RU2506563C1

RU2506563C1 - Sensor of vibration densimeter

Info

Publication number: RU2506563C1
Application number: RU2012134668/28A
Authority: RU
Inventors: Юрий Васильевич Аладышкин; Анатолий Иванович Аносов
Original assignee: Юрий Васильевич Аладышкин
Priority date: 2012-08-13
Filing date: 2012-08-13
Publication date: 2014-02-10

Abstract

FIELD: measurement equipment.

SUBSTANCE: invention relates to precision instrument making and may be applied to determine density and viscosity of gaseous and liquid media and may be used in petrochemical, chemical and other industries. A sensor of a vibration densimeter comprises a body, a hollow cylindrical resonator fixed in it and washed from outside and inside and having a flange with a tight cylindrical cavity for piezoelements separated from the monitored medium and installed in the cavity of the resonator's flange. The circular groove on the inner surface of the cylindrical resonator is made in the zone of the flange. The distance from the surface of placement of piezoelements exciting or receiving frequency to the groove is equal to or less than the thickness of the resonator tube shell. The width of the circular bore is equal or more than the thickness of the tube. At the outer side of the flange cylinder from the plane of coupling of the resonator tube ends and the flange there is a continuous bore. The distance from the plane of the piezoelement placement surface to the plane formed by a continuous bore at the end of the flange is equal to or less than the thickness of the tube shell, and the depth is equal to or is more than the thickness of the flange cavity cylinder shell.

EFFECT: reduced mechanical link of a flange with a resonator tube, which makes it possible to increase good quality of a resonator and densimeter accuracy.

9 cl, 10 dwg

Description

Предлагаемое изобретение относится к приборам для измерения плотности и вязкости жидких и газообразных сред, например жидких и газообразных углеводородных топлив. Датчик вибрационного плотномера может быть использован во многих отраслях промышленности, когда требуется измерить плотность, вязкость жидкостей, или их комбинацию.The present invention relates to devices for measuring the density and viscosity of liquid and gaseous media, for example liquid and gaseous hydrocarbon fuels. Vibration densitometer sensor can be used in many industries when it is necessary to measure the density, viscosity of liquids, or a combination thereof.

Известен плотномер [1], который содержит корпус, внутри которого установлен пустотелый чувствительный элемент с фланцем, омываемый с внутренней и наружной поверхностей, и приспособления для возбуждения и измерения колебаний чувствительного элемента, выполненные в виде электромагнитных катушек. Недостатком такого плотномера является снижение точности при измерении плотности вязких жидкостей, например, при пониженных температурах. Электромагнитные системы возбуждения и измерения колебаний чувствительного элемента для эффективной работы требуют малых зазоров между магнитопроводами и стенками чувствительного элемента. Эти зазоры при заполнении их жидкостью, особенно вязкой, приводят к сильному демпфированию чувствительного элемента и снижению точности измерения, а иногда и к невозможности выполнения самого измерения.Known densitometer [1], which contains a housing inside which there is a hollow sensitive element with a flange, washed from the inner and outer surfaces, and devices for exciting and measuring vibrations of the sensitive element, made in the form of electromagnetic coils. The disadvantage of such a densitometer is a decrease in accuracy when measuring the density of viscous liquids, for example, at low temperatures. Electromagnetic systems of excitation and measurement of vibrations of the sensitive element for effective operation require small gaps between the magnetic circuits and the walls of the sensitive element. These gaps when filling them with liquid, especially viscous, lead to strong damping of the sensitive element and a decrease in the measurement accuracy, and sometimes to the impossibility of performing the measurement itself.

Известен вибрационный плотномер [2], в котором исследуемая жидкость впрыскивается внутрь V-образного трубчатого вибратора с жестко закрепленными концами. Плотность жидкости определяется на основе измерения периода собственных колебаний вибратора, наполненного жидкостью. Пьезоэлектрические элементы установлены в области узла колебаний вибратора с целью возбуждения его колебаний и индикации этих колебаний. Недостатком плотномера является то, что чувствительный элемент омывается исследуемой жидкостью только с одной стороны, и при наличии давления в резонаторе появляются напряжения, приводящие к изменению частоты, а следовательно, к погрешности от давления измерения параметров исследуемой среды.Known vibration densitometer [2], in which the test fluid is injected into the V-shaped tubular vibrator with rigidly fixed ends. The density of the liquid is determined by measuring the period of natural vibrations of a vibrator filled with liquid. Piezoelectric elements are installed in the region of the vibrator vibrator assembly in order to excite its vibrations and indicate these vibrations. The disadvantage of the densitometer is that the sensitive element is washed by the liquid under investigation only on one side, and when there is pressure in the resonator, voltages appear that lead to a change in frequency, and therefore to an error in the pressure of measuring the parameters of the medium under study.

