NO334387B1

NO334387B1 - Multiskala, endelig volum-metode for bruk ved strømningssimulering under jordoverflaten

Info

Publication number: NO334387B1
Application number: NO20054586A
Authority: NO
Inventors: Patrick Jenny; Seong Lee; Hamdi A Tchelepi
Original assignee: Chevron Usa Inc; Logined Bv
Priority date: 2003-03-06
Filing date: 2005-10-05
Publication date: 2014-02-24
Also published as: NO20054586D0; EP1606760B1; EP1606760A1; US20050177354A1; CA2518240C; NO20054586L; US7546229B2; US6823297B2; US20040176937A1; WO2004081845A1; CA2518240A1; EP1606760A4; AU2004219229B2; AU2004219229A1

Abstract

Det er tilveiebrakt en flerskala, endeligvolum-metode (MSFV-metode) for å løse elliptiske problemer med et antall romlige skalaer som skriver seg fra enfase- eller flerfasestrømmer i porøse medier. To sett av lokalt beregnede basisfunksjoner benyttes. Et første sett av basisfunksjoner oppfanger småskala-heterogenitetene til det underliggende permeabilitetsfelt, og det beregnes for å konstruere de effektive grovskala-gjennomslippeligheter. Et andre sett av basisfunksjoner kreves for å konstruere et bevarende finskala-hastighetsfelt. Metoden oppfanger effektivt virkningene av små skalaer på et grovt gitter, den er bevarende og behandler tensorpermeabiliteter på riktig måte. Den underliggende idé er å konstruere gjennomslippeligheter som oppfanger de lokale egenskaper til en differensial-operator. Dette fører til et flerpunkts diskretiseringssystem for en endelig-volum-løsningsalgoritme. Gjennomslippeligheter for MSFV-metoden konstrueres fortrinnsvis bare én gang som et forbehandlingstrinn og kan beregnes lokalt. Dette trinn er derfor velegnet for omfattende parallell-beregnincer. Dessuten kan et bevarende finskala-hastighetsfelt konstrueres ut fra en grovskala-trykkløsning, som også tilfredsstiller den viktige massebalanse på finskalaen. Et transportproblem løses ideelt sett iterativt i to trinn. I det første trinn oppnås et finskala-hastighetsfelt ut fra løsning av en trykklikning. I det andre trinn løses transportproblemet på de fine celler ved benyttelse av finskala-hastighetsfeltet. En løsning kan beregnes på de grove celler ved et inkrementelt tidspunkt og egenskaper, så som en mobilitetskoeffisient, kan genereres for de fine celler ved det inkrementelle tidspunkt. Dersom en forutbestemt betingelse ikke er oppfylt for alle fine celler innenfor et dobbelt grovt kontrollvolum, rekonstrueres de doble basisfunksjoner og finskalabasisfunksjonene i dette doble grove kontrollvolum.

Description

Teknisk område

Oppfinnelsen angår generelt underjordiske reservoarsimulatorer, og mer spesielt slike simulatorer som benytter flerskala-fysikk for å simulere strømning i et underjordisk reservoar.

Bakgrunn for oppfinnelsen

Det detaljnivå som er tilgjengelig ved reservoarbeskrivelse, overskrider ofte den beregningsmessige kapasitet til eksisterende reservoarsimulatorer. Dette oppløsningsgap takles vanligvis ved å oppskalere finskalabeskrivelsen til størrelser som kan behandles av en simulator med alle trekk. Ved oppskalering forgroves den opprinnelige modell ved benyttelse av en beregningsmessig billig prosess. Ved strømningsbaserte metoder baseres prosessen på enfasestrømning. Et simuleringsstudium utføres deretter ved benyttelse av den forgrovede modell. Slike oppskaleringsmetoder som disse har vist seg å være meget vellykkede. Det er imidlertid ikke mulig å ha aprioriske estimater av de feil som er til stede når kompliserte strømningsprosesser undersøkes ved benyttelse av grove modeller som er konstruert via disse forenklede settinger/innstillinger.

Forskjellige prinsipielt forskjellige flerskala-metoder for strømning i porøse medier er blitt foreslått for å gi rom for finskalabeskrivelsen direkte. I motsetning til oppskalering sikter multiskalametoden på det fulle problem med den opprinnelige oppløsning. Oppskaleringsmetodikken baseres typisk på oppløsning av lengde- og tids-skalaene av interesse ved å maksimere lokale operasjoner. Arbogast m.fl. ( T. Arbogast, "Numerical subgrid upscaling of two phase flow in porous media", Technical report, Texas Institute for Computational and Applied Mathematics, The University of Texas, Austin, 1999 og T. Arbogast og S.L. Bryant, "Numerical subgrid upscaling for waterflood simulations", SPE 66375, 2001) presenterte en blandet endelig-element-metode hvor finskalavirkninger lokaliseres ved hjelp av en grensebetingelsesantakelse ved de grove elementsgrenser. Småskalapåvirkningen koples da med grovskalavirkningene ved hjelp av numeriske Greens-funksjoner. Hou og Wu (T. Hou og X.H. Wu, "A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous media", J. Comp. Phys., 134:169-189, 1997) benyttet en endelig-element-metode og konstruerte spesielle basisfunksjoner som fanger opp de små skalaer. Også her oppnås lokalisering ved hjelp av grensebetingelsesantakelser for de grove elementer. For å redusere virkningene av disse grensebetingelser, kan en oversamplingsteknikk benyttes. Chen og Hou (Z. Chen og T.Y. Hou, "A mixed finite element method for elliptic problems with rapidly oscillating coefficients", Math. Comput., juni 2002) benyttet disse ideer i kombinasjon med en blandet endelig-element-metode. En annen løsningsmåte/metode av Beckie m.fl. (R. Beckie, A.A. Aldama og E.F. Wood, "Modeling the large-scale dynamics of saturated groundwater flow using spatial filtering", Water Resources Research, 32:1269-1280, 1996) er basert på teknikker med stor virvel simulering (LES = Large Eddy Simulation) som er vanlig benyttet for turbulensmodellering.

Lee m.fl. (S.H. Lee, LJ. Durlofsky, M.F. Lough og W.H. Chen, "Finite difference simulation of geologically complex reservoirs with tensor permeabilities", SPERE&E, side 567-574, 1998) utviklet en fluks-kontinuerlig endelig-differanse-metode eller FCDF-metode (Flux-Continuous Finite-Difference) for 2D-modeller. Lee m.fl. utviklet videre en metode for å ta seg av 3D-modeller (S.H. Lee, H. Tschelepi, P. Jenny og L. Dechant, "Implementation of a flux continuous finite-difference method for statigraphic, hexahedron grids", SPE Journal, september, side 269-277, 2002) realiserte senere denne metode i en flerblokk-simulator.

