RU2332334C1 - Method of semi-passive three-axis stabilisation of dynamically symmetric artificial earth satellite - Google Patents
Method of semi-passive three-axis stabilisation of dynamically symmetric artificial earth satellite Download PDFInfo
- Publication number
- RU2332334C1 RU2332334C1 RU2006137979/11A RU2006137979A RU2332334C1 RU 2332334 C1 RU2332334 C1 RU 2332334C1 RU 2006137979/11 A RU2006137979/11 A RU 2006137979/11A RU 2006137979 A RU2006137979 A RU 2006137979A RU 2332334 C1 RU2332334 C1 RU 2332334C1
- Authority
- RU
- Russia
- Prior art keywords
- satellite
- aes
- moment
- axis
- vector
- Prior art date
Links
Images
Landscapes
- Prostheses (AREA)
- Control Of Position, Course, Altitude, Or Attitude Of Moving Bodies (AREA)
Abstract
Description
Изобретение относится к области космической техники и может быть использовано для стабилизации искусственных спутников Земли (ИСЗ) путем создания управляемого момента лоренцевых сил.The invention relates to the field of space technology and can be used to stabilize artificial Earth satellites (AES) by creating a controlled moment of Lorentz forces.
Известны способы управления ориентацией ИСЗ путем использования различных по своей природе сил - реактивных или внешних по отношению к ИСЗ сил, создающих управляющие моменты. Внешние по отношению к ИСЗ факторы, создающие управляющие моменты без расхода рабочего тела, используются в пассивных способах стабилизации /1/. Использование пассивных способов управления ориентацией ИСЗ предпочтительно в тех случаях, когда во время активной фазы полета отклонение ИСЗ от заданного положения в пространстве не должно превышать нескольких градусов, а также когда не требуется выполнения сложных программных разворотов и противодействия большим возмущающим моментам /2/.Known methods for controlling the orientation of a satellite by using forces of a different nature - reactive or external forces with respect to a satellite that create control moments. Factors external to the satellite that create control moments without the consumption of the working fluid are used in passive stabilization methods / 1 /. The use of passive methods of controlling the orientation of the satellite is preferable in cases when during the active phase of the flight the deviation of the satellite from a given position in space should not exceed several degrees, and also when complex program turns and counteraction to large disturbing moments are not required / 2 /.
Известны способы и устройства пассивной ориентации (стабилизации) ИСЗ, основанные на использовании природных геофизических факторов, например, гравитационных сил, сил взаимодействия магнитного поля ИСЗ с внешним магнитным полем Земли (МПЗ), давления солнечного излучения, аэродинамических сил. Однако известные способы характеризуются малой эффективностью либо вследствие того, что создание управляющего (стабилизирующего) момента требует значительных конструктивных усложнений, либо вследствие того, что область их практического применения достаточно сильно ограничена. Так, магнитные системы управления (МСУ), имея значительные габариты, создают малые по величине управляющие моменты и являются мощным источником магнитных полей на борту ИСЗ, что ухудшает рабочие характеристики МСУ и снижает эффективность и помехоустойчивость МСУ /1/. Способы, использующие давление солнечного излучения /3/, могут быть эффективны лишь для ИСЗ, находящихся на высоких орбитах /1/, а соответствующие им устройства /4/ требуют больших рабочих поверхностей. Использование аэродинамических систем, основанных на стабилизирующем воздействии набегающего на ИСЗ потока разреженных слоев атмосферы, ограничено малыми орбитальными высотами и значительным влянием атмосферы на параметры орбиты, что снижает эффективность соответствующих устройств управления ориентацией ИСЗ /5/. Общим недостатком известных способов пассивной стабилизации ИСЗ является сложность изменения управляющего момента и ограниченность использования в связи с невозможностью компенсации эксцентриситетных колебаний, возникающих на эллиптических орбитах.Known methods and devices for passive orientation (stabilization) of satellites based on the use of natural geophysical factors, for example, gravitational forces, forces of interaction of a satellite’s magnetic field with the Earth’s external magnetic field (MPZ), solar radiation pressure, aerodynamic forces. However, the known methods are characterized by low efficiency either due to the fact that the creation of a control (stabilizing) moment requires significant structural complications, or due to the fact that the field of their practical application is quite limited. So, magnetic control systems (MCS), having significant dimensions, create small control moments and are a powerful source of magnetic fields on board an artificial satellite, which affects the performance of the ISU and reduces the efficiency and noise immunity of the ISU / 1 /. Methods using the pressure of solar radiation / 3 / can only be effective for satellites in high orbits / 1 /, and the corresponding devices / 4 / require large working surfaces. The use of aerodynamic systems based on the stabilizing effect of a stream of rarefied atmospheric layers incident on a satellite is limited by small orbital altitudes and a significant influence of the atmosphere on the orbit parameters, which reduces the effectiveness of the corresponding satellite control devices / 5 /. A common disadvantage of known methods for passive stabilization of satellites is the difficulty of changing the control moment and the limited use due to the inability to compensate for eccentric vibrations arising in elliptical orbits.
Известен способ управления ориентацией ИСЗ /6/, включающий получение управляемого крутящего момента лоренцевых сил путем распределения на части поверхности ИСЗ двойного электростатического слоя с заданным суммарным дипольным моментом двойного слоя. При этом получение управляемого крутящего момента производят путем согласованного изменения величины и направления вектора .A known method of controlling the orientation of the satellite / 6 /, including obtaining a controlled torque of Lorentz forces by distributing on the surface part of the satellite a double electrostatic layer with a given total dipole moment double layer. At the same time, controlled torque is produced by a coordinated change in the magnitude and direction of the vector .
Недостатки известного способа заключаются в следующем. Способ применим для стабилизации ИСЗ только в прямом положении равновесия в орбитальной системе координат. Способ не работает для ИСЗ, находящихся на орбитах с наклонениями, большими 60°.The disadvantages of this method are as follows. The method is applicable for stabilization of a satellite only in a direct equilibrium position in an orbital coordinate system. The method does not work for satellites in orbits with inclinations greater than 60 °.
Известный способ выбран в качестве наиболее близкого аналога к заявляемому изобретению.The known method is selected as the closest analogue to the claimed invention.
Задача изобретения заключается в расширении области применимости способа управления ориентацией ИСЗ.The objective of the invention is to expand the field of applicability of the method for controlling the orientation of satellites.