Известен датчик-зонд [3], позволяющий измерять уровень жидкости, плотность, вязкость или комбинацию указанных параметров. Зонд представляет собой цилиндрическую трубку, закрепленную во фланец, которая подвергается вибрации. Внутри трубки эпоксидным клеем закреплены два пьезоэлектрических преобразователя, один из которых служит для получения вибрации, а другой - для восприятия. Недостатком датчика-зонда является то, что чувствительный элемент (вибратор) омывается исследуемой жидкостью только с одной стороны, и при наличии давления в резонаторе появляются напряжения, приводящие к изменению частоты, а следовательно, к погрешности измерения параметров исследуемой среды (жидкости или газа) от давления. Основным недостатком датчика-зонда является то, что пьезоэлементы для обеспечения функционирования вибратора требуют непосредственного соприкосновения с тонкостенной частью вибратора, что вносит дополнительную массу к вибратору и снижает чувствительность вибратора, т.е. увеличивает погрешность измерения. Кроме того, контакт пьезоэлементов с вибратором снижает его добротность, а следовательно, и точность измерения параметров исследуемой среды жидкости.Known sensor probe [3], which allows to measure the liquid level, density, viscosity or a combination of these parameters. The probe is a cylindrical tube mounted in a flange that undergoes vibration. Two piezoelectric transducers are fixed inside the tube with epoxy glue, one of which serves to receive vibration, and the other to perceive. The disadvantage of the sensor probe is that the sensitive element (vibrator) is washed by the test fluid only on one side, and when there is pressure in the resonator, voltages appear that lead to a change in frequency and, consequently, to an error in the measurement of the parameters of the test medium (liquid or gas) from pressure. The main disadvantage of the sensor probe is that the piezoelectric elements to ensure the functioning of the vibrator require direct contact with the thin-walled part of the vibrator, which introduces additional mass to the vibrator and reduces the sensitivity of the vibrator, i.e. increases the measurement error. In addition, the contact of the piezoelectric elements with the vibrator reduces its quality factor, and, consequently, the accuracy of the measurement of the parameters of the investigated fluid medium.

Наиболее близким техническим решением является датчик вибрационного плотномера [4], содержит корпус, закрепленный в нем полый цилиндрический резонатор, омываемый с внутренней и наружной сторон и имеющий фланец и пьезоэлементы, отделенные от контролируемой среды и установленные в кольцевой полости фланца. Контролируемая среда (жидкость или газ) омывает резонатор с обеих сторон. Установка пьезоэлементов на фланце резонатора позволяет устранить дополнительную массу с резонатора и устранить контакт пьезоэлементов с чувствительной частью резонатора, и тем самым повысить добротность резонатора и чувствительность датчика.The closest technical solution is a vibration densitometer sensor [4], it contains a housing, a hollow cylindrical resonator mounted in it, washed from the inside and outside and having a flange and piezoelectric elements separated from the controlled medium and installed in the annular cavity of the flange. A controlled medium (liquid or gas) washes the resonator on both sides. The installation of piezoelectric elements on the resonator flange eliminates the additional mass from the resonator and eliminates the contact of the piezoelectric elements with the sensitive part of the resonator, and thereby increase the quality factor of the resonator and the sensitivity of the sensor.

Недостатком датчика вибрационного плотномера является то, что обе стороны жестко крепятся: одна к трубке резонатора, другая к корпусу, обеспечивающему герметизацию пьезоэлементов. Сборка и герметизация пьезоэлементов вибрационного плотномера с применением сварки, пайки, клейки приводит к возникновению механических напряжений и резонансов на паразитных частотах прежде всего в трубке и фланце резонатора, что уменьшает добротность резонатора, и для устранения которых приходится применять дополнительные механические и термические технологические операции в процессе сборки вибрационного плотномера.The disadvantage of the sensor of the vibration densitometer is that both sides are rigidly attached: one to the resonator tube, the other to the body, which provides sealing of the piezoelectric elements. The assembly and sealing of the piezoelectric elements of a vibration densitometer using welding, soldering, and gluing leads to the appearance of mechanical stresses and resonances at spurious frequencies, primarily in the tube and resonator flange, which reduces the quality factor of the resonator, and to eliminate which additional mechanical and thermal technological operations must be applied in the process assembly of vibration meter.

