PL228152B1

PL228152B1 - Stirling heat engine

Info

Publication number: PL228152B1
Application number: PL410061A
Authority: PL
Inventors: Rafał Pietrak
Original assignee: Pietrak Rafał Zakład Techniki Komputerowej
Priority date: 2014-11-04
Filing date: 2014-11-04
Publication date: 2018-02-28
Also published as: PL410061A1

Description

Opis wynalazkuDescription of the invention

Tłokowe silniki cieplne zewnętrznego spalania, których czynnikiem roboczym jest gaz, są potocznie określane wspólnym mianem silników Stirlinga. Szerzej, mianem maszyny cieplnej Stirlinga określa się obecnie wszystkie gazowe maszyny cieplne - zarówno pompy ciepła, jak i silniki - których gaz roboczy jest przemieszczany pomiędzy źródłem ciepła a źródłem zimna przez element mechaniczny (pełniący w ten sposób funkcję tłoka) w zamkniętym/hermetycznym systemie komór, nawet kiedy geometria samej maszyny odbiega znacząco od geometrii opisanej w patencie Stirlinga z 1816 r., tj. dwóch cylindrycznych tłoków, wykonujących ruch posuwisto-zwrotny w tym samym cyklu, lecz przesunięty w fazie o 90° (maksymalnie do 120°). Przykładem takiej odmiennej geometrii jest geometria silnika Wankla. W silniku Wankla: tłok o przekroju wyoblonego trójkątna, porusza się rotacyjnie po obwodzie wpisanego w ten trójkąt stacjonarnego wytrybienia, a w tym czasie jego narożniki kreślą trochoidę, która wyznacza kształt przekroju poprzecznego jego cylindra. Taka konstrukcja jest przykładem silnika z tłokiem rotacyjnym. Rotacyjny tłok silnika jest korzystny między innymi dlatego, że energia nie jest w nim tracona na przyspieszanie i hamowanie masy tłoka w jego ruchu posuwistozwrotnym, jak to ma miejsce w tradycyjnych silnikach tłokowych. Znane są silniki z tłokami rotacyjnymi, których tłoki mają przekrój w kształcie wielokąta wyższego rzędu niż trójkąt silnika Wankla.External combustion reciprocating heat engines, the working medium of which is gas, are commonly referred to as Stirling engines. More broadly, the Stirling heat machine is currently used to describe all gas heat machines - both heat pumps and engines - whose working gas is moved between the heat source and the cold source through a mechanical element (thus acting as a piston) in a closed / hermetic chamber system. even when the geometry of the machine itself deviates significantly from that described in the 1816 Stirling patent, i.e. two cylindrical pistons reciprocating in the same cycle but out of phase by 90 ° (up to 120 ° maximum). An example of such a different geometry is the Wankel geometry. In a Wankel engine: a spherical triangular piston rotates around the circumference of a stationary eruption inscribed in this triangle, and at the same time its corners draw a trochoid that defines the cross-sectional shape of its cylinder. This design is an example of a rotary piston engine. A rotating engine piston is advantageous, inter alia, because energy is not lost therein to accelerate and brake the piston mass in its reciprocating motion as is the case in traditional reciprocating engines. Rotary piston engines are known, the pistons of which have a polygonal cross section of a higher order than the triangle of the Wankel engine.

Znane maszyny cieplne Stirlinga z tłokiem rotacyjnym, odwzorowują klasyczną konfigurację silnika Stirlinga, w której gaz roboczy jest przetaczany pomiędzy komorami dwóch cylindrów (patenty: PL.198217, US.3763649, US.6109040), których tłoki pracują ze standardowym przesunięciem fazy cyklu Stirlinga. W tych konstrukcjach, znaczący transport ciepła do/z gazu roboczego następuje bezpośrednio przed daną komorą, a nie w niej samej.Known Stirling heat machines with a rotary piston, reproduce the classic Stirling engine configuration, in which the working gas is transferred between the chambers of two cylinders (patents: PL.198217, US.3763649, US.6109040), the pistons of which operate with the standard phase shift of the Stirling cycle. In these designs, significant heat transport to / from the working gas occurs directly in front of the chamber, not within the chamber itself.

Ich gaz roboczy, opuszczając daną komorę ponownie podlega temu samemu transportowi ciepła (grzaniu lub chłodzeniu), któremu podlegał na wejściu do tej komory; co jest niekorzystne i m.in. dlatego, kolejnym elementem na drodze gazu do drugiej komory jest w tych silnikach regenerator tymczasowy bufor dla przekazywanego wtedy do/z gazu ciepła. Znane są również silniki cieplne, które jednokierunkowo przetaczają gaz pomiędzy obszarem grzania a obszarem chłodzenia i w ten sposób unikają konieczności stosowania regeneratora. Są to turbiny cieplne oraz konstrukcje zamknięte sterowane synchronicznie zestawem zaworów (zgłoszenie P.392581) lub pomp (zgłoszenie P.389988). Turbiny mają co prawda prostą konstrukcję, ale za to wyższe wymagania technologiczne względem materiałów i precyzji wykonania. Natomiast systemy zaworów w silnikach zaworowych znacząco komplikują ich konstrukcję.Their working gas, on leaving a given compartment, is again subject to the same heat transport (heating or cooling) to which it was subjected on entering this compartment; what is disadvantageous and i.a. therefore, the next element in the path of the gas to the second chamber in these engines is a regenerator, a temporary buffer for the heat then transferred to / from the gas. Heat engines are also known which transfer gas unidirectionally between the heating area and the cooling area and thus avoid the need for a regenerator. These are heat turbines and closed structures synchronously controlled by a set of valves (application P.392581) or pumps (application P.389988). Although the design of the turbines is simple, the technological requirements for materials and manufacturing precision are higher. In contrast, valve systems in valve engines significantly complicate their design.

Celem wynalazku jest uproszczenie konstrukcji maszyny cieplnej Stirlinga, do pracy jako silnik cieplny zewnętrznego spalania albo jako pompa ciepła.The object of the invention is to simplify the construction of a Stirling thermal machine for operation as an external combustion heat engine or as a heat pump.

Maszyna cieplna Stirlinga, z rotacyjnym tłokiem o przekroju zbliżonym do N-kąta i cylindrem o przekroju odpowiedniej trochoidy, ma zgodnie z wynalazkiem 2x(N-1) podłużnych obszarów transportu ciepła, biegnących po poszyciu jej cylindra równolegle do osi jej wału w ten sposób, że na trochoidalnym obwodzie tego cylindra stanowią one naprzemiennie rozłożone, rozłączne obszary: obszar grzania, obszar chłodzenia, ponownie obszar grzania, itd. Te liniowe obszary wymiany ciepła, o długości zbliżonej do wysokości cylindra maszyny zgodnej z wynalazkiem, będą poniżej określane mianem pręg wymiany ciepła, odpowiednio: (N-1) pręg grzewczych i (N-1) pręg chłodzenia. Pręgi wymiany ciepła mogą być zgodnie z wynalazkiem zbudowane zarówno jako pozostające w kontakcie cieplnym z gazem roboczym maszyny przewody/rury/kanały, dla transportujących energię cieplną czynników (tj. chłodzących czy grzejących, cieczy lub gazu), albo jako obszary liniowo skoncentrowanego promieniowania słonecznego, albo jako liniowe miejsca zamocowania sztywnych radiatorów do(od)prowadzających ciepło do/z zewnętrznych źródeł zimna/ciepła. Kiedy pręgę wymiany ciepła stanowi przewód/rura/tunel dla czynnika grzewczego lub chłodzącego, to ten przewód zgodnie z wynalazkiem może mieć zarówno kształt prostej rury, stykającej się ze ścianą cylindra maszyny na całej swojej długości, jak też może mieć kształt wężowy, spiralny lub dowolny inny, stykający się z poszyciem cylindra również bez zachowania ciągłości tego styku wzdłuż pręgi wymiany ciepła (np. stykających się tylko wielo-punktowo).A Stirling heat machine, with a rotating piston with a cross-section close to an N-angle and a cylinder with a suitable trochoid cross-section, according to the invention has 2x (N-1) longitudinal heat transport areas, running along its cylinder shell parallel to its shaft axis in this way, that, on the trochoidal circumference of this cylinder, they constitute alternately distributed, disjoint areas: heating area, cooling area, again heating area, etc. These linear heat exchange areas, with a length close to the height of the cylinder of the machine according to the invention, will hereinafter be referred to as heat exchange fringes , respectively: (N-1) heating bands and (N-1) cooling bands. The heat exchange bands may, according to the invention, be constructed either as conduits / pipes / conduits in thermal contact with the machine's working gas, for thermal energy transporting media (i.e. cooling or heating, liquid or gas), or as linearly concentrated solar radiation areas, or as linear mounting locations for rigid heat sinks to (from) carrying heat to / from external cold / heat sources. When the heat exchange bar is a conduit / pipe / tunnel for the heating or cooling medium, this conduit according to the invention can have the shape of a straight pipe that contacts the machine cylinder wall along its entire length, and can have a serpentine, spiral or any other shape. another, contacting the shell of the cylinder also without maintaining the continuity of this contact along the heat exchange band (e.g. only in contact with multiple points).

Zgodnie z wynalazkiem, korzystnie jest rozmieścić pręgi wymiany ciepła asymetrycznie na obwodzie cylindra w ten sposób, że każda pręga, znajdująca się pomiędzy sąsiadującymi z nią pręgami przeciwnego przeznaczenia (czyli np. pręga grzewcza pomiędzy pręgami chłodzenia), będzie względem osi wału maszyny oddalona kątowo od sąsiednich pręg w przybliżeniu w stosunku jak jeden do dwa - czyli np. w przypadku tłoka o przekroju trójkątnym (silnik Wankla) będą to odległości kątowe, odpoPL 228 152 B1 wiednio: 60° i 120°. Korzystnie jest, kiedy mniejsza z tych odległości kątowych wypada w tej części komory maszyny, w której gaz roboczy ma najmniejszą objętość (jak np. komora B na rysunku fig. 1).According to the invention, it is advantageous to arrange the heat exchange stripes asymmetrically on the circumference of the cylinder so that each strip between the neighboring stripes of the opposite purpose (i.e. e.g. a heating strip between the cooling stripes) will be angularly spaced from the axis of the machine shaft. the adjacent ridge approximately one to two - i.e. in the case of a triangular piston (Wankel engine), for example, these will be angular distances, respectively: 60 ° and 120 °. Preferably, the smaller of these angular distances falls in the part of the chamber of the machine in which the working gas has the smallest volume (e.g. chamber B in Figure 1).

Rozmieszczenie pręg wymiany ciepła zgodnie z wynalazkiem powoduje, że rotacyjny tłok maszyny cieplnej staj e się tłokiem dwustronnego działania, ponieważ w czasie pracy jednocześnie: działa na niego nadciśnienie gazu ogrzewanego, oraz wykonuje on pracę kompresji chłodzonego gazu w sąsiadującej komorze. Znane silniki cyklu Stirlinga z tłokami dwustronnego działania wykonują ruch posuwisto-zwrotny. W konsekwencji, faza cyklu takich maszyn dla gazu znajdującego się w komorze nad jej tłokiem jest przesunięta o 180° względem fazy cyklu w której znajduje się gaz po drugiej stronie tego tłoka. Rotacyjny tłok maszyny zgodnej z wynalazkiem, ma wokół siebie trzy (lub więcej) komory przesunięte w fazie o 120° (lub mniej), i fazy cyklu w których aktualnie znajduje się gaz w poszczególnych komorach są względem siebie przesunięte o ten właśnie kąt. To mieści się w granicach przesunięcia fazy, wymaganego dla realizacji cyklu Stirlinga. W konsekwencji, dzięki rozmieszczeniu obszarów wymiany ciepła zgodnie z wynalazkiem, możliwa jest budowa maszyny cieplnej Stirlinga w oparciu o jeden tylko wieloboczny rotacyjny tłok, poruszający się wewnątrz jednego hermetycznego cylindra o przekroju trochoidy.The arrangement of the heat exchange bands according to the invention makes the rotary piston of the heat machine a double-acting piston, because in operation it is simultaneously acted upon by an overpressure of the heated gas, and it performs the work of compressing the cooled gas in the adjacent chamber. Known Stirling cycle engines with double-acting pistons perform a reciprocating motion. Consequently, the cycle phase of such machines for the gas located in the chamber above its piston is shifted by 180 ° with respect to the cycle phase in which there is gas on the other side of the piston. The rotating piston of the machine according to the invention has around it three (or more) chambers shifted in phase by 120 ° (or less), and the phases of the cycle in which gas is currently present in the individual chambers are shifted relative to each other by this angle. This is within the phase shift required to implement the Stirling cycle. Consequently, thanks to the arrangement of the heat exchange regions according to the invention, it is possible to build a Stirling thermal machine based on only one polygonal rotary piston moving inside one hermetic cylinder with a trochoid cross-section.

Dodatkowo konstrukcję maszyny zgodnej z wynalazkiem upraszcza fakt, że przetacza ona swój gaz roboczy jednokierunkowo, więc nie wymaga regeneratora.In addition, the construction of the machine according to the invention is simplified by the fact that it circulates its working gas unidirectionally, so that it does not require a regenerator.

Kiedy źródło ciepła/zimna jest zbliżone do źródła idealnego (tzn.: pobór ciepła/zimna nie skutkuje znaczącą zmianą jego temperatury - czego przykładem może być zogniskowane promieniowanie słoneczne), korzystnie jest aby cylinder maszyny zgodnej z wynalazkiem miał wysokość względnie dużą w stosunku do cięciw swojego przekroju. Wraz ze wzrostem wysokości cylindra rośnie długość, na której pręgi wymiany ciepła stykają się z komorami maszyny, co zwiększa transport ciepła do/z tych komór i będzie nadążało za jednoczesnym wzrostem oporów ślizgu krawędzi wielokątnego tłoka po ścianie tego cylindra. Jednocześnie opory ślizgu dna tłoka o dno cylindra pozostaną niezmienione, i tym samym ich wpływ relatywnie zmaleje.When the heat / cold source is close to the ideal source (i.e. heat / cold consumption does not result in a significant change in its temperature - an example of which may be focused solar radiation), it is preferable that the cylinder of the machine according to the invention has a relatively large height in relation to the chords. its cross section. As the height of the cylinder increases, the length at which the heat exchange bands contact the machine chambers increases, which increases the heat transport to / from these chambers and will follow the simultaneous increase in the sliding resistance of the polygonal piston edge on the cylinder wall. At the same time, the sliding resistance of the piston bottom against the cylinder bottom will remain unchanged, and thus their impact will relatively decrease.

Kiedy źródło ciepła/zimna nie ma cech źródła idealnego (tzn.: pobór ciepła/zimna znacząco zmienia jego temperaturę - czego przykładem może być odbiór ciepła z gazów spalinowych), korzystnie jest aby cylinder maszyny zgodnej z wynalazkiem był relatywnie niski w stosunku do cięciw swojego przekroju. W takim przypadku korzystnie jest spiąć ze sobą osiowo wały wielu maszyn zgodnych z wynalazkiem. Pręgi transportu ciepła każdej z maszyn wchodzących w skład takiego stosu będą przechodziły w odpowiadające im pręgi kolejnej maszyny, czego skutkiem będzie stopniowa zmiana temperatury czynnika grzewczego/chłodzącego wzdłuż pręgi takiej złożonej maszyny.When the heat / cold source does not have the characteristics of an ideal source (i.e. heat / cold consumption significantly changes its temperature - an example of which may be the heat removal from exhaust gases), it is preferable that the cylinder of the machine according to the invention is relatively low in relation to its chords. cross section. In this case, it is advantageous to axially engage the shafts of a plurality of machines in accordance with the invention. The heat transport rails of each of the machines included in such a stack will pass into the corresponding ridge of the next machine, which will result in a gradual change in the temperature of the heating / cooling medium along the ridge of such a complex machine.

Rysunek fig. 1 przedstawia przekrój poprzeczny cylindra przykładowej realizacji maszyny cieplnej zgodnej z wynalazkiem, w wersji z tłokiem o przekroju wyoblonego trójkąta wzorowanym na silniku Wankla. Jest to maszyna przeznaczona do pracy jako pompa ciepła. Na tym rysunku dla uproszczenia pominięto nieistotne dla wynalazku szczegóły układu przeniesienia mocy z jej wielokątnego tłoka P, poprzez wewnętrzny mimośród, na wał S. Widoczne na tym przekroju obszary H1 i H2 to przekroje pręg grzewczych - tj.: pręg w którym maszyna podnosi temperaturę, umożliwiając w ten sposób odprowadzenie tamtędy ciepła do otoczenia. Analogicznie obszary C1 i C2, to przekroje pręg chłodzących - tj.: pręg, których temperatura będzie obniżana w wyniku pracy maszyny. Pręgi wymiany ciepła uzyskują powyższe role, kiedy wał S i w konsekwencji tłok P, są obracane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (obrót lewoskrętny). W takim przypadku, w przedstawionej na rysunku fig. 1 fazie ruchu, rozpoczyna się etap kompresji gazu roboczego w komorze A, co podnosi jego temperaturę i umożliwia transport ciepła z gazu w tej komorze do pręgi H1. Jednocześnie kończy się dekompresja gazu w komorze C, co obniżało jego temperaturę i umożliwiało odbiór ciepła z pręgi C2. W tym czasie objętość komory B nie podlega większym zmianom, ale gaz ma tam w tej fazie ruchu podwyższoną temperaturę, ponieważ chwilę wcześniej podlegał kompresji umożliwiając transport ciepła do pręgi H2. W przedstawionej na rysunku fig. 1 fazie ruchu, gaz w komorze B oddał już część ciepła do pręgi H2, ale jego podwyższona temperatura niekorzystnie ogrzewa pręgę chłodzenia C1. Do pewnego stopnia, to niekorzystne ogrzewanie pręgi C1 jest ograniczone dzięki istnieniu przewężenia D, które umożliwia chwilowe utrzymanie stanu nierównowagi termodynamicznej pomiędzy skrajnymi częściami komory B. Chwilę później, gaz w komorze B będzie już podlegał dekompresji, co obniży jego temperaturę i umożliwi odbiór ciepła z pręgi C1 .Figure 1 shows a cross-section of a cylinder of an exemplary embodiment of a thermal machine according to the invention in a version with a spherical triangle-shaped piston modeled on a Wankel engine. It is a machine designed to work as a heat pump. In this drawing, for the sake of simplicity, the details of the power transmission system from its polygonal piston P, through the internal eccentric, to the shaft S, visible in this cross-section are omitted, i.e. the ridge in which the machine raises the temperature, thus allowing the heat to dissipate from there to the environment. Similarly, the areas C1 and C2 are the cross-sections of the cooling stripes - i.e. the stripes, the temperature of which will be lowered as a result of the machine's operation. The heat exchange bands achieve the above roles when the shaft S, and consequently the piston P, are turned counterclockwise (counter-clockwise rotation). In such a case, in the phase of movement shown in Fig. 1, the step of compressing the working gas in chamber A begins, which raises its temperature and enables heat transport from the gas in this chamber to the strand H1. At the same time, the decompression of the gas in chamber C ends, which lowered its temperature and made it possible to receive heat from the C2 band. During this time, the volume of chamber B is not subject to major changes, but the gas has an increased temperature in this phase of its movement, because it was compressed a moment earlier, enabling heat transport to the H2 band. In the phase of movement shown in Fig. 1, the gas in the chamber B has already transferred some heat to the band H2, but its increased temperature adversely heats the cooling band C1. To some extent, this unfavorable heating of the C1 bar is limited due to the existence of a narrowing D, which allows for the temporary maintenance of a state of thermodynamic imbalance between the extreme parts of chamber B. A moment later, the gas in chamber B will be decompressed, which will lower its temperature and allow heat to be collected from stripes C1.

Pompa cieplna zobrazowana na rysunku fig. 1 zamienia role swoich pręg transportu ciepła, kiedy zmienia się kierunek obrotu jej wału. Pręgi grzewcze stają się wtedy pręgami chłodzenia i naThe heat pump illustrated in Fig. 1 changes the roles of its heat transport bands when its shaft rotates in a different direction. The heating bands then become cooling bands and on

PL 228 152 B1 odwrót. Jest to korzystne w urządzeniach klimatyzacyjnych, które mają zadanie chłodzić pomieszczenia latem a ogrzewać je zimą.The other way around. This is advantageous in air-conditioning devices that are designed to cool rooms in summer and heat them in winter.

Ze względu na termodynamikę cyklu Carnot’a, korzystnie jest aby maszyna cieplna Stirlinga, pracująca jako silnik, miała stopień kompresji nie większy niż 2. Przekrój przykładowej maszyny Stirlinga zgodnej z wynalazkiem, przeznaczonej do pracy jako silnik zewnętrznego spalania zobrazowano na rysunku fig. 2.In view of the thermodynamics of the Carnot cycle, it is preferable that a Stirling thermal machine operating as an engine has a compression ratio of no greater than 2. A cross-section of an exemplary Stirling machine in accordance with the invention designed to operate as an external combustion engine is illustrated in Figure 2.

Kiedy wskazane na rysunku fig. 2 obszary H1 i H2 oraz analogicznie obszary C1 i C2, pełnią odpowiednio role pręg grzewczych i pręg chłodzenia, wtedy tłok P i w konsekwencji wał S, będzie obracany przez ten silnik zgodnie z ruchem wskazówek zegara (obrót prawoskrętny). Przy takim użyciu tych pręg, w przedstawionej na rysunku fig. 2 fazie ruchu, kończy się etap grzania gazu w komorze A i jego prężność kończy wykonywać pracę na rzecz obrotu tłoka P (i tym samym obrotu wału S), oraz zaczyna wykonywać pracę na rzecz kompresji gazu w komorze C, który w tym czasie wchodzi w fazę chłodzenia. W komorze B zachodzi w tej fazie ruchu jednoczesne grzanie (pręga H2) i chłodzenie (pręga C1) gazu roboczego, co jest niekorzystne, ale trwa krótko. Chwilę później, gaz w komorze B będzie już jedynie grzany i jego prężność będzie wykonywać wtedy pracę na rzecz tłoka oraz dokończy fazę kompresji gazu, chłodzonego w tym czasie w komorze C.When the areas H1 and H2 indicated in Fig. 2 and the corresponding areas C1 and C2 play the roles of heating bands and cooling bands, respectively, then the piston P and, consequently, the shaft S, will be rotated by this motor clockwise (clockwise rotation). With such use of these stripes, in the phase of movement shown in Fig. 2, the stage of heating the gas in the chamber A is completed and its resilience completes its work for the rotation of the piston P (and thus for the rotation of the shaft S), and begins to perform work for the benefit of compressing the gas in chamber C, which at this time enters the cooling phase. In chamber B, in this phase of movement, simultaneous heating (H2 line) and cooling (C1 line) of the working gas takes place, which is unfavorable, but lasts a short time. A moment later, the gas in chamber B will only be heated and its resilience will then work for the piston and will complete the gas compression phase, cooled at that time in chamber C.

Maszyna zgodna z wynalazkiem może pracować zarówno w relatywnie niskich temperaturach ciepła odpadowego procesów technologicznych, kiedy czynnikiem grzewczym przetaczanym przez pręgę grzewczą jest np. gorący olej (temp: 100^oC-300^oC), jak i w zakresie temperatur gdzie czynnikiem grzewczym jest płynny sód (temp: 200°C-800°C). Kiedy maszyna zgodna z wynalazkiem pracuje jako silnik cieplny zewnętrznego spalania, jej pręga grzewcza może być grzana bezpośrednio skoncentrowanym promieniowaniem słonecznym; a pręga chłodząca może być chłodzona radiatorem powietrznym.The machine according to the invention can work both in relatively low temperatures of waste heat from technological processes, when the heating medium moved through the heating rod is e.g. hot oil (temperature: 100 ^o C-300 ^o C), and in the temperature range where the heating medium is liquid sodium (temp: 200 ° C-800 ° C). When the machine according to the invention is operated as an external combustion heat engine, its heating rod can be heated directly by concentrated solar radiation; and the chill bar may be air cooled.

Claims

1. A Stirling heat machine, with a rotating piston with a cross-section similar to a polygon with N edges and a cylinder with a cross-section corresponding to the trochoid polygon, characterized in that on its cylinder shell, parallel to its shaft axis (S), N-1 are alternately arranged longitudinal areas (bands) of heating (H1, H2) of the working gas enclosed in chambers (A, B, C) around its piston (P), and N-1 analogous longitudinal areas (bars) of cooling (C1, C2) of this gas, yes, that each heating streak is adjacent to the two cooling bars without touching them, however, and that each cooling streak is adjacent to the heating bars in the same way.

2. A Stirling heat machine according to claim 1. The method of claim 1, characterized in that the angular distances of any heat transport band (C1, C2, H1, H2) from the bars directly adjacent to it, measured with respect to its shaft axis, are in proportion to each other approximately as: 1 to 2.