexity of calculating the components of the metric tensor of the nodes of the grid of a three-dimensional body.
4 cl, 4 tbl, 8 dwg

Description

Изобретение относится к отраслям, связанным с моделированием трехмерных тел с гранями сложной геометрии, в частности деталей машин, элементов строительных конструкций, транспортных средств, космической техники, приборов, оборудования и т.д., и определением их метрики для последующего численного анализа сплайновым вариантом метода конечных элементов.The invention relates to industries related to the modeling of three-dimensional bodies with faces of complex geometry, in particular machine parts, structural elements, vehicles, space technology, instruments, equipment, etc., and the determination of their metrics for subsequent numerical analysis by a spline version of the method finite elements.

Известны способы определения кривизны и уклонов профиля поверхности дорожного покрытия в двух различных направлениях, включающие измерение параметров движения автомобиля, определение и корректировку базиса отсчета относительно плоскости, анализ упомянутых данных с помощью ЭВМ, нахождение уклонов дорожного покрытия в двух различных направлениях и выдачу на экран монитора измерительно-вычислительного комплекса расчетных параметров в процессе движения автомобиля (патент РФ №2114391, М. кл. G01С 7/04, опубл. 27.06.1998) (аналог).Known methods for determining the curvature and slopes of the surface profile of the road surface in two different directions, including measuring the vehicle’s motion parameters, determining and adjusting the reference basis relative to the plane, analyzing the data using a computer, finding the slopes of the road surface in two different directions and displaying measurement -computing complex of calculated parameters in the process of car movement (RF patent No. 21114391, M. class. G01C 7/04, publ. 06/27/1998) (analog).

Однако известные способы не позволяют моделировать трехмерные тела сложной геометрии.However, the known methods do not allow to simulate three-dimensional bodies of complex geometry.

Известны экспериментальные способы параметризации минимальных поверхностей, основанные на решении двухмерного уравнения Лапласа (на примере постановки внутренней задачи Дирихле, когда известны краевые значения координат и необходимо найти внутренние), в котором выставляют вертикальные стержни на необходимую высоту относительно опорной плоскости согласно требованиям задачи, с помощью измерительного прибора выверяют точность установки стержней, посредством фиксатора закрепляют стержни на необходимой высоте, натягивают на вертикальные стержни заранее изготовленную сеть из гибкого эластичного материала, с помощью высокоточного измерительного прибора замеряют высотные координаты во внутренних точках (точках пересечения) эластичной гибкой сети (патент РФ №2121166, М. кл. G09В 23/04, опубл. 27.10.1998) (аналог).Experimental methods are known for parametrizing minimal surfaces, based on the solution of the two-dimensional Laplace equation (using the example of the formulation of the internal Dirichlet problem, when the boundary values of coordinates are known and it is necessary to find the internal ones), in which vertical rods are set to the required height relative to the reference plane according to the requirements of the problem, using the measuring of the device, verify the accuracy of the installation of the rods, fix the rods at the required height by means of the clamp, pull them to the vertical n rods pre-made network of flexible flexible material, using a high-precision measuring device measure the altitude coordinates at the internal points (intersection points) of the flexible flexible network (RF patent No. 2111166, M. CL G09B 23/04, publ. 10/27/1998) ( analogue).

Указанные способы не позволяют получать непрерывные и гладкие контуры произвольной конфигурации, свободно ориентированные в трехмерном пространстве (все контуры имеют прерывистый дискретный характер).These methods do not allow to obtain continuous and smooth contours of arbitrary configuration, freely oriented in three-dimensional space (all contours are discontinuous, discrete in nature).

Известен также экспериментальный способ параметризации минимальных поверхностей со сложным контуром, включающий операции фиксации гибкого элемента относительно основания, натягивания на него заранее изготовленной сети из эластичного материала, замера координат узловых точек сети относительно основания, в котором изготавливают пространственный каркас из криволинейных формообразующих элементов, натягивают на каркас первоначально прямоугольную в плане сеть из эластичного материала, причем каждую узловую контурную точку сети закрепляют на соответствующих точках каркаса, распределенных по длине формообразующего элемента по определенной закономерности. При этом поверхность формируют и параметризируют по узловым точкам сети относительно выбранной системы координат, выполняют обработку полученных результатов с определением компонент метрики поверхности (патент РФ №2374697, М. кл. G09В 23/04, опубл. 27.11.2009) (прототип).There is also an experimental method for parameterizing minimal surfaces with a complex contour, including the operation of fixing a flexible element relative to the base, pulling a prefabricated network of elastic material onto it, measuring the coordinates of the network's nodal points relative to the base, in which a spatial frame is made of curvilinear forming elements, tensioned on the frame initially rectangular in plan plan of elastic material, and each nodal contour point of the network is closed lyayut frame at respective points distributed along the length of the forming element in a specific pattern. In this case, the surface is formed and parametrized by the nodal points of the network relative to the selected coordinate system, the results are processed and the components of the surface metric are determined (RF patent No. 2374697, M. cl. G09B 23/04, published on November 27, 2009) (prototype).