Задача изобретения состоит в том, чтобы уменьшить механические напряжения в трубке и фланце резонатора, устранить их влияние на передачу паразитных механических колебаний от фланца к трубке резонатора.The objective of the invention is to reduce mechanical stresses in the tube and the resonator flange, to eliminate their influence on the transmission of spurious mechanical vibrations from the flange to the resonator tube.

Задача решается тем, что на внутренней поверхности цилиндрического резонатора на расстоянии от плоскости сопряжения внутренней торцевой поверхности кольцевой полости фланца резонатора (поверхности размещения возбуждающих и принимающих частоту пьезоэлементов) и трубки резонатора, равном или меньшем толщины оболочки трубки резонатора, имеются круговая канавка шириной, равной или большей толщины оболочки трубки резонатора, на глубину, равную или большую толщины оболочки трубки резонатора, и с наружной цилиндрической поверхности фланца до плоскости сопряжения цилиндрического резонатора с торцом фланца сплошная проточка на глубину, равную или большую толщины наружной оболочки полости фланца.The problem is solved in that on the inner surface of the cylindrical resonator at a distance from the conjugation plane of the inner end surface of the annular cavity of the resonator flange (the surface of the placement of exciting and receiving piezoelectric elements) and the resonator tube equal to or less than the thickness of the shell of the resonator tube, there is a circular groove of a width equal to or greater thickness of the shell of the resonator tube, to a depth equal to or greater than the thickness of the shell of the resonator tube, and from the outer cylindrical surface of the flange and to the plane of coupling of the cylindrical resonator with the end face of the flange, a continuous groove to a depth equal to or greater than the thickness of the outer shell of the cavity of the flange.

Технический результат изобретения заключается в уменьшении механической связи фланца с трубкой резонатора, что позволяет повысить добротность резонатора и точность плотномера.The technical result of the invention is to reduce the mechanical connection of the flange with the resonator tube, which improves the quality factor of the resonator and the accuracy of the density meter.

Сущность изобретения поясняется чертежами, на которых представлены: фиг.1 - схематический частичный разрез датчика плотномера в месте расположения возбуждающего или приемного пьезоэлемента; фиг.2 - вариант исполнения датчика плотномера; фиг.3 - трубка резонатора с фланцем в продольном сечении; фиг.4 - элемент сопряжения трубки резонатора с фланцем в сечении; фиг.5-фиг.10 - варианты исполнения круговой канавки на внутренней поверхности цилиндрического резонатора.The invention is illustrated by drawings, in which: FIG. 1 is a schematic partial sectional view of a density meter sensor at a location of an exciting or receiving piezoelectric element; figure 2 - embodiment of the sensor density meter; figure 3 - tube resonator with a flange in longitudinal section; figure 4 - the element of coupling of the resonator tube with the flange in cross section; figure 5-figure 10 - embodiments of a circular groove on the inner surface of a cylindrical resonator.

