RU2602989C2 - Устройство для вычисления функциональных зависимостей - Google Patents

Устройство для вычисления функциональных зависимостей Download PDF

Info

Publication number
RU2602989C2
RU2602989C2 RU2015100395/08A RU2015100395A RU2602989C2 RU 2602989 C2 RU2602989 C2 RU 2602989C2 RU 2015100395/08 A RU2015100395/08 A RU 2015100395/08A RU 2015100395 A RU2015100395 A RU 2015100395A RU 2602989 C2 RU2602989 C2 RU 2602989C2
Authority
RU
Russia
Prior art keywords
polynomial
error
function
argument
result
Prior art date
Application number
RU2015100395/08A
Other languages
English (en)
Other versions
RU2015100395A (ru
Inventor
Всеволод Викторович Чекушкин
Original Assignee
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых" (ВлГУ)
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых" (ВлГУ) filed Critical Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых" (ВлГУ)
Priority to RU2015100395/08A priority Critical patent/RU2602989C2/ru
Publication of RU2015100395A publication Critical patent/RU2015100395A/ru
Application granted granted Critical
Publication of RU2602989C2 publication Critical patent/RU2602989C2/ru

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/17—Function evaluation by approximation methods, e.g. inter- or extrapolation, smoothing, least mean square method
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F7/00—Methods or arrangements for processing data by operating upon the order or content of the data handled
    • G06F7/38—Methods or arrangements for performing computations using exclusively denominational number representation, e.g. using binary, ternary, decimal representation
    • G06F7/48—Methods or arrangements for performing computations using exclusively denominational number representation, e.g. using binary, ternary, decimal representation using non-contact-making devices, e.g. tube, solid state device; using unspecified devices
    • G06F7/544—Methods or arrangements for performing computations using exclusively denominational number representation, e.g. using binary, ternary, decimal representation using non-contact-making devices, e.g. tube, solid state device; using unspecified devices for evaluating functions by calculation
    • G06F7/548—Trigonometric functions; Co-ordinate transformations

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Computational Mathematics (AREA)
  • Mathematical Analysis (AREA)
  • Mathematical Optimization (AREA)
  • Pure & Applied Mathematics (AREA)
  • Mathematical Physics (AREA)
  • Data Mining & Analysis (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • Algebra (AREA)
  • Computing Systems (AREA)
  • Databases & Information Systems (AREA)
  • Software Systems (AREA)
  • Complex Calculations (AREA)

Abstract

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано в специализированных устройствах обработки информации. Техническим результатом является повышение быстродействия при фиксированных точностных характеристиках и программно-аппаратурных затратах. Устройство содержит блок нормализации аргумента, блок вычисления полинома, блок нормализации функции, блок управления. 8 з.п. ф-лы, 2 ил., 5 табл.

