PT103677A - Processo de cálculo automático do contorno convexo ou côncavo de um conjunto arbitrário de pontos - Google Patents

Abstract

O PRESENTE PROCESSO DE CÁLCULO AUTOMÁTICO DO CONTORNO É UM ALGORITMO QUE SE DESTINA A GERAR UM POLÍGONO QUE DESCREVE A ÁREA OCUPADA POR UM CONJUNTO DE PONTOS NUM ESPAÇO A DUAS DIMENSÕES (2D) . O CÁLCULO AUTOMÁTICO DO CONTORNO GERA SEMPRE UM POLÍGONO REGULAR, CONVEXO OU CÔNCAVO, PROCESSA CONJUNTOS ARBITRÁRIOS DE PONTOS, ADAPTA-SE A VARIAÇÕES NA DENSIDADE ESPACIAL DOS PONTOS, E NÃO DEPENDE DE UM CONHECIMENTO PRÉVIO DA DISTRIBUIÇÃO ESPACIAL DOS PONTOS. O CÁLCULO AUTOMÁTICO DO CONTORNO PODE SER INTEGRADO EM APLICAÇÕES DE SOFTWARE PARA PERMITIR A GERAÇÃO AUTOMÁTICA DE POLÍGONOS CONVEXOS OU CÔNCAVOS A PARTIR DE UMA LISTA DE PONTOS. O CÁLCULO AUTOMÁTICO DO CONTORNO PODE SER UTILIZADO EM TODAS AS APLICAÇÕES EM QUE SEJA NECESSÁRIO DETERMINAR A FRONTEIRA DE UMA REGIÃO CARACTERIZADA POR UM CONJUNTO DE PONTOS, TAIS COMO DETERMINAR AUTOMATICAMENTE A FRONTEIRA DE UMA REGIÃO OCUPADA POR UM CONJUNTO DE PONTOS DE INTERESSE GEO-REFERENCIADOS (POIS).

Description

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DESCRIÇÃO "PROCESSO DE CÁLCULO AUTOMÁTICO DO CONTORNO CONVEXO OU CÔNCAVO DE UM CONJUNTO ARBITRÁRIO DE PONTOS"

Campo da Invengão 0 cálculo automático do contorno enquadra-se na área da geometria computacional, e é uma extensão dos algoritmos que permitem calcular, de forma automática, o contorno de um conjunto de pontos, na medida em que acrescenta a estes últimos a capacidade de gerar polígonos não convexos (1).

Sumário da Invenção 0 processo de cálculo automático do contorno é um algoritmo que se destina a gerar um polígono que descreve a área ocupada por um conjunto de pontos num espaço a duas dimensões (2D), ver Figura 1. C cálculo automático do contorno gera sempre um polígono regular, convexo ou côncavo, processa conjuntos arbitrários de pontos, adapta-se a variações na densidade espacial dos pontos, e não depende de um conhecimento prévio da distribuição espacial dos pontos. 0 cálculo automático do contorno pode ser integrado em aplicações de software para permitir a geração automática de polígonos convexos ou côncavos a partir de uma lista de pontos. 0 cálculo automático do contorno pode ser utilizado em todas as aplicações em que seja necessário determinar a fronteira de uma região caracterizada por um conjunto de pontos, tais como determinar automaticamente a fronteira de uma região ocupada por um conjunto de pontos de interesse geo-referenciados (POIs). 2