Элемент вибратора в сечении представлен на фиг.1, где 1 - резонатор, 2 - фланец, 3 - пьезоэлемент. Момент воздействия пьезоэлементов на тонкостенную часть трубки резонатора равен М=F∗h где: F - сила воздействия пьезоэлементов на фланец; h - расстояние от точки воздействия силы пьезоэлементов до трубки резонатора. Это обстоятельство позволяет значительно уменьшить мощность, необходимую для создания колебаний вибратора. Полый цилиндрический резонатор 1 с фланцем 2 фиг.2 закреплен в корпусе 4 или в его заглушке с помощью полых опор 5 так, что контролируемая среда (жидкость или газ) омывает резонатор, как с наружной, так и с внутренней стороны. Во внутренней кольцевой полости 6 фланца 2 к ее внутренней поверхности с помощью контакта 7, изолятора 8, прокладки 9 и пружины 10 поджат пьезоэлемент 3. Пружина необходима для обеспечения усилия поджатия при изменении линейных размеров деталей под действием температуры. В качестве такого упругого элемента могут быть применены, например, тарельчатые пружины. Полость 6 с пьезоэлементом герметизируется крышкой 11, приваренной к фланцу с помощью сварных швов 12,13, а провода 14, служащие электрическим выводом пьезоэлементов, проходят через полые опоры резонатора на штепсельный разъем датчика. Для возбуждения колебаний резонатора на электроды пьезоэлемента 3 подается переменное напряжение резонансной частоты. Пьезоэлемент под действием приложенного напряжения колеблется с изменением толщины и, будучи поджат к поверхности фланца 2, вызывает изгибные колебания фланца. Так как фланец 2 непосредственно связан с тонкостенной частью резонатора, его колебания вызывают колебания резонатора 1. Аналогичную конструкцию имеет устройство измерения колебаний. В этом случае деформации фланца вызывают сжатие пьезоэлемента, а с его электродов снимается переменное напряжение, частота которого соответствует частоте колебаний резонатора и служит параметром, характеризующим плотность и вязкость среды, в которую погружен резонатор 1. При герметизации внутренней кольцевой полости 6 фланца 2 сварными швами 12 и 13 во фланце 2 резонатор 1 возникают механические напряжения, которые приводят к появлению механических колебаний и резонансов на паразитных частотах прежде всего в трубке и фланце 2 резонатора 7, что уменьшает добротность резонатора 1. Для снижения передачи паразитных механических колебаний от фланца 2 к тонкостенной части трубки резонатора 1 на внутренней поверхности резонатора 1 на расстоянии от плоскости сопряжения внутренней торцевой поверхности кольцевой полости 6 фланца 2 резонатора и трубки резонатора, равном или меньшем толщины оболочки трубки резонатора, выполнены: круговая канавка 75 шириной d, равной или большей толщины оболочки трубки резонатора 1 на глубину, равную или большую толщины оболочки трубки резонатора 1, сплошная проточка 16 с наружной стороны цилиндра фланца до плоскости сопряжения трубки резонатора 1 с торцом фланца на глубину, равную или большую толщины оболочки кольцевой полости 6 фланца 2. Благодаря тому, что механический контакт трубки резонатора 1 с областью фланца 2 со сварными швами 12, 13 осуществляется фиг.3 через перемычку 17 толщиной l^п1 и перемычку 18 толщиной l^п2, образованными при изготовлении круговой канавки 15 и проточки 16,что уменьшает механические напряжения в трубке и фланце резонатора 1 и передачу паразитных механических колебаний от фланца к трубке резонатора без снижения его добротности. Заполнение полости, образованной круговой канавкой 15 на внутренней поверхности цилиндрического резонатора, клеем или герметиком 19, фиг.4 заподлицо с внутренней поверхностью цилиндрического резонатора 1, исключает ее загрязнение и уменьшение добротности резонатора 1. Круговая канавка 15 на внутренней поверхности цилиндрического резонатора в продольном сечении может иметь различную геометрическую форму: прямоугольную на фиг.1 - фиг.4, равнобедренного треугольника 20 со стороной с прилегающими равными углами, сопряженной с внутренней поверхностью резонатора фиг.5, равнобедренной трапеции 21, по основанию сопряженной с внутренней поверхностью резонатора фиг.6, половины круга 22 диаметром, равным ширине канавки, сопряженным с внутренней поверхностью резонатора фиг.7, прямоугольника 23 с равнобедренным треугольником 24 и сопряженных по меньшей стороне прямоугольника и стороне треугольника с прилегающими равными углами и сопряженную второй меньшей стороной прямоугольника с внутренней поверхностью резонатора фиг.8, прямоугольника 23 с равнобедренной трапецией 25 и сопряженных по малой стороне прямоугольника и основанию трапеции и сопряженную второй меньшей стороной прямоугольника с внутренней поверхностью резонатора фиг.9, прямоугольника 23 с половиной круга 26, сопряженных по малой стороне прямоугольника и диаметру круга и сопряженную второй меньшей стороной прямоугольника с внутренней поверхностью резонатора фиг.10.The vibrator element in cross section is shown in FIG. 1, where 1 is a resonator, 2 is a flange, 3 is a piezoelectric element. The moment of action of the piezoelectric elements on the thin-walled part of the resonator tube is M = F ∗ h where: F is the force of the action of the piezoelectric elements on the