RU2414079C2 - Cryptographic calculation method, cryptographic system and computer program - Google Patents

Cryptographic calculation method, cryptographic system and computer program Download PDF

Info

Publication number
RU2414079C2
RU2414079C2 RU2007111725/09A RU2007111725A RU2414079C2 RU 2414079 C2 RU2414079 C2 RU 2414079C2 RU 2007111725/09 A RU2007111725/09 A RU 2007111725/09A RU 2007111725 A RU2007111725 A RU 2007111725A RU 2414079 C2 RU2414079 C2 RU 2414079C2
Authority
RU
Russia
Prior art keywords
calculation
divisor
curve
cryptographic
respect
Prior art date
Application number
RU2007111725/09A
Other languages
Russian (ru)
Other versions
RU2007111725A (en
Inventor
Изуру КИТАМУРА (JP)
Изуру КИТАМУРА
Масанобу КАТАГИ (JP)
Масанобу КАТАГИ
Цуеси ТАКАГИ (JP)
Цуеси ТАКАГИ
Original Assignee
Сони Корпорейшн
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Сони Корпорейшн filed Critical Сони Корпорейшн
Publication of RU2007111725A publication Critical patent/RU2007111725A/en
Application granted granted Critical
Publication of RU2414079C2 publication Critical patent/RU2414079C2/en

Links

Images

Abstract

FIELD: information technology.
SUBSTANCE: fast scalar multiplication is achieved by performing calculation operations involving division by two, calculation processing via scalar multiplication with respect to the divisor D in cryptography based on a hyperelliptic curve. For example, calculation operations which involve division by two are performed during scalar multiplication with respect to the divisor D on a genus 2 hyperelliptic curve in characteristic 2, having parametres h(x)=x2+x+h0, f4=0, a genus 2 hyperelliptic curve in characteristic 2 having parametres h(x)=x2+h1x+h0, f4=0, or a genus 2 hyperelliptic curve in characteristic 2 having parametre h(x)=x. Also, low complexity and faster calculation are achieved by using a table which indicates which of k1, k1', (k0, k0') is correct, based on the calculated value [1/2iD] relative a fixed divisor D, and owing to fewer inversion operations.
EFFECT: faster scalar multiplication in cryptography based on a hyperelliptic curve.
17 cl, 8 dwg

Description

Текст описания приведен в факсимильном виде.

Figure 00000001
Figure 00000002
Figure 00000003
Figure 00000004
Figure 00000005
Figure 00000006
Figure 00000007
Figure 00000008
Figure 00000009
Figure 00000010
Figure 00000011
Figure 00000012
Figure 00000013
Figure 00000014
Figure 00000015
Figure 00000016
Figure 00000017
Figure 00000018
Figure 00000019
Figure 00000020
Figure 00000021
Figure 00000022
Figure 00000023
Figure 00000024
Figure 00000025
Figure 00000026
Figure 00000027
Figure 00000028
Figure 00000029
Figure 00000030
Figure 00000031
Figure 00000032
Figure 00000033
Figure 00000034
Figure 00000035
Figure 00000036
Figure 00000037
Figure 00000038
Figure 00000039
Figure 00000040
Figure 00000041
Figure 00000042
Figure 00000043
Figure 00000044
Figure 00000045
Figure 00000046
Figure 00000047
Figure 00000048
Figure 00000049
Figure 00000050
Figure 00000051
Figure 00000052
Figure 00000053
Figure 00000054
Figure 00000055
Figure 00000056
Figure 00000057
Figure 00000059
Figure 00000060
Figure 00000061
Figure 00000062
Figure 00000063
Figure 00000064
Figure 00000065
Figure 00000066
Figure 00000067
Figure 00000068
Figure 00000069
Figure 00000070
Figure 00000071
Figure 00000072
Figure 00000073
Figure 00000074
Figure 00000075
Figure 00000076
Figure 00000077
Figure 00000078
Figure 00000079
Figure 00000080
Figure 00000081
Figure 00000082
Figure 00000084
Figure 00000085
Figure 00000086
Figure 00000087
The text of the description is given in facsimile form.
Figure 00000001
Figure 00000002
Figure 00000003
Figure 00000004
Figure 00000005
Figure 00000006
Figure 00000007
Figure 00000008
Figure 00000009
Figure 00000010
Figure 00000011
Figure 00000012
Figure 00000013
Figure 00000014
Figure 00000015
Figure 00000016
Figure 00000017
Figure 00000018
Figure 00000019
Figure 00000020
Figure 00000021
Figure 00000022
Figure 00000023
Figure 00000024
Figure 00000025
Figure 00000026
Figure 00000027
Figure 00000028
Figure 00000029
Figure 00000030
Figure 00000031
Figure 00000032
Figure 00000033
Figure 00000034
Figure 00000035
Figure 00000036
Figure 00000037
Figure 00000038
Figure 00000039
Figure 00000040
Figure 00000041
Figure 00000042
Figure 00000043
Figure 00000044
Figure 00000045
Figure 00000046
Figure 00000047
Figure 00000048
Figure 00000049
Figure 00000050
Figure 00000051
Figure 00000052
Figure 00000053
Figure 00000054
Figure 00000055
Figure 00000056
Figure 00000057
Figure 00000059
Figure 00000060
Figure 00000061
Figure 00000062
Figure 00000063
Figure 00000064
Figure 00000065
Figure 00000066
Figure 00000067
Figure 00000068
Figure 00000069
Figure 00000070
Figure 00000071
Figure 00000072
Figure 00000073
Figure 00000074
Figure 00000075
Figure 00000076
Figure 00000077
Figure 00000078
Figure 00000079
Figure 00000080
Figure 00000081
Figure 00000082
Figure 00000084
Figure 00000085
Figure 00000086
Figure 00000087