Указанный способ обладает следующими недостатками:The specified method has the following disadvantages:

а) способ не позволяет описать контуры трехмерных тел произвольной конфигурации, свободно ориентированных в пространстве;a) the method does not allow to describe the contours of three-dimensional bodies of arbitrary configuration, freely oriented in space;

б) способ не позволяет моделировать поверхности трехмерных тел сложной геометрии;b) the method does not allow to simulate the surface of three-dimensional bodies of complex geometry;

в) в способе не предусмотрено вычисление метрики внутренних узловых точек изучаемого тела (компонент метрического тензора);c) the method does not provide for the calculation of the metric of the internal nodal points of the studied body (components of the metric tensor);

г) в способе не предполагается определение параметров метрики тела в трехмерной системе координат.g) the method does not intend to determine the parameters of the body metric in a three-dimensional coordinate system.

Задачами (целью) изобретения является повышение эффективности моделирования трехмерного тела сложной геометрии, повышение точности описания тел с криволинейными гранями и снижение трудоемкости вычисления компонент метрического тензора узлов сетки трехмерного тела.The objectives (purpose) of the invention is to increase the efficiency of modeling a three-dimensional body of complex geometry, increase the accuracy of the description of bodies with curved faces and reduce the complexity of computing the components of the metric tensor of the grid nodes of a three-dimensional body.

Указанные задачи достигаются тем, что в экспериментальном способе параметризации трехмерных тел сложной геометрии, включающем операции изготовления сети из эластичного материала и пространственного каркаса из гибких криволинейных элементов, образующих заданный контур, фиксации каркаса относительно основания, натягивания на каркас сети из эластичного материала, замера координат узловых точек сети относительно основания, формируют пространственный каркас из двенадцати ребер, представляющих контурные ребра трехмерного тела со сложной геометрией, натягивают на ребра каркаса трехмерную сеть из эластичного материала в виде параметрического куба с назначенным типом разбивки на ячейки в виде параллелепипедов, при этом тип разбивки назначают или равномерным, или с заданной закономерностью, причем каждую узловую контурную точку сети закрепляют на соответствующих точках каркаса, распределенных по длине криволинейных ребер каркаса в соответствии с выбранным типом разбивки. Контурный каркас фиксируют относительно опорных плоскостей трех оснований и закрепляют на нем сеть, замеряют координаты узловых точек деформированной (преобразованной) сети в трехмерной системе координат относительно опорных плоскостей оснований. При необходимости более четкой идентификации соответствующих узлов окрашивают узловые точки в разные цвета. После замеров координат узлов x(t1,t2,t3); y(t1,t2,t3); z(t1,t2,t3) деформированной сети в трехмерной системе координат относительно опорных плоскостей оснований определяют радиус-векторы в узлах сетки по формуле:These tasks are achieved by the fact that in the experimental method of parameterizing three-dimensional bodies of complex geometry, including the operation of manufacturing a network of elastic material and a spatial frame of flexible curved elements that form a given contour, fixing the frame relative to the base, pulling the frame of the network of elastic material, measuring the coordinates of the nodal network points relative to the base, form a spatial framework of twelve edges representing the contour edges of a three-dimensional body with complex With the help of geometry, they pull a three-dimensional network of elastic material in the form of a parametric cube with the assigned type of division into cells in the form of parallelepipeds on the edges of the frame, while the type of breakdown is assigned either uniform or with a given regularity, and each nodal contour point of the network is fixed to the corresponding points of the frame distributed along the length of the curved edges of the frame in accordance with the selected type of breakdown. The contour frame is fixed relative to the reference planes of the three bases and the network is fixed on it, the coordinates of the nodal points of the deformed (transformed) network are measured in a three-dimensional coordinate system relative to the reference planes of the bases. If necessary, a clearer identification of the corresponding nodes paint the nodal points in different colors. After measuring the coordinates of the nodes x (t 1 , t 2 , t 3 ); y (t 1 , t 2 , t 3 ); z (t 1 , t 2 , t 3 ) of the deformed network in a three-dimensional coordinate system relative to the reference planes of the bases determine the radius vectors in the nodes of the grid according to the formula:

Figure 00000001
Figure 00000001

где х, у, z - координаты в декартовой системе;where x, y, z are the coordinates in the Cartesian system;

t1, t2 и t3 - координаты (параметры) параметрического куба (верхние индексы 1, 2 и 3 - индексы, показывающие направление координат);t 1 , t 2 and t 3 - coordinates (parameters) of the parametric cube (upper indices 1, 2 and 3 - indices showing the direction of coordinates);

Figure 00000002
,
Figure 00000003
,
Figure 00000004
- единичные орты в декартовой системе координат.
Figure 00000002
,
Figure 00000003
,
Figure 00000004
- unit vectors in the Cartesian coordinate system.

Выполняют обработку полученных результатов с определением координатных векторов по формулам:Perform the processing of the results with the determination of coordinate vectors according to the formulas:

Figure 00000005
Figure 00000005

Figure 00000006
Figure 00000006

Figure 00000007
Figure 00000007

где

Figure 00000008
,
Figure 00000009
и
Figure 00000010
- координатные векторы;Where
Figure 00000008
,
Figure 00000009
and
Figure 00000010
- coordinate vectors;

i, j, k - идентификационные номера узловых точек по соответствующим направлениям координатных осей в трехмерном пространстве.i, j, k are the identification numbers of nodal points in the corresponding directions of the coordinate axes in three-dimensional space.