flange; h is the distance from the point of influence of the force of the piezoelectric elements to the resonator tube. This circumstance can significantly reduce the power required to create vibrations of the vibrator. The hollow cylindrical resonator 1 with the flange 2 of FIG. 2 is fixed in the housing 4 or in its cap using hollow supports 5 so that a controlled medium (liquid or gas) washes the resonator, both from the outside and from the inside. In the inner annular cavity 6 of the flange 2, the piezoelectric element 3 is pressed to its inner surface by means of contact 7, insulator 8, gasket 9, and spring 10. A spring is necessary to provide a compressive force when changing the linear dimensions of the parts under the influence of temperature. As such an elastic element, for example, Belleville springs can be used. The cavity 6 with the piezoelectric element is sealed by a cover 11 welded to the flange using welds 12,13, and the wires 14, which serve as the electrical output of the piezoelectric elements, pass through the hollow supports of the resonator to the sensor connector. To excite oscillations of the resonator, an alternating voltage of the resonant frequency is supplied to the electrodes of the piezoelectric element 3. Under the action of the applied voltage, the piezoelectric element oscillates with a change in thickness and, being pressed to the surface of flange 2, causes bending vibrations of the flange. Since the flange 2 is directly connected to the thin-walled part of the resonator, its vibrations cause vibrations of the resonator 1. A similar design has a device for measuring vibrations. In this case, the flange deformations cause the piezoelectric element to be compressed, and an alternating voltage is removed from its electrodes, the frequency of which corresponds to the oscillation frequency of the resonator and serves as a parameter characterizing the density and viscosity of the medium into which the resonator 1 is immersed. When sealing the inner annular cavity 6 of the flange 2 with welds 12 and 13 in the flange 2 of the resonator 1 there are mechanical stresses that lead to the appearance of mechanical vibrations and resonances at spurious frequencies, primarily in the tube and flange 2 of the resonator 7, This reduces the quality factor of the resonator 1. To reduce the transmission of spurious mechanical vibrations from the flange 2 to the thin-walled part of the resonator tube 1 on the inner surface of the resonator 1 at a distance from the interface plane of the inner end surface of the annular cavity 6 of the resonator flange 2 and the resonator tube equal to or less than the thickness of the tube shell resonator, made: circular groove 75 of width d, equal to or greater than the thickness of the shell of the tube of the resonator 1 to a depth equal to or greater than the thickness of the shell of the tube of the resonator 1, solid the groove 16 from the outer side of the cylinder of the flange to the plane of mating of the resonator tube 1 with the end face of the flange to a depth equal to or greater than the thickness of the shell of the annular cavity 6 of the flange 2. Due to the fact that the mechanical contact of the resonator tube 1 with the region of the flange 2 with welds 12, 13 3 is carried out through the conduit 17, the thickness l ⁿ¹ and jumper 18 l ⁿ² thickness formed during manufacture of the circumferential groove 15 and bore 16, which reduces the mechanical stresses in the resonator tube and the flange 1 and the transfer of the parasitic mechanical vibrations from the flange to the resonator tube without lowering its Q factor. Filling the cavity formed by the circular groove 15 on the inner surface of the cylindrical resonator with adhesive or sealant 19, FIG. 4 is flush with the inner surface of the cylindrical resonator 1, eliminates contamination and a decrease in the quality factor of the resonator 1. The circular groove 15 on the inner surface of the cylindrical resonator in longitudinal section may have a different geometric shape: rectangular in figure 1 - figure 4, an isosceles triangle 20 with a side with adjacent equal angles, conjugate to the inner surface the resonator of FIG. 5, an isosceles trapezoid 21, on the base conjugated with the inner surface of the resonator of FIG. 6, half a circle 22 with a diameter equal to the width of the groove, paired with the inner surface of the resonator of FIG. 7, a rectangle 23 with an isosceles triangle 24 and conjugated on the smaller side the rectangle and the side of the triangle with adjacent equal angles and the second smaller side of the rectangle conjugated with the inner surface of the resonator of Fig. 8, a rectangle 23 with an isosceles trapezoid 25 and mated in m the opposite side of the rectangle and the base of the trapezoid and the second smaller side of the rectangle conjugated with the inner surface of the resonator of FIG. 9, a rectangle 23 with half a circle 26, conjugated along the small side of the rectangle and the diameter of the circle and the second smaller side of the rectangle conjugated with the inner surface of the resonator of FIG. 10.