Claims (17)

1. Способ криптографической обработки, предназначенный для
выполнения криптографической обработки на основе криптографии на основе гиперэллиптической кривой, содержащий:
этап ввода данных, предназначенных для обработки,
этап генерирования базовой точки, на котором генерируют делитель D как базовую точку,
этап поиска по таблице, состоящий в поиске в таблице, в которой записано, какой из множителей скалярного произведения k1, k1', (k0, k0') является правильным, на основе рассчитанного значения [1/2iD] в отношении делителя D, фиксированного заранее,
этап расчета, состоящий в выполнении операций расчета, включающих в себя разделение пополам, в качестве обработки расчета при расчете скалярного умножения в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой и в котором сложность разделения пополам уменьшают путем обработки на основе поиска по таблице, и
этап использования полученного значения для шифрования данных.1. A cryptographic processing method for
performing cryptographic processing based on cryptography based on a hyperelliptic curve, comprising:
the step of entering data intended for processing,
a step of generating a base point, at which a divider D is generated as a base point,
the search step in the table, which consists in searching in the table in which it is recorded which of the multipliers of the scalar product k 1 , k 1 ', (k 0 , k 0 ') is correct, based on the calculated value [1/2 i D] in against a divisor D fixed in advance,
a calculation step, consisting of performing calculation operations including halving, as a calculation processing for calculating scalar multiplication with respect to a divisor D on a hyperelliptic curve and in which the complexity of halving is reduced by processing based on a table search, and
the stage of using the obtained value for data encryption. 2. Способ криптографической обработки по п.1, в котором:
этап расчета представляет собой этап выполнения операций расчета, включающий в себя разделение пополам при скалярном умножении в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей случайный параметр.2. The cryptographic processing method according to claim 1, in which:
the calculation stage is a stage of performing calculation operations, which includes dividing in half with scalar multiplication with respect to the divisor D by a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2 with a random parameter. 3. Способ криптографической обработки по п.1, в котором:
этап расчета представляет собой этап выполнения операций расчета, включающий в себя разделение пополам при скалярном умножении в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей в качестве параметров h(x)=x2+x+h0, f4=0, где х, h0, f4 - параметры кривой.3. The cryptographic processing method according to claim 1, in which:
the calculation stage is the stage of performing calculation operations, which includes dividing in half with scalar multiplication with respect to the divisor D by a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2, having h (x) = x 2 + x + h 0 , f 4 = as parameters 0, where x, h 0 , f 4 are the parameters of the curve. 4. Способ криптографической обработки по п.1, в котором:
этап расчета представляет собой этап выполнения операций расчета, включающих в себя разделение пополам при скалярном умножении в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей в качестве параметров h(x)=x2+h1x+h0, f4=0, где х, h1, h0, f4 - параметры кривой.4. The cryptographic processing method according to claim 1, in which:
the calculation stage is the stage of performing calculation operations, which includes dividing in half with scalar multiplication with respect to the divisor D by a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2, having as parameters h (x) = x 2 + h 1 x + h 0 , f 4 = 0, where x, h 1 , h 0 , f 4 are the parameters of the curve. 5. Способ криптографической обработки по п.1, в котором:
этап расчета представляет собой этап выполнения операций расчета, включающий в себя разделение пополам при скалярном умножении в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей в качестве параметра h(x)=x, где х - параметр кривой.5. The cryptographic processing method according to claim 1, in which:
the calculation stage is the stage of performing calculation operations, which includes dividing in half with scalar multiplication with respect to the divisor D by a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2, having h (x) = x as the parameter, where x is the curve parameter. 6. Способ криптографической обработки по п.1, в котором:
этап расчета включает в себя этап расчета инверсного значения 1/k1 путем обработки умножения и суммирования без выполнения инверсии, применяя следующее выражение отношения:
l/k1=h2+k1u21,
которое получено из алгоритма расчета разделения пополам, в котором:
вход D2=(U2, V2) и
выход D1=(U1, V1)=[1/2] D2,
где D1 представляет собой делитель, равный формальной сумме точек кривой, и D2 представляет собой делитель, определенный как скалярное произведение kD1, U1(x)=x2+ui1x+ui0, Vi(x)=Vi1x+vi0, наибольший общий делитель gcd(h, Ui)=1, i=1, 2.6. The cryptographic processing method according to claim 1, in which:
the calculation step includes the step of calculating the inverse value 1 / k 1 by processing the multiplication and summation without performing the inversion, using the following relationship expression:
l / k 1 = h 2 + k 1 u 21 ,
which is obtained from the algorithm for calculating the separation in half, in which:
input D 2 = (U 2 , V 2 ) and
output D 1 = (U 1 , V 1 ) = [1/2] D 2 ,
where D 1 is a divisor equal to the formal sum of the points of the curve, and D 2 is a divisor defined as the scalar product kD 1 , U 1 (x) = x 2 + u i1 x + u i0 , Vi (x) = V i1 x + v i0 , the greatest common factor is gcd (h, U i ) = 1, i = 1, 2. 7. Способ криптографической обработки по п.1, в котором:
способ криптографической обработки выполняет расчет в соответствии с алгоритмом, который установлен так, что в нем не используется l/u21 в качестве входного значения в алгоритме расчета разделения пополам, в котором:
вход D2=(U2, V2) и
выход D1=(U1, V1)=[1/2] D2,
где D1 представляет собой делитель, равный формальной сумме точек кривой, и D2 представляет собой делитель, определенный как скалярное произведение kD1, U1(x)=x2+ui1x+ui0, Vi(x)=Vi1x+vi0, наибольший общий делитель gcd(h, Ui)=1, i=1, 2.7. The cryptographic processing method according to claim 1, in which:
The cryptographic processing method performs the calculation in accordance with an algorithm that is set so that it does not use l / u 21 as an input value in the algorithm for calculating the separation in half, in which:
input D 2 = (U 2 , V 2 ) and
output D 1 = (U 1 , V 1 ) = [1/2] D 2 ,
where D 1 is a divisor equal to the formal sum of the points of the curve, and D 2 is a divisor defined as the scalar product kD 1 , U 1 (x) = x 2 + u i1 x + u i0 , Vi (x) = V i1 x + v i0 , the greatest common factor is gcd (h, U i ) = 1, i = 1, 2. 8. Способ криптографической обработки по п.1, в котором:
способ криптографической обработки представляет собой способ расчета, предназначенный для выполнения скалярного умножения в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей в качестве параметров коэффициента скалярного умножения h(x)=x2+h1x+h0, f4=0; и
этап расчета включает в себя этап установки в качестве входного значения, l/h1 2, которое представляет собой ранее рассчитанное значение, и применение рассчитанного входного значения l/h1 2 без выполнения обработки расчета инверсного значения l/h1 2.8. The cryptographic processing method according to claim 1, in which:
The cryptographic processing method is a calculation method designed to perform scalar multiplication with respect to the divisor D on a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2, having h (x) = x 2 + h 1 x + h 0 , f 4 as parameters of the scalar multiplication coefficient = 0; and
the calculation step includes setting the input value, l / h 1 2 , which is the previously calculated value, and applying the calculated input value l / h 1 2 without performing the calculation processing of the inverse value l / h 1 2 . 9. Криптографическая система, предназначенная для осуществления способа криптографической обработки по любому из пп.1-8, содержащая:
блок передачи/приема, предназначенный для ввода данных, предназначенных для обработки и вывода зашифрованных данных;
блок генерирования базовой точки, который генерирует делитель D как базовую точку,
блок накопителя, предназначенный для сохранения таблицы, в которой записано, какой из множителей скалярного произведения k1, k1', (k0, k0') является правильным, на основе рассчитанного значения [1/2iD] в отношении делителя D, фиксированного заранее, и
блок выполнения расчетов, предназначенный для выполнения операции расчета, включающей в себя разделение пополам, в качестве обработки расчета, при расчете скалярного умножения в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой, при этом блок выполнения расчетов выполнен с возможностью выполнения обработки расчетов, в которой уменьшена сложность разделения пополам путем обработки определения на основе поиска в таблице и для шифрования введенных данных с использованием полученного значения.9. A cryptographic system designed to implement the cryptographic processing method according to any one of claims 1 to 8, comprising:
a transmission / reception unit for inputting data intended for processing and output of encrypted data;
a base point generating unit that generates a divider D as a base point,
a storage unit for storing a table in which one of the multipliers of the scalar product k 1 , k 1 ', (k 0 , k 0 ') is correct, based on the calculated value [1/2 i D] in relation to the divisor D fixed in advance, and
a calculation unit for performing a calculation operation including halving as a calculation processing when calculating scalar multiplication with respect to a divisor D on a hyperelliptic curve, while the calculation unit is configured to perform calculation processing in which the complexity of the separation is reduced in half by processing the definition based on the search in the table and to encrypt the entered data using the obtained value. 10. Криптографическая система по п.9, в которой:
блок выполнения расчетов выполнен с возможностью выполнения операций расчетов, включающих в себя разделение пополам при скалярном умножении в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей случайный параметр.10. The cryptographic system according to claim 9, in which:
the calculation execution unit is configured to perform calculation operations, which include dividing in half with scalar multiplication with respect to the divisor D by a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2 having a random parameter. 11. Криптографическая система по п.9, в которой:
блок выполнения расчетов выполнен с возможностью выполнения операций расчетов, включающих в себя разделение пополам при скалярном умножении в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей в качестве параметров h(x)=x2+x+h0, f4=0, где х, h0, f4 - параметры кривой.11. The cryptographic system according to claim 9, in which:
the calculation execution unit is configured to perform calculation operations, including dividing in half with scalar multiplication with respect to the divisor D on a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2, having h (x) = x 2 + x + h 0 , f 4 as parameters = 0, where x, h 0 , f 4 are the parameters of the curve. 12. Криптографическая система по п.9, в которой:
блок выполнения расчетов выполнен с возможностью выполнения операций расчетов, включающих в себя разделение пополам при скалярном умножении в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей в качестве параметров h(x)=x2+h1x+h0, f4=0, где х, h1, h0, f4 - параметры кривой.12. The cryptographic system according to claim 9, in which:
the calculation execution unit is configured to perform the calculation operations, including scalar multiplication with respect to the divisor D, by a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2, having h (x) = x 2 + h 1 x + h 0 as parameters f 4 = 0, where x, h 1 , h 0 , f 4 are the parameters of the curve. 13. Криптографическая система по п.9, в которой:
блок выполнения расчетов выполнен с возможностью выполнения операций расчетов, включающих в себя разделение пополам при скалярном умножении в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей в качестве параметра h(x)=x, где х - параметр кривой.13. The cryptographic system according to claim 9, in which:
the calculation execution unit is configured to perform calculation operations, including scalar multiplication with respect to the divisor D, by a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2, having h (x) = x as the parameter, where x is the curve parameter. 14. Криптографическая система по п.9, в которой:
блок выполнения расчетов выполнен с возможностью расчета инверсного значения l/k1 путем обработки умножения и суммирования без выполнения инверсии, используя следующее выражение отношения:
l/k1=h2+k1u21,
которое получено из алгоритма расчета разделения пополам, в котором:
вход D2=(U2, V2) и
выход D1=(U1, V1)=[1/2] D2,
где D1 представляет собой делитель, равный формальной сумме точек кривой, и D2 представляет собой делитель, определенный как скалярное произведение kD1, U1(x)=x2+ui1x+ui0, Vi(x)=vi1x+vi0, наибольший общий делитель gcd(h, Ui)=1, i=1, 2, и выполнение расчета в соответствии с алгоритмом, в котором установлено не использовать l/u2i в качестве входного значения.14. The cryptographic system according to claim 9, in which:
the calculation execution unit is configured to calculate the inverse value of l / k 1 by processing the multiplication and summation without performing the inversion using the following relationship expression:
l / k 1 = h 2 + k 1 u 21 ,
which is obtained from the algorithm for calculating the separation in half, in which:
input D 2 = (U 2 , V 2 ) and
output D 1 = (U 1 , V 1 ) = [1/2] D 2 ,
where D 1 is a divisor equal to the formal sum of the points of the curve, and D 2 is a divisor defined as the scalar product kD 1 , U 1 (x) = x 2 + u i1 x + u i0 , Vi (x) = v i1 x + v i0 , the greatest common factor gcd (h, U i ) = 1, i = 1, 2, and performing the calculation in accordance with an algorithm in which it is established not to use l / u 2i as an input value. 15. Криптографическая система по п.9, в которой:
блок выполнения расчетов выполнен с возможностью выполнения алгоритма расчета разделения пополам, в котором:
вход D2=(U2, V2) и
выход D1=(U1, V1)=[1/2] D2,
где D1 представляет собой делитель, равный формальной сумме точек кривой, и D2 представляет собой делитель, определенный как скалярное произведение kD1, U1(x)=x2+ui1х+ui0, Vi(x)=vi1x+vi0, наибольший общий делитель gcd(h, Ui)=1, i=1, 2, и выполнение расчета в соответствии с алгоритмом, в котором установлено не использовать l/u21 в качестве входного значения.15. The cryptographic system according to claim 9, in which:
the calculation execution unit is configured to execute a bisection calculation algorithm, in which:
input D 2 = (U 2 , V 2 ) and
output D 1 = (U 1 , V 1 ) = [1/2] D 2 ,
where D 1 is a divisor equal to the formal sum of the points of the curve, and D 2 is a divisor defined as the scalar product kD 1 , U 1 (x) = x 2 + u i1 x + u i0 , Vi (x) = v i1 x + v i0 , the greatest common factor is gcd (h, U i ) = 1, i = 1, 2, and the calculation is performed in accordance with an algorithm in which it is established not to use l / u 21 as an input value. 16. Криптографическая система по п.10, в которой блок выполнения расчета выполнен с возможностью:
выполнения скалярного умножения в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой рода 2 в характеристике 2, имеющей в качестве параметров коэффициента скалярного умножения h(x)=x2+h1x+h0, f4=0; и
выполнения расчета, в котором при l/h1 2, которое представляет собой ранее рассчитанное значение, и применение рассчитанного входного значения
l/h1 2, без выполнения обработки расчета инверсного значения l/h1 2.16. The cryptographic system of claim 10, in which the calculation execution unit is configured to:
performing scalar multiplication with respect to the divisor D on a hyperelliptic curve of genus 2 in characteristic 2, having, as parameters, the coefficient of scalar multiplication h (x) = x 2 + h 1 x + h 0 , f 4 = 0; and
performing a calculation in which at l / h 1 2 , which is a previously calculated value, and applying the calculated input value
l / h 1 2 , without performing processing for calculating the inverse of l / h 1 2 . 17. Машиночитаемый носитель записи, содержащий компьютерную программу, обеспечивающую выполнение компьютером способа криптографической обработки, содержащего:
этап ввода данных, предназначенных для обработки,
этап генерирования базовой точки, на котором генерируют делитель D как базовую точку,
этап поиска по таблице, состоящий в поиске в таблице, в которой записано, какой из множителей скалярного произведения k1, k1', (k0, k0') является правильным, на основе рассчитанного значения [l/2iD] в отношении делителя D, фиксированного заранее,
этап расчета, состоящий в выполнении операций расчета, включающих в себя разделение пополам, в качестве обработки расчета при расчете скалярного умножения в отношении делителя D на гиперэллиптической кривой и в котором сложность разделения пополам уменьшают путем обработки на основе поиска по таблице, и
этап использования полученного значения для шифрования данных. 17. A computer-readable recording medium containing a computer program that enables a computer to perform a cryptographic processing method, comprising:
the step of entering data intended for processing,
a step of generating a base point, at which a divider D is generated as a base point,
the search step in the table, which consists in searching in a table in which it is recorded which of the multipliers of the scalar product k 1 , k 1 ', (k 0 , k 0 ') is correct, based on the calculated value [l / 2 i D] in against a divisor D fixed in advance,
a calculation step, consisting of performing calculation operations including halving, as a calculation processing for calculating scalar multiplication with respect to a divisor D on a hyperelliptic curve and in which the complexity of halving is reduced by processing based on a table search, and
the stage of using the obtained value for data encryption.
RU2007111725/09A 2004-09-30 2005-09-26 Cryptographic calculation method, cryptographic system and computer program RU2414079C2 (en)