Description

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано в специализированных устройствах обработки информации. Известно устройство для вычисления элементарных функций таблично-алгоритмическим методом, в котором блок приращения значений функции выполнен с возможностью воспроизведения приращений значений функции между узлами интерполяции с учетом знаков и абсолютных величин погрешностей воспроизведения функции в узлах интерполяции [1]. Поскольку значения функции в узлах интерполяции и приращения внутри интервалов интерполяции однозначно определяются старшими разрядами аргумента βст, заранее таблично рассчитываются, то можно в значительной степени осуществить компенсацию погрешности текущих значений вычисления приращения функции между узлами для любого значения аргумента, обусловленную дискретным представлением информации с конечным числом разрядов, "спрятав" ее в соответствующую погрешность воспроизведения значений функции в узлах интерполяции. С этой целью предварительно определяют значение функции в узле интерполяции j с абсолютной погрешностью Δβст=2-1-n, (здесь n число разрядов представления функции в узлах интерполяции) т.е. с симметричным округлением. Все приращения функции внутри интервала интерполяции также определяют с точностью до половины единицы младшего разряда результата n. По этим значениям определяют значения функции внутри интервала интерполяции и сравнивают их с соответствующими текущими эталонными значениями fэт(βст, βмл), задаваемыми с n+f дополнительными выходными разрядами. Если
Figure 00000001
то вычисленное значение приращения оставляют без изменения. Если это значение по абсолютной величине превышает половину единицы младшего разряда результата, то в зависимости от знака результирующей погрешности, добавляют или вычитают единицу младшего разряда в значении приращения функции Δf(βст, βмл). Эти значения и "зашивают" в ПЗУ приращений функции Δf(βст, βмл). Таким образом, результирующая максимальная погрешность вычисления функции для [1] определится из неравенства
Figure 00000002
т.е. фактически соответствует табличному методу (2-1-n). Недостаток данного устройства состоит в ограниченных функциональных возможностях: в больших затратах на его реализацию при высоких точностных характеристиках воспроизведения функции из-за увеличения объема памяти, возможностью взаимной компенсации при таблично-табличном методе воспроизведения функций только двух составляющих погрешностей.
Диапазон представления погрешностей при воспроизведении функций может изменяться от 50% до 0,0001% и менее, что соответствует интервалу от 1 до 24 и более двоичных разрядов результата в формате с фиксированной запятой перед старшим разрядом. В этих условиях в специализированных вычислителях информационно-измерительных систем при различных применениях и, как следствие, различных значениях погрешностей вычислений следует использовать наиболее рациональные устройства с специальной организацией под адаптированные вычислительные алгоритмы для сокращения программно-аппаратных и временных затрат [2-4]. При воспроизведении функциональных зависимостей широкое применение нашел полиномиальный метод, который используется для приближения стандартных функций, физических эталонов [5]. При аппроксимации функции f(x) с помощью полинома степени n со схемой Горнера
Figure 00000003
вычислительная сложность расчета А составляет 2n операций: n умножений и n сложений. В (3) x как и β в (1) является аргументом функции. Кроме того, в памяти необходимо хранить n+1 констант и n+1 раз запрашивать их для вычисления полинома. Ограничение числа операций при воспроизведении функции f(x), аппаратных затрат при реализации устройства обычно достигается путем ограничения числа членов ряда в (3) начиная с n+1 степени полинома исходя из оценки заданного максимального значения погрешности метода δмм в полиноме наилучшего приближения Чебышева
Figure 00000004
где f[n+1](x) - производная (n+1)-го порядка на интервале аппроксимации b-a.
При переходе от полинома степени n к полиному степени (n+1) в соответствии с (4) отношение значений погрешностей составит
Figure 00000005
Если исключить на первом этапе поиска оптимального алгоритма воспроизведения функции отношение производных f[n+1](x) и f[n+2](x) в (5) при увеличении степени многочлена n, то для повышения точности, например, при вычислении функции sin(x) эффективным является повышение степени полинома. Например, при n=4, n=5 и n=6 в соответствии с (4) отношение значений погрешностей δ4ч(x)/δ5ч(x) и δ5ч(x)/δ6ч(x) соответственно составит 28 и 32=25. Увеличении степени полинома на 1 обеспечивает примерно 5-значное приращение N двоичных цифр результата при увеличении количества вычислительных операций А на две и обращении к памяти М на единицу. В соответствии с (4) эффективным альтернативным средством повышения точности может быть и уменьшение интервала аппроксимации b-a в выражении (4) с разбивкой его на подинтервалы равной или неравной длины [2]. Например, при уменьшении интервала b-a в k раз значение погрешности в (4) должно уменьшиться примерно в kn+1 раз. При n=4, k=2 может быть получено уменьшение погрешности в 25 раз. Для критической ветви алгоритма при введении двух подинтервалов аппроксимации количество операций вычисления полинома возрастет на две из-за необходимости определения подинтервала нахождения аргумента: извлечения константы фиксации границ подинтервалов и сравнения текущего аргумента функции с этим значением.
Значение погрешности результата вычислений можно приближенно представить в виде выражения
Figure 00000006
где δд - погрешность дискретизации, обусловленная дискретным представлением аргумента с конечным числом разрядов; δцу - погрешность цифрового устройства, вызванная, в частности, конечным числом разрядов представления операндов; δм - погрешность метода вычисления функции.
Практический интерес представляет такая реализация, когда погрешности вносимые различными устройствами, методом вычислений соразмерны, т.е. затраты на их реализацию не являются избыточными. Избыточная точность понизит быстродействие устройства при вычислении полинома за счет увеличения числа операций, извлечения из памяти констант. Целесообразно и ограничение разрядной сетки в специализированном вычислителе, который производит обработку информации минимальным числом разрядов.
Полином Чебышева в соответствии с (3), (4) при f[n+1](x)≠const можно использовать лишь в качестве средства получения предварительной оценки результатов [5]. В связи с вышеизложенным рациональное проектирование вычислительных систем для воспроизведения сложных функциональных зависимостей, устранение невостребованных точностных характеристик можно обеспечить путем совершенствования техники экспериментальных исследований, моделирования физических процессов с поиском полиномов наилучшего приближения [6].