Выполняют обработку полученных результатов с определением компонент метрики узловых точек деформированной сети моделируемого трехмерного тела. Метрику узловых точек деформированной сети моделируемого трехмерного тела определяют по формуле:The obtained results are processed and the metric components of the nodal points of the deformed network of the modeled three-dimensional body are determined. The metric of the nodal points of the deformed network of the simulated three-dimensional body is determined by the formula:

Figure 00000011
Figure 00000011

Figure 00000012
Figure 00000012

Figure 00000013
Figure 00000013

Figure 00000014
Figure 00000014

Figure 00000015
Figure 00000015

Figure 00000016
Figure 00000016

где g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33 - ковариантные компоненты первого основного метрического тензора.where g 11 , g 12 , g 13 , g 21 , g 22 , g 23 , g 31 , g 32 , g 33 are the covariant components of the first basic metric tensor.

При необходимости осуществляют сглаживание полученных результатов в процессе их обработки. В общем случае, вместо параметрического куба используют параметрический параллелепипед.If necessary, smooth out the results in the process of processing. In general, a parametric box is used instead of a parametric cube.

На фиг. 1 изображено тело сложной геометрии, подлежащее параметризации (в данном случае это шестигранное тело с вершинами а, b, с, d, e, f, g, h); на фиг. 2 - параметрический куб с координатами t1, t2 и t3; на фиг. 3 изображена схема сети из эластичного материала в виде куба с узловыми точками, соответствующего параметрическому кубу; на фиг. 4 представлена схема фрагмента сети; на фиг. 5 приведена схема разбиения ребер каркаса; на фиг. 6 представлена схема формирования узлов трехмерного тела сложной геометрии, образуемого при наложении узлов ребер сети из эластичного материала на соответствующие контурные узлы каркаса тела (схема разбиения трехмерного тела на заданное число трехмерных элементов); на фиг. 7 показана схема получения координат узловых точек на экспериментальной установке (на примере точки h); на фиг. 8 показана фотография реального воплощения способа.In FIG. 1 shows a body of complex geometry to be parameterized (in this case, it is a hexagonal body with vertices a, b, c, d, e, f, g, h); in FIG. 2 - a parametric cube with coordinates t 1 , t 2 and t 3 ; in FIG. 3 shows a network diagram of an elastic material in the form of a cube with nodal points corresponding to a parametric cube; in FIG. 4 shows a diagram of a network fragment; in FIG. 5 shows a diagram of the splitting of the edges of the frame; in FIG. 6 shows a diagram of the formation of nodes of a three-dimensional body of complex geometry, formed when the nodes of the network edges of elastic material are superimposed on the corresponding contour nodes of the body frame (the scheme of dividing a three-dimensional body into a given number of three-dimensional elements); in FIG. 7 shows a diagram for obtaining the coordinates of nodal points in an experimental setup (using the example of point h); in FIG. 8 is a photograph of a real embodiment of the method.

На фигурах обозначены:In the figures indicated:

х, у, z - координаты в декартовой системе;x, y, z - coordinates in the Cartesian system;

xh, yh, zh - координаты точки h в декартовой системе;x h , y h , z h - coordinates of the point h in the Cartesian system;

t1, t2 и t3 - координаты (параметры) параметрического куба (верхние индексы 1, 2 и 3 - индексы, показывающие направление координат);t 1 , t 2 and t 3 - coordinates (parameters) of the parametric cube (upper indices 1, 2 and 3 - indices showing the direction of coordinates);

V - объем, который занимает формируемое трехмерное тело сложной геометрии;V is the volume occupied by the formed three-dimensional body of complex geometry;

Vф - объем, который занимает параметрический куб в координатах t1, t2 и t3 (параметры t1, t2 и t3 изменяются в частном случае, от 0 до 1);V f - the volume that the parametric cube occupies in the coordinates t 1 , t 2 and t 3 (parameters t 1 , t 2 and t 3 vary in a particular case, from 0 to 1);

М - произвольная точка формируемого тела (принадлежит объему V, включая поверхность тела);M - an arbitrary point of the formed body (belongs to the volume V, including the surface of the body);

Мф - произвольная точка в параметрическом кубе (принадлежит объему Vф, включая поверхность параметрического куба), соответствующая произвольной точке М формируемого тела;M f - an arbitrary point in the parametric cube (belongs to the volume V f , including the surface of the parametric cube) corresponding to an arbitrary point M of the formed body;

α, β, γ - ортогональные плоскости базисных оснований экспериментальной установки;α, β, γ — orthogonal planes of the base bases of the experimental setup;

Figure 00000017
- радиус-вектор произвольной точки М области V.
Figure 00000017
is the radius vector of an arbitrary point M of region V.

Способ осуществляют следующим образом.The method is as follows.