Applications Claiming Priority (5)

Application Number Priority Date Filing Date Title
JP2004-287166 2004-09-30
JP2004287166 2004-09-30
JP2005015071 2005-01-24
JP2005-015071 2005-01-24
JP2005-119587 2005-04-18

Publications (2)

Publication Number Publication Date
RU2007111725A RU2007111725A (en) 2008-10-10
RU2414079C2 true RU2414079C2 (en) 2011-03-10

Family

ID=39927288

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
RU2007111725/09A RU2414079C2 (en) 2004-09-30 2005-09-26 Cryptographic calculation method, cryptographic system and computer program

Country Status (1)

Country Link
RU (1) RU2414079C2 (en)

Also Published As

Publication number Publication date
RU2007111725A (en) 2008-10-10

Similar Documents

Publication Publication Date Title
JP5001176B2 (en) Signature generation apparatus, signature generation method, and signature generation program
JP5116770B2 (en) Module reduction using folding
US8559625B2 (en) Elliptic curve point transformations
JP6629466B2 (en) Security calculation system, security calculation device, security calculation method, program
US8300810B2 (en) Method for securely encrypting or decrypting a message
EP3644544A1 (en) Method for comparing ciphertext using homomorphic encryption and apparatus for executing thereof
JP6621813B2 (en) Electronic computing device for performing obfuscated arithmetic
白石 Polynomial selection for the number field sieve
EP3121710B1 (en) Computational method, computational device and computer software product for montgomery domain
RU2414079C2 (en) Cryptographic calculation method, cryptographic system and computer program
CN104506316A (en) Point multiplication operation method based on SM2 base points
JP4354609B2 (en) Simultaneous equation solving apparatus and inverse element computing apparatus on finite field
Lee The security of groups of unknown order based on jacobians of hyperelliptic curves
KR101925614B1 (en) Method for processing scalar multiplication in elliptic curve cryptosystem, and elliptic curve cryptosystem
US9654472B2 (en) Storage count verification system
US8605895B2 (en) Computing the eth root of a number using a variant of the RSA algorithm (for even e's)
Aswathy et al. Modified RSA public key algorithm
KR102132935B1 (en) Method and apparatus for finite field multiplication
US11528136B2 (en) Decryption of encrypted data missing a private key
EP4258591A1 (en) Apparatus and method with homomorphic encryption operation
Bulens et al. Hardware for collision search on elliptic curve over GF (2m)
Albert et al. Resolutions and Betti Numbers of Polynomial Modules via Involutive Bases
Joux et al. Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem over Small Degree Extension Fields. Application to the static Diffie-Hellman problem on $ E (\F_ {q^ 5}) $
KR101609952B1 (en) Method and apparatus for multiplying scalar
Choe et al. Finite rank Toeplitz products with harmonic symbols

Legal Events

Date Code Title Description
MM4A The patent is invalid due to non-payment of fees

Effective date: 20120927