Известно устройство вычисления квадратного корня (прототип), содержащее блок нормализации аргумента 3 со схемой исключения значений аргумента x<xmin, первый вход которого является входом 1 устройства, а первый выход соединен с входом блока вычисления полинома 4, выход которого соединен с первым входом блока нормализации функции 5, второй вход блока нормализации функции 5 соединен со вторым выходом блока нормализации аргумента 3, выход блока нормализации функции 5 является выходом устройства (фиг. 1) [2]. Компьютерное моделирование вычислительных процессов устройства в системе MathCad обеспечило оптимизацию устройства с вычислением полиномами квадратного корня по соотношениям точностных характеристик, быстродействия и программно-аппаратных затрат. Для заданных значений погрешностей устройства обеспечены оптимальные значения степени полного полинома (3) наилучшего приближения, длины, положения нормированных интервалов аппроксимации. Технический результат - повышение быстродействия вычисления квадратного корня при диапазоне приведенных значений погрешности 5%…0,001% путем предварительного анализа интервала возможных значений аргумента x∈[xmin; 1] с разбиванием его на несколько подинтервалов с границами, кратными степени числа 2 в блоке нормализации аргумента 3. При заданной погрешности δмм в блоке нормализации аргумента 3 осуществляется выбор оптимальных значений длины подинтервалов аппроксимации, степени полинома наилучшего приближения, обеспечивающих минимальное число арифметических операций для вычисления квадратного корня. Выполняется поиск кратных степени числа 2 границ диапазона нахождения аргумента внутри полного интервала изменения аргумента x∈[xmin; 1] и нормализация значения аргумента x=22Sxн. Путем вычисления полинома наилучшего приближения с нормализованным аргументом xн на нормализованном интервале в блоке вычисления полинома 4 определяется предварительное нормализованное значение квадратного корня, которое затем повторной нормализацией с умножением на величину 2-S превращается в действительное значение в блоке нормализации функции 5. Результат умножения подается на выход устройства. Недостатки устройства состоят в малых функциональных возможностях: отсутствие принципиально возможной взаимной компенсации фактически детерминированных составляющих погрешностей в соответствии с (6), вычисление только одной функции, использование только полного полинома в соответствии с (3).
Цель изобретения - повышение эффективности устройства путем совершенствования его конструкции и методов моделирования вычислительного процесса для оптимизации алгоритмов вычисления типовых функциональных зависимостей в специализированных вычислителях с обеспечением предельных оптимальных соотношений по точностным характеристикам, быстродействию и программно-аппаратным затратам. При представлении результатов вычислений в диапазоне от 3 до 32-х значащих двоичных разрядов выходных данных и более в формате с фиксированной запятой перед старшим разрядом реализованы методы создания набора устройств с последовательным обеспечения максимального приращения числа значащих цифр представления результата N при соответствующем минимальном увеличении числа вычислительных операций А и обращений к памяти М. Уменьшение погрешности, числа двоичных разрядов операндов устройства достигается и путем взаимной компенсации составляющих погрешностей результата. Далее производится обоснование и материальное воплощение достижения положительного эффекта.
Совершенствование методов поиска полиномов наилучшего приближения для реализации набора устройств. В отличие от классического чебышевского альтернанса, когда в (3) для полного полинома степени n с (n+1) членами имеется n+1 узел аппроксимации, где значения функции совпадают с значениями интерполянта обеспечено сокращение количества вычислительных операций А, обращений к памяти М и путем уменьшения количества узлов интерполяции с исключением отдельных членов ряда a i·xi, констант a i в памяти устройства. При этом увеличение погрешностей по сравнению со значениями погрешностей для полинома степени n, у которого n+1 членов, должно быть незначительным. В то же время как и для чебышевского альтернанса обеспечено при m оставшихся константах a i, m+1 узлах аппроксимации принцип чередования не менее чем (m+1) раз знака и симметрирования погрешности метода δмм воспроизводимой полиномом функции, с наименьшим отклонением ее от нуля [6].
Для указанных условий упрощенный алгоритм поиска оптимального полинома после задания начальных условий в виде требуемой точности устройства для приближения функциональных зависимостей включает в себя этапы:
- приближенное определение полинома с наименьшей степенью n, обеспечивающего заданную максимальную погрешность δмм воспроизведения функции и расчет констант полинома наилучшего приближения a i;
- в соответствии со стратегией максимальной идентичности графиков функции f(x) и приближающего полинома Ln(x), исключаются неэффективные, наименее влияющие на значение погрешности δij члены ряда a ixi, константы a i, например, когда задаются a 0=0, a 1=1…, используются только четные (нечетные) члены ряда с полной или частичной группировкой их по схеме Горнера и т.п;
- поиск усеченного полинома наилучшего приближения Ln(x) с m<n+1 оставшимися константами a i, в котором на интервале аппроксимации обеспечивается по крайней мере (m+1) точек, в которых погрешности δij принимают с учетом неустранимых погрешностей Δδм равные максимальные значения +(δмм±Δδмм) и -(δмм±Δδмм);
- в соответствии с заданными погрешностями результата δp и полученными значениями погрешностей δij уточняют степень n и количество констант полинома m, членов ряда a i·xi; оставляют степень n без изменения или увеличивают (уменьшают) ее на единицу, уточняют число констант a i для получения заданной погрешности результата с исключением невостребованной избыточной точности определения преобразовательной характеристики или функции f(x) полиномом Ln(x) с достаточным дискретным числом значащих цифр представления результата N (чтобы погрешности квантования констант на данном этапе не влияли на погрешность результата) и соответствующим ему минимальным числом вычислительных операций А и (или) суммарным числом операций А+М воспроизведения полинома устройством;
- на заключительном этапе выполняется урезание, симметрирование, взаимопоглощение составляющих погрешностей вычисления результата δр на выходе системы в виде суммы погрешностей метода δм, дискретного квантованного представления данных δai набора констант a i в устройстве, промежуточных преобразований δпр с ограниченным числом разрядов в форматах представления данных специализированного вычислителя. По сравнению с (3) уменьшение числа членов (констант) полинома требует и меньшего объема памяти устройства, числа вычислительных операций, узлов аппроксимации. Приведем примеры результатов поиска оптимизированных полиномов вычисления стандартных функций для создания устройств в соответствии с приведенным алгоритмом для часто используемых функциональных зависимостей при значениях приведенной погрешности метода порядка 20%…0,0001%. Например, для полиномов 1-й и 3-й степени вычисления функции sin(x) (таблица 1) по схемам аппроксимации P1 и P5 при погрешности метода δмм=0,128 и δмм=0,0045 необходимо реализовать соответственно 2 операции, хранение в памяти 1 константы и 6 операций с хранением в памяти 2-х констант. Уменьшению погрешности по сравнению с полиномом 1-й степени в 0,138/0,0045=30,7 раз при увеличении числа операций на 4 и констант в памяти на одну примерно соответствует приращение 5/4=1,25 двоичных разрядных цифр на 1 операцию.
Figure 00000007
Figure 00000008
Для полинома 5-й степени (схема P7) при погрешности δмм=7·10-5 требуется выполнить 9 операций и извлечь из памяти 3 константы. Уменьшению максимальной погрешности по сравнению с полиномом 3 степени по схеме аппроксимации P5 в 0,0045/0,00007=64=26 раз соответствует увеличение сложности алгоритма на 3 операции, увеличению констант в памяти на 1, что соответствует большему приращению 6/3=2-х разрядных цифр на 1 операцию. Для полинома 7-й степени (схема P8) уменьшение погрешности по сравнению с полиномом 5 степени по схеме P7 составит 70/0,6=117. При увеличении сложности алгоритма также на 3 операции и введении дополнительной константы получаем приращение почти в разрядную цифру на 1 операцию. Для полинома 9-й степени (схема P9) уменьшение погрешности по сравнению с полиномом 7-й степени равно 6·10-7/3,4·10-9=176. В результате при последовательном увеличении степени полинома получаем нарастающие приращения: 1,25 разрядных цифр (с полинома 1-й степени на полином 3-й степени), 2 с полинома 3-й степени на полином 5-й степени), 2,3 с полинома 5-й степени на полином 7-й степени и 2,5 двоичных цифры для полинома 9-й степени на одну операцию. После приближенного стартового значения приближения функции для полинома 1-й степени с тремя двоичными цифрами результата на две операции получаем в дальнейшем нарастающее дискретное приращение при переходе со схемы на схему соответственно 4 операции и в последующем по 3 операции и каждый раз увеличение числа констант на одну.