На подготовительном этапе изготавливают сеть из упругого материала, состоящего из эластичных (например, резиновых) нитей 1, которые соединены в узлах 2. Для наглядности и облегчения замеров нити для каждого слоя берут разных цветов. В расправленном состоянии сеть представляет собой куб, который называют параметрическим (фиг. 3). При этом узлы расположены на эластичных нитях с выбранным типом разбивки на ячейки в виде параллелепипедов в каждом из трех измерений по параметрам t1, t2 и t3. Разбивка может быть двух типов: первый тип - равномерная разбивка, второй тип - разбивка по заданной закономерности. В итоге получают параметрический куб, состоящий из отдельных ячеек в виде параллелепипедов. Параметрический куб занимает объем Vф в координатах t1, t2 и t3. В частном случае выбирают параметры t1, t2 и t3 в пределах от 0 до 1.At the preparatory stage, a network is made of an elastic material consisting of elastic (for example, rubber) threads 1, which are connected in nodes 2. For clarity and ease of measurement, the threads for each layer are taken in different colors. In the expanded state, the network is a cube, which is called parametric (Fig. 3). In this case, the nodes are located on elastic threads with the selected type of breakdown into cells in the form of parallelepipeds in each of the three dimensions according to the parameters t 1 , t 2 and t 3 . A breakdown can be of two types: the first type is a uniform breakdown, the second type is a breakdown according to a given pattern. The result is a parametric cube, consisting of separate cells in the form of parallelepipeds. The parametric cube occupies the volume V f in the coordinates t 1 , t 2 and t 3 . In the particular case, the parameters t 1 , t 2 and t 3 are selected in the range from 0 to 1.

Параметрический куб можно собрать, например, в следующем порядке. Собирают заданное число фрагментов в виде плоских прямоугольных сетей из эластичных нитей 1, соединенных в узлах 2 с необходимой разбивкой. Эти фрагменты располагают друг над другом и соединяют в узлах эластичными нитями с равной длиной между узлами, формируя пространственную сеть. При необходимости отдельные фрагменты подвешивают на вспомогательные кронштейны на период сборки пространственного каркаса.A parametric cube can be assembled, for example, in the following order. Collect a given number of fragments in the form of flat rectangular networks of elastic threads 1 connected in nodes 2 with the necessary breakdown. These fragments are placed one above the other and connected in nodes by elastic threads of equal length between the nodes, forming a spatial network. If necessary, individual fragments are suspended on auxiliary brackets for the period of assembly of the spatial frame.

Далее собирают пространственный каркас abcdefgh из гибких криволинейных формообразующих ребер каркаса (например, из кусков гнущейся проволоки), обозначенных как элементы ab, bc, cd, da, ef, fg, gd, de, ea, fb, gc, hd в соответствии с заданным контуром задаваемого (параметризуемого) тела. На гибких криволинейных элементах ab, bc, cd, da, ef fg, gd, de, ea, fb, gc, hd делают метки в соответствии с заданным типом разбивки. При необходимости более четкой идентификации соответствующих узлов узловые (отмеченные) точки окрашивают в разные цвета, соответствующие цветам сети.Then, the spatial frame abcdefgh is assembled from flexible curvilinear forming edges of the frame (for example, from pieces of bending wire), designated as elements ab, bc, cd, da, ef, fg, gd, de, ea, fb, gc, hd in accordance with the specified the contour of the specified (parameterized) body. On flexible curved elements ab, bc, cd, da, ef fg, gd, de, ea, fb, gc, hd make labels in accordance with the specified type of breakdown. If it is necessary to more clearly identify the corresponding nodes, the nodal (marked) points are painted in different colors corresponding to the colors of the network.

Далее каркас фиксируют относительно базисных оснований 3, 4 и 5 (с плоскостями, соответственно, α, β и γ) при помощи, например, опор 6, 7 и 8. Допускается провести фиксацию всех 8 вершин каркаса abcdefgh.Next, the frame is fixed relative to the base bases 3, 4 and 5 (with the planes, respectively, α, β and γ) using, for example, supports 6, 7 and 8. It is allowed to fix all 8 vertices of the frame abcdefgh.

На указанный каркас натягивают сформированную пространственную сеть из эластичного материала. При этом обеспечивают фиксацию соответствующих узловых точек сети с узловыми (отмеченными) точками каркаса. Допускается выполнить операцию натягивания сети из эластичного материала на каркас до фиксации каркаса на базисных основаниях 3, 4 и 5. При этом внешние узловые точки при натяжении сети представляют собой грани формируемого тела, а внутренние узловые точки - расчетные точки тела.A formed spatial network of elastic material is pulled onto said frame. At the same time, fixation of the corresponding nodal points of the network with nodal (marked) points of the frame is provided. It is allowed to perform the operation of pulling a network of elastic material onto the frame until the frame is fixed on the base bases 3, 4 and 5. In this case, the external nodal points when the network is tensioned are the faces of the formed body, and the internal nodal points are the calculated points of the body.