Antecedentes da Invenção A análise de um conjunto de pontos numa imagem, ou a análise de um conjunto de pontos geo-referenciados no espaço, com o objectivo de identificar regiões com determinadas características, tem sido um tópico actual de investigação, iniciado há já vários anos. Apesar de tais esforços ao nivel da investigação, nomeadamente no domínio da geometria computacional, não existe ainda uma solução satisfatória para a identificação de regiões (aqui limitadas por polígonos) com determinadas formas, mais especificamente, formas não convexas. Sempre que a análise de um determinado conjunto de pontos conduzir à identificação de um polígono convexo, inúmeros são os algoritmos que já foram desenvolvidos e que resolvem satisfatoriamente este problema [1-4]. Os pedidos de patente JP2144678 e JP3006778 também apresentam métodos de geração de contornos de polígonos convexos a partir de um conjunto de pontos inicial. 0 princípio seguido por estes algoritmos é sempre o mesmo: identificar o polígono com menor área que inclui todos os pontos que caracterizam determinada região. A este polígono atribui-se, na comunidade científica, a designação de casca convexa ("Convex Hull"). No entanto, em determinadas situações, os polígonos convexos não descrevem apropriadamente a região caracterizada pelos pontos, ver Figura 2. Para estas regiões, de forma não convexa, polígonos não convexos permitem caracterizar melhor a área da região. Para o contorno destas regiões não convexas não existe uma única solução. 0 princípio da menor área, utilizado na casca convexa, não se aplica. Algumas soluções propostas no passado, e de alguma forma relacionadas com este problema, ou estão mais orientadas para a reconstrução de superfícies 3 [5-7], ou implicam que o utilizador tenha um conhecimento prévio da distribuição espacial dos pontos [8], ou não lidam com grandes variações na densidade espacial dos pontos [8] e 0 algoritmo descrito neste documento, e designado de cálculo automático do contorno convexo ou côncavo de um conjunto arbitrário de pontos, designado por algoritmo casca côncava, apresenta como principais funcionalidades diferenciadoras, em relação aos algoritmos congéneres existentes, o facto de permitir ao utilizador gerar polígonos convexos e não convexos a partir de conjuntos arbitrários de pontos e cuja distribuição espacial pode variar ao longo da região gue ocupam, sem que o utilizador necessite de ter um conhecimento prévio dessa distribuição. Permite ainda especificar as características do polígono côncavo que se pretende. Esta parametrização da solução pretendida faz com que o algoritmo de cálculo automático do contorno possa ser usado de uma forma abrangente.

Estas características do cálculo automático do contorno permitem a sua fácil integração em aplicações informáticas cuja função seja a identificação automática de regiões ocupadas por conjuntos de pontos. 0 tratamento automático de imagens de satélite, fotografias aéreas, informação geo-referenciada, entre outras aplicações, normalmente realizado com o auxílio de Sistemas de Informação Geográfica (SIG), requer a integração de algoritmos apropriados. No caso da identificação de polígonos côncavos, tais facilidades não se encontram disponíveis nestas ferramentas, no que diz respeito às características apresentadas pelo algoritmo casca côncava 4 descrito neste pedido. A integração do algoritmo casca côncava num SIG permite definir polígonos com o rigor requerido por cada domínio de aplicação, e com qualquer forma, quer seja convexa, quer seja côncava. A utilização do algoritmo casca côncava para a identificação do polígono que integra determinado conjunto de pontos apresenta como vantagens, quando comparado com outros algoritmos existentes: • A independência em relação ao conhecimento que o utilizador tem dos dados. Isto é, não exige qualquer conhecimento prévio dos dados. • A identificação de um polígono que satisfaz sempre os nove critérios [8] que foram definidos para a avaliação do resultado da aplicação deste tipo de algoritmos. • 0 facto do algoritmo casca côncava se adaptar automaticamente à densidade espacial dos pontos em análise, e que pode variar dentro de um mesmo conjunto de pontos, apresentando sempre uma solução considerada óptima, ainda que a parametrização do utilizador não tenha sido a mais apropriada. Isto quer dizer que o algoritmo se adapta aos dados de forma a identificar sempre um polígono que caracterize convenientemente os pontos. • 0 facto de ser parametrizável permitindo identificar diferentes soluções para o mesmo problema. Tal permite analisar as várias soluções e adoptar aquela que se considere mais apropriada para uma utilização específica.

Breve descrição das figuras 5 A Figura 1 representa um exemplo de um polígono não convexo identificado pelo processo de cálculo automático do contorno. A Figura 2 representa um exemplo em que um polígono convexo não descreve bem a região ocupada por um conjunto de pontos, já que uma grande parte da região definida por esse polígono não contém pontos. A Figura 3 representa um fluxograma que descreve, de forma sumária, o processo de cálculo automático do contorno convexo ou côncavo para gerar os polígonos. A Figura 4 ilustra o primeiro, segundo e terceiro passos do processo. A Figura 5 evidencia o quarto passo do processo. A Figura 6 evidencia o caso particular em que o ponto candidato a próximo vértice conduz a uma intersecção com uma das arestas já identificadas. A Figura 7 apresenta um exemplo em como o valor do parâmetro k pode ser usado para identificar polígonos mais ou menos suaves. A Figura 8 apresenta alguns resultados com índices de desempenho do processo quando executado de forma automática por uma aplicação informática, que evidenciam que o tempo de processamento é directamente proporcional ao número de pontos a analisar e tanto menor quanto maior for o valor do parâmetro k. 6