Введение на интервале [0°; 90°] двух подинтервалов с двумя полиномами 1-й степени с одинаковыми максимальными значениями погрешности метода (схема P3) обеспечивает уменьшение погрешности по сравнению с полиномом L=0,725x (схема P1) только в 0,138/0,024=5,75 раза при увеличении сложности алгоритма на 4 операции, то есть даже не получаем приращения в одну разрядную цифру на операцию. Два полинома 3-й степени (схема P6) также менее эффективны чем применение одного полином 5-й степени на всем интервале [0°; 90°]. Неэффективно и введение константы a0 (схема P2), (в отличие от исключения константы a1, например, в полиномах 3-й (схема P4) - 9-й (схема P9) степеней, когда, например, для полинома 3-й степени можно уменьшить дискретное приращение числа операций на одну при значении погрешности в интервале 10-3<δij<10-2 с 4-х до 3-х. Для полинома 9-й степени с а1=1 (схема P9) по сравнению с полиномом 7-й степени при a1≠1 (схема P8) получаем повышение точности в 6·10-7/10-8=60 раз или почти в 3 двоичные цифры результата на одну операцию. Интересно отметить, что для полиномов (3-9)-й степеней при a1=1 уменьшается число узлов интерполяции, констант полинома и (или). Итак, для функции sin(x) неэффективно увеличение числа подинтервалов аппроксимации на интервале x от 0° до 90°, a целесообразно применение набора полиномов с нечетными степенями в том числе и при a1=1.
При вычислении полинома в реальных условиях возникает дополнительная погрешность воспроизведения функции δi, обусловленная квантованием с урезанием разрядных сеток операндов в выражении (3):
Figure 00000009
В связи с этим, уменьшение погрешностей результата вычислений обеспечивается и путем взаимной компенсации погрешностей численного метода решения задачи δмм, квантования констант аппроксимирующего полинома из-за ограничения их разрядных сеток δк, а также симметрирования составляющих погрешностей дискретизации аргумента и округления, когда отдельные составляющие погрешности искусственно делаются разного знака и их можно «спрятать» друг в друга. При возрастании значений аргумента график погрешности метода аппроксимации полинома наилучшего приближения представляет собой знакочередующуюся функцию [2]. Формой этого графика можно управлять меняя узлы аппроксимации. В свою очередь значения погрешностей отрезания констант полинома a i определяют только степень наклона линейной функции a·x, растяжения парабол a i·xi и монотонно возрастают по абсолютной величине с ростом аргумента x. В то же время в совокупности отдельные графики комбинаций парабол разного знака, например, y=Δa 3x3-Δa 1x1, функции δк=Δa 0p+Δa 1p·x+Δa 2p·x2+…+Δa пр·xn могут напоминать на всем или отдельных участках изменения аргумента графики погрешностей полинома наилучшего приближения с противоположными знаками. Из анализа характера графиков совместного влияния фактически детерминированных составляющих погрешностей на результирующую погрешность можно сделать вывод о возможности разработки алгоритма частичной взаимной компенсации погрешностей. Компенсацию можно реализовать методом перебора всех взаимных комбинаций отклонений констант полинома в пределах последних отбрасываемых разрядных цифр. Для распространения алгоритма на полином, где знаки констант не чередуются, перебор значений берется симметричным относительно отбрасываемых значений. Поиск полиномов наилучшего приближения с урезанными разрядными сетками операндов производится до таких значений числа разрядов операндов, когда их сокращение еще не оказывает существенного влияния на результирующую погрешность (например, увеличение погрешности результата по сравнению с максимальной погрешностью метода вычислений на 5-10%). Для полинома наилучшего приближения функции sin(x) по схеме Р10 максимальное значение погрешности δмм=3,4·10-9, а погрешности урезания констант фактически исключены, поскольку операнды представлены 17-ю разрядными десятичными цифрами. Простое урезание разрядных цифр до 8 в схеме Р11 увеличивает значение погрешности результата с δмм=3,4·10-9 до δмм=2,1·10-7. То есть погрешность увеличивается в 2,1·10-7/34·10-9=62 раза. Проведение взаимной компенсации погрешностей в схеме Р12 с 8-ю десятичными цифрами после запятой обеспечивает уменьшение погрешности в 2,1·10-7/5·10-9=42 раза. Для наглядности приведена и дополнительная таблица 2, где приведены полиноме с простым урезанием числа разрядов представления констант полинома. Таким образом, прикладная значимость проведенной взаимной компенсации погрешностей состоит в данном случае в возможности сокращения разрядных сеток операндов специализированного вычислителя примерно на 4-6 двоичных разрядов без снижения точности.
Figure 00000010
Figure 00000011
На фиг. 2 изображена структурная схема заявляемого устройства (сущность изобретения) состоящего из блока нормализации аргумента 3 с входом, являющимся входом 1 устройства, блока вычисления полинома 4, блока управления 6 с входом являющимся входом 2 устройства, блока нормализации функции 5.
Цель изобретения состоит в разработке устройства с дискретным рядом точностных характеристик, реализующих приближенные вычислительные алгоритмы с погрешностью метода и результата вычислений функциональных зависимостей, соответствующих дискретному приращению максимального числа значащих двоичных цифр результата N при фиксированном возрастании сложности вычислительного алгоритма в виде числа операций А+М. Технический эффект заключается в повышении точностных характеристик, быстродействия при обработке информации и (или) фиксированных или сокращенных разрядных сетках специализированных вычислителей. Указанные преимущества заявляемого устройства перед прототипом достигаются за счет того, что в устройство для вычисления функциональных зависимостей, содержащее блок нормализации аргумента 3, вход которого является первым входом устройства, а первый выход соединен с входом блока вычисления полинома, первый выход которого соединен с первым входом блока нормализации функции, второй вход блока нормализации функции соединен со вторым выходом блока нормализации аргумента, выход блока нормализации функции является выходом устройства введен блок управления, вход которого является вторым входом устройства, вход-выход соединен со вторыми входами блоков нормализации аргумента вычисления полинома и третьим входом блока нормализации аргумента, блок вычисления полинома в зависимости от значения погрешности результата выполнен с возможностью аппроксимации функции f(x) с.помощью сокращенных полинома или набора полиномов степени n
Figure 00000012
в соответствии со стратегией максимальной идентичности графиков функции f(x) и сокращенного приближающего полинома Ln(x) с исключением малоэффективных, наименее влияющих на максимальное значение погрешности метода аппроксимации δij членов ряда a ixi, констант a i, когда в (1) задаются наиболее оптимальные комбинации членов ряда, например, a 0=0, a 1=1…, используются только определенные четные (нечетные) члены ряда, с уменьшенным объемом памяти, хранением в памяти m констант полинома a 0…a n+1 при m<n+1, с сложностью расчета вычислительных операций А меньше 2n:n умножений и n сложений, обеспечением сокращения числа обращений к памяти констант полинома до М=m и, как и для чебышевского альтернанса, обеспечением при m<n+1 оставшихся константах a i для сокращенного полинома с m+1 узлами аппроксимации принцип чередования не менее чем (m+1) раз знака максимальной абсолютной погрешности метода δмм воспроизводимой полиномом функции с учетом неустранимых погрешностей Δδм, с наименьшим отклонением ее от нуля, взаимопоглощением, компенсацией, симметрированием составляющих погрешностей вычисления результата δp на выходе устройства в виде суммы погрешностей метода δм, дискретного квантованного представления данных, δai набора констант a i с ограниченным числом разрядов или цифр их представления с учетом неустранимых погрешностей результата. Назовем это устройство устройством по п. 1 с дополнительными признаками 2-9.
2. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что для диапазона приведенных погрешностей результата порядка 20%…0,0001% и менее при заданном дискретном наборе с последовательным уменьшением погрешностей результата блок вычисления полинома выполнен с обеспечением предельных оптимальных соотношений по точностным характеристикам, быстродействию и программно-аппаратным затратам при каждом значении погрешности результата путем обеспечения максимального дискретного приращения значащих двоичных цифр представления результата N при соответствующем минимальном увеличении числа вычислительных операций А и обращений к памяти М по сравнению с предшествующим большим значением погрешности результата.
3. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что для диапазона приведенных погрешностей порядка 20%…0,0001% и менее вычисления функции синуса с заданным дискретным рядом уменьшения погрешностей блок вычисления полинома выполнен с обеспечением предельных оптимальных соотношений по точностным характеристикам, быстродействию и программно-аппаратным затратам путем перепрограммирования памяти констант и получения максимального, дискретного приращения значащих цифр представления результата N при соответствующем минимальном увеличении числа вычислительных операций А и обращений к памяти M и минимальным значением погрешности результата с учетом неустранимой погрешности.
4. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что блок вычисления полинома выполнен с возможностью аппроксимации функции sin x для x∈[0°; 90°] в диапазоне приведенных погрешностей порядка 20%…0,0001% и менее с использованием набора усеченных полиномов наилучшего приближения со степенями полинома n∈[0; 11] и выше с наименьшими дискретными оптимальными значениями приращений числа вычислительных операций А и (или) с учетом обращений к памяти А+m операций не более 1…3, и соответствующими им приращениями двоичных значащих цифр результата N 1…6 и более, определяемых таблицей 3:
Figure 00000013
Figure 00000014
Figure 00000015
5. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что блок вычисления полинома при аппроксимации функции sin x для x∈[0°; 90°] выполнен с возможностью уменьшения погрешностей результата вычислений путем взаимной компенсации составляющих погрешностей численного метода решения задачи δмм, квантования констант аппроксимирующего полинома из-за ограничения их разрядных сеток δк с учетом знаков и абсолютных величин составляющих погрешностей до минимального значения неустранимой погрешности в соответствии с набором полиномов и заданном числе разрядов или цифр представления констант полинома, например, в соответствии с таблицей 4:
Figure 00000016
Figure 00000017
6. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что для диапазона приведенных погрешностей порядка 20%…0,0001% и менее для нормированного интервала изменения аргумента от -1 до +1 вычисления функции арктангенса при заданном дискретным рядом с уменьшением погрешностей блок вычисления полинома выполнен с обеспечением предельных оптимальных соотношений по точностным характеристикам, быстродействию и программно-аппаратным затратам путем перепрограммирования памяти констант и получения максимального дискретного приращения значащих двоичных цифр представления результата N при соответствующем минимальном увеличении числа вычислительных операций А и обращений к памяти М в соответствии с таблицей 5:
Figure 00000018
Figure 00000019
7. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что для диапазона приведенных погрешностей 20%…0,0001% дискретный набор выбирается исходя из классов точности измерительных приборов, например, по ГОСТ 8.401-80.
8. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что при воспроизведении функции синуса для x от 0° до 360° нормированный интервал аргумента для аппроксимирующего полинома x∈[0°; 90°] формируется в блоке нормализации аргумента на основе анализа двух старших разрядов аргумента в двоичной системе счисления.
9. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что при воспроизведении функции синуса для x от 0° до 360° преобразование нормированного значения для интервала аргумента аппроксимирующего полинома x∈[0°; 90°] осуществляется в блоке нормализации функции в действительное в соответствии с командой с блока нормализации аргумента.
Принцип работы заявляемого устройства (Фиг. 2) в соответствии с результатами проведенных исследований может быть показан следующим образом. На первый вход 1 устройства, который является первым входом блока нормализации аргумента 3, подается код аргумента x. По команде с входа 2 устройства блок управления 6 переводит остальные блоки на воспроизведение определенной функции. Блок нормализации аргумента 3 содержит схему анализа текущих значений аргумента x и приводит его к нормализованному значению для уменьшения интервала аппроксимации функции. Нормализованное значение xн передается в блок вычисления полинома 4. В таблицах 3-5 приведены полиномы наилучшего воспроизведения функции, коэффициенты (константы) которых вводятся в блок вычисления полинома 4 и записываются в его память. В блоке нормализации функции 5 производится преобразование нормализованного значения в действительное. Блоки устройства реализуются, например, на программируемых логических интегральных схемах [7 - стр. 614]. Для диапазона приведенных погрешностей порядка 20%…0,0001% и менее разработано устройство, где улучшены вычислительные алгоритмы воспроизведения стандартных функций путем обеспечения дискретного приращения 2…3-х и более значащих двоичных цифр результата при фиксированном возрастании сложности алгоритма не более чем на 2-6 операции. Обеспечено повышение быстродействия на 20-300% при фиксированных точностных характеристиках и программно-аппаратурных затратах. Результаты исследования представлены в журнале «Измерительная техника» №4, 2015 г. в статье «Совершенствование полиномиальных методов воспроизведения функциональных зависимостей в информационно-измерительных системах».
Литература.
1. Патент №2136041 Устройство для вычисления элементарных функций таблично-алгоритмическим методом / В.В. Чекушкин. - Опубл. 1999, - Бюл. №24.
2. Патент №2438160. Способ и устройство извлечения квадратного корня / В.В. Чекушкин, А.М. Аверьянов, А.Д. Богатов. - Опубл. 27.12.2011 Бюл. №36.
3. Ю.Ф. Опадчий Е.М., Чумакова. Исследование методов вычисления элементарных математических функций и их реализация на ПЛИС // Информационные технологии. - 2013. - №4. С. 52-56.
4. Кочемасов В.Н., Белов Л.А. Цифровые вычислительные синтезаторы // ЭЛЕКТРОНИКА, НАУКА, ТЕХНОЛОГИЯ, БИЗНЕС-2014-№2-С. 150-160.
5. Аверьянов A.M., В.В. Чекушкин. - Опубл., Чекушкин В.В. Методы повышения быстродействия и точностных характеристик преобразователей ортогональных составляющих сигнала в амплитуду // Измерительная техника. - 2012 г. - №8. - с. 9-14. Averyanov A.M., Chekushkin V.V., Panteleev I.V. Methods of increasing the speed and accuracy characteristics of converters of orthogonal components of a signal into amplitude // Measurement Techniques. 2012. №8. V. 55. pp 858-866.
6. Чекушкин В.В., Михеев К.В., Пантелеев И.В. Программа поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей №2014615085. Зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ 16 мая 2014 г.
7. В.В. Соловьев. Проектирование цифровых систем на основе программируемых логических интегральных схем. - М.: Горячая линия. - Телеком, 2007. 636 с.