Далее приступают к процедуре параметризации рассматриваемого тела. Для этого производят замеры координат узловых точек деформированной сети относительно оснований 3, 4 и 5 с применением соответствующих измерительных инструментов (приборов) по осям х, у и z при соответствующих параметрах t1 t2 и t3 единичного куба с областью Vф, то есть получают координаты x(tl, t2, t3); y(t1, t2, t3); z(tl, t2, t3) и определяют радиус-векторы в узлах сетки по формуле:Then proceed to the procedure of parameterization of the body in question. To do this, measure the coordinates of the nodal points of the deformed network relative to the bases 3, 4 and 5 using the appropriate measuring tools (instruments) along the x, y and z axes with the corresponding parameters t 1 t 2 and t 3 of a unit cube with a region V f , i.e. get the coordinates x (t l , t 2 , t 3 ); y (t 1 , t 2 , t 3 ); z (t l , t 2 , t 3 ) and determine the radius vectors in the nodes of the grid according to the formula:

Figure 00000018
Figure 00000018

где

Figure 00000019
,
Figure 00000020
,
Figure 00000021
- единичные орты в декартовой системе координат.Where
Figure 00000019
,
Figure 00000020
,
Figure 00000021
- unit vectors in the Cartesian coordinate system.

Данные могут быть представлены в виде таблиц.Data can be presented in tabular form.

Алгоритм построения пространственной сети и вычисления ее параметров осуществляется в следующей последовательности:The algorithm for constructing a spatial network and calculating its parameters is carried out in the following sequence:

1. Дифференцируя выражение (1) по t1, t2 и t3, определяют координатные векторы

Figure 00000022
,
Figure 00000023
и
Figure 00000024
:1. Differentiating expression (1) with respect to t 1 , t 2 and t 3 , coordinate vectors are determined
Figure 00000022
,
Figure 00000023
and
Figure 00000024
:

Figure 00000025
Figure 00000025

Конкретно выражение (2) расписывают следующим образом:Specifically, the expression (2) is written as follows:

Figure 00000026
Figure 00000026

Figure 00000027
Figure 00000027

Figure 00000028
Figure 00000028

где i, j, k - идентификационные номера узловых точек по соответствующим направлениям координатных осей в трехмерном пространстве.where i, j, k are the identification numbers of nodal points in the corresponding directions of the coordinate axes in three-dimensional space.

2. Определяют ковариантные компоненты первого основного метрического тензора g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33:2. The covariant components of the first basic metric tensor g 11 , g 12 , g 13 , g 21 , g 22 , g 23 , g 31 , g 32 , g 33 are determined:

Figure 00000029
Figure 00000029

Figure 00000030
Figure 00000030

Конкретно выражение (3) расписывают следующим образом:Specifically, the expression (3) is written as follows:

Figure 00000031
Figure 00000032
Figure 00000033
Figure 00000034
Figure 00000031
Figure 00000032
Figure 00000033
Figure 00000034

Figure 00000035
Figure 00000035

Figure 00000036
Figure 00000036

3. Аналогично определяют контравариантные компоненты первого основного метрического тензора g11, g12, g13 g21, g22, g23 g31, g32, g33:3. Similarly determine the contravariant components of the first basic metric tensor g 11 , g 12 , g 13 g 21 , g 22 , g 23 g 31 , g 32 , g 33 :

Figure 00000037
Figure 00000037

4. Далее определяют фундаментальный определитель g:4. Next, determine the fundamental determinant of g:

Figure 00000038
Figure 00000038

5. Дифференцируя ковариантные компоненты первого основного метрического тензора (3) по t1 t2 и t3, определяют их первые производные:5. Differentiating the covariant components of the first basic metric tensor (3) with respect to t 1 t 2 and t 3 , determine their first derivatives:

Figure 00000039
Figure 00000039

6. Определяют символы Кристоффеля второго рода по общей формуле:6. Determine the Christoffel symbols of the second kind by the general formula:

Figure 00000040
Figure 00000040

Выражение (7) развернуто записывают в виде:Expression (7) is expanded in the form:

Figure 00000041
Figure 00000041

Figure 00000042
Figure 00000042

Figure 00000043
Figure 00000043

Figure 00000044
Figure 00000044

Figure 00000045
Figure 00000045

Figure 00000046
Figure 00000046

Figure 00000047
Figure 00000047

Figure 00000048
Figure 00000048

Figure 00000049
Figure 00000049

Figure 00000050
Figure 00000050

Figure 00000051
Figure 00000051

Figure 00000052
Figure 00000052

Figure 00000053
Figure 00000053

Figure 00000054
Figure 00000054

Figure 00000055
Figure 00000055

Figure 00000056
Figure 00000056

Figure 00000057
Figure 00000057

Figure 00000058
Figure 00000058

Таким образом, для формируемого тела получают:Thus, for the formed body receive:

- значения координат x(t1, t2, t3), y(tl, t2, t3), z(tl, t2, t3);- coordinate values x (t 1 , t 2 , t 3 ), y (t l , t 2 , t 3 ), z (t l , t 2 , t 3 );

- ковариантные компоненты метрического тензора g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33;- covariant components of the metric tensor g 11 , g 12 , g 13 , g 21 , g 22 , g 23 , g 31 , g 32 , g 33 ;

- контравариантные компоненты метрического тензора g11, g12, g13 g21, g22, g23, g31, g32, g33;- contravariant components of the metric tensor g 11 , g 12 , g 13 g 21 , g 22 , g 23 , g 31 , g 32 , g 33 ;

- символы Кристоффеля для параметров t1, t2 и t3 параметрического куба.- Christoffel symbols for parameters t 1 , t 2 and t 3 of the parametric cube.