På bakgrunn av ovennevnte modelleringsanstrengelser er det et behov for en simuleringsmetode som på mer effektiv måte oppfanger virkningene av små skalaer på et grovt gitter. Ideelt sett skal fremgangsmåten være bevarende eller konserverende, og også behandle tensor-permeabiliteter på riktig måte. Videre skal den rekonstruerte finskalaopp-Løsning fortrinnsvis tilfredsstille den riktige massebalanse på finskalaen. Den foreliggende oppfinnelse tilveiebringer en slik simuleringsmetode.

Nærmere bestemt fremlegger trekkene i selvstendig krav 1 av de vedføyde patentkrav trinnene i en slik fremgangsmåte mens de uselvstendige krav fremlegger fordelaktige utførelser av fremgangsmåten

Sammendrag av oppfinnelsen

Det gis anvisning på en multiskala, endelig-volum-metode eller MSFV-metode (Multi-scale finite-volume approach) for løsning av elliptiske eller parabolske problemer, så som de som finnes i de periodiske strømningssimulatorer. Fordeler med den foreliggende MSFV-metode er at den passer godt inn i et endelig-volum-rammeverk, den tillater beregning av effektive grovskala-gjennomslippeligheter, den behandler sensorper-meabiliteter på riktig måte, og den er konserverende på både de grove og fine skalaer. Den foreliggende metode er beregningsmessig effektiv i forhold til reservoarsimulering som nå er i bruk, og er velegnet for massiv parallellberegning. Oppfinnelsen kan anvendes på tredimensjonale, ustrukturerte gitre og også på flerfasestrømning. Videre tilfredsstiller den rekonstruerte flnskalaløsning den viktige massebalanse på finskalaen.

Det er beskrevet en flerskalatilnærming som resulterer i effektive gjennomslippeligheter for grovskalaproblemet. Så snart gjennomslippelighetene er konstruert, benytter MSFV-metoden et endelig-volum-system som anvender flerpunkt-stensiler for fluks-diskretisering. Løsningsmåten er bevarende og behandler tensorpermeabiliteter på riktig måte. Denne metode kan lett anvendes ved benyttelse av eksisterende endelig— volum-koder, og så snart gjennomslippelighetene er beregnet, er metoden beregnings messig meget effektiv. Ved beregning av de effektive gjennomslippeligheter benyttes lukkings-antakelser (closure assumptions).

En vesentlig egenskap ved den foreliggende flerskalametode er at to sett av basisfunksjoner benyttes. Et første sett av doble basisfunksjoner beregnes for å konstruere gjennomslippeligheter mellom grove celler. Et andre sett av lokalt beregnede finskala-basisfunksjoner benyttes for å rekonstruere et finskala-hastighetsfelt ut fra en grovskala-løsning. Dette andre sett av finskala-basisfunksjoner er utformet slik at den rekonstruerte finskala-hastighetsløsning er fullt ut forenlig med gjennomslippelighetene. Videre tilfredsstiller løsningen den riktige massebalanse på den små-skalaen.

MSFV-metoden kan benyttes ved modellering av et underjordisk reservoar. Det dannes først et fint gitter som definerer eller avgrenser et antall fine celler. Et permeabilitetsfelt og andre finskalaegenskaper knyttes til fincellene. Deretter dannes et grovt gitter som definerer et antall grove celler som har grenseflater mellom grovcellene. Grovcellene er ideelt sett aggregater eller samlinger av fincellene. Det konstrueres et dobbelt grovt gitter som definerer et antall doble grove kontrollvolumer. De doble grove kontrollvolumer er ideelt sett også aggregater av de fine celler. Grenser omgir de doble grove kontrollvolumer.

Deretter beregnes doble basisfunksjoner på de doble grove kontrollvolumer ved å løse lokale elliptiske eller parabolske problemer, fortrinnsvis ved å benytte grensebetingelser som oppnås ut fra løsning av reduserte problemer langs grenseflatene av grovcellene. Flukser, fortrinnsvis integralflukser, uttrekkes deretter over grenseflatene til grovcellene fra de doble basisfunksjoner. Disse flukser sammenstilles for å oppnå effektive gjennomslippeligheter mellom grove celler i det grove cellegitter. Gjennomslippelighetene kan benyttes for grovskala endelig-volum-beregninger.

Et finskala-hastighetsfelt kan etableres. En endelig-volum-metode benyttes for å beregne trykk i grovcellene ved utnyttelse av gjennomslippelighetene mellom celler. Finskala-basisfunksjoner beregnes ved å løse lokale elliptiske eller parabolske strøm-ningsproblemer på grovcellene og å utnytte flnskalaflukser over grenseflatene til grovcellene som uttrekkes fra de doble basisfunksjoner. Til slutt kombineres finskala-basisfunksj onene og de tilsvarende grovcelletrykk for å uttrekke småskala-hastighetsfeltet.

Et transportproblem kan løses på det fine gitter ved benyttelse av småskala-hastighetsfeltet. Ideelt sett løses transportproblemet iterativt i to trinn. I det første trinn oppnås et finskala-hastighetsfelt ved å løse en trykklikning. I de andre trinn løses transportproblemet på fincellene ved å benytte flnskala-hastighetsfeltet. En Schwartz-overlappingsteknikk kan anvendes for å løse transportproblemet lokalt på hver grovcelle med et implisitt oppvindsystem.

En løsning kan beregnes på de grove celler ved et inkrementalt tidspunkt, og egenskaper, så som en mobilitetskoeffisient, kan genereres for fincellene ved det inkre- mentale tidspunkt. Dersom en forutbestemt betingelse ikke er oppfylt for alle fine celler innenfor det doble grove kontrollvolum, rekonstrueres de doble basisfunksjoner og finskala-basisfunksjoner i dette doble grove kontrollvolum.

Kort beskrivelse av tegningene

Disse og andre formål, særtrekk og fordeler med oppfinnelsen vil bli bedre forstått med henvisning til den etterfølgende beskrivelse, de etterfølgende krav og de ledsagende tegninger, der

fig. 1 illustrerer et grovt 2D-gitter av grove celler med et overliggende dobbelt grovt gitter som omfatter et dobbelt grovt kontrollvolum og et underliggende fint gitter av fine celler,

fig. 2 illustrerer et grovt gitter omfattende ni tilstøtende grove celler (fete heltrukne linjer) med et tilsvarende overliggende dobbelt grovt gitter (fete strektegnede linjer) omfattende doble grove kontrollvolumer og et underliggende fint gitter (tynne prikkede linjer) av fine celler,

fig. 3 viser fluksbidrag og på grunn av trykket i en spesiell grov celle 2,

fig. 4 er et flytskjema som beskriver de samlede trinn som benyttes i en foretrukket utførelse av en reservoarsimulering som anvender en flerskala, endelig-volum-metode (MSFV-metode) som utføres i overensstemmelse med oppfinnelsen,

flg. 5 er et flytskjema som ytterligere beskriver trinn som benyttes for å bestemme gjennomslippeligheter T mellom grove celler,

fig. 6 er et flytskjema som ytterligere beskriver trinn som benyttes for å konstruere et sett av finskala-basisfunksjoner og for å uttrekke et småskala-hastighetsfelt,

flg. 7 er et flytskjema som viser kopling mellom trykk- og metningslikninger som utnytter et implisitt løsningssystem og hvor II og £ er operatorer som benyttes til å oppdatere henholdsvis total hastighet og metning under et eneste tidstrinn,

flg. 8 viser en illustrasjon av benyttelsen av et adaptivt system for selektivt å oppdatere basisfunksjoner,

flg. 9 viser en illustrasjon av et permeabilitetsfelt som er knyttet til et SPE 10-problem,

fig. 10A-B viser illustrasjoner av permeabilitetsfelter av et toppsjikt og et bunnsjikt av celler fra SPE 10-problemet,

fig. 11 A-B viser illustrasjoner av metningsfelter av toppsjikt av celler som er dannet ved benyttelse av MSFV-metoden, og fig. 10C viser en illustrasjon av et metningsfelt som er beregnet av en konvensjonell finskala-reservoarsimulator,

fig. 12A-B viser illustrasjoner av metningsfelter av bunnsjikt av celler som er dannet ved benyttelse av MSFV-metoden, og fig. 12C viser en illustrasjon av et metningsfelt som er beregnet av en konvensjonell finskala-reservoardatamaskin,

fig. 13A-B viser diagrammer av oljekutt og oljeutvinning,

fig. 14 viser en illustrasjon av et 3D-testtilfelle med et gitter på 10 x 22 x 17 gitterceller og omfattende injeksjons- og produksjonsbrønner, og

fig. 15 viser et diagram av oljekutt og oljeutvinning.

BESTE MÅTER FOR UTFØRELSE AV OPPFINNELSEN

I. STRØMNINGSPROBLEM

A. Enfasestrømning

Fluidstrømning i et porøst medium kan beskrives ved hjelp av det elliptiske problem:

hvor p er trykket, k er mobilitetskoeffisienten (permeabilitet, K, dividert med fluidviskositet, u.) og Q er et volum eller område av en undergrunn som skal simuleres. Et kildeledd f representerer brønner, og i det kompressible tilfelle tidsderiverte. Permeabilitets-heterogenitet er en dominerende faktor ved diktering av strømnings-oppførselen i naturlige porøse formasjoner. Heterogeniteten av permeabilitet K er vanligvis representert som en kompleks flerskala-romfunksjon. Dessuten har permeabilitet K en tendens til å være en meget diskontinuerlig, full tensor. Løsning av de romlige korrelasj omstrukturer og oppfangning av variabiliteten av permeabilitet krever en meget detaljert reservoarbeskrivelse.

Hastigheten u av fluidstrømning er relatert til trykkfeltet ved Darcy's lov:

På grensen til et volum, 5Q, er fluksen q = u ■ v spesifisert, hvor v er grensens enhetsnormalvektor som peker utover. Likningene (1) og (2) beskriver inkompressibel strømning i et porøst medium. Disse likninger gjelder for både enfase- og flerfasestrømmer når passende tolkninger av mobilitetskoeffisienten k og hastigheten u foretas. Dette elliptiske problem er en enkel, men likevel representativ beskrivelse av den type av systemer som skal behandles effektivt av en simulator for underjordisk strømning. Evnen til å behandle dette begrensende tilfelle med inkompressibel strømning sikrer dessuten at kompressible systemer kan behandles som en delmenge.

B. Tofasestrømning

Strømningen av to imkompressible faser i et heterogent domene kan beskrives matematisk ved hjelp av følgende:

på et volum Q, hvor p er trykket, Sower metningene (indeksene o og w står for henholdsvis olje og vann) med 0<<>S0)W^ 1 og S0 + Sw= 1, k er den heterogene permeabilitet, kr^ er de relative permeabiliteter (som er funksjoner av S0)W), u0,wer viskositetene og qower kildeledd som representerer brønnene. Systemet antar at kapillartrykk og tyngdekraft er neglisjerbare. På tilsvarende måte kan systemet (3) skrives som: på Q med og den totale mobilitet

Likning (4) er kjent som "trykklikningen" og likning (5) som den "hyperbolske transportlikning". Likningene (4) og (5) er igjen en representativ beskrivelse av den type av systemer som skal behandles effektivt av en simulator for underjordisk strømning. Slike strømningssimulatorer, og teknikker som anvendes for å simulere strømning, er velkjente for fagfolk på området og er beskrevet i publikasjoner, så som Petroleum Reservoir Simulation, K.Aziz og A. Settari, Stanford Bookstore Custom Publishing, 1999.

II. FLERSKALA, ENDELIG-VOLUM(MSFV)-METODE

A. MSFV-metode for enfasestrømning

1. Endelig-volum-metode

En cellesentrert endelig-volum-metode skal nå kort beskrives. For å løse problemet ifølge likning (1), oppdeles det samlede domene eller volum Q i mindre volumer {q,. }. En endelig-volum-løsning tilfredsstiller da

for hvert kontrollvolum Q,, hvor v er enhetsnormal vektoren til volumgrensen dQ, som peker utover. Utfordringen er å finne en god tilnærmelse for u v ved 8Q,. Fluksen uttrykkes vanligvis som:

Likning (9) er en lineær kombinasjon av trykkverdiene, p, i volumene {q, } av domenet/området Q. Det totale antall volumer er n og Tk betegner gjennomslippelighet mellom volumer {q, }. Pr. definisjon er fluksene ifølge likning (9) kontinuerlige over grensene til volumene {q, }, og som et resultat er endelig-volum-metoden konserverende eller bevarende.

2. Konstruksjon av de effektive gjennomslippeligheter

MSFV-metoden resulterer i flerpunkts stensiler/sjabloner for grovskalaflukser. For den etterfølgende beskrivelse benyttes et ortogonalt 2D-gitter 20 av gitterceller 22, som vist på fig. 1. Et underliggende fint gitter 24 av fine gitterceller 26 inneholder informasjon om finskala-permeabiliteten K. For å beregne gjennomslippelighetene T mellom grove gitterceller 22, benyttes et dobbelt grovt gitter 30 av doble grove kontrollvolumer 32. Et kontrollvolum 32 av dobbeltgitteret 30, Q, konstrueres ved å forbinde midtpunktene av fire tilstøtende grove gitterceller 22. For å relatere fluksene tvers over de grove gittercellegrenseflater 34 som ligger innenfor et spesielt kontrollvolum 32, eller Q, til endelig-volum-trykkene p\ k = 1,4) i de fire tilstøtende grove gitterceller 22, defineres et lokalt elliptisk problem i den foretrukne utførelse som

For en fagmann på området kan metoden lettvint tilpasses til å benytte et lokalt parabolsk problem.

For et elliptisk problem må Dirichlet- eller Neumann-grensebetingelser spesifiseres på grensen 5Q. Ideelt sett skal de pålagte grensebetingelser approksimere de virkelige strømningsbetingelser som oppleves av underdomenet i det fullstendige system. Disse grensebetingelser kan være tids- og strømningsavhengige. Da underdomenet er innebygget i hele systemet, fant Wallstrom m.fl. (T.C. Wallstrom, T.Y. Hou, M.A. Christie, L.J. Durlofsky og D.H. Sharp, "Application of a new two-phase upscaling technique to realistic reservoir cross sections", SPE 51939, presentert på SPE Symposium on Reservoir Simulation, Houston, 1999) at en konstant trykkbetingelse ved under-domenegrensen har en tendens til å overvurdere strømningsbidrag fra områder med høy permeabilitet. Dersom korrelasjonslengden for permeabilitet ikke er mye større enn gitterstørrelsen, er strømningsbidraget fra områder med høy permeabilitet ikke proporsjonalt med det nominelle permeabilitetsforhold. Gjennomslippeligheten mellom to celler er en harmonisk middelverdi som ligger nærmere den laveste permeabilitet. Som et resultat gir ensartede fluksbetingelser langs grensen ofte mye bedre numeriske resultater for et underdomeneproblem enn lineære eller konstante trykkbetingelser.

Hou og Wu (T. Hou og W.H. Wu, "A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous media", J. Comp. Phys, 134:169-189, 1997) foreslo også å løse et redusert problem

for å spesifisere grensebetingelsene for det lokale problem. Indeksen t betegner kompo-nenten parallelt med grensen for det doble grove kontrollvolum 32 eller d£l. For likning (11) og for den etterfølgende del av denne beskrivelse vil Einsteins summasjons-konvensjon bli benyttet. Det elliptiske problem på et kontrollvolum Q med grensebetingelsen ifølge likning (11) på d£l kan løses ved hjelp av hvilken som helst passende nummerisk metode. For å oppnå en trykkløsning som avhenger lineært av trykkene p~ k j

= 1,4), løser denne foretrukne utførelse fire elliptiske problemer, ett for hvert cellesentertrykk. For eksempel, for å få løsningen for trykket p<1>den grove gittercelle med knutepunkt 1 ved sitt sentrum, innstilles p"<1>^d^. De fire løsninger tilveiebringer de doble basisfunksjoner <X><k>(k = 1,4) i kontrollvolumet Q, og trykkløsningen for det lokale elliptiske problem i et kontrollvolum Q er den lineære kombinasjon Fluksen q over gittercellegrenseflatene kan følgelig skrives som en lineær kombinasjon

hvor q<k>(k = 1,4) er fluksbidragene fra de tilsvarende doble basisfunksjoner, når alle <D><k>(k = 1,4) fra alle kontrollvolumer Q er gitt. De effektive gjennomslippeligheter T som kan benyttes for endelig volum-simuleringer, beregnes ved å sammenstille fluksbidragene, i den foretrukne utførelse heltallige eller samlede fluksbidrag over cellegrenseflatene 34.

Legg merke til at domenet eller området Q kan ha hvilken som helst finskalafordeling av mobilitetskoeffisienter k. Den grensebetingelse som er gitt ved likning (11), er selvsagt en approksimasjon eller tilnærming som tillater at man kan frakople de lokale problemer. MSFV-løsningene og de globale finskalaløsninger er identiske bare dersom likning (11) treffer til å oppfange den nøyaktige flnskala-trykkløsning. Det er imidlertid blitt utført numeriske eksperimenter som indikerer at likning (11) er en meget god approksimasjon for grensebetingelsen.

Selv om MSFV-løsningsmåten er en endelig-volum-metode, likner den på multiskala, endelig-element-metoden ifølge Wu og Hou, som er kort omtalt ovenfor. Konstruksjonen av de dobbelte basisfunksjoner er nesten lik, selv om de ved den foreliggende MSFV-metode er representert på det doble grove gitter i stedet for på grensen til et endelig element. En vesentlig forskjell er at den foreliggende MSFV-metode er en cellesentrert endelig-volum-metode og er bevarende. På den annen side konstrueres massematrisen ved multiskala, endelig-element-metoden basert på et variasjonsprinsipp og sikrer ikke lokal bevaring. I det neste avsnitt illustreres viktigheten av et finskala-hastighetsfelt som er bevarende.

3. Rekonstruksjon av et bevarende finskala-hastighetsfelt

Flukser over grovcelle-grenseflatene 34 kan beregnes nøyaktig ved hjelp av flerskala-gjennomslippeligheter T. I noen tilfeller er det interessant å representere eller fremstille småskalahastighetene u nøyaktig (f.eks. å forutsi fordelingen av oppløst produkt transportert av et fluid). En enkel løsningsmåte kan synes å være å benytte de doble basisfunksjoner <J> ifølge likning (12). Imidlertid er det rekonstruerte finskala-hastighetsfelt da i alminnelighet diskontinuerlig ved alle cellegrenseflater av det doble gitter 30. Store feil kan derfor opptre i divergensfeltet, og lokal massebalanse krenkes. Legg merke til at massebevaring alltid er tilfredsstilt for den grove løsning ved benyttelse av den foreliggende MSFV-metode.

Konstruksjonen av et andre sett av lokale finskala-basisfunksjoner <D> skal nå beskrives, hvilken er fullt ut forenlig med fluksene q over cellegrenseflatene gitt ved de doble basisfunksjoner <J>. Dette andre sett av finskala-basisfunksjoner <J> tillater at et bevarende finskala-hastighetsfelt kan rekonstrueres.

Fig. 2 viser et grovt gitter 20 med ni tilstøtende gitterceller 22 og et tilsvarende dobbeltgitter 30 av doble grove kontrollvolumer 32 eller Q. For indekseringsformål skal disse spesielle celler og de tilsvarende dobbeltvolumer nå identifiseres med tall "1-9" og bokstaver "A-D" i sine respektive sentra. Det underliggende fine gitter 24 av fine gitterceller 26 er også vist. Det grove gitter, med de ni tilstøtende grove celler 1-9, er vist i fete, heltrukne linjer. Det tilsvarende dobbeltgitter 30 av doble grove kontrollvolumer A-D er vist med fete, strektegnede linjer. Det underliggende fine gitter 24 av fine gitterceller 26 er vist med tynne, prikkede linjer.

For å forklare rekonstruksjonen av finskalahastigheten, undersøkes masse-balansen for sentergittercellen 5. Grovskala-trykkløsningen, sammen med de doble basisfunksjoner <J>, tilveiebringer finskalafluksene q over grenseflatene til den grove celle 5.

For å oppnå en riktig representasjon av finskala-hastighetsfeltet i den grove celle 5, må (i) finskala-fluksene over en grenseflate av den grove celle 5 passe sammen, og (ii) divergensen til finskala-hastighetsfeltet innenfor det grove volum tilfredsstiller

hvor Q5er den grove gittercelle 5. Finskalafluksen q over grensen til gittercellen 5 avhenger av de grove trykkløsninger i gittercellene 1-9. Finskala-hastighetsfeltet innenfor den grove gittercelle 5 kan derfor uttrykkes som en overlagring av finskala-basisfunksjoner <E>\ i = 1,9). Ved hjelp av fig. 3, som viser de nødvendige doble grove kontrollvolumer, vil konstruksjonen av finskala-basisfunksjonene O<1>bli beskrevet. Hvert grovcelle trykk p{\ = 1,9) bidrar til finskala-fluksen q. La for eksempel bidraget av trykket i celle 2 til fluksen q i gittercelle 5 være q(<2>). Legg merke til at q(<2>) er sammensatt av bidrag qA(<2>) og qB(<2>) som kommer fra de doble basisfunksjoner som er knyttet til knutepunkt 2 i henholdsvis volum A og volum B. For å beregne finskala-basisfunksj onen

<X>' som er knyttet til trykket i en grov celle i, innstilles p<J>= 8y, og trykkfeltet konstrueres i overensstemmelse med følgene likning:

Finskala-fluksene q beregnes ut fra trykkfeltet. Disse flukser tilveiebringer den riktige grensebetingelse for beregning av finskala-basisfunksj onen <J>\ For å løse det elliptiske problem med de grensebetingelser som er beskrevet ovenfor, må løsbarhet sikres. Dette oppnås ved å sette som er et likt fordelt kildeledd innenfor Q5. Til slutt er løsningen av det elliptiske problem, (16) og (17), finskala-basisfunksj onen <D>' for den grove celle 5 knyttet til trykket i volum i. Småskala-hastighetsfeltet uttrekkes fra overlagringen

For inkompressibel strømning er dette hastighetsfelt divergensfritt overalt.

Beregning av finskala-basisfunksj onene <X>' krever løsning av ni små elliptiske problemer som er av samme størrelse som problemene for gjennomslippelighetsberegningene. Legg merke til at dette trinn er et forbehandlingstrinn og må utføres bare én gang. Videre er konstruksjonen av finskala-basisfunksj onene O<1>uavhengig eller selvstendig og er derfor velegnet for parallell beregning. Rekonstruksjonen av finskala-hastighetsfeltet er en enkel overlagring og utføres ideelt sett bare i områder av interesse.

III. IMPLENTERING AV MSFV-METODEN

Fig. 4 er et flytskjema som sammenfatter de trinn som anvendes i en foretrukket utførelse ved simulering av et reservoar ved benyttelse av MSFV-algoritmen ifølge oppfinnelsen. MSFV-algoritmen består av seks hovedtrinn:

A. beregn gjennomslippeligheter T for grovskala-flukser (trinn 100),

B. konstruer finskala-basisfunksjoner (trinn 200),

C. beregn en grov løsning på et nytt tidsnivå (trinn 300),

D. rekonstruer finskala-hastighetsfeltet i områder av interesse (trinn 400),

E. løs transportlikninger (trinn 500), og

F. beregn på nytt gjennomslippeligheter og også finskala-basisfunksj onene i områder hvor den totale mobilitet har endret seg mer enn et forutbestemt beløp (trinn 600).

Trinnene A-D beskriver en to-skala-løsningsmåte. Metodikken kan anvendes rekursivt med suksessive nivåer av forgroving. I tilfeller med ekstremt fin oppløsning bør denne flernivå-løsningsmåte gi skalerbare løsninger. Trinnene E og F svarer for transport-og mobilitetsendringer på grunn av utviklende faser og vil bli nærmere beskrevet nedenfor.

A. Beregning av gjennomslippeligheter for grovskalaflukser - Trinn 100

Gjennomslippelighetsberegningene kan utføres i en selvstendig modul (T-modul) og er velegnet for parallell beregning. Gjennomslippelighetene T kan innskrives i en fil for benyttelse av en endelig-volum-simulator som kan behandle flerpunkts fluks-diskretisering.

Idet det nå henvises til fig. 5, beskriver et flytskjema de individuelle trinn som gjennomføres for å beregne gjennomslippeligheten T for en grov skalamodell. Først dannes et finskalagitter med fine celler med et tilknyttet permeabilitetsfelt K (trinn 110). Deretter dannes et grovt gitter, med grove celler som svarer til finskalagitteret (trinn 120). De fine og grove gitre innføres deretter i en gjennomslippelighets- eller T-modul.

Doble grove kontrollvolumer Q konstrueres (trinn 130), ett for hvert knutepunkt av det grove gitter. For hvert dobbelt grovt kontrollvolum Q konstrueres doble eller grove skalabasisfunksjoner <D>CS(trinn 140) ved å løse lokale elliptiske problemer (likning (10)) for hvert volum Q. Dette lokale elliptiske problem, som beskrevet i avsnitt II.A.2 ovenfor, og det permeabilitetsfelt K som er knyttet til det fine gitter, benyttes, og de grensebetingelser som svarer til likning (11), utnyttes (trinn 135) ved løsning av det elliptiske problem. I tilfeller hvor de fine og grove gitre er ikke-overensstemmende (f.eks. dersom utstrukturerte gitre benyttes), kan oversampling anvendes. Til slutt uttrekkes de heltallige eller samlede grovskalaflukser q over grenseflatene til grovcellene (trinn 150) fra de doble basisfunksjoner <D>. Disse samlede grovskalaflukser q sammenstilles deretter (trinn 150) for å oppnå MSFV-gjennomslippeligheter T mellom gitterceller i det grove gitter.

Beregningen av gjennomslippeligheter T kan betraktes som en oppskalerings-prosedyre. Det vil si, de konstruerte grove trykkløsninger utformes for på en eller annen måte å svare for finskalabeskrivelsen av permeabiliteten K i den opprinnelige finskala-gittermodell. Del A - trinn 100 - beregning av gjennomslippeligheter, er således fortrinnsvis et separat behandlingstrinn som benyttes for å forgrove den opprinnelige finskalamodell til en størrelse som kan mestres eller håndteres av en konvensjonell reservoarsimulator.

Disse gjennomslippeligheter T kan innskrives i en fil for senere bruk. En endelig-volum-simulator som kan håndtere flerpunktsfluks-diskretisering kan da benytte disse gjennomslippeligheter T.

B. Konstruksjon av finskala-basisfunksjon og finskala-hastighetsfelt - Trinn 200

Fig. 6 er et flytskjema som beskriver det trinn som tas for å konstruere et sett finskala-basisfunksjoner <J> som kan isoleres i en separat finskala-basisfunksjonsmodul. Disse finskala-basisfunksjoner <J> kan da benyttes for å danne et finskala-hastighetsfelt. Denne modul er bare nødvendig dersom det er interesse for å rekonstruere finskala-hastighetsfeltet ut fra den grove trykkløsning. Slik som beskrevet i avsnitt II. A.3 ovenfor, kan store massebalansefeil opptre dersom de opprinnelige doble basisfunksjoner <J> benyttes ved rekonstruksjon av finskala-hastighetsfeltet. Her beskrives trinn for å beregne finskala-basisfunksj onene <X>, og som kan benyttes for å rekonstruere et bevarende finskala-hastighetsfelt. Prosedyren (trinn 200) ifølge flg. 4 følger beskrivelsen i avsnitt II.A.3 og må utføres bare en gang ved begynnelsen av en simulering og er velegnet for parallell beregning.

Finskalagitteret (trinn 210), med sitt tilsvarende permeabilitetsfelt K, det grove gitter (trinn 220) og de doble basisfunksjoner <X> (trinn 230) innføres i en finskala-basisfunksjon <J>. Et trykkfelt konstrueres ut fra grovskala-trykkløsningen og de doble basisfunksjoner (trinn 250). Deretter beregnes finskalafluksene for grovcellene (trinn 260). For hvert kontrollvolum løses elliptiske problemer, idet finskalafluksene benyttes som grensebetingelser, for å bestemme finskala-basisfunksjoner (trinn 270). Småskala-hastighetsfeltet kan deretter beregnes ut fra overlagringen av celletrykk og finskala-basisfunksjoner. Resultatene kan deretter utmates fra modulen. I mange tilfeller må finskala-hastighetsfeltet rekonstrueres bare i visse områder, slik det vil bli beskrevet mer detaljert nedenfor. For å spare hukommelse og beregningstid, kan man derfor tenke på en in-situ-bergning av finskala-basisfunksj onene <J> som kan anvendes på nytt så snart de er beregnet.

C. Beregning av den grove løsning ved det nye tidspunkt - Trinn 300

Trinn 300 kan beregnes ved hjelp av praktisk talt enhver flerpunktsstensil, endelig-volum-kode ved benyttelse av MSFV-gjennomslippelighetene T for fluksbe-regningen. Disse grove flukser oppfanger på effektiv måte løsningens storskala-oppførsel uten å oppløse de små skalaer.

D. Rekonstruksjon av finskala-hastighetsfeltet - Trinn 400

Trinn 400 er enkelt. Rekonstruksjon av finskala-hastighetsfeltet i områder av interesse oppnås ved overlagring av finskala-basisfunksj onene <J>' som beskrevet i avsnitt II.A.3, trinn B ovenfor, og som vist på fig. 6. Mange variasjoner av MSFV-metoden kan selvsagt uttenkes. Det kan imidlertid være fordelaktig at konstruksjon av gjennomslippelighetene T og finskala-basisfunksj onene <J> kan gjøres i moduler som er atskilte fra simulatoren.

£. Løsning av trykk- og transportlikninger

1. Numerisk løsningsalgoritme - eksplisitt løsning

Flerfase-strømningsproblemer kan løses i to trinn. For det første oppnås det totale hastighetsfelt ut fra løsning av trykklikningen (4), og deretter løses den hyperbolske transportlikning (5). For å løse trykklikningen, benyttes MSFV-metoden som er blitt beskrevet foran. Forskjellen fra enfasestrømning er at mobilitetsleddet X i dette tilfelle reflekterer den totale mobilitet av begge faser, og det oppnådde hastighetsfelt u er da den totale hastighet i domenet. Det rekonstruerte finskala-hastighetsfelt u benyttes deretter til å løse transportlikningen på det fine gitter. Verdiene av ko w tas fra oppvindretningen, og tidsintegrasjon kan oppnås ved å benytte et baklengs Euler-system. Legg merke til at de doble basisfunksjoner og finskala-basisfunksj onene (O,®) må beregnes på nytt for hvert tidstrinn på grunn av endringer i metning s(mobilitets)-feltet.

2. Numerisk løsningsalgoritme - implisitt kopling

I den foretrukne utførelse av oppfinnelsen utnytter MSFV-metoden en algoritme med implisitte beregninger. Flerfasestrømningsproblemet løses iterativt i to trinn. Se fig. 7 for et diagram ifølge denne metode som illustrer kopling mellom trykk- og metnings-likningene.

Først, i hvert Newton-trinn, etableres et metningsfelt S - enten innledende innmating eller ved hjelp av en iterasjon (trinn 510). Deretter løses en trykklikning (se likning (19) nedenfor) (trinn 520) ved benyttelse av de MSFV-teknikker som er beskrevet foran, for å oppnå det totale hastighetsfelt (trinn 530). Deretter løses en transportlikning (se likning (20) nedenfor) (trinn 540) på det fine gitter ved benyttelse av det rekonstruerte finskala-hastighetsfelt u. I denne løsning anvendes en Schwartz-overlappingsteknikk, dvs. transportproblemet løses lokalt på hvert grovt volum med et implisitt oppvindsystem, hvor metnings verdi ene fra de tilgrensende grove volumer på det foregående iterasjonsnivå benyttes for grensebetingelsene. Så snart Schwartz-overlappingssystemet har konvergert (trinn 550, 560) - for de hyperbolske systemer er denne metode meget effektiv -, bestemmer den nye metningsfordeling det nye totale mobilitetsfelt for trykkproblemet ved den neste Newton-iterasjon. Legg merke til at noen av basisfunksj onene i alminnelighet må beregnes på nytt for hver iterasjon.

De opphøyde tegn (eller eksponentene) n og v betegner henholdsvis de gamle tids- og iterasjonsnivåer. Metninger er representert ved S, det totale hastighetsfelt ved u, beregningen av hastigheten ved operatoren n, og beregningen av metningen ved E. Det nye trykkfelt p<v+1>oppnås ved å løse likningen

ut fra hvilken det nye hastighetsfelt u<v+1>beregnes. Det nye metningsfelt S<v+1>oppnås ved å løse

F. Gjentatt beregning av gjennomslippligheter og finskala-basisfunksjoner - Adaptivt system.

Den mest kostbare del av MDFV-algoritmen for flerfasestrømning er rekonstruksjonen av grovskala- og finskala-basisfunksj onene (<E>,<I>). For å oppnå høyere effektivitet, er det derfor ønskelig å beregne basisfunksj onene på nytt bare der hvor det er absolutt nødvendig. Et adaptivt system kan benyttes for å oppdatere disse basisfunksjoner. I det foretrukne utførelseseksempel, dersom betingelsen

ikke er oppfylt (de opphøyde tegn n og n-1 betegner de foregående to tidstrinn og ex, er en definert verdi) for alle fine celler innenfor et grovt dobbeltvolum, må de doble basisfunksjoner for dette kontrollvolum rekonstrueres. Legg merke til at betingelsen (21) gjelder dersom k endrer seg med en faktor som er større enn l/(l+8x) og mindre enn 1 + & x- En illustrasjon av dette system er vist på fig. 8 hvor de fine og grove gitterceller er tegnet med henholdsvis tynne og fete linjer. De svarte kvadrater representerer fincellene i hvilke betingelsen (21) ikke er oppfylt. Kvadratene med fete, strektegnede linjer er de kontrollvolumer for hvilke de doble basisfunksjoner må rekonstrueres. De skyggelagte områder representerer de grove celler for hvilke finskala-basisfunksj onene må oppdateres. I det skjematiske 2D-eksempel på fig. 8 må bare 20 av 196 totale doble basisfunksjoner og 117 av 324 totale finskala-basisfunksjoner rekonstrueres. Disse tall avhenger selvsagt sterkt av den definerte terskel s^. Vanligvis utløser en mindre terskel flere fine volumer,

og som en konsekvens beregnes flere basisfunksjoner på nytt for hvert tidstrinn. For en stor variasjon av prøvetilfeller har man funnet at en verdi av & x som er < 0,2 gir marginale endringer i de oppnådde resultater.

IV. NUMERISKE RESULTATER

Denne MSFV-metode, kombinert med det implisitte koplingssystem som er vist på flg. 7, er blitt testet for tofasestrømning =10) i en stiv 3D-modell med mer enn 140 000 fine celler. Det er blitt demonstrert at flerskalaresultater er i meget god overensstemmelse med flnskalaløsningen. MSFV-metoden har dessuten vist seg å være tilnærmet 27 ganger mer effektiv enn den etablerte oljereservoarsimulator Chears. I mange tilfeller bringes imidlertid beregningseffektiviteten i fare som følge av de tidstrinn-størrelsesrestriksjoner som er iboende for IMPES-systemer. Dette problem kan løses ved å anvende den fullstendig implisitte MSFV-metode som ble beskrevet i det foregående avsnitt. Numeriske studier viser her følgende: (1) De resultater som oppnås med den implisitte MSFV-metode, er i meget god overensstemmelse med flnskalaresultatene. (2) De resultater som oppnås med den implisitte MSFV-metode, er ikke særlig følsomme for valget av det grove gitter. (3) Den implisitte MSFV-metode for tofasestrømning overvinner tidstrinn-størrelsesreduksjonen, og derfor kan meget store tidstrinn anvendes. (4) De resultater som oppnås med den implisitte MSFV-metode, er i stor ustrekning ufølsomme for tidstrinnstørrelsen, og

(5) Den implisitte MSFV-metode er meget effektiv.

For finskala-sammenlikningskjøringene ble den etablerte reservoarsimulator Chears benyttet. Effektiviteten av både den implisitte MSFV-metode og finskala-reservoarsimulatoren avhenger av valget av forskjellige parameterinnstillinger som ikke ble fullt optimert.

A. Testtilfelle

For å studere nøyaktigheten og effektiviteten av den fullstendig implisitte MSFV-algoritme, ble det benyttet 2D- og 3D-testtilfeller med ensartet atskilte, ortogonale 60 x 220- og 60 x 220 x 85-gitre. Det tredimensjonale gitter og permeabilitetsfeltet er de samme som for SPE 10-testtilfellet, hvilket anses for å være ytterst vanskelig for reservoarsimulatorer. Mens dette 3D-testtilfelle benyttes for beregningsmessig effektivitetsvurdering, tjener 2D-testtilfellene, som består av topp- og bunnsjikt, til å studere nøyaktigheten av MSFV-metoden. Fig. 9 illustrerer det tredimensjonale testtilfelle som presenteres av permeabilitetsfeltet til SPE 10-problemet. De mørkere områder indikerer lavere permeabilitet. En injeksjonsbrønn er plassert i sentrum av feltet og fire produsentbrønner i hjørnene. Disse brannsteder benyttes for alle de etterfølgende studier.

Reservoaret er i begynnelsen fylt av olje og

B. 2D-simulering av topp- og bunnsjiktene

Den benyttede MSFV-simulator manglet en avansert brønnmodell. Det vil si, brønner modelleres ved å definere de totale hastigheter for hvert perforert grov-volum. For å foreta nøyaktige sammenlikninger mellom MSFV-resultatene og finskala(Chears-reservoarsimulator)-resulatene, blir derfor hvert finskalavolum innenfor hvert perforert grovvolum en brønn i Chears-kjøringene. For store 3D-modeller presenterer dette et teknisk problem da Chears-reservoarsimulatoren ikke er konstruert for å behandle et vilkårlig stort antall av individuelle brønner. Av denne grunn ble det bestemt å utføre en nøyaktig vurdering i to dimensjoner (2D), dvs. med topp- og bunnsjiktene av 3D-modellen. Disse to lag, for hvilke permeabilitetsfeltene er vist på fig. 10A og 10B, er representative for de to karakteristisk forskjellige områder av den fullstendige modell.

MSFV-simuleringer ble utført med ensartet atskilte 10 x 22- og 20 x 44-grovgitre. Resultatene ble sammenliknet med finskalaløsningen på et 60 x 220-gitter. Slik som i det fullstendige 3D-testtilfelle, er det fire produksjonsbrønner ved hjørnene som er fordelt over et område på 6 x 10 finskalavolumer. Injeksjonsbrønnen er beliggende i sentrum av domenet, og er fordelt over et område på 12 x 12 finskalavolumer. Hastighetene (eng: rates) er de samme for alle finskalavolumer (positive for produksjonsvolumene og negative for injeksjons volumene). Fig. 11 A-C og 12A-C viser permeabilitetsfeltene for de respektive topp- og bunnsjikt. Svart indikerer lav permeabilitet. Disse to sjikt eller lag er representative for de to karakteristisk forskjellige områder av den fullstendige 3D-modell. Fig. 11 A-C og 12A-C viser de beregnede metningsfelter etter 0,0933 PVI (porevolum injisert) for henholdsvis topp- og bunnsjiktene. Mens fig. 11C og 12C viser finskala-referanseløsningene, viser fig. 11A og 11B og 12A og 12B MSFV-resultatene for henholdsvis 10 x 22- og 20 x 44-grovgitre. For begge sjikt kan det observeres at overensstemmelsen er meget god og at flerskalametoden knapt er følsom for valget av det grove gitter. En mer kvantitativ sammenlikning er vist på fig. 13A og 13B hvor kurvene for finskala- og multiskala-oljekutt og -oljegjenvinning er avsatt. Når man tar i betraktning vanskeligheten med disse testproblemer og det faktum at to uavhengig implementerte simulatorer benyttes for sammenlikningene, er denne overensstemmelse meget god. I de etterfølgende studier vil det bli demonstrert at for en modell med 1 122 000 celler er MSFV-metoden vesentlig mer effektiv enn finskalasimuleringer, og resultatene forblir nøyaktige for meget store tidstrinn.

C. 3D-simuleringer

Mens 2D-studier er hensiktsmessige for å studere nøyaktigheten av den implisitte MSFV-metode, kreves store og stive 3 D-beregninger for en meningsfylt effektivitetsvurdering. Et 3D-testtilfelle ble benyttet slik som beskrevet ovenfor. Et grovt 10 x 22 x 17-gitter, vist på fig. 14, ble benyttet og 0,5 porevolumer ble injisert. I motsetning til MSFV-kjøringene, ble brønnene for CHEARS-simuleringene definert på finskalaen. Tabell 1 nedenfor viser CPU-tid og nødvendig antall tidstrinn for CHEARS-simuleringen og to MSFV-kjøringer.

Mens Chears benytter en styre eller kontrollalgoritme, var tidstrinnstørrelsen i fler-skalasimuleringene fast. Dette skyldes størrelsen og stivheten av problemet og at mye mindre tidstrinn må anvendes for en vellykket Chears-simulering. Tabellen viser at den implisitte MSFV-metode kan beregne løsningen tilnærmet 27 ganger raskere enn CHEARS. Fig. 15 viser oljekutt- og oljeutvinningskurvene som oppnås med flerskala-simuleringer ved benyttelse av 50 og 200 tidstrinn. Den nøyaktige overensstemmelse mellom resultatene bekrefter at metoden er meget robust med hensyn til tidstrinnstørrelse. Da kostnadene for MSFV-simulering stiger nesten lineært med problemstørrelsen, og da den doble basisfunksjon og finskala-basisfunksj onen kan beregnes på uavhengig måte, er metoden ideelt egnet for omfattende parallell-beregninger og enorme problemer.

Selv om oppfinnelsen i den foregående beskrivelse er blitt beskrevet i forbindelse med visse foretrukne utførelser av denne, og mange detaljer er blitt angitt med henblikk på illustrasjon, vil det være åpenbart for fagfolk på området at oppfinnelsen er mottakelig for endring og at visse andre detaljer som er beskrevet her, kan variere betydelig uten å avvike fra grunnprinsippene for oppfinnelsen.

Claims

1. 1. En datamaskin-implementert flerskala endelig-volum fremgangsmåte for bruk i modellering av strømning i et underjordisk reservoar med en underjordisk-reservoar-simulator som omfatter: • å etablere et fint gitter som definerer en flerhet med fine celler og som har et permeabilitetsfelt tilknyttet de fine cellene; • å etablere et grovt gitter som definerer en flerhet med grove celler som har grenseflater mellom grovcellene, hvor grovcellene er aggregater av de fine cellene; • å etablere et dualt grovt gitter som definerer en flerhet med duale grove kontrollvolumer, hvor de duale grove kontrollvolumene er aggregater av flncelleneog har grenser som avgrenser de duale grove kontrollvolumene; • å beregne duale basisfunksjoner på de duale grove kontrollvolumer ved å løse lokale elliptiske eller parabolske problemer; • å lede ut flukser gjennom grenseflatene til grovcellene fra de duale basisfunksjoner; og • å sammenstille fluksene for å beregne effektiv gjennomslippeligheter mellom grove celler.

2. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert vedat de lokale problemene som er løst bruker grensebetingelser fremskaffet med å løse reduserte problemer langs grovcellenes grenseflater.

3. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert vedat integrale flukser sammenstilles for å beregne effektive gjennomslippeligheter som er konservative.

4. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert vedat • de løste lokale problemene bruker grensebetingelser fremskaffet ved å løse reduserte problemer langs grovcellenes grenseflater; og • integrale flukser sammenstilles for å beregne effektive gjennomslippeligheter som er konservative.

5. Fremgangsmåte ifølge krav 1, 2, 3 eller 4 som videre omfatter: • å beregne trykk i grovcellene ved å bruke en endelig-volum-fremgangsmåte og å utnytte de effektive gjennomslippelighetene mellom grove celler; • å beregne finskala basisfunksjoner ved å løse lokale elliptiske eller parabolske problemer på grovcellene og å utnytte finskala flukser over grovcellenes grenseflater som er ekstrahert fra de duale basisfunksjoner; og • å trekke ut et småskala hastighetsfelt fra kombinasjonen av de finskala basisfunksj onene og de tilhørende grovcelle-trykkene.

6. Fremgangsmåte ifølge krav 5 som videre omfatter: å løse et transportproblem på det fine gitteret ved å bruke småskala-hastighetsfeltet.

7. Fremgangsmåte ifølge krav 6, karakterisert vedat transportproblemet løses iterativ i to trinn: • hvor i det første trinnet et finskala hastighetsfelt oppnås ved å løse en trykkligning; og • hvor i det andre trinnet transportproblemet på fincellene løses ved å bruke det rekonstruerte finskala-hastighetsfelt.

8. Fremgangsmåte ifølge krav 7, karakterisert vedat en Schwartz-overlappteknikk anvendes for å løse transportproblemet lokalt på hver grovcelle med et implisitt opp vindsystem.

9. Fremgangsmåte ifølge krav 6, 7 eller 8 som videre omfatter: • å beregne en løsning på grovcellene ved en inkrementell tid og å generere egenskaper for fincellene ved en inkrementell tid; og • dersom en bestemt betingelse ikke er oppfylt for alle fincellene inne i en dual grove kontrollvolum, så rekonstrueres de duale og finskala basisfunksjoner i denne duale grove kontrollvolum.

10. Fremgangsmåte ifølge krav 9, karakterisert vedat én av finskala-egenskapene som genereres er en mobilitetskoeffisient k, og den forhåndsbestemte betingelsen er:

hvor k = mobilitetskoeffisient til en fin celle, de forhøyde n og n-1 betegner de forutgående to tidstrinn og ex, er en forhåndsbestemt toleranseverdi.