Задача решена тем, что в известном способе управления ориентацией ИСЗ, включающем получение управляемого крутящего момента лоренцевых сил, в соответствии с изобретением на части поверхности ИСЗ распределяют двойной электростатический слой с заданным суммарным дипольным моментом двойного слоя, а получение управляемого крутящего момента производят путем согласованного изменения величины и направления вектора , удовлетворяющего условиямThe problem is solved in that in the known method for controlling the orientation of the satellite, including obtaining controlled torque of the Lorentz forces, in accordance with the invention, a double electrostatic layer with a given total dipole moment is distributed on a part of the surface of the satellite double layer, and obtaining controlled torque is produced by a coordinated change in the magnitude and direction of the vector satisfying the conditions
где Px, Py, Pz - проекции вектора на главные центральные оси инерции ИСЗ, υCξ, υCη - проекции вектора скорости центра масс ИСЗ относительно геомагнитного поля на оси орбитальной системы координат, BCξ, BCη, BCζ - проекции вектора индукции геомагнитного поля в центре масс ИСЗ на оси орбитальной системы координат, ψ0 - угол поворота ИСЗ относительно оси, совпадающей в режиме ориентированного движения с местной вертикалью, k - постоянный коэффициент.where P x , P y , P z are projections of the vector on the main central axis of inertia of the satellite, υ Cξ , υ Cη are projections of the vector the velocity of the center of mass of the satellite relative to the geomagnetic field on the axis of the orbital coordinate system, B Cξ , B Cη , B Cζ are projections of the vector induction of the geomagnetic field in the center of mass of the satellite on the axis of the orbital coordinate system, ψ 0 is the rotation angle of the satellite relative to the axis coinciding in the mode of oriented movement with the local vertical, k is a constant coefficient.
Технический результат, достигаемый изобретением, состоит в том, что создание двойного электростатического слоя на поверхности ИСЗ приводит к возбуждению сил Лоренца, воздействующих на ИСЗ и оказывающих ориентирующее действие, а выполнение условий на согласованное изменение распределения поляризации обеспечивает существование и устойчивость положения равновесия и при наличии демпфирования (обеспечиваемого каким-либо из известных способов, например, путем использования гистерезисных стержней) решает задачу стабилизации ИСЗ в орбитальной системе координат.The technical result achieved by the invention is that the creation of a double electrostatic layer on the satellite surface leads to the excitation of the Lorentz forces acting on the satellite and exerts an orienting effect, and the fulfillment of conditions for a coordinated change in the polarization distribution ensures the existence and stability of the equilibrium position even in the presence of damping (provided by any of the known methods, for example, by using hysteresis rods) solves the satellite stabilization problem in orbit coordinate system.
Сущность изобретения поясняется Фиг.1, на которой представлена орбитальная система координат, являющаяся базовой системой при решении задачи стабилизации ИСЗ, Фиг.2, на которой представлены углы ориентации ИСЗ в орбитальной системе координат, Фиг.3, на которой представлены максимальные возможные значения модуля вектора дипольного момента двойного слоя, Фиг.4, 5, на которых представлены результаты численного расчета процесса стабилизации ИСЗ в соответствии с изобретением и без него.The invention is illustrated by Figure 1, which shows the orbital coordinate system, which is the basic system for solving the satellite stabilization problem, Figure 2, which shows the satellite orientation angles in the orbital coordinate system, Figure 3, which shows the maximum possible values of the vector module the dipole moment of the double layer, Fig.4, 5, which presents the results of a numerical calculation of the stabilization process of a satellite in accordance with the invention and without it.
Сущность изобретения заключается в следующем. Для ИСЗ, центр масс которого (точка С) движется со скоростью относительно МПЗ, характеризуемого магнитной индукцией распределение на части поверхности ИСЗ с площадью S (далее - оболочка) двойного электростатического слоя с плотностью поляризации приводит к возникновению момента лоренцевых сил, определяемого по формулеThe invention consists in the following. For a satellite whose center of mass (point C) moves at a speed with respect to magnetic induction characterized by magnetic induction distribution of a double electrostatic layer with a polarization density on a part of the satellite surface with an area S (hereinafter referred to as the shell) leads to a moment Lorentz forces, determined by the formula
где - суммарный дипольный момент оболочки, оказывающего при определенных условиях ориентирующее воздействие на ИСЗ и используемого в качестве восстанавливающего момента.Where - the total dipole moment of the shell, which under certain conditions has an orienting effect on the satellite and is used as a restoring moment.
Для получения восстанавливающего момента, превышающего действующие возмущающие моменты, можно варьировать параметры двойного электростатического слоя. Оценки показывают, что для характерных величин параметров орбиты ИСЗ R≈7·106 м, площади двойного электростатического слоя S ≈ 300 м2, напряженности Е электростатического поля в системе электродов, создающих этот двойной слой Е≈107 В/м, и толщины двойного электростатического слоя d≈0,05 м момент лоренцевых сил, создаваемый электростатическим слоем, будет величиной порядка 10-4 Н·м, что превосходит момент гравитационных сил, действующих на крупный ИСЗ со сбалансированным распределением масс, или на ИСЗ, предварительно приведенный в положение, близкое к положению гравитационной ориентации.To obtain a reducing moment that exceeds the existing disturbing moments, it is possible to vary the parameters of the double electrostatic layer. Estimates show that for characteristic values of the satellite’s orbit parameters R≈7 · 10 6 m, the area of the double electrostatic layer S ≈ 300 m 2 , the strength E of the electrostatic field in the system of electrodes creating this double layer is E≈10 7 V / m, and the thickness double electrostatic layer d≈0.05 m the moment of Lorentz forces created by the electrostatic layer will be of the order of 10 -4 N · m, which exceeds the moment of gravitational forces acting on a large satellite with a balanced distribution of masses, or on a satellite previously set to b Low to the position of the gravitational orientation.