Claims (9)

1. Устройство для вычисления функциональных зависимостей, содержащее блок нормализации аргумента, вход которого является первым входом устройства, а первый выход соединен с входом блока вычисления полинома, первый выход которого соединен с первым входом блока нормализации функции, второй вход блока нормализации функции соединен со вторым выходом блока нормализации аргумента, выход блока нормализации функции является выходом устройства, отличающееся тем, что введен блок управления, вход которого является вторым входом устройства, вход-выход соединен со вторыми входами блоков нормализации аргумента, вычисления полинома и третьим входом блока нормализации аргумента, блок вычисления полинома в зависимости от значения погрешности результата выполнен с возможностью аппроксимации функции ƒ(x) с помощью сокращенных полинома или набора полиномов степени n
Ln(x)=a 0+a 1x+…+a nxn=(((a nx+a n-1)x+a n-2)x+…a 1)x+a 0,
исключением малоэффективных, наименее влияющих на максимальное значение погрешности метода аппроксимации δii членов ряда a ixi, констант a i, заданием оптимальных комбинаций членов ряда, использованием только определенных четных и (или) нечетных членов ряда, с уменьшенным объемом памяти воспроизведения констант, хранением в памяти m констант полинома при m<n+1, с сложностью расчета вычислительных операций А меньше 2n: n умножений и n сложений, обеспечением сокращения числа обращений к памяти констант полинома до М=m и, как и для чебышевского альтернанса, обеспечением при m<n+1 оставшихся константах a i для сокращенного полинома с m+1 узлами аппроксимации принцип чередования не менее чем (m+1) раз знака максимальной абсолютной погрешности метода δMM, воспроизводимой полиномом функции с учетом неустранимых погрешностей ΔδM, с наименьшим отклонением ее от нуля, взаимопоглощением, компенсацией, симметрированием составляющих погрешностей вычисления результата δp на выходе устройства в виде суммы погрешностей метода δм, дискретного квантованного представления данных δai набора констант ai с ограниченным числом разрядов или цифр их представления с учетом неустранимых погрешностей результата.
2. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что для диапазона приведенных погрешностей результата порядка 20%…0,0001% и менее при заданном дискретном наборе с последовательным уменьшением погрешностей результата блок вычисления полинома выполнен с обеспечением при каждом значении погрешности результата максимального дискретного приращения значащих двоичных цифр представления результата N при соответствующем минимальном увеличении числа вычислительных операций А и обращений к памяти М по сравнению с предшествующим большим значением погрешности результата.
3. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что для диапазона приведенных погрешностей порядка 20%…0,0001% и менее вычисления функции синуса с заданным дискретным рядом уменьшения погрешностей блок вычисления полинома выполнен с перепрограммированием памяти констант и получением максимального, дискретного приращения значащих цифр представления результата N при соответствующем минимальном увеличении числа вычислительных операций А и обращений к памяти М и минимальным значением погрешности результата с учетом неустранимой погрешности.
4. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что блок вычисления полинома выполнен с возможностью аппроксимации функции sinx для х∈[0°; 90°] в диапазоне приведенных погрешностей порядка 20%…0,0001% и ниже с использованием набора усеченных полиномов наилучшего приближения со степенями полинома n∈[0; 11] и выше с наименьшими дискретными оптимальными значениями приращений числа вычислительных операций А и (или) с учетом обращений к памяти А+m операций не более 1…3, и соответствующими им приращениями двоичных значащих цифр результата N 1…6 и более определяемых таблицей 3:
Figure 00000020

