RU2012101254A - Криптография на упрощенной эллиптической кривой - Google Patents

Abstract

1. Способ выполнения криптографического преобразования в электронном компоненте, включающий в себя этап получения точки P(X, Y), исходя по меньшей мере из одного параметра t, на эллиптической кривой, удовлетворяющей выражению:Y=f(X); иисходя из многочленов X(t), X(t) и U(t), удовлетворяющих следующему равенству:-f(X(t))·f(X(t))=U(t)в конечном поле Fнезависимо от параметра t, при этом q удовлетворяет равенству q=3 mod 4;при этом выполняют следующие этапы:/1 / получают значение параметра t;/2/ определяют точку P путем выполнения следующих подэтапов:/i/ вычисляют (11) X=X(t), X=X(t) и U=U(t),/ii/ проверяют (12), является ли элемент f(X) квадратом в конечном поле F, и если является, вычисляют (13) квадратный корень из элемента f(X), абсциссой точки P является X, а квадратный корень из элемента f(X) является ординатой Yточки P;/iii/ если указанное условие не выполняется, вычисляют (14) квадратный корень из элемента f(X), абсциссой точки P является X, а квадратный корень из f(X) является ординатой точки P;/3/ используют упомянутую точку P в криптографических приложениях: при шифровании, или хешировании, или подписывании, или аутентификации, или идентификации.2. Способ выполнения криптографического преобразования по п.1, в котором на этапе /2/-/ii/ выполняют следующие этапы:- вычисляют (21) R, так что:,- если Rравен 1 (22), то- решают, что элемент f(X) является квадратом в поле F; и- вычисляют (24),- в ином случае вычисляют (23).3. Способ выполнения криптографического преобразования по п.1, в котором на этапе /2/-/ii/ осуществляют следующие этапы:- вычисляют (311), так что:,- вычисляют (312), так что:,- вычисляют (313), так что:причем, еслине равен 1, то на этапе /2/-/iii/ получают (316) квадратный корень из f(X) в соответствии со следующи

Claims (9)

1. Способ выполнения криптографического преобразования в электронном компоненте, включающий в себя этап получения точки P(X, Y), исходя по меньшей мере из одного параметра t, на эллиптической кривой, удовлетворяющей выражению:

Y²=f(X); и

исходя из многочленов X₁(t), X₂(t) и U(t), удовлетворяющих следующему равенству:

-f(X₁(t))·f(X₂(t))=U(t)²

в конечном поле F_q независимо от параметра t, при этом q удовлетворяет равенству q=3 mod 4;

при этом выполняют следующие этапы:

/1 / получают значение параметра t;

/2/ определяют точку P путем выполнения следующих подэтапов:

/i/ вычисляют (11) X₁=X₁(t), X₂=X₂(t) и U=U(t),

/ii/ проверяют (12), является ли элемент f(X₁) квадратом в конечном поле F_q, и если является, вычисляют (13) квадратный корень из элемента f(X₁), абсциссой точки P является X₁, а квадратный корень из элемента f(X₁) является ординатой Y₁ точки P;

/iii/ если указанное условие не выполняется, вычисляют (14) квадратный корень из элемента f(X₂), абсциссой точки P является X₂, а квадратный корень из f(X₂) является ординатой точки P;

/3/ используют упомянутую точку P в криптографических приложениях: при шифровании, или хешировании, или подписывании, или аутентификации, или идентификации.

2. Способ выполнения криптографического преобразования по п.1, в котором на этапе /2/-/ii/ выполняют следующие этапы:

- вычисляют (21) R₁, так что:

$$R_1=f{(X_1)}^{\frac{q-1}{2}}$$

,

- если R₁ равен 1 (22), то

- решают, что элемент f(X₁) является квадратом в поле F_q; и

- вычисляют (24) $$Y_1=f{(X_1)}^{\frac{q+1}{4}}$$

,

- в ином случае вычисляют (23) $$Y_2=f{(X_2)}^{\frac{q+1}{4}}$$

.