Для определения условий, при которых достигается режим стабилизированного движения ИСЗ, рассмотрим ИСЗ, центр масс которого движется в гравитационном поле по круговой кеплеровой орбите. Предполагается, что гравитационное поле Земли является ньютоновским центральным. МПЗ аппроксимируется с учетом дипольной и квадрупольной составляющих /8/. Исследуем вращательное движение ИСЗ относительно его центра масс в орбитальной системе координат Сξηζ (Фиг.1) с началом в центре масс ИСЗ, ось которой направлена по касательной к орбите в сторону движения, ось - по нормали к плоскости орбиты, ось - вдоль радиуса-вектора центра масс ИСЗ относительно центра Земли ОЗ. Здесь и в дальнейшем используются правые декартовы прямоугольные системы координат. Исследование проводится с учетом вращения орбитальной системы координат относительно инерциальной системы с угловой скоростью ω0. В качестве инерциальной системы координат принимается система OЗX*Y*Z*, ось которой направлена по оси собственного вращения Земли, ось - в восходящий узел орбиты, а плоскость (Х*Y*) совпадает с плоскостью экватора. Используется также жестко связанная с ИСЗ система его главных центральных осей инерции Cxyz (орты Ориентация орбитальной системы координат относительно системы OЗX*Y*Z* определяется на основании равенствTo determine the conditions under which the stabilized motion of a satellite is achieved, we consider a satellite whose center of mass moves in a gravitational field in a circular Kepler orbit. It is assumed that the Earth’s gravitational field is Newton’s central. The MPZ is approximated taking into account the dipole and quadrupole components / 8 /. We study the rotational motion of the satellite relative to its center of mass in the orbital coordinate system Сξηζ (Fig. 1) with the origin in the center of mass of the satellite, axis which is directed along the tangent to the orbit in the direction of motion, the axis - normal to the orbit plane, axis - along the radius vector center of mass of the satellite relative to the earth center O W. Hereinafter, the right Cartesian rectangular coordinate systems are used. The study is carried out taking into account the rotation of the orbital coordinate system relative to an inertial system with an angular velocity ω 0 . As an inertial coordinate system, the system O З X * Y * Z * , the axis which is directed along the axis of the Earth’s own rotation, the axis - to the ascending node of the orbit, and the plane (X * Y * ) coincides with the plane of the equator. A system of its main central axes of inertia Cxyz (unit vectors) is also used The orientation of the orbital coordinate system relative to the system O З X * Y * Z * is determined on the basis of the equalities
где - наклонение орбиты; - аргумент широты, u=ω0t.Where - inclination of the orbit; is the argument of latitude, u = ω 0 t.
Ориентация осей xyz относительно осей ξηζ определяется матрицей направляющих косинусов αi, βi, γi (i=1, 2, 3) так, что имеют место равенстваThe orientation of the xyz axes relative to the ξηζ axes is determined by the matrix of guiding cosines α i , β i , γ i (i = 1, 2, 3) so that the equalities
если определять ориентацию ИСЗ в орбитальной системе координат с помощью "самолетных" углов φ, θ, ψ (Фиг.2), то элементы матрицы А примут видif you determine the orientation of the satellite in the orbital coordinate system using the "plane" angles φ, θ, ψ (Figure 2), then the elements of matrix A will take the form
В процессе движения ИСЗ относительно геомагнитного поля взаимодействие двойного электростатического слоя с геомагнитным полем приводит к возбуждению сил Лоренца. Главный момент этих сил относительно центра масс ИСЗ определяется по формулеDuring the motion of the satellite relative to the geomagnetic field, the interaction of the double electrostatic layer with the geomagnetic field leads to the excitation of Lorentz forces. The main moment of these forces relative to the center of mass of the satellite is determined by the formula
В работах /6, 9/ показано, что для любых реальных ИСЗ и тем более для ИСЗ, функционирующих в режимах, близких к ориентированному движению, момент можно аппроксимировать выражением (2), гдеIt was shown in / 6, 9 / that for any real satellite and, moreover, for a satellite operating in modes close to oriented motion, the moment can be approximated by expression (2), where
- скорость центра масс ИСЗ относительно геомагнитного поля, - угловая скорость суточного вращения Земли, - вектор магнитной индукции геомагнитного поля в центре масс ИСЗ, заданный своими компонентами в орбитальной системе координат. - the speed of the center of mass of the satellite relative to the geomagnetic field, - the angular velocity of the daily rotation of the Earth, is the vector of the magnetic induction of the geomagnetic field in the center of mass of the satellite specified by its components in the orbital coordinate system.
В условиях квадрупольной модели МПЗ вектор определяется по формулеIn terms of the quadrupole model of the MPZ vector determined by the formula
где - часовой угол восходящего узла,Where - the hourly angle of the ascending node,
- мультипольные тензоры 1-го и 2-го рангов, представляющие собой соответственно дипольный и квадрупольный магнитные моменты, выраженные через квазинормированные по Шмидту гауссовы коэффициенты и На эпоху 2000.0 гауссовы коэффициенты имеют следующие значения /10/ в нТл: - multipole tensors of the 1st and 2nd ranks, representing, respectively, dipole and quadrupole magnetic moments, expressed through quasi-normalized Schmidt Gaussian coefficients and For the 2000.0 era, the Gaussian coefficients have the following values / 10 / in nT:
Для нахождения проекций момента на оси x, y, z представим выражение (2) в видеTo find moment projections on the x, y, z axis, we represent expression (2) in the form
Здесь υСξ=R(ω0-ωЗcosi), υСη=RωЗsin i cos u, υCζ=0.Here υ Сξ = R (ω 0 -ω З cosi), υ Сη = Rω З sin i cos u, υ Cζ = 0.
Пусть задана программная ориентация ИСЗ в орбитальной системе координат некоторым значением матрицы направляющих косинусов А=A0=const. В частности, матрица A0 может быть единичной. Этот случай был рассмотрен в /6/. Подставляя А=A0 в выражение (2), найдем такие значения вектора при которых обращается в ноль в программной ориентации ИСЗ, т.е. является восстанавливающим моментом в окрестности ориентации A0. Очевидно, что вектор должен удовлетворять условиюLet the satellite orientation in the orbital coordinate system be given by a certain value of the matrix of guide cosines A = A 0 = const. In particular, the matrix A 0 may be unity. This case was considered in / 6 /. Substituting A = A 0 into expression (2), we find such values of the vector under which turns to zero in the program orientation of the satellite, i.e. is a restoring moment in a neighborhood of orientation A 0 . Obviously, the vector must satisfy the condition
где k=k(t) - произвольная скалярная функция. При этом компоненты вектора определяются по формуламwhere k = k (t) is an arbitrary scalar function. Moreover, the components of the vector determined by the formulas
Следовательно, если параметры оболочки Рx, Рy, Рz будут изменяться по закону (8), то момент будет являться восстанавливающим в окрестности заданного положения и может быть использован для поддержания заданной ориентации ИСЗ. Равенства (8) можно рассматривать как закон управления вектором дипольного момента оболочки для осуществления заданной ориентации ИСЗ. В зависимости от вида функции k(t) формулы (8) определяют тот или иной закон полупассивного управления ориентацией ИСЗ.Therefore, if the shell parameters P x , P y , P z will change according to the law (8), then the moment will be restoring in the vicinity of a given position and can be used to maintain a given satellite orientation. Equalities (8) can be considered as the law of controlling the vector of the dipole moment of the shell for the implementation of a given orientation of the satellite. Depending on the type of function k (t), formulas (8) determine one or another law of semi-passive control of the satellite orientation.
Рассмотрим следующий закон полупассивного управления при постоянном значении k. Пусть - среднее по времени значение а P0 - некоторое фиксированное значение величины Выберем k исходя из условия В этом случае на основании (8) получаемConsider the following law of semi-passive control with a constant value of k. Let be - time average value and P 0 is some fixed value We choose k based on the condition In this case, on the basis of (8) we obtain
где Where
Для выяснения возможности практической реализации управления (8) целесообразно оценить модули функций Px(t), Py(t) и Pz(t) для наиболее реальных значений параметров ИСЗ и его орбиты.To clarify the possibility of practical implementation of control (8), it is advisable to evaluate the modules of the functions P x (t), P y (t) and P z (t) for the most real values of the parameters of the satellite and its orbit.
С помощью ЭВМ выполнены расчеты максимальных по времени значений для параметров орбиты из диапазона 0≤i≤90°, 6800 км ≤R≤ 13200 км. Результаты расчетов показаны на Фиг.3 для граничных значений радиуса орбиты: кривая 1 соответствует R=6800 км, а кривая 2 - R=13200 км. Промежуточным значениям радиуса соответствуют кривые, заполняющие пространство между кривыми 1 и 2.Using a computer, the calculations of the maximum time values for orbit parameters from the
Из Фиг.3 видно, что принимает значения порядка 1 для орбит с произвольными наклонениями и, следовательно, практическая реализация рассматриваемого закона управления не вызовет принципиальных трудностей.Figure 3 shows that takes values of the order of 1 for orbits with arbitrary inclinations and, therefore, the practical implementation of the control law under consideration will not cause fundamental difficulties.
Докажем, что полупассивное управление (8) при наличии демпфирования в системе ИСЗ решает задачу стабилизации ИСЗ в орбитальной системе координат.Let us prove that semi-passive control (8) in the presence of damping in the satellite system solves the problem of stabilizing the satellite in the orbital coordinate system.
Пусть в системе ИСЗ имеется демпфирующий момент модельного типа, например пропорциональный относительной угловой скорости ИСЗ в орбитальной системе координат: где hi>0 (i = 1, 2, 3), а - абсолютная угловая скорость ИСЗ. ТогдаLet there be a damping moment in the satellite system model type, for example, proportional to the relative angular velocity of the satellite in the orbital coordinate system: Where h i > 0 (i = 1, 2, 3), but - absolute angular velocity of the satellite. Then
MДx=-h1(ωx-ω0β1), MДy=-h2(ωy-ω0β2), MДz=-h3(ωz-ω0β3).M Дx = -h 1 (ω x -ω 0 β 1 ), M Дy = -h 2 (ω y -ω 0 β 2 ), M Дz = -h 3 (ω z -ω 0 β 3 ).
Будем учитывать также гравитационный моментWe will also take into account the gravitational moment
как наибольший из возмущающих моментов. Здесь J=diag(A, А, С) - тензор инерции ИСЗ в осях Cxyz, причем ось Cz - ось динамической симметрии ИСЗ.as the greatest of disturbing moments. Here J = diag (A, A, C) is the satellite inertia tensor in the Cxyz axes, and the Cz axis is the satellite axis of symmetry.
Дифференциальные уравнения вращательного движения ИСЗ строятся по схеме Эйлера-Пуассона:The differential equations of the rotation of the satellite are constructed according to the Euler-Poisson scheme:
Из уравнений (9), (10) следует, что ИСЗ имеет положение одноосной гравитационной ориентации, в котором ось Cz коллинеарна оси Сζ (т.е. φ=θ=0), а положения осей Cx и Cy не определены (угол ψ может принимать любые значения). Покажем, что момент позволяет при наличии демпфирования обеспечить стабилизацию ИСЗ в положении равновесия, соответствующем любому наперед заданному значению угла ψ и нулевым значениям углов φ и θ. Для этого подставим в (8) значения φ=θ=0, ψ=ψ0=const. Закон полупассивного управления ИСЗ в данном случае примет видFrom equations (9), (10) it follows that the satellite has a position of uniaxial gravitational orientation, in which the Cz axis is collinear to the Cζ axis (i.e., φ = θ = 0), and the positions of the Cx and Cy axes are not defined (the angle ψ can take any value). We show that the moment allows, in the presence of damping, stabilization of the satellite in the equilibrium position corresponding to any previously given value of the angle ψ and zero values of the angles φ and θ. For this, we substitute in (8) the values φ = θ = 0, ψ = ψ 0 = const. The law of semi-passive control of the satellite in this case will take the form
Докажем, что полупассивное управление (11) при наличии демпфирования в системе ИСЗ решает задачу трехосной стабилизации ИСЗ в орбитальной системе координат. Вначале рассмотрим случай малых значений наклонения i и докажем существование и асимптотическую устойчивость положения равновесия φ=θ=0, ψ=ψ0=const, a затем рассмотрим случай произвольных значений наклонения i и докажем устойчивость данного положения равновесия при постоянно действующих возмущениях.Let us prove that semi-passive control (11) in the presence of damping in the satellite system solves the problem of triaxial stabilization of the satellite in the orbital coordinate system. First, we consider the case of small values of the inclination i and prove the existence and asymptotic stability of the equilibrium position φ = θ = 0, ψ = ψ 0 = const, and then we consider the case of arbitrary values of the inclination i and prove the stability of this equilibrium under constantly acting disturbances.
При рассмотрении малых колебаний ИСЗ справедливо предположение о малости углов φ, θ и ψ1=ψ-ψ0 и их производных по времени. Поэтому в окрестности рассматриваемого положения равновесия моменты и могут быть разложены в ряды по степеням этих малых величин. В результате получим их проекции с точностью до членов второго порядка малости в видеWhen considering small satellite oscillations, the assumption about the smallness of the angles φ, θ and ψ 1 = ψ-ψ 0 and their derivatives with respect to time is valid. Therefore, in the vicinity of the considered equilibrium position, the moments and can be arranged in series in powers of these small quantities. As a result, we obtain their projections up to terms of the second order of smallness in the form
МЛх=l11(t)φ+l12(t)θ+l13(t)ψ1,M Lx = l 11 (t) φ + l 12 (t) θ + l 13 (t) ψ 1 ,
МЛy=l12(t)φ+l22(t)θ+l23(t)ψ1,М Лy = l 12 (t) φ + l 22 (t) θ + l 23 (t) ψ 1 ,
МЛz=l13(t)φ+l23(t)θ+l33(t)ψ1,M Лz = l 13 (t) φ + l 23 (t) θ + l 33 (t) ψ 1 ,
гдеWhere
l11(t)=-k[(υCηBCξ-υCξBCη)2+(υCξcosψ0+υСηsinψ0)2B2 Cζ],l 11 (t) = - k [(υ Cη B Cξ -υ Cξ B Cη ) 2 + (υ Cξ cosψ 0 + υ Сη sinψ 0 ) 2 B 2 Cζ ],
l12(t)=l21(t)=-k(υCξcosψ0+υCηsinψ0)×(υCηcosψ0-υCξsinψ0)B2 Cζ,l 12 (t) = l 21 (t) = - k (υ Cξ cosψ 0 + υ Cη sinψ 0 ) × (υ Cη cosψ 0 -υ Cξ sinψ 0 ) B 2 Cζ ,
l13(t)=l31(t)=k(υCξBCη-υCηBCξ)(υCηcosψ0-υCξsinψ0)BCζ,l 13 (t) = l 31 (t) = k (υ Cξ B Cη -υ Cη B Cξ ) (υ Cη cosψ 0 -υ Cξ sinψ 0 ) B Cζ ,
l22(t)=-k[(υCηBCξ-υCξBCη)2+(υCηcosψ0-υCξsinψ0)B2 Cζ],l 22 (t) = - k [(υ Cη B Cξ -υ Cξ B Cη ) 2 + (υ Cη cosψ 0 -υ Cξ sinψ 0 ) B 2 Cζ ],
l23(t)=l32(t)=-k(υCξBCη-υCηBCξ)(υCξcosψ0+υCηsinψ0)BCζ,l 23 (t) = l 32 (t) = - k (υ Cξ B Cη -υ Cη B Cξ ) (υ Cξ cosψ 0 + υ Cη sinψ 0 ) B Cζ ,
l33(t)=-k(υ2 Cξ+υ2 Cη)BCζ.l 33 (t) = - k (υ 2 Cξ + υ 2 Cη ) B Cζ .
Уравнения (9) в матричной форме примут видEquations (9) in matrix form take the form
где Where
X - вектор с компонентами Xj (t, φ, θ, ψ1) нелинейным образом зависящими от φ, θ, ψ1.X is a vector with components X j (t, φ, θ, ψ 1 ) nonlinearly depending on φ, θ, ψ 1 .
Компоненты mij(t) матрицы М, зависящие, вообще говоря, от малого параметра sin i, представим в виде суммы членов (t), не зависящих от i и членов содержащих множителем sin i. ТогдаThe components m ij (t) of the matrix M, depending, generally speaking, on the small parameter sin i, can be represented as the sum of the terms (t) independent of i and members containing the factor sin i. Then
где М(0) получается из М заменой lij(t) на а where M (0) is obtained from M by replacing l ij (t) with but
Рассмотрим систему линейного приближения уравнений (12) при i=0:Consider the linear approximation system of equations (12) for i = 0:
Поскольку при i=0 имеют место равенства υCξ=R(ω0-ωЗ), υСη=υСζ=0, а также на основании (6)Since for i = 0 the equalities υ Cξ = R (ω 0 -ω З ) hold , υ Сη = υ Сζ = 0, and also on the basis of (6)
где то Where then
причем BCξ, BCη, BCζ определяются по формулам (14).moreover, B Cξ , B Cη , B Cζ are determined by formulas (14).
Представим в виде где - среднее по t значение функции ТогдаImagine as Where is the average value over t of the function Then
Вычислим необходимые средние по времени:We calculate the necessary time averages:
В результате матрица М будет представлена в видеAs a result, the matrix M will be represented as
Подставив приведенные выше числовые значения гауссовых коэффициентов, нетрудно убедиться, что при выполнении неравенства k>0 матрица является положительно определенной для любых значений ψ0. Если, кроме того, потребовать, чтобы выполнялось условие А>С, то матрицаSubstituting the numerical values of the Gaussian coefficients given above, it is easy to verify that, when k> 0, the matrix is positive definite for any values of ψ 0 . If, in addition, we require that condition A> C be satisfied, then the matrix
также будет являться положительно определенной. Если же разность А-С может принимать значения произвольного знака, то при выполнении неравенствwill also be positive definite. If the difference AC can take values of arbitrary sign, then when the inequalities
матрица снова является положительно определенной и, следовательно, нулевое решение системыmatrix is again positive definite and therefore a zero solution to the system
асимптотически устойчиво.asymptotically stable.
Далее рассмотрим матрицу и оценим ее норму.Next, we consider the matrix and evaluate its norm.
Поскольку постоянная С1 зависит лишь от матрицы то и нулевое решение дифференциальной системыSince the constant C 1 depends only on the matrix then the zero solution of the differential system
также асимптотически устойчиво /11/. Причем эта асимптотическая устойчивость является равномерной, поскольку коэффициенты системы (18) почти периодичны по t. Кроме того, из экспоненциальной асимптотической устойчивости нулевого решения системы (18) вытекает экспоненциально-асимптотическая устойчивость нулевого решения исходной нелинейной системы (12) при i=0 /12/. Это и доказывает возможность полупассивной стабилизации ИСЗ при i=0.also asymptotically stable / 11 /. Moreover, this asymptotic stability is uniform, since the coefficients of system (18) are almost periodic in t. In addition, the exponential asymptotic stability of the zero solution of system (18) implies the exponentially asymptotic stability of the zero solution of the original nonlinear system (12) for i = 0/12 /. This proves the possibility of semi-passive stabilization of a satellite at i = 0.
В случае орбит малого наклонения (i≠0, но sin i - мало), дифференциальные уравнения возмущенного движения (12) удобно записать в видеIn the case of small inclination orbits (i ≠ 0, but sin i is small), it is convenient to write the differential equations of perturbed motion (12) in the form
Согласно теореме об устойчивости при постоянно действующих возмущениях /12/, равномерная асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (18) является достаточным условием устойчивости этого решения при постоянно действующих возмущениях. В качестве последних можно рассматривать малые по норме возмущенияAccording to the stability theorem for constantly acting perturbations / 12 /, the uniform asymptotic stability of the zero solution to system (18) is a sufficient condition for the stability of this solution for constantly acting perturbations. As the latter, perturbations small in the norm can be considered
Более того, из экспоненциальной асимптотической устойчивости нулевого решения системы (18) в силу неравенствMoreover, from the exponential asymptotic stability of the zero solution to system (18) due to the inequalities
следует асимптотическая устойчивость нулевого решения исходной нелинейной системы (12) при достаточно малых значениях i /12/.the asymptotic stability of the zero solution of the original nonlinear system (12) follows for sufficiently small values of i / 12 /.
Таким образом, при наличии полупассивного управления (11) и демпфирования и выполнении неравенств (17) в условиях гравитационных возмущений достигается устойчивость стабилизируемого решения φ=θ=0, ψ=ψ0 при постоянно действующих возмущениях и асимптотическая устойчивость при достаточно малых значениях i, что служит обоснованием применения заявляемого способа для орбит малого наклонения.Thus, in the presence of semi-passive control (11) and damping and inequalities (17) under gravitational perturbations, the stability of the stabilized solution φ = θ = 0, ψ = ψ 0 under constant perturbations and asymptotic stability for sufficiently small values of i are achieved, which justifies the application of the proposed method for orbits of small inclination.
Перейдем к рассмотрению задачи о стабилизации ИСЗ, находящихся на орбитах среднего и большого наклонений. Представим матрицу М в виде Здесь матрица Мcp - результат покомпонентного усреднения матрицы М по времени, т.е.We turn to the consideration of the problem of stabilizing satellites in medium and large inclination orbits. We represent the matrix M in the form Here, the matrix M cp is the result of componentwise averaging of the matrix M over time, i.e.
где Where
Вычислим необходимые средние:We calculate the necessary averages:
Рассмотрим сначала систему линейного приближения уравнений (12):We first consider the linear approximation system of equations (12):
Если заменить в ней матрицу М ее средним значением, получим:If we replace the matrix M in it with its average value, we obtain:
С помощью замены τ=ω0t, x1=φ', x2=θ', x3=ψ'1, x4=φ, x5=θ, x6=ψ1, систему (19) можно привести к нормальному безразмерному видуUsing the replacement τ = ω 0 t, x 1 = φ ', x 2 = θ', x 3 = ψ ' 1 , x 4 = φ, x 5 = θ, x 6 = ψ 1 , system (19) can be reduced to normal dimensionless form
а систему (20) - к виду x'=Nx, где x=(x1, ... x6)T, штрих означает производную по безразмерной переменной τ, С0=cosψ0, S0=sinψ0,and system (20), to the form x '= Nx, where x = (x 1 , ... x 6 ) T , the prime denotes the derivative with respect to the dimensionless variable τ, С 0 = cosψ 0 , S 0 = sinψ 0 ,
Система x'=Nx имеет ограниченные решения на полуоси [0, +∞] тогда и только тогда, когда действительные части корней характеристического уравнения det(λI-N)=0 неположительны. Проведенный с помощью ЭВМ численный анализ показал, что существует область параметров ИСЗ и его орбиты, при которых выполнено это условие и, следовательно, в этой области действительные части собственных значений матрицы N удовлетворяют неравенствам Reλj<-Δ, j=1...6, Δ=const>0.The system x '= Nx has bounded solutions on the semiaxis [0, + ∞] if and only if the real parts of the roots of the characteristic equation det (λI-N) = 0 are nonpositive. A numerical analysis carried out using a computer showed that there is a region of satellite parameters and its orbits under which this condition is satisfied and, therefore, in this region, the real parts of the eigenvalues of the matrix N satisfy the inequalities Reλ j <-Δ, j = 1 ... 6 , Δ = const> 0.
Согласно /13/ введем в рассмотрение функциюAccording to / 13 /, we introduce the function
Обозначим через D наибольшее значение этой функции на полуоси [0, +∞]. Если то нулевое решение системы (21) (или (19)) асимптотически устойчиво /13/. Следовательно, нулевое решение исходной нелинейной системы (12) будет устойчивым при постоянно действующих возмущениях /12/.Denote by D the largest value of this function on the semiaxis [0, + ∞]. If then the zero solution to system (21) (or (19)) is asymptotically stable / 13 /. Consequently, the zero solution to the original nonlinear system (12) will be stable under constant disturbances / 12 /.
Большое количество проведенных численных экспериментов показывает, что если параметры системы удовлетворяют неравенствамA large number of numerical experiments performed shows that if the system parameters satisfy the inequalities
то есть матрица Мср положительно определенная, то все перечисленные выше условия удовлетворяются и, следовательно, стабилизируемое движение φ=θ=0, ψ=ψ0=const устойчиво при постоянно действующих возмущениях.that is, the matrix M cp is positive definite, then all the conditions listed above are satisfied and, therefore, the stabilized motion φ = θ = 0, ψ = ψ 0 = const is stable under constantly acting perturbations.
Таким образом доказана возможность использования лоренцевых сил для трехосной стабилизации динамически симметричного ИСЗ в орбитальной системе координат.Thus, the possibility of using Lorentz forces for triaxial stabilization of a dynamically symmetric satellite in an orbital coordinate system is proved.
Способ может быть осуществлен с помощью известных технических средств, позволяющих создать двойной электростатический слой на поверхности ИСЗ. Величина и направление вектора дипольного момента двойного слоя определяются вышеприведенными условиями (11).The method can be carried out using known technical means, allowing to create a double electrostatic layer on the surface of the satellite. The magnitude and direction of the vector of the dipole moment of the double layer are determined by the above conditions (11).
С целью подтверждения эффективности предложенного метода полупассивного управления ориентацией ИСЗ проведена серия численных экспериментов с помощью ЭВМ.In order to confirm the effectiveness of the proposed method of semi-passive control of satellite orientation, a series of numerical experiments was carried out using a computer.
Для каждого набора значений параметров ИСЗ, его орбиты и начальных условий движения, расчеты выполнялись по двум математическим моделям - соответственно при наличии полупассивного управления по закону (11) и при его отсутствии. В результате построены графики зависимостей "самолетных" углов ориентации ИСЗ от аргумента широты - безразмерной угловой величины u=ω0t на интервале 0≤u≤60, что соответствует примерно 10 оборотам ИСЗ по орбите.For each set of values of the satellite parameters, its orbit, and initial conditions of motion, the calculations were performed according to two mathematical models, respectively, in the presence of semi-passive control according to the law (11) and in its absence. As a result, we plotted the dependences of the “aircraft” satellite orientation angles on the latitude argument — the dimensionless angular quantity u = ω 0 t in the
На Фиг.4 приведены результаты расчетов стабилизируемого движения ИСЗ φ=θ = 0, ψ=ψ0 = 1 при следующих значениях параметров ИСЗ и его орбиты: R=7·106 м, i=1.045 рад, А=103 кг·м2, С/А=0.75, h1=h2=h3=h=0.5. В качестве начальных значений выбраны φ(0)=0.2 рад, ψ(0)=0.2 рад, θ(0)=0.2 рад, ωx(0)=0.1 рад/с, ωy(0)=1.1 рад/с, ωz(0)=0.1 рад/с.Figure 4 shows the calculation results of the stabilized motion of the satellite φ = θ = 0, ψ = ψ 0 = 1 for the following parameters of the satellite and its orbit: R = 7 · 10 6 m, i = 1.045 rad, A = 10 3 kg m 2 , C / A = 0.75, h 1 = h 2 = h 3 = h = 0.5. As the initial values, φ (0) = 0.2 rad, ψ (0) = 0.2 rad, θ (0) = 0.2 rad, ω x (0) = 0.1 rad / s, ω y (0) = 1.1 rad / s , ω z (0) = 0.1 rad / s.
На Фиг.5 представлены колебания ИСЗ при отсутствии управления при тех же значениях параметров и начальных условий. В этом случае для компонент вектора были взяты следующие значения: Рx=Рy=0, Рz=5·10-3 Кл·м.Figure 5 presents the oscillations of the satellite in the absence of control at the same values of the parameters and initial conditions. In this case, for the components of the vector the following values were taken: P x = P y = 0, P z = 5 · 10 -3 C · m.
На Фиг.4 и 5 сплошной линией показаны зависимости φ=φ(u), пунктирной - ψ=ψ(u), штрихпунктирной - θ=θ(u).In Figs. 4 and 5, the solid line shows the dependences φ = φ (u), the dashed curve shows ψ = ψ (u), and the dash-dot curve shows θ = θ (u).
Сравнение графиков на Фиг.4 и 5 показывает, что введение в систему ИСЗ предложенного полупассивного управления позволяет за короткое время достичь режима стабилизированного движения. При этом полностью отсутствует необходимость в установке гироскопов, маховиков и т.п., обеспечивающих стабилизацию положения ИСЗ, а также в расходовании какого-либо рабочего вещества исполнительным механизмом. Очевидная простота закона управления, не требующего измерять какие-либо углы ориентации, их производные по времени и пр. в процессе движения ИСЗ, а также надежность и экономичность способа свидетельствуют в пользу перспективности его использования для стабилизации ИСЗ.A comparison of the graphs in FIGS. 4 and 5 shows that the introduction of the proposed semi-passive control into the satellite system allows achieving a mode of stable movement in a short time. In this case, there is completely no need to install gyroscopes, flywheels, etc., ensuring stabilization of the satellite, as well as the expenditure of any working substance by the actuator. The obvious simplicity of the control law, which does not require measuring any orientation angles, their derivatives with respect to time, etc. during the motion of the satellite, as well as the reliability and efficiency of the method, testify to the prospects of its use for stabilizing the satellite.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-01073).This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (Grant No. 05-01-01073).
Источники информацииInformation sources
1. А.П.Коваленко. Магнитные системы управления космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1975, 248 с.1. A.P. Kovalenko. Magnetic spacecraft control systems. M .: Engineering, 1975, 248 p.
2. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю. Магнитные системы ориентации искусственных спутников Земли. "Исследование космического пространства, т.23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)" М., 1985, 104 с.2. Sarychev V.A., Ovchinnikov M.Yu. Magnetic orientation systems of artificial Earth satellites. "Space exploration, t.23 (Results of science and technology VINITI USSR Academy of Sciences)" M., 1985, 104 S.
3. Франция, заявка №2550757, МКИ B64G 1/36 "Способ регулирования положения спутников".3. France, application No. 2550757,
4. ФРГ, заявка № os 3329955, МКИ B64G 1/24, G05D 1/08 "Устройство для регулирования положения искусственных спутников".4. Germany, application No. os 3329955,
5. Япония, заявка №5940679, МКИ B64G 1/24 "Устройство, создающее вращательный момент для управления искусственным спутником и другими космическими аппаратами".5. Japan, application No. 5940679,
6. Петров К.Г., Тихонов А.А. Патент RU - №2191146 - С1 на изобретение "Способ полупассивной стабилизации искусственного спутника Земли и устройство для его реализации", МПК 7 В64С 1/32, 1/38 по заявке №2001107811, Приоритет 16.03.01, 34 с.6. Petrov K.G., Tikhonov A.A. Patent RU - No. 2191146 - C1 for the invention "A method for the semi-passive stabilization of an artificial Earth satellite and a device for its implementation", IPC 7
7. Труханов К.А., Рябова Т.Я., Морозов Д.Х. Активная защита космических кораблей. М.: Атомиздат, 1970, 229 с.7. Trukhanov K.A., Ryabova T.Ya., Morozov D.Kh. Active protection of spaceships. M .: Atomizdat, 1970, 229 p.
8. К.Г.Петров, А.А.Тихонов. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. Ч.1: Напряженность магнитного поля Земли в орбитальной системе координат // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1, 1999, Вып.1 (№1), с.92-100.8.K.G. Petrov, A.A. Tikhonov. The moment of Lorentz forces acting on a charged satellite in the Earth's magnetic field. Part 1: Earth's magnetic field in the orbital coordinate system // Tomsk State University Journal. St. Petersburg, University. Ser. 1, 1999, Issue 1 (No. 1), pp. 92-100.
9. К.Г.Петров, А.А.Тихонов. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. Ч.2: Вычисление момента и оценки его составляющих // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1, 1999, Вып.3 (№15), с.81-91.9.K.G. Petrov, A.A. Tikhonov. The moment of Lorentz forces acting on a charged satellite in the Earth's magnetic field. Part 2: Calculation of the moment and evaluation of its components // Tomsk State University Journal. St. Petersburg, University. Ser. 1, 1999, Issue 3 (No. 15), pp. 81-91.
10. Mandea M. et al. International geomagnetic reference field - 2000 // Physics of the Earth and planetary interiors. 2000, Vol.120, pp.39-42.10. Mandea M. et al. International geomagnetic reference field - 2000 // Physics of the Earth and planetary interiors. 2000, Vol. 120, pp. 39-42.
11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Изд-во иностр. лит-ры, M., 1954, 216 с.11. Bellman R. The theory of stability of solutions of differential equations. Publishing House of Foreign lit., M., 1954, 216 p.
12. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. M.: Наука, 1966, 530 с.12. Malkin I.G. Theory of motion stability. M .: Nauka, 1966, 530 s.
13. Мартынюк А.А. и др. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств. Киев, Наук. думка, 1989, 272 с.13. Martynyuk A.A. et al. Stability of motion: the method of integral inequalities. Kiev, Science. Dumka, 1989, 272 p.
Claims (1)
Priority Applications (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
RU2006137979/11A RU2332334C1 (en) | 2006-10-24 | 2006-10-24 | Method of semi-passive three-axis stabilisation of dynamically symmetric artificial earth satellite |
Applications Claiming Priority (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
RU2006137979/11A RU2332334C1 (en) | 2006-10-24 | 2006-10-24 | Method of semi-passive three-axis stabilisation of dynamically symmetric artificial earth satellite |
Publications (2)
Publication Number | Publication Date |
---|---|
RU2006137979A RU2006137979A (en) | 2008-04-27 |
RU2332334C1 true RU2332334C1 (en) | 2008-08-27 |
Family
ID=39452855
Family Applications (1)
Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
---|---|---|---|
RU2006137979/11A RU2332334C1 (en) | 2006-10-24 | 2006-10-24 | Method of semi-passive three-axis stabilisation of dynamically symmetric artificial earth satellite |
Country Status (1)
Country | Link |
---|---|
RU (1) | RU2332334C1 (en) |
Cited By (3)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
CN102582850A (en) * | 2012-03-16 | 2012-07-18 | 上海微小卫星工程中心 | Method for improving magnetic control precision of satellite |
CN102785785A (en) * | 2012-09-10 | 2012-11-21 | 清华大学 | Method for suppressing gravitation interference in pure gravity orbit by utilizing spinning of outer spacecraft |
EA035609B1 (en) * | 2017-08-22 | 2020-07-15 | Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" (СПбГУ) | Device for stabilizing an electrodynamic rope system for space debris removal |
-
2006
- 2006-10-24 RU RU2006137979/11A patent/RU2332334C1/en not_active IP Right Cessation
Cited By (5)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
CN102582850A (en) * | 2012-03-16 | 2012-07-18 | 上海微小卫星工程中心 | Method for improving magnetic control precision of satellite |
CN102582850B (en) * | 2012-03-16 | 2014-06-18 | 上海微小卫星工程中心 | Method for improving magnetic control precision of satellite |
CN102785785A (en) * | 2012-09-10 | 2012-11-21 | 清华大学 | Method for suppressing gravitation interference in pure gravity orbit by utilizing spinning of outer spacecraft |
CN102785785B (en) * | 2012-09-10 | 2015-05-06 | 清华大学 | Method for suppressing gravitation interference in pure gravity orbit by utilizing spinning of outer spacecraft |
EA035609B1 (en) * | 2017-08-22 | 2020-07-15 | Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" (СПбГУ) | Device for stabilizing an electrodynamic rope system for space debris removal |
Also Published As
Publication number | Publication date |
---|---|
RU2006137979A (en) | 2008-04-27 |
Similar Documents
Publication | Publication Date | Title |
---|---|---|
Sawai et al. | Control of hovering spacecraft using altimetry | |
Baoyin et al. | Solar sail equilibria in the elliptical restricted three-body problem | |
Somov et al. | Ultra-precision attitude control of a large low-orbital space telescope | |
Ofodile et al. | Stabilised LQR control and optimised spin rate control for nanosatellites | |
Cortiella et al. | 3CAT-2: Attitude determination and control system for a GNSS-R earth observation 6U cubesat mission | |
RU2332334C1 (en) | Method of semi-passive three-axis stabilisation of dynamically symmetric artificial earth satellite | |
Cubas et al. | Magnetic control without attitude determination for spinning spacecraft | |
Tikhonov | A method of semipassive attitude stabilization of a spacecraft in the geomagnetic field | |
Antipov et al. | Parametric control in the problem of spacecraft stabilization in the geomagnetic field | |
Ovchinnikov et al. | Passive magnetic attitude control system for the Munin nanosatellite | |
Chujo et al. | Mechanism-free control method of solar/thermal radiation pressure for application to attitude control | |
Egorov et al. | Formation of Motion Modes and Development of Control Algorithms for Small Spacecraft with Geomagnetic System of Orientation and Stabilization | |
Rock et al. | Propulsion requirements for drag-free operation of spacecraft in Low Earth Orbit | |
Ismailova et al. | Passive magnetic stabilization of the rotational motion of the satellite in its inclined orbit | |
Page | Maximal acceleration is non-rotating | |
Aleksandrov et al. | Natural Magneto-velocity Coordinate System for Satellite Attitude Stabilization: Dynamics and Stability Analysis | |
RU2159201C2 (en) | Method of control of artificial satellite orientation | |
Nasirian et al. | Design of a satellite attitude control simulator | |
Kristiansen et al. | A comparative study of actuator configurations for satellite attitude control | |
Collange et al. | Spacecraft formation design near the sun-earth l2 point | |
Carabellese et al. | Magnetorquer-only nonlinear attitude control for cubesats | |
Aleksandrov et al. | On the Use of a PID–like Controller for Electrodynamic Stabilization of the Programmed Satellite Rotation | |
Jane | Magnetic Disturbance Rejection in Spacecraft using Electromagnetic Propulsion | |
Stray | Attitude control of a nano satellite | |
Bak et al. | Passive Aerodynamic Stabilisation of Low Earth Orbit Satellite |
Legal Events
Date | Code | Title | Description |
---|---|---|---|
MM4A | The patent is invalid due to non-payment of fees |
Effective date: 20091025 |