Figure 00000021
5. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что блок вычисления полинома при аппроксимации функции sinx для х∈[0°; 90°] выполнен с возможностью уменьшения погрешностей результата вычислений путем взаимной компенсации составляющих погрешностей численного метода решения задачи δММ, квантования констант аппроксимирующего полинома из-за ограничения их разрядных сеток δк с учетом знаков и абсолютных величин составляющих погрешностей до минимального значения неустранимой погрешности в соответствии с набором полиномов и заданном числе разрядов или цифр представления констант полинома в соответствии с таблицей 4:
Figure 00000022
6. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что для диапазона приведенных погрешностей порядка 20%…0,0001% и менее для нормированного интервала изменения аргумента от -1 до +1 вычисления функции арктангенса при заданном дискретном ряде уменьшения погрешностей блок вычисления полинома выполнен с перепрограммированием памяти констант и получением максимального дискретного приращения значащих двоичных цифр представления результата N при соответствующем минимальном увеличении числа вычислительных операций А и обращений к памяти М в соответствии с таблицей 5:
Figure 00000023
7. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что для диапазона приведенных погрешностей порядка 20%…0,0001% дискретный набор выбирается исходя из классов точности измерительных приборов.
8. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что при воспроизведении функции синуса для х от 0° до 360° нормированный интервал аргумента для аппроксимирующего полинома х∈[0°; 90°] формируется в блоке нормализации аргумента на основе анализа двух старших разрядов аргумента.
9. Устройство по п. 1, отличающееся тем, что при воспроизведении функции синуса для х от 0° до 360° преобразование нормированного значения для интервала аргумента аппроксимирующего полинома х∈[0°; 90°] преобразуется в блоке нормализации функции в действительное в соответствии с командой с блока нормализации аргумента.
RU2015100395/08A 2015-01-12 2015-01-12 Устройство для вычисления функциональных зависимостей RU2602989C2 (ru)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
RU2015100395/08A RU2602989C2 (ru) 2015-01-12 2015-01-12 Устройство для вычисления функциональных зависимостей