При необходимости осуществляют сглаживание полученных результатов в процессе их обработки.If necessary, smooth out the results in the process of processing.

В общем случае, вместо параметрического куба используют параметрический параллелепипед.In general, a parametric box is used instead of a parametric cube.

Пример параметризации трехмерного тела сложной геометрии.An example of parameterization of a three-dimensional body of complex geometry.

Был изготовлен проволочный каркас с криволинейными контурами из 12 отрезков проволоки, совпадающих с ребрами имитируемого трехмерного тела сложной геометрии. Также была изготовлена параметрическая сеть из эластичного материала (резиновых кольцевых нитей), размеры которой в ненатянутом состоянии во всех направлениях меньше, чем габаритные размеры проволочного каркаса. Параметрическая сеть была составлена из ячеек с обозначением узловых точек во всех указанных направлениях: 4 ячейки - в одном направлении, 5 ячеек - в другом направлении и 6 ячеек - в третьем направлении. На каркас натянули параметрическую сеть из эластичного материала (фиг. 8). При этом узловые точки сети стыковались с соответствующими узловыми точками каркаса путем привязывания фиксирующими нитками.A wire frame with curved contours was made of 12 pieces of wire that coincided with the edges of a simulated three-dimensional body of complex geometry. A parametric network was also made of elastic material (rubber ring threads), the dimensions of which in an unstressed state in all directions are smaller than the overall dimensions of the wire frame. The parametric network was composed of cells with the designation of nodal points in all these directions: 4 cells in one direction, 5 cells in the other direction and 6 cells in the third direction. A parametric network of elastic material was pulled onto the frame (Fig. 8). In this case, the nodal points of the network docked with the corresponding nodal points of the frame by tying with fixing threads.

Все вершины каркаса неподвижно закрепили относительно трех опорных плоскостей при помощи фиксаторов. Далее замерили координаты узловых точек. Значения замеренных координат всех узлов по направлениям х, у и z для исследуемой формируемого тела сложной геометрии приведены в таблицах 1-4.All the vertices of the frame are fixedly fixed relative to the three supporting planes with the help of clamps. Next, we measured the coordinates of the nodal points. The values of the measured coordinates of all nodes in the x, y, and z directions for the studied formed body of complex geometry are given in tables 1-4.

Figure 00000059
Figure 00000059

Figure 00000060
Figure 00000060

Figure 00000061
Figure 00000061

Figure 00000062
Figure 00000062

Далее, согласно алгоритма вычисления параметров сети определили координатные векторы

Figure 00000063
,
Figure 00000064
и
Figure 00000065
по формуле (2), ковариантные компоненты первого основного метрического тензора g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33 по формуле (3), контравариантные компоненты первого основного метрического тензора g11, g12, g13 g21, g22, g23, g31, g32, g33 согласно выражению (4), фундаментальный определитель g по формуле (5) и, наконец, символы Кристоффеля.Further, according to the algorithm for computing network parameters, coordinate vectors were determined
Figure 00000063
,
Figure 00000064
and
Figure 00000065
according to formula (2), the covariant components of the first main metric tensor g 11 , g 12 , g 13 , g 21 , g 22 , g 23 , g 31 , g 32 , g 33 according to formula (3), contravariant components of the first main metric tensor g 11 , g 12 , g 13 g 21 , g 22 , g 23 , g 31 , g 32 , g 33 according to expression (4), the fundamental determinant of g by formula (5) and, finally, the Christoffel symbols.

Предложенный способ позволяет описать контуры трехмерных тел произвольной конфигурации, свободно ориентированных в пространстве, а также моделировать поверхности трехмерных тел сложной геометрии. Вычисление метрики внутренних узловых точек изучаемого тела (компонент метрического тензора) дает возможность эффективно определить параметры метрики тела в трехмерной системе координат. Таким образом, повышается эффективность моделирования трехмерного тела сложной геометрии, а также точность описания тел с криволинейными гранями и снижается трудоемкость вычисления компонент метрического тензора узлов сетки трехмерного тела. Способ является эффективным средством решения самых разнообразных прикладных задач и может найти широкое применение в проектных организациях и учебных заведениях при проектировании и изучении различных тел сложной геометрии, а также при расчетах напряженно-деформированного состояния конструкций сложной геометрии.The proposed method allows to describe the contours of three-dimensional bodies of arbitrary configuration, freely oriented in space, as well as simulate the surface of three-dimensional bodies of complex geometry. Calculation of the metric of the internal nodal points of the body under study (components of the metric tensor) makes it possible to effectively determine the parameters of the body metric in a three-dimensional coordinate system. Thus, the efficiency of modeling a three-dimensional body of complex geometry is increased, as well as the accuracy of the description of bodies with curved faces and the complexity of calculating the components of the metric tensor of the grid nodes of a three-dimensional body is reduced. The method is an effective means of solving a wide variety of applied problems and can be widely used in design organizations and educational institutions in the design and study of various bodies of complex geometry, as well as in the calculation of the stress-strain state of structures of complex geometry.