Преимуществом предлагаемого устройства также является то, что задача увеличения добротности резонатора 1 и точности датчика плотности решена без использования дополнительных деталей. Увеличен выход годных датчиков плотности после технологической операции сборки с применением сварки, пайки, клейки.An advantage of the proposed device is also that the task of increasing the quality factor of the resonator 1 and the accuracy of the density sensor is solved without the use of additional parts. The yield of suitable density sensors after the assembly process using welding, soldering, and gluing has been increased.

Используемая литература:Used Books:

1. Патент СССР № 633500, кл. G01N 9/00, 1976.1. USSR patent No. 633500, cl. G01N 9/00, 1976.

2. Заявка Японии № 54-41348, 1973.2. Japanese application No. 54-41348, 1973.

3. Кевин Смит "Вибрационный датчик с цифровым выходом", Электроника "(Elektronics), 1980, № 16, с.15-16.3. Kevin Smith, “Vibration Sensor with Digital Output,” Electronics, Elektronics, 1980, No. 16, pp. 15-16.

4. Патент RU №2024841, кл. G01N 9/32, 1991.4. Patent RU No. 2024841, cl. G01N 9/32, 1991.

Claims

1. The sensor of the vibration densitometer, comprising a housing, a hollow cylindrical resonator with a flange mounted in it, and piezoelectric elements in a sealed annular cavity of the flange, characterized in that on the inner surface of the cylindrical resonator at a distance from the interface plane of the inner end surface of the annular cavity of the resonator flange (excitation surface and receiving the frequency of the piezoelectric elements) and the resonator tube equal to or less than the thickness of the shell of the resonator tube, there is a circular groove wide, equal to or greater than the thickness of the shell of the resonator tube, to a depth equal to or greater than the thickness of the shell of the tube of the resonator, and from the outer cylindrical surface of the flange to the plane of mating of the cylindrical resonator with the end of the flange, a continuous groove to a depth equal to or greater than the thickness of the outer shell of the cavity of the flange.

2. The vibration densitometer sensor according to claim 1, characterized in that the circular groove on the inner surface of the cylindrical resonator is filled with glue or sealant flush with the inner surface of the cylindrical resonator.

3. The vibration densitometer sensor according to claim 1, characterized in that the circular groove on the inner surface of the cylindrical resonator in longitudinal section has the shape of a rectangle conjugated by the smaller side with the inner surface of the resonator.

4. The vibration densitometer sensor according to claim 1, characterized in that the circular groove on the inner surface of the cylindrical resonator in longitudinal section has the shape of an isosceles triangle with a side with adjacent equal angles, conjugated with the inner surface of the resonator.

5. The vibration densitometer sensor according to claim 1, characterized in that the circumferential groove on the inner surface of the cylindrical resonator in longitudinal section has the shape of an isosceles trapezoid that is conjugated to the inner surface of the resonator on the base.

6. The vibration densitometer sensor according to claim 1, characterized in that the circular groove on the inner surface of the cylindrical resonator in longitudinal section has the shape of a half circle with a diameter equal to the width of the groove and mated to the inner surface of the resonator.

7. The vibration densitometer sensor according to claim 1, characterized in that the circular groove on the inner surface of the cylindrical resonator in longitudinal section has the shape of a rectangle with an isosceles triangle conjugated along the smaller side of the rectangle and the side of the triangle with adjacent equal angles and paired with the second smaller side of the rectangle with the inner resonator surface.

8. The vibration densitometer sensor according to claim 1, characterized in that the circumferential groove on the inner surface of the cylindrical resonator in longitudinal section has the shape of a rectangle with an isosceles trapezoid and conjugate along the side of the rectangle and the base of the trapezoid and conjugate the second smaller side of the rectangle with the inner surface of the resonator.

9. The vibration densitometer sensor according to claim 1, characterized in that the circular groove on the inner surface of the cylindrical resonator in longitudinal section has the shape of a rectangle with half a circle conjugated on the smaller side of the rectangle and the diameter of the circle and conjugated by the second smaller side of the rectangle with the inner surface of the resonator.