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
RU2015100395/08A RU2602989C2 (ru) 2015-01-12 2015-01-12 Устройство для вычисления функциональных зависимостей

Publications (2)

Publication Number Publication Date
RU2015100395A RU2015100395A (ru) 2016-08-10
RU2602989C2 true RU2602989C2 (ru) 2016-11-20

Family

ID=56612648

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
RU2015100395/08A RU2602989C2 (ru) 2015-01-12 2015-01-12 Устройство для вычисления функциональных зависимостей

Country Status (1)

Country Link
RU (1) RU2602989C2 (ru)

Citations (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US4888721A (en) * 1986-09-09 1989-12-19 Hitachi, Ltd. Elementary function arithmetic unit
US5042001A (en) * 1989-10-02 1991-08-20 Cyrix Corporation Method and apparatus for performing mathematical functions using polynomial approximation and a rectangular aspect ratio multiplier
US5305248A (en) * 1993-04-23 1994-04-19 International Business Machines Corporation Fast IEEE double precision reciprocals and square roots
RU2136041C1 (ru) * 1996-06-04 1999-08-27 Муромский институт Владимирского государственного технического университета Устройство для вычисления элементарных функций таблично-алгоритмическим методом
RU2438160C2 (ru) * 2008-12-04 2011-12-27 Открытое акционерное общество "Муромский завод радиоизмерительных приборов" Способ и устройство вычисления квадратного корня
RU2476896C2 (ru) * 2010-12-30 2013-02-27 ОАО "Муромский завод РИП" Способ калибровки измерительных систем

Patent Citations (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US4888721A (en) * 1986-09-09 1989-12-19 Hitachi, Ltd. Elementary function arithmetic unit
US5042001A (en) * 1989-10-02 1991-08-20 Cyrix Corporation Method and apparatus for performing mathematical functions using polynomial approximation and a rectangular aspect ratio multiplier
US5305248A (en) * 1993-04-23 1994-04-19 International Business Machines Corporation Fast IEEE double precision reciprocals and square roots
RU2136041C1 (ru) * 1996-06-04 1999-08-27 Муромский институт Владимирского государственного технического университета Устройство для вычисления элементарных функций таблично-алгоритмическим методом
RU2438160C2 (ru) * 2008-12-04 2011-12-27 Открытое акционерное общество "Муромский завод радиоизмерительных приборов" Способ и устройство вычисления квадратного корня
RU2476896C2 (ru) * 2010-12-30 2013-02-27 ОАО "Муромский завод РИП" Способ калибровки измерительных систем

Also Published As

Publication number Publication date
RU2015100395A (ru) 2016-08-10

Similar Documents

Publication Publication Date Title
Abad et al. Algorithm 924: TIDES, a Taylor series integrator for differential equations
Hämmerlin et al. Numerical mathematics
Vuillemin On circuits and numbers
Mendes et al. Numerical solution of Caputo fractional differential equations with infinity memory effect at initial condition
US3517173A (en) Digital processor for performing fast fourier transforms
CN110235099B (zh) 用于处理输入操作数值的装置和方法
de Lassus Saint-Geniès et al. Exact lookup tables for the evaluation of trigonometric and hyperbolic functions
Sarra et al. On the numerical solution of chaotic dynamical systems using extend precision floating point arithmetic and very high order numerical methods
Hou et al. Enhancing precision and bandwidth in cloud computing: Implementation of a novel floating-point format on fpga
Varma et al. VLSI realization of hybrid fast Fourier transform using reconfigurable booth multiplier
Salgado et al. A hybrid algorithm for Caputo fractional differential equations
RU2602989C2 (ru) Устройство для вычисления функциональных зависимостей
Hartwell A procedure for implementing the fast Fourier transform on small computers
Pei et al. A space-time discontinuous Galerkin spectral element method for nonlinear hyperbolic problems
Jain et al. Realization of regula-falsi iteration based double precision floating point division
US5602768A (en) Method and apparatus for reducing the processing time required to solve square root problems
Mora et al. Mathematical model and implementation of rational processing
Horyachyy et al. Simple effective fast inverse square root algorithm with two magic constants
Kong et al. A rounding method to reduce the required multiplier precision for Goldschmidt division
Vázquez et al. Radix-10 restoring square root for 6-input LUTs programmable devices
Campos et al. FPGA implementation of custom floating-point logarithm and division
Radecka et al. Specifying and verifying imprecise sequential datapaths by arithmetic transforms
Rump IEEE-754 precision-p base-β arithmetic implemented in binary
Doran Special cases of division
Bergerman et al. CRTf-Based Reverse Converter for RNS with Low-Cost Modules {2 n, 2 n-1, 2 n+ 1-1}

Legal Events

Date Code Title Description
MM4A The patent is invalid due to non-payment of fees

Effective date: 20170113