Claims (22)

1. Экспериментальный способ параметризации трехмерных тел сложной геометрии, включающий операции изготовления сети из эластичного материала и пространственного каркаса из гибких криволинейных элементов, образующих заданный контур, фиксации каркаса относительно основания, натягивания на каркас сети из эластичного материала, замера координат узловых точек сети относительно основания, отличающийся тем, что формируют пространственный каркас из двенадцати ребер, представляющих контурные ребра трехмерного тела со сложной геометрией, натягивают на ребра каркаса трехмерную сеть из эластичного материала в виде параметрического куба с назначенным типом разбивки на ячейки в виде параллелепипедов, причем каждую узловую контурную точку сети закрепляют на соответствующих точках каркаса, распределенных по длине криволинейных ребер каркаса в соответствии с выбранным типом разбивки, при этом контурный каркас фиксируют относительно опорных плоскостей трех оснований и закрепляют на нем сеть, замеряют координаты узловых точек деформированной (преобразованной) сети в трехмерной системе координат относительно опорных плоскостей оснований, после замеров координат узлов x(t1, t2, t3); y(t1, t2, t3); z(t1, t2, t3) деформированной сети в трехмерной системе координат относительно опорных плоскостей оснований определяют радиус-векторы в узлах сетки по формуле1. An experimental method for parameterizing three-dimensional bodies of complex geometry, including the operations of manufacturing a network of elastic material and a spatial frame of flexible curvilinear elements that form a given contour, fixing the frame relative to the base, pulling the frame of the network of elastic material, measuring the coordinates of the network node points relative to the base, characterized in that they form a spatial framework of twelve ribs representing the contour ribs of a three-dimensional body with complex geometry, on a three-dimensional network of elastic material is formed on the frame edges in the form of a parametric cube with the assigned type of cell division in the form of parallelepipeds, and each nodal contour point of the network is fixed at the corresponding frame points distributed along the length of the curved edges of the frame in accordance with the selected type of breakdown, the contour frame is fixed relative to the reference planes of the three bases and the network is fixed on it, the coordinates of the nodal points of the deformed (transformed) network are measured in three-dimensional coordinate system relative to the reference base planes, after measurement nodes x coordinates (t 1, t 2, t 3); y (t 1 , t 2 , t 3 ); z (t 1 , t 2 , t 3 ) of a deformed network in a three-dimensional coordinate system relative to the reference planes of the bases determine the radius vectors in the nodes of the grid according to the formula
Figure 00000066
Figure 00000066
 где x, y, z - координаты в декартовой системе;where x, y, z are the coordinates in the Cartesian system; t1, t2 и t3 - координаты (параметры) параметрического куба (верхние индексы 1, 2 и 3 - индексы, показывающие направление координат);t 1 , t 2 and t 3 - coordinates (parameters) of the parametric cube (upper indices 1, 2 and 3 - indices showing the direction of coordinates);
Figure 00000067
,
Figure 00000068
,
Figure 00000069
- единичные орты в декартовой системе координат,
Figure 00000067
,
Figure 00000068
,
Figure 00000069
- unit vectors in the Cartesian coordinate system, затем выполняют обработку полученных результатов с определением координатных векторов по формуламthen, the processing of the obtained results is carried out with the determination of coordinate vectors by the formulas
Figure 00000070
Figure 00000070
Figure 00000071
Figure 00000071
Figure 00000072
Figure 00000072
 где
Figure 00000073
,
Figure 00000074
и
Figure 00000075
- координатные векторы;Where
Figure 00000073
,
Figure 00000074
and
Figure 00000075
- coordinate vectors; i, j, k - идентификационные номера узловых точек по соответствующим направлениям координатных осей в трехмерном пространстве,i, j, k are the identification numbers of nodal points in the corresponding directions of the coordinate axes in three-dimensional space, далее выполняют обработку полученных результатов с определением компонент метрики узловых точек деформированной сети моделируемого трехмерного тела, а метрику узловых точек деформированной сети моделируемого трехмерного тела определяют по формулеFurther, the results are processed to determine the components of the metric points of the deformed network of the modeled three-dimensional body, and the metric of the nodal points of the deformed network of the modeled three-dimensional body is determined by the formula
Figure 00000076
Figure 00000076
Figure 00000077
Figure 00000077
Figure 00000078
Figure 00000078
Figure 00000079
Figure 00000079
Figure 00000080
Figure 00000080
Figure 00000081
Figure 00000081
 где g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33 - ковариантные компоненты первого основного метрического тензора.where g 11 , g 12 , g 13 , g 21 , g 22 , g 23 , g 31 , g 32 , g 33 are the covariant components of the first basic metric tensor. 2. Способ по п. 1, отличающийся тем, что тип разбивки ребер каркаса назначают или равномерным, или с заданной закономерностью.2. The method according to p. 1, characterized in that the type of breakdown of the ribs of the frame is assigned either uniform or with a given pattern. 3. Способ по п. 1, отличающийся тем, что при необходимости более четкой идентификации соответствующих узлов окрашивают узловые точки в разные цвета.3. The method according to p. 1, characterized in that, if necessary, a more clear identification of the respective nodes paint the node points in different colors. 4. Способ по п. 1, отличающийся тем, что осуществляют сглаживание полученных результатов в процессе их обработки.4. The method according to p. 1, characterized in that the smoothing of the results obtained during their processing.
RU2017112247A 2017-04-10 2017-04-10 Experimental method for parametrisation of complex geometry three-dimensional bodies RU2665499C1 (en)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
RU2017112247A RU2665499C1 (en) 2017-04-10 2017-04-10 Experimental method for parametrisation of complex geometry three-dimensional bodies