Descrição Detalhada da Invenção 0 cálculo automático do contorno, o algoritmo casca côncava, é um processo que permite gerar um polígono que descreve a região, convexa ou côncava, ocupada por um conjunto de pontos num espaço a duas dimensões (2D), com base na análise dos pontos mais próximos (vizinhos) de cada um dos vértices já encontrados do polígono. 0 primeiro vértice é um dos pontos extremos de entre todos os pontos a serem processados. O cálculo automático do contorno caracteriza-se por permitir gerar polígonos côncavos ou convexos, permitindo assim a criação de um polígono que descreve melhor a região ocupada por um conjunto de pontos, quando comparado com outros algoritmos que geram cascas convexas associadas aos pontos considerados. 0 algoritmo casca côncava caracteriza-se ainda por permitir processar conjuntos de pontos cuja densidade espacial pode variar ao longo da região que eles ocupam no espaço. O aspecto central no processo de geração dos polígonos utilizado pelo algoritmo casca côncava é a construção incremental do polígono à custa da análise espacial dos pontos vizinhos do último vértice que foi encontrado, partindo-se inicialmente de um ponto extremo como sendo o primeiro vértice, tal como descrito pelo fluxograma na Figura 3. O primeiro passo do algoritmo consiste em identificar o primeiro vértice, de entre o conjunto de pontos a serem tratados. Este ponto encontra-se localizado num dos 7 extremos da área em análise, quando vista sob uma perspectiva espacial. Verificando as coordenadas (x,y) dos diversos pontos, é escolhido para primeiro vértice o ponto localizado com maior ou menor valor em Y, ou o ponto com maior ou menor valor em X, tal como evidenciado na Figura 4 para o ponto com menor valor em Y (ponto A). 0 segundo passo do algoritmo consiste em identificar os k pontos vizinhos do primeiro ponto identificado, e que constitui o primeiro vértice do polígono. Estes pontos constituem os pontos candidatos a serem o próximo vértice do polígono. Seguindo o exemplo, estes pontos são os pontos B, C e D apresentados na Figura 4. 0 terceiro passo consiste em identificar o próximo vértice do polígono. Este vértice é escolhido de entre os k vizinhos mais próximos identificados no passo anterior, e será o ponto tal que o ângulo medido no sentido dos ponteiros do relógio entre o eixo perpendicular ao escolhido para encontrar o primeiro vértice e a linha que une o vértice anterior a esse ponto, é o maior ângulo de entre todos os ângulos definidos pelos k vizinhos mais próximos. Seguindo o exemplo apresentado na Figura 4, o ponto que conduz ao maior ângulo em relação ao ponto A, é o ponto C. Este ponto torna-se assim o próximo vértice do polígono. Nesta fase, os pontos A e C, e uma vez que já fazem parte do polígono, são removidos do conjunto de pontos em análise.

No quarto passo são identificados os k vizinhos mais próximos do vértice anteriormente identificado. Seguindo o exemplo que tem vindo a ser apresentado, os k vizinhos do ponto C (Figura 5), para um k=3, mais próximos de C são os 8 pontos D, B e E. Nesta fase, o próximo vértice do polígono é identificado como sendo o ponto que estabelece o maior ângulo, de entre os k vizinhos, em relação à última aresta identificada. Na Figura 5, o maior ângulo em relação à aresta é verificado pelo ponto E. Este ponto passa assim a ser o próximo vértice do polígono e como tal é removido do conjunto de pontos em análise. 0 quarto passo é iterativamente repetido até que o próximo vértice identificado coincida com o primeiro vértice do polígono, identificado no primeiro passo. Para que o primeiro e último vértice possam coincidir, de forma a fechar o polígono, o primeiro ponto é novamente inserido no conjunto de pontos em análise após a identificação dos quatro primeiros vértices do polígono (tal acontece para que seja evitada a criação de um triângulo).

Durante este passo pode verificar-se que o ponto candidato a próximo vértice conduz a uma aresta que intersecta alguma das arestas já identificadas (caso do ponto B na Figura 6). Nestes casos, e para evitar a intersecção, deverá ser considerado como candidato a próximo vértice o próximo ponto que apresenta o maior ângulo (ponto G na Figura 6) . Se todos os k vizinhos conduzirem a uma intersecção, então incrementa-se o valor de k de uma unidade, e recomeça-se o processo no primeiro passo, que permite a identificação do primeiro vértice.

Terminado o processo, o polígono é fechado, coincidindo o primeiro ponto com o último ponto.

Nesta fase verifica-se se todos os pontos que integram o conjunto em análise estão incluídos na área definida pelo 9 polígono. Caso estejam todos incluídos, o processo de identificação do polígono está concluído e retorna-se a lista de pontos (vértices) que define esse polígono. Caso não estejam todos os pontos incluídos, então incrementa-se o valor de k de uma unidade, e recomeça-se o processo no primeiro passo, que permite a identificação do primeiro vértice. 0 valor de k, que identifica o número de vizinhos que são analisados em cada passo, permite identificar um polígono mais ou menos suave. Quanto mais elevado for o valor de k, mais suave será o contorno do polígono. Isto porque ao considerar mais vizinhos, aumenta a distância entre os pontos considerados, e como tal as arestas unem vértices mais distantes. Na Figura 7 encontram-se retratados dois polígonos para o mesmo conjunto de pontos. A única diferença no processo de identificação dos polígonos é o valor de k. Para o primeiro polígono este valor é mais baixo, e como tal o polígono apresenta arestas que unem pontos que estão mais próximos.

Ainda no que diz respeito ao valor de k, e no decurso do processo de identificação de um polígono, sempre que o número de pontos que restam analisar no conjunto de dados for inferior ao valor de k que está a ser utilizado, o algoritmo automaticamente redefine o valor de k, de forma a este não ultrapassar o conjunto de pontos que ainda restam analisar. Desta forma garante-se que o processo de identificação do polígono não é interrompido, e que decorre com normalidade até que o primeiro e último ponto do polígono coincidam. 10 O processo de identificação de polígonos implementado através do algoritmo casca côncava pode ser automatizado através de uma aplicação informática. Nesse caso, os pontos a analisar podem ser introduzidos através de um qualquer ficheiro de dados em formato de texto ou binário, ou introduzidos através do teclado. O resultado final, que é uma lista ordenada de pontos com as respectivas coordenadas (x, y) que define o polígono identificado, pode ser devolvido ao utilizador através de um ficheiro de dados em formato de texto ou binário, na forma de um gráfico, ou directamente para o ecrã. A implementação da aplicação informática pode ser concretizada em qualquer linguagem de programação, uma vez que o processo descrito não está vinculado a qualquer paradigma de programação.

Pelas análises efectuadas ao processo de identificação dos polígonos, constata-se que o tempo de processamento é proporcional ao número de pontos em análise, ver Figura 8. A representação descrita do processo de cálculo automático do contorno convexo ou côncavo de um conjunto arbitrário de pontos é feita como um exemplo não limitativo que pode ser sujeito a modificações e variações levadas a cabo por uma pessoa perita na matéria, as quais, no entanto, estão abrangidas pelo âmbito da invenção, como definido pelas reivindicações que se seguem. 11

Referências : [1] Graham, R.L., 1972, An efficient algorithm for determining the convex hull of a planar set, Information Processing Letters 1, 132-133 [2] Jarvis, R.A., 1973, On the identífícation of the convex hull of a finite set of points in the plane. Information Processing Letters 2, 18-21 [3] Preparata, F.P., and Hong, S.J., 1977, Convex hulls of finite sets of points in two and three dimensions. Communications of the ACM, 20, 2 (Feb.), 87-93.

[4] Eddy, W.F., 1977, A new convex hull algorithm for planar sets. ACM Transactions on Mathematical Software, 3, 4 (Dec.), 398-403.

[5] Edelsbrunner, H., Kirkpatrick D.G, and Seidel R., 1983, On the Shape of a Set of Points in the Plane, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-29, No. 4, July [6] Edelsbrunner, H., and Mucke, E.P., 1992b, Three- dimensional Alpha Shapes, In Proceedings of the 1992 Workshop on Volume visualization, p.75-82, Boston, Massachusets, USA, October 19-20 [7] Amenta, N., Bern, M. , Kamvysselis, M., 1998, A New

Voronoi-Based Surface Reconstruction Algorithm,

Proceedings of the 25th annual conference on Computer graphics and Interactive techniques, p.415-421, July [8] Galton, A, and Duckham, M., 2006, What is the Region

Occupied by a Set of Points?, Proceedings of the Fourth International Conference on Geographic Information

Science - GIScience 2006, Munich, Germany, September 20-23

Lisboa, 8 de Março de 2007

Claims (7)

1 REIVINDICAÇÕES 1. Processo de cálculo automático do contorno convexo ou côncavo de um conjunto arbitrário de pontos, aplicado, por exemplo, ao tratamento automático de imagens de satélite, fotografias aéreas, informação geo-referenciada, entre outras aplicações, é caracterizado por compreender os seguintes passos: a) leitura dos pontos a analisar, através das suas coordenadas (x,y), realizada através de um ficheiro de dados em formato de texto ou binário, ou introduzidos através do teclado; b) identificar o primeiro vértice, de entre o conjunto de pontos a serem tratados, o qual se encontra localizado num dos extremos da área em análise, ou seja o ponto com maior ou menor valor em X ou em Y (A); c) identificar os k pontos vizinhos do primeiro ponto identificado (B, C e D) , sendo k um número inteiro positivo; d) identificar o próximo vértice do polígono, o qual é escolhido de entre os k vizinhos mais próximos identificados no passo anterior, o qual será o ponto tal que o ângulo medido no sentido dos ponteiros do relógio entre o eixo perpendicular ao escolhido para encontrar o primeiro vértice e a linha que une o vértice anterior a esse ponto (C) e que tem o maior ângulo de entre todos os ângulos definidos pelos k vizinhos mais próximos; e) remover os pontos já identificados, e que constituem vértices do polígono, do conjunto de pontos em análise; f) identificar os k vizinhos mais próximos do vértice anteriormente identificado, o qual será o ponto (E) que estabelece o maior ângulo medido no sentido dos 2 ponteiros do relógio, de entre os k vizinhos, em relação à última aresta identificada; g) repetir os dois passos anteriores, passos e) e f), de um modo iterativo até que o próximo vértice identificado coincida com o primeiro vértice do polígono, identificado no primeiro passo; h) durante o passo anterior inserir novamente o primeiro ponto no conjunto de pontos em análise após a identificação dos quatro primeiros vértices do polígono; i) durante o passo g) verificar se o ponto candidato a próximo vértice conduz a uma aresta que intersecta alguma das arestas já identificadas e nesse caso escolher o próximo ponto (G) que apresenta o maior ângulo; j) durante o passo anterior, se todos os k vizinhos conduzirem a uma intersecção, incrementar o valor de k de uma unidade, e recomeçar o processo no passo b); k) verificar se todos os pontos que integram o conjunto em análise estão incluídos na área definida pelo polígono, caso não estejam todos incluídos, incrementar o valor de k de uma unidade, e recomeçar o processo no primeiro passo; em que o resultado final é uma lista ordenada de pontos com as respectivas coordenadas (x, y) que define o polígono identificado, o qual é apresentado na forma um ficheiro de dados em formato de texto ou binário, ou na forma de um gráfico, ou ainda directamente para o ecrã.

2. Processo de acordo com a reivindicação 1, caracterizado por se poder ajustar a forma do polígono, em função do valor do parâmetro de entrada k. 3

3. Processo de acordo com a reivindicação 1, caracterizado por o polígono gerado ser um polígono regular.

4. Processo de acordo com a reivindicação 1, caracterizado por ser utilizado sem qualquer parâmetro de entrada k.

5. Processo de acordo com a reivindicação 1, caracterizado por ser utilizado com um parâmetro de entrada, um número inteiro positivo (k), de valor igual ou superior a 3.

6. Processo de acordo com a reivindicação 1, caracterizado por não exigir um conhecimento prévio da distribuição espacial dos pontos a analisar.

7. Processo de acordo com a reivindicação 1, caracterizado por se adaptar a quaisquer variações na densidade espacial dos pontos. Lisboa, 8 de Março de 2007