3. Способ выполнения криптографического преобразования по п.1, в котором на этапе /2/-/ii/ осуществляют следующие этапы:

- вычисляют (311) $$R_1^{\text{'}}$$

, так что:

$$R_1^{\text{'}}=f{(X_1)}^{q-1-\frac{q+1}{4}}$$

,

- вычисляют (312) $$R_2^{\text{'}}$$

, так что:

$$R_2^{\text{'}}=R_1^{\text{'}2}$$

,

- вычисляют (313) $$R_3^{\text{'}}$$

, так что:

$$R_3^{\text{'}}=R_2^{\text{'}}\cdot f(X_1),$$

причем, если $$R_3^{\text{'}}$$

не равен 1, то на этапе /2/-/iii/ получают (316) квадратный корень из f(X₂) в соответствии со следующим выражением:

$$\sqrt{f(X_2)}=R_0\cdot R_1^{\text{'}},$$

где R₀ удовлетворяет следующему выражению:

$$R_0=U(t)\cdot {(-1)}^{q-1-\frac{q+1}{4}}.$$

4. Способ выполнения криптографического преобразования по п.3, в котором, если $$R_3^{\text{'}}$$

равен 1, то на этапе /2/-/iii/ получают (315) квадратный корень из f(X₁) в соответствии со следующим выражением:

$$\sqrt{f(X_1)}=R_3^{\text{'}}\cdot f\left(X_1\right).$$

5. Способ выполнения криптографического преобразования по п.1, в котором многочлены выражают в координатах Якоби, при этом точку P(X, Y) записывают как P (X', Y', Z), причем

Х'=Х·Z²,

Y'=Y·Z³,

где функция f выражена как f_Z(X') и удовлетворяет следующему выражению:

f_Z(X')=X'³+a·X'·Z⁴+b·Z⁶,

а эллиптическая кривая удовлетворяет выражению:

Y'²=f_Z(X'),

в котором многочлены, выраженные в координатах Якоби, представляют собой $${\text{X}}_{\text{1}}^{\text{'}}\text{(t)}\text{,}$$

$${\text{X}}_{\text{2}}^{\text{'}}\text{(t)}\text{,}$$

Z(t) и U'(t) и удовлетворяют следующему равенству в координатах Якоби:

$$U\text{'}{(t)}^2=-f_{Z(t)}(X_1^{\text{'}}(t)).f_{Z(t)}(X_2^{\text{'}}(t)))$$

,

и где Z(t) определен таким образом, что операции обращения преобразуются в операции умножения.

6. Способ выполнения криптографического преобразования по любому из пп.1-5, в котором на этапе /1/ значение параметра t получают как функцию пароля или идентификатора.

7. Способ выполнения криптографического преобразования по любому из пп.1-5, в котором криптографическое приложение представляет собой аутентификацию или идентификацию путем проверки целостности, при этом

на этапе /1/ осуществляют следующие этапы:

/а/ генерируют случайное число;

/б/ получают зашифрованное число путем шифрования упомянутого случайного числа на основе функции шифрования с использованием ключа шифрования, определенного из пароля или идентификатора, соответствующего параметру; и

/в/ передают зашифрованное число для проверки целостности.

8. Способ выполнения криптографического преобразования по п.6, в котором криптографическое приложение представляет собой аутентификацию или идентификацию путем проверки целостности, при этом на этапе /1/ осуществляют следующие этапы:

/а/ генерируют случайное число;

/б/ получают зашифрованное число путем шифрования упомянутого случайного числа на основе функции шифрования с использованием ключа шифрования, определенного из пароля или идентификатора, соответствующего параметру; и

/в/ передают зашифрованное число для проверки целостности.

9. Электронное устройство, содержащее средство, выполненное с возможностью реализации способа выполнения криптографического преобразования по п.1.