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
RU2017112247A RU2665499C1 (en) 2017-04-10 2017-04-10 Experimental method for parametrisation of complex geometry three-dimensional bodies

Publications (1)

Publication Number Publication Date
RU2665499C1 true RU2665499C1 (en) 2018-08-30

Family

ID=63459831

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
RU2017112247A RU2665499C1 (en) 2017-04-10 2017-04-10 Experimental method for parametrisation of complex geometry three-dimensional bodies

Country Status (1)

Country Link
RU (1) RU2665499C1 (en)

Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
RU2010343C1 (en) * 1987-03-24 1994-03-30 Григорий Яакобович Кломпус Geometry studying device
WO1998004891A1 (en) * 1994-04-20 1998-02-05 Kenneth William Davies Color cube model
US20050032029A1 (en) * 1999-11-10 2005-02-10 Trunk Frank J. Method of multi-dimensional analysis of viscoelastic materials for stress, strain, and deformation
RU2374697C2 (en) * 2007-08-22 2009-11-27 Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук Experimental method for parametrisation of minimum surfaces with complex contour
RU2517149C2 (en) * 2012-07-27 2014-05-27 Общество с ограниченной ответственностью "Газпром трансгаз Казань" Method of parameterisation of local grooves on cylindrical bodies and device for its realisation

Patent Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
RU2010343C1 (en) * 1987-03-24 1994-03-30 Григорий Яакобович Кломпус Geometry studying device
WO1998004891A1 (en) * 1994-04-20 1998-02-05 Kenneth William Davies Color cube model
US20050032029A1 (en) * 1999-11-10 2005-02-10 Trunk Frank J. Method of multi-dimensional analysis of viscoelastic materials for stress, strain, and deformation
RU2374697C2 (en) * 2007-08-22 2009-11-27 Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук Experimental method for parametrisation of minimum surfaces with complex contour
RU2517149C2 (en) * 2012-07-27 2014-05-27 Общество с ограниченной ответственностью "Газпром трансгаз Казань" Method of parameterisation of local grooves on cylindrical bodies and device for its realisation

Similar Documents

Publication Publication Date Title
Zhang et al. Deformation expression of soft tissue based on BP neural network
Gueyffier et al. Volume-of-fluid interface tracking with smoothed surface stress methods for three-dimensional flows
WO2017031718A1 (en) Modeling method of deformation motions of elastic object
US6236738B1 (en) Spatiotemporal finite element method for motion analysis with velocity data
CN108121865B (en) A kind of structure section response propagation analysis method containing more uncertain parameters based on adjoint variable method
Le et al. Computationally efficient stochastic approach for the fragility analysis of vertical structures subjected to thunderstorm downburst winds
CN109612661A (en) Utilize the structural dynamic characteristic method for rapidly testing of artificial excitation
US20150073730A1 (en) Mechanical strain gauge simulation
RU2713855C1 (en) Device for modelling shapes of materials, method of modelling shapes of materials and method of making three-dimensional braided fibrous components
Brovka et al. A new method for T-spline parameterization of complex 2D geometries
RU2665499C1 (en) Experimental method for parametrisation of complex geometry three-dimensional bodies
Bessini et al. A form-finding method based on the geometrically exact rod model for bending-active structures
Li et al. Locomotion, wrinkling, and budding of a multicomponent vesicle in viscous fluids
RU2374697C2 (en) Experimental method for parametrisation of minimum surfaces with complex contour
CN112067908A (en) Fitting method and system for distortion electric field when transformer substation robot measures power frequency electric field
Janowski et al. The method of measuring the membrane cover geometry using laser scanning and synchronous photogrammetry
Heninger et al. Neighborhoods of periodic orbits and the stationary distribution of a noisy chaotic system
Şahin et al. ModalCAD—Interactive dynamic characteristic identification software for experimental and operational modal analysis of engineering structures
Diaz et al. Atlas to patient registration with brain tumor based on a mesh-free method
Kracht et al. From “how to model a painting” to the digital twin design of canvas paintings,”
CN116306326B (en) Joint contact mechanics simulation model building method and device and electronic equipment
López et al. T-spline Parameterization of 2D Geometries Based on the Meccano Method with a New T-mesh Optimization Algorithm
Tengler et al. Ways of uneven road surface modelling used in the vehicle dynamics analysis
CN106339527A (en) Method and device for calculating dead weight deformation of optical flat plate under three-point supporting
Vo A 2D field-consistent rational Bezier beam element for large displacement analysis