RU2174713C1

RU2174713C1 - Dynamic multiplication table using numerical indicators understandable by new-comers from other planets

Info

Publication number: RU2174713C1
Application number: RU2000110066A
Authority: RU
Inventors: В.Б. Творогов
Original assignee: Творогов Владимир Борисович
Priority date: 2000-04-24
Filing date: 2000-04-24
Publication date: 2001-10-10
Also published as: AU6963601A; WO2001097201A1

Abstract

FIELD: equipment facilitating in doing mental arithmetics. SUBSTANCE: dynamic multiplication table has movable figures corresponding to one direction of axes of symmetry of each square display board of 3x3 size. Figures making parts of telephone display board rigidly fix relative position of display board axes of symmetry and indicate angle α (A) for each number A. For odd numbers A=1,3,7,9 angle α (A) is calculated from direction indicating number 1, for even numbers 2,4,6,8 - from direction indicating number 6. Finite value of angle is not ascribed to numbers 5 and 0. Units of product of multiplied A x B are determined by value of angle α (A x B) equal to product of angles α (A) and α (B), α (A x B)=α (A)+ α (B). Figures for numbers may be equipped with at least two cells to which correspond different pairs of factors. Boundary lines between cells are adapted for dividing cells with different values of dozens. Boundary line between adjacent cells having values of product of multiplication A x B=10 x Do + Eo and A x (B+1)= 10 x D1 + E1, where D are dozens, E are units, exists where there is an inversion of order of units Eo>E1. Boundaries of dozens dividing cells corresponding to products of multiplication of A x 1, A x 2, ..., A x 9 with equal values of factor A are indicated by means of rectilinear parallel lengths, which are pivotally attached to parallelogram sides. The latter is attached with its one side to surface. Parallelogram sides may be turned through predetermined angles corresponding to factor A = 1,2,..., 9. Mentioned lengths in fixed positions indicate limits of dozens between cells. EFFECT: increased efficiency in teaching mental arithmetics. 3 cl, 17 dwg

Description

Изобретение относится к техническим средствам обучения устному счету в математике. Назначением таблицы умножения (ТУ) является получение результата умножения по двум сомножителям или результата целочисленного деления по делимому и делителю. The invention relates to technical means of teaching oral counting in mathematics. The purpose of the multiplication table (TU) is to obtain the result of multiplication by two factors or the result of integer division by dividend and divisor.

Наиболее близким аналогом изобретения является вращающаяся таблица умножения, содержащая поворотную и неподвижную плоскость с изображениями цифр от 1 до 9, расположенными в виде матрицы единиц в три ряда и три столбца, и с прорезями в неподвижной плоскости, через которые видны цифры на подвижной плоскости, показывающие результат действия, причем единицы результата умножения возникают, как повороты матрицы единиц, размещенной на подвижной плоскости (см. патент RU N 2139574, МПК 6 G 09 B 19/02, 1999). The closest analogue of the invention is a rotating multiplication table containing a rotary and fixed plane with images of numbers from 1 to 9, arranged in a matrix of units in three rows and three columns, and with slots in a fixed plane, through which numbers are visible on the moving plane, showing the result of the action, and the units of the multiplication result occur as the turns of the matrix of units placed on the moving plane (see patent RU N 2139574, IPC 6 G 09 B 19/02, 1999).

Недостаток известного устройства заключается в том, что для получения результата умножения двух чисел приходится использовать не только два заданных числа, но и всю поворотную матрицу из девяти результатов умножения. A disadvantage of the known device is that to obtain the result of the multiplication of two numbers, you have to use not only two given numbers, but also the entire rotary matrix of nine multiplication results.

Техническим результатом изобретения в динамической модели умножения является существенное уменьшение объема запоминаемой и обрабатываемой информации при устном счете, что увеличивает скорость вычислений в уме и сводит задачу определения единиц результата умножения к простому повороту геометрических фигур, соответствующих цифрам A и B. Устройство динамической ТУ с перемещаемыми фигурами цифр делает получение результатов умножения и деления более наглядным, простым в изучении и использовании. Результат достигается за счет использования специальных свойств чисел при умножении, которые выражают угловые меры цифр, записанных в матрице телефонного табло размера 3х3. Фигуры для цифр, выражающие угловые меры, могут использоваться в процессе коммуникации при визуальной передаче цифровой информации. The technical result of the invention in a dynamic model of multiplication is a significant reduction in the amount of information stored and processed during oral calculation, which increases the speed of calculations in the mind and reduces the task of determining the units of the result of multiplication to a simple rotation of the geometric figures corresponding to the numbers A and B. Dynamic TU device with moving figures numbers makes obtaining the results of multiplication and division more intuitive, easier to learn and use. The result is achieved through the use of special properties of numbers during multiplication, which express the angular measures of the numbers recorded in the matrix of a telephone scoreboard of size 3x3. Figures for figures expressing angular measures can be used in the communication process for the visual transmission of digital information.

Указанный технический результат достигается тем, что в известной динамической модели, предназначенной для получения результата умножения A•B однозначных чисел, содержащей перемещаемые и поворачиваемые фигуры, соответствующие цифрам квадратного телефонного табло размером 3х3, согласно изобретению фигуры представляют собой части телефонного табло, приписывающие каждой цифре одно из восьми направлений из центра табло, которые отсчитывают углы α (A) для каждой цифры A, при этом для нечетных цифр A = 1, 3, 7, 9 угол α (A) отсчитывается от направления, указывающего цифру 1, для четных цифр A = 2, 4, 6, 8 - от направления на цифру 6, цифрам 5 и 0 не приписывается конечного значения угла, причем единицы результата умножения A•B определяются величиной угла α (A•B), равной сумме углов α (A) и α (B), α (A•B) = α (A) + α (B). The specified technical result is achieved by the fact that in the known dynamic model, designed to obtain the result of multiplying A • B single-digit numbers, containing moveable and rotatable figures corresponding to the numbers of a square telephone display of size 3x3, according to the invention, the figures are parts of a telephone display panel attributing to each digit one from eight directions from the center of the scoreboard, which count the angles α (A) for each digit A, while for odd digits A = 1, 3, 7, 9, the angle α (A) is counted from the direction I, indicating the number 1, for even numbers A = 2, 4, 6, 8 - from the direction to the number 6, the final value of the angle is not assigned to the numbers 5 and 0, and the units of the result of multiplication A • B are determined by the value of the angle α (A • B ) equal to the sum of the angles α (A) and α (B), α (A • B) = α (A) + α (B).

В варианте модели, показывающей величину десятков D результатов умножения, на фигурах для цифр имеются по меньшей мере две ячейки, которым соответствуют различные пары сомножителей, между ячейками указаны линии границ, разделяющие ячейки с различными величинами десятков, при этом граница между соседними ячейками, содержащими значения результатов умножения A•B = 10•D₀ + E₀ и A•(B+1) = 10•D₁+E₁, где D - десятки, E - единицы, определяется в результате сравнения значений единиц E₀, E₁ и границы десятков возникают при инверсии порядка единиц E₀ > E₁.In the version of the model showing the magnitude of tens of D multiplication results, the figures for the figures have at least two cells that correspond to different pairs of factors, the border lines between the cells that separate cells with different tens values are indicated between the cells, while the border between adjacent cells containing values multiplication results A • B = 10 • D ₀ + E ₀ and A • (B + 1) = 10 • D ₁ + E ₁ , where D are tens, E are units, determined by comparing the values of units E ₀ , E ₁ and the boundaries of tens arise upon inversion of the order of units E ₀ > E ₁ .

Имеется вариант модели, в которой границы десятков, разделяющие ячейки, отвечающие результатам умножения A•1, A•2, ..., A•9 с одинаковыми значениями сомножителя A, указываются с помощью прямолинейных параллельных отрезков, которые шарнирами прикреплены к сторонам параллелограмма, при этом параллелограмм одним основанием закреплен на плоскости, а его стороны поворачиваются на фиксированные углы, соответствующие сомножителю A = 1, 2, ..., 9, причем в фиксированных положениях отрезки указывают границы десятков между ячейками. There is a variant of the model in which the boundaries of tens separating the cells corresponding to the results of multiplication A • 1, A • 2, ..., A • 9 with the same values of the factor A are indicated using rectilinear parallel segments that are hinged to the sides of the parallelogram, at the same time, the parallelogram is fixed on one plane with one base, and its sides rotate at fixed angles corresponding to the factor A = 1, 2, ..., 9, and in fixed positions, the segments indicate the boundaries of tens between cells.

Изобретение поясняется следующими фигурами. The invention is illustrated by the following figures.

На фиг. 1 показано расположение цифр в ячейках T-табло и выделенные направления, приписанные цифрам, а также косой нечетный крест ячеек и прямой четный крест ячеек на T-табло. In FIG. Figure 1 shows the location of the numbers in the cells of the T-scoreboard and the highlighted directions assigned to the numbers, as well as the oblique odd cross of cells and the straight even cross of cells on the T-scoreboard.

Фиг. 2 изображает фигуры, использующие для обозначения цифр указатели углов между вспомогательным направлением и выделенным направлением цифры. На примере показан способ определения единиц произведения 3х4 путем совмещения знаков 3 и 4. FIG. 2 depicts figures using angle indicators between the auxiliary direction and the highlighted direction of a number to indicate numbers. The example shows a method for determining units of a 3x4 product by combining characters 3 and 4.

Фиг. 3 предлагает способ соединения фигур, соответствующих цифрам, с помощью шипов, допускающий соединения чисел нечет-нечет, нечет (сверху) - чет (снизу), чет-чет и запрещающий наложение фигур для четных цифр на фигуры нечетных цифр. FIG. 3 provides a method for joining figures corresponding to numbers using spikes, allowing the connection of odd-odd numbers, odd (top) - even (bottom), odd-even and prohibiting overlapping figures for even numbers on figures of odd numbers.

Фиг. 4 показывает конструкции "вертушек умножения" для различных сочетаний четности сомножителей A и B. Указатель подвижной вертушки показывает сомножитель A на большой неподвижной вертушке. Сомножитель B расположен на подвижной вертушке, единицы E результата умножения A•B находятся на неподвижной вертушке напротив цифры B. FIG. 4 shows constructions of “multiplication turntables” for various parity combinations of factors A and B. A movable turntable pointer shows the factor A on a large fixed turntable. The factor B is located on a movable turntable, the units E of the multiplication result A • B are located on a stationary turntable opposite the digit B.

Фиг. 5 демонстрирует модель "часов умножения". Угол первого сомножителя показан на первом циферблате "часов". Угол второго сомножителя B отсчитывается от направления A. Единицы E результата умножения A•B читаются на втором циферблате "часов умножения". FIG. 5 shows a model of a “multiplication clock”. The angle of the first factor is shown on the first dial of "hours". The angle of the second factor B is counted from the direction A. The units E of the multiplication result A • B are read on the second dial of the “multiplication hours”.

Фиг. 6 показывает расположение корзин модели "баскетбол умножения". Корзины, имеющие направляющую канву, пронумерованы номером второго сомножителя B. FIG. 6 shows the basket layout of the basketball multiplication model. Baskets with a guide canvas are numbered by the number of the second factor B.

Фиг. 7 изображает конструкцию объемной фигуры модели "баскетбол умножения", соответствующей сомножителю A, позволяющей ей поворачиваться на заданный угол при опускании в корзину B. На чертеже угол α (A) зависит от цифры A. FIG. 7 depicts the construction of a three-dimensional figure of the “basketball multiplication” model corresponding to the factor A, allowing it to rotate by a predetermined angle when lowering into the basket B. In the drawing, the angle α (A) depends on the number A.

Фиг. 8 дает объемное изображение модели "биллиарда умножения" на двух горизонтальных плоскостях. Рядом с лузой B располагается шар, имеющий такой же номер B. Шар A выполняет удар по шару B в заданном направлении. Шар B перекатывается по направляющим дорожкам и попадает в лузу с номером E(A•B), равным единицам результата умножения A•B. FIG. 8 gives a three-dimensional image of the “billiard multiplication” model on two horizontal planes. Next to pocket B is a ball having the same number B. Ball A kicks ball B in a given direction. Ball B rolls along the guide tracks and enters the hole with the number E (A • B) equal to the units of the result of multiplication A • B.

Фиг. 9 для модели "биллиарда умножения" отмечает направления удара шаром с номером A, выстреливаемого разгонным устройством, по шару с номером B, для получения единиц E произведения A•B. FIG. 9 for the model of “multiplication billiards” marks the direction of impact with the ball with the number A, fired by the booster, over the ball with the number B, to get the units E of the product A • B.

На фиг. 10 показана модель "планетарного вращения единиц", соответствующая нечетному первому сомножителю A = 1, 3, 7, 9. Поворот штанги с T-табло вокруг неподвижного центра на угол α (A) приводит к одновременному вращению T-табло вокруг своего центра на угол -α (A), отсчитываемый в противоположном направлении. Показан пример 3•3 = 9. In FIG. 10 shows the model of “planetary rotation of units” corresponding to the odd first factor A = 1, 3, 7, 9. Turning the bar from the T-board around the fixed center by angle α (A) leads to the simultaneous rotation of the T-board around its center by the angle -α (A), counted in the opposite direction. Example 3 • 3 = 9 is shown.

На фиг. 11 приведен вариант модели "планетарного вращения единиц", соответствующей поворотам четной вертушки умножения для значения A = 2, 4, 6, 8. Поворот штанги с вертушкой вокруг неподвижного центра на угол α (A) приводит к одновременному вращению вертушки вокруг своего центра на угол -α (A), отсчитываемый в противоположном направлении. Демонстрируется пример геометрического умножения 2•2 = 4. In FIG. Figure 11 shows a variant of the “planetary rotation of units" model corresponding to rotations of an even multiplication spinner for the value A = 2, 4, 6, 8. Turning a rod with a spinner around a fixed center by an angle α (A) leads to a simultaneous rotation of the spinner around its center by an angle -α (A), counted in the opposite direction. An example of geometric multiplication 2 • 2 = 4 is demonstrated.

Фиг. 12 дает вариант модели "планетарного вращения внутри окружности". Показано вращение круга с T-табло по внутренней части неподвижной окружности двойного радиуса. Отсчет угла четного сомножителя B начинается от вспомогательного направления для четных цифр. FIG. 12 gives an embodiment of the “planetary rotation within a circle” model. The rotation of a circle with a T-scoreboard along the inside of a fixed circle of double radius is shown. The reference angle of the even factor B starts from the auxiliary direction for even digits.

Фиг. 13 показывает объемный вариант модели "бублик умножения". Вертушки умножения располагаются на поперечных срезах тора. Вертушки перемещаются по ободу тора, совершая винтовое вращение. Схема показывает вращение вертушки нечетного креста. FIG. 13 shows a volumetric version of the bagel multiplication model. Multiplication turntables are located on transverse sections of the torus. Turntables move along the rim of the torus, making a helical rotation. The diagram shows the rotation of the spinner of an odd cross.

На фиг. 14 изображен вариант модели "город, освещенный солнцем" для нечетного сомножителя A и на фиг. 15 - для четного числа A. Десятки возрастают там, где между последовательными результатами A•B и A•(B+1) имеется тень. In FIG. 14 shows a variant of the “city illuminated by the sun” model for the odd factor A, and in FIG. 15 - for an even number A. Dozens increase where there is a shadow between successive results A • B and A • (B + 1).

Фиг. 16 показывает модификацию предыдущего варианта "город под дождем" в положении, демонстрирующем границы десятков умножения на A = 3 в виде стенок, защищенных навесом от падающей сверху воды. FIG. 16 shows a modification of the previous version of the city in the rain in a position showing the boundaries of tens of times multiplied by A = 3 in the form of walls protected by a canopy from water falling from above.

Фиг. 17 объясняет конструкцию модели "параллелограмм границ" в случае умножения на A = 3. FIG. 17 explains the construction of the “parallelogram boundary” model in the case of multiplication by A = 3.

Для точного описания свойств чисел, используемых в изобретении, введем следующую терминологию. Назовем квадратную матрицу размера (3•3) с последовательно заполненными в ней цифрами от 1 до 9 матрицей T-табло (фиг. 1), она является основой цифрового телефонного табло. Выделим из матрицы T-табло четные ячейки 2, 4, 6, 8, которые образуют прямой четный крест H, и угловые нечетные ячейки 1, 3, 7, 9, образующие косой нечетный крест X. На T-табло каждой цифре A однозначно приписывается одно из восьми направлений из центра, расположенного в ячейке с номером 5. Цифре 1 соответствует вектор-направление налево вверх, цифре 2 - вектор-направление вверх и. т.д. (фиг. 1). Эти направления, указывающие цифры, совпадают с одним из направлений осей симметрии квадратной матрицы телефонного табло размера 3х3. To accurately describe the properties of numbers used in the invention, we introduce the following terminology. We will call a square matrix of size (3 • 3) with numbers from 1 to 9 sequentially filled in it with a T-score matrix (Fig. 1), it is the basis of a digital telephone display. Select from the matrix of the T-scoreboard the even cells 2, 4, 6, 8, which form a straight even cross H, and the corner odd cells 1, 3, 7, 9, which form the oblique odd cross X. On the T-board, each digit A is unambiguously assigned one of the eight directions from the center, located in cell number 5. The number 1 corresponds to the vector direction up to the left, the number 2 corresponds to the vector direction up and. etc. (Fig. 1). These directions, indicating numbers, coincide with one of the directions of the symmetry axes of the square matrix of a 3x3 telephone board.

Зададим для чисел A = 0, 1, 2, ..., 9 функцию угол числа A, обозначаемую α (A). Для нечетных цифр A = 1, 3, 7, 9 (фиг. 2) угол α (A) отсчитывается по часовой стрелке от направления, указывающего цифру 1, для четных цифр A = 2, 4, 6, 8 (фиг. 2) - от направления на цифру 6, цифрам 5 и 0 не приписывается конечного значения угла. Таким образом, угол числа для значений A = 1, 3, 7, 9 на косом кресте X равен
α(1)=0, α(3)=1, α(9)=2, α(7)=3.
Угол числа для значений A = 2, 4, 6, 8 на прямом кресте H равен
α(6)=0, α(8)=1, α(4)=2, α(2)=3.
Направление, приписанное самой цифре A, называется основным направлением для цифры A. Направление, от которого начинается отсчет угла для цифры A, называется вспомогательным.For the numbers A = 0, 1, 2, ..., 9, we define the function the angle of the number A, denoted by α (A). For odd digits A = 1, 3, 7, 9 (Fig. 2), the angle α (A) is counted clockwise from the direction indicating digit 1, for even digits A = 2, 4, 6, 8 (Fig. 2) - from the direction to the number 6, the numbers 5 and 0 do not assign the final value of the angle. Thus, the angle of the number for the values A = 1, 3, 7, 9 on the oblique cross X is
α (1) = 0, α (3) = 1, α (9) = 2, α (7) = 3.
The angle of the number for the values A = 2, 4, 6, 8 on the straight cross H is
α (6) = 0, α (8) = 1, α (4) = 2, α (2) = 3.
The direction attributed to the digit A itself is called the main direction for the digit A. The direction from which the angle begins for the digit A is called auxiliary.

Угол измеряется целым числом, кратным прямому углу 90^o, причем прямому углу приписывается угловая мера, равная 1. После полного оборота на 360^o отсчет угловой меры начинается опять с нуля, что записывается равенством для углов по модулю 4
4 = 0(mod 4).The angle is measured as an integer multiple of a right angle of 90 ^o , and an angular measure of 1 is assigned to the right angle. After a full rotation of 360 ^o, the angle measure starts again from zero, which is written by the equation for angles modulo 4
4 = 0 (mod 4).

Числам 5 и 0 не приписывается конечных значений угла α (5) и α (0) или условно приписывается бесконечное значение ∞. The numbers 5 and 0 are not assigned the final values of the angle α (5) and α (0) or the infinite value ∞ is arbitrarily assigned.

Отметим, что угловая мера чисел может быть получена из степеней числа 3 для цифр нечетного косого креста X
3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27 = 7(mod 10), 3⁴ = 81 = 1(mod 10),
и из степеней числа 8 для цифр прямого четного креста H
8¹ = 8, 8² = 64 = 4(mod 10), 8³ = 512 = 2(mod 10), 8⁴ = 4096 = 6(mod 10).Note that the angular measure of numbers can be obtained from the powers of 3 for the digits of the odd oblique cross X
3 ¹ = 3, 3 ² = 9, 3 ³ = 27 = 7 (mod 10), 3 ⁴ = 81 = 1 (mod 10),
and from the powers of 8 for the digits of the straight even cross H
8 ¹ = 8, 8 ² = 64 = 4 (mod 10), 8 ³ = 512 = 2 (mod 10), 8 ⁴ = 4096 = 6 (mod 10).

Единицы результата умножения A•B определяются по углу α (A•B), равному сумме углов α (A) и α (B),
α(A×B) = α(A) + α(B).
Это равенство называется формулой углов.The units of the multiplication result A • B are determined by the angle α (A • B), equal to the sum of the angles α (A) and α (B),
α (A × B) = α (A) + α (B).
This equality is called the angle formula.

Исключения в формуле углов для однозначных чисел имеются только в случае равенства одного из сомножителей A или B числам 5 или 0. Однако, если считать, что значения угла α для чисел 5 и 0 равны бесконечности
α(5)=∞, α(0)=∞,
и сложение конечного числа α (A) с бесконечностью равно бесконечности
α(A) + α(5) = α(A) + ∞ = ∞,
тогда линейная формула углов для произведения A•B верна во всех случаях.Exceptions to the formula of angles for single-valued numbers exist only if one of the factors A or B is equal to 5 or 0. However, if we assume that the values of the angle α for numbers 5 and 0 are infinity
α (5) = ∞, α (0) = ∞,
and adding a finite number α (A) with infinity equals infinity
α (A) + α (5) = α (A) + ∞ = ∞,
then the linear angular formula for the product A • B is true in all cases.

Единицы E результата умножения A•B однозначно определяются двумя правилами
(E1) формулой углов
α(A×B) = α(A) + α(B);
(E2) согласованием четностей, а именно единицы E произведения чисел A•B являются четным числом, тогда и только тогда, когда одно из чисел A или B четно.The units E of the multiplication result A • B are uniquely determined by two rules
(E1) the formula of angles
α (A × B) = α (A) + α (B);
(E2) by the parity agreement, namely, the units E of the product of the numbers A • B are an even number if and only if one of the numbers A or B is even.

В изобретении оба приведенных выше свойства (E1), (E2) реализованы в конструктивных особенностях фигур динамической модели ТУ. In the invention, both of the above properties (E1), (E2) are implemented in the design features of the figures of the dynamic model of the technical specifications.

Вариант 1 динамической модели ТУ использует перемещаемые и поворачиваемые фигуры с двумя планками, изображающие цифры A = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, представляющие собой жесткие соединения двух прямых планок, угол между которыми определяется угловой мерой α (A) (фиг. 2). Точка соединения планок называется центром фигуры, изображающей цифру. Поскольку угол имеет направление измерения, то планки должны различаться по виду для наглядного различия начального и конечного луча изображаемого угла. Предлагается в данном варианте модели ТУ укоротить планку, указывающую вспомогательное направление, по сравнению с планкой основного направления. Variant 1 of the TU dynamic model uses movable and rotatable figures with two bars, depicting the numbers A = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, which are rigid joints of two straight bars, the angle between which is determined by the angular measure α ( A) (Fig. 2). The junction point of the slats is called the center of the figure representing the number. Since the angle has a direction of measurement, the strips should be different in appearance to clearly distinguish between the initial and final beam of the displayed angle. It is proposed in this version of the TU model to shorten the bar indicating the auxiliary direction, compared with the bar of the main direction.

Для фигур, отвечающих цифрам 5 и 0, не выделяется направлений, они представлены фигурами вращения. Например, цифре 5 можно сопоставить закрашенный круг • , а цифра 0 остается окружностью ○ . For figures corresponding to the numbers 5 and 0, no directions are distinguished, they are represented by figures of rotation. For example, the number 5 you can match the filled circle •, and the number 0 remains a circle ○.

Фигуры, соответствующие цифрам, могут перемещаться и поворачиваться, при этом допускается совмещение короткой планки одной цифры с длинной планкой другой цифры. Фигуры представляют собой части плоского телефонного табло, жестко фиксируют относительное расположение осей симметрий квадратного табло и показывают углы α (A) для каждой цифры A,
Процедура определения единиц результата умножения A•B выглядит как простое прикладывание фигуры, соответствующей одной цифре A к фигуре другой цифры B с соблюдением двух условий:
(M1) центры совмещаемых фигур накладываются друг на друга, короткая планка цифры B совмещается с длинной планкой цифры A,
(M2) допускается наложение фигуры нечетной цифры на нечетную или на четную, но не допускается наложение фигуры четной цифры на нечетную цифру.Shapes corresponding to numbers can be moved and rotated, while it is possible to combine the short bar of one digit with the long bar of another figure. The figures are parts of a flat telephone display, rigidly fix the relative position of the axis of symmetry of the square display and show the angles α (A) for each digit A,
The procedure for determining the units of the result of multiplication A • B looks like a simple attachment of a figure corresponding to one digit A to the figure of another digit B under two conditions:
(M1) the centers of the aligned figures overlap each other, the short bar of the figure B is aligned with the long bar of the figure A,
(M2) it is allowed to superimpose the figure of an odd digit on an odd or even number, but not to superimpose the figure of an even digit on an odd digit.

Первое условие (M1) показывает, что углы, приписанные фигурам, складываются по формуле углов. Второе условие (M2) гарантирует, что произведение четных чисел будет указывать четную цифру единиц E результата A•B, если один из сомножителей является четным числом. The first condition (M1) shows that the angles assigned to the figures add up according to the angle formula. The second condition (M2) guarantees that the product of even numbers will indicate an even number of units E of the result A • B if one of the factors is an even number.

Ответ читается как указание длинной планкой фигуры B на направление, соответствующее единицам E произведения A•B. The answer is read as indicating the long bar of figure B in the direction corresponding to the units E of the product A • B.

При умножении 5 или 0 на число B направления планок в фигурах несущественны, можно считать, что, например, фигура цифры 5 при наложении ее на другую фигуру закрывает сверху все направления, то есть указывает на отсутствие выделенных направлений у результата A•B, что реализуется только для ответа E = 5 или E = 0. When multiplying 5 or 0 by the number B, the directions of the bars in the figures are not significant, we can assume that, for example, the figure of the figure 5, when superimposed on another figure, closes all directions from above, that is, indicates the absence of selected directions in the result A • B, which is realized only for the answer E = 5 or E = 0.

Конструктивно условие соединения фигур для нечетных чисел с любыми фигурами и запрещение накладывать фигуру четной цифры на фигуру для нечетной цифры предлагается реализовать как шип на короткой планке в виде конуса с тонкой стенкой. Если конус шипа для фигуры нечетной цифры имеет узкое основание, а шип для фигуры четной цифры имеет широкое основание, тогда допускаются соединения типа нечет-нечет, нечет (сверху) - чет (снизу), чет-чет, но нельзя плотно наложить фигуру для четной цифры с широким шипом на фигуру для нечетной цифры с узким отверстием ответной части шипа (фиг. 3). Тот же эффект достигается, если центр фигуры, соответствующей числу A, имеет отверстие, позволяющее надевать фигуры на центровочные штыри, причем центровочное отверстие для фигуры нечетной цифры - широкое, а для фигуры четной цифры - узкое. Тогда фигуру четной цифры с узким отверстием нельзя надеть сверху на широкий центровочный стержень нечетной цифры. Structurally, the condition for connecting figures for odd numbers with any figures and the prohibition of overlaying an even figure on an figure for an odd number is proposed to be implemented as a spike on a short bar in the form of a cone with a thin wall. If the cone of the spike for the figure of an odd figure has a narrow base, and the spike for the figure of an even figure has a wide base, then connections of the odd-odd type, odd (top) - even (bottom), even-even connections are allowed, but you cannot tightly lay the figure for even figures with a wide spike in the figure for an odd number with a narrow hole in the mate of the spike (Fig. 3). The same effect is achieved if the center of the figure corresponding to the number A has a hole that allows you to put the figures on the centering pins, and the center hole for the figure of the odd number is wide, and for the figure of the even number is narrow. Then the figure of an even figure with a narrow hole cannot be put on top of the wide centering rod of the odd figure.

Вариант 2 модель "вертушек умножения". В данном варианте динамическая модель ТУ состоит из поворачивающегося косого нечетного креста или прямого четного креста и неподвижной плоскости с цифрами в ячейках, которые находятся на параллельных близко расположенных плоскостях (фиг. 4). У косого креста отмечается выделенное направление на цифру 1, у прямого креста выделенный вектор-направление указывает на цифру 6. Указатели углов U₁ и U₂ для сомножителей A и B могут быть реализованы как дополнительные приспособления в виде стрелок, отсчитывающие угол от выделенного направления.Option 2 model of "multiplication turntables." In this embodiment, the dynamic model of TU consists of a rotating oblique cross of an odd cross or a straight even cross and a fixed plane with numbers in cells that are on parallel closely spaced planes (Fig. 4). At the oblique cross, the selected direction is marked by the number 1, at the straight cross, the selected direction vector indicates the number 6. The angle indicators U ₁ and U ₂ for the factors A and B can be implemented as additional devices in the form of arrows, counting the angle from the selected direction.

Для получения результата умножения нужно выбрать комбинацию вертушек той четности, которые совпадают с четностью сомножителей A и B: нечет-нечет, нечет-чет или чет-чет. Вектор-направление цифры A (стрелка U₁, отсчитывающая угол α (A)) на первой вертушке, должен совпадать с вспомогательным вектором сомножителя B второй вертушки, от которого стрелкой Uz отсчитывается угол α (B). Тогда единицы ответа A•B указываются вектором цифры B, читаемым на первой вертушке (фиг. 4). Условие (M2) согласования четности результатов умножения требует, чтобы в случае наличия четного сомножителя A или B, ответ читался бы на четной вертушке.To obtain the result of multiplication, you need to choose a combination of turntables of that parity that coincide with the parity of the factors A and B: odd-even, odd-even or even-even. The direction vector of the digit A (arrow U ₁ counting the angle α (A)) on the first turntable must coincide with the auxiliary vector of the factor B of the second turntable, from which the angle α (B) is counted by the arrow Uz. Then the response units A • B are indicated by the vector of the digit B read on the first turntable (Fig. 4). Condition (M2) for matching the parity of the multiplication results requires that if there is an even factor A or B, the answer would be read on an even turntable.

Вариант 3 "часы умножения". Эта конструкция динамической модели ТУ незначительно отличается от варианта 2 "вертушек умножения" видом плоскостей с цифрами (фиг. 5), напоминающим часы с двумя стрелками. Углы между малой и большой стрелками на циферблатах "часов" равны углам, приписанным сомножителям α (A) и α (B). Угол α (A) указывается на первом циферблате, а угол α (B) - на втором циферблате "часов". Сложение углов α(A) + α(B) дает возможность определить единицы произведения A•B по формуле углов. Например, единицы умножения A•B для A = 3 получаются простым правилом "плюс четверть часа к углу для числа B". Option 3 "hours of multiplication". This design of the dynamic model of TU is slightly different from option 2 "multiplication turntables" in the form of planes with numbers (Fig. 5), reminiscent of a clock with two hands. The angles between the small and large hands on the dials of the "clock" are equal to the angles assigned to the factors α (A) and α (B). The angle α (A) is indicated on the first dial, and the angle α (B) is indicated on the second dial of “hours”. The addition of the angles α (A) + α (B) makes it possible to determine the units of the product A • B by the formula of angles. For example, the multiplication units A • B for A = 3 are obtained by the simple rule "plus a quarter of an hour to the corner for the number B".

Вариант 4 "баскетбол умножения". В данном варианте модели ТУ проводится аналогия с игрой в баскетбол. Поле содержит девять корзин для мячей, пронумерованных вторым сомножителем B, расположенных в три ряда и три столбца в центрах ячеек T-табло (фиг. 6). Фигура, представляющая первый сомножитель A, выглядит как продолговатый цилиндр с двумя штырями (фиг. 7). Первый штырь является коротким и направлен перпендикулярно вертикальной оси фигуры. Второй штырь - длинный, он прикреплен к фигуре сверху и направлен перпендикулярно вертикальной оси фигуры. Угол между штырями в проекции сверху равен углу α (A), приписанному числу A. Option 4 is basketball multiplication. In this version of the TU model, an analogy is drawn with a game of basketball. The field contains nine baskets for balls, numbered by the second factor B, arranged in three rows and three columns in the centers of the cells of the T-scoreboard (Fig. 6). The figure representing the first factor A looks like an elongated cylinder with two pins (Fig. 7). The first pin is short and directed perpendicular to the vertical axis of the figure. The second pin is long, it is attached to the figure from above and is directed perpendicular to the vertical axis of the figure. The angle between the pins in the projection from above is equal to the angle α (A) attributed to the number A.

Конструкция корзины с номером B, в которую попадает фигура A, обеспечивает вертикальную ориентацию фигуры A и поворот ее короткого штыря в направлении основного вектора цифры B в интервал времени, пока фигура под действием силы тяжести проходит путь до низа корзины. Такой поворот вокруг вертикальной оси обеспечивается наклонной канвой на стенках корзины B, поворачивающей опускающуюся фигуру A за короткий стержень (фиг. 6). The design of the basket with the number B, into which the figure A falls, ensures the vertical orientation of the figure A and the rotation of its short pin in the direction of the main vector of the figure B in the time interval while the figure, under the action of gravity, travels to the bottom of the basket. This rotation around the vertical axis is provided by an inclined canvas on the walls of the basket B, which rotates the lowering figure A for a short rod (Fig. 6).

Процесс определения единиц E результата умножения A•B представляется как баскетбольное забрасывание фигуры для цифры A в корзину с номером B. Фигура, соответствующая цифре A, в процессе продвижения вниз по каналу корзины ориентируется так, что короткий штырь цифры A оказывается направленным по вектору-направлению цифры B. Результат E однозначно определяется как вектор-направление длинного штыря фигуры для цифры A (фиг. 7). The process of determining the units E of the result of the multiplication A • B is represented as a basketball throwing of the figure for the number A into the basket with the number B. The figure corresponding to the number A is oriented so that the short pin of the number A turns out to be directed in the direction vector digits B. Result E is uniquely defined as the direction vector of the long pin of the figure for digit A (Fig. 7).

Для того, чтобы соблюдать условие четности (M2), сформулированное выше, вводится ограничение, запрещающее бросать фигуру для четной цифры в корзину, имеющую нечетный номер. Технически этого можно достичь, уменьшая диаметр нечетных корзин и, соответственно, диаметр нечетных фигур, тогда более широкие фигуры для четных цифр не смогут провалиться в корзины с нечетными номерами. In order to comply with the parity condition (M2) formulated above, a restriction is introduced prohibiting throwing the figure for an even digit into a basket having an odd number. Technically, this can be achieved by reducing the diameter of the odd baskets and, accordingly, the diameter of the odd figures, then wider figures for even numbers cannot fall into baskets with odd numbers.

Вариант 5 "биллиард умножения". Этот вариант модели ТУ имеет аналогию с игрой в билллиард. Первый сомножитель A является шаром с нарисованной на его поверхности цифрой A, который бьет по второму шару с изображенной на нем цифрой B, причем направление удара отсчитывается от направления на центр всей конструкции и не зависит от номера шара B. Шар B под действием удара перекатывается по биллиардному полю и попадает в лузу, номер которой равен E, единицам произведения A•B. Option 5 "billiard multiplication." This version of the TU model has an analogy with the game of billiards. The first factor A is a ball with the number A drawn on its surface, which hits the second ball with the number B shown on it, and the direction of impact is counted from the direction to the center of the whole structure and does not depend on the number of ball B. Ball B rolls over billiard field and falls into a pocket whose number is equal to E, units of the product A • B.

Поскольку умножение четного числа A или B на любое другое число всегда даст в ответе четные единицы (см. условие (M2)), то "биллиард умножения" удобно реализовывать как конструкцию на двух ярусах. Верхняя плоскость содержит лузы, пронумерованные нечетными цифрами, нижняя плоскость имеет лузы, пронумерованные четными цифрами (фиг. 8). Since multiplying an even number A or B by any other number will always give even units in the answer (see condition (M2)), it is convenient to implement the “multiplication billiard” as a construction on two tiers. The upper plane contains pockets numbered with odd numbers, the lower plane has pockets numbered with even numbers (Fig. 8).

Система дорожек между лузами реализуется в виде двух квадратов, каждая сторона и диагональ которых позволяет шарам катиться вдоль них как по направляющим. Между верхним и нижним ярусами имеются переходные дорожки, которые позволяют шару перекатиться с верхнего яруса на нижний и попасть в нужную лузу. The system of paths between the pockets is realized in the form of two squares, each side and diagonal of which allows the balls to roll along them as along the guides. Between the upper and lower tiers there are transitional tracks that allow the ball to roll from the upper tier to the lower and get into the desired pocket.

В начальном положении шар B располагается возле лузы с номером B. Шар A помещается в разгонное устройство на позицию, соответствующую номеру A. In the initial position, ball B is located near the pocket with number B. Ball A is placed in the booster at the position corresponding to number A.

Разгонное устройство выстреливает шар A в заданном направлении, который ударяет по шару B и тот катится по направляющим дорожкам до лузы E, равной единицам произведения A•B. Разгонное устройство закрепляется на вертикальной поворотной оси, проходящей через центр всей конструкции. Разгонное устройство предлагается реализовать в виде полусферы с пронумерованными дорожками, которые ведут шар A по поверхности полусферы вниз и шар A приобретает скорость под действием силы тяжести. Разгонное устройство поворачивается так, чтобы шар A ударил по шару B в нужном направлении (фиг. 9). В предлагаемом варианте модели "биллиарда умножения" имеется два разгонных устройства для верхнего яруса с нечетными лузами B и нижнего яруса с четными лузами B. Их различие состоит в том, что разгонное устройство нижнего яруса для четных цифр можно реализовать с меньшим количеством выделенных направлений для выстреливания шара A. The accelerating device shoots ball A in a given direction, which strikes ball B and it rolls along the guide tracks to a pocket E equal to the units of the product A • B. The booster device is mounted on a vertical rotary axis passing through the center of the entire structure. The acceleration device is proposed to be implemented in the form of a hemisphere with numbered paths that lead ball A along the surface of the hemisphere down and ball A acquires speed under the action of gravity. The accelerating device is rotated so that ball A hits ball B in the desired direction (Fig. 9). In the proposed version of the “billiard multiplication” model, there are two booster devices for the upper tier with odd holes B and a lower tier with even holes B. Their difference is that the booster device for the lower tier for even numbers can be implemented with fewer designated directions for firing ball A.

Умножение на число 5 имеет особенность, заключающуюся в том, что шар A должен останавливаться в центре конструкции на верхнем ярусе для нечетного B, где находится луза с числом 5, или в центре нижнего яруса для четного B, там находится луза с числом "нуль". Остановку шара в центре можно реализовать с помощью выдвигаемой дополнительной ограничительной стенки (на схеме не показана). Multiplication by 5 has the peculiarity that the ball A should stop in the center of the structure on the upper tier for odd B, where there is a pocket with number 5, or in the center of the lower tier for even B, there is a pocket with number zero . The stop of the ball in the center can be realized with the help of a retractable additional restrictive wall (not shown in the diagram).

Вариант 6 "планетарное вращение единиц умножения". В данном варианте динамической модели умножения имеется подвижный круг радиуса R, неподвижный круг радиуса 2R и передаточная шестерня. На подвижном круге могут находиться матрицы T-табло (фиг. 10), которые удобны для получения ответа, если сомножитель A - нечетное число, или вертушки умножения (фиг. 11), здесь показан случай умножения четных чисел A•B. Круги с ячейками для цифр снабжены указателями углов, соответствующих углу первого сомножителя α (A) и углу второго сомножителя α (B). Углы отсчитываются для нечетных чисел от вектора-направления цифры 1, а для четных чисел - от вектора направления цифры 6. Option 6 "planetary rotation of multiplication units." In this version of the dynamic model of multiplication, there is a moving circle of radius R, a fixed circle of radius 2R and a gear gear. On a moving circle there may be T-score matrices (Fig. 10), which are convenient for obtaining an answer if the factor A is an odd number, or multiplication turntables (Fig. 11), here we show the case of multiplying even numbers A • B. The circles with cells for numbers are provided with angle indicators corresponding to the angle of the first factor α (A) and the angle of the second factor α (B). Angles are counted for odd numbers from the direction vector of the number 1, and for even numbers, from the direction vector of the number 6.

Эффект планетарного вращения единиц умножения заключается в том, что поворот штанги вокруг неподвижного центра O на угол α приводит к перемещению центра T-табло или вертушки, находящихся на конце штанги, и одновременно вызывает их вращение вокруг своего центра на угол -α, то есть на угол α, отсчитываемый в противоположном направлении. The effect of planetary rotation of multiplication units is that the rotation of the rod around the fixed center O by the angle α leads to the movement of the center of the T-board or turntable located at the end of the rod, and at the same time causes them to rotate around their center by the angle -α, i.e. angle α counted in the opposite direction.

Результат - единицы E произведения A•B получаются в модели "планетарного вращения единиц" в два действия. Из начального положения указатель угла для сомножителя A поворачивается на угол α (A). Затем указатель угла для числа B поворачивается на угол α (B), указывая единицы E произведения A•B. The result - the units E of the product A • B are obtained in the model of "planetary rotation of units" in two actions. From the initial position, the angle indicator for the factor A rotates through the angle α (A). Then the angle indicator for the number B is rotated by the angle α (B), indicating the units E of the product A • B.

Вариант 7 "планетарное вращение внутри окружности". Данный вариант отличается от предыдущего тем, что круг радиуса R, несущий T-табло катится по внутренней части неподвижной окружности радиуса 2R без промежуточной шестерни (фиг. 12). Option 7 "planetary rotation within a circle." This option differs from the previous one in that a circle of radius R carrying a T-board rolls along the inside of a fixed circle of radius 2R without an intermediate gear (Fig. 12).

Вариант 8 "бублик умножения". Этот вариант динамической модели умножения является модификацией варианта 2 конструкции, названной "вертушками умножения". Кресты с цифрами вертушек располагаются своими центрами на ободе тора, причем их плоскости являются поперечными срезами тора и центр тора находится в плоскости каждой вертушки. Вертушки могут перемещаться по ободу тора, совершая при поступательном движении винтовое вращение - один оборот вокруг своей оси за каждый оборот по ободу тора (фиг. 13). Определение результата происходит так же, как и в варианте 2. Option 8 "Bagel Multiplication". This version of the dynamic model of multiplication is a modification of version 2 of the construction, called "multiplication turntables." Crosses with numbers of turntables are located at their centers on the rim of the torus, with their planes being transverse slices of the torus and the center of the torus located in the plane of each turntable. Turntables can move around the rim of the torus, making a helical rotation during translational motion - one revolution around its axis for each revolution along the rim of the torus (Fig. 13). The determination of the result is the same as in option 2.

Вариант 9 динамической модели "город, освещенный солнцем", предназначен для явного задания границ десятков между ячейками с последовательными результатами A•B и A•(B+1). В этом варианте на фигурах для цифр имеются по меньшей мере две ячейки, которым соответствуют различные пары сомножителей, между ячейками указаны линии границ, разделяющие ячейки с различными величинами десятков, при этом граница между соседними ячейками, содержащими значения результатов умножения A•B = 10•D₀ + E₀ и A•(B+1) = 10•D₁ + E₁, где D - десятки, E - единицы, существует там, где имеется инверсия порядка единиц E₀ > E₁.Variant 9 of the dynamic model “a city illuminated by the sun” is intended for explicitly setting the boundaries of tens between cells with sequential results A • B and A • (B + 1). In this embodiment, the figures for the figures have at least two cells that correspond to different pairs of factors, the border lines between the cells that separate cells with different tens values are indicated between the cells, while the border between adjacent cells containing the values of the multiplication results A • B = 10 • D ₀ + E ₀ and A • (B + 1) = 10 • D ₁ + E ₁ , where D - tens, E - units, exists where there is an inversion of the order of units E ₀ > E ₁ .

Значения единиц E могут быть показаны, как число этажей многоэтажных "домов" из кубиков, надстроенных над ячейкой с результатом A•B = 10•D + E. The values of units E can be shown as the number of floors of multi-storey "houses" of cubes built on a cell with the result A • B = 10 • D + E.

Расположим в формате T-табло ячейки, пронумерованные индексом B. Над каждой ячейкой надстроим "дома", содержащие B этажей-кубиков (фиг. 14). Четыре поворота данной объемной модели на 90^o вокруг вертикальной оси можно рассматривать как единицы умножения A = 1, 3, 9, 7 на B (см., например, вариант 2).Let us place in the T-scoreboard format the cells numbered by index B. Above each cell we add “houses” containing B floors-cubes (Fig. 14). Four rotations of this volumetric model by 90 ^o around the vertical axis can be considered as units of multiplication A = 1, 3, 9, 7 by B (see, for example, option 2).

Сравнение значений E₀ и E₁ выполняется с помощью лучей лампочки освещения, расположенной за сторонами T-табло в направлении вектора, указанного цифрой A (фиг. 14) и создающей тени от более высоких объектов. При достаточно высоком расположении лампочки тени от более высоких столбцов-домов падают на крыши соседних столбцов-домов, именно в этих местах и находятся границы десятков между соседними результатами A•B и A•(B+1).Comparison of the values of E ₀ and E ₁ is carried out using the rays of a light bulb located behind the sides of the T-board in the direction of the vector indicated by the number A (Fig. 14) and creating shadows from higher objects. With a sufficiently high location of the light bulbs, shadows from higher columns-houses fall on the roofs of neighboring columns-houses, it is in these places that there are tens of borders between adjacent results A • B and A • (B + 1).

Для указания границ десятков в случае первого сомножителя A = 2, 4, 6, 8 берется за основу "город" из "домов", построенных на ячейках прямого четного креста (фиг. 15). To indicate the boundaries of tens in the case of the first factor, A = 2, 4, 6, 8 is taken as the basis of the "city" of the "houses" built on the cells of a straight even cross (Fig. 15).

Вариант 10 "город под дождем" динамической модели ТУ указывает десятки на объемных фигурах, названных в варианте 9 "городом", с той разницей, что для сравнения величин единиц используется не свет, а поток падающей вниз (или текущей по поверхности) воды. Модель города располагается под углом к вертикальному потоку воды. Если капли потока, падая вертикально, не затекают на навесные стены, что можно достичь с помощью карнизов, то стены более высоких нависающих "домов" останутся сухими, показывая наличие здесь границы десятков между ячейками (фиг. 16). Variant 10 “city in the rain” of the dynamic model of TU indicates dozens on volumetric figures called “city” in variant 9, with the difference that for comparison of unit values, it is not light that is used, but a stream of water falling downward (or flowing over the surface). The city model is located at an angle to the vertical flow of water. If droplets of flow, falling vertically, do not flow onto the curtain walls, which can be achieved with the help of cornices, then the walls of higher overhanging "houses" will remain dry, indicating the presence of tens of borders between cells here (Fig. 16).

Вариант 11 "параллелограмм границ" использует прямолинейные отрезки границ, разделяющих ячейки с результатами A•B, имеющими различное число десятков. Отрезки закреплены на сторонах параллелограмма, который одним основанием закреплен на плоскости, а боковые стороны параллелограмма поворачиваются на шарнирах на фиксированные углы, соответствующие сомножителю A = 1, 2,...,9, причем в фиксированных положениях отрезки указывают границы десятков между ячейками. На фиг. 17 показаны границы десятков при умножении на число A = 3. Option 11 of the “parallelogram of boundaries” uses straight-line segments of the boundaries separating cells with A • B results having a different number of tens. The segments are fixed on the sides of the parallelogram, which is fixed on a plane with one base, and the sides of the parallelogram are hinged at fixed angles corresponding to the factor A = 1, 2, ..., 9, and in fixed positions, the segments indicate the boundaries of tens between cells. In FIG. 17 shows the boundaries of tens when multiplied by the number A = 3.

Модель указывает десятки D результатов умножения A•B = 10•D + E для фиксированных значений A и девяти ячеек, пронумерованных индексом B, с помощью прямолинейных параллельных отрезков, закрепленных на параллелограмме, которые изображают линии границ десятков. The model indicates dozens D of multiplication results A • B = 10 • D + E for fixed values of A and nine cells, numbered by the index B, using rectilinear parallel segments fixed on a parallelogram that depict tens of boundary lines.

Приведенные выше варианты конструкции динамической модели умножения могут использоваться для демонстрации геометрических действий при получении ответа произведения сомножителей A•B с фигурами только для двух конкретных цифр A и B без использования знаков остальных цифр. The design options of the dynamic multiplication model given above can be used to demonstrate geometric actions when receiving the answer of the product of factors A • B with figures for only two specific digits A and B without using the signs of the remaining digits.

Основное назначение указателей цифр, выполненных в динамической модели ТУ в виде материальных фигур специальной формы, заключается в возможности обучения детей основам арифметики с помощью игровых методик. Повороты, перемещения или непосредственное прикладывание одного знака, соответствующего цифре A, к другому знаку для цифры B указывает правильные цифры единиц E произведения A•B. Принципиально важно, что результат умножения возникает здесь даже без произнесения аудио-моторных словесных формул типа "четырежды три равно двенадцать" только на основе зрительного восприятия сложенных вместе знаков двух сомножителей (например, фиг. 2), позволяя использовать исключительно зрительную память при устном счете, многократно ускоряя скорость устных вычислений. The main purpose of the indexes of numbers made in the dynamic model of the TU in the form of material figures of a special form is the ability to teach children the basics of arithmetic using game techniques. Turns, movements, or direct attachment of one character corresponding to the number A to another character for the number B indicates the correct digits of the units E of the product A • B. It is fundamentally important that the result of multiplication arises here even without pronouncing the audio-motor verbal formulas of the type “four times three equals twelve” only on the basis of the visual perception of the signs of two factors combined together (for example, Fig. 2), allowing you to use only visual memory for oral counting, Speeding up the speed of oral computing.

Соответствие универсальных фигур, состоящих из двух направлений, конкретным цифрам расшифровывается вполне определенно. Изображения цифр (фиг. 2) однозначно указывают, что они записаны в десятичной системе счисления. По угловым мерам, отраженным в фигурах для цифр, можно расшифровать и отождествить соответствие фигур знаков и цифр 1, 2, ..., 9. The correspondence of universal figures, consisting of two directions, to specific numbers is deciphered quite definitely. Images of numbers (Fig. 2) clearly indicate that they are recorded in decimal notation. According to the angular measures reflected in the figures for numbers, it is possible to decipher and identify the correspondence of the figures of signs and numbers 1, 2, ..., 9.

Выделение для обозначений цифр восьми фиксированных направлений на плоскости непосредственно следует из симметрий плоских фигур. Таким образом, фигуры для цифр в виде уголков (фиг. 2) создают знаковую цифровую систему, пригодную для визуальной коммуникации или для письменных сообщений. Высокоразвитое разумное существо, например инопланетянин, который знает о математических свойствах угловых мер чисел, может непосредственно понимать производимые человеком числовые действия, наблюдая манипуляции с универсальными указателями цифр. Именно в этом смысле указатели цифр, использующие угловые меры, основанные на универсальных симметриях плоскости, понятны инопланетянам, поскольку не требуют устной речи для их названий в процессе общения или в письменных сообщениях. The allocation of eight fixed directions on the plane for the designation of numbers directly follows from the symmetries of the plane figures. Thus, figures for numbers in the form of corners (Fig. 2) create an iconic digital system suitable for visual communication or for written messages. A highly developed rational creature, for example, an alien who knows about the mathematical properties of angular measures of numbers, can directly understand the numerical actions performed by a person, observing the manipulations with universal indexes of numbers. In this sense, indexes of numbers that use angular measures based on universal symmetries of a plane are understood by aliens, since they do not require spoken language for their names in the process of communication or in written messages.

Claims

1. A dynamic model designed to obtain the result of multiplying AхB single-digit numbers, containing movable and rotatable figures corresponding to the numbers of a square telephone display of size 3x3, characterized in that the figures are parts of the telephone display, attributing to each digit one of the eight directions from the center of the display, which count the angles α (A) for each digit A, while for odd digits A = 1,3,7,9 the angle α (A) is counted from the direction indicating digit 1, for even digits A = 2,4,6, 8 from direction to numbers 6, numerals 5 and 0 is attributed a finite angle values, wherein the result of the multiplication units AhB determined by the angle α (AhB) equal to the sum of angles α (A) and α (B),
α (A × B) = α (A) + α (B).
2. The model according to claim 1, characterized in that in the figures for the figures there are at least two cells that correspond to different pairs of factors, the border lines between the cells that separate cells with different tens values are indicated between the cells, while the border between adjacent cells containing the values of the multiplication results AхB = 10хD ₀ + E ₀ and Ах (B + 1) = 10хD ₁ + E ₁ , where D are tens, E are units, are determined by comparing the values of units E ₀ , E ₁ and the boundaries of tens arise when the order is inverted units E ₀ > E ₁ .

3. The model according to claim 1, characterized in that the boundaries of the tens separating the cells corresponding to the results of the multiplication of Ax1, Ax2, ..., Ax9 with the same values of the factor A are indicated using rectilinear parallel segments that are hinged to the sides of the parallelogram, at the same time, the parallelogram is fixed on one plane with one base, and its sides rotate at fixed angles corresponding to the factor A = 1,2, ... 9, and in fixed positions, the segments indicate the boundaries